Кут вертикальні та суміжні кути їх властивості. Кут

РОЗДІЛ I.

ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ.

§11. СМІЖНІ І ВЕРТИКАЛЬНІ КУТИ.

1. Суміжні кути.

Якщо ми продовжимо бік якогось кута за його вершину, то отримаємо два кути (чорт. 72): / А ВС та / СВD, у яких одна сторона ВС загальна, а дві інші АВ і ВD становлять пряму лінію.

Два кути, у яких одна сторона загальна, а дві інші становлять пряму лінію, називаються суміжними кутами.

Суміжні кути можна отримати і таким чином: якщо з якоїсь точки прямий проведемо промінь (що не лежить на цій прямій), то отримаємо суміжні кути.
Наприклад, / АDF та / FDВ - кути суміжні (чорт. 73).

Сумежні кути можуть мати найрізноманітніші положення (чорт. 74).

Суміжні кути в сумі складають розгорнутий кут, тому з умма двох суміжних кутівдорівнює 2d.

Звідси прямий кут можна визначити як кут, що дорівнює своєму суміжному куту.

Знаючи величину одного із суміжних кутів, ми можемо знайти величину іншого суміжного з ним кута.

Наприклад, якщо один із суміжних кутів дорівнює 3/5 d, то другий кут дорівнюватиме:

2d- 3 / 5 d= l 2 / 5 d.

2. Вертикальні кути.

Якщо ми продовжимо сторони кута за його вершину, то отримаємо вертикальні кути. На кресленні 75 кути EOF і АОС-вертикальні; кути АОЕ та СОF - також вертикальні.

Два кути називаються вертикальними, якщо сторони одного кута є продовження сторін другого кута.

Нехай / 1 = 7 / 8 d(чорт. 76). Сумежний із ним / 2 дорівнюватиме 2 d- 7 / 8 d, Т. е. 1 1 / 8 d.

Так само можна обчислити, чому рівні / 3 та / 4.
/ 3 = 2d - 1 1 / 8 d = 7 / 8 d; / 4 = 2d - 7 / 8 d = 1 1 / 8 d(чорт. 77).

Ми бачимо, що / 1 = / 3 та / 2 = / 4.

Можна вирішити ще кілька таких самих завдань, і щоразу виходитиме той самий результат: вертикальні кути рівні між собою.

Проте, щоб переконатися, що вертикальні кути завжди рівні між собою, недостатньо розглянути окремі числові прикладиОскільки висновки, зроблені на основі приватних прикладів, іноді можуть бути і помилковими.

Переконатися у справедливості якості вертикальних кутів потрібно шляхом міркування, шляхом підтвердження.

Доказ можна провести в такий спосіб (чорт. 78):

/ a +/ c = 2d;
/ b +/ c = 2d;

(оскільки сума суміжних кутів дорівнює 2 d).

/ a +/ c = / b +/ c

(так як і ліва частина цієї рівності дорівнює 2 d, і права його частина теж дорівнює 2 d).

У цю рівність входить той самий кут з.

Якщо ми від рівних величинзаберемо порівну, то й залишиться порівну. В результаті вийде: / a = / b, Тобто вертикальні кути рівні між собою.

При розгляді питання про вертикальні кути ми спочатку пояснили, які кути називаються вертикальними, тобто дали визначеннявертикальних кутів.

Потім ми висловили судження (ствердження) про рівність вертикальних кутів і в справедливості цієї думки переконалися шляхом доказу. Такі судження, справедливість яких треба доводити, називаються теоремами. Таким чином, у даному параграфі ми дали визначення вертикальних кутів, а також висловили та довели теорему про їхню властивість.

Надалі щодо геометрії нам завжди доведеться зустрічатися з визначеннями і доказами теорем.

3. Сума кутів, що мають загальну вершину.

На кресленні 79 / 1, / 2, / 3 та / 4 розташовані по одну сторону прямої і мають загальну вершину на цій прямій. У сумі ці кути становлять розгорнутий кут, тобто.
/ 1+ / 2+/ 3+ / 4 = 2d.

На кресленні 80 / 1, / 2, / 3, / 4 та / 5 мають загальну вершину. У сумі ці кути становлять повний кут, тобто. / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4d.

Вправи.

1. Один із суміжних кутів дорівнює 0,72 d.Обчислити кут, складений бісектрисами цих суміжних кутів.

2. Довести, що бісектриси двох суміжних кутів утворюють прямий кут.

3. Довести, що якщо два кути рівні, то рівні та їх суміжні кути.

4. Скільки пар суміжних кутів на кресленні 81?

5. Чи може пара суміжних кутів складатися із двох гострих кутів? із двох тупих кутів? з прямого та тупого кута? з прямого та гострого кута?

6. Якщо один із суміжних кутів прямий, то що можна сказати про величину суміжного з ним кута?

7. Якщо при перетині двох прямих ліній один кут прямий, то що можна сказати про величину решти трьох кутів?

по темі: Суміжні та вертикальні кути, їх властивості.

(3 заняття)

В результаті вивчення теми потрібно:

ВМІТИ:

Поняття: суміжних та вертикальних кутів, перпендикулярних до прямих

Розрізняти поняття суміжні та вертикальні кути

Теореми суміжних та вертикальних кутів

Вирішувати задачі з використанням властивостей суміжних та вертикальних кутів

Властивості суміжних та вертикальних кутів

Будувати суміжні та вертикальні кути, перпендикулярні прямі

ЛІТЕРАТУРА:

1. Геометрія. 7 клас. Ж. Кайдасов, Г. Досмагамбетова, В. Абдієв. Алмати "Мектеп". 2012

2. Геометрія. 7 клас. К.О.Букубаєва, А.Т. Миразова. Алмати «Атамра». 2012

3. Геометрія. 7 клас. Методичний посібник. К.О.Букубаєва. Алмати «Атамра». 2012

4. Геометрія. 7 клас. Дидактичний матеріал. А.Н.Шинибеков. Алмати «Атамра». 2012

5. Геометрія. 7 клас. Збірник завдань та вправ. К.О.Букубаєва, А.Т.Міразова. Алмати «Атамра». 2012

Пам'ятай, що працювати треба за алгоритмом!

Не забувай проходити перевірку, робити позначки на полях,

Будь ласка, не залишай без відповіді, що виникли у тебе питання.

Будь об'єктивним під час взаємоперевірки, це допоможе і тобі, і тому,

кого ти перевіряєш.

БАЖАЮ УСПІХУ!

ЗАВДАННЯ №1.

Прочитай визначення та вивчи (2б):

Визначення. Кути, у яких одна сторона загальна, а дві інші сторони є додатковими променями, називаються суміжними.

2) Вивчи та запиши в зошит теорему: (2б)

Сума суміжних кутів дорівнює 180.

Дано:

∠ АОД та∠ ДОВ-дані суміжні кути

ОД - спільна сторона

Довести:

∠ АОД +∠ ДОВ = 180

Доведення:

На основі аксіомиIII 4:

∠ АОД +∠ ДОВ =∠ АОВ.

∠ АОВ – розгорнутий. Отже,

∠ АОД +∠ ДОВ = 180

Теорему доведено.

3) З теореми випливає: (2б)

1) Якщо два кути рівні, то суміжні з ними кути рівні;

2) якщо суміжні кути рівні, то градусний західкожного їх дорівнює 90°.

Запам'ятай!

Кут, що дорівнює 90°, називається прямим кутом.

Кут, менший за 90°, називається гострим кутом.

Кут, більший за 90° і менший за 180°, називається тупим кутом.

Прямий кут Гострий кут Тупий кут

Оскільки сума суміжних кутів дорівнює 180°, то

1) кут, суміжний із прямим кутом, прямий;

2) кут, суміжний з гострим кутом, тупий;

3) кут, суміжний із тупим кутом, гострий.

4) Розглянь зразок рішення задачі:

а) Дано:∠ hkі∠ kl- суміжні;∠ hkбільше∠ klна 50°.

Знайти:∠ hkі∠ kl.

Рішення: Нехай∠ kl= х, тоді∠ hk= х + 50 °. За якістю сумі суміжних кутів∠ kl + ∠ hk= 180 °.

х + х + 50 ° = 180 °;

2х = 180 ° - 50 °;

2х = 130 °;

х = 65 °.

∠ kl= 65 °;∠ hk= 65 ° + 50 ° = 115 °.

Відповідь: 115 ° і 65 °.

б) Нехай∠ kl= х, тоді∠ hk= 3х

х + 3х = 180 °; 4х = 180 °; х = 45 °;∠ kl= 45 °;∠ hk= 135 °.

Відповідь: 135 ° і 45 °.

5) Робота з визначенням суміжних кутів: (2 б)

6) Знайди помилки у визначеннях: (2б)

Пройди перевірку №1

Завдання №2

1)Побудуй 2 суміжні кути так, щоб їх загальна сторона проходила через точку C і сторона одного з кутів збігалася з променем AB.(2б)

2). Практична роботана відкриття якості суміжних кутів: (5б)

Хід роботи

1. Побудуй кутсуміжний кута , якщоа Осі: гострий, прямий, тупий.

2. Виміряй величини кутів.

3. Дані вимірювань занеси до таблиці.

4. Знайди співвідношення між величинами кутіва і.

5. Зроби висновок про властивість суміжних кутів.

Пройди перевірку №2

Завдання №3

Накресліть нерозгорнутий∠ АОВ і назвіть промені, що є сторонами цього кута.

Проведіть промінь О, який є продовженням променя ОА, і промінь ОД, який є продовженням променя ОВ.

Запишіть у зошиті: кути∠ АОВ та∠ СОД називаються вертикальними. (3б)

Вивчи та запиши в зошит: (4б)

Визначення: Кути, у яких сторони одного з них є додатковими променями іншого, називаютьсявертикальними кутами.

< 1 і<2, <3 и <4 вертикальні кути

ПроменіOFіOA , OCіOEє попарно додатковими променями.

Теорема: Вертикальні кути рівні.

Доведення.

Вертикальні кути утворюються при перетині двох прямих. Нехай прямі а іbперетинаються у точці О.∠ 1 і∠ 2 - вертикальні кути.

∠ АОС-розгорнутий, значить∠ АОС = 180 °. Однак∠ 1+ ∠ 2= ∠ АОС, тобто.

∠ 3+ ∠ 1= 180°, звідси маємо:

∠ 1= 180 - ∠ 3. (1)

Також маємо, що∠ ДОВ = 180 °, звідси∠ 2+ ∠ 3= 180 °, або∠ 2= 180 ° - ∠ 3. (2)

Оскільки у рівностях (1) і (2) прямі частини рівні, то∠ 1= ∠ 2.

Теорему доведено.

5). Робота з визначенням вертикальних кутів: (2б)

6) Знайди помилку у визначенні: (2б).

Пройди перевірку №3

Завдання №4

1) Практична робота на відкриття якості вертикальних кутів: (5б)

Хід роботи:

1.Побудуй кут β вертикальний кутα , якщоα :

гострий, прямий, тупий.

2. Вимір величини кутів.

3. Дані вимірювань занеси до таблиці

4.Знайди співвідношення між величинами кутів α та β.

5. Зроби висновок про властивість вертикальних кутів.

2) Доказ властивостей суміжних та вертикальних кутів. (3б)

2) Розглянь зразок рішення задачі.

Завдання. Прямі АВ і СД перетинаються в точці так, що∠ AOД = 35 °. Знайдіть кути АОС та ВОС.

Рішення:

1) Кути АОД та АОС суміжні, тому∠ BOC= 180 ° - 35 ° = 145 °.

2) Кути АОС та ВОС також суміжні, тому∠ BOC= 180 ° - 145 ° = 35 °.

Значить,∠ BOC = ∠ АОД = 35 °, причому ці кути є вертикальними. Питання: чи правда, що будь-які вертикальні кути рівні?

3) Розв'язання завдань на готових кресленнях: (3б)

1. Знайти кути АОВ, АОD, COD.

3) Знайти кути BOC, FOA.: (3б)

3. Знайди на малюнку суміжні та вертикальні кути. Нехай відомі величини двох кутів, зазначених на кресленні, 28? та 90?. Чи можна знайти величини інших кутів, не виконуючи вимірів (2б)

Пройди перевірку №4

Завдання №5

Перевір свої знання, виконавшиперевірочну роботу №1

Завдання №6

1) Самостійно доведи властивості вертикальних кутів та запиши ці докази у зошит. (3б)

Учні самостійно, використовуючи властивості вертикальних і суміжних кутів, повинні обґрунтувати той факт, що якщо при перетині двох прямих один з кутів прямої, що утворилися, то інші кути також прямі.

2) Розв'яжи на вибір дві задачі:

1. Градусні заходи суміжних кутів відносяться як 7:2. Знайдіть ці кути.(2б)

2.Один із кутів, що утворилися при перетині двох прямих, в 11 разів менший за інший.Знайдіть кожен із кутів.(3б)

3. Знайдіть суміжні кути, якщо їх різниця та їх сума відносяться як 2:9. (3б)

Завдання №7

Молодець! Можеш починати перевірну роботу №2.

Перевірна робота №1.

Виріши на вибір будь-який з варіантів (10б)

Варіант 1

<1 и <2,

<3 и <2,

г)<1 и <3. Какие это углы?

Сумежні

д) Накресліть (на око) кут 30° і< ABC, суміжний з даними

е) Які кути називаються вертикальними?

Два кути називаються вертикальними, якщо орні рівні.

ж) З точки А провести дві прямі, перпендикулярні до прямоїа

Можна провести лише одну пряму.

Варіант 2

1.Учень, відповідаючи на запитання вчителя, дав відповідні відповіді. Перевірте, чи вони вірні, помітивши в третьому стовпчику словом «ТАК», «НІ», «НЕ ЗНАЮ». У випадку «НІ» запишіть там же правильну відповідь або додайте недостатнє.

<1 и <4,

<2 и <4

Д)<1 и < 3 смежные?

Ні. Вони вертикальні

Е) Які прямі називаються перпендикулярними?

Дві прямі називаються перпендикулярними, якщо вони перетинаються під прямим кутом

Ж) Накресліть вертикальні кути так, щоб їхні сторони були прямими перпендикулярними.

2. Назвіть вертикальні кути на цьому малюнку.

Разом: 10 балів

"5"-10балів;

"4"-8-9 балів;

"3"-5-7 балів.

Перевірна робота №2.

Виріши на вибір будь-який варіант

Варіант I

Знайдіть суміжні кути, якщо їхня різниця та їх сума відносяться як 2:9. (4б)

Знайдіть усі нерозгорнуті кути, утворені при перетині двох прямих, якщо один з них на 240°, менший за суму двох інших.(6б)

Варіант ІІ

1) Знайдіть суміжні кути, якщо їхня різниця та їх сума відносяться як 5:8(4б)

2) Знайдіть усі нерозгорнуті кути, утворені при перетині двох прямих, якщо один з них на 60°, більший за суму двох інших.(6б)

Разом: 10 балів

"5"-10балів;

"4"-8-9 балів;

"3"-5-7 балів.

Два кути називаються суміжними, якщо в них одна сторона загальна, інші сторони цих кутів є додатковими променями. На малюнку 20 кути АОВ та ВОС суміжні.

Сума суміжних кутів дорівнює 180 °

Теорема 1. Сума суміжних кутів дорівнює 180 °.

Доведення. Промінь ОВ (див. рис.1) проходить між сторонами розгорнутого кута. Тому ∠ АОВ + ∠ ВОС = 180 °.

З теореми 1 випливає, що якщо два кути дорівнюють, то суміжні з ними кути рівні.

Вертикальні кути рівні

Два кути називаються вертикальними, якщо сторони одного кута є додатковими променями сторін іншого. Кути АОВ та COD, BOD та АОС, утворені при перетині двох прямих, є вертикальними (рис. 2).

Теорема 2. Вертикальні кути рівні.

Доведення. Розглянемо вертикальні кути АОВ та COD (див. рис. 2). Кут BOD є суміжним для кожного з кутів АОВ та COD. По теоремі 1 ∠ АОВ + ∠ BOD = 180 °, ∠ COD + ∠ BOD = 180 °.

Звідси укладаємо, що АОВ = ∠ COD.

Наслідок 1. Кут, суміжний із прямим кутом, є прямий кут.

Розглянемо дві прямі АС, що перетинаються, і BD (рис.3). Вони утворюють чотири кути. Якщо один із них прямий (кут 1 на рис.3), то інші кути також прямі (кути 1 і 2, 1 і 4 - суміжні, кути 1 і 3 - вертикальні). І тут кажуть, що це прямі перетинаються під прямим кутом і називаються перпендикулярними (чи взаємно перпендикулярними). Перпендикулярність прямих АС та BD позначається так: AC ⊥ BD.

Серединним перпендикуляром до відрізка називається пряма, перпендикулярна до цього відрізка і проходить крізь його середину.

АН - перпендикуляр до прямої

Розглянемо пряму а і точку А, яка не лежить на ній (рис.4). З'єднаємо точку А відрізком із точкою Н прямою а. Відрізок АН називається перпендикуляром, проведеним з точки А до прямої а якщо прямі АН і а перпендикулярні. Точка Н називається основою перпендикуляра.

Креслярський косинець

Справедлива наступна теорема.

Теорема 3. З будь-якої точки, що не лежить на прямій, можна провести перпендикуляр до цієї прямої, і до того ж лише один.

Для проведення на кресленні перпендикуляра з точки прямої використовують креслярський косинець (рис.5).

Зауваження. Формулювання теореми зазвичай складається із двох частин. В одній частині йдеться про те, що дано. Ця частина називається умовою теореми. В іншій частині йдеться про те, що має бути доведено. Ця частина називається укладанням теореми. Наприклад, умова теореми 2 – кути вертикальні; висновок – ці кути рівні.

Будь-яку теорему можна докладно висловити словами отже її умова буде починатися словом «якщо», а висновок - словом «то». Наприклад, теорему 2 можна докладно висловити так: «Якщо два кути вертикальні, то вони рівні».

приклад 1.Один із суміжних кутів дорівнює 44°. Чому дорівнює інший?

Рішення. Позначимо градусну міру іншого кута через x тоді відповідно до теореми 1.
44 ° + х = 180 °.
Вирішуючи отримане рівняння, знаходимо, що х = 136 °. Отже, інший кут дорівнює 136 °.

приклад 2.Нехай малюнку 21 кут COD дорівнює 45°. Чому рівні кути АОВ та АОС?

Рішення. Кути COD та АОВ вертикальні, отже, за теоремою 1.2 вони рівні, тобто ∠ АОВ = 45°. Кут АОС суміжний з кутом COD, отже, теорема 1.
∠ АОС = 180 ° - ∠ COD = 180 ° - 45 ° = 135 °.

приклад 3.Знайти суміжні кути, якщо один з них у 3 рази більший за інший.

Рішення. Позначимо градусну міру меншого кута через х. Тоді градусний захід більшого кута буде Зх. Оскільки сума суміжних кутів дорівнює 180° (теорема 1), то х + Зх = 180°, звідки х = 45°.
Значить, суміжні кути дорівнюють 45 ° і 135 °.

приклад 4.Сума двох вертикальних кутів дорівнює 100 °. Знайти величину кожного із чотирьох кутів.

Рішення. Нехай умові задачі відповідає малюнок 2. Вертикальні кути COD до АОВ рівні (теорема 2), отже, рівні їх градусні заходи. Тому ∠ COD = ∠ АОВ = 50° (їх сума за умовою 100°). Кут BOD (також і кут АОС) суміжний з кутом COD, і, отже, теорема 1
∠ BOD = ∠ АОС = 180 ° - 50 ° = 130 °.

На цьому уроці ми розглянемо і усвідомимо собі поняття суміжні кути. Розглянемо теорему, що їх стосується. Введемо поняття «вертикальні кути». Розглянемо опорні факти щодо цих кутів. Далі сформулюємо та доведемо два наслідки про вугілля між бісектрисами вертикальних кутів. Наприкінці заняття розглянемо кілька завдань, присвячених цій темі.

Почнемо наш урок із поняття «суміжні кути». На малюнку 1 зображено розгорнутий кут АВС і промінь ОВ, який ділить даний кут на 2 кути.

Рис. 1. Кут ∠АОС

Розглянемо кути ∠АОВ та ∠ВОС. Цілком очевидно, що вони мають спільну сторону ВО, а сторони АТ та ОС протилежні. Промені ОА та ОС доповнюють один одного, а значить, вони лежать на одній прямій. Кути ∠АОВ та ∠ВОС є суміжними.

Визначення: Якщо два кути мають спільну сторону, а дві інші сторони є променями, що доповнюють, то дані кути називаються суміжними.

Теорема 1: Сума суміжних кутів – 180 о.

Рис. 2. Креслення до теореми 1

∠МОL + ∠LON = 180 o . Це твердження є правильним, оскільки промінь OL ділить розгорнутий кут ∠MON на два суміжні кути. Тобто ми не знаємо градусних заходів жодного із суміжних кутів, а знаємо лише їхню суму – 180 о.

Розглянемо перетин двох прямих. На малюнку зображено перетин двох прямих у точці О.

Рис. 3. Вертикальні кути ∠ВОА та ∠СОD

Визначення: Якщо сторони одного кута є продовженням другого кута, такі кути називаються вертикальними. Саме тому на малюнку зображено дві пари вертикальних кутів: ∠АОВ та ∠СОD, а також ∠AOD та ∠ВОС.

Теорема 2: Вертикальні кути рівні.

Використаємо рисунок 3. Розглянемо розгорнутий кут ∠АОС. ∠АОВ = ∠АОС - ∠ВОС = 180 про - β. Розглянемо розгорнутий кут ∠ВОD. ∠COD = ∠BOD - ∠BОС = 180 про - β.

З цих міркувань робимо висновок, що ∠АОВ = ∠СОD = α. Аналогічно, ∠AOD = ∠ВОС = β.

Наслідок 1: Кут між бісектрисами суміжних кутів дорівнює 90 о.

Рис. 4. Креслення до слідства 1

Оскільки ОL - бісектриса кута ∠ВОА, то кут ∠LOB = , аналогічно ∠ВОК = . ∠LOK = ∠LOB + ∠BOK = + = . Сума кутів α + β дорівнює 180о, оскільки дані кути - суміжні.

Наслідок 2: Кут між бісектрисами вертикальних кутів дорівнює 180 о.

Рис. 5. Креслення до слідства 2

KO - бісектриса ∠AOB, LO - бісектриса ∠COD. Очевидно, що ∠KOL = ∠KOB + ∠BOC + ∠COL = o . Сума кутів α + β дорівнює 180о, оскільки дані кути - суміжні.

Розглянемо деякі завдання:

Знайдіть кут, суміжний із ∠АOС, якщо ∠АOС = 111 о.

Виконаємо креслення до завдання:

Рис. 6. Креслення для прикладу 1

Оскільки ∠АОС = β і ∠СOD = α суміжні кути, то α + β = 180 о. Тобто 111 о + β = 180 о.

Значить, β = 69 о.

Цей тип завдань експлуатує теорему сумі суміжних кутів.

Один із суміжних кутів прямий, яким (гострим, тупим чи прямим) є інший кут?

Якщо один із кутів прямий, а сума двох кутів 180 о, то й інший кут теж прямий. Це завдання перевіряє знання сумі суміжних кутів.

Чи правильно, якщо суміжні кути рівні, всі вони прямі?

Складемо рівняння: α + β = 180 о, але оскільки α = β, то β + β = 180 о, отже, β = 90 о.

Відповідь: Так, твердження вірне.

Дано два рівні кути. Чи правда, що й суміжні їм кути теж будуть рівними?

Рис. 7. Креслення для прикладу 4

Якщо два кути дорівнюють α, то відповідні їм суміжні кути будуть 180 про - α. Тобто вони будуть рівними між собою.

Відповідь: Твердження вірне.

Александров А.Д., Вернер А.Л., Рижик В.І. та ін. Геометрія 7. - М: Просвітництво.
Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. та ін. Геометрія 7. 5-е вид. - М: Просвітництво.
\ Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрія 7/В.Ф. Бутузова, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, за редакцією В.А. Садівничого. - М: Просвітництво, 2010.

Вимірювання відрізків ().
Узагальнюючий урок з геометрії у 7-му класі ().
Пряма лінія, відрізок ().

№ 13, 14. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолова В.В. Геометрія 7/В.Ф. Бутузова, С.Б. Кадомцев, В.В. Прасолова, за редакцією В.А. Садівничого. - М: Просвітництво, 2010.
Знайдіть два суміжні кути, якщо один з них у 4 рази більший за інший.
Даний кут. Побудуйте для нього суміжний та вертикальний кути. Скільки таких кутів можна збудувати?
* У якому випадку виходить більше пар вертикальних кутів: при перетині трьох прямих в одній точці чи трьох точках?

1. Суміжні кути.

Якщо ми продовжимо бік якогось кута за його вершину, то отримаємо два кути (рис. 72): ∠АВС і ∠СВD, у яких одна сторона ВС загальна, а дві інші, АВ та ВD, становлять пряму лінію.

Два кути, у яких одна сторона загальна, а дві інші становлять пряму лінію, називаються суміжними кутами.

Суміжні кути можна отримати і таким чином: якщо з якоїсь точки прямий проведемо промінь (що не лежить на цій прямій), то отримаємо суміжні кути.

Наприклад, ∠АDF та ∠FDВ - кути суміжні (рис. 73).

Сумежні кути можуть мати найрізноманітніші положення (рис. 74).

Суміжні кути в сумі становлять розгорнутий кут, тому сума двох суміжних кутів дорівнює 180 °

Звідси прямий кут можна визначити як кут, що дорівнює своєму суміжному куту.

Знаючи величину одного із суміжних кутів, ми можемо знайти величину іншого суміжного з ним кута.

Наприклад, якщо один із суміжних кутів дорівнює 54°, то другий кут дорівнюватиме:

180 ° - 54 ° = l26 °.

2. Вертикальні кути.

Якщо ми продовжимо сторони кута за його вершину, то отримаємо вертикальні кути. На малюнку 75 кути EOF і АОС вертикальні; кути АОЕ та СОF - також вертикальні.

Два кути називаються вертикальними, якщо сторони одного кута є продовження сторін другого кута.

Нехай ∠1 = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°(рис. 76). Суміжний з ним ∠2 дорівнюватиме 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°, тобто 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90°.

Так само можна обчислити, чому рівні ∠3 і ∠4.

∠3 = 180° - 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° = \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90°;

∠4 = 180° - \(\frac(7)(8)\) ⋅ 90° = 1\(\frac(1)(8)\) ⋅ 90° (рис. 77).

Ми бачимо, що ∠1 = ∠3 та ∠2 = ∠4.

Однак, щоб переконатися в тому, що вертикальні кути завжди рівні між собою, недостатньо розглянути окремі числові приклади, оскільки висновки, зроблені на основі приватних прикладів, іноді можуть бути помилковими.

Переконатися у справедливості якості вертикальних кутів потрібно шляхом підтвердження.

Доказ можна провести в такий спосіб (рис. 78):

∠a +∠c= 180 °;

∠b +∠c= 180 °;

(оскільки сума суміжних кутів дорівнює 180°).

∠a +∠c = ∠b +∠c

(Так як і ліва частина цієї рівності дорівнює 180 °, і права його частина теж дорівнює 180 °).

У цю рівність входить той самий кут з.

Якщо від рівних величин віднімемо порівну, те й залишиться порівну. В результаті вийде: ∠a = ∠b, Тобто вертикальні кути рівні між собою.

3. Сума кутів, що мають загальну вершину.

На кресленні 79 ∠1, ∠2, ∠3 та ∠4 розташовані по одну сторону прямої і мають загальну вершину на цій прямій. У сумі ці кути становлять розгорнутий кут, тобто.

∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180 °.

На кресленні 80 ∠1, ∠2, ∠3, ∠4 та ∠5 мають загальну вершину. У сумі ці кути становлять повний кут, тобто ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 = 360°.

Інші матеріали