Đã ở trường tiểu học học sinh đang xử lý các phân số. Và sau đó chúng xuất hiện trong mọi chủ đề. Không thể quên các hành động với những con số này. Do đó, bạn cần biết tất cả các thông tin về phân số thông thường và số thập phân. Những khái niệm này rất đơn giản, điều chính là hiểu mọi thứ theo thứ tự.

Tại sao phân số cần thiết?

Thế giới xung quanh chúng ta bao gồm toàn bộ các đối tượng. Do đó, không cần cổ phần. Nhưng mà Cuộc sống hàng ngày liên tục thúc đẩy mọi người làm việc với các bộ phận của đồ vật và sự vật.

Ví dụ, sô cô la gồm nhiều lát. Xem xét tình huống trong đó ô của nó được hình thành bởi mười hai hình chữ nhật. Nếu bạn chia nó thành hai phần, bạn sẽ nhận được 6 phần. Nó sẽ được chia thành ba. Nhưng năm người sẽ không thể đưa ra toàn bộ số lát sô cô la.

Nhân tiện, những lát này đã là phân số. Và sự phân chia xa hơn của chúng dẫn đến sự xuất hiện của các số phức hơn.

"phân số" là gì?

Đây là một số bao gồm các phần của một. Bề ngoài, có vẻ như hai số được phân tách bằng dấu gạch ngang hoặc dấu gạch chéo. Tính năng này được gọi là phân số. Số viết ở trên cùng (bên trái) được gọi là tử số. Cái ở dưới cùng (bên phải) là mẫu số.

Trên thực tế, thanh phân số hóa ra là một dấu hiệu chia. Nghĩa là, tử số có thể được gọi là cổ tức và mẫu số có thể được gọi là ước số.

các phân số là gì?

Trong toán học, chỉ có hai loại phân số: phân số thông thường và phân số thập phân. Học sinh lần đầu tiên được làm quen với trường tiểu học, gọi chúng đơn giản là "phân số". Lần thứ hai học năm lớp 5. Đó là lúc những cái tên này xuất hiện.

Các phân số phổ biến là tất cả những phân số được viết dưới dạng hai số cách nhau bởi một dấu gạch ngang. Ví dụ, ngày 7/4. Số thập phân là một số trong đó phần phân số có ký hiệu vị trí và được phân tách với phần nguyên bằng dấu phẩy. Ví dụ, 4.7. Học sinh cần phải rõ ràng rằng hai ví dụ được đưa ra là những con số hoàn toàn khác nhau.

Mỗi phân số đơn giản có thể được viết dưới dạng số thập phân. Tuyên bố này hầu như luôn luôn đúng trong hướng ngược lại. Có những quy tắc cho phép bạn viết phân số thập phân dưới dạng phân số thông thường.

Những loại phân số này có những phân loài nào?

bắt đầu tốt hơn tại thứ tự thời gian như chúng đang được nghiên cứu. đầu tiên đi phân số chung. Trong số đó, 5 phân loài có thể được phân biệt.

Chính xác. Tử số của nó luôn nhỏ hơn mẫu số.

Sai. Tử số của nó lớn hơn hoặc bằng mẫu số.

Có thể giảm / không thể giảm được. Nó có thể đúng hoặc sai. Một điều quan trọng nữa là tử số và mẫu số có nhân tử chung hay không. Nếu có, thì chúng phải chia cả hai phần của phân số, nghĩa là rút gọn nó.

Trộn. Một số nguyên được gán cho phần phân số đúng (không chính xác) thông thường của nó. Và nó luôn đứng bên trái.

tổng hợp. Nó được hình thành từ hai phân số được chia cho nhau. Đó là, nó có ba tính năng phân đoạn cùng một lúc.

Số thập phân chỉ có hai phân loài:

cuối cùng, nghĩa là, một trong đó phần phân số bị giới hạn (có một kết thúc);

vô hạn - một số có các chữ số sau dấu thập phân không kết thúc (chúng có thể được viết vô tận).

Làm cách nào để chuyển đổi số thập phân thành bình thường?

Nếu điều này số giới hạn, sau đó một hiệp hội dựa trên quy tắc được áp dụng - như tôi nghe thấy, vì vậy tôi viết. Tức là bạn cần đọc chính xác và viết ra nhưng không có dấu phẩy mà có dòng phân số.

Như một gợi ý về mẫu số cần thiết, hãy nhớ rằng nó luôn là một và một vài số không. Cái sau cần được viết bằng bao nhiêu chữ số trong phần phân số của số đang xét.

Cách chuyển đổi phân số thập phân thành phân số thông thường nếu chúng Toàn bộ phần vắng mặt, tức là bằng không? Ví dụ: 0,9 hoặc 0,05. Sau khi áp dụng quy tắc đã chỉ định, hóa ra bạn cần viết các số nguyên bằng không. Nhưng nó không được chỉ định. Nó vẫn chỉ để viết ra các phần phân số. Đối với số đầu tiên, mẫu số sẽ là 10, đối với số thứ hai - 100. Tức là, các ví dụ được chỉ định sẽ có các số dưới dạng câu trả lời: 9/10, 5/100. Hơn nữa, cái sau hóa ra có thể giảm đi 5. Do đó, kết quả cho nó phải được viết là 1/20.

thích từ phân số thập phânđể tạo một cái bình thường nếu phần nguyên của nó khác 0? Ví dụ: 5,23 hoặc 13,00108. Cả hai ví dụ đều đọc phần nguyên và ghi giá trị của nó. Trong trường hợp đầu tiên, đây là 5, trong trường hợp thứ hai là 13. Sau đó, bạn cần chuyển sang phần phân số. Với họ, cần phải thực hiện các hoạt động tương tự. Số thứ nhất có 23/100, số thứ hai có 108/100000. Giá trị thứ hai cần phải được giảm lại. Câu trả lời là phân số hỗn hợp: 5 23/100 và 13 27/25000.

Làm thế nào để chuyển đổi một số thập phân vô hạn thành một phân số phổ biến?

Nếu nó không định kỳ, thì một hoạt động như vậy không thể được thực hiện. Thực tế này là do thực tế là mỗi phân số thập phân luôn được chuyển đổi thành cuối cùng hoặc định kỳ.

Điều duy nhất được phép thực hiện với một phân số như vậy là làm tròn nó. Nhưng khi đó số thập phân sẽ xấp xỉ bằng số vô hạn đó. Nó đã có thể được biến thành một cái bình thường. Nhưng quy trình ngược lại: chuyển đổi sang số thập phân - sẽ không bao giờ cho giá trị ban đầu. Tức là vô tận phân số không tuần hoàn không được chuyển đổi thành thông thường. Điều này phải được ghi nhớ.

Làm thế nào để viết một phân số tuần hoàn vô hạn ở dạng bình thường?

Trong những số này, một hoặc nhiều chữ số luôn xuất hiện sau dấu thập phân, được lặp lại. Chúng được gọi là thời kỳ. Ví dụ: 0,3(3). Ở đây "3" trong khoảng thời gian. Chúng được phân loại là hợp lý, vì chúng có thể được chuyển đổi thành phân số thông thường.

Những ai đã từng gặp các phân số tuần hoàn đều biết rằng chúng có thể thuần túy hoặc hỗn hợp. Trong trường hợp đầu tiên, dấu chấm bắt đầu ngay từ dấu phẩy. Trong phần thứ hai, phần phân số bắt đầu bằng bất kỳ số nào, sau đó bắt đầu lặp lại.

Quy tắc mà bạn cần viết một số thập phân vô hạn ở dạng phân số thông thường sẽ khác nhau đối với hai loại số này. Khá dễ để viết các phân số tuần hoàn thuần túy như các phân số bình thường. Đối với những cái cuối cùng, chúng cần được chuyển đổi: viết dấu chấm vào tử số và số 9 sẽ là mẫu số, lặp lại nhiều lần khi có các chữ số trong khoảng thời gian.

Ví dụ: 0,(5). Số không có phần nguyên nên bạn cần chuyển ngay sang phần phân số. Viết 5 vào tử số và viết 9 vào mẫu số, tức là đáp số sẽ là phân số 5/9.

Quy tắc viết phân số thập phân thông thường là hỗn số.

Nhìn vào độ dài của thời kỳ. Vì vậy, nhiều 9 sẽ có một mẫu số.

Viết ra mẫu số: số chín đầu tiên, sau đó là số không.

Để xác định tử số, bạn cần viết hiệu của hai số. Tất cả các chữ số sau dấu thập phân sẽ bị giảm cùng với dấu chấm. Có thể trừ - nó không có dấu chấm.

Ví dụ: 0,5(8) - viết phân số thập phân tuần hoàn dưới dạng phân số chung. Phần phân số trước dấu chấm là một chữ số. Vì vậy, số không sẽ là một. Cũng chỉ có một chữ số trong khoảng thời gian - 8. Tức là chỉ có một số chín. Tức là bạn cần viết 90 ở mẫu số.

Để xác định tử số từ 58, bạn cần trừ 5. Kết quả là 53. Ví dụ: bạn sẽ phải viết 53/90 làm câu trả lời.

Các phân số thông thường được chuyển thành số thập phân như thế nào?

nhiều nhất tùy chọn đơn giản hóa ra số ở mẫu số là số 10, 100, v.v. Sau đó, mẫu số chỉ đơn giản là bị loại bỏ và dấu phẩy được đặt giữa các phần phân số và phần nguyên.

Có những trường hợp mẫu số dễ dàng biến thành 10, 100, v.v. Ví dụ: các số 5, 20, 25. Chỉ cần nhân chúng với 2, 5 và 4 tương ứng là đủ. Chỉ cần nhân không chỉ mẫu số mà cả tử số với cùng một số.

Đối với tất cả các trường hợp khác, một quy tắc đơn giản sẽ hữu ích: chia tử số cho mẫu số. Trong trường hợp này, bạn có thể nhận được hai câu trả lời: phân số thập phân cuối cùng hoặc phân số định kỳ.

Các phép toán với phân số thông thường

Cộng và trừ

Học sinh làm quen với chúng sớm hơn những người khác. Và đầu tiên với phân số cùng mẫu số và sau đó khác nhau. Các quy tắc chung có thể được giảm xuống thành một kế hoạch như vậy.

Tìm bội số chung nhỏ nhất của các mẫu số.

Viết các yếu tố bổ sung cho tất cả các phân số bình thường.

Nhân các tử số và mẫu số với các thừa số đã xác định cho chúng.

Cộng (trừ) tử số của các phân số và giữ nguyên mẫu số chung.

Nếu tử số của số bị trừ nhỏ hơn số trừ, thì bạn cần tìm hiểu xem chúng ta có một hỗn số hay một phân số thích hợp.

Trong trường hợp đầu tiên, phần nguyên cần lấy một. Cộng mẫu số với tử số của một phân số. Và sau đó thực hiện phép trừ.

Trong lần thứ hai - cần áp dụng quy tắc trừ từ ít hơn hơn. Nghĩa là, trừ mô đun của phần bị trừ khỏi mô đun của phần bị trừ và đặt dấu “-” vào phản hồi.

Xem kỹ kết quả của phép cộng (phép trừ). Nếu nó bật ra phân số không đúng, sau đó cần phải chọn toàn bộ phần. Tức là chia tử số cho mẫu số.

phép nhân và phép chia

Để thực hiện chúng, các phân số không cần phải rút gọn thành mẫu số chung. Điều này làm cho nó dễ dàng hơn để thực hiện hành động. Nhưng họ vẫn phải tuân theo các quy tắc.

Khi nhân các phân số thông thường cần xét các số ở tử số và mẫu số. Nếu bất kỳ tử số và mẫu số nào có nhân tử chung thì chúng có thể rút gọn.

Nhân tử số.

Nhân các mẫu số.

Nếu bạn nhận được một phân số có thể rút gọn, thì nó phải được đơn giản hóa lại.

Khi chia, trước tiên bạn phải thay phép chia bằng phép nhân và số chia (phân số thứ hai) bằng một nghịch đảo (hoán đổi tử số và mẫu số).

Sau đó tiến hành như trong phép nhân (bắt đầu từ điểm 1).

Trong các nhiệm vụ mà bạn cần nhân (chia) cho một số nguyên, số nguyên được cho là được viết dưới dạng phân số không chính xác. Tức là với mẫu số là 1. Sau đó tiến hành như mô tả ở trên.



Các phép toán với số thập phân

Cộng và trừ

Tất nhiên, bạn luôn có thể biến một số thập phân thành một phân số chung. Và hành động theo kế hoạch đã được mô tả. Nhưng đôi khi sẽ thuận tiện hơn khi hành động mà không cần bản dịch này. Sau đó, các quy tắc cộng và trừ của chúng sẽ hoàn toàn giống nhau.

Cân bằng số chữ số trong phần phân số của số, nghĩa là sau dấu thập phân. Gán số không còn thiếu trong đó.

Viết các phân số sao cho dấu phẩy nằm dưới dấu phẩy.

Cộng (trừ) như số tự nhiên.

Xóa dấu phẩy.

phép nhân và phép chia

Điều quan trọng là bạn không cần thêm số không vào đây. Các phân số được cho là để nguyên như chúng được đưa ra trong ví dụ. Và sau đó đi theo kế hoạch.

Đối với phép nhân, bạn cần viết các phân số lần lượt, không chú ý đến dấu phẩy.

Nhân như số tự nhiên.

Đặt dấu phẩy vào câu trả lời, đếm từ cuối bên phải của câu trả lời bằng bao nhiêu chữ số nằm trong phần phân số của cả hai thừa số.

Để chia, trước tiên bạn phải chuyển đổi số chia: biến nó thành một số tự nhiên. Tức là nhân nó với 10, 100, v.v., tùy thuộc vào số lượng chữ số ở phần phân số của ước số.

Nhân số cổ tức với cùng một số.

Chia một số thập phân cho một số tự nhiên.

Đặt dấu phẩy vào câu trả lời tại thời điểm kết thúc việc chia toàn bộ phần.



Nếu có cả hai loại phân số trong một ví dụ thì sao?

Đúng vậy, trong toán học thường có những ví dụ mà bạn cần thực hiện các phép toán trên phân số thông thường và số thập phân. Có hai giải pháp khả thi cho những vấn đề này. Bạn cần cân nhắc khách quan các con số và chọn con số tốt nhất.

Cách thứ nhất: biểu diễn số thập phân thông thường

Nó phù hợp nếu khi chia hoặc dịch, bạn nhận được phân số hữu hạn. Nếu ít nhất một số cung cấp một phần định kỳ, thì kỹ thuật này bị cấm. Do đó, ngay cả khi bạn không thích làm việc với các phân số thông thường, bạn sẽ phải đếm chúng.

Cách thứ hai: viết phân số thập phân như bình thường

Kỹ thuật này thuận tiện nếu có 1-2 chữ số ở phần sau dấu thập phân. Nếu có nhiều trong số chúng, một phân số thông thường rất lớn có thể xuất hiện và các mục nhập thập phân sẽ cho phép bạn tính toán nhiệm vụ nhanh hơn và dễ dàng hơn. Do đó, luôn cần phải tỉnh táo đánh giá nhiệm vụ và chọn phương pháp giải quyết đơn giản nhất.

§ 102. Làm rõ sơ bộ.

Trong phần trước, chúng ta đã xét các phân số có tất cả các mẫu số có thể có và gọi chúng là các phân số thông thường. Chúng tôi quan tâm đến mọi phân số phát sinh trong quá trình đo hoặc chia, bất kể chúng tôi lấy loại mẫu số nào.

Bây giờ, từ toàn bộ tập hợp các phân số, chúng tôi sẽ chọn các phân số có mẫu số: 10, 100, 1.000, 10.000, v.v., tức là các phân số như vậy, mẫu số của chúng chỉ là các số được biểu thị bằng đơn vị (1) theo sau là các số không (một hoặc vài). Những phân số như vậy được gọi là số thập phân.

Dưới đây là ví dụ về số thập phân:

Chúng tôi đã gặp các phân số thập phân trước đây, nhưng không chỉ ra bất kỳ thuộc tính đặc biệt nào vốn có trong chúng. Bây giờ chúng tôi sẽ chỉ ra rằng chúng có một số tính chất đáng chú ý giúp đơn giản hóa mọi phép tính với phân số.

§ 103. Hình của một phân số thập phân không cùng mẫu số.

Phân số thập phân thường được viết không giống như phân số thông thường mà theo quy tắc viết số nguyên.

Để hiểu cách viết số thập phân không có mẫu số, bạn cần nhớ cách viết hệ thống thập phân số nguyên bất kỳ. Ví dụ, nếu chúng ta viết số có ba chữ số chỉ sử dụng số 2, tức là số 222, thì mỗi hai số này sẽ có Ý nghĩa đặc biệt tùy thuộc vào vị trí nó chiếm trong số. Hai số đầu tiên từ bên phải là viết tắt của hàng đơn vị, số thứ hai là hàng chục và số thứ ba là hàng trăm. Do đó, bất kỳ chữ số nào ở bên trái của bất kỳ chữ số nào khác biểu thị đơn vị lớn hơn mười lần so với đơn vị được chỉ định bởi chữ số trước đó. Nếu thiếu bất kỳ chữ số nào, thì số 0 được viết vào vị trí của nó.

Vì vậy, trong một số nguyên, hàng đơn vị ở vị trí đầu tiên bên phải, hàng chục ở vị trí thứ hai, v.v.

Bây giờ chúng ta hãy đặt câu hỏi về loại đơn vị nào sẽ thu được nếu, chẳng hạn, chúng ta đang ở số 222 với đúng bên chúng tôi sẽ thêm một số nữa. Để trả lời câu hỏi này, bạn cần tính đến hai cái cuối cùng (cái đầu tiên từ bên phải sang) biểu thị các đơn vị.

Do đó, nếu sau deuce, biểu thị các đơn vị, chúng ta, rút ​​​​lui một chút, viết một số khác, ví dụ 3, thì nó sẽ biểu thị các đơn vị, nhỏ hơn mười lần so với những cái trước, nói cách khác, nó sẽ biểu thị phần mười các đơn vị; kết quả là một số chứa 222 đơn vị nguyên và 3 phần mười của một đơn vị.

Người ta thường đặt dấu phẩy giữa phần nguyên và phần phân số của số, tức là viết như sau:

Nếu sau bộ ba của số này, chúng ta thêm một số khác, ví dụ 4, thì nó sẽ có nghĩa là 4 phần trăm phân số của một đơn vị; số sẽ giống như:

và được phát âm là: hai trăm hai mươi hai phẩy, ba mươi tư phần trăm.

Một chữ số mới, ví dụ 5, được gán cho số này, cho chúng ta phần nghìn: 222.345 (hai trăm hai mươi hai phẩy ba trăm bốn mươi lăm phần nghìn).

Để rõ ràng hơn, sự sắp xếp theo số lượng các chữ số nguyên và phân số có thể được trình bày dưới dạng bảng:

Như vậy, chúng ta đã giải thích cách viết phân số thập phân không có mẫu số. Hãy viết một số các phân số này.

Để viết một phân số không có mẫu số 5/10, bạn cần lưu ý rằng nó không có số nguyên và do đó, vị trí của số nguyên phải bằng 0, tức là 5/10 = 0,5.

Phân số 2 9/100 không có mẫu số sẽ được viết như sau: 2,09, nghĩa là số 0 phải được đặt ở vị trí của các phần mười. Nếu chúng ta bỏ qua 0 này, chúng ta sẽ nhận được một phân số hoàn toàn khác, cụ thể là 2,9, tức là hai điểm nguyên và chín phần mười.

Vì vậy, khi viết các phân số thập phân, bạn cần biểu thị các chữ số nguyên và phân số bị thiếu bằng 0:

0,325 - không có số nguyên,
0,012 - không có số nguyên và không có phần mười,
1.208 - không có phần trăm,
0,20406 - không có số nguyên, không có phần trăm và không có phần mười nghìn.

Các số ở bên phải dấu thập phân được gọi là số thập phân.

Để tránh nhầm lẫn khi viết phân số thập phân, bạn cần nhớ rằng sau dấu thập phân trong hình ảnh của phân số thập phân phải có nhiều chữ số bằng số 0 ở mẫu số nếu chúng ta viết phân số này bằng mẫu số, tức là.

0,1 \u003d 1 / 10 (mẫu số có một số 0 và một chữ số sau dấu thập phân);

§ 104. Gán các số không cho một phân số thập phân.

Trong đoạn trước, nó đã được mô tả cách hiển thị các phân số thập phân không có mẫu số. Tầm quan trọng lớn khi viết phân số thập phân, nó có số không. Mọi phân số thập phân thông thường đều có số 0 thay cho số nguyên để chỉ ra rằng phân số đó không có số nguyên. Bây giờ chúng ta sẽ viết một số số thập phân khác nhau bằng cách sử dụng các số: 0, 3 và 5.

0,35 - 0 số nguyên, 35 phần trăm,
0,035 - 0 số nguyên, 35 phần nghìn,
0,305 - 0 số nguyên, 305 phần nghìn,
0,0035 - 0 số nguyên, 35 phần mười nghìn.

Bây giờ chúng ta hãy tìm hiểu ý nghĩa của các giá trị rỗng được đặt ở cuối phần thập phân, tức là ở bên phải.

Nếu chúng ta lấy một số nguyên, chẳng hạn như 5, đặt dấu phẩy sau nó, rồi viết số 0 sau dấu phẩy, thì số 0 này sẽ có nghĩa là 0/10. Do đó, số không được gán ở bên phải này sẽ không ảnh hưởng đến giá trị của số, tức là

Bây giờ, hãy lấy số 6,1 và thêm số 0 vào bên phải, chúng ta có 6,10, tức là chúng ta có 1/10 sau dấu thập phân và nó trở thành 10/100, nhưng 10/100 bằng 1/10. Điều này có nghĩa là giá trị của số không thay đổi và từ phép gán sang bên phải của số 0, chỉ có dạng số và cách phát âm đã thay đổi (6,1 - sáu phẩy một phần mười; 6,10 - sáu phẩy mười phần trăm).

Bằng cách suy luận tương tự, chúng ta có thể đảm bảo rằng việc gán các số không ở bên phải cho một phân số thập phân không làm thay đổi giá trị của nó. Do đó, chúng ta có thể viết các đẳng thức sau:

1 = 1,0,
2,3 = 2,300,
6,7 = 6,70000, v.v.

Nếu chúng ta gán các số không ở bên trái của phần thập phân, thì chúng sẽ không có ý nghĩa gì. Thật vậy, nếu chúng ta viết số 0 vào bên trái của số 4,6, thì số đó sẽ có dạng 04,6. Số không ở đâu? Nó đứng ở vị trí của hàng chục, nghĩa là nó chỉ ra rằng không có hàng chục nào trong số này, nhưng điều này rõ ràng ngay cả khi không có số không.

Tuy nhiên, nên nhớ rằng đôi khi số 0 được gán cho phân số thập phân ở bên phải. Ví dụ có bốn phân số: 0,32; 2,5; 13.1023; 5,238. Chúng tôi gán các số 0 ở bên phải cho những phân số có ít chữ số thập phân sau dấu thập phân hơn: 0,3200; 2,5000; 13.1023; 5,2380.

Nó dùng để làm gì? Gán các số 0 sang bên phải, ta được bốn chữ số sau dấu thập phân cho mỗi số, nghĩa là mỗi phân số sẽ có mẫu số là 10.000, còn trước khi gán số 0 thì mẫu số của phân số thứ nhất là 100, phân số thứ hai là 10, phân số thứ ba là 100. 10.000 và số thứ tư là 1.000.Vì vậy, bằng cách gán các số 0, chúng tôi đã cân bằng số chữ số thập phân của các phân số của mình, tức là đưa chúng về một mẫu số chung. Do đó, việc rút gọn các phân số thập phân thành mẫu số chung được thực hiện bằng cách gán các số 0 cho các phân số này.

Mặt khác, nếu một số phân số thập phân có số 0 ở bên phải, thì chúng ta có thể loại bỏ chúng mà không làm thay đổi giá trị của nó, ví dụ: 2,60 = 2,6; 3,150 = 3,15; 4.200 = 4,2.

Người ta nên hiểu như thế nào về việc loại bỏ các số 0 ở bên phải phần thập phân? Nó tương đương với sự rút gọn của nó, và điều này có thể thấy nếu chúng ta viết các phân số thập phân này với mẫu số:

§ 105. So sánh độ lớn các phân số thập phân.

Khi sử dụng phân số thập phân, điều rất quan trọng là có thể so sánh các phân số với nhau và trả lời câu hỏi phân số nào bằng nhau, phân số nào lớn hơn và phân số nào nhỏ hơn. So sánh số thập phân được thực hiện khác với so sánh số nguyên. Ví dụ, một số nguyên số có hai chữ số luôn lớn hơn một chữ số, cho dù một chữ số có bao nhiêu đơn vị; số có ba chữ số hơn số có hai chữ số và thậm chí còn hơn số có một chữ số. Nhưng khi so sánh các phân số thập phân, sẽ là một sai lầm nếu đếm tất cả các dấu mà phân số được viết.

Hãy lấy hai phân số: 3,5 và 2,5 và so sánh chúng về kích thước. Chúng có cùng số thập phân, nhưng phân số thứ nhất có 3 số nguyên và phân số thứ hai có 2. Phân số thứ nhất lớn hơn phân số thứ hai, tức là

Hãy lấy các phân số khác: 0,4 và 0,38. Để so sánh các phân số này, rất hữu ích khi gán số không ở bên phải của phân số đầu tiên. Sau đó, chúng ta sẽ so sánh các phân số 0,40 và 0,38. Mỗi phân số có hai chữ số sau dấu thập phân, nghĩa là các phân số này có cùng mẫu số 100.

Ta chỉ cần so sánh tử số của chúng mà tử số 40 lớn hơn 38. Vậy phân số thứ nhất lớn hơn phân số thứ hai, tức là

Phân số thứ nhất có nhiều phần mười hơn phân số thứ hai, tuy nhiên, phân số thứ hai có thêm 8 phần trăm nhưng chúng nhỏ hơn một phần mười, vì 1/10 \u003d 10/100.

Bây giờ hãy so sánh các phân số như vậy: 1,347 và 1,35. Chúng tôi gán số không ở bên phải của phân số thứ hai và so sánh các phân số thập phân: 1.347 và 1.350. Các phần nguyên giống nhau, vì vậy bạn chỉ cần so sánh các phần phân số: 0,347 và 0,350. Mẫu số của các phân số này là chung, nhưng tử số của phân số thứ hai lớn hơn tử số của phân số thứ nhất, có nghĩa là phân số thứ hai lớn hơn phân số thứ nhất, tức là 1,35\u003e 1,347.

Cuối cùng, hãy so sánh hai phân số nữa: 0,625 và 0,62473. Chúng tôi thêm hai số 0 vào phân số đầu tiên sao cho các chữ số bằng nhau và so sánh các phân số thu được: 0,62500 và 0,62473. Mẫu số của chúng giống nhau, nhưng tử số của phân số thứ nhất 62500 lớn hơn tử số của phân số thứ hai 62473. Do đó, phân số thứ nhất lớn hơn phân số thứ hai, tức là 0,625 > 0,62473.

Dựa vào những điều đã nói ở trên, chúng ta có thể rút ra kết luận sau: trong hai phân số thập phân, phân số nào có nhiều số nguyên hơn thì lớn hơn; khi các số nguyên bằng nhau thì phân số đó lớn hơn, trong đó số phần mười lớn hơn; khi số nguyên và phần mười bằng nhau thì phân số đó lớn hơn, trong đó số phần trăm lớn hơn, v.v.

§ 106. Tăng, giảm một phân số thập phân lên 10, 100, 1000, v.v.

Chúng ta đã biết rằng việc thêm số không vào số thập phân không ảnh hưởng đến giá trị của nó. Khi chúng tôi nghiên cứu về số nguyên, chúng tôi thấy rằng cứ mỗi số 0 được gán bên phải thì số đó tăng lên 10 lần. Không khó để hiểu tại sao điều này lại xảy ra. Nếu chúng ta lấy một số nguyên, ví dụ 25, và gán số 0 ở bên phải của nó, thì số đó sẽ tăng lên 10 lần, số 250 lớn hơn 25 10 lần. Khi số 0 xuất hiện ở bên phải, số 5, trong đó dùng để chỉ hàng đơn vị, nay bắt đầu dùng để chỉ hàng chục, và số 2 trước đây chỉ hàng chục, nay là hàng trăm. Vì vậy, nhờ sự xuất hiện của số 0, các chữ số cũ đã được thay thế bằng chữ số mới, chúng trở nên lớn hơn, chúng dịch chuyển sang trái một chỗ. Ví dụ, khi cần tăng một phân số thập phân lên 10 lần, thì chúng ta cũng phải di chuyển các chữ số sang trái một vị trí, nhưng không thể đạt được chuyển động như vậy bằng không. Một phân số thập phân bao gồm một phần nguyên và một phần phân số, được phân tách bằng dấu phẩy. Bên trái dấu thập phân là chữ số nguyên nhỏ nhất, bên phải là chữ số phân số cao nhất. Xét một phân số:

Làm thế nào chúng ta có thể di chuyển các chữ số trong đó, ít nhất một vị trí, tức là, làm thế nào chúng ta có thể tăng nó lên 10 lần? Nếu chúng ta di chuyển dấu phẩy sang phải một chỗ, thì trước hết điều này sẽ ảnh hưởng đến số phận của năm người: đó là từ khu vực phân số rơi vào lĩnh vực của số nguyên. Sau đó, số sẽ có dạng: 12345.678. Sự thay đổi xảy ra với tất cả các số khác chứ không chỉ với số năm. Tất cả các số có trong số đã bắt đầu chơi vai trò mới, điều sau đây đã xảy ra (xem bảng):

Tất cả các cấp bậc đã thay đổi tên của họ, và tất cả các đơn vị cấp bậc, có thể nói, đã tăng một bậc. Từ đây, toàn bộ số tăng lên 10 lần. Do đó, di chuyển dấu phẩy sang bên phải một ký tự sẽ tăng số lên 10 lần.

Hãy xem xét thêm một số ví dụ:

1) Lấy phân số 0,5 và di chuyển dấu phẩy sang phải một chỗ; ta được số 5 gấp 10 lần số 0,5 vì trước đây số 5 có nghĩa là 1/10 đơn vị, còn bây giờ có nghĩa là cả đơn vị.

2) Di chuyển dấu phẩy ở số 1,234 sang bên phải hai chữ số; con số trở thành 123,4. Con số này lớn hơn 100 lần so với số trước, vì trong đó số 3 bắt đầu biểu thị hàng đơn vị, số 2 - hàng chục và số 1 - hàng trăm.

Do đó, để tăng phân số thập phân lên 10, bạn cần di chuyển dấu phẩy trong đó sang bên phải một vị trí; để tăng nó lên 100 lần, bạn cần di chuyển dấu phẩy sang bên phải hai vị trí; để tăng 1.000 lần - ba chữ số ở bên phải, v.v.

Nếu đồng thời không có đủ dấu hiệu cho số, thì các số 0 được gán cho nó ở bên phải. Ví dụ, hãy tăng phân số 1,5 lên 100 lần bằng cách di chuyển dấu phẩy lên hai chữ số; ta được 150. Hãy tăng phân số 0,6 lên 1000 lần; chúng tôi nhận được 600.

quay lại nếu được yêu cầu giảm bớt phân số thập phân gấp 10, 100, 1.000, v.v., thì bạn cần di chuyển dấu phẩy sang trái trong đó một, hai, ba, v.v. Cho phân số 20,5 đã cho; hãy giảm nó đi 10 lần; để làm điều này, chúng ta di chuyển dấu phẩy sang trái một dấu, phân số sẽ có dạng 2,05. Hãy rút gọn phân số 0,015 đi 100 lần; chúng tôi nhận được 0,00015. Hãy bớt số 334 đi 10 lần; chúng tôi nhận được 33,4.

Trong bài viết này, chúng tôi sẽ phân tích cách chuyển đổi các phân số phổ biến thành số thập phân, đồng thời xem xét quy trình ngược lại - chuyển đổi phân số thập phân thành phân số thông thường. Sau đây ta sẽ nêu quy tắc đảo phân số và cho giải pháp chi tiết những ví dụ điển hình.

Điều hướng trang.

Chuyển đổi các phân số phổ biến thành số thập phân

Hãy để chúng tôi biểu thị trình tự mà chúng tôi sẽ giải quyết chuyển đổi các phân số phổ biến thành số thập phân.

Đầu tiên, chúng ta sẽ xem cách biểu diễn các phân số thông thường có mẫu số 10, 100, 1000, ... dưới dạng phân số thập phân. Điều này là do các phân số thập phân về cơ bản là một dạng thu gọn của các phân số thông thường có mẫu số 10, 100, ....

Sau đó, chúng ta sẽ đi xa hơn và chỉ ra cách viết bất kỳ phân số thông thường nào (không chỉ với các mẫu số 10, 100, ...) dưới dạng phân số thập phân. Với cách chuyển đổi phân số thông thường này, ta thu được cả phân số thập phân hữu hạn và phân số thập phân vô hạn tuần hoàn.

Bây giờ về mọi thứ theo thứ tự.

Chuyển phân số thường có mẫu số 10, 100, ... thành phân số thập phân

Một số phân số thông thường cần "sơ chế" trước khi chuyển sang số thập phân. Điều này áp dụng cho các phân số thông thường, số chữ số trong tử số nhỏ hơn số 0 trong mẫu số. Ví dụ: phân số chung 2/100 trước tiên phải được chuẩn bị để chuyển đổi thành phân số thập phân, nhưng phân số 9/10 thì không cần phải chuẩn bị.

Việc “chuẩn bị sơ bộ” các phân số thông thường chính xác để chuyển đổi thành phân số thập phân bao gồm việc thêm rất nhiều số 0 vào bên trái trong tử số sao cho toàn bộ các chữ số bằng số các số 0 ở mẫu số. Ví dụ, một phân số sau khi thêm các số 0 sẽ có dạng .

Sau khi chuẩn bị đúng phân số thông thường, bạn có thể bắt đầu chuyển đổi nó thành phân số thập phân.

Hãy cung cấp cho quy tắc chuyển phân số chung có mẫu số là 10, 100, 1000, ... thành phân số thập phân. Nó bao gồm ba bước:

• viết ra 0 ;
• đặt một dấu thập phân sau nó;
• viết ra số từ tử số (cùng với các số 0 được thêm vào, nếu chúng ta đã thêm chúng vào).

Hãy xem xét việc áp dụng quy tắc này trong việc giải quyết các ví dụ.

Thí dụ.

Chuyển phân số thích hợp 37/100 thành số thập phân.

Phán quyết.

Mẫu số chứa số 100, có hai số 0 trong mục nhập của nó. Tử số chứa số 37, trong bản ghi của nó có hai chữ số nên không cần chuẩn bị phân số này để chuyển thành phân số thập phân.

Bây giờ chúng tôi viết 0, đặt dấu thập phân và viết số 37 từ tử số, trong khi chúng tôi nhận được phân số thập phân 0,37.

Câu trả lời:

0,37 .

Để củng cố kĩ năng quy đồng các phân số thường có tử số 10, 100, ... thành phân số thập phân, chúng ta sẽ phân tích cách giải của một ví dụ khác.

Thí dụ.

viết ra phần thích hợp 107/10.000.000 dưới dạng số thập phân.

Phán quyết.

Số chữ số trong tử số là 3 và số chữ số 0 trong mẫu số là 7, vì vậy phân số thông thường này cần được chuẩn bị để chuyển đổi thành số thập phân. Chúng ta cần thêm 7-3=4 số 0 vào bên trái tử số để tổng số chữ số ở đó bằng với số chữ số 0 ở mẫu số. Chúng tôi nhận được .

Nó vẫn còn để tạo thành phần thập phân mong muốn. Để làm điều này, thứ nhất, chúng ta viết ra 0, thứ hai, chúng ta đặt dấu phẩy, thứ ba, chúng ta viết ra số từ tử số cùng với các số không 0000107 , kết quả là chúng ta có phân số thập phân 0,0000107 .

Câu trả lời:

0,0000107 .

Các phân số thông thường không chính xác không cần chuẩn bị khi chuyển đổi thành phân số thập phân. Những điều sau đây nên được tuân thủ quy tắc chuyển phân số không chung mẫu số 10, 100, ... thành phân số thập phân:

• viết số từ tử số;
• chúng ta phân tách bằng dấu thập phân bằng số chữ số ở bên phải bằng số 0 ở mẫu số của phân số ban đầu.

Hãy phân tích ứng dụng của quy tắc này khi giải một ví dụ.

Thí dụ.

Chuyển đổi phân số chung không chính xác 56 888 038 009/100 000 thành số thập phân.

Phán quyết.

Đầu tiên, chúng tôi viết số từ tử số 56888038009, và thứ hai, chúng tôi tách 5 chữ số bên phải bằng dấu thập phân, vì có 5 số 0 trong mẫu số của phân số ban đầu. Kết quả là ta có phân số thập phân 568 880,38009.

Câu trả lời:

568 880,38009 .

Để chuyển hỗn số thành phân số thập phân có mẫu số của phần phân số là số 10, 100, 1000, ..., bạn có thể chuyển hỗn số thành phân số thông thường không chính quy, sau đó phân số thu được có thể chuyển thành phân số thập phân. Nhưng bạn cũng có thể sử dụng như sau quy tắc chuyển hỗn số có mẫu số là phân số 10, 100, 1000, ... thành phân số thập phân:

• nếu cần, chúng tôi thực hiện "chuẩn bị sơ bộ" phần phân số của hỗn số ban đầu bằng cách thêm khối lượng bắt buộc số không ở bên trái trong tử số;
• viết phần nguyên của hỗn số ban đầu;
• đặt một dấu thập phân;
• chúng tôi viết số từ tử số cùng với các số không được thêm vào.

Hãy xem xét một ví dụ, khi giải quyết chúng ta sẽ thực hiện tất cả các bước cần thiết để biểu diễn một hỗn số dưới dạng phân số thập phân.

Thí dụ.

Chuyển đổi hỗn số thành số thập phân.

Phán quyết.

Có 4 số 0 ở mẫu số của phần phân số và số 17 ở tử số gồm 2 chữ số, do đó ta cần cộng thêm 2 số 0 ở bên trái tử số sao cho số ký tự ở đó bằng với số các số 0 ở mẫu số. Bằng cách này, tử số sẽ là 0017 .

Bây giờ chúng tôi viết ra phần nguyên của số ban đầu, nghĩa là số 23, đặt dấu thập phân, sau đó chúng tôi viết số từ tử số cùng với các số 0 đã thêm, nghĩa là 0017, trong khi chúng tôi nhận được số thập phân mong muốn phân số 23.0017.

Hãy viết ra toàn bộ giải pháp một cách ngắn gọn: .

Không còn nghi ngờ gì nữa, trước tiên có thể biểu diễn hỗn số dưới dạng phân số không chính xác, sau đó chuyển đổi nó thành phân số thập phân. Với cách tiếp cận này, giải pháp trông như thế này:

Câu trả lời:

23,0017 .

Chuyển phân số thường thành phân số thập phân tuần hoàn hữu hạn và vô hạn

Không chỉ các phân số thông thường có mẫu số 10, 100, ... mới có thể chuyển thành phân số thập phân mà cả các phân số thông thường có mẫu số khác. Bây giờ chúng ta sẽ tìm hiểu làm thế nào điều này được thực hiện.

Trong một số trường hợp, phân số thường ban đầu dễ dàng được rút gọn thành một trong các mẫu số 10, hoặc 100, hoặc 1000, ... (xem phần rút gọn phân số thường về mẫu số mới), sau đó không khó để trình bày phân số đó. phân số thu được dưới dạng phân số thập phân. Ví dụ, rõ ràng là phân số 2/5 có thể rút gọn thành phân số có mẫu số 10, để làm được điều này, bạn cần nhân cả tử số và mẫu số với 2, sẽ được phân số 4/10, theo quy tắc các quy tắc được thảo luận trong đoạn trước, có thể dễ dàng chuyển đổi thành phân số thập phân 0, 4 .

Trong các trường hợp khác, bạn phải sử dụng một cách khác để chuyển đổi một phân số bình thường thành một số thập phân, mà bây giờ chúng ta sẽ xem xét.

Để chuyển đổi một phân số bình thường thành một phân số thập phân, tử số của phân số được chia cho mẫu số, trước tiên, tử số được thay thế bằng một phân số thập phân bằng nhau với bất kỳ số 0 nào sau dấu thập phân (chúng ta đã nói về điều này trong phần bằng nhau và phân số thập phân không bằng nhau). Trong trường hợp này, phép chia được thực hiện giống như phép chia cho một cột số tự nhiên và dấu thập phân được đặt vào thương khi phép chia phần nguyên của cổ tức kết thúc. Tất cả điều này sẽ trở nên rõ ràng từ các giải pháp của các ví dụ được đưa ra dưới đây.

Thí dụ.

Chuyển đổi phân số chung 621/4 thành số thập phân.

Phán quyết.

Chúng tôi biểu thị số trong tử số 621 dưới dạng phân số thập phân bằng cách thêm dấu thập phân và một vài số 0 sau nó. Để bắt đầu, chúng tôi sẽ thêm 2 chữ số 0, sau đó, nếu cần, chúng tôi luôn có thể thêm nhiều số không. Vì vậy, chúng tôi có 621.00 .

Bây giờ, hãy chia số 621.000 cho 4 theo một cột. Ba bước đầu không khác gì chia cột số tự nhiên, sau đó chúng tôi đến hình ảnh sau:

Vì vậy, chúng tôi đã đạt đến dấu thập phân trong cổ tức và phần còn lại khác 0. Trong trường hợp này, chúng tôi đặt một dấu thập phân vào thương số và tiếp tục chia cho một cột, bỏ qua dấu phẩy:

Phép chia này đã hoàn thành và kết quả là chúng ta có phân số thập phân 155,25, tương ứng với phân số thông thường ban đầu.

Câu trả lời:

155,25 .

Để củng cố tài liệu, hãy xem xét giải pháp của một ví dụ khác.

Thí dụ.

Chuyển đổi phân số chung 21/800 thành số thập phân.

Phán quyết.

Để chuyển phân số thông thường này thành số thập phân, ta hãy chia phân số thập phân 21000 ... cho 800 bằng một cột. Sau bước đầu tiên, chúng ta sẽ phải đặt một dấu thập phân vào thương số, rồi tiếp tục phép chia:

Cuối cùng, chúng tôi nhận được phần còn lại 0, về điều này, quá trình chuyển đổi phân số thông thường 21/400 thành phân số thập phân đã hoàn tất và chúng tôi đã đi đến phân số thập phân 0,02625.

Câu trả lời:

0,02625 .

Có thể xảy ra trường hợp khi chia tử số cho mẫu số của một phân số thông thường, chúng ta không bao giờ có số dư bằng 0. Trong những trường hợp này, phép chia có thể được tiếp tục bao lâu tùy ý. Tuy nhiên, bắt đầu từ một bước nhất định, phần dư bắt đầu lặp lại theo chu kỳ, trong khi các chữ số trong thương cũng lặp lại. Điều này có nghĩa là phân số chung ban đầu chuyển thành một số thập phân tuần hoàn vô hạn. Hãy cho thấy điều này với một ví dụ.

Thí dụ.

Viết phân số chung 19/44 dưới dạng số thập phân.

Phán quyết.

Để chuyển một phân số bình thường thành số thập phân, chúng ta thực hiện phép chia cho một cột:

Rõ ràng là khi chia, số dư 8 và 36 bắt đầu lặp lại, trong khi ở thương số 1 và 8 được lặp lại. Do đó, phân số thông thường ban đầu 19/44 được dịch thành phân số thập phân tuần hoàn 0.43181818…=0.43(18) .

Câu trả lời:

0,43(18) .

Để kết thúc đoạn văn này, chúng ta sẽ tìm ra phân số thông thường nào có thể được chuyển đổi thành phân số thập phân cuối cùng và phân số nào chỉ có thể được chuyển đổi thành phân số tuần hoàn.

Giả sử trước mặt chúng ta có một phân số thông thường không thể rút gọn (nếu phân số có thể rút gọn thì trước tiên chúng ta thực hiện phép rút gọn phân số) và chúng ta cần tìm hiểu xem nó có thể chuyển đổi thành phân số thập phân nào - hữu hạn hoặc tuần hoàn.

Rõ ràng là nếu một phân số thông thường có thể rút gọn thành một trong các mẫu số 10, 100, 1000, ..., thì phân số thu được có thể dễ dàng chuyển đổi thành phân số thập phân cuối cùng theo các quy tắc đã thảo luận trong đoạn trước. Nhưng đến các mẫu số 10, 100, 1.000, v.v. không phải tất cả các phân số thông thường được đưa ra. Chỉ có thể rút gọn các phân số về các mẫu số có mẫu số ít nhất là một trong các số 10, 100, ... Và những số nào có thể là ước của 10, 100, ...? Các số 10, 100, … sẽ cho phép chúng ta trả lời câu hỏi này, và chúng như sau: 10=2 5 , 100=2 2 5 5 , 1 000=2 2 2 5 5 5, … . Theo đó, các ước của 10, 100, 1000, v.v. chỉ có thể có những con số mở rộng thành thừa số nguyên tố chỉ chứa các số 2 và (hoặc) 5 .

Bây giờ chúng ta có thể đưa ra một kết luận chung về việc chuyển đổi các phân số thông thường thành phân số thập phân:

• nếu chỉ có các số 2 và (hoặc) 5 khi phân tích mẫu số thành thừa số nguyên tố thì phân số này có thể chuyển thành phân số thập phân cuối cùng;
• nếu, ngoài hai và năm, còn có những số khác trong việc mở rộng mẫu số số nguyên tố, thì phân số này được chuyển thành phân số thập phân tuần hoàn vô hạn.

Thí dụ.

Không chuyển đổi phân số thông thường thành số thập phân, hãy cho tôi biết phân số nào trong số 47/20, 7/12, 21/56, 31/17 có thể chuyển đổi thành phân số thập phân cuối cùng và chỉ có thể chuyển đổi thành phân số tuần hoàn.

Phán quyết.

Việc phân tích thừa số nguyên tố của mẫu số của phân số 47/20 có dạng 20=2 2 5 . Chỉ có hai và năm trong khai triển này, vì vậy phân số này có thể được rút gọn thành một trong các mẫu số 10, 100, 1000, ... (trong ví dụ này là mẫu số 100), do đó, có thể được chuyển đổi thành một số thập phân cuối cùng phân số.

Việc đưa ra thừa số nguyên tố của mẫu số của phân số 7/12 có dạng 12=2 2 3 . Vì nó chứa thừa số 3 đơn giản khác với 2 và 5 nên phân số này không thể biểu diễn dưới dạng phân số thập phân hữu hạn, nhưng có thể chuyển đổi thành phân số thập phân tuần hoàn.

phân số 21/56 - hợp đồng, sau khi giảm nó có dạng 3/8. Việc phân tách mẫu số thành các thừa số nguyên tố chứa ba thừa số bằng 2, do đó, phân số thông thường 3/8, và do đó, phân số bằng nó 21/56, có thể được chuyển thành phân số thập phân cuối cùng.

Cuối cùng, khai triển mẫu số của phân số 31/17 chính là 17, do đó, phân số này không thể chuyển thành phân số thập phân hữu hạn mà có thể chuyển thành phân số tuần hoàn vô hạn.

Câu trả lời:

47/20 và 21/56 có thể được chuyển đổi thành số thập phân cuối cùng, trong khi 7/12 và 31/17 chỉ có thể được chuyển đổi thành số thập phân tuần hoàn.

Các phân số thông thường không chuyển đổi thành số thập phân vô hạn không lặp lại

Thông tin của đoạn trước đặt ra câu hỏi: “Có thể thu được một phân số không tuần hoàn vô hạn khi chia tử số của một phân số cho mẫu số” không?

Trả lời: không. Khi tịnh tiến một phân số thông thường ta được phân số thập phân hữu hạn hoặc phân số thập phân vô hạn tuần hoàn. Hãy giải thích tại sao lại như vậy.

Từ định lý chia hết có dư, rõ ràng số dư luôn số chia nhỏ hơn, nghĩa là, nếu chúng ta chia một số nguyên cho một số nguyên q , thì phần dư chỉ có thể là một trong các số 0, 1, 2, ..., q−1 . Theo đó, sau khi hoàn thành phép chia phần nguyên của tử số của một phân số bình thường cho mẫu số q, sau không quá q bước, một trong hai tình huống sau sẽ xảy ra:

• hoặc là chúng ta nhận được phần còn lại 0 , điều này sẽ kết thúc phép chia và chúng ta sẽ nhận được phân số thập phân cuối cùng;
• hoặc ta sẽ được số dư đã xuất hiện trước đó, sau đó các số dư sẽ bắt đầu lặp lại như ví dụ trước (vì khi chia số bằng nhau trên q, thu được các số dư bằng nhau, xuất phát từ định lý chia hết đã đề cập), do đó sẽ thu được một phân số thập phân tuần hoàn vô hạn.

Do đó, không thể có lựa chọn nào khác, do đó, khi chuyển đổi một phân số thông thường thành một phân số thập phân, không thể thu được một phân số thập phân không tuần hoàn vô hạn.

Nó cũng xuất phát từ lý do được đưa ra trong đoạn này rằng độ dài của khoảng thời gian của một phân số thập phân luôn nhỏ hơn giá trị của mẫu số của phân số thông thường tương ứng.

Chuyển đổi số thập phân thành phân số phổ biến

Bây giờ hãy tìm cách chuyển đổi một phần thập phân thành một phần bình thường. Hãy bắt đầu bằng cách chuyển đổi các số thập phân cuối cùng thành các phân số phổ biến. Sau đó, xét phương pháp đảo phân số thập phân vô hạn tuần hoàn. Tóm lại, hãy nói về việc không thể chuyển đổi các phân số thập phân không định kỳ vô hạn thành các phân số thông thường.

Chuyển đổi số thập phân tận cùng thành phân số chung

Lấy một phân số bình thường, được viết dưới dạng phân số thập phân cuối cùng, khá đơn giản. Quy tắc chuyển phân số thập phân tận cùng thành phân số thường gồm ba bước:

• trước tiên, viết phân số thập phân đã cho vào tử số, trước đó đã loại bỏ dấu thập phân và tất cả các số 0 ở bên trái, nếu có;
• thứ hai, viết một vào mẫu số và thêm bao nhiêu số 0 vào đó sao cho có các chữ số sau dấu thập phân trong phân số thập phân ban đầu;
• thứ ba, nếu cần, giảm phần kết quả.

Hãy xem xét các ví dụ.

Thí dụ.

Chuyển đổi số thập phân 3,025 thành phân số chung.

Phán quyết.

Nếu chúng ta loại bỏ dấu thập phân trong phân số thập phân ban đầu, thì chúng ta sẽ nhận được số 3025. Nó không có số không ở bên trái mà chúng ta sẽ loại bỏ. Vì vậy, trong tử số của phân số cần thiết, chúng tôi viết 3025.

Chúng tôi viết số 1 ở mẫu số và thêm 3 số không vào bên phải của nó, vì có 3 chữ số trong phân số thập phân ban đầu sau dấu thập phân.

Vì vậy, chúng tôi đã nhận được một phân số bình thường 3 025/1 000. Có thể giảm phân số này đi 25, ta được .

Câu trả lời:

.

Thí dụ.

Chuyển đổi số thập phân 0,0017 thành phân số chung.

Phán quyết.

Không có dấu thập phân, phân số thập phân ban đầu trông giống như 00017, loại bỏ các số 0 ở bên trái, chúng ta nhận được số 17, là tử số của phân số thông thường mong muốn.

Trong mẫu số, chúng tôi viết một đơn vị có bốn số không, vì trong phân số thập phân ban đầu có 4 chữ số sau dấu thập phân.

Kết quả là, chúng ta có phân số bình thường 17/10.000. Phân số này là không thể rút gọn và việc chuyển đổi phân số thập phân thành phân số bình thường đã hoàn tất.

Câu trả lời:

.

Khi phần nguyên của phân số thập phân cuối cùng ban đầu khác 0, thì nó có thể được chuyển đổi ngay thành một số hỗn hợp, bỏ qua phân số thông thường. Hãy cung cấp cho quy tắc chuyển một số thập phân cuối cùng thành một hỗn số:

• số trước dấu thập phân phải được viết dưới dạng phần nguyên của hỗn số mong muốn;
• trong tử số của phần phân số, bạn cần viết số thu được từ phần phân số của phân số thập phân ban đầu sau khi loại bỏ tất cả các số 0 ở bên trái trong đó;
• ở mẫu số của phần phân số, bạn cần viết số 1, ở bên phải, thêm bao nhiêu số 0 bằng các chữ số trong mục nhập của phân số thập phân ban đầu sau dấu thập phân;
• nếu cần, hãy giảm phần phân số của hỗn số thu được.

Hãy xem xét một ví dụ về chuyển đổi một phân số thập phân thành một số hỗn hợp.

Thí dụ.

Thể hiện số thập phân 152,06005 dưới dạng hỗn số

phân số

Chú ý!
có bổ sung
tài liệu trong Mục đặc biệt 555.
Đối với những người mạnh mẽ "không phải là ..."
Và đối với những người "rất nhiều ...")

Phân số ở trường trung học không phải là rất khó chịu. Tạm thời. Cho đến khi bạn chạy vào độ với chỉ số hợp lý có logarit. Với chỗ ấy…. Bạn nhấn, bạn nhấn máy tính, và nó hiển thị tất cả bảng điểm đầy đủ của một số con số. Bạn phải suy nghĩ bằng đầu, giống như ở lớp ba.

Cuối cùng, hãy giải quyết các phân số! Chà, bạn có thể bối rối đến mức nào trong chúng !? Hơn nữa, tất cả đều đơn giản và hợp lý. Vì thế, phân số là gì?

Các loại phân số. Biến đổi.

Phân số xảy ra ba loại.

1. phân số chung , Ví dụ:

Đôi khi, thay vì một đường ngang, họ đặt một dấu gạch chéo: 1/2, 3/4, 19/5, à, v.v. Ở đây chúng ta sẽ thường sử dụng cách đánh vần này. Số trên cùng được gọi là tử số, thấp hơn - mẫu số. Nếu bạn liên tục nhầm lẫn những cái tên này (nó xảy ra ...), hãy tự nói với mình cụm từ có biểu thức: " zzzzz nhớ! zzzzz mẫu số - ra zzzz u!" Hãy nhìn xem, mọi thứ sẽ được ghi nhớ.)

Dấu gạch ngang, nằm ngang, xiên, có nghĩa là phân công số trên cùng (tử số) đến số dưới cùng (mẫu số). Và thế là xong! Thay vì dấu gạch ngang, hoàn toàn có thể đặt dấu chia - hai dấu chấm.

Khi có thể phân chia hoàn toàn, nó phải được thực hiện. Vì vậy, thay vì phân số "32/8", việc viết số "4" sẽ dễ chịu hơn nhiều. Những, cái đó. 32 chỉ đơn giản là chia cho 8.

32/8 = 32: 8 = 4

Tôi không nói về phân số "4/1". Đó cũng chỉ là "4". Và nếu nó không chia hết, chúng ta để nó dưới dạng phân số. Đôi khi bạn phải làm ngược lại. Tạo một phân số từ một số nguyên. Nhưng nhiều hơn về điều này sau.

2. số thập phân , Ví dụ:

Ở dạng này, cần phải viết ra câu trả lời cho nhiệm vụ "B".

3. hỗn số , Ví dụ:

Hỗn số thực tế không được sử dụng ở trường phổ thông. Để làm việc với chúng, chúng phải được chuyển đổi thành phân số thông thường. Nhưng bạn chắc chắn cần phải biết làm thế nào để làm điều đó! Và sau đó một số như vậy sẽ xuất hiện trong câu đố và bị treo ... Từ đầu. Nhưng chúng tôi nhớ thủ tục này! Một chut sang.

Linh hoạt nhất phân số chung. Hãy bắt đầu với chúng. Nhân tiện, nếu có tất cả các loại logarit, sin và các chữ cái khác trong phân số, điều này không thay đổi gì cả. Theo nghĩa là mọi thứ các thao tác với biểu thức phân số không khác với các thao tác với phân số thông thường!

Tính chất cơ bản của một phân số.

Vì vậy, hãy đi! Trước hết, tôi sẽ làm bạn ngạc nhiên. Toàn bộ các phép biến đổi phân số được cung cấp bởi một thuộc tính duy nhất! Đó là những gì nó được gọi là tính chất cơ bản của phân số. Nhớ: Nếu nhân (chia) cả tử và mẫu của một phân số cho cùng một số thì phân số đó không đổi. Những, cái đó:

Rõ ràng là bạn có thể viết thêm, cho đến khi bạn xanh mặt. Đừng để sin và logarit làm bạn bối rối, chúng ta sẽ giải quyết chúng sau. Điều chính cần hiểu là tất cả những cách diễn đạt khác nhau này đều cùng phân số . 2/3.

Và chúng ta cần nó, tất cả những biến đổi này? Và làm thế nào! Bây giờ bạn sẽ thấy cho chính mình. Đầu tiên, hãy sử dụng tính chất cơ bản của một phân số cho viết tắt phân số. Có vẻ như điều này là cơ bản. Chúng ta chia tử số và mẫu số cho cùng một số và thế là xong! Không thể đi sai! Nhưng... con người là một sinh vật sáng tạo. Bạn có thể phạm sai lầm ở mọi nơi! Đặc biệt nếu bạn phải giảm không phải một phân số như 5/10, mà là biểu thức phân số với đủ loại chữ.

Bạn có thể tìm thấy cách rút gọn các phân số một cách chính xác và nhanh chóng mà không thực hiện các công việc không cần thiết trong Phần 555 đặc biệt.

Một học sinh bình thường không buồn chia tử số và mẫu số cho cùng một số (hoặc biểu thức)! Anh ấy chỉ gạch bỏ mọi thứ giống nhau từ trên xuống dưới! Đây là nơi nó ẩn náu sai lầm điển hình, blooper nếu bạn muốn.

Ví dụ: bạn cần đơn giản hóa biểu thức:

Không có gì phải suy nghĩ, chúng tôi gạch bỏ chữ "a" từ trên và deuce từ bên dưới! Chúng tôi nhận được:

Mọi thứ đều chính xác. Nhưng thực sự bạn đã chia sẻ toàn bộ tử số và toàn bộ mẫu số "a". Nếu bạn đã quen với việc chỉ gạch bỏ, thì trong lúc vội vàng, bạn có thể gạch bỏ chữ "a" trong biểu thức

và lấy lại

Đó sẽ là sai phân loại. Bởi vì ở đây toàn bộ tử số trên "a" rồi không được chia sẻ! Phân số này không thể rút gọn được. Nhân tiện, viết tắt như vậy là, ừm ... một thách thức nghiêm trọng đối với giáo viên. Điều này không được tha thứ! Nhớ? Khi giảm cần chia toàn bộ tử số và toàn bộ mẫu số!

Giảm phân số làm cho cuộc sống dễ dàng hơn rất nhiều. Bạn sẽ nhận được một phân số ở đâu đó, ví dụ 375/1000. Và làm thế nào để làm việc với cô ấy bây giờ? Không có máy tính? Nhân, nói, cộng, bình phương !? Và nếu bạn không quá lười biếng, nhưng cẩn thận giảm năm, thậm chí năm, và thậm chí ... trong khi nó đang được giảm, tóm lại là. Chúng tôi nhận được 3/8! Đẹp hơn nhiều đúng không?

Thuộc tính cơ bản của phân số cho phép bạn chuyển đổi phân số thông thường thành số thập phân và ngược lại không có máy tính! Điều này rất quan trọng cho kỳ thi, phải không?

Cách chuyển phân số từ dạng này sang dạng khác.

Thật dễ dàng với số thập phân. Khi nó được nghe, vì vậy nó được viết! Giả sử 0,25. Nó là 0 điểm, 25 phần trăm. Vì vậy, chúng tôi viết: 25/100. Chúng tôi giảm (chia tử số và mẫu số cho 25), chúng tôi nhận được phân số thông thường: 1/4. Mọi điều. Nó xảy ra, và không có gì được giảm bớt. Giống như 0,3. Đây là ba phần mười, tức là 3/10.

Nếu số nguyên khác không thì sao? Ổn mà. Viết cả phân số không có dấu phẩyở tử số và ở mẫu số - những gì được nghe thấy. Ví dụ: 3.17. Đây là ba nguyên, mười bảy phần trăm. Ta viết 317 ở tử số và 100 ở mẫu số, ta được 317/100. Không có gì được giảm bớt, điều đó có nghĩa là tất cả. Đây là câu trả lời. Watson tiểu học! Từ tất cả những điều trên, một kết luận hữu ích: bất kỳ phân số thập phân nào cũng có thể chuyển thành phân số chung .

Nhưng mà phép biến đổi nghịch đảo, số thường sang số thập phân, một số không có máy tính không làm được. Nhưng bạn phải! Làm thế nào bạn sẽ viết ra câu trả lời trong bài kiểm tra!? Chúng tôi đọc kỹ và nắm vững quy trình này.

Phân số thập phân là gì? Cô ấy có mẫu số luôn có giá trị 10 hoặc 100 hoặc 1000 hoặc 10000, v.v. Nếu phân số thông thường của bạn có mẫu số như vậy thì không có vấn đề gì. Ví dụ: 4/10 = 0,4. Hoặc 7/100 = 0,07. Hay 12/10 = 1,2. Và nếu trong câu trả lời cho nhiệm vụ của phần "B", hóa ra là 1/2? Chúng ta sẽ viết gì để đáp lại? Số thập phân được yêu cầu ...

Chúng tôi nhớ tính chất cơ bản của phân số ! Toán học thuận lợi cho phép bạn nhân tử số và mẫu số với cùng một số. Nhân tiện, cho bất cứ ai! Tất nhiên, ngoại trừ số không. Hãy sử dụng tính năng này để lợi thế của chúng tôi! Mẫu số có thể được nhân với bao nhiêu, tức là 2 để nó trở thành 10, hoặc 100, hoặc 1000 (dĩ nhiên là càng nhỏ càng tốt...)? 5, rõ ràng. Vui lòng nhân mẫu số (đây là chúng ta cần thiết) với 5. Nhưng, sau đó tử số cũng phải được nhân với 5. Điều này đã toán học yêu cầu! Chúng tôi nhận được 1/2 \u003d 1x5 / 2x5 \u003d 5/10 \u003d 0,5. Đó là tất cả.

Tuy nhiên, tất cả các loại mẫu số đi qua. Ví dụ, phân số 3/16 sẽ giảm. Hãy thử, tìm ra cách nhân 16 với 100 hoặc 1000... Không hoạt động? Sau đó, bạn có thể chỉ cần chia 3 cho 16. Trong trường hợp không có máy tính, bạn sẽ phải chia theo góc, trên một tờ giấy, như trong lớp dưới dạy. Chúng tôi nhận được 0,1875.

Và có một số mẫu số rất xấu. Ví dụ, phân số 1/3 không thể chuyển thành một số thập phân tốt. Cả trên máy tính và trên một tờ giấy, chúng tôi nhận được 0,3333333 ... Điều này có nghĩa là 1/3 thành một phân số thập phân chính xác không dịch. Cũng giống như 1/7, 5/6, v.v. Nhiều người trong số họ là không thể dịch được. Do đó một kết luận hữu ích khác. Không phải mọi phân số thông thường đều chuyển đổi thành số thập phân. !

Nhân tiện, cái này thông tin hữu íchđể tự kiểm tra. Trong phần "B" trong câu trả lời, bạn cần viết một phân số thập phân. Và bạn có, ví dụ, 4/3. Phân số này không được chuyển đổi thành số thập phân. Điều này có nghĩa là bạn đã phạm sai lầm ở đâu đó trên đường đi! Quay lại, kiểm tra giải pháp.

Vì vậy, với các phân số thông thường và thập phân được sắp xếp. Nó vẫn còn để đối phó với các số hỗn hợp. Để làm việc với chúng, tất cả chúng cần được chuyển đổi thành phân số thông thường. Làm thế nào để làm nó? Bạn có thể bắt một học sinh lớp sáu và hỏi anh ta. Nhưng không phải lúc nào cũng có một học sinh lớp sáu ... Chúng ta sẽ phải tự làm điều đó. Nó không khó. Nhân mẫu số của phần phân số với phần nguyên và cộng với tử số của phần phân số. Đây sẽ là tử số phân số thông thường. Còn mẫu số thì sao? Mẫu số sẽ giữ nguyên. Nghe có vẻ phức tạp, nhưng nó thực sự khá đơn giản. Hãy xem một ví dụ.

Hãy để vấn đề mà bạn nhìn thấy với con số kinh hoàng:

Bình tĩnh, không hoảng loạn, chúng tôi hiểu. Toàn bộ phần là 1. Một. Phần phân số là 3/7. Do đó, mẫu số của phần phân số là 7. Mẫu số này sẽ là mẫu số của phân số thông thường. Chúng tôi đếm tử số. Chúng ta nhân 7 với 1 (phần nguyên) và thêm 3 (tử số của phần phân số). Chúng tôi nhận được 10. Đây sẽ là tử số của một phân số thông thường. Đó là tất cả. Nó trông thậm chí còn đơn giản hơn trong ký hiệu toán học:

Rõ ràng? Sau đó đảm bảo thành công của bạn! Chuyển đổi thành các phân số phổ biến. Bạn sẽ nhận được 10/7, 7/2, 23/10 và 21/4.

Hoạt động đảo ngược - chuyển đổi một phân số không chính xác thành một số hỗn hợp - hiếm khi được yêu cầu ở trường trung học. Chà, nếu... Và nếu bạn - không học trung học - bạn có thể xem Mục 555 đặc biệt. Nhân tiện, ở cùng một nơi, bạn sẽ tìm hiểu về các phân số không chính xác.

Vâng, gần như tất cả mọi thứ. Bạn đã nhớ các loại phân số và hiểu Làm sao chuyển đổi chúng từ loại này sang loại khác. Câu hỏi vẫn còn: tại sao làm đi? Áp dụng kiến ​​thức chuyên sâu này ở đâu và khi nào?

Tôi trả lời. Bất kỳ ví dụ nào cũng gợi ý các hành động cần thiết. Nếu trong ví dụ phân số thông thường, số thập phân và thậm chí hỗn số, chúng tôi chuyển đổi mọi thứ thành phân số bình thường. Nó luôn luôn có thể được thực hiện. Chà, nếu một cái gì đó được viết như 0,8 + 0,3, thì chúng tôi nghĩ như vậy, không có bất kỳ bản dịch nào. Tại sao chúng ta cần làm thêm? Chúng tôi chọn giải pháp thuận tiện chúng ta !

Nếu nhiệm vụ toàn là phân số thập phân, nhưng ừm ... ác kiểu gì đó, hãy chuyển sang phân số bình thường, thử đi! Hãy nhìn xem, mọi thứ sẽ ổn thôi. Ví dụ, bạn phải bình phương số 0,125. Không dễ dàng như vậy nếu bạn không mất thói quen sử dụng máy tính! Bạn không chỉ cần nhân các số trong một cột mà còn phải suy nghĩ về vị trí chèn dấu phẩy! Nó chắc chắn không hoạt động trong tâm trí của tôi! Và nếu bạn đi đến một phân số bình thường?

0,125 = 125/1000. Chúng tôi giảm 5 (cái này dành cho người mới bắt đầu). Chúng tôi nhận được 25/200. Một lần nữa vào ngày 5. Chúng tôi nhận được 5/40. Ồ, nó đang co lại! Quay lại 5! Chúng tôi nhận được 1/8. Dễ dàng bình phương (trong tâm trí của bạn!) và nhận được 1/64. Mọi điều!

Hãy tóm tắt bài học này.

1. Có ba loại phân số. Số thường, số thập phân và hỗn số.

2. Số thập phân và hỗn số luôn có thể được chuyển đổi thành các phân số phổ biến. dịch ngược không phải luôn luôn có sẵn.

3. Việc lựa chọn loại phân số để làm việc với nhiệm vụ phụ thuộc vào chính nhiệm vụ này. Với sự có mặt của các loại khác nhau phân số trong một nhiệm vụ, điều đáng tin cậy nhất là chuyển sang phân số thông thường.

Bây giờ bạn có thể thực hành. Đầu tiên, chuyển đổi các phân số thập phân này thành các phân số bình thường:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Bạn sẽ nhận được câu trả lời như thế này (trong một mớ hỗn độn!):

Về điều này, chúng tôi sẽ kết thúc. Trong bài học này, chúng ta đã điểm qua những điểm chính về phân số. Tuy nhiên, điều đó xảy ra là không có gì đặc biệt để làm mới ...) Nếu ai đó đã quên hoàn toàn hoặc chưa nắm vững ... Những người đó có thể chuyển sang Mục 555 đặc biệt. Tất cả những điều cơ bản được trình bày chi tiết ở đó. Nhiều đột nhiên hiểu mọi thứđang bắt đầu. Và họ giải các phân số một cách nhanh chóng).

Nếu bạn thích trang web này...

Nhân tiện, tôi có một vài trang web thú vị hơn dành cho bạn.)

Bạn có thể thực hành giải các ví dụ và tìm hiểu trình độ của mình. Kiểm tra với xác minh ngay lập tức. Học - với sự quan tâm!)

bạn có thể làm quen với các hàm và đạo hàm.

Phân số thập phân là phân số bình thường giống nhau, nhưng trong cái gọi là ký hiệu thập phân. Ký hiệu thập phânđược sử dụng cho các phân số có mẫu số 10, 100, 1000, v.v. Trong trường hợp này, thay vì phân số 1/10; 1/100; 1/1000; ... viết 0,1; 0,01; 0,001;... .

Ví dụ: 0,7 ( không điểm bảy) là phân số 7/10; 5,43 ( năm phẩy bốn mươi ba phần trăm) là một phân số hỗn hợp 5 43/100 (hoặc, tương đương, một phân số không chính xác 543/100).

Có thể xảy ra trường hợp có một hoặc nhiều số 0 ngay sau dấu thập phân: 1,03 là phân số 1 3/100; 17,0087 là phân số 1787/10000. Nguyên tắc chung có phải đây là: phải có nhiều số 0 trong mẫu số của một phân số bình thường như có các chữ số sau dấu thập phân trong phân số thập phân.

Một số thập phân có thể kết thúc bằng một hoặc nhiều số không. Hóa ra những số 0 này là "thừa" - chúng có thể được loại bỏ một cách đơn giản: 1,30 = 1,3; 5,4600 = 5,46; 3.000 = 3. Bạn có hiểu tại sao lại như vậy không?

Số thập phân tự nhiên phát sinh khi chia cho các số "tròn" - 10, 100, 1000, ... Hãy chắc chắn hiểu các ví dụ sau:

27:10 = 27/10 = 2 7/10 = 2,7;

579:100 = 579/100 = 5 79/100 = 5,79;

33791:1000 = 33791/1000 = 33 791/1000 = 33,791;

34,9:10 = 349/10:10 = 349/100 = 3,49;

6,35:100 = 635/100:100 = 635/10000 = 0,0635.

Bạn có nhận thấy một mô hình ở đây? Cố gắng xây dựng nó. Điều gì xảy ra nếu bạn nhân một số thập phân với 10, 100, 1000?

Để chuyển đổi một phân số bình thường thành một số thập phân, bạn cần đưa nó về một loại mẫu số "tròn" nào đó:

2/5 = 4/10 = 0,4; 20/11 = 55/100 = 0,55; 9/2 = 45/10 = 4,5 v.v.

Việc cộng các phân số thập phân thuận tiện hơn nhiều so với các phân số thông thường. Phép cộng được thực hiện giống như với các số thông thường - theo các chữ số tương ứng. Khi thêm vào một cột, các số hạng phải được viết sao cho các dấu phẩy của chúng cùng nằm trên một hàng dọc. Dấu phẩy tổng cũng sẽ xuất hiện trên cùng một hàng dọc. Phép trừ các phân số thập phân được thực hiện theo cùng một cách.

Nếu khi cộng hoặc trừ ở một trong các phân số, số chữ số sau dấu thập phân nhỏ hơn ở phần còn lại, thì số lượng số 0 cần thiết sẽ được thêm vào cuối phân số này. Bạn không thể thêm những số không này mà chỉ cần tưởng tượng chúng trong đầu.

Khi nhân các phân số thập phân, chúng phải được nhân lại dưới dạng số bình thường (trong trường hợp này, không cần viết dấu phẩy dưới dấu phẩy nữa). Trong kết quả thu được, bạn cần phân tách bằng dấu phẩy số ký tự bằng tổng số vị trí thập phân trong cả hai yếu tố.

Khi chia các phân số thập phân, bạn có thể đồng thời di chuyển dấu phẩy sang phải bằng cùng một số chữ số trong số bị chia và số chia: thương số sẽ không thay đổi so với điều này:

2,8:1,4 = 2,8/1,4 = 28/14 = 2;

4,2:0,7 = 4,2/0,7 = 42/7 = 6;

6:1,2 = 6,0/1,2 = 60/12 = 5.

Giải thích tại sao điều này là như vậy?

1. Vẽ một hình vuông 10x10. Tô màu trên một phần của nó bằng: a) 0,02; b) 0,7; c) 0,57; d) 0,91; e) 0,135 của diện tích cả hình vuông.
2. 2,43 ô vuông là gì? Vẽ trong hình.
3. Chia 37 cho 10; 795; bốn; 2,3; 65,27; 0,48 và viết kết quả dưới dạng phân số thập phân. Chia các số này cho 100 và 1000.
4. Nhân với 10 các số 4,6; 6,52; 23.095; 0,01999. Nhân các số này với 100 và 1000.
5. Biểu thị số thập phân dưới dạng phân số và rút gọn nó:
   a) 0,5; 0,2; 0,4; 0,6; 0,8;
   b) 0,25; 0,75; 0,05; 0,35; 0,025;
   c) 0,125; 0,375; 0,625; 0,875;
   d) 0,44; 0,26; 0,92; 0,78; 0,666; 0,848.
6. Tưởng tượng dưới dạng phần hỗn hợp: 1,5; 3,2; 6,6; 2,25; 10,75; 4,125; 23,005; 7,0125.
7. Viết phân số thường dưới dạng số thập phân:
   a) 1/2; 3/2; 7/2; 15/2; 1/5; 3/5; 4/5; 18/5;
   b) 1/4; 3/4; 5/4; 19/4; 1/20; 20/7; 49/20; 25/1; 25/13; 77/25; 1/50; 17/50; 137/50;
   c) 1/8; 3/8; 5/8; 7/8; 8/11; 125/8; 1/16; 5/16; 16/9; 23/16;
   đ) 1/500; 3/250; 71/200; 9/125; 27/2500; 1999/2000.
8. Tìm tổng: a) 7,3 + 12,8; b) 65,14+49,76; c) 3,762+12,85; d) 85.4+129.756; đ) 1,44+2,56.
9. Hãy coi một đơn vị là tổng của hai số thập phân. Tìm thêm hai mươi cách để làm điều này.
10. Tìm sự khác biệt: a) 13,4–8,7; b) 74,52–27,04; c) 49,736–43,45; d) 127.24–93.883; e) 67–52.07; f) 35.24–34.9975.
11. Tìm tích: a) 7,6 3,8; b) 4,8 12,5; c) 2,39 7,4; d) 3,74 9,65.