Dãy số được cho bởi công thức truy hồi xn 2. Tính chất của dãy số

Vida y= f(x), x O N, ở đâu N- nhiều số tự nhiên(hoặc một hàm của một đối số tự nhiên), được ký hiệu là y=f(N) hoặc y 1 ,y 2 ,…, y n,…. Giá trị y 1 ,y 2 ,y 3 ,… được gọi lần lượt là thành viên thứ nhất, thứ hai, thứ ba, ... của dãy.

Ví dụ, đối với hàm y= N 2 có thể được viết:

y 1 = 1 2 = 1;

y 2 = 2 2 = 4;

y 3 = 3 2 = 9;…y n = n 2 ;…

Các phương pháp thiết lập trình tự. Trình tự có thể được thiết lập những cách khác, trong đó có ba nội dung đặc biệt quan trọng: phân tích, mô tả và tái diễn.

1. Một dãy được cho về mặt phân tích nếu công thức của nó được đưa ra N-thành viên thứ:

y n=f(N).

Thí dụ. y n= 2N- 1 – dãy số lẻ: 1, 3, 5, 7, 9, ...

2. Mô tả cách để chỉ định một dãy số là nó giải thích những phần tử nào mà dãy được xây dựng từ.

Ví dụ 1. "Tất cả các thành viên của dãy đều bằng 1." Điều này có nghĩa là, chúng tôi đang nói chuyện về trình tự đứng yên 1, 1, 1,…, 1,….

Ví dụ 2. “Chuỗi bao gồm tất cả số nguyên tố theo thứ tự tăng dần ”. Như vậy, dãy số 2, 3, 5, 7, 11,… được đưa ra. Với phương pháp xác định trình tự trong ví dụ này rất khó để trả lời, ví dụ, phần tử thứ 1000 của dãy bằng với.

3. Cách lặp lại để chỉ định một trình tự là một quy tắc được chỉ ra cho phép người ta tính toán N-thành viên thứ của dãy, nếu các thành viên trước của nó được biết đến. Tên phương thức đệ quy bắt nguồn từ Từ la tinh hồi tưởng lại- sự trở lại. Thông thường, trong những trường hợp như vậy, một công thức được chỉ định cho phép thể hiện N số hạng thứ của dãy qua các số trước đó và chỉ định 1–2 thành viên ban đầu trình tự.

ví dụ 1 y 1 = 3; y n = y n–1 + 4 nếu N = 2, 3, 4,….

Nơi đây y 1 = 3; y 2 = 3 + 4 = 7;y 3 = 7 + 4 = 11; ….

Có thể thấy rằng trình tự thu được trong ví dụ này cũng có thể được xác định một cách phân tích: y n= 4N- 1.

Ví dụ 2 y 1 = 1; y 2 = 1; y n = y n –2 + y n-1 nếu N = 3, 4,….

Nơi đây: y 1 = 1; y 2 = 1; y 3 = 1 + 1 = 2; y 4 = 1 + 2 = 3; y 5 = 2 + 3 = 5; y 6 = 3 + 5 = 8;

Dãy gồm có trong ví dụ này được nghiên cứu đặc biệt trong toán học vì nó có một số tính chất và ứng dụng thú vị. Nó được gọi là dãy Fibonacci - theo tên nhà toán học người Ý ở thế kỷ 13. Việc xác định dãy Fibonacci một cách đệ quy rất dễ, nhưng về mặt phân tích thì rất khó. N-số Fibonacci được thể hiện thông qua số seri công thức sau đây.

Thoạt nhìn, công thức cho N Số Fibonacci thứ có vẻ không khả thi, vì công thức chỉ định chuỗi các số tự nhiên chỉ chứa căn bậc hai, nhưng bạn có thể kiểm tra "thủ công" tính hợp lệ của công thức này trong một số N.

Thuộc tính của dãy số.

Dãy số – trương hợp đặc biệt hàm số, vì vậy một số thuộc tính của các hàm cũng được xem xét cho các chuỗi.

Sự định nghĩa . Trình tự phụ ( y n} được gọi là tăng nếu mỗi số hạng của nó (ngoại trừ số đầu tiên) lớn hơn số hạng trước đó:

y 1 y 2 y 3 y n y n +1

Định nghĩa.Sequence ( y n} được gọi là giảm nếu mỗi số hạng của nó (ngoại trừ số đầu tiên) nhỏ hơn số hạng trước đó:

y 1 > y 2 > y 3 > … > y n> y n +1 > … .

Các trình tự tăng và giảm được thống nhất bởi một thuật ngữ chung - các trình tự đơn điệu.

ví dụ 1 y 1 = 1; y n= N 2 là dãy số tăng dần.

Do đó, định lý sau là đúng (tính chất đặc trưng cấp số cộng). Một dãy số là số học nếu và chỉ khi mỗi phần tử của nó, ngoại trừ phần đầu tiên (và phần cuối cùng trong trường hợp một dãy số hữu hạn), bằng trung bình cộng của các phần tử trước đó và tiếp theo.

Thí dụ. Ở giá trị nào x số 3 x + 2, 5x- 4 và 11 x+ 12 lập thành một cấp số cộng hữu hạn?

Dựa theo tài sản đặc trưng, các biểu thức đã cho phải thỏa mãn quan hệ

5x – 4 = ((3x + 2) + (11x + 12))/2.

Giải phương trình này cho x= –5,5. Với giá trị này x biểu thức 3 cho trước x + 2, 5x- 4 và 11 x+ 12 lần lượt lấy các giá trị -14,5, –31,5, –48,5. Đây là một cấp số cộng, hiệu của nó là -17.

Cấp số nhân.

Một dãy số mà tất cả các thành viên của chúng đều khác 0 và mỗi thành viên của chúng, bắt đầu từ số thứ hai, nhận được từ thành viên trước đó bằng cách nhân với cùng một số q, được gọi là một tiến trình hình học, và số q- mẫu số của một cấp tiến hình học.

Do đó, một tiến trình hình học là một chuỗi số ( b n) được cho một cách đệ quy bởi các quan hệ

b 1 = b, b n = b n –1 q (N = 2, 3, 4…).

(b và q- những con số đã cho, b ≠ 0, q ≠ 0).

Ví dụ 1. 2, 6, 18, 54, ... - tăng dần hình học b = 2, q = 3.

Ví dụ 2. 2, -2, 2, -2, ... – cấp số nhân b= 2,q= –1.

Ví dụ 3. 8, 8, 8, 8,… – cấp số nhân b= 8, q= 1.

Một tiến trình hình học là một chuỗi tăng dần nếu b 1 > 0, q> 1 và giảm nếu b 1> 0, 0 q

Một trong những tính chất rõ ràng của một cấp tiến hình học là nếu một dãy là một cấp tiến hình học, thì dãy các ô vuông, tức là

b 1 2 , b 2 2 , b 3 2 , …, b n 2,… là một cấp tiến hình học có số hạng đầu tiên bằng b 1 2, và mẫu số là q 2 .

Công thức N- số hạng thứ của một tiến trình hình học có dạng

b n= b 1 q n– 1 .

Bạn có thể nhận được công thức cho tổng các số hạng của một tiến trình hình học hữu hạn.

Để có một tiến trình hình học hữu hạn

b 1 ,b 2 ,b 3 , …, b n

để cho S n - tổng số thành viên của nó, tức là

S n= b 1 + b 2 + b 3 + … +b n.

Nó được chấp nhận rằng q Số 1. Để xác định S n một thủ thuật nhân tạo được áp dụng: một số phép biến đổi hình học biểu thức S n q.

S n q = (b 1 + b 2 + b 3 + … + b n –1 + b n)q = b 2 + b 3 + b 4 + …+ b n+ b n q = S n+ b n q– b 1 .

Bằng cách này, S n q= S n +b n q - b 1 và do đó

Đây là công thức với umma n thành viên của một tiến trình hình học cho trường hợp khi q≠ 1.

Tại q= 1 công thức không thể được suy ra một cách riêng biệt, rõ ràng là trong trường hợp này S n= một 1 N.

Cấp độ hình học được đặt tên vì trong đó mỗi số hạng ngoại trừ số hạng đầu tiên bằng giá trị trung bình hình học của các số hạng trước đó và tiếp theo. Thật vậy, kể từ

b n = b n- 1 q;

bn = bn + 1 / q,

Do đó, b n 2= b n– 1 bn + 1 và định lý sau là đúng (một tính chất đặc trưng của một cấp số nhân hình học):

dãy số là một tiến trình hình học nếu và chỉ khi bình phương của mỗi số hạng của nó ngoại trừ số hạng đầu tiên (và số hạng cuối cùng trong trường hợp dãy số hữu hạn), bằng với sản phẩm thành viên trước và sau.

Giới hạn trình tự.

Hãy để có một chuỗi ( c n} = {1/N}. Chuỗi này được gọi là sóng hài, vì mỗi phần tử của nó, bắt đầu từ phần tử thứ hai, là trung bình điều hòa giữa các phần tử trước đó và tiếp theo. Trung bình số hình học một và b có một số

Nếu không, chuỗi được gọi là phân kỳ.

Dựa trên định nghĩa này, ví dụ, người ta có thể chứng minh sự tồn tại của một giới hạn A = 0 cho chuỗi điều hòa ( c n} = {1/N). Hãy để ε là một số dương. Chúng tôi xem xét sự khác biệt

Có như vậy không Nđiều đó cho tất cả mọi người n≥ N bất bình đẳng 1 /N? Nếu được coi là N bất kỳ số tự nhiên nào lớn hơn 1/ε , sau đó cho tất cả n ≥ N bất bình đẳng 1 / n ≤ 1/ N ε, Q.E.D.

Đôi khi rất khó để chứng minh sự tồn tại của một giới hạn cho một chuỗi cụ thể. Các trình tự phổ biến nhất đã được nghiên cứu kỹ lưỡng và được liệt kê trong sách tham khảo. Có những định lý quan trọng giúp ta có thể kết luận rằng một dãy đã cho có giới hạn (và thậm chí có thể tính toán nó) dựa trên các dãy đã được nghiên cứu.

Định lý 1. Nếu một dãy có giới hạn thì nó có giới hạn.

Định lý 2. Nếu một dãy là đơn điệu và có giới hạn, thì nó có giới hạn.

Định lý 3. Nếu dãy ( một} có giới hạn Một, sau đó là các chuỗi ( có thể}, {một+ c) và (| một|} có giới hạn cA, Một +c, |Một| tương ứng (tại đây c là một số tùy ý).

Định lý 4. Chuỗi if ( một} và ( b n) có giới hạn bằng Một và B chảo + qb n) có giới hạn pA+ qB.

Định lý 5. Chuỗi if ( một) và ( b n) có giới hạn bằng Một và B tương ứng, sau đó là chuỗi ( a n b n) có giới hạn AB.

Định lý 6. Chuỗi if ( một} và ( b n) có giới hạn bằng Một và B tương ứng, và ngoài ra b n ≠ 0 và B ≠ 0, sau đó là chuỗi ( a n / b n) có giới hạn A / B.

Anna Chugainova

Mục tiêu bài học:

1. hình thành ý tưởng về một dãy số như một hàm với đối số tự nhiên;
2. sự hình thành kiến ​​thức về cách thiết lập các dãy số, khả năng tìm các thành viên của dãy theo công thức đề xuất, cũng như khả năng tự tìm công thức xác định dãy số;
3. phát triển các kỹ năng áp dụng tài liệu đã học trước đó;
4. phát triển kỹ năng phân tích, so sánh, khái quát hóa;
5. phát triển khả năng làm việc theo cặp, tự đánh giá.

Thiết bị: máy chiếu trên cao, một bộ đèn chiếu với các nhiệm vụ, Tài liệu phát tay, một tấm áp phích với các cách thiết lập trình tự.

Trong các lớp học

1. Thời điểm tổ chức.

2. Chuẩn bị cho việc nhận thức kiến ​​thức mới.

Học sinh được yêu cầu giải quyết hai vấn đề bằng miệng:

Nhiệm vụ số 1: Trong kho có 500 tấn than, mỗi ngày chuyển đi 30 tấn, Hỏi trong 1 ngày kho sẽ có bao nhiêu tấn than? 2 ngày? Ngày 3? Ngày 4? Ngày 5?

Thử thách số 2: Khi nào rơi tự do vật thể đi được 4,9 m trong giây đầu tiên và thêm 9,8 m trong mỗi giây tiếp theo. Quãng đường vật đi được trong 1 giây là? 2 giây? 3 giây? 4 giây? 5 giây?

Câu trả lời của học sinh được viết trên bảng. Nhiệm vụ 1: 500; 530; 560; 590; 620

Nhiệm vụ 2: 4,9; 14,7; 24,5; 34,3; 44.1

Đặt câu hỏi về nhiệm vụ:

đến nhiệm vụ 1: Sẽ có bao nhiêu than trong kho trong 35 ngày?

sang nhiệm vụ 2: Khoảng cách nào sẽ được cơ thể bao phủ trong 35 giây?

Để giải quyết các vấn đề đặt ra, chúng tôi coi câu trả lời cho các nhiệm vụ là một dãy số, nghĩa là dãy số.

Mục đích của bài học là: Tìm cách tìm thành viên bất kỳ của dãy số.

Mục tiêu bài học: Tìm hiểu dãy số là gì và cách xác định dãy số.

Ghi lại chủ đề của bài học

3. Học tài liệu mới.

1. Giới thiệu về định nghĩa của một dãy số.

Các chỉ định được giới thiệu: y 1, y 2, y 3, y 4, y 5,…- các thành viên trình tự; 1,2,3,4,5,… - số thứ tự của phần tử thứ tự; ( y2) là chính dãy số

Trong cuộc trò chuyện, chúng tôi xác định khái niệm về một dãy số.

Câu hỏi hướng dẫn: Biết số của một thành viên dãy, ta có thể tìm được chính thành viên của dãy không? Và ngược lại? Những phụ thuộc này được gọi là gì? Đối số là gì? Ý nghĩa của hàm là gì? Miền định nghĩa là gì?

Học sinh ghi lại định nghĩa: Dãy số là một hàm được cho trên tập hợp các số tự nhiên.

Giải quyết các nhiệm vụ bằng miệng:

Xác định xem trận đấu sau có phải là một chuỗi không:

a) mỗi số tự nhiên được gán bình phương của nó;
b) Mỗi ​​số tự nhiên được gán các chữ số 7;
c) Mỗi ​​số tự nhiên chẵn được gán cho lập phương của nó, và mỗi số tự nhiên chia hết cho 4 được gán cho số 9.

2. Xác định xem hàm số đã cho có phải là một dãy số hay không: (các công thức được viết trên bảng)

một) y = 2x-1, xI (0; +?) b)

Trong) y = 2x-1, xI Z G) ?

Kết luận: (cùng các em xây dựng) Nội dung chính trong định nghĩa là gì?

Dãy số 1) hàm số 2) miền xác định của nó là tập N.

2. Xác định cách xác định trình tự.

Cần nhắc rằng một hàm được coi là đã cho nếu một quy tắc được định nghĩa theo đó bất kỳ đối số nào cũng được gán giá trị của hàm.

Điều kiện để chỉ định một dãy số được xây dựng chung (và sau đó được viết ra): Một dãy số được coi là đã cho nếu một phương pháp được chỉ định cho phép tìm một phần tử của dãy số bất kỳ.

Trong cuộc trò chuyện, chúng tôi nhớ lại các cách xác định các chức năng (bằng lời nói, đồ thị, công thức (có thông tin cho rằng nó được gọi là phân tích)), bản chất của chúng.

Một sơ đồ được dán trên bảng:

A) bằng lời nói. Bản chất của phương pháp xuất hiện trên bảng. Học sinh ghi tên phương pháp và bản chất của nó vào bảng số 1.

Bảng số 1 Các cách thiết lập một dãy số:

Đường
Thí dụ

Mô tả bằng lời cách thu được từng phần tử của chuỗi hoặc chỉ định một số phần tử đầu tiên của chuỗi.

Bảng số 1 bao gồm các nhiệm vụ bằng lời nói của hai chuỗi:

Trình tự 1. ( y n) là một dãy số tự nhiên là bội của 3.

Trình tự 2. ( y n) là một dãy số tự nhiên chẵn.

Nhiệm vụ: Viết ra 5 thành viên đầu tiên của dãy. (Câu hỏi hướng dẫn: bội của 3 là gì, những số nào được coi là chẵn). (Gọi 2 học sinh lên bảng)

Đưa ra các ví dụ của bạn (bằng miệng).

B) Cách đồ họa.

Xây dựng một tập hợp các điểm (n; y n)

Nhiệm vụ: Thiết lập trình tự 1 và 2 bằng đồ thị (hai học sinh lên bảng trên mặt phẳng tọa độ đã hoàn thành, phần còn lại ghi trong bảng số 1)

B) Phương pháp phân tích . Bản chất của phương pháp xuất hiện trên bảng. Học sinh ghi tên phương pháp và bản chất của nó vào bảng số 1.

Chỉ định công thức của phần tử thứ n của dãy.

Nhiệm vụ: 1. Trình tự được cho bởi công thức:. Viết ra 5 số hạng đầu tiên của dãy. (Một học sinh lên bảng với lời giải thích đầy đủ, phần còn lại ghi vào vở)

2. Đặt công thức N-thành viên thứ của Trình tự 1 và 2 (Nói bằng miệng, ghi vào bảng số 1)

D) phương pháp đệ quy.

3. Đặt công thức N thành viên thứ của dãy…, 74, 81, 88, 95, 102,…

Bạn có thể tìm thấy số hạng tiếp theo trong dãy không? Vì thế? (Câu hỏi hướng dẫn cách lấy 81 trên 74, lấy 88 trên 81)

Kết luận: Nếu chúng ta biết n-1 thành viên của chuỗi, có thể tìm thấy và N-ny.

Cách xác định một trình tự này được gọi là quy trình. (Một mục được thêm vào sơ đồ trên bảng lặp lại)

Trong ví dụ của chúng tôi y n = y n-1 + 7

Chúng ta cần dữ liệu gì cho việc này? Và nếu trình tự được cho bởi công thức

y n = y n-1 + y n-2?

Kết luận: Đối với phép gán lặp lại một dãy, cần:

1) biết một hoặc hai số hạng đầu tiên của dãy số
2) chỉ định một quy tắc để tính toán các thành viên tiếp theo của chuỗi

Bản chất của phương pháp xuất hiện trên bảng. Học sinh ghi tên phương pháp và bản chất của nó vào bảng số 1.

Thể hiện từng thành viên của trình tự, bắt đầu với thứ 2 (hoặc thứ 3) cho đến những người trước đó.

Nhiệm vụ: 1. Trình tự được đưa ra lặp lại y 1 = 2,y n = 5y n-1 Chỉ định 5 thành viên đầu tiên của chuỗi. (Một học sinh lên bảng với lời giải thích đầy đủ, phần còn lại ghi vào vở)

2. Đặt lặp lại các Chuỗi 1 và 2 (chúng tôi nói bằng miệng, ghi vào bảng số 1)

Tổng phụ: Chúng tôi có 4 cách để thiết lập chuỗi số. Chúng được trình bày trên bảng và trong bảng số 1. Giá trị nhất để giải quyết các vấn đề thực tế là hai phương pháp cuối cùng: phân tích và tái diễn. Và bây giờ chúng ta sẽ làm việc với các phương pháp này.

4. Hiểu sơ cấp và củng cố tài liệu

Hướng dẫn:Đây là bảng 2 và 3.

Bảng số 2: Phương pháp phân tích Tập thể dục:Điền vào bảng

x 1, x 2, x 3, x 4, x 5
		x 1 =	x 4 =

Bảng # 3: Phương pháp đệ quy Tập thể dục:Điền vào bảng

x 1, x 2, x 3, x 4, x 5	x 1, x 2, x n
		x 1 =	x 4 =

Bảng trình bày phương pháp phân tích, bảng 3 - tuần hoàn. Nhiệm vụ ở dòng 1 và 2 của bảng này: theo các công thức này, đặt 5 thành viên đầu tiên của dãy. Nhiệm vụ ở dòng 3 và 4 của bảng này: đối với các thành viên đầu tiên của dãy, hãy đặt công thức thích hợp.

Nhiệm vụ này không còn tầm thường nữa, nó đòi hỏi một sự khéo léo nhất định.

Học sinh làm bài theo cặp.

Các cặp đầu tiên hoàn thành nhiệm vụ được phát giấy trong suốt với nhiệm vụ, nơi họ viết câu trả lời của mình.

Các dung dịch được kiểm tra bằng kính codoscope.

5. Kiểm soát chính của việc tiếp thu kiến ​​thức(làm việc độc lập với quá trình tự kiểm tra sau đó)

Hướng dẫn: Lấy các trang tính theo bảng số 5.

Bảng số 5: Làm việc độc lập Tập thể dục:Điền vào bảng

x 1, x 2, x 3, x 4, x 5	Phương pháp phân tích	Cách đệ quy
			x 1 = x 2 = x 3 = x 4 = x 5 =
			x 1 = x 2 = x 3 = x 4 = x 5 =
500; 530; 560; 590; 620; …
4,9; 14,7; 24,5; 34,3; …

Tiêu chí đánh giá: 4 "+" điểm "5"; 3 "+" điểm "4"; 2 "+" xếp hạng "3"

Ký tên. Nhiệm vụ ở dòng 1 và 2 của bảng này: theo các công thức này, đặt 5 thành viên đầu tiên của dãy. Nhiệm vụ ở dòng 3 và 4 của bảng này: đối với các thành viên đầu tiên của dãy, hãy đặt công thức thích hợp.

Các nhiệm vụ được thực hiện độc lập. Sau khi thực hiện, chúng tôi kiểm tra các giải pháp.

Các giải pháp được kiểm tra với sự trợ giúp của kính codoscope (các câu trả lời được ghi lại trước).

Hướng dẫn kiểm tra và chấm điểm: Dưới đây là đáp án các nhiệm vụ. So sánh chúng với kết quả của bạn. Nếu đúng thì đặt "+", nếu không đúng thì đặt "-". Sau đó đếm số "+" và đặt cho mình một dấu phù hợp với tiêu chí mà bạn đã viết dưới bảng. Nếu bạn muốn điểm đã nhận được đưa vào nhật ký, thì trong ngoặc đơn, bên cạnh điểm, hãy viết "vào nhật ký".

6. Tổng kết bài học

Sự chú ý được tập trung vào 2 dòng cuối cùng trong bảng 5. Đây là các trình tự cho các nhiệm vụ ở đầu bài học. Các câu hỏi của nhiệm vụ được nhắc nhở. Chúng tôi tìm câu trả lời cho các vấn đề đặt ra (2 học sinh được hỏi).

Khảo sát trực diện cùng với học sinh được thực hiện kết luận bài học:

1. Trình tự là gì
2. Các cách xác định trình tự là gì? Thực chất của chúng là gì?
3. Cách nào cho phép bạn xác định một thành viên của dãy chỉ biết số của nó?
4. Kiến thức về dãy số được áp dụng ở đâu?

Bảng số 4: Nhiệm vụ bổ sung:Điền vào bảng

x 1, x 2, x 3, x 4, x 5	Phương pháp phân tích
		x 1 =	x 4 =
x 1, x 2, x 3, x 4, x 5	Cách đệ quy
		x 1 =	x 4 =

Trình tự lặp lại. Từ khóa học toán học, khái niệm về một chuỗi lặp lại đã được biết đến. Khái niệm này được giới thiệu như sau: cho k số a1, ..., ak được biết. Những con số này là những con số đầu tiên của dãy số. Các phần tử tiếp theo của dãy này được tính như sau:

Ở đây F là một hàm của k đối số. Xem công thức

gọi là công thức lặp lại. Giá trị k được gọi là độ sâu đệ quy.

Nói cách khác, chúng ta có thể nói rằng một dãy lặp lại là một dãy vô hạn các số, mỗi dãy số, ngoại trừ k ban đầu, được biểu diễn theo các dãy số trước đó.

Ví dụ về trình tự lặp lại là cấp số học (1) và hình học (2):

Công thức truy hồi cho cấp số cộng được chỉ định là:

Công thức đệ quy cho một cấp tiến bộ hình học đã cho là:

Độ sâu đệ quy trong cả hai trường hợp đều bằng một (sự phụ thuộc này còn được gọi là đệ quy một bước). Nói chung, trình tự lặp lại được mô tả bởi bộ giá trị ban đầu và công thức đệ quy. Tất cả điều này có thể được kết hợp thành một công thức phân nhánh. Đối với một cấp số cộng:

Đối với một tiến trình hình học:

Dãy số sau đây được gọi là dãy số Fibonacci trong toán học:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ...

Bắt đầu từ phần tử thứ ba, mỗi số bằng tổng các giá trị của hai phần trước đó, nghĩa là, nó là một dãy lặp lại với độ sâu là 2 (đệ quy hai bước). Chúng tôi mô tả nó ở dạng phân nhánh:

Sự ra đời của khái niệm trình tự lặp lại cho phép chúng ta có một cái nhìn mới mẻ về một số vấn đề mà chúng ta đã biết. Ví dụ, giai thừa của một số nguyên n! có thể được xem như giá trị của phần tử thứ n của dãy số sau:

Mô tả lặp lại của một trình tự như sau:

Lập trình tính toán các chuỗi tuần tự lặp lại. Các vấn đề thuộc loại sau có liên quan đến trình tự lặp lại:

1) tính (n-th) phần tử đã cho của dãy;

2) xử lý toán học một phần nhất định của dãy số (ví dụ, tính tổng hoặc tích của n số hạng đầu tiên);

4) xác định số phần tử đầu tiên thỏa mãn một điều kiện nào đó;

Danh sách các nhiệm vụ này không được cho là đã hoàn thành, nhưng nó bao gồm các loại phổ biến nhất. Trong bốn tác vụ đầu tiên, không bắt buộc phải lưu cùng lúc nhiều phần tử của một dãy số trong bộ nhớ. Trong trường hợp này, các phần tử của nó có thể được lấy tuần tự trong một biến, thay thế cho nhau.

Ví dụ 1. Tính phần tử thứ n của một cấp số cộng (1).

VarM, I: 0..Maxint;

Đối với I: = 2 To N Do

WriteLn ("A (", N: l, ") =", A: 6: 0)

Công thức đệ quy ai = ai-1 + 2 được chuyển vào toán tử A: = A + 2.

Ví dụ 2. Tính tổng n phần tử đầu tiên của cấp hình học (2) (không sử dụng công thức tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp tiến).

Var N, 1: 0..Maxint;

Write ("N ="); ReadLn (N);

Đối với I: = 2 To N Do

WriteLn ("Tổng bằng", S: 6: 0)

Khi tính toán một chuỗi lặp lại với độ sâu 2, một biến không còn có thể được phân phối nữa. Điều này có thể được nhìn thấy từ ví dụ sau.

Ví dụ 3. In ra n (n ≥ 3) số Fibonacci đầu tiên. Đếm xem trong số đó có bao nhiêu số là số chẵn.

VarN, I, K, F, F1, F2: 0..Maxint;

WriteLn ("F (l) =", Fl, "F (2) =", F2);

Đối với I: = 3 To N Do

WriteLn ("F (", I: l, ") =", F);

If Not Odd (F) Then K: = K + 1;

WriteLn ("Số lượng các số chẵn trong dãy là", K)

Ba biến là cần thiết để tính toán tuần tự đệ quy hai bước, vì để tìm phần tử tiếp theo, cần phải nhớ giá trị của hai phần trước đó.

Ví dụ 4. Với một số thực x đã cho và một giá trị nhỏ của ε (ví dụ: ε = 0,000001), hãy tính tổng của chuỗi

chỉ bao gồm các điều khoản vượt quá ε. Biết rằng tổng của một dãy vô hạn đó có giá trị hữu hạn bằng ex, trong đó e = 2,71828 ... là cơ số của lôgarit tự nhiên. Vì các phần tử của chuỗi này là một dãy số giảm dần có xu hướng bằng 0, nên việc tổng kết phải được thực hiện đến số hạng đầu tiên, theo giá trị tuyệt đối không vượt quá ε.

Nếu các thuật ngữ trong biểu thức này được biểu thị như sau:

thì công thức tổng quát cho phần tử thứ i sẽ như sau:

Dễ dàng nhận thấy rằng có một mối quan hệ lặp lại giữa các phần tử của dãy số này. Nó có thể được tìm thấy một cách trực quan, nhưng nó cũng có thể được suy luận một cách hình thức. Đúng, đối với điều này, bạn cần đoán rằng đệ quy là một bước và mỗi phần tử tiếp theo nhận được bằng cách nhân phần trước với một số yếu tố, tức là

Sử dụng công thức tổng quát, chúng ta có:

Có thật không:

Do đó, trình tự lặp lại này có thể được mô tả như sau:

Và cuối cùng, chúng tôi trình bày một chương trình giải quyết vấn đề.

Var A, X, S, Eps: Real;

Write ("X ="); ReadLn (X);

Write ("epsilon ="); readln (eps);

Đáp: = l; Đ / s: = 0; Ta: = 0;

Trong khi Abs (A)> Eps Do

WriteLn ("Tổng của chuỗi là", S: 10: 4)

Như trước đây, các giá trị của chuỗi lặp lại một bước được tính trong một biến.

Mỗi lần thực hiện lặp lại vòng lặp trong chương trình này sẽ đưa giá trị của S đến gần giá trị mong muốn (chỉ định các số liệu quan trọng trong bản ghi của nó). Quá trình tính toán như vậy trong toán học được gọi là quá trình lặp. Theo đó, các chu trình thực hiện quá trình tính toán lặp được gọi là chu trình lặp. Đối với tổ chức của họ, các câu lệnh Trong khi hoặc Lặp lại được sử dụng.

Ví dụ 5. Với số tự nhiên N cho trước và số thực x (x> 0), hãy tính giá trị của biểu thức:

Trong trường hợp này, sự tái phát không quá rõ ràng. Chúng ta hãy thử tìm nó bằng cách quy nạp. Chúng tôi giả định rằng biểu thức mong muốn là Phần tử thứ n trình tự như thế này:

Từ đây, bạn có thể thấy kết nối:

Bây giờ nhiệm vụ được giải quyết rất đơn giản:

Var A, X: Real; I, N: Số nguyên;

Write ("X ="); ReadLn (X);

Write ("N ="); ReadLn (N);

Đối với I: = 2 To N Do

WriteLn ("Đáp án:", A)

Tất cả các vấn đề trên có thể được tiếp cận theo cách khác nhau.

Gọi lại các chương trình con được định nghĩa đệ quy. Nhìn vào mô tả của một cấp số cộng dưới dạng một dãy số lặp lại. Nó trực tiếp ngụ ý một cách xác định một hàm để tính toán một phần tử nhất định của tiến trình.

Hãy làm điều này cho trường hợp tổng quát bằng cách xác định một cấp số cộng với số hạng đầu tiên a0 và công sai d:

Hàm chương trình con tương ứng có dạng như sau:

Hàm Progres (AO, D: Real; I: Integer): Real;

Sau đó Tiến trình: = AO

ElseProgres: = Progres (A0, D, I-1) + D

Chương trình sau đây hiển thị 20 số Fibonacci đầu tiên được tính bằng hàm Fibon đệ quy.

Hàm Fibon (N: Integer): Số nguyên;

Nếu (N = 1) Hoặc (N = 2)

Fibon khác: = Fibon (N-1) + Fibon (N-2)

Đối với K: = l Đến 20 Do WriteLn (Fibon (K))

Cần lưu ý rằng việc sử dụng các hàm đệ quy làm chậm quá trình tính toán. Ngoài ra, bạn có thể gặp phải vấn đề thiếu độ dài ngăn xếp, trong đó "tuyến đường" của các cuộc gọi đệ quy được ghi nhớ.

Trình tự lặp lại thường được sử dụng để giải quyết loại khác nhiệm vụ tiến hóa, tức là nhiệm vụ theo dõi một số quá trình phát triển theo thời gian. Chúng ta hãy xem xét một nhiệm vụ như vậy.

Ví dụ 6. Trong thời gian nhịn ăn điều trị, trọng lượng của bệnh nhân giảm từ 96 xuống 70 kg trong 30 ngày. Người ta thấy rằng giảm cân hàng ngày tỷ lệ thuận với trọng lượng cơ thể. Tính cân nặng của bệnh nhân sau k ngày kể từ ngày bắt đầu nhịn ăn là bao nhiêu cho k = 1, 2, ..., 29.

Hãy để chúng tôi biểu thị trọng lượng của bệnh nhân trong ngày thứ i thông qua số pi (i = 0, 1, 2, ..., 30). Theo điều kiện của bài toán ta biết p0 = 96 kg, p30 = 70 kg.

Gọi K là hệ số tỉ lệ thuận với độ giảm khối lượng trong một ngày. sau đó

Chúng tôi nhận được một trình tự được mô tả bởi công thức lặp lại sau:

Tuy nhiên, chúng ta không biết hệ số K. Có thể tìm thấy hệ số này bằng cách sử dụng điều kiện p30 = 70.

Để làm điều này, chúng tôi sẽ thực hiện các thay thế ngược lại:

Var I: Byte; P, Q: Thực;

Q: = Exp (l / 30 * Ln (70/96));

Đối với tôi: = l Đến 29 Làm

WriteLn (I, "ngày thứ -", P: 5: 3, "kg")