Cách tạo một số có dấu phẩy từ một phân số. Các thao tác với phân số

Nói khô khan ngôn ngữ toán học, một phân số là một số được biểu diễn dưới dạng phân số của một đơn vị. Phân số được sử dụng rộng rãi trong đời sống con người: với sự trợ giúp của số phân số chúng tôi chỉ định tỷ lệ trong công thức nấu ăn, đặt dấu thập phân trong các cuộc thi hoặc sử dụng chúng để tính chiết khấu trong các cửa hàng.

Biểu diễn phân số

Có ít nhất hai dạng viết một số phân số: dưới dạng thập phân hoặc dạng phần chung. Ở dạng thập phân, các số giống như 0,5; 0,25 hoặc 1,375. Chúng ta có thể biểu diễn bất kỳ giá trị nào trong số những giá trị này dưới dạng một phân số thông thường:

• 0,5 = 1/2;
• 0,25 = 1/4;
• 1,375 = 11/8.

Và nếu chúng ta dễ dàng chuyển đổi 0,5 và 0,25 từ một phân số thông thường sang một số thập phân và ngược lại, thì trong trường hợp của số 1.375, mọi thứ không phải là hiển nhiên. Làm thế nào để nhanh chóng chuyển đổi một số thập phân bất kỳ thành một phân số? Có ba cách dễ dàng.

Bỏ dấu phẩy

Thuật toán đơn giản nhất liên quan đến việc nhân một số với 10 cho đến khi dấu phẩy biến mất khỏi tử số. Việc chuyển đổi này được thực hiện theo ba bước:

Bước 1: Để bắt đầu, chúng ta sẽ viết số thập phân dưới dạng phân số “number / 1”, nghĩa là chúng ta sẽ nhận được 0,5 / 1; 0,25 / 1 và 1,375 / 1.

Bước 2: Sau đó, nhân tử số và mẫu số của các phân số mới cho đến khi dấu phẩy biến mất khỏi các tử số:

• 0,5/1 = 5/10;
• 0,25/1 = 2,5/10 = 25/100;
• 1,375/1 = 13,75/10 = 137,5/100 = 1375/1000.

Bước 3: Chúng tôi giảm các phân số kết quả thành dạng có thể tiêu hóa được:

• 5/10 = 1 x 5/2 x 5 = 1/2;
• 25/100 = 1 x 25/4 x 25 = 1/4;
• 1375/1000 = 11 x 125/8 x 125 = 11/8.

Số 1.375 đã phải nhân với 10 ba lần, điều này không còn tiện lợi nữa, nhưng chúng ta sẽ phải làm gì nếu muốn chuyển thành số 0.000625? Trong tình huống này, chúng tôi sử dụng con đường tiếp theo chuyển đổi phân số.

Loại bỏ dấu phẩy thậm chí còn dễ dàng hơn

Phương pháp đầu tiên mô tả chi tiết thuật toán "loại bỏ" dấu phẩy khỏi phân số thập phân, tuy nhiên, chúng ta có thể đơn giản hóa quá trình này. Một lần nữa, chúng tôi làm theo ba bước.

Bước 1: Ta xét xem sau dấu thập phân có bao nhiêu chữ số. Ví dụ, số 1.375 có ba chữ số như vậy và 0,000625 có sáu. Chúng tôi sẽ ký hiệu số này bằng chữ n.

Bước 2: Bây giờ chúng ta đã đủ để biểu diễn phân số ở dạng C / 10 n, trong đó C là các chữ số có nghĩa của phân số (không có số 0, nếu có) và n là số chữ số sau dấu thập phân. Ví dụ:

• cho số 1.375 C \ u003d 1375, n \ u003d 3, phân số cuối cùng theo công thức 1375/10 3 \ u003d 1375/1000;
• cho số 0,000625 C \ u003d 625, n \ u003d 6, phân số cuối cùng theo công thức 625/10 6 \ u003d 625/1000000.

Về cơ bản, 10n là 1 với n số không, vì vậy bạn không phải lo lắng về việc nâng hàng chục lên lũy thừa - chỉ cần chỉ định 1 với n số không. Sau đó, cần giảm phân số giàu số không.

Bước 3: Giảm các số không và nhận được kết quả cuối cùng:

• 1375/1000 = 11 x 125/8 x 125 = 11/8;
• 625/1000000 = 1 x 625/1600 x 625 = 1/1600.

Phân số 11/8 là một phân số không đúng, vì tử số của nó lớn hơn mẫu số, có nghĩa là chúng ta có thể chọn toàn bộ phần. Trong tình huống này, chúng tôi trừ phần nguyên của 8/8 cho 11/8 và nhận được phần còn lại là 3/8, do đó, phân số trông giống như 1 và 3/8.

Chuyển đổi bằng tai

Đối với những người biết cách đọc các số thập phân một cách chính xác, việc chuyển đổi chúng bằng tai là dễ dàng nhất. Nếu bạn đọc 0,025 không phải là "không, không, hai mươi lăm", mà là "25 phần nghìn", thì bạn sẽ không gặp vấn đề gì khi chuyển đổi số thập phân thành phân số thông thường.

0,025 = 25/1000 = 1/40

Vì vậy, cách đọc chính xác số thập phân cho phép bạn ngay lập tức viết nó dưới dạng một phân số thông thường và giảm nó nếu cần thiết.

Ví dụ về việc sử dụng phân số trong cuộc sống hàng ngày

Thoạt nhìn, các phân số thông thường thực tế không được sử dụng trong cuộc sống hàng ngày hoặc trong công việc, và rất khó để hình dung ra một tình huống mà bạn cần phải dịch. số thập phân cho các nhiệm vụ thông thường bên ngoài trường học. Hãy xem một vài ví dụ.

Công việc

Vì vậy, bạn làm việc trong một cửa hàng kẹo và bán halva theo trọng lượng. Để dễ dàng bán sản phẩm, bạn chia halva thành từng kg, nhưng ít người mua sẵn sàng mua cả kg. Do đó, bạn phải chia phần thưởng thức thành nhiều phần mỗi lần. Và nếu một người mua khác yêu cầu bạn 0,4 kg halva, bạn sẽ bán cho anh ta đúng phần mà không gặp bất kỳ trở ngại nào.

0,4 = 4/10 = 2/5

Đời sống

Ví dụ, bạn cần pha dung dịch 12% để sơn mô hình trong bóng râm mà bạn cần. Để làm điều này, bạn cần phải trộn sơn và chất pha loãng, nhưng làm thế nào để làm điều đó đúng? 12% là một phần thập phân của 0,12. Chúng tôi chuyển đổi số thành một phân số thông thường và nhận được:

0,12 = 12/100 = 3/25

Biết các phân số, bạn có thể trộn các thành phần một cách chính xác và có được màu sắc phù hợp.

Sự kết luận

Phân số được sử dụng rộng rãi trong cuộc sống hàng ngày, vì vậy nếu bạn thường xuyên cần chuyển đổi số thập phân thành phân số, bạn sẽ cần một máy tính trực tuyến có thể ngay lập tức nhận được kết quả dưới dạng một phân số đã được rút gọn.

Cố gắng quyết định Bài toán với phân số, học sinh hiểu rằng mong muốn giải quyết những vấn đề này là không đủ đối với anh ta. Cũng cần có kiến ​​thức về các phép tính với số phân số. Trong một số bài toán, tất cả dữ liệu ban đầu được đưa ra trong điều kiện ở dạng phân số. Ở những người khác, một số có thể là phân số và một số có thể là số nguyên. Để thực hiện một số phép tính với những giá trị đã cho, trước tiên chúng ta phải đưa họ đến loài đơn lẻ tức là, dịch các số nguyên thành phân số, rồi thực hiện các phép tính. Nhìn chung, cách chuyển một số nguyên thành phân số rất đơn giản. Để làm điều này, hãy viết chính số đã cho vào tử số của phân số cuối cùng và một số ở mẫu số của nó. Tức là, nếu bạn cần chuyển số 12 thành phân số, thì phân số thu được sẽ là 12/1.

Những sửa đổi như vậy giúp giảm phân số thành mẫu số chung. Điều này là cần thiết để có thể trừ hoặc cộng các số phân số. Khi nhân và chia chúng, không cần mẫu số chung. Bạn có thể xem xét một ví dụ về cách chuyển một số thành một phân số và sau đó cộng hai số phân số. Giả sử bạn cần thêm số 12 và phân số 3/4. Số hạng đầu tiên (số 12) được rút gọn thành 12/1. Tuy nhiên, mẫu số của nó là 1, trong khi số hạng thứ hai là 4. Để cộng hai phân số này sau đó, chúng phải được thu gọn về một mẫu số chung. Do một trong các số có mẫu số bằng 1 nên điều này thường dễ thực hiện. Cần phải lấy mẫu số của số thứ hai và nhân với nó cả tử số và mẫu số của số thứ nhất.

Kết quả của phép nhân sẽ là: 12/1 = 48/4. Nếu 48 chia cho 4 thì được 12, nghĩa là phân số đó được rút gọn về mẫu số. Như vậy, đồng thời, bạn có thể hiểu cách chuyển một phân số thành một số nguyên. Điều này chỉ áp dụng cho các phân số không đúng, vì chúng có tử số lớn hơn mẫu số. Trong trường hợp này, tử số được chia cho mẫu số và nếu không có dư thì sẽ có một số nguyên. Với phần dư, phân số vẫn là một phân số, nhưng với phần nguyên đã chọn. Bây giờ liên quan đến việc giảm xuống một mẫu số chung trong ví dụ được xem xét. Nếu số hạng thứ nhất có mẫu số bằng một số khác 1 thì tử số và mẫu số của số thứ nhất sẽ phải nhân với mẫu số của số thứ hai, đồng thời phải nhân tử số và mẫu số của số thứ hai với mẫu số của số thứ nhất.

Cả hai số hạng đều được thu gọn về mẫu số chung và sẵn sàng để bổ sung. Nó chỉ ra rằng trong bài toán này bạn cần phải thêm hai số: 48/4 và 3/4. Khi cộng hai phân số có cùng mẫu số, bạn chỉ cần tính tổng các phần trên của chúng, nghĩa là các tử số. Mẫu số của tổng sẽ không thay đổi. Trong ví dụ này, nó phải là 48/4 + 3/4 = (48 + 3) / 4 = 51/4. Đây sẽ là kết quả của việc bổ sung. Nhưng trong toán học, người ta thường giảm các phân số không đúng thành các phân số thích hợp. Ở trên, chúng ta đã xem xét cách chuyển một phân số thành một số, nhưng trong ví dụ này, bạn sẽ không nhận được một số nguyên từ phân số 51/4, vì số 51 không chia hết cho số 4 mà không có dư. Do đó, bạn cần chọn phần nguyên của phân số này và phần phân số của nó. Phần nguyên sẽ là số nhận được bằng cách chia cho một số nguyên mà số đầu tiên nhỏ hơn 51.

Tức là một số có thể chia cho 4 mà không có dư. Số đầu tiên đứng trước số 51 chia hết cho 4 sẽ là số 48. Chia 48 cho 4 ta được số 12. Điều này có nghĩa là phần nguyên của phân số mong muốn sẽ là 12. Nó còn lại chỉ để tìm phần phân số của số. Mẫu số của phần phân số vẫn giữ nguyên, nghĩa là 4 in trường hợp này. Để tìm tử số của phân số, cần lấy tử số ban đầu trừ đi số đã chia cho mẫu số mà không có dư. Trong ví dụ này, yêu cầu trừ số 48 cho số 51. Nghĩa là, tử số của phần phân số là 3. Kết quả của phép cộng sẽ là 12 số nguyên và 3/4. Điều này cũng đúng khi trừ phân số. Giả sử bạn cần trừ phân số 3/4 cho số nguyên 12. Để thực hiện điều này, số nguyên 12 được chuyển thành phân số 12/1, sau đó rút gọn thành mẫu số chung với số thứ hai - 48/4.

Khi thực hiện phép trừ theo cùng một cách, mẫu số của cả hai phân số không thay đổi và phép trừ được thực hiện với tử số của chúng. Nghĩa là, tử số của phân số thứ hai bị trừ khỏi tử số của phân số thứ nhất. TẠI ví dụ này nó sẽ là 48 / 4-3 / 4 = (48-3) / 4 = 45/4. Và một lần nữa nó hóa ra là một phân số không đúng, phải được rút gọn thành một phân số đúng. Để chọn phần nguyên, người ta xác định số đầu tiên có đến 45 chia hết cho 4 mà không có dư. Đây sẽ là 44. Nếu số 44 chia cho 4, bạn nhận được 11. Vì vậy Toàn bộ phần phân số cuối cùng là 11. Ở phần phân số, mẫu số cũng không thay đổi, và từ tử số của ban đầu phân số không đúng trừ đi số chia hết cho mẫu số mà không có dư. Nghĩa là, cần phải trừ 44 cho 45. Vì vậy, tử số ở phần phân số là 1 và 12-3 / 4 = 11 và 1/4.

Nếu cho một số nguyên và một số phân số, nhưng mẫu số của nó là 10, thì dễ dàng hơn thứ hai Chuyển số thành số thập phân và sau đó thực hiện các phép tính. Ví dụ, bạn cần thêm số nguyên 12 và số phân số 3/10. Nếu số 3/10 được viết dưới dạng số thập phân, nó sẽ là 0,3. Giờ đây, việc cộng 0,3 với 12 và lấy 2,3 dễ dàng hơn nhiều so với việc đưa các phân số về một mẫu số chung, thực hiện các phép tính, rồi tách phần nguyên và phần phân số khỏi một phân số không đúng. Ngay cả những bài toán đơn giản nhất về số phân số cũng cho rằng học sinh (hoặc học sinh) biết cách chuyển một số nguyên thành một phân số. Những quy tắc này quá đơn giản và dễ nhớ. Nhưng với sự giúp đỡ của họ, rất dễ dàng để thực hiện các phép tính về số phân số.

Ngay từ đầu, bạn vẫn cần tìm hiểu phân số là gì và các dạng của nó. Và nó có ba loại. Và đầu tiên trong số chúng là một phân số bình thường, ví dụ ½, 3 / 7.3 / 432, v.v. Những con số này cũng có thể được viết bằng dấu gạch ngang. Cả điều đầu tiên và điều thứ hai đều đúng như nhau. Số trên cùng được gọi là tử số và số dưới cùng là mẫu số. Thậm chí có một câu nói dành cho những người liên tục nhầm lẫn giữa hai cái tên này. Nó giống như sau: “Zzzzzremember! Zzzzsignator - downzzzzu! ". Điều này sẽ giúp bạn không bị nhầm lẫn. Phân số chỉ là hai số chia hết cho nhau. Dấu gạch ngang trong chúng biểu thị dấu hiệu phân chia. Nó có thể được thay thế bằng dấu hai chấm. Nếu câu hỏi là "làm thế nào để chuyển một phân số thành một số", thì nó rất đơn giản. Tất cả những gì bạn phải làm là chia tử số cho mẫu số. Và đó là nó. Phân số đã được dịch.

Loại phân số thứ hai được gọi là số thập phân. Đây là một loạt các dấu chấm phẩy. Ví dụ: 0,5, 3,5, v.v. Họ gọi chúng là số thập phân, chỉ vì sau chữ số đầu tiên được sung có nghĩa là "hàng chục", chữ số thứ hai gấp mười lần "hàng trăm", v.v. Và chữ số đầu tiên trước dấu thập phân được gọi là số nguyên. Ví dụ, số 2,4 phát âm như thế này, mười hai nguyên và hai trăm ba mươi tư phần nghìn. Các phân số như vậy xuất hiện chủ yếu do thực tế là phép chia hai số không có dư không thực hiện được. Và hầu hết các phân số phổ biến, khi được chuyển đổi thành số, kết thúc dưới dạng số thập phân. Ví dụ, một giây bằng 0 đến 5 phần mười.

Và cái nhìn thứ ba cuối cùng. nó hỗn số. Ví dụ về điều này sẽ là 2 ½. Nó giống như hai số nguyên và một giây. Ở trường phổ thông, loại phân số này không còn được sử dụng nữa. Họ chắc chắn sẽ cần phải được đưa đến quan điểm chung phân số hoặc sang số thập phân. Nó chỉ dễ dàng để làm như vậy. Chỉ một số nguyên phải được nhân với mẫu số và ký hiệu kết quả, được thêm vào số. Hãy lấy ví dụ 2½ của chúng tôi. Hai nhân với hai tạo thành bốn. Bốn cộng một bằng năm. Và một phân số có dạng 2½ được tạo thành 5/2. Và năm, chia cho hai, bạn có thể nhận được một phân số thập phân. 2½ = 5/2 = 2,5. Nó đã trở nên rõ ràng làm thế nào để chuyển các phân số thành số. Tất cả những gì bạn phải làm là chia tử số cho mẫu số. Nếu số lượng lớn, bạn có thể sử dụng máy tính bỏ túi.

Nếu nó không phải là số nguyên và có rất nhiều chữ số sau dấu thập phân, thì giá trị cho trước có thể được làm tròn. Làm tròn rất dễ dàng. Trước tiên, bạn cần phải quyết định con số bạn muốn làm tròn. Một ví dụ nên được xem xét. Một người cần làm tròn số 0 nguyên, chín nghìn bảy trăm năm mươi sáu phần nghìn, hoặc giá trị số 0,6. Việc làm tròn phải được thực hiện đến hàng trăm. Điều này có nghĩa là tại thời điểm hiện tại lên đến bảy phần trăm. Sau số bảy trong phân số là năm. Bây giờ chúng ta cần sử dụng các quy tắc làm tròn. Các số lớn hơn năm được làm tròn lên và các số nhỏ hơn được làm tròn xuống. Trong ví dụ, một người có năm, cô ấy đứng trên đường biên giới, nhưng người ta tin rằng việc làm tròn sẽ tăng lên. Vì vậy, chúng tôi loại bỏ tất cả các số sau bảy và thêm một vào nó. Hóa ra 0,8.

Cũng có những tình huống khi một người cần nhanh chóng chuyển một phân số bình thường thành một số, nhưng không có máy tính gần đó. Để làm điều này, bạn nên sử dụng phép chia cho một cột. Bước đầu tiên là viết tử số và mẫu số cạnh nhau trên một tờ giấy. Một góc phân chia được đặt giữa chúng, nó trông giống như chữ “T”, chỉ nằm nghiêng. Ví dụ, lấy mười phần sáu. Và do đó, mười nên được chia cho sáu. Có bao nhiêu số sáu có thể phù hợp với số mười, chỉ một. Đơn vị được viết dưới góc. Mười trừ sáu là bốn. Có bao nhiêu sáu sẽ là trong bốn, một số. Vì vậy, trong câu trả lời, dấu phẩy được đặt sau đơn vị và bốn được nhân với mười. Bốn mươi sáu sáu. Trong câu trả lời, một sáu được thêm vào, và ba mươi sáu bị trừ đi bốn mươi. Nó lại ra bốn.

Trong ví dụ này, một vòng lặp đã xảy ra, nếu bạn tiếp tục làm mọi thứ theo cách tương tự, bạn sẽ nhận được câu trả lời 1.6 (6) Số sáu tiếp tục cho vô hạn, nhưng bằng cách áp dụng quy tắc làm tròn, bạn có thể đưa số về 1,7. Cái nào tiện lợi hơn nhiều. Từ đó chúng ta có thể kết luận rằng không phải tất cả các phân số thông thường đều có thể chuyển đổi thành số thập phân. Một số đang lặp lại. Nhưng mặt khác, bất kỳ phân số thập phân nào cũng có thể được chuyển đổi thành một phân số đơn giản. Trợ giúp ở đây quy tắc cơ bản như nó được nghe, vì vậy nó được viết. Ví dụ, số 1,5 được nghe là một phẩy hai mươi lăm phần trăm. Vì vậy, bạn cần phải viết ra, một nguyên vẹn, hai mươi lăm chia cho một trăm. Một toàn thể là một trăm, có nghĩa là phân số đơn giản sẽ là một trăm hai mươi lăm đến một trăm (125/100). Mọi thứ cũng đơn giản và rõ ràng.

Vì vậy, các quy tắc cơ bản nhất và các phép biến đổi liên quan đến phân số đã bị loại bỏ. Tất cả chúng đều đơn giản, nhưng bạn nên biết chúng. TẠI Cuộc sống hàng ngày phân số, đặc biệt là số thập phân, từ lâu đã được bao gồm. Điều này được nhìn thấy rõ ràng trên thẻ giá trong các cửa hàng. Giá tròn đã không được viết trong một thời gian dài, và với phân số, giá có vẻ rẻ hơn nhiều. Ngoài ra, một trong những giả thuyết nói rằng nhân loại đã quay lưng lại với chữ số La Mã và sử dụng chữ số Ả Rập, chỉ vì không có phân số trong chữ số La Mã. Và nhiều nhà khoa học đồng ý với giả thiết này. Rốt cuộc, với phân số bạn có thể tiến hành các phép tính chính xác hơn. Và trong thời đại của chúng ta công nghệ vũ trụ, sự chính xác trong tính toán là cần thiết hơn bao giờ hết. Vì vậy, việc học phân số trong trường toán là rất quan trọng để hiểu biết nhiều ngành khoa học và tiến bộ kỹ thuật.

Nếu chúng ta cần chia 497 cho 4, thì khi chia, chúng ta sẽ thấy 497 không chia hết cho 4, tức là vẫn là phần còn lại của phép chia. Trong những trường hợp như vậy, người ta nói rằng chia với phần còn lại và giải pháp được viết như sau:
497: 4 = 124 (1 dư).

Các thành phần chia ở phía bên trái của đẳng thức được gọi là giống như trong phép chia không có dư: 497 - cổ tức, 4 - dải phân cách. Kết quả của phép chia khi chia có dư được gọi là riêng tư không hoàn chỉnh. Trong trường hợp của chúng ta, con số này là 124. Và cuối cùng, thành phần cuối cùng, không nằm trong phép chia thông thường, là phần còn lại. Khi không có số dư, một số được cho là chia cho một số khác. không có dấu vết, hoặc hoàn toàn. Người ta tin rằng với cách chia như vậy, phần dư bằng không. Trong trường hợp của chúng tôi, phần còn lại là 1.

Số dư luôn nhỏ hơn số chia.

Bạn có thể kiểm tra khi chia bằng cách nhân. Ví dụ, nếu có một đẳng thức 64: 32 = 2, thì việc kiểm tra có thể được thực hiện như sau: 64 = 32 * 2.

Thông thường trong các trường hợp phép chia với phần dư được thực hiện, sẽ thuận tiện hơn khi sử dụng đẳng thức
a \ u003d b * n + r,
trong đó a là số bị chia, b là số bị chia, n là thương một phần, r là phần dư.

Thương của phép chia các số tự nhiên có thể viết dưới dạng phân số.

Tử số của một phân số là số bị chia, và mẫu số là số chia.

Vì tử số của phân số là số bị chia và mẫu số là số chia, tin rằng dòng của một phân số có nghĩa là hành động của phép chia. Đôi khi rất tiện lợi khi viết phép chia dưới dạng phân số mà không cần sử dụng dấu ":".

Thương của phép chia các số tự nhiên m và n có thể được viết dưới dạng phân số \ (\ frac (m) (n) \), trong đó tử số m là số bị chia và mẫu số n là số chia:
\ (m: n = \ frac (m) (n) \)

Các quy tắc sau là đúng:

Để nhận được một phân số \ (\ frac (m) (n) \), bạn cần chia đơn vị cho n các phần bằng nhau(chia sẻ) và lấy m phần như vậy.

Để nhận được phân số \ (\ frac (m) (n) \), bạn cần chia số m cho số n.

Để tìm một phần của tổng thể, bạn cần chia số tương ứng với tổng cho mẫu số và nhân kết quả với tử số của phân số biểu thị phần này.

Để tìm một tổng cho một phần của nó, bạn cần chia số tương ứng với phần này cho tử số và nhân kết quả với mẫu số của phân số biểu thị phần này.

Nếu cả tử số và mẫu số của một phân số đều được nhân với cùng một số (trừ số 0), giá trị của phân số sẽ không thay đổi:
\ (\ large \ frac (a) (b) = \ frac (a \ cdot n) (b \ cdot n) \)

Nếu cả tử số và mẫu số của một phân số đều được chia cho cùng một số (trừ số 0), giá trị của phân số sẽ không thay đổi:
\ (\ large \ frac (a) (b) = \ frac (a: m) (b: m) \)
Thuộc tính này được gọi là tính chất cơ bản của một phân số.

Hai phép biến đổi cuối cùng được gọi là giảm phân số.

Nếu các phân số cần được biểu diễn dưới dạng các phân số có cùng mẫu số, thì hành động như vậy được gọi là giảm các phân số về một mẫu số chung.

Phân số đúng và không đúng. hỗn số

Bạn đã biết rằng một phân số có thể nhận được bằng cách chia một tổng thể thành các phần bằng nhau và lấy một số phần như vậy. Ví dụ, phân số \ (\ frac (3) (4) \) có nghĩa là ba phần tư của một. Trong nhiều bài toán ở phần trước, phân số được dùng để biểu thị một phần của tổng thể. Ý thức chung gợi ý rằng một phần phải luôn nhỏ hơn tổng thể, nhưng sau đó những gì về phân số như \ (\ frac (5) (5) \) hoặc \ (\ frac (8) (5) \)? Rõ ràng rằng đây không còn là một phần của đơn vị. Đây có lẽ là lý do tại sao những phân số như vậy, trong đó tử số lớn hơn hoặc bằng mẫu số, được gọi là các phân số không thích hợp. Các phân số còn lại, tức là các phân số có tử số nhỏ hơn mẫu số, gọi là phân số thích hợp.

Như bạn đã biết, bất kỳ phân số bình thường nào, cả đúng và không đúng, đều có thể được coi là kết quả của phép chia tử số cho mẫu số. Do đó, trong toán học, ngược lại với ngôn ngữ bình thường, thuật ngữ "phân số không đúng" không có nghĩa là chúng ta đã làm sai điều gì đó, mà chỉ là phân số này có tử số lớn hơn hoặc bằng mẫu số.

Nếu một số bao gồm một phần nguyên và một phân số, thì phân số được gọi là hỗn hợp.

Ví dụ:
\ (5: 3 = 1 \ frac (2) (3) \): 1 là phần nguyên và \ (\ frac (2) (3) \) là phần phân số.

Nếu tử số của phân số \ (\ frac (a) (b) \) chia hết cho số tự nhiên n, thì để chia phân số này cho n, tử số của nó phải chia hết cho số này:
\ (\ large \ frac (a) (b): n = \ frac (a: n) (b) \)

Nếu tử số của phân số \ (\ frac (a) (b) \) không chia hết cho số tự nhiên n, thì để chia phân số này cho n, bạn cần nhân mẫu số của nó với số này:
\ (\ large \ frac (a) (b): n = \ frac (a) (bn) \)

Lưu ý rằng quy tắc thứ hai cũng hợp lệ khi tử số chia hết cho n. Vì vậy, chúng ta có thể sử dụng nó khi thoạt nhìn khó xác định tử số của một phân số có chia hết cho n hay không.

Các thao tác với phân số. Phép cộng phân số.

Với số phân số, cũng như số tự nhiên, bạn có thể thực hiện các phép tính toán học. Trước tiên, chúng ta hãy xem xét phép cộng các phân số. Dễ dàng thêm phân số cùng mẫu số. Ví dụ, tìm tổng của \ (\ frac (2) (7) \) và \ (\ frac (3) (7) \). Dễ dàng thấy rằng \ (\ frac (2) (7) + \ frac (2) (7) = \ frac (5) (7) \)

Để cộng các phân số có cùng mẫu số, bạn cần thêm tử số của chúng và giữ nguyên mẫu số.

Sử dụng các chữ cái, quy tắc cộng các phân số có cùng mẫu số có thể được viết như sau:
\ (\ large \ frac (a) (c) + \ frac (b) (c) = \ frac (a + b) (c) \)

Nếu bạn muốn cộng các phân số với mẫu số khác nhau, thì trước tiên chúng phải được thu gọn về một mẫu số chung. Ví dụ:
\ (\ large \ frac (2) (3) + \ frac (4) (5) = \ frac (2 \ cdot 5) (3 \ cdot 5) + \ frac (4 \ cdot 3) (5 \ cdot 3 ) = \ frac (10) (15) + \ frac (12) (15) = \ frac (10 + 12) (15) = \ frac (22) (15) \)

Đối với phân số, cũng như đối với số tự nhiên, các tính chất giao hoán và kết hợp của phép cộng là hợp lệ.

Phép cộng các phân số hỗn hợp

Các bản ghi như \ (2 \ frac (2) (3) \) được gọi là phân số hỗn hợp. Số 2 được gọi là Toàn bộ phần phân số hỗn hợp và số \ (\ frac (2) (3) \) là phần phân đoạn. Mục nhập \ (2 \ frac (2) (3) \) được đọc như sau: "hai và hai phần ba".

Chia số 8 cho số 3 ta được hai đáp án: \ (\ frac (8) (3) \) và \ (2 \ frac (2) (3) \). Chúng biểu thị cùng một số phân số, tức là \ (\ frac (8) (3) = 2 \ frac (2) (3) \)

Do đó, phân số không đúng \ (\ frac (8) (3) \) được biểu diễn dưới dạng một phân số hỗn hợp \ (2 \ frac (2) (3) \). Trong những trường hợp như vậy, họ nói rằng từ một phân số không đúng đơn ra toàn bộ.

Phép trừ phân số (số phân số)

Phép trừ các số phân số, cũng như các số tự nhiên, được xác định trên cơ sở thực hiện phép cộng: trừ một số khác cho một số có nghĩa là tìm một số mà khi thêm vào số thứ hai, sẽ cho số thứ nhất. Ví dụ:
\ (\ frac (8) (9) - \ frac (1) (9) = \ frac (7) (9) \) vì \ (\ frac (7) (9) + \ frac (1) (9) = \ frac (8) (9) \)

Quy tắc trừ các phân số có mẫu số tương tự như quy tắc cộng các phân số như vậy:
Để tìm hiệu giữa các phân số có cùng mẫu số, hãy lấy tử số của phân số thứ hai trừ tử số của phân số thứ nhất và giữ nguyên mẫu số.

Sử dụng các chữ cái, quy tắc này được viết như sau:
\ (\ large \ frac (a) (c) - \ frac (b) (c) = \ frac (a-b) (c) \)

Nhân phân số

Để nhân một phân số với một phân số, bạn cần nhân tử số và mẫu số của chúng và viết tích đầu tiên là tử số và tích thứ hai là mẫu số.

Sử dụng các chữ cái, quy tắc nhân phân số có thể được viết như sau:
\ (\ large \ frac (a) (b) \ cdot \ frac (c) (d) = \ frac (a \ cdot c) (b \ cdot d) \)

Sử dụng quy tắc đã xây dựng, có thể nhân một phân số với một số tự nhiên, với một phân số có hỗn số và cũng có thể nhân các phân số hỗn hợp. Để làm được điều này, bạn cần viết một số tự nhiên dưới dạng phân số có mẫu số là 1, phân số hỗn hợp dưới dạng phân số không đúng.

Kết quả của phép nhân nên được đơn giản hóa (nếu có thể) bằng cách rút gọn phân số và tô sáng phần nguyên của phân số không đúng.

Đối với phân số, cũng như đối với số tự nhiên, các tính chất giao hoán và kết hợp của phép nhân là hợp lệ, cũng như tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng.

Chia các phân số

Lấy phân số \ (\ frac (2) (3) \) và "lật" nó bằng cách hoán đổi tử số và mẫu số. Chúng ta nhận được phân số \ (\ frac (3) (2) \). Phần này được gọi là đảo ngược phân số \ (\ frac (2) (3) \).

Nếu bây giờ chúng ta "đảo ngược" phân số \ (\ frac (3) (2) \), thì chúng ta sẽ nhận được phân số ban đầu \ (\ frac (2) (3) \). Do đó, các phân số như \ (\ frac (2) (3) \) và \ (\ frac (3) (2) \) được gọi là nghịch đảo lẫn nhau.

Ví dụ: các phân số \ (\ frac (6) (5) \) và \ (\ frac (5) (6) \), \ (\ frac (7) (18) \) và \ (\ frac (18) ) (7) \).

Sử dụng các chữ cái, các phân số nghịch đảo lẫn nhau có thể được viết như sau: \ (\ frac (a) (b) \) và \ (\ frac (b) (a) \)

Rõ ràng là tích của các phân số nghịch đảo là 1. Ví dụ: \ (\ frac (2) (3) \ cdot \ frac (3) (2) = 1 \)

Sử dụng phân số nghịch đảo, phép chia phân số có thể rút gọn thành phép nhân.

Quy tắc chia một phân số cho một phân số:
Để chia một phân số này cho một phân số khác, bạn cần nhân số bị chia với nghịch đảo của số chia.

Sử dụng các chữ cái, quy tắc chia phân số có thể được viết như sau:
\ (\ large \ frac (a) (b): \ frac (c) (d) = \ frac (a) (b) \ cdot \ frac (d) (c) \)

Nếu số cổ tức hoặc số chia là số tự nhiên hoặc phần hỗn hợp Khi đó, để sử dụng quy tắc chia phân số, trước tiên nó phải được biểu diễn dưới dạng một phân số không đúng.