Теоретичний матеріал з модулів "теорія ймовірності та математична статистика".

Класичне визначення ймовірності зводить поняття ймовірності до поняття рівноймовірності (рівноможливості) подій, яке вважається основним і не підлягає формальному визначенню. Це визначення застосовується у випадках, коли вдається виділити повну групу несумісних та рівноймовірних подій. елементарних результатів. Наприклад розглянемо урну з кулями.

Нехай в урні міститься 7 однакових, ретельно перемішаних куль, причому 2 з них – червоних, 1 – синій та 4 – білі. Випробування полягатиме в тому, що з урни навмання береться одна куля. Кожна подія, яка може наступити в випробуванні, є елементарним результатом. У даному прикладісім елементарних результатів, які ми позначимо Е 1 , Е 2 ,..., Е 7 . Виходи Е 1 , Е 2 - поява червоної кулі, Е 3 - поява синьої кулі, Е 4 , Е 5 , Е 6 , Е 7 – поява білої кулі. У нашому прикладі події Е 1 , Е 2 ,... Е 7 - попарно несумісні. Крім того, вони ще й рівноможливі у цьому випробуванні. Нехай подія Аполягає в тому, що навмання взята з урни куля виявилася кольоровою (червоною або синьою).

Ті елементарні результати, при яких цікава для нас подія Анастає, називають результатами, сприятливими події А. У нашому прикладі наслідками, що сприяють події А, є результати Е 1 , Е 2 та Е 3 . Розумно як міру можливості появи події А, тобто ймовірності Р(А), прийняти число, що дорівнює відношенню результатів, що сприяють настанню події А,до всіх можливих результатів. У нашому прикладі

Ррозглянутий приклад привів нас до визначення ймовірності, яке прийнято називати класичним .

Ймовірністю події Аназивають відношення числа mсприятливих для цієї події результатів до загальному числу nвсіх елементарних результатів:

Р(А) = . (1.4.4)

Класичне визначення ймовірності служить гарною математичною моделлютих випадкових експериментів, число наслідків яких звичайно, а самі наслідки - рівноможливі.

ПРИКЛАД 2. Впадає гральна кістка. Знайти ймовірність того, що випаде трохи більше чотирьох очок.

Рішення. Загальна кількість елементарних результатів n= 6 (можуть випасти 1, 2, 3, 4, 5, 6). Серед цих результатів сприяють події А(випаде не більше чотирьох очок) лише чотири результати m= 4. Отже шукана ймовірність

ПРИКЛАД 3. Яка можливість, заповнюючи картку спортлото «6» з «49» вгадати 4 номери?

Рішення. Загальна кількість елементарних результатів досвіду дорівнює кількості способів, якими можна закреслити 6 номерів з 49, тобто n = C. Знайдемо числорезультатів, що сприяють цікавій для нас події
А= (вгадано 4 номери), 4 номери з 6 виграли можна закреслити Cспособами, при цьому решта двох номерів має бути не виграшою. Закреслити 2 неправильні номери з 43 невиграшних можна Cметодами. Отже, кількість сприятливих наслідків m = C× C. Зважаючи на те, що всі результати досвіду є несумісними та рівноможливими, знаходимо шукану ймовірність за формулою класичної ймовірності:

Р(А) =

ПРИКЛАД 4.Навпаки взятий телефонний номерскладається із 5 цифр. Якою є велика ймовірність, що в ньому: 1) усі цифри різні; 2) усі цифри непарні?

Рішення. 1. Оскільки на кожному з п'яти місць у п'ятизначному номері може стояти будь-яка з цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, то всіх п'ятизначних номерів буде 10 5 (00000 - 1 -й, 00001 - 2-й, 00002 -3-й, ..., 99998 - 99999-й, і, нарешті, 99999 - 100 000-й). Номери, у яких всі цифри різні, - розміщення з 10 елементів по 5.

Формуладля числа розміщеньз nелементів по k:

K! = = n (n – 1) … (n – k + 1).

Тому кількість сприятливих випадків m= = 10× 9× 8× 7× 6 та шукана ймовірність

Р(А) = = 0,3024.

2. З 5 непарних цифр (1, 3, 5, 7, 9) можна утворити 5-5 різних п'ятизначних номерів. 5 5 - це число сприятливих наслідків m . Оскільки всіх рівноможливих випадків n= 10 5 , то шукана ймовірність

Р(А) = = = = 0,03125.

ПРИКЛАД 5. Повна колода карт (52 аркуша) ділиться навмання на дві рівні пачки по 26 аркушів. Знайти ймовірність наступних подій:

А- у кожній з пачок виявиться по два тузи;

У- в одній з пачок не буде жодного туза, а в іншій – усі чотири;

З- В одній з пачок буде один туз, а в іншій - три.

Рішення. Загальна кількість можливих елементарних результатів випробування дорівнює кількості способів, якими можна витягти 26 карт з 52 , тобто числу поєднань з 52 по 26, n=. Число сприятливих подій Авипадків
m= (за основним правилом комбінаторики), де перший співмножник показує, що два тузи з чотирьох можна взяти способами, другий співмножник показує, що інші 24 карти беруться з 48 карт, що не містять тузів, способами. Шукана ймовірність дорівнює відношенню числа результатів, що сприяють події А, До загального числа всіх результатів:

Подія Уможе здійснитися двома рівноможливими способами: або в першій пачці будуть усі чотири тузи, а в другій - жодного, або навпаки:

Аналогічно:

Зауважимо, що класичне визначенняймовірності було введено для випадку, коли простір елементарних подійзвичайно, а всі результати та випробування рівноможливі та несумісні.

Завдання 174tv

а) 3 білі кулі;
б) менше, ніж 3 білі кулі;
в) хоча б одна біла куля.

Завдання 176tv

У урні міститься 6 чорних та 5 білих куль. Випадковим чином виймають 5 кульок. Знайти ймовірність того, що серед них є:
а) 3 білі кулі;
б) менше, ніж 3 білі кулі;
в) хоча б одна біла куля.

Завдання 178tv

У урні міститься 4 чорні та 5 білих куль. Випадковим чином виймають 4 кулі. Знайти ймовірність того, що серед них є:
а) 2 білі кулі;
б) менше, ніж 2 білі кулі;
в) хоча б одна біла куля.

Завдання 180tv

У урні міститься 6 чорних та 7 білих куль. Випадковим чином виймають 4 кулі. Знайти ймовірність того, що серед них є:
а) 4 білі кулі;
б) менше, ніж 4 білі кулі;
в) хоча б одна біла куля.

Завдання 184tv

У урні міститься 8 чорних та 6 білих куль. Випадковим чином виймають 4 кулі. Знайти ймовірність того, що серед них є:
а) 3 білі кулі;
б) менше, ніж 3 білі кулі;
в) хоча б одна біла куля.

Завдання 186tv

У урні міститься 4 чорні та 6 білих куль. Випадковим чином виймають 4 кулі. Знайти ймовірність того, що серед них є:
а) 3 білі кулі;
б) менше, ніж 3 білі кулі;
в) хоча б одна біла куля.

Завдання 188tv

У урні міститься 5 чорних та 6 білих куль. Випадковим чином виймають 5 кульок. Знайти ймовірність того, що серед них є:
а) 4 білі кулі;
б) менше, ніж 4 білі кулі;
в) хоча б одна біла куля.

З урни, де знаходяться куль, серед яких чорних білих, випадково витягнуті куль. Яка ймовірність того, що серед них буде чорні білі кулі?

Приклад 1. У першій урні: три червоні, одна біла куля. У другій урні: одна червона, три білі кулі. Навмання кидають монету: якщо герб – вибирають із першої урни, інакше – із другої.
Рішення:
а) ймовірність того, що дістали червону кулю
A – дістали червону кулю
P 1 – випав герб, P 2 – інакше

b) Вибрано червону кулю. Знайти ймовірність того, що його взято з першої урни, з другої урни.
B 1 – з першої урни, B 2 – з другої урни
,

Приклад 2. У ящику 4 кулі. Можуть бути: лише білі, лише чорні чи білі та чорні. (Склад невідомий).
Рішення:
A – ймовірність появи білої кулі
а) Усі білі:
(ймовірність того, що попався один із трьох варіантів, де є білі)
(імовірність появи білої кулі, де всі білі)

б) Витягли, де всі чорні



в) витягли варіант, де всі білі або чорні

- хоча б один із них білий

P а + P б + P в =

Приклад 3 . В урні 5 білих та 4 чорні кулі. З неї виймають поспіль 2 кулі. Знайти ймовірність того, що обидві кулі білі.
Рішення:
5 білих, 4 чорні кулі
P(A 1) – вийняли білу кулю

P(A 2) – ймовірність того, що друга куля теж біла

P(A) – поспіль вибрали білі кулі

Приклад 3а. У пачці 2 фальшивих та 8 справжніх грошових купюр. З пачки витягли 2 купюри поспіль. Знайти ймовірність, що обидві вони фальшиві.
Рішення:
P(2) = 2/10*1/9 = 1/45 = 0.022

Приклад 4. Є 10 урн. У 9 урнах по 2 чорні та 2 білі кулі. У 1 урні 5 білих та 1 чорний. З урни, взятої навмання, вийняли кулю.
Рішення:
P(A) -? біла куля взята з урни, де 5 білих
B – ймовірність того, що вийняли з урни, де 5 білих
, - Вийняли з інших
C 1 – ймовірність появи білої кулі 9 ур.

З 2 – ймовірність появи білої кулі, де їх 5

P(A 0)= P(B 1) P(C 1)+P(B 2) P(C 2)

Приклад 5. 20 циліндричних валиків та 15 конусоподібних. Складальник бере 1 валик, а потім ще один.
Рішення:
а) обидва валики циліндричні
P(Ц 1)=; P(Ц 2)=
Ц 1 – перший циліндр, Ц 2 – другий циліндр
P(A)=P(Ц 1)P(Ц 2) =
б) Хоча б один циліндр
K 1 - перший конусообр.
K 2 - другий конусообр.
P(B)=P(Ц 1)P(K 2)+P(Ц 2)P(K 1)+P(Ц 1)P(Ц 2)
;

с) перший циліндр, а другий ні
P(C)=P(Ц 1)P(K 2)

д) Жоден циліндр.
P(D)=P(K 1)P(K 2)

е) Рівне 1 циліндр
P(E)=P(Ц 1)P(K 2)+P(K 1)P(K 2)

Приклад 6. У ящику 10 стандартних деталей та 5 бракованих.
Навмання витягують три деталі
а) З них одна бракована
P n (K) = C n · p k · q n-k ,
P – ймовірність бракованих виробів

q – ймовірність стандартних деталей

n=3, три деталі


б) дві із трьох деталей бракованих P(2)
в) хоча б одна стандартна
P(0)-немає бракованих

P = P (0) + P (1) + P (2) - ймовірність того, що хоча б одна деталь виявиться стандартною

Приклад 7 . У 1-й урні по 3 білі та чорні кулі, а у 2-й - 3 білі та 4 чорні. З 1-ї урни в 2-у не дивлячись перекладають 2 кулі, а потім з 2-ї витягують 2 кулі. Яка ймовірність, що вони різних кольорів?
Рішення:
При перекладанні куль із першої урни можливі такі варіанти:
а) вийняли за поспіль 2 білі кулі
P ББ 1 =
На другому кроці завжди буде на одну кулю менше, оскільки на першому кроці вже вийняли одну кулю.
б) вийняли одну білу та одну чорну кулю
Ситуація, коли першими вийняли білу кулю, а потім чорну
P БЧ =
Ситуація, коли першими вийняли чорну кулю, а потім білу
P ЧБ =
Разом: P БЧ 1 =
в) вийняли за поспіль 2 чорні кулі
P ЧЧ 1 =
Оскільки з першої урни переклали у другу урну 2 кулі, то загальна кількістькуль у другій урні буде 9 (7+2). Відповідно, шукатимемо всі можливі варіанти:
а) з другої урни вийняли спочатку білу, потім чорну кулю

P БЧ 2 P ББ 1 - означає ймовірність того, що вийняли спочатку білу, потім чорну кулю за умови, що з першої урни за поспіль вийняли 2 білі кулі. Саме тому кількість білих куль у цьому випадку дорівнює 5 (3+2).
P БЧ 2 P БЧ 1 - означає ймовірність того, що вийняли спочатку білу, потім чорну кулю за умови, що з першої урни вийняли білу та чорну кулі. Саме тому кількість білих куль у цьому випадку дорівнює 4 (3+1), а чорних куль дорівнює п'яти (4+1).
P БЧ 2 P ЧЧ 1 - означає ймовірність того, що вийняли спочатку білу, потім чорну кулю за умови, що з першої урни вийняли за поспіль обидві чорні кулі. Саме тому кількість чорних куль у цьому випадку дорівнює 6 (4+2).

Імовірність того, що витягнуті 2 кулі виявляться різних кольорів, дорівнює:

Відповідь: P = 0.54

Приклад 7а. З 1-ої урни, що містить 5 білих і 3 чорних кулі навмання переклали 2 кулі в 2-у урну, що містить 2 білих і 6 чорних куль. Потім з другої урни навмання витягли 1 кулю.
1) Яка ймовірність того, що витягнута з другої урни куля виявилася білою?
2) Куля витягнута з другої урни виявилася білою. Обчисліть ймовірність того, що з 1-ої урни в 2-у були перекладені кулі різного кольору.
Рішення.
1) Подія А - витягнутий з другої урни куля виявилася білою. Розглянемо такі варіанти настання цієї події.
а) З першої урни до другої поклали дві білі кулі: P1(бб) = 5/8*4/7 = 20/56.
Усього в другій урні 4 білі кулі. Тоді ймовірність вилучення білої кулі з другої урни дорівнює P2(4) = 20/56*(2+2)/(6+2) = 80/448
б) З першої урни в другу поклали білу та чорну кулі: P1(бч) = 5/8*3/7+3/8*5/7 = 30/56.
Усього в другій урні 3 білі кулі. Тоді ймовірність вилучення білої кулі з другої урни дорівнює P2(3) = 30/56*(2+1)/(6+2) = 90/448
в) З першої урни в другу поклали дві чорні кулі: P1(чч) = 3/8*2/7 = 6/56.
Усього в другій урні 2 білі кулі. Тоді ймовірність вилучення білої кулі з другої урни дорівнює P2(2) = 6/56*2/(6+2) = 12/448
Тоді ймовірність того, що витягнута з другої урни куля виявилася білою дорівнює:
P(A) = 80/448 + 90/448 + 12/448 = 13/32

2) Куля витягнутий з другої урни виявився білим, тобто. повна ймовірністьдорівнює P(A)=13/32.
Імовірність того, що в другу урну були перекладені кулі різного кольору (чорний і білий) і був обраний білий: P2(3) = 30/56*(2+1)/(6+2) = 90/448
P = P2 (3) / P (A) = 90/448 / 13/32 = 45/91

Приклад 7б. У першій урні 8 білих та 3 чорних кулі, у другій 5 білих та 3 чорних. З першої навмання вибирають одну кулю, а з другої дві кулі. Після цього з вибраних трьох куль навмання беруть одну кулю. Ця остання куля виявилася чорною. Знайти ймовірність того, що з першої урни було обрано білу кулю.
Рішення.
Розглянемо всі варіанти події А – з трьох куль, вийнята куля виявилася чорною. Як могло статися, що серед трьох куль виявився чорний?
а) З першої урни вийняли чорну кулю, з другої урни вийняли дві білі кулі.
P1 = (3/11) (5/8 * 4/7) = 15/154
б) З першої урни вийняли чорну кулю, з другої урни вийняли дві чорні кулі.
P2 = (3/11) (3/8 * 2/7) = 9/308
в) З першої урни вийняли чорну кулю, з другої урни вийняли одну білу та одну чорну кулі.
P3 = (3/11)(3/8*5/7+5/8*3/7) = 45/308
г) З першої урни вийняли білу кулю, з другої урни вийняли дві чорні кулі.
P4 = (8/11) (3/8 * 2/7) = 6/77
д) З першої урни вийняли білу кулю, з другої урни вийняли одну білу та одну чорну кулі.
P5 = (8/11)(3/8*5/7+5/8*3/7) = 30/77
Повна ймовірність дорівнює: P = P1 + P2 + P3 + P4 + P5 = 15/154+9/308+45/308+6/77+30/77 = 57/77
Імовірність того, що з білої урни була обрана біла куля, дорівнює:
Pб (1) = P4 + P5 = 6/77+30/77 = 36/77
Тоді ймовірність того, що з першої урни була обрана біла куля за умови, що з трьох куль була обрана чорна, дорівнює:
Pч = Pб (1) / P = 36/77 / 57/77 = 36/57

Приклад 7в. У першій урні 12 білих та 16 чорних куль, у другій 8 білих та 10 чорних. Одночасно з 1-ої та 2-ої урни витягують по кулі, перемішують і повертають по одному в кожну урну. Потім із кожної урни витягують по кулі. Вони виявились одного кольору. Визначити ймовірність того, що в 1-ій урні залишилося стільки ж білих куль, скільки було на початку.

Рішення.
Подія А - одночасно з 1-ої та 2-ої урни витягують по кулі.
Імовірність витягнути білу кулю з першої урни: P1(Б) = 12/(12+16) = 12/28 = 3/7
Імовірність витягнути чорну кулю з першої урни: P1(Ч) = 16/(12+16) = 16/28 = 4/7
Імовірність витягнути білу кулю з другої урни: P2(Б) = 8/18 = 4/9
Імовірність витягнути чорну кулю з другої урни: P2(Ч) = 10/18 = 5/9

Подія А сталася. Подія - з кожної урни витягують по кулі. Після перемішування, ймовірність повернення кулі в урну білої або чорної кулі дорівнює ½.
Розглянемо варіанти події В – вони виявилися одного кольору.

Для першої урни
1) у першу урну поклали білу кулю, і витягли білу, за умови, що раніше була витягнута біла куля, P1(ББ/А=Б) = ½ * 12/28 * 3/7 = 9/98
2) в першу урну поклали білу кулю, і витягли білу, за умови, що раніше була витягнута чорна куля, P1(ББ/А=Ч) = ½ * 13/28 * 4/7 = 13/98
3) у першу урну поклали білу кулю, і витягли чорну, за умови, що раніше була витягнута біла куля, P1(БЧ/А=Б) = ½ * 16/28 * 3/7 = 6/49
4) у першу урну поклали білу кулю, і витягли чорну, за умови, що раніше була витягнута чорна куля, P1(БЧ/А=Ч) = ½ * 15/28 * 4/7 = 15/98
5) у першу урну поклали чорну кулю, і витягли білу, за умови, що раніше була витягнута біла куля, P1(ЧБ/А=Б) = ½ * 11/28 * 3/7 = 33/392
6) у першу урну поклали чорну кулю, і витягли білу, за умови, що раніше була витягнута чорна куля, P1(ЧБ/А=Ч) = ½ * 12/28 * 4/7 = 6/49
7) у першу урну поклали чорну кулю, і витягли чорну, за умови, що раніше була витягнута біла куля, P1(ЧЧ/А=Б) = ½ * 17/28 * 3/7 = 51/392
8) у першу урну поклали чорну кулю, і витягли чорну, за умови, що раніше була витягнута чорна куля, P1(ЧЧ/А=Ч) = ½ * 16/28 * 4/7 = 8/49

Для другої урни
1) в першу урну поклали білу кулю, і витягли білу, за умови, що раніше була витягнута біла куля, P1(ББ/А=Б) = ½ * 8/18 * 3/7 = 2/21
2) в першу урну поклали білу кулю, і витягли білу, за умови, що раніше була витягнута чорна куля, P1(ББ/А=Ч) = ½ * 9/18 * 4/7 = 1/7
3) у першу урну поклали білу кулю, і витягли чорну, за умови, що раніше була витягнута біла куля, P1(БЧ/А=Б) = ½ * 10/18 * 3/7 = 5/42
4) у першу урну поклали білу кулю, і витягли чорну, за умови, що раніше була витягнута чорна куля, P1(БЧ/А=Ч) = ½ * 9/18 * 4/7 = 1/7
5) у першу урну поклали чорну кулю, і витягли білу, за умови, що раніше була витягнута біла куля, P1(ЧБ/А=Б) = ½ * 7/18 * 3/7 = 1/12
6) у першу урну поклали чорну кулю, і витягли білу, за умови, що раніше була витягнута чорна куля, P1(ЧБ/А=Ч) = ½ * 8/18 * 4/7 = 8/63
7) у першу урну поклали чорну кулю, і витягли чорну, за умови, що раніше була витягнута біла куля, P1(ЧЧ/А=Б) = ½ * 11/18 * 3/7 = 11/84
8) у першу урну поклали чорну кулю, і витягли чорну, за умови, що раніше була витягнута чорна куля, P1(ЧЧ/А=Ч) = ½ * 10/18 * 4/7 = 10/63

Кулі виявилися одного кольору:
а) білі
P1(Б) = P1(ББ/А=Б) + P1(ББ/А=Ч) + P1(ЧБ/А=Б) + P1(ЧБ/А=Ч) = 9/98 + 13/98 + 33 / 392 + 6/49 = 169/392
P2(Б) = P1(ББ/А=Б) + P1(ББ/А=Ч) + P1(ЧБ/А=Б) + P1(ЧБ/А=Ч) = 2/21+1/7+1 /12+8/63 = 113/252
б) чорний
P1(Ч) = P1(БЧ/А=Б) + P1(БЧ/А=Ч) + P1(ЧЧ/А=Б) + P1(ЧЧ/А=Ч) = 6/49 + 15/98 + 51 / 392 + 8/49 = 223/392
P2(Ч) = P1(БЧ/А=Б) + P1(БЧ/А=Ч) + P1(ЧЧ/А=Б) + P1(ЧЧ/А=Ч) =5/42+1/7+11 /84+10/63 = 139/252

P = P1(Б)* P2(Б) + P1(Ч)* P2(Ч) = 169/392*113/252 + 223/392*139/252 = 5/42

Приклад 7г. У першому ящику 5 білих і 4 синіх кульки, у другому 3 і 1, а в третій - 4 і 5 відповідно. Навмання обраний ящик і з нього витягнута кулька, виявилася синя. Яка ймовірність того, що ця кулька з другої скриньки?

Рішення.
A - подія вилучення синьої кульки. Розглянемо всі варіанти результату такої події.
H1 - витягнута кулька з першої скриньки,
H2 - витягнута кулька з другого ящика,
H3 - витягнута кулька з третього ящика.
P(H1) = P(H2) = P(H3) = 1/3
Відповідно до умови завдання умовні ймовірностіподії А рівні:
P(A|H1) = 4/(5+4) = 4/9
P(A|H2) = 1/(3+1) = 1/4
P(A|H3) = 5/(4+5) = 5/9
P(A) = P(H1)*P(A|H1) + P(H2)*P(A|H2) + P(H3)*P(A|H3) = 1/3*4/9 + 1 /3*1/4 + 1/3*5/9 = 5/12
Імовірність того, що ця кулька з другого ящика дорівнює:
P2 = P (H2) * P (A | H2) / P (A) = 1/3 * 1/4 / 5/12 = 1/5 = 0.2

Приклад 8 . У п'яти ящиках з 30 кулями в кожному міститься по 5 червоних куль (це ящик складу H1), у шести інших ящиках з 20 кулями в кожному - по 4 червоні кулі (це ящик складу H2). Знайти ймовірність того, що навмання взята червона куля міститься в одному з перших п'яти ящиків.
Рішення: Завдання застосування формули повної ймовірності.

Імовірність того, що будь-якийвзята куля міститься в одному з перших п'яти ящиків:
P(H 1) = 5/11
Імовірність того, що будь-якийвзята куля міститься в одному з шести ящиків:
P(H 2) = 6/11
Подія сталася – витягли червону кулю. Отже, це могло статися у двох випадках:
а) витягли з перших п'яти ящиків.
P 5 = 5 червоних куль * 5 ящиків / (30 куль * 5 ящиків) = 1/6
P(P 5 /H 1) = 1/6 * 5/11 = 5/66
б) витягли із шести інших ящиків.
P 6 = 4 червоні кулі * 6 ящиків / (20 куль * 6 ящиків) = 1/5
P(P 6 /H 2) = 1/5 * 6/11 = 6/55
Разом: P(P 5 /H 1) + P(P 6 /H 2) = 5/66 + 6/55 = 61/330
Отже, ймовірність того, що навмання взята червона куля міститься в одному з перших п'яти ящиків, дорівнює:
P к.ш. (H1) = P(P 5 /H 1) / (P(P 5 /H 1) + P(P 6 /H 2)) = 5/66 / 61/330 = 25/61

Приклад 9 . В урні знаходяться 2 білі, 3 чорні та 4 червоні кулі. Навмання виймають три кулі. Яка ймовірність, що хоча б дві кулі будуть одного кольору?
Рішення. Усього можливі три варіанти результату подій:
а) серед трьох витягнутих куль виявилося хоча б дві білі.
P б (2) = P 2б
Загальна кількість можливих елементарних результатів для даних випробувань дорівнює кількості способів, якими можна витягти 3 кулі з 9:

Знайдемо ймовірність того, що серед обраних 3 куль 2 білих.

Кількість варіантів вибору з 2 білих куль:

Кількість варіантів вибору з 7 інших куль третя куля:

б) серед трьох витягнутих куль виявилося хоча б дві чорні (тобто або 2 чорні або 3 чорні).
Знайдемо ймовірність того, що серед обраних 3 куль 2 чорні.

Кількість варіантів вибору з 3 чорних куль:

Кількість варіантів вибору з 6 інших куль однієї кулі:


P 2год = 0.214
Знайдемо ймовірність того, що всі вибрані чорні кулі.

P год (2) = 0.214+0.0119 = 0.2259

в) серед трьох витягнутих куль виявилося хоча б дві червоні (тобто або 2 червоні або 3 червоні).
Знайдемо ймовірність того, що серед обраних 3 куль 2 червоні.

Кількість варіантів вибору з 4 чорних куль:

Кількість варіантів вибору з 5 білих куль решта 1 білих:


Знайдемо ймовірність того, що всі вибрані червоні кулі.

P до (2) = 0.357 + 0.0476 = 0.4046
Тоді ймовірність, що хоча б дві кулі будуть одного кольору дорівнює: P = P б (2) + P год (2) + P к (2) = 0.0833 + 0.2259 + 0.4046 = 0.7138

Приклад 10 . У першій урні міститься 10 куль, їх 7 білих; у другій урні 20 куль, їх 5 білих. З кожної урни навмання витягли по одній кулі, а потім з цих двох куль навмання взято одну кулю. Знайти ймовірність того, що взята біла куля.
Рішення. Імовірність того, що з першої урни витягли білу кулю, дорівнює P(б)1 = 7/10. Відповідно, ймовірність вилучення чорної кулі дорівнює P(ч)1 = 3/10.
Імовірність того, що з другої урни витягли білу кулю, дорівнює P(б)2 = 5/20 = 1/4. Відповідно, ймовірність вилучення чорної кулі дорівнює P(ч)2 = 15/20 = 3/4.
Подія А - з двох куль взята біла куля
Розглянемо варіанти результату події А.

1. з першої урни витягли білу кулю, з другої урни витягли білу кулю. Потім із цих двох куль витягли білу кулю. P1 = 7/10 * 1/4 = 7/40
2. з першої урни витягли білу кулю, з другої урни витягли чорну кулю. Потім із цих двох куль витягли білу кулю. P2 = 7/10 * 3/4 ​​= 21/40
3. з першої урни витягли чорну кулю, з другої урни витягли білу кулю. Потім із цих двох куль витягли білу кулю. P3 = 3/10 * 1/4 = 3/40

Таким чином, ймовірність можна знайти як суму вищезгаданих ймовірностей.
P = P1 + P2 + P3 = 7/40 + 21/40 + 3/40 = 31/40

Приклад 11 . У ящику n тенісних м'ячів. З них граних m. Для першої гри навмання взяли два м'ячі і після гри їх поклали назад. Для другої гри також навмання взяли два м'ячі. Яка ймовірність того, що друга гра проводитиметься новими м'ячами?
Рішення. Розглянемо подію А – гра вдруге проводилася новими м'ячами. Подивимося, які події можуть призвести до цього.
Позначимо через g = n-m кількість нових м'ячів до витягування.
а) для першої гри витягли два нових м'ячі.
P1 = g/n*(g-1)/(n-1) = g(g-1)/(n(n-1))
б) для першої гри витягли один новий м'яч і один уже граний.
P2 = g/n*m/(n-1) + m/n*g/(n-1) = 2mg/(n(n-1))
в) для першої гри витягли два грані м'ячі.
P3 = m/n*(m-1)/(n-1) = m(m-1)/(n(n-1))

Розглянемо події другої гри.
а) Витягли два нових м'ячі, за умови P1: оскільки раніше для першої гри вже витягли нові м'ячі, то для другої гри їхня кількість зменшилася на 2, g-2.
P(A/P1) = (g-2)/n*(g-2-1)/(n-1)*P1 = (g-2)/n*(g-2-1)/(n- 1)*g(g-1)/(n(n-1))
б) Витягли два нових м'ячі, за умови P2: оскільки раніше для першої гри вже витягли один новий м'яч, то для другої гри їхня кількість зменшилася на 1, g-1.
P(A/P2) =(g-1)/n*(g-2)/(n-1)*P2 = (g-1)/n*(g-2)/(n-1)*2mg /(n(n-1))
в) Витягли два нових м'ячі, за умови P3: оскільки раніше для першої гри не використовували нових м'ячів, то для другої гри їхня кількість не змінилася g.
P(A/P3) = g/n*(g-1)/(n-1)*P3 = g/n*(g-1)/(n-1)*m(m-1)/(n (n-1))

Повна ймовірність P(A) = P(A/P1) + P(A/P2) + P(A/P3) = (g-2)/n*(g-2-1)/(n-1)* g(g-1)/(n(n-1)) + (g-1)/n*(g-2)/(n-1)*2mg/(n(n-1)) + g/n *(g-1)/(n-1)*m(m-1)/(n(n-1)) = (n-2)(n-3)(n-m-1)(n-m)/(( n-1) ^ 2 * n ^ 2)
Відповідь: P(A)=(n-2)(n-3)(n-m-1)(n-m)/((n-1)^2*n^2)

Приклад 12 . У першій, другій і третій ящиках знаходиться по 2 білих і 3 чорні кулі, в четвертій і п'ятій по 1 білій і 1 чорній кулі. Випадково вибирається ящик і з нього витягається куля. Яка умовна ймовірність, що обрана четверта або п'ята скринька, якщо витягнута куля - біла?
Рішення.
Імовірність вибору кожної скриньки дорівнює P(H) = 1/5.
Розглянемо умовні ймовірності події А – вилучення білої кулі.
P(A|H=1) = 2/5
P(A|H=2) = 2/5
P(A|H=3) = 2/5
P(A|H=4) = ½
P(A|H=5) = ½
Повна ймовірність вилучення білої кулі:
P(A) = 2/5*1/5 + 2/5*1/5 +2/5*1/5 +1/2*1/5 +1/2*1/5 = 0.44
Умовна ймовірність, що обрано четверту скриньку
P(H=4|A) = 1/2*1/5 / 0.44 = 0.2273
Умовна ймовірність, що обрано п'яту скриньку
P(H=5|A) = 1/2*1/5 / 0.44 = 0.2273
Умовна ймовірність, що обрана четверта або п'ята скринька дорівнює
P(H=4, H=5|A) = 0.2273 + 0.2273 = 0.4546

Приклад 13 . В урні було 7 білих та 4 червоні кулі. Потім в урну поклали ще одну кулю білого або червоного або чорного кольору і після перемішування вийняли одну кулю. Він виявився червоним. Яка ймовірність, що була покладена а) червона куля? б) чорна куля?
Рішення.
а) червона куля
Подія A - витягли червону кулю. Подія H - поклали червону кулю. Імовірність того в урну була покладена червона куля P(H=K) = 1 / 3
Тоді P (A | H = K) = 1 / 3 * 5 / 12 = 5 / 36 = 0.139
б) чорна куля
Подія A - витягли червону кулю. Подія H - поклали чорну кулю.
Імовірність того в урну була покладена чорна куля P(H=Ч) = 1 / 3
Тоді P(A|H=Ч)= 1/3 * 4/12 = 1/9 = 0.111

Приклад 14 . Є дві урни з кулями. В одній 10 червоних та 5 синіх куль, у другій 5 червоних та 7 синіх куль. Яка ймовірність того, що з першої урни навмання буде вийнятий червона куля, а з другої синя?
Рішення.Нехай подія A1 - з першої урни вийнятий червоний шар; A2 - з другої урни вийнята синя куля:
,
Події A1 та A2 незалежні. Імовірність спільної появи подій A1 та A2 дорівнює

Приклад 15 . Є колода карток (36 штук). Виймаються навмання дві карти поспіль. Якою є ймовірність того, що обидві вийняті карти будуть червоною масті?
Рішення.Нехай подія A 1 – перша вийнята карта червоної масті. Подія A 2 – друга вийнята карта червоної масті. B - обидві витягнуті карти червоної масті. Оскільки мають відбутися і подія A 1 і подія A 2 , то B = A 1 · A 2 . Події A 1 і A 2 залежні, отже, P(B) :
,
Звідси

Приклад 16 . У двох урнах знаходяться кулі, що відрізняються тільки кольором, причому в першій урні 5 білих куль, 11 чорних та 8 червоних, а в другій відповідно 10, 8, 6 куль. З обох урн навмання витягується по одній кулі. Яка ймовірність, що обидві кулі одного кольору?
Рішення.Нехай індекс 1 означає білий колір, індекс 2 – чорний колір; 3 – червоний колір. Нехай подія A i - з першої скриньки витягли кулю i-го кольору; подія B j - з другої урни витягли кулю j -го кольору; подія A - обидві кулі одного кольору.
A = A 1 · B 1 + A 2 · B 2 + A 3 · B 3 . Події A i та B j незалежні, а A i · B i та A j · B j несумісні при i ≠ j . Отже,
P(A)=P(A 1)·P(B 1)+P(A 2)·P(B 2)+P(A 3)·P(B 3) =

Приклад 17 . З урни з трьома білими і двома чорними кулі витягуються по одному до появи чорного. Знайдіть ймовірність того, що з урни буде витягнуто 3 кулі? 5 куль?
Рішення.
1) ймовірність того, що з урни буде витягнуто 3 кулі (тобто третя куля буде чорною, а перші дві - білими).
P=3/5*2/4*2/3=1/5
2) ймовірність того, що з урни буде витягнуто 5 куль
така ситуація неможлива, т.к. всього 3 білі кулі.
P = 0

Робота №1

Випадкові події

6 варіант.

Завдання 1.1.Кидають три монети. Знайти ймовірність того, що тільки на двох монетах з'явиться "герб".

Досліджувана подія А – лише на двох монетах із трьох буде герб. У монети дві сторони, отже, всього подій при киданні трьох монет буде 8. У трьох випадках тільки на двох монетах буде герб. Імовірність події А обчислимо за допомогою формули:

Р(А) = m/n = 3/8.

Відповідь: ймовірність 3/8.

Завдання 1.2.Слово ПОДІЯ складено з карток, на кожній з яких написана одна літера. Потім картки змішують та виймають без повернення по одній. Знайти ймовірність того, що літери виймаються як задане слово.

Випробування полягає у вийманні карток з літерами у випадковому порядку без повернення. Елементарною подією є послідовність літер. Подія А полягає в отриманні потрібного словаПОДІЯ . Елементарні події є перестановками з 7 букв, отже, за формулою маємо n=7!

Літери у слові ПОДІЯ не повторюються, тому не можливі перестановки, у яких слово не змінюється. Їхнє число дорівнює 1.

Таким чином,

Р(А) = 1/7! = 1/5040.

Відповідь:Р(А) = 1/5040.

Завдання 1.3.Як і в попередній задачі знайти відповідну ймовірність випадку, коли заданим словом є слова АНТОНОВ ІЛЛЯ.

Це завдання вирішується аналогічно попередньому.

n = 11!; M = 2! * 2! = 4.

Р(А) = 4/11 = 4/39916800 = 1/9979200

Відповідь:Р(А) = 1/9979200.

Завдання 1.4.У урні міститься 8 чорних та 6 білих куль. Випадковим чином виймають 5 кульок. Знайти ймовірність того, що серед них є:

а) 3 білі кулі;

б) менше, ніж 3, білих куль;

в) хоча б одна біла куля.

8 год. Випробуванням буде випадкове виймання 5 куль. Елементарними

6 б подіями є всілякі поєднання по 5 із 14 куль. Їхнє число дорівнює

а) А 1 - серед вийнятих куль 3 білих. Значить, серед вийнятих куль 3 білих та 2 чорних. Використовуючи правило множення, отримуємо

Р(А 1) = 560/2002 = 280/1001.

б) А 2 - серед вийнятих куль менше 3 білих. Ця подія складається з трьох несумісних подій:

У 1 - серед вийнятих куль тільки 2 білих і 3 чорних кулі,

У 2 - серед вийнятих куль лише одна біла і 4 чорні кулі

У 3 - серед вийнятих куль немає жодної білої, всі 5 куль чорні:

2 В 3.

Оскільки події 1 , 2 і 3 несумісні, можна використовувати формулу:

Р(А 2) = Р(1) + Р(2) + Р(3);

Р(А2) = 840/2002 + 70/2002 + 56/2002 = 483/1001.

- Серед вийнятих куль немає жодного білого. В цьому випадку:

Р(А 3) = 1 - Р(

) = 1 - 28/1001 = 973/1001.

Відповідь:Р(А1) = 280/1001, Р(А2) = 483/1001, Р(А3) = 973/1001.

Завдання 1.6.У першій урні 5 білих і 7 чорних куль, а в другій урні 6 білих та 4 чорних куль. З першої урни виймають випадковим чином 2 кулі, та якщо з другої - 2 кулі. Знайти ймовірність того, що серед вийнятих куль:

а) усі кулі одного кольору;

б) лише три білі кулі;

в) хоча б одна біла куля.

1 урна 2 урна Кулі виймали з обох урн незалежно. Випробуваннями

5 б 6 б є вилучення двох куль з першої урни та двох куль

7 год 4 год із другої урни. Елементарними подіями будуть поєднання

По 2 або 2 з 12 або 10 куль відповідно.

2 2 а) А 1 - все вийняті кулі одного кольору, тобто. вони чи всі білі,

чи всі чорні.

Визначимо для кожної урни всілякі події:

У 1 - з першої урни вийнято 2 білі кулі;

У 2 - з першої урни вийнято 1 білу і 1 чорну кулю;

У 3 - з першої урни вийнято 2 чорні кулі;

З 1 - з другої урни вийнято 2 білі кулі;

З 2 - з другої урни вийнято 1 біла і 1 чорна куля;

З 3 - з другої урни вийнято 2 чорні кулі.

Значить, А1 =

, звідки, враховуючи незалежність та несумісність подій, отримуємо

Р(А 1) = Р(У 1) * Р(З 1) + Р(У 3) * Р(З 3).

Знайдемо кількість елементарних подій n 1 та n 2 для першої та другої урн відповідно. Маємо:

Знайдемо кількість кожного елемента подій, що визначають такі події:

C 1: m 21 = C 2: m 22 = C 3: m 23 =

Отже,

Р(А 1) = 10/66 * 15/45 + 21 * 6/45 = 5/99 + 7/165 = 46/495.

б) А 2 - серед вилучених куль лише 3 білих. В цьому випадку

З 2 (У 2 З 1);

Р(А 2) = Р(В 1) * Р(С 1) + Р(В 2) * Р(С 2)

Р(А 2) = 10/66 * 6/45 + 35/66 * 24/45 = 33/99 = 1/3.

в) А 3 - серед вилучених куль є принаймні одна біла.

- Серед вилучених куль немає жодної білої кулі. Тоді ) = Р(3) * Р(С 3) = 21/66 * 6/45 = 7/165;

Р(А 3) = 1 - Р(

) = 1 - 7/165 = 158/165.

Відповідь:Р(А1) = 46/495, Р(А2) = 1/3, Р(А3) = 158/165.

Завдання 1.7.У урні міститься 5 чорних та білих куль, до них додають 4 білих кулі. Після цього з урни випадковим чином виймають 3 кулі. Знайти ймовірність того, що всі вийняті кулі білі, припускаючи, що всі можливі пропозиції про початковий зміст урни рівноможливі.

Тут мають місце два види випробувань: спочатку задається початковий вміст урни і потім випадково виймається 3 куля, причому результат другого випробування залежить від результату першого. Тому використовується формула ймовірності.

подія А - випадково виймають 3 білі кулі. Імовірність цієї події залежить від того, яким був початковий складкуль в урні.

Розглянемо події:

У 1 - в урні було 5 білих куль;

У 2 - в урні було 4 білих та 1 чорна куля;

У 3 - в урні було 3 білих та 2 чорні кулі;

У 4 - в урні була 2 біла і 3 чорні кулі;

У 5 - в урні було 1 біла і 4 чорні кулі.

У 6 - в урні було 5 чорних кулі;

Загальна кількість елементарних результатів

Знайдемо умовні ймовірності події А за різних умов.

Р(А/В1) = 1. Р(А/В2) = 56/84 = 2/3. Р(А/В3) = 35/84 = 5/12. Р(А/В 4) = 5/21. Р(А/В 5) = 5/42. Р(А/В 6) = 1/21.

Р(А) = 1*1/6+2/3*1/6+5/12*1/6+5/21*1/6+5/42*1/6+1/21*1/6 = 209/504.

Завдання 1.10.У монтажному цеху до пристрою приєднується електродвигун. Електродвигуни постачаються трьома заводами-виробниками. На складі є електродвигуни цих заводів відповідно в кількості М 1 =13, М 2 =12, і М 3 =17 штук, які можуть безвідмовно працювати до кінця гарантійного терміну з ймовірностями відповідно 0,91, 0,82 і 0,77. Робочий бере випадково один електродвигун та монтує його до пристрою. Знайти ймовірність того, що змонтований та працюючий безвідмовно до кінця гарантійного терміну електродвигун поставлений відповідно першим, другим чи третім заводом – виробником.