Підготовка до олімпіади. Олімпіадні завдання з алгебри (5 клас) на тему: Шкільна олімпіада з математики

Матроскін розповідає Печкіну:
- Я намагався навчити Шарика, щоб він гавкав, коли хоче їсти. Провів сто показових тренувань.
- Ну і що, тепер він гавкає?
- Ні, тепер він не їсть, доки я не залаю...

Сидить кіт Матроскін із вудкою – рибу ловить. Повз їде Печкін на велосипеді:
- Що, Матроскін, усіх мальків із ставка виловив?
Матроскін образився і каже:
- Я дрібну відпускаю, а велику в баночку з-під майонезу складаю!

***
Матроскін повертається з Шариком із гостей і лає його:
- Мало того, що ти заснув, коли баба Шура співала романс... Але ти ще й прокинувся, коли вона брала верхню ноту, і крикнув: "Та впустіть у будинок собаку!"

Шарик запитує мисливця:
- Яким порохом ти заряджаєш патрони, коли йдеш на дикого кабана?
- Тільки димним.
- Він що, дужче б'є?
- Ні, поки дим розсіється, я встигаю влізти на дерево...

Матроскін, мені сьогодні наснився сон, що я з'їв цілу копицю трави.
- Ну мало кому що насниться, Шарик!
- Тоді поясни, Матроскін, куди подівся мій матрац?

***

***
Коту Матроскіну на День народження подарували справжню тільник. Надів він її і ходить, собою милується. Підходить до Шарика і каже:
- От скажи мені, Шарику, ти хоч знаєш, скільки смужок на тільнику?
- Звідки мені знати, - відповідає Шарик, - хочеш, зараз порахую...
А кіт у відповідь:
- Ех, Шарику, та що ж тут рахувати! На тільнику завжди дві смужки - СИНЯ і БІЛА... Ех, фотохудожничок мені знайшовся...

Матроскін із коровою Муркою зупиняє таксі.
– Куди тобі? - Запитує водій.
- Та до найближчого села...
- А як же корова?
- Та ви за неї не турбуйтеся, прив'яжіть просто ззаду до бампера.
Таксист прив'язав корову, поїхали. Корова біжить поряд, не відстає. Таксист додав газу – не відстає. Глянув у дзеркало і питає у Матроскіна:
- А що це вона стала лівим оком підморгувати?
- А це вона на обгін пішла...

Шарик розповідає Матроскіну:
- Матроскін, мені сьогодні наснилося, що ти подарував мені маленьку кісточку...
А Матроскін відповідає:
- Ось, Шарик, а будеш мене слухати - насниться, що я подарував тобі величезну кістку!

"Купили Шаріку велосипед, щоб у місто молоко возив. Все-таки я зробив із Шарика їздового собаку! Кіт Матроскін".

Ех, Шарик, Шарик, ось вмієш ти, скажімо, корівку доїти?
– Ні.
- Ну, а сіно косити?
– Ні.
- Ну хоча б шкарпетки в'язати?
– Ні.
- Що ж ти вмієш?
- Я, Матроскін, вмію відповідати на всі твої безглузді запитання...

Список використаної литературы:

1. Журнал "Непосида".
2. Журнал "Класний".
3. Газета "Світ дітей та підлітків".
4. Журнал "Міккі Маус".
5. "Веселі шкільні історіїта анекдоти.” Упорядник Шилова Галина Петрівна.
6. "Анекдоти з героями мультиків". За редакцією Олександра Аліра.

По математиці

Клас

Завдання.

1. На прямій лінії посаджено 10 кущів так, що відстань між будь-якими сусідніми кущами те саме. Знайдіть цю відстань, якщо відстань між крайніми кущами 90 дм.

2. У записі 1 ☼ 2 ☼ 3 ☼ 4 ☼ 5 = 100 замініть «☼» знаками дії і розставте дужки так, щоб вийшла правильна рівність.

3. Хлопчик по парним числамзавжди говорить правду, а по непарних завжди бреше. Якось його три жовтневі дні поспіль запитували: «Як тебе звуть?». Першого дня він відповів: «Андрій», другого: «Борис», третього: «Віктор». Як звати хлопчика? Поясніть, як ви думали.

4. О 9.00 Юрко вийшов з дому і пішов прямою дорогою зі швидкістю

6 км/год. Через деякий час він розвернувся і з тією ж швидкістю пішов додому. О 12.00 Юрі залишалося до будинку два кілометри. На якій відстані він розвернувся від будинку? Поясніть, як було знайдено відповідь.

5. Кіт Матроскін прикинув, що він може викласти підлогу квадратної кімнатиквадратною плиткою, і йому не знадобиться жодну з них розрізати. Спочатку він поклав плитки по краях кімнати, і на це у нього пішло 84 плитки. Скільки всього йому потрібно мати плиток, щоб покрити всю підлогу?

Відповіді, вказівки, рішення.

1. Відповідь . 10 дм.

Рішення.Оскільки посаджено 10 кущів, то проміжків між ними буде 9. Тому відстань між сусідніми кущами буде 90: 9 = 10дм.

2. Відповідь . 1 · (2 ​​+ 3) · 4 · 5 = 100.

3. Відповідь . Борис.

Рішення.Оскільки хлопчик дав три різні відповіді, він двічі збрехав. Тому два дні з трьох, коли хлопчику ставили запитання, припали на непарні числа. Оскільки парні та непарні числа місяця чергуються, це мали бути першими і третіми днями. Отже, другий день припав на парне число. Цього дня хлопчик назвав своє справжнє ім'я.

4. Відповідь.На відстані 10 км.

Рішення.За 3 години з 9.00 до 12.00 Юра пройшов 18 км. Якщо він пройде щедва кілометри, то він потрапить додому. Тобто 18+2=20 км. - Це шлях до місця розвороту і назад. Отже, він розвернувся на відстані

20:2 = 10 км. від будинку.

5. Відповідь. 484.

Рішення.На облямівці, крім кутових, лежить 84 - 4 = 80 плиток. Значить, на кожній стороні лежить 20 плиток, крім кутових, а разом з кутовими - 22 плитки. Тому загальне числоплиток дорівнює 22 · 22 = 484.

Шкільний етап Всеросійської олімпіадишколярів

По математиці

Клас

Завдання.

1. Пострибунья Бабка половину часу кожної доби червоного літа спала, третину часу кожної доби танцювала, шосту частину – співала. Решту часу вона вирішила присвятити підготовці до зими. Скільки годин на добу Бабка готувалася до зими?

2. Інопланетяни повідомили жителям Землі, що в системі їхньої зірки три планети А, Б, В. Вони живуть на другій планеті. Далі передача повідомлення погіршилася через перешкоди, але було прийнято ще два повідомлення, які, як встановили вчені, виявилися обоє помилковими:

а) А - не третя планета від зірки;

б) Б – друга планета.

Якими планетами від зірки є А, Б, В?

3. Миша, мишеня та сир разом важать 180г. Миша важить на 100г більше, ніж мишеня та сир разом узяті. Сир важить утричі менше, ніж мишеня. Скільки важить кожен із них? Відповідь слід підтвердити обчисленнями.

4. Як розрізати квадрат на сім трикутників, серед яких є шість однакових?

5. Є 24 палички. Довжина першої палички – 1 см, другої – 2 см, …, двадцять четвертої – 24 см (довжина кожної наступної палички на 1 см більша за довжину попередньої). Як, використавши всі ці палички, скласти три різні квадрати? Ламати палички не можна, кожна паличка повинна входити лише один квадрат.

Відповіді, вказівки, рішення.

(може бути запропоновано інше рішення)

1. Відповідь . 0:00. Часу не лишилося.

Рішення.На добу 24 години, з них Бабка спала 24: 2 = 12 годин, танцювала 24: 3 = 8 годин, співала 24: 4 = 6 годин. Усього на ці справи вона витратила

12 + 8 + 6 = 24 години. Тож на підготовку до зими часу не лишилося.

2. Відповідь . Б – перша планета, У – друга планета, А – третя планета.

Рішення.Оскільки друге і третє повідомлення помилкові, то є третьою планетою, а Б – не другий, тому Б – перша планета від зірки. Тоді В буде другою планетою, на якій живуть інопланетяни.

3. Відповідь.Миша – 140г, сир – 10г, мишеня – 30г.

Рішення.З умови випливає, що подвійна вага миші дорівнює 180 + 100 = 280г. Тому вага миші дорівнює 140г. Тоді мишеня та сир разом важать 180 - 140 = 40г. А вага сиру, згідно з умовою, дорівнює чвертіцієї ваги.

4. Рішення.Два способи зробити це показано на рис. Є й інші способи.

Відповідь.

Рішення.Розіб'ємо палички на три групи: від 1 до 8, від 9 до 16, від 17 до 24. У кожній групі першу паличку з'єднаємо з останньою, другу - з передостанньою, третю - з третьою з кінця, дві палички, що залишилися, теж з'єднаємо. Отримаємо у кожній групі по чотири однакові палиці, з яких складемо квадрат. Сторони одержаних квадратів: 9, 25, 41.

Зауваження.Є й інші способи скласти три квадрати.

Шкільний етап олімпіади з математики

Розв'яжіть рівняння (6 099 948 – 756: ((30 +х) : 336) · 201) : 407 025 = 12

Три туристи вирішили разом поїсти. Один із них дав дві булки, інший три булки, а третій – 10 руб. Скільки з цих грошей має взяти перший і скільки другий турист?

Сума шести послідовних парних чисел дорівнює 3018. Знайдіть ці числа

Довжина прямокутного паралелепіпеда 250 мм, ширина – 120 мм, висота – 40 мм. Його розрізали на кубічні сантиметриі розмістили в один ряд впритул один до одного. Якої довжини (в метрах) вийшов ряд?

У виразі 4+32:8+4·3 розставте дужки так, щоб вийшло як можна більша кількість, якнайменше число.

Знайдіть усі тризначні числа, які в 12 разів більші за суму своїх цифр

Відповіді:

х = 12

5*3 = 15 (р.) – вартість булок для трьох.

15: 5 = 3 (р.) – вартість однієї булки.

1 * 2 = 6 (р.) – вартість двох булок.

6 – 5 = 1 (р.) – треба віддати першому туристу.

3 – 3 = 9 (р.) – вартість трьох булок.

9 - 5 = 4 (р.) - Треба віддати другому туристу.

Відповідь: 1 рубль повинен взяти перший турист і 4 рублі другий

498 + 500 + 502 + 504 + 506 + 508

12 метрів

Найбільше число (4+32: 8+4) * 3 = 36. Найменша кількість (4 + 32) : [(8 + 4) * 3] = 1

Якщо а, в і с – це цифри тризначного числа, то його можна записати як
100а+10в+с. Сума цифр – а+в+с. Зрівняємо суму цифр та число:
12(а+в+с) =100а+10в+с;
12а+12в+12с=100а+10в+с;
88а-11с = 2в.
88а і 11с діляться на 11, значить їхня різниця (2в) теж ділиться на 11. 2 на 11 не ділиться, тому повинно ділиться на 11. Але в - це цифра, з усіх цифр тільки 0 ділиться на 11, в = 0. Отримуємо
88а-11с = 0, |: 11
8а-с=0,
с = 8а.
а і с - це цифри, отже а=1, с=8 (якщо а>1, то з>10).
Отримали число 108.

Олімпіада з математики. 5 клас

Встановіть, якою цифрою закінчується різниця 43 43 - 17 17 .

Добуток чотирьох послідовних чисел дорівнює 7920. Знайти ці числа.

З книги випала якась частина. Перша сторінка шматка, що випав, має номер 387, а номер останньої сторінкискладається з тих самих цифр, але записаних в іншому порядку. Скільки аркушів випало із книги?

Сума двох чисел дорівнює 80, а їхня різниця дорівнює 3. Знайдіть ці числа.

Розшифруйте ребус: КНИГА + КНИГА + КНИГА = НАУКА

Над наявним числом дозволяється виконувати дві дії: множити його на 2 або додавати до нього 2. За яке мінімальне число дій ви зможете отримати з числа 1 число 100?

Відповіді:

Потрібно пошукати закономірність для останньої цифри натурального ступенячисла, що закінчується цифрою 3.Послідовність цих цифр 3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1... Четверте, восьме, дванадцяте тощо. місця займає цифра 1.Отже, 43 40 закінчується цифрою 1, а 43 43 - цифрою 7, далі аналогічно 17 16 закінчується цифрою 1, а 17 17 - Цифрою 7. Так як обидва числа 43 і 17 закінчується однією і тією ж цифрою 7, то їх різниця закінчується нулем.

7920 = 2*2*2*2*3*3*5*11 = 8*9*10*11

(738 - 386): 2 = 176 листів

41,5 та 38,5

28375 + 28375 + 28375 = 85125.

1+2*2*2*2*2+2*2. За 7 дій.

Олімпіада з математики. 5 клас

Сума цифр двозначного числадорівнює 12. Якщо цифру десятків помножити на 2, а цифру одиниць на 3 і скласти обидва твори, то в результаті вийде 29. Знайдіть це число.

Яке саме велике числоЧи можна записати чотирма одиницями?

Два мандрівники одночасно підійшли до річки. Біля берега був прив'язаний човен, в якому могла переправитися лише одна людина. Мандрівники не вміли плавати, але кожному вдалося переправитися через річку. Як це могло трапитися?

Розріжте прямокутник, довжина якого 9 см, а ширина 4 см, на дві рівні частини, з яких можна скласти квадрат.

Хлопчик і порося важать стільки, скільки 5 ящиків. Порося важить стільки, скільки 4 кішки; 2 кішки і порося важать стільки, скільки 3 ящики. Скільки кішок врівноважують хлопчика?

Проведіть через 6 точок чотири прямі так, щоб на кожній прямій було три точки.

Відповіді:

11 11

Мандрівники підійшли до річки з різних берегів.

М + П = 5Я

П = 4К

2К + П = 3Я. З 2 та 3 ур отримуємо: 2К + 4К = 3Я. Я = 2К

Підставляємо 1 рівняння: М + 4К = 10К, М = 6К. Відповідь. 6 кішок

Олімпіада з математики. 5 клас

1. Скільки у різний спосібЧи можна прочитати слово «Точка» на цій схемі? (починати з "т" і спускатися вниз до "а")

   З восьмилітрового відра, наповненого молоком, треба відлити 4л за допомогою 3-х літрового та 5-и літрового бідона. Як це зробити?

   Лічильник автомобіля показував 12921. Через дві години на лічильнику знову з'явилося число, яке читалося однаково в обох напрямках. З якою швидкістю їхав автомобіль?

   Тітка Груша продає кабачки. Три кабачки вона продає за 5 у.о., 4 кабачки - за 6 у.о., 5 кабачків - за 7 у.о. У жодній іншій кількості кабачки тітка Груша не продає. Вчора вона продала 100 кабачків та виручила за них 160 у.о. Скільки продажів вчора здійснила тітка Груша?

   Як поділити коло трьома прямими на 4, 5, 6, 7 частин?

Відповіді:

ПРО

Ч Ч Ч

К К К К

А А А А А Відповідь. 16 способів

3) (13 031 - 12 921): 2 = 55 км/год

4) Нехай х продаж 3 каб по 5 у.о., у продажів - 4 каб по 6 у.о,zпродажів - 5 каб по 7 у.о.

3х + 4у + 5z = 100

5х + 6у + 7z = 160

15х + 20у + 25z = 500

15х + 18у + 21z= 480. Звідси 2у + 4z= 20 або у + 2z= 10 абоу = 10 - 2 z

9х + 12у + 15z = 300

10х + 12у + 14z= 320. Звідси х –z= 20 абох = 20 + z

Отже, х + у +z = 20 + z + 10 - 2 z + z= 30. Відповідь. 30

Олімпіада з математики. 5 клас

1. Три яблука, чотири груші та один персик коштують 40 руб. Одне яблуко, чотири груші та персик коштують 32 руб. Скільки коштують одне яблуко, одна груша та один персик, якщо персик коштує стільки, скільки коштують два яблука?

2. Розшифруйте ребус:

CІ Н І Ц А

С І Н І Ц А

____________

П Т І Ч К І

3. Кенгуру мама стрибає за 1 секунду на 3 метри, а її маленький синочок стрибає на 1 метр за півсекунди. Вони одночасно стартували від басейну до евкаліпту прямою. Скільки секунд мама чекатиме на сина під деревом, якщо відстань від басейну до дерева 240 метрів?

4. У числі 3728954106 закреслити три цифри так, щоб цифри, що залишилися, в тому ж порядку склали б найменше семизначне число.

5. Чотири учні – Вітя, Петя, Юра та Сергій – зайняли на математичній Олімпіаді чотири перші місця. На питання, які місця вони зайняли, було дано відповіді:

а) Петя – друге, Вітя – третє;

б) Сергій - друге, Петро - перше;

в) Юра – друге, Вітя – четверте.

Вкажіть, хто яке місце зайняв, якщо у кожній відповіді правильна лише одна частина. Відповідь обґрунтуйте.

Відповідь.

Рішення.

40 - 32 = 8 (руб.) - коштують два яблука або один персик;

8:2 = 4 (руб.) – коштує одне яблуко;

4+8 = 12 (руб.) – стоять одне яблуко та персик;

32 – 12 = 20 (руб.) – стоять чотири груші;

20:4 = 5 (руб.) – стоїть груша.

Відповідь: 4 руб., 8 руб., 5 руб.

Рішення.

342 457 + 342 457 = 684 914.

Рішення.

1 крок: 240:3 = 80 (с) - скакала мати Кенгуру;

2 крок: за 1 секунду син стрибає на 2 метри;

3 крок: 80×2 = 160 (м) – проскаче кенгуреня за 80 секунд:

4 крок: 240-160 = 80 (м) - залишилося проскакати кенгуреня, коли мама була вже під евкаліптом;

5 крок: 80:2 = 40 (с).

Відповідь. 40 секунд.

Відповідь: 2 854 106.

Відповідь: I – Петро, ​​II – Юра, III – Вітя, IV – Сергій.

Олімпіада з математики. 5 клас

Усі трикутники, зображені на малюнку, мають рівні сторони. Радіус кожного з кіл дорівнює 2 см. Кола стосуються один одного і сторін квадрата. Чому дорівнює периметр «зірочки», намальованої жирною лінією?

У даному прикладі різні цифризашифровані різними літерами. Визначте, яка рівність зашифрована:ВІДПОВІДЬ + ДУЖЕ = ПРОСТ

Як розкласти сім алмазів у чотири однакові скриньки, щоб вага всіх скриньок вийшла однаковою, якщо вага алмазів 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. грамів. Відповідь обґрунтуйте.

На уроці фізкультури хлопчики вишикувалися в шеренгу. Потім поміж кожними двома хлопчиками встала дівчинка. Загалом у шерензі опинилося 25 дітей. Скільки хлопчиків стояло у шерензі?

Кіт Матроскін прикинув, що він може викласти підлогу квадратної кімнати квадратною плиткою, і йому не знадобиться жодну з них розрізати. Спочатку він поклав плитки по краях кімнати, і на це у нього пішло 84 плитки. Скільки всього йому потрібно мати плиток, щоб покрити всю підлогу?

Відповіді.

Рішення. Сторона кожного трикутника 2+2+2+2=8см, тоді периметр дорівнює 8*8=64 см. Відповідь: 64 см

Зашифрована рівність: 34214+35170=69384.

Вага однієї частки алмазів дорівнює 7 р. Відповідь: 7 + (1 + 6) + (2 + 5) + (3 + 4).

Приберемо найправішого хлопчика. Тоді хлопчиків і дівчаток буде порівну,

тобто по 12. Отже, в ряді стояло 12 + 1 = 13 хлопчиків.

Відповідь. 484.

На облямівці, крім кутових, лежить 84 - 4 = 80 плиток. Значить, на кожній стороні лежить 20 плиток, крім кутових, а разом з кутовими - 22 плитки. Тому

загальна кількість плиток дорівнює 484.

Олімпіада з математики. 5 клас

1. Дано числа 1,2,3,4,5,6,7,8,9. Розставте їх так, щоб сума їх на кожній стороні трикутника дорівнювала 20.

2. Як розкласти гирки вагою 1, 2, ..., 9 г у три коробочки так, щоб у першій було дві гирки, у другій – три, у третій – чотири, а сумарна вага гирьок у коробочках була однаковою?

3. Хлопчик по парних числах завжди говорить правду, а по непарних завжди бреше. Якось його три листопадових дні поспіль запитували: «Як тебе звуть?». Першого дня він відповів: «Андрій», другого: «Борис», третього: «Віктор». Як звати хлопчика? Поясніть, як ви думали.

4. Миша, мишеня та сир разом важать 180г. Миша важить на 100г більше, ніж мишеня та сир разом узяті. Сир важить утричі менше, ніж мишеня. Скільки важить кожен із них? Відповідь слід підтвердити обчисленнями.

5. Є 24 палички. Довжина першої палички – 1 см, другої – 2 см, …, двадцять

четвертої – 24 см (довжина кожної наступної палички на 1 см більша за довжину попередньої). Як, використавши всі ці палички, скласти три різні квадрати? Ламати палички не можна, кожна паличка повинна входити лише один квадрат.

Відповіді.

Наприклад: 9+6; 8+5+2; 7+4+3+1.

Сумарна вага гирьок дорівнює 45, тому в кожній коробочці сумарна вага

гірок дорівнює 15 г.

Борис.

Рішення. Оскільки хлопчик дав три різні відповіді, він хоча б двічі збрехав. Тому

два дні з трьох, коли хлопчику ставили запитання, припали на непарні числа. Оскільки парні та непарні числа місяця чергуються, це мали бути першими і третіми днями. Отже, другий день припав на парне число. Цього дня хлопчик назвав своє справжнє ім'я.

Миша – 140г, сир – 10г, мишеня – 30г.

Рішення. З умови випливає, що подвійна вага миші дорівнює 180 + 100 = 280г.

Тому вага миші дорівнює 140г. Тоді мишеня та сир разом важать 180 - 140 = 40г. А вага

сиру, згідно з умовою, дорівнює чверті цієї ваги.

Розіб'ємо палички на три групи: від 1 до 8, від 9 до 16, від 17 до 24. У кожній

групі першу паличку з'єднаємо з останньою, другу - з передостанньою, третю - з третьою з кінця, дві палички, що залишилися, теж з'єднаємо. Отримаємо у кожній групі по чотири однакові палиці, з яких складемо квадрат. Сторони одержаних квадратів: 9, 25, 41.

5.1. На уроці фізкультури хлопчики вишикувалися в шеренгу. Потім поміж кожними двома хлопчиками встала дівчинка. Загалом у шерензі опинилося 25 дітей. Скільки хлопчиків стояло у шерензі?

Відповідь. 13. Рішення. Приберемо найправішого хлопчика. Тоді хлопчиків та дівчаток буде порівну, тобто по 12. Значить, у шерензі стояло 12 + 1 = 13 хлопчиків.

5.2. Замініть літери A, B, C, D цифрами так, щоб вийшла правильна рівність АААА + ВВВ + CC + D = 2014.

Відповідь. 1111+888+11+4=2014.

5.3. Складіть із шести прямокутників 7x1, 6x1, 5x1, 4x1, 3x1, 2x1 і квадрата 1x1 прямокутник, у якого кожна сторона більша за 1.

Рішення. З прямокутника 6x1 та квадрат 1x1 складемо прямокутник 7x1. Аналогічно складемо прямокутники 7x1 із пар прямокутників 5x1, 2x1 і 4x1, 3x1. З чотирьох одержаних прямокутників 7x1 складається прямокутник 7x4.

5.4. О 9.00 Юрко вийшов з дому і пішов прямою дорогою зі швидкістю 6 км/год. Через деякий час він розвернувся і з тією ж швидкістю пішов додому. О 12.00 Юрі залишалося до будинку два кілометри. На якій відстані він розвернувся від будинку? Поясніть, як було знайдено відповідь.

Відповідь. На відстані 10 км. Рішення. За 3 години з 9.00 до 12.00 Юра пройшов 18 км. Якщо він пройде ще два кілометри, то він потрапить додому. Тобто 18+2=20 км. - це шлях до місця розвороту та назад. Отже, він розвернувся з відривом 20:2 = 10 км від будинку. 5.5. Кіт Матроскін прикинув, що він може викласти підлогу квадратної кімнати квадратною плиткою, і йому не знадобиться жодну з них розрізати. Спочатку він поклав плитки по краях кімнати, і на це у нього пішло 84 плитки. Скільки всього йому потрібно мати плиток, щоб покрити всю підлогу?Відповідь. 484.
Рішення. На облямівці, крім кутових, лежить 84 – 4 = 80 плиток. Значить, на кожній
осторонь лежить 20 плиток, крім кутових, а разом з кутовими - 22 плитки. Тому
загальна кількість плиток дорівнює 484.

Шостий клас

7.1. До Вас прийшли його однокласники. Мама Васі спитала у нього, скільки прийшло гостей. Вася відповів: «Більше шести», а сестричка, що стояла поруч, сказала: «Більше п'яти».
Скільки було гостей, якщо відомо, що одна відповідь вірна, а інша ні?
Відповідь. 6.
Рішення. Припустимо, що гостей справді більше шести. Тоді мають рацію і Вася, і його сестра, а це суперечить умові завдання. Значить, гостей не більше шести та Вася
не правий. Але тоді має бути права сестра, інакше знову порушиться умова завдання. Значить, гостей понад п'ять. Але якщо їх більше п'яти і не більше шести, їх рівно шість.
7.2. У ящику 25 кг цвяхів. Як за допомогою чашкових ваг та однієї гирі в 1 кг за два зважування відміряти 19 кг цвяхів?
Рішення. При першому зважуванні на одну з чашок терезів кладемо гирю і всі цвяхи розкладаємо по чашках так, щоб встановилася рівновага. Отримаємо 13 та 12 кг цвяхів.
Першу купку відкладаємо, а решту цвяхів ділимо навпіл, зважуючи без гирі: 12 = 6 + 6. Отримали кількість цвяхів: 19 = 13 + 6.
7.3. У Петі є чотири горішки. Він усіма можливими способамибрав по три горішки і зважував їх на терезах. Вийшло 9 г, 14 г, 16 г та 18 г. Скільки важив кожен горішок?
Потрібно знайти всі рішення задачі та довести, що інших немає.
Відповідь. 1, 3, 5, 10.
Рішення. У сумі 9 + 14 + 16 + 18 = 57 вага кожного горіха порахована тричі, отже, сумарна вага всіх горішків дорівнює 19 г. Різниця 19 - 9 = 10 - це вага одного з горішків.
Аналогічно знаходимо ваги інших горішків.
7.4. Квадрат складається з одного внутрішнього квадрата (чорного) та чотирьох рівних білих прямокутників (див. рис. 2). Периметр кожного прямокутника дорівнює 40 див.Знайдіть
площу чорного квадрата.
Рис. 2
Відповідь. 400.
Рішення. Сума довжин короткої та довгої сторін прямокутника дорівнює 20. Але ця сума дорівнює стороні вихідного квадрата.
7.5. Чи можна викласти в ряд 30 кульок - білих, синіх і червоних - так, щоб серед будь-яких двох кульок, що йдуть поспіль, була хоча б одна біла, серед будь-яких трьох, що йдуть
підряд - хоча б один синій, а серед будь-яких п'яти підряд - хоча б один червоний?
Відповідь поясніть.
Відповідь. Не можна.
Перше рішення. Допустимо, можна. Візьмемо червону кульку, що не лежить з краю (такої знайдеться хоча б у п'ятірці кульок з 2-ї по 6-у). Сусідні з ним кульки мають
бути білими, інакше знайдуться дві сусідні кульки, серед яких немає білих. Але це означає, що ми знайшли три поспіль кульки, що йдуть, серед яких немає синьої.
Друге рішення. Розбивши 30 кульок на 15 пар сусідніх кульок, переконуємося, що серед викладених кульок не менше 15 білих. Розбивши їх на 10 трійок поспіль тих, що йдуть
кульок, переконуємось, що серед викладених кульок не менше 10 синіх. Нарешті, розбивши їх на 6 п'ятірок поспіль кульок, що йдуть, бачимо, що серед викладених кульок не
менше 6 червоних. Виходить, що кульок має бути не менше ніж 15 + 10 + 6 = 31, а їх тільки 30.

Восьмий клас

_8_klass_2014.doc Рішення шкільного туру олімпіади 8 клас
8.1. У Васі в гаманці лежало трохи грошей. Вася поклав у гаманець ще 49 рублів, і сума грошей у гаманці збільшилась у 99 разів. Скільки грошей стало у Васі в гаманці?
Відповідь. 49 рублів 50 копійок.
Рішення. Нехай спочатку у Васі було х рублів. З умови завдання одержуємо, що x + 49 = 99x. Вирішуючи це рівняння, отримуємо x = 0,5 рубля = 50 копійок.
8.2. Є 30 колод довжинами 3 і 4 м, сумарна довжина яких дорівнює 100 м. Яким числом розпилів можна розпиляти колоди на цурбани довжиною 1 м? (Кожним розпилом
пиляється рівно одна колода.)
Відповідь. 70.
Перше рішення. Склеїмо всі колоди в одну 100-метрову колоду. Щоб його розділити на 100 частин, потрібно зробити 99 розпилів, з яких 29 вже було
зроблено.
Друге рішення. Якщо було m триметрових і n чотириметрових колод, то m + n = 30, 3m + 4n = 100, звідки m = 20, n = 10. Тому потрібно зробити 202 + 103 = 70
розпилів.
8.3. Число a таке, що прямі y = ax + 1, y = x + a і y = 3 різні та перетинаються в одній точці. Яким може бути?
Відповідь. a = 2.
Перше рішення. Зауважимо, що з x = 1 виконується ax + 1 = x + a = a + 1, отже точка M (1; a + 1) є спільної прямих y = ax + 1 і y = x + a. Оскільки прямі
різні, M - їх єдина загальна точка. Тому пряма y = 3 теж має проходити через неї, звідки a + 1 = 3 та a = 2. Легко бачити, що при a = 2 всі три прямі дійсно
різні.
Друге рішення. За умовою в точці перетину a x + 1 = x + a  (a - 1)(x - 1) = 0, звідки a = 1 або x = 1. Але випадок a = 1 неможливий, тому що тоді перші дві прямі
збігалися б. Далі міркуємо як у першому рішенні.