Поняття нерівності, пов'язані визначення. Найпростіші нерівності Відкритий числовий промінь

Нескінченність і мінус нескінченність у будь-якій нерівності завжди записуються з круглою дужкою.

Якщо обидві дужки у записі круглі, числовий проміжок називається відкритим. Кінці відкритого проміжку є рішенням нерівності і входять у відповідь.

Кінець проміжку з квадратною дужкою включається у відповідь.

Запис проміжку завжди ведеться зліва направо, від меншого до більшого.

Вирішення найпростіших лінійних нерівностей схематично можна представити у вигляді схеми:

Розглянемо приклади розв'язання найпростіших лінійних нерівностей.

Title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com">!}

Читають: «ікс понад дванадцять».

Рішення :

Нерівність непогана, на числовій прямій 12 зображуємо виколотою точкою.

До знаку нерівності помальовуємо стрілочку: ->. Стрілочка вказує, що від 12 штрихування йде вправо, до плюс нескінченності:

Так як нерівність суворе і точка x = 12 виколоти, у відповідь 12 записуємо з круглою дужкою.

Читають: «Ікс належить відкритому проміжку від дванадцяти до нескінченності».

Читають: «ікс більше мінус трьох цілих сімдесятих»

Рішення :

Нерівність непогана, тому -3,7 на числовій прямій зображуємо зафарбованою точкою. Подумки намальовуємо до знаку нерівності стрілочку: -≥. Стрілочка спрямована вправо, тому штрихування від -3,7 йде вправо, на нескінченність:

Оскільки нерівність непогана і точка x = -3,7 зафарбована, -3,7 у відповідь записуємо з квадратною дужкою.

Читають: «ікс належить проміжку від мінус трьох цілих сімдесятих до нескінченності, включаючи мінус три цілих сім десятих».

Читають: «ікс менший за нуль цілих двох десятих» (або «ікс менший за нуль цілих дві десятих»).

Рішення :

Нерівність суворе, 0,2 на числовій прямій зображуємо виколотий точкою. До знаку нерівності помальовуємо стрілочку:<—. Стрелочка подсказывает, что от 0,2 штриховка уходит влево, к минус бесконечности:

Нерівність суворе, точка виколота, 0,2 - з круглою дужкою.

Читають: «Ікс належить відкритому проміжку від мінус нескінченності до нуля цілих двох десятих».

Читають: «ікс менше чи дорівнює п'яти».

Рішення :

Нерівність непогана, на числовій прямій 5 зображуємо зафарбованою точкою. До знаку нерівності подумки малюємо стрілочку: ≤—. Напрямок штрихування - вліво, до мінус нескінченності:

Нерівність непогана, точка зафарбована, 5 - з квадратною дужкою.

Читають: "ікс належить проміжку від мінус нескінченності до п'яти, включаючи п'ять".

З нерівностями ми познайомилися у школі, де застосовуємо числові нерівності. У статті розглянемо характеристики числових нерівностей, яких будуються принципи роботи з ними.

Властивості нерівностей аналогічні властивостям числових нерівностей. Будуть розглянуті властивості, його обґрунтування, наведемо приклади.

Числові нерівності: визначення, приклади

При запровадженні поняття нерівності маємо, що й визначення виробляється у вигляді записи. Є алгебраїчні вирази, які мають знаки ≠ ,< , >, ≤, ≥. Дамо визначення.

Визначення 1

Числовою нерівністюназивають нерівність, у запису якого обидві сторони мають числа та числові вирази.

Числові нерівності розглядаємо ще школі після вивчення натуральних чисел. Такі операції порівняння вивчаються поетапно. Початкові маю вигляд 1< 5 , 5 + 7 >3 . Після чого правила доповнюються, а нерівності ускладнюються, тоді отримуємо нерівності виду 5 2 3 > 5 1 (2) ln 0 . 73 - 17 2< 0 .

Властивості числових нерівностей

Щоб правильно працювати з нерівностями, необхідно використовувати властивості числових нерівностей. Вони йдуть із поняття нерівності. Таке поняття задається за допомогою твердження, яке позначається як "більше" або "менше".

Визначення 2

• число a більше b, коли різницю a - b - позитивне число;
• число a менше b, коли різницю a - b - від'ємне число;
• число a дорівнює b, коли різницю a - b дорівнює нулю.

Визначення використовується при розв'язанні нерівностей з відносинами "менше або одно", "більше або одно". Отримуємо, що

Визначення 3

• a більше або дорівнює b коли а - b є невід'ємним числом;
• a менше або дорівнює b коли а - b є непозитивним числом.

Визначення буде використано при доказах властивостей числових нерівностей.

Основні властивості

Розглянемо 3 основні нерівності. Використання знаків< и >характерно при властивостях:

Визначення 4

• антирефлексивності, Що говорить про те, що будь-яке число a з нерівностей a< a и a >a вважається неправильним. Відомо, що для будь-якого a має місце бути рівність a − a = 0 , звідси отримуємо, що а = а. Значить, a< a и a >a неправильно. Наприклад, 3< 3 и - 4 14 15 >- 4 14 15 є неправильними.
• асиметричності. Коли числа a та b є такими, що a< b , то b >a якщо а > b , то b< a . Используя определение отношений «больше», «меньше» обоснуем его. Так как в первой части имеем, что a < b , тогда a − b является отрицательным числом. А b − a = − (a − b) положительное число, потому как число противоположно отрицательному числу a − b . Отсюда следует, что b >a. Аналогічним чином доводиться і його частина.

Приклад 1

Наприклад, при заданій нерівності 5< 11 имеем, что 11 >5 , значить числова нерівність − 0 , 27 > − 1 , 3 перепишеться у вигляді − 1 , 3< − 0 , 27 .

Перед тим, як перейти до наступної властивості, зауважимо, що за допомогою асиметричності можна читати нерівність справа ліворуч і навпаки. Таким чином, числову нерівність можна змінювати та міняти місцями.

Визначення 5

• транзитивності. Коли числа a, b, c відповідають умові a< b и b < c , тогда a < c , и если a >b і b > c тоді a > c .

Доказ 1

Перше твердження можна довести. Умова a< b и b < c означает, что a − b и b − c являются отрицательными, а разность а - с представляется в виде (a − b) + (b − c) , что является отрицательным числом, потому как имеем сумму двух отрицательных a − b и b − c . Отсюда получаем, что а - с является отрицательным числом, а значит, что a < c . Что и требовалось доказать.

Аналогічно доводиться друга частина з властивістю транізитивності.

Приклад 2

Розібрану властивість розглядаємо на прикладі нерівностей − 1< 5 и 5 < 8 . Отсюда имеем, что − 1 < 8 . Аналогичным образом из неравенств 1 2 >1 8 і 1 8 > 1 32 випливає, що 1 2 > 1 32 .

Числові нерівності, які записуються за допомогою нестрогих знаків нерівності, мають властивість рефлексивності, тому що a ≤ a і a ≥ a можуть мати випадок рівності а = а. їм властива асиметричність та транзитивність.

Визначення 6

Нерівності, що мають у записі знаки ≤ та ≥, мають властивості:

• рефлексивності a ≥ a та a ≤ a вважаються вірними нерівностями;
• антисиметричності, коли a ≤ b , тоді b ≥ a і якщо a ≥ b , тоді b ≤ a .
• транзитивності, коли a b і b b c , тоді a b , а також, якщо a b і b b c , то тоді a c .

Доказ провадиться аналогічним чином.

Інші важливі властивості числових нерівностей

Для доповнення основних властивостей нерівностей використовуються результати, що мають практичне значення. Застосовується принцип способу оцінка значень висловів, у яких і базуються принципи розв'язання нерівностей.

Цей пункт розкриває характеристики нерівностей одного знака суворого неарвенства. Аналогічно виготовляється для нестрогих. Розглянемо на прикладі, сформулювавши нерівність якщо a< b и c являются любыми числами, то a + c < b + c . Справедливыми окажутся свойства:

• якщо a > b, то a + c > b + c;
• якщо a ≤ b , то a + c ≤ b + c;
• якщо a b , то a + c b + c .

Для зручного представлення дамо відповідне твердження, яке записується та наводяться докази, показуються приклади використання.

Визначення 7

Додавання чи обчислення числа до обох сторін. Інакше кажучи, коли a та b відповідають нерівності a< b , тогда для любого такого числа имеет смысл неравенство вида a + c < b + c .

Доказ 2

Щоб довести це, необхідно, щоб рівняння відповідало умові a< b . Тогда (a + c) − (b + c) = a + c − b − c = a − b . Из условия a < b получим, что a − b < 0 . Значит, (a + c) − (b + c) < 0 , откуда a + c < b + c . Множество действительных числе могут быть изменены с помощью прибавления противоположного числа – с.

Приклад 3

Наприклад, якщо обидві частини нерівності 7 > 3 збільшуємо на 15 тоді одержуємо, що 7 + 15 > 3 + 15 . Це дорівнює 22> 18 .

Визначення 8

Коли обидві частини нерівності помножити або розділити на те саме число c , отримаємо правильну нерівність. Якщо взяти число з негативним, знак зміниться на протилежний. Інакше це виглядає так: для a та b нерівність виконується, коли a< b и c являются положительными числами, то a· c < b · c , а если v является отрицательным числом, тогда a · c >b · c.

Доказ 3

Коли є випадок c > 0 необхідно скласти різницю лівої і правої частин нерівності. Тоді отримуємо, що a · c − b · c = (a − b) · c . З умови a< b , то a − b < 0 , а c >0 тоді добуток (a − b) · c буде негативним. Звідси випливає, що a · c − b · c< 0 , где a · c < b · c . Другая часть доказывается аналогичным образом.

За доказом розподіл на ціле число можна замінити множенням на зворотне заданому, тобто 1 c . Розглянемо приклад якості на певних числах.

Приклад 4

Дозволено обидві частини нерівності 4< 6 умножаем на положительное 0 , 5 , тогда получим неравенство вида − 4 · 0 , 5 < 6 · 0 , 5 , где − 2 < 3 . Когда обе части делим на - 4 , то необходимо изменить знак неравенства на противоположный. отсюда имеем, что неравенство примет вид − 8: (− 4) ≥ 12: (− 4) , где 2 ≥ − 3 .

Тепер сформулюємо два результати, які використовуються при вирішенні нерівностей:

• Наслідок 1. При зміні знаків частин числової нерівності змінюється сам знак нерівності на протилежний, як a< b , как − a >− b . Це відповідає правилу множення обох частин на -1. Воно застосовується для переходу. Наприклад, − 6< − 2 , то 6 > 2 .
• Наслідок 2. При заміні зворотними числами частин числової нерівності на протилежний, змінюється його знак, причому нерівність залишиться вірним. Звідси маємо, що a та b є позитивними числами, a< b , 1 a >1b.

При розподілі обох частин нерівності a< b разрешается на число a · b . Данное свойство используется при верном неравенстве 5 >3 2 маємо, що 1 5< 2 3 . При отрицательных a и b c условием, что a < b , неравенство 1 a >1b може вийти неправильним.

Приклад 5

Наприклад, − 2< 3 , однако, - 1 2 >1 3 є неправильною рівністю.

Усі пункти поєднує те, що дії над частинами нерівності дають правильну нерівність на виході. Розглянемо властивості, де спочатку є кілька числових нерівностей, яке результат отримаємо при додаванні чи множенні його частин.

Визначення 9

Коли числа a, b, c, d справедливі для нерівностей a< b и c < d , тогда верным считается a + c < b + d . Свойство можно формировать таким образом: почленно складывать числа частей неравенства.

Доказ 4

Доведемо, що (a + c) - (b + d) є негативним числом, тоді отримаємо, що a + c< b + d . Из условия имеем, что a < b и c < d . Выше доказанное свойство позволяет прибавлять к обеим частям одинаковое число. Тогда увеличим неравенство a < b на число b , при c < d , получим неравенства вида a + c < b + c и b + c < b + d . Полученное неравенство говорит о том, что ему присуще свойство транзитивности.

Властивість застосовується для почленного додавання трьох, чотирьох і більше числових нерівностей. Числам a 1 , a 2 , … , a n і b 1 , b 2 , … , b n справедливі нерівності a 1< b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , можно доказать метод математической индукции, получив a 1 + a 2 + … + a n < b 1 + b 2 + … + b n .

Приклад 6

Наприклад, за даних трьох числових нерівностей одного знака − 5< − 2 , − 1 < 12 и 3 < 4 . Свойство позволяет определять то, что − 5 + (− 1) + 3 < − 2 + 12 + 4 является верным.

Визначення 10

Почленное множення обох частин дає у результаті позитивне число. При a< b и c < d , где a , b , c и d являются положительными числами, тогда неравенство вида a · c < b · d считается справедливым.

Доказ 5

Щоб довести це, необхідно обидві частини нерівності a< b умножить на число с, а обе части c < d на b . В итоге получим, что неравенства a · c < b · c и b · c < b · d верные, откуда получим свойство транизитивности a · c < b · d .

Ця властивість вважається справедливою кількості чисел, куди необхідно помножити обидві частини нерівності. Тоді a 1 , a 2 , … , a nі b 1 , b 2 , … , b nє позитивними числами, де a 1< b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , то a 1 · a 2 · … · a n< b 1 · b 2 · … · b n .

Зауважимо, що з запису нерівностей є непозитивні числа, їх почленное множення призводить до неправильним нерівностей.

Приклад 7

Наприклад, нерівність 1< 3 и − 5 < − 4 являются верными, а почленное их умножение даст результат в виде 1 · (− 5) < 3 · (− 4) , считается, что − 5 < − 12 это является неверным неравенством.

Наслідок: Почленное множення нерівностей a< b с положительными с a и b , причем получается a n < b n .

Властивості числових нерівностей

Розглянемо нижче властивості числових нерівностей.

1. a< a , a >a - невірні нерівності,
   a ≤ a , a ≥ a - правильні нерівності.
2. Якщо a< b , то b >a – антисиметричність.
3. Якщо a< b и b < c то a < c - транзитивность.
4. Якщо a< b и c - любоое число, то a + с < b + c .
5. Якщо a< b и c - положительное число, то a · c < b · c ,
   Якщо a< b и c - отрицательное число, то a · c >b · c.

Наслідок 1: якщо a< b , то - a >-b.

Наслідок 2: якщо a та b - позитивні числа та a< b , то 1 a >1b.

1. Якщо a 1< b 1 , a 2 < b 2 , . . . , a n < b n , то a 1 + a 2 + . . . + a n < b 1 + b 2 + . . . + b n .
2. Якщо a 1, a 2,. . . , a n , b 1 , b 2 , . . . , b n - позитивні числа та a 1< b 1 , a 2 < b 2 , . . . , a n < b n , то a 1 · a 2 · . . . · a n < b 1 · b 2 · . . . b n .

Слідство 1: якщо a< b , a і b - Позитивні числа, a n< b n .

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Визначення та властивості

Нерівністю ми називатимемо два числових або літерних вирази, сполучених знаками >,<, ≥, ≤ или ≠.

Приклад: 5 > 3

Ця нерівність свідчить, що число 5 більше, ніж число 3. Гострий кут знака нерівності може бути спрямований убік меншого числа. Ця нерівність є вірною, оскільки 5 більше, ніж 3.

Якщо на ліву чашу терезів покласти кавун масою 5 кг, а на праву — кавун масою 3 кг, то ліва чаша переважить праву, і екран терезів покаже, що ліва чаша важча за праву.

Якщо 5 > 3, то 3< 5 . То есть левую и правую часть неравенства можно поменять местами, изменив знак неравенства на противоположный. В ситуации с весами: большой арбуз можно положить на правую чашу, а маленький арбуз на левую. Тогда правая чаша перевесит левую, и экран покажет знак <

Якщо в нерівності 5 > 3 не чіпаючи ліву і праву частину, поміняти знак на< , то получится неравенство 5 < 3 . Это неравенство не является верным, поскольку число 3 не может быть больше числа 5.

Числа, які розташовуються в лівій та правій частині нерівності, називатимемо членамицієї нерівності. Наприклад, у нерівності 5 > 3 членами є числа 5 та 3.

Розглянемо деякі важливі властивості для нерівності 5>3.
У майбутньому ці характеристики працюватимуть й інших нерівностей.

Властивість 1.

Якщо до лівої та правої частини нерівності 5 > 3 додати або відняти одне й те саме число, то знак нерівності не зміниться.

Наприклад, додамо до обох частин нерівності число 4. Тоді отримаємо:

Тепер спробуємо відняти з обох частин нерівності 5 > 3 якесь число, скажімо число 2

Бачимо, що ліва частина, як і раніше, більша за праву.

З цієї властивості слід, будь-який член нерівності можна перенести з однієї частини до іншої, змінивши знак цього члена. Знак нерівності у своїй не зміниться.

Наприклад, перенесемо в нерівності 5 > 3 член 5 з лівої частини в праву частину, змінивши знак цього члена. Після перенесення члена 5 у праву частину, у лівій частині нічого не залишиться, тому запишемо там 0

0 > 3 − 5

0 > −2

Бачимо, що ліва частина, як і раніше, більша за праву.

Властивість 2.

Якщо обидві частини нерівності помножити або розділити на те саме позитивне число, то знак нерівності не зміниться.

Наприклад, помножимо обидві частини нерівності 5 > 3 на якесь позитивне число, скажімо на число 2. Тоді отримаємо:

Бачимо, що ліва частина, як і раніше, більша за праву.

Тепер спробуємо розділитиобидві частини нерівності 5 > 3 на якесь число. Розділимо їх на 2

Бачимо, що ліва частина, як і раніше, більша за праву.

Властивість 3.

Якщо обидві частини нерівності помножити або розділити на те саме від'ємне числото знак нерівності зміниться на протилежний.

Наприклад, помножимо обидві частини нерівності 5 > 3 на якесь негативне число, скажімо на число −2 . Тоді отримаємо:

Тепер спробуємо розділитиобидві частини нерівності 5 > 3 якесь негативне число. Давайте розділимо їх на −1

Бачимо, що ліва частина стала меншою за праву. Тобто знак нерівності змінився протилежним.

Сама собою нерівність можна розуміти, як деяка умова. Якщо умова виконується, то нерівність є правильною. І навпаки, якщо умова не виконується, то нерівність не є правильною.

Наприклад, щоб відповісти на запитання чи є вірною нерівність 7 > 3 , потрібно перевірити чи виконується умова «чи більше 7, ніж 3» . Ми знаємо, що число 7 більше, ніж число 3. Тобто умова виконана, отже, і нерівність 7 > 3 вірна.

Нерівність 8< 6 не является верным, поскольку не выполняется условие "8 менше, ніж 6".

Іншим способом визначення вірності нерівності є складання різниці з лівої та правої частини даної нерівності. Якщо різниця позитивна, то ліва частина більша за праву частину. І навпаки, якщо різниця негативна, то ліва частина менша за праву частину. Більш точно це правило виглядає так:

Число aбільше числа bякщо різниця a − bпозитивна. Число aменше числа bякщо різниця a − bнегативна.

Наприклад, ми з'ясували, що нерівність 7 > 3 є правильною, оскільки число 7 більше, ніж число 3. Доведемо це за допомогою правила, наведеного вище.

Складемо різницю із членів 7 і 3. Тоді отримаємо 7 − 3 = 4 . Згідно з правилом, число 7 буде більшим за число 3, якщо різниця 7 − 3 виявиться позитивною. У нас вона дорівнює 4, тобто різниця позитивна. Отже число 7 більше числа 3.

Перевіримо за допомогою різниці чи нерівність 3< 4 . Составим разность, получим 3 − 4 = −1 . Согласно правилу, число 3 будет меньше числа 4, если разность 3 − 4 окажется отрицательной. У нас она равна −1, то есть разность отрицательна. А значит число 3 меньше числа 4.

Перевіримо чи нерівність 5 > 8 . Складемо різницю, отримаємо 5 − 8 = −3 . Згідно з правилом, число 5 буде більшим за число 8, якщо різниця 5 − 8 виявиться позитивною. У нас різниця дорівнює -3, тобто вона не єпозитивною. Отже число 5 не більшечисла 3. Іншими словами, нерівність 5 > 8 не є правильною.

Суворі та несуворі нерівності

Нерівності, що містять знаки >,< называют строгими. А нерівності, що містять знаки ≥, ≤ називають нестрогими.

Приклади суворої нерівності ми розглядали раніше. Такими є нерівності 5 > 3 7< 9 .

Нестрогим, наприклад, є нерівність 2 ≤ 5 . Цю нерівність читають так: «2 менше або дорівнює 5» .

Запис 2 ≤ 5 є неповним. Повний запис цієї нерівності виглядає так:

2 < 5 або 2 = 5

Тоді стає очевидним, що нерівність 2 ≤ 5 складається із двох умов: «два менше п'ять» і «два рівно п'ять» .

Нечитка нерівність правильна в тому випадку, якщо виконується хоча б одна з його умов. У нашому прикладі вірною є умова «2 менше 5». Значить і сама нерівність 2 ≤ 5 вірна.

Приклад 2. Нерівність 2 ≤ 2 є правильною, оскільки виконується одна з її умов, а саме 2 = 2.

Приклад 3. Нерівність 5 ≤ 2 не є правильною, оскільки не виконується жодна з її умов: ні 5< 2 ни 5 = 2 .

Подвійна нерівність

Число 3 більше, ніж число 2 і менше, ніж число 4 . У вигляді нерівності цей вислів можна записати так: 2< 3 < 4 . Такое неравенство называют двойным.

Подвійна нерівність може містити знаки несуворих нерівностей. Наприклад, якщо число 5 більше або дорівнює, ніж число 2, і менше або дорівнює, ніж число 7 , то можна записати, що 2 ≤ 5 ≤ 7

Щоб правильно записати подвійну нерівність, спочатку записують член, що знаходиться в середині, потім член, що знаходиться зліва, потім член, що знаходиться праворуч.

Наприклад, запишемо, що число 6 більше, ніж число 4, і менше, ніж число 9.

Спочатку записуємо 6

Зліва записуємо, що це число більше, ніж число 4

Справа записуємо, що число 6 менше, ніж число 9

Нерівність зі змінною

Нерівність, як і рівність може містити змінну.

Наприклад, нерівність x> 2 містить змінну x. Зазвичай таку нерівність потрібно вирішити, тобто з'ясувати за яких значень xця нерівність стає вірною.

Вирішити нерівність означає знайти такі значення змінної x, у яких ця нерівність стає вірним.

Значення змінної, у якому нерівність стає вірним, називається вирішенням нерівності.

Нерівність x> 2 стає вірним при x = 3, x = 4, x = 5, x = 6 і так далі до нескінченності. Бачимо, що ця нерівність має не одне рішення, а безліч рішень.

Іншими словами, вирішенням нерівності x> 2 є безліч всіх чисел, більших 2. При цих числах нерівність буде правильною. Приклади:

3 > 2

4 > 2

5 > 2

Число 2, що розташовується у правій частині нерівності x> 2 будемо називати кордономцієї нерівності. Залежно від знака нерівності, кордон може належати безлічі рішень нерівності або належати йому.

У прикладі межа нерівності не належить безлічі рішень, оскільки за підстановці числа 2 в нерівність x> 2 виходить не вірненерівність 2 > 2 . Число 2 не може бути більше самого себе, оскільки воно дорівнює самому собі (2 = 2).

Нерівність x> 2 є суворим. Його можна прочитати так: x строго більше 2″ . Тобто всі значення, що приймаються змінною xповинні бути строго більше 2. Інакше нерівність вірною не буде.

Якби нам було дано не сувору нерівність x≥ 2 , то рішеннями даної нерівності були б усі числа, які більші за 2, у тому числі й саме число 2. У цій нерівності межа 2 належить множині розв'язків нерівності, оскільки при підстановці числа 2 у нерівність x≥ 2 утворюється правильна нерівність 2 ≥ 2 . Раніше було сказано, що сувора нерівність є вірною, якщо виконується хоча б одна з її умов. У нерівності 2 ≥ 2 виконується умова 2 = 2 , тому й сама нерівність 2 ≥ 2 є правильною.

Як вирішувати нерівності

Процес розв'язання нерівностей багато в чому схожий на процес розв'язання рівнянь. При розв'язанні нерівностей ми застосовуватимемо властивості, які вивчили спочатку даного уроку, такі як: перенесення доданків з однієї частини нерівності в іншу частину, змінюючи знак; множення (чи розподіл) обох частин нерівності одне й те число.

Ці властивості дозволяють отримати нерівність, яка рівносильна вихідному. Рівносильними називають нерівності, розв'язання яких збігаються.

Вирішуючи рівняння ми виконували тотожні перетворення до того часу, поки лівої частини рівняння не залишалася змінна, а правої частини значення цієї змінної (наприклад: x = 2, x = 5). Іншими словами, замінювали вихідне рівняння на рівносильне йому рівняння доти, доки не виходило рівняння виду x = a, де aзначення змінної x. Залежно від рівняння, коріння могло бути один, два, безліч, або не бути зовсім.

А при розв'язанні нерівностей ми замінюватимемо вихідну нерівність на рівносильну йому нерівність доти, поки в лівій частині не залишиться змінна цієї нерівності, а в правій частині її межа.

Приклад 1. Розв'язати нерівність 2 x> 6

Отже, потрібно знайти такі значення x ,при підстановці яких 2 x> 6 вийде правильна нерівність.

Спочатку даного уроку було сказано, що якщо обидві частини нерівності поділити на якесь позитивне число, то знак нерівності не зміниться. Якщо застосувати цю властивість до нерівності, що містить змінну, то вийде нерівність рівносильна вихідному.

У нашому випадку, якщо ми розділимо обидві частини нерівності 2 x> 6 на якесь позитивне число, то вийде нерівність, яка дорівнює вихідній нерівності 2 x> 6.

Отже, розділимо обидві частини нерівності на 2.

У лівій частині залишилася змінна x, а права частина дорівнювала 3. Вийшла рівносильна нерівність x> 3. У цьому рішення завершується, оскільки у лівій частині залишилася змінна, а правої частини межа нерівності.

Тепер можна дійти невтішного висновку, що рішеннями нерівності x> 3 є всі числа, які більші за 3. Це числа 4, 5, 6, 7 і так далі до нескінченності. При цих значеннях нерівність x> 3 буде вірним.

4 > 3

5 > 3

6 > 3

7 > 3

Зазначимо, що нерівність x> 3 є суворим. « Змінна x строго більша за три».

А оскільки нерівність x> 3 рівносильно вихідній нерівності 2 x> 6 , їх рішення будуть збігатися. Інакше кажучи, значення, які підходять нерівності x> 3, підійдуть і нерівності 2 x 6. Покажемо це.

Візьмемо, наприклад, число 5 і підставимо його спочатку в отриману нами рівносильну нерівність x> 3 а потім у вихідне 2 x> 6 .

Бачимо, що в обох випадках виходить правильна нерівність.

Після того, як нерівність вирішена, відповідь потрібно записати у вигляді так званого числового проміжкунаступним чином:

У цьому вираженні говориться, що значення, що приймаються змінною x, належать числовому проміжку від трьох до плюс нескінченності.

Інакше кажучи, всі числа, починаючи від трьох до плюс нескінченності, є рішеннями нерівності x>3. Знак ∞ у математиці означає нескінченність.

Враховуючи, що поняття числового проміжку дуже важливе, зупинимося на ньому докладніше.

Числові проміжки

Числовим проміжкомназивають безліч чисел на координатній прямій, яка може бути описана за допомогою нерівності.

Допустимо, ми хочемо зобразити на координатній прямій безліч чисел від 2 до 8. Для цього спочатку на координатній прямій відзначаємо точки з координатами 2 і 8, а потім виділяємо штрихами ту область, яка розташовується між координатами 2 і 8. Ці штрихи будуть грати роль чисел , що розташовуються між числами 2 та 8

Числа 2 та 8 назвемо межамичислового проміжку. Малюючи числовий проміжок, точки для його меж зображують над вигляді точок як таких, а вигляді гуртків, які можна розглянути.

Кордони можуть належати числовому проміжку або належати йому.

Якщо межі не належатьчисловому проміжку, то вони зображуються на координатній прямій у вигляді порожніх гуртків.

Якщо межі належатьчисловому проміжку, то гуртки необхідно зафарбувати.

На нашому малюнку гуртки були залишені порожніми. Це означало, що межі 2 та 8 не належать числовому проміжку. Значить у наш числовий проміжок входитимуть усі числа від 2 до 8, крім чисел 2 та 8.

Якщо ми хочемо включити межі 2 і 8 у числовий проміжок, то кружки необхідно зафарбувати:

В даному випадку до числового проміжку входитимуть усі числа від 2 до 8, включаючи числа 2 і 8.

На листі числовий проміжок позначається його межами за допомогою круглих або квадратних дужок.

Якщо межі не належать круглими дужками.

Якщо межі належатьчисловому проміжку, то межі обрамляються квадратними дужками.

На малюнку представлено два числові проміжки від 2 до 8 з відповідними позначеннями:

На першому малюнку числовий проміжок позначений за допомогою круглих дужок, оскільки межі 2 та 8 не належатьцьому числовому проміжку.

На другому малюнку числовий проміжок позначений за допомогою квадратних дужок, оскільки межі 2 та 8 належатьцьому числовому проміжку.

За допомогою числових проміжків можна записувати відповіді до нерівностей. Наприклад, відповідь до подвійної нерівності 2 ≤ x≤ 8 записується так:

x ∈ [ 2 ; 8 ]

Тобто спочатку записують змінну, що входить у нерівність, потім за допомогою знака приналежності ∈ вказують, до якого числового проміжку належать значення цієї змінної. В даному випадку вираз x∈ [2; 8] вказує на те, що змінна x,що входить у нерівність 2 ≤ x≤ 8 приймає всі значення в проміжку від 2 до 8 включно. При цих значеннях нерівність буде правильною.

Звернемо увагу на те, що відповідь записана за допомогою квадратних дужок, оскільки межі нерівності 2 ≤ x≤ 8 , а саме числа 2 і 8 належать безлічі розв'язків цієї нерівності.

Безліч розв'язків нерівності 2 ≤ x≤ 8 можна також зобразити за допомогою координатної прямої:

Тут межі числового проміжку 2 та 8 відповідають кордонам нерівності 2 ≤ x x 2 ≤ x≤ 8 .

У деяких джерелах кордону, які не належать числовому проміжку, називають відкритими .

Відкритими їх називають з тієї причини, що числовий проміжок залишається відкритим через те, що його межі не належать до цього числового проміжку. Порожній гурток на координатній прямої математики називають виколотою точкою . Виколоти точку означає виключити її з числового проміжку або з множини рішень нерівності.

А у випадку, коли межі належать числовому проміжку, їх називають закритими(або замкнутими), оскільки такі межі закривають (замикають) числовий проміжок. Зафарбований кружок на координатній прямій також говорить про закритість кордонів.

Існують різновиди числових проміжків. Розглянемо кожен із них.

Числовий промінь

Числовим променем x ≥ a, де a x -розв'язання нерівності.

Нехай a= 3 . Тоді нерівність x ≥ aнабуде вигляду x≥3. Рішеннями даної нерівності є всі числа, які більше 3, включаючи саме число 3.

Зобразимо числовий промінь, заданий нерівністю x≥ 3 на координатній прямій. Для цього відзначимо на ній точку з координатою 3, а всю решту праворуч від неї областьвиділимо штрихами. Виділяється саме права частина, оскільки рішеннями нерівності x≥ 3 є числа, більші 3. А більші числа на координатній прямій розташовуються правіше

x≥ 3 а виділена штрихами область відповідає безлічі значень x, які є рішеннями нерівності x≥ 3 .

Точка 3, яка є межею числового променя, зображена у вигляді зафарбованого кружка, оскільки межа нерівності x≥ 3 належить множині його рішень.

На листі числовий промінь, заданий нерівністю x ≥ a,

[ a; +∞)

Видно, що з одного боку межа обрамлена квадратною дужкою, а з іншого — круглою. Це пов'язано з тим, що одна межа числового променя належить йому, а інша ні, оскільки нескінченність сама по собі меж не має і мається на увазі, що по той бік немає числа, що замикає цей числовий промінь.

Враховуючи те, що одна з меж числового променя закрита, цей проміжок часто називають закритим числовим променем.

Запишемо відповідь до нерівності x≥ 3 за допомогою позначення числового променя. У нас змінна aдорівнює 3

x ∈ [ 3 ; +∞)

У цьому виразі йдеться, що змінна x, що входить у нерівність x≥ 3 приймає всі значення від 3 до плюс нескінченності.

Інакше кажучи, всі числа від 3 до плюс нескінченності є рішеннями нерівності x≥3. Кордон 3 належить безлічі рішень, оскільки нерівність x≥ 3 є несуворим.

Закритим числовим променем також називають числовий проміжок, який задається нерівністю x ≤ a.Розв'язаннями нерівності x ≤ a a,включаючи саме число a.

Наприклад, якщо a x≤ 2 . На координатній прямій межа 2 зображуватиметься зафарбованим кружком, а вся область, що знаходиться ліворуч, буде виділено штрихами. Цього разу виділяється ліва частина, оскільки рішеннями нерівності x≤ 2 є числа, менші 2. А менші числа на координатній прямій розташовуються ліворуч

x≤ 2 , а виділена штрихами область відповідає безлічі значень x, які є рішеннями нерівності x≤ 2 .

Точка 2, яка є межею числового променя, зображена у вигляді зафарбованого кружка, оскільки межа нерівності x≤ 2 належить множині його рішень.

Запишемо відповідь до нерівності x≤ 2 за допомогою позначення числового променя:

x ∈ (−∞ ; 2 ]

x≤ 2. Кордон 2 належить множині рішень, оскільки нерівність x≤ 2 є несуворим.

Відкритий числовий промінь

Відкритим числовим променемназивають числовий проміжок, який задається нерівністю x > a, де a— межа цієї нерівності, x- Вирішення нерівності.

Відкритий числовий промінь багато в чому схожий на закритий числовий промінь. Відмінність у цьому, що кордон aне належить проміжку, як і межа нерівності x > aне належить безлічі його рішень.

Нехай a= 3 . Тоді нерівність набуде вигляду x>3. Розв'язаннями даної нерівності є всі числа, які більші за 3, за винятком числа 3

На координатній прямій межа відкритого числового променя, заданого нерівністю x> 3, буде зображуватися як порожнього кружка. Вся область, що знаходиться праворуч, буде виділена штрихами:

Тут точка 3 відповідає межі нерівності x > 3 а виділена штрихами область відповідає безлічі значень x, які є рішеннями нерівності x > 3 . Точка 3, яка є межею відкритого числового променя, зображена у вигляді порожнього кружка, оскільки межа нерівності x > 3 не належить множині його рішень.

x > a , позначається так:

(a; +∞)

Круглі дужки вказують на те, що межі відкритого числового променя не належать йому.

Запишемо відповідь до нерівності x> 3 за допомогою позначення відкритого числового променя:

x ∈ (3 ; +∞)

У цьому вся вираженні говориться, що це числа від 3 до плюс нескінченності, є рішеннями нерівності x>3. Кордон 3 не належить безлічі рішень, оскільки нерівність x> 3 є суворим.

Відкритим числовим променем також називають числовий проміжок, який задається нерівністю x< a , де a— межа цієї нерівності, x- Вирішення нерівності . Розв'язаннями нерівності x< a є всі числа, які менші a,виключаючи число a.

Наприклад, якщо a= 2 , то нерівність набуде вигляду x< 2 . На координатній прямий кордон 2 зображуватиметься порожнім кружком, а вся область, що знаходиться зліва, буде виділена штрихами:

Тут точка 2 відповідає межі нерівності x< 2 а виділена штрихами область відповідає безлічі значень x, які є рішеннями нерівності x< 2 . Точка 2, яка є межею відкритого числового променя, зображена у вигляді порожнього кружка, оскільки межа нерівності x< 2 не належить безлічі його рішень.

На листі відкритий числовий промінь, заданий нерівністю x< a , позначається так:

(−∞ ; a)

Запишемо відповідь до нерівності x< 2 за допомогою позначення відкритого числового променя:

x ∈ (−∞ ; 2)

У цьому вся вираженні говориться, що це числа від мінус нескінченності до 2, є рішеннями нерівності x< 2. Кордон 2 не належить безлічі рішень, оскільки нерівність x< 2 є суворим.

Відрізок

Відрізком a ≤ x ≤ b, де aі b x- Вирішення нерівності.

Нехай a = 2 , b= 8 . Тоді нерівність a ≤ x ≤ bнабуде вигляду 2 ≤ x≤ 8 . Розв'язаннями нерівності 2 ≤ x≤ 8 є всі числа, які більші за 2 і менші за 8. При цьому межі нерівності 2 і 8 належать безлічі його розв'язків, оскільки нерівність 2 ≤ x≤ 8 є несуворим.

Зобразимо відрізок, заданий подвійною нерівністю 2 ≤ x≤ 8 на координатній прямій. Для цього відзначимо на ній точки з координатами 2 і 8, а розташовану між ними область виділимо штрихами:

≤ x≤ 8 , а виділена штрихами область відповідає безлічі значень x x≤ 8 . Точки 2 та 8, які є межами відрізка, зображені у вигляді зафарбованих кружків, оскільки межі нерівності 2 ≤ x≤ 8 належать до безлічі його рішень.

На листі відрізок, заданий нерівністю a ≤ x ≤ bпозначається так:

[ a; b ]

Квадратні дужки з обох боків вказують на те, що межі відрізка належатьйому. Запишемо відповідь до нерівності 2 ≤ x

x ∈ [ 2 ; 8 ]

У цьому виразі йдеться, що всі числа від 2 до 8 включно є рішеннями нерівності 2 ≤ x≤ 8 .

Інтервал

Інтерваломназивають числовий проміжок, який задається подвійною нерівністю a< x < b , де aі b— межі цієї нерівності, x- Вирішення нерівності.

Нехай a = 2, b = 8. Тоді нерівність a< x < b набуде вигляду 2< x< 8 . Решениями этого двойного неравенства являются все числа, которые больше 2 и меньше 8, исключая числа 2 и 8.

Зобразимо інтервал на координатній прямій:

Тут точки 2 та 8 відповідають межам нерівності 2< x< 8 , а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x < x< 8 . Точки 2 и 8, являющиеся границами интервала, изображены в виде пустых кружков, поскольку границы неравенства 2 < x< 8 не принадлежат множеству его решений.

На листі інтервал, заданий нерівністю a< x < b, позначається так:

(a; b)

Круглі дужки з обох боків вказують на те, що межі інтервалу не належатьйому. Запишемо відповідь до нерівності 2< x< 8 с помощью этого обозначения:

x ∈ (2 ; 8)

У цьому виразі йдеться, що всі числа від 2 до 8, крім числа 2 і 8, є рішеннями нерівності 2< x< 8 .

Напівінтервал

Напівінтерваломназивають числовий проміжок, який задається нерівністю a ≤ x< b , де aі b— межі цієї нерівності, x- Вирішення нерівності.

Напівінтервалом також називають числовий проміжок, який задається нерівністю a< x ≤ b .

Одна з меж напівінтервалу належить йому. Звідси і назва цього числового проміжку.

У ситуації з напівінтервалом a ≤ x< b йому (напівінтервалу) належить ліва межа.

А в ситуації із напівінтервалом a< x ≤ b йому належить правий кордон.

Нехай a= 2 , b= 8 . Тоді нерівність a ≤ x< b набуде вигляду 2 ≤ x < 8 . Решениями этого двойного неравенства являются все числа, которые больше 2 и меньше 8, включая число 2, но исключая число 8.

Зобразимо напівінтервал 2 ≤ x < 8 на координатной прямой:

x < 8 , а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x, які є розв'язками нерівності 2 ≤ x < 8 .

Точка 2, яка є лівим кордономнапівінтервалу, зображена у вигляді зафарбованого кружка, оскільки ліва межа нерівності 2 ≤ x < 8 належитьбезлічі його рішень.

А точка 8, що є правим кордономнапівінтервалу, зображена у вигляді порожнього кружка, оскільки права межа нерівності 2 ≤ x < 8 не належить безлічі його рішень.

a ≤ x< b, позначається так:

[ a; b)

Видно, що з одного боку межа обрамлена квадратною дужкою, з другого круглої. Це з тим, що одна межа напівінтервалу належить йому, іншу ні. Запишемо відповідь до нерівності 2 ≤ x < 8 с помощью этого обозначения:

x ∈ [ 2 ; 8)

У цьому вся виразі йдеться, що це числа від 2 до 8, включаючи число 2, але крім числа 8, є рішеннями нерівності 2 ≤ x < 8 .

Аналогічно на координатній прямій можна зобразити напівінтервал, заданий нерівністю a< x ≤ b . Нехай a= 2 , b= 8 . Тоді нерівність a< x ≤ b набуде вигляду 2< x≤ 8 . Розв'язаннями цієї подвійної нерівності є всі числа, які більше 2 і менше 8, крім числа 2, але включаючи число 8.

Зобразимо напівінтервал 2< x≤ 8 на координатній прямій:

Тут точки 2 та 8 відповідають межам нерівності 2< x≤ 8 , а виділена штрихами область відповідає безлічі значень x, які є рішеннями нерівності 2< x≤ 8 .

Точка 2, яка є лівим кордономнапівінтервалу, зображена у вигляді порожнього кружка, оскільки ліва межа нерівності 2< x≤ 8 не належитьбезлічі його рішень.

А точка 8, що є правим кордономнапівінтервалу, зображена у вигляді зафарбованого кружка, оскільки права межа нерівності 2< x≤ 8 належитьбезлічі його рішень.

На листі напівінтервал, заданий нерівністю a< x ≤ b, позначається так: ( a; b]. Запишемо відповідь до нерівності 2< x≤ 8 за допомогою цього позначення:

x ∈ (2 ; 8 ]

У цьому виразі йдеться, що всі числа від 2 до 8, крім числа 2, але включаючи число 8, є рішеннями нерівності 2< x≤ 8 .

Зображення числових проміжків на координатній прямій

Числовий проміжок може бути заданий за допомогою нерівності або позначення (круглих або квадратних дужок). В обох випадках необхідно зобразити цей числовий проміжок на координатній прямій. Розглянемо кілька прикладів.

Приклад 1. Зобразити числовий проміжок, заданий нерівністю x> 5

Згадуємо, що нерівністю виду x> aзадається відкритий числовий промінь. У цьому випадку змінна aдорівнює 5. Нерівність x> 5 суворе, тому межа 5 зображатиметься у вигляді порожнього кружка. Нас цікавлять усі значення x,які більше 5, тому вся область справа буде виділена штрихами:

Приклад 2. Зобразити числовий проміжок (5; +∞) на координатній прямій

Це той самий числовий проміжок, який ми зобразили у попередньому прикладі. Але цього разу він не за допомогою нерівності, а за допомогою позначення числового проміжку.

Кордон 5 обрамлений круглою дужкою, отже вона не належить проміжку. Відповідно, гурток залишається порожнім.

Символ +∞ вказує, що нас цікавлять усі числа, які більші за 5. Відповідно, вся область праворуч від кордону 5 виділяється штрихами:

Приклад 3. Зобразити числовий проміжок (−5; 1) на координатній прямій.

Круглими дужками по обидва боки позначаються інтервали. Кордони інтервалу не належать йому, тому межі −5 та 1 зображатимуться на координатній прямій у вигляді порожніх гуртків. Вся область між ними буде виділена штрихами:

Приклад 4. Зобразити числовий проміжок, заданий нерівністю −5< x< 1

Це той самий числовий проміжок, який ми зобразили у попередньому прикладі. Але цього разу він заданий не за допомогою позначення проміжку, а за допомогою подвійної нерівності.

Нерівністю виду a< x < b , задається інтервал. У цьому випадку змінна aдорівнює −5 , а змінна bдорівнює одиниці. Нерівність −5< x< 1 суворе, тому межі −5 та 1 зображатимуться у вигляді порожніх кружка. Нас цікавлять усі значення x,які більше −5 , але менше одиниці, тому вся область між точками −5 та 1 буде виділена штрихами:

Приклад 5. Зобразити на координатній прямій числові проміжки [-1; 2] та

На цей раз зобразимо на координатній прямій одразу два проміжки.

Квадратними дужками по обидва боки позначаються відрізки. Кордони відрізка належать йому, тому межі відрізків [-1; 2] і зображатимуться на координатній прямій у вигляді зафарбованих гуртків. Вся область між ними буде виділено штрихами.

Щоб добре побачити проміжки [−1; 2] і перший можна зобразити на верхній області, а другий на нижній. Так і вчинимо:

Приклад 6. Зобразити на координатній прямій числові проміжки [-1; 2) та (2; 5)

Квадратною дужкою з одного боку та круглою з іншого позначаються напівінтервали. Один із меж напівінтервалу належать йому, а інший немає.

Що стосується напівінтервалом [-1; 2) ліва межа належатиме йому, а права ні. Значить ліва межа зображатиметься у вигляді зафарбованого кружка. Права ж межа зображатиметься у вигляді порожнього гуртка.

А у випадку з напівінтервалом (2; 5) йому належатиме лише права межа, а ліва ні. Значить ліва межа зображатиметься у вигляді зафарбованого кружка.

Зобразимо проміжок [-1; 2) на верхній області координатної прямої, а проміжок (2; 5] - на нижній:

Приклади розв'язання нерівностей

Нерівність, яка шляхом тотожних перетворень можна привести до вигляду ax > b(або на вигляд ax< b ), будемо називати лінійною нерівністю з однією змінною.

У лінійній нерівності ax > b , x- Це змінна, значення якої потрібно знайти, а- Коефіцієнт цієї змінної, b— межа нерівності, яка в залежності від знака нерівності може належати безлічі її рішень або не належати їй.

Наприклад, нерівність 2 x> 4 є нерівністю виду ax > b. У ньому роль змінної aграє число 2, роль змінної b(Границі нерівності) грає число 4.

Нерівність 2 x>4 можна зробити ще простіше. Якщо ми розділимо обидві його частини на 2, то отримаємо нерівність x> 2

Нерівність, що вийшла x> 2 також є нерівністю виду ax > b, тобто лінійною нерівністю з однією змінною. У цій нерівності роль змінної aграє одиниця. Раніше говорили, що коефіцієнт 1 не записують. Роль змінної bграє число 2.

Відштовхуючись від цих відомостей, спробуємо вирішити кілька простих нерівностей. У ході рішення ми виконуватимемо елементарні тотожні перетворення з метою отримати нерівність виду ax > b

Приклад 1. Вирішити нерівність x− 7 < 0

Додамо до обох частин нерівності число 7

x− 7 + 7 < 0 + 7

У лівій частині залишиться x, а права частина дорівнюватиме 7

x< 7

Шляхом елементарних перетворень ми навели нерівність x− 7 < 0 к равносильному неравенству x< 7 . Решениями неравенства x< 7 являются все числа, которые меньше 7. Граница 7 не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство строгое.

Коли нерівність приведена до виду x< a (або x > a), його можна вважати вже вирішеним. Наша нерівність x− 7 < 0 тоже приведено к такому виду, а именно к виду x< 7 . Но в большинстве школ требуют, чтобы ответ был записан с помощью числового промежутка и проиллюстрирован на координатной прямой.

Запишемо відповідь за допомогою числового проміжку. В даному випадку відповіддю буде відкритий числовий промінь (згадуємо, що числовий промінь задається нерівністю x< a і позначається як (−∞; a)

x ∈ (−∞ ; 7)

На координатній прямий межа 7 буде зображуватись у вигляді порожнього кружка, а вся область, що знаходиться зліва від кордону, буде виділена штрихами:

Для перевірки візьмемо будь-яке число із проміжку (−∞ ; 7) і підставимо його в нерівність x< 7 вместо переменной x. Візьмемо, наприклад, число 2

2 < 7

Вийшла правильна числова нерівність, отже, і рішення правильне. Візьмемо ще якесь число, наприклад, число 4

4 < 7

Вийшла правильна числова нерівність. Отже рішення правильне.

А оскільки нерівність x< 7 равносильно исходному неравенству x − 7 < 0 , то решения неравенства x< 7 будут совпадать с решениями неравенства x − 7 < 0 . Подставим те же тестовые значения 2 и 4 в неравенство x − 7 < 0

2 − 7 < 0

−5 < 0 — Верное неравенство

4 − 7 < 0

−3 < 0 Верное неравенство

Приклад 2. Вирішити нерівність −4 x < −16

Розділимо обидві частини нерівності на −4. Не забуваймо, що при розподілі обох частин нерівності на негативне число, знак нерівності змінюється на протилежний:

Ми привели нерівність −4 x < −16 к равносильному неравенству x>4. Розв'язаннями нерівності x> 4 будуть усі числа, які більші за 4. Кордон 4 не належить безлічі рішень, оскільки нерівність суворе.

x> 4 на координатній прямий і запишемо відповідь у вигляді числового проміжку:

Приклад 3. Вирішити нерівність 3y + 1 > 1 + 6y

Перенесемо 6 yз правої частини до лівої частини, змінивши знак. А одну з лівої частини перенесемо в праву частину, знову ж таки змінивши знак:

3y− 6y> 1 − 1

Наведемо такі складові:

−3y > 0

Розділимо обидві частини на −3. Не забуваємо, що з розподілі обох частин нерівності на негативне число, знак нерівності змінюється на протилежний:

Розв'язаннями нерівності y< 0 являются все числа, меньшие нуля. Изобразим множество решений неравенства y< 0 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

Приклад 4. Вирішити нерівність 5(x− 1) + 7 ≤ 1 − 3(x+ 2)

Розкриємо дужки в обох частинах нерівності:

Перенесемо −3 xз правої частини до лівої частини, змінивши знак. Члени −5 та 7 із лівої частини перенесемо у праву частину, знову ж таки змінивши знаки:

Наведемо такі складові:

Поділимо обидві частини нерівності, що вийшла на 8

Розв'язаннями нерівності є всі числа, які є меншими . Кордон належить безлічі рішень, оскільки нерівність є несуворим.

Приклад 5. Вирішити нерівність

Помножимо обидві частини нерівності на 2. Це дозволить позбавитися дробу в лівій частині:

Тепер перенесемо 5 із лівої частини у праву частину, змінивши знак:

Після приведення подібних доданків, отримаємо нерівність 6 x>1. Розділимо обидві частини цієї нерівності на 6. Тоді отримаємо:

Розв'язаннями нерівності є всі числа, які більші за . Кордон не належить безлічі рішень, оскільки нерівність є суворою.

Зобразимо безліч розв'язків нерівності на координатній прямій і запишемо відповідь у вигляді числового проміжку:

Приклад 6. Вирішити нерівність

Помножимо обидві частини на 6

Після приведення подібних доданків, отримаємо нерівність 5 x< 30 . Разделим обе части этого неравенства на 5

Розв'язаннями нерівності x< 6 являются все числа, которые меньше 6. Граница 6 не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство является x< 6 строгим.

Зобразимо безліч розв'язків нерівності x< 6 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

Приклад 7. Вирішити нерівність

Помножимо обидві частини нерівності на 10

У нерівності, що вийшла, розкриємо дужки в лівій частині:

Перенесемо члени без xу праву частину

Наведемо такі складові в обох частинах:

Поділимо обидві частини нерівності, що вийшла, на 10

Розв'язаннями нерівності x≤ 3,5 є всі числа, які менші за 3,5. Кордон 3,5 належить безлічі рішень, оскільки нерівність є x≤ 3,5 несуворим.

Зобразимо безліч розв'язків нерівності x≤ 3,5 на координатній прямій і запишемо відповідь у вигляді числового проміжку:

Приклад 8. Вирішити нерівність 4< 4x< 20

Щоб вирішити таку нерівність, потрібна змінна xзвільнити від коефіцієнта 4. Тоді зможемо сказати у якому проміжку перебуває розв'язання даної нерівності.

Щоб звільнити змінну xвід коефіцієнта, можна розділити член 4 xна 4. Але правило в нерівностях таке, що якщо ми ділимо член нерівності на якесь число, то теж саме треба зробити і з іншими членами, що входять у цю нерівність. У нашому випадку на 4 потрібно розділити всі три члени нерівності 4< 4x< 20

Розв'язаннями нерівності 1< x< 5 являются все числа, которые больше 1 и меньше 5. Границы 1 и 5 не принадлежат множеству решений, поскольку неравенство 1 < x< 5 является строгим.

Зобразимо безліч розв'язків нерівності 1< x< 5 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

Приклад 9. Розв'язати нерівність −1 ≤ −2 x≤ 0

Розділимо всі члени нерівності на −2

Отримали нерівність 0,5 ≥ x≥0. Подвійне нерівність бажано записувати те щоб менший член розташовувався ліворуч, а більший справа. Тому перепишемо нашу нерівність таким чином:

0 ≤ x≤ 0,5

Розв'язаннями нерівності 0 ≤ x≤ 0,5 є всі числа, які більші за 0 і менше 0,5. Межі 0 і 0,5 належать множині рішень, оскільки нерівність 0 ≤ x≤ 0,5 є несуворим.

Зобразимо безліч розв'язків нерівності 0 ≤ x≤ 0,5 на координатній прямій і запишемо відповідь у вигляді числового проміжку:

Приклад 10. Вирішити нерівність

Помножимо обидві нерівності на 12

Розкриємо дужки в нерівності і наведемо подібні доданки:

Розділимо обидві частини нерівності, що вийшла на 2

Розв'язаннями нерівності x≤ −0,5 є усі числа, які менші за −0,5. Кордон −0,5 належить множині рішень, оскільки нерівність x≤ −0,5 є несуворим.

Зобразимо безліч розв'язків нерівності x≤ −0,5 на координатній прямій та запишемо відповідь у вигляді числового проміжку:

Приклад 11. Вирішити нерівність

Помножимо всі частини нерівності на 3

Тепер з кожної частини нерівності, що вийшла, віднімемо 6

Кожну частину нерівності, що вийшла, розділимо на −1. Не забуваємо, що з розподілі всіх елементів нерівності на негативне число, символ нерівності змінюється на протилежний:

Розв'язаннями нерівності 3 ≤ a ≤ 9 є всі числа, які більші за 3 і менші за 9. Кордони 3 і 9 належать безлічі рішень, оскільки нерівність 3 ≤ a ≤ 9 є несуворим.

Зобразимо безліч розв'язків нерівності 3 ≤ a ≤ 9 на координатній прямій і запишемо відповідь у вигляді числового проміжку:

Коли рішень немає

Існують нерівності, які не мають розв'язків. Таким, наприклад, є нерівність 6 x> 2(3x+ 1). У процесі розв'язання цієї нерівності ми прийдемо до того, що знак нерівності не виправдає свого розташування. Погляньмо, як це виглядає.

Розкриємо дужки у правій частині даної нерівності, отримаємо 6 x> 6x+ 2 . Перенесемо 6 xз правої частини до лівої частини, змінивши знак, отримаємо 6 x− 6x>2. Наводимо подібні доданки та отримуємо нерівність 0 > 2 , яка не є правильною.

Для найкращого розуміння, перепишемо приведення подібних доданків у лівій частині наступним чином:

Здобули нерівність 0 x>2. У лівій частині розташовується твір, який дорівнює нулю при будь-якому x. А нуль не може бути більшим, ніж число 2. Значить нерівність 0 x> 2 немає рішень.

x> 2 , то немає рішень і вихідне нерівність 6 x> 2(3x+ 1) .

Приклад 2. Вирішити нерівність

Помножимо обидві частини нерівності на 3

У нерівності, що вийшла, перенесемо член 12 xз правої частини до лівої частини, змінивши знак. Потім наведемо такі складові:

Права частина нерівності, що вийшла при будь-якому xдорівнюватиме нулю. А нуль не менший, ніж −8. Значить нерівність 0 x< −8 не имеет решений.

А якщо немає рішень наведена рівносильна нерівність 0 x< −8 , то не имеет решений и исходное неравенство .

Відповідь: рішень немає.

Коли рішень нескінченно багато

Існують нерівності, що мають безліч рішень. Такі нерівності стають вірними за будь-якого x .

Приклад 1. Вирішити нерівність 5(3x− 9) < 15x

Розкриємо дужки у правій частині нерівності:

Перенесемо 15 xз правої частини до лівої частини, змінивши знак:

Наведемо такі складові в лівій частині:

Здобули нерівність 0 x< 45 . У лівій частині розташовується твір, який дорівнює нулю при будь-якому x. А нуль менший, ніж 45. Значить рішенням нерівності 0 x< 45 є будь-яке число.

x< 45 має безліч рішень, то й вихідна нерівність 5(3x− 9) < 15x має ті самі рішення.

Відповідь можна записати у вигляді числового проміжку:

x ∈ (−∞; +∞)

У цьому вся виразі йдеться, що рішеннями нерівності 5(3x− 9) < 15x є всі числа від мінус нескінченності до плюс нескінченності.

Приклад 2. Вирішити нерівність: 31(2x+ 1) − 12x> 50x

Розкриємо дужки в лівій частині нерівності:

Перенесемо 50 xз правої частини до лівої частини, змінивши знак. А член 31 з лівої частини перенесемо в праву частину, знову ж таки змінивши знак:

Наведемо такі складові:

Здобули нерівність 0 x >−31 . У лівій частині розташовується твір, який дорівнює нулю при будь-якому x. А нуль більший, ніж −31 . Отже рішенням нерівності 0 x< −31 є будь-яке число.

А якщо наведена рівносильна нерівність 0 x >−31 має безліч рішень, та й вихідна нерівність 31(2x+ 1) − 12x> 50x має ті самі рішення.

Запишемо відповідь у вигляді числового проміжку:

x ∈ (−∞; +∞)

Завдання для самостійного вирішення

Сподобався урок?
Вступай у нашу нову групу Вконтакте та почні отримувати повідомлення про нові уроки