Рівняння площини. Як скласти рівняння площини? Взаємне розташування площин

В самому загальному випадкунормаль до поверхні представляє її локальну кривизну, і, отже, напрямок дзеркального відбиття (рис. 3.5). Стосовно наших знань можна сказати, що нормаллю називається вектор, що визначає орієнтацію грані (рис. 3.6).

Рис. 3.5 Мал. 3.6

У багатьох алгоритмах видалення невидимих ​​ліній і поверхонь використовуються тільки ребра і вершини, тому, щоб поєднати їх з моделлю освітлення, необхідно знати наближене значення нормалі на ребрах і вершинах. Нехай задані рівняння площин полігональних граней, тоді нормаль до їхньої загальної вершини дорівнює середньому значенню нормалей всім багатокутникам, що сходяться до цієї вершини. Наприклад, на рис. 3.7 напрямок наближеної нормалі у точці V 1 є:

n v1 = (a 0 + a 1 + a 4 )i + (b 0 + b 1 + b 4 )j + (c 0 + c 1 + c 4 )k, (3.15)

де a 0 , a 1 , a 4 , b 0 , b 1 , b 4 , c 0 , c 1 , c 4 - Коефіцієнти рівнянь площин трьох багатокутників P 0 , P 1 , P 4 , навколишніх V 1 . Зазначимо, що якщо потрібно знайти лише напрямок нормалі, то ділити результат на кількість граней необов'язково.

Якщо ж рівняння площин не задані, нормаль до вершини можна визначити, середня векторні твори всіх ребер, що перетинаються у вершині. Ще раз розглядаючи вершину V 1 на рис. 3.7, знайдемо напрямок наближеної нормалі:

n v1 = V 1 V 2 V 1 V 4 +V 1 V 5 V 1 V 2 + V 1 V 4  V 1 V 5 (3.16)

Рис. 3.7 - Апроксимація нормалі до полігональної поверхні

Слід звернути увагу, що необхідні лише зовнішні нормалі. Крім того, якщо отриманий вектор не нормується, його величина залежить від кількості і площі конкретних багатокутників, а також від кількості і довжини конкретних ребер. Сильніше проявляється вплив багатокутників з більшою площеюі довшими ребрами.

Коли нормаль до поверхні використовується визначення інтенсивності і зображення об'єкта чи сцени виконується перспективне перетворення, то нормаль слід обчислювати до перспективного поділу. В іншому випадку напрямок нормалі буде спотворено, а це призведе до того, що інтенсивність, що задається моделлю освітлення, буде визначена неправильно.

Якщо відомий аналітичний опис площини (поверхні), то нормальність обчислюється безпосередньо. Знаючи рівняння площини кожної грані багатогранника, можна знайти напрямок зовнішньої нормалі.

Якщо рівняння площини має вигляд:

то вектор нормалі до цієї площини записується так:

, (3.18)

де
- поодинокі вектори осей x,y,zвідповідно.

Величина dобчислюється за допомогою довільної точки, що належить площині, наприклад, для точки (
)

приклад. Розглянемо 4-х сторонній плоский багатокутник, що описується 4-ма вершинами V1(1,0,0), V2(0,1,0), V3(0,0,1) та V4(1,1,1) (див. .рис.3.7).

Рівняння площини має вигляд:

x + y + z – 1 = 0.

Отримаємо нормаль до цієї площини, використовуючи вектор добуток пари векторів, які є суміжними ребрами до однієї з вершин, наприклад, V1:

У багатьох алгоритмах видалення невидимих ​​ліній і поверхонь використовуються тільки ребра або вершини, тому, щоб поєднати їх з моделлю освітлення, необхідно знати наближене значення нормалі на ребрах і вершинах.

Нехай задані рівняння площин граней багатогранника, тоді нормаль до їхньої загальної вершини дорівнює середньому значенню нормалей до всіх граней, що сходяться в цій вершині.

Зокрема, про те, що ви бачите в заголовку. Фактично, це «просторовий аналог» завдання знаходження дотичноїі нормалідо графіка функції однієї змінної, і тому жодних труднощів виникнути не повинно.

Почнемо з базових питань: ЩО ТАКЕ дотична площина і ЩО ТАКЕ нормаль? Багато хто усвідомлює ці поняття на рівні інтуїції. Найпростіша модель, що спадає на думку – це куля, на якій лежить тонка плоска картонка. Картонка розташована максимально близько до сфери та стосується її в єдиній точці. Крім того, в точці торкання вона закріплена голкою, що стирчить строго вгору.

Теоретично існує досить дотепне визначення дотичної площині. Уявіть довільну поверхняі точку, що їй належить. Очевидно, що через точку проходить багато просторових лінійякі належать даній поверхні. У кого які асоціації? =) … особисто я представив восьминога. Припустимо, що кожна така лінія існує просторова дотичнау точці.

Визначення 1: дотична площинадо поверхні у точці – це площина, Що містить дотичні до всіх кривих, які належать даній поверхні і проходять через точку .

Визначення 2: нормальдо поверхні у точці – це пряма, що проходить через цю точку перпендикулярно дотичній площині.

Просто та витончено. До речі, щоб ви не померли з нудьги від простоти матеріалу, трохи пізніше я поділюся з вами одним витонченим секретом, який дозволяє РАЗ І НАЗАВЖДИ забути про зубріжку різних визначень.

З робочими формулами та алгоритмом рішення познайомимося прямо на конкретному прикладі. У переважній більшості завдань потрібно скласти і рівняння дотичної площини, і рівняння нормалі:

Приклад 1

Рішення:якщо поверхня задана рівнянням (тобто неявно), то рівняння дотичної площини до даної поверхні в точці можна знайти за такою формулою:

Особливу увагу звертаю на незвичайні приватні похідні. не слід плутатиз приватними похідними неявно заданої функції (хоча поверхня задана неявно). При знаходженні цих похідних слід керуватися правилами диференціювання функції трьох змінних, тобто, при диференціюванні по будь-якій змінній, дві інші літери вважаються константами:

Не відходячи від каси, знайдемо похідну в точці:

Аналогічно:

Це був найнеприємніший момент вирішення, в якому помилка якщо не допускається, то завжди мерехтить. Тим не менш, тут існує ефективний прийомперевірки, про який я розповідав на уроці Похідна за напрямом та градієнт.

Усі «інгредієнти» знайдені і тепер справа за акуратною підстановкою з подальшими спрощеннями:

– загальне рівнянняшуканої дотичної площини.

Настійно рекомендую проконтролювати цей етап рішення. Спочатку потрібно переконатися, що координати точки дотику справді задовольняють знайденому рівнянню:

- Правильна рівність.

Тепер «знімаємо» коефіцієнти загального рівнянняплощині і перевіряємо їх щодо збігу чи пропорційності з відповідними значеннями . У даному випадкупропорційні. Як ви пам'ятаєте з курсу аналітичної геометрії, - це вектор нормалідотичної площини, і він же – напрямний векторнормальної прямої. Складемо канонічні рівняннянормалі по точці і напрямному вектору:

В принципі, знаменники можна скоротити на «двійку», але особливої ​​потреби в цьому немає

Відповідь:

Рівняння можна позначити якими-небудь літерами, однак, знову ж таки – навіщо? Тут і так цілком зрозуміло, що до чого.

Наступні два приклади для самостійного рішення. Невелика «математична скоромовка»:

Приклад 2

Знайти рівняння дотичної площини та нормалі до поверхні у точці.

І завдання, цікаве з технічного погляду:

Приклад 3

Скласти рівняння дотичної площини та нормалі до поверхні у точці

У точці.

Тут є всі шанси не тільки заплутатися, а й зіткнутися з труднощами під час запису канонічних рівнянь прямої. А рівняння нормалі, як ви, мабуть, зрозуміли, заведено записувати саме в такому вигляді. Хоча, через забудькуватість або незнання деяких нюансів більш ніж прийнятна і параметрична форма.

Зразки чистового оформлення рішень наприкінці уроку.

У будь-якій точці поверхні існує дотична площина? Загалом, звичайно, ні. Класичний приклад– це конічна поверхня і точка – дотичні у цій точці безпосередньо утворюють конічну поверхнюі, зрозуміло, не лежать в одній площині. У негараздах легко переконатися і аналітично: .

Іншим джерелом проблем є факт неіснуваннябудь-якої приватної похідної в точці. Однак це ще не означає, що в даній точці немає єдиної площини.

Але то була, скоріше, науково-популярна, ніж практично значуща інформація, і ми повертаємося до справ насущних:

Як скласти рівняння дотичної площини та нормалі в точці,
якщо поверхня задана явною функцією?

Перепишемо її в неявному вигляді:

І за тими ж принципами знайдемо приватні похідні:

Таким чином, формула дотичної площини трансформується у наступне рівняння:

І відповідно, канонічні рівняннянормалі:

Як неважко здогадатися, – це вже «справжні» приватні похідні функції двох змінниху точці , які ми звикли позначати буквою «зет» і знаходили 100 500 разів.

Зауважте, що у цій статті досить запам'ятати найпершу формулу, з якої у разі потреби легко вивести все інше (зрозуміло, володіючи базовим рівнемпідготовки). Саме такий підхід слід використовувати під час вивчення точних наук, тобто. з мінімуму інформації треба прагнути «витягувати» максимум висновків та наслідків. «Розумів» і вже наявні знання на допомогу! Цей принцип корисний ще й тим, що з великою ймовірністю врятує критичної ситуації, коли ви знаєте дуже мало.

Відпрацюємо «модифіковані» формули кількома прикладами:

Приклад 4

Скласти рівняння дотичної площини та нормалі до поверхні у точці.

Невелика тут накладка вийшла з позначеннями – тепер буква позначає точку площини, але що вдієш – така вже популярна буква….

Рішення: рівняння шуканої дотичної площини складемо за формулою:

Обчислимо значення функції в точці:

Обчислимо приватні похідні 1-го порядкуу цій точці:

Таким чином:

акуратно, не поспішаємо:

Запишемо канонічні рівняння нормалі в точці:

Відповідь:

І заключний приклад для самостійного вирішення:

Приклад 5

Скласти рівняння дотичної площини та нормалі до поверхні у точці.

Останній – тому, що практично всі технічні моменти я роз'яснив і додати особливо нічого. Навіть самі функції, пропоновані в даному завданні, похмурі й одноманітні – майже гарантовано на практиці вам попадеться «багаточлен», і в цьому сенсі Приклад №2 з експонентою виглядає «білою вороною». До речі, набагато вірогідніше зустріти поверхню, задану рівняннямі це ще одна причина, через яку функція увійшла до статті «другим номером».

І насамкінець обіцяний секрет: як же уникнути зубріння визначень? (я, звичайно, не маю на увазі ситуацію, коли студент щось гарячково зубрить перед іспитом)

Визначення будь-якого поняття/явлення/об'єкта насамперед дає відповідь на наступне питання: ЩО ЦЕ ТАКЕ? (хто/така/ такий/такі). Усвідомленовідповідаючи на це питання, ви повинні постаратися відобразити суттєвіознаки, однозначноідентифікують те чи інше поняття/явище/об'єкт. Так, спочатку це виходить дещо недорого, неточно і надмірно (виклад поправить =)), але з часом розвивається цілком гідна наукова мова.

Потренуйтесь на абстрактних об'єктах, наприклад, дайте відповідь на запитання: хто такий Чебурашка? Не так все просто;-) Це « казковий персонажз великими вухами, очима та коричневою вовною»? Далеко і дуже далеко від визначення – чи мало персонажів з такими характеристиками…. А ось це вже набагато ближче до визначення: «Чебурашка – це персонаж, придуманий письменником Едуардом Успенським у 1966 р., який …(перерахування основних відмітних ознак)» . Зверніть увагу, як грамотно розпочато

Можна ставити різними способами(одною точкою та вектором, двома точками та вектором, трьома точками та ін.). Саме з урахуванням цього рівняння площини може мати різні види. Також при дотриманні певних умов площини можуть бути паралельними, перпендикулярними, такими, що перетинаються і т.д. Про це і поговоримо у цій статті. Ми навчимося складати загальне рівняння площини і не лише.

Нормальний вид рівняння

Припустимо, є простір R 3 який має прямокутну координатну систему XYZ. Задамо вектор α, який буде випущений з початкової точки О. Через кінець вектора α проведемо площину П, яка буде перпендикулярна йому.

Позначимо на П довільну точку Q = (х, у, z). Радіус-вектор точки Q підпишемо літерою. При цьому довжина вектора дорівнює р=IαI і Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

Це одиничний вектор, який спрямований убік, як вектор α. α, β і γ - це кути, які утворюються між вектором і позитивними напрямками осей простору х, у, z відповідно. Проекція будь-якої точки Q? на вектор ? постійною величиною, яка дорівнює р: (р, ?) = р (р? 0).

Зазначене рівняння має сенс, коли р = 0. Єдине, площина П у цьому випадку перетинатиме точку О (α=0), яка є початком координат, і одиничний вектор Ʋ, випущений з точки О, буде перпендикулярний до П, незважаючи на його напрям, що означає, що вектор Ʋ визначається з точність до знака. Попереднє рівняння є рівнянням нашої поверхні П, вираженим у векторній формі. А ось у координатах його вигляд буде таким:

Р тут більше або дорівнює 0. Ми знайшли рівняння площини у просторі у нормальному вигляді.

Загальне рівняння

Якщо рівняння в координатах помножимо на будь-яке число, яке не дорівнює нулю, отримаємо рівняння, еквівалентне даному, що визначає ту саму площину. Воно матиме такий вигляд:

Тут А, В, С – це числа, одночасно відмінні від нуля. Це рівняння називається як рівняння поверхні загального виду.

Рівняння площин. Приватні випадки

Рівняння в загальному виглядіможе змінюватись за наявності додаткових умов. Розглянемо деякі з них.

Припустимо, що коефіцієнт А дорівнює 0. Це означає, що дана площина паралельна до заданої осі Ох. І тут вид рівняння зміниться: Ву+Cz+D=0.

Аналогічно вид рівняння змінюватиметься і за таких умов:

• По-перше, якщо В=0, то рівняння зміниться на Ах+Cz+D=0, що свідчить про паралельність осі Оу.
• По-друге, якщо С=0, то рівняння перетворюється на Ах+Ву+D=0, що говорити про паралельність заданої осі Oz.
• По-третє, якщо D=0, рівняння буде виглядати як Ах+Ву+Cz=0, що означатиме, що площина перетинає О (початок координат).
• По-четверте, якщо A=B=0, то рівняння зміниться на Cz+D=0, що доводитиме паралельність до Oxy.
• По-п'яте, якщо B = C = 0, то рівняння стане Ах + D = 0, а це означає, що площина до Oyz паралельна.
• По-шосте, якщо A=C=0, то рівняння набуде вигляду Ву+D=0, тобто повідомлятиме про паралельність до Oxz.

Вид рівняння у відрізках

У разі коли числа А, В, С, D відмінні від нуля, вид рівняння (0) може бути наступним:

х/а + у/b + z/с = 1,

у якому а = -D/А, b = -D/В, з = -D/С.

Отримуємо в результаті Варто відзначити, що дана поверхня буде перетинати вісь Ох в точці з координатами (а, 0,0), Оу - (0, b, 0), а Oz - (0,0, с).

З урахуванням рівняння х/а + у/b + z/с = 1 неважко візуально уявити розміщення площини щодо заданої координатної системи.

Координати нормального вектора

Нормальний вектор n до площини П має координати, що є коефіцієнтами загального рівняння даної площини, тобто n (А, В, С).

Щоб визначити координати нормалі n, досить знати загальне рівняння заданої площині.

При використанні рівняння у відрізках, яке має вигляд х/а + у/b + z/с = 1, як і при використанні загального рівняння, можна записати координати будь-якого нормального вектора заданої площини: (1/а + 1/b + 1/ с).

Варто зазначити, що нормальний вектор допомагає вирішити різноманітні завдання. До найпоширеніших відносяться задачі, що полягають у доказі перпендикулярності або паралельності площин, завдання знаходження кутів між площинами або кутів між площинами і прямими.

Вигляд рівняння площини згідно з координатами точки та нормального вектора

Ненульовий вектор n, перпендикулярний до заданої площини, називають нормальним (нормаллю) для заданої площини.

Припустимо, що у координатному просторі (прямокутній координатній системі) Oxyz задані:

• точка Мₒ з координатами (хₒ, уₒ, zₒ);
• нульовий вектор n = А * i + В * j + С * k.

Потрібно скласти рівняння площини, яка проходитиме через точку Мₒ перпендикулярно до нормалі n.

У просторі виберемо будь-яку довільну точку та позначимо її М (х у, z). Нехай радіус-вектор будь-якої точки М (х,у,z) буде r=х*i+у*j+z*k, а радіус-вектор точки Мₒ (хₒ,уₒ,zₒ) - rₒ=хₒ*i+уₒ *j+zₒ*k. Точка М належатиме заданій площині, якщо вектор МₒМ буде перпендикулярний вектору n. Запишемо умову ортогональності за допомогою скалярного твору:

[МₒМ, n] = 0.

Оскільки МₒМ = r-rₒ, векторне рівняння площини виглядатиме так:

Це рівняння може мати й іншу форму. Для цього використовуються властивості скалярного твору, а перетворюється ліва сторонарівняння. = -. Якщо позначити як с, то вийде таке рівняння: - с = 0 або = с, яке виражає сталість проекцій на нормальний вектор радіус-векторів заданих точок, що належать до площини.

Тепер можна отримати координатний виглядзаписи векторного рівняння нашої площини = 0. Оскільки r-rₒ = (х-хₒ)*i + (у-уₒ)*j + (z-zₒ)*k, а n = А*i+В*j+С* k, ми маємо:

Виходить, у нас утворюється рівняння площини, що проходить через точку перпендикулярно до нормалі n:

А*(х-хₒ)+В*(у-уₒ)С*(z-zₒ)=0.

Вид рівняння площини згідно з координатами двох точок та вектора, колінеарної площини

Задамо дві довільні точки М '(х',у',z') і М'(х',у',z'), а також вектор а (а',а',а').

Тепер ми зможемо скласти рівняння заданої площини, яка проходитиме через наявні точки М′ і М″, а також будь-яку точку М із координатами (х,у,z) паралельно заданому векторуа.

При цьому вектори М′М=(х-х′;у-у′;z-z′) та М″М=(х″-х′;у″-у′;z″-z′) повинні бути компланарними з вектором а=(а′,а″,а‴), а це означає, що (М′М, М″М, а)=0.

Отже, наше рівняння площини у просторі виглядатиме так:

Вигляд рівняння площини, що перетинає три точки

Припустимо, у нас є три точки: (х',у',z'), (х',у',z'), (х‴,у‴,z‴), які не належать до однієї прямої. Необхідно написати рівняння площини, яка проходить через три точки. Теорія геометрії стверджує, що така площина дійсно існує, ось тільки вона єдина і неповторна. Оскільки ця площина перетинає точку (х′,у′,z′), вид її рівняння буде наступним:

Тут А, В, З відмінні від нуля одночасно. Також задана площина перетинає ще дві точки: (х ", у", z ") і (х, у, z,). У зв'язку з цим мають виконуватися такі умови:

Зараз ми можемо скласти однорідну системуз невідомими u, v, w:

В нашому у разі х,уабо z виступає довільною точкою, Що задовольняє рівняння (1). Враховуючи рівняння (1) та систему з рівнянь (2) та (3), систему рівнянь, зазначеної на малюнку вище, задовольняє вектор N (А, В, С), який є нетривіальним. Саме тому визначник цієї системи дорівнює нулю.

Рівняння (1), яке вийшло, це і є рівняння площини. Через три точки вона точно проходить, і це легко перевірити. Для цього потрібно розкласти наш визначник за елементами, що знаходяться у першому рядку. З існуючих властивостей визначника випливає, що наша площина одночасно перетинає три спочатку задані точки (х',у',z'), (х',у',z'), (х',у',z'). Тобто ми вирішили поставлене перед нами завдання.

Двогранний кут між площинами

Двогранний кут являє собою просторову геометричну фігуру, Утворену двома напівплощинами, які виходять з однієї прямої. Іншими словами, це частина простору, яка обмежується цими напівплощинами.

Допустимо, у нас є дві площини з наступними рівняннями:

Нам відомо, що вектори N=(А,В,С) та N¹=(А¹,В¹,С¹) перпендикулярні згідно заданим площинам. У зв'язку з цим кут φ між векторами N і N¹ дорівнює куту (двогранному), який знаходиться між цими площинами. Скалярний твірмає вигляд:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

саме тому

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(АА¹+ВВ¹+СС¹)/((√(А²+В²+С²))*(√(А¹)²+(В¹)²+(С¹)²)).

Достатньо врахувати, що 0≤φ≤π.

Насправді дві площини, які перетинаються, утворюють два кути (двогранні): φ 1 і φ 2 . Сума їх дорівнює π (φ 1 + φ 2 = π). Що ж до їх косинусів, їх абсолютні величини рівні, але вони різняться знаками, тобто cos φ 1 =-cos φ 2 . Якщо в рівнянні (0) замінити А, В і С на числа -А, -В і -С відповідно, то рівняння, яке ми отримаємо, визначатиме цю саму площину, єдине, кут φ в рівнянні cosφ = NN 1 / | N | | N 1 | буде замінено на π-φ.

Рівняння перпендикулярної площини

Перпендикулярними називаються площини, між якими кут дорівнює 90 градусів. Використовуючи матеріал, викладений вище, ми можемо знайти рівняння площини, перпендикулярної до іншої. Припустимо, у нас є дві площини: Ах + Ву + Cz + D = 0 і Ах + В¹у + С¹z + D = 0. Ми можемо стверджувати, що вони будуть перпендикулярними, якщо cosφ=0. Це означає, що NN¹=АА¹+ВВ¹+СС¹=0.

Рівняння паралельної площини

Паралельними називаються дві площини, які містять загальних точок.

Умова (їх рівняння ті ж, що й у попередньому пункті) полягає в тому, що вектори N і N¹, які перпендикулярні до них, колінеарні. А це означає, що виконуються наступні умовипропорційності:

А/А?=В/В?=С/С?.

Якщо умови пропорційності є розширеними - А/А?=В/В?=С/С?=DD?,

це свідчить у тому, що ці площини збігаються. А це означає, що рівняння Ах+Ву+Cz+D=0 і Ах+В¹у+С¹z+D¹=0 описують одну площину.

Відстань до площини від точки

Припустимо, ми маємо площину П, яка задана рівнянням (0). Необхідно знайти відстань від точки з координатами (хₒ,уₒ,zₒ)=Qₒ. Щоб це зробити, потрібно привести рівняння площини П до нормального вигляду:

(ρ,v)=р (р≥0).

У разі ρ (х,у,z) є радіус-вектором нашої точки Q, розташованої на П, р - це довжина перпендикуляра П, який був випущений з нульової точки, v - це одиничний вектор, який розташований у напрямку а.

Різниця ρ-ρº радіус-вектора якої точки Q=(х,у,z), що належить П, а також радіус-вектора заданої точки Q 0 =(хₒ,уₒ,zₒ) є таким вектором, абсолютна величинапроекції якого на v дорівнює відстані d, яку потрібно знайти від Q 0 =(хₒ,уₒ,zₒ) до П:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, але

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) = р-(ρ 0 ,v).

Ось і виходить,

d=|(ρ0,v)-р|.

Таким чином, ми знайдемо абсолютне значенняотриманого виразу, тобто шукане d.

Використовуючи мову параметрів, отримуємо очевидне:

d=|Ахₒ+Вуₒ+Czₒ|/√(А²+В²+С²).

Якщо задана точка Q 0 знаходиться по інший бік від площини П, як і початок координат, між вектором ρ-ρ 0 і v знаходиться отже:

d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-р>0.

У разі коли точка Q 0 спільно з початком координат розташовується по одну і ту ж сторону від П, то кут, що створюється, гострий, тобто:

d=(ρ-ρ 0 ,v)=р - (ρ 0 , v)>0.

У результаті виходить, що у першому випадку (ρ 0 ,v)>р, у другому (ρ 0 ,v)<р.

Дотична площина та її рівняння

Що стосується площину до поверхні у точці дотику Мº - це площина, що містить всі можливі дотичні до кривих, проведених через цю точку на поверхні.

При такому вигляді рівняння поверхні F(х,у,z)=0 рівняння дотичної площини в дотичній точці М?(х?,??, z?) виглядатиме так:

F х (хº, уº, zº)(х-хº)+ F х (хº, уº, zº)(у-уº)+ F х (хº, уº, zº)(z-zº)=0.

Якщо задати поверхню у явній формі z=f (х,у), то дотична площина буде описана рівнянням:

z-zº =f(хº, уº)(х-хº)+f(хº, уº)(у-уº).

Перетин двох площин

Розташована система координат (прямокутна) Oxyz, дано дві площини П′ і П″, які перетинаються і не збігаються. Оскільки будь-яка площина, що знаходиться в прямокутній координатній системі, визначається загальним рівнянням, будемо вважати, що П′ і П″ задаються рівняннями А′х+В′у+С′z+D′=0 та А″х+В″у+ З z + D = 0. У такому разі маємо нормаль n' (А',В',С') площини П' і нормаль n''(А'',В''С') площини П'. Оскільки наші площини не паралельні і не збігаються, ці вектори є не колінеарними. Використовуючи мову математики, ми цю умову можемо записати так: n′≠ n″ ↔ (А′,В′,С′) ≠ (λ*А″,λ*В″,λ*С″), λϵR. Нехай пряма, що лежить на перетині П′ і П″, позначатиметься літерою а, у цьому випадку а = П′ ∩ П″.

а - це пряма, що складається з багатьох точок (загальних) площин П′ і П″. Це означає, що координати будь-якої точки, що належить прямій а, повинні одночасно задовольняти рівняння А'х+В'у+С'z+D'=0 і А'х+В'у+С'z+D'=0. Отже, координати точки будуть приватним рішенням наступної системи рівнянь:

У результаті виходить, що рішення (загальне) цієї системи рівнянь визначатиме координати кожної з точок прямої, яка виступатиме точкою перетину П′ і П″, і визначатиме пряму а в координатній системі Oxyz (прямокутної) у просторі.

Що таке нормаль? Простими словами, нормаль – це перпендикуляр. Тобто вектор нормалі прямий перпендикулярний даній прямий. Очевидно, що в будь-якій прямій їх нескінченно багато (так само, як і напрямних векторів), причому всі вектори нормалі прямої будуть колінеарними (сонаправлені чи ні – без різниці).

Розбирання з ними буде навіть простіше, ніж з напрямними векторами:

Якщо пряма задана загальним рівнянням прямокутної системі координат, то вектор є вектором нормалі даної прямої.

Якщо координати напрямного вектора доводиться акуратно «витягувати» з рівняння, координати вектора нормали досить просто «зняти».

Вектор нормалі завжди ортогональний напрямному вектору прямий. Переконаємося у ортогональності даних векторів за допомогою скалярного твору:

Наведу приклади з тими ж рівняннями, що й для напрямного вектора:

Чи можна скласти рівняння прямої, знаючи одну точку та вектор нормалі? Якщо відомий вектор нормалі, то однозначно визначено напрям самої прямої – це «жорстка конструкція» з кутом в 90 градусів.

Як скласти рівняння прямої за точкою та вектором нормалі?

Якщо відома деяка точка , що належить прямий, і вектор нормалі цієї прямої, то рівняння цієї прямої виражається формулою:

Скласти рівняння прямої за точкою та вектором нормалі. Знайти напрямний вектор прямий.

Рішення: Використовуємо формулу:

Загальне рівняння прямої отримано, виконаємо перевірку:

1) «Знімаємо» координати вектора нормалі з рівняння: - Так, дійсно, отриманий вихідний вектор з умови (або повинен вийти колінеарний вихідний вектор).

2) Перевіримо, чи задовольняє точка рівняння :

Вірна рівність.

Після того, як ми переконалися, що рівняння складено правильно, виконаємо другу, легшу частину завдання. Витягуємо напрямний вектор прямий:

Відповідь:

На кресленні ситуація виглядає так:

З метою тренування аналогічне завдання для самостійного вирішення:

Скласти рівняння прямої по точці та нормальному вектору. Знайти напрямний вектор прямий.

Заключний розділ уроку буде присвячений менш поширеним, але також важливим видам рівнянь прямої на площині

Рівняння прямої у відрізках.
Рівняння прямої у параметричній формі

Рівняння прямої у відрізках має вигляд , де – ненульові константи. Деякі типи рівнянь не можна уявити в такому вигляді, наприклад, пряму пропорційність (оскільки вільний член дорівнює нулю і одиницю в правій частині ніяк не отримати).

Це, образно кажучи, "технічний" тип рівняння. Повсякденне завдання полягає в тому, щоб загальне рівняння прямої подати у вигляді рівняння прямої у відрізках . Чим воно зручне? Рівняння прямої у відрізках дозволяє швидко знайти точки перетину прямої з координатними осями, що дуже важливим у деяких завданнях вищої математики.

Знайдемо точку перетину прямої з віссю. Обнуляємо «гравець», і рівняння набуває вигляду. Потрібна точка виходить автоматично: .

Аналогічно з віссю - Точка, в якій пряма перетинає вісь ординат.

Дії, які я щойно докладно роз'яснив, виконуються усно.

Дана пряма. Скласти рівняння прямої у відрізках та визначити точки перетину графіка з координатними осями.

Рішення: Наведемо рівняння до виду. Спочатку перенесемо вільний член у праву частину:

Щоб отримати праворуч одиницю, розділимо кожен член рівняння на –11:

Робимо дроби триповерховими:

Точки перетину прямої з координатними осями спливли на поверхню:

Відповідь:

Залишилося прикласти лінійку і провести пряму.

Легко побачити, що дана пряма однозначно визначається червоним та зеленим відрізками, звідси й назва – «рівняння прямої у відрізках».

Звичайно, точки не так важко знайти і з рівняння, але завдання все одно корисне. Розглянутий алгоритм знадобиться знаходження точок перетину площини з координатними осями, приведення рівняння лінії другого порядку до канонічного вигляду й у деяких інших завданнях. Тому пара прямих для самостійного розв'язання:

Скласти рівняння прямої у відрізках та визначити точки її перетину з координатними осями.

Рішення та відповіді в кінці. Не забувайте, що за бажання все можна накреслити.

Як скласти параметричні рівняння прямої?

Параметричні рівняння прямої більш актуальні для прямих у просторі, але без них наш конспект осиротіє.

Якщо відома деяка точка , що належить прямої, і напрямний вектор цієї прямої, параметричні рівняння даної прямої задаються системою:

Скласти параметричні рівняння прямої по точці та напрямному вектору

Рішення закінчилося, не встигнувши розпочатися:

Параметр "те" може набувати будь-яких значень від "мінус нескінченності" до "плюс нескінченності", і кожному значенню параметра відповідає конкретна точка площини. Наприклад, якщо , то отримуємо точку .

Зворотне завдання: як перевірити, чи буде точка умови належати даній прямій?

Підставимо координати точки в отримані параметричні рівняння:

З обох рівнянь випливає, що , тобто система спільна і має єдине рішення.

Розглянемо змістовніші завдання:

Скласти параметричні рівняння прямої

Рішення: За умовою пряма задана у загальному вигляді. Для того щоб скласти параметричні рівняння прямої, потрібно знати її напрямний вектор і якусь точку, що належить даній прямій.

Знайдемо напрямний вектор:

Тепер потрібно знайти якусь точку, що належить прямий (підійде будь-яка), з цією метою загальне рівняння зручно переписати у вигляді рівняння з кутовим коефіцієнтом:

Напрошується, звичайно, крапка

Складемо параметричні рівняння прямої:

І насамкінець невелике творче завдання для самостійного вирішення.

Скласти параметричні рівняння прямої, якщо відома точка, що належить їй, і вектор нормалі

Завдання можна оформити не єдиним способом. Одна з версій рішення та відповідь наприкінці.

Рішення та відповіді:

Приклад 2: Рішення: Знайдемо кутовий коефіцієнт:

Рівняння прямої складемо за точкою та кутовим коефіцієнтом:

Відповідь:

Приклад 4: Рішення: Рівняння прямої складемо за формулою:

Відповідь:

Приклад 6: Рішення: Використовуємо формулу:

Відповідь: (вісь ординат)

Приклад 8: Рішення: Складемо рівняння прямої по двох точках:

Помножуємо обидві частини на –4:

І ділимо на 5:

Відповідь:

Приклад 10: Рішення: Використовуємо формулу:

Скорочуємо на –2:

Напрямний вектор прямий:
Відповідь:

Приклад 12:
а) Рішення: Перетворимо рівняння:

Таким чином:

Відповідь:

б) Рішення: Перетворимо рівняння:

Таким чином:

Відповідь:

Приклад 15: Рішення: Спочатку складемо загальне рівняння прямої по точці та вектору нормалі :

Помножуємо на 12:

Помножуємо ще на 2, щоб після розкриття другої дужки позбутися дробу:

Напрямний вектор прямий:
Параметричні рівняння прямої складемо по точці і напрямному вектору :
Відповідь:

Найпростіші завдання із прямою на площині.
Взаємне розташування прямих. Кут між прямими

Продовжуємо розглядати ці нескінченні-нескінченні прямі.

Як знайти відстань від точки до прямої?
Як знайти відстань між двома паралельними прямими?
Як знайти кут між двома прямими?

Взаємне розташування двох прямих

Розглянемо дві прямі, задані рівняннями у загальному вигляді:

Той випадок, коли зал підспівує хором. Дві прямі можуть:

1) збігатися;

2) бути паралельними: ;

3) чи перетинатися у єдиній точці: .

Будь ласка, запам'ятайте математичний знак перетину, він буде зустрічатися дуже часто. Запис позначає, що пряма перетинається із прямою в точці .

Як визначити взаємне розташування двох прямих?

Почнемо з першого випадку:

Дві прямі збігаються, тоді й тільки тоді, коли їхні відповідні коефіцієнти пропорційні, тобто існує така кількість «лямбда», що виконуються рівність

Розглянемо прямі та складемо три рівняння з відповідних коефіцієнтів: . З кожного рівняння випливає, що отже дані прямі збігаються.

Дійсно, якщо всі коефіцієнти рівняння помножити на -1 (змінити знаки), і всі коефіцієнти рівняння скоротити на 2, то вийде те саме рівняння: .

Другий випадок, коли прямі паралельні:

Дві прямі паралельні тоді і лише тоді, коли їх коефіцієнти при змінних пропорційні: , але.

Як приклад розглянемо дві прямі. Перевіряємо пропорційність відповідних коефіцієнтів при змінних:

Однак цілком очевидно, що .

І третій випадок, коли прямі перетинаються:

Дві прямі перетинаються, тоді й тільки тоді, коли їх коефіцієнти при змінних не пропорційні, тобто не існує такого значення «лямбда», щоб виконувались рівність

Так, для прямих складемо систему:

З першого рівняння випливає, що , та якщо з другого рівняння: , отже, система несумісна (рішень немає). Таким чином, коефіцієнти за змінних не пропорційні.

Висновок: прямі перетинаються

У практичних завданнях можна використати щойно розглянуту схему рішення. Вона, до речі, дуже нагадує алгоритм перевірки векторів на колінеарність. Але існує більш цивілізована упаковка:

З'ясувати взаємне розташування прямих:

Рішення засноване на дослідженні напрямних векторів прямих:

а) З рівнянь знайдемо напрямні вектори прямих: .

Отже, вектори не колінеарні і прямі перетинаються.

б) Знайдемо напрямні вектори прямих:

Прямі мають той самий напрямний вектор, отже, вони або паралельні, або збігаються. Тут і визначник рахувати не треба.

Вочевидь, що коефіцієнти при невідомих пропорційні, у своїй .

З'ясуємо, чи справедлива рівність:

Таким чином,

в) Знайдемо напрямні вектори прямих:

Обчислимо визначник, складений координат даних векторів:
отже, напрямні вектори колінеарні. Прямі або паралельні, або збігаються.

Коефіцієнт пропорційності «лямбда» можна дізнатися прямо співвідношення колінеарних напрямних векторів. Втім, можна і через коефіцієнти самих рівнянь: .

Тепер з'ясуємо, чи справедлива рівність. Обидва вільні члени нульові, тому:

Отримане значення задовольняє даному рівнянню (йому задовольняє будь-яке число).

Отже, прямі збігаються.

Як побудувати пряму, паралельну даній?

Пряма задана рівнянням. Скласти рівняння паралельної прямої, яка проходить через точку .

Рішення: Позначимо невідому пряму літерою. Що про неї сказано за умови? Пряма проходить через крапку. А якщо прямі паралельні, то очевидно, що напрямний вектор прямий це підійде і для побудови прямої де.

Витягуємо напрямний вектор із рівняння:

Геометрія прикладу виглядає невигадливо:

Аналітична ж перевірка полягає у наступних кроках:

1) Перевіряємо, що у прямих той самий напрямний вектор (якщо рівняння прямої не спрощено належним чином, то вектори будуть колінеарні).

2) Перевіряємо, чи точка задовольняє отриманому рівнянню .

Аналітичну перевірку здебільшого легко виконати усно. Подивіться на два рівняння, і багато хто з вас швидко визначить паралельність прямих без будь-якого креслення.

Приклади для самостійного вирішення сьогодні будуть творчими.

Скласти рівняння прямої, що проходить через точку, паралельну до прямої, якщо

Найкоротший шлях – наприкінці.

Як знайти точку перетину двох прямих?

Якщо прямі перетинаються в точці , її координати є рішенням системи лінійних рівнянь

Як знайти точку перетину прямих? Вирішити систему.

Ось вам і геометричний сенс системи двох лінійних рівнянь із двома невідомими – це дві прямі, що перетинаються (найчастіше) на площині.

Знайти точку перетину прямих

Рішення: Існують два способи рішення – графічний та аналітичний.

Графічний спосіб полягає в тому, щоб просто накреслити дані прямі і дізнатися про точку перетину безпосередньо з креслення:

Ось наша точка: . Для перевірки слід підставити її координати у кожне рівняння прямої, вони мають підійти і там, і там. Інакше кажучи, координати точки є рішенням системи . По суті, ми розглянули графічний спосіб розв'язання системи лінійних рівнянь із двома рівняннями, двома невідомими.

Графічний спосіб, звичайно, непоганий, але є помітні мінуси. Ні, справа не в тому, що так вирішують семикласники, справа в тому, що на правильний і точний креслення піде час. Крім того, деякі прямі побудувати не так просто, та й сама точка перетину може знаходитися десь у тридесятому царстві за межами зошитового листа.

Тому точку перетину доцільніше шукати аналітичним методом. Вирішимо систему:

Для вирішення системи використано метод почленного складання рівнянь.

Перевірка тривіальна – координати точки перетину мають задовольняти кожному рівнянню системи.

Знайти точку перетину прямих у разі, якщо вони перетинаються.

Це приклад самостійного рішення. Завдання зручно розбити на кілька етапів. Аналіз умови підказує, що необхідно:
1) Скласти рівняння прямої.
2) Скласти рівняння прямої.
3) З'ясувати взаємне розташування прямих.
4) Якщо прямі перетинаються, то знайти точку перетину.

Розробка алгоритму дій типова для багатьох геометричних завдань, і я на цьому неодноразово загострюватиму увагу.

Повне рішення та відповідь наприкінці:

Перпендикулярні до прямих. Відстань від точки до прямої.
Кут між прямими

Як побудувати пряму, перпендикулярну даній?

Пряма задана рівнянням. Скласти рівняння перпендикулярної прямої, що проходить через точку.

Рішення: За умовою відомо, що . Непогано знайти напрямний вектор прямий . Оскільки прямі перпендикулярні, фокус простий:

З рівняння «знімаємо» вектор нормалі: , який і буде напрямним вектором прямий .

Рівняння прямої складемо по точці і напрямному вектору:

Відповідь:

Розгорнемо геометричний етюд:

Аналітична перевірка рішення:

1) З рівнянь витягуємо напрямні вектори і за допомогою скалярного твору векторів приходимо до висновку, що прямі дійсно перпендикулярні: .

До речі, можна використовувати вектори нормалі, це простіше.

2) Перевіряємо, чи задовольняє точка отриманого рівняння .

Перевірку, знову ж таки, легко виконати усно.

Знайти точку перетину перпендикулярних прямих, якщо відомо рівняння і крапка .

Це приклад самостійного рішення. У завданні кілька дій, тому рішення зручно оформити за пунктами.

Відстань від точки до прямої

Відстань у геометрії традиційно позначають грецькою літерою "р", наприклад: - Відстань від точки "м" до прямої "д".

Відстань від точки до прямої виражається формулою

Знайти відстань від точки до прямої

Рішення: все, що потрібно, це акуратно підставити числа у формулу і провести обчислення:

Відповідь:

Виконаємо креслення:

Знайдена відстань від точки до прямої – це точно довжина червоного відрізка. Якщо оформити креслення на картатому папері в масштабі 1 од. = 1 см (2 клітини), то відстань можна виміряти звичайною лінійкою.

Розглянемо ще одне завдання з цього ж креслення:

Як побудувати точку, симетричну щодо прямої?

Завдання полягає в тому, щоб знайти координати точки , яка симетрична точці щодо прямої . Пропоную виконати дії самостійно, проте позначу алгоритм рішення із проміжними результатами:

1) Знаходимо пряму, яка перпендикулярна до прямої.

2) Знаходимо точку перетину прямих: .

У геометрії за кут між двома прямими приймається МЕНШИЙ кут, з чого автоматично випливає, що він не може бути тупим. На малюнку кут, позначений червоною дугою, не вважається кутом між прямими, що перетинаються. А вважається таким його «зелений» сусід чи протилежно орієнтований «малиновий» кут.

Якщо прямі перпендикулярні, то за кут між ними можна приймати будь-який із 4-х кутів.

Чим відрізняються кути? орієнтацією. По-перше, принципово важливим є напрямок «прокручування» кута. По-друге, негативно орієнтований кут записується зі знаком мінус, наприклад, якщо .

Навіщо це я розповів? Начебто можна обійтися і звичайним поняттям кута. Справа в тому, що у формулах, за якими ми знаходитимемо кути, запросто може вийти негативний результат, і це не повинно застати вас зненацька. Кут зі знаком «мінус» нічим не гірший і має цілком конкретний геометричний зміст. На кресленні для негативного кута слід обов'язково вказувати стрілкою його орієнтацію (за годинниковою стрілкою).

Виходячи з вищесказаного, рішення зручно оформити у два кроки:

1) Обчислимо скалярний добуток напрямних векторів прямих:
, Отже, прямі не перпендикулярні.

2) Кут між прямими знайдемо за формулою:

За допомогою зворотної функції легко знайти сам кут. При цьому використовуємо непарність арктангенсу:

Відповідь:

У відповіді вказуємо точне значення, а також наближене (бажано і в градусах, і в радіанах), обчислене за допомогою калькулятора.

Ну, мінус, то мінус, нічого страшного. Ось геометрична ілюстрація:

Не дивно, що кут вийшов негативною орієнтацією, адже за умови завдання першим номером йде пряма і «відкрутка» кута почалася саме з неї.

Є й третій спосіб розв'язання. Ідея полягає в тому, щоб обчислити кут між напрямними векторами прямих:

Тут уже йдеться не про орієнтований вугілля, а «просто про вугілля», тобто результат свідомо буде позитивним. Загвоздка полягає в тому, що може вийти тупий кут (не той, який потрібний). У цьому випадку доведеться робити застереження, що кут між прямими – це менший кут, і з «пі» радіан (180-ти градусів) віднімати арккосинус, що вийшов.

Знайти кут між прямими.

Це приклад самостійного рішення. Спробуйте вирішити його двома способами.

Рішення та відповіді:

Приклад 3: Рішення: Знайдемо напрямний вектор прямий:

Рівняння прямий складемо по точці і напрямному вектору

Примітка: тут перше рівняння системи помножено на 5, потім з 1-го рівняння почленно віднімається 2-е.
Відповідь:

Для вивчення рівнянь прямої лінії необхідно добре розумітися на алгебрі векторів. Важливо знаходження напрямного вектора та нормального вектора прямої. У цій статті буде розглянуто нормальний вектор прямий з прикладами та малюнками, знаходження його координат, якщо відомі рівняння прямих. Буде розглянуто докладне рішення.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Щоб матеріал легше засвоювався, потрібно розбиратися в поняттях лінія, площину та визначення, пов'язані з векторами. Спочатку ознайомимося з поняттям вектора прямої.

Визначення 1

Нормальний вектор прямийназивають будь-який ненульовий вектор, який лежить на будь-якій прямій, перпендикулярній даній.

Зрозуміло, що є безліч нормальних векторів, розташованих на даній прямій. Розглянемо малюнку, наведеному нижче.

Отримуємо, що пряма є перпендикулярною до однієї з двох заданих паралельних прямих, тоді її перпендикулярність поширюється і на другу паралельну пряму. Звідси отримуємо, що безліч нормальних векторів цих паралельних прямих збігаються. Коли прямі a та а 1 паралельні, а n → вважається нормальним вектором прямої a також вважається нормальним вектором для прямої a 1 . Коли пряма а має прямий вектор, тоді вектор t · n → є ненульовим за будь-якого значення параметра t , причому також є нормальним для прямої a .

Використовуючи визначення нормального та напрямного векторів, можна дійти висновку, що нормальний вектор перпендикулярний напрямному. Розглянемо приклад.

Якщо задана площина О х у, то безліччю векторів О х є координатний вектор j → . Він вважається ненульовим і належить координатної осі О у, перпендикулярної О х. Усі безліч нормальних векторів щодо Ох можна записати, як t · j → , t ∈ R , t ≠ 0 .

Прямокутна система O x y z має нормальний вектор i → , що відноситься до прямої О z . Вектор j → також вважається нормальним. Звідси видно, що будь-який ненульовий вектор, розташований у будь-якій площині і перпендикулярний Z, вважається нормальним для O z.

Координати нормального вектора прямої – знаходження координат нормального вектора прямої за відомими рівняннями прямої

При розгляді прямокутної системи координат Ох у виявимо, що рівняння прямої на площині відповідає їй, а визначення нормальних векторів здійснюється за координатами. Якщо відомо рівняння прямої, а необхідно знайти координати нормального вектора, тоді необхідно з рівняння A x + B y + C = 0 виявити коефіцієнти, які відповідають координатам нормального вектора заданої прямої.

Приклад 1

Задано пряму форму 2 x + 7 y - 4 = 0 _, знайти координати нормального вектора.

Рішення

За умовою маємо, що пряма була задана загальним рівнянням, отже необхідно виписати коефіцієнти, які є координатами нормального вектора. Отже, координати вектора мають значення 2, 7 .

Відповідь: 2 , 7 .

Бувають випадки, коли A або з рівняння дорівнює нулю. Розглянемо рішення такого завдання з прикладу.

Приклад 2

Вказати нормальний вектор для заданої прямої y-3 = 0 .

Рішення

За умовою нам дано загальне рівняння прямої, отже, запишемо його таким чином 0 · x + 1 · y - 3 = 0 . Тепер чітко бачимо коефіцієнти, які є координатами нормального вектора. Отже, отримуємо, що координати нормального вектора дорівнюють 0 1 .

Відповідь: 0, 1 .

Якщо дано рівняння у відрізках виду x a + y b = 1 або рівняння з кутовим коефіцієнтом y = k · x + b тоді необхідно приводити до загального рівняння прямої, де можна знайти координати нормального вектора даної прямої.

Приклад 3

Знайти координати нормального вектора, якщо дано рівняння прямої x 13 - y = 1 .

Рішення

Спочатку необхідно перейти від рівняння у відрізках x 1 3 - y = 1 до рівняння загального виду. Тоді отримаємо, що x 1 3 - y = 1 ⇔ 3 · x - 1 · y - 1 = 0 .

Звідси видно, що координати нормального вектора мають значення 3 - 1 .

Відповідь: 3 , - 1 .

Якщо пряма визначена канонічним рівнянням прямої на площині x - x 1 a x = y - y 1 a y або параметричним x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ, тоді отримання координат ускладнюється. За даними рівнянь видно, що координати напрямного вектора будуть a → = (a x , a y) . Можливість знаходження координат нормального вектора n → можливо завдяки умові перпендикулярності векторів n → і a → .

Є можливість отримання координат нормального вектора за допомогою наведення канонічного або параметричного рівнянь прямої до загального. Тоді отримаємо:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · (x - x 1) = a x · (y - y 1) ⇔ a y · x - a x · y + a x · y 1 - a y · x 1 x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y · x - a x · y + a x · y 1 - a y · x 1 = 0

Для вирішення можна вибирати будь-який зручний спосіб.

Приклад 4

Знайти нормальний вектор заданої прямої x - 27 = y + 3 - 2 .

Рішення

З прямої x - 27 = y + 3 - 2 зрозуміло, що напрямний вектор матиме координати a → = (7 , - 2) . Нормальний вектор n → = (n x , n y) заданою прямою є перпендикулярним a → = (7 , - 2) .

З'ясуємо, чому одно скалярне твір. Для знаходження скалярного твору векторів a → = (7 , - 2) і n → = (n x , n y) запишемо a → , n → = 7 · n x - 2 · n y = 0 .

Значення n x довільне, слід знайти n y . Якщо n x = 1 , звідси отримуємо, що 7 · 1 - 2 · n y = 0 ⇔ n y = 7 2 .

Отже, нормальний вектор має координати 1, 7 2 .

Другий спосіб рішення зводиться до того, що необхідно дійти загального виду рівняння з канонічного. Для цього перетворюємо

x - 2 7 = y + 3 - 2 ⇔ 7 · (y + 3) = - 2 · (x - 2) ⇔ 2 x + 7 y - 4 + 7 3 = 0

Отриманий результат координат нормального вектора дорівнює 2 7 .

Відповідь: 2 , 7або 1 , 7 2 .

Приклад 5

Вказати координати нормального вектора прямої x = 1 y = 2 - 3 · λ.

Рішення

Для початку необхідно виконати перетворення для переходу до загального вигляду прямої. Виконаємо:

x = 1 y = 2 - 3 · λ ⇔ x = 1 + 0 · λ y = 2 - 3 · λ ⇔ λ = x - 1 0 λ = y - 2 - 3 ⇔ x - 1 0 = y - 2 - 3 ⇔ ⇔ - 3 · (x - 1) = 0 · (y - 2) ⇔ - 3 · x + 0 · y + 3 = 0

Звідси видно, координати нормального вектора рівні - 3 , 0 .

Відповідь: - 3 , 0 .

Розглянемо способи знаходження координат нормального вектора при рівнянні прямої просторі, заданої прямокутної системою координат О х у z .

Коли пряма задається за допомогою рівнянь площин, що перетинаються A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 і A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 , тоді нормальний вектор площини відноситься до A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 і A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 тоді отримуємо запис векторів у вигляді n 1 → = (A 1 , B 1 , C 1) і n 2 → = (A 2, B 2, C 2).

Коли пряма визначена за допомогою канонічного рівняння простору, що має вигляд x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z або параметричного, що має вигляд x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ , звідси a x , a y та a z вважаються координатами напрямного вектора заданої прямої. Будь-який ненульовий вектор може бути нормальним для даної прямої, причому бути перпендикулярним вектору a → = (a x , a y , a z) . Звідси випливає, що знаходження координат нормального з параметричними та канонічними рівняннями здійснюється за допомогою координат вектора, який перпендикулярний заданому вектору a → = (a x , a y , a z) .

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter