Ця стаття є відповіддю на два питання: «Що таке» та «Як знайти координати проекції точки на площину»? Спочатку дана необхідна інформація про проектування та його види. Далі наведено визначення проекції точки на площину та дано графічну ілюстрацію. Після цього отримано метод знаходження координат проекції точки на площину. У висновку розібрано рішення прикладів, в яких обчислюються координати проекції заданої точки на задану площину.

Навігація на сторінці.

Проектування, види проектування – необхідна інформація.

При вивченні просторових фігур зручно скористатися їхніми зображеннями на кресленні. Креслення просторової фігури є так званою проекціюцієї постаті на площину. Процес побудови зображення просторової фігури на площині відбувається за певними правилами. Так ось процес побудови зображення просторової фігури на площині разом із набором правил, за якими здійснюється цей процес, називається проектуваннямфігури на цю площину. Площина, в якій будується зображення, називають площиною проекції.

Залежно від правил, за якими здійснюється проектування, розрізняють центральнеі паралельне проектування. Вдаватися до подробиць не станемо, оскільки це виходить за рамки цієї статті.

У геометрії в основному використовується окремий випадок паралельного проектування - перпендикулярне проектування, яке також називають ортогональним. У назві цього виду проектування прикметник "перпендикулярне" часто опускається. Тобто, коли в геометрії говорять про проекцію фігури на площину, зазвичай мають на увазі, що ця проекція була отримана за допомогою перпендикулярного проектування (якщо, звичайно, не обумовлено інше).

Слід зазначити, що проекція фігури на площину є сукупністю проекцій усіх точок цієї фігури на площину проекції. Іншими словами, щоб отримати проекцію деякої фігури, необхідно вміти знаходити проекції точок цієї фігури на площину. У наступному пункті статті показано, як знайти проекцію точки на площину.

Проекція точки на площину – визначення та ілюстрація.

Ще раз підкреслимо, що ми говоритимемо про перпендикулярну проекцію точки на площину.

Виконаємо побудови, які допоможуть нам дати визначення точки проекції на площину.

Нехай у тривимірному просторі нам задана точка М1 та площина. Проведемо через точку М 1 пряму a, перпендикулярну до площини. Якщо точка М 1 не лежить у площині, то позначимо точку перетину прямої a та площини як H 1 . Таким чином, точка H 1 за побудовою є основою перпендикуляра, опущеного з точки M 1 на площину.

Визначення.

Проекція точки М 1 на площину- Це сама точка М 1, якщо, або точка H 1, якщо.

Даному визначенню проекції точки на площину еквівалентно наступне визначення.

Визначення.

Проекція точки на площину- Це або сама точка, якщо вона лежить у заданій площині, або основа перпендикуляра, опущеного з цієї точки на задану площину.

На наведеному нижче кресленні точка H1 є проекція точки М1 на площину; точка М 2 лежить у площині, тому М 2 - проекція самої точки М 2 на площину.

Знаходження координат проекції точки на площину – розв'язання прикладів.

Нехай у тривимірному просторі введено Oxyz, задана точка і площину. Поставимо собі завдання: визначити координати проекції точки М 1 на площину .

Розв'язання задачі логічно випливає із визначення проекції точки на площину.

Позначимо проекцію точки М1 на площину як H1. За визначенням проекції точки на площину, H 1 це точка перетину заданої площини і прямої a , що проходить через точку М 1 перпендикулярно до площини . Таким чином, шукані координати проекції точки М 1 на площину - координати точки перетину прямої a і площини .

Отже, щоб знайти координати проекції точки на площину потрібно:

Розглянемо рішення прикладів.

приклад.

Знайдіть координати проекції точки на площину .

Рішення.

За умови завдання нам дано загальне рівняння площини виду , Так що його складати не потрібно.

Напишемо канонічні рівняння прямої a яка проходить через точку М 1 перпендикулярно до заданої площини. Для цього отримаємо координати напрямного вектора прямої a. Оскільки пряма a перпендикулярна до заданої площини, то напрямним вектором прямої є нормальний вектор площини . Тобто, - Напрямний вектор прямий a . Тепер ми можемо написати канонічні рівняння прямої в просторі, яка проходить через точку і має напрямний вектор :
.

Щоб отримати потрібні координати точки проекції на площину, залишилося визначити координати точки перетину прямої та площині . Для цього від канонічних рівнянь прямий переходимо до рівнянь двох площин , що перетинаються , складаємо систему рівнянь та знаходимо її рішення. Використовуємо:

Таким чином, проекція точки на площину має координати.

Відповідь:

приклад.

У прямокутній системі координат Oxyz у тривимірному просторі задані точки та . Визначте координати проекції точки М1 на площину АВС.

Рішення.

Напишемо спочатку рівняння площини, що проходить через три задані точки:

Але розглянемо альтернативний підхід.

Отримаємо параметричні рівняння прямої a, яка проходить через точку і перпендикулярна до площини АВС. Нормальний вектор площини має координати , отже, вектор є напрямним вектором прямої a. Тепер ми можемо написати параметричні рівняння прямої в просторі, тому що знаємо координати точки прямої ( ) та координати її напрямного вектора ( ):

Залишилось визначити координати точки перетину прямої та площині. Для цього в рівняння площини підставимо:
.

Тепер за параметричними рівняннями обчислимо значення змінних x, y і z при:
.

Отже, проекція точки М 1 на площину АВС має координати .

Відповідь:

На закінчення давайте обговоримо знаходження координат проекції деякої точки на координатні площини та площини, паралельні координатним площинам.

Проекціями точки на координатні площини Oxy , Oxz та Oyz є точки з координатами і відповідно. А проекціями точки на площині та , які паралельні координатним площинам Oxy , Oxz та Oyz відповідно, є точки з координатами і .

Покажемо, як було отримано ці результати.

Наприклад знайдемо проекцію точки на площину (інші випадки аналогічні до цього).

Ця площина паралельна координатній площині Oyz та - її нормальний вектор. Вектор є напрямним вектором прямої, перпендикулярної до площини Oyz. Тоді параметричні рівняння прямої, що проходить через точку М 1 перпендикулярно заданій площині, мають вигляд .

Знайдемо координати точки перетину прямої та площини. Для цього спочатку підставляємо в рівняння рівності : і проекція точки

Бугров Я.С., Микільський С.М. Вища математика. Том перший: елементи лінійної алгебри та аналітичної геометрії.

Ільїн В.А., Позняк Е.Г. Аналітична геометрія.

Крапка, як математичне поняття, немає розмірів. Очевидно, якщо об'єкт проектування є нульмерним об'єктом, говорити про його проектування безглуздо.

Рис.9 Рис.10

У геометрії під точкою доцільно приймати фізичний об'єкт, що має лінійні виміри. Умовно за точку можна прийняти кульку з нескінченно малим радіусом. При такому трактуванні поняття точки можна говорити про її проекції.

При побудові ортогональних проекцій точки слід керуватися першою інваріантною властивістю ортогонального проектування: Ортогональна проекція точки є точка.

Положення точки у просторі визначається трьома координатами: X, Y, Z,що показують величини відстаней, куди точка віддалена від площин проекцій. Щоб визначити ці відстані, достатньо визначити точки зустрічі цих прямих з площинами проекцій та виміряти відповідні величини, які вкажуть відповідно значення абсциси. X, ординати Yта аплікати Zточки (рис. 10).

Проекцією точки є основа перпендикуляра, опущеного з точки відповідну площину проекцій. Горизонтальною проекцієюточки аназивають прямокутну проекцію точки на горизонтальній площині проекцій, фронтальною проекцією а/– відповідно на фронтальній площині проекцій та профільної а // -на профільній поверхні проекцій.

Прямі Аа, Аa /і Аa //називаються проецірующими прямими. При цьому пряму Аа,проекційну точку Ана горизонтальну площину проекцій, називають горизонтально-проеціюючої прямої, Аa /і Аa //- відповідно: фронтальноі профільно-проецірующими прямими.

Дві проєкуючі прямі, що проходять через точку Авизначають площину, яку прийнято називати проекції.

При перетворенні просторового макету, фронтальна проекція точки А - а /залишається дома, як належить площині, яка змінюють свого становища при аналізованому перетворенні. Горизонтальна проекція – аразом з горизонтальною площиною проекції повернеться по напрямку руху годинникової стрілки і розташується на одному перепендикулярі до осі. Хіз фронтальною проекцією. Профільна проекція - a //буде обертатися разом із профільною площиною і до кінця перетворення займе положення, вказане на малюнку 10. При цьому - a //належатиме перпендикуляру до осі Z, проведеному з точки а/і буде віддалена від осі Zна таку ж відстань, на яку горизонтальна проекція авіддалена від осі Х. Тому зв'язок між горизонтальною та профільною проекціями точки може бути встановлений за допомогою двох ортогональних відрізків. аа yі а y a //і сполучає їх дуги кола з центром у точці перетину осей ( Про- початок координат). Зазначеним зв'язком користуються для знаходження недостатньої проекції (при двох заданих). Положення профільної (горизонтальної) проекції за заданими горизонтальною (профільною) та фронтальною проекціями може бути знайдено за допомогою прямої, проведеної під кутом 45 0 з початку координат до осі Y(цю бісектрису називають прямою k- Постійна Монжа). Перший із зазначених способів кращий, як більш точний.

З цього випливає:

1. Точка у просторі видалена:

від горизонтальної площини H Z,

від фронтальної площини Vна величину заданої координати Y,

від профільної площини Wна величину координати. X.

2. Дві проекції будь-якої точки належать одному перпендикуляру (однієї лінії зв'язку):

горизонтальна та фронтальна – перпендикуляр до осі X,

горизонтальна та профільна – перпендикуляру до осі Y,

фронтальна та профільна – перпендикуляру до осі Z.

3. Положення точки у просторі цілком визначається положенням її двох ортогональних проекцій. З цього випливає - по двох будь-яким заданим ортогональним проекціям точки завжди можна побудувати третю проекцію, що її бракує.

Якщо точка має три певні координати, то таку точку називають точкою загального стану.Якщо у точки одна чи дві координати мають нульове значення, то таку точку називають точкою приватного становища.

Рис. 11 Мал. 12

На малюнку 11 дано просторове креслення точок приватного становища, малюнку 12 – комплексних креслення (епюр) цих точок. Крапка Аналежить фронтальній площині проекцій, точка В- горизонтальній площині проекцій, точка З– профільної площини проекцій та точка D- Осі абсцис ( Х).

Допоміжна пряма комплексного креслення

На кресленні, представленому на рис. 4.7, а,проведено осі проекцій, а зображення з'єднані між собою лініями зв'язку. Горизонтальна та профільна проекції з'єднані лініями зв'язку за допомогою дуг із центром у точці Проперетину осей. Однак у практиці застосовують та інше виконання комплексного креслення.

На безвісних кресленнях зображення мають у своєму розпорядженні також у проекційному зв'язку. Однак третя проекція може бути розміщена ближче або далі. Наприклад, профільна проекція може бути розміщена правіше (рис. 4.7, б, II) або лівіше (рис. 4.7, б, I). Це важливо для економії місця та зручності нанесення розмірів.

Рис. 4.7.

Якщо на кресленні, виконаному за безвісною системою, потрібно провести між видом зверху та видом зліва лінії зв'язку, то застосовують допоміжну пряму комплексного креслення. Для цього приблизно на рівні виду зверху і трохи правіше за нього проводять пряму під утлом 45 ° до рамки креслення (рис. 4.8, а). Вона називається допоміжною прямою комплексного креслення. Порядок побудови креслення за допомогою цієї прямої показано на рис. 4.8, б, в.

Якщо три види вже збудовані (рис. 4.8, г), то положення допоміжної прямої вибирати довільно не можна. Спочатку потрібно знайти точку, якою вона пройде. Для цього достатньо продовжити до взаємного перетину осі симетрії горизонтальної та профільної проекцій та через отриману точку kпровести під кутом 45° відрізок прямої (рис. 4.8, д). Якщо осей симетрії немає, то продовжують до перетину у точці k 1 горизонтальну та профільні проекції будь-якої грані, що проеціюється у вигляді прямої (рис. 4.8, д).

Рис. 4.8.

Необхідність у проведенні ліній зв'язку, а отже, і допоміжної прямий виникає при побудові проекцій, що бракують, і при виконанні креслень, на яких потрібно визначити проекції точок, щоб уточнити проекції окремих елементів деталі.

Приклади використання допоміжної прямої наведено в наступному параграфі.

Проекції точки, що лежить на поверхні предмета

Щоб при виконанні креслень правильно будувати проекції окремих елементів деталі, необхідно вміти знаходити на всіх зображеннях креслення проекції окремих точок. Наприклад, важко викреслити горизонтальну проекцію деталі, наведеної на рис. 4.9, не користуючись проекціями окремих точок ( А, В, C, D, Eта ін.). Уміння знаходити всі проекції точок, ребер, граней необхідно й у відтворення уявою форми предмета з його плоским зображенням на кресленні, і навіть для перевірки правильності виконаного креслення.

Рис. 4.9.

Розглянемо способи знаходження другої та третьої проекцій точки, заданої на поверхні предмета.

Якщо на кресленні предмета дана одна проекція точки, то спочатку треба знайти проекції поверхні, на якій розташована ця точка. Потім вибирають один із двох описаних нижче прийомів розв'язання задачі.

Перший спосіб

Цей спосіб застосовується, коли хоча б на одній із проекцій дана поверхня зображується у вигляді лінії.

На рис. 4.10, азображено циліндр, на фронтальній проекції якого задана проекція а"точки А,що лежить на видимій частині його поверхні (задані проекції відзначені подвійними кольоровими колами). Щоб знайти горизонтальну проекцію точки А,міркують так: точка лежить на поверхні циліндра, горизонтальна проекція якої – коло. Значить, і проекція точки, що лежить на цій поверхні, лежатиме на колі. Проводять лінію зв'язку і на перетині її з колом відзначають потрібну точку а.Третю проекцію а"

Рис. 4.10.

Якщо ж точка В,лежача на верхній основі циліндра, задана своєю горизонтальною проекцією b,то проводять лінії зв'язку до перетину з відрізками прямих, що зображують фронтальну та профільну проекції верхньої основи циліндра.

На рис. 4.10 б представлена ​​деталь - упор. Щоб побудувати проекції точки А,заданою своєю горизонтальною проекцією а,знаходять дві інші проекції верхньої грані (на якій лежить крапка А) і, провівши лінії зв'язку до перетину з відрізками прямих, що зображують цю грань, визначають проекції, що шукаються – точки а"і а".Крапка Влежить на лівій бічній вертикальній грані, отже, і її проекції лежатимуть на проекціях цієї грані. Тому із заданої точки b"проводять лінії зв'язку (як зазначено стрілками) до їх зустрічі з відрізками прямих, що зображують цю грань. Фронтальну проекцію с"точки З,лежачої на похило розташованої (у просторі) грані, знаходять на лінії, що зображає цю грань, а профільну с"- На перетині лінії зв'язку, так як профільна проекція цієї грані не лінія, а фігура. Побудова проекцій точки Dпоказано стрілками.

Другий спосіб

Цей спосіб застосовують коли першим способом користуватися не можна. Тоді слід зробити так:

• провести через задану проекцію точки проекцію допоміжної лінії, розташованої на даній поверхні;
• знайти другу проекцію цієї лінії;
• на знайдену проекцію лінії перенести задану проекцію точки (цим буде визначено другу проекцію точки);
• знайти третю проекцію (якщо це потрібно) на перетині ліній зв'язку.

На рис. 4.10, дана фронтальна проекція а"точки А,лежить на видимій частині поверхні конуса. Для знаходження горизонтальної проекції через точку а"проводять фронтальну проекцію допоміжної прямої, що проходить через точку. Ата вершину конуса. Отримують точку V- Проекцію точки зустрічі проведеної прямої з основою конуса. Маючи передні проекції точок, що лежать на прямій, можна знайти їх горизонтальні проекції. Горизонтальна проекція sвершини конуса відома. Крапка bлежить на колі основи. Через ці точки проводять відрізок прямий і переносять на нього (як показано стрілкою) точку а",отримуючи точку а.Третя проекція а"точки Аперебуває на перетині лінії зв'язку.

Це завдання можна вирішити інакше (рис. 4.10, г).

Як допоміжна лінія, що проходить через точку А,беруть не пряму, як у першому випадку, а коло. Це коло утворюється, якщо в точці Аперетнути конус площиною, паралельною до основи, як показано на наочному зображенні. Фронтальна проекція цього кола зобразиться відрізком прямої, оскільки площина кола перпендикулярна до фронтальної площини проекцій. Горизонтальна проекція кола має діаметр, що дорівнює довжині цього відрізка. Описав коло зазначеного діаметра, проводять з точки а"лінію зв'язку до перетину з допоміжним колом, оскільки горизонтальна проекція аточки Алежить на допоміжній лінії, тобто. на побудованому колі. Третю проекцію aс"точки Азнаходять на перетині ліній зв'язку.

Таким же прийомом можна знайти проекції точки, що лежить на поверхні, наприклад, піраміди. Різниця буде в тому, що при її перетині горизонтальною площиною утворюється не коло, а фігура, подібна до основи.

Цілі:

• Вивчення правил побудови проекцій точок на поверхні предмета та читання креслень.
• Розвивати просторове мислення, уміння аналізувати геометричну форму предмета.
• Виховувати працьовитість, уміння співпрацювати під час роботи у групах, інтерес до предмета.

ХІД УРОКУ

I ЕТАП. МОТИВАЦІЯ НАВЧАЛЬНОЇ ДІЯЛЬНОСТІ.

ІІ ЕТАП. ФОРМУВАННЯ ЗНАНЬ, ВМІНЬ І НАВИКІВ.

ЗДОРОВ'Я ЗБЕРІГАЮЧА ПАУЗА. РЕФЛЕКСІЯ (НАСТРОЮ)

ІІІ ЕТАП. ІНДИВІДУАЛЬНА РОБОТА.

I ЕТАП. МОТИВАЦІЯ НАВЧАЛЬНОЇ ДІЯЛЬНОСТІ

1) Вчитель:Перевірте робоче місце, чи все на місці? Чи всі готові до роботи?

Зітхнули глибоко, на видиху затримували подих, видихнули.

Визначте свій настрій початку уроку за схемою (така схема лежить в кожного на столі)

Я БАЖАЮ ВАМ УДАЧІ.

2)Вчитель: Практична робота на тему “Проекції вершин, ребер, граней” показала, що є хлопці, які припускаються помилок при проектуванні. Плутаються, яка з двох точок, що збігаються, на кресленні є видимою вершиною, а яка невидимою; коли ребро паралельно площині, коли перпендикулярно. Те саме з гранями.

Щоб виключити повторення помилок, за консультуючою карткою виконайте необхідні завдання та виправте помилки у практичній роботі (від руки). І працюючи, пам'ятайте:

“ПОМИЛЯТИСЯ МОЖЕ КОЖНИЙ, ЗАЛИШАТИСЯ ЗА СВОЄЮ ПОМИЛКУ – ТІЛЬКИ БЕЗУМНИЙ”.

А той, хто добре засвоїв тему, попрацюють у групах із творчими завданнями (див. Додаток 1 ).

ІІ ЕТАП. ФОРМУВАННЯ ЗНАНЬ, ВМІНЬ І НАВИКІВ

1)Вчитель:На виробництві зустрічаються безліч деталей, які кріпляться один до одного певним чином.
Наприклад:
Кришка робочого столу кріпиться до вертикальних стійк. Зверніть увагу на стіл, за яким ви знаходитесь, як і чим кріпляться між собою кришка та стійки?

Відповідь:Болтом.

Вчитель:А що для болта потрібно?

Відповідь:Отвір.

Вчитель:Справді. А щоб отвір виконати, треба знати його розташування на виріб. Виготовляючи стіл, столяр не може щоразу звертатися до замовника. Отже, чим потрібно забезпечити столяра?

Відповідь:Кресленням.

Вчитель:Креслення!? А що ми з вами називаємо кресленням?

Відповідь:Кресленням називається зображення предмета прямокутними проекціями у проекційному зв'язку. За кресленням можна представити геометричну форму та конструкцію виробу.

Вчитель:Ми з вами виконали прямокутні проекції, а далі? Чи зможемо ми за одними проекціями визначити розташування отворів? Що нам потрібно ще знати? Чому навчитися?

Відповідь:Будувати крапки. Знаходити проекції цих точок усім видах.

Вчитель:Молодці! Це і є мета нашого уроку, і тема: Побудова проекцій точок на поверхні предмета.Запишіть тему уроку у зошит.
Ми знаємо, що будь-яка точка чи відрізок на зображенні предмета є проекцією вершини, ребра, грані, тобто. кожен вид - це зображення не з одного боку (гл. вид, вид зверху, вид зліва), а всього предмета.
Для того, щоб правильно знаходити проекції окремих точок, що лежать на гранях, потрібно спочатку знайти проекції цієї грані, а потім за допомогою ліній зв'язку відшукати проекції точок.

(Дивимося креслення на дошці, працюємо в зошиті, де виконані будинки 3 проекції такої ж деталі).

– Відкрили зошит із виконаним кресленням (Пояснення побудови точок на поверхні предмета з питаннями, що наводять, на дошці, а учні закріплюють у зошиті.)

Вчитель:Розглянемо точку В. Який площині паралельна грань із цією точкою?

Відповідь:Грань паралельна фронтальній площині.

Вчитель:Задаємося проекцією точки b’ на фронтальній проекції. Проводимо вниз від точки b’ вертикальну лінію зв'язку до горизонталі проекції. Де буде знаходитись горизонтальна проекція точки В?

Відповідь:На перетині з горизонтальною проекцією грані, яка спроектувалась у ребро. І знаходиться унизу проекції (виду).

Вчитель:Профільна проекція точки b’’ , де перебуватиме? Як ми її знайдемо?

Відповідь:На перетині горизонтальної лінії зв'язку з b’ з вертикальним ребром праворуч. Це ребро і є проекція грані з крапкою Ст.

ДО ДОШКИ ВИКЛИКАЮТЬ БАЖАЮЧІ ПОБУДУВАТИ НАСТУПНУ ПРОЕКЦІЮ ТОЧКИ.

Вчитель:Проекції точки Атакож знаходяться за допомогою ліній зв'язку. Який площині паралельна грань із крапкою А?

Відповідь:Грань паралельна до профільної площини. Задаємося на профільній проекції крапкою а’’ .

Вчитель:На якій проекції грань спроектувалась у ребро?

Відповідь:На фронтальній та горизонтальній. Проведемо горизонтальну лінію зв'язку до перетину з вертикальним ребром зліва на фронтальній проекції, отримаємо крапку а’ .

Вчитель:А як знайти проекцію точки Ана горизонтальній проекції? Адже лінії зв'язку із проекції точок а’ і а’’ не перетинають проекцію грані (ребро) на горизонтальній проекції зліва. Що нам може допомогти?

Відповідь:Можна скористатися постійною прямою (вона визначає місце виду зліва) з а’’ проводять вертикальну лінію зв'язку до перетину з постійною прямою. З точки перетину проводять горизонтальну лінію зв'язку до перетину з вертикальним ребром зліва. (Це і є грань з точкою А) та позначає проекцію точкою а .

2) Вчитель:У кожного на столі лежить картка-завдання з прикріпленою калькою. Розгляньте креслення, тепер спробуйте самостійно, без перекреслення проекцій, знайти на кресленні задані проекції точок.

– Знайдіть у підручнику стор. 76 мал. 93. Перевірте себе. Хто виконав правильно - оцінка "5"", одна помилка - "4"; дві - "3".

(Оцінки виставляють самі учні у листі самоконтролю).

– Зібрати картки для перевірки.

3)Робота в групах:Час обмежений: 4хв. + 2 хв. перевірки. (Дві парти з учнями поєднуються, і всередині групи вибирається керівник).

На кожну групу лунають завдання у трьох рівнях. Учні вибирають завдання за рівнями (за власним бажанням). Вирішують завдання на побудову точок. Обговорюють шикування під контролем керівника. Потім на дошці за допомогою кодоскопа висвічується відповідь. Усі перевіряють правильність виконання проектування точок. За допомогою керівника групи виставляють оцінки на завданнях та у аркушах самоконтролю (див. Додаток 2 і Додаток 3 ).

ЗДОРОВ'Я ЗБЕРІГАЮЧА ПАУЗА. РЕФЛЕКСІЯ

"Поза фараона"- сісти на край стільця, випрямити спину, руки зігнути в ліктях, ноги схрестити і поставити на шкарпетки. Зітхнути, напружити всі м'язи тіла на затримці дихання, видихнути. Зробити 2-3 рази. Очі сильно затиснути, до зірочок, відкрити. Відзначити свій настрій.

ІІІ ЕТАП. ПРАКТИЧНА ЧАСТИНА. (Індивідуальні завдання)

Пропонуються картки-завдання на вибір із різним рівнем. Учні самостійно вибирають своїми силами варіант. Знайти проекції точок на поверхні предмета. Роботи здаються та оцінюються до наступного уроку. (Див. Додаток 4 , Додаток 5 , Додаток 6 ).

IV ЕТАП. ЗАКЛЮЧНИЙ

1) Завдання додому. (Інструктаж).Виконується за рівнями:

В - розуміння, на "3". Упр.1 рис. 94а стор. 77 – за завданням у підручнику: добудувати відсутні проекції точок на даних проекціях.

Б - застосування, на "4". Упр.1 рис.94 а, б. добудувати проекції, що не дістають, і позначити вершини на наочному зображенні в 94а і 94б.

А - аналіз, на "5". (Підвищеної складності.)Упр. 4 рис.97 – побудувати проекції точок, що не дістають, і позначити їх літерами. Наочного зображення немає.

2)Рефлексивний аналіз.

1. Визначте настрій наприкінці уроку, позначте у аркуші самоконтролю будь-яким знаком.
2. Що нового дізналися сьогодні на уроці?
3. Яка форма роботи найефективніша для вас: групова, індивідуальна, і ви хотіли б, щоб вона повторювалася на наступному уроці?
4. Зібрати листки самоконтролю.

3)“Помилковий вчитель”

Вчитель:Ви навчилися будувати проекції вершин, ребер, граней та крапки на поверхні предмета, дотримуючись всіх правил побудови. Але вам передали креслення, де є помилки. Спробуйте тепер себе у ролі вчителя. Знайдіть помилки, якщо знайдете всі 8–6 помилок, то оцінка відповідно “5”; 5-4 помилки - "4", 3 помилки - "3".

Відповіді:

Розглянемо профільну поверхню проекцій. Проекції на дві перпендикулярні площині зазвичай визначають положення фігури і дають змогу дізнатися про справжні розміри і форму. Але трапляються випадки, коли двох проекцій виявляється недостатньо. Тоді застосовують побудову третьої проекції.

Третю площину проекції проводять так, щоб вона була перпендикулярна до обох площин проекцій (рис. 15). Третю площину прийнято називати профільний.

У таких побудовах загальну пряму горизонтальної та фронтальної площин називають віссю х , загальну пряму горизонтальну та профільну площини – віссю у , а загальну пряму фронтальну та профільну площини – віссю z . Крапка Про, Що належить усім трьом площинам, називається точкою початку координат.

На малюнку 15а показано точку Ата три її проекції. Проекцію на профільну площину ( а́) називають профільною проекцієюі позначають а́.

Для отримання епюра точки А, що складається з трьох проекцій а, а а, необхідно розрізати тригранник, що утворюється усіма площинами, вздовж осі у (рис. 15б) і поєднати всі ці площини з площиною фронтальної проекції. Горизонтальну площину необхідно обертати біля осі х, а профільну площину – біля осі zу напрямку, вказаному на малюнку 15 стрілкою.

На малюнку 16 зображено положення проекцій а, аі а́точки Аотримане в результаті поєднання всіх трьох площин з площиною креслення

В результаті розрізу вісь зустрічається на епюрі у двох різних місцях. На горизонтальній площині (рис. 16) вона приймає вертикальне положення (перпендикулярно до осі х), а на профільній площині – горизонтальне (перпендикулярно до осі z).

На малюнку 16 три проекції а, аі а́точки А мають на епюрі строго певне положення та підпорядковані однозначним умовам:

аі а́завжди повинні розташовуватися на одній вертикальній прямій, перпендикулярній осі х;

а́і а́завжди повинні розташовуватися на одній горизонтальній прямій, перпендикулярній осі z;

3) при проведенні через горизонтальну проекцію а горизонтальної прямої, а через профільну проекцію а́– вертикальної прямої побудовані прямі обов'язково перетнуться на бісектрисі кута між осями проекцій, оскільки фігура Оау а 0 ан – квадрат.

При виконанні побудови трьох проекцій точки потрібно перевіряти виконання всіх трьох умов для кожної точки.

Координати точки

Положення точки у просторі може бути визначено за допомогою трьох чисел, які називають її координатами. Кожній координаті відповідає відстань точки від якоїсь площини проекцій.

Відстань точки, що визначається Адо профільної площини є координатою х, при цьому х = а˝А(Рис. 15), відстань до фронтальної площини - координатою у, причому у = а́А, а відстань до горизонтальної площини – координатою z, при цьому z = aA.

На малюнку 15 точка А займає ширину прямокутного паралелепіпеда, і виміри цього паралелепіпеда відповідають координатам цієї точки, тобто кожна з координат представлена ​​на малюнку 15 чотири рази, тобто:

х = а?А = Оа х = а у а = a z á;

y = аА = Оа y = а x а = а z а?;

z = aA = Oa z = а x а = а y а.

На епюрі (рис. 16) координати х та z зустрічаються по три рази:

х = а z а = Оа x = а y а,

z = а x a = Oa z = а y а.

Усі відрізки, які відповідають координаті х(або z), є паралельними між собою. Координата удвічі представлена ​​віссю, розташованою вертикально:

y = Оа у = а х а

і двічі – розташованої горизонтально:

у = Оа у = а z а?.

Ця відмінність виникла через те, що вісь у присутності на епюрі у двох різних положеннях.

Слід врахувати, що положення кожної проекції визначається на епюрі лише двома координатами, а саме:

1) горизонтальною – координатами хі у,

2) фронтальної – координатами xі z,

3) профільний – координатами уі z.

Використовуючи координати х, уі zможна побудувати проекції точки на епюрі.

Якщо точка А визначається координатами, їх запис визначається так: А ( х; у; z).

При побудові проекцій точки Апотрібно перевіряти виконуваність наступних умов:

1) горизонтальна та фронтальна проекції аі а́ х х;

2) фронтальна та профільна проекції а́і а˝повинні розташовуватися на одному перпендикулярі до осі z, тому що мають загальну координату z;

3) горизонтальна проекція так само віддалена від осі х, як і профільна проекція авіддалена від осі z, оскільки проекції а і а мають загальну координату у.

Якщо точка лежить у будь-якій з площин проекцій, то одна з її координат дорівнює нулю.

Коли точка лежить на осі проекцій, дві її координати дорівнюють нулю.

Якщо точка лежить на початку координат, усі три її координати дорівнюють нулю.

Проекції прямий

Для визначення прямої потрібні дві точки. Точку визначають дві проекції на горизонтальну та фронтальну площині, тобто пряма визначається за допомогою проекцій двох своїх точок на горизонтальній та фронтальній площинах.

На малюнку 17 показані проекції ( аі á, bі b́) двох точок Аі В. З їх допомогою визначається положення деякої прямої АВ. З'єднання однойменних проекцій цих точок (тобто. аі b, аі b́) можна отримати проекції аbі аbпрямий АВ.

На малюнку 18 показані проекції обох точок, а на малюнку 19 - проекції прямої лінії, що проходить через них.

Якщо проекції прямої визначаються проекціями двох її точок, всі вони позначаються двома поруч поставленими латинськими літерами, відповідними позначенням проекцій точок, узятих на прямий: зі штрихами для позначення фронтальної проекції прямої чи штрихів – для горизонтальної проекції.

Якщо розглядати не окремі точки прямої, а її проекції загалом, дані проекції позначаються цифрами.

Якщо деяка точка Злежить на прямий АВ, її проекції с і знаходяться на однойменних проекціях прямої abі аb. Цю ситуацію пояснює рисунок 19.

Сліди прямі

Слід прямий- Це точка перетину її з деякою площиною або поверхнею (рис. 20).

Горизонтальним слідом прямоїназивається деяка точка H, В якій пряма зустрічається з горизонтальною площиною, а фронтальним- крапка V, В якій ця пряма зустрічається з фронтальною площиною (рис. 20).

На малюнку 21а зображено горизонтальний слід прямий, та її фронтальний слід, – малюнку 21б.

Іноді також розглядається профільний слід прямої, W– точка перетину прямої з профільною площиною.

Горизонтальний слід знаходиться в горизонтальній площині, тобто його горизонтальна проекція hзбігається з цим слідом, а фронтальна h́лежить на осі х. Фронтальний слід лежить у фронтальній площині, тому його фронтальна проекція ν збігається з ним же, а горизонтальна v лежить на осі х.

Отже, H = h, і V= ν. Отже, для позначення слідів прямої можна застосовувати літери hта ν.

Різні положення прямої

Пряму називають прямий загального становищаякщо вона не паралельна і не перпендикулярна жодній площині проекцій. Проекції прямої загального становища теж паралельні і перпендикулярні осям проекцій.

Прямі, які паралельні до однієї з площин проекцій (перпендикулярні до однієї з осей).На малюнку 22 показана пряма, яка паралельна горизонтальній площині (перпендикулярна до осі z), – горизонтальна пряма; на малюнку 23 показана пряма, яка паралельна фронтальній площині (перпендикулярна до осі у), - фронтальна пряма; на малюнку 24 показана пряма, яка паралельна профільній площині (перпендикулярна до осі х), - профільна пряма. Незважаючи на те, що кожна з цих прямих утворює з однією з осей прямий кут, вони не перетинають її, а лише схрещуються з нею.

Через те, що горизонтальна пряма (рис. 22) паралельна горизонтальній площині, її фронтальна та профільна проекції будуть паралельні осям, що визначають горизонтальну площину, тобто осям хі у. Тому проекції áb|| хі a˝b˝|| у z. Горизонтальна проекція ab може займати будь-яке становище на епюрі.

У фронтальній прямій (рис. 23) проекції аb|| x і a˝b˝ || z, тобто вони перпендикулярні до осі у, тому в цьому випадку фронтальна проекція аbпрямий може займати довільне становище.

У профільної прямої (мал. 24) аb|| у, а́b|| z, і обидві вони перпендикулярні до осі х. Проекція а˝b˝може розташовуватися на епюрі будь-яким чином.

При розгляді тієї площини, яка проектує горизонтальну пряму на фронтальну площину (рис. 22), можна помітити, що вона проектує цю пряму і на профільну площину, тобто вона є площиною, яка проектує пряму відразу на дві площини проекцій – фронтальну профільну. Тому її називають двічі проеціюючою площиною. Таким же чином для фронтальної прямої (рис. 23) двічі проецірующая площину проектує її на площині горизонтальної та профільної проекцій, а для профільної (рис. 23) – на площині горизонтальної та фронтальної проекцій.

Дві проекції що неспроможні визначити пряму. Дві проекції 1 і 1́профільної прямої (рис. 25) без уточнення на них проекцій двох точок цієї прямої не визначать положення цієї прямої в просторі.

У площині, яка перпендикулярна двом заданим площинам симетрії, можливе існування незліченної множини прямих, для яких дані на епюрі 1 і 1́є їх проекціями.

Якщо точка знаходиться на прямій, то її проекції завжди лежать на однойменних проекціях цієї прямої. Зворотне положення не завжди справедливе для профільної прямої. На її проекціях можна довільно вказати проекції певної точки і не бути впевненим у тому, що ця точка лежить на даній прямій.

У всіх трьох окремих випадках (рис. 22, 23 і 24) положення прямої по відношенню до площини проекцій довільний її відрізок АВ, взятий кожної з прямих, проектується однією з площин проекцій без спотворення, т. е. ту площину, якої він паралельний. Відрізок АВгоризонтальної прямої (рис. 22) дає проекцію в натуральну величину на горизонтальну площину ( аb = АВ); відрізок АВфронтальній прямій (рис. 23) – у натуральну величину на площину фронтальної площини V ( áb = AB) та відрізок АВпрофільної прямої (мал. 24) – у натуральну величину на профільну площину W (a˝b˝= АВ), т. е. можна виміряти на кресленні натуральну величину відрізка.

Інакше кажучи, за допомогою епюр можна визначити натуральні розміри кутів, які пряма, що розглядається, утворює з площинами проекцій.

Кут, який складає пряма з горизонтальною плоскістю Н, прийнято позначати літерою α, із фронтальною площиною – літерою β, з профільною площиною – літерою γ.

Кожна з аналізованих прямих немає сліду на паралельної їй площині, т. е. горизонтальна пряма немає горизонтального сліду (рис. 22), фронтальна пряма немає фронтального сліду (рис. 23), а профільна пряма – профільного сліду (рис. 24) ).