Сума протилежних. Протилежні числа

Розглянемо такий приклад. Потрібно послідовно порахувати: .

Можна переставити вперед числа, які необхідно складати, а потім виконати віднімання решти: .

Але це завжди зручно. Наприклад, ми можемо обчислювати решту речей на якомусь складі і нам необхідно знати проміжний результат.

Можна виконувати дії та поспіль: .

Ми знаємо, що , отже, результатом буде віднімання з числа . Це означає, що треба відняти, але поки нема з чого. Коли буде від чого відняти, віднімемо:

Але ми можемо "схитрувати" і позначити. Таким чином, ми введемо новий об'єкт - негативні числа .

Таку операцію ми вже проробляли – у природі, наприклад, числа «» теж не існувало, але ми ввели такий об'єкт, щоб полегшити запис дій.

Уявіть, що нам на спортивному складі доручили видавати та приймати м'ячі. Нам треба вести облік. Можна писати словами:

Видав , Прийняв , Видав , Прийняв ... (Див. Рис. 1.)

Рис. 1. Облік

Погодьтеся, якщо видавати і приймати за день потрібно багато разів, запис не дуже зручний.

Можна розділити аркуш на дві колонки, одна – Прийняв, інша – Видав. (Див. мал. 2.)

Рис. 2. Спрощений запис

Запис став коротшим. Але проблема: як зрозуміти, скільки м'ячів взяли (або віддали) в якийсь конкретний момент часу?

Можна використовувати для запису таке міркування: коли ми видаємо зі складу м'ячі, їх кількість на складі зменшується, а коли приймаємо, то збільшується.

Але як записати «видав м'яча»? Можна запровадити такий объект: .

Це об'єкт дозволяє нам зробити математичну запис руху м'ячів у тому порядку, як це відбувалося:

Розглянемо ще один приклад.

На рахунку телефону рублів. Ви вийшли в Інтернет, і це коштувало рублів. Вийшов борг карбованців. Оператор міг так і записати: «клієнт винен рублів». Ви поклали карбованців. Оператор вирахував борг. Вийшло на рахунку карбованців.

Але зручно записувати і операції та гроші на рахунку за допомогою знаків «» та «». (Див. рис. 3.)

Рис. 3. Зручний запис

Негативне число ми вводимо, щоб записати результат віднімання з меншого числабільшого: .

Додавання негативного числа рівносильне віднімання: .

Щоб негативні числа відрізняти від позитивних чисел, із якими мали справу раніше, перед ним домовилися ставити знак мінус: .

Чи можна було б обійтися без них? Так можна. У кожній конкретній ситуації ми використали б слова «назад», «в борг» і так далі. Але вони, ці слова, були б різні.

А так у нас з'являється універсальний зручний інструмент. Один для всіх таких випадків.

Можемо провести аналогію з автомобілем. Він складається з великої кількостідеталей, багато з яких окремо не потрібні, але всі разом дозволяють їздити. Так само і негативні числа – інструмент, який разом з іншими математичними інструментами дозволяє полегшити обчислення та спростити рішення та запис багатьох завдань.

Отже, ми запровадили новий об'єкт - негативні числа. Навіщо їх використовують у житті?

Для початку згадаємо ролі позитивних чисел:

Кількість: наприклад, дерева, літра молока. (Див. рис. 4.)

Рис. 4. Кількість

Упорядкування: наприклад, будинки нумеруються позитивними числами. (Див. рис. 5.)

Рис. 5. Упорядкування

Ім'я: наприклад, номер футболіста. (Див. Рис. 6.)

Рис. 6. Число як ім'я

Тепер подивимося на функції негативних чисел:

Позначення недостатньої кількості. Кількість негативним немає. Але негативне число використовують, щоб показати, що кількість забирають. Наприклад, ми можемо вилити з пляшки і записати це як . (Див. мал. 7.)

Рис. 7. Позначення недостатньої кількості

Упорядкування. Іноді при нумерації вибрано нуль і потрібно пронумерувати об'єкти в обидва боки від нуля. Наприклад, поверхи, розташовані нижче -го, у підвалі. (Див. мал. 8.) Або температура, яка нижча від вибраного нуля. (Див. рис. 9.)

Рис. 8. Поверх, розташований нижче -го, у підвалі

Рис. 9. Негативні числа на шкалі термометра

Але все-таки основне призначення негативних чисел – це інструмент спрощення математичних розрахунків.

Але щоб негативні числа стали таким зручним інструментом, потрібно:

Негативна температура - це та, яка нижче нуля, нижче нульової температури. Але що таке нульова температура? Щоб виміряти, записувати температуру потрібно вибрати одиницю вимірювання та точку відліку. І те, й інше є домовленістю. Ми використовуємо шкалу Цельсія на ім'я вченого, який її запропонував. (Див. рис. 10.)

Рис. 10. Андерс Цельсій

В якості точки відліку тут вибрано температуру замерзання води. Все, що нижче, позначається негативним значенням. (Див. рис. 11.)

Рис. 11.

Але зрозуміло, якщо взяти іншу точку відліку, інший нуль, то негативна температура за Цельсієм може бути позитивною в цій іншій шкалі. Так відбувається. У фізиці широко використовується шкала Кельвіна. Вона схожа на шкалу Цельсія, тільки як нуль вибрано значення найнижчої можливої ​​температури (нижче не буває). Це значення називають « абсолютний нуль». За Цельсієм це приблизно. (Див. мал. 12.)

Рис. 12. Дві шкали

Тобто у шкалі Кельвіна взагалі немає негативних значень.

Так, наші літні .

А морозні .

Тобто негативна температура – ​​це умовність, домовленість людей так її називати.

Почнемо з нуля. Нуль займає особливе становищесеред чисел.

Як ми вже обговорили, ми для своєї зручності віднімання семи можемо позначити як негативне число. Так як воно означає віднімання, то й залишаємо знак як його ознака. Назвемо нове число.

Тобто, «» - це таке число, яке в сумі дає нуль: . Причому в будь-якому порядку. Це визначення негативного чи протилежного числа.

Для кожного числа, яке вивчали раніше, введемо нове число, негативне, ознакою якого є знак мінус перед ним. Тобто для кожного колишнього числа виник його негативний близнюк. Такі близнюки назвемо протилежними числами. (Див. рис. 13.)

Рис. 13. Протилежні числа

Отже, визначення: протилежними числами називаються два числа, сума яких дорівнює нулю.

Зовні вони відрізняються лише знаком «».

Якщо перед змінною стоїть знак "", наприклад, що це означає? Це не означає, що дана величинанегативна. Знак мінус означає, що ця величина протилежна числу: . Який із цих чисел позитивний, який негативний, ми не знаємо.

Якщо то .

Якщо (негативне число), то (позитивне число).

Яке число протилежне нулю? Ми вже це знаємо.

Якщо нуль додати до будь-якого числа, у тому числі й до нуля, вихідне число не зміниться. Тобто сума двох нулів дорівнює нулю: . Але числа, сума яких дорівнює нулю, є протилежними. Таким чином, нуль протилежний сам собі.

Отже ми з вами дали визначення негативних чисел, з'ясували, навіщо вони потрібні.

Тепер трохи часу приділимо техніці. Поки що нам потрібно навчитися для будь-якого числа знаходити йому протилежне:

В останній частині уроку поговоримо про нові назви та позначення множин, які з'являються після введення негативних чисел.

Тема

Тип уроку

• вивчення та первинне засвоєння нового матеріалу

Цілі уроку

Познайомитися з визначеннями позитивних та негативних, протилежних чисел

Знаходити протилежні числа під час вирішення вправ, під час вирішення рівнянь

Розвиваючі – розвинути увагу учнів, посидючість, наполегливість, логічне мислення, математичну мову.

Виховні – за допомогою уроку виховувати уважне ставлення один до одного, прищеплювати вміння слухати товаришів, взаємовиручку, самостійність.

Завдання уроку

Дізнатися, що таке протилежні числа

Навчитися використовувати це поняття під час вирішення завдань

Перевірити вміння учнів вирішувати завдання.

План уроку

1. Введення.

2. Теоретична частина

3. Практична частина.

4. Домашнє завдання.

5. Цікаві факти

Вступ

Подивіться на картинки та охарактеризуйте одним словом у чому відмінність на них.

На картинках зображені протилежності.

- Це два числа, рівні по абсолютної величини, але мають різні знакинапр. 5 та -5.

Теоретична частина

Для початку давайте згадаємо, що таке негативні числа. Подивися відео:

Точки з координатами 5 і -5 однаково віддалені від точки O і знаходяться по різні сторонивід неї. Щоб потрапити з точки O ці точки треба пройти однакові відстані, але у протилежних напрямах. Числа 5 та -5 називаються протилежними числами: 5 протилежно -5, а -5 протилежно 5.

Два числа, що відрізняються один від одного лише знаками, називають протилежними числами.

Наприклад, протилежними числами будуть 35 і -35, оскільки число 35 = +35, отже, числа 35 та -35 відрізняються лише знаками. Протилежними числами також будуть 0,8 -0,8, ¾ і -¾ .

Властивості протилежних чисел

1). До кожного числа є лише одне протилежне йому число.

2). Число 0 протилежне самому собі.

3). Число, протилежне числу а, позначають а. Якщо а = -7,8 то -а = 7,8; якщо а = 8,3 то -а = -8,3; якщо а = 0, то –а = 0.

4). Запис "-(-15)" означає число, протилежне числу -15. Оскільки число, протилежне числу -15, дорівнює 15, то -(-15) = 15. Взагалі -(-а) = а.

Натуральні числа, протилежні їм числа та нуль називають цілими числами.

Протилежне число n" по відношенню до n - це число, яке при складанні з n дає нуль.

n + n" = 0

Цю рівність можна переписати так:

n + n" − n = 0 − nабо n" = − n

Таким чином, протилежні числамають однакові модулі, проте протилежні знаки.

Відповідно до цього число, протилежне числу n, позначають − n. Коли число є позитивним, протилежне йому число буде негативним, і навпаки.

1. Наведіть приклади протилежних чисел.

2. Зобразіть їх на координатній прямій.

3. Назвіть число протилежне -3,6; 7; 0; 8/9; -1/2

Практична частина

приклад

1) Позначте на координатній прямій точці А(2), В(-2), С(+4), D(-3), Е(-5,2), F(5,2), G(-6) , H(7). 2) Серед цих точок знайдіть та вкажіть симетричні щодо точки О(0). Що можна сказати про координати симетричних точок?

Точки, симетричні щодо точки О(0): A(2) та B(-2), E(- 5,2) та F(5,2)

Координати симетричних точок- Це числа, які відрізняються тільки знаком. Такі числа називають протилежними.

Позначте на координатній прямій точці А(-3), B(+6), С(+4,2), D(+3), Е(-4,2), F(-6). Що можна сказати про ці числа ?

З чисел 15; 2,5; - 2,5; - 18; 0; 45; – 45 виберіть: а) натуральні числа; б) цілі числа; в) негативні числа; г) позитивні числа; д) протилежні числа.

1) Запишіть число, протилежне числу а.

2) Вкажіть число, протилежне числу а, якщо:

а=5, а=-3, а=0, а=-2/5;

А = 6, -а = - 2, -а = 3,4.

1) Згадайте, що означає запис: - (- а).

2) Поставте замість * таке число, щоб вийшла правильна рівність: а) - (- 5) = *; б) 3 = - *.

Домашнє завдання

1). Заповнити таблицю:

2). Знайди: а) -m,

якщо m = -8,

якщо m = -16

якщо -k = 27

якщо -k = -35

якщо с = 41

якщо з = -3,6

3). Скільки пар протилежних чисел розташовано між числами -7,2 та 3,6. Позначте на координатній прямій.

4). Дізнайтесь прізвище видатного вченого Франції:

А чи знаєте ви, де в повсякденному життіми стикаємося з позитивними та негативними числами?

Список використаних джерел

1. Математична енциклопедія (у 5 томах). - М: Радянська Енциклопедія, 2002. – Т. 1.
2. « Новітній довідникшколяра» «ДІМ XXI століття» 2008 р.
3. Конспект уроку на тему "Протилежні числа" Автор: Петрова В. П., вчитель математики (5-9 клас), м. Київ
4. Н.Я.Віленкін, А.С. Чесноков, С.І. Шварцбурд, В.І.Жохов, Математика для 6 класу, Підручник для середньої школиы

У рамках цієї статті ми спробуємо розібратися, що таке протилежні числа. Ми пояснимо, що взагалі вони являють собою, покажемо, які саме позначення використовують для них, і розберемо кілька прикладів. В останній частині матеріалу ми перерахуємо основні властивості протилежних чисел.

Щоб пояснити саме поняття протилежності, нам потрібно спочатку зобразити координатну пряму. Візьмемо на ній точку M (тільки не на початку відліку). Її відстань до нуля дорівнюватиме певній кількості одиничних відрізків, які можна, у свою чергу, розбити на десяті і соті частки. Якщо ж ми відміряємо таку ж відстань від початку відліку у напрямі, протилежному тому, де розташована M , ми зможемо потрапити до іншої схожу точку. Назвемо її N. Наприклад, від M до нуля – відстань у 2,4 одиничних відрізка, і від N до нуля – теж. Погляньте на малюнок:

Згадаймо, що кожній точці на координатній прямій можна поставити у відповідність лише одне дійсне число. У такому разі нашим точкам M і N відповідають певні числа, які називаються протилежними. Кожне число має протилежне число, За винятком нуля. Оскільки це початок відліку, його вважають протилежним самому собі.

Запишемо визначення, що таке протилежні числа:

Визначення 1

Протилежниминазиваються числа, яким відповідають такі точки на координатній прямій, у які ми потрапимо, якщо відзначимо одну й ту саму відстань від початку відліку в різних напрямках (позитивному та негативному). Нуль знаходиться на початку відліку та протилежний сам собі.

Як позначаються протилежні числа

У цьому пункті ми введемо основні позначення таких чисел. Якщо у нас є кілька і нам потрібно записати протилежне йому, то для цього використовуємо мінус.

Приклад 1

Припустимо, наше число дорівнює a, отже, йому протилежно - a (мінус a). Точно так само для 0 , 26 протилежно - 0 , 26 , а для 145 це буде - 145 . Якщо вихідне число є негативним, наприклад, - 9 , то протилежне ми записуємо як – (- 9) .

Які приклади протилежних чисел можна навести? Візьмемо цілі числа: 12 та - 12 . Протилежні раціональні числа – це 3 2 11 і - 3 2 11 , і навіть 8 , 128 і − 8 , 128 , 0 , (18901) і − 0 , (18901) та інших. Протилежними можуть і ірраціональні числа, наприклад, значення числових виразів 2 + 1 та - 2 + 1 .

Протилежними ір раціональними числамитакож будуть e та - e .

Основні властивості протилежних чисел

Таким числам притаманні певні властивості. Нижче ми дамо їх список із поясненнями.

Визначення 2

1. Якщо вихідне число позитивне, протилежне йому буде негативно.

Це твердження очевидне і випливає з графіка вище: такі числа знаходяться по різні боки відліку на координатній прямій. Якщо ви забули поняття позитивних і негативних чисел, перегляньте матеріал, що ми публікували раніше.

З цього правила можна вивести інше дуже важливе твердження. У буквеному вигляді його запис виглядає так: для будь-якого позитивного a буде вірно − (− a) = a . Покажемо з прикладу, чому це важливо.

Візьмемо число 5 . За допомогою координатної прямої можна побачити, що йому протилежне число - 5 і навпаки. Використовуючи позначення, які ми вказали вище, запишемо число, протилежне – 5 як – (-5) . Виходить, що - (- 5) = 5 . Звідси висновок: протилежні числа відрізняються одна від одної лише наявністю знаку мінус.

2. Наступна властивістьприйнято називати властивістю симетричності. Його також можна вивести із визначення протилежних чисел. Воно звучить так:

Визначення 3

Якщо деяке число a є протилежним числу b тоді і b є протилежним числу a .

Очевидно, що додаткових доказів це твердження не потребує.

3. Третя властивість протилежних чисел говорить:

Визначення 4

Кожне дійсне число має лише одне протилежне число.

Це твердження випливає з того, що точкам координатної прямої не може відповідати багато чисел відразу.

Визначення 5

4. Модулі протилежних чисел рівні.

Це випливає із визначення модуля. Логічно, що точки на прямій, що відповідають будь-яким протилежним числам, знаходяться на одній відстані від точки відліку.

Визначення 6

5. Якщо ми складемо протилежні числа, отримаємо 0 .

У буквеному вигляді це твердження має вигляд a + (− a) = 0 .

Приклад 2

Наведемо приклади таких обчислень:

890 + (- 890) = 0 - 45 + 45 = 0 7 + (- 7) = 0

Як бачимо, це правило працює всім чисел – цілих, раціональних, ірраціональних та інших.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

§ 1 Поняття позитивного числа

У цьому уроці Ви дізнаєтеся, які числа називаються протилежними, як знайти протилежне число, а ще, що таке цілі та раціональні числа.

Почнемо з практичної роботи. На координатній прямій відзначимо точки А(2) та В(-2). Вони симетричні і центром симетрії даних точок є початок координат (0), так як відстань ОА=ОВ.

Ми бачимо, що координати точок, симетричних щодо початку координат – це числа, які відрізняються лише знаком. Такі числа називають протилежними.

Є ще одне визначення протилежних чисел. Чому рівні модулі чисел 2 та -2? 2. Отже, протилежні числа - це числа, що мають однакові модулі, але відмінні знаком.

Для позначення числа, протилежної даному числу, використовують знак мінус, який записують перед цим числом. Тобто число, протилежне числу a записується як −a. Наприклад, числу 0,24 протилежне число −0,24, числу -25 протилежне число −(−25), але числу -25 на координатній прямій протилежно 25, отже -(-25) = 25. З цього випливає, що -( -а) = а та а =-(-а).

§ 2 Властивості протилежних чисел

Виділимо деякі властивості протилежних чисел.

Число, протилежне до позитивного числа, негативне, а число, протилежне до негативного числа, позитивно. Це і зрозуміло, оскільки точки координатної прямої, що відповідають протилежним числам, знаходяться по різні боки від початку відліку.

Якщо число a протилежне числу b, b протилежно a - це випливає з властивості симетричності точок на координатній прямий.

Звернемося до координатної прямої. Скільки точок можна відзначити на координатній прямій, симетричній даній відносно початку координат? Тільки одну. Отже, кожного числа є лише одне протилежне число.

Тільки одне число протилежне самому собі - це число 0, оскільки 0=-0 (тому -0 писати прийнято).

Числа з загальною ознакоюутворюють безліч (або групу), кожна множина має свою назву.

Згадаймо, числа, які ми використовуємо за рахунку, називаються натуральними, вони утворюють безліч натуральних чисел.

Кожному натуральному числу можна знайти протилежне. Натуральні числа, числа протилежні, і число 0 називають цілими числами.

Позитивними або негативними можуть бути і дробові числа. Усі цілі числа та всі дроби називають раціональними числами. Говорять також, що всі разом вони утворюють безліч раціональних чисел.

Виділимо ще дві групи чисел. Візьмемо координатну пряму. Якщо прибрати частину прямої, на якій знаходяться негативні числа, залишиться промінь з позитивними числами і початком відліку числом 0. Числа, що залишилися, називають невід'ємними, тобто числа, які більші або рівні 0. Отже, непозитивні числа - це все негативні числа і число 0, тобто числа, які менші або дорівнюють 0.

Сьогодні ми дізналися, що таке протилежні, цілі, раціональні, невід'ємні, непозитивні числа, навчилися знаходити число, протилежне цьому.

Список використаної литературы:

1. Математика.6 клас: поурочні планидо підручника І.І. Зубарєвої, А.Г. Мордковича // Автор-упорядник Л.А. Топілін. Мнемозина 2009 р.
2. Математика. 6 клас: підручник для учнів загальноосвітніх установ. І.І. Зубарєва, А.Г. Мордкович.- М.: Мнемозіна, 2013
3. Математика. 6 клас: підручник для учнів загальноосвітніх закладів. /Н.Я. Віленкін, В.І. Жохов, А.С. Чесноков, С.І. Шварцбурд. - М.: Мнемозіна, 2013 р.
4. Довідник з математики - http://lyudmilanik.com.ua
5. Довідник для учнів у середній школі http://shkolo.ru

Протилежні числа визначення

Протилежні числа визначення:

Два числа називаються протилежними, якщо вони відрізняються лише знаками.

Приклади протилежних чисел

Приклади протилежних чисел.

1 -1;
2 -2;
99 -99;
-12 12;
-45 45

Звідси зрозуміло як шукати число, протилежне цьому: легко змініть символ числа.

Протилежне число 3 є число мінус три.

приклад. Числа протилежні даним.

Дано: числа 1; 5; 8; 9.

Знайти числа протилежні даним.

Для вирішення цього завдання просто змінюємо знаки заданих чисел:

Складемо таблицю протилежних чисел:

1	5	8	9
-1	-5	-8	-9

Число протилежне нулю

Число протилежне нулю є число нуль.

Отже, протилежне число 0 - це 0.

Протилежні цілі числа

Протилежні цілі числа відрізняються лише знаками.

Приклади протилежних цілих чисел.

10 -10
20 -20
125 -125

Пара протилежних чисел

Коли говорять про протилежні числа завжди мають на увазі пару протилежних чисел.

Число протилежне іншому числу. І в кожного числа є лише одне протилежне число.

Числа, протилежні натуральним

Числа, протилежні натуральним – це цілі негативні числа.

Складемо таблицю протилежних чисел для перших п'яти натуральних чисел:

1	2	3	4	5
-1	-2	-3	-4	-5

Сума протилежних чисел

Сума протилежних чисел дорівнює нулю. Адже протилежні числа відрізняються лише знаком.