Обсяг призми обчислюється за такою формулою. Об'єм правильної трикутної призми

ПРЯМА ПРИЗМА. ПОВЕРХНЯ І ОБСЯГ ПРЯМИЙ ПРИЗМИ.

§ 68. ОБСЯГ ПРЯМОГО ПРИЗМУ.

Нехай потрібно знайти об'єм прямої трикутної призми, площа основи якої дорівнює S, а висота дорівнює h= АА "= = ВВ" = СС" (чорт. 306).

Накреслимо окремо підставу призми, тобто трикутник АВС (чорт. 307 а), і добудуємо його до прямокутника, для чого через вершину В проведемо пряму КМ || АС та з точок A та С опустимо на цю пряму перпендикуляри АF та РЄ. Отримаємо прямокутник АСЕF. Провівши висоту ВD трикутника АВС, побачимо, що прямокутник АСЕF розбився на 4 прямокутний трикутник. Причому /\ ВСІ = /\ BCD та /\ ВАF = /\ ВАD. Значить, площа прямокутника АСЕF вдвічі більше площітрикутника АВС, тобто дорівнює 2S.

До цієї призми з основою АВС прибудуємо призми з основами ВСЕ і ВАF і висотою h(чорт. 307, б). Отримаємо прямокутний паралелепіпед з основою
АСЕF.

Якщо цей паралелепіпед розсічемо площиною, що проходить через прямі BD і ВВ", то побачимо, що прямокутний паралелепіпед складається з 4 призм з основами
ВСD, ВСІ, BАD та ВАF.

Призми з основами ВСD і ВСІ можуть бути поєднані, оскільки основи їх рівні ( /\ ВСD = /\ BСЕ) і також рівні їх бічні ребра, що є перпендикулярами до однієї площини. Отже, обсяги цих призм є рівними. Також рівні обсяги призм із підставами BAD і BAF.

Таким чином, виявляється, що обсяг цієї трикутної призми з основою
АВС вдвічі менше обсягу прямокутного паралелепіпедаз основою АСЕF.

Нам відомо, що обсяг прямокутного паралелепіпеда дорівнює творуплощі його основи на висоту, тобто в даному випадкудорівнює 2S h. Звідси обсяг цієї прямої трикутної призми дорівнює S h.

Обсяг прямої трикутної призми дорівнює добутку площі її основи на висоту.

2. Обсяг прямої багатокутної призми.

Щоб знайти об'єм прямої багатокутної призми, наприклад п'ятикутної, з площею основи S та висотою h, Розіб'ємо її на трикутні призми (чорт. 308).

Позначивши площі підстави трикутних призм через S 1 , S 2 і S 3 а обсяг даної багатокутної призми через V, отримаємо:

V = S 1 h+ S 2 h+ S 3 h, або
V = (S 1 + S 2 + S 3) h.

І остаточно: V = S h.

Таким же шляхом виводиться формула обсягу прямої призми, що має в основі будь-який багатокутник.

Значить, Обсяг будь-якої прямої призми дорівнює добутку площі її підстави на висоту.

Вправи.

1. Обчислити обсяг прямої призми, що має на підставі паралелограм, за такими даними:

2. Обчислити обсяг прямої призми, що має в основі трикутник, за такими даними:

3. Обчислити обсяг прямої призми, що має в основі рівносторонній трикутникзі стороною 12 см (32 см, 40 см). Висота призми 60 див.

4. Обчислити обсяг прямої призми, що має в основі прямокутний трикутник з катетами в 12 см і 8 см (16 см і 7 см; 9 м і 6 м). Висота призми 0,3м.

5. Обчислити обсяг прямої призми, що має в основі трапецію з паралельними сторонамив 18 см і 14 см і заввишки 7,5 см. Висота призми 40 см.

6. Обчислити об'єм вашої класної кімнати (фізкультурної зали, своєї кімнати).

7. Повна поверхня куба дорівнює 150 см 2 (294 см 2, 864 см 2). Обчислити об'єм цього куба.

8. Довжина будівельної цегли - 25,0 см, ширина її - 12,0 см товщина - 6,5 см. а) Обчислити її об'єм, б) Визначити її вагу, якщо 1 кубічний сантиметрцеглини важить 1,6 г.

9. Скільки штук будівельної цегли потрібно для будівництва суцільної цегляної стіни, Що має форму прямокутного паралелепіпеда довжиною в 12 м, шириною в 0,6 м і висотою в 10м? (Розміри цегли із вправи 8.)

10. Довжина чисто обрізаної дошки дорівнює 4,5 м, ширина – 35 см товщина – 6 см. а) Обчислити об'єм б) Визначити її вагу, якщо кубічний дециметр дошки важить 0,6 кг.

11. Скільки тонн сіна можна вкласти в сінок, покритий двосхилим дахом (рис. 309), якщо довжина сінону дорівнює 12 м, ширина - 8 м, висота - 3,5 м і висота ковзана даху дорівнює 1,5 м? ( Питома вагасіна прийняти за 0,2.)

12. Потрібно викопати канаву завдовжки 0,8 км; у розрізі канава повинна мати форму трапеції з основами в 0,9 м та 0,4 м, і глибина канави повинна дорівнювати 0,5 м (чорт. 310). Скільки кубометрів землі доведеться при цьому вийняти?

У фізиці трикутна призма, зроблена зі скла, часто використовується для вивчення спектру білого світлаоскільки вона здатна розкладати його на окремі складові. У цій статті розглянемо формулу обсягу

Що таке трикутна призма?

Перед тим, як наводити формулу об'єму, розглянемо властивості цієї фігури.

Щоб отримати цей, необхідно взяти трикутник довільної форми і паралельно самому собі перенести його на деяку відстань. Вершини трикутника у початковому та кінцевому положенні слід з'єднати прямими відрізками. Отримана об'ємна фігура називається трикутною призмою. Вона складається із п'яти сторін. Дві з них називаються основами: вони паралельні та рівні один одному. Підставами аналізованої призми є трикутники. Три сторони, що залишилися, - це паралелограми.

Крім сторін, призма, що розглядається, характеризується шістьма вершинами (по три для кожної основи) і дев'ятьма ребрами (6 ребер лежать у площинах основ і 3 ребра утворені перетином бічних сторін). Якщо бічні ребра перпендикулярні до основ, то така призма називається прямокутною.

Відмінність трикутної призми від решти фігур цього класу полягає в тому, що вона завжди є опуклою (чотирьох-, п'яти-, ..., n-вугільні призми можуть також бути увігнутими).

Це прямокутна фігура, В основі якої лежить рівносторонній трикутник.

Об'єм трикутної призми загального типу

Як знайти обсяг трикутної призми? Формула в загальному виглядіаналогічна такою для призми будь-якого виду. Вона має такий математичний запис:

Тут h – це висота фігури, тобто відстань між її основами, S o – площа трикутника.

Величину S o можна знайти, якщо відомі деякі параметри для трикутника, наприклад, одна його сторона і два кути або дві сторони і один кут. Площа трикутника дорівнює половині добутку його висоти на довжину сторони, яку опущена ця висота.

Що стосується висоти h фігури, то її найпростіше знайти для прямокутної призми. У останньому випадку h збігається із довжиною бічного ребра.

Об'єм правильної трикутної призми

Загальну формулуобсягу трикутної призми, яка наведена у попередньому розділі статті, можна використовувати для обчислення відповідної величини для правильної трикутної призми. Оскільки у її основі лежить рівносторонній трикутник, його площа дорівнює:

Цю формулу може отримати кожен, якщо згадає, що в рівносторонньому трикутнику всі кути дорівнюють один одному і становлять 60 o . Тут символ a – це довжина сторони трикутника.

Висота h є довжиною ребра. Вона ніяк не пов'язана з підставою правильної призми і може набувати довільних значень. У результаті формула обсягу трикутної призми правильного виглядувиглядає так:

Обчисливши корінь, можна переписати цю формулу так:

Таким чином, щоб знайти об'єм правильної призми з трикутною основою, необхідно звести у квадрат бік основи, помножити цю величину на висоту та отримане значення помножити на 0,433.

У шкільній програміза курсом стереометрії об'ємних фігурзазвичай починається з простого геометричного тіла – багатогранника призми. Роль її основ виконують 2 рівні багатокутники, що лежать в паралельних площинах. Окремим випадком є правильна чотирикутна призма. Її основами є 2 однакові правильні чотирикутники, до яких перпендикулярні бічні сторони, що мають форму паралелограмів (або прямокутників, якщо призма не похила).

Як виглядає призма

Правильною чотирикутною призмою називається шестигранник, в підставах якого знаходяться 2 квадрати, а бічні граніпредставлені прямокутниками. Інша назва для цієї геометричної фігури- Прямий паралелепіпед.

Малюнок, на якому зображено чотирикутну призму, показано нижче.

На зображенні також можна побачити найважливіші елементи, з яких складається геометричне тіло . До них прийнято відносити:

Іноді у завданнях з геометрії можна зустріти поняття перерізу. Визначення звучатиме так: перетин - це всі точки об'ємного тіла, що належать площині, що сить. Перетин буває перпендикулярним (перетинає ребра фігури під кутом 90 градусів). Для прямокутної призми також розглядається діагональний переріз ( максимальна кількістьперерізів, яких можна побудувати - 2), що проходить через 2 ребра та діагоналі основи.

Якщо перетин намальовано так, що січна площина не паралельна ні основам, ні бічним граням, в результаті виходить зрізана призма.

Для знаходження наведених призматичних елементів використовуються різні відносини та формули. Частина їх відома з курсу планіметрії (наприклад, знаходження площі підстави призми досить згадати формулу площі квадрата).

Площа поверхні та обсяг

Щоб визначити обсяг призми за формулою, необхідно знати площу її основи та висоту:

V = Sосн · h

Оскільки основою правильної чотиригранної призми є квадрат зі стороною a,можна записати формулу у більш докладному вигляді:

V = a²·h

Якщо йдеться про куб - правильну призму з рівною довжиною, Завширшки і висотою, об'єм обчислюється так:

Щоб зрозуміти, як знайти площу бічної поверхні призми, необхідно уявити її розгортку.

З креслення видно, що бічна поверхняскладена із 4 рівних прямокутників. Її площа обчислюється як добуток периметра основи на висоту фігури:

Sбік = Pосн · h

З урахуванням того, що периметр квадрата дорівнює P = 4a,формула набуває вигляду:

Sбік = 4a·h

Для куба:

Sбік = 4a²

Для обчислення площі повної поверхні призми потрібно до бічної площі додати 2 площі підстав:

Sповн = Sбік + 2Sосн

Стосовно чотирикутної правильної призми формула має вигляд:

Sповн = 4a·h + 2a²

Для площі поверхні куба:

Sповн = 6a²

Знаючи обсяг чи площу поверхні, можна обчислити окремі елементи геометричного тіла.

Знаходження елементів призми

Часто зустрічаються завдання, в яких дано обсяг або відома величина бічної площі поверхні, де необхідно визначити довжину сторони основи або висоту. У таких випадках формули можна вивести:

довжина сторони основи: a = Sбік / 4h = √(V / h);
довжина висоти або бічного ребра: h = Sбік / 4a = V / a²;
площа основи: Sосн = V/h;
площа бічної грані: Sбік. гр = Sбік / 4.

Щоб визначити, яку площу має діагональний переріз, необхідно знати довжину діагоналі та висоту фігури. Для квадрата d = a√2.З цього випливає:

Sдіаг = ah√2

Для обчислення діагоналі призми використовується формула:

dприз = √(2a² + h²)

Щоб зрозуміти, як застосовувати наведені співвідношення, можна попрактикуватися і вирішити кілька нескладних завдань.

Приклади завдань із рішеннями

Ось кілька завдань, що зустрічаються у державних підсумкових іспитах з математики.

Завдання 1.

У коробку, що має форму правильної чотирикутної призми, насипаний пісок. Висота його рівня становить 10 см. Яким стане рівень піску, якщо перемістити його в ємність такої ж форми, але з довжиною основи вдвічі більше?

Слід міркувати так. Кількість піску в першій та другій ємності не змінювалося, тобто його обсяг у них збігається. Можна позначити довжину основи за a. У такому разі для першої коробки обсяг речовини становитиме:

V₁ = ha² = 10a²

Для другої коробки довжина основи становить 2a, але невідома висота рівня піску:

V₂ = h (2a)² = 4ha²

Оскільки V₁ = V₂, Можна прирівняти вирази:

10a² = 4ha²

Після скорочення обох частин рівняння на a² виходить:

В результаті новий рівеньпіску складе h = 10/4 = 2,5див.

Завдання 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ — правильна призма. Відомо, що BD = AB₁ = 6√2. Знайти площу повної поверхні тіла.

Щоб було простіше зрозуміти, які елементи відомі, можна зобразити фігуру.

Оскільки йдеться про правильну призму, можна дійти невтішного висновку, що у підставі знаходиться квадрат із діагоналлю 6√2. Діагональ бічної грані має таку ж величину, отже, бічна грань теж має форму квадрата, що дорівнює підставі. Виходить, що всі три виміри – довжина, ширина та висота – рівні. Можна зробити висновок, що ABCDA₁B₁C₁D₁ є кубом.

Довжина будь-якого ребра визначається через відому діагональ:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Площа повної поверхні знаходиться за формулою для куба:

Sповн = 6a² = 6 · 6² = 216

Завдання 3.

У кімнаті виконується ремонт. Відомо, що її підлога має форму квадрата із площею 9 м². Висота приміщення становить 2,5 м. Яка найменша вартість обклеювання кімнати шпалерами, якщо 1 м² коштує 50 рублів?

Оскільки підлога і стеля є квадратами, тобто правильними чотирикутниками, і стіни її перпендикулярні до горизонтальних поверхонь, можна зробити висновок, що вона є правильною призмою. Необхідно визначити площу її бічної поверхні.

Довжина кімнати складає a = √9 = 3м.

Шпалери буде обклеєна площа Sбок = 4 · 3 · 2,5 = 30 м ².

Найнижча вартість шпалер для цієї кімнати складе 50 · 30 = 1500карбованців.

Таким чином, для вирішення завдань на прямокутну призмудостатньо вміти обчислювати площу та периметр квадрата та прямокутника, а також володіти формулами для знаходження об'єму та площі поверхні.

Як знайти площу куба

Різні призми не схожі один на одного. У той же час вони мають багато спільного. Щоб знайти площу підстави призми, потрібно розібратися в тому, який вигляд має.

Загальна теорія

Призмою є будь-який багатогранник, бічні сторони якого мають вигляд паралелограма. При цьому в її підставі може бути будь-який багатогранник - від трикутника до n-кутника. Причому підстави призми завжди дорівнюють один одному. Що не стосується бічних граней - вони можуть істотно відрізнятися за розмірами.

При вирішенні завдань зустрічається не тільки площа підстави призми. Може знадобитися знання бічної поверхні, тобто всіх граней, які не є підставами. Повною поверхнеювже буде об'єднання всіх граней, що становлять призму.

Іноді у завданнях фігурує висота. Вона є перпендикуляром до основ. Діагоналлю багатогранника є відрізок, який попарно з'єднує дві будь-які вершини, що не належать одній грані.

Слід зазначити, що площа основи прямої призми або похилої не залежить від кута між ними та бічними гранями. Якщо у них однакові фігуриу верхній та нижній гранях, то їх площі будуть рівними.

Трикутна призма

Вона має в основі фігуру, що має три вершини, тобто трикутник. Він, як відомо, буває різним. Якщо досить згадати, що його площа визначається половиною твору катетів.

Математичний запис виглядає так: S = ½ ав.

Щоб дізнатися площу основи у загальному вигляді, стануть у нагоді формули: Герона і та, в якій береться половина сторони на висоту, проведену до неї.

Перша формула має бути записана так: S = √(р(р-а)(р-в)(р-с)). У цьому записі є напівпериметр (р), тобто сума трьох сторін, розділена на дві.

Друга: S = ½ н а * а.

Якщо потрібно дізнатися площу основи трикутної призми, яка є правильною, трикутник виявляється рівностороннім. Для нього існує своя формула: S = ¼ а 2 * √3.

Чотирикутна призма

Її основою є будь-який із відомих чотирикутників. Це може бути прямокутник або квадрат, паралелепіпед або ромб. У кожному разі для того, щоб обчислити площу підстави призми, буде потрібна своя формула.

Якщо основа — прямокутник, його площа визначається так: S = ав, де а, в — сторони прямокутника.

Коли мова йдепро чотирикутну призму, площа підстави правильної призми обчислюється за формулою для квадрата. Тому що саме він виявляється лежачим у основі. S = а2.

У разі коли основа — це паралелепіпед, знадобиться така рівність: S = а * н а. Буває таке, що дано сторону паралелепіпеда та один із кутів. Тоді для обчислення висоти потрібно скористатися додатковою формулою: н а = в * sin А. Причому кут А прилягає до сторони "в", а висота н а протилежна до цього куту.

Якщо підставі призми лежить ромб, то визначення його площі буде необхідна та сама формула, що у паралелограма (оскільки є його окремим випадком). Але можна скористатися і такою: S = ½ d 1 d 2 . Тут d 1 і d 2 – дві діагоналі ромба.

Правильна п'ятикутна призма

Цей випадок передбачає розбиття багатокутника на трикутники, площі яких простіше дізнатися. Хоча буває, що фігури можуть бути з іншою кількістю вершин.

Оскільки основа призми — правильний п'ятикутник, він може бути розділений п'ять рівносторонніх трикутників. Тоді площа підстави призми дорівнює площі одного такого трикутника (формулу можна переглянути вище), помноженою на п'ять.

Правильна шестикутна призма

За принципом, описаним для п'ятикутної призми, вдається розбити шестикутник основи на 6 рівносторонніх трикутників. Формула площі підстави такої призми подібна до попередньої. Тільки у ній слід множити на шість.

Виглядатиме формула таким чином: S = 3/2 а 2 * √3.

Завдання

№ 1. Дана правильна пряма Її діагональ дорівнює 22 см, висота багатогранника - 14 см. Обчислити площу основи призми та всієї поверхні.

Рішення.Підставою призми є квадрат, але його сторона не відома. Знайти її значення можна з діагоналі квадрата (х), яка пов'язана з діагоналлю призми (d) та її висотою (н). х 2 = d 2 - н 2. З іншого боку, цей відрізок «х» є гіпотенузою в трикутнику, катети якого дорівнюють стороні квадрата. Тобто х2 = а2+а2. Отже виходить, що а 2 = (d 2 - н 2)/2.

Підставити замість d число 22, а "н" замінити його значенням - 14, то виходить, що сторона квадрата дорівнює 12 см. Тепер просто дізнатися площу основи: 12 * 12 = 144 см 2 .

Щоб дізнатися площу всієї поверхні, потрібно скласти подвоєне значення площі основи та чотиристоронню бічну. Останню легко знайти за формулою для прямокутника: перемножити висоту багатогранника та бік основи. Тобто 14 і 12, це число дорівнюватиме 168 см 2 . Загальна площа поверхні призми виявляється 960 см2.

Відповідь.Площа основи призми дорівнює 144 см 2 . Всієї поверхні - 960 см 2 .

№ 2. Дана В основі лежить трикутник зі стороною 6 см. При цьому діагональ бічної грані становить 10 см. Обчислити площі: основи та бічній поверхні.

Рішення.Оскільки призма правильна, її основою є рівносторонній трикутник. Тому його площа виявляється дорівнює 6 квадраті, помноженому на ¼ і на корінь квадратний з 3. Просте обчислення призводить до результату: 9√3 см 2 . Це площа однієї підстави призми.

Усі бічні грані однакові і є прямокутниками зі сторонами 6 і 10 см. Щоб обчислити їх площі, достатньо перемножити ці числа. Потім помножити їх на три, бо бічних граней призми саме стільки. Тоді площа бічної поверхні виявляється раною 180 см 2 .

Відповідь.Площа: підстави - 9√3 см 2 , бічної поверхні призми - 180 см 2 .

Нехай потрібно знайти об'єм прямої трикутної призми, площа основи якої дорівнює S, а висота дорівнює h= AA' = BB' = CC' (рис. 306).

Накреслимо окремо підставу призми, тобто трикутник АВС (рис. 307 а), і добудуємо його до прямокутника, для чого через вершину В проведемо пряму КМ || АС та з точок A та С опустимо на цю пряму перпендикуляри АF та РЄ. Отримаємо прямокутник АСЕF. Провівши висоту ВD трикутника АВС, побачимо, що прямокутник АСЕF розбився на 4 прямокутні трикутники. Причому $\Delta$ВСЕ = $\Delta$BCD і $\Delta$BAF = $\Delta$BAD. Значить, площа прямокутника АСЕF вдвічі більша за площу трикутника АВС, тобто дорівнює 2S.

До цієї призми з основою АВС прибудуємо призми з основами ВСЕ і ВАF і висотою h(Рис. 307, б). Отримаємо прямокутний паралелепіпед з основою АСЕF.

Якщо цей паралелепіпед розсічемо площиною, що проходить через прямі BD і BB', то побачимо, що прямокутний паралелепіпед складається з 4 призм з основами BCD, ВСІ, BAD і BAF.

Призми з основами BCD і ВСІ можуть бути поєднані, так як основи їх рівні ($\Delta$BCD = $\Delta$BСЕ) і також рівні їх бічні ребра, що є перпендикулярами до однієї площини. Отже, обсяги цих призм є рівними. Також рівні обсяги призм із підставами BAD і BAF.

Таким чином, виявляється, що обсяг даної трикутної призми з основою АВС вдвічі менше обсягу прямокутного паралелепіпеда з основою АСЕF.

Нам відомо, що обсяг прямокутного паралелепіпеда дорівнює добутку площі його основи на висоту, тобто в даному випадку дорівнює 2S h. Звідси обсяг цієї прямої трикутної призми дорівнює S h.

Обсяг прямої трикутної призми дорівнює добутку площі її основи на висоту.

2. Обсяг прямої багатокутної призми.

Щоб знайти об'єм прямої багатокутної призми, наприклад п'ятикутної, з площею основи Sі висотою h, Розіб'ємо її на трикутні призми (рис. 308).

V = S 1 h+ S 2 h+ S 3 h, або

V = (S 1 + S 2 + S 3) h.

І остаточно: V = S h.

Таким же шляхом виводиться формула обсягу прямої призми, що має в основі будь-який багатокутник.

Значить, Обсяг будь-якої прямої призми дорівнює добутку площі її підстави на висоту.

Обсяг призми

Теорема. Обсяг призми дорівнює добутку площі основи висоту.

Спочатку доведемо цю теорему для трикутної призми, та був і багатокутної.

1) Проведемо (чорт. 95) через ребро AA 1 трикутної призми АВСА 1 В 1 С 1 площину, паралельну грані ВР 1 С 1 С, а через ребро СС 1 - площину, паралельну грані AA 1 B 1 B; потім продовжимо площини обох підстав призми до перетину з проведеними площинами.

Тоді ми отримаємо паралелепіпед BD 1 , який діагональною площиною АА 1 С 1 С ділиться на дві трикутні призми (з них одна є дана). Доведемо, що ці призми є рівновеликими. Для цього проведемо перпендикулярний переріз abcd. У перетині вийде паралелограм, який діагоналлю асділиться на два рівних трикутника. Ця призма рівновелика такій прямій призмі, яка має основу $\Delta$ аbcа висота - ребро АА 1 . Інша трикутна призма рівновелика такої прямої, у якої основа є (Delta) аdса висота - ребро АА 1 . Але дві прямі призми з рівними підставамиі рівними висотами рівні (бо при вкладенні вони поєднуються), значить, призми АВСА 1 В 1 С 1 і ADCA 1 D 1 C 1 рівновеликі. З цього випливає, що обсяг цієї призми становить половину обсягу паралелепіпеда BD 1 ; тому, позначивши висоту призми через H, отримаємо:

$$ V_(\Delta ін.) = \frac(S_(ABCD)\cdot H)(2) = \frac(S_(ABCD))(2)\cdot H = S_(ABC)\cdot H $$

2) Проведемо через ребро АА 1 багатокутної призми (рис. 96) діагональні площини АА 1 З 1 З і AA 1 D 1 D.

Тоді ця призма розрахується на кілька трикутних призм. Сума обсягів цих призм складає об'єм, що шукається. Якщо позначимо площі їх підстав через b 1 , b 2 , b 3 а загальну висоту через Н, то отримаємо:

обсяг багатокутної призми = b 1 H + b 2 H + b 3 H = ( b 1 + b 2 + b 3) H =

= (площі ABCDE) H.

Слідство. Якщо V, В і Н будуть числа, що виражають у відповідних одиницях об'єм, площу основи та висоту призми, то, за доведеним, можна написати:

Інші матеріали