Днями потрібно було написати програму, що обчислює середньоквадратичне наближення функції, заданої таблично, за статечним базисом - методом найменших квадратів. Відразу обмовлюся, що тригонометричний базис я не розглядав і в цій статті його не братиму. Наприкінці статті можна знайти вихідну програму на C#.

Теорія

Нехай значення функції, що наближається f(x)задані в N+1вузлах f(x 0), ..., f(x N). Апроксимуючу функцію вибиратимемо з деякого параметричного сімейства F(x, c), де c = (c 0 ..., c n) T- Вектор параметрів, N > n.

Принциповою відмінністю задачі середньоквадратичного наближення від задачі інтерполяції є те, що кількість вузлів перевищує кількість параметрів. У даному випадкупрактично завжди не знайдеться такого вектора параметрів, для якого значення апроксимуючої функції збігалися б зі значеннями апроксимованої функції у всіх вузлах.

У цьому випадку завдання апроксимації ставиться як завдання пошуку такого вектора параметрів. c = (c 0 ..., c n) T, при якому значення апроксимуючої функції якнайменше відхилялися б від значень апроксимованої функції F(x, c)разом всіх вузлів.

Графічно завдання можна уявити так

Запишемо критерій середньоквадратичного наближення для методу найменших квадратів:
J(c) = √ (Σ i=0 N 2) →min

Підкорене вираз є квадратичну функціющодо коефіцієнтів апроксимуючого багаточлена. Вона безперервна і диференційована по c 0 ..., c n. Очевидно, що її мінімум знаходиться у точці, де всі приватні похідні дорівнюють нулю. Прирівнюючи до нуля приватні похідні, отримаємо систему лінійних алгебраїчних рівняньщодо невідомих (шуканих) коефіцієнтів багаточлена найкращого наближення.

Метод найменших квадратів може бути застосований для різних параметричних функцій, але часто в інженерній практиці як апроксимуюча функція використовуються багаточлени по якомусь лінійно незалежному базису ( φ k(x), k = 0, ..., n}:
F(x, c)= Σ k = 0 n [ c k φ k(x)] .

У цьому випадку система лінійних рівнянь алгебри для визначення коефіцієнтів буде мати цілком певний вигляд:

…

Щоб ця система мала єдине рішення, необхідно і достатньо, щоб визначник матриці А (визначник Грама) був відмінний від нуля. Для того, щоб система мала єдине рішення необхідно і достатньо, щоб система базисних функцій φ k(x), k = 0, ..., nбула лінійно незалежною на багатьох вузлах апроксимації.

У цій статті розглядається середньоквадратичне наближення багаточленами за статечним базисом ( φ k(x) = x k, k = 0, ..., n}.

приклад

А тепер перейдемо, наприклад. Потрібно вивести емпіричну формулудля наведеної табличної залежності f(х),використовуючи метод найменших квадратів.

x	0,75	1,50	2,25	3,00	3,75
y	2,50	1,20	1,12	2,25	4,28

Приймемо як апроксимуючу функцію
y = F(x) = c 0 + c 1 x + c 2 x 2тобто n=2, N=4

Система рівнянь визначення коефіцієнтів:
a 00 c 0 + a 01 c 1 +… + a 0n c n = b 0
a 10 c 0 + a 11 c 1 +… + a 1n c n = b 1
…
a n0 c 0 + a n1 c 1 +… + a nn c n = b n

a kj = Σ i = 0 N [φ k (x i) φ j (x i)], b j = Σ i = 0 N

Коефіцієнти обчислюються за формулами:
a 00 = N + 1 = 5, a 01 = Σ i = 0 N x i = 11,25, a 02 = Σ i = 0 N x i 2 = 30,94
a 10 = Σ i = 0 N x i = 11,25, a 11 = Σ i = 0 N x i 2 = 30,94, a 12 = Σ i = 0 N x i 3 = 94,92
a 20 = Σ i = 0 N x i 2 = 30,94, a 21 = Σ i = 0 N x i 3 = 94,92, a 22 = Σ i = 0 N x i 4 = 303,76
b 0 = Σ i = 0 N y i = 11,25, b 1 = Σ i = 0 N x i y i = 29, b 2 = Σ i = 0 N x i 2 y i = 90,21

Вирішуємо систему рівнянь та отримуємо такі значення коефіцієнтів:
c 0 = 4,822, c 1 = -3,882, c 2 = 0,999

Таким чином
y = 4,8 - 3,9x + x 2

Графік функції, що вийшла

Реліз на C#

А тепер перейдемо до того, як написати код, який будував би таку матрицю. А тут, виявляється, все дуже просто:
private double[,] MakeSystem(double[,] xyTable, int basis) ( double[,] matrix = new double; for (int i = 0; i< basis; i++) { for (int j = 0; j < basis; j++) { matrix = 0; } } for (int i = 0; i < basis; i++) { for (int j = 0; j < basis; j++) { double sumA = 0, sumB = 0; for (int k = 0; k < xyTable.Length / 2; k++) { sumA += Math.Pow(xyTable, i) * Math.Pow(xyTable, j); sumB += xyTable * Math.Pow(xyTable, i); } matrix = sumA; matrix = sumB; } } return matrix; }
На вході функція отримує таблицю значень функцій - матрицю, у першому стовпці якої містяться значення x, у другому, відповідно, y, а також значення статечного базису.

Спочатку виділяється пам'ять під матрицю, в яку будуть записані коефіцієнти для вирішення системи лінійних рівнянь. Потім, власне, складаємо матрицю - в sumA записуються значення коефіцієнтів aij, sumB - bi, все за формулою, зазначеною вище в теоретичній частині.

Для вирішення складеної системи лінійних рівнянь алгебри в моїй програмі використовується метод Гаусса. Архів з проектом можна завантажити

Часто значення інтерполюваної функції у, у2 , ..., у„ визначаються з експерименту з деякими помилками, тому користуватися точним наближенням у вузлах інтерполяції нерозумно. У цьому випадку більш природно наближати функцію не за точками, а в середньому,тобто в одній із норм L p .

Простір 1 р - безліч функцій д(х),визначених на відрізку [а,Ь]та інтегрованих по модулю з р-й ступенем, якщо визначено норму

Східність у такій нормі називається збіжністю в середньому.Простір 1,2 називається гільбертовим, а збіжність у ньому - середньоквадратичній.

Нехай задані функція Дх) та безліч функцій ф(х) із деякого лінійного нормованого простору. У контексті проблеми інтерполювання, апроксимації та наближення можна сформулювати наступні два завдання.

Перше завдання- це апроксимація із заданою точністю, тобто по заданому езнайти таку ф(х), щоб виконувалася нерівність |[Дх) - ф(х)|| р.

Друге завдання- це пошук найкращого наближення,тобто пошук такої функції ф * (х), яка задовольняє співвідношенню:

Визначимо без доказу достатня умоваіснування найкращого наближення. Для цього в лінійному просторі функцій виберемо множину, параметризовану виразом

де набір функцій ф[(х), ..., ф„(х) вважатимемо лінійно незалежним.

Можна показати, що в будь-якому нормованому просторі при лінійної апроксимації(2.16) найкраще наближення існує, хоча нс у кожному лінійному просторі воно єдине.

Розглянемо гільбертовий простір ЬгСр) дійсних функцій, що інтегруються з квадратом з вагою р(х) > 0 на [ , де скалярний добуток ( g,h) визначено за

формулі:

Підставляючи за умов найкращого наближення лінійну комбінацію (2.16), знаходимо

Прирівнюючи до нуля похідні за коефіцієнтами (Д, k= 1, ..., П, отримаємо систему лінійних рівнянь

Визначник системи рівнянь (2.17) називається визначником Граму. Визначник Грама відмінний від нуля, оскільки вважається, що система функцій ф[(х), ..., ф„(х) лінійно незалежна.

Таким чином, найкраще наближення існує єдино. Для отримання необхідно вирішити систему рівнянь (2.17). Якщо система функцій ф1(х), ..., ф„(х) ортогоналізована, тобто (ф/, ф,) = 5у, де 5, = 1, 8у = О, Щ,ij = 1, ..., п,то система рівнянь може бути вирішена у вигляді:

Знайдені згідно (2.18) коефіцієнти Q, ..., й пназиваються коефіцієнтами узагальненого ряду Фур'є.

Якщо набір функцій ф t (X), ..., ф„(х), ... утворює повну систему, то через рівність Парсеваля при П -» з норма похибки необмежено зменшується. Це означає, що найкраще наближення середньоквадратично сходиться до Дх) з будь-якою заданою точністю.

Зазначимо, що пошук коефіцієнтів найкращого наближення за допомогою розв'язання системи рівнянь (2.17) практично не реалізується, оскільки зі зростанням порядку матриці Грама її визначник швидко прагне нуля, і матриця стає погано обумовленою. Вирішення системи лінійних рівнянь з такою матрицею призведе до значної втрати точності. Перевіримо це.

Нехай як система функцій ф„ i =1, ..., П, вибираються ступеня, тобто ф * = X 1 ", 1 = 1, ..., п,тоді, вважаючи як відрізок апроксимації відрізок , знаходимо матрицю Грама

Матрицю Грама виду (2.19) називають ще матрицею Гільберта. Це класичний прикладтак званої погано обумовленої матриці.

За допомогою MATLAB розрахуємо визначник матриці Гільберта у формі (2.19) для деяких перших значень п.У лістингу 2.5 наведено код відповідної програми.

Лістинг 23

%Обчислення визначника матриць Гільберта %очищаємо робочу область clear all;

% виберемо максимальне значенняпорядку %матриці Гільбертаптах =6;

%будуємо цикл для формування матриць %Гільберта та обчислення їх визначників

for n = 1: птах d(n)=det(hi I b(п)); end

%виводимо значення визначників %матриць Гільберта

f о г та t short end

Після відпрацювання коду лістингу 2.5 у командному вікні MATLAB повинні з'явитися значення детермінантів матриць Гільберта для перших шести матриць. У таблиці нижче наведено відповідні чисельні значення порядків матриць (п) та їх визначників (d). З таблиці чітко видно, наскільки швидко визначник матриці Гільберта прагне до нуля при зростанні порядку і, починаючи з порядків 5, 6, стає неприйнятно малим.

Таблиця значень визначника матриць Гільберта

Чисельна ортогоналізація системи функцій ф, i = 1, ..., П також призводить до помітної втрати точності, тому щоб враховувати велике числочленів у розкладанні (2.16) необхідно або проводити ортогоналізацію аналітично, тобто точно, або користуватися вже готовою системою ортогональних функцій.

Якщо при інтерполяції зазвичай використовують як систему базисних функцій ступеня, то при апроксимації в середньому як базисні функції вибирають багаточлени, ортогональні з заданою вагою. Найбільш уживаними є багаточлени Якобі, окремим випадком яких є многочлени Лежандра і Чебишева. Використовують також поліноми Лагсрра та Ерміта. Докладніше про ці поліноми можна дізнатися, наприклад, у додатку Ортогональні поліномикниги.

3. Середньоквадратичне наближення функції

3.1 Постановка задачі

Розробити схему алгоритму та написати програму мовою Turbo Pascal 7.0 для виконання середньоквадратичного наближення функції, заданої у вузлах.

3.2 Математичне формулювання завдання

Нехай є безліч функцій, що належать до лінійного простору функцій. Під близькістю в середньому інтерполюваної та інтерполюючої функцій розумітимемо результат оцінки інтегралу

, (3.1)

де – вагова функція.

Таке наближення називають середньоквадратичним.

3.3 Огляд існуючих чисельних методів розв'язання задачі

Завдання середньоквадратичного наближення виникає у багатьох областях прикладних досліджень, наприклад, при статистичної обробкиданих експерименту з використанням регресивного аналізу, при оцінюванні параметрів моделей, завдання фільтрації і т.п.

Коли рівень невизначеності в завданні функції f(x i), i=1..m, досить великий, що характерно для обробки експериментальних даних, безглуздо вимагати виконання умов інтерполювання; крім того, число точок завдання функції f(xi) часто дуже велике. Все це робить застосування інтерполювання мало перспективним з причин поганої обумовленості задачі високої розмірності та проблем збіжності процесу інтерполяції.

Однією з найбільш простих і тому широко застосовуваних наближуючих функцій є алгебраїчний поліном

Метод середньоквадратичного наближення забезпечує побудову полінома Pn(x), з мінімізації величини

Розглянутий метод наближення мінімізує середньоквадратичне ухилення апроксимуючого полінома від функції, що апроксимується, але не гарантує від значних локальних помилок. Для запобігання такій можливості використовують поліноми найкращого рівномірного наближення.

у просторі параметрів a 0 , a 1 ,...,a n. Існують різні підходидо розв'язання задачі мінімізації функції D(a). Найпростіший з них призводить до необхідності вирішення нормальної системилінійних рівнянь алгебри

Однак, вже при n > 5 матриця такої системи виявляється настільки погано обумовленою, що отримані значення (3.4) a j виявляються мало придатними для обчислення P n (x). Тому, при необхідності побудови поліномів найкращого середньоквадратичного наближення високих ступенівзастосовують інші алгоритми, наприклад метод сингулярного розкладання.

3.4 Чисельний методрозв'язання задачі

Можна розглянути дві задачі:

1 - підібрати функцію так, щоб виконувалася нерівність

2 - визначити найкраще наближення, тобто. таку функцію, щоб було справедливим співвідношення

. (3.6)

Розкладемо функцію за системою лінійно незалежних функцій:

. (3.7)

Надалі для скорочення запису користуватимемося визначенням скалярного творуу просторі функцій:

.

Підставляючи (3.7) за умови (3.6), отримаємо

Диференціюючи цей вираз по і прирівнюючи похідні нулю, отримаємо

. (3.8)

Визначником цієї системи є визначник Граму функцій. В силу їх лінійної незалежностіцей визначник не дорівнює нулю. Отже, із системи (3.8) можна знайти коефіцієнти , що визначають функцію згідно (3.6) та мінімізують інтеграл від похибки . Таким чином, найкраще середньоквадратичне наближення існує і воно єдине.

При використанні ортонормованої системи функцій система (3.8) спрощується:

,

тобто. є коефіцієнтами Фур'є, а найкраще наближення є ряд Фур'є, що обривається на якомусь члені.

Доведено, що у будь-якому лінійно нормованому просторі при лінійної апроксимації виду (3.4) найкраще наближення існує, хоча може бути єдиним.

У тих випадках, коли функції не ортогональні, при визначнику Грама зменшується, наближаючись до нуля. Тоді система стає погано обумовленою та її рішення дає велику похибку. У цій ситуації зазвичай беруть трохи більше п'яти-шести членів у сумі (3.7).

Як найчастіше використовують поліноми Лежандра, Чебишева, Лагерра, Ерміта, ортогональні із заданою вагою.

Розглянемо окремий випадок, коли потрібно визначити найкраще наближення функції, заданої таблично. Для речових функцій, заданих на кінцевій множині точок, скалярний добуток визначається формулою

, (3.9)

де - Число заданих вузлів.

Умова найкращого середньоквадратичного наближення записується так:

. (3.10)

Вважаючи , де , і підставляючи цей багаточлен (3.10), прийдемо до системи (3.8), в якій скалярні твори обчислюють згідно (3.9). Описана процедура апроксимації зветься методом найменших квадратів.

Найбільш уживаний варіант методу найменших квадратів відповідає нагоді статечного виглядуфункцій, тобто. , Причому .

Система рівнянь (3.8) при цьому набуває вигляду

, , (3.11)

Сформувати більше високий рівеньабстракції та узагальнення, аніж той, на який орієнтувалося традиційне викладання». Отже, традиційні форминавчання не в змозі підняти математичне мислення молодших школярівбільш високий рівень. Як вирішує цю проблему нетрадиційне навчання? Які властивості математичного мислення розвиває рішення нестандартних завдань? Во-...

мережі, побудованої на основі різноманітних топологій. Програмне забезпеченняприкладних систем, призначених для професійної діяльностікерівника, включає: · Системні програмні засоби; · Базові пакети прикладних програм; · Засоби мережевої підтримки комп'ютерів у локальних та глобальних мережах; · Системи прикладного програмування; · Тестові програмні засоби. ...

Для того щоб згладити дискретні функціїАльтмана, і цим внести у теорію ідею безперервності, застосовувалося середньоквадратичне інтегральне наближення многочленом різних ступенів.

Відомо, що послідовність інтерполяційних багаточленів по рівновіддалених вузлах не обов'язково сходиться до функції, навіть функція нескінченно диференційована. Для функцій, що наближається, за допомогою відповідного розташування вузлів вдається знизити ступінь полінома. . Структура функцій Альтмана така, що зручніше використовувати наближення функції за допомогою інтерполяції, і з побудовою найкращого среднеквадратичного наближення у нормованому лінійному просторі. Розглянемо основні поняття та відомості при побудові найкращого наближення. Завдання наближення та оптимізації ставляться у лінійних нормованих просторах.

Метричні та лінійні нормовані простори

До найбільш широким поняттямматематики відносяться "безліч" і "відображення". Поняття "множина", "набір", "сукупність", "сімейство", "система", "клас" у нестрогій теорії множин вважаються синонімами.

Термін "оператор" тотожний терміну "відображення". Терміни "операція", "функція", "функціонал", "захід" - окремі випадки поняття "відображення".

Терміни "структура", "простір" при аксіоматичній побудові математичних теорійтакож набув у час основну значимість. До математичних структур належать теоретико-множинні структури (упорядковані та частково впорядковані множини); абстрактно-алгебраїчні структури (напівгрупи, групи, кільця, тіла, поля, алгебри, грати); диференціальні структури(зовнішні диференціальні форми, Розшаровані простори) , , , , , , .

Під структурою розуміється кінцевий набір, що складається з множини носія (основна множина), числового поля (допоміжна множина) та відображення, заданих на елементах носія та числах поля. Якщо як носій взято безліч комплексних чисел, то воно відіграє роль і основної, і допоміжної множини. Термін "структура" тотожний поняттю "простір".

Щоб задати простір, необхідно насамперед задати безліч носія зі своїми елементами (точками), що позначаються латинськими та грецькими літерами

Як носій можуть виступати безлічі елементів дійсних (або комплексних): чисел; векторів, ; Матриць, ; Послідовностей; функцій;

Як елементи носія можуть виступати також безлічі: дійсної осі, площини, тривимірного (і багатовимірного) простору, перестановки, руху; абстрактні множини.

Визначення. Метричний простір є структурою, що утворює трійку, де відображення є невід'ємною. дійсна функціядвох аргументів для будь-яких x і y з M і задовольняє трьох аксіом.

• 1 - невід'ємність; , за.
• 2 - симетричність;
• 3 - аксіома рефлексивності.

де – це відстані між елементами.

У метричному просторі задається метрика і формується поняття про близькість двох елементів із множини носія.

Визначення. Дійсно лінійний (векторний) простір є структура, де відображення - адитивна операція складання елементів, що належать, а відображення - операція множення числа на елемент.

Операція означає, що для будь-яких двох елементів однозначно визначено третій елемент, званий їх сумою і позначається через, причому виконуються такі аксіоми.

Комутативна властивість.

Асоціативна властивість.

Існує особливий елемент, що позначається через такий, що для будь-якого виконується.

для будь-якого існує такий, що.

Елемент називається протилежним і позначається через.

Операція означає, що для будь-якого елемента та будь-якого числа визначений елемент, що позначається через і виконується аксіоми:

Елемент (точки) лінійного простору називається також векторами. Аксіомами 1 - 4 задається група (адитивна), звана модулем і є структурою.

Якщо операція у структурі не підпорядковується ніякими аксіомам, таку структуру називають групоїдом. Ця структура дуже бідна; в ній немає жодної аксіоми асоціативності, то структура називається моноідом (напівгрупа).

У структурі за допомогою відображення та аксіомами 1-8 задається властивість лінійності.

Отже, лінійний простір є груповим модулем, до структури якого додано ще одну операцію - множення елементів носія число з 4 аксіомами. Якщо замість операції задати поряд з ще одну групову операцію множення елементів з 4 аксіомами і постулювати аксіому дистрибутивності, виникає структуру, звана полем.

Визначення. Лінійний нормований простір є структурою, в якій відображення задовольняє наступні аксіомами:

• 1. причому тоді і лише тоді, коли.
• 2. , .
• 3. , .

І так всього 11 аксіом.

Наприклад, якщо у структуру поля дійсних чисел, де - дійсні числа, додати модуль, що володіє всіма трьома властивостями норми, то поле дійсних чисел стає нормованим простором

Поширені два способи введення норми: або шляхом явного завдання інтервального виду однорідно-опуклого функціоналу, або шляхом завдання скалярного твір,.

Нехай тоді вид функціоналу можна задати незліченною кількістюспособів, змінюючи величину:

• 1. , .
• 2. , .

………………..

…………….

Другий поширений спосіб прийом завдання полягає в тому, що в структуру простору вводиться ще одного відображення (функція двох аргументів, що зазвичай позначається через і називається скалярним твором).

Визначення. Евклідовий простір є структура в якій скалярний твір містить норму та задовольняє аксіомам:

• 4. , причому тоді і лише тоді, коли

У евклідовому просторі норма породжується формулою

З властивостей 1 - 4 скалярного твору випливає, що виконуються всі аксіоми норми. Якщо скалярний добуток у вигляді, то норма обчислюватиметься за формулою

Норму простору неможливо задати за допомогою скалярного твору.

У просторах з скалярним твором з'являються такі якості, які відсутні в лінійних нормованих просторах (ортогональність елементів, рівність паралелограма, теорема Піфагора, теж Аполлонія, нерівність Птолемея ). ефективного рішеннязадач апроксимації.

Визначення. Нескінченна послідовність елементів у лінійному нормованому просторі називається схожою за нормою (просто сходить або має межу в), якщо існує такий елемент, що для будь-якого знайдеться номер, що залежить від такої, що при виконується

Визначення. Послідовність елементів називається фундаментальною, якщо для кожного існує номер, що залежить від того, що будь-якого і виконуються (Трьогін Колмогоров, Канторович, з 48)

Визначення. Банаховим простором називається така структура, у якій будь-яка фундаментальна послідовність сходиться за нормою.

Визначення. Гільбертовим простором називається така структура в якій будь-яка фундаментальна послідовність сходиться за нормою, породженою скалярним твором.

Квадратичне наближення

Якщо точковий графік схожий на параболу, то емпіричну формулу шукаємо у вигляді квадратного тричлена. Припустимо, що крива, що наближається, схожа на параболу , симетричну щодо осі ординат. Тоді парабола набуде більш простого вигляду

(4.4)

Візьмемо напівквадратичну систему координат. Це така система координат, у якої по осі абсцис шкала квадратична, тобто значення поділів відкладаються згідно з виразом , тут m –масштаб у яких-небудь одиницях довжини, наприклад, див.

По осі ординат відкладається лінійна шкала відповідно до виразу

Нанесемо цю систему координат дослідні точки. Якщо точки цього графіка розташовуються приблизно по прямій, це підтверджує наше припущення, що залежність yвід xдобре виражається функцією виду (4.4). Для пошуку коефіцієнтів aі bможна тепер застосувати один із розглянутих вище способів: спосіб натягнутої нитки, спосіб вибраних точок або спосіб середньої.

Спосіб натягнутої ниткизастосовується так само, як і для лінійної функції.

Спосіб обраних точокможемо застосувати так. На прямолінійному графіку візьмемо дві точки (далекі одна від одної). Координати цих точок позначимо і ( x, y). Тоді можемо записати

З наведеної системи двох рівнянь знайдемо aі bі підставимо їх у формулу (4.4) та отримаємо остаточний вид емпіричної формули.

Можна і не будувати прямолінійного графіка, а взяти числа, ( x,y) Прямо з таблиці. Однак отримана за такого вибору точок формула буде менш точна.

Процес перетворення криволінійного графіка на прямолінійний називається вирівнюванням.

Спосіб середньої. Він застосовується аналогічно як у випадку з лінійною залежністю. Розбиваємо дослідні точки на дві групи з однаковим (або майже однаковим) числом точок у кожній групі. Рівність (4.4) перепишемо так

(4.5)

Знаходимо суму нев'язок для точок першої групи та прирівнюємо нулю. Те саме робимо для точок другої групи. Отримаємо два рівняння з невідомими aі b. Вирішуючи систему рівнянь, знайдемо aі b.

Зауважимо, що при застосуванні цього способу не потрібно будувати пряму, що наближає. Точковий графіку напівквадратичній системі координат потрібен лише для перевірки того, що функція виду (4.4) підходить для емпіричної формули.

приклад. При дослідженні впливу температури на перебіг хронометра отримано такі результати:

z	-20	-15,4	-9,0	-5,4	-0,6	+4,8	+9,4
	2,6	2,01	1,34	1,08	0,94	1,06	1,25

При цьому нас цікавить не сама температура, а її відхилення. Тому за аргумент приймемо , де t- Температура в градусах Цельсія звичайної шкали.

Нанісши на декартову систему координат відповідні точки, помічаємо, що за криву, що наближає, можна прийняти параболу з віссю, паралельної осі ординат (рис.4). Візьмемо напівквадратичну систему координат та нанесемо на неї дослідні точки. Бачимо, що ці точки досить добре укладаються на пряму. Значить, емпіричну формулу

можна шукати як (4.4).

Визначимо коефіцієнти aі bза методом середньої. Для цього розіб'ємо дослідні точки на дві групи: у першій групі – перші три точки, у другій – решта чотирьох крапок. Використовуючи рівність (4.5) знаходимо суму нев'язок по кожній групі та прирівнюємо кожну суму нулю.