Швидкість під час руху з постійним прискоренням. Прямолінійний рух із постійним прискоренням

на даному уроці, тема якого: «Рівняння руху з постійним прискоренням. Поступальний рух», ми згадаємо, що такий рух, яким він буває. Також пригадаємо, що таке прискорення, розглянемо рівняння руху з постійним прискоренням і як ним користуватися для визначення координати тіла, що рухається. Розглянемо приклад завдання закріплення матеріалу.

Головна задачакінематики – визначити положення тіла у будь-який момент часу. Тіло може лежати, тоді його положення не змінюватиметься (див. рис. 1).

Рис. 1. Тіло, що спочиває

Тіло може рухатися прямолінійно із постійною швидкістю. Тоді його переміщення змінюватиметься рівномірно, тобто однаково за рівні проміжки часу (див. рис. 2).

Рис. 2. Переміщення тіла під час руху з постійною швидкістю

Переміщення , швидкість, помножена на якийсь час, це ми давно вміємо робити. Тіло може рухатися з постійним прискоренням, розглянемо такий випадок (див. рис. 3).

Рис. 3. Рух тіла із постійним прискоренням

Прискорення

Прискорення – це зміна швидкості за одиницю часу(Див. рис. 4) : Рис. 4. Прискорення Швидкість - векторна величина, тому зміна швидкості, т. е. різниця векторів кінцевої і початкової швидкості, є вектором. Прискорення - теж вектор, спрямований туди ж, куди вектор різниці швидкостей (див. рис. 5). Ми розглядаємо прямолінійний рух, тому можна вибрати координатну вісьвздовж прямої, вздовж якої відбувається рух, та розглядати проекції векторів швидкості та прискорення на цю вісь:

Тоді поступово змінюється його швидкість: (якщо його початкова швидкість дорівнювала нулю). Як тепер знайти рух? Швидкість помножити на якийсь час - не можна: швидкість постійно змінювалася; яку брати? Як визначити, де при такому русі буде тіло в будь-який момент часу – сьогодні ми цю проблему вирішимо.

Відразу визначимося з моделлю: ми розглядаємо прямолінійний поступальний рух тіла. У такому разі можемо застосовувати модель матеріальної точки. Прискорення спрямоване вздовж тієї ж прямої, вздовж якої матеріальна точка рухається (див. рис. 6).

Поступальний рух

Поступальний рух - це рух, при якому всі точки тіла рухаються однаково: з однаковою швидкістю, здійснюючи однакове переміщення (див. рис. 7). Рис. 7. Поступальний рух А як ще може бути? Змахніть рукою і простежте: зрозуміло, що долоня та плече рухалися по-різному. Подивіться на колесо огляду: точки поблизу осі майже не рухаються, а кабінки рухаються з іншою швидкістю та іншими траєкторіями (див. рис. 8). Рис. 8. Рух вибраних точок на колесі огляду Подивіться на автомобіль, що рухається: якщо не враховувати обертання коліс і рух частин мотора, всі точки автомобіля рухаються однаково, рух автомобіля вважаємо поступальним (див. рис. 9). Рис. 9. Рух автомобіля Тоді немає сенсу описувати рух кожної точки, можна описати рух однієї. Автомобіль вважаємо матеріальною точкою. Зверніть увагу, що при поступальний рухлінія, що з'єднує будь-які дві точки тіла під час руху, залишається паралельною сама собі (див. рис. 10). Рис. 10. Положення лінії, що з'єднує дві точки

Автомобіль їхав прямолінійно протягом години. На початку години його швидкість була 10 км/год, а наприкінці – 100 км/год (див. рис. 11).

Рис. 11. Малюнок завдання

Швидкість змінювалася поступово. Скільки кілометрів проїхав автомобіль?

Проаналізуємо умову завдання.

Швидкість автомобіля змінювалася рівномірно, тобто весь час його прискорення було постійним. Прискорення за визначенням дорівнює:

Автомобіль їхав прямолінійно, тому ми можемо розглядати його рух у проекції на одну вісь координат:

Знайдемо рух.

Приклад зростання швидкості

На стіл кладуть горіхи, по одному горіху за хвилину. Зрозуміло: скільки хвилин мине, стільки горіхів на столі виявиться. А тепер уявімо, що швидкість накладання горіхів поступово зростає з нуля: першу хвилину горіхів не кладуть, в другу кладуть один горіх, потім два, три і так далі. Скільки горіхів опиниться на столі за якийсь час? Зрозуміло, що менше, ніж якби максимальна швидкістьпідтримувалася завжди. Причому добре видно, що менше ніж у 2 рази (див. рис. 12). Рис. 12. Кількість горіхів при різній їх швидкості викладання Так само і з рівноприскореним рухом: припустимо, спочатку швидкість дорівнювала нулю, в кінці стала дорівнює (див. рис. 13). Рис. 13. Зміна швидкості Якби тіло постійно рухалося з такою швидкістю, його переміщення було б рівним, але оскільки швидкість рівномірно зростала - то в 2 рази менше.

Ми вміємо знаходити переміщення за рівномірного руху: . Як оминути цю проблему? Якщо швидкість змінюється небагато, то рух можна приблизно вважати рівномірним. Зміна швидкості буде невеликою за невеликий інтервал часу (див. рис. 14).

Рис. 14. Зміна швидкості

Тому розіб'ємо час у дорозі T на N невеликих відрізків тривалістю (див. рис. 15).

Рис. 15. Розбиття відрізка часу

Підрахуємо переміщення кожному відрізку часу. Швидкість приростає кожному інтервалі на:

На кожному відрізку ми вважатимемо рух рівномірним і швидкість приблизно рівної початкової швидкості на даному відрізку часу. Подивимося, чи не приведе до помилки наше наближення, якщо на невеликому проміжку рух вважатимемо рівномірним. Максимальна помилка дорівнюватиме:

і сумарна помилка за весь час шляху ->. При великих N приймаємо помилку близьку до нуля. Це ми побачимо і на графіку (див. рис. 16): на кожному інтервалі буде помилка, але сумарна помилка при достатньо велику кількістьінтервалів буде зневажливо мала.

Рис. 16. Помилка на інтервалах

Отже, кожне наступне значенняшвидкості на ту саму величину більше попереднього. З алгебри ми знаємо, що це арифметична прогресія з різницею прогресії:

Шлях на ділянках (при рівномірному прямолінійному русі (див. рис. 17) дорівнює:

Рис. 17. Розгляд ділянок руху тіла

На другому ділянці:

на n-му ділянцішлях дорівнює:

Арифметична прогресія

Арифметичною прогресієюназивається така числова послідовність, в якій кожне наступне числовідрізняється від попереднього на одну й ту саму величину. Арифметична прогресія визначається двома параметрами: початковий членпрогресії та різниця прогресії. Тоді послідовність записується так: Сума перших членів арифметичної прогресіїобчислюється за такою формулою:

Підсумуємо всі шляхи. Це буде сума перших N членів арифметичної прогресії:

Оскільки ми розбили рух на багато інтервалів, то можна вважати, що , тоді:

У нас було безліч формул, і щоб не заплутатися, ми не писали щоразу індекси х, але розглядали все в проекції на координатну вісь.

Отже, ми отримали головну формулу рівноприскореного руху: переміщення при рівноприскореному русі за час T, яку ми поряд з визначенням прискорення (зміна швидкості за одиницю часу) будемо використовувати для розв'язання задач:

Ми займалися вирішенням задачі про автомобіль. Підставимо у розв'язання числа та отримаємо відповідь: автомобіль проїхав 55,4 км.

Математична частина розв'язання задачі

З рухом ми розібралися. А як визначити координату тіла у будь-який момент часу?

За визначенням переміщення тіла за час - це вектор, початок якого знаходиться у початковій точці руху, а кінець - у кінцевій точці, в якій тіло буде через час. Нам потрібно знайти координату тіла, тому запишемо вираз для проекції переміщення на вісь координат (див. рис. 18):

Рис. 18. Проекція переміщення

Виразимо координату:

Тобто координата тіла в момент часу дорівнює початковій координаті плюс проекція переміщення, яке здійснило тіло за час. Проекцію переміщення при рівноприскореному русі ми вже знайшли, залишилося підставити та записати:

Це і є рівняння руху із постійним прискоренням. Воно дозволяє дізнатися координату матеріальної точки, що рухається в будь-який момент часу. Зрозуміло, що час ми вибираємо в межах проміжку, коли працює модель: прискорення постійне, рух прямолінійний.

Чому рівняння руху не можна застосовувати для знаходження шляху

У яких випадках ми можемо вважати переміщення модулем рівним шляху? Коли тіло рухається вздовж прямої і змінює напрями. Наприклад, при рівномірному прямолінійному русі ми завжди чітко обмовляємо, шлях ми знаходимо чи переміщення, однаково вони збігаються. При рівноприскореному русі швидкість змінюється. Якщо швидкість та прискорення спрямовані у протилежні сторони(див. рис. 19), то модуль швидкості зменшується, і в якийсь момент він дорівнюватиме нулю і швидкість змінить напрямок, тобто тіло почне рухатися в протилежний бік. Рис. 19. Модуль швидкості зменшується І тоді, якщо в Наразічасу тіло знаходиться на відстані 3 м від початку спостереження, то його переміщення дорівнює 3 м, але якщо тіло спочатку пройшло 5 м, потім розвернулося і пройшло ще 2 м, то шлях дорівнюватиме 7 м. І як же його знайти, якщо не знати цих чисел? Просто треба знайти момент, коли швидкість дорівнює нулю, тобто коли тіло розгорнеться і знайти шлях до цієї точки і від неї (див. рис. 20). Рис. 20. Момент, коли швидкість дорівнює 0

Список літератури

1. Соколович Ю.А., Богданова Г.С Фізика: Довідник із прикладами вирішення завдань. - 2-ге видання переділ. – X.: Веста: Видавництво «Ранок», 2005. – 464 с.
2. Ландсберг Г.С. Елементарний підручникфізики; т.1. Механіка. Теплота. Молекулярна фізика- М: Видавництво «Наука», 1985.

1. Інтернет портал «kaf-fiz-1586.narod.ru» ()
2. Інтернет портал «Навчання - Легко» ()
3. Інтернет портал «Гіпермаркет знань» ()

Домашнє завдання

1. Що таке арифметична прогресія?
2. Який рух називається поступальним?
3. Чим характеризується векторний розмір?
4. Запишіть формулу для прискорення через зміну швидкості.
5. Який вигляд має рівняння руху із постійним прискоренням?
6. Вектор прискорення спрямований у бік руху тіла. Як змінюватиме свою швидкість тіло?

Серед різноманітних рухів з постійним прискоренням найпростішим є прямолінійний рух. Якщо при цьому модуль швидкості зростає, то рух іноді називають рівноприскореним, а при зменшенні модуля швидкості рівномірним. Подібного роду руху здійснює поїзд, що відходить від станції або наближається до неї. Рівно-прискорено рухається камінь, кинутий вертикально вниз, а рівногайно - камінь, кинутий вертикально вгору.
Для опису прямолінійного руху з постійним прискоренням можна обійтися однією віссю координат (наприклад, віссю X), яку доцільно спрямувати вздовж траєкторії руху. У цьому випадку будь-яке завдання вирішується за допомогою двох рівнянь:
(1.20.1)

і
2? Проекція на переміщення і шлях при прямолінійному русі з постійним прискоренням Проекцію на вісь X переміщення, рівну Ах = х - х0, знайдемо з рівняння (1.20.2):
М2
Ax = v0xt + (1.20.3)
Якщо швидкість тіла (крапки) не змінює свого напрямку, то шлях дорівнює модулюпроекції переміщення
.2
s = | Ax | =
(1.20.4)
axt
VoJ+-о
Якщо ж швидкість змінює свій напрямок, то шлях обчислюється складніше. В цьому випадку він складається з модуля переміщення до моменту зміни напрямку швидкості та модуля переміщення після цього моменту.
Середня швидкість прямолінійного руху з постійним прискоренням
З формули (1.19.1) випливає, що
+ ^ = Ах 2 t "
Ах
Але - це проекція середньої швидкостіна вісь X (див. § 1.12),
тобто ^ = v. Отже, при прямолінійному русі з по-t
стоянним прискоренням проекція середньої швидкості на вісь X дорівнює:
!) аг + Vr
vx = 0х2. (1.20.5)
Можна довести, що якщо якась інша фізична величиназнаходиться в лінійної залежностівід часу, то середнє за часом значення цієї величини дорівнює напівсумі її найменшого і найбільшого значеньпротягом цього проміжку часу.
Якщо при прямолінійному русі з постійним прискоренням напрямок швидкості не змінюється, то середній модуль швидкості дорівнює напівсумі модулів початкової та кінцевої швидкостей, тобто.
К * + vx \ v0 + v
Зв'язок між проекціями початкової та кінцевої швидкостей, прискорення та переміщення
Згідно з формулою (1.19.1)
Лх = ° * 2 xt. (1.20.7)
Час t виразимо з формули (1.20.1)
Vx~V0x ах
і підставимо (1.20.7). Отримаємо:
Vx + V0x Vx - v0x V2X - i>jj
= 2 ST" --257-
Звідси
v2x = v Іх+2а3Лх. (1.20.8)
Корисно запам'ятати формулу (1.20.8) та вираз (1.20.6) для середньої швидкості. Ці формули можуть знадобитися для вирішення багатьох завдань.
? 1. Як спрямоване прискорення під час відправлення поїзда від станції (розгін)? При підході до станції (гальмування)?
Накресліть графік шляху при розгоні та при гальмуванні.
Доведіть самостійно, що при рівноприскореному прямолінійному русі без початкової швидкості шляху, які тіло проходять за рівні послідовні проміжки часу, пропорційні послідовним непарним числам:
Sj: S2 * Sg ... = 1: 3: 5: ... . Вперше це було підтверджено Галілеєм.

Ще на тему §1.20. ПРЯМОЛИНІЙНИЙ РУХ З ПОСТІЙНИМ ПРИСКОРІННЯМ:

1. § 4.3. НЕІНЕРЦІЙНІ СИСТЕМИ ВІДЛІКУ, ЩО РУХАЮТЬСЯ ПРЯМОЛІНІЙНО З ПОСТОЯННИМ ПРИСКОРІННЯМ
2. §1.18. ГРАФІКИ ЗАЛЕЖНОСТІ МОДУЛЯ ТА ПРОЕКЦІЇ ПРИСКОРЕННЯ ТА МОДУЛЯ ТА ПРОЕКЦІЇ ШВИДКОСТІ ВІД ЧАСУ ПРИ РУХУ З ПОСТІЙНИМ ПРИСКОРІННЯМ

Прискорення. Прямолінійний рухіз постійним прискоренням. Миттєва швидкість.

Прискоренняпоказує, як швидко змінюється швидкість тіла.

t 0 = 0c v 0 = 0 м/с Швидкість змінилася на v = v 2 - v 1 протягом

t 1 = 5c v 1 = 2 м/с проміжку часу = t 2 - t 1 . Значить за 1 зі швидкістю

t 2 = 10c v 2 = 4 м/с тіла збільшиться на = .

t 3 = 15c v 3 = 6 м/с = або =. (1 м/с 2)

Прискорення- Векторна величина, що дорівнює відношенню зміни швидкості до проміжку часу, протягом якого ця зміна відбулася.

Фізичний зміст: а = 3 м/с 2 – це означає, що з 1 с модуль швидкості змінюється на 3 м/с.

Якщо тіло розганяється а>0, якщо гальмує а

Аt =; = + аt миттєва швидкість тіла будь-якої миті часу. (Функція v(t)).

Переміщення за рівноприскореного руху. Рівняння руху

Д
ля рівномірного руху S=v*t, де v та t є сторонами прямокутника під графіком швидкості. Тобто. Переміщення = площі фігури під графіком швидкості.

Аналогічно можна знайти переміщення за рівноприскореного руху. Потрібно лише знайти окремо площу прямокутника, трикутника і скласти їх. Площа прямокутника v 0 t, площа трикутника (v-v 0)t/2, де робимо заміну v – v 0 = аt . Отримаємо s = v 0 t + аt 2 /2

s = v 0 t + аt 2 /2

Формула переміщення при рівноприскореному русі

Враховуючи, що вектор s = х-х 0 отримаємо х-х 0 = v 0 t + аt 2 /2 або винесемо початкову координату вправо х = х 0 + v 0 t + аt 2 /2

х = х 0 + v 0 t + аt 2/2

За цією формулою можна знайти координату тіла, що прискорено рухається в будь-який момент часу

При рівносповільненому русі перед буквою «а» у формулах знак + можна замінити на -

Рух із постійним прискоренням - це такий рух, при якому вектор прискорення залишається постійним як за величиною, так і за напрямом. Прикладом такого типу руху може служити рух точки в полі сили тяжіння (як вертикально, так і під кутом до горизонту).

Використовуючи визначення прискорення, отримаємо наступне співвідношення

Після інтегрування маємо рівність
.

З урахуванням того, що вектор миттєвої швидкостіє
, будемо мати такий вираз

Інтегрування останнього вираз дає таке співвідношення

. Звідки маємо отримуємо рівняння руху крапки з постійним прискоренням

.

Приклади векторних рівнянь руху матеріальної точки

Рівномірний прямолінійний рух (
):

. (1.7)

Рух із постійним прискоренням (
):

. (1.8)

Залежність швидкості від часу під час руху точки з постійним прискоренням має вигляд:

. (1.9)

Запитання для самоконтролю.

Сформулюйте визначення механічного руху.

Дайте визначення матеріальної точки.

Як визначається положення матеріальної точки в просторі у векторному способі опису руху?

У чому суть векторного методуопис механічного руху? Які характеристики використовуються для опису цього руху?

Дайте визначення векторів середньої та миттєвої швидкості. Як визначається напрямок цих векторів?

Дайте визначення векторів середнього та миттєвого прискорення.

Яке із співвідношень є рівнянням руху точки з постійним прискоренням? Яке співвідношення визначає залежність вектора швидкості часу?

§1.2. Координатний спосіб опису руху

У координатному способі опису руху вибирають систему координат (наприклад, декартову). Початок відліку жорстко закріплюють із вибраним тілом ( тілом відліку). Нехай
поодинокі орти, спрямовані в позитивні сторони осей OX, OY та OZ відповідно. Положення точки задається координатами
.

Вектор миттєвої швидкості визначається так:

де
проекції вектора швидкості на осі координат,
похідні від координат за часом.

Довжина вектора швидкості пов'язана з його проекціями співвідношенням:

. (1.11)

Для вектора миттєвого прискорення справедливе співвідношення:

де
проекції вектора прискорення на осі координат,
похідні за часом від векторної швидкості проекції.

Довжина вектора миттєвого прискорення знаходиться за формулою:

. (1.13)

Приклади рівнянь руху точки в системі декартової координат

. (1.14)

Рівняння руху:
. (1.15)

Залежність проекцій вектора швидкості на осі координат від часу:

(1.16)

Запитання для самоконтролю.

У чому суть координатного способуопис руху?

Яким співвідношенням визначається вектор миттєвої швидкості? За якою формулою обчислюється величина вектора?

Яким співвідношенням визначається вектор миттєвого прискорення? Якою формулою обчислюється величина вектора миттєвого прискорення?

Які співвідношення називають рівняннями рівномірного руху точки?

Які співвідношення називають рівняннями руху із постійним прискоренням? За якими формулами розраховують проекції миттєвої швидкості точки на осі координат?