Ma trận đường chéo được sắp xếp đơn giản nhất. Câu hỏi đặt ra là liệu có thể tìm được một cơ sở trong đó ma trận của một toán tử tuyến tính sẽ có dạng đường chéo hay không. Một cơ sở như vậy tồn tại.
Cho một không gian tuyến tính R n và một toán tử tuyến tính A hoạt động trong nó; trong trường hợp này, toán tử A nhận R n vào chính nó, nghĩa là A:R n → R n .

Sự định nghĩa. Một vectơ khác 0 được gọi là vectơ riêng của toán tử A nếu toán tử A chuyển thành một vectơ thẳng hàng với nó, nghĩa là . Số λ được gọi là giá trị riêng hay giá trị riêng của toán tử A tương ứng với véc tơ riêng .
Chúng tôi lưu ý một số tính chất của giá trị riêng và vectơ riêng.
1. Mọi tổ hợp tuyến tính của các vectơ riêng của toán tử A tương ứng với cùng một giá trị riêng λ là một véc tơ riêng có cùng giá trị riêng.
2. Véc tơ riêng toán tử A với các giá trị riêng phân biệt theo từng cặp λ 1 , λ 2 , …, λ m độc lập tuyến tính.
3. Nếu các giá trị riêng λ 1 =λ 2 = λ m = λ, thì giá trị riêng λ tương ứng với không quá m véc tơ riêng độc lập tuyến tính.

Vì vậy, nếu có n vectơ riêng độc lập tuyến tính ứng với các giá trị riêng khác nhau λ 1 , λ 2 , …, λ n , thì chúng độc lập tuyến tính nên có thể lấy chúng làm cơ sở của không gian R n . Chúng ta hãy tìm dạng ma trận của toán tử tuyến tính A trong cơ sở của các vectơ riêng của nó, mà chúng ta hành động với toán tử A trên các vectơ cơ sở: sau đó .
Do đó, ma trận của toán tử tuyến tính A trên cơ sở các vectơ riêng của nó có dạng đường chéo và các giá trị riêng của toán tử A nằm trên đường chéo.
Có cơ sở nào khác mà ma trận có dạng đường chéo không? Câu trả lời cho câu hỏi này được đưa ra bởi định lý sau.

định lý. Ma trận của toán tử tuyến tính A trong cơ sở (i = 1..n) có dạng đường chéo khi và chỉ khi tất cả các vectơ của cơ sở là vectơ riêng nhà điều hành A

Quy tắc tìm giá trị riêng và vectơ riêng

Để véc tơ , trong đó x 1 , x 2 , …, x n - toạ độ của vectơ so với cơ sở và là vectơ riêng của toán tử tuyến tính A tương ứng với giá trị riêng λ , tức là . Mối quan hệ này có thể được viết dưới dạng ma trận

. (*)

Phương trình (*) có thể được coi là một phương trình để tìm , và , nghĩa là chúng ta quan tâm đến các nghiệm không tầm thường, vì vectơ riêng không thể bằng 0. Biết rằng nghiệm không tầm thường của hệ thuần nhất Các phương trình tuyến tính tồn tại khi và chỉ khi det(A - λE) = 0. Do đó, để λ là một giá trị riêng của toán tử A, điều cần và đủ là det(A - λE) = 0.
Nếu viết chi tiết phương trình (*) dưới dạng tọa độ thì ta được hệ phương trình tuyến tính phương trình thuần nhất:

(1)
ở đâu là ma trận của toán tử tuyến tính.

Hệ (1) có nghiệm khác 0 nếu định thức D của nó bằng 0

Chúng tôi có một phương trình để tìm giá trị riêng.
Phương trình này được gọi là phương trình đặc trưng và vế trái của nó được gọi là đa thức đặc trưng của ma trận (toán tử) A. Nếu đa thức đặc trưng không có nghiệm thực thì ma trận A không có vectơ riêng và không thể rút gọn về dạng đường chéo.
Cho λ 1 , λ 2 , …, λ n là các nghiệm thực phương trình đặc trưng, và có thể có bội số trong số đó. Thay lần lượt các giá trị này vào hệ (1), ta tìm được các véc tơ riêng.

Ví dụ 12. Toán tử tuyến tính A tác dụng trong R 3 theo quy luật , trong đó x 1 , x 2 , .., x n là tọa độ của vectơ trong cơ sở , , . Tìm các giá trị riêng và vectơ riêng của toán tử này.
Dung dịch. Chúng tôi xây dựng ma trận của toán tử này:
.
Chúng tôi soạn một hệ thống để xác định tọa độ của các vectơ riêng:

Chúng tôi soạn phương trình đặc trưng và giải nó:

.
λ 1,2 = -1, λ 3 = 3.
Thay λ = -1 vào hệ, ta có:
hoặc
Tại vì , thì có hai biến phụ thuộc và một biến tự do.
Gọi x 1 là một ẩn số tự do thì Chúng tôi giải quyết hệ thống này theo bất kỳ cách nào và tìm quyết định chung của hệ này: Hệ nghiệm cơ bản gồm một nghiệm, vì n - r = 3 - 2 = 1.
Tập hợp các vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng λ = -1 có dạng: , trong đó x 1 là một số bất kỳ khác 0. Hãy chọn một vectơ từ tập hợp này, ví dụ, bằng cách đặt x 1 = 1: .
Lập luận tương tự, chúng tôi tìm thấy vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng λ = 3: .
Trong không gian R 3 cơ sở bao gồm ba vectơ độc lập tuyến tính, nhưng chúng tôi chỉ thu được hai vectơ riêng độc lập tuyến tính, từ đó cơ sở trong R 3 không thể được hình thành. Do đó, ma trận A của toán tử tuyến tính không thể rút gọn về dạng đường chéo.

Ví dụ 13 Cho một ma trận .
1. Chứng minh rằng vectơ là một vector riêng của ma trận A. Tìm giá trị riêng tương ứng với vector riêng này.
2. Tìm cơ sở để ma trận A có dạng đường chéo.
Dung dịch.
1. Nếu , thì là một véc tơ riêng

.
Vectơ (1, 8, -1) là một vectơ riêng. Giá trị riêng λ = -1.
Ma trận có dạng đường chéo trong cơ sở bao gồm các vectơ riêng. Một trong số đó là nổi tiếng. Hãy tìm phần còn lại.
Chúng tôi đang tìm kiếm các vectơ riêng từ hệ thống:

Phương trình đặc trưng: ;
(3 + λ)[-2(2-λ)(2+λ)+3] = 0; (3+λ)(λ 2 - 1) = 0
λ 1 = -3, λ 2 = 1, λ 3 = -1.
Tìm vectơ riêng tương ứng với giá trị riêng λ = -3:

Hạng của ma trận của hệ này bằng hai và bằng với sốẩn số, vì vậy hệ này chỉ có nghiệm bằng không x 1 = x 3 = 0. x 2 ở đây có thể là bất kỳ thứ gì khác không, ví dụ, x 2 = 1. Do đó, vectơ (0,1,0) là một vectơ riêng , tương ứng với λ = -3. Hãy kiểm tra:
.
Nếu λ = 1 thì ta có hệ
Hạng của ma trận là hai. Gạch bỏ phương trình cuối cùng.
Gọi x 3 là ẩn số tự do. Khi đó x 1 \u003d -3x 3, 4x 2 \u003d 10x 1 - 6x 3 \u003d -30x 3 - 6x 3, x 2 \u003d -9x 3.
Giả sử x 3 = 1, ta có (-3,-9,1) - một véc tơ riêng tương ứng với giá trị riêng λ = 1. Kiểm tra:

.
Vì các giá trị riêng là thực và khác nhau nên các vectơ tương ứng với chúng độc lập tuyến tính nên có thể lấy chúng làm cơ sở trong R 3 . Như vậy, trên cơ sở , , ma trận A có dạng:
.
Không phải mọi ma trận của toán tử tuyến tính A:R n → R n đều có thể rút gọn về dạng đường chéo, vì đối với một số toán tử tuyến tính, có thể có ít hơn n vectơ riêng độc lập tuyến tính. Tuy nhiên, nếu ma trận là đối xứng thì có đúng m vectơ độc lập tuyến tính tương ứng với nghiệm của phương trình đặc trưng của bội m.

Sự định nghĩa. Ma trận đối xứng là một ma trận vuông trong đó các phần tử đối xứng qua đường chéo chính thì bằng nhau, nghĩa là trong đó .
Nhận xét. 1. Mọi giá trị riêng của một ma trận đối xứng là thực.
2. Các vectơ riêng của một ma trận đối xứng tương ứng với các giá trị riêng khác nhau theo cặp là trực giao.
Là một trong nhiều ứng dụng của thiết bị được nghiên cứu, chúng tôi xem xét vấn đề xác định dạng của đường cong bậc hai.

Một vectơ riêng của ma trận vuông là một vectơ mà khi nhân với một ma trận đã cho sẽ cho ra một vectơ cộng tuyến. Nói một cách đơn giản, khi một ma trận được nhân với một véc tơ riêng, thì véc tơ riêng vẫn giữ nguyên, nhưng được nhân với một số nào đó.

Sự định nghĩa

Một vectơ riêng là một vectơ khác không V, khi nhân với ma trận vuông M, nó trở thành chính nó, tăng thêm một số λ. Trong ký hiệu đại số, điều này trông giống như:

M × V = λ × V,

trong đó λ là giá trị riêng của ma trận M.

Xem xét ví dụ số. Để thuận tiện cho việc ghi chép, các số trong ma trận sẽ được ngăn cách nhau bởi dấu chấm phẩy. Giả sử chúng ta có một ma trận:

• M = 0; bốn;
• 6; 10.

Hãy nhân nó với một vectơ cột:

• V = -2;

Khi nhân một ma trận với một vectơ cột, ta cũng được một vectơ cột. Nghiêm khắc ngôn ngữ toán học công thức nhân một ma trận 2 × 2 với một vectơ cột sẽ như sau:

• M × V = M11 × V11 + M12 × V21;
• M21 x V11 + M22 x V21.

M11 là phần tử của ma trận M, đứng ở hàng thứ nhất, cột thứ nhất và M22 là phần tử nằm ở hàng thứ hai, cột thứ hai. Đối với ma trận của chúng tôi, các phần tử này là M11 = 0, M12 = 4, M21 = 6, M22 10. Đối với một vectơ cột, các giá trị này là V11 = –2, V21 = 1. Theo công thức này, chúng tôi nhận được như sau kết quả của tích của ma trận vuông với một vectơ:

• M × V = 0 × (-2) + (4) × (1) = 4;
• 6 × (-2) + 10 × (1) = -2.

Để thuận tiện, ta viết vectơ cột thành một hàng. Vì vậy, chúng tôi đã nhân ma trận vuông với vectơ (-2; 1), kết quả là vectơ (4; -2). Rõ ràng, đây là cùng một vectơ nhân với λ = -2. lambda trong trường hợp này biểu thị một giá trị riêng của ma trận.

Vectơ riêng của ma trận là một vectơ cộng tuyến, nghĩa là một đối tượng không thay đổi vị trí của nó trong không gian khi nó được nhân với ma trận. Khái niệm cộng tuyến trong đại số véc tơ tương tự như thuật ngữ song song trong hình học. Trong giải thích hình học vectơ cộng tuyến- Đây là các đoạn thẳng song song có độ dài khác nhau. Kể từ thời Euclid, chúng ta đã biết rằng một đường thẳng có vô số đường thẳng song song với nó, do đó, thật hợp lý khi giả sử rằng mỗi ma trận có vô số vectơ riêng.

Từ ví dụ trước, có thể thấy rằng cả (-8; 4) và (16; -8) và (32, -16) đều có thể là véc tơ riêng. Tất cả đều là các vectơ cộng tuyến tương ứng với giá trị riêng λ = -2. Khi nhân ma trận ban đầu với các vectơ này, chúng ta vẫn sẽ nhận được kết quả là một vectơ khác với vectơ ban đầu 2 lần. Đó là lý do tại sao khi giải các bài toán tìm véc tơ riêng, yêu cầu chỉ tìm các đối tượng véc tơ độc lập tuyến tính. Thông thường, đối với ma trận n × n, có số vectơ riêng thứ n. Máy tính của chúng tôi được thiết kế để phân tích các ma trận vuông bậc hai, do đó, hầu như luôn tìm được hai véc tơ riêng, trừ khi chúng trùng nhau.

Trong ví dụ trên, chúng ta đã biết trước vectơ riêng của ma trận gốc và xác định số lambda một cách trực quan. Tuy nhiên, trong thực tế, mọi thứ diễn ra theo cách khác: lúc đầu có các giá trị riêng và chỉ sau đó mới có các vectơ riêng.

thuật toán giải

Hãy xem xét lại ma trận ban đầu M và cố gắng tìm cả hai vectơ riêng của nó. Vì vậy, ma trận trông giống như:

• M = 0; bốn;
• 6; 10.

Để bắt đầu, chúng ta cần xác định giá trị riêng λ, mà chúng ta cần tính định thức của ma trận sau:

• (0 − λ); bốn;
• 6; (10−λ).

ma trận này thu được bằng cách trừ λ chưa biết khỏi các phần tử trên đường chéo chính. Định thức được xác định theo công thức chuẩn:

• detA = M11 × M21 − M12 × M22
• detA = (0 − λ) × (10 − λ) − 24

Vì vectơ của chúng ta không được bằng 0, nên chúng ta coi phương trình kết quả là phụ thuộc tuyến tính và định thức detA của chúng ta bằng 0.

(0 − λ) × (10 − λ) − 24 = 0

Hãy mở ngoặc và lấy phương trình đặc trưng của ma trận:

λ 2 − 10λ − 24 = 0

đây là tiêu chuẩn phương trình bậc hai, điều này sẽ được giải quyết theo điều kiện phân biệt.

D \u003d b 2 - 4ac \u003d (-10) × 2 - 4 × (-1) × 24 \u003d 100 + 96 \u003d 196

Căn của biệt thức là sqrt(D) = 14, vì vậy λ1 = -2, λ2 = 12. Bây giờ với mỗi giá trị lambda, chúng ta cần tìm một véc tơ riêng. Hãy để chúng tôi biểu thị các hệ số của hệ thống cho λ = -2.

• M−λ × E = 2; bốn;
• 6; 12.

Trong công thức này, E là ma trận đơn vị. Dựa trên ma trận thu được, chúng tôi soạn một hệ phương trình tuyến tính:

2x + 4y = 6x + 12y

trong đó x và y là các phần tử của véc tơ riêng.

Hãy thu thập tất cả các chữ X ở bên trái và tất cả các chữ Y ở bên phải. Rõ ràng - 4x = 8y. Chia biểu thức cho - 4 và được x = -2y. Bây giờ chúng ta có thể xác định vectơ riêng đầu tiên của ma trận bằng cách lấy bất kỳ giá trị nào của ẩn số (hãy nhớ về vô hạn của các vectơ riêng phụ thuộc tuyến tính). Giả sử y = 1 thì x = -2. Do đó, véc tơ riêng đầu tiên có dạng V1 = (–2; 1). Quay lại đầu bài viết. Chính đối tượng vectơ này mà chúng tôi đã nhân ma trận để chứng minh khái niệm về vectơ riêng.

Bây giờ hãy tìm vector riêng cho λ = 12.

• M - λ × E = -12; bốn
• 6; -2.

Hãy để chúng tôi soạn cùng một hệ phương trình tuyến tính;

• -12x + 4y = 6x − 2y
• -18x = -6y
• 3x=y.

Bây giờ, hãy lấy x = 1, do đó y = 3. Do đó, vectơ riêng thứ hai có dạng V2 = (1; 3). Khi nhân ma trận ban đầu với véc tơ đã cho, kết quả sẽ luôn là cùng một vectơ nhân với 12. Điều này hoàn thành thuật toán giải pháp. Bây giờ bạn đã biết cách xác định véc tơ riêng của ma trận theo cách thủ công.

• bản ngã;
• theo dõi, nghĩa là tổng của các phần tử trên đường chéo chính;
• hạng, tức là số tiền tối đa hàng/cột độc lập tuyến tính.

Chương trình hoạt động theo thuật toán trên, giảm thiểu quá trình giải. Điều quan trọng là chỉ ra rằng trong chương trình, lambda được biểu thị bằng chữ "c". Hãy xem xét một ví dụ số.

Ví dụ về chương trình

Hãy thử xác định các vectơ riêng cho ma trận sau:

• M=5; 13;
• 4; 14.

Hãy nhập các giá trị này vào các ô của máy tính và nhận câu trả lời ở dạng sau:

• Hạng ma trận: 2;
• Định thức ma trận: 18;
• Dấu vết ma trận: 19;
• Phép tính vectơ riêng: c 2 − 19,00c + 18,00 (phương trình đặc trưng);
• Tính toán vectơ riêng: 18 (giá trị lambda đầu tiên);
• Tính toán vectơ riêng: 1 (giá trị lambda thứ hai);
• Hệ phương trình vectơ 1: -13x1 + 13y1 = 4x1−4y1;
• Hệ phương trình vectơ 2: 4x1 + 13y1 = 4x1 + 13y1;
• Véc tơ riêng 1: (1; 1);
• Véc tơ riêng 2: (-3,25; 1).

Do đó, chúng tôi đã thu được hai vectơ riêng độc lập tuyến tính.

Sự kết luận

Đại số tuyến tính và hình học giải tích là những môn học tiêu chuẩn cho bất kỳ sinh viên năm nhất nào chuyên ngành kỹ thuật. Một số lượng lớn vectơ và ma trận thật đáng sợ và rất dễ mắc lỗi trong các phép tính rườm rà như vậy. Chương trình của chúng tôi sẽ cho phép học sinh kiểm tra các phép tính của mình hoặc tự động giải bài toán tìm vectơ riêng. Có các máy tính đại số tuyến tính khác trong danh mục của chúng tôi, hãy sử dụng chúng trong học tập hoặc công việc của bạn.

www.site cho phép bạn tìm thấy . Trang web thực hiện phép tính. Trong vài giây, máy chủ sẽ phát hành quyết định đúng đắn. Phương trình đặc trưng cho ma trận sẽ là biểu thức đại số, tìm được theo quy tắc tính định thức ma trận ma trận, còn trên đường chéo chính sẽ có sự khác nhau về giá trị của các phần tử trên đường chéo và biến. Khi tính toán phương trình đặc trưng cho ma trận trực tuyến, mỗi phần tử ma trận sẽ được nhân với các yếu tố khác tương ứng ma trận. Tìm trong chế độ Trực tuyến chỉ có thể cho hình vuông ma trận. Tìm hoạt động phương trình đặc trưng cho ma trận trực tuyếnđi xuống để tính toán tổng đại số sản phẩm của các yếu tố ma trận là kết quả của việc tìm ra yếu tố quyết định ma trận, chỉ nhằm mục đích xác định phương trình đặc trưng cho ma trận trực tuyến. Thao tác này mất nơi đặc biệt trên lý thuyết ma trận, cho phép bạn tìm các giá trị riêng và vectơ bằng cách sử dụng nghiệm . Nhiệm vụ tìm kiếm phương trình đặc trưng cho ma trận trực tuyến là nhân các phần tử ma trận với tổng sau đó của các sản phẩm này theo một quy tắc nhất định. www.site tìm thấy phương trình đặc trưng cho ma trận kích thước nhất định trong chế độ Trực tuyến. phép tính phương trình đặc trưng cho ma trận trực tuyếnđối với một thứ nguyên nhất định, đây là tìm một đa thức với các hệ số số hoặc ký hiệu được tìm thấy theo quy tắc tính định thức ma trận- bằng tổng các tích của các phần tử tương ứng ma trận, chỉ nhằm mục đích xác định phương trình đặc trưng cho ma trận trực tuyến. Tìm một đa thức đối với một biến cho một hình vuông ma trận, như định nghĩa phương trình đặc trưng cho ma trận, phổ biến trong lý thuyết ma trận. Giá trị nghiệm của đa thức phương trình đặc trưng cho ma trận trực tuyếnđược sử dụng để xác định các vectơ riêng và giá trị riêng cho ma trận. Tuy nhiên, nếu yếu tố quyết định ma trận sẽ bằng không, sau đó phương trình đặc trưng ma trận sẽ vẫn tồn tại, không giống như điều ngược lại ma trận. để tính toán phương trình đặc trưng cho ma trận hoặc tìm kiếm nhiều cùng một lúc ma trận phương trình đặc trưng, bạn cần dành nhiều thời gian và công sức, trong khi máy chủ của chúng tôi sẽ tìm thấy phương trình đặc trưng cho ma trận trực tuyến. Trong trường hợp này, câu trả lời bằng cách tìm phương trình đặc trưng cho ma trận trực tuyến sẽ đúng và đủ độ chính xác, ngay cả khi các con số khi tìm phương trình đặc trưng cho ma trận trực tuyến sẽ không hợp lý. trên trang web www.site các mục nhập ký tự được phép trong các phần tử ma trận, đó là phương trình đặc trưng cho ma trận trực tuyến có thể được biểu diễn dưới dạng ký hiệu tổng quát khi tính toán ma trận phương trình đặc trưng trực tuyến. Sẽ rất hữu ích khi kiểm tra câu trả lời thu được khi giải bài toán tìm phương trình đặc trưng cho ma trận trực tuyến sử dụng trang web www.site. Khi thực hiện thao tác tính đa thức - phương trình đặc trưng của ma trận, cần phải hết sức chú ý và tập trung cao độ để giải quyết vấn đề này. Đổi lại, trang web của chúng tôi sẽ giúp bạn kiểm tra quyết định của mình về chủ đề này ma trận phương trình đặc trưng trực tuyến. Nếu bạn không có thời gian để kiểm tra lâu các vấn đề đã giải quyết, thì www.site chắc chắn sẽ là một công cụ thuận tiện cho việc kiểm tra khi tìm kiếm và tính toán phương trình đặc trưng cho ma trận trực tuyến.

Giá trị riêng (số) và véc tơ riêng.
ví dụ về giải pháp

Là chính mình

Từ cả hai phương trình nó sau đó .

Hãy đặt sau đó: .

Kết quả là: là vectơ riêng thứ hai.

Hãy lặp lại điểm quan trọng các giải pháp:

– hệ kết quả chắc chắn có nghiệm tổng quát (các phương trình phụ thuộc tuyến tính);

- "Y" được chọn theo cách sao cho nó là số nguyên và tọa độ "x" đầu tiên là số nguyên, dương và càng nhỏ càng tốt.

- chúng tôi kiểm tra xem giải pháp cụ thể có thỏa mãn từng phương trình của hệ thống hay không.

Câu trả lời .

Các "điểm kiểm tra" trung gian là khá đủ, do đó, về nguyên tắc, việc kiểm tra các điểm bình đẳng là không cần thiết.

Trong các nguồn thông tin khác nhau, tọa độ của các vectơ riêng thường không được viết theo cột mà theo hàng, ví dụ: (và thành thật mà nói, bản thân tôi đã từng viết chúng thành từng dòng). Tùy chọn này được chấp nhận, nhưng trong ánh sáng của chủ đề phép biến đổi tuyến tính kỹ thuật thuận tiện hơn để sử dụng vectơ cột.

Có lẽ giải pháp có vẻ rất dài đối với bạn, nhưng đó chỉ là do tôi đã nhận xét rất chi tiết về ví dụ đầu tiên.

ví dụ 2

ma trận

Chúng tôi tự đào tạo! Một mẫu gần đúng của thiết kế cuối cùng của nhiệm vụ ở cuối bài học.

Đôi khi bạn cần làm nhiệm vụ bổ sung, cụ thể là:

viết phân tích chính tắc của ma trận

Nó là gì?

Nếu các vectơ riêng ma trận hình thành nền tảng, thì nó có thể được biểu diễn dưới dạng:

Đâu là một ma trận bao gồm các tọa độ của các vectơ riêng, – đường chéo ma trận với các giá trị riêng tương ứng.

Sự phân tách ma trận này được gọi là kinh điển hoặc đường chéo.

Hãy xem xét ma trận của ví dụ đầu tiên. Vectơ của riêng cô ấy độc lập tuyến tính(không thẳng hàng) và lập thành cơ sở. Hãy tạo một ma trận từ tọa độ của chúng:

trên đường chéo chính ma trận theo đúng thứ tự giá trị riêng được định vị và các phần tử còn lại bằng 0:
- một lần nữa tôi nhấn mạnh tầm quan trọng của thứ tự: "hai" tương ứng với vectơ thứ nhất và do đó nằm ở cột thứ nhất, "ba" - tương ứng với vectơ thứ 2.

Theo thuật toán thông thường để tìm ma trận nghịch đảo hoặc Phương pháp Gauss-Jordan tìm thấy . Không, đó không phải là một lỗi đánh máy! - trước mặt bạn là hiếm, như Nhật thực sự kiện khi ma trận nghịch đảo khớp với ma trận ban đầu.

Nó vẫn còn để viết sự phân rã kinh điển của ma trận:

Hệ thống có thể được giải quyết với phép biến hình sơ cấp và trong các ví dụ sau chúng ta sẽ dùng đến phương pháp này. Nhưng ở đây, phương pháp "trường học" hoạt động nhanh hơn nhiều. Từ phương trình thứ 3 ta biểu diễn: - Thế vào phương trình thứ 2:

Vì tọa độ đầu tiên bằng 0, nên chúng ta thu được một hệ , từ mỗi phương trình mà nó tuân theo phương trình đó .

Và một lần nữa chú ý đến sự hiện diện bắt buộc của một mối quan hệ tuyến tính. Nếu nó chỉ hoạt động giải pháp tầm thường , thì giá trị riêng được tìm thấy không chính xác hoặc hệ thống được biên dịch/giải quyết có lỗi.

Tọa độ nhỏ gọn mang lại giá trị

vectơ riêng:

Và một lần nữa, chúng tôi kiểm tra xem giải pháp được tìm thấy thỏa mãn mọi phương trình của hệ. Trong các đoạn văn sau đây và trong các nhiệm vụ tiếp theo, tôi đề nghị nên chấp nhận điều ước này như một quy tắc bắt buộc.

2) Đối với giá trị riêng, theo nguyên tắc tương tự, chúng tôi thu được hệ thống tiếp theo:

Từ phương trình thứ 2 của hệ ta biểu diễn: - Thế vào phương trình thứ 3:

Vì tọa độ "zeta" bằng 0, nên chúng ta thu được một hệ , từ mỗi phương trình mà nó tuân theo phụ thuộc tuyến tính.

Để cho

Chúng tôi kiểm tra xem giải pháp thỏa mãn mọi phương trình của hệ.

Do đó, véc tơ riêng: .

3) Và cuối cùng, hệ thống tương ứng với giá trị của chính nó:

Phương trình thứ hai có vẻ đơn giản nhất, vì vậy chúng tôi biểu thị nó từ nó và thay thế nó vào phương trình thứ nhất và thứ ba:

Mọi thứ đều ổn - một sự phụ thuộc tuyến tính đã được tiết lộ, chúng tôi thay thế biểu thức này bằng biểu thức:

Kết quả là "X" và "Y" được thể hiện thông qua "Z": . Trong thực tế, không nhất thiết phải đạt được chỉ những mối quan hệ như vậy; trong một số trường hợp, sẽ thuận tiện hơn khi thể hiện cả thông qua hoặc và thông qua . Hoặc thậm chí là một “đoàn tàu” - ví dụ: “X” đến “Y” và “Y” đến “Z”

Hãy đặt sau đó:

Chúng tôi kiểm tra xem giải pháp tìm thấy thỏa mãn từng phương trình của hệ và viết vectơ riêng thứ ba

Câu trả lời: vectơ riêng:

Về mặt hình học, các vectơ này xác định ba hướng không gian khác nhau ("Ở đó và quay lại"), theo đó Chuyển đổi tuyến tính biến đổi các vectơ khác không (vectơ riêng) thành các vectơ thẳng hàng với chúng.

Nếu theo điều kiện bắt buộc phải tìm một khai triển chính tắc của , thì điều này có thể thực hiện được ở đây, bởi vì các giá trị riêng khác nhau tương ứng với các véc tơ riêng độc lập tuyến tính khác nhau. Chúng tôi tạo một ma trận từ tọa độ của chúng, ma trận đường chéo từ liên quan, thích hợp giá trị riêng và tìm ma trận nghịch đảo .

Nếu, theo điều kiện, nó là cần thiết để viết ma trận biến đổi tuyến tính trên cơ sở của các vectơ riêng, sau đó chúng tôi đưa ra câu trả lời trong mẫu . Có một sự khác biệt, và một sự khác biệt đáng kể!Đối với ma trận này là ma trận "de".

Thách thức với nhiều hơn nữa tính toán đơn giản vì quyết định độc lập:

Ví dụ 5

Tìm các vectơ riêng của phép biến đổi tuyến tính, được cho bởi ma trận

Khi tìm các số của riêng bạn, cố gắng không đưa trường hợp về đa thức bậc 3. Ngoài ra, các giải pháp hệ thống của bạn có thể khác với các giải pháp của tôi - không có sự rõ ràng nào ở đây; và các vectơ bạn tìm thấy có thể khác với các vectơ mẫu theo tỷ lệ với các tọa độ tương ứng của chúng. Ví dụ, và . Sẽ đẹp mắt hơn khi trình bày câu trả lời ở dạng , nhưng không sao nếu bạn dừng ở tùy chọn thứ hai. Tuy nhiên, mọi thứ đều có giới hạn hợp lý, phiên bản trông không đẹp lắm.

Một mẫu cuối cùng gần đúng của bài tập ở cuối bài học.

Làm thế nào để giải quyết vấn đề trong trường hợp có nhiều giá trị riêng?

thuật toán chung vẫn giữ nguyên, nhưng nó có những đặc thù riêng và nên giữ một số phần của giải pháp theo phong cách học thuật chặt chẽ hơn:

Ví dụ 6

Tìm giá trị riêng và vectơ riêng

Dung dịch

Tất nhiên, hãy viết hoa cột đầu tiên tuyệt vời:

Và sau khi phân hủy tam thức vuông cho số nhân:

Kết quả là thu được các giá trị riêng, hai trong số đó là bội số.

Hãy tìm các vectơ riêng:

1) Chúng ta sẽ đối phó với một người lính đơn độc theo sơ đồ “đơn giản hóa”:

Từ hai phương trình cuối cùng, sự bình đẳng có thể nhìn thấy rõ ràng, rõ ràng, nên được thay thế vào phương trình thứ nhất của hệ thống:

Không có sự kết hợp nào tốt hơn:
vectơ riêng:

2-3) Bây giờ chúng tôi loại bỏ một vài lính canh. Trong trường hợp này, nó có thể là hai hoặc một véc tơ riêng. Bất kể bội số của các gốc, chúng tôi thay thế giá trị trong định thức , mang lại cho chúng ta những điều sau đây hệ phương trình tuyến tính thuần nhất:

Các vectơ riêng chính xác là các vectơ
hệ thống quyết định cơ bản

Thực ra trong suốt bài học chúng ta chỉ tìm vectơ của hệ cơ bản. Chỉ trong thời gian này thuật ngữ này không được đặc biệt yêu cầu. Nhân tiện, những sinh viên khéo léo, ngụy trang phương trình thuần nhất, sẽ buộc phải hút nó bây giờ.

Hành động duy nhất là loại bỏ các dòng thừa. Kết quả là một ma trận "một đến ba" với một "bước" chính thức ở giữa.
– biến cơ bản, – biến tự do. Có hai biến miễn phí, vì vậy cũng có hai vectơ của hệ thống cơ bản.

Hãy biểu diễn biến cơ bản dưới dạng biến tự do: . Hệ số 0 phía trước chữ “x” cho phép nó nhận hoàn toàn bất kỳ giá trị nào (điều này cũng có thể nhìn thấy rõ ràng từ hệ phương trình).

Trong bối cảnh của vấn đề này, sẽ thuận tiện hơn khi viết giải pháp chung không phải trong một hàng mà trong một cột:

Cặp tương ứng với một véc tơ riêng:
Cặp tương ứng với một véc tơ riêng:

Ghi chú : người đọc tinh vi có thể thu thập các vectơ này bằng miệng - chỉ bằng cách phân tích hệ thống , nhưng cần có một số kiến ​​thức ở đây: có ba biến, thứ hạng ma trận hệ thống- đơn vị có nghĩa là hệ thống quyết định cơ bản gồm 3 – 1 = 2 vectơ. Tuy nhiên, các vectơ được tìm thấy hoàn toàn có thể nhìn thấy ngay cả khi không có kiến ​​​​thức này, hoàn toàn ở mức độ trực quan. Trong trường hợp này, vectơ thứ ba thậm chí sẽ được viết “đẹp hơn”: . Tuy nhiên, một lời cảnh báo, trong một ví dụ khác lựa chọn đơn giản có thể không, đó là lý do tại sao việc đặt phòng dành cho những người có kinh nghiệm. Bên cạnh đó, tại sao không lấy làm vectơ thứ ba, chẳng hạn, ? Rốt cuộc, tọa độ của nó cũng thỏa mãn từng phương trình của hệ thống và các vectơ là độc lập tuyến tính. Tùy chọn này, về nguyên tắc, phù hợp, nhưng "quanh co", vì vectơ "khác" là sự kết hợp tuyến tính của các vectơ của hệ thống cơ bản.

Câu trả lời: giá trị riêng: , véc tơ riêng:

Một ví dụ tương tự cho giải pháp tự làm:

Ví dụ 7

Tìm giá trị riêng và vectơ riêng

Một mẫu hoàn thiện gần đúng ở cuối bài học.

Cần lưu ý rằng trong cả ví dụ thứ 6 và thứ 7, đều thu được bộ ba vectơ riêng độc lập tuyến tính và do đó ma trận ban đầu có thể được biểu diễn dưới dạng phân rã kinh điển. Nhưng những quả mâm xôi như vậy không xảy ra trong mọi trường hợp:

Ví dụ 8

Dung dịch: soạn và giải phương trình đặc trưng:

Chúng tôi mở rộng định thức theo cột đầu tiên:

Chúng tôi thực hiện đơn giản hóa hơn nữa theo phương pháp đã xem xét, tránh đa thức bậc 3:

– giá trị bản địa.

Hãy tìm các vectơ riêng:

1) Không có khó khăn gì với root:

Đừng ngạc nhiên, ngoài bộ công cụ, các biến cũng được sử dụng - không có sự khác biệt ở đây.

Từ phương trình thứ 3, chúng tôi biểu thị - chúng tôi thay thế vào phương trình thứ 1 và thứ 2:

Từ cả hai phương trình sau:

Hãy để sau đó:

2-3) Với nhiều giá trị ta được hệ .

Hãy để chúng tôi viết ra ma trận của hệ thống và sử dụng các phép biến đổi cơ bản, đưa nó về dạng bậc thang:

Định nghĩa 9.3. véc tơ X gọi là véc tơ riêng ma trận NHƯNG nếu có một số như vậy λ, rằng sự bình đẳng nắm giữ: NHƯNG X= λ X, đó là, kết quả của việc áp dụng cho X phép biến đổi tuyến tính cho bởi ma trận NHƯNG, là phép nhân của vectơ này với số λ . Bản thân con số λ gọi là số riêng ma trận NHƯNG.

Thế vào công thức (9.3) x` j = λx j , chúng ta thu được một hệ phương trình để xác định tọa độ của vectơ riêng:

. (9.5)

Hệ thuần nhất tuyến tính này sẽ chỉ có nghiệm không tầm thường nếu định thức chính của nó bằng 0 (quy tắc Cramer). Bằng cách viết điều kiện này dưới dạng:

chúng ta có được một phương trình để xác định các giá trị riêng λ gọi là phương trình đặc trưng. Một cách ngắn gọn, nó có thể được biểu diễn như sau:

| A-λE | = 0, (9.6)

vì vế trái của nó là định thức của ma trận A-λE. Đa thức đối với λ | A-λE| gọi là Đặc biệt đa thức ma trận a.

Tính chất của đa thức đặc trưng:

1) Đa thức đặc trưng của một phép biến đổi tuyến tính không phụ thuộc vào cách chọn cơ số. Bằng chứng. (xem (9.4)), nhưng Do đó, . Như vậy, không phụ thuộc vào việc lựa chọn cơ sở. Do đó, và | A-λE| không thay đổi khi chuyển đổi sang một cơ sở mới.

2) Nếu ma trận NHƯNG biến đổi tuyến tính là đối xứng(những thứ kia. a ij = a ji) thì mọi nghiệm của phương trình đặc trưng (9.6) đều là số thực.

Tính chất của giá trị riêng và vectơ riêng:

1) Nếu chúng ta chọn một cơ sở từ các vectơ riêng x 1, x 2, x 3 tương ứng với các giá trị riêng λ 1 , λ 2 , λ 3 ma trận NHƯNG, sau đó trong cơ sở này Chuyển đổi tuyến tính A có ma trận đường chéo:

(9.7) Việc chứng minh tính chất này xuất phát từ định nghĩa của các vectơ riêng.

2) Nếu các giá trị riêng của phép biến đổi NHƯNG khác nhau thì các vectơ riêng tương ứng với chúng độc lập tuyến tính.

3) Nếu đa thức đặc trưng của ma trận NHƯNG có ba gốc khác nhau, sau đó trong một cơ sở nào đó ma trận NHƯNG có dạng chéo.

Hãy tìm các giá trị riêng và vectơ riêng của ma trận Hãy lập phương trình đặc trưng: (1- λ )(5 - λ )(1 - λ ) + 6 - 9(5 - λ ) - (1 - λ ) - (1 - λ ) = 0, λ ³ - 7 λ ² + 36 = 0, λ 1 = -2, λ 2 = 3, λ 3 = 6.

Tìm tọa độ của các vectơ riêng tương ứng với mỗi giá trị được tìm thấy λ. Từ (9.5) suy ra nếu X (1) ={x 1 , x 2 , x 3) là vectơ riêng tương ứng với λ 1 = -2 thì

- chung, nhưng hệ thống vô thời hạn. Giải pháp của nó có thể được viết là X (1) ={một,0,-một), trong đó a là một số bất kỳ. Đặc biệt, nếu bạn yêu cầu | x (1) |=1, X (1) =

Thay thế vào hệ thống (9.5) λ 2 = 3, ta có hệ xác định tọa độ của vectơ riêng thứ hai - x (2) ={y1,y2,y3}:

, ở đâu X (2) ={b,-b,b) hoặc, với điều kiện | x (2) |=1, x (2) =

Vì λ 3 = 6 tìm véc tơ riêng x (3) ={z1, z2, z3}:

, x (3) ={c,2c,c) hoặc trong phiên bản chuẩn hóa

x (3) = Có thể thấy rằng X (1) X (2) = ab-ab= 0, x (1) x (3) = ac-ac= 0, x (2) x (3) = bc- 2bc + bc= 0. Do đó, các vectơ riêng của ma trận này là trực giao từng cặp.

bài giảng 10

Dạng bậc hai và mối liên hệ của chúng với ma trận đối xứng. Tính chất của vectơ riêng và giá trị riêng của ma trận đối xứng. Rút gọn dạng bậc hai về dạng chính tắc.

Định nghĩa 10.1.dạng bậc hai biến thực x 1, x 2,…, x n một đa thức bậc hai đối với các biến này được gọi là đa thức không chứa số hạng tự do và các số hạng của bậc một.

ví dụ dạng bậc hai:

(N = 2),

(N = 3). (10.1)

Nhắc lại định nghĩa ma trận đối xứng trong bài trước:

Định nghĩa 10.2. Ma trận vuông gọi là đối xứng, nếu , nghĩa là nếu các phần tử ma trận đối xứng qua đường chéo chính bằng nhau.

Các tính chất của giá trị riêng và vectơ riêng của ma trận đối xứng:

1) Mọi giá trị riêng của một ma trận đối xứng là thực.

Bằng chứng (đối với N = 2).

Hãy để ma trận NHƯNG giống như: . Hãy lập phương trình đặc trưng:

(10.2) Tìm biệt thức:

Do đó, phương trình chỉ có nghiệm thực.

2) Các vectơ riêng của ma trận đối xứng là trực giao.

Bằng chứng (đối với N= 2).

Các tọa độ của các vectơ riêng và phải thỏa mãn các phương trình.