За допомогою логічного зв'язування або зв'язуються судження. Основні логічні зв'язки

Щоб закласти основу для нечіткої логіки, необхідно розширити зміст таких логічних операцій, як заперечення, диз'юнкція, кон'юнкція та імплікація стосовно висловлювань, які мають не числові, а лінгвістичні значення істинності. Інакше кажучи, ми маємо вміти обчислювати значення істинності висловлювання ізнаючи лінгвістичні значення істинності висловлювань та . При розгляді цієї проблеми корисно мати на увазі, що якщо - нечітке підмножина універсальної множини і два наступних твердження еквівалентні:

Таким чином, питання «Що є значенням істинності висловлювання і, якщо задані лінгвістичні значення істинності та?» аналогічний до питання, яке ми поставили в § 3: «Який ступінь приналежності елемента множини, якщо задані ступеня приналежності елемента множин і ?»

Щоб відповісти на останнє запитання, ми використали принцип узагальнення. Дотримуватимемося тієї ж процедури для узагальнення сенсу заперечення не, а також зв'язок і, абоі тягнестосовно лінгвістичних значень істинності.

Зокрема, якщо - точка в , що представляє значення істинності висловлювання «» (або просто ), де - елемент універсальної множини , то значення істинності висловлювання не(або) визначається виразом

. (6.7)

Припустимо тепер, що не точка в , а нечітке підмножина інтервалу , представлене у вигляді

де - точки в , а - їх ступеня приналежності до множини . Тоді, застосовуючи принцип узагальнення (3.80) до (6.7), отримаємо висловлювання як нечіткого підмножини інтервалу , тобто.

Зокрема, якщо значення істинності є істинно, тобто.

, (6.10)

то значення істинності хибноможна записати у вигляді

. (6.11)

Наприклад, якщо

то значення істинності висловлювання немає вид

Зауваження 6.1. Слід зазначити, що якщо

то згідно (3.33), маємо

Однак якщо

Те саме стосується і лінгвістичних невизначеностей. Наприклад, згідно з визначенням невизначеності дуже(див. (5.38)),

З іншого боку, значення істинності висловлювання дужеодно

Перейдемо до бінарних зв'язків. Нехай і – лінгвістичні значення істинності висловлювань і відповідно. Для простоти будемо користуватися тими ж позначеннями, що й у випадку, коли і – крапки в:

маючи при цьому на увазі, що у випадку, коли і - точки в , операції , і зводяться до операцій min (кон'юнкція), max (диз'юнкція) та віднімання з одиниці відповідно.

де і - точки в , а і - відповідні їм ступеня належності множин і , то, застосовуючи принцип узагальнення до , отримаємо

Таким чином, значення істинності висловлювання іє нечітке підмножина інтервалу, носій якого складається з точок виду

з відповідними ступенями приналежності. Зазначимо, що вираз (6.25) еквівалентний виразу (3.107) для функції приналежності перетину нечітких множин, що мають нечіткі функції приналежності.

Приклад 6.2.Припустимо, що

Тоді, використовуючи (6.25), отримуємо

(6.28)

Аналогічно для значення істинності висловлювання абоотримаємо

(6.29)

Значення істинності висловлювання залежить від цього, як визначено зв'язка для числових значень істинності. Так, якщо для випадку, коли і точки в , ми покладемо (див. (8.24))

то, застосувавши принцип узагальнення, отримаємо (див. зауваження 3.20)

(6.31)

для випадку, коли і - нечіткі підмножини інтервалу.

Зауваження 6.3. Важливо чітко розуміти різницю між зв'язкою іу термі, скажімо, істиннийі не дуже істиннийта символом у висловленні істинний не істинний. У першому випадку нас цікавить сенс терму істинний і неправдивий, і зв'язування івизначається ставленням

(6.32)

де – сенс терму (див. визначення 5.1). Навпаки, у разі терму істинний не істиннийнас переважно цікавить значення істинності висловлювання істинний не істинний, що виходить з рівності (див. (6.19))

Таким чином, у (6.32) символ позначає операцію перетину нечітких множин, а (6.33) символ позначає операцію кон'юнкції. Проілюструємо цю різницю на простому прикладі. Нехай , а і - нечіткі підмножини множини, що визначаються таким чином:

в той час як

Зазначимо, що така ж відмінність має місце і у разі заперечення нета операції, як вказувалося у зауваженні 6.1.

Зауваження 6.4. Слід зазначити, що, застосовуючи принцип узагальнення (3.96) до обчислення значень , і ми мовчазно припускали, що і - невзаємодіючі нечіткі змінні у сенсі зауваження 3.20. Якщо і - взаємодіючі змінні, необхідно застосовувати принцип узагальнення над формі (3.96), а формі (3.97). Цікаво помітити, що питання про можливу взаємодію між і виникає навіть у тому випадку, коли і - точки в , а не нечіткі змінні.

6.5. Застосовуючи принцип узагальнення з метою визначення операцій , , і стосовно лінгвістичним значенням істинності, ми розглядаємо нечітку логіку як узагальнення багатозначної логіки. У такому ж сенсі можна розглядати класичну тризначну логіку як узагальнення двозначної логіки (див. (6.64))., від 0 до 1. хибний, можна зробити висновок, що

що узгоджується з (6.25).

Складним називають судження, що містить логічні зв'язки, що складається з кількох простих суджень.

Надалі прості міркування ми розглядатимемо як деякі неподільні атоми, як

елементи, з'єднання яких виникають складні структури.

Прості судження позначатимемо окремими латинськими літерами: а, Ь, с, d,... Кожна така літера представляє деяке просте судження. Звідки це видно? Відволікаючись від складної внутрішньої структури простого судження, з його кількості і якості, забувши у тому, що він є суб'єкт і предикат, ми утримуємо лише одне властивість судження - те, що може бути істинним чи хибним. Решта нас тут не цікавить. І коли говоримо, що буква “а” представляє судження, а чи не поняття, не число, не функцію, ми маємо у вигляді лише одне: це “а” представляє істину чи брехню. Якщо під “а” ми маємо на увазі судження “Кенгуру живуть в Австралії”, ми маємо на увазі істину; якщо ж під “а” ми маємо на увазі судження “Кенгуру живуть у Сибіру”, ми маємо на увазі брехню. Отже, наші літери “а”, “Ь”, “с” тощо. - це змінні, замість яких можуть підставлятися істина чи брехня.

Логічні зв'язки є формальні аналоги спілок нашої рідної природної мови. Як складні пропозиції будуються з простих за допомогою союзів "проте", "оскільки", "або" і т.п., так і складні судження утворюються з простих за допомогою логічних зв'язок. Тут відчувається набагато більший зв'язок думки з мовою, тому надалі ми замість слова "судження", що означає чисту думку, часто використовуватимемо слово "висловлювання", що означає думку в її мовному вираженні. Отже, познайомимося з найбільш уживаними логічними зв'язками.

Заперечення. У природному мові відповідає вираз “Невірно, що...”. Заперечення зазвичай позначається знаком "-", що стоїть перед літерою, що представляє деяке судження: "а" читається "Невірно, що а". Приклад: "Неправильно, що Земля - ​​куля".

Слід звернути увагу на одну тонку обставину. Вище ми говорили про прості негативні судження. Як їх відрізнити від складних суджень із запереченням? Логіка розрізняє два види заперечення – внутрішнє та зовнішнє. Коли заперечення стоїть усередині простого судження перед зв'язкою “є”, то цьому випадку ми маємо справу з простим негативним судженням, наприклад: “Земля не куля”. Якщо ж заперечення зовнішнім чином приєднується до судження, наприклад: "Невірно, що Земля - ​​куля", то заперечення розглядається як логічна зв'язка, що перетворює просте судження на складне.

Кон'юнкція. У природній мові цій зв'язці відповідають союзи "і", "а", "але", "проте" і т.п.

Найчастіше кон'юнкція позначається значком "&". Наразі цей значок часто зустрічається у назвах різних фірм та підприємств. Судження з такою зв'язкою називається кон'юнктивним, або просто кон'юнкцією, і виглядає так:

а&Ь. Приклад: “У кошику у діда лежали підберезники та маслюки”. Це складне судження є кон'юнкцією двох простих суджень: - "У кошику у діда лежали підберезники" і "У кошику у діда лежали маслюки".

Диз'юнкція. У природній мові цій зв'язці відповідає спілка "або". Зазвичай вона позначається знаком "v". Судження з такою зв'язкою називається диз'юнктивним, або просто диз'юнкцією, і виглядає так: а v Ь.

Союз “чи” у природній мові вживається у двох різних сенсах: непогане “або” - коли члени диз'юнкції не виключають одне одного, тобто. можуть бути одночасно істинними, і суворе "або" (часто замінюється парою союзів "або..., або...") - коли члени диз'юнкції виключають одне одного. Відповідно до цього розрізняють і два види диз'юнкції - строгу та нестрогу.

Імплікація. У природній мові їй відповідає спілка "якщо... то". Вона позначається знаком "->". Судження з такою зв'язкою називається імплікативним, або просто імплікацією, і виглядає так: а -> Ь. Приклад: Якщо по провіднику проходить електричний струм, то провідник нагрівається. Перший член імплікації називається антецедентом, або основою; другий – консеквентом, або наслідком. У повсякденному мові союз “якщо... то” зазвичай поєднує пропозиції, які висловлюють причинно-наслідковий зв'язок явищ, причому перше речення фіксує причину, а друге - слідство. Звідси та назви членів імплікації.

Подання висловлювань природної мови у символічному вигляді за допомогою зазначених вище позначень означає їхню формалізацію, яка у багатьох випадках виявляється корисною. 4) Чудовий острів лежав у теплому океані. І все б добре, та понадилися на цьому острові влаштовуватися на проживання чужинці. Їдуть і їдуть з усіх куточків світу, вже корінних жителів стискувати стали. Щоб перешкодити нашестю чужинців, імператор острова видав указ: “Кожен приїжджий, бажаючий оселитися на нашому благословенному острові, повинен висловити якесь судження. Якщо судження виявиться істинним, чужинця слід розстріляти; якщо судження виявиться хибним, його слід повісити”. Боїшся - тоді мовчи і повертай додому!

Постає питання: яке треба висловити судження, щоб залишитися живим і все-таки оселитися на острові?

Логічним множенням або кон'юнкцією називається операція, що виражається зв'язкою «і» і позначається точкою « » (або знаками & або  ). Висловлювання А  В істинно тоді і тільки тоді, коли обидва висловлювання А і В істинні.

Таблиця істинності функції логічного множення

		F=А В

Логічним додаванням або диз'юнкцією називається операція, що виражається зв'язкою "або" (у нерозділювальному сенсі цього слова) і позначається "+" (або знаком  ). Висловлювання А  У хибно тоді й тільки тоді, коли обидва висловлювання А та В хибні.

Таблиця істинності функції логічного додавання

		F=А В

Імплікацією називається операція, що виражається зв'язками "якщо ..., то", "із ... слід". Висловлювання А  В хибно тоді і тільки тоді, коли А істинно, а В – хибно.

Таблиця істинності логічної функції «імплікація»

		F=А В

У звичайній мові зв'язка “якщо..., то” визначає причинно-наслідковий зв'язок між висловлюваннями. Але у логічних операціях сенс висловлювань не враховується. Висловлювання А та В, що утворюють складове висловлювання A  В, можуть бути не пов'язані за змістом. Розглядається лише їхня істинність чи хибність.

Логічним рівністю або еквівалентністю (або подвійний імплікацією ) називається операція, що виражається зв'язками "тоді і тільки тоді", "необхідно і достатньо", "... рівносильно...", і позначається знаком  або ~ . Висловлювання А В істинно тоді і тільки тоді, коли значення А і В збігаються.

Таблиця істинності логічної функції «еквівалентність»

		F=А В

Імплікацію можна виразити через диз'юнкцію та заперечення:

А  В =  Ст.

Еквівалентність можна виразити через заперечення, диз'юнкцію та кон'юнкцію:

А  В = (  В)  ( А).

Таким чином, операцій заперечення, диз'юнкції та кон'юнкції достатньо, щоб описувати та обробляти логічні висловлювання.

Для кожного складного висловлювання можна побудувати таблицю істинності, яка визначатиме його істинність чи хибність при різних комбінаціях вихідних значень простих висловлювань. Наприклад розглянемо таблицю істинності логічного висловлювання (А В) (Ā  )

Таблиця істинності

		А В			Ā 	(А В) (Ā  )

Приклад . Визначте результат логічної операції F = (A  B)  (C  D) при заданих значеннях логічних змінних A, B, C – істина, D – брехня.

Рішення .

						(A  B)  (C  D)

З побудованої таблиці істинності випливає, що F=1

Сформулюємо основні правила освіти нових пропозицій з вихідних за допомогою основних зв'язок та спілок звичайної розмовної мови. Одних лише правил російської буває недостатньо, оскільки іноді в одне й те саме пропозицію, сформульоване російською, ми вкладаємо різний сенс. Наприклад розглянемо мовний зворот «Якщо, то», за допомогою якого сформулюємо дві пропозиції:

• 1) «Якщо Мишко складе іспит на добре, то піде на дискотеку».
• 2) «Якщо Мишко не складе іспит на добре, то на дискотеку не піде».

Питання: у цих пропозиціях йдеться про одне й те саме чи існує ситуація, коли одна з пропозицій є вірною, а інша помилковою? Іншими словами, питається, чи ці пропозиції є рівносильними.

До тих пір, поки ми чітко не визначимо правила побудови подібних фраз, на запитання відповісти однозначно не можна. З одного боку, формулюючи першу пропозицію, ми часто маємо на увазі і другу пропозицію. Проте подивимося ці пропозиції з іншого боку.

Спочатку запишемо схеми речень. Для цього пропозицію «Миша складе іспит на відмінно» позначимо буквою А, а пропозиція «Миша піде на дискотеку» - буквою Ст.Тоді дані пропозиції схематично можна записати так:

I) «Якщо А, то В», 2) «Якщо не А, то не В».

Тепер підставимо замість Аі Вінші упередження. Замість Авізьмемо: «Стіл зроблений із дуба», замість В"Стіл є дерев'яним". Тоді отримаємо іншу пару пропозицій:

• 1) «Якщо стіл дубовий, він дерев'яний»,
• 2) «Якщо стіл не дубовий, він не дерев'яний».

Оскільки ці пропозиції побудовані за тими ж схемами, що два, отже, рівносильність першої пари речень має означати рівносильність другої пари. Однак перша пропозиція в повсякденній мові, очевидно, є вірним висловлюванням, тому що дуб - це дерево, а друга пропозиція за загальноприйнятим змістом хибна, оскільки стіл може бути зроблений з іншого дерева, наприклад, з сосни.

Таким чином, у випадку пропозиції, побудовані за схемами «Якщо А, то В»і «Якщо не А,то не В», не можна вважати логічно однаковими.

Отже, для того щоб виключити двозначність при конструкції речень, потрібні чіткі правила, що дозволяють визначати істинність або хибність одержуваної пропозиції в залежності від істинності або хибності вихідних речень. Аі Ст.

Надамо союзам "і", "або", а також схемам "якщо, то", "тоді і тільки тоді", "невірно, що" однозначний логічний сенс.

Нехай літери А і Впозначають довільні речення. Почнемо із простих ситуацій.

1. Знак заперечення~| (-i) або. Вираз ~li(-Л, А) читається: «не А»або "невірно, що А".

Значення речення ~Авизначимо таблицею, з якої видно, що речення ~лістинно точно тоді, коли вихідна пропозиція Ахибно:

При формулюванні простих структурою пропозицій частинку «не» іноді можна «проносити всередину» пропозиції. Наприклад, пропозиція

"Неправильно, що число V6 ціле" можна сформулювати так: "Число л/6 не ціле". Також пропозиція «Невірно, що прямі аі bперетинаються» формулюють: «Прямі аі bнс псрссскаются».

Часто об'єкт, який не має якоїсь властивості, називають терміном з часткою «не». Наприклад, ціле число, яке не є парним, називається непарним. Тому однаково правильно говорити «Ціле число непарне» та «Ціле число не є парним». Але без застереження, що число ціле, ми маємо різні за змістом речення. Наприклад, «Число 0,2 не є парним» – істина, а пропозиція «Число 0,2 непарне» – брехня.

Розглянемо словосполучення "непарна функція". Тут ми маємо самостійний термін і слово «непарна» не можна писати і вимовляти окремо, тобто речення «Функція є непарною» не є запереченням речення «Функція є парною». Справді, є приклад функції, у якому обидві пропозиції помилкові. Наприклад, функція ) т = х +не є парною і не є непарною (старайтеся пояснити це).

2. Знак кон'юнкціїл. Вираз ЛЛВчитається: "А і В".Іноді кон'юнкція позначається знаком.

Значення речення АлВзалежно від складових його пропозицій А і Ввизначено таблицею:

Таким чином, пропозиція АлВістинно тільки в одному випадку, коли обидві пропозиції Аі Вістинні. В інших випадках ця пропозиція хибна. При формулюванні речення АлВзамість союзу «і» можна використовувати інші союзи, які мають той самий логічний сенс одночасного виконання кожної із пропозицій: «а», «але».

Приклад 1.3.1.Пропозиція «Число 111 нс ділиться на 2, але ділиться на 3» - символічно можна записати 1 АлВ,де А= "111 ділиться на 2", В = « 111 ділиться на 3».

3. Знак диз'юнкції v. Вирази AvBчитається: "А або В".

Значення речення AvBвизначено таблицею:

З таблиці видно, що пропозиція «Аабо В»істинно в тих випадках, коли хоча б одна із пропозицій Аабо Вістинно, а у випадку, коли обидві пропозиції Аі Впомилкові, пропозиція AvBнабуває хибного значення.

Іноді із змісту пропозицій Аі Ввипливає, що пропозиції не можуть бути істинними. І тут пропозицію формулюють з допомогою союзу «чи». Наприклад, пропозиція «Число або позитивне, або негативне» також має вигляд «Аабо В», але разом з тим має такий підтекст, що одночасно і позитивним, і негативним число не може бути.

Сформульовані вище правила, мабуть, питань не викликають. Перейдемо до розглянутої на початку пункту схеми «Якщо А,то В».

4. Знак імплікації-Вираз А->Вчитається: "Якщо А, то В".Іноді для позначення цього зв'язування використовується інше позначення стрілки =>, а також знак z>. Поряд із фразою «Якщо А, то В»використовують інші, аналогічні їй: «У тоді, коли А», "А тільки тоді, коли В".

Мотивуємо визначення значень речення А->В.Основна складність, яка тут виникає, полягає у присвоєнні значення пропозиції Л-»# для тих випадків, коли Апомилково. Щоб розумно визначити значення, згадаємо розглянуту вище правильну пропозицію: «Якщо дубовий стіл, то він дерев'яний». Тут А= «Стіл дубовий», В ="Стіл дерев'яний". Нехай стіл зроблений із сосни. Тоді Апомилково, Вістинно. Нехай стіл буде залізним. Тоді Ахибно і Впомилково. В обох випадках пропозиція Ахибно, а пропозиція, що отримується «Якщо А, то В»істинно. При цьому обидва ці випадки реально можливі. Звичайно, можливий випадок, коли маємо дубовий стіл, тоді Aw Водночасно істинні. А ось приклад справжньої пропозиції А->В,коли А=і> В=л, не існує.

Таким чином, випадки, коли А=і, В=і,або А = л у В = і, або А = л, В=л,повинні визначати справжню пропозицію І лише один випадок, при

якому А=і, В-л,означає, що пропозиція А->Впомилково.

Отже, у математичній логіці значення пропозиції Т-задаються наведеною таблицею:

Надалі всюди фраза «Якщо А, то В»розумітиметься саме так. Тут пропозиція Аназивається посилкою, або умовою, а В – укладанням.

Приклад 13.2. Батьки пообіцяли своєму синові Пете: якщо він успішно закінчить університет, вони куплять йому машину. Відомо, що син університет не закінчив, а машину йому батьки таки купили. Чи можна стверджувати, що слова батьків були брехнею?

Щоб відповісти на запитання, розглянемо речення: А= «Син закінчує університет», В ="Йому купують машину". При цьому А = л, В = і.Обіцянка батьків має вигляд А^>В.За визначенням ця пропозиція при заданих значеннях Аі ВПравильно (третій рядок таблиці). Тому з погляду логіки слова батьків є вірними. А от якби їхній син закінчив інститут, а машину йому не купили, у цьому випадку (і в жодному іншому) обіцянка була б не виконана.

Тепер розглянемо ще одну логічну зв'язку, яку часто мають на увазі, коли кажуть слова «якщо, то». Наприклад, якщо в умовах прикладу 1.3.2 батьки припускали, що у випадку, якщо їх син Петя не закінчить інститут, вони не куплять йому машину, правильно було б сказати: «Машина буде куплена в тому і тільки в тому випадку, якщо Петя закінчить інститут».

5. Знак еквівалентностіабо. Вираз А читається: "А тоді і тільки тоді, коли В".Можливі інші формулювання: «А в тому і лише в тому випадку, якщо В», «А точно тоді, коли В»і т.п.

Значення речення АВзадаються таблицею:

У випадках, коли Аі Вприймають однакові значення, пропозиція АВПравильно, в інших випадках пропозиція хибна.

Неважко помітити, що фраза «Атоді і лише тоді, коли В»складається з двох фраз: «Атоді коли В»і «Атільки тоді, коли В».Перша пропозиція записується В->А,а друге А^>В.Ці дві пропозиції одночасно істинні у двох випадках: А=і, В=і, а також А = л, В = л.

Отже, ми визначили п'ять знаків: л (кон'юнкція), v (диз'юнкція), -> (імплікація), (еквіваленція), 1 (заперечення), які називають

логічними сівалками.Ці знаки дозволяють із даних пропозицій Аі Вотримувати нові пропозиції. При цьому значення (істини або брехні) нової пропозиції однозначно визначається значеннями речень Аі Ст.Правило отримання нової пропозиції із вихідних пропозицій називається логічною операцією.Таким чином, кожна з логічних зв'язок визначає логічну операцію, яка має таку ж назву як відповідна їй зв'язка.

Розглянуті операції можна використовувати і висловлювань, і предикатів. Наприклад, поєднавши два одномісні предикати «Число,т більше 3» і «Число хнегативне» знаком диз'юнкції, отримаємо одномісний предикат: «Число хбільше 3 або огрі тельне». Єдине, для того щоб з'єднати два предикати логічним зв'язуванням, потрібно, щоб було задано деяку спільну область Dдопустимих об'єктів, які можна підставляти в ці предикати замість змінних.

Визначимо ще дві логічні зв'язки, звані кваітора.ми,які дозволяють із одномісних предикатів отримувати висловлювання. Термін «квантор» у перекладі з латинської означає «скільки». Тому ці знаки використовуються для відповіді на питання про те, скільки об'єктів задовольняють пропозиції А у- всі чи хоча б один.

Візьмемо довільний предикат, у якого виділимо змінну, від якої його значення. Позначимо його А(х).

6. Квантор спільності V. Цей знак походить від англійського слова АНі є скороченням наступних слів: «вага», «кожен», «кожний», «будь-який».

Вираз Vj&4(y) означає, що предикат А(х)виконується для всіх допустимих об'єктів х.Читається: «Для всіх ікса від ікс».

7. Квантор існування 3.Цей знак походить від англійського слова Existі є скороченням наступних слів: "існує", "знайдеться", "хоча б один", "деякий".

Вираз Зх4(*) означає, що предикат А(х)виконується хоча б одного з допустимих объектов.v. Читається: «Існує ікс а від ікс».

Приклад 1.3.3. Нехай змінна хпозначає студента вишу. Розглянемо пропозицію А(х)= "Студент л: має машину". Тоді VxA(x)означає, що всі студенти вишів мають машину. Це хибне висловлювання. Пропозиція ЕхА(х)означає, що деякі студенти мають машину, яка є вірним твердженням.

Таким чином, спочатку ми мали предикат, значення якого залежало від значення змінної ДГ. Після виконання операцій було отримано саме висловлювання, значення яких вже нс залежать від змінної х.

Нехай є формула Л(х),що містить вільну змінну х.Тоді твердження про те, що формула А(х)є тотожно істинною, коротко запишеться Vj&4(jc).

Операція отримання пропозиції за допомогою кванторів називається квантифікацією.При використанні виразів УхА(х)та 3 хА(х)також кажуть: "На змінну х навісили квантор"або «Змінну х пов'язали квантором».

Зауважимо, що кванторні операції застосовуються не тільки до одномісних предикатів. Якщо буде дано двомісний предикат А(ху),то можна зв'язати змінну л - квантором та утворити пропозицію /хА(ху),істинність якого залежатиме вже тільки від однієї змінної у,і ми матимемо одномісний предикат. У цьому записі змінна хназивається пов'язаною квантором, а змінна у – вільної.Загалом, застосувавши кванторну операцію до будь-якої зі змінних /7-місцевого предикату, в результаті отримаємо (н-1)-місцевий предикат.

Кванторами можна зв'язати будь-яку кількість змінних. Якщо маємо двомісний предикат А(ху),то формально можна отримати 8 висловлювань.

зв'язавши кожну змінну якимось квантором: Vjc fyA(xy), VyVxA(xy), Vx3уА(ху), 3yVxA(ху), 3xVyA(xy), /уЕхА(ху), ЗхЗуА(ху), ЗуЗхА(ху).Деякі пропозиції мають один і той же сенс, наприклад, перше і друге (предикат Аповинен набувати справжнього значення для будь-яких значень * і у), а також сьоме та восьме. Інші висловлювання у випадку дають різні за істинністю висловлювання.

Приклад 1.3.4.Нехай у класі всього два хлопчики - Петя та Коля. Для самостійного вирішення були задані три завдання, позначимо їх числами 1, 2, 3. Петя вирішив задачі 1 і 2, а Коля – одне завдання з номером 3. Введемо предикат А(ху),який означає, що хлопчик вирішив завдання у.Тут змінна хпозначає ім'я хлопчика, а змінна у- Номер завдання. Розглянемо такі висловлювання.

Vx3yA(xy)= «Кожен хлопчик вирішив хоча б одну задачу» - справжнє висловлювання, так як і Петя вирішив дві задачі, і Коля вирішив принаймні одне завдання.

• 3_yVx4(.*,y) = «Знайдеться завдання, яке вирішили всі хлопчики класу» - брехня, тому що такої задачі немає (і 1-у та 2-у задачі вирішив тільки Петя, а 3-ю – тільки Коля).
• 3xVyA(x,y) = «Хоч би один хлопчик вирішив усі завдання» – хибне твердження.

V_yEx,4(;c,y) = «Кожна задача вирішена хоча б одним учнем» - істина, так задача з номером 1 вирішена Петею, задача з номером 2 також вирішена Петею, а задача 3 вирішена Колею.

З розглянутого прикладу можна дійти невтішного висновку: порядок запису кванторов впливає логічний сенс пропозиції. Тому чітке формулювання пропозиції має однозначно припускати, в якому порядку йдуть квантори спільності та існування.

Вправа.Самостійно проаналізуйте значення висловлювань з прикладу 1.3.4 у припущенні, що Петя вирішив завдання з номерами 2 та 3.

У загальному випадку з предикату А(х)можна отримати два висловлювання - /хА(х)та 3x4(x). Проте дуже часто записана формула А(х)розуміється саме як висловлювання Vx4(.x), хоча квантор спільності під час запису чи формулюванні опускають. Наприклад, записавши д-2> 0, мають на увазі, що квадрат будь-якого дійсного числа негативний. Повна запис висловлювання така: Улг(дг?0). Запис (4х + 6у): 2,де*, у -Цілі числа припускає, що зазначена сума завжди ділиться на 2, тобто парна. Щоб підкреслити, слід записати V*Vy((4.x + 6jy):2).

Визначені у двох останніх пунктах математичні знаки та знаки логічних зв'язок становлять алфавіт математичної мови.

Складним називають судження, що містить логічні зв'язки, що складається з кількох простих суджень.

Надалі прості судження ми розглядатимемо як деякі неподільні атоми, як елементи, з'єднання яких виникають складні структури. Прості міркування позначатимемо окремими латинськими літерами: a, b, c, d, … Кожна така літера представляє деяке просте судження. Звідки це видно? Відволікаючись від складної внутрішньої структури простого судження, з його кількості і якості, забувши у тому, що він є суб'єкт і предикат, ми утримуємо лише одне властивість судження – те, що може бути істинним чи хибним. Решта нас тут не цікавить. І коли ми говоримо, що буква «a» представляє судження, а не поняття, не число, не функцію, ми маємо на увазі лише одне: це «a» є істиною або брехнею. Якщо під "a" ми маємо на увазі судження "Кенгуру живуть в Австралії", ми маємо на увазі істину; якщо ж під «а» ми маємо на увазі судження «Кенгуру живуть у Сибіру», ми маємо на увазі брехню. Таким чином, наші літери "a", "b", "c" і т.д. – це змінні, замість яких можуть підставлятися істина чи брехня.

Логічні зв'язки є формальними аналогами спілок нашої рідної природної мови. Як складні пропозиції будуються із простих за допомогою спілок «проте», «оскільки», «або» тощо, так і складні судження утворюються з простих за допомогою логічних зв'язок. Тут відчувається набагато більший зв'язок думки з мовою, тому надалі ми замість слова «судження», що означає чисту думку, часто використовуватимемо слово «висловлювання», що означає її мовному вираженні. Отже, познайомимося з найбільш уживаними логічними зв'язками.

Заперечення. У природній мові відповідає вираз «Невірно, що…». Заперечення зазвичай позначається знаком "¬", що стоїть перед буквою, що представляє деяке судження: "¬а" читається "Невірно, що а". Приклад: "Невірно, що Земля - ​​куля".

Слід звернути увагу на одну тонку обставину. Вище ми говорили про прості негативні судження. Як їх відрізнити від складних суджень із запереченням? Логіка розрізняє два види заперечення – внутрішнє та зовнішнє. Коли заперечення стоїть усередині простого судження перед зв'язкою «є», то цьому випадку ми маємо справу з простим негативним судженням, наприклад: «Земля не куля». Якщо ж заперечення зовнішнім чином приєднується до судження, наприклад: «Невірно, що Земля – куля», то заперечення розглядається як логічна зв'язка, що перетворює просте судження на складне.

Кон'юнкція. У природній мові цій зв'язці відповідають союзи «і», «а», «але», «проте» тощо. Найчастіше кон'юнкція позначається значком "&". Наразі цей значок часто зустрічається у назвах різних фірм та підприємств. Судження з такою зв'язкою називається кон'юнктивним, або просто кон'юнкцією, і виглядає так:

a&b. Приклад: «У кошику у діда лежали підберезники та маслюки». Це складне судження є кон'юнкцією двох простих суджень: - «У кошику у діда лежали підберезники» і «У кошику у діда лежали маслюки».

Диз'юнкція. У природній мові цьому зв'язку відповідає союз «або». Зазвичай вона позначається знаком "v". Судження з такою зв'язкою називається диз'юнктивним, або просто диз'юнкцією, і виглядає так: a v b.

Союз «або» у природній мові вживається у двох різних сенсах: не суворе «або» – коли члени диз'юнкції не виключають одне одного, тобто. можуть бути одночасно істинними, і суворе "або" (часто замінюється парою союзів "або ..., або ...") - Коли члени диз'юнкції виключають один одного. Відповідно до цього розрізняють і два види диз'юнкції – строгу та нестрогу.

Імплікація. У природній мові їй відповідає спілка «якщо… то». Вона позначається знаком "->". Судження з такою зв'язкою називається імплікативним, або просто імплікацією, і виглядає так: a -> b. Приклад: Якщо по провіднику проходить електричний струм, то провідник нагрівається. Перший член імплікації називається антецедентом, або основою; другий – консеквентом, чи наслідком. У повсякденній мові спілка «якщо… то» зазвичай поєднує пропозиції, які виражають причинно-наслідковий зв'язок явищ, причому перша пропозиція фіксує причину, а друга – слідство. Звідси та назви членів імплікації.

Подання висловлювань природної мови у символічному вигляді за допомогою зазначених вище позначень означає їхню формалізацію, яка у багатьох випадках виявляється корисною.

4) Чудовий острів лежав у теплому океані. І все б добре, та понадилися на цьому острові влаштовуватися на проживання чужинці. Їдуть і їдуть з усіх куточків світу, вже корінних жителів стискувати стали. Щоб перешкодити нашестю чужинців, імператор острова видав указ: «Кожен приїжджий, бажаючий оселитися на нашому благословенному острові, повинен висловити якесь судження. Якщо судження виявиться істинним, чужинця слід розстріляти; якщо судження виявиться хибним, його слід повісити». Боїшся – тоді мовчи і повертай додому!

Постає питання: яке треба висловити судження, щоб залишитися живим і все-таки оселитися на острові?

| |