Giải: Để giải bài toán này, ta sử dụng công thức N = 2 - Lời giải. Nguyên lý quy nạp toán học

Nếu câu A (n), tùy thuộc vào số tự nhiên n đúng với n = 1 và vì nó đúng với n = k (với k là số tự nhiên bất kỳ), nên nó đúng với số tiếp theo n = k + 1 thì giả thiết A (n) đúng với bất kỳ số tự nhiên n nào.

Trong một số trường hợp, có thể cần chứng minh tính hợp lệ của một mệnh đề nào đó không phải với mọi số tự nhiên mà chỉ với n> p, trong đó p là số tự nhiên cố định. Trong trường hợp này, nguyên tắc quy nạp toán họcđược xây dựng như sau.

Nếu mệnh đề A (n) đúng với n = p và nếu A (k) X A (k + 1) với mọi k> p, thì mệnh đề A (n) đúng với n> p bất kỳ.

Việc chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học được thực hiện như sau. Đầu tiên, khẳng định được chứng minh được kiểm tra cho n = 1, tức là chân lý của phát biểu A (1) được thiết lập. Phần chứng minh này được gọi là cơ sở quy nạp. Tiếp theo là một phần của chứng minh được gọi là bước quy nạp. Trong phần này, tính hợp lệ của câu lệnh cho n = k + 1 được chứng minh theo giả thiết rằng câu lệnh đúng với n = k (giả thiết quy nạp), tức là chứng minh rằng A (k) ~ A (k + 1)

Chứng minh rằng 1 + 3 + 5 +… + (2n-1) = n 2.

1) Ta có n = 1 = 1 2. Do đó, câu lệnh đúng với n = 1, tức là A (1) đúng
2) Hãy chứng minh rằng A (k) ~ A (k + 1)

Gọi k là số tự nhiên bất kỳ và phát biểu đúng với n = k, tức là

1 + 3 + 5 +… + (2k-1) = k 2

Hãy chứng minh rằng khi đó khẳng định cũng đúng với số tự nhiên tiếp theo n = k + 1, tức là Cái gì

1 + 3 + 5 +… + (2k + 1) = (k + 1) 2 Thật vậy,
1 + 3 + 5 +… + (2k-1) + (2k + 1) = k 2 + 2k + 1 = (k + 1) 2

Vì vậy, A (k) X A (k + 1). Dựa trên nguyên lý quy nạp toán học, chúng ta kết luận rằng giả thiết A (n) đúng với mọi n О N

Chứng minh rằng

1 + x + x 2 + x 3 + ... + x n \ u003d (x n + 1 -1) / (x-1), trong đó x số 1

1) Với n = 1, chúng ta nhận được
1 + x = (x 2 -1) / (x-1) = (x-1) (x + 1) / (x-1) = x + 1

do đó, với n = 1 công thức là đúng; A (1) đúng

2) Gọi k là số tự nhiên bất kỳ và công thức đúng với n = k,
1 + x + x 2 + x 3 +… + x k = (x k + 1 -1) / (x-1)

Hãy để chúng tôi chứng minh rằng sau đó bình đẳng

1 + x + x 2 + x 3 +… + x k + x k + 1 = (x k + 2 -1) / (x-1) Thật vậy
1 + х + х 2 + x 3 +… + х k + x k + 1 = (1 + x + x 2 + x 3 +… + x k) + x k + 1 =

= (x k + 1 -1) / (x-1) + x k + 1 = (x k + 2 -1) / (x-1)

Vậy A (k) ⋅ A (k + 1). Dựa trên nguyên tắc quy nạp toán học, chúng ta kết luận rằng công thức đúng với mọi số tự nhiên n

Chứng minh rằng số đường chéo của n-gon lồi là n (n-3) / 2

Lời giải: 1) Với n = 3, mệnh đề đúng, vì trong tam giác

A 3 \ u003d 3 (3-3) / 2 \ u003d 0 đường chéo; A 2 A (3) đúng

2) Giả sử trong k-gon lồi bất kỳ có A 1 sya A k \ u003d k (k-3) / 2 đường chéo. A k Hãy chứng minh rằng trong một lồi A k + 1 (k + 1) -gon số đường chéo A k + 1 = (k + 1) (k-2) / 2.

Cho А 1 А 2 А 3… A k A k + 1 -convex (k + 1) -gon. Hãy vẽ một đường chéo A 1 A k trong đó. Để đếm Tổng sốđường chéo của (k + 1) -gon này, bạn cần đếm số đường chéo trong k-gon A 1 A 2 ... A k, thêm k-2 vào số kết quả, tức là số đường chéo của (k + 1) -gon xuất phát từ đỉnh A k + 1, và ngoài ra, người ta phải tính đến đường chéo A 1 A k

Theo cách này,

G k + 1 = G k + (k-2) + 1 = k (k-3) / 2 + k-1 = (k + 1) (k-2) / 2

Vậy A (k) ⋅ A (k + 1). Do nguyên tắc quy nạp toán học, phát biểu đúng với bất kỳ n-gon lồi nào.

Chứng minh rằng với n bất kỳ câu lệnh nào là đúng:

1 2 +2 2 +3 2 +… + n 2 = n (n + 1) (2n + 1) / 6

Lời giải: 1) Cho n = 1 thì

X 1 \ u003d 1 2 \ u003d 1 (1 + 1) (2 + 1) / 6 \ u003d 1

2) Giả sử rằng n = k

X k \ u003d k 2 \ u003d k (k + 1) (2k + 1) / 6

3) Hãy xem xét câu lệnh này cho n = k + 1

Xk + 1 = (k + 1) (k + 2) (2k + 3) / 6

X k + 1 = 1 2 +2 2 +3 2 +… + k 2 + (k + 1) 2 = k (k + 1) (2k + 1) / 6 + + (k + 1) 2

= (k (k + 1) (2k + 1) +6 (k + 1) 2) / 6 = (k + 1) (k (2k + 1) +

6 (k + 1)) / 6 = (k + 1) (2k 2 + 7k + 6) / 6 = (k + 1) (2 (k + 3/2) (k +

2)) / 6 = (k + 1) (k + 2) (2k + 3) / 6

Chúng tôi đã chứng minh tính đúng của đẳng thức đối với n = k + 1, do đó, bằng phương pháp quy nạp toán học, phát biểu đúng với n tự nhiên bất kỳ

Chứng minh rằng với n tự nhiên bất kỳ thì đẳng thức là đúng:

1 3 +2 3 +3 3 +… + n 3 = n 2 (n + 1) 2/4

Lời giải: 1) Cho n = 1

Khi đó X 1 = 1 3 = 1 2 (1 + 1) 2/4 = 1. Chúng ta thấy rằng với n = 1 thì phát biểu đúng.

2) Giả sử rằng đẳng thức đúng với n = k

X k \ u003d k 2 (k + 1) 2/4

3) Hãy để chúng tôi chứng minh sự đúng của tuyên bố này cho n = k + 1, tức là

X k + 1 = (k + 1) 2 (k + 2) 2/4. X k + 1 = 1 3 +2 3 +… + k 3 + (k + 1) 3 = k 2 (k + 1) 2/4 + (k + 1) 3 = (k 2 (k ++ 1) 2 +4 (k + 1) 3) / 4 = (k + 1) 2 (k 2 + 4k + 4) / 4 = (k + 1) 2 (k + 2) 2/4

Từ chứng minh trên có thể thấy rằng mệnh đề đúng với n = k + 1, do đó, đẳng thức đúng với n tự nhiên bất kỳ

Chứng minh rằng

((2 3 +1) / (2 3 -1)) ґ ((3 3 +1) / (3 3 -1)) ґ… ґ ((3 +1) / (3 -1)) = 3n (n + 1) / 2 (n 2 + n + 1), trong đó n> 2

Lời giải: 1) Với n = 2, đồng dạng có dạng:

(2 3 +1) / (2 3 -1) = (3 ґ 2 ґ 3) / 2 (2 2 + 2 + 1), tức là đúng rồi
2) Giả sử rằng biểu thức đúng với n = k
(2 3 +1) / (2 3 -1) ґ ... ґ (k 3 +1) / (k 3 -1) \ u003d 3k (k + 1) / 2 (k 2 + k + 1)
3) Chúng ta sẽ chứng minh tính đúng đắn của biểu thức đối với n = k + 1
(((2 3 +1) / (2 3 -1)) ґ… ґ ((k 3 +1) / (k 3 -1))) ґ (((k + 1) 3 +

1) / ((k + 1) 3 -1)) = (3k (k + 1) / 2 (k 2 + k + 1)) ґ ((k + 2) ((k +

1) 2 - (k + 1) +1) / k ((k + 1) 2 + (k + 1) +1)) = 3 (k + 1) (k + 2) / 2 ґ

ґ ((k + 1) 2 + (k + 1) +1)

Chúng tôi đã chứng minh tính đúng của đẳng thức đối với n = k + 1, do đó, bằng phương pháp quy nạp toán học, mệnh đề đúng với bất kỳ n> 2

Chứng minh rằng

1 3 -2 3 +3 3 -4 3 +… + (2n-1) 3 - (2n) 3 = -n 2 (4n + 3) với n tự nhiên bất kỳ

Lời giải: 1) Cho n = 1 thì

1 3 -2 3 =-1 3 (4+3); -7=-7
2) Giả sử rằng n = k, thì
1 3 -2 3 +3 3 -4 3 +… + (2k-1) 3 - (2k) 3 = -k 2 (4k + 3)
3) Chúng tôi sẽ chứng minh sự đúng của tuyên bố này cho n = k + 1
(1 3 -2 3 +… + (2k-1) 3 - (2k) 3) + (2k + 1) 3 - (2k + 2) 3 = -k 2 (4k + 3) +

+ (2k + 1) 3 - (2k + 2) 3 = - (k + 1) 3 (4 (k + 1) +3)

Giá trị của đẳng thức đối với n = k + 1 cũng được chứng minh, do đó mệnh đề đúng với n tự nhiên bất kỳ.

Chứng minh tính hợp lệ của danh tính

(1 2/1 ґ 3) + (2 2/3 ґ 5) +… + (n 2 / (2n-1) ґ (2n + 1)) = n (n + 1) / 2 (2n + 1) đối với tự nhiên n

1) Với n = 1 thì đồng dạng đúng 1 2/1 ґ 3 = 1 (1 + 1) / 2 (2 + 1)
2) Giả sử rằng với n = k
(1 2/1 ґ 3) +… + (k 2 / (2k-1) ґ (2k + 1)) = k (k + 1) / 2 (2k + 1)
3) Chúng tôi chứng minh rằng đồng nhất là đúng với n = k + 1
(1 2/1 ґ 3) +… + (k 2 / (2k-1) (2k + 1)) + (k + 1) 2 / (2k + 1) (2k + 3) = (k (k + 1) ) / 2 (2k + 1)) + ((k + 1) 2 / (2k + 1) (2k + 3)) = ((k + 1) / (2k + 1)) ґ ((k / 2) + ((k + 1) / (2k + 3))) = (k + 1) (k + 2) ґ (2k + 1) / 2 (2k + 1) (2k + 3) = (k + 1) (k + 2) / 2 (2 (k + 1) +1)

Từ chứng minh trên có thể thấy rằng khẳng định đúng với mọi số nguyên dương n.

Chứng minh rằng (11 n + 2 +12 2n + 1) chia hết cho 133 mà không có dư

Lời giải: 1) Cho n = 1 thì

11 3 +12 3 =(11+12)(11 2 -132+12 2)=23 ґ 133

Nhưng (23 ґ 133) chia hết cho 133 mà không có dư nên với n = 1, mệnh đề đúng; A (1) là đúng.

2) Giả sử rằng (11 k + 2 +12 2k + 1) chia hết cho 133 mà không có dư
3) Hãy chứng minh rằng trong trường hợp này (11 k + 3 +12 2k + 3) chia hết cho 133 mà không có dư. Thật
11 k + 3 +12 2k + 3 = 11 ґ 11 k + 2 +12 2 ґ 12 2k + 1 = 11 ґ 11 k + 2 +

+ (11 + 133) ґ 12 2k + 1 = 11 (11 k + 2 +12 2k + 1) +133 ґ 12 2k + 1

Tổng kết quả chia hết cho 133 mà không có dư, vì số hạng đầu tiên của nó chia hết cho 133 mà không có dư theo giả thiết, và thừa số thứ hai là 133. Vì vậy, A (k) Yu A (k + 1). Bằng phương pháp quy nạp toán học, khẳng định được chứng minh

Chứng minh rằng với mọi n 7 n -1 chia hết cho 6 mà không có dư

1) Cho n = 1 thì X 1 \ u003d 7 1 -1 \ u003d 6 chia hết cho 6 mà không có dư. Vì vậy, với n = 1, tuyên bố là đúng
2) Giả sử rằng với n \ u003d k 7 k -1 chia hết cho 6 mà không có dư
3) Hãy chứng minh rằng mệnh đề đúng với n = k + 1

X k + 1 \ u003d 7 k + 1 -1 \ u003d 7 ґ 7 k -7 + 6 \ u003d 7 (7 k -1) + 6

Số hạng đầu tiên chia hết cho 6, vì 7 k -1 chia hết cho 6 theo giả thiết và số hạng thứ hai là 6. Vậy 7 n -1 là bội của 6 với n tự nhiên bất kỳ. Bằng phương pháp quy nạp toán học, khẳng định được chứng minh.

Chứng minh rằng 3 3n-1 +2 4n-3 với số nguyên dương n tùy ý chia hết cho 11.

1) Cho n = 1 thì

X 1 \ u003d 3 3-1 +2 4-3 \ u003d 3 2 +2 1 \ u003d 11 chia hết cho 11 mà không có dư.

Vì vậy, với n = 1, tuyên bố là đúng

2) Giả sử với n = k X k = 3 3k-1 +2 4k-3 chia hết cho 11 mà không có dư
3) Chúng tôi chứng minh rằng phát biểu đúng với n = k + 1

X k + 1 = 3 3 (k + 1) -1 +2 4 (k + 1) -3 = 3 3k + 2 +2 4k + 1 = 3 3 3 3k-1 +2 4 2 4k-3 =

27 3 3k-1 +16 2 4k-3 = (16 + 11) 3 3k-1 +16 2 4k-3 = 16 3 3k-1 +

11 3 3k-1 +16 2 4k-3 = 16 (3 3k-1 +2 4k-3) +11 3 3k-1

Số hạng đầu tiên chia hết cho 11 mà không có dư, vì 3 3k-1 +2 4k-3 chia hết cho 11 theo giả thiết, số hạng thứ hai chia hết cho 11 vì một trong các thừa số của nó là số 11. Do đó, tổng là cũng chia hết cho 11 mà không có dư với n tự nhiên nào. Bằng phương pháp quy nạp toán học, khẳng định được chứng minh.

Chứng minh rằng 11 2n -1 với số nguyên dương n tùy ý chia hết cho 6 mà không có dư

1) Cho n = 1 thì 11 2 -1 = 120 chia hết cho 6 không dư. Vì vậy, với n = 1, tuyên bố là đúng
2) Giả sử với n = k thì 1 2k -1 chia hết cho 6 mà không có dư
11 2 (k + 1) -1 = 121 ґ 11 2k -1 = 120 ґ 11 2k + (11 2k -1)

Cả hai số hạng đều chia hết cho 6 mà không có dư: số thứ nhất chứa bội của 6 số 120 và số hạng thứ hai chia hết cho 6 mà không có dư theo giả thiết. Vậy tổng chia hết cho 6 không dư. Bằng phương pháp quy nạp toán học, khẳng định được chứng minh.

Chứng minh rằng 3 3n + 3 -26n-27 với số nguyên dương n tùy ý thì chia hết cho 26 2 (676) mà không có dư

Trước hết chúng ta hãy chứng minh rằng 3 3n + 3 -1 chia hết cho 26 mà không có dư

1. Khi n = 0
3 3 -1 = 26 chia hết cho 26
2. Giả sử rằng với n = k
3 3k + 3 -1 chia hết cho 26
3. Hãy chứng minh rằng phát biểu đúng với n = k + 1
3 3k + 6 -1 = 27 ґ 3 3k + 3 -1 = 26 ґ 3 3k + 3 + (3 3k + 3 -1) - chia hết cho 26

Bây giờ chúng ta hãy chứng minh khẳng định được hình thành trong điều kiện của bài toán

1) Rõ ràng là với n = 1, câu lệnh là đúng
3 3+3 -26-27=676
2) Giả sử với n = k thì biểu thức 3 3k + 3 -26k-27 chia hết cho 26 2 mà không có dư
3) Hãy chứng minh rằng mệnh đề đúng với n = k + 1
3 3k + 6 -26 (k + 1) -27 = 26 (3 3k + 3 -1) + (3 3k + 3 -26k-27)

Cả hai số hạng đều chia hết cho 26 2; thứ nhất chia hết cho 26 2 vì chúng ta đã chứng minh được rằng biểu thức trong ngoặc chia hết cho 26, và biểu thức thứ hai chia hết theo giả thiết quy nạp. Bằng phương pháp quy nạp toán học, khẳng định được chứng minh

Chứng minh rằng nếu n> 2 và х> 0 thì bất đẳng thức (1 + х) n> 1 + n ґ х

1) Với n = 2, bất đẳng thức đúng, vì
(1 + x) 2 = 1 + 2x + x 2> 1 + 2x

Vậy A (2) đúng

2) Hãy chứng minh rằng A (k) ⋅ A (k + 1) nếu k> 2. Giả sử rằng A (k) là đúng, tức là bất đẳng thức
(1 + х) k> 1 + k ґ x. (3)

Hãy để chúng tôi chứng minh rằng khi đó A (k + 1) cũng đúng, tức là bất đẳng thức

(1 + x) k + 1> 1+ (k + 1) x

Thật vậy, nhân cả hai vế của bất đẳng thức (3) với số dương 1 + x, chúng tôi nhận được

(1 + x) k + 1> (1 + k ґ x) (1 + x)

Coi như bên phải bất bình đẳng cuối cùng; chúng ta có

(1 + k ґ x) (1 + x) = 1 + (k + 1) ґ x + k ґ x 2> 1+ (k + 1) ґ x

Kết quả là, chúng ta nhận được rằng (1 + х) k + 1> 1+ (k + 1) ґ x

Vậy A (k) ⋅ A (k + 1). Dựa trên nguyên tắc quy nạp toán học, có thể lập luận rằng bất đẳng thức Bernoulli có giá trị với mọi n> 2

Chứng minh rằng bất đẳng thức (1 + a + a 2) m> 1 + m ґ a + (m (m + 1) / 2) ґ a 2 đúng với a> 0

Lời giải: 1) Với m = 1

(1 + a + a 2) 1> 1 + a + (2/2) ґ a 2 cả hai phần đều bằng nhau
2) Giả sử rằng với m = k
(1 + a + a 2) k> 1 + k ґ a + (k (k + 1) / 2) ґ a 2
3) Hãy chứng minh rằng với m = k + 1 thì bất đẳng thức là đúng
(1 + a + a 2) k + 1 = (1 + a + a 2) (1 + a + a 2) k> (1 + a + a 2) (1 + k ґ a +

+ (k (k + 1) / 2) ґ a 2) = 1 + (k + 1) ґ a + ((k (k + 1) / 2) + k + 1) ґ a 2 +

+ ((k (k + 1) / 2) + k) ґ a 3 + (k (k + 1) / 2) ґ a 4> 1+ (k + 1) ґ a +

+ ((k + 1) (k + 2) / 2) ґ a 2

Ta đã chứng minh được tính đúng của bất đẳng thức đối với m = k + 1, do đó, do phương pháp quy nạp toán học, bất đẳng thức có giá trị đối với m tự nhiên

Chứng minh rằng với n> 6, bất đẳng thức 3 n> n ґ 2 n + 1

Hãy viết lại bất đẳng thức dưới dạng (3/2) n> 2n

1. Với n = 7 ta có 3 7/2 7 = 2187/128> 14 = 2 ґ 7 bất đẳng thức đúng
2. Giả sử rằng với n = k (3/2) k> 2k
3) Hãy để chúng tôi chứng minh tính hợp lệ của bất đẳng thức với n = k + 1
3k + 1 / 2k + 1 = (3k / 2k) ґ (3/2)> 2k ґ (3/2) = 3k> 2 (k + 1)

Vì k> 7, bất đẳng thức cuối cùng là hiển nhiên.

Nhờ phương pháp quy nạp toán học, bất đẳng thức có giá trị đối với n

Chứng minh rằng với n> 2 thì bất đẳng thức

1+ (1/2 2) + (1/3 2) +… + (1 / n 2)<1,7-(1/n)

1) Với n = 3, bất đẳng thức đúng
1+(1/2 2)+(1/3 2)=245/180
2. Giả sử rằng với n = k
1+ (1/2 2) + (1/3 2) +… + (1 / k 2) = 1,7- (1 / k)
3) Hãy để chúng tôi chứng minh tính hợp lệ của bất đẳng thức với n = k + 1
(1+ (1/2 2) +… + (1 / k 2)) + (1 / (k + 1) 2)

Hãy chứng minh rằng 1,7- (1 / k) + (1 / (k + 1) 2)<1,7-(1/k+1) Ы

S (1 / (k + 1) 2) + (1 / k + 1)<1/k Ы (k+2)/(k+1) 2 <1/k Ы

s k (k + 2)<(k+1) 2 Ы k 2 +2k

Điều sau là hiển nhiên, và do đó

1+ (1/2 2) + (1/3 2) +… + (1 / (k + 1) 2)<1,7-(1/k+1)

Bằng phương pháp quy nạp toán học, bất đẳng thức được chứng minh.

Kích cỡ: px

Bắt đầu hiển thị từ trang:

bảng điểm

Lời giải Theo định nghĩa, một số là giới hạn của dãy số n n n N nếu tồn tại số tự nhiên N sao cho với mọi n n n N thỏa mãn bất phương trình Giải bất phương trình cuối cùng n với n: n n n n n n (n) В N có thể là lấy N Nếu thì N nếu thì N Vậy với mọi n n Bài toán Tính li n n Bài giải cho biết giá trị tương ứng của N. (n)) Đáp án n n Bài toán Tính li n n Lời giải n n n li li n n n n Hãy thực hiện một phép đổi biến: n ( n) nếu n thì và

2 li Đáp án e li li li e e Bài toán Xác định bậc của hàm số vô cực y sin đối với số thập phân vô cùng y nếu Đáp án Một hàm số vô hạn nhỏ y sin có bậc hai đối với hàm số vô phân y tại sin Bài toán Tính li Lời giải Hãy làm sự thay đổi của các biến: t; nếu thì t; t t sin t t sin cos t li li li li t t t t t t Trả lời Bài toán Khảo sát hàm f () liên tục Lời giải Hàm f () không xác định tại điểm Tính giới hạn một phía: li li loại

3 Đáp án Điểm - điểm gián đoạn của loại thứ hai Nhiệm vụ Thực hiện nghiên cứu đầy đủ về hàm số y và xây dựng đồ thị của nó Lời giải Miền của hàm số Hàm số xác định trên toàn bộ trục số O Tính chẵn của hàm số Vì y () y thì hàm số chẵn Giao của đồ thị hàm số với các trục tọa độ Nếu thì y Do đó đồ thị hàm số cắt trục OY và trục OX tại điểm O; Các khoảng không đổi của hàm Hàm là dương với bất kỳ Asymptotes Vì hàm không có các điểm gián đoạn thuộc loại thứ hai, không có bất kỳ nào theo chiều dọc Hãy cùng tìm hiểu sự hiện diện của một tiệm cận xiên y k b y li li k li b li y k li Do đó, có một tiệm cận ngang y Các khoảng tăng Tính đạo hàm bậc nhất: y () "" Rõ ràng là y tại; đối với y, do đó, hàm số giảm đối với "; và đối với y, thì hàm số tăng đối Do đó, đối với hàm số có cực tiểu và y Các khoảng lồi" "Tính đạo hàm cấp hai: y trong

4 "" Vì y nếu điều đó cho; ; hàm lồi lên trên "" Hơn nữa y if nghĩa là if; thì hàm số lồi xuống dưới "" Và cuối cùng là y nếu Do đó, các điểm uốn là điểm Đồ thị của hàm số y () Bài toán Tìm ma trận nếu Lời giải Tính định thức của ma trận: det Tìm các phần phụ đại số của các phần tử tương ứng của ma trận: Soạn ma trận liên hiệp * Sau đó * det

5 Đáp án Bài toán Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để tìm hạng của ma trận Lời giải Thực hiện liên tiếp các phép biến đổi sơ cấp, ta biến ma trận ban đầu về dạng bậc: Hạng của ma trận cuối cùng là hai hạng Do đó, hạng của ma trận ban đầu bằng nhau Đáp án Bài toán Giải hệ phương trình bằng phương pháp Cramer: Lời giải Ma trận không suy biến vì det Tính: Khi đó: những Đáp án

6 Nhiệm vụ Khảo sát hệ phương trình về tính tương thích Nếu hệ thống tương thích, hãy tìm một giải pháp chung và một giải pháp cụ thể Xét ma trận chính và ma trận mở rộng của hệ thống: chúng ta nhận được hệ thống theo nghĩa: Ký hiệu các biến tự do tương ứng, chúng ta thu được giải pháp chung trong đó R Giải pháp từng phần, ví dụ, cài đặt: Trả lời Giải pháp chung trong đó R Giải pháp từng phần Vấn đề

7 Hạng của ma trận các hệ số là< Поэтому система имеет ненулевые решения Выбрав в качестве базисного минора минор M преобразуем исходную систему к виду: Решив данную систему относительно получим Обозначив свободные переменные соответственно через получим общее решение где R Ответ Общее решение где R Задача Решить систему методом Гаусса: Решение В результате элементарных преобразований над расширенной матрицей системы имеем Этой матрице соответствует система

8 Sau khi hoàn thành phương pháp ngược lại của phương pháp Gaussian, ta tìm được c và từ đây ta được nghiệm tổng quát: c trong đó c R c Đáp án Lời giải tổng quát: c trong đó c R Nhiệm vụ Tính diện tích S của hình bình hành xây dựng trên vectơ a b và Giải a b nếu a b và góc giữa vectơ a và b bằng nhau Theo định nghĩa và tính chất của tích vectơ ta có a Đáp án b a b a a a b b a (a b) (a b) Vì a a b a a b) thì S a b a b sin b Bài toán Tìm thể tích V của một tam giác hình chóp có các đỉnh ;; B ;; C ;; và D ;; Lời giải Thể tích của hình chóp bằng thể tích của hình bình hành dựng trên các vectơ b B C D Hãy tìm tọa độ của các vectơ này: B vectơ B ;; C ;; D C Do đó D V ;; a a a b a b (b b) Tìm tích hỗn hợp của các () () Đáp số

9 Đề thi viết môn Toán cao học kỳ đông - năm học Phương án Tìm điểm gián đoạn của hàm số y và cho biết tính chất của chúng Tính định thức Tìm tổng cực trị của hàm số y Nếu f () trên khoảng ( a; b) thì hàm số f () có đơn điệu trên khoảng này không? Cho một ma trận khác không n Biết rằng ang () = ang (T) bằng bao nhiêu? Giá trị của hàm y sẽ thay đổi bao nhiêu phần trăm nếu giá trị của đối số được tăng từ = theo%? Cho vectơ a (;) b (;) c (;) d (;) Tìm cơ sở của tập vectơ này và biểu diễn vectơ không thuộc cơ sở dưới dạng tổ hợp tuyến tính của vectơ cơ sở Lập phương trình tiếp tuyến với đường cong y tại điểm có hoành độ Phương trình của mặt phẳng đi qua ba điểm cho trước Định lý Kronecker-Capelli Ứng dụng của định lý để giải hệ phương trình đại số tuyến tính

10 Đề thi viết môn Toán cao học kỳ đông - năm học Điều kiện của bài toán Định lý Kronecker-Capelli Ứng dụng của định lý để giải hệ phương trình đại số tuyến tính sin Chứng minh rằng li độ các đáy của hình thang nằm trên các đường thẳng y y Tính độ dài đường cao của hình thang Đối với ma trận, tìm nghịch đảo Khảo sát hệ thức và trong trường hợp giải nó Đáp án Lời giải chung Lời giải riêng Hàm số liên tục trên Khảo sát tính liên tục của hàm số y trong tập (;) (;) ( ;) - điểm gián đoạn di động được - điểm gián đoạn vô hạn = theo%? % Tìm tổng các cực trị của hàm số y y () y () Lập phương trình các tiếp tuyến với đường cong y tại các điểm có hoành độ y Tính diện tích hình bình hành dựa trên các vectơ a và b trong đó a và b ()

11 Nhiệm vụ của đề thi viết môn Toán cao học kỳ đông - năm học Nhiệm vụ Xác định tính chất của định thức Định lý Lagrange Tính giới hạn tg sin li sin Thực hiện một nghiên cứu đầy đủ về hàm số, vẽ đồ thị y và Tìm số gia và vi phân của hàm số y tại một điểm nếu gia số của đối số Chỉ định cách áp dụng vi phân cho các phép tính gần đúng Tính đạo hàm bậc n của hàm y sin Khối lượng sản phẩm mà đội sản xuất được trong mỗi giờ của ca làm việc được cho bởi hàm f (t) t t t trong đó t t là thời gian tính bằng giờ Xác định thời gian t mà năng suất lao động giảm Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng: y z y z Các đường thẳng và mặt phẳng có song song với nhau không? Cho hệ phương trình b b b Xác định tập các vectơ b (b b b) mà hệ tương thích Mô tả tập hợp hình học thu được và xây dựng nó trong R Đưa ra phương pháp giải lý thuyết Tìm diện tích hình bình hành được xây dựng trên các vectơ a b trong đó và góc giữa Đáp án y a y () y theo y (); đồ thị của hàm số ở trang tiếp theo y dy (y n) sin (n) n lúc t năng suất lao động giảm N giao điểm - M (;;); vectơ chỉ phương của đường thẳng có thể được chọn sao cho l (;;) b b b vectơ bằng

12 Đồ thị của hàm số y có một tiệm cận đứng và một tiệm cận ngang y () là () là

13 Bài tập của đề thi viết môn toán cao học kỳ đông - năm học Đáp án Bài tập Tích vô hướng của vectơ Giới hạn đáng chú ý đầu tiên (Suy ra công thức) Cho ví dụ để tính giới hạn Khảo sát hàm t liên tục Thực hiện một nghiên cứu đầy đủ về Hàm số vẽ đồ thị của nó f (t) t t nếu y và Lập phương trình pháp tuyến cho đồ thị của hàm số y tại điểm (;) Phương trình có nghiệm nguyên trên đoạn [;]? có điểm - điểm ngắt thuộc loại thứ-điểm ngắt có thể di chuyển được y a y () y trong y () đồ thị của hàm số ở trang tiếp theo y Trong tam giác có đỉnh (;;) B (;;) C (;;) tìm h chiều cao h BD Lập phương trình mặt phẳng đi qua điểm (;;) vuông góc với hai mặt phẳng y z và y z y z Khảo sát hệ phương trình tương hợp và giải hệ phương trình đó nếu nó tương hợp trên R Viết khai triển của vectơ (;;) theo vectơ a (;;) a (;;) a (;;) a a a

14 Đồ thị của hàm số y có một tiệm cận đứng và một tiệm cận ngang y () là () là

15 Đề thi văn đại học môn toán cao cấp đông - du luyn khoa thư ng Tìm các giới hạn li li n n n n Tìm tổng các giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y trên đoạn [;] y z u v Xét hệ phương trình cho y z u v tương thích và giải nó nếu tương thích Tìm đạo hàm của hàm số f () sin () cos () Khảo sát hàm số y và vẽ đồ thị của nó tg Tìm giới hạn li li Viết phương trình các tiếp tuyến với đồ thị của hàm số y tại các giao điểm của đồ thị hàm số với trục abscissa Khảo sát hàm số f () y có liên tục Giải hệ phương trình y bằng phương pháp Cramer Tìm tổng cực trị của hàm số y

16 Bài thi viết môn Toán cao hơn vào kỳ học mùa đông - học tại khoa văn thư của Khoa Kinh tế Phương pháp Gauss Quy tắc của L'Hopital cho việc tiết lộ các bất định Tính giới hạn của một dãy số được cho bởi chung (n) (n) ( n) số hạng n (n) (n) Tính li Xác định bậc nhỏ vô hạn đối với at Trên đường cong y, tìm điểm mà tại đó tiếp tuyến song song với dây của điểm nối (- ;-) và B ( ;) Tính góc nhọn giữa mặt phẳng y z và đường thẳng y z y z Tính đạo hàm của các hàm số: a) y (); b) ytg (); c) y) (Khảo sát hệ phương trình về tính tương thích và giải hệ phương trình đó nếu nó tương thích Tính hệ số co giãn của hàm đối với một giá trị cho trước của đối số s

Chương trình Đề thi viết môn Toán đại học kỳ đông - năm học dành cho sinh viên năm 1 Khoa Kinh tế hệ chính quy (chuyên ngành Kinh tế học và Lý luận kinh tế học) bằng văn bản

Ma trận vé, thao tác trên chúng Dãy số, tính chất của dãy số vô phân Tính khoảng cách từ điểm M (;;) đến mặt phẳng đi qua các điểm A (;; 0), B (;;

Câu hỏi chuẩn bị cho đề thi Chủ đề. Đại số tuyến tính 1. Định thức là gì? Dưới những phép biến đổi nào giá trị của định thức không thay đổi? 2. Định thức bằng 0 trong những trường hợp nào? Những gì tiếp theo

Chương trình Đề thi viết môn “Toán cao đẳng” năm 1 các khối văn thư khoa Kinh tế buổi đông Đề thi viết được tổ chức trong hai giờ đồng hồ. Trong kỳ thi cho từng học sinh

Bộ Giáo dục Cộng hòa Belarus TRƯỜNG ĐẠI HỌC KỸ THUẬT QUỐC GIA BELARUSIAN Khoa "Toán học cao hơn" CHƯƠNG TRÌNH CÂU HỎI VÀ NHIỆM VỤ ĐIỀU KHIỂN cho khóa học "Toán học. học kỳ "cho

Hướng dẫn giải đề kiểm tra 1 tiết môn Toán dành cho sinh viên năm nhất chuyên ngành xây dựng Bộ môn Toán cao học AV Kapusto Minsk 016 016 Bộ môn Cao học

CÂU HỎI KIỂM SOÁT CHO LECTURES. Mục 1. Vectơ và đại số tuyến tính. Bài giảng 1. Ma trận, các phép toán trên chúng. Các yếu tố quyết định. 1. Các định nghĩa về ma trận và ma trận chuyển vị Thế nào được gọi là bậc của ma trận?

CÂU HỎI KIỂM SOÁT CHO LECTURES. Mục 1. Vectơ và đại số tuyến tính. Bài giảng 1. Ma trận, các phép toán trên chúng. Các yếu tố quyết định. 1. Các định nghĩa về ma trận và ma trận chuyển vị .. Thế nào được gọi là thứ tự

Phương hướng: "Xây dựng" Câu hỏi và nhiệm vụ cho kỳ thi học kỳ. Ma trận: định nghĩa, các kiểu. Các thao tác với ma trận: chuyển vị, cộng, nhân với một số, phép nhân ma trận. 2. Các phép biến đổi cơ bản

CÂU HỎI CHUẨN BỊ LUYỆN THI Đại số vectơ và hình học giải tích. Định nghĩa vectơ. Đẳng thức vectơ. Các phép toán tuyến tính trên vectơ. Sự phụ thuộc tuyến tính của vectơ. Cơ sở và tọa độ.

MỤC LỤC PHẦN I Bài giảng 1 2 Định thức và ma trận Bài giảng 1 1.1. Khái niệm về ma trận. Các loại ma trận ... 19 1.1.1. Các định nghĩa cơ bản ... 19 1.1.2. Các loại ma trận ... 19 1.2. * Hoán vị và thay thế ... 21 1.3. *

Lời nói đầu Chương I. CÁC PHẦN TỬ CỦA ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 1. Ma trận 1.1. Các khái niệm cơ bản 1.2. Các thao tác trên ma trận 2. Định thức 2.1. Các khái niệm cơ bản 2.2. Tính chất của định thức 3. Ma trận không sinh 3.1.

ĐỀ THI SỐ 1 1. Ma trận, các phép toán trên ma trận. 2. Giới hạn trên và giới hạn dưới của bộ số. Trường số thực. ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ 2 1. Định thức. Thuộc tính, phương pháp xác định

Bộ môn Toán và Tin học Giải tích Toán học Phức hợp giáo dục và phương pháp dành cho sinh viên HPE học tập với việc sử dụng công nghệ khoảng cách Mô đun 4 Các ứng dụng của đạo hàm Biên soạn: PGS.TS.

BỘ GIÁO DỤC VÀ KHOA HỌC NGA Tổ chức Giáo dục Ngân sách Nhà nước Liên bang về Giáo dục Chuyên nghiệp Đại học "NGA NGA STATE HUMANITARIAN UNIVERSITY" (RSUH) Chi nhánh tại Domodedovo

Bộ Giáo dục và Khoa học của Liên bang Nga Trường Đại học Liên bang phía Bắc (Bắc Cực) được đặt tên theo MLomonosov Khoa Toán học Làm nhiệm vụ mẫu mực cho kỳ thi môn toán (phần) dành cho học sinh nhóm 9 IEIT phương

CƠ QUAN LIÊN BANG VỀ GIÁO DỤC Trường Đại học Kỹ thuật Nhà nước Moscow "MAMI" Khoa "Toán học cao cấp" GS.TS.Kadymov VA PGS.TS.

Bộ môn Toán và Tin học Các yếu tố của Toán học Đại học Phức hợp giáo dục và phương pháp luận dành cho học sinh trung cấp nghề sử dụng công nghệ từ xa Mô đun Phép tính vi phân Biên soạn bởi:

Hướng dẫn học sinh nắm vững môn học (học phần) Giáo án thực hành Ma trận và định thức, hệ phương trình tuyến tính Ma trận Các phép toán trên ma trận Ma trận nghịch đảo Sơ cấp

Phương án 5 Tìm miền của hàm số: y arcsin + Miền của hàm số đã cho xác định bởi hai bất phương trình: và hoặc Nhân bất phương trình bậc nhất với và bỏ dấu môđun: Từ trái sang

Bộ Giáo dục và Khoa học của Đại học Liên bang Bắc Cực Liên bang Nga. M.V. Lomonosov Moscow State University Khoa Toán học Các câu hỏi về toán học cho sinh viên bán thời gian của chuyên ngành 000. "Kỹ thuật nhiệt điện"

Bài giảng 9. Đạo hàm và vi phân bậc cao, tính chất của chúng. Các điểm cực trị của hàm số. Định lý Fermat và Rolle. Để hàm số y khả vi trên đoạn [b] nào đó. Trong trường hợp này, đạo hàm của nó

Cho một ma trận Kiểm tra A 0 T = Nhiệm vụ [, p] Xác định số chiều của nó Viết ra các đặc điểm của ma trận này: hình chữ nhật, hình vuông, đối xứng, thống nhất, không, tam giác, đường chéo,

Phiếu khám bệnh 1 Khoa: 101-152, 125-126 1. Phép nhân ma trận. 2. Tích vectơ dưới dạng tọa độ 3. Giới hạn một phía. Phiếu khám bệnh 2 1. Định thức 3. 2.

Câu hỏi và bài tập trắc nghiệm Đại số tuyến tính Ma trận và định thức Tính các định thức: a), b), c), d) Giải phương trình 9 9 Tìm định thức của ma trận B A C: A, B Tìm tích của các ma trận

Phương án Tìm miền của hàm số: + + + Bất phương trình + luôn thỏa mãn Do đó miền của hàm số đã cho được xác định bởi các bất phương trình sau:

Đại học Kỹ thuật Nhà nước Matxcova mang tên N. E. Bauman

Tìm số hạng chung của dãy số,) Tìm b) lim () c) 9 7 7) 8 7 b) 7 c) 7 d) 7 Tìm () !! lim ()!) b) c) Tìm 6 si lim si d)) b) c) d) d) () Tìm lim [(l () l)]) b) c) e d) l 6 Tìm

Toán học [Tài nguyên điện tử]: phương pháp và giáo dục phức hợp điện tử. Phần 1 / E.A. Levina, V.I. Zimin, I.V. Kasymova [và những người khác]; Anh chị. tiểu bang ngành công nghiệp un-t. - Novokuznetsk: SibGIU, 2010. - 1 đĩa quang điện tử

Bộ Giáo dục và Khoa học của Liên bang Nga Ngân sách Nhà nước Cơ quan Giáo dục về Giáo dục Chuyên nghiệp Đại học "HỌC VIỆN ĐỊA LÝ NHÀ NƯỚC SIBERIAN"

Vé 1 1 Các yếu tố quyết định bậc thứ và thứ, tính chất của chúng và phương pháp tính Giải hệ phương trình tuyến tính bằng phương pháp Cramer Giải hệ phương trình bằng phương pháp Gauss và phép tính ma trận: Tìm tọa độ

Đề thi môn “Toán học” dành cho học sinh hướng 676 (9) “Công nghệ và thiết kế sản xuất bao bì” Danh mục chuyên đề Đại số tuyến tính Đại số vectơ Hình học giải tích

Nội dung Giới thiệu Bài toán lớp học Đại số tuyến tính Bài giải mẫu Bài toán tự học Giải tích hình học và bài toán đại số véc tơ Bài toán lớp học bài giải mẫu

Phép tính vi phân Các khái niệm và công thức cơ bản Định nghĩa 1 Đạo hàm của một hàm số tại một điểm được gọi là giới hạn của tỉ số giữa số gia của hàm với số gia của đối số, với điều kiện là số gia của đối số

NHIỆM VỤ CÔNG TÁC ĐỘC LẬP ĐỐI VỚI SINH VIÊN TRONG GIAI ĐOẠN NỘI BỘ TRONG KỶ LUẬT HỌC TẬP "PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐI ƯU" THEO HƯỚNG CHUẨN BỊ 37.00.01 TÂM LÝ HỌC Chủ đề 1. Ma trận

CHUYÊN NGÀNH GIÁO DỤC NHÀ NƯỚC TỔ CHỨC GIÁO DỤC CHUYÊN NGHIỆP CAO HƠN "TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ NHÀ NƯỚC VORONEZH" GIỚI THIỆU VỀ PHÂN TÍCH VÀ TÍNH TOÁN KHÁC NHAU CÁC CHỨC NĂNG CỦA MỘT BIẾN SỐ

THÔNG BÁO về chương trình công tác của ngành “Toán học” Phương hướng đào tạo (chuyên ngành) 38.03.04 Quản lý nhà nước và thành phố trực thuộc trung ương 1. MỤC TIÊU, NHIỆM VỤ CỦA KỶ LUẬT 1.1. Mục tiêu của ngành học: phát triển

Đề kiểm tra Chủ đề Giới hạn và đạo hàm của hàm số Tìm giới hạn của các hàm số sau một biến (không theo quy luật L'Hopital) a) b) c) d) Ví dụ a) Lời giải Xác định dạng bất định Dưới dạng

CÔNG CỤ ĐÁNH GIÁ HIỆN TẠI KIỂM SOÁT HIỆU SUẤT, CHỨNG NHẬN INTERIM TRÊN KẾT QUẢ THỰC HIỆN KỶ LUẬT Ngành học B.2.1 - Toán Hồ sơ đào tạo: Quản lý sản xuất Môn học

1 Đại học Kỹ thuật Nhà nước Matxcova được đặt tên theo Trung tâm Khoa học và Giáo dục Chuyên biệt N.E. Bauman GOU Lyceum 1580

1 Đại học Kỹ thuật Nhà nước Mátxcơva mang tên Trung tâm Khoa học và Giáo dục Chuyên biệt N.E. Bauman GOU Lyceum 1580. Câu hỏi dành cho kỳ thi chuyển cấp môn toán. Lớp 10, năm học 2014-2015

Phương án 9 Tìm miền của hàm số: y + lg Miền của hàm số đã cho được xác định bởi bất đẳng thức sau:>, những> Hơn nữa, mẫu số không được biến mất: hoặc ± Kết hợp các kết quả,

Mẫu Các bài toán và câu hỏi MA cơ bản cho học kỳ Giới hạn trình tự Đơn giản Tính giới hạn trình tự l i m 2 n 6 n 2 + 9 n 6 4 n 6 n 4 6 4 n 6 2 2 Tính Giới hạn trình tự

Stream: TVGT -CHUYÊN ĐỀ ÔN THI HỌC KÌ 1 Định thức bậc 1 và bậc 2 Quy tắc tính Thuật toán chung để nghiên cứu đồ thị của hàm số sử dụng đạo hàm Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

Phương án Tìm miền của hàm Miền của hàm này được xác định bởi bất đẳng thức> Các nghiệm của phương trình là các số Vì các nhánh của parabol hướng lên trên nên bất đẳng thức> thỏa mãn

01 1. Tìm nghiệm tổng quát và cơ bản của hệ phương trình: 16x 10x + 2x = 8, 40x + 25x 5x = 20. Đáp số: Nếu chọn x là biến cơ bản thì nghiệm tổng quát là: x = 1 2 + 5 8 x 1 8 x, x, xR; nền tảng

QUỸ CÔNG CỤ ĐÁNH GIÁ XÁC NHẬN INTERIM CỦA SINH VIÊN KỶ LUẬT (MODULE). Thông tin chung 1. Khoa Tin học, Kỹ thuật máy tính và An toàn thông tin 2. Phương hướng

Phương án Tìm miền của hàm số: y arcsi + Miền của hàm số đã cho xác định bởi hai bất phương trình và Nhân bất phương trình bậc nhất với và bỏ dấu môđun: Từ trái bất đẳng thức

Phương án Tìm miền của hàm số: y + Miền của hàm số đã cho xác định bởi bất đẳng thức Ngoài ra, mẫu số không được biến mất Tìm nghiệm nguyên của mẫu số: Kết hợp các kết quả

Phương án + Tìm miền của hàm số: y lg Miền của hàm số đã cho được xác định bởi bất đẳng thức + me Hơn nữa, mẫu số không được biến mất: lg hoặc ± Ngoài ra, đối số của lôgarit

Được thông qua tại cuộc họp của bộ môn "Toán và Tin học" Nghị định thư 2 (25) "8" tháng 9 năm 2015. cái đầu Khoa Ph.D. Timshina D.V. Các câu hỏi cho bài kiểm tra thuộc chủ đề "ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH VÀ PHÂN TÍCH TOÁN HỌC"

Vé .. Định nghĩa ma trận (với các ví dụ về ma trận vuông và chữ nhật) .. Ý nghĩa hình học của đa thức Taylor bậc nhất (công thức, ví dụ, hình vẽ). (x) ctg (x). 4. Phương pháp hợp âm đồ họa

NHÀ NƯỚC TỔ CHỨC BỘ MÔN GIÁO DỤC CHUYÊN NGHIỆP "ĐẠI HỌC NGA-NGA" Khoa "Toán cao hơn" TOÁN CAO HƠN Hướng dẫn phương pháp và các phương án cho các nhiệm vụ điều khiển

4 Hướng dẫn thực hiện bài kiểm tra "Đạo hàm và các ứng dụng của nó Các ứng dụng của phép tính vi phân" Đạo hàm Các ứng dụng của phép tính vi phân Hàm số f (

Phương án 7 Tìm miền của hàm: y + / lg Miền của hàm đã cho được xác định bởi các điều kiện sau:,>, những> / Hơn nữa, mẫu số không được biến mất: hoặc Kết hợp các kết quả,

Bài giảng 7-9 Chương 7 Khảo sát hàm số 7 Hàm số tăng và giảm Định lý về tính đơn điệu của hàm số Nếu f (trên khoảng (a; b thì trên khoảng này hàm số f (tăng) Nếu f (trên khoảng

Chương trình ôn thi học sinh giỏi môn Toán chuyên “Tài chính tín dụng” (hệ văn thư) 1 Tiết 2. Cơ bản về giải tích toán học Hàm số VÀ GIỚI HẠN Khái niệm hàm số Định nghĩa hàm số,

Đại học Kỹ thuật Nhà nước Matxcova mang tên N. E. Bauman

Phương án 5 Tìm miền của hàm lg5 Miền của hàm này được xác định bởi bất đẳng thức

Nhiệm vụ 2.1. Tìm nếu
,
,
.

Quyết định. một). Vì
chúng ta có

b). Vì
.

Trong). Vì
.

Nhiệm vụ 2.2.Để tìm
, nếu

b). Phân biệt phương trình cho
, chúng ta có

Phân biệt quan hệ cuối cùng cho

Giới thiệu một biểu thức cho , chúng ta tìm thấy

Trong). Đạo hàm đầu tiên của một hàm tham số đã cho được tính bằng công thức

Ta tính đạo hàm cấp hai theo công thức

Nhiệm vụ 2.3. Tính giới hạn bằng cách sử dụng quy tắc L'Hopital:

Quyết định. một). Giới hạn mong muốn là một loại không xác định

Theo quy tắc của L'Hopital

b). Giới hạn là sự không chắc chắn của hình thức
Do đó, trước tiên nó phải được chuyển đổi sang dạng hoặc :

Cuối cùng (như
) bạn có thể áp dụng quy tắc của L'Hopital:

Giới hạn kết quả lại là độ không đảm bảo
vì vậy việc áp dụng quy tắc một lần nữa sẽ cho

Trong). Giới hạn là sự không chắc chắn của hình thức mà nó là thuận tiện để áp dụng phương pháp sau đây. Chứng tỏ

. (1)

Hãy để chúng tôi tính toán giới hạn phụ trợ

Giới hạn mong muốn theo (1) bằng

Nhiệm vụ 2.4. Khám phá chức năng
và vẽ nó.

Quyết định. Miền định nghĩa là toàn bộ trục thực
. Để tìm các khu vực của tính đơn điệu, chúng tôi tìm

sau đó
tại
(khoảng tăng dần),
tại
(khoảng giảm dần). Chấm
đứng yên vì
Khi đi qua
đạo hàm thay đổi dấu từ cộng sang trừ, vì vậy khi
hàm có giá trị tối đa cục bộ.

Để tìm các khu vực có độ lồi, đạo hàm cấp hai được sử dụng

Tại
hoặc
sẽ là
và hàm bị lõm xuống; tại

và hàm là lồi.

Hàm không có dấu gạch đầu dòng dọc. Để tìm dấu ấn xiên
tính toán

Do đó, khi
hàm có một tiệm cận

Kết quả của nghiên cứu, có tính đến tính ngang bằng của hàm
hiển thị trên đồ thị

4.3. Giải pháp của một biến thể thử nghiệm điển hình n 3

Nhiệm vụ 3.1. Tìm gradient và phương trình của mặt phẳng tiếp tuyến và pháp tuyến của một mặt đã cho tại điểm
.

Quyết định. Chứng tỏ

Giá trị gradient

Phương trình của một mặt phẳng tiếp tuyến có vectơ pháp tuyến (7, -4, -19) và đi qua
, sẽ được ghi lại

Đường pháp tuyến có vectơ chỉ phương (7, -4, -19) và đi qua
, vì vậy các phương trình của nó

Nhiệm vụ 3.2. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
trong khu vực D được giới hạn bởi các dòng đã cho:

Quyết định. Diện tích D như hình vẽ bên (tam giác OAB).

Điểm đứng yên là nghiệm của hệ phương trình

chúng ta tìm thấy điểm ở đâu
, như có thể thấy trong hình, thuộc về khu vực
. Tại thời điểm này
. (2)

Ta nghiên cứu hàm số trên biên của miền D.

Mục OA.Đây
và
Điểm đứng yên được xác định từ phương trình
ở đâu
Tại thời điểm này

. (3)

Ở cuối đoạn

,

. (4)

Đoạn AB.Đây
và

Từ phương trình
tìm thấy
và

. (5)

Tại
chúng ta có

. (6)

Phân đoạn OV.Đây
Trong chừng mực
tại
hàm không có điểm cố định. Giá trị của nó tại

được tính trong (4), (6).

Từ kết quả (2) - (6) chúng tôi kết luận rằng

hơn nữa, giá trị lớn nhất đạt được tại điểm A (3,0), nhỏ nhất - tại điểm C (2,1).

Nhiệm vụ 3.3. Tìm vi phân đầy đủ của một hàm

Quyết định. Các dẫn xuất từng phần bằng nhau

Nhiệm vụ 3.4. Tìm đạo hàm riêng cấp hai của một hàm

Quyết định.Đầu tiên, chúng ta tìm các đạo hàm riêng của bậc đầu tiên:

Sau đó, phân biệt các đạo hàm riêng tìm được, chúng ta thu được

đạo hàm bậc hai của hàm này:

Nhiệm vụ 3.5. Tính giá trị của đạo hàm của một hàm số phức

tại
với độ chính xác đến hai chữ số thập phân.

Quyết định. Kể từ khi chức năng phức tạp phụ thuộc vào một biến thông qua các biến trung gian và , đến lượt nó phụ thuộc vào một biến thì ta tính đạo hàm toàn phần của hàm này theo công thức

Tính toán và tại
:

Thay thế các giá trị
thành một biểu thức đạo hàm. Lấy

4.4. Giải pháp của một biến thể điển hình của công việc kiểm soát số 4

Vấn đề 4.1. Sử dụng tích phân theo từng phần, tính tích phân không xác định của một hàm có dạng

Dung dịch. Trong chừng mực

tích phân mong muốn bằng

Nhiệm vụ 4.2. Tính tích phân không xác định bằng cách khai triển tích phân thành các phân số đơn giản

Quyết định. Vì bậc của đa thức ở tử số không nhỏ hơn bậc của mẫu số, nên thực hiện phép chia:

Chúng ta chia phân số thích hợp thành các phân số đơn giản

Sử dụng phương pháp hệ số bất định, chúng ta thấy

Giải hệ phương trình này, ta có

Tích phân mong muốn bằng

Nhiệm vụ 4.3.
.

Dung dịch. Hãy thực hiện thay thế
Giải phương trình liên quan đến , chúng ta tìm thấy:

.

Sau đó, tích phân mong muốn có thể được viết:

Mở rộng tích phân thành các phân số đơn giản

và mở ngoặc bằng nhau

chúng tôi đi đến tỷ lệ

Hệ phương trình cho
đăng ký

Giải nó bằng phương pháp Gaussian, chúng tôi thấy

Tích phân mong muốn bằng:

Nhiệm vụ 4.4. Tính tích phân không xác định của một hàm bằng phép thay thế
.

Dung dịch. Sự thay thế phổ biến là
để dễ dàng kiểm tra sự bằng nhau

Do đó, tích phân mong muốn rút gọn thành trường hợp tích phân số hữu tỉ

. (7)

Tuy nhiên, trong một số trường hợp, việc thay thế thuận tiện hơn:

(1)
sau đó

;

(2)
sau đó

;

(3)
sau đó

.

Sự thay thế 1,2 dẫn đến tích phân có chứa gốc và do đó không phù hợp. Đối với phép thay thế 3, chúng ta đi đến một tích phân đơn giản hơn (7) và dễ dàng rút gọn thành một bảng:

Nhiệm vụ 4.5. Tính diện tích của một hình được giới hạn bởi các đường:

một)

Dung dịch. một). Xem xét một chức năng phụ trợ trên phân đoạn
Diện tích được tính theo công thức

Khám phá
Hiển nhiên là
Trong chừng mực

thật dễ dàng để kiểm tra điều đó
đạt đến điểm
tối thiểu cục bộ, hơn nữa,
Do đó, giá trị nhỏ nhất
trên, bằng
, tích cực, và do đó,
Chúng ta có

Tính tích phân theo từng bộ phận, ta thấy

b). Đây
trên
Chúng ta có

, và do đó
thay đổi dấu hiệu. Tìm khoảng thời gian mà nó là dương hoặc âm. Tìm nghiệm nguyên của phương trình
tìm giá trị
Đó là lý do tại sao
tại
và
tại
Diện tích yêu cầu bằng:

Ta tính tích phân bất định

Bài toán 4.6. Tính diện tích giới hạn bởi một đường cong trong hệ tọa độ cực.

Dung dịch. Đường cong được xác định cho các giá trị đó từ khoảng thời gian
(hoặc
) theo điều kiện
Bất bình đẳng
có giải pháp
hoặc

. (8)

Các vùng (8) thuộc khoảng
ở các giá trị
những thứ kia.

Diện tích được tính theo công thức

Tính tích phân không xác định

Bài toán 4.7. Tính tích phân không thích hợp
hoặc chứng minh sự phân kỳ của nó.

Dung dịch. Theo định nghĩa của một tích phân không đúng với một giới hạn vô hạn, chúng ta có

Vì căn của tam thức ở mẫu số sẽ là

sau đó

Sử dụng phương pháp hệ số bất định, chúng ta thấy

, ở đâu

Vì thế

Giá trị của tích phân không đúng là

Bài toán 4.8. Tính khối lượng của một tấm không đồng nhất được giới hạn bởi các đường đã cho và có mật độ bề mặt

Dung dịch. Khung cảnh của khu vực được thể hiện trong hình.

Trọng lượng tấm
có thể được viết bằng cách sử dụng tích phân kép

Chúng ta giảm tích phân kép thành tích phân lặp

Bài toán 4.9. Sử dụng tích phân ba để tính thể tích của vùng V giới hạn bởi các bề mặt đã chỉ ra: V: y = 8-2x 2, z = 0, y = 0, x = 0, z = 2x + y.

Dung dịch. Vùng V được thể hiện trong hình, trong đó các số 1, 2 lần lượt là hình trụ parabol y = 8-2x 2 và mặt phẳng z = 2x + y; phần còn lại của các phương trình tương ứng với các mặt phẳng tọa độ.

1 4 -

Âm lượng vùng bằng tích phân ba được viết

Chúng tôi mang tích phân đến lặp lại

Xuyên qua
các điểm đính được gắn nhãn
(xem Hình.) được tính toán từ các phương trình của mặt phẳng
và máy bay
, I E.
,
. Xuyên qua khu vực của máy bay được đánh dấu
trên đó khu vực được chiếu . Do đó, khi giảm tích phân kép trên vùng sắp xếp lại
điểm
tính toán từ phương trình
và phương trình của một đường là giao của một mặt trụ
và máy bay
những thứ kia. phương trình
Âm lượng mong muốn bằng

Bài toán 4.10. Hãy tính: a) điện tích của vật dẫn nằm dọc theo đường cong , với mật độ
sử dụng tích phân đường cong của loại thứ nhất; b) công việc của lực lượng
dọc theo quỹ đạo L từ t. Mộtđến t. B sử dụng tích phân đường cong của loại thứ hai.

vòng tròn một phần tư
giữa A (3, -3), B (5, -1). (2) - cung của một parabol
từ NHƯNG(0,1) đến TẠI(1,-1).

Quyết định.một). Thù lao q một vật dẫn có mật độ điện tích
tính theo công thức

(một). Thật thuận tiện để đặt vòng tròn ở dạng tham số:

âm mưu L khớp với giá trị tham số
ở đâu

khi đó tích phân Đường cong được biểu thị theo một

nơi dấu trên được chọn khi
và thấp hơn - ở

Trong nhiệm vụ này

(2). Đối với cung của parabol L, sẽ thuận tiện hơn khi sử dụng một trường hợp cụ thể của công thức cho

Vì
chúng ta có

Sử dụng thay thế

b). Bắt buộc làm việc trường với các thành phần
dọc theo quỹ đạo AB sẽ được viết

(một). Đối với một phần tư hình tròn, chúng ta giảm tích phân thành tích phân được xác định bởi công thức

(2). Đối với cung của một parabol

Bài toán 4.11. Tính tốc độ dòng chảy của chất lỏng có trường vận tốc chảy trong một đơn vị thời gian qua một bộ phận máy bay nằm trong octant đầu tiên. đơn vị bình thường hướng ra bên ngoài nguồn gốc.

Quyết định. Tốc độ dòng chảy mong muốn được đưa ra bởi công thức

Đơn vị bình thường của máy bay có các thành phần

Tích phân bề mặt có thể được biểu thị dưới dạng tích phân kép

phương trình bề mặt ở đâu được viết rõ ràng:

Vùng đất
là một phép chiếu đến máy bay
và được giới hạn bởi các dòng

Đưa các hàm đã cho vào tích phân kép, ta thấy

Cái sau có thể được viết thông qua tích phân lặp lại

Các nội dung


	Các chương trình tiêu biểu của khóa học “Toán học cao hơn”. Văn học được đề xuất. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
		Chương trình của khóa học "Toán học cao cấp" cho kỹ thuật
		Chương trình của khóa học "Toán học cao cấp" cho kinh tế đặc sản. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	Các bài kiểm tra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
		Quy tắc thiết kế công việc kiểm soát. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
		Lựa chọn phương án kiểm tra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
		Nhiệm vụ của điều khiển hoạt động. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	Kiểm soát công việc số 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	Kiểm soát công việc số 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	Kiểm soát công việc số 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	Kiểm soát công việc số 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
	Ví dụ về giải quyết các vấn đề của công việc kiểm soát. . . . . . . . . . .
		Giải pháp của một biến thể điển hình của công việc kiểm soát số 1. . . . . . . . . . . . .
		Quyết định của một biến thể điển hình của công việc kiểm soát số 2. . . . . . . . . . . . .
		Giải pháp của một biến thể điển hình của công việc kiểm soát số 3. . . . . . . . . . . . .
		Giải pháp của một biến thể điển hình của công việc kiểm soát số 4. . . . . . . . . . . . .

Văn bản của tác phẩm được đặt không có hình ảnh và công thức.
Phiên bản đầy đủ của tác phẩm có sẵn trong tab "Tệp Công việc" ở định dạng PDF

Giới thiệu

Chủ đề này có liên quan, vì hàng ngày mọi người giải quyết các vấn đề khác nhau, trong đó họ sử dụng các phương pháp giải khác nhau, nhưng có những nhiệm vụ không thể sử dụng phương pháp quy nạp toán học, và trong những trường hợp như vậy, kiến thức trong lĩnh vực này sẽ rất hữu ích.

Tôi chọn đề tài này để nghiên cứu vì trong chương trình giảng dạy ở trường phương pháp quy nạp toán học được dành ít thời gian, học sinh học thông tin hời hợt sẽ giúp chỉ nắm được khái niệm chung về \ u200b \ u200 phương pháp này, nhưng tự phát triển sẽ được yêu cầu nghiên cứu sâu về lý thuyết này. Sẽ thực sự hữu ích khi tìm hiểu thêm về chủ đề này, vì nó mở rộng tầm nhìn của một người và giúp giải quyết các vấn đề phức tạp.

Khách quan:

Làm quen với phương pháp quy nạp toán học, hệ thống hóa kiến thức về chủ đề này và vận dụng vào giải toán và chứng minh định lý, chứng minh và chỉ rõ ý nghĩa thực tiễn của phương pháp quy nạp toán học như một yếu tố cần thiết để giải toán.

Nhiệm vụ công việc:

Phân tích tài liệu và tóm tắt kiến thức về chủ đề này.

Hiểu các nguyên tắc của quy nạp toán học.

Khám phá ứng dụng của phương pháp quy nạp toán học vào việc giải quyết vấn đề.

Xây dựng kết luận và kết luận về công việc đã thực hiện.

Cơ quan chính của nghiên cứu

Lịch sử nguồn gốc:

Chỉ đến cuối thế kỷ 19, tiêu chuẩn của các yêu cầu về tính chặt chẽ lôgic mới phát triển, mà tiêu chuẩn này vẫn chiếm ưu thế trong công việc thực tế của các nhà toán học về sự phát triển của các lý thuyết toán học riêng lẻ.

Quy nạp là một thủ tục nhận thức bằng cách suy ra một tuyên bố khái quát chúng từ việc so sánh các dữ kiện có sẵn.

Trong toán học, vai trò của quy nạp phần lớn là nó làm nền tảng cho các tiên đề đã chọn. Sau một thời gian dài thực hành cho thấy rằng một đường thẳng luôn ngắn hơn đường cong hoặc đường gãy, người ta tự nhiên hình thành tiên đề: đối với ba điểm A, B và C bất kỳ, bất đẳng thức được thỏa mãn.

Nhận thức về phương pháp quy nạp toán học như một phương pháp quan trọng riêng biệt có từ thời Blaise Pascal và Gersonides, mặc dù một số trường hợp áp dụng được Proclus và Euclid tìm thấy ngay cả trong thời cổ đại. Tên hiện đại của phương pháp này được de Morgan đưa ra vào năm 1838.

Phương pháp quy nạp toán học có thể được so sánh với sự tiến bộ: chúng ta bắt đầu từ mức thấp nhất, kết quả của tư duy logic là chúng ta đạt đến mức cao nhất. Con người luôn phấn đấu cho sự tiến bộ, cho khả năng phát triển tư tưởng của mình một cách hợp lý, điều đó có nghĩa là bản thân thiên nhiên đã định sẵn cho anh ta tư duy theo cảm tính.

Cảm ứng và khấu trừ

Người ta biết rằng có cả câu nói cụ thể và tổng quát, và hai thuật ngữ đã cho dựa trên sự chuyển đổi từ điều khoản này sang điều khoản khác.

Khấu trừ (từ vĩ độ. Suy ra - dẫn xuất) - sự chuyển đổi trong quá trình nhận thức từ chung kiến thức để riêng và Độc thân. Trong suy diễn, kiến thức chung đóng vai trò là điểm khởi đầu của lý luận, và kiến thức chung này được coi là "sẵn sàng", đang tồn tại. Tính đặc biệt của phép suy luận là sự đúng của các tiền đề của nó đảm bảo sự đúng của kết luận. Vì vậy, suy luận có sức thuyết phục rất lớn và được sử dụng rộng rãi không chỉ để chứng minh các định lý trong toán học mà còn ở bất cứ nơi nào cần đến kiến thức đáng tin cậy.

Cảm ứng (từ tiếng Latinh inductio - hướng dẫn) là một bước chuyển tiếp trong quá trình nhận thức từ riêng kiến thức để chung Nói cách khác, nó là một phương pháp nghiên cứu, kiến thức, gắn liền với việc khái quát hóa các kết quả quan sát và thí nghiệm. Một đặc điểm của quy nạp là bản chất xác suất của nó, tức là với sự thật của tiền đề ban đầu, kết luận của quy nạp chỉ có thể đúng, và trong kết quả cuối cùng, nó có thể vừa đúng vừa sai.

Cảm ứng hoàn toàn và không đầy đủ

Suy luận quy nạp là một hình thức tư duy trừu tượng, trong đó tư duy phát triển từ kiến thức có mức độ tổng quát thấp hơn đến kiến thức có mức độ tổng quát cao hơn và kết luận xuất phát từ tiền đề chủ yếu là xác suất.

Trong quá trình nghiên cứu, tôi được biết cảm ứng được chia thành hai loại: hoàn toàn và không hoàn toàn.

Một quy nạp hoàn chỉnh được gọi là một kết luận trong đó một kết luận chung về một lớp đối tượng được thực hiện trên cơ sở nghiên cứu tất cả các đối tượng của lớp này.

Ví dụ, yêu cầu thiết lập rằng mọi số chẵn tự nhiên n trong 6≤ n≤ 18 đều có thể được biểu diễn dưới dạng tổng của hai số nguyên tố. Để làm điều này, chúng tôi lấy tất cả các số như vậy và viết ra các mở rộng tương ứng:

6=3+3; 8=5+3; 10=7+3; 12=7+5;14=7+7; 16=11+5; 18=13+5;

Những bằng nhau này cho thấy rằng mỗi số mà chúng ta quan tâm thực sự được biểu diễn dưới dạng tổng của hai số hạng đơn giản.

Xét ví dụ sau: dãy yn = n 2 + n + 17; Hãy viết ra bốn số hạng đầu tiên: y 1 = 19; y2 = 23; y3 = 29; y4 = 37; Sau đó, chúng ta có thể giả định rằng toàn bộ dãy gồm các số nguyên tố. Nhưng điều này không phải như vậy, hãy lấy y 16 = 16 2 + 16 + 17 = 16 (16 + 1) + 17 = 17 * 17. Đây là một số tổng hợp, có nghĩa là giả định của chúng ta là sai, do đó, quy nạp không đầy đủ không dẫn đến kết luận hoàn toàn đáng tin cậy, nhưng cho phép chúng ta hình thành một giả thuyết, sau này cần phải có bằng chứng toán học hoặc bác bỏ.

Phương pháp quy nạp toán học

Quy nạp hoàn toàn chỉ có ứng dụng hạn chế trong toán học. Nhiều phát biểu toán học thú vị đề cập đến vô số trường hợp đặc biệt và chúng ta không thể kiểm tra tất cả các trường hợp này. Nhưng làm thế nào để kiểm tra vô số trường hợp? Phương pháp này được đề xuất bởi B. Pascal và J. Bernoulli, đây là một phương pháp quy nạp toán học, dựa trên nguyên tắc quy nạp toán học.

Nếu câu A (n), phụ thuộc vào số tự nhiên n, đúng với n = 1, và từ thực tế là nó đúng với n = k (với k là số tự nhiên bất kỳ), thì nó cũng đúng với đúng với số tiếp theo n = k +1, thì Giả thiết A (n) đúng với bất kỳ số tự nhiên n nào.

Nếu câu A (n) đúng với n = p và nếu A (k)  A (k + 1) với k> p bất kỳ thì câu A (n) đúng với n> p bất kỳ.

Thuật toán (nó bao gồm bốn giai đoạn):

1. cơ sở(chúng tôi chứng minh rằng khẳng định đang được chứng minh là đúng đối với một số trường hợp đặc biệt đơn giản nhất ( P = 1));

2. suy đoán(chúng tôi giả định rằng khẳng định được chứng minh lần đầu tiên đến các trường hợp); 3 .bước chân(theo giả định này, chúng tôi chứng minh điều khẳng định cho trường hợp P = đến + 1); 4. đầu ra (y tuyên bố đúng cho mọi trường hợp, nghĩa là, cho tất cả P) .

Lưu ý rằng không phải tất cả các bài toán đều có thể giải được bằng phương pháp quy nạp toán học mà chỉ những bài toán được tham số hóa bởi một biến số nào đó. Biến này được gọi là biến cảm ứng.

Ứng dụng của phương pháp quy nạp toán học

Hãy áp dụng tất cả lý thuyết này vào thực tế và tìm hiểu xem phương pháp này được sử dụng trong những vấn đề nào.

Các bài toán chứng minh bất đẳng thức.

ví dụ 1 Chứng minh bất đẳng thức Bernoulli (1 + x) n≥1 + n x, x> -1, n € N.

1) Với n = 1, bất đẳng thức đúng, vì 1 + х≥1 + х

2) Giả sử rằng bất đẳng thức đúng với một số n = k, tức là

(1 + x) k ≥1 + k x.

Nhân cả hai vế của bất đẳng thức với một số dương 1 + x, ta được

(1 + x) k + 1 ≥ (1 + kx) (1+ x) = 1 + (k + 1) x + kx 2

Xét rằng kx 2 ≥0, chúng ta đi đến bất đẳng thức

(1 + x) k + 1 ≥1 + (k + 1) x.

Do đó, giả thiết rằng bất đẳng thức Bernoulli đúng với n = k ngụ ý rằng nó đúng với n = k + 1. Dựa trên phương pháp quy nạp toán học, có thể lập luận rằng bất đẳng thức Bernoulli có giá trị với n ∈ N bất kỳ.

Ví dụ 2 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n> 1 ,.

Hãy chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.

Biểu thị vế trái của bất đẳng thức bằng.

1), do đó, với n = 2 thì bất đẳng thức đúng.

2) Để cho một số k. Hãy để chúng tôi chứng minh điều đó và Chúng ta có .

So sánh và, chúng tôi có, tức là .

Với bất kỳ số nguyên dương k nào, vế phải của đẳng thức cuối cùng là dương. Cho nên. Nhưng, do đó, và. Chúng tôi đã chứng minh tính đúng đắn của bất đẳng thức đối với n = k + 1, do đó, bằng phương pháp quy nạp toán học, bất đẳng thức đúng với bất kỳ n> 1 tự nhiên nào.

Các vấn đề đối với việc chứng minh danh tính.

ví dụ 1 Chứng minh rằng với n tự nhiên bất kỳ thì đẳng thức là đúng:

1 3 +2 3 +3 3 +… + n 3 = n 2 (n + 1) 2/4.

Cho n = 1 thì X 1 = 1 3 = 1 2 (1 + 1) 2/4 = 1.

Chúng ta thấy rằng với n = 1 thì phát biểu đúng.

2) Giả sử đẳng thức đúng với n = kX k = k 2 (k + 1) 2/4.

3) Hãy để chúng tôi chứng minh sự đúng của phát biểu này với n = k + 1, tức là X k + 1 = (k + 1) 2 (k + 2) 2/4. X k + 1 = 1 3 +2 3 +… + k 3 + (k + 1) 3 = k 2 (k + 1) 2/4 + (k + 1) 3 = (k 2 (k + 1) 2 +4 (k + 1) 3) / 4 = (k + 1) 2 (k 2 + 4k + 4) / 4 = (k + 1) 2 (k + 2) 2/4.

Từ chứng minh trên, rõ ràng mệnh đề đúng với n = k + 1, do đó, đẳng thức đúng với n tự nhiên bất kỳ.

Ví dụ 2 Chứng minh rằng với n tự nhiên bất kỳ thì đẳng thức

1) Kiểm tra xem nhận dạng này có đúng với n = 1. .; - bên phải.

2) Để nhận dạng cũng đúng với n = k, tức là

3) Hãy chứng minh rằng đồng nhất này cũng đúng với n = k + 1, tức là;

Tại vì đẳng thức đúng với n = k và n = k + 1, thì đẳng thức đúng với n tự nhiên bất kỳ.

Các nhiệm vụ tổng kết.

ví dụ 1 Chứng minh rằng 1 + 3 + 5 +… + (2n-1) = n 2.

Giải: 1) Ta có n = 1 = 1 2. Do đó, câu lệnh đúng với n = 1, tức là A (1) là đúng.

2) Hãy chứng minh rằng А (k)  A (k + 1).

Gọi k là số tự nhiên bất kỳ và phát biểu đúng với n = k, tức là 1 + 3 + 5 +… + (2k-1) = k 2.

Hãy chứng minh rằng khi đó khẳng định cũng đúng với số tự nhiên tiếp theo n = k + 1, tức là Cái gì

1 + 3 + 5 +… + (2k + 1) = (k + 1) 2.

Thật vậy, 1 + 3 + 5 +… + (2k-1) + (2k + 1) = k 2 + 2k + 1 = (k + 1) 2.

Vậy A (k)  A (k + 1). Dựa trên nguyên lý quy nạp toán học, chúng ta kết luận rằng giả thiết A (n) đúng với n N bất kỳ.

Ví dụ 2 Chứng minh công thức, n là số tự nhiên.

Giải: Khi n = 1, cả hai phần của đẳng thức biến thành một và do đó, điều kiện đầu tiên của nguyên lý quy nạp toán học được thỏa mãn.

Giả sử rằng công thức đúng với n = k, tức là .

Hãy thêm vào cả hai mặt của sự bình đẳng này và biến đổi mặt phải. Sau đó, chúng tôi nhận được

Do đó, từ thực tế là công thức đúng với n = k, theo sau là công thức đúng với n = k + 1, thì phát biểu này đúng với n tự nhiên bất kỳ.

nhiệm vụ chia hết.

ví dụ 1 Chứng minh rằng (11 n + 2 +12 2n + 1) chia hết cho 133 không dư.

Quyết định: 1) Cho n = 1 thì

11 3 +12 3 \ u003d (11 + 12) (11 2 -132 + 12 2) \ u003d 23 × 133.

(23 × 133) chia hết cho 133 mà không có dư nên với n = 1, mệnh đề đúng;

2) Giả sử rằng (11 k + 2 +12 2k + 1) chia hết cho 133 mà không có dư.

3) Hãy để chúng tôi chứng minh rằng trong trường hợp này

(11 k + 3 +12 2k + 3) chia hết cho 133 mà không có dư. Thật vậy, 11 k + 3 +12 2n + 3 = 11 × 11 k + 2 +

12 2 × 12 2k + 1 = 11 × 11 k + 2 + (11 + 133) × 12 2k + 1 = 11 (11 k + 2 +12 2k + 1) + 133 × 12 2k + 1.

Tổng kết quả chia hết cho 133 mà không có dư, vì số hạng đầu tiên của nó chia hết cho 133 mà không có dư theo giả thiết, và thừa số thứ hai là 133.

Vì vậy, A (k) → A (k + 1), khi đó dựa trên phương pháp quy nạp toán học, phát biểu đúng với n tự nhiên bất kỳ.

Ví dụ 2 Chứng minh rằng 3 3n-1 +2 4n-3 với số nguyên dương n tùy ý chia hết cho 11.

Giải: 1) Cho n = 1 thì X 1 = 3 3-1 +2 4-3 = 3 2 +2 1 = 11 chia hết cho 11 mà không có dư. Do đó, với n = 1, câu lệnh là đúng.

2) Giả sử rằng với n = k

X k \ u003d 3 3k-1 +2 4k-3 chia hết cho 11 mà không có dư.

3) Hãy chứng minh rằng mệnh đề đúng với n = k + 1.

X k + 1 = 3 3 (k + 1) -1 +2 4 (k + 1) -3 = 3 3k + 2 +2 4k + 1 = 3 3 * 3 3k-1 +2 4 * 2 4k-3 =

27 3 3k-1 + 16 * 2 4k-3 = (16 + 11) * 3 3k-1 + 16 * 2 4k-3 = 16 * 3 3k-1 +

11 * 3 3k-1 + 16 * 2 4k-3 = 16 (3 3k-1 +2 4k-3) + 11 * 3 3k-1.

Nhiệm vụ từ cuộc sống thực.

ví dụ 1 Chứng minh rằng tổng Sn của các góc trong của một đa giác lồi bất kỳ là ( P- 2) π, ở đâu P là số cạnh của đa giác này: Sn = ( P- 2) π (1).

Tuyên bố này không có ý nghĩa đối với tất cả tự nhiên P, nhưng chỉ dành cho P > 3, vì số góc nhỏ nhất trong một tam giác là 3.

1) Khi nào P= 3 câu lệnh của chúng ta có dạng: S 3 = π. Nhưng tổng các góc trong của bất kỳ tam giác nào thực sự là π. Do đó, khi P= 3 công thức (1) là đúng.

2) Cho công thức này đúng với n = k, tức là, S k = (k- 2) π, ở đâu k > 3. Hãy chứng minh rằng trong trường hợp này công thức cũng đúng: S k + 1 = (k- 1) π.

Cho A 1 A 2 ... A k Một k + 1 - lồi tùy ý ( k+ 1) -gon (Hình 338).

Bằng cách nối các điểm A 1 và A k , chúng tôi nhận được lồi k-gon A 1 A 2 ... A k - 1A k . Rõ ràng, tổng các góc ( k+ 1) -gon A 1 A 2 ... A k Một k + 1 bằng tổng các góc k-gon A 1 A 2 ... A k cộng với tổng các góc của tam giác A 1 A k Một k + một . Nhưng tổng các góc k-gon A 1 A 2 ... A k được giả định là ( k- 2) π và tổng các góc của tam giác A 1 A k Một k + 1 bằng số pi. Vì thế

S k + 1 = S k + π = ( k- 2) π + π = ( k- 1) π.

Vì vậy, cả hai điều kiện của nguyên lý quy nạp toán học đều được thỏa mãn, và do đó công thức (1) đúng với bất kỳ P > 3.

Ví dụ 2 Có một cầu thang, tất cả các bậc của chúng đều giống nhau. Nó được yêu cầu chỉ ra số lượng vị trí tối thiểu sẽ đảm bảo khả năng "leo lên" bất kỳ bước nào theo số lượng.

Mọi người đều đồng ý rằng cần phải có một điều kiện. Chúng ta phải có thể leo lên bước đầu tiên. Tiếp theo, họ phải có khả năng leo từ bậc thang đầu tiên đến bậc thang thứ hai. Sau đó trong thứ hai - vào thứ ba, v.v. đến bước thứ n. Tất nhiên, trong tổng thể, các câu lệnh "n" đảm bảo nm rằng chúng ta sẽ có thể đi đến bước thứ n.

Bây giờ chúng ta hãy nhìn vào vị trí 2, 3,…., N và so sánh chúng với nhau. Dễ dàng nhận thấy rằng chúng đều có cấu trúc giống nhau: nếu chúng ta đã đến bậc k thì chúng ta có thể leo lên bậc (k + 1). Từ đây, tiên đề như vậy về tính hợp lệ của các câu lệnh phụ thuộc vào "n" trở thành tự nhiên: nếu câu A (n), trong đó n là số tự nhiên, thỏa mãn với n = 1 và từ đó nó được thỏa mãn. với n = k (với k là số tự nhiên bất kỳ), theo đó nó cũng đúng với n = k + 1, khi đó Giả thiết A (n) đúng với bất kỳ số tự nhiên n nào.

ruột thừa

Các nhiệm vụ sử dụng phương pháp quy nạp toán học khi vào các trường đại học.

Lưu ý rằng khi vào các cơ sở giáo dục đại học, cũng có những nhiệm vụ được giải quyết bằng phương pháp này. Hãy xem xét chúng trên các ví dụ cụ thể.

ví dụ 1 Chứng minh rằng bất kỳ tự nhiên P bình đẳng công bằng

1) Khi nào n = 1 chúng tôi nhận được bình đẳng chính xác Sin.

2) Đã đưa ra giả thiết quy nạp rằng với n = kđẳng thức là đúng, coi tổng ở bên trái của đẳng thức, với n = k + 1;

3) Sử dụng các công thức rút gọn, chúng ta biến đổi biểu thức:

Sau đó, nhờ phương pháp quy nạp toán học, đẳng thức đúng với n tự nhiên bất kỳ.

Ví dụ 2 Chứng minh rằng với n tự nhiên bất kỳ, giá trị của biểu thức 4n + 15n-1 là bội của 9.

1) Với n = 1: 2 2 + 15-1 = 18 - bội số của 9 (vì 18: 9 = 2)

2) Hãy để cho sự bình đẳng được duy trì cho n = k: 4k + 15k-1 là bội số của 9.

3) Hãy để chúng tôi chứng minh rằng sự bình đẳng là đúng cho số tiếp theo n = k + 1

4k + 1 +15 (k + 1) -1 = 4k + 1 + 15k + 15-1 = 4.4k + 60k-4-45k + 18 = 4 (4k + 15k-1) -9 (5k-2)

4 (4k + 15k-1) - bội số của 9;

9 (5k-2) - bội số của 9;

Do đó, toàn bộ biểu thức 4 (4 k + 15k-1) -9 (5k-2) là bội số của 9, điều này đã được chứng minh.

Ví dụ 3 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên Pđiều kiện được đáp ứng: 1 ∙ 2 ∙ 3 + 2 ∙ 3 ∙ 4 +… + n (n + 1) (n + 2) =.

1) Kiểm tra xem công thức này có đúng với n = 1: Bên trái = 1∙2∙3=6.

Phần bên phải = . 6 = 6; đúng tại n = 1.

2) Giả sử rằng công thức này đúng với n = k:

1 ∙ 2 ∙ 3 + 2 ∙ 3 ∙ 4 +… + k (k + 1) (k + 2) =. S k =.

3) Hãy chứng minh rằng công thức này đúng với n = k + 1:

1 ∙ 2 ∙ 3 + 2 ∙ 3 ∙ 4 +… + (k + 1) (k + 2) (k + 3) =.

S k + 1 =.

Bằng chứng:

Vì vậy, điều kiện này đúng trong hai trường hợp và được chứng minh rằng nó đúng với n = k + 1, do đó nó đúng với bất kỳ số tự nhiên nào P.

Sự kết luận

Tóm lại, trong quá trình nghiên cứu, tôi tìm hiểu quy nạp là gì, đầy đủ hay không đầy đủ, làm quen với phương pháp quy nạp toán học dựa trên nguyên lý quy nạp toán học, đã xem xét nhiều bài toán sử dụng phương pháp này.

Tôi cũng học được rất nhiều thông tin mới, khác với những thông tin có trong chương trình học, trong khi nghiên cứu phương pháp quy nạp toán học, tôi đã sử dụng nhiều tài liệu khác nhau, các nguồn Internet và cũng tham khảo ý kiến của một giáo viên.

Sự kết luận: Với kiến thức khái quát và hệ thống hóa về quy nạp toán học, tôi càng tin rằng thực tế cần có kiến thức về chủ đề này. Một phẩm chất tích cực của phương pháp quy nạp toán học là ứng dụng rộng rãi của nó trong việc giải quyết các vấn đề: trong lĩnh vực đại số, hình học và toán học thực tế. Ngoài ra, kiến thức này làm tăng hứng thú đối với toán học như một môn khoa học.

Tôi chắc chắn rằng những kỹ năng có được trong quá trình làm việc sẽ giúp ích cho tôi trong tương lai.

Thư mục

Sominsky I.S. Phương pháp quy nạp toán học. Bài giảng phổ biến về toán học, số 3-M.: Nauka, 1974.

L. I. Golovina, I. M. Yaglom. Cảm ứng trong hình học. - Fizmatgiz, 1961. - T. 21. - 100 tr. - (Bài giảng phổ thông về toán học).

Dorofeev G.V., Potapov M.K., Rozov N.Kh. Cẩm nang toán học dành cho các ứng viên dự tuyển vào các trường đại học (Các câu hỏi chọn lọc của toán tiểu học) - Ed. 5, chỉnh sửa, 1976 - 638s.

A. Thần. Quy nạp toán học. - MTsNMO, 2004. - 36 tr.

M.L. Galitsky, A.M. Goldman, L.I. Zvavich Tuyển tập các bài toán trong đại số: sách giáo khoa cho 8-9 ô. với một chiều sâu nghiên cứu toán học lần thứ 7. - M .: Giáo dục, 2001. - 271 tr.

Yu.N. - M .: Pro-sve-shche-nie, 2002.

Wikipedia là bách khoa toàn thư miễn phí.