Cách tìm góc giữa các gradient của hàm. Phân tích vectơ trường vô hướng của bề mặt và đường cấp độ đạo hàm có hướng gradient của trường vô hướng Các tính chất cơ bản của trường vô hướng định nghĩa bất biến gradient của quy tắc tính toán gradient gradient

Nhiệm vụ 2. Tìm côsin của góc a giữa các hoành độ tại các điểm A (1, 2, 2) và B (-3, 1, 0). Dung dịch.

Bài toán 3. Đối với một hàm số, hãy tìm đạo hàm dọc theo pháp tuyến bên trong để bề mặt hình trụ x 2 + z 2 = a 2 + c 2 tại điểm M 0 (a, b, c). Dung dịch. Cho f (x, y, z) = x 2 + z 2. Mặt đã cho trong điều kiện là mặt bằng để f đi qua điểm M 0. Ta có Hàm số f tại điểm M 0 phát triển nhanh nhất theo phương grad f, do đó, theo hướng pháp tuyến của bề mặt đã cho.

Dựa vào dạng của hàm f, ta kết luận rằng đây là phương của pháp tuyến ra ngoài. Do đó, đơn vị véc tơ pháp tuyến nội tại điểm M 0 sẽ bằng

Nhiệm vụ 5. Tính lưu lượng của trường vectơ a = (z 2 - x, 1, y 5) qua bề mặt bên trongĐs: y 2 = 2 x cắt bởi các mặt phẳng: x = 2, z = 0, z = 3. Lời giải.

Dung dịch. Phương pháp I Đường bao L - một đường tròn bán kính R, nằm trong mặt phẳng z = 3. Hãy chọn hướng như trong hình, tức là ngược chiều kim đồng hồ. Phương trình tham số vòng tròn trông như thế nào

II cách. Để tính toán tuần hoàn theo định lý Stokes, chúng ta chọn một số bề mặt S được kéo dài bởi đường bao. Điều tự nhiên là coi S là một đường tròn có đường viền L làm ranh giới của nó. Phương trình bề mặt S có dạng: Theo hướng đã chọn của đường bao, pháp tuyến của bề mặt phải lấy bằng

Bài 7. Sử dụng định lý Stokes, hãy tìm sự tuần hoàn của trường vectơ Trên mặt cắt x 2 + y 2 + z 2 = R 2 bởi mặt phẳng z = 0. Lời giải. Theo công thức Stokes

Bài 8. Tìm vectơ chảy qua một phần của mặt cầu x 2 + y 2 + z 2 = R 2, với x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0, theo hướng của pháp tuyến ngoài. Dung dịch. Theo định nghĩa của dòng vectơ qua bề mặt, chúng ta thấy

1 0 Gradient được hướng dọc theo pháp tuyến đến bề mặt bằng (hoặc đến đường mức nếu trường bằng phẳng).

2 0 Gradient được định hướng theo hướng chức năng trường tăng dần.

3 0 Môđun gradient bằng với đạo hàm lớn nhất theo hướng tại một điểm nhất định của trường:

Các thuộc tính này cung cấp một đặc tính bất biến của gradient. Họ nói rằng vectơ gradU chỉ ra hướng và độ lớn của sự thay đổi lớn nhất. trường vô hướng tại thời điểm này.

Nhận xét 2.1. Nếu hàm U (x, y) là hàm hai biến thì vectơ

(2.3)

nằm trong mặt phẳng oxy.

Cho các hàm U = U (x, y, z) và V = V (x, y, z) phân biệt tại điểm М 0 (x, y, z). Khi đó các giá trị bằng nhau sau đây được giữ nguyên:

a) grad () =; b) grad (UV) = VgradU + UgradV;

c) grad (U V) = gradU gradV; d) d) grad = , V;

e) gradU (= gradU, trong đó, U = U () có đạo hàm đối với.

Ví dụ 2.1. Hàm số U = x 2 + y 2 + z 2 đã cho. Xác định hoành độ của hàm số tại điểm M (-2; 3; 4).

Dung dịch. Theo công thức (2.2), ta có

.

Các mặt bậc của trường vô hướng này là họ mặt cầu x 2 + y 2 + z 2, vectơ gradU = (- 4; 6; 8) là Vector bình thường máy bay.

Ví dụ 2.2. Tìm gradient của trường vô hướng U = x-2y + 3z.

Dung dịch. Theo công thức (2.2), ta có

Các bề mặt mức của một trường vô hướng nhất định là các mặt phẳng

x-2y + 3z = C; vectơ gradU = (1; -2; 3) là vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng thuộc họ này.

Ví dụ 2.3. Tìm độ dốc lớn nhất của mặt phẳng U = x y tại điểm M (2; 2; 4).

Dung dịch. Chúng ta có:

Ví dụ 2.4. Tìm vectơ pháp tuyến đơn vị đối với bề mặt mức của trường vô hướng U = x 2 + y 2 + z 2.

Dung dịch. Các mặt bậc của một Trường cầu vô hướng cho trước x 2 + y 2 + z 2 = C (C> 0).

Gradient được hướng dọc theo pháp tuyến đến bề mặt bằng, do đó

Xác định vectơ pháp tuyến đối với mặt bằng tại điểm M (x, y, z). Đối với một vectơ pháp tuyến đơn vị, chúng ta thu được biểu thức

, ở đâu

.

Ví dụ 2.5. Tìm gradient trường U = , trong đó và là vectơ không đổi, r là vectơ bán kính của điểm.

Dung dịch.Để cho

Sau đó:
. Theo quy tắc phân biệt của yếu tố quyết định, chúng ta nhận được

Do đó,

Ví dụ 2.6. Tìm gradient khoảng cách, trong đó P (x, y, z) là điểm của trường đang nghiên cứu, P 0 (x 0, y 0, z 0) là một số điểm cố định.

Dung dịch. Ta có - vectơ chỉ phương đơn vị.

Ví dụ 2.7. Tìm góc giữa các tung độ của các hàm tại điểm M 0 (1,1).

Dung dịch. Chúng tôi tìm thấy các gradient của các hàm này tại điểm M 0 (1,1), chúng tôi có

; Góc giữa gradU và gradV tại điểm M 0 được xác định từ đẳng thức

Do đó = 0.

Ví dụ 2.8. Tìm đạo hàm đối với phương, vectơ bán kính bằng

(2.4)

Dung dịch. Tìm gradient của hàm này:

Thay thế (2.5) thành (2.4), chúng ta thu được

Ví dụ 2.9. Tìm tại điểm M 0 (1; 1; 1) có hướng thay đổi lớn nhất trong trường vô hướng U = xy + yz + xz và hoành độ của biến đổi lớn nhất tại thời điểm này.

Dung dịch. Hướng của sự thay đổi lớn nhất trong trường được biểu thị bằng vectơ grad U (M). Chúng tôi tìm thấy nó:

Và do đó, . Véc tơ này xác định hướng tăng mạnh nhất lĩnh vực nhất định tại điểm M 0 (1; 1; 1). Giá trị của thay đổi lớn nhất trong trường tại thời điểm này bằng

.

Ví dụ 3.1. Tìm các đường vectơ của trường vectơ vectơ không đổi ở đâu.

Dung dịch. Chúng tôi có như vậy

(3.3)

Nhân tử số và mẫu số của phân số thứ nhất với x, thứ hai với y, thứ ba với z và cộng nó với số hạng. Sử dụng thuộc tính tỷ lệ, chúng tôi nhận được

Do đó xdx + ydy + zdz = 0, có nghĩa là

x 2 + y 2 + z 2 = A 1, A 1 -const> 0. Bây giờ nhân tử số và mẫu số của phân số thứ nhất (3.3) với c 1, thứ hai với c 2, thứ ba với c 3 và cộng nó với số hạng, ta được

Từ đó c 1 dx + c 2 dy + c 3 dz = 0

Và do đó, với 1 x + c 2 y + c 3 z = A 2. Một 2-const.

Phương trình bắt buộc của đường vectơ

Các phương trình này cho thấy rằng các đường vectơ thu được do giao điểm của các mặt cầu có tâm chung tại gốc với các mặt phẳng, vuông góc với vectơ . Theo đó các đường vectơ là các đường tròn có tâm nằm trên một đường thẳng đi qua gốc theo hướng của vectơ c. Mặt phẳng của các đường tròn vuông góc với đường thẳng xác định.

Ví dụ 3.2. Tìm đường trường vectơ đi qua điểm (1,0,0).

Dung dịch. Phương trình vi phân các đường vector

do đó chúng tôi có . Giải phương trình đầu tiên. Hoặc nếu chúng ta giới thiệu tham số t, thì chúng ta sẽ có Trong trường hợp này, phương trình có hình thức hoặc dz = bdt, khi đó z = bt + c 2.

Nếu tại mỗi điểm trong không gian hoặc một phần không gian xác định được giá trị của một đại lượng nào đó thì người ta cho rằng trường của đại lượng này đã cho. Trường được gọi là vô hướng nếu giá trị được xem xét là vô hướng, tức là đặc điểm của nó giá trị số. Ví dụ, trường nhiệt độ. Trường vô hướng được cho bởi hàm vô hướng của điểm u = / (M). Nếu một hệ tọa độ Descartes được đưa vào trong không gian thì tồn tại một hàm ba biến x, yt z - tọa độ của điểm M: Định nghĩa. Bề mặt mức của trường vô hướng là tập hợp các điểm mà tại đó hàm f (M) nhận cùng một giá trị. Phương trình bề mặt cấp Ví dụ 1. Tìm các bề mặt cấp của trường vô hướng PHÂN TÍCH VECTOR Các bề mặt cấp trường vô hướng và các đường cấp Hướng đạo hàm Đạo hàm Gradient của trường vô hướng Thuộc tính Gradient cơ bản Định nghĩa bất biến Định nghĩa Gradient Quy tắc tính Gradient -4 Theo định nghĩa, một cấp phương trình bề mặt sẽ được. Đây là phương trình của một mặt cầu (với Ф 0) có tâm tại gốc tọa độ. Một trường vô hướng được gọi là phẳng nếu trường giống nhau trong tất cả các mặt phẳng song song với một mặt phẳng nào đó. Nếu mặt phẳng được chỉ định được coi là mặt phẳng xOy, thì hàm trường sẽ không phụ thuộc vào tọa độ z, tức là, nó sẽ là một hàm chỉ gồm các đối số x và y và cũng có nghĩa. Phương trình đường mức - Ví dụ 2. Tìm đường mức của trường vô hướng Đường mức được cho bởi phương trình Tại c = 0, chúng ta nhận được một cặp đường, chúng ta nhận được một họ các hypebol (Hình 1). 1.1. Đạo hàm có hướng Cho trường vô hướng xác định bởi một hàm vô hướng u = / (Af). Lấy điểm Afo và chọn hướng xác định bởi vectơ I. Hãy lấy một điểm M khác sao cho vectơ M0M song song với vectơ 1 (Hình 2). Hãy biểu thị độ dài của vectơ MoM bằng A / và số gia của hàm / (Af) - / (Afo), tương ứng với độ dời D1, bởi Di. Thái độ quyết định tốc độ trung bình Sự thay đổi của trường vô hướng trên một đơn vị độ dài theo hướng đã cho Bây giờ có xu hướng bằng không để vectơ М0М luôn song song với vectơ I. Nếu đối với D / O tồn tại giới hạn hữu hạn của quan hệ (5) thì nó được gọi là đạo hàm của hàm số tại một điểm cho trước Afo theo hướng I cho trước và được ký hiệu là zr! ^. Vì vậy, theo định nghĩa, Định nghĩa này không liên quan đến việc lựa chọn hệ tọa độ, nghĩa là, nó có một ký tự ** biến thể. Hãy để chúng tôi tìm một biểu thức cho đạo hàm đối với hướng trong Hệ thống Descartes tọa độ. Hãy để chức năng / có thể phân biệt được tại một điểm. Xem xét giá trị / (Af) tại một điểm. Khi đó tổng số gia của hàm có thể được viết dưới dạng sau: trong đó và các ký hiệu có nghĩa là các đạo hàm riêng được tính tại điểm Afo. Do đó ở đây các đại lượng jfi, ^ là các cosin có hướng của vectơ. Vì vectơ MoM và I đồng hướng nên cosin có hướng của chúng giống nhau: Vì M Afo, luôn nằm trên một đường thẳng, song song với vectơ 1, khi đó các góc không đổi, do đó Cuối cùng, từ các bằng nhau (7) và (8) ta thu được Eamuan và 1. Đạo hàm riêng là đạo hàm của hàm và theo hướng của các trục tọa độ với nno bên ngoài- Ví dụ 3. Tìm đạo hàm của hàm đối với điểm Vectơ có độ dài. Tính cosin hướng của nó: Theo công thức (9), chúng ta sẽ có Thực tế là, có nghĩa là trường vô hướng tại một điểm theo hướng tuổi cho trước- Đối với trường phẳng, đạo hàm theo hướng I tại một điểm được tính bằng công thức trong đó a là góc tạo bởi vectơ I với trục Oh. Zmmchmm 2. Công thức (9) để tính đạo hàm dọc theo phương I tại một điểm cho trước Afo vẫn giữ nguyên lực kể cả khi điểm M hướng đến điểm Mo dọc theo một đường cong mà vectơ I là tiếp tuyến tại điểm PrISchr 4. Tính đạo hàm của trường vô hướng tại điểm Afo (l, 1). thuộc một parabol theo hướng của đường cong này (theo hướng tăng abscissa). Hướng] của một parabol tại một điểm là hướng của tiếp tuyến với parabol tại điểm này (Hình 3). Cho tiếp tuyến của parabol tại điểm Afo tạo với trục Ox một góc o với trục Ox. Sau đó, khi nào các cosin trực tiếp của một tiếp tuyến Hãy tính các giá trị và trong một điểm. Chúng ta có Bây giờ theo công thức (10), chúng ta thu được. Tìm đạo hàm của trường vô hướng tại một điểm trên phương của đường tròn Phương trình vectơ của đường tròn có dạng. Ta tìm vectơ đơn vị m của tiếp tuyến với đường tròn Điểm ứng với giá trị của tham số. Trường vô hướng Gradient Cho phép một trường vô hướng được xác định bởi một hàm vô hướng được giả định là có thể phân biệt được. Sự định nghĩa. Gradient của trường vô hướng »tại một điểm M cho trước là một vectơ được ký hiệu bởi ký hiệu grad và được xác định bởi đẳng thức Rõ ràng rằng vectơ này phụ thuộc cả vào hàm / và vào điểm M mà tại đó đạo hàm của nó được tính. Gọi 1 là một vectơ đơn vị theo hướng Khi đó công thức của đạo hàm có hướng có thể được viết như sau:. do đó, đạo hàm của hàm số và theo hướng 1 bằng sản phẩm chấm của gradient của hàm u (M) trên một vectơ đơn vị 1 ° của phương I. 2.1. Các tính chất cơ bản của gradient Định lý 1. Gradient trường vô hướng vuông góc với mặt mức (hoặc với đường mức nếu trường phẳng). (2) Rút ra điểm tùy ý M là bề mặt mức u = const và chọn một đường cong trơn L trên bề mặt này đi qua điểm M (Hình 4). Gọi I là véc tơ tiếp tuyến của đường cong L tại điểm M. Vì trên mặt mức u (M) = u (M |) với bất kỳ điểm Mj ∈ L, thì Mặt khác, = (gradu, 1 °) . Đó là lý do tại sao. Điều này có nghĩa là các vectơ grad và và 1 ° là trực giao. . Gradient được định hướng theo hướng hàm trường tăng dần. Trước đó, chúng tôi đã chứng minh rằng gradient của trường vô hướng hướng dọc theo pháp tuyến đến bề mặt mức, có thể được định hướng theo hướng tăng của hàm u (M) hoặc theo hướng giảm của nó. Ký hiệu theo n là pháp tuyến của mặt mức được định hướng theo chiều tăng của hàm ti (M), và tìm đạo hàm của hàm u theo hướng của pháp tuyến này (Hình 5). Chúng ta có Kể từ theo điều kiện của Hình 5 và do đó PHÂN TÍCH VECTOR Trường vô hướng Các bề mặt và đường mức Đạo hàm có hướng Đạo hàm Gradient trường vô hướng Các tính chất cơ bản của gradient Định nghĩa bất biến của gradient Quy tắc tính toán gradient Nó tuân theo grad và được hướng vào cùng hướng với hướng mà chúng ta đã chọn pháp tuyến n, tức là theo chiều tăng của hàm u (M). Định lý 3. Độ dài của gradient bằng đạo hàm lớn nhất đối với hướng tại một điểm cho trước của trường, (ở đây, max $ được lấy theo tất cả các hướng có thể tại một điểm M cho trước). Ta có góc giữa vectơ 1 và grad n là đâu Vì giá trị lớn nhất là Ví dụ 1. Tìm hướng của imonion lớn nhất của trường vô hướng tại điểm và cũng là độ lớn của sự thay đổi lớn nhất này tại điểm xác định. Hướng của sự thay đổi lớn nhất trong trường vô hướng được biểu thị bằng một vectơ. Chúng ta có Vectơ này xác định hướng của mức tăng lớn nhất trong trường tới một điểm. Giá trị của sự thay đổi lớn nhất trong trường tại thời điểm này là 2,2. Định nghĩa bất biến của gradient Các đại lượng đặc trưng cho các thuộc tính của đối tượng nghiên cứu và không phụ thuộc vào sự lựa chọn hệ tọa độ được gọi là bất biến đối tượng này. Ví dụ, độ dài của một đường cong là một bất biến của đường cong này, nhưng góc của tiếp tuyến của đường cong với trục x không phải là một bất biến. Dựa vào ba tính chất trên của gradient trường vô hướng, chúng ta có thể đưa ra định nghĩa bất biến sau đây về gradient. Sự định nghĩa. Gradient trường vô hướng là một vector hướng dọc theo pháp tuyến đến mặt mức theo hướng của hàm trường tăng dần và có độ dài bằng đạo hàm có hướng lớn nhất (tại một điểm cho trước). Gọi là một vectơ pháp tuyến đơn vị hướng theo hướng của trường tăng dần. Sau đó Ví dụ 2. Tìm gradient khoảng cách - một số điểm cố định, và M (x, y, z) - điểm hiện tại. 4 Chúng ta có véc tơ hướng đơn vị là đâu. Quy tắc tính gradient trong đó c là một số không đổi. Các công thức trên thu được trực tiếp từ định nghĩa của gradient và các tính chất của các đạo hàm. Theo quy luật phân biệt tích Phép chứng minh tương tự như phép chứng minh tính chất Cho F (u) là hàm vô hướng phân biệt. Sau đó 4 Theo định nghĩa của gradient, chúng ta có Áp dụng cho tất cả các thuật ngữ ở phía bên phải quy tắc phân biệt chức năng phức tạp. Đặc biệt, Công thức (6) đi từ mặt phẳng công thức đến hai điểm cố định của mặt phẳng này. Xét một hình elip tùy ý với các tiêu điểm Fj và F] và chứng minh rằng bất kỳ tia sáng nào ló ra từ một tiêu điểm của hình elip, sau khi phản xạ từ hình elip, sẽ đi vào tiêu điểm khác của nó. Các đường mức của hàm (7) là PHÂN TÍCH VECTOR Trường vô hướng Bề mặt và đường mức Đạo hàm có hướng Đạo hàm Trường vô hướng Các tính chất cơ bản của gradient Định nghĩa bất biến của quy tắc tính gradient Phương trình (8) mô tả một họ hình elip với các điểm F) và Fj. Theo kết quả của ví dụ 2, chúng ta có Như vậy, gradient lĩnh vực nhất định bằng vectơ PQ của các đường chéo của một hình thoi được xây dựng trên các vectơ đơn vị của r? và vectơ bán kính. được vẽ đến điểm P (x, y) từ foci F | và Fj, và do đó nằm trên đường phân giác của góc giữa các vectơ bán kính này (Hình 6). Theo Tooromo 1, gradient PQ vuông góc với hình elip (8) tại điểm. Do đó, Hình 6. pháp tuyến của hình elip (8) tại bất kỳ điểm thứ nào chia đôi góc giữa các vectơ bán kính được vẽ đến điểm này. Từ đây và từ thực tế là góc tới bằng góc phản xạ, chúng ta thu được: một tia sáng đi ra từ một tiêu điểm của hình elip, bị phản xạ từ nó, chắc chắn sẽ rơi vào tiêu điểm khác của hình elip này.