Визначення середньої гармонійної. Середня арифметична та середня гармонійна величини

Середня гармонійна - використовується, коли статистична інформаціяне містить даних про ваги за окремими варіантами сукупності, але відомі твори значень варіює ознаки на відповідні їм ваги.

Загальна формула середньої гармонійної зваженої має такий вигляд:

х - величина варіює ознаки,

w – добуток значення варіюючої ознаки з його ваги (xf)

У разі, якщо загальні обсяги явищ, тобто. Добутки значень ознак на їх ваги рівні, то застосовується середня гармонійна проста:

х – окремі значення ознаки (варіанти),

n – загальна кількість варіантів.

Середню гармонійну застосовують для розрахунків тоді, коли як ваги використовуються не одиниці сукупності – носії ознаки, а твори цих одиниць на значення ознаки (тобто m = Xf). До середньої гармонійної простий слід вдаватися у випадках визначення, наприклад, середніх витрат праці, часу, матеріалів на одиницю продукції, на одну деталь по двох (трьох, чотирьох і т.д.) підприємствам, робітникам, зайнятим виготовленням одного й того ж виду продукції , однієї і тієї ж деталі вироби.

Середня геометрична та середня хронологічна.

Середня геометрична

Якщо є n коефіцієнтів зростання, то формула середнього коефіцієнта:

Це формула середньої геометричної.

Середня геометрична дорівнює кореню ступеня n із добутку коефіцієнтів зростання, що характеризують відношення величини кожного наступного періоду до величини попереднього.

Середня хронологічна - середня, розрахована із значень, що змінюються у часі. Використовується до розрахунку середнього рівня моментного ряду. У тому випадку, якщо наявні дані відносяться до фіксованих моментів часу c рівними інтервалами, то використовується така формула:

Х - значення рівнів ряду,

n – кількість наявних показників.

Середній рівень моментних рядів динаміки з нерівновіддаленими датами визначається за формулою середньої зваженої хронологічної:

Де рівні рядів динаміки

- Тривалість інтервалу часу між рівнями

Середня квадратична. Взаємозв'язок статечних середніх величин.

Якщо середовищу підлягають величини, виражені у вигляді квадратних функцій, застосовується середня квадратична. Наприклад, за допомогою середньої квадратичної можна визначити діаметри труб, коліс тощо.

Середня квадратична проста визначається шляхом вилучення квадратного кореняіз приватного від поділу суми квадратів окремих значеньознаки з їхньої число.

Середня квадратична зважена дорівнює:

Концепція моди. Розрахунок моди для дискретного та інтервального рядів розподілу.

Для характеристики структури статистичної сукупності застосовують показники, які називають структурними середніми. До них відносяться мода та медіана.

Мода (Мо) - найчастіше зустрічається варіант. Модою називається значення ознаки, що відповідає максимальній точці теоретичної кривої розподілів.

Мода представляє найбільш поширене або типове значення.

Мода застосовується в комерційній практиці для вивчення купівельного попиту та реєстрації цін.

У дискретному рядумода – це варіанти з найбільшою частотою. В інтервальному варіаційному ряді модою вважають центральний варіант інтервалу, який має найбільшу частоту (зокрема).

У межах інтервалу треба знайти значення ознаки, яке є модою.

де хо – нижня межа модального інтервалу;

h – величина модального інтервалу;

fm – частота модального інтервалу;

fт-1 – частота інтервалу, що передує модальному;

fm+1 – частота інтервалу, наступного за модальним.

Мода залежить від величини груп, від точного становища меж груп.

Мода – число, яке насправді зустрічається найчастіше (є величиною визначено
нной), у практиці має найширше застосування (найчастіше зустрічається тип покупця).

Середня гармонійна- Це величина, зворотна середньої арифметичної, тобто. складається з обернених значеньознаки.

Приклад 5.Розрахунок середнього відсотка виконання плану. Є такі дані:

У прикладі як варіює ознаки виступають показники ступеня виконання плану (варіанти), а план приймає за ваги (частоти). При цьому середня виходить як середня арифметична зважена:

Якщо при визначенні середнього ступенявиконання плану за ваги приймати не завдання, а фактичне його виконання, тобто середня арифметична даному випадкудасть неправильний результат:

Правильний результат при зважуванні за фактичним виконанням завдання дасть середня гармонійна зважена:

де w- Ваги середньої гармонійної зваженої.

Умови застосування середньої гармонійної

Середню гармонійну використовують, як ваги застосовуються не одиниці сукупності (носії ознаки), а твори цих одиниць на значення ознаки, т.е. .

З цього правила випливає, що середня гармонійна в статистиці по суті є перетворена середня арифметична, яка застосовується, коли невідома чисельність сукупності і доводиться зважувати варіанти за обсягами ознаки.

2. Якщо як ваги виступають абсолютні величини, всяке проміжне дію під час розрахунку середньої має давати економічно значні результати.

Наприклад, при розрахунку середнього відсотка виконання плану показник виконання плану множимо на планове завдання та отримуємо фактичне виконання плану. Якщо ж показник виконання плану помножити на фактичне його виконання, то з економічної точки зору результат вийде абсурдний. Отже, форма середньої застосована неправильно).

Читайте також

- Середня гармонійна

Коли статистична інформація містить частот за окремими варіантами сукупності, а представлена як їх твір, тобто. частоту необхідно окремо обчислити на підставі відомих варіантів Х і твори Х f , застосовується середня гармонійна. Середня… [читати докладніше].

- Середня гармонійна.

Середня гармонійна є первісною формою середньої арифметичної. Вона розраховується у тих випадках, коли ваги fi не задані безпосередньо, а входять як співмножник в один із наявних показників. Як і арифметична, середня гармонійна може бути… [читати докладніше].

- Середня гармонійна

- Середня гармонійна.

Поряд із середньою арифметичною, у статистиці застосовується середня гармонійна величина, обернена середньою арифметичною зі зворотних значень ознаки. Як і середня арифметична, вона може бути простою та зваженою. Характеристиками варіаційних рядів, поряд з … [читати докладніше].

- Середня гармонійна зважена

Середня арифметична зважена Застосовується в тому випадку, коли як ваги використовуються показники кількості товарів у натуральному вираженні; де pq – товарообіг у рублях. Застосовується в тому випадку, коли як ваги використовуються дані про продаж.

Середні величини та показники варіації

- Середня гармонійна.

Поряд із середньою арифметичною, у статистиці застосовується середня гармонійна величина, обернена середньою арифметичною зі зворотних значень ознаки. Як і середня арифметична, вона може бути простою та зваженою. Отже, формула до розрахунку середньої… [читати докладніше].

- Середня арифметична та середня гармонійна величина

Сутність та значення середніх величин, їх види Найбільш поширеною формою статистичного показникає середня величина. Показник у формі середньої величини виражає типовий рівеньознаки у сукупності. Широке застосування середніх [читати докладніше].

- Середня гармонійна.

- Середня гармонійна, геометрична, квадратична, статечна

Під час вирішення завдань розрахунок середньої величинипочинається із складання вихідного відношення – логічної словесної формули середньої. Вона складається з урахуванням теоретичного і логічного аналізу. Іноді не можна використовувати середню арифметичну. У цьому випадку в... [читати докладніше].

- Середня гармонійна величина

Якщо за умовами завдання необхідно, щоб незмінною залишалася за умови опосередкування сума величин, зворотних індивідуальним значенням ознаки, то середня величина є гармонійною середньою. Формула гармонійної середньої величини така: Наприклад, автомобіль з [читати докладніше].

70. Середнє гармонійне

Середнім гармонійним позитивних чиселпро, b називається число, зворотне якого є середнім арифметичним між , тобто. число

Завдання 358. Довести, що середнє гармонійне не перевищує середнього геометричного.

Середні величини у статистиці: сутність, властивості, види. Приклади розв'язання задач

Зворотній до середнього гармонійного величина є середнім арифметичне чиселобернена до середнього геометричного величина є середнє геометричне чисел так що залишається послатися на нерівність про середнє арифметичне та геометричне.

Завдання 359. Числа позитивні. Довести, що

Рішення. Шукану нерівність можна переписати у вигляді

т. е. треба довести, що середнє арифметичне чисел більше або дорівнює їхньому середнього гармонійного. Це стає зрозумілим, якщо вставити між ними середнє геометричне:

остання нерівність зводиться до нерівності про середню арифметичну і геометричних чисел.

Інше рішення використовує наступний трюк. Будемо доводити більше загальна нерівність(зване нерівністю Коші-Буняковського)

(якщо підставити в нього отримаємо потрібне).

Щоб довести нерівність Коші-Буняковського, розглянемо квадратичний тричлен

Розкривши в ньому дужки і згрупувавши члени за ступенями х, отримаємо тричлен

За будь-яких x цей тричлен невід'ємний - адже він є сумою квадратів. Значить, його дискримінант не більше нуля, тобто.

Як Вам сподобався цей трюк?

приклад : Потрібно визначити середній вікстудента заочної форминавчання за даними, заданими у наступній таблиці:

Вік студентів, років ( х)	Число студентів, чол ( f)	середнє значення інтервалу (x',xцентральн)	*xifi**





26 і старше
Разом:

Для обчислення середньої в інтервальних рядах спочатку визначають середнє значення інтервалу як напівсуму верхньої та нижньої межі, а потім розраховується середня величина за формулою середньо арифметична зважена.

Вище наведено приклад з рівними інтервалами, причому 1-й та останній є відкритими.

Відповідь:середній вік студента становить 22,6 років або приблизно 23 роки.

Середня гармонійнамає складнішу конструкцію, ніж середня арифметична. Використовується у випадках, коли статистична інформація не містить частот за окремими значенням ознаки, а представлена добутком значення ознаки на частоту . Середня гармонійна як вид статечної середньої виглядає так:

Залежно від форми подання вихідних даних середня гармонійна може бути розрахована як проста і зважена. Якщо вихідні дані не згруповані, то застосовується середня гармонійна проста :

До неї вдаються у випадках визначення, наприклад, середніх витрат праці, матеріалів тощо.

Середня гармонійна проста і зважена

на одиницю продукції на кількох підприємствах.

При роботі зі згрупованими даними використовується середня гармонійна зважена:

Середня геометричназастосовується у тих випадках, коли загальний обсяг середньої ознаки є мультиплікативною величиною,Тобто. визначається не підсумовуванням, а множенням індивідуальних значень ознаки.

Форма середньої геометричної виваженої у практичних розрахунках не застосовується .

Середня квадратична використовується у тих випадках, коли при заміні індивідуальних значень ознаки на середню величину необхідно зберегти незмінною суму квадратів вихідних величин .

Головна сфера її використання - Вимірювання ступеня коливання індивідуальних значень ознаки щодо середньої арифметичної(Середнє квадратичне відхилення). Крім цього, середня квадратична застосовується в тих випадках, коли необхідно обчислити середню величину ознаки, вираженого в квадратних або кубічних одиницяхвимірювання (при обчисленні середньої величини квадратних ділянок, середніх діаметрів труб, стовбурів і т. д.).

Середня квадратична розраховується у двох формах:

Усі статечні середні різняться між собою значеннями показника ступеня.При цьому, що показник ступеня, то більшекількісне значення середнього показника:

Ця властивість статечних середніх називається властивістю мажорантності середніх.

Середня гармонійна величина

За умови підстановки в загальну формулу(6.1) значення до = -1 можна отримати середню гармонійну величинуяка має просту і виважену форми.

Для ранжованого ряду використовується середня гармонічна проставеличина, яку можна записати в такий спосіб.

де n – загальна чисельністьрізновид; - Зворотне значення варіанти.

Припустимо, є дані про те, що при перевезенні картоплі швидкість руху автомобіля з вантажем становить 30 км/год, без вантажу – 60 км/год. Необхідно знайти середню швидкістьруху автомобіля. На погляд представляється дуже нескладне рішення завдання: застосувати метод середньої арифметичної простий величини, тобто.

Однак, якщо мати на увазі, що швидкість руху дорівнює пройденому шляху, поділеному на витрачений час, то очевидно, що результат (45 км/год) виявляється неточним, так як на проходження одного і того ж шляху автомобілем з вантажем і без вантажу ( туди і назад) витрати часу істотно відрізнятимуться. Отже, точніша середня швидкість руху автомобіля з вантажем і без вантажу може бути розрахована за середньою гармонійною простою величиною:

Таким чином, середня швидкість руху автомобіля з вантажем та без вантажу становить не 45, а 40 км/год.

У дискретних чи інтервальних рядах використовується середня гармонічна зваженавеличина:

де W - добуток варіанти на частоту (зважена варіанта, xf).

Розглянемо приклад.Трудомісткість виробництва 1т картоплі у першому підрозділі сільськогосподарської організації становить 10 чол.-ч., у другому – 30 чол.-ч. В обох підрозділах виробництва картоплі витрачено по 30 тис. чол.-ч. Необхідно розрахувати середню арифметичну трудомісткість картоплі у сільськогосподарській організації. Здається, що середню трудомісткість легко знайти як напівсуму трудомісткості картоплі у двох підрозділах, тобто за способом середньої арифметичної простої величини:

Однак при такому рішенні відбуваються дві помилки. Перша, важлива помилка у тому, що з розрахунку середньої трудомісткості за способом середньої арифметичної простий величини не враховується сутність самої трудомісткості, яка як ставлення прямих витрат праці обсягу продукції. Друга помилка полягає в тому, що при вирішенні не враховано наведений за умовою завдання конкретний обсяг витрат праці на виробництво картоплі (по 30 тис.).

Середня гармонійна

люд. / год. в обох підрозділах). Це дозволяє розрахувати частоту (ваги) для трудомісткості картоплі і, таким чином, знайти середню арифметичну зважену трудомісткість, що буде успішно замінено шляхом застосування середньої гармонійної зваженої величини:

Таким чином, середня трудомісткість картоплі у сільгоспорганізації становить не 20, як це було розраховано вище, а 15 чол. ч/т.

Середня гармонійна величина застосовується головним чином тих випадках, коли варіанти ряду представлені зворотними значеннями, а частоти (ваги) приховані в загальному обсязі ознаки, що вивчається.

Структурні середні

У деяких випадках для отримання узагальнюючої характеристики статистичної сукупності за якоюсь ознакою доводиться користуватися так званими структурними середніми. До них відносять модуі медіану.

Модає варіантом, що найчастіше зустрічається в даній статистичній сукупності. У ранжированном ряді мода зазвичай, не визначається, оскільки кожній варіанті відповідає частота, що дорівнює одиниці.

Мода в дискретному ряду відповідає варіанті з найбільшою частотою, причому випадкова величинаможе мати кілька мод. За наявності однієї з них розподіл статистичної сукупності прийнято називати одномодальним, за наявності двох мод – бімодальних, трьох і більше мод – мультимодальних. Наявність кількох мод нерідко означає об'єднання однієї сукупності різноякісних статистичних одиниць.

Мода для інтервального ряду з рівними інтервалами розраховується за формулою

(6.12)

де х мо sub> - нижня межа модального інтервалу; i мо – величина інтервалу;

f мо – частота модального інтервалу; f дмо - Частота домодального інтервалу; f змо - Частота замодального інтервалу.

Припустимо, ринкові ціни на яблука по районним центрам області склалися так (табл. 6.8). За цими даними необхідно розрахувати моду ринкових цін на картопля.

Таблиця 6.8. Ринкові ціни на яблука

З даних табл. 6.8 видно, що максимальне число ринків зосереджено у третьому інтервалі, причому розподіл статистичної сукупності є унімодальним. Для розрахунку моди ринкових цін на яблука скористаємося формулою (6.12):

Таким чином, модальна ринкова ціна на яблука у районних центрах області складає 1690 р/кг.

Модальна варіанта при характеристиці статистичної сукупності можна використовувати у випадках, коли розрахунок середньої величини утруднений чи неможливий, наприклад, у ринкових умов щодо попиту й пропозиції, рівня цін тощо.

Медіана- Випадки, що знаходяться в середині варіаційного ряду. Медіана в ранжированому ряду знаходиться в такий спосіб. По-перше, розраховують номер медіаної варіанти:

де n ме – номер медіаної варіанти; n – загальна кількість варіант у ряду.

По-друге, у ранжированому ряду визначається значення медіаної варіанти: якщо загальне число варіант непарне, то медіана відповідає розрахованому за формулою (6.13) номером.

Припустимо, ранжований ряд складається з 99 одиниць, розподілених за врожайністю цукрових буряків. Медіанний номер варіанти знаходимо за формулою (6.13): .

Це означає, що за № 50 знаходиться шукана медіана врожайності, яка дорівнює, наприклад, 500ц/га.

Якщо ж загальне число варіант парне, то медіана дорівнює напівсумі двох суміжних медіанних варіант. Наприклад, у ранжированому ряду є 100 статистичних одиниць, розподілених знову ж таки за врожайністю цукрових буряків. Отже, у такому ряду є два медіанні номери, що видно з наступного розрахунку за формулою (6.13):

Отже, у разі медіанними вважаються № 50 і 51, а медіану врожайності цукрових буряків, наприклад, можна як наступну напівсуму двох суміжних врожайностей, тобто.

Для дискретного ряду розподілу медіану розраховують на накопичені частоти: по-перше, знаходять напівсуму накопичених частот; по-друге, визначають відповідність цієї напівсуми конкретному варіанті, яка і буде медіаною.

Наприклад, річний надою корів розподілений як дискретного ряду, у якому сума накопичених частот становить 200 одиниць і, напівсума – 100 одиниць.

Цей медіанний номер знаходиться в групі статистичних одиниць дискретного ряду і відповідає річному удою корів 5000 кг молока, що є медіаною дискретного ряду.

В інтервальному варіаційному ряді медіану розраховують за формулою

, (6.14)

де М е - Медіана інтервального ряду; х ме – нижня межа медіанного інтервалу; i ме – величина медіанного інтервалу; Σf - сума накопичених частот в інтервальному ряду; f н – накопичена частота домедіанного інтервалу; f ме - Частота медіанного інтервалу.

Для розрахунку медіани в інтервальному ряду скористаємось такими даними (табл.6.9).

Таблиця 6.9.

Врожайність картоплі в особистих підсобних

Господарства населення

З даних табл. 6.9 Насамперед видно, що медіанним є четвертий інтервал. З іншого боку, нескладний підрахунок показує, сума накопичених частот (загальна кількість господарств) становить 200 одиниць, а накопичена частота домедіанного інтервалу – 90 одиниць.

Скористаємося формулою (6.14) та розрахуємо медіанну врожайність картоплі:

Таким чином, медіанна врожайність картоплі у особистих підсобних господарствах населення становить 256 ц/га.

Застосування медіани має специфічний характер. Так, якщо варіаційний ряд відносно невеликий, то на величину середньої арифметичної можуть вплинути випадкові коливання крайніх варіантів, що ніяк не позначиться на розмірі медіани.

Попередня45678910111213141516171819Наступна

Середня гармонічна є зверненою до середньої арифметичної, обчислену зі зворотних значень усередненої ознаки. Залежно від характеру наявного матеріалу її застосовують тоді, коли ваги доводиться не множити, а ділити на варіанти, або, що те саме, множити на їхнє зворотне значення. Таким чином, середня гармонічна розраховується, коли відомі дані про обсяг ознаки (Ш = ХФ)і індивідуальні значенняознаки (х) та невідомі ваги (ф). Оскільки обсяги ознак є добутком значень ознаки (х)на частоту ф, то частоту ф визначають знімні = Ш: х.

Формули середньої гармонійної і зваженої мають вигляд:

Як видно, середня гармонійна є перетвореною формою середньої арифметичної. Замість гармонійної можна розрахувати середню арифметичну, попередньо визначивши ваги окремих значень ознаки. При обчисленні середньої гармонійної ваги є обсяги ознак.

Середня гармонійна проста застосовується у випадках, коли обсяги явищ за кожною ознакою рівні.

Наприклад, три комбайнери працюють на збиранні зернових культур. Перший комбайнер на збиранні 1 га протягом 7-годинної зміни витрачавши 35 хв, другий – 31 хв, третій – 33 хв. Потрібно визначити середні витрати на збирання 1 га зернових культур.

Розрахунок середніх витрат часу на збирання 1 га зернових культур за формулою середньої арифметичної простий був би правильним

тоді, коли всі комбайнери протягом зміни зібрали по 1 га чи однакову кількість гектарів зернових культур. Проте протягом зміни окремими комбайнерами було зібрано різна площазернових культур.

Неправомірність застосування формули середньої арифметичної пояснюється ще й тим, що показник витрат праці на одиницю робіт (збирання 1 га зернових культур) є оберненим до показника продуктивності праці (збирання зернових культур за одиницю часу).

Середній час, необхідний для збирання 1 га зернових культур по всіх комбайнерах, визначимо як відношення витрат часу всіма комбайнерами до загальної кількостізібраних гектарів. У прикладі немає відомостей про кількість фактично зібраних гектарів кожним комбайнером. Однак ці величини можна обчислити за таким співвідношенням:

де весь витрачений час кожного комбайнера становитиме 420 хв (7год o 60 хв).

Тоді середні витрати часу на збирання 1 га зернових культур можна визначити за такою формулою:

Розрахунки можна значно спростити, якщо використовувати формулу середньої гармонійної простої:

Отже, за цією сукупністю комбайнерів на збирання 1 га зернових культур у середньому витрачається 32,9 хв.

Порядок розрахунку середньої зваженої гармонійної розглянемо на наступному прикладі (табл. 4.3).

Таблиця 4.3. Дані для розрахунку середньої гармонійної зваженої

Оскільки середня врожайність є відношенням валового збору до площі посіву, то спочатку визначимо площу посіву картоплі по кожному господарству, а потім середню врожайність:

Відповідно до однієї з властивостей середня гармонічна не зміниться, якщо обсяги явищ, які є вагами окремих варіантів, помножити або розділити на будь-яке довільне число. Це дає можливість при її обчисленні користуватися не абсолютними показниками, а їх питомою вагою. Допустимо, потрібно визначити середню ціну реалізації картоплі за такими даними (табл.4.4).

Таблиця 4.4. Дані для розрахунку середньої ціни реалізації картоплі

У наведеному прикладі відсутні дані про виручку від реалізації окремих сортів картоплі, яка є добутком ціни реалізації 1 ц на кількість реалізованої картоплі. Тому замість обсягів явищ можна використовувати їхнє співвідношення, тобто питома вагаокремих сортів картоплі у загальній виручці. Використовуючи дані таблиці, визначимо середню ціну реалізації картоплі:

Середню гармонійну застосовують також для визначення середньої врожайності за групою однорідних культур, якщо відомі валовий збір та врожайність окремих культур, для розрахунку середнього відсотка виконання плану виробництва та реалізації продукції за однорідною сукупністю, якщо відомі дані про фактично вироблену або реалізовану продукцію та відсоток виконання плану з окремим об'єктам тощо.

Найбільш поширеною формою статистичного показника є середнявеличина. Показник у формі середньої величини виражає типовий рівень ознаки в сукупності. Широке застосування середніх величин пояснюється тим, що вони дозволяють і порівнювати значення ознаки в одиниць, що належать до різних сукупностей. Наприклад, можна порівнювати середню тривалість робочого дня, середній тарифний розряд робітників, середній рівень заробітної платиз різних підприємств.

Сутність середніх величин полягає в тому, що в них взаємопогашуються відхилення значень ознаки в окремих одиниць сукупності, обумовлені дією випадкових факторів. Тому середні величини повинні розраховуватися для досить численних сукупностей (відповідно до закону великих чисел). Надійність середніх величин залежить також від коливання значень ознаки в сукупності. У загальному випадку, Чим менше ва-ріація ознаки і чим більша сукупність, за якою визначається середня величина, тим вона надійніше.

Типовість середньої величини безпосередньо пов'язана також з однорідністю статистичної сукупності.Середня величина тільки тоді буде відображати типовий рівень ознаки, коли вона розрахована по якісно однорідної сукупності. Інакше метод середніх використовується у поєднанні з методом угруповань. Якщо сукупність неоднорідна, загальні середні замінюються або доповнюються груповими середніми, розрахованими по якісно однорідним групам.

Вибір виду середніхвизначається економічним змістом досліджуваного показника та вихідних даних. Найчастіше у статистиці застосовуються наступні видисередніх величин: статечні середні (арифметична, гармонійна, геометрична, квадратична, кубічна і т. д.), середня хронологічна, а також структурні середні (мода і медіана).

Середня арифметична величинанайчастіше зустрічається у соціально-економічних дослідженнях. Середня арифметична застосовується у формі простої середньої та виваженої середньої.

Розраховується за несгрупованими даними на підставі формули (4.1):

де x- індивідуальні значення ознаки (варіанти);

n- Число одиниць сукупності.

приклад. Потрібно знайти середнє вироблення робітника в бригаді, що складається з 15 осіб, якщо відомо кількість виробів, вироблених одним робітником (шт.): 21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.

Середня арифметична простарозраховується за несгрупованими даними на підставі формули (4.2):

де f – частота повторення відповідного значення ознаки (варіанту);

∑f – загальна кількість одиниць сукупності (∑f = n).

приклад. На підставі наявних даних про розподіл робочих бригади за кількістю вироблених ними виробів потрібно знайти середнє вироблення робітника в бригаді.

Примітка 1.Середня величина ознаки в сукупності може розраховуватися як на підставі індивідуальних значень ознаки, так і на підставі групових (приватних) середніх, розрахованих окремими частинами сукупності. При цьому використовується формула середньої арифметичної зваженої, а як варіанти значень ознаки розглядаються групові (приватні) середні ( x j).

приклад.Є дані про середній стаж робітників по цехах заводу. Потрібно визначити середній стаж робітників загалом по заводу.

Примітка 2.У тому випадку, коли значення ознаки, що осредняется, задані у вигляді інтервалів, при розрахунку середньої арифметичної величинияк значення ознаки в групах приймають середні значення цих інтервалів ( х'). Таким чином, інтервальний рядперетворюється на дискретний. При цьому величина відкритих інтервалів, якщо такі є (як правило, це перший і останній), умовно прирівнюється до величини інтервалів, що примикають до них.

приклад. Є дані про розподіл робітників підприємства за рівнем заробітної плати.

Середня гармонійна величинає модифікацією середньої арифметичної. Застосовується у випадках, коли відомі індивідуальні значення ознаки, т. е. варіанти ( x), і творів варіант на частоту (xf = М), але невідомі самі частоти ( f).

Середня гармонійна зважена розраховується за формулою (4.3):

приклад. Потрібно визначити середній розмірзаробітної плати працівників об'єднання, що складається із трьох підприємств, якщо відомий фонд заробітної плати та середня заробітна плата працівників по кожному підприємству.

Середня гармонійна проста в практиці статистики використовується вкрай рідко. У тих випадках, коли xf = Mm = const, середня гармонійна зважена перетворюється на середню гармонійну просту (4.4):

приклад. Дві машини пройшли той самий шлях. При цьому одна з них рухалася зі швидкістю 60 км/год, друга – зі швидкістю 80 км/год. Потрібно визначити середню швидкість машин у дорозі.

Інші види статечних середніх. Середня хронологічна

Середня геометрична величина використовується для розрахунку середніх показників динаміки. Середня геометрична застосовується у формі простої середньої (для несгрупованих даних) і зваженої середньої (для згрупованих даних).

Середня геометрична проста (4.5):

де n - Число значень ознаки;

П – знак твору.

Середня геометрична зважена(4.6):

Середня квадратична величина використовується для розрахунку показників варіації. Застосовується у формі простої та виваженої.

Середня квадратична проста (4.7):

Середня квадратична зважена (4.8):

Середня кубічна величина використовується при розрахунку показників асиметрії та ексцесу. Застосовується у формі простої виваженої.

Середня кубічна проста (4.9):

Середня кубічна зважена (4.10):

Середня хронологічна величина використовується для розрахунку середнього рівня динаміки (4.11):

Структурні середні

Крім розглянутих вище середніх величин у статистиці використовуються структурні середні, до яких відносяться мода та медіана.

Модою(Мо) називається значення досліджуваної ознаки (варіант), яке найчастіше зустрічається в сукупності. У дискретному рядумода визначається досить просто - за максимальним показником частоти. В інтервальному варіаційному ряду мода приблизно відповідає центру модального інтервалу, тобто інтервалу, що має більшу частоту (частина).

Конкретне значення моди розраховується за формулою (4.12):

де нижня межа модального інтервалу;

ширина модального інтервалу;

частота, що відповідає модальному інтервалу;

частота інтервалу, що передує модальному;

частота інтервалу, наступного за модальним.

Медіаною (Ме) називається значення ознаки, розташоване в середині ранжованого ряду. Під ранжованим розуміють ряд, упорядкований у порядку зростання чи спадання значень ознаки. Медіана ділить ранжований ряд на дві частини, одна з яких має значення ознаки не більші, ніж медіана, а друга – не менші.

Для ранжованого ряду з непарним числом членів медіа є варіанта, розташована в центрі ряду. Положення медіани визначається порядковим номером одиниці ряду у відповідності з формулою (4.13):

де n - Число членів ранжованого ряду.

Для ранжованого ряду з парним числом членів медіа-ної є середнє арифметичне з двох суміжних значень, що знаходяться в центрі ряду.

В інтервальному варіаційному ряду для знаходження медіа-ни застосовується наступна формула (4.14):

де нижня межа медіанного інтервалу;

ширина медіанного інтервалу;

накопичена частота інтервалу, що передує медіанному;
частота медіанного інтервалу.

приклад. Робочі бригади, що складається з 9чол., мають наступні тарифні розряди: 4; 3; 4; 5; 3; 3; 6; 2;6. Потрібно визначити модальне та медіанне значення тарифного розряду.

Оскільки у цій бригаді найбільше робочих 3-го розряду, цей розряд і буде модальним, т. е. Мо = 3.

Для визначення медіани здійснимо ранжування вихідного ряду в порядку зростання значень ознаки:

2; 3; 3; 3; 4; 4; 5; 6; 6.

Центральним у цьому ряду є п'яте значення ознаки. Відповідно Ме = 4.

приклад.Потрібно визначити модальний та медіанний тарифний розряд робітників заводу за даними наступного ряду розподілу.

Оскільки вихідний ряд розподілу дискретним, то модальне значення визначається за максимальним показником частоти. У цьому прикладі заводі найбільше робочих 3-го розряду (f max = 30), тобто. цей розряд є модальним (Мо = 3).

Визначимо становище медіани. Вихідний ряд розподілу побудований на підставі ранжованого ряду, впорядкованого за зростанням значень ознаки. Середина ряду знаходиться між 50-м та 51-м порядковими номерамизначень ознаки. З'ясуємо, до якої групи належать робітники із цими порядковими номерами. Для цього розрахуємо накопичені частоти. Накопичені частоти вказують на те, що медіанне значення тарифного розряду дорівнює трьом (Ме = 3), оскільки значення ознаки з порядковими номерами від 39-го до 68-го, у тому числі 50-е та 51-е, рівні 3.

приклад. Потрібно визначити модальну та медіанну заробітну плату робітників заводу за даними наступного ряду розподілу.

Оскільки вихідний ряд розподілу є інтервальним, то модальне значення заробітної плати розраховується за формулою. При цьому модальним є інтервал 360-420 з максимальною частотою, що дорівнює 30.

Медіанне значеннязаробітної плати також розраховується за формулою. При цьому медіанним є інтервал 360-420, накопичена частота якого дорівнює 70, тоді як накопичена частина попереднього інтервалу становила тільки 40 при загальному числіодиниць, що дорівнює 100.

Середні величини поділяються на два великі класи: статечні середні та структурні середні

Ступінні середні:

Арифметична

Гармонійна

Геометрична

Квадратична

Проста середньоарифметична величина являє собою середній доданок, при визначенні якого загальний обсяг даної ознаки в сукупності даних порівну розподіляється між усіма одиницями, що входять до цієї сукупності. Так, середньорічне вироблення продукції одного працюючого - це така величина обсягу продукції, яка припадала б кожного працівника, якби весь обсяг випущеної продукції однаковою мірою розподілявся між усіма співробітниками організації. Середньоарифметична проста величина обчислюється за такою формулою:

Проста середня арифметична- дорівнює відношенню суми індивідуальних значень ознаки до кількості ознак у сукупності

Середня арифметична зважена

Якщо обсяг сукупності даних великий і є рядом розподілу, то обчислюється зважена середньоарифметична величина. Так визначають середньозважену ціну за одиницю продукції: загальну вартість продукції (суму творів її кількості на ціну одиниці продукції) поділяють на сумарну кількість продукції.

Подаємо це у вигляді наступної формули:

Зважена середня арифметична- дорівнює відношенню (суми творів значення ознаки до частоти повторення даної ознаки) до (сумі частот всіх ознак). Використовується, коли варіанти досліджуваної сукупності зустрічаються неоднакова кількість разів.

Середня арифметична для інтервального ряду

При розрахунку середньої арифметичної для інтервального варіаційного ряду спочатку визначають середню для кожного інтервалу як напівсуму верхньої і нижньої меж, а потім - середню всього ряду. У разі відкритих інтервалів значення нижнього або верхнього інтервалу визначається за величиною інтервалів, що примикають до них.

Середні обчислювані з інтервальних рядів є наближеними.

Середні обчислювані з інтервальних рядів є наближеними. Ступінь їх наближення залежить від того, якою мірою фактичний розподіл одиниць сукупності всередині інтервалу наближається до рівномірного.

При розрахунку середніх як ваги можуть використовуватися не тільки абсолютні, але і відносні величини(частина):

Середня гармонійна- використовується в тих випадках коли відомі індивідуальні значення ознаки та добуток, а частоти невідомі.

У прикладі нижче - врожайність відома, - площа невідома (хоча її можна обчислити розподілом валового збору зернових на врожайність), - валовий збір зерна відомий.

Середньогармонічну величину можна визначити за такою формулою:

Формула середньої гармонійної:

Гармонійна проста

У тих випадках, коли добуток однаковий або дорівнює 1 (z = 1) для розрахунку застосовують середню гармонійну просту, що обчислюється за формулою:

Середня гармонійна проста - показник, зворотний середній арифметичній простий, що обчислюється зі зворотних значень ознаки.

p align="justify"> Середньогеометрична величина дає можливість зберігати в незмінному вигляді не суму, а добуток індивідуальних значень даної величини. Її можна визначити за такою формулою:

p align="justify"> Середньогеометричні величини найбільш часто використовуються при аналізі темпів зростання економічних показників.

Середня гармонійна

Найменування параметру	Значення
Тема статті:	Середня гармонійна
Рубрика (тематична категорія)	Культура

Середня гармонійна- це величина, зворотна середньої арифметичної, тобто. складається із обернених значень ознаки.

Приклад 5.Розрахунок середнього відсотка виконання плану. Є такі дані:

Якщо при визначенні середнього ступеня виконання плану за ваги приймати не завдання, а фактичне його виконання, то середня арифметична в даному випадку дасть неправильний результат:

Правильний результат при зважуванні за фактичним виконанням завдання дасть середня гармонійна зважена:

де w- ваги середньої гармонійної зваженої.

Умови застосування середньої гармонійної

1. Середню гармонійну використовують, як ваги застосовуються не одиниці сукупності (носії ознаки), а твори цих одиниць на значення ознаки, т.е. .

2. Якщо як ваг виступають абсолютні величини, будь-яке проміжне дію під час розрахунку середньої має давати економічно значущі результати.

Середня гармонійна - поняття та види. Класифікація та особливості категорії "Середня гармонійна" 2017, 2018.

- Середня гармонійна.

- Середня гармонійна

- Середня гармонійна.

- Середня гармонійна зважена

- Середня гармонійна.

Поряд із середньою арифметичною, у статистиці застосовується середня гармонійна величина, обернена середньою арифметичною зі зворотних значень ознаки. Як і середня арифметична, вона може бути простою та зваженою. Отже, формула до розрахунку середньої... .

- Середня арифметична та середня гармонійна величини

Найбільш поширеною формою статистичного показника є середня величина. Показник у формі середньої величини виражає типовий рівень ознаки в сукупності. Широке застосування середніх...