Побудуйте графік шматково заданою. Дослідження шматково-заданих функцій на безперервність

Реальні процеси, які у природі, можна описати з допомогою функцій. Так, можна виділити два основні типи перебігу процесів, протилежних один одному – це поступовеабо безперервнеі стрибкоподібне(прикладом може бути падіння м'яча та його отскок). Але якщо є розривні процеси, то існують і спеціальні засоби для їхнього опису. З цією метою вводяться в обіг функції, що мають розриви, стрибки, тобто на різних ділянках числової прямої функція поводиться за різними законами і, відповідно, задається різними формулами. Вводяться поняття точок розриву, усунення розриву.

Напевно, вам вже зустрічалися функції, задані декількома формулами, залежно від значень аргументу, наприклад:

y = (x - 3, при x> -3;
(-(x - 3), при x< -3.

Такі функції називаються шматочнимиабо шматково-заданими. Ділянки числової прямої з різними формулами завдання, назвемо складовимиобласть визначення. Об'єднання всіх складових є областю визначення шматкової функції. Ті точки, які ділять область визначення функції складові, називаються граничними точками. Формули, що визначають кусочну функцію на кожній складовій області визначення, називаються вхідними функціями. Графіки шматково-заданих функційвиходять у результаті об'єднання частин графіків, побудованих кожному з проміжків розбиття.

Вправи.

Побудувати графіки шматочкових функцій:

1) (-3, при -4 ≤ x< 0,
f(x) = (0, при x = 0,
(1, при 0< x ≤ 5.

Графік першої функції - пряма, що проходить через точку y = -3. Вона бере свій початок у точці з координатами (-4; -3), йде паралельно осі абсцис до точки з координатами (0; -3). Графік другої функції - точка з координатами (0; 0). Третій графік аналогічний першому - це пряма, що проходить через точку y = 1, але вже на ділянці від 0 до 5 по осі Ох.

Відповідь: рисунок 1.

2) (3, якщо x ≤ -4,
f(x) = (|x 2 – 4|x| + 3|, якщо -4< x ≤ 4,
(3 – (x – 4) 2 , якщо x > 4).

Розглянемо окремо кожну функцію та побудуємо її графік.

Так, f(x) = 3 – пряма, паралельна осі Ох, але зображати її треба лише дільниці, де x ≤ -4.

Графік функції f(x) = | x 2 - 4 | x | + 3 | може бути отриманий з параболи y = x 2 – 4x + 3. Побудувавши її графік, частину малюнка, що лежить над віссю Ox, необхідно залишити без змін, а частину, що лежить під віссю абсцис, симетрично відобразити щодо осі Ox. Потім симетрично відобразити частину графіка, де
x ≥ 0 щодо осі Oy для негативних x. Отриманий у результаті всіх перетворень графік залишаємо тільки дільниці від -4 до 4 по осі абсцис.

Графік третьої функції – парабола, гілки якої спрямовані вниз, а вершина перебуває у точці з координатами (4; 3). Креслення зображаємо лише ділянці, де x > 4.

Відповідь: рисунок 2.

3) (8 – (x + 6) 2 якщо x ≤ -6,
f(x) = (|x 2 – 6|x| + 8|, якщо -6 ≤ x< 5,
(3, якщо x ≥ 5).

Побудова пропонованої шматково-заданої функції аналогічна попередньому пункту. Тут графіки у перших двох функцій виходять із перетворень параболи, а графік третьої – пряма, паралельна Ох.

Відповідь: рисунок 3.

4) Побудувати графік функції y = x - | x | + (x - 1 - | x | / x) 2 .

Рішення.Область визначення цієї функції – все дійсні числакрім нуля. Розкриємо модуль. Для цього розглянемо два випадки:

1) За x > 0 отримаємо y = x – x + (x – 1 – 1) 2 = (x – 2) 2 .

2) При x< 0 получим y = x + x + (x – 1 + 1) 2 = 2x + x 2 .

Таким чином, перед нами шматково-задана функція:

y = ((x – 2) 2 при x > 0;
( x 2 + 2x, при x< 0.

Графіки обох функцій – параболи, гілки яких спрямовані нагору.

Відповідь: рисунок 4.

5) Побудувати графік функції y = (x + | x | / x - 1) 2 .

Рішення.

Легко бачити, що область визначення функції є всі дійсні числа, крім нуля. Після розкриття модуля отримаємо шматково-задану функцію:

1) За x > 0 отримаємо y = (x + 1 – 1) 2 = x 2 .

2) При x< 0 получим y = (x – 1 – 1) 2 = (x – 2) 2 .

Перепишемо.

y = (x 2 при x > 0;
((x – 2) 2 , при x< 0.

Графіки цих функцій – параболи.

Відповідь: рисунок 5.

6) Чи існує функція, графік якої на координатної площинимає загальну точкуз будь-якої прямої?

Рішення.

Так, існує.

Прикладом може бути функція f(x) = x3. Справді, з вертикальною прямою х = а графік кубічної параболи перетинається у точці (а; а 3). Нехай тепер пряма задана рівнянням y = kx + b. Тоді рівняння
x 3 – kx – b = 0 має дійсний корінь х 0 (оскільки багаточлен непарного ступеня завжди має хоча б один дійсний корінь). Отже, графік функції перетинається із прямою y = kx + b, наприклад, у точці (х 0 ; х 0 3).

blog.сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Назад вперед

Увага! Попередній перегляд слайдів використовується виключно для ознайомлення та може не давати уявлення про всі можливості презентації. Якщо вас зацікавила дана робота, будь ласка, завантажте повну версію.

Підручник:Алгебра 8 клас за редакцією А. Г. Мордковича.

Тип уроку:Відкриття нового знання.

Цілі:

для вчителя цілі зафіксовані у кожному етапі уроку;

для учня:

Особистісні цілі:

Навчитися ясно, точно, грамотно викладати свої думки в усній та письмової мовирозуміти сенс поставленої задачі;
Навчитися застосовувати навчені знання та навички до вирішення нових проблем;
Навчитися контролювати процес та результат своєї діяльності;

Метапредметні цілі:

У пізнавальній діяльності:

Розвиток логічного мислення та мови, вміння логічно обґрунтовувати свої судження, проводити нескладні систематизації;
Навчитися висувати гіпотези при вирішенні завдань, розуміти необхідність їхньої перевірки;
Застосовувати знання в стандартної ситуації, навчитися самостійно виконувати завдання;
Здійснювати перенесення знань у змінену ситуацію, бачити завдання у контексті проблемної ситуації;

В інформаційно-комунікативній діяльності:

Навчитися вести діалог, визнавати декларація про іншу думку;

У рефлексивній діяльності:

Навчитися передбачати можливі наслідкисвоїх дій;
Навчитися усувати причини виникнення труднощів.

Предметні цілі:

Дізнатися, що таке кусково-задана функція;
Навчитися задавати шматково-задану функцію аналітично за її графіком;

Хід уроку

1. Самовизначення до навчальної діяльності

Мета етапу:

включити учнів до навчальної діяльності;
визначити змістовні рамки уроку: продовжуємо повторювати тему числові функції.

Організація навчального процесуна етапі 1:

Чим ми займалися на попередніх уроках?

Д: Повторювали тему числові функції.

У: Сьогодні ми продовжимо повторювати тему попередніх уроків, а також ми маємо сьогодні з'ясувати, що нового у цій темі ми можемо дізнатися.

2. Актуалізація знань та фіксація труднощів у діяльності

Мета етапу:

актуалізувати навчальний зміст, необхідне та достатнє для сприйняття нового матеріалу: згадати формули числових функцій, їх властивості та способи побудови;
актуалізувати розумові операції, необхідні та достатні для сприйняття нового матеріалу: порівняння, аналіз, узагальнення;
зафіксувати індивідуальну скруту в діяльності, що демонструє особистісно значному рівнінедостатність наявних знань: завдання шматково-заданої функції аналітично, а також побудови її графіка.

Організація навчального процесу на етапі 2:

Відповідь: На слайді зображено п'ять числових функцій. Визначте їхній вигляд.

1) дробово-раціональна;

2) квадратична;

3) ірраціональна;

4) функція з модулем;

5) статечна.

У: Назвіть формули, що відповідають їм.

3) ;

4) ;

У: Давайте обговоримо, яку роль виконує кожен коефіцієнт у формулах?

Д: Змінні "l" і "m" відповідають за зрушення графіків даних функцій вліво - вправо і вгору - вниз відповідно, коефіцієнт "к" у першій функції визначає положення гілок гіперболи: к>0 - гілки знаходяться в I та III чвертях, до< 0 - во II и IV четвертях, а коэффициент “а” определяет направление ветвей параболы: а>0 - гілки спрямовані вгору, а< 0 - вниз).

2. Слайд 2

У: Задайте аналітично функції, графіки яких зображені на малюнках. (з огляду на те, що рухають y=х 2). Вчитель виписує відповіді на дошці.

Д 1) );

2);

3. Слайд 3

У: Задайте аналітично функції, графіки яких зображені на малюнках. (враховуючи, що рухають). Вчитель виписує відповіді на дошці.

4. Слайд 4

У: Використовуючи попередні результати, задайте аналітично функції, графіки яких зображені на малюнках.

3. Виявлення причин труднощів та постановка мети діяльності

Мета етапу:

організувати комунікативна взаємодія, в ході якого виявляється і фіксується відмінна властивість завдання, що спричинило складне становище у навчальній діяльності;
узгодити мету та тему уроку.

Організація навчального процесу на етапі 3:

У: Що викликає у вас труднощі?

Д: На екрані представлені шматочки графіків.

Яка ж мета нашого уроку?

Д: Навчитися задавати аналітично шматочки функцій.

Сформулюйте тему уроку. (Діти намагаються самостійно сформулювати тему. Вчитель її уточнює. Тема: Шматково-задана функція.)

4. Побудова проекту виходу із скрути

Мета етапу:

організувати комунікативну взаємодію для побудови нового способу дії, що усуває причину виявленої скрути;
зафіксувати новий спосібдії.

Організація навчального процесу на етапі 4:

У: Давайте ще раз уважно прочитаємо завдання. Які результати як допомогу просять використати?

Д: Попередні, тобто. ті, що записані на дошці.

У: Чи можуть ці формули вже є відповіддю на дане завдання?

Д: Ні, т.к. цими формулами задається квадратична та раціональна функції, а на слайді зображені їхні шматочки.

У: Давайте обговоримо, яким проміжкам осі абсцис відповідають шматочки першої функції?

У: Тоді аналітичний спосіб завдання першої функції виглядає як: якщо

У: Що потрібно зробити, щоб виконати аналогічне завдання?

Д: Записати формулу та визначити, яким проміжкам осі абсцис відповідають шматочки даної функції.

5. Первинне закріплення у зовнішній мові

Мета етапу:

зафіксувати вивчений навчальний зміст у зовнішній промові.

Організація навчального процесу на етапі 5:

7. Включення в систему знань та повторення

Мета етапу:

тренувати навички використання нового змісту разом із раніше вивченим.

Організація навчального процесу на етапі 7:

У: Задайте аналітично функцію, графік якої зображено малюнку.

8. Рефлексія діяльності на уроці

Мета етапу:

зафіксувати новий зміст, вивчений на уроці;
оцінити свою діяльність на уроці;
подякувати однокласникам, які допомогли отримати результат уроку;
зафіксувати невирішені труднощі як напрями майбутньої навчальної діяльності;
обговорити та записати домашнє завдання.

Організація навчального процесу на етапі 8:

З чим ми сьогодні познайомилися на уроці?

Д: З шматково-заданою функцією.

Яку роботу ми вчилися сьогодні виконувати?

Д: Задавати даний видфункції аналітично.

У: Підніміть руку, хто зрозумів тему сьогоднішнього уроку? (З рештою дітей обговорити проблеми, що виникли).

Домашнє завдання

№21.12(а, в);
№21.13(a, в);
№22.41;
№22.44.

Шматкові функції- це функції, задані різними формулами на різних числових проміжках. Наприклад,

Такий запис позначає, що значення функції обчислюється за формулою x, коли x більше або дорівнює нулю. Коли ж x менше нуля, значення функції визначається за формулою –x 2 . Наприклад, якщо x = 4, то f(x) = 2, т. до. даному випадкувикористовується формула вилучення кореня. Якщо ж x = –4, то f(x) = –16, т. до. у разі використовується формула –x 2 (спочатку зводимо в квадрат, потім враховуємо мінус).

Щоб побудувати графік такої шматкової функції, спочатку будуються графіки двох різних функційнезалежно від значення x (тобто по всій числової прямої аргументу). Після цього від отриманих графіків беруться ті частини, які належать відповідним діапазонам x. Ці частини графіків поєднуються в один. Зрозуміло, що в простих випадкахкреслити можна відразу частини графіків, опустивши попереднє промальовування їх «повних» варіантів.

Для наведеного вище прикладу для формули y = √x отримаємо такий графік:

Тут x у принципі не може приймати негативних значень(т. е. підкорене вираз у разі може бути негативним). Тому графік кускової функції піде весь графік рівняння y = √x.

Побудуємо графік функції f(x) = -x2. Отримаємо перевернуту параболу:

В даному випадку в шматочкову функцію ми візьмемо тільки ту частину параболи, для якої x належить проміжку (–∞; 0). В результаті вийде такий графік шматкової функції:

Розглянемо інший приклад:

Графіком функції f(x) = (0.6x – 0.5) 2 – 1.7 буде видозмінена парабола. Графіком f(x) = 0.5x + 1 є пряма:

У шматковій функції x може набувати значення в обмежених проміжках: від 1 до 5 і від –5 до 0. Її графік складатиметься з двох окремих частин. Одну частину беремо на проміжку від параболи, іншу - на проміжку [-5; 0] від прямої:

Муніципальна бюджетна загальноосвітня установа

середня загальноосвітня школа №13

«Шматкові функції»

Сапогова Валентина та

Донська Олександра

Керівник-консультант:

м. Бердськ

1. Визначення основних цілей та завдань.

2. Анкетування.

2.1. Визначення актуальності роботи

2.2. Практична значимість.

3. Історія функцій.

4. Загальна характеристика.

5. Методи завдання функцій.

6. Алгоритм побудови.

8. Використовувана література.

1. Визначення основних цілей та завдань.

Ціль:

З'ясувати спосіб вирішення шматкових функцій і, виходячи з цього, скласти алгоритм їх побудови.

Завдання:

¦ Познайомитися з загальним поняттямпро шматочні функції;

¦ Дізнатися історію терміна «функція»;

¦ Провести анкетування;

Виявити способи завдання шматкових функцій;

¦ Скласти алгоритм їх побудови;

2. Анкетування.

Серед старшокласників було проведено анкетування на вміння будувати шматкові функції. Загальна кількістьопитаних становило 54 особи. Серед них 6% – роботу виконали повністю. 28% роботу змогли виконати, але з певними помилками. 62% - роботу не змогли виконати, хоч і робили будь-які спроби, а 4%, що залишилися, взагалі не приступали до роботи.

З цього анкетування можна зробити висновок, що учні нашої школи, які проходять програму, мають не достатню базу знань, адже цей автор не приділяє особливої увагина завдання подібного роду. Саме з цього випливає актуальність та практична значимістьнашої роботи.

2.1. Визначення актуальності роботи.

Актуальність:

Шматкові функції зустрічаються, як у ГІА, так і в ЄДІ, завдання, що містять функції подібного роду, оцінюються в 2 бали. І, отже, від їхнього рішення може залежати ваша оцінка.

2.2. Практична значимість.

Результатом нашої роботи буде алгоритм вирішення шматкових функцій, який допоможе розібратися в їх побудові. І додасть шансів на отримання бажаної вами оцінки на іспиті.

3. Історія функцій.

«Алгебра 9 клас» та ін;

7
Урок з алгебри у 9А класі вчителя Микитчук Ж.М. МОУ «ЗОШ №23»19.03.07гТема урока: «Шматково-задані функції» Цілі:

логічне мислення

мовну культуру

В результаті узагальнення теми учні мають знати:

поняття шматково-заданої функції; формули різних функцій, відповідні назви та зображення графіків;вміти:

будувати графік шматково-заданої функції; читати графік; задавати функцію аналітично за графіком.

Хід уроку

I. Організаційно-психологічний момент. Почнемо наш урок словами Д.К.Фадєєва «Яке б завдання ви не вирішували, в кінцевому підсумку чекає щаслива хвилина - радісне почуття успіху, зміцнення віри в свої сили. Нехай ці слова на нашому уроці знайдуть реальне підтвердження. ІІ. Перевірка домашнього завдання. Почнемо урок як завжди з перевірки д/з. Повторіть визначення шматкової функції та план дослідження функций.1). На дошцізобразити вигадані вами графіки шматочкових функцій (рис.1,2,3)2). Картки. №1. Розставте порядок дослідження властивостей функцій:

найменше значення

№2. Зобразіть схематично графіки функцій:

А) у = kx + b, k0; Б) y = kx, k0;

У) у = , k0.

3).Усна робота . - 2 хв

Яка функція називається шматковою?Шматковою називається функція, задана різними формулами різних проміжках.

З яких функцій складаються шматкові функції, зображені на рис.1, 2, 3? Які ще назви функцій ви знаєте? Як називаються графіки відповідних функцій? Чи є графіком будь-якої функції, фігура, зображена на рис.4? Чому?Відповідь:ні, т.к. за визначенням функції, кожному значенню незалежної змінної х ставиться у відповідність єдине значення залежної змінної у. 4) Самоконтроль - 3 хв.Із запропонованих графіків та відповідних формул, що задають функції, виберіть правильні. З отриманих букв відповідей складіть знайоме слово. Відповідь: ГРАФІК Де в житті, в науці, у побуті ми ще зустрічаємося зі словом ГРАФІК?-Графік залежності маси від об'єму,-об'єму від тиску;- графік чергування;- графік руху поїздів; Об `єм промислового виробництвав Саратовській області в період з 1980 по 2002 рік. За цим графіком можна простежити за зниженням і зростанням виробництва в окремі роки. - Скажіть, графіком якої функції представлена дана інформація. Відповідь: шматкова функція.ІІІ. Повідомлення теми, цілі уроку. Тема урока:«Шматково-задані функції» Ціль:- на прикладі шматково-заданої функції згадати план дослідження функцій;

повторити кроки побудови шматково-заданої функції; застосовувати узагальнені знання під час вирішення нестандартних завдань.IV. Актуалізація раніше засвоєних знань. Поняття функції вперше зустрілося нам у 7 класі щодо вивчення лінійної залежності. З погляду моделювання реальних процесів, ця залежність відповідає рівномірним процесам. Приклад: Рух пішохода з постійною швидкістюза час t. Формула: s = vt, графік - відрізки прямої, розташований в I чверті.
Основна тема 8-го класу – квадратична функція, що моделює рівноприскорені процеси. Приклад: вивчена вами в 9-му класі формула визначення опору нагрітої лампи (R) при постійній потужності (Р) і змінній напрузі (U). Формула R =

, Графік - гілка параболи, розташована в I чверті.
Протягом трьох роківнаші знання про функції збагачувалися, кількість вивчених функцій зростала, поповнювався і набір завдань для вирішення яких доводиться вдаватися до графіків. Назвіть ці типи завдань… розв'язання рівнянь;- Вирішення систем рівнянь;- Розв'язання нерівностей;- Вивчення властивостей функцій.V.Підготовка уч-ся до узагальнюючої діяльності. Згадаймо один із типів завдань, а саме – дослідження властивостей функцій або читання графіка. Звернемося до підручника. Сторінка 65 рис.20а №250. Завдання:прочитати графік функції. Порядок дослідження функції маємо. 1. область визначення – (-∞; +∞)2. парність, непарність – ні парна, ні непарна3. монотонність-зростає [-3; +∞), зменшується[-5;-3], постійна (-∞; -5];4. обмеженість – обмежена знизу5. максимальне і менше значення функції – у найм = 0, у найб – немає;6. безперервність- безперервна по всій області визначення;7. область значень – , опукла і вниз і вгору (-∞; -5] і [-2; +∞).VI. Відтворення знань на новому рівні. Ви знаєте, що побудова та дослідження графіків шматково-заданих функцій розглядаються в другій частині іспиту з алгебри в розділі функції та оцінюються 4-ма та 6-ма балами. Звернімося до збірки завдань.Сторінка 119 - №4.19-1).Рішення: 1).у = - x, - квадратична функція, графік - парабола, гілки вниз (а = -1, а 0). х -2 -1 0 1 2 у -4 -1 0 1 4 2) у = 3х - 10, - лінійна функція, графік – прямаСкладемо таблицю деяких значеньх 3

3 у 0 -1 3) у = -3х -10, - лінійна функція, графік - прямаСкладемо таблицю деяких значеньх -3 -3 у 0 -1 4)Побудуємо графіки функцій у системі координат і виділимо частини графіків на заданих проміжках.
Знайдемо за графіком, за яких значеннях значення функції невід'ємні.Відповідь: f(x)  0 при х = 0 та при

 3 VII.Робота над нестандартними завданнями. №4.29-1), стор 121.Рішення: 1) Пряма (ліворуч) у = kx + b проходить через точки (-4; 0) і (-2; 2). Значить -4 k + b = 0, -2 k + b = 2;

k = 1, b = 4, у = х +4. Відповідь: х +4, якщо х -2у = якщо -2  х £ 3 3, якщо х  3
VIII.Контроль знань. Отже, підіб'ємо невеликий підсумок. Що ми повторили на уроці? План дослідження функцій, кроки побудови графіка шматкової функції, завдання аналітично. Перевіримо як ви засвоїли цей матеріал. Тестування на 4-5, 3 I варіант № У

2 1 -1 -1 1 Х

D(f) = , опукла і вгору і вниз на , опукла вгору і вниз на , зменшується на ________ Обмежена ____________ у наим немає, у наиб =_____ Безперервна по всій області визначення Е(f) = ____________ Випукла і вниз і вгору на всієї області визначення