Статистична фізиката термодинаміка

Статистичний та термодинамічний методи дослідження . Молекулярна фізика та термодинаміка - розділи фізики, в яких вивчаються макроскопічні процесив тілах, пов'язані з величезним числом атомів і молекул, що містяться в тілах. Для дослідження цих процесів застосовують два якісно різних і взаємно доповнюють один одного методи: статистичний (молекулярно-кінетичний) та термодинамічний. Перший лежить в основі молекулярної фізики, другий – термодинаміки.

Молекулярна фізика - розділ фізики, що вивчає будову та властивості речовини виходячи з молекулярно-кінетичних уявлень, що ґрунтуються на тому, що всі тіла складаються з молекул, що перебувають у безперервному хаотичному русі.

Ідея про атомній будовіречовини висловлена ​​давньогрецьким філософом Демокрітом (460-370 до н. е.). Атомістика відроджується знову лише XVII в. і розвивається в роботах, погляди якого на будову речовини та теплові явищабули близькі до сучасних. Суворий розвиток молекулярної теорії відноситься до середині XIXв. та пов'язано з роботами німецького фізика Р. Клаузіуса (1822-1888), Дж. Максвелла та Л. Больцмана.

Процеси, що вивчаються молекулярною фізикою, є результатом сукупного впливу великої кількості молекул. Закони поведінки величезної кількості молекул, будучи статистичними закономірностями, вивчаються з допомогою статистичного методу . Цей метод заснований на тому, що властивості макроскопічної системи в кінцевому рахунку визначаються властивостями частинок системи, особливостями їх руху усередненимизначеннями динамічних характеристик цих частинок (швидкості, енергії тощо). Наприклад, температура тіла визначається швидкістю хаотичного руху його молекул, але оскільки будь-якої миті часу різні молекули мають різні швидкості, вона може бути виражена тільки через середнє значення швидкості руху молекул. Не можна говорити про температуру однієї молекули. Таким чином, макроскопічні характеристики тіл мають фізичний сенс лише у випадку великої кількостімолекул.

Термодинаміка- розділ фізики, що вивчає загальні властивостімакроскопічних систем, що перебувають у стані термодинамічної рівноваги, та процеси переходу між цими станами. Термодинаміка не розглядає мікропроцеси, що лежать в основі цих перетворень. Цим термодинамічний методвідрізняється від статистичного. Термодинаміка базується на двох засадах – фундаментальних законах, встановлених у результаті узагальнення дослідних даних.

Область застосування термодинаміки значно ширша, ніж молекулярно- кінетичної теорії, Бо немає таких областей фізики та хімії, в яких не можна було б користуватися термодинамічний метод. Однак, з іншого боку, термодинамічний метод дещо обмежений: термодинаміка нічого не говорить про мікроскопічну будову речовини, механізм явищ, а лише встановлює зв'язки між макроскопічними властивостями речовини. Молекулярно-кінетична теорія та термодинаміка взаємно доповнюють одна одну, утворюючи єдине ціле, але відрізняючись різними методами дослідження.

Основні постулати молекулярно-кінетичної теорії (МКТ)

1. Всі тіла в природі складаються з величезної кількості найдрібніших частинок(атомів та молекул).

2. Ці частинки знаходяться в безперервному хаотичному(Безладному) русі.

3. Рух частинок пов'язаний із температурою тіла, тому він називається тепловим рухом.

4. Частинки взаємодіють одна з одною.

Докази справедливості МКТ: дифузія речовин, броунівський рух, теплопровідність.

Фізичні величини, що використовуються для опису процесів молекулярної фізикиділять на два класи:

мікропараметри– величини, що описують поведінку окремих частинок (маса атома (молекули), швидкість, імпульс, кінетична енергіяокремих частинок);
макропараметри– величини, які не зводяться до окремих частинок, але характеризують властивості речовини загалом. Значення макропараметрів визначаються результатом одночасного впливу величезної кількості частинок. Макропараметри – це температура, тиск, концентрація тощо.

Температура - одне з основних понять, що грають важливу рольу термодинаміці, а й у фізиці загалом. Температура - фізична величина, Що характеризує стан термодинамічної рівноваги макроскопічної системи Відповідно до рішення XI Генеральної конференції з мір і ваг (1960) в даний час можна застосовувати тільки дві температурні шкали - термодинамічнийі Міжнародну практичнуградуйовані відповідно в кельвінах (К) та в градусах Цельсія (°С).

У термодинамічній шкалі температура замерзання води дорівнює 273,15 К (при тому ж

тиску, що й у Міжнародній практичній шкалі), тому, за визначенням, термодинамічна температура та температура за Міжнародною практичною шкалою

шкалою пов'язані співвідношенням

Т= 273,15 + t.

Температура T = 0 До називається нулем кельвін.Аналіз різних процесівпоказує, що 0 До недосяжний, хоча наближення до нього як завгодно близько можливо. 0 К – це температура, за якої теоретично має припинитися будь-який тепловий рух частинок речовини.

У молекулярній фізиці виводиться зв'язок між макропараметрами та мікропараметрами. Наприклад, тиск ідеального газуможе бути виражено формулою:

position:relative; top:5.0pt">- маса однієї молекули, - концентрація, З основного рівняння МКТ можна отримати зручне для практичного використаннярівняння:

Ідеальний газ – це ідеалізована модель газу, в якій вважають, що:

1. власний обсяг молекул газу дуже малий в порівнянні з обсягом судини;

2. між молекулами відсутні сили взаємодії (тяжіння та відштовхування на відстані;

3. зіткнення молекул між собою та зі стінками судини абсолютно пружні.

Ідеальний газ – це спрощена теоретична модельгазу. Проте, стан багатьох газів за певних умов може бути описані цим рівнянням.

Для опису стану реальних газіву рівняння стану необхідно ввести виправлення. Наявність сил відштовхування, які протидіють проникненню в зайнятий молекулою обсяг інших молекул, зводиться до того, що фактичний вільний обсяг, в якому можуть рухатися молекули реального газу, буде меншим. деb - молярний об'єм, який займають самі молекули.

Дія сил тяжіння газу призводить до появи додаткового тиску газу, званого внутрішнім тиском. За обчисленнями Ван-дер-Ваальса, внутрішній тиск обернено пропорційно квадрату молярного об'єму, тобто де а -постійна Ван-дер-Ваальса, що характеризує сили міжмолекулярного тяжіння,V m - молярний об'єм.

У результаті ми отримаємо рівняння стану реального газуабо рівняння Ван-дер-Ваальса:

font-size:10.0pt;font-family:" times new roman> Фізичний змісттемператури: температура – ​​це міра інтенсивності теплового рухучастинок речовин. Поняття температури не застосовується до окремої молекули. Лише для достатньо великої кількостімолекул, створюють кілька речовини, виникає сенс відносити термін температури.

Для ідеального одноатомного газу можна записати рівняння:

font-size:10.0pt;font-family:" times new roman>Перше експериментальне визначенняшвидкостей молекул виконано німецьким фізиком О. Штерном (1888–1970). Його досліди дозволили також оцінити розподіл молекул за швидкостями.

«Протистояння» між потенційними енергіями зв'язку молекул та енергіями теплового руху молекул ( кінетичними молекулами) призводить до існування різних агрегатних станівречовини.

Термодинаміка

Підрахувавши кількість молекул у даній системі та оцінивши їх середні кінетичні та потенційну енергію, можна оцінити внутрішню енергію цієї системи U.

font-size:10.0pt;font-family:" times new roman>Для ідеального одноатомного газу .

Внутрішня енергіясистеми може змінюватися внаслідок різних процесів, наприклад здійснення над системою роботи або повідомлення їй теплоти. Так, всуваючи поршень в циліндр, в якому знаходиться газ, ми стискуємо цей газ, внаслідок чого його температура підвищується, тобто тим самим змінюється (збільшується) внутрішня енергія газу. З іншого боку, температуру газу та його внутрішню енергію можна збільшити за рахунок повідомлення йому деякої кількості теплоти - енергії, переданої системі зовнішніми тілами шляхом теплообміну (процес обміну внутрішніми енергіями при контакті тіл із різними температурами).

Таким чином, можна говорити про дві форми передачі енергії від одних тіл до інших: роботу та теплоту. Енергія механічного рухуможе перетворюватися на енергію теплового руху, і навпаки. При цих перетвореннях дотримується закон збереження та перетворення енергії; стосовно до термодинамічних процесівцим законом і є перший початок термодинаміки, встановлене в результаті узагальнення багатовікових досвідчених даних:

У замкнутому циклі font-size:10.0pt;font-family:" times new roman>ККД теплового двигуна: .

З першого початку термодинаміки випливає, що ККД теплового двигуна не може бути більшим за 100%.

Постулюючи існування різних форменергії та зв'язку між ними перший початок ТД нічого не говорить про спрямованість процесів у природі. У повній відповідності з першим початком можна подумки сконструювати двигун, в якому за рахунок зменшення внутрішньої енергії речовини відбувалася б корисна робота. Наприклад, замість пального в тепловому двигунівикористовувалася б вода, і за рахунок охолодження води та перетворення її на лід відбувалася б робота. Але подібні мимовільні процеси у природі не відбуваються.

Всі процеси в природі можна розділити на оборотні та необоротні.

Однією з основних проблем у класичному природознавстві тривалий час залишалася проблема пояснення фізичної природинезворотності реальних процесів. Суть проблеми полягає в тому, що рух матеріальної точки, який описує II закон Ньютона (F = ma), оборотний, тоді як велике число матеріальних точокповодиться незворотно.

Якщо кількість досліджуваних частинок невелика (наприклад, дві частинки малюнку а)), ми зможемо визначити, куди спрямована вісь часу: зліва направо чи праворуч наліво, оскільки будь-яка послідовність кадрів є однаково можливої. Це і є оборотне явище. Ситуація суттєво змінюється, якщо число часток дуже велике (рис. б)). У цьому випадку напрямок часу визначається однозначно: зліва направо, тому що неможливо уявити, що рівномірно розподілені частки самі по собі, без якихось зовнішніх впливівзберуться у кутку «ящика». Така поведінка, коли стан системи може змінюватися лише у певній послідовності, називається незворотнім. Усі реальні процеси необоротні.

Приклади незворотних процесів: дифузія, теплопровідність, в'язкий перебіг. Майже всі реальні процеси в природі є незворотними: це і згасання маятника, і еволюція зірки, і людське життя. Необоротність процесів у природі хіба що задає напрямок на осі часу від минулого до майбутнього. Ця властивість часу англійський фізикта астроном А. Еддінгтон образно назвав «стрілою часу».

Чому ж, незважаючи на оборотність поведінки однієї частинки, ансамбль з великої кількості таких частинок поводиться незворотно? У чому природа незворотності? Як довести незворотність реальних процесів, спираючись на закони механіки Ньютона? Ці та інші аналогічні питання хвилювали уми найвидатніших учених XVIII–XIX ст.

Другий початок термодинаміки встановлює право ність всіх процесів в ізольованих системах. Хоча Загальна кількістьенергії в ізольованій системі зберігається, її якісний склад змінюється необоротно.

1. У формулюванні Кельвіна друге початок таке: «Неможливий процес, єдиний результат якого полягав у поглинанні теплоти від нагрівача та повного перетворення цієї теплоти на роботу».

2. В іншому формулюванні: "Теплота мимоволі може переходити тільки від більш нагрітого тіла до менш нагрітого".

3. Третє формулювання: "Ентропія в замкнутій системі може тільки збільшуватися".

Другий початок термодинаміки забороняє існування вічного двигунадругого роду , тобто машини, здатної виконувати роботу за рахунок перенесення тепла від холодного тіла до гарячого. Другий закон термодинаміки вказує на існування двох різних форм енергії – теплоти як заходи хаотичного руху частинок та роботи, пов'язаної з упорядкованим рухом. Роботу завжди можна перетворити на еквівалентне їй тепло, але тепло не можна повністю перетворити на роботу. Таким чином, невпорядковану форму енергії не можна без будь-яких додаткових дій перетворити на впорядковану.

Повне перетворення механічної роботив теплоту ми робимо щоразу, натискаючи на гальмо педаль в автомобілі. А ось без будь-яких додаткових дій у замкнутому циклі роботи двигуна перевести всю теплоту в роботу не можна. Частина теплової енергії неминуче витрачається на нагрівання двигуна, плюс поршень, що рухається, постійно здійснює роботу проти сил тертя (на це теж витрачається запас механічної енергії).

Але сенс другого початку термодинаміки виявився ще глибшим.

Ще одним формулюванням другого початку термодинаміки є таке твердження: ентропія замкнутої системи є незнищувальною функцією, тобто за будь-якого реального процесу вона або зростає, або залишається незмінною.

Поняття ентропії, введене в термодинаміку Р. Клаузіусом, мало спочатку штучний характер. Видатний французький учений А. Пуанкаре писав із цього приводу: «Ентропія видається дещо таємничою в тому сенсі, що величина ця недоступна жодному з наших почуттів, хоч і має дійсною властивістюфізичних величин, оскільки, по крайнього заходу у принципі, цілком піддається виміру».

За визначенням Клаузіуса, ентропією називається така фізична величина, збільшення якої дорівнює кількості тепла отриманому системою, поділеному на абсолютну температуру:

Відповідно до другого закону термодинаміки в ізольованих системах, тобто системах, що не обмінюються з довкілляменергією, невпорядкований стан (хаос) не може самостійно перейти до ладу. Таким чином, в ізольованих системах ентропія може лише зростати. Ця закономірність отримала назву принципу зростання ентропії. Відповідно до цього принципу, будь-яка система прагне стану термодинамічного рівноваги, яке ототожнюється з хаосом. Оскільки збільшення ентропії характеризує зміни у часі замкнутих систем, то ентропія виступає як своєрідна стріли часу.

Стан із максимальною ентропією ми назвали невпорядкованим, а з малою ентропією – упорядкованим. Статистична система, якщо вона надана самій собі, переходить із впорядкованого в невпорядкований стан з максимальною ентропією, що відповідає даним зовнішнім та внутрішнім параметрам (тиск, об'єм, температура, кількість частинок тощо).

Людвіг Больцман пов'язав поняття ентропії з поняттям термодинамічної ймовірності: Таким чином, будь-яка ізольована система, надана сама собі, з часом переходить від стану впорядкованості в стан максимального безладдя (хаосу).

З цього принципу випливає песимістична гіпотеза про теплової смерті Всесвіту,сформульована Р. Клаузіусом та У. Кельвіном, відповідно до якої:

· енергія Всесвіту завжди постійна;

· Ентропія Всесвіту завжди зростає.

Таким чином, усі процеси у Всесвіті спрямовані у бік досягнення стану термодинамічної рівноваги, що відповідає стану найбільшого хаосута дезорганізації. Всі види енергії деградують, перетворившись на тепло, і зірки закінчать своє існування, віддавши енергію в навколишній простір. Встановиться постійна температура лише на наскільки градусів вище абсолютного нуля. У цьому просторі будуть розкидані мляві, охололі планети та зірки. Не буде нічого – ні джерел енергії, ні життя.

Така похмура перспектива передбачалася фізикою аж до 60-х років ХХ століття, хоча висновки термодинаміки суперечили результатам досліджень у біології та соціальних науках. Так, еволюційна теоріяДарвіна свідчила, що жива природарозвивається переважно у напрямі удосконалення та ускладнення нових видів рослин та тварин. Історія, соціологія, економіка, інші соціальні та гуманітарні науки так само показували, що в суспільстві, незважаючи на окремі зигзаги розвитку, загалом спостерігається прогрес.

Досвід і практична діяльністьсвідчили, що поняття закритої або ізольованої системи є досить грубою абстракцією, що спрощує дійсність, оскільки в природі важко знайти системи, які не взаємодіють із навколишнім середовищем. Суперечність почала вирішуватися, коли в термодинаміці замість поняття закритої ізольованої системи ввели фундаментальне поняття відкритої системи, тобто системи, що обмінюється з навколишнім середовищем речовиною, енергією та інформацією.

Класична та квантова статистична фізика. Висновок співвідношення Гіббса. Термодинамічні засади. Теорема Ліувіля та кінетичні рівняння Больцмана та Циглера. Методи статистичної фізики у гетерогенних середовищах.

1. Висновок співвідношення Гіббса

Вступні зауваження . Центральне місце у механіці гетерогенних середовищ посідає висновок визначальних рівнянь. Саме визначальні рівняння містять у собі специфікацію, що дозволяє розрізняти середовища з різними механічними властивостями. Існують різні способи виведення визначальних рівнянь як суворі на основі методів опосередкування, так і евристичні. Найбільш поширеним методом є поєднання уявних експериментомз урахуванням термодинамічних засад. Обидва ці підходи є феноменологічними, хоча термодинамічний метод глибоко опрацьовано і ґрунтується на фундаментальних фізичних законах. Очевидно, що феноменологічний висновок визначальних співвідношень потребує обґрунтування, виходячи із загальних фізичних принципів, зокрема з використанням статистичних методів.

Статистична фізика вивчає системи, що складаються з величезної кількості однакових чи близьких за складом елементів (атомів, молекул, іонів, субмолекулярних структур тощо). У механіці гетерогенних середовищ такими елементами є мікронеоднорідності (пори, тріщини, зерна тощо). Дослідження їх детермінованими методами практично неможливе. У той самий час дуже багато цих елементів допускає прояв статистичних закономірностей і вивчення цієї системи статистичними способами.

В основі статистичних методів лежать поняття основної системи та підсистеми. Основна система (термостат) значно більша за підсистему, але обидві вони перебувають у стані термодинамічної рівноваги. Об'єктом дослідження в статистичній фізиці є саме підсистема, яка в механіці суцільного середовища ототожнюється з елементарним об'ємом, а в механіці гетерогенного середовища з об'ємом фаз в елементарному обсязі.

В основі методу Гіббса у статистичній фізиці лежить поняття фазового простору та траєкторії у фазовому просторі. Фазовий простір являє собою топологічний добуток координатного та імпульсного просторів кожної частинки складової підсистему. Траєкторії у фазовому просторі містить багато зайвої інформації, наприклад, початкові значеннята відомості про граничні умови, коли траєкторія виходить на кордон. При описі однієї єдиної траєкторії у фазовому просторі зазвичай використовується ергодична гіпотеза (або деякий її сурогат, який дещо видозмінює її, зате піддається суворому доказу). Тонкості докази ергодичної гіпотези немає значення, і тому ми ними не зупиняємося. Вона дозволяє одну траєкторію замінити цілим ансамблем станів. Еквівалентний опис за допомогою ансамблю станів дозволяє позбавитися вказаної зайвої інформації. Ансамбль станів допускає просту та прозору інтерпретацію. Його можна уявити як деякий фіктивний газ у фазовому просторі, який описується за допомогою рівняння переносу.

Статистичний підхід включає два рівні дослідження – квантовий і класичний. Кожна мікроскопічна неоднорідність гетерогенного середовища описується механікою суцільного середовища як деяке однорідне гомогенне тіло. Передбачається, що з дослідженні механічних і термодинамічних властивостей цих неоднорідностей вже було використано теорія квантової статистичної фізики. Коли ми виробляємо опосередкування по випадковим неоднорідностям у гетерогенному середовищі, то зазначені неоднорідності ми розглядаємо як класичні випадкові об'єкти. Хід міркувань у квантовій та класичній статистичній фізиці дуже схожий, хоча він і має деякі відмінності. У квантовій статистиці фазовий обсяг набуває дискретних значень. Однак це не єдина відмінність. У квантовій статистиці фіктивний газ стискається і піддається лише перенесенню. У класичній статистиці у рівнянні перенесення фігурує член, який описує дисипативні на молекулярному рівні. Формально він виглядає як джерело. Дивергентний вид цього джерела дозволяє зберегти повну масу фіктивного газу, але допускає його локальне зникнення та появу. Цей процес нагадує дифузію у фіктивному фазовому просторі.

Далі з урахуванням класичної статистики надалі викладається власне термодинаміка, зокрема і термодинаміка незворотних процесів. Вводяться поняття термодинамічних функцій, з яких виводяться визначальні рівняння. Пороупругие середовища включають консервативні і диссипативні процеси. У скелеті відбуваються оборотні пружні деформації, які є консервативну термодинамическую систему, а диссипативные процеси відбуваються у флюїді. У пов'язкому середовищі обидві фази (скелетна та флюїдна) є дисипативними.

Мікропроцеси та макропроцеси . У гетерогенних середовищах підсистемою є елементарний обсяг, який задовольняє постулат гетерогенних середовищ. Зокрема він задовольняє умову локальної статистичної однорідності та локальної термодинамічної рівноваги. Відповідно всі об'єкти та процеси розрізняються за своїми масштабами на мікропроцеси та макропроцеси. Описуватимемо макропроцеси за допомогою узагальнених координат узагальнених сил . Тут нижні індекси означають як векторні і тензорні індекси, а й різні величини (зокрема і величини з різною тензорной розмірністю). При розгляді мікропроцесів будемо користуватися узагальненими координатамиі узагальненими швидкостями. Ці координати описують рух великих молекул, їх асоціацій та неоднорідностей, що розглядаються як класичні об'єкти. Фазовий простір підсистеми утворений координатами та швидкостями всіх частинок складових цей елементарний обсяг.

Слід зазначити, що у квантовій механіці природа частинок суворо встановлена. Число частинок звичайно, а закони їхнього руху відомі і однакові для кожного сорту частинок. Зовсім інша ситуація виникає у механіці гетерогенних середовищ. Зазвичай, маємо виведені феноменологическими методами визначальні співвідношення кожної з фаз. Загальні визначальні співвідношення для всього елементарного обсягу макрорівні зазвичай є предметом дослідження. Тому взаємодія елементів на мікрорівні в гетерогенних середовищах не піддається стандартним методам дослідження.

У зв'язку з цим потрібні нові методи та підходи, які ще до кінця не розроблені. Одним із таких підходів є узагальнення теорії Гіббса, зроблене Циглером. Суть його полягає у певному видозміні рівняння Ліувіля. Більш детально цей підхід буде викладено нижче. Спочатку ми даємо стандартний виклад теорії Гіббса, а потім викладаємо ідеї, які дозволяють узагальнити її.

Енергія системи змінюється за рахунок роботи
на макрорівні, що виражається співвідношенням

. Вона також змінюється за рахунок припливу тепла
, Пов'язаного з рухом молекул. Випишемо перший початок термодинаміки у диференціальній формі

. (1.1)

Описуватимемо мікропроцеси за допомогою рівнянь Лагранжа

, (1.2) де
–функція Лагранжа,- Кінетична, а - потенційна енергія.

Теоретично Гіббса накладаються такі обмеження. Передбачається, що потенційна енергія залежить мікрокоординат та макрокоординат, а кінетична енергія – лише від мікрокоординат та їх швидкостей. За таких умов функція Лагранжа не залежить від часу та від макрошвидкостей.

.

Підхід, заснований на рівняннях руху у формі Лагранжа (1.2), можна замінити еквівалентним гамільтоновим формалізмом, вводячи узагальнені імпульси. для мікрокоординат

,
, і функцію Гамільтона
що має сенс повної енергії частки. Випишемо збільшення функції Гамільтона

Через визначення імпульсів і рівнянь руху Лагранжа цей вираз перетворюється

, (1.2) звідки слідують рівняння руху Гамільтона

,
. (1.3a) де
має сенс енергії системи, а також додаткову тотожність рас

. (1.3b)

Тут слід зауважити, що функції Лагранжа та Гамільтона виражені через різні аргументи. Тому остання тотожність має зовсім тривіальний сенс. Випишемо диференціальний вираз (1.2) для однієї частки вздовж її траєкторії

.

За допомогою (1.3) перетворимо цей вираз

.

Отже, енергія частки залежить лише від узагальнених макрокоординатів. Якщо вони з часом не змінюються, енергія зберігається.

Статистичний метод опису системи . Недолік інформації про початкові умови для системи (1.3) та її поведінку на межі тіла можна подолати, якщо скористатися статистичним підходом до дослідження цієї системи. Нехай ця механічна система має ступенів свободи, пов'язаних із мікроскопічними змінними. Іншими словами, положення всіх точок у звичайному тривимірному просторіхарактеризується узагальненими координатами(
). Розглянемо фазовий простір більшої кількості змінних
. Фазовий стан характеризується точкою з координатами
в
-мірному евклідовому просторі. На практиці ми завжди досліджуємо якийсь конкретний об'єкт, який є частиною деякої великої (порівняно з цим об'єктом) системи ( зовнішнім середовищем ). Цей об'єкт зазвичай взаємодіє із зовнішнім середовищем. Тому надалі ми говоритимемо про підсистемі(яка займає частину фазового простору), що взаємодіє з системою (що займає весь фазовий простір).

При рух у
-мірному просторі єдина траєкторія поступово заповнює весь цей фазовий простір. Покладемо
і позначимо за допомогою
ту частину обсягу фазового простору, в якому дана підсистемапроводить "майже весь час". Тут мають на увазі той час, протягом якого підсистема перебуває у квазиравновесном стані. За досить тривалий проміжок часу фазова траєкторія багато разів пройде через цю ділянку фазового простору. Приймемо ергодичну гіпотезу, згідно з якою замість однієї точки, що рухається, у фазовому просторі можна розглядати безліч точок, що утворюють статистичний ансамбль. Переходячи до нескінченно малого елементарного фазового об'єму

, введемо безперервну функцію розподілу за допомогою співвідношення

. Тут - Число точок в елементі фазового об'єму
,
– повне числоточок у всьому фазовому просторі, - Деякий нормувальний коефіцієнт, який має розмірність дії. Він характеризує статистичний вага обраного елемента обсягу фазового простору. Функція розподілу задовольняє умову нормування

або
. (1.4)

Нехай
– сумарний час, який система проводить у межах елементарного обсягу
, а – повний часрух матеріальної точки за своєю траєкторією. Відповідно до ергодичної гіпотези припустимо, що

. (1.5)

Розмірковуючи суто формально, вважатимуться, що у фазовому просторі є певний фіктивний газ, щільність якого дорівнює щільності числа точок фазового простору. Збереження числа фіктивних молекул газу виражається рівнянням перенесення у фазовому просторі, аналогічним закону збереження маси у звичайному тривимірному просторі. Цей закон збереження називається теоремою Ліувіля

. (1.6)

У силу рівнянь Гамільтона випливає умова стискання фазової рідини.

(1.7)

Введемо конвективну похідну

.

Комбінуючи (1.6) та (1.7), отримуємо рівняння перенесення фазової рідини

або
. (1.8)

З огляду на ергодичної гіпотези щільність числа частинок у фазовому просторі пропорційна щільності ймовірності в ансамблі станів. Тому рівняння (1.8) можна подати у вигляді

. (1.9)

У стані рівноваги при постійних зовнішніх властивостях енергія мікросистеми, представлена ​​гамільтоніаном, зберігається вздовж траєкторії у фазовому просторі. Так само в силу (1.9) зберігається і щільність ймовірності. Звідси випливає, що щільність імовірності є функцією енергії.

. (1.10)

Залежність від легко отримати, якщо помітити, що енергії підсистем складаються, а ймовірності перемножуються. Цій умові задовольняє єдина форма функціональної залежності

. (1.11) Цей розподіл називається канонічним. Тут – постійна Больцмана, величини
і
мають розмірність енергії. Величини
і називаються вільною енергією та температурою.

Визначимо внутрішню енергію як середнє значення істинної енергії

. (1.12)

Підставляючи сюди (1.11), отримуємо

.

Ентропія визначається як

Співвідношення (1.13) запроваджує нове поняття – ентропію. Другий закон термодинаміки говорить, що у нерівноважному стані системи її ентропія прагне зростання, а стан термодинамічного рівноваги ентропія залишається постійної. Комбінуючи (1.12) та (1.13), отримуємо

. (1.14) Співвідношення (1.14) є основою виведення інших термодинамічних функцій, що описують рівноважний стан підсистеми.

Припустимо, що всередині фазового об'єму
даної підсистеми щільність ймовірності майже стала. Інакше кажучи, дана підсистема слабко пов'язані з довкіллям і у стані рівноваги. Для неї справедливе співвідношення

. (1.15) Тут
- Дельта функція.

Такий розподіл називається мікроканонічним на відміну канонічного розподілу (1.11). На перший погляд здається, що обидва розподіли дуже відрізняються і навіть суперечать один одному. Насправді, між ними немає жодної суперечності. Введемо радіус у багатовимірному фазовому просторі дуже великої кількості вимірів. У тонкому еквідистантному (за енергією) сферичному шарі число точок значно перевищує число точок усередині цієї сфери. Саме з цієї причини розподіли (1.11) та (1.15) мало відрізняються один від одного.

Для того, щоб задовольнити останньому співвідношенню (1.4) необхідно, щоб ця щільність ймовірності дорівнювала

. (1.16)

Підставимо розподіл (1.11) в останнє співвідношення (1.4)

та продиференціюємо його. Вважаючи, що
є функцією макрокоординат, маємо

,
.

За допомогою (1.14) перетворимо цей вираз

. (1.17a) Тут
- Потік тепла,
– робота зовнішніх сил. Це співвідношення вперше вивів Гіббс і воно носить його ім'я. Для газу воно має особливо простий вигляд

. (1.17b) Тут - Тиск, - Об `єм.

На феноменологічному рівні дається також визначення температури. Зауважимо, що тепловий потік не є диференціалом термодинамічної функції, водночас ентропія є за визначенням. З цієї причини у виразі (1.17) існує інтегруючий множник , Який і називається температурою. Можна взяти деяке робоче тіло (воду або ртуть) та ввести шкалу зміни температури. Таке тіло називається термометром. Запишемо (1.17) у формі

. Температура у цьому співвідношенні є деякою інтенсивною величиною.

Узагальнені сили та усунення є термодинамічно сполученими величинами. Так само температура і ентропія є сполученими величинами, у тому числі одна є узагальненою силою, іншу – узагальненим зміщенням. З (1.17) випливає

. (1.18)

В силу (1.14) для вільної енергіїмаємо аналогічний диференціальний вираз

. (1.19) У цьому співвідношенні температура та ентропія як сполучені величини змінюються місцями, а вираз (1.18) видозмінюється

. (1.20)

Для того, щоб використовувати ці співвідношення, необхідно встановити незалежні визначальні параметри і вирази для термодинамічних функцій.

Для температури можна дати і строгіше визначення. Розглянемо, наприклад, замкнуту (ізольовану) систему, що складається і з двох тіл і перебуває у стані термодинамічної рівноваги. Енергія та ентропія є адитивними величинами
,
. Зауважимо, що ентропія є функцією енергії, тому
. У рівноважному стані ентропія є стаціонарною точкоющодо перерозподілу енергії між двома підсистемами, тобто.

.

Звідси безпосередньо випливає

. (1.21)

Похідна ентропія по енергії називається абсолютною температурою (або просто температурою ). Цей факт випливає також безпосередньо (1.17). Співвідношення (1.21) означає щось більше: у стані термодинамічної рівноваги температури тіл дорівнюють

. (1.22)

Термодинаміка та статистична фізика

Методичні вказівки та контрольні завданнядля студентів заочного навчання

Шелкунова З.В., Санєєв Е.Л.

Методичні вказівки та контрольні завдання для студентів заочного навчання інженерно-технічних та технологічних спеціальностей. Містять розділи програм ”Статистична фізика”, ”Термодинаміка”, приклади вирішення типових завдань та варіанти контрольних завдань.

Ключові слова: Внутрішня енергія, теплота, робота; ізопроцеси, ентропія: функції розподілу: Максвелла, Больцмана, Бозе - Ейнштейна; Фермі - Дірака; Енергія Фермі, теплоємність, характеристична температура Ейнштейна та Дебая.

Редактор Т.Ю.Артюніна

Підготовлено до друку м. Формат 6080 1/16

Усл.п.л. ; уч.-вид.л. 3,0; Тираж ____ екз. Замовлення №.

___________________________________________________

РІО ВСДТУ, Улан-Уде, Ключевська, 40а

Надруковано на ротапринті ВСГТУ, Улан-Уде,

Ключевська, 42.

Федеральне агентство з освіти

Східно-Сибірський державний

технологічний університет

ФІЗИКА №4

(Термодинаміка та статистична фізика)

Методичні вказівки та контрольні завдання

для студентів заочного навчання

Упорядник: Шелкунова З.В.

Санєєв Е.Л.

Видавництво ВСДТУ

Улан-Уде, 2009

Статистична фізика та термодинаміка

Тема 1

Динамічні та статистичні закономірності у фізиці. Термодинамічний та статистичний методи. Елементи молекулярно-кінетичної теорії Макроскопічний стан. Фізичні величини та стани фізичних систем. Макроскопічні параметри середні значення. Теплова рівновага. Модель ідеального газу. Зрівняння стану ідеального газу. Концепція температури.

Тема 2

Явлення перенесення. Дифузія. Теплопровідність. Коефіцієнт дифузії. Коефіцієнт теплопровідності. Температуропровідність. Дифузія в газах, рідинах та твердих тілах. В'язкість. Коефіцієнт в'язкості газів та рідин.

Тема 3

Елементи термодинаміки. Перший початок термодинаміки. Внутрішня енергія. Інтенсивні та екстенсивні параметри.

Тема 4

Зворотні та незворотні процеси. Ентропія. Другий початок термодинаміки. Термодинамічні потенціали та умови рівноваги. Хімічний потенціал Умови хімічної рівноваги. Цикл Карно.

Тема 5

Функції розподілу. Мікроскопічні характеристики. Імовірність та флуктуації. Розподіл Максвелла. Середня кінетична енергія частки. Розподіл Больцмана. Теплоємність багатоатомних газів. Обмеженість класичної теорії теплоємності.

Тема 6

Розподіл Гіббса. Модель системи у термостаті. Канонічне розподілення Гіббса. Статистичний зміст термодинамічних потенціалів та температури. Роль вільної енергії.

Тема 7

Розподіл Гіббса для системи із змінним числом частинок. Ентропія та ймовірність. Визначення ентропії рівноважної системи через статистичний вага мікростану.

Тема 8

Функції розподілу Бозе та Фермі. Формула Планка для теплового випромінювання. Порядок і безладдя у природі. Ентропія як кількісна міра хаотичності. Принцип зростання ентропії. Перехід від порядку до безладдя про стан теплової рівноваги.

Тема 9

Експериментальні методи дослідження коливального спектра кристалів. Концепція фонони. Закони дисперсії для акустичних та оптичних фононів. Теплоємність кристалів при низьких та високих температурах. Електронні теплоємність та теплопровідність.

Тема 10

Електрони у кристалах. Наближення сильного та слабкого зв'язку. Модель вільних електронів. Рівень фермі. Елементи зонної теорії кристалів. Функція Блоха. Зонна структура енергетичного діапазону електронів.

Тема 11

Поверхня фермі. Число та щільність числа електронних станів у зоні. Заповнення зон: метали, діелектрики та напівпровідники. Електропровідність напівпровідників. Поняття про діркову провідність. Власні та домішкові напівпровідники. Поняття про p-n переході. транзистор.

Тема 12

Електропровідність металів. Носії струму у металах. Недостатність класичної електронної теорії. Електронний фермі-газ у металі. Носії струму як квазічастинки. Явище надпровідності. Куперівське спарювання електронів. Тунельний контакт. Ефект Джозефсона та його застосування. Захоплення та квантування магнітного потоку. Поняття про високотемпературну провідність.

СТАТИСТИЧНА ФІЗИКА. ТЕРМОДИНАМІКА

Основні формули

1. Кількість речовини однорідного газу (у молях):

де N-Кількість молекул газу; N A- Число Авогадро; m-Маса газу; -молярна маса газу.

Якщо система є сумішшю декількох газів, то кількість речовини системи

,

,

де  i , N i , m i ,  i - відповідно кількість речовини, число молекул, маса, молярна маса i-ї компоненти суміші.

2. Рівняння Клапейрона-Менделєєва (рівняння стану ідеального газу):

де m- Маса газу;  - молярна маса; R- Універсальна газова постійна;  = m/ - кількість речовини; T-Термодинамічна температура Кельвіна.

3. Досвідчені газові закони, які є окремими випадками рівняння Клапейрона-Менделєєва для ізопроцесів:

закон Бойля-Маріотта

(Ізотермічний процес - Т= Const; m = const):

або для двох станів газу:

де p 1 і V 1 - тиск та обсяг газу в початковому стані; p 2 та V 2

закон Гей-Люссака (ізобаричний процес - p = const, m = const):

або для двох станів:

де V 1 і Т 1 - обсяг та температура газу в початковому стані; V 2 і Т 2 - Ті самі величини в кінцевому стані;

закон Шарля (ізохоричний процес - V=const, m=const):

або для двох станів:

де р 1 і Т 1 - тиск та температура газу в початковому стані; р 2 і Т 2 - Ті самі величини в кінцевому стані;

об'єднаний газовий закон ( m=const):

де р 1 , V 1 , Т 1 - тиск, обсяг та температура газу в початковому стані; р 2 , V 2 , Т 2 - Ті самі величини в кінцевому стані.

4. Закон Дальтона, що визначає тиск суміші газів:

р = р 1 + р 2 + ... +р n

де p i - парціальний тисккомпонент суміші; n- Число компонентів суміші.

5. Молярна маса суміші газів:

де m i- Маса i-го компонента суміші;  i = m i / i- кількість речовини i-го компонента суміші; n- Число компонентів суміші.

6. Масова частка  i i-го компонента суміші газу (у частках одиниці або відсотках):

де m- Маса суміші.

7. Концентрація молекул (число молекул в одиниці об'єму):

де N-число молекул, які у цій системі;  – щільність речовини. Формула справедлива як для газів, але й будь-якого агрегатного стану речовини.

8. Основне рівняння кінетичної теорії газів:

,

де<>- Середня кінетична енергія поступального руху молекули.

9. Середня кінетична енергія поступального руху молекули:

,

де k- Постійна Больцмана.

10. Середня повна кінетична енергія молекули:

де i- Число ступенів свободи молекули.

11. Залежність тиску газу від концентрації молекул та температури:

p = nkT.

12. Швидкості молекул:

середня квадратична ;

середня арифметична ;

найімовірніша ,

Статистична фізика займає чільне місце в сучасній науціі заслуговує на спеціальний розгляд. Вона визначає освіту з рухів частинок параметрів макросистем. Наприклад, такі термодинамічні параметри, як температура та тиск, зводяться до імпульсноенергетичних ознак молекул. Робить вона за допомогою завдання деякого ймовірнісного розподілу. Прикметник «статистична» походить від латинському слову status(Руське - стан). Одного цього слова замало висловлювання специфіки статистичної фізики. Справді, будь-яка фізична наукавивчає стани фізичних процесівта тел. Статистична ж фізика має справу з ансамблем станів. Ансамбль у цьому випадку передбачає безліч станів, але з будь-яких, а що співвідносяться з одним і тим самим сукупним станом, що має інтегративними ознаками. Таким чином, статистична фізика включає ієрархію двох рівнів, які часто називають мікроскопічним та макроскопічним. Відповідно в ній розглядається співвідношення мікро- та макростанів. Згадані вище інтегративні ознаки конституюються лише у випадку, якщо кількість мікростанів досить велика. Для конкретних станів воно має нижню і верхню межу, визначення яких є спеціальним завданням.

Як зазначалося, характерна рисастатистичного підходу полягає у необхідності звернення до поняття ймовірності. За допомогою функцій розподілу розраховуються статистичні середні значення ( математичні очікування) тих чи інших ознак, які притаманні, за визначенням, як мікро-, так і макрорівнем. Зв'язок між двома рівнями набуває особливо виразного вигляду. Імовірнісною мірою макростанів виявляється ентропія ( S). Відповідно до формулі Больцмана, вона прямо пропорційна статистичної ваги, тобто. числу способів здійснення даного макроскопічного стану ( Р):

Найбільшою ж ентропія є стан рівноваги статистичної системи.

Статистичний проект було розроблено у межах класичної фізики. Здавалося, що він не застосовується у квантовій фізиці. Насправді ж ситуація виявилася принципово іншою: у квантовій області статистична фізика не обмежується класичними уявленнями і набуває більш універсального характеру. Але сам зміст статистичного методу суттєво уточнюється.

Вирішальне значення для доль статистичного методу квантової фізики має характер хвильової функції. Вона визначає не величини фізичних параметрів, а імовірнісний закон їхнього розподілу. Це означає, що виконано головне умова статистичної фізики, тобто. завдання ймовірнісного розподілу. Його наявність є необхідною і, мабуть, достатньою умовоюуспішного поширення статистичного підходу протягом усього сферу квантової фізики.

У сфері класичної фізики здавалося, що статистичний підхід не є обов'язковим, а якщо він використовується, то лише у зв'язку з тимчасовою відсутністю методів, по-справжньому адекватних природі фізичних процесів. Динамічні закони, з яких здійснюється однозначна передбачуваність, актуальніше статистичних закономірностей.

Майбутня фізика мовляв, дозволить пояснити статистичні закони за допомогою динамічних. Але розвиток квантової фізики зробив ученим явний сюрприз.

Насправді з'ясувалося першість динамічних, а статистичних законів. Саме статистичні закономірності дозволили пояснити динамічні закони. Так званий однозначний опис є просто фіксацією подій, що відбуваються з найбільшою ймовірністю. Актуальним є не однозначний лапласовський, а імовірнісний детермінізм (див. парадокс 4 з параграфа 2.8).

Квантова фізикапо суті є статистичної теорією. Ця обставина свідчить про неминуче значення статистичної фізики. У класичної фізикистатистичний підхід не потребує вирішення рівнянь руху. Тому складається враження, що він по суті своїй не динамічний, а феноменологічний. Теорія відповідає питанням «Як відбуваються процеси?», але не питанням «Чому вони відбуваються саме так, а чи не інакше?». Квантова фізика надає статистичного підходу динамічного характеру, феноменологія набуває вторинного характеру.

Методи Освіта Про цей сайт Бібліотека Мат. форуми

Бібліотека > Книги з фізики > Статистична фізика

Пошук у бібліотеці з авторів та ключовим словамз назви книги:

Статистична фізика

• Айзеншиц Р. Статистична теорія незворотних процесів. М: Вид. Іностр. літ., 1963 (djvu)
• Анзельм А.І. Основи статистичної фізики та термодинаміки. М: Наука, 1973 (djvu)
• Ахієзер А.І., Пелетмінський С.В. Методи статистичної фізики. М: Наука, 1977 (djvu)
• Базаров І.П. Методологічні проблемистатистичної фізики та термодинаміки. М: Вид-во МДУ, 1979 (djvu)
• Боголюбов Н.М. Вибрані праці із статистичної фізики. М: Вид-во МДУ, 1979 (djvu)
• Боголюбов Н.М. (Мл.), Садовніков Б.І. Деякі питання статистичної механіки. М: Вища. шк., 1975 (djvu)
• Бонч-Бруєвич В.Л., Тябліков С.В. Метод функцій Гріна у статистичній механіці. М.: Фізматліт, 1961 (djvu, 2.61Mb)
• Васильєв А.М. Введення у статистичну фізику. М: Вища. школа, 1980 (djvu)
• Власов А.А. Нелокальна статистична механіка М: Наука, 1978 (djvu)
• Гіббс Дж.В. Основні принципи статистичної механіки (викладені із спеціальним застосуванням до раціонального обґрунтування термодинаміки). М.-Л.: ОГІЗ, 1946 (djvu)
• Гуров К.П. Підстави кінетичної теорії. Метод М.М. Боголюбова. М: Наука, 1966 (djvu)
• Заславський Г.М. Статистична незворотність у нелінійних системах. М: Наука, 1970 (djvu)
• Захаров О.Ю. Ґратові моделі статистичної фізики. Великий Новгород: НовДУ, 2006 (pdf)
• Захаров О.Ю. Функціональні методи у класичній статистичній фізиці. Великий Новгород: НовДУ, 2006 (pdf)
• Йос Г. Курс теоретичної фізики. Частина 2. Термодинаміка. Статистична фізика. Квантова теорія. Ядерна фізика. М: Просвітництво, 1964 (djvu)
• Ісіхара А. Статистична фізика. М: Світ, 1973 (djvu)
• Каданов Л., Бейм Р. Квантова статистична механіка. Методи функцій Гріна в теорії рівноважних та нерівноважних процесів. М: Мир, 1964 (djvu)
• Кац М. Імовірність та суміжні питання у фізиці. М: Світ, 1965 (djvu)
• Кац М. Кілька ймовірнісних завдань фізики та математики. М: Наука, 1967 (djvu)
• Кіттел Ч. Елементарна статистична фізика. М: ІЛ, 1960 (djvu)
• Кіттель Ч. Статистична термодинаміка. М: Наука, 1977 (djvu)
• Козлов В.В. Теплова рівновага за Гіббсом і Пуанкаре. Москва-Іжевськ: Інститут комп'ютерних досліджень, 2002 (djvu)
• Компанеєць О.С. Закони фізичної статистики Ударні хвилі. Надщільна речовина. М: Наука, 1976 (djvu)
• Компанеєць О.С. Курс теоретичної фізики. 2. Статистичні закони. М: Просвітництво, 1975 (djvu)
• Коткін Г.Л. Лекції зі статистичної фізики, НГУ (pdf)
• Крилов Н.С. Роботи з обґрунтування статистичної фізики. М.-Л.: Из-во АН СРСР, 1950 (djvu)
• Кубо Р. Статистична механіка. М: Світ, 1967 (djvu)
• Ландсберг П. (ред.) Завдання з термодинаміки та статистичної фізики. М: Світ, 1974 (djvu)
• Левіч В.Г. Введення в статистичну фізику (2-ге вид.) М: ГІТТЛ, 1954 (djvu)
• Лібов Р. Введення в теорію кінетичних рівнянь. М: Світ, 1974 (djvu)
• Майєр Дж., Гепперт-Майєр М. Статистична механіка. М: Світ, 1980 (djvu)
• Мінлос Р.А. (Ред.) Математика. Нове у зарубіжній науці-11. Гіббсовсіє стану в статистичній фізиці. Збірник статей. М: Світ, 1978 (djvu)
• Ноздрьов В.Ф., Сенкевич А.А. Курс статистичної фізики. М: Вища. школа, 1965 (djvu)
• Пригожин І. Нерівноважна статистична механіка. М: Мир, 1964 (djvu)
• Радушкевич Л.В. Курс статистичної фізики (2-ге вид.) М.: Просвітництво, 1966 (djvu)
• Рейф Ф. Берклеєвський курс фізики. 5. Статистична фізика. М: Наука, 1972 (djvu)
• Румер Ю.Б., Ривкін М.Ш. Термодинаміка, статистична фізика та кінетика. М: Наука, 1972 (djvu)
• Румер Ю.Б., Ривкін М.Ш. Термодинаміка статистична фізика та кінетика (2-ге вид.). М: Наука, 1977 (djvu)
• Рюель Д. Статистична механіка. М: Світ, 1971 (djvu)
• Савуков В.В. Уточнення аксіоматичних засад статистичної фізики. СПб.: Балт. держ. техн. унів. "Воєнмех", 2006