Чи можна ділити на нуль? Відповідає математик. Чому не можна ділити на нуль? Наочний приклад Будь-яке число помножене на 0 дорівнює

Дуже часто багато хто задається питанням, чому ж не можна використовувати поділ на нуль? У цій статті ми детально розповімо про те, звідки з'явилося це правило, а також про те, які дії можна виконувати з нулем.

Вконтакте

Нуль можна назвати однією з найцікавіших цифр. Ця цифра не має значення, вона означає порожнечу у буквальному значенні слова. Однак, якщо нуль поставити поруч із якоюсь цифрою, то значення цієї цифри побільшає в кілька разів.

Число дуже загадкове саме собою. Його використав ще давній народ майя. У майя нуль означав "початок", а відлік календарних днів також починався з нуля.

Дуже цікавим фактом є те, що знак нуля та знак невизначеності у них були схожі. Цим майя хотіли показати, що нуль є таким самим тотожним знаком, як і невизначеність. У Європі позначення нуля з'явилося порівняно недавно.

Також багатьом відома заборона, пов'язана з нулем. Будь-яка людина скаже, що на нуль не можна ділити. Це кажуть вчителі у школі, а діти зазвичай вірять їм у слово. Зазвичай дітям просто не цікаво це знати, або вони знають, що буде, якщо, почувши важливу заборону, відразу ж запитати «А чому не можна ділити на нуль?». Але коли стаєш старшим, то прокидається інтерес, і хочеться більше дізнатися про причини такої заборони. Проте є розумний доказ.

Дії з нулем

Спочатку необхідно визначити, які дії з нулем можна виконувати. Існує кілька видів дій:

Додавання;
множення;
Віднімання;
Поділ (нуля на число);
Зведення в ступінь.

Важливо!Якщо при додаванні до будь-якого числа додати нуль, то це число залишиться колишнім і не змінить свого числового значення. Те саме станеться, якщо від будь-якого числа відібрати нуль.

При множенні і розподілі все трохи інакше. Якщо помножити будь-яке число на нуль, те й твір теж стане нульовим.

Розглянемо приклад:

Запишемо це як додавання:

Усього складаються нулів п'ять, от і виходить, що

Спробуємо один помножити на нуль. Результат також буде нульовим.

Нуль також можна розділити на будь-яке інше число, яке не дорівнює йому. У цьому випадку вийде , значення якої також буде нульовим. Це правило діє і для негативних чисел. Якщо нуль ділити на негативне число, то вийде нуль.

Також можна звести будь-яке число у нульовий ступінь. У такому разі вийде 1. При цьому важливо пам'ятати, що вираз «нуль у нульовому ступені» абсолютно безглуздий. Якщо спробувати звести нуль у будь-яку міру, то вийде нуль. Приклад:

Користуємося правилом множення, одержуємо 0.

Так чи можна ділити на нуль

Отож ми й підійшли до головного питання. Чи можна ділити на нульвзагалі? І чому ж не можна розділити число на нуль при тому, що решта всіх дій з нулем цілком існують і застосовуються? Для відповіді це питання необхідно звернутися до вищої математики.

Почнемо взагалі з визначення поняття, що таке нуль? Шкільні вчителі стверджують, що нуль це ніщо. Порожнеча. Тобто, коли ти кажеш, що у тебе 0 ручок, це означає, що у тебе зовсім немає ручок.

У вищій математиці поняття «нуль» ширше. Воно зовсім не означає порожнечу. Тут нуль називають невизначеністю, тому що якщо провести невелике дослідження, то виходить, що при розподілі нуля на нуль ми можемо в результаті отримати будь-яке інше число, яке не обов'язково може бути нулем.

Чи знаєте ви, що ті прості арифметичні дії, які ви вивчали в школі, не такі рівноправні між собою? Найбільш базовими діями є додавання та множення.

Для математиків немає понять « » і «віднімання». Допустимо: якщо від п'яти відібрати три, то залишиться два. Так виглядає віднімання. Проте математики запишуть це таким чином:

Таким чином, виходить, що невідомою різницею є якесь число, яке потрібно додати до 3, щоб отримати 5. Тобто не потрібно нічого віднімати, потрібно просто знайти відповідне число. Це діє для складання.

Трохи інакше справи з правилами множення та поділу.Відомо, що множення на нуль призводить до нульового результату. Наприклад, якщо 3: 0 = х, тоді, якщо перевернути запис, вийде 3 * х = 0. А число, яке множилося на 0, дасть нуль і у творі. Виходить, що числа, яке давало б у творі з нулем якусь величину, відмінну від нуля, не існує. Отже, розподіл на нуль безглуздо, тобто він підходить до нашого правила.

Але що буде, якщо спробувати розділити сам нуль на себе? Візьмемо як х якесь невизначене число. Виходить рівняння 0х = 0. Його можна вирішити.

Якщо спробуємо взяти замість х ноль, ми отримаємо 0:0=0. Здавалося б, логічно? Але якщо спробуємо замість х взяти будь-яке інше число, наприклад, 1, то зрештою вийде 0:0=1. Та ж ситуація буде, якщо взяти будь-яке інше число і підставити його на рівняння.

В цьому випадку вийде, що ми можемо як множник взяти будь-яке інше число. Підсумком буде безліч різних чисел. Часом все ж таки розподіл на 0 у вищій математиці має сенс, але тоді зазвичай з'являється певна умова, завдяки якому ми зможемо все-таки вибрати одне відповідне число. Ця дія називається «розкриттям невизначеності». У звичайній арифметиці поділ на нуль знову втратить свій сенс, оскільки ми не зможемо вибрати з безлічі якесь одне число.

Важливо!На нуль не можна розділити нуль.

Нуль і нескінченність

Нескінченність дуже часто можна зустріти у вищій математиці. Так як школярам просто не важливо знати про те, що існують ще математичні дії з нескінченністю, то і пояснити дітям, чому ділити на нуль не можна, вчителі добре не можуть.

Основні математичні секрети учні починають впізнавати лише першому курсі інституту. Вища математика надає великий комплекс завдань, які мають рішення. Найвідомішими завданнями є завдання з нескінченністю. Їх можна вирішити за допомогою математичного аналізу

До нескінченності також можна застосувати елементарні математичні дії:додавання, множення на число. Зазвичай ще застосовують віднімання і розподіл, але зрештою вони все одно зводяться до двох найпростіших операцій.

Але що буде, якщо спробувати:

Нескінченність помножити на нуль. За ідеєю, якщо спробуємо помножити на нуль будь-яке число, ми отримаємо нуль. Але нескінченністю є невизначена безліч чисел. Оскільки ми не можемо вибрати з цієї множини одне число, то вираз ∞*0 не має рішення і абсолютно безглуздий.
Нуль ділити на нескінченність. Тут відбувається та сама історія, що й вище. Не можемо вибрати одне число, а значить не знаємо, на що розділити. Вираз немає сенсу.

Важливо!Нескінченність трохи відрізняється від невизначеності! Нескінченність одна із видів невизначеності.

Тепер спробуємо нескінченність ділити на нуль. Здавалося б, має вийти невизначеність. Але якщо ми спробуємо замінити поділ множенням, то вийде цілком певна відповідь.

Наприклад: ∞/0=∞*1/0= ∞*∞ = ∞.

Виходить такий математичний феномен.

Відповідь, чому не можна ділити на нуль

Думковий експеримент, пробуємо ділити на нуль

Висновок

Отже, тепер нам відомо, що нуль підпорядковується практично всім операціям, які виробляють з, крім однієї єдиної. На нуль ділити не можна лише тому, що в результаті виходить невизначеність. Також ми дізналися, як робити дії з нулем та нескінченністю. Результатом таких дій буде невизначеність.

Число 0 можна уявити, як певну межу, що відокремлює світ реальних чисел від уявних чи негативних. Завдяки двозначному положенню багато операцій з цією числовою величиною не підкоряються математичній логіці. Неможливість поділу на нуль - яскравий приклад. А дозволені арифметичні дії з нулем можуть бути виконані за допомогою загальноприйнятих визначень.

Історія нуля

Нуль є точкою відліку у всіх стандартних системах обчислення. Європейці стали використовувати це число порівняно недавно, але мудреці Стародавньої Індії користувалися нулем за тисячу років до того, як порожня кількість стала регулярно використовуватися європейськими математиками. Ще раніше індійців нуль був обов'язковою величиною у числовій системі майя. Цей американський народ використовував дванадцяткову систему числення, а банкрутом у них починався перший день кожного місяця. Цікаво, що у майя знак, що означає «нуль», повністю збігався зі знаком, що визначає «нескінченність». Таким чином, стародавні майя робили висновок про тотожність та непізнаваність цих величин.

Математичні дії з нулем

Стандартні математичні операції з нулем можна звести до кількох правил.

Додавання: якщо до довільного числа додати нуль, воно не змінить свого значення (0+x=x).

Віднімання: при відніманні нуля від будь-якого числа значення віднімається залишається незмінним (x-0=x).

Множення: будь-яке число, помножене на 0, дає у творі 0 (a * 0 = 0).

Поділ: нуль можна поділити на будь-яке число, що не дорівнює нулю. При цьому значення такого дробу буде 0. А розподіл на нуль заборонено.

Зведення в ступінь. Цю дію можна виконати з будь-яким числом. Довільне число, зведене в нульовий рівень, дасть 1 (x 0 =1).

Нуль будь-якою мірою дорівнює 0 (0 а = 0).

У цьому відразу виникає протиріччя: вираз 0 0 немає сенсу.

Парадокси математики

Про те, що розподіл на нуль неможливий, багато хто знає зі шкільної лави. Але пояснити причину такої заборони чомусь не виходить. Справді, чому формула поділу на нуль немає, тоді як інші дії з цим числом цілком розумні і можливі? Відповідь це питання дають математики.

Справа в тому, що звичні арифметичні дії, які школярі вивчають у початкових класах, насправді далеко не такі рівноправні, як нам здається. Усі прості операції з числами можуть бути зведені до двох: додавання та множення. Ці події становлять суть самого поняття числа, інші операції будуються використання цих двох.

Додавання та множення

Візьмемо стандартний приклад віднімання: 10-2=8. У школі його розглядають просто: якщо від десяти предметів відібрати два, залишиться вісім. Але математики дивляться цю операцію зовсім інакше. Адже такої операції, як віднімання, для них не існує. Цей приклад можна записати й іншим способом: х+2=10. Для математиків невідома різниця - це просто число, яке потрібно додати до двох, щоб вийшло вісім. І ніякого віднімання тут не потрібно, потрібно просто знайти відповідне числове значення.

Множення та розподіл розглядаються так само. У прикладі 12:4=3 можна зрозуміти, що йдеться про розподіл восьми предметів на дві рівні купки. Але насправді це просто перевернута формула запису 3х4 = 12. Такі приклади на поділ можна наводити нескінченно.

Приклади на поділ на 0

Ось тут і стає зрозумілим, чому не можна ділити на нуль. Множення та розподіл на нуль підпорядковується своїм правилам. Усі приклади розподіл цієї величини можна сформулювати як 6:0=х. Але це ж перевернутий запис виразу 6 * х = 0. Але, як відомо, будь-яке число, помножене на 0, дає у творі лише 0. Ця властивість закладена у самому понятті нульової величини.

Виходить, що такого числа, яке при множенні на 0 дає якусь відчутну величину, не існує, тобто це завдання не має рішення. Такої відповіді боятися не слід, це природна відповідь для таких завдань. Просто запис 6:0 не має жодного сенсу, і він нічого не може пояснити. Коротко кажучи, цей вислів можна пояснити тим самим безсмертним «поділ на нуль неможливий».

Чи існує операція 0:0? Справді, якщо операція множення на 0 є законною, чи можна нуль розділити на нуль? Адже рівняння виду 0х5=0 цілком легальне. Замість числа 5 можна поставити 0, твір від цього не зміниться.

Дійсно, 0х0 = 0. Але поділити на 0, як і раніше, не можна. Як було сказано, розподіл – це зворотна операція множення. Таким чином, якщо в прикладі 0х5=0 потрібно визначити другий множник, отримуємо 0х0=5. Або 10. Або нескінченність. Розподіл нескінченності на нуль - як вам це сподобається?

Але якщо у вираз підходить будь-яке число, воно не має сенсу, ми не можемо з нескінченного безлічі чисел вибрати якесь одне. А якщо так, це означає і вираз 0:0 не має сенсу. Виходить, що на нуль не можна ділити навіть сам нуль.

Вища математика

Поділ на нуль – це головний біль для шкільної математики. Математичний аналіз, що вивчається в технічних вузах, трохи розширює поняття завдань, які не мають рішення. Наприклад, до вже відомого виразу 0:0 додаються нові, які не мають рішення у шкільних курсах математики:

нескінченність, поділена на нескінченність: ?:?;
нескінченність мінус нескінченність: ???;
одиниця, зведена в нескінченний ступінь: 1? ;
нескінченність, помножена на 0:? * 0;
деякі інші.

Елементарними методами вирішити такі висловлювання неможливо. Але вища математика завдяки додатковим можливостям ряду подібних прикладів дає кінцеві рішення. Особливо це видно у розгляді завдань із теорії меж.

Розкриття невизначеності

Теоретично меж значення 0 замінюється умовною нескінченно малою змінною величиною. А вирази, у яких за підставі необхідного значення виходить розподіл на нуль, перетворюються. Нижче наведено стандартний приклад розкриття межі за допомогою звичайних алгебраїчних перетворень:

Як видно з прикладу, просте скорочення дробу призводить її значення до цілком раціональної відповіді.

При розгляді меж тригонометричних функцій їх висловлювання прагнуть звести до першої чудової межі. При розгляді меж, у яких знаменник звертається в 0 під час підстави межі, використовують другий чудовий ліміт.

Метод Лопіталя

У деяких випадках межі виразів можна замінити межею їх похідних. Гійом Лопіталь - французький математик, основоположник французької школи математичного аналізу. Він довів, що межі виразів дорівнюють межам похідних цих виразів. У математичному записі його правило виглядає так.

В даний час метод Лопіталя з успіхом застосовується при вирішенні невизначеності типу 0:0 або?:?.

Як ділити та множити на 0,1; 0,01; 0,001 і т.д.?

Напишіть правила розподілу та множення.

Щоб помножити число на 0.1, потрібно просто перенести кому.

Наприклад було 56 , стало 5,6 .

Щоб розділити на це число, потрібно перенести кому в протилежний бік:

Наприклад було 56 , стало 560 .

З числом 0,01 все те саме, але потрібно перенести на 2 знаки, а не на один.

Взагалі скільки нулів, на стільки і переносіть.

Наприклад, є число 123456789.

Потрібно його помножити на 0.000000001

Нулей у числі 0.000000001 дев'ять (нуль ліворуч від коми теж рахуємо), значить число 123456789 зрушуємо на 9 розрядів:

Було 123 456 789 стало 0,123456789.

Щоб не помножити, а розділити на це число, зрушуємо в інший бік:

Було 123456789 стало 123456789000000000.

Щоб зрушити таке ціле число, просто приписуємо до нього нолик. А в дробовому пересуваємо кому.

Розподіл числа на 0,1 відповідає множенню цього числа на 10

Розподіл числа на 0,01 відповідає множенню цього числа на 100

Розподіл на 0,001 - множення на 1000.

Щоб легше було запам'ятати - читаємо число, на яке потрібно розділити праворуч наліво, не звертаючи уваги на кому, і на отримане число множимо.

Приклад: 50: 0,0001. Це все одно що 50 помножити на (читаємо праворуч наліво без коми - 10000) 10000. Виходить 500000.

Те саме з множенням, тільки навпаки:

400 х 0,01 - те саме, що розділити 400 на (читаємо праворуч наліво без коми - 100) 100: 400: 100 = 4.

Кому зручніше переносити при множенні та розподілі на такі числа коми вправо при розподілі та вліво при множенні, можна робити і так.

www.bolshoyvopros.ru

5.5.6. Поділ на десятковий дріб

I. Щоб розділити число на десятковий дріб, потрібно перенести коми в діленому і дільнику на стільки цифр вправо, скільки їх коштує після коми в дільнику, а потім виконати поділ на натуральне число.

Прийміри.

Виконати поділ: 1) 16,38: 0,7; 2) 15,6: 0,15; 3) 3,114: 4,5; 4) 53,84: 0,1.

Рішення.

приклад 1) 16,38: 0,7.

У дільнику 0,7 після коми стоїть одна цифра, тому, перенесемо коми в поділюваному і дільнику на одну цифру вправо.

Тоді нам потрібно буде поділити 163,8 на 7 .

Виконаємо поділ за правилом розподілу десяткового дробу на натуральне число.

Ділимо так, як ділять натуральні числа. Як знесемо цифру 8 - першу цифру після коми (тобто цифру в розряді десятих), так одразу поставимо в приватному комуі продовжимо поділ.

Відповідь: 23,4.

приклад 2) 15,6: 0,15.

Переносимо коми в ділимому ( 15,6 ) та дільнику ( 0,15 ) на дві цифри вправо, тому що в дільнику 0,15 після коми стоять дві цифри.

Пам'ятаємо, що праворуч до десяткового дробу можна приписати скільки завгодно нулів, і від цього десятковий дріб не зміниться.

15,6:0,15=1560:15.

Виконуємо розподіл натуральних чисел.

Відповідь: 104.

приклад 3) 3,114: 4,5.

Перенесемо коми в ділимому та дільнику на одну цифру вправо та розділимо 31,14 на 45 за правилом розподілу десяткового дробу на натуральне число.

3,114:4,5=31,14:45.

У приватному поставимо кому відразу, як зносимо цифру 1 у розряді десятих. Потім продовжуємо поділ.

Щоб закінчити поділ, нам довелося приписати нульдо числа 9 - Різниці чисел 414 і 405 . (ми знаємо, що праворуч до десяткового дробу можна приписувати нулі)

Відповідь: 0,692.

приклад 4) 53,84: 0,1.

Переносимо коми в ділимому та дільнику на 1 цифру праворуч.

Отримуємо: 538,4:1=538,4.

Проаналізуємо рівність: 53,84:0,1=538,4. Звертаємо увагу на кому в поділеному в даному прикладі і на кому в отриманому приватному. Зауважуємо, що кома в ділимому перенесена на 1 цифру вправо, якби ми множили 53,84 на 10. (Дивіться відео «Умноження десяткового дробу на 10, 100, 1000 і т.д.») Звідси правило розподілу десяткового дробу на 0,1; 0,01; 0,001 і т.д.

ІІ. Щоб розділити десятковий дріб на 0,1; 0,01; 0,001 і т. д., потрібно перенести кому вправо на 1, 2, 3 і т. д. цифр. (Ділення десяткового дробу на 0,1; 0,01; 0,001 і т. д. рівносильне множенню цього десяткового дробу на 10, 100, 1000 і т.д.)

приклади.

Виконати поділ: 1) 617,35: 0,1; 2) 0,235: 0,01; 3) 2,7845: 0,001; 4) 26,397: 0,0001.

Рішення.

приклад 1) 617,35: 0,1.

Відповідно до правила II поділ на 0,1 рівносильно множенню на 10 , і кому в поділеному перенесемо на 1 цифру праворуч:

1) 617,35:0,1=6173,5.

приклад 2) 0,235: 0,01.

Поділ на 0,01 рівносильно множенню на 100 , значить, кому в ділимому перенесемо на 2 цифри вправо:

2) 0,235:0,01=23,5.

приклад 3) 2,7845: 0,001.

Так як поділ на 0,001 рівносильно множенню на 1000 , то перенесемо кому на 3 цифри праворуч:

3) 2,7845:0,001=2784,5.

приклад 4) 26,397: 0,0001.

Розділити десятковий дріб на 0,0001 - це все одно, що помножити її на 10000 (Переносимо кому на 4 цифри праворуч). Отримуємо:

www.mathematics-repetition.com

Множення та розподіл на числа виду 10, 100, 0,1, 0,01

Цей відеоурок доступний за абонементом

У вас є абонемент? Увійти

На даному уроці буде розглянуто, як виконувати множення та розподіл числа видів 10, 100, 0,1, 0,001. Також буде вирішено різні приклади на цю тему.

Розмноження чисел на 10, 100

Вправа.Як помножити число 25,78 на 10?

Десятковий запис цього числа – це скорочений запис суми. Необхідно розписати її докладніше:

Таким чином, потрібно збільшити суму. Для цього можна просто помножити кожен доданок:

Виходить, що.

Можна зробити висновок, що помножити десятковий дріб на 10 дуже просто: потрібно кому зрушити праворуч на одну позицію.

Вправа.Помножити 25486 на 100.

Помножити на 100 – це те саме, що й помножити двічі на 10. Іншими словами, необхідно зрушити кому вправо двічі:

Розподіл чисел на 10, 100

Вправа.Розділити 25,78 на 10.

Як і в попередньому випадку, необхідно подати число 25,78 у вигляді суми:

Оскільки необхідно поділити суму, це еквівалентно поділу кожного доданку:

Виходить, щоб розділити на 10, потрібно кому зрушити вліво на одну позицію. Наприклад:

Вправа.Розділити 124,478 на 100.

Розділити на 100 – це те саме, що двічі розділити на 10, тому кома зсувається вліво на 2 позиції:

Правило множення та поділу на 10, 100, 1000

Якщо десятковий дріб потрібно помножити на 10, 100, 1000 і так далі, потрібно кому зрушити вправо на стільки позицій, скільки нулів у множника.

І навпаки, якщо десятковий дріб потрібно поділити на 10, 100, 1000 і так далі, потрібно кому зрушити вліво на стільки позицій, скільки нулів у множника.

Приклади, коли необхідно зрушити кому, а цифр уже не залишилося

Помножити на 100 означає зрушити кому вправо на дві позиції.

Після зсуву можна виявити, що після коми вже немає цифр, а це означає, що дрібна частина відсутня. Тоді і кома не потрібна, число вийшло ціле.

Зрушувати потрібно на 4 позиції праворуч. Але цифр після коми лише дві. Варто згадати, що для дробу 56,14 є еквівалентний запис.

Тепер помножити на 10 000 нескладно:

Якщо не дуже зрозуміло, чому можна дописати два нулі до дробу в попередньому прикладі, то додаткове відео на посилання зможе допомогти в цьому.

Еквівалентні десяткові записи

Запис 52 означає таке:

Якщо попереду поставити 0 отримаємо запис 052. Ці записи еквівалентні.

Чи можна поставити два нулі попереду? Так, ці записи еквівалентні.

Тепер подивимося на десятковий дріб:

Якщо приписати нуль, то виходить:

Ці записи еквівалентні. Аналогічно можна приписати кілька нулів.

Таким чином, до будь-якого числа можна приписати кілька нулів після дробової частини та кілька нулів перед цілою частиною. Це будуть еквівалентні записи того самого числа.

Оскільки відбувається розподіл на 100, необхідно зрушити кому на 2 позиції вліво. Ліворуч від коми не залишилося цифр. Ціла частина відсутня. Такий запис часто використовують програмісти. А в математиці, якщо цілої частини немає, то ставлять нуль замість неї.

Зрушувати потрібно вліво на три позиції, але позицій лише дві. Якщо перед числом написати кілька нулів, це буде еквівалентна запис.

Тобто при зрушенні вліво, якщо цифри скінчилися, необхідно заповнити їх нулями.

У цьому випадку варто пам'ятати, що кома завжди стоїть після цілої частини. Тоді:

Множення та розподіл на 0,1, 0,01, 0,001

Множення та розподіл на числа 10, 100, 1000 – дуже проста процедура. Так само справа і з числами 0,1, 0,01, 0,001.

приклад. Помножити 25,34 на 0,1.

Виконаємо запис десяткового дробу 0,1 у вигляді звичайного. Але помножити на - те саме, що розділити на 10. Тому необхідно зрушити кому на 1 позицію вліво:

Аналогічно помножити на 0,01 – це розділити на 100:

приклад. 5,235 поділити на 0,1.

Рішення цього прикладу будується аналогічним чином: 0,1 виражається у вигляді звичайного дробу, а ділити на - це все одно, що помножити на 10:

Тобто щоб поділити на 0,1, потрібно кому зрушити праворуч на одну позицію, що рівносильно множенню на 10.

Правило множення та поділу на 0,1, 0,01, 0,001

Помножити на 10 і розділити на 0,1 – це те саме. Кому потрібно зрушити праворуч на 1 позицію.

Розділити на 10 і помножити на 0,1 – це те саме. Кому потрібно зрушити праворуч на 1 позицію:

Рішення прикладів

Висновок

На цьому уроці було вивчено правила розподілу та множення на 10, 100 та 1000. Крім того, були розглянуті правила множення та розподілу на 0,1, 0,01, 0,001.

Приклади на застосування цих правил були розглянуті та вирішені.

Список літератури

1. Віленкін Н.Я. Математика: навч. для 5 кл. загальнообр. учр. 17-те вид. - М.: Мнемозіна, 2005.

2. Шевкін А.В. Текстові завдання з математики: 5–6. - М.: Ілекса, 2011.

3. Єршова А.П., Голобородько В.В. Вся шкільна математика у самостійних та контрольних роботах. Математика 5–6. - М.: Ілекса, 2006.

4. Хлевнюк Н.Н., Іванова М.В.. Формування обчислювальних навичок під час уроків математики. 5-9 класи. - М.: Ілекса, 2011 .

1. Інтернет портал «Фестиваль педагогічних ідей» (Джерело)

2. Інтернет портал «Matematika-na.ru» (Джерело)

3. Інтернет портал «School.xvatit.com» (Джерело)

Домашнє завдання

3. Порівняйте значення виразів:

Дії з нулем

У математиці число нульзаймає особливе місце. Справа в тому, що вона, по суті, означає «ніщо», «порожнечу», проте його значення справді важко переоцінити. Для цього достатньо згадати хоча б те, що саме з нульовий відміткаі починається відлік координат положення точки у будь-якій системі координат.

Нульшироко використовується в десяткових дробах для визначення значень порожніх розрядів, що знаходяться як до, так і після коми. Крім того, саме з ним пов'язане одне з основоположних правил арифметики, що говорить про те, що на нульділити не можна. Його логіка, власне кажучи, походить із самої суті цього числа: дійсно, неможливо уявити, щоб якесь відмінне від нього значення (та й саме воно – теж) було поділено на «ніщо».

З нулемздійснюються всі арифметичні дії, причому як його «партнерів» за ними можуть використовуватися цілі числа, звичайні та десяткові дроби, причому всі вони можуть мати як позитивне, так і негативне значення. Наведемо приклади їх здійснення та деякі пояснення до них.

При додаванні нулядо деякого числа (як цілого, так і до дробового, як до позитивного, так і негативного) його значення залишається абсолютно незмінним.

Двадцять чотири плюс нульдорівнює двадцять чотири.

Сімнадцять цілих три восьмих плюс нульдорівнює сімнадцять цілих три восьмих.

Бланки податкових декларацій Пропонуємо до вашої уваги бланки декларації з усіх видів податків та зборів: 1. Податок на прибуток. Увага з 10.02.2014 звіт з податку на прибуток подається на нові зразки декларацій, затверджених наказом Міндоходів № 872 від 30.12.2013.1. 1. Податкова декларація з податку на […]
Квадрат суми квадрат різниці правила Мета: вивести формули для зведення в квадрат суми та різниці виразів. Заплановані результати: навчитися користуватися формулами квадрата суми та квадрата різниці. Тип уроку: урок проблемного викладу. I. Повідомлення теми та мети уроку II. Робота на тему уроку При перемноженні […]
Чим відрізняється приватизація квартири із неповнолітніми дітьми від приватизації без дітей? Особливості їхньої участі, документи Будь-які операції з нерухомістю вимагають пильної уваги учасників. Особливо, якщо планується приватизація квартири з неповнолітніми дітьми. Щоб вона була визнана такою, що відбулася, а […]
Розмір державного мита на закордонний паспорт старого зразка на дитину до 14 років і де її заплатити Звернення до державних органів за отриманням будь-якої послуги завжди супроводжується оплатою державного мита. Щоб оформити закордонний паспорт, також необхідно сплатити федеральний збір. Скільки становить розмір […]
Як заповнити бланк заяви заміну паспорта в 45 років Паспорти росіян обов'язково підлягають заміні при досягненні вікової позначки – 20 чи 45 років. Для отримання державної послуги слід подати заяву встановленого зразка, додати необхідні документи та сплатити державну […]
Багато громадян стикаються з такою юридичною процедурою, як дарування нерухомості, що знаходиться в частковій власності. Інформації про те, як оформити даровану частку в квартирі правильно, досить багато, і вона не завжди достовірна. Перш ніж починати, […]

Вправа.Як помножити число 25,78 на 10?

Десятковий запис цього числа - це скорочений запис суми. Необхідно розписати її докладніше:

Таким чином, потрібно збільшити суму. Для цього можна просто помножити кожен доданок:

Виходить, що.

Вправа.Помножити 25486 на 100.

Помножити на 100 - це те саме, що і помножити двічі на 10. Іншими словами, необхідно зрушити кому вправо два рази:

Вправа.Розділити 25,78 на 10.

Як і в попередньому випадку, необхідно подати число 25,78 у вигляді суми:

Оскільки необхідно поділити суму, це еквівалентно поділу кожного доданку:

Виходить, щоб розділити на 10, потрібно кому зрушити вліво на одну позицію. Наприклад:

Вправа.Розділити 124,478 на 100.

Розділити на 100 - це те саме, що двічі розділити на 10, тому кома зсувається вліво на 2 позиції:

Приклад 1

Помножити на 100 означає зрушити кому вправо на дві позиції.

Приклад 2

Тепер помножити на 10 000 нескладно:

Еквівалентні десяткові записи

Запис 52 означає таке:

Якщо попереду поставити 0 отримаємо запис 052. Ці записи еквівалентні.

Чи можна поставити два нулі попереду? Так, ці записи еквівалентні.

Тепер подивимося на десятковий дріб:

Якщо приписати нуль, то виходить:

Ці записи еквівалентні. Аналогічно можна приписати кілька нулів.

Приклад 3

Приклад 4

Тобто при зрушенні вліво, якщо цифри скінчилися, необхідно заповнити їх нулями.

Приклад 5

У цьому випадку варто пам'ятати, що кома завжди стоїть після цілої частини. Тоді:

Множення та розподіл на числа 10, 100, 1000 – дуже проста процедура. Так само справа і з числами 0,1, 0,01, 0,001.

приклад. Помножити 25,34 на 0,1.

Аналогічно помножити на 0,01 – це розділити на 100:

приклад. 5,235 поділити на 0,1.

Тобто щоб поділити на 0,1, потрібно кому зрушити праворуч на одну позицію, що рівносильно множенню на 10.

Помножити на 10 і розділити на 0,1 - це те саме. Кому потрібно зрушити праворуч на 1 позицію.

Розділити на 10 і помножити на 0,1 - це те саме. Кому потрібно зрушити праворуч на 1 позицію:

Ділення на нульв математиці - розподіл, у якому дільник дорівнює нулю. Такий поділ може бути формально записаний ⁄ 0 де - це ділене.

У звичайній арифметиці (з речовими числами) цей вираз не має сенсу, оскільки:

при ≠ 0 немає числа, яке при множенні на 0 дає, тому жодне число не може бути прийнято за приватне ⁄ 0 ;
при = 0 розподіл на нуль також не визначено, оскільки будь-яке число при множенні на 0 дає 0 і може бути прийняте за 0 ⁄ 0 .

Історично одне з перших посилань на математичну неможливість присвоєння значення ⁄ 0 міститься в критиці Джорджа Берклі числення нескінченно малих.

Логічні помилки

Оскільки при множенні будь-якого числа на нуль в результаті ми завжди отримуємо нуль, при розподілі обох частин виразу × 0 = × 0, вірного незалежно від значення і, на 0 отримуємо неправильне у разі довільно заданих змінних вираз = . Оскільки нуль може бути заданий не явно, але у вигляді досить складного математичного виразу, наприклад у формі різниці двох значень, що зводяться один до одного шляхом алгебраїчних перетворень, такий поділ може бути неочевидною помилкою. Непомітне внесення такого поділу в процес доказу з метою показати ідентичність свідомо різних величин, тим самим доводячи будь-яке абсурдне твердження, є одним із різновидів математичного софізму.

В інформатиці

У програмуванні, залежно від мови програмування, типу даних і значення поділеного, спроба поділу на нуль може призводити до різних наслідків. Принципово різні наслідки поділу на нуль у цілій та речовій арифметиці:

Спроба цілісногоподілу на нуль завжди є критичною помилкою, що унеможливлює подальше виконання програми. Вона призводить або до генерації виключення (яке програма може обробити сама, уникнувши тим самим аварійної зупинки), або до негайної зупинки програми з видачею повідомлення про помилку і, можливо, вмісту стека викликів. У деяких мовах програмування, наприклад, Go, цілісний поділ на нульову константу вважається синтаксичною помилкою і призводить до аварійного припинення компіляції програми.
У речовоїарифметиці наслідки можуть бути різними в різних мовах:

генерація виключення або зупинка програми, як і при цілісному поділі;
одержання в результаті операції спеціального нечислового значення. Обчислення у своїй не перериваються, які результат згодом може бути інтерпретований самої програмою чи користувачем як осмислене значення чи свідчення некоректності обчислень. Широко використовується принцип, згідно з яким при розподілі виду ⁄ 0 , де ≠ 0 - число з плаваючою комою, результат виявляється дорівнює позитивній або негативній (залежно від знака ділимого) нескінченності - або, а при = 0 в результаті виходить спеціальне значення NaN (скор. від англ.not a number - «не число»). Такий підхід прийнято у стандарті IEEE 754, який підтримується багатьма сучасними мовами програмування.

Випадковий поділ на нуль у комп'ютерній програмі часом стає причиною дорогих чи небезпечних збоїв у роботі керованого програмою устаткування. Наприклад, 21 вересня 1997 року в результаті поділу на нуль в комп'ютеризованій керуючій системі крейсера USS Yorktown (CG-48) Військово-морського флоту США відбулося відключення всього електронного обладнання в системі, внаслідок чого силова установка корабля припинила свою роботу.

Див. також

Примітки

Функція = 1⁄. Коли прагне нуля праворуч, прагне нескінченності; коли прагне нуля зліва, прагне мінус нескінченності

Якщо на звичайному калькуляторі поділити якесь число на нуль, він вам видасть букву Е або слово Error, тобто «помилка».

Калькулятор комп'ютера в аналогічному випадку пише (у Windows XP): "Поділ на нуль заборонено".

Все узгоджується з відомим зі школи правилом, що на нуль не можна ділити.

Розберемося чому.

Поділ - це математична операція, обернена до множення. Розподіл визначається через множення.

Поділити число a(поділене, наприклад 8) на число b(Дільник, наприклад число 2) - значить знайти таке число x(приватне), при множенні якого на дільник bвиходить ділене a(4 · 2 = 8), тобто aрозділити на bзначить розв'язати рівняння x · b = a.

Рівняння a: b = x рівносильне рівнянню x · b = a.

Ми замінюємо розподіл множенням: замість 8: 2 = х пишемо х · 2 = 8.

8: 2 = 4 рівносильно 4 · 2 = 8

18: 3 = 6 рівносильно 6 · 3 = 18

20: 2 = 10 рівносильно 10 · 2 = 20

Результат поділу можна перевірити множенням. Результатом множення дільника на приватне має бути поділене.

Аналогічно спробуємо поділити на нуль.

Наприклад, 6: 0 = … Потрібно знайти таке число, яке при множенні на 0 дасть 6. Але ми знаємо, що при множенні на нуль завжди виходить нуль. Немає числа, яке при множенні на нуль дало б щось інше крім нуля.

Коли кажуть, що на нуль ділити не можна чи заборонено, то мають на увазі, що не існує числа, що відповідає результату такого поділу (ділити на нуль можна, розділити — не можна:)).

Навіщо у школі кажуть, що на нуль ділити не можна?

Тому в визначенніоперації розподілу a на b відразу підкреслюється, що b ≠ 0.

Якщо все вище написане вам здалося надто складним, то зовсім на пальцях: Розділити 8 на 2 означає дізнатися скільки потрібно взяти двійок, щоб вийшло 8 (відповідь: 4). Поділити 18 на 3 означає дізнатися скільки потрібно взяти трійок, щоб отримати 18 (відповідь: 6).

Поділити 6 на нуль означає дізнатися, скільки потрібно взяти нулів, щоб отримати 6. Скільки не бери нулів, все одно вийде нуль, але ніколи не вийде 6, тобто розподіл на нуль не визначено.

Цікавий результат виходить, якщо спробувати поділити на нуль число на калькуляторі андроїда. На екрані з'явиться ∞ (нескінченність) (або ∞, якщо діліть від'ємне число). Даний результат є невірним, тому що немає числа ∞. Очевидно, програмісти сплутали зовсім різні операції - розподіл чисел і знаходження межі числової послідовності n/x, де x → 0. При розподілі ж нуля на нуль буде написано NaN (Not a Number - Не число).

«Ділити на нуль не можна!» — більшість школярів заучує це правило напам'ять, не питаючи. Всі діти знають, що таке "не можна" і що буде, якщо у відповідь на нього запитати: "Чому?" А насправді ж дуже цікаво і важливо знати, чому ж не можна.

Вся річ у тому, що чотири дії арифметики — додавання, віднімання, множення та розподіл — насправді нерівноправні. Математики визнають повноцінними лише два з них — додавання та множення. Ці операції та його властивості входять у саме визначення поняття числа. Всі інші дії будуються тим чи іншим чином із цих двох.

Розглянемо, наприклад, віднімання. Що означає 5 - 3 ? Школяр відповість на це просто: треба взяти п'ять предметів, відібрати (прибрати) три з них і подивитися, скільки залишиться. Але математики дивляться на це завдання зовсім по-іншому. Немає жодного віднімання, є тільки додавання. Тому запис 5 - 3 означає таке число, яке при складанні з числом 3 дасть число 5 . Тобто 5 - 3 - Це просто скорочений запис рівняння: x + 3 = 5. У цьому рівнянні немає жодного віднімання.

Ділення на нуль

Є лише завдання — знайти потрібне число.

Так само справа з множенням і поділом. Запис 8: 4 можна розуміти як результат поділу восьми предметів за чотирма рівними купками. Але насправді це просто скорочена форма запису рівняння 4 · x = 8.

Ось тут і стає ясно, чому не можна (а точніше неможливо) ділити на нуль. Запис 5: 0 - Це скорочення від 0 · x = 5. Тобто це завдання знайти таке число, яке при множенні на 0 дасть 5 . Але ми знаємо, що при множенні на 0 завжди виходить 0 . Це невід'ємна властивість нуля, строго кажучи, частина його визначення.

Такого числа, яке при множенні на 0 дасть щось, крім нуля, просто не існує. Тобто, наше завдання не має рішення. (Так, таке буває, не у всякого завдання є рішення.) А отже, записи 5: 0 не відповідає жодного конкретного числа, і вона просто нічого не означає і тому не має сенсу. Безглуздість цього запису коротко висловлюють, говорячи, що на нуль ділити не можна.

Найуважніші читачі тут неодмінно запитають: а чи можна нуль ділити на нуль?

Справді, адже рівняння 0 · x = 0благополучно вирішується. Наприклад, можна взяти x = 0, і тоді отримуємо 0 · 0 = 0. Виходить, 0: 0=0 ? Але не поспішатимемо. Спробуємо взяти x = 1. Отримаємо 0 · 1 = 0. Правильно? Значить, 0: 0 = 1 ? Але так можна взяти будь-яке число і отримати 0: 0 = 5 , 0: 0 = 317 і т.д.

Але якщо підходить будь-яке число, то у нас немає жодних підстав зупинити свій вибір на якомусь одному з них. Тобто ми не можемо сказати, якій кількості відповідає запис 0: 0 . А якщо так, то ми змушені визнати, що цей запис теж не має сенсу. Виходить, що на нуль не можна ділити навіть нуль. (У математичному аналізі бувають випадки, коли завдяки додатковим умовам завдання можна віддати перевагу одному з можливих варіантів розв'язування рівняння 0 · x = 0; у таких випадках математики говорять про «розкриття невизначеності», але в арифметиці таких випадків не зустрічається.)

Ось така особливість має операція поділу. А точніше — операція множення і пов'язаного з нею числа нуль.

Ну, а найприскіпливіші, дочитавши до цього місця, можуть запитати: чому так виходить, що ділити на нуль не можна, а вичитати нуль можна? У певному сенсі саме з цього питання і починається справжня математика. Відповісти на нього можна лише познайомившись із формальними математичними визначеннями числових множин та операцій над ними. Це не так уже й складно, але чомусь не вивчається в школі. Натомість на лекціях з математики в університеті вас насамперед навчатимуть саме цьому.

Функція «поділ» не визначена області значень, у якій дільник дорівнює нулю. Ділити можна, але результат не визначений

Ділити на нуль не можна. Математика 2 класу середньої школи.

Якщо мені не змінює пам'ять, то нуль можна уявити як нескінченно малу величину, тож нескінченність буде. А шкільне «нуль - нічого» - це просто спрощення, їх таких у шкільній математиці (ууууууу скільки). Але без них ніяк, все свого часу.

Увійдіть, щоб написати відповідь

Ділення на нуль

Приватне від поділу на нульбудь-якого числа, відмінного від нуля, немає.

Міркування тут такі: оскільки в цьому випадку жодна кількість не може задовольнити визначення приватного.

Напишемо, наприклад,

хоч би яке число взяти на пробу (скажімо, 2, 3, 7), воно не годиться тому що:

\[2 · 0 = 0 \]

\[3 · 0 = 0 \]

\[7 · 0 = 0 \]

Що буде, якщо поділити на 0?

д., а потрібно отримати у творі 2,3,7.

Можна сміливо сказати, що завдання розподілі на нуль числа, відмінного від нуля, немає решения. Однак число, відмінне від нуля, можна розділити на число, як завгодно близьке до нуля, і чим ближче дільник до нуля, тим більше буде приватне. Так, якщо ділитимемо 7 на

\[ \frac(1)(10), \frac(1)(100), \frac(1)(1000), \frac(1)(10000) \]

то отримаємо приватні 70, 700, 7000, 70 000 і т. д., які необмежено зростають.

Тому часто кажуть, що приватне від поділу 7 на 0 «нескінченно велике», або «рівно нескінченності», і пишуть

\[ 7: 0 = \infin \]

Сенс цього висловлювання у тому, що й дільник наближається до нуля, а ділене залишається рівним 7 (чи наближається до 7), то приватне необмежено збільшується.

Приклади обчислення

ДОДАТОК

Приклад 1

Двадцять чотири плюс нульдорівнює двадцять чотири.

Приклад 2

Сімнадцять цілих три восьмих плюс нульдорівнює сімнадцять цілих три восьмих.

УМНОЖЕННЯ

При множенні будь-якого числа (цілого, дробового, позитивного чи негативного) на нульвиходить нуль.

Приклад 1

П'ятсот вісімдесят шість помножити на нульдорівнює нуль.

Приклад 2

Нульпомножити на сто тридцять п'ять цілих шість сьомих дорівнює нуль.

Приклад 3

Нульпомножити на нульдорівнює нуль.

ДІЛЕННЯ

Правила розподілу чисел один на одного в тих випадках, коли одне з них являє собою нуль, різняться залежно від того, в якій ролі виступає сам нуль: ділимого або дільника?

У тих випадках, коли нульє ділимое, результат завжди дорівнює йому, причому незалежно від значення дільника.

Приклад 1

Нульрозділити на двісті шістдесят п'ять дорівнює нуль.

Приклад 2

Нульрозділити на сімнадцять п'ятсот дев'яносто шостих дорівнює нуль.

= 0

Ділити нуль на нульзгідно з правилами математики не можна. Це означає, що при здійсненні такої процедури приватне є невизначеним. Таким чином, теоретично воно може бути абсолютно будь-яким числом.

0: 0 = 8, бо 8 × 0 = 0

У математиці таке завдання, як розподіл нуля на нуль, немає сенсу, оскільки її результат є нескінченне безліч. Це твердження, однак, справедливе у тому випадку, якщо не вказано жодних додаткових даних, які можуть вплинути на підсумковий результат.

Такі, за їх наявності, повинні полягати в тому, щоб вказувати на ступінь зміни величини як діленого, так і дільника, причому ще до того моменту, коли вони перетворилися на нуль. Якщо це визначено, то такому виразу, як нульрозділити на нуль, у переважній більшості випадків можна надати якогось сенсу.