Гармонічне коливання x = a Cos (w t+ a) геометрично може бути представлено проекцією на довільний напрямок xвектор , що обертається навколо нерухомої осі з кутовий швидкістю w. Довжина цього вектора дорівнює амплітуді коливання, яке початкове напрям утворює з віссю xкут, що дорівнює початковій фазі коливання - a. Використовуючи це геометричне тлумачення, розв'яжемо задачу про складання двох гармонійних коливаньоднакової частоти та напрямки.

x = x 1 + x 2 = a 1 Cos (w t+ a 1) + a 2 Cos (w t+ a 2).

Побудуємо вектор (під кутом a 1 до осі x), що зображує перше коливання. Додамо до нього векторний вектор , що утворює кут a 2 з віссю x(Рис. 12.8). Сума проекцій цих векторів на вісь xдорівнює проекції на цю вісь вектора рівного суміта .

x = x 1 + x 2 .

Рис. 12.8

Наведемо цю векторну діаграму у обертання з кутовою швидкістю w навколо осі, що проходить через початок координат - точку О. При цьому рівність x = x 1 + x 2 збережеться незмінним у часі, хоча самі проекції x, x 1 та x 2 тепер пульсувати за гармонійним законом з однаковою частотою w і з початковими фазами a, a 1 і a 2 - відповідно. В результаті складання двох коливань:

x 1 = a 1 Cos (w t+ a 1) та x 2 = a 2 Cos (w t+ a 2) виникає нове коливання x = x 1 + x 2 =

= a Cos (w t+ a), частота якого - w - збігається з частотою коливань, що складаються. Його амплітуда дорівнює модулю вектора, а початкова фаза a, як випливає з рис. 12.8, дорівнює:

.

Для підрахунку амплітуди « а» сумарного коливання, скористаємося теоремою косінусів:

Величина амплітуди результуючого коливання залежить не тільки від амплітуд коливань, що складаються. а 1 та а 2 , а й від різниці їх початкових фаз. Коливання з максимальною амплітудою, а = a max = a 1 + a 2 виникає при додаванні синфазних коливань, тобто коли їх початкові фази збігаються: a 1 = a 2 .

Якщо різниця фаз (a 2 – a 1) = p, то амплітуда сумарного коливання буде мінімальною a = a min = | a 1 – a 2 |. Якщо амплітуди таких коливань, які у протифазі, рівні ( a 1 = a 2), то амплітуда сумарного коливання виявиться рівною нулю.

Цим методом векторні діаграмими маємо в майбутньому часто користуватися при складанні не тільки коливань, а й хвиль.

Лекція 13 «Механічні коливання»

План лекції

1. Енергія гармонійного осцилятора.

2. Власні загасаючі коливання.

3. Вимушені коливання. Резонанс. Амплітуда та фаза вимушених коливань.

Вирішення низки питань, зокрема додавання кількох коливань однакового напрями (чи, що те саме, додавання кількох гармонійних функцій), значно полегшується і стає наочним, якщо зображати коливання графічно як векторів на площині. Отримана у такий спосіб схема називається векторної діаграмою.

Візьмемо вісь, яку позначимо літерою х (рис. 55.1). З точки, взятої на осі, відкладемо вектор довжини а, що утворює з віссю кут а.

Якщо привести цей вектор у обертання з кутовою швидкістю , то проекція кінця вектора переміщатиметься по осі х в межах від -а до +а, причому координата цієї проекції змінюватиметься згодом згідно із законом

Отже, проекція кінця вектора на вісь здійснюватиме гармонійне коливання з амплітудою, рівної довжинівектора, з круговою частотою, що дорівнює кутової швидкості обертання вектора, і з початковою фазою, рівному куту, утвореному вектором з віссю в початковий моментчасу.

Зі сказаного слід, що гармонійне коливання може бути задане за допомогою вектора, довжина якого дорівнює амплітуді коливання, а напрям вектора утворює з віссю х кут, рівний початковій фазі коливання.

Розглянемо додавання двох гармонійних коливань однакового напрямку та однакової частоти. Зміщення х тіла, що коливається, буде сумою зсувів, які запишуться наступним чином:

Подаємо обидва коливання за допомогою векторів (рис. 55.2). Побудуємо за правилами складання векторів результуючий вектор а.

Легко бачити, що проекція цього вектора на вісь х дорівнює сумі проекцій доданків векторів:

Отже, вектор а є результуючим коливанням. Цей вектор обертається з тією ж кутовою швидкістю як вектори так що результуючий рух буде гармонійним коливанням з частотою амплітудою а і початковою фазою а. З побудови видно, що

Отже, уявлення гармонійних коливань у вигляді векторів дає можливість звести додавання кількох коливань до операції складання векторів. Цей прийом буває особливо корисним, наприклад, в оптиці, де світлові коливання в деякій точці визначаються як результат накладання багатьох коливань, що приходять у дану точкувід різних ділянок хвильового фронту.

Формули (55.2) і (55.3) можна, звичайно, отримати, склавши вирази (55.1) і зробивши відповідні тригонометричні перетворення. Але застосований нами спосіб отримання цих формул відрізняється більшою простотою та наочністю.

Проаналізуємо вираз (55.2) для амплітуда. Якщо різниця фаз обох коливань дорівнює нулю, амплітуда результуючого коливання дорівнює сумі а і . Якщо різниця фаз дорівнює або, тобто обидва коливання знаходяться в протифазі, то амплітуда результуючого коливання дорівнює

Якщо частоти коливань неоднакові, вектори а будуть обертатися з різною швидкістю. В цьому випадку результуючий вектор пульсує за величиною і обертається з не постійною швидкістю. Отже, результуючим рухом буде в цьому випадку не гармонійне коливання, а якийсь складний коливальний процес.

Векторні діаграми. Складання коливань.

Вирішення низки завдань теорії коливань значно полегшується і стає наочнішим, якщо зображати коливання графічно, використовуючи метод векторні діаграми.Виберемо деяку вісь х. З точки 0 на осі відкладемо вектор довжини, що утворює спочатку з віссю кут (рис.2.14.1). Якщо привести цей вектор у обертання з кутовою швидкістю, то проекція кінця вектора на вісь хбуде змінюватися з часом за законом

.

Отже, проекція кінця вектора на вісь здійснюватиме гармонійне коливання з амплітудою, що дорівнює довжині вектора, з круговою частотою, що дорівнює кутової швидкості обертання вектора, і з початковою фазою, що дорівнює куту, який утворює вектор з віссю в початковий момент часу. Кут, утворений вектором з віссю, в даний момент часу визначає фазу коливання в цей момент - .

Зі сказаного слід, що гармонійне коливання можна представити за допомогою вектора, довжина якого дорівнює амплітуді коливання, а напрям його утворює з деякою віссю кут, рівний фазі коливання. У цьому полягає суть методу векторних діаграм.

Складання коливань однакового напряму.

Розглянемо додавання двох гармонійних коливань, напрями яких паралельні:

. (2.14.1)

Результуюче зміщення хбуде сумою та . Це буде коливання з амплітудою.

Скористаємося методом векторних діаграм (рис.2.14.2). На малюнку , і - фази результуючого і коливань, що складаються відповідно. Легко бачити, що можна знайти додаванням векторів і . Однак, якщо частоти коливань, що складаються, різні, то результуюча амплітуда змінюється з часом за величиною і вектор обертається з непостійною швидкістю, тобто. коливання не буде гармонійним, а представлятиме деякий складний коливальний процес. Щоб результуюче коливання було гармонічним, частоти коливань, що складаються, повинні бути однакові

і результуюче коливання відбувається з тією самою частотою

.

З побудови видно, що

Проаналізуємо вираз (2.14.2) для амплітуди результуючого коливання. Якщо різниця фаз коливань, що складаються, дорівнює нулю(Коливання синфазни), амплітуда дорівнює сумі амплітуд коливань, що складаються., тобто. має максимальне із можливих значення . Якщо різниця фаз складає(Коливання знаходяться в протифазі), то результуюча амплітуда дорівнює різниці амплітуд, тобто. має мінімальне з усіх можливих значення .

Складання взаємно перпендикулярних коливань.

Нехай частка робить два гармонійні коливання з однією і тією ж частотою: одне вздовж напрямку, яке позначимо х, інше – у перпендикулярному напрямку y. У цьому випадку частка буде рухатися деякою, в загальному випадку, криволінійної траєкторії, Форма якої залежить від різниці фаз коливань

Виберемо початок відліку часу так, щоб початкова фаза одного коливання дорівнювала нулю:

. (2.14.3)

Щоб отримати рівняння траєкторії частинки, потрібно виключити з (2.14.3) t. З першого рівняння, а. значить, . Друге рівняння перепишемо

або

.

Перенісши перший доданок з правої частини рівняння в ліву, звівши отримане рівняння квадрат і провівши перетворення, отримаємо

. (2.14.4)

Це рівняння є рівнянням еліпса, осі якого повернені щодо осей хі yна якийсь кут. Але в окремих випадках отримують більш прості результати.

1. Різниця фаз дорівнює нулю. Тоді з (2.14.4) отримаємо

або . (2.14.5)

Це рівняння прямої (рис.2.14.3). Таким чином, частка робить коливання вздовж цієї прямої з частотою і амплітудою, що дорівнює .

Виберемо вісь. З точки, взятої на цій осі, відкладемо вектор довжини , що утворює з віссю кут . Якщо привести цей вектор у обертання з кутовою швидкістю, то проекція кінця вектора на вісь змінюватиметься згодом згідно із законом . Отже, проекція кінця вектора на вісь здійснюватиме гармонійні коливання з амплітудою, що дорівнює довжині вектора; з круговою частотою, що дорівнює кутовій швидкості обертання, і з початковою фазою, що дорівнює куту, утвореному вектором з віссю Xу початковий час.

Векторна діаграма дає можливість звести додавання коливань до геометричного підсумовування векторів. Розглянемо складання двох гармонійних коливань однакового напрямку та однакової частоти, які мають такий вигляд:

Представимо обидва коливання за допомогою векторів та (рис. 7.5). Побудуємо за правилом складання векторів результуючий вектор. Легко побачити, що проекція цього вектора на вісь дорівнює сумі проекцій доданків векторів . Отже, вектор є результуючим коливанням. Цей вектор обертається з тією ж кутовою швидкістю, що і вектори, так що результуючий рух буде гармонійним коливанням із частотою, амплітудою та початковою фазою. За теоремою косінусів квадрат амплітуди результуючого коливання дорівнюватиме

Отже, уявлення гармонійних коливань у вигляді векторів дає можливість звести додавання кількох коливань до операції складання векторів. Формули (7.3) і (7.4) можна, звичайно, отримати, склавши вирази для аналітично, але метод векторної діаграми відрізняється більшою простотою і наочністю.

ЗАТУХАЛЬНІ КОЛИВАННЯ

У будь-якій реальній коливальній системі є сили опору, дія яких призводить до зменшення енергії системи. Якщо спад енергії не поповнюється за рахунок роботи зовнішніх сил, коливання загасатимуть. У найпростішому, і водночас найбільш часто зустрічається, випадку сила опору пропорційна величині швидкості:

,

де r- Постійна величина, звана коефіцієнтом опору. Знак мінус обумовлений тим, що сила та швидкість мають протилежні напрямки; отже, їх проекції на вісь Xмають різні знаки. Рівняння другого закону Ньютона за наявності сил опору має вигляд:

.

Застосувавши позначення , , перепишемо рівняння руху так:

.

Це рівняння описує загасаючіколивання системи. Коефіцієнт називається коефіцієнтом згасання.

Експериментальний графік загасаючих коливань при малому коефіцієнті згасання представлений на рис. 7.6. З рис. 7.6 видно, що графік залежності виглядає як косинус, помножений на деяку функцію, що зменшується з часом. Ця функція представлена ​​малюнку штриховими лініями. Простою функцією, яка веде себе подібним чином, є експонентна функція . Тому рішення можна записати у вигляді:

,

де - Частота загасаючих коливань.

Величина xперіодично проходить через нуль і нескінченну кількість разів досягає максимуму та мінімуму. Проміжок часу між двома послідовними проходженнями через нуль дорівнює. Подвоєне його значення називається періодом коливань.

Множник , що стоїть перед періодичною функцією, називається амплітудою загасаючих коливань. Вона експоненційно зменшується з часом. Швидкість загасання визначається величиною. Час, після якого амплітуда коливань зменшується в раз, називається часом згасання . За цей час система здійснює вагань. Згасання коливань прийнято характеризувати логарифмічним декрементом згасання. Логарифмічним декрементомзагасання називається логарифм відношення амплітуд в моменти послідовних проходів величини, що коливається через максимум або мінімум:

.

Він пов'язаний із числом коливань співвідношенням:

Величина називається добротністю коливальної системи. Добротність тим вища, чим більша кількістьколивань встигає здійснити система, перш ніж амплітуда зменшиться в раз.

Постійні величиниі , як і у разі гармонійних коливань, можна визначити з початкових умов.

ЗМІШЕНІ КОЛИВАННЯ

Коливання, які відбуваються під впливом зовнішньої періодичної сили, називаються вимушеними. Зовнішня сила здійснює позитивну роботу та забезпечує приплив енергії до коливальної системи. Вона не дає вагань загасати, незважаючи на дію сил опору.

Періодична зовнішня сила може змінюватись у часі за різними законами. Особливий інтерес представляє випадок, коли зовнішня сила, що змінюється за гармонічним законом із частотою ω, впливає на коливальну систему, здатну здійснювати власні коливання деякою частотою ω 0 . Наприклад, якщо смикати вантаж, підвішений на пружині з частотою, він буде здійснювати гармонійні коливання з частотою зовнішньої силинавіть якщо ця частота не збігається з частотою власних коливань пружини.

Нехай на систему діє періодична зовнішня сила. В цьому випадку можна отримати наступне рівняння, що описує рух такої системи:

,

(7.5)

де. При вимушених коливанняхамплітуда коливань, отже, і енергія, передана коливальної системі, залежить від співвідношення між частотами і , і навіть від коефіцієнта згасання .

Після початку впливу зовнішньої сили на коливальну систему необхідно деякий час для встановлення вимушених коливань. У початковий момент у коливальній системі збуджуються обидва процеси - вимушені коливання на частоті і вільні коливання на власній частоті 0 . Але вільні коливання згасають через неминучу наявність сил тертя. Тому через деякий час в коливальній системі залишаються тільки стаціонарні коливання на частоті зовнішньої сили, що змушує. Час встановлення по порядку величини дорівнює часу загасання ω вільних коливаньу коливальній системі. Вимушені коливання вантажу, що встановилися, на пружині відбуваються за гармонічним законом з частотою, що дорівнює частоті зовнішнього впливу. Можна показати, що в режимі, що встановився, рішення рівняння (7.6) записується у вигляді:

,

,
.

Таким чином, вимушені коливання є гармонічними коливаннями з частотою, що дорівнює частоті змушує сили. Амплітуда вимушених коливань пропорційна амплітуді сили, що змушує. Для даної коливальної системи (тобто системи з певними значеннямиі ) амплітуда залежить від частоти сили, що змушує. Вимушені коливання відрізняються по фазі від сили, що змушує. Зсув по фазі залежить від частоти сили, що змушує.

РЕЗОНАНС

Залежність амплітуди вимушених коливань від частоти примушує приводить до того, що при певній визначеній для даної системи частоті амплітуда коливань досягає максимального значення. Коливальна система виявляється особливо чуйною на дію сили, що змушує при цій частоті. Це явище називається резонансом, а відповідна частота – резонансною частотою.Графічно залежність амплітуди x m вимушених коливань від частоти вимушальної сили описується резонансною кривою (рис. 7.9).

Досліджуємо поведінку амплітуди вимушених коливань залежно від частоти. Залишаючи амплітуду сили, що змушує незмінною, змінюватимемо її частоту. При отримуємо статичне відхиленняпід дією постійної сили:

При зростанні частоти амплітуда зміщення спочатку також зростає, потім проходить через максимум і, нарешті, прагне асимптотично до нуля. З рис. 7.9 видно також, що менше , тим вище і правіше лежить максимум цієї кривої. Крім того, чим менше, тим сильніше змінюється з частотою амплітуда поблизу резонансу, тим гостріше виходить максимум.

Явище резонансу може спричинити руйнування мостів, будівель та інших споруд, якщо власні частоти їх коливань збігатимуться з частотою зовнішньої сили, що періодично діє. З явищем резонансу доводиться рахуватися при конструюванні машин та різноманітних споруд. Власна частота цих пристроїв у жодному разі має бути близька до частоті можливих зовнішніх впливів.

Приклади

У січні 1905р. у Петербурзі обрушився Єгипетський міст. Винні в цьому були 9 перехожих, 2 візники та 3-й ескадрон Петергофського конногвардійського полку. Сталося таке. Усі солдати ритмічно крокували мостом. Міст від цього почав розгойдуватися – вагатися. По випадковому збігу обставин власна частота коливань мосту збіглася із частотою кроку солдатів. Ритмічний крок ладу повідомляв місту дедалі нові порції енергії. Внаслідок резонансу міст настільки розхитався, що обвалився. Якби резонансу власної частоти коливань моста з частотою кроку солдатів не було, з мостом нічого не сталося б. Тому при проходженні солдатів слабкими мостами прийнято подавати команду «збити ногу».

Кажуть, що великий тенор Енріко Карузо міг змусити скляний келих розлетітися вщент, співаючи на повний голос ноту належної висоти. У цьому випадку звук викликає вимушені коливання стінок келиха. При резонансі коливання стінок можуть досягти такої амплітуди, що скло розбивається.

Зробіть досліди

Підійдіть до якогось струнного музичного інструменту і голосно крикніть «а»: якась із струн відгукнеться – зазвучить. Та з них, яка опиниться в резонансі з частотою цього звуку, вагатиметься сильніше за інші струни – вона-то і відгукнеться на звук.

Натягніть горизонтально тонку мотузку. Закріпіть на ній маятник із нитки та пластиліну. Перекиньте через мотузку ще один такий же маятник, але з довшою ниткою. Довжину підвіски цього маятника можна змінювати, підтягуючи рукою вільний кінець нитки. Приведіть цей маятник у коливальний рух. При цьому перший маятник теж вагатиметься, але з меншою амплітудою. Не зупиняючи коливань другого маятника, поступово зменшуйте довжину його підвіски – амплітуда коливань першого маятника збільшуватиметься. У цьому досвіді, що ілюструє резонанс механічних коливаньПерший маятник є приймачем коливань, що збуджуються другим маятником. Причиною, яка змушує перший маятник вагатися, є періодичні коливаннямотузки з частотою, що дорівнює частоті коливань другого маятника. Вимушені коливання першого маятника матимуть максимальну амплітуду лише тоді, коли його власна частота збігається із частотою коливань другого маятника.

АВТОКОЛИВАННЯ

Численні та різноманітні створення рук людських, у яких виникають і використовуються автоколивання. Насамперед, це різні музичні інструменти. Вже в давнину – роги і ріжки, дудки, свистульки, примітивні флейти. Пізніше – скрипки, у яких збудження звуку використовується сила тертя між смычком і струною; різні духові інструменти; гармонії, у яких звук виробляють металеві язички, що коливаються під дією постійного потоку повітря; органи, з труб яких вириваються через вузькі щілинирезонуючі стовпи повітря.

Рис. 7.12

Добре відомо, що сила тертя ковзання практично залежить від швидкості. Однак саме завдяки дуже слабкій залежності сили тертя від швидкості звучить скрипкова струна. Якісний виглядзалежності сили тертя смичка про струну показано на рис. 7.12. Завдяки силі тертя спокою струна захоплюється смичком і зміщується з рівноваги. Коли сила пружності перевищить силу тертя, струна відірветься від змичка і спрямує до положення рівноваги з швидкістю, що все зростає. Швидкість струни щодо змичка, що рухається, буде зростати, сила тертя збільшиться і в певний момент стане достатньою для захоплення струни. Потім процес знову повториться. Таким чином, смичок, що рухається з постійною швидкістю, викличе незагасні коливання струни.

У струнних смичкових інструментах автоколивання підтримуються силою тертя, що діє між смичком та струною, а в духових інструментах продування струменя повітря підтримує автоколивання стовпа повітря в трубі інструменту.

Більш ніж у ста грецьких і латинських документах різних часів згадується спів знаменитого «мемнонського колоса» – величної статуї одного з фараонів, що правив у XIV столітті до нашої ери, встановленого поблизу єгипетського міста Луксора. Висота статуї близько 20 метрів, маса сягає тисячі тонн. У нижній частині колоса виявлено ряд щілин та отворів з розташованими за ними камерами складної форми. «Мемнонський колос» є гігантським органом, що звучить під впливом природних потоків повітря. Статуя імітує голос людини.

Природні автоколивання дещо екзотичної властивості є співаючими пісками. Ще у XIV столітті великий мандрівникМарко Поло згадував про «звучні береги» таємничого озера Лоб-Нор в Азії. За шість століть піски, що співають, були виявлені в різних місцях усіх континентів. У місцевого населення вони здебільшого викликають страх, є предметом легенд та переказів. Джек Лондон так описує зустріч із співаючими пісками персонажів роману «Серця трьох», які вирушили з провідником на пошуки скарбів стародавніх майя.

«"Коли боги сміються, стережися!" – застережливо крикнув старий. Він накреслив пальцем коло на піску і, поки він креслив, пісок вив і верещав; потім старий опустився на коліна, пісок заревів і засурмив».

Є співаючі піски і навіть ціла піщана гора, що співає неподалік річки Або в Казахстані. Майже на 300 метрів здійнялася гора Калкан – гігантський природний орган. По-різному називають її люди: «співаючий бархан», «гора, що співає». Складена вона з піску світлих тонів і на тлі темних відрогів Джунгарського Алатау Великого та Малого Калканів є надзвичайним видовищем завдяки кольоровому контрасту. За вітру і навіть при спуску з неї людини гора видає мелодійні звуки. Після дощу і під час штилю гора мовчить. Туристи люблять відвідувати Співаючий бархан і, піднявшись на одну з трьох його вершин, милуватися панорамою Або і хребта Заілійського Алатау. Якщо гора мовчить, нетерплячі відвідувачі змушують її співати. Для цього треба швидко втекти по нахилу гори, піщані цівки побіжать з-під ніг, і з надр бархана виникне гудіння.

Багато століть минуло з часу виявлення співаючих пісків, а задовільного пояснення цьому разючому феномену не було запропоновано. У Останніми рокамиза справу взялися англійські акустики, а також радянський вчений В.І. Арабаджі. Арабаджи припустив, що випромінюючий звук верхній шар піску рухається при будь-якому постійному обуренні по нижньому, твердішому шарі, що має хвилястий профіль поверхні. Внаслідок сил тертя при взаємному переміщенні шарів і збуджується звук.

Вимушені коливання – це коливання. Неминучі втрати енергії на тертя при вимушених коливаннях компенсуються підведенням енергії від зовнішнього джерелаперіодично чинної сили. Існують системи, в яких незатухаючі коливання виникають не за рахунок періодичного зовнішнього впливу, а в результаті наявної у таких систем здатності регулювати надходження енергії від постійного джерела. Такі системи називаються автоколивальними, а процес незагасаючих коливаньу таких системах – автоколиваннями . Схематично автоколивальну систему можна подати у вигляді джерела енергії, осцилятора із загасанням та пристрою зворотного зв'язку між коливальною системою та джерелом (рис. 7.10).

Як коливальна система може бути використана будь-яка механічна система, здатна здійснювати власні затухаючі коливання (наприклад, маятник настінного годинника). Джерелом енергії може бути деформована пружина або вантаж у полі тяжіння. Пристрій зворотного зв'язку є деяким механізмом, за допомогою якого автоколивальна система регулює надходження енергії від джерела.

Прикладом механічної автоколивальної системи може бути годинниковий механізм з анкерним ходом (рис. 7.11). У годиннику з анкерним ходом ходове колесо з косими зубами жорстко скріплене із зубчастим барабаном, через який перекинутий ланцюжок із гирей. На верхньому кінці маятника закріплений анкер із двома пластинками із твердого матеріалу, вигнутими по дузі кола з центром на осі маятника. У ручному годиннику гиря замінюється пружиною, а маятник – балансиром, скріпленим зі спіральною пружиною. Балансир здійснює крутильні коливання довкола своєї осі. Коливальною системою в годиннику є маятник або балансир, джерелом енергії - піднята вгору гиря або заведена пружина. Пристроєм, за допомогою якого здійснюється зворотний зв'язок, є анкер, що дозволяє ходовому колесу повернутися на один зубець за півперіод. Зворотній зв'язокздійснюється взаємодією анкера із ходовим колесом. При кожному коливанні маятника зубець ходового колеса штовхає анкерну вилку у бік руху маятника, передаючи йому деяку порцію енергії, яка компенсує втрати енергії на тертя. Таким чином, потенційна енергіягирі (або закрученої пружини) поступово, окремими порціями передається маятнику.

У повсякденному життіми, можливо, самі того не помічаючи, зустрічаємося з автоколиваннями частіше, ніж коливаннями, викликаними періодичними силами. Автоколивання оточують нас всюди в природі та техніці: парові машини, двигуни внутрішнього згоряння, електричні дзвінки, годинник, звучна скрипкова струна або органна труба, серце, що б'ється, голосові зв'язкипри розмові чи співі – всі ці системи здійснюють автоколивання.

Зробіть досвід!

Рис. 7.13

Коливальний рух зазвичай вивчають, розглядаючи поведінку якогось маятника: пружинного, математичного чи фізичного. Всі вони є тверді тіла. Можна створити пристрій, який демонструє коливання рідких або газоподібних тіл. Для цього скористайтеся ідеєю, закладеною в конструкцію водяного годинника. Дві півторалітрові пластикові пляшкиз'єднують так само, як і у водяному годиннику, скріпивши кришки. Порожнини пляшок з'єднують скляною трубкою довжиною 15 сантиметрів, внутрішнім діаметром 4-5 міліметрів. Бічні стінки пляшок повинні бути рівними та нежорсткими, легко змінюватись при здавлюванні (див. рис. 7.13).

Для запуску коливань пляшку з водою розташовують зверху. Вода з неї починає відразу витікати через трубку в нижню пляшку. Приблизно через секунду струмінь мимоволі перестає текти і поступається прохід у трубці для зустрічного просування порції повітря з нижньої пляшки у верхню. Порядок проходження зустрічних потоків води та повітря через сполучну трубку визначається різницею тисків у верхній та нижній пляшках та регулюється автоматично.

Про коливання тиску в системі свідчить поведінка бічних стінок верхньої пляшки, які в такт з випуском води та впуском повітря періодично здавлюються та розширюються. Оскільки

ОСВІТА ХВИЛЬ

Як відбувається поширення коливань? Чи потрібне середовище для передачі коливань або вони можуть передаватися без нього? Як звук від камертону доходить до слухача? Як швидко змінний струм в антені радіопередавача викликає появу струму в антені приймача? Як світло від далеких зірок сягає нашого ока? Для розгляду таких явищ необхідно ввести нове фізичне поняття– хвиля. Хвильові процеси представляють загальний класявищ, незважаючи на їхню різну природу.

Джерелами хвиль, будь то морські хвилі, хвилі в струні, хвилі землетрусів або звукові хвиліу повітрі є коливання. Процес поширення коливань у просторі називається хвилею. Наприклад, у разі звуку коливальний рух здійснює не тільки джерело звуку (струна, камертон), але також і приймач звуку - барабанна перетинка вуха або мембрана мікрофона. Вагається і саме середовище, через яке поширюється хвиля.

Хвильовий процес обумовлений наявністю зв'язків між окремими частинами системи, залежно від яких маємо пружну хвилю тієї чи іншої природи. Процес, що протікає в будь-якій частині простору, викликає зміни в сусідніх точках системи, передаючи їм деяку кількість енергії. Від цих точок обурення переходить до суміжних з ними тощо, поширюючись від точки до точки, тобто створюючи хвилю.

Пружні сили, що діють між елементами будь-якого твердого, рідкого або газоподібного тіла, призводять до виникнення пружних хвиль. Прикладом пружних хвиль є хвиля, що поширюється шнуром. Якщо рухом руки вгору-донизу збудити коливання кінця шнура, то сусідні ділянки шнура, за рахунок дії пружних силзв'язку, також почнуть рухатися, і вздовж шнура буде поширюватися хвиля. Загальною властивістюхвиль і те, що можуть поширюватися великі відстані, а частки середовища роблять коливання лише у обмеженої області простору. Частинки середовища, в якому поширюється хвиля, не залучаються хвилею в поступальний рух, вони лише роблять коливання біля своїх положень рівноваги. Залежно від напрямку коливань частинок середовища стосовно напрямку поширення хвилі розрізняють поздовжні та поперечні хвилі. У поздовжній хвилі частки середовища коливаються вздовж напряму поширення хвилі; у поперечній – перпендикулярно напряму поширення хвилі. Пружні поперечні хвилі можуть виникнути лише в середовищі, що має опір зсуву. Тому в рідкому та газоподібному середовищах можливе виникнення лише поздовжніх хвиль. У твердому середовищі можливе виникнення як поздовжніх, і поперечних хвиль.

На рис. 8.1 показано рух частинок при поширенні в середовищі поперечної хвилі та розташування частинок у хвилі в чотири фіксовані моменти часу. Номери 1, 2 і т.д. позначені частинки, що віддаляються один від одного на відстань, що проходить хвилею за чверть періоду коливань, що здійснюються частинками. У момент часу, прийнятий за нульовий, хвиля, поширюючись уздовж осі зліва направо, досягла частки 1 , внаслідок чого частка почала зміщуватися з положення рівноваги вгору, захоплюючи за собою наступні частинки. Через чверть періоду частка 1 досягає крайнього верхнього положення; одночасно починає зміщуватися із положення рівноваги частка 2 . Після ще чверті періоду перша частка проходитиме положення рівноваги, рухаючись у напрямку зверху вниз, друга частка досягне крайнього верхнього положення, а третя частка почне зміщуватися вгору з положення рівноваги. У момент часу, рівний , перша частка закінчить повне коливання і перебуватиме в такому стані руху, як і в початковий момент. Хвиля на момент часу досягне частки 5 .

На рис. 8.2 показано рух частинок при поширенні в середовищі поздовжньої хвилі. Всі міркування, що стосуються поведінки частинок у поперечній хвилі, можуть бути віднесені до даному випадкуіз заміною зсувів вгору та вниз зсувами вправо та вліво. З рис. 8.2 видно, що при поширенні поздовжньої хвилі в середовищі створюються згущення і розрідження частинок, що чергуються, що переміщаються в напрямку поширення хвилі зі швидкістю .

Тіла, що впливають на середу, викликаючи коливання, називають джерелами хвиль. Поширення пружних хвиль пов'язані з перенесенням речовини, але хвилі переносять енергію, якої забезпечує хвильової процес джерело коливань.

Геометричне місцеточок, до яких доходять обурення на даний момент часу, називається фронтом хвилі. Тобто фронт хвилі є ту поверхню, яка відокремлює частину простору, вже залученого до хвильового процесу, від області, якої обурення ще не досягли.

Геометричне місце точок, що коливаються в однакових фазах, називається хвильовою поверхнею. Хвильову поверхню можна провести через будь-яку точку простору, охопленого хвильовим процесом. Хвильові поверхні можуть мати будь-яку форму. У найпростіших випадках вони мають форму площини чи сфери. Відповідно хвиля у цих випадках називається плоскою чи сферичною. У плоскій хвилі хвильові поверхні є безліч паралельних один одному площин; в сферичній хвилі- Багато концентричних сфер.

Відстань, на яку поширюється хвиля за час, що дорівнює періоду коливань частинок середовища, називається довжиною хвилі. Вочевидь, що , де – швидкість поширення хвилі.

На рис. 8.3, виконаним за допомогою комп'ютерної графіки, наведено модель поширення поперечної хвилі на воді від точкового джерела. Кожна частка робить гармонійні коливання біля положення рівноваги.

Рис. 8.3. Поширення поперечної хвилі від точкового джерела коливань

©2015-2019 сайт
Усі права належати їх авторам. Цей сайт не претендує на авторства, а надає безкоштовне використання.
Дата створення сторінки: 2016-02-16

Додавання кількох коливань однакового напряму (або, що те саме, додавання кількох гармонійних функцій) значно полегшується і стає наочним, якщо зображати коливання графічно у вигляді векторів на площині.

Візьмемо вісь, яку позначимо "x". З точки, взятої на осі, під кутом a, рівним початковій фазі коливань, відкладемо вектор довжини A (рис. 8.3). Спроектуємо вектор A на вісь x отримаємо x 0 =A cos a – початкове зміщення точки, що коливається від положення рівноваги. Наведемо цей вектор для обертання проти годинникової стрілки з кутовою швидкістю w 0 . Положення цього вектора в будь-які моменти часу буде характеризуватись кутами, рівними:

w 0 t 1 +a; w 0 t 2 +a; w 0 t 3 +a; і т.д.

А проекція цього вектора переміщатиметься по осі «x» у межах від –А до +А. Причому координата цієї проекції змінюватиметься згодом згідно із законом:

.

Отже, проекція кінця вектора на деяку довільну вісь буде здійснювати гармонійне коливання з рівною амплітудою довжині вектора, кругової частотою рівної кутової швидкості обертання вектора і початковою фазою рівної куту, утвореному вектором з віссю в початковий момент часу.

Отже, гармонійне коливання може бути задане за допомогою вектора, довжина якого дорівнює амплітуді коливання, а напрям вектора утворює з віссю "x" кут, що дорівнює початковій фазі коливання.

Розглянемо додавання двох гармонійних коливань однакового напрямку та однакової частоти. Зміщення коливається “x” буде сумою зміщень x 1 і x 2 , які запишуться наступним чином:

Представимо обидва коливання за допомогою векторів та (рис. 8.4) За правилами складання векторів будуємо результуючий вектор. Проекція цього вектора на вісь X дорівнюватиме сумі проекцій доданків векторів: x=x 1 +x 2 . Отже, вектор є результуючим коливанням. Цей вектор обертається з тією кутовою швидкістю w 0 , що вектори і , так що результуючий рух буде гармонійним коливанням з частотою w 0 , амплітудою «а» і початковою фазою a. З побудови випливає, що

Отже, уявлення гармонійних коливань у вигляді векторів дає можливість звести додавання кількох коливань до операції складання векторів. Цей спосіб відрізняється більшою простотою та наочністю, ніж використання тригонометричних перетворень.

Проаналізуємо вираз для амплітуди. Якщо різниця фаз обох коливань a 2 - a 1 = 0, то амплітуда результуючого коливання дорівнює сумі ( а 2 + а 1). Якщо різниця фаз a 2 - a 1 = + p чи -p, тобто. коливання знаходяться в протифазі, то амплітуда результуючого коливання дорівнює .

Якщо частоти коливань x 1 і x 2 неоднакові, вектори будуть обертатися з різною швидкістю. У цьому випадку результуючий вектор пульсує за величиною і обертається з непостійною швидкістю. Отже, результуючим рухом буде в цьому випадку непросто гармонійне коливання, а деякий складний коливальний процес.