Để đầy đủ, chúng tôi thảo luận ngắn gọn bên dưới các khái niệm về phổ và mật độ phổ. Việc áp dụng các khái niệm quan trọng này được mô tả chi tiết hơn trong . Chúng tôi không sử dụng chúng để phân tích chuỗi thời gian trong cuốn sách này, vì vậy phần này có thể được bỏ qua khi đọc lần đầu.

Phổ mẫu. Khi xác định biểu đồ (2.2.5), giả định rằng các tần số là các hài của tần số cơ bản. Bằng cách giới thiệu phổ, chúng tôi nới lỏng giả định này và cho phép tần số thay đổi liên tục trong khoảng 0-0,5 Hz. Định nghĩa của một biểu đồ có thể được sửa đổi như sau:

, , (2.2.7)

trong đó được gọi là phổ mẫu. Giống như biểu đồ chu kỳ, nó có thể được sử dụng để phát hiện và ước tính biên độ của thành phần hình sin có tần số chưa biết ẩn trong tiếng ồn, và thực sự nó thậm chí còn thuận tiện hơn, trừ khi tần số được biết là có liên quan hài hòa với chuỗi dài, tức là . Hơn nữa, nó là điểm khởi đầu cho lý thuyết Phân tích phổ, sử dụng tỷ lệ quan trọng được đưa ra trong Phụ lục A2.1. Mối quan hệ này thiết lập mối liên hệ giữa phân tích lấy mẫu phổ và ước tính hàm tự hiệp phương sai:

. (2.2.8)

Vì vậy, phổ mẫu là biến đổi Fourier cosine của hàm tự hiệp phương sai mẫu.

quang phổ. Biểu đồ chu kỳ và phổ mẫu là những khái niệm thuận tiện để phân tích chuỗi thời gian được hình thành bởi hỗn hợp các hình sin và cosin với tần số không đổi ẩn trong tiếng ồn. Tuy nhiên, chuỗi thời gian cố định của loại được mô tả trong Sec. 2.1 được đặc trưng bởi sự thay đổi ngẫu nhiên về tần số, biên độ và pha. Đối với các chuỗi như vậy, phổ mẫu dao động mạnh và không cho phép bất kỳ giải thích hợp lý nào.

Tuy nhiên, giả sử rằng phổ mẫu đã được tính toán cho một chuỗi thời gian của các quan sát là sự thể hiện của một quá trình bình thường đứng yên. Như đã đề cập ở trên, một quy trình như vậy không có bất kỳ thành phần hình sin hoặc cosin xác định nào, nhưng chúng ta có thể chính thức thực hiện phân tích Fourier và thu được các giá trị của , đối với bất kỳ tần số nào. Nếu các phép lặp của các quan sát được tạo ra bởi một quá trình ngẫu nhiên, chúng ta có thể thu thập một tập hợp các giá trị và . Sau đó, chúng ta có thể tìm thấy giá trị trung bình qua các lần lặp lại của độ dài, cụ thể là

. (2.2.9)

Đối với các giá trị lớn, có thể chỉ ra (ví dụ: xem ) rằng giá trị trung bình của tự động hiệp phương sai trong các lần thực hiện lặp đi lặp lại có xu hướng về phương sai tự động lý thuyết, tức là

Chuyển đến giới hạn trong (2.2.9) cho , chúng tôi xác định phổ công suất là

, . (2.2.10)

Lưu ý rằng kể từ khi

thì để phổ hội tụ, nó phải giảm cùng với sự tăng trưởng nhanh đến mức chuỗi (2.2.11) hội tụ. Vì phổ công suất là biến đổi Fourier cosin của hàm tự hiệp phương sai, nên việc biết hàm tự hiệp phương sai về mặt toán học tương đương với việc biết phổ công suất và ngược lại. Trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ gọi phổ công suất đơn giản là phổ.

Tích phân (2.2.10) trong khoảng từ 0 đến 1/2, ta tìm được phương sai của quá trình

. (2.2.12)

Do đó, giống như biểu đồ tuần hoàn cho thấy mức độ phân tán (2.2.6) của một chuỗi bao gồm hỗn hợp các hình sin và cosin được phân phối giữa các thành phần hài khác nhau, phổ cho thấy mức độ phân tán của một quá trình ngẫu nhiên được phân phối trên một dải tần số liên tục . Có thể được hiểu là một giá trị gần đúng của sự phân tán của quá trình trong dải tần số từ đến .

Phổ chuẩn hóa. Đôi khi sẽ thuận tiện hơn khi xác định phổ (2.2.10) bằng cách sử dụng tự tương quan hơn là tự hiệp phương sai. chức năng kết quả

, (2.2.13). Tuy nhiên, có thể chỉ ra (xem ) rằng phổ mẫu của chuỗi thời gian cố định dao động mạnh xung quanh phổ lý thuyết. Lời giải thích trực quan cho thực tế này là phổ lấy mẫu tương ứng với việc sử dụng một khoảng quá hẹp trong miền tần số. Điều này tương tự với việc sử dụng khoảng cách nhóm quá hẹp cho biểu đồ khi ước tính phân phối xác suất bình thường bằng cách sử dụng ước tính được sửa đổi hoặc làm mịn.

, (2.2.14)

trong đó - các trọng số được chọn đặc biệt, được gọi là cửa sổ tương quan, bạn có thể tăng "băng thông" của ước tính và nhận được ước tính phổ được làm mịn.

Trên hình. 2.8 hiển thị đánh giá mẫu phổ của dữ liệu lô sản phẩm. Có thể thấy độ phân tán của chuỗi tập trung chủ yếu ở tần số cao. Điều này là do các dao động nhanh của chuỗi ban đầu được hiển thị trong Hình. 2.1.

Để tín hiệu S(t) được đưa ra ở dạng không hàm tuần hoàn, và nó chỉ tồn tại trên khoảng ( t 1 ,t 2) (ví dụ - xung đơn). Hãy chọn một khoảng thời gian tùy ý t, bao gồm khoảng ( t 1 ,t 2) (xem Hình 1).

Hãy để chúng tôi biểu thị tín hiệu định kỳ thu được từ S(t), như ( t). Sau đó, chúng ta có thể viết chuỗi Fourier cho nó

Để đến chức năng S(t) theo sau trong biểu thức ( t) để khoảng thời gian đi đến vô cùng. Trong trường hợp này, số thành phần sóng hài có tần số w=N 2P/t sẽ lớn vô hạn, khoảng cách giữa chúng sẽ có xu hướng bằng 0 (đến một giá trị nhỏ vô hạn:

biên độ của các thành phần cũng sẽ là vô cùng nhỏ. Do đó, không thể nói về phổ của tín hiệu như vậy nữa, vì phổ trở nên liên tục.

Tích phân bên trong là một hàm của tần số. Nó được gọi là mật độ phổ của tín hiệu, hay đáp ứng tần số của tín hiệu và được ký hiệu là i.e.

Đối với tính tổng quát, các giới hạn của tích phân có thể được đặt là vô hạn, vì nó hoàn toàn giống nhau khi s(t) bằng không và tích phân bằng không.

Biểu thức cho mật độ phổ được gọi là biến đổi Fourier trực tiếp. Biến đổi Fourier nghịch đảo xác định hàm thời gian của tín hiệu từ mật độ phổ của nó

các phép biến đổi Fourier trực tiếp (*) và ngược (**) được gọi chung là một cặp biến đổi Fourier. Mô đun mật độ quang phổ

xác định đặc tính tần số biên độ (AFC) của tín hiệu và đối số của nó được gọi là đặc tính tần số pha (PFC) của tín hiệu. Đáp ứng tần số của tín hiệu là hàm chẵn và đáp ứng pha là hàm lẻ.

Ý nghĩa của mô-đun S(w) được định nghĩa là biên độ của tín hiệu (dòng điện hoặc điện áp) trên 1 Hz trong dải tần số hẹp vô hạn bao gồm tần số quan tâm w. Thứ nguyên của nó là [tín hiệu/tần số].

Phổ năng lượng của tín hiệu. Nếu hàm s(t) có mật độ công suất Fourier của tín hiệu ( mật độ phổ năng lượng tín hiệu) được xác định bởi biểu thức:

w(t) = s(t)s*(t) = |s(t)|2  |S()|2 = S()S*() = W(). (5.2.9)

Phổ công suất W() là một hàm chẵn không âm thực, thường được gọi là phổ năng lượng. Phổ công suất, dưới dạng bình phương của mô đun mật độ phổ tín hiệu, không chứa thông tin pha về các thành phần tần số của nó và do đó, không thể khôi phục tín hiệu từ phổ công suất. Điều này cũng có nghĩa là các tín hiệu có các đặc tính pha khác nhau có thể có phổ công suất giống nhau. Đặc biệt, sự dịch chuyển tín hiệu không ảnh hưởng đến phổ công suất của nó. Cái sau giúp có thể thu được biểu thức cho phổ năng lượng trực tiếp từ các biểu thức (5.2.7). Trong giới hạn, đối với các tín hiệu giống hệt nhau u(t) và v(t) với độ dịch chuyển t 0, phần ảo của phổ Wuv () có xu hướng về các giá trị bằng 0 và phần thực - với các giá trị của mô đun của quang phổ. Với sự trùng hợp hoàn toàn theo thời gian của các tín hiệu, chúng ta có:

những thứ kia. năng lượng tín hiệu bằng tích phân của mô đun bình phương phổ tần số của nó - tổng năng lượng của các thành phần tần số của nó và luôn là một giá trị thực.

Đối với một tín hiệu tùy ý s(t), đẳng thức

thường được gọi là đẳng thức Parseval (trong toán học - định lý Plancherel, trong vật lý - công thức Rayleigh). Sự bằng nhau là hiển nhiên, vì các biểu diễn tọa độ và tần số về cơ bản chỉ là các biểu diễn toán học khác nhau của cùng một tín hiệu. Tương tự như vậy đối với năng lượng tương tác của hai tín hiệu:

Từ đẳng thức Parseval suy ra tính bất biến của tích vô hướng của tín hiệu và chuẩn đối với biến đổi Fourier:

Trong một số vấn đề hoàn toàn thực tế về ghi và truyền tín hiệu, phổ năng lượng của tín hiệu có tầm quan trọng rất lớn. Tín hiệu định kỳ được dịch thành vùng quang phổ dưới dạng chuỗi Fourier. Chúng tôi viết một tín hiệu định kỳ với chu kỳ T ở dạng chuỗi Fourier ở dạng phức tạp:

Khoảng 0-T chứa một số nguyên chu kỳ của tất cả các tích phân của các số mũ và bằng 0, ngoại trừ số mũ tại k = -m, với tích phân là T. Theo đó, lũy thừa trung bình của một tín hiệu định kỳ bằng tổng bình phương của các mô-đun của các hệ số trong chuỗi Fourier của nó:

Phổ năng lượng của tín hiệu là sự phân bố năng lượng của các tín hiệu cơ bản tạo nên tín hiệu không hài trên trục tần số. Về mặt toán học, phổ năng lượng của tín hiệu bằng bình phương mô đun của hàm phổ:

Theo đó, phổ biên độ-tần số biểu thị tập hợp biên độ của các thành phần tín hiệu cơ bản trên trục tần số và phổ tần số pha biểu thị tập hợp các pha

Mô đun của hàm phổ thường được gọi là phổ biên độ, và đối số của nó là phổ pha.

Ngoài ra, có một phép biến đổi Fourier ngược cho phép bạn khôi phục tín hiệu ban đầu, biết chức năng phổ của nó:

Ví dụ, lấy một xung hình chữ nhật:

Một ví dụ khác về quang phổ:

Tần số Nyquist, định lý Kotelnikov .

tần số Nyquist - trong xử lý tín hiệu số, tần số bằng một nửa tần số lấy mẫu. Được đặt theo tên của Harry Nyquist. Theo định lý Kotelnikov, khi lấy mẫu tín hiệu tương tự, sẽ không mất thông tin chỉ khi phổ (mật độ phổ) (tần số cao nhất của tín hiệu hữu ích) của tín hiệu bằng hoặc thấp hơn tần số Nyquist. Mặt khác, khi khôi phục tín hiệu tương tự, sẽ có sự chồng chéo của các “đuôi” quang phổ (thay thế tần số, che tần số) và hình dạng của tín hiệu được khôi phục sẽ bị biến dạng. Nếu phổ tín hiệu không có thành phần nào trên tần số Nyquist, thì nó có thể được lấy mẫu (về mặt lý thuyết) và sau đó được tái tạo mà không bị biến dạng. Trên thực tế, việc "số hóa" tín hiệu (chuyển đổi tín hiệu tương tự thành tín hiệu số) có liên quan đến lượng tử hóa các mẫu - mỗi mẫu được ghi dưới dạng mã kỹ thuật số có độ sâu bit hữu hạn, do đó lỗi lượng tử hóa (làm tròn) được thêm vào các mẫu, trong một số điều kiện nhất định được coi là "nhiễu lượng tử hóa".

Các tín hiệu thực có thời lượng hữu hạn luôn có phổ rộng vô hạn, phổ này giảm ít nhiều nhanh khi tần số tăng. Do đó, việc lấy mẫu tín hiệu luôn dẫn đến mất thông tin (biến dạng dạng sóng trong quá trình lấy mẫu-phục hồi), bất kể tần số lấy mẫu có cao đến đâu. Ở tốc độ lấy mẫu đã chọn, có thể giảm độ méo bằng cách triệt tiêu (lấy mẫu trước) các thành phần phổ của tín hiệu tương tự trên tần số Nyquist, vốn yêu cầu bộ lọc bậc cao để tránh răng cưa. Việc triển khai thực tế một bộ lọc như vậy rất phức tạp, vì các đặc tính tần số biên độ của các bộ lọc không phải là hình chữ nhật, mà trơn tru và một dải tần số chuyển tiếp nhất định được hình thành giữa dải thông và dải triệt tiêu. Do đó, tốc độ lấy mẫu được chọn có giới hạn, ví dụ: trong đĩa CD âm thanh, tốc độ lấy mẫu là 44100 Hz được sử dụng, trong khi tần số cao nhất trong phổ tín hiệu âm thanh được coi là 20.000 Hz. Biên độ tần số Nyquist là 44100/2 - 20000 = 2050 Hz để tránh thay thế tần số khi sử dụng bộ lọc bậc thấp được triển khai.

Định lý Kotelnikov

Để khôi phục tín hiệu liên tục ban đầu từ tín hiệu được lấy mẫu có độ méo nhỏ (lỗi), cần phải chọn bước lấy mẫu một cách hợp lý. Do đó, khi chuyển đổi tín hiệu tương tự thành tín hiệu rời rạc, câu hỏi về kích thước của bước lấy mẫu nhất thiết phải đặt ra.. Bằng trực giác, không khó để hiểu ý tưởng sau đây. Nếu tín hiệu tương tự có phổ tần số thấp bị giới hạn bởi một số Fe tần số cao hơn (nghĩa là hàm u(t) có dạng một đường cong thay đổi trơn tru, không có sự thay đổi mạnh về biên độ), thì hàm này khó có thể thay đổi đáng kể một khoảng thời gian lấy mẫu nhỏ nhất định.biên độ. Rõ ràng là độ chính xác của việc khôi phục tín hiệu tương tự từ một chuỗi các mẫu của nó phụ thuộc vào giá trị của khoảng thời gian lấy mẫu. điểm. Tuy nhiên, với việc giảm khoảng thời gian lấy mẫu, độ phức tạp và khối lượng của thiết bị xử lý tăng lên đáng kể. Với khoảng thời gian lấy mẫu đủ lớn, xác suất méo hoặc mất thông tin tăng lên khi tín hiệu tương tự được khôi phục. Giá trị tối ưu của khoảng rời rạc hóa được thiết lập theo định lý Kotelnikov (các tên gọi khác là định lý lấy mẫu, định lý K. Shannon, định lý X. Nyquist: định lý lần đầu tiên được phát hiện trong toán học bởi O. Cauchy, sau đó được mô tả lại bởi D. Carson và R. Hartley), được ông chứng minh vào năm 1933 Định lý của V. A. Kotelnikov có một ý nghĩa lý thuyết và quan trọng. giá trị thực tiễn: Cho phép bạn lấy mẫu chính xác tín hiệu analog và xác định cách tốt nhất sự phục hồi của nó ở đầu nhận theo các giá trị tham chiếu.

Theo một trong những cách giải thích đơn giản và nổi tiếng nhất của định lý Kotelnikov, một tín hiệu tùy ý u(t), phổ của nó bị giới hạn bởi một tần số Fe nhất định, có thể được khôi phục hoàn toàn từ chuỗi các giá trị tham chiếu của nó theo sau với một khoảng thời gian

Khoảng thời gian lấy mẫu và tần số Fe(1) thường được gọi trong kỹ thuật vô tuyến là khoảng thời gian và tần số Nyquist tương ứng. Về mặt giải tích, định lý Kotelnikov được biểu diễn bằng chuỗi

trong đó k là số mẫu; - giá trị tín hiệu tại các điểm tham chiếu - tần số trên của phổ tín hiệu.

Biểu diễn tần số của tín hiệu rời rạc .

Hầu hết các tín hiệu có thể được biểu diễn dưới dạng chuỗi Fourier:

Hàm này không tuần hoàn nên không thể khai triển thành chuỗi Fourier. Mặt khác, do thời lượng không giới hạn của nó, hàm không thể tích phân và do đó không thể được biểu diễn bằng tích phân Fourier. Để tránh những khó khăn này, một hàm phụ trợ được giới thiệu trùng với hàm trên khoảng và bằng 0 bên ngoài khoảng này:

(5.15)

Hàm này có thể tích phân và có một biến đổi Fourier trực tiếp cho nó (tích phân Fourier):

(5.16)

mật độ phổ công suất tín hiệu ngẫu nhiên (hoặc chỉ mật độ quang phổ ) được gọi là một hàm có dạng:

(5.17)

mật độ quang phổ là hàm đặc trưng cho sự phân bố các giá trị trung bình của bình phương các biên độ của sóng hài tín hiệu. Mật độ quang phổ có các tính chất sau:

1. Quá trình ngẫu nhiên dừng thay đổi càng nhanh thì đồ thị càng rộng .

2. Các đỉnh riêng lẻ trong đồ thị mật độ phổ biểu thị sự có mặt của các thành phần tuần hoàn trong một tín hiệu ngẫu nhiên.

3. Mật độ quang phổ là một hàm chẵn:

(5.18)

Mật độ phổ có liên quan đến sự phân tán tín hiệu theo sự tương ứng sau:

(5.19)

Bằng thực nghiệm, mật độ phổ được xác định (tính toán) theo sơ đồ sau:

Cơm. 5.6.

Mật độ phổ có liên quan đến hàm tương quan biểu thức sau(theo định lý Khinchin-Wiener):

(5.20)

(5.21)

Nếu chúng ta mở rộng các yếu tố và sử dụng công thức Euler và tính đến , và là hàm chẵn và là hàm lẻ, thì các biểu thức (5.20), (5.21) có thể được biến đổi thành dạng sau:

(5.22)

(5.23)

Các biểu thức (5.23), (5.24) được sử dụng trong tính toán thực tế. Dễ thấy rằng tại , biểu thức (5.24) xác định phương sai của một quá trình ngẫu nhiên dừng:

(5.24)

Các mối quan hệ kết nối giữa hàm tương quan và mật độ phổ có tất cả các thuộc tính vốn có trong biến đổi Fourier và xác định các đặc điểm so sánh sau: đồ thị càng rộng thì đồ thị càng hẹp và ngược lại, hàm giảm càng nhanh thì hàm càng chậm giảm. Mối quan hệ này được minh họa bằng đồ thị hình (5.7), (5.8)

Cơm. 5.7.

Cơm. 5.8.

Dòng 1 trong cả hai hình tương ứng với tín hiệu ngẫu nhiên thay đổi chậm, phổ của tín hiệu này bị chi phối bởi các sóng hài tần số thấp. Dòng 2 tương ứng với tín hiệu thay đổi nhanh chóng, phổ của tín hiệu này bị chi phối bởi sóng hài tần số cao.

Nếu một tín hiệu ngẫu nhiên thay đổi rất nhanh theo thời gian và thực tế không có mối tương quan giữa các giá trị trước và sau của nó, thì hàm tương quan có dạng hàm delta (dòng 3). Biểu đồ mật độ phổ trong trường hợp này là một đường nằm ngang trong phạm vi. Điều này chỉ ra rằng biên độ của các sóng hài là như nhau trên toàn bộ dải tần. Một tín hiệu như vậy được gọi là tiếng ồn trắng (tương tự với ánh sáng trắng, trong đó, như đã biết, cường độ của tất cả các thành phần là như nhau).

Khái niệm "tiếng ồn trắng" là một khái niệm trừu tượng toán học. Về mặt vật lý, các tín hiệu ở dạng nhiễu trắng là không khả thi, vì phổ rộng vô hạn tương ứng với độ phân tán lớn vô hạn và do đó, công suất lớn vô hạn. Tuy nhiên, các hệ thống thực thường có phổ hữu hạn có thể được coi là nhiễu trắng. Sự đơn giản hóa này là hợp lý trong trường hợp phổ tín hiệu rộng hơn nhiều so với băng thông của hệ thống bị ảnh hưởng bởi tín hiệu.

Xét cái gọi là dạng năng lượng của tích phân Fourier. Trong chương 5 đã trình bày các công thức (7.15) và (7.16) cho phép chuyển từ hàm thời gian sang ảnh Fourier và ngược lại. Nếu một số hàm ngẫu nhiên của thời gian x (s) được xem xét, thì đối với nó, các công thức này có thể được viết dưới dạng

và hội nhập trên tất cả

thay thế bằng biểu thức (11.54):

Giá trị trong ngoặc vuông (11.57), như dễ thấy, là hàm ban đầu của thời gian (11.55). Do đó, kết quả là cái gọi là công thức Rayleigh (định lý Parseval), tương ứng với dạng năng lượng của tích phân Fourier:

Vế phải của (11.58) và (11.39) là đại lượng tỉ lệ thuận với năng lượng của quá trình đang xét. Vì vậy, ví dụ, nếu chúng ta coi dòng điện chạy qua một điện trở nhất định có điện trở K, thì năng lượng tỏa ra trong điện trở này theo thời gian sẽ là

Công thức (11.58) và (11.59) và biểu diễn dạng năng lượng của tích phân Fourier.

Tuy nhiên, những công thức này không thuận tiện vì đối với hầu hết các quá trình, năng lượng cũng có xu hướng vô hạn trong một khoảng thời gian vô hạn. Do đó, sẽ thuận tiện hơn nếu không xử lý năng lượng, mà với công suất trung bình của quá trình, sẽ thu được nếu năng lượng được chia cho khoảng thời gian quan sát. Sau đó, công thức (11.58) có thể được biểu diễn dưới dạng

Giới thiệu ký hiệu

được gọi là mật độ phổ. quan trọng

Theo ý nghĩa vật lý của nó, mật độ phổ là đại lượng tỉ lệ thuận với công suất trung bình của quá trình trong dải tần số từ co đến co + d?co.

Trong một số trường hợp, mật độ phổ chỉ được xem xét cho các tần số dương, nhân đôi nó cùng một lúc, điều này có thể thực hiện được vì mật độ phổ là một hàm chẵn của tần số. Sau đó, ví dụ, công thức (11.62) nên được viết là

- mật độ phổ đối với tần số dương.

vì trong trường hợp này các công thức trở nên đối xứng hơn.

Một tình huống rất quan trọng là mật độ phổ và hàm tương quan của các quá trình ngẫu nhiên là các phép biến đổi Fourier lẫn nhau, tức là chúng được kết nối bởi các phụ thuộc tích phân của loại (11.54) và (11.55). Tài sản này được đưa ra mà không có bằng chứng.

Do đó, các công thức sau đây có thể được viết:

Vì mật độ phổ và hàm tương quan là hàm chẵn nên đôi khi các công thức (11.65) và (11.66) được trình bày dưới dạng đơn giản hơn;

)

Điều này xuất phát từ thực tế là các đẳng thức diễn ra:

và các phần ảo có thể bị loại bỏ sau khi thay vào (11.65) và (11.66), vì các hàm thực ở bên trái.

nằm ở chỗ, đồ thị mật độ phổ càng hẹp (Hình 11.16, a), tức là tần số được biểu thị trong mật độ phổ càng thấp thì giá trị x thay đổi theo thời gian càng chậm. Ngược lại, đồ thị mật độ phổ càng rộng (Hình 11.16, b), tức là tần số biểu thị trong mật độ phổ càng lớn thì cấu trúc mỏng hơn hàm x(r) và biến đổi càng nhanh.r theo thời gian.

Như có thể thấy từ sự xem xét này, mối quan hệ giữa loại mật độ phổ và loại hàm thời gian thu được nghịch đảo so với mối quan hệ giữa hàm tương quan và chính quá trình (Hình 11.14). Từ đó, đồ thị hẹp hơn của hàm tương quan sẽ tương ứng với đồ thị mật độ phổ rộng hơn và ngược lại.

Và 8 (đồng). Các hàm này, không giống như các hàm xung được thảo luận trong Chương 4, là hàm chẵn. Điều này có nghĩa là hàm số 8(m) nằm đối xứng qua gốc tọa độ và có thể được định nghĩa như sau;

Một định nghĩa tương tự áp dụng cho hàm 8(co). Đôi khi mật độ phổ chuẩn hóa được đưa vào xem xét, đó là ảnh Fourier của hàm tương quan chuẩn hóa (11.52):

và do đó

trong đó O là độ phân tán.

Mật độ phổ tương hỗ cũng là thước đo mối quan hệ giữa hai biến ngẫu nhiên. Trong trường hợp không có giao tiếp, mật độ phổ lẫn nhau bằng không.

Hãy xem xét một số ví dụ.

Chức năng này được thể hiện trong Hình. 17 giờ 11 a. Ảnh Fourier tương ứng với nó trên cơ sở Bảng. 11.3 sẽ

Phổ của quá trình bao gồm một đỉnh duy nhất của loại hàm xung nằm ở gốc tọa độ (Hình 11.17, b).

Điều này có nghĩa là tất cả sức mạnh của quá trình đang được xem xét được tập trung ở tần số viên đạn, được mong đợi.

Chức năng này được thể hiện trong Hình. 11.18, a, Theo bảng. 11.3 mật độ quang phổ sẽ là

3. Đối với hàm tuần hoàn mở rộng trong chuỗi Fourier

ngoài phần tuần hoàn sẽ chứa một thành phần không tuần hoàn, thì phổ của hàm này sẽ chứa, cùng với các đường riêng lẻ của loại hàm xung, cũng là một phần liên tục (Hình 11.20). Các đỉnh riêng lẻ trên biểu đồ mật độ phổ cho thấy sự hiện diện của các bất thường ẩn trong hàm đang nghiên cứu.

không chứa một phần định kỳ, thì nó sẽ có phổ liên tục mà không có các đỉnh rõ rệt.

Chúng ta hãy xem xét một số quá trình ngẫu nhiên tĩnh quan trọng trong việc nghiên cứu các hệ thống điều khiển. Chúng tôi sẽ chỉ xem xét trung tâm

Trong trường hợp này, bình phương trung bình của biến ngẫu nhiên sẽ bằng phương sai:

có tính đến sự dịch chuyển không đổi trong hệ thống điều khiển là cơ bản.

(Hình 11.21, a):

Một ví dụ về quá trình như vậy là nhiễu nhiệt của điện trở, cho biết mức mật độ phổ của điện áp hỗn loạn trên điện trở này.

nhiệt độ tuyệt đối.

Dựa vào (11.68) mật độ phổ (11.71) ứng với hàm tương quan

không có mối tương quan giữa các giá trị tiếp theo và trước đó của biến ngẫu nhiên x.

và do đó sức mạnh vô hạn.

Để có được một quá trình thực về mặt vật lý, thật tiện lợi khi đưa ra khái niệm nhiễu trắng với mật độ phổ giới hạn (Hình 11.21, b):

Băng thông cho mật độ phổ.

Quá trình này tương ứng với hàm tương quan

Giá trị RMS của một biến ngẫu nhiên tỷ lệ với căn bậc hai của dải tần số:

Việc xấp xỉ sự phụ thuộc (11.73) bằng một đường cong trơn thường thuận tiện hơn. Đối với mục đích này, ví dụ, bạn có thể sử dụng biểu thức

Một yếu tố quyết định băng thông.

Quá trình tiếp cận tiếng ồn trắng, vì vậy

đối với các tần số này

Tích hợp (11.77) trên tất cả các tần số giúp xác định độ phân tán:

Do đó, mật độ phổ (11,77) có thể được viết dưới dạng khác:

Hàm tương quan cho quá trình này

Hàm tương quan cũng được thể hiện trong hình. 21.11.c.

Quá trình chuyển đổi từ giá trị này sang giá trị khác là tức thời. Các khoảng thời gian tuân theo luật phân phối Poisson (11.4).

Ví dụ, một biểu đồ thuộc loại này thu được trong phép tính gần đúng đầu tiên khi theo dõi mục tiêu đang di chuyển bằng radar. Giá trị tốc độ không đổi tương ứng với chuyển động của mục tiêu theo đường thẳng. Sự thay đổi về dấu hoặc độ lớn của tốc độ tương ứng với sự cơ động của mục tiêu.

Sẽ là giá trị trung bình của khoảng thời gian mà vận tốc góc không đổi. Đối với radar, giá trị này sẽ là thời gian trung bình mà mục tiêu di chuyển trên một đường thẳng.

Để xác định hàm tương quan cần tìm giá trị trung bình của tích

Khi tìm thấy công việc này, có thể có hai trường hợp.

thuộc cùng một khoảng. Khi đó giá trị trung bình của sản phẩm vận tốc góc sẽ bằng bình phương trung bình của vận tốc góc hoặc độ phân tán:

thuộc các khoảng khác nhau. Khi đó giá trị trung bình của tích các vận tốc sẽ bằng viên đạn:

vì các tích có dấu dương và âm sẽ có xác suất như nhau. Hàm tương quan sẽ bằng

Xác suất tìm thấy chúng trong các khoảng thời gian khác nhau.

xác suất vắng mặt

Đối với khoảng thời gian

vì những sự kiện này là độc lập.

Kết quả là, trong một khoảng hữu hạn Am ta thu được

Dấu của môđun tại m được đặt vì biểu thức (11.80) phải ứng với một hàm số chẵn. Biểu thức của hàm tương quan trùng với (11.79). Do đó mật độ phổ của quá trình đang xét phải trùng với (11.78):

Lưu ý rằng, trái ngược với (11.78), công thức mật độ phổ (11.81) được viết cho vận tốc góc của quá trình (Hình 11.22). Nếu chúng ta chuyển từ vận tốc góc sang góc, thì chúng ta sẽ nhận được một quá trình ngẫu nhiên không cố định với phương sai có xu hướng vô cùng. Tuy nhiên, trong hầu hết các trường hợp, hệ thống servo, ở đầu vào mà quy trình này vận hành, có tính bất động của các lệnh đầu tiên và cao hơn. Do đó, hệ số lỗi đầu tiên c0 của hệ thống servo bằng 0 và lỗi của nó sẽ chỉ được xác định bởi vận tốc đầu vào và đạo hàm của các bậc cao hơn, đối với quá trình dừng. Điều này cho phép sử dụng mật độ phổ (11,81) để tính toán sai số động của hệ thống theo dõi.

3. Ném bóng không đều. Một số vật thể như tàu thủy, máy bay, v.v., chịu tác động của các nhiễu loạn bất thường (sóng bất thường, nhiễu động khí quyển, v.v.), chuyển động theo một quy luật ngẫu nhiên. Các tần số nhiễu loạn gần với tần số dao động tự nhiên của chúng. Chuyển động ngẫu nhiên của vật thể được gọi là chuyển động lăn không đều, trái ngược với chuyển động lăn đều đặn, là chuyển động tuần hoàn.

Một biểu đồ điển hình của ném bóng không đều được thể hiện trong hình. 23.11. Có thể thấy từ việc xem xét đồ thị này, mặc dù có tính chất ngẫu nhiên,

chuyển động khá gần với tuần hoàn.

Trong thực tế, hàm tương quan của lăn không đều thường được xấp xỉ bằng biểu thức

phân tán.

thường được tìm thấy bằng cách xử lý dữ liệu thực nghiệm (thử nghiệm tại hiện trường).

Hàm tương quan (11.82) tương ứng với mật độ phổ (xem Bảng 11.3)

Sự bất tiện của phép tính gần đúng (11.82) là công thức này có thể mô tả hành vi của bất kỳ một đại lượng lăn không đều nào (góc, vận tốc góc hoặc gia tốc góc), trong trường hợp này, giá trị của O sẽ tương ứng với độ phân tán của góc, vận tốc hoặc gia tốc.

Ví dụ, nếu chúng ta viết công thức (11.82) cho một góc, thì quá trình này sẽ tương ứng với một gấm hoa không đều với sự phân tán đối với vận tốc góc có xu hướng vô cực, tức là, đây sẽ là một quá trình không có thật về mặt vật lý.

Một công thức thuận tiện hơn để tính gần đúng góc nghiêng

Tuy nhiên, sự gần đúng này cũng tương ứng với một quá trình phi thực tế về mặt vật lý, vì sự phân tán của gia tốc góc hóa ra có xu hướng vô cùng.

Để có được sự phân tán hữu hạn của gia tốc góc, thậm chí nhiều hơn nữa công thức phức tạp xấp xỉ, mà không được đưa ra ở đây.

Các đường cong điển hình cho hàm tương quan và mật độ phổ của cán không đều được thể hiện trong Hình. 24.11.

1. Tín hiệu và quang phổ. Cơ sở lý thuyết của truyền thông kỹ thuật số

1. Tín hiệu và quang phổ

1.1. Xử lý tín hiệu trong truyền thông số

1.1.1. Tại sao là "kỹ thuật số"

Tại sao "số" được sử dụng trong các hệ thống thông tin liên lạc quân sự và thương mại? Có nhiều lý do. Ưu điểm chính của phương pháp này là dễ dàng tái tạo tín hiệu số so với tín hiệu tương tự. Xem xét hình. 1.1, cho thấy xung kỹ thuật số nhị phân lý tưởng truyền qua kênh dữ liệu. Dạng sóng bị ảnh hưởng bởi hai cơ chế chính: (1) do tất cả các kênh và đường truyền có đáp ứng tần số không lý tưởng nên xung lý tưởng bị méo; và (2) nhiễu điện không mong muốn hoặc nhiễu bên ngoài khác làm biến dạng thêm dạng sóng. Kênh càng dài thì các cơ chế này càng làm biến dạng xung động đáng kể (Hình 1.1). Mặc dù xung truyền đi vẫn có thể được phát hiện một cách đáng tin cậy (trước khi nó giảm xuống trạng thái không rõ ràng), nhưng xung được khuếch đại bằng bộ khuếch đại kỹ thuật số, khôi phục lại hình dạng lý tưởng ban đầu của nó. Động lượng được "tái sinh" hoặc phục hồi. Các bộ lặp tái tạo nằm trong kênh liên lạc ở một khoảng cách nhất định với nhau chịu trách nhiệm khôi phục tín hiệu.

Các kênh kỹ thuật số ít bị biến dạng và nhiễu hơn so với các kênh tương tự. Vì các kênh kỹ thuật số nhị phân chỉ tạo ra tín hiệu có ý nghĩa khi hoạt động ở một trong hai trạng thái—bật hoặc tắt—nhiễu phải đủ lớn để di chuyển điểm hoạt động của kênh từ trạng thái này sang trạng thái khác. Việc chỉ có hai trạng thái tạo điều kiện thuận lợi cho việc khôi phục tín hiệu và do đó ngăn chặn sự tích tụ nhiễu hoặc các nhiễu loạn khác trong quá trình truyền. Mặt khác, tín hiệu tương tự không phải là tín hiệu hai trạng thái; họ có thể lấy một số lượng vô hạn các hình thức. Trong các kênh tương tự, ngay cả một nhiễu loạn nhỏ cũng có thể làm biến dạng tín hiệu một cách khó nhận biết. Một khi tín hiệu tương tự đã bị biến dạng thì không thể loại bỏ nhiễu bằng cách khuếch đại. Vì sự tích tụ tiếng ồn có liên quan chặt chẽ với tín hiệu tương tự, do đó, chúng không thể được tái tạo một cách hoàn hảo. Với công nghệ kỹ thuật số, tỷ lệ lỗi rất thấp cộng với việc áp dụng các quy trình phát hiện và sửa lỗi giúp chúng tôi có thể độ chính xác cao dấu hiệu. Chỉ cần lưu ý rằng các quy trình như vậy không khả dụng với các công nghệ tương tự.

Hình.1.1. Biến dạng và phục hồi động lượng

Có những lợi thế quan trọng khác của truyền thông kỹ thuật số. Các kênh kỹ thuật số đáng tin cậy hơn và có thể được sản xuất với giá thấp hơn so với các kênh tương tự. Ngoài ra, kỹ thuật số phần mềm cho phép nhiều hơn triển khai linh hoạt hơn so với tương tự (ví dụ: bộ vi xử lý, chuyển mạch kỹ thuật số và mạch tích hợp quy mô lớn (LSI)). Việc sử dụng tín hiệu số và ghép kênh phân chia theo thời gian (TDM) đơn giản hơn so với tín hiệu tương tự và ghép kênh phân chia theo tần số (FDM). Khi truyền và chuyển đổi các loại khác nhau tín hiệu kỹ thuật số (dữ liệu, điện báo, điện thoại, truyền hình) có thể được coi là giống hệt nhau: xét cho cùng, một chút là một chút. Ngoài ra, để dễ dàng chuyển đổi và xử lý, các thông điệp kỹ thuật số có thể được nhóm thành các đơn vị độc lập được gọi là gói tin. Các công nghệ kỹ thuật số kết hợp một cách tự nhiên các tính năng bảo vệ chống nhiễu và triệt tiêu tín hiệu hoặc cung cấp mã hóa hoặc quyền riêng tư. (Những công nghệ như vậy được thảo luận trong Chương 12 và 14.) Ngoài ra, giao tiếp chủ yếu là giữa hai máy tính hoặc giữa máy tính và thiết bị kỹ thuật số hoặc thiết bị đầu cuối. Các thiết bị đầu cuối kỹ thuật số như vậy sẽ tốt hơn (và tự nhiên hơn!) được phục vụ bởi các kênh truyền thông kỹ thuật số.

Chúng ta phải trả những gì cho những lợi ích của hệ thống truyền thông kỹ thuật số? Các hệ thống kỹ thuật số yêu cầu xử lý nhiều hơn các hệ thống tương tự. Ngoài ra, các hệ thống kỹ thuật số yêu cầu một lượng tài nguyên đáng kể được phân bổ để đồng bộ hóa ở các cấp độ khác nhau (xem Chương 10). Mặt khác, các hệ thống tương tự dễ dàng đồng bộ hóa hơn. Một nhược điểm khác của các hệ thống truyền thông kỹ thuật số là sự xuống cấp về chất lượng có tính chất ngưỡng. Nếu tỷ lệ tín hiệu trên tạp âm giảm xuống dưới một ngưỡng nhất định, chất lượng dịch vụ có thể đột ngột chuyển từ rất tốt sang rất xấu. Tuy nhiên, trong các hệ thống tương tự, sự xuống cấp xảy ra trơn tru hơn.

1.1.2. Sơ đồ hộp điển hình và các phép biến đổi cơ bản

Sơ đồ khối chức năng thể hiện trong hình. 1.2 minh họa các bước xử lý và truyền tín hiệu trong một hệ thống truyền thông kỹ thuật số điển hình (DCS). Các khối phía trên - định dạng, mã hóa nguồn, mã hóa, mã hóa kênh, ghép kênh, điều chế xung, điều chế thông dải, trải phổ và đa truy cập - phản ánh sự biến đổi tín hiệu trên đường từ nguồn đến máy phát. Các khối dưới của sơ đồ là các phép biến đổi tín hiệu trên đường từ người nhận đến người nhận thông tin và trên thực tế, chúng ngược lại với các khối trên. Các đơn vị điều chế và giải điều chế/phát hiện được gọi chung là modem. Thuật ngữ "modem" thường kết hợp một số bước xử lý tín hiệu, như trong Hình. 1,2; trong trường hợp này, modem có thể được coi là "bộ não" của hệ thống. Bộ phát và bộ thu có thể coi là “cơ bắp” của hệ thống. Đối với các ứng dụng không dây, bộ phát bao gồm mạch nâng cấp tần số vô tuyến (RF), bộ khuếch đại công suất và ăng-ten, còn bộ thu bao gồm ăng-ten và bộ khuếch đại tạp âm thấp (LNA). Giảm tần số ngược được thực hiện ở đầu ra của máy thu và/hoặc bộ giải điều chế.

Trên hình. Hình 1.2 minh họa sự tương ứng giữa các khối của phần trên (truyền) và phần dưới (nhận) của hệ thống. Các bước xử lý tín hiệu diễn ra trong máy phát chủ yếu ngược lại với các bước của máy thu. Trên hình. 1.2 thông tin nguồn được chuyển đổi thành các chữ số nhị phân (bit); các bit sau đó được nhóm thành các tin nhắn kỹ thuật số hoặc các ký tự tin nhắn. Mỗi ký tự như vậy ( trong đó ) có thể được coi là một phần tử của bảng chữ cái hữu hạn chứa m phần tử. Vì vậy, đối với m=2 ký hiệu tin nhắn là nhị phân (nghĩa là nó bao gồm một bit). Mặc dù các ký tự nhị phân có thể được phân loại là m-ary (với M=2), thường là tên " m-ary" được sử dụng cho các trường hợp m>2; Điều này có nghĩa là các biểu tượng như vậy bao gồm một chuỗi hai hoặc hơn chút ít. (So ​​sánh bảng chữ cái hữu hạn tương tự của các hệ thống DCS với những gì chúng ta có trong các hệ thống tương tự khi tín hiệu thông báo là phần tử một số vô hạn các tín hiệu có thể.) Đối với các hệ thống sử dụng mã hóa kênh (mã sửa lỗi), một chuỗi ký hiệu thông báo được chuyển đổi thành một chuỗi ký hiệu kênh (ký hiệu mã), và mỗi ký hiệu kênh được chỉ định. Vì các ký hiệu thông báo hoặc ký hiệu kênh có thể bao gồm một bit đơn lẻ hoặc một nhóm bit, nên một chuỗi các ký hiệu như vậy được gọi là dòng bit (Hình 1.2).

Hãy xem xét các khối chính của quá trình xử lý tín hiệu được hiển thị trong Hình. 1,2; chỉ các bước định dạng, điều chế, giải điều chế/phát hiện và đồng bộ hóa là cần thiết cho các hệ thống DCS.

Định dạng chuyển đổi thông tin ban đầu thành các bit, do đó đảm bảo rằng các chức năng xử lý thông tin và tín hiệu tương thích với hệ thống DCS. Từ điểm này trong hình cho đến khối điều chế xung, thông tin vẫn ở dạng dòng bit.

Cơm. 1.2. Sơ đồ khối của một hệ thống truyền thông kỹ thuật số điển hình

Điều chế là quá trình mà các ký hiệu thông báo hoặc ký hiệu kênh (nếu sử dụng mã hóa kênh) được chuyển đổi thành các tín hiệu tương thích với các yêu cầu do kênh dữ liệu đặt ra. Điều chế xung là một bước cần thiết khác, vì mỗi biểu tượng cần được truyền trước tiên phải được chuyển đổi từ đại diện nhị phân(các mức điện áp đại diện cho các số nhị phân 0 và 1) thành dạng sóng dải hẹp. Thuật ngữ "băng hẹp" (băng gốc) xác định tín hiệu có phổ bắt đầu từ (hoặc gần) thành phần không đổi và kết thúc bằng một số giá trị cuối cùng (thường không quá vài megahertz). Khối PCM thường bao gồm bộ lọc để giảm thiểu băng thông truyền dẫn. Khi điều chế xung được áp dụng cho các ký hiệu nhị phân, tín hiệu nhị phân thu được được gọi là tín hiệu được mã hóa PCM (điều chế mã xung). Có một số loại tín hiệu PCM (được mô tả trong Chương 2); trong các ứng dụng điện thoại, các tín hiệu này thường được gọi là mã kênh. Khi điều chế xung được áp dụng cho các ký hiệu không nhị phân, tín hiệu kết quả được gọi là m-ary điều chế xung. Có một số loại tín hiệu như vậy, cũng được mô tả trong Chương 2, tập trung vào điều chế biên độ xung (PAM). Sau khi điều chế xung, mỗi ký hiệu thông báo hoặc ký hiệu kênh có dạng tín hiệu thông dải, trong đó . Trong bất kỳ triển khai điện tử nào, luồng bit trước điều chế xung được biểu thị bằng các mức điện áp. Có thể đặt ra câu hỏi tại sao lại có một khối riêng biệt để điều chế xung, trong khi trên thực tế, các mức điện áp cho các số không và số nhị phân đã có thể được coi là các xung hình chữ nhật lý tưởng, thời lượng của mỗi số bằng thời gian truyền của một bit? Có hai sự khác biệt quan trọng giữa các mức điện áp này và các tín hiệu thông dải được sử dụng để điều chế. Thứ nhất, khối điều chế xung cho phép sử dụng nhị phân và m tín hiệu -ary. Mục 2.8.2 mô tả các tham số hữu ích khác nhau của các loại tín hiệu này. Thứ hai, quá trình lọc được thực hiện trong khối điều chế xung tạo ra các xung có thời lượng dài hơn thời gian truyền của một bit. Lọc cho phép bạn sử dụng các xung dài hơn; do đó, các xung được trải rộng trên các khe thời gian bit liền kề. Quá trình này đôi khi được gọi là định hình xung; nó được sử dụng để giữ băng thông truyền dẫn trong một số vùng phổ mong muốn.

Đối với các ứng dụng liên quan đến truyền tần số vô tuyến, bước quan trọng tiếp theo là điều chế thông dải; nó là cần thiết bất cứ khi nào môi trường truyền dẫn không hỗ trợ truyền tín hiệu xung. Trong những trường hợp như vậy, môi trường yêu cầu tín hiệu thông dải, trong đó . Thuật ngữ "thông dải" được sử dụng để phản ánh rằng tín hiệu băng thông hẹp bị dịch chuyển bởi sóng mang ở tần số lớn hơn nhiều so với các thành phần quang phổ. Khi tín hiệu truyền qua kênh, nó bị ảnh hưởng bởi các đặc tính của kênh, có thể được biểu thị dưới dạng đáp ứng xung (xem phần 1.6.1). Bên cạnh đó, trong điểm khác nhau dọc theo đường dẫn tín hiệu, nhiễu ngẫu nhiên bổ sung làm biến dạng tín hiệu nhận được, do đó, quá trình thu phải được thể hiện dưới dạng phiên bản bị hỏng của tín hiệu đến từ máy phát. Tín hiệu thu được có thể được biểu diễn như sau:

trong đó dấu "*" thể hiện phép toán tích chập (xem Phụ lục A) và là quá trình nhiễu (xem Mục 1.5.5).

Theo hướng ngược lại, phần đầu của máy thu và/hoặc bộ giải điều chế cung cấp sự giảm tần số cho mỗi tín hiệu thông dải. Để chuẩn bị cho việc phát hiện, bộ giải điều chế tái tạo lại tín hiệu băng hẹp dưới dạng đường bao tối ưu. Thông thường, một số bộ lọc được liên kết với bộ thu và bộ giải điều chế - quá trình lọc được thực hiện để loại bỏ các thành phần tần số cao không mong muốn (trong quá trình chuyển đổi tín hiệu băng thông thành băng hẹp) và định hình xung. Cân bằng có thể được mô tả như một loại bộ lọc được sử dụng trong bộ giải điều chế (hoặc sau bộ giải điều chế) để loại bỏ bất kỳ hiệu ứng suy giảm tín hiệu nào có thể do kênh gây ra. Việc cân bằng là cần thiết nếu đáp ứng xung của kênh kém đến mức tín hiệu nhận được bị biến dạng nghiêm trọng. Bộ cân bằng (bộ cân bằng) được triển khai để bù cho (nghĩa là loại bỏ hoặc làm suy giảm) bất kỳ biến dạng tín hiệu nào do phản hồi không lý tưởng gây ra. Cuối cùng, bước lấy mẫu chuyển đổi xung đã định hình thành một mẫu để khôi phục ký hiệu kênh (xấp xỉ) hoặc ký hiệu thông báo (nếu không sử dụng mã hóa kênh). Một số tác giả sử dụng thuật ngữ "giải điều chế" và "phát hiện" thay thế cho nhau. Trong cuốn sách này, giải điều chế đề cập đến việc khôi phục tín hiệu (xung băng thông) và phát hiện đề cập đến việc đưa ra quyết định về giá trị kỹ thuật số của tín hiệu đó.

Các giai đoạn xử lý tín hiệu còn lại trong modem là tùy chọn và nhằm đáp ứng các nhu cầu hệ thống cụ thể. Mã hóa nguồn là việc chuyển đổi tín hiệu tương tự thành tín hiệu số (đối với các nguồn tương tự) và loại bỏ thông tin dư thừa (không cần thiết). Lưu ý rằng một hệ thống DCS điển hình có thể sử dụng mã hóa nguồn (để số hóa và nén thông tin lai lịch) hoặc chuyển đổi định dạng đơn giản hơn (chỉ dành cho số hóa). Hệ thống không thể áp dụng đồng thời cả mã hóa và định dạng nguồn, vì định dạng trước đã bao gồm bước cần thiết là số hóa thông tin. Mã hóa, được sử dụng để đảm bảo tính bí mật của thông tin liên lạc, ngăn người dùng trái phép hiểu thông báo và đưa thông báo sai vào hệ thống. Mã hóa kênh ở tốc độ dữ liệu nhất định có thể giảm xác suất lỗi PE hoặc giảm tỷ lệ tín hiệu trên tạp âm cần thiết để đạt được xác suất PE mong muốn bằng cách tăng băng thông truyền dẫn hoặc làm phức tạp bộ giải mã. Thủ tục ghép kênh và đa truy cập kết hợp các tín hiệu có thể có các đặc điểm khác nhau hoặc có thể đến từ các nguồn khác nhau để chúng có thể chia sẻ một số tài nguyên truyền thông (ví dụ: phổ tần, thời gian). Trải tần có thể cung cấp tín hiệu tương đối miễn nhiễm với nhiễu (cả tự nhiên và cố ý) và có thể được sử dụng để tăng tính riêng tư của các bên giao tiếp. Nó cũng là một công nghệ có giá trị được sử dụng cho đa truy cập.

Các khối xử lý tín hiệu như hình. 1.2 thể hiện sơ đồ điển hình của hệ thống truyền thông kỹ thuật số; tuy nhiên, các khối này đôi khi được thực hiện theo một thứ tự hơi khác. Ví dụ, ghép kênh có thể xảy ra trước mã hóa hoặc điều chế kênh, hoặc, trong quá trình điều chế hai giai đoạn (sóng mang phụ và sóng mang), nó có thể xảy ra giữa hai giai đoạn điều chế. Tương tự, khối mở rộng tần số có thể được đặt ở nhiều vị trí khác nhau trong hàng trên cùng của Hình. 1,2; vị trí chính xác của nó phụ thuộc vào công nghệ cụ thể được sử dụng. Đồng bộ hóa và yếu tố chính của nó, tín hiệu đồng bộ hóa, tham gia vào tất cả các giai đoạn xử lý tín hiệu trong hệ thống DCS. Để đơn giản, khối đồng bộ hóa trong Hình. 1.2 được hiển thị mà không liên quan đến bất cứ điều gì, mặc dù trên thực tế, anh ta tham gia vào việc điều chỉnh hoạt động ở hầu hết mọi khối được hiển thị trong hình.

Trên hình. Hình 1.3 cho thấy các chức năng xử lý tín hiệu chính (có thể coi như các phép biến đổi tín hiệu) được chia thành 9 nhóm sau.

Hình.1.3. Chuyển đổi truyền thông kỹ thuật số lớn

1. Định dạng và mã hóa nguồn

2. Báo hiệu băng hẹp

3. Báo hiệu băng thông

4. San lấp mặt bằng

5. Mã hóa kênh

6. Niêm phong và truy cập nhiều lần

7. Trải phổ

8. Mã hóa

9. Đồng bộ hóa

Trên hình. 1.3 Khối báo hiệu băng hẹp chứa danh sách các lựa chọn thay thế nhị phân khi sử dụng điều chế PCM hoặc mã đường dây. Khối này cũng chỉ định một loại tín hiệu không nhị phân được gọi là m-ary điều chế xung. Một biến đổi khác trong hình. 1.3, có tên là Báo hiệu băng thông, được chia thành hai khối chính, mạch lạc và không mạch lạc. Giải điều chế thường được thực hiện bằng cách sử dụng các tín hiệu tham chiếu. Bằng cách sử dụng các tín hiệu đã biết làm thước đo của tất cả các tham số tín hiệu (đặc biệt là pha), quá trình giải điều chế được cho là nhất quán; khi thông tin pha không được sử dụng, quá trình này được cho là không mạch lạc.

Mã hóa kênh liên quan đến các kỹ thuật được sử dụng để cải thiện tín hiệu kỹ thuật số, do đó trở nên ít bị tổn thương hơn trước các yếu tố suy giảm như nhiễu, phai màu và triệt tiêu tín hiệu. Trên hình. 1.3, mã hóa kênh được chia thành hai khối, khối mã hóa dạng sóng và khối trình tự có cấu trúc. Mã hóa dạng sóng liên quan đến việc sử dụng các tín hiệu mới mang lại chất lượng phát hiện được cải thiện so với tín hiệu ban đầu. Trình tự có cấu trúc bao gồm việc sử dụng các bit bổ sung để xác định xem có lỗi do nhiễu gây ra trong kênh hay không. Một trong những công nghệ như vậy, yêu cầu lặp lại tự động (ARQ), chỉ cần nhận ra sự xuất hiện của lỗi và yêu cầu người gửi truyền lại tin nhắn; một kỹ thuật khác, được gọi là sửa lỗi chuyển tiếp (FEC), cho phép sửa lỗi tự động (với một số hạn chế nhất định). Khi xem xét các trình tự có cấu trúc, chúng ta sẽ thảo luận về ba phương pháp phổ biến - mã hóa khối, tích chập và turbo.

Trong truyền thông kỹ thuật số, thời gian liên quan đến việc tính toán cả thời gian và tần suất. Như thể hiện trong hình. 1.3, đồng bộ hóa được thực hiện ở năm cấp độ. Các tần số tham chiếu của các hệ thống kết hợp cần được đồng bộ hóa với sóng mang (và có thể là sóng mang phụ) về tần số và pha. Đối với các hệ thống không kết hợp, đồng bộ pha là không cần thiết. Quá trình đồng bộ hóa thời gian cơ bản là đồng bộ hóa ký hiệu (hoặc đồng bộ hóa bit cho các ký hiệu nhị phân). Bộ giải điều chế và bộ phát hiện phải biết khi nào bắt đầu và kết thúc quá trình phát hiện biểu tượng và bit; lỗi đồng bộ hóa dẫn đến giảm hiệu quả phát hiện. Mức đồng bộ hóa thời gian tiếp theo, đồng bộ hóa khung, cho phép sắp xếp lại các thông báo. Và cấp độ cuối cùng, đồng bộ hóa mạng, cho phép bạn phối hợp với những người dùng khác để sử dụng tài nguyên hiệu quả.

1.1.3. Thuật ngữ truyền thông kỹ thuật số cơ bản

Sau đây là một số thuật ngữ chính thường được sử dụng trong lĩnh vực truyền thông kỹ thuật số.

nguồn thông tin(nguồn thông tin). Một thiết bị truyền thông tin qua hệ thống DCS. Nguồn thông tin có thể là tương tự hoặc rời rạc. Đầu ra của nguồn tương tự có thể nhận bất kỳ giá trị nào từ một dải biên độ liên tục, trong khi đầu ra của nguồn thông tin rời rạc có thể lấy giá trị từ một tập biên độ hữu hạn. Các nguồn thông tin tương tự được chuyển đổi thành kỹ thuật số thông qua lấy mẫu hoặc lượng tử hóa. Phương pháp lấy mẫu và lượng tử hóa gọi là định dạng và mã hóa nguồn (Hình 1.3).

Tin nhắn văn bản(tin nhắn văn bản). Dãy ký tự (Hình 1.4, một). Trong truyền dữ liệu số, một tin nhắn là một dãy số hoặc ký tự thuộc một bộ ký tự hoặc bảng chữ cái hữu hạn.

Dấu hiệu(Tính cách). Một phần tử của bảng chữ cái hoặc bộ ký tự (Hình 1.4, b). Các ký tự có thể được ánh xạ tới một chuỗi các chữ số nhị phân. Có một số mã tiêu chuẩn hóa được sử dụng để mã hóa ký tự, bao gồm ASCII (Mã tiêu chuẩn Mỹ để trao đổi thông tin), EBCDIC (Mã trao đổi thập phân được mã hóa nhị phân mở rộng), Hollerith (mã Hollerith), mã Baudot, mã Murray và mã Morse.

Hình.1.4. Điều khoản minh họa: a) tin nhắn; b) ký hiệu;

c) dòng bit (mã ASCII 7 bit); đ) ký hiệu, ;

e) tín hiệu số thông dải

chữ số nhị phân(chữ số nhị phân) (bit) (bit). Đơn vị cơ bản của thông tin cho tất cả các hệ thống kỹ thuật số. Thuật ngữ "bit" cũng được sử dụng như một đơn vị thông tin, được mô tả trong Chương 9.

luồng bit(dòng bit). Một chuỗi các chữ số nhị phân (số không và số một). Dòng bit thường được gọi là tín hiệu băng cơ sở; điều này ngụ ý rằng các thành phần quang phổ của nó dao động từ (hoặc xung quanh) DC đến một giá trị hữu hạn nào đó, thường không quá vài megahertz. Trên hình. 1.4, thông báo "HOW" được biểu diễn bằng mã ASCII bảy bit và luồng bit được hiển thị ở dạng xung hai mức. Chuỗi các xung được mô tả bằng các dạng sóng cách điệu cao (hình chữ nhật hoàn hảo) với các khoảng cách giữa các xung liền kề. Trong một hệ thống thực, các xung sẽ không bao giờ giống như thế này, vì những khoảng cách như vậy là hoàn toàn vô dụng. Ở một tốc độ dữ liệu nhất định, các khoảng trống sẽ làm tăng băng thông cần thiết để truyền; hoặc, với băng thông, họ sẽ tăng thời gian trễ cần thiết để nhận tin nhắn.

Biểu tượng(ký hiệu) (tin nhắn số) (tin nhắn số). Ký hiệu là một nhóm các k các bit được coi là một tổng thể. Hơn nữa, chúng tôi sẽ gọi khối này là ký hiệu thông báo () từ một tập hợp hữu hạn các ký hiệu hoặc bảng chữ cái (Hình 1.4, d.) Kích thước của bảng chữ cái m bằng , ở đâu k là số bit trong một ký tự. Trong truyền dẫn băng hẹp, mỗi ký hiệu sẽ được đại diện bởi một trong các tập hợp băng hẹp. tín hiệu xung . Đôi khi, khi truyền một chuỗi các xung như vậy, đơn vị baud (baud) được sử dụng để biểu thị tốc độ xung (tốc độ ký hiệu). Đối với truyền dẫn thông dải điển hình, mỗi xung sẽ được biểu thị bằng một trong các tín hiệu xung thông dải . Do đó, đối với các hệ thống không dây, một biểu tượng được gửi bằng cách truyền tín hiệu số cho t giây. Ký tự tiếp theo được gửi trong khe thời gian tiếp theo, t. Thực tế là bộ ký tự được truyền bởi hệ thống DCS là hữu hạn là sự khác biệt chính giữa các hệ thống này và các hệ thống truyền thông tương tự. Máy thu DCS chỉ cần xác định m các tín hiệu có thể đã được truyền đi; ngược lại máy thu analog phải xác định chính xác giá trị thuộc dải tín hiệu liên tục.

tín hiệu kĩ thuật số(dạng sóng kỹ thuật số). Được mô tả bằng mức điện áp hoặc dòng điện, một tín hiệu (một xung để truyền băng thông hẹp hoặc một sóng hình sin để truyền thông dải) đại diện cho một ký tự số. Các đặc điểm của tín hiệu (đối với xung - biên độ, thời lượng và vị trí hoặc đối với hình sin - biên độ, tần số và pha) cho phép nó được xác định là một trong những ký hiệu của bảng chữ cái hữu hạn. Trên hình. 1.4 đ một ví dụ về tín hiệu kỹ thuật số thông dải được hiển thị. Mặc dù tín hiệu là hình sin và do đó có dạng tương tự, nhưng nó vẫn được gọi là kỹ thuật số vì nó mã hóa thông tin kỹ thuật số. Trong hình này, giá trị kỹ thuật số được biểu thị bằng cách truyền trong mỗi khoảng thời gian t tín hiệu có tần số nhất định.

Tốc độ truyền tải(tốc độ dữ liệu). Giá trị này tính bằng bit trên giây (bps) được đưa ra bởi (bps) trong đó k bit xác định một ký tự từ bảng chữ cái - ký tự và t là thời lượng đến ký tự -bit.

1.1.4. Điểm chuẩn hiệu suất kỹ thuật số và tương tự

Sự khác biệt cơ bản giữa các hệ thống thông tin tương tự và kỹ thuật số có liên quan đến phương pháp đánh giá hiệu suất của chúng. Tín hiệu hệ thống tương tự liên tục, vì vậy bộ thu phải hoạt động với vô số tín hiệu có thể. Thước đo hiệu suất của các hệ thống truyền thông tương tự là độ chính xác, chẳng hạn như tỷ lệ tín hiệu trên tạp âm, độ méo phần trăm hoặc lỗi RMS dự kiến ​​giữa các tín hiệu được truyền và nhận.

Không giống như các hệ thống truyền thông tương tự, kỹ thuật số truyền tín hiệu đại diện cho các số. Các chữ số này tạo thành một tập hợp hoặc bảng chữ cái hữu hạn và tập hợp này được biết trước đối với người nhận. Tiêu chí đánh giá chất lượng của hệ thống truyền thông kỹ thuật số là xác suất phát hiện sai một chữ số hoặc xác suất xảy ra lỗi ().

1.2. phân loại tín hiệu

1.2.1. Tín hiệu xác định và ngẫu nhiên

Một tín hiệu có thể được phân loại là xác định (khi không có sự không chắc chắn về giá trị của nó tại bất kỳ thời điểm nào) hoặc ngẫu nhiên. Các tín hiệu xác định được mô hình hóa bằng một biểu thức toán học. Không thể viết một biểu thức như vậy cho một tín hiệu ngẫu nhiên. Tuy nhiên, khi quan sát một tín hiệu ngẫu nhiên (còn gọi là quá trình ngẫu nhiên) trong một khoảng thời gian đủ dài, có thể lưu ý một số mẫu có thể được mô tả dưới dạng xác suất và trung bình thống kê. Một mô hình như vậy, dưới dạng mô tả xác suất của một quá trình ngẫu nhiên, đặc biệt hữu ích để mô tả các đặc tính của tín hiệu và tiếng ồn trong các hệ thống thông tin liên lạc.

1.2.2. Tín hiệu định kỳ và không định kỳ

Một tín hiệu được gọi là tuần hoàn theo thời gian nếu tồn tại một hằng số sao cho

cho (1.2)

thông qua đâu t thời gian được chỉ định. Giá trị nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện này được gọi là chu kỳ của tín hiệu. Khoảng thời gian xác định thời lượng của một chu kỳ đầy đủ của chức năng. Tín hiệu không có giá trị thỏa mãn phương trình (1.2) được gọi là không tuần hoàn.

1.2.3. Tín hiệu tương tự và rời rạc

Tín hiệu tương tự là một hàm liên tục của thời gian, tức là được xác định duy nhất cho tất cả t. Tín hiệu tương tự điện xảy ra khi tín hiệu vật lý (chẳng hạn như giọng nói) được chuyển đổi thành tín hiệu điện bởi một số thiết bị. Để so sánh, tín hiệu rời rạc là một tín hiệu tồn tại trong các khoảng thời gian rời rạc; nó được đặc trưng bởi một dãy số được xác định cho từng thời điểm, kT, ở đâu k là một số nguyên và t- một khoảng thời gian cố định.

1.2.4. Tín hiệu thể hiện dưới dạng năng lượng hoặc công suất

Tín hiệu điện có thể được coi là sự thay đổi điện áp hoặc dòng điện với công suất tức thời đặt vào điện trở r:

Trong các hệ thống thông tin liên lạc, nguồn điện thường được chuẩn hóa (người ta cho rằng điện trở r bằng 1 Ohm, mặc dù trong một kênh thực, nó có thể là bất kỳ thứ gì). Nếu cần xác định giá trị công suất thực tế, nó sẽ thu được bằng cách "không chuẩn hóa" giá trị chuẩn hóa. Trong trường hợp chuẩn hóa, các phương trình (1.3.a) và (1.3.6) có dạng giống nhau. Do đó, bất kể tín hiệu được biểu diễn bằng điện áp hay dòng điện, dạng chuẩn hóa cho phép chúng ta biểu thị công suất tức thời dưới dạng

đâu là điện áp hoặc dòng điện. Sự tiêu hao năng lượng trong khoảng thời gian ( ) của tín hiệu thực với công suất tức thời thu được khi sử dụng phương trình (1.4) có thể được viết như sau.

(1.5)

Công suất tiêu tán trung bình của tín hiệu trong khoảng thời gian này như sau.

(1.6)

Hiệu suất của một hệ thống thông tin liên lạc phụ thuộc vào năng lượng của tín hiệu nhận được; tín hiệu năng lượng cao hơn được phát hiện đáng tin cậy hơn (với ít hơn lỗi) - công việc phát hiện được thực hiện bởi năng lượng nhận được. Mặt khác, công suất là tỷ lệ năng lượng đầu vào. Điểm này rất quan trọng vì nhiều lý do. Công suất xác định điện áp được áp dụng cho máy phát và cường độ của trường điện từ được tính đến trong hệ thống vô tuyến (tức là trường trong ống dẫn sóng kết nối máy phát với ăng-ten và trường xung quanh các phần tử bức xạ của ăng-ten).

Khi phân tích tín hiệu truyền thông, người ta thường mong muốn làm việc với năng lượng tín hiệu. Chúng ta sẽ gọi nó là tín hiệu năng lượng khi và chỉ khi nó có năng lượng hữu hạn khác không tại bất kỳ thời điểm nào ( ), trong đó

(1.7)

TẠI tình huống thật sự chúng ta luôn truyền tín hiệu với năng lượng hữu hạn (). Tuy nhiên, để mô tả các tín hiệu tuần hoàn, theo định nghĩa (Phương trình (1.2)) luôn tồn tại và do đó, có năng lượng vô hạn, và để làm việc với các tín hiệu ngẫu nhiên cũng có năng lượng vô hạn, sẽ thuận tiện để định nghĩa một loại tín hiệu được biểu thị bằng thuật ngữ quyền lực. Vì vậy, sẽ thuận tiện để biểu diễn tín hiệu sử dụng công suất nếu nó tuần hoàn và tại bất kỳ thời điểm nào có công suất cuối cùng khác không (), trong đó

(1.8)

Một tín hiệu nhất định có thể được quy cho năng lượng hoặc định kỳ. Tín hiệu năng lượng có năng lượng hữu hạn nhưng công suất trung bình bằng không, trong khi tín hiệu định kỳ có công suất trung bình bằng không nhưng năng lượng vô hạn. Tín hiệu trong hệ thống có thể được biểu thị dưới dạng năng lượng hoặc các giá trị định kỳ. Theo nguyên tắc chung, các tín hiệu định kỳ và ngẫu nhiên được biểu thị dưới dạng công suất và các tín hiệu xác định và không tuần hoàn được biểu thị dưới dạng năng lượng.

Năng lượng tín hiệu và công suất là hai tham số quan trọng trong việc mô tả một hệ thống truyền thông. Phân loại tín hiệu thành tín hiệu năng lượng hoặc tín hiệu tuần hoàn là một mô hình thuận tiện tạo điều kiện thuận lợi cho việc xử lý toán học các tín hiệu và tiếng ồn khác nhau. Mục 3.1.5 phát triển những ý tưởng này trong bối cảnh hệ thống truyền thông kỹ thuật số.

1.2.5. Hàm xung đơn vị

Một chức năng hữu ích trong lý thuyết giao tiếp là xung đơn vị, hoặc chức năng Dirac delta. Hàm xung là một sự trừu tượng, một xung có biên độ vô hạn, độ rộng bằng không và trọng lượng đơn vị (diện tích dưới xung), tập trung tại điểm mà giá trị của đối số của nó bằng không. Xung lực đơn vị được cho bởi các quan hệ sau.

Không giới hạn tại một điểm (1.11)

(1.12)

Một xung đơn vị không phải là một hàm theo nghĩa thông thường của từ này. Nếu nó tham gia vào bất kỳ hoạt động nào, sẽ thuận tiện khi coi nó là một xung có biên độ hữu hạn, diện tích đơn vị và thời lượng khác không, sau đó cần xem xét giới hạn vì thời lượng xung có xu hướng bằng không. Về mặt đồ họa, nó có thể được mô tả như một đỉnh nằm tại một điểm có chiều cao bằng tích phân của nó hoặc diện tích của nó. Như vậy, với một hằng số NHƯNGđại diện cho một hàm xung có diện tích (hoặc trọng số) là NHƯNG, và giá trị bằng 0 ở mọi nơi ngoại trừ điểm .

Phương trình (1.12) được gọi là tính chất sàng lọc (hoặc lượng tử hóa) của hàm xung đơn vị; tích phân của một xung đơn vị và một hàm tùy ý cho một mẫu của hàm tại điểm .

1.3. mật độ quang phổ

Mật độ phổ của các đặc tính của tín hiệu là sự phân bố năng lượng hoặc công suất của tín hiệu trên một dải tần số. Khái niệm này có tầm quan trọng đặc biệt khi xem xét lọc trong các hệ thống thông tin liên lạc. Chúng ta cần có khả năng đánh giá tín hiệu và tiếng ồn ở đầu ra của bộ lọc. Khi tiến hành đánh giá như vậy, mật độ phổ năng lượng (ESD) hoặc mật độ phổ năng lượng (power spectrum density - PSD) được sử dụng.

1.3.1. Mật độ năng lượng quang phổ

Năng lượng toàn phần của một tín hiệu năng lượng thực xác định trong khoảng được mô tả bởi phương trình (1.7). Sử dụng định lý Parseval, chúng ta có thể liên hệ năng lượng của một tín hiệu như vậy được biểu thị trong miền thời gian với năng lượng được biểu thị trong miền tần số:

, (1.13)

biến đổi Fourier của tín hiệu không tuần hoàn ở đâu. ( Thông tin tóm tắt về phân tích Fourier có thể được tìm thấy trong Phụ lục A.) Biểu thị bằng phổ biên độ hình chữ nhật được xác định là

(1.14)

Đại lượng là mật độ năng lượng quang phổ (ESD) của tín hiệu. Do đó, từ phương trình (1.13) người ta có thể biểu diễn tổng năng lượng bằng tích phân mật độ phổ theo tần số.

(1.15)

Phương trình này cho thấy năng lượng của tín hiệu bằng diện tích dưới đồ thị trong miền tần số. Mật độ năng lượng quang phổ mô tả năng lượng tín hiệu trên một đơn vị băng thông và được đo bằng J/Hz. Các thành phần tần số dương và âm đóng góp năng lượng bằng nhau, vì vậy, đối với tín hiệu thực, giá trị là một hàm chẵn của tần số. Do đó, mật độ năng lượng phổ tần số đối xứng với gốc tọa độ và tổng năng lượng tín hiệu có thể được biểu thị như sau.

(1.16)

1.3.2. Mật độ phổ công suất

Công suất trung bình của tín hiệu thực trong biểu diễn tuần hoàn được xác định theo phương trình (1.8). Nếu là một tín hiệu định kỳ có chu kỳ , thì nó được phân loại là tín hiệu trong biểu diễn định kỳ. Biểu thức cho công suất trung bình của tín hiệu tuần hoàn được cho bởi công thức (1.6), trong đó trung bình thời gian được lấy trong một khoảng thời gian.

(1.17a)

Định lý Parseval cho tín hiệu tuần hoàn thực có dạng

, (1.17,b)

trong đó các số hạng là hệ số phức của chuỗi Fourier đối với tín hiệu tuần hoàn (xem Phụ lục A).

Để sử dụng phương trình (1.17.6), chỉ cần biết giá trị của các hệ số . Mật độ phổ công suất (PSD) của tín hiệu tuần hoàn, là hàm tần số thực, đều và không âm và cho biết phân bố công suất tín hiệu trên một dải tần số, được định nghĩa như sau.

(1.18)

Phương trình (1.18) xác định mật độ phổ công suất của tín hiệu tuần hoàn là một chuỗi các hàm delta có trọng số. Do đó, PSD của tín hiệu tuần hoàn là một hàm rời rạc của tần số. Sử dụng PSD được xác định trong phương trình (1.18), người ta có thể viết công suất chuẩn hóa trung bình của tín hiệu thực.

(1.19)

Phương trình (1.18) chỉ mô tả PSD của các tín hiệu tuần hoàn. Nếu là một tín hiệu không tuần hoàn, nó không thể được biểu diễn dưới dạng chuỗi Fourier; nếu nó là tín hiệu không tuần hoàn trong biểu diễn tuần hoàn (có năng lượng vô hạn), nó có thể không có biến đổi Fourier. Tuy nhiên, chúng ta vẫn có thể biểu thị mật độ phổ công suất của các tín hiệu đó trong giới hạn. Nếu chúng ta tạo một phiên bản rút gọn của tín hiệu không định kỳ trong biểu diễn định kỳ, chỉ lấy các giá trị của nó từ khoảng (), thì nó sẽ có năng lượng hữu hạn và biến đổi Fourier tương ứng . Có thể chỉ ra rằng mật độ phổ công suất của tín hiệu không tuần hoàn được định nghĩa là giới hạn.

(1.20)

Ví dụ 1.1. Công suất định mức trung bình

a) Tìm cường độ tín hiệu chuẩn hóa trung bình sử dụng thời gian trung bình.

b) Thực hiện mục a bằng cách tính tổng các hệ số phổ.

Dung dịch

a) Sử dụng phương trình (1.17, a), ta có:

b) Sử dụng các phương trình (1.18) và (1.19), ta thu được như sau.

(xem phụ lục A)

1.4. tự tương quan

1.4.1. Tự động tương quan tín hiệu năng lượng

Tương quan là quá trình phù hợp; tự tương quan là sự khớp của một tín hiệu với phiên bản trễ của chính nó. Hàm tự tương quan của tín hiệu năng lượng thực được định nghĩa như sau.

cho (1.21)

Hàm tự tương quan đưa ra thước đo độ tương tự của tín hiệu với bản sao của chính nó, được dịch chuyển theo đơn vị thời gian. Biến đóng vai trò là thông số quét hoặc tìm kiếm. không phải là một chức năng của thời gian; nó chỉ là một chức năng của sự khác biệt về thời gian giữa tín hiệu và bản sao được dịch chuyển của nó.

Hàm tự tương quan của tín hiệu năng lượng thực có các tính chất sau.

1.

3. tự tương quan và ESD là các phép biến đổi Fourier của nhau, được biểu thị bằng mũi tên hai đầu

4. giá trị tại 0 bằng với năng lượng tín hiệu

Sau khi hài lòng của đoạn văn. 1-3 là hàm tự tương quan. Điều kiện 4 là hệ quả của điều kiện 3 nên không cần đưa vào bộ chính để kiểm định hàm tự tương quan.

1.4.2. Autocorrelation của một tín hiệu định kỳ

Tự tương quan của tín hiệu tuần hoàn thực được định nghĩa như sau.

cho (1.22)

Nếu tín hiệu là tuần hoàn với chu kỳ , thì trung bình thời gian trong phương trình (1.22) có thể được lấy trong một chu kỳ và tự tương quan có thể được biểu thị như sau.

cho (1.23)

Tự tương quan của tín hiệu tuần hoàn nhận giá trị thực có các tính chất tương tự như tính chất của tín hiệu năng lượng.

1. đối xứng với không

2. đối với tất cả, giá trị tối đa bằng không

3. tự tương quan và ESD là biến đổi Fourier của nhau

4.

1.5. tín hiệu ngẫu nhiên

Nhiệm vụ chính của một hệ thống truyền thông là truyền thông tin qua một kênh truyền thông. Tất cả các tín hiệu tin nhắn hữu ích xuất hiện ngẫu nhiên, tức là người nhận không biết trước ký tự tin nhắn nào có thể sẽ được truyền đi. Ngoài ra, do các quá trình điện khác nhau, nhiễu xảy ra đi kèm với tín hiệu thông tin. Do đó, chúng ta cần một cách hiệu quả để mô tả các tín hiệu ngẫu nhiên.

1.5.1. biến ngẫu nhiên

Cho biến ngẫu nhiên HÀ)đại diện quan hệ hàm số giữa các sự kiện ngẫu nhiên NHƯNG và một số thực. Để thuận tiện cho việc ký hiệu, ta ký hiệu biến ngẫu nhiên là X và sự phụ thuộc chức năng của nó vào NHƯNG sẽ được coi là rõ ràng. Biến ngẫu nhiên có thể rời rạc hoặc liên tục. Phân phối của một biến ngẫu nhiên Xđược tìm bởi biểu thức:

, (1.24)

xác suất mà giá trị được chấp nhận ở đâu; biến ngẫu nhiên X nhỏ hơn một số thực X hoặc bằng nó. Hàm phân phối có các tính chất sau.

2. nếu

Một chức năng hữu ích khác liên quan đến biến ngẫu nhiên X, là mật độ xác suất, được viết như sau.

(1.25,a)

Như trong trường hợp này chức năng phân phối, mật độ xác suất là một hàm của một số thực X. Cái tên "hàm mật độ" xuất phát từ thực tế là xác suất của một sự kiện bằng như sau.

Sử dụng phương trình (1.25.6), chúng ta có thể viết gần đúng xác suất để một biến ngẫu nhiên X có một giá trị thuộc về một khoảng rất nhỏ giữa và .

Vì vậy, trong giới hạn có xu hướng bằng 0, chúng ta có thể viết như sau.

Mật độ xác suất có các tính chất sau.

2. .

Do đó, mật độ xác suất luôn không âm và có một đơn vị diện tích. Trong nội dung của cuốn sách, chúng tôi sẽ sử dụng ký hiệu để biểu thị mật độ xác suất cho một biến ngẫu nhiên liên tục. Để thuận tiện cho việc ký hiệu, chúng ta thường bỏ chỉ số X và viết đơn giản. Nếu một biến ngẫu nhiên X chỉ có thể chấp nhận giá trị rời rạc, để biểu thị mật độ xác suất, chúng ta sẽ sử dụng ký hiệu .

1.5.1.1. quần thể có nghĩa là

Giá trị trung bình hoặc giá trị kỳ vọng của một biến ngẫu nhiên Xđược xác định bởi biểu thức

, (1.26)

nơi được gọi là toán tử giá trị mong đợi. khoảng khăc N-phân phối xác suất bậc thứ của một biến ngẫu nhiên Xđược gọi là giá trị tiếp theo.

(1.27)

Đối với việc phân tích các hệ thống thông tin liên lạc, hai thời điểm đầu tiên của biến là quan trọng X. Vâng, tại N=1 phương trình (1.27) đưa ra thời điểm được xem xét ở trên và khi N= 1 - giá trị bình phương trung bình gốc X.

(1.28)

Người ta cũng có thể định nghĩa những khoảnh khắc trung tâm, đó là những khoảnh khắc của sự khác biệt X và . khoảnh khắc trung tâm bậc hai (còn gọi là độ phân tán) như sau.

phân tán X cũng được viết là , và Căn bậc hai của giá trị này, , được gọi là độ lệch chuẩn X. Độ phân tán là thước đo độ "phân tán" của một biến ngẫu nhiên X. Chỉ định phương sai của một biến ngẫu nhiên giới hạn độ rộng của hàm mật độ xác suất. Độ phân tán và RMS có liên quan với nhau theo mối quan hệ sau.

Do đó, phương sai bằng hiệu giữa bình phương trung bình gốc và bình phương của giá trị trung bình.

1.5.2. quá trình ngẫu nhiên

Một quá trình ngẫu nhiên có thể được xem như là một chức năng của hai biến: sự kiện NHƯNG và thời gian. Trên hình. 1.5 cho thấy một ví dụ về quá trình ngẫu nhiên. Đang hiển thị N các hàm mẫu của thời gian. Mỗi chức năng mẫu có thể được xem như đầu ra của một bộ tạo tiếng ồn riêng biệt. Đối với mỗi sự kiện, chúng tôi có một chức năng thời gian duy nhất (tức là hàm mẫu). Tập hợp tất cả các hàm mẫu được gọi là một tập hợp. Tại bất kỳ thời điểm nào, , là một biến ngẫu nhiên có giá trị phụ thuộc vào sự kiện. Và cuối cùng, cho một sự kiện cụ thể và cho một thời điểm cụ thể, là một số thông thường. Để thuận tiện cho ký hiệu, chúng tôi sẽ biểu thị quá trình ngẫu nhiên là X(t) và sự phụ thuộc hàm vào NHƯNG sẽ được coi là rõ ràng.

Hình.1.5. Quá trình tiếng ồn ngẫu nhiên

1.5.2.1. Ý nghĩa thống kê của một quá trình ngẫu nhiên

Vì giá trị của một quá trình ngẫu nhiên tại mỗi thời điểm tiếp theo là không xác định, nên một quá trình ngẫu nhiên có hàm phân phối liên tục có thể được mô tả thống kê dưới dạng mật độ xác suất. Nói chung, tại các thời điểm khác nhau, chức năng này cho một quá trình ngẫu nhiên sẽ có dạng khác nhau. Trong hầu hết các trường hợp, việc xác định theo kinh nghiệm phân bố xác suất của một quá trình ngẫu nhiên là không thực tế. Đồng thời, đối với nhu cầu của các hệ thống truyền thông, mô tả một phần thường là đủ, bao gồm cả giá trị trung bình và chức năng tự tương quan. Vì vậy, hãy xác định giá trị trung bình của quá trình ngẫu nhiên X(t) thế nào

, (1.30)

ở đâu là một biến ngẫu nhiên thu được bằng cách xem xét một quá trình ngẫu nhiên tại thời điểm , a là mật độ xác suất (mật độ trên tập hợp các sự kiện tại thời điểm ).

Hãy xác định hàm tự tương quan của quá trình ngẫu nhiên X(t) như một hàm của hai biến và

ở đâu và là các biến ngẫu nhiên thu được bằng cách xem xét X(t) tại các thời điểm và tương ứng. Hàm tự tương quan là thước đo mối quan hệ giữa hai mẫu thời gian của một quá trình ngẫu nhiên.

1.5.2.2. sự đứng yên

quá trình ngẫu nhiên X(t)được gọi là dừng theo nghĩa chặt chẽ nếu không có số liệu thống kê nào của nó bị ảnh hưởng bởi sự chuyển gốc thời gian. Một quá trình ngẫu nhiên được gọi là dừng theo nghĩa rộng nếu hai thống kê của nó, giá trị trung bình và hàm tự tương quan, không thay đổi khi gốc thời gian bị dịch chuyển. Như vậy, một quá trình nhìn chung là dừng nếu

Tính dừng theo nghĩa hẹp ngụ ý tính dừng theo nghĩa rộng, nhưng không phải ngược lại. Hầu hết các kết quả hữu ích của lý thuyết truyền thông đều dựa trên giả định rằng các tín hiệu thông tin ngẫu nhiên và tiếng ồn là cố định theo nghĩa rộng. Từ quan điểm thực tế, một quá trình ngẫu nhiên không nhất thiết phải luôn dừng, nó đủ để dừng trong một khoảng thời gian quan sát được có lợi cho thực tế.

Đối với các quá trình dừng, hàm tự tương quan trong phương trình (1.33) không phụ thuộc vào thời gian mà chỉ phụ thuộc vào hiệu . Nói cách khác, tất cả các cặp giá trị X(t) tại các thời điểm cách nhau khoảng , có cùng giá trị tương quan. Do đó, đối với các hệ tĩnh tại, hàm này có thể được viết đơn giản là .

1.5.2.3. Tự tương quan của các quá trình ngẫu nhiên, dừng theo nghĩa rộng

Giống như phương sai đưa ra thước đo tính ngẫu nhiên cho các biến ngẫu nhiên, hàm tự tương quan đưa ra thước đo tương tự cho các quá trình ngẫu nhiên. Đối với các quá trình dừng theo nghĩa rộng, hàm tự tương quan chỉ phụ thuộc vào chênh lệch thời gian.

Đối với một quy trình cố định rộng rãi với giá trị trung bình bằng 0, hàm này cho biết mức độ tương quan về mặt thống kê của các biến ngẫu nhiên của quy trình được phân tách bằng giây. Nói cách khác, nó cung cấp thông tin về đáp ứng tần số liên quan đến quá trình ngẫu nhiên. Nếu nó thay đổi chậm khi nó tăng từ 0 đến một giá trị nào đó, điều này cho thấy rằng, trung bình, các giá trị mẫu X(t), lấy tại các thời điểm và , gần như bằng nhau. Do đó, chúng ta có quyền mong đợi rằng trong biểu diễn tần số X(t) tần số thấp sẽ chiếm ưu thế. Mặt khác, nếu nó giảm nhanh chóng khi tăng , người ta sẽ mong đợi rằng X(t) sẽ thay đổi nhanh chóng theo thời gian và do đó sẽ bao gồm chủ yếu là các tần số cao.

Hàm tự tương quan của một quá trình dừng theo nghĩa rộng và nhận các giá trị thực có các tính chất sau.

1. đối xứng với không

2. cho tất cả các giá trị tối đa là bằng không

3. tự tương quan và mật độ phổ công suất là các phép biến đổi Fourier của nhau

4. giá trị ở mức 0 bằng với cường độ tín hiệu trung bình

1.5.3. Thời gian trung bình và Ergodicity

Để tính toán và bằng cách lấy trung bình trên tập hợp, chúng ta cần lấy trung bình chúng trên tất cả các hàm mẫu của quy trình và do đó, chúng ta cần thông tin đầy đủ về sự phân bố lẫn nhau của các hàm mật độ xác suất trong phép tính gần đúng thứ nhất và thứ hai. Trong trường hợp chung, theo quy định, thông tin đó không có sẵn.

Nếu một quy trình ngẫu nhiên thuộc về một lớp đặc biệt được gọi là lớp quy trình ergodic, thì trung bình thời gian của nó bằng trung bình toàn bộ và các thuộc tính thống kê của quy trình có thể được xác định bằng cách lấy trung bình một hàm mẫu của quy trình theo thời gian. Để một quá trình ngẫu nhiên trở thành ergodic, nó phải dừng theo nghĩa chặt chẽ (không cần thiết phải làm ngược lại). Tuy nhiên, đối với các hệ thống truyền thông, nơi tính ổn định theo nghĩa rộng là đủ đối với chúng ta, chúng ta chỉ quan tâm đến giá trị trung bình và hàm tự tương quan.

Một quá trình ngẫu nhiên được cho là ergodic đối với giá trị trung bình nếu

(1.35)

và ergodic đối với hàm tự tương quan nếu

(1.36)

Thử nghiệm một quy trình ngẫu nhiên cho tính linh hoạt thường khá khó khăn. Trong thực tế, như một quy luật, một giả định trực quan được sử dụng về tính hiệu quả của việc thay thế trung bình toàn bộ bằng trung bình thời gian. Khi phân tích hầu hết các tín hiệu trong các kênh truyền thông (trong trường hợp không có hiệu ứng xung), sẽ hợp lý khi giả định rằng các tín hiệu ngẫu nhiên là ergodic đối với chức năng tự tương quan. Vì đối với các quá trình ergodic, trung bình thời gian bằng với trung bình toàn bộ, các tham số điện cơ bản, chẳng hạn như biên độ của thành phần DC, giá trị bình phương trung bình gốc và công suất trung bình, có thể được liên kết với các khoảnh khắc của quá trình ngẫu nhiên ergodic.

1. Giá trị bằng thành phần DC của tín hiệu.

2. Giá trị bằng công suất chuẩn hóa của thành phần DC.

3. Thời điểm của lệnh thứ hai X(t), , bằng với tổng công suất chuẩn hóa trung bình.

4. Giá trị bằng với giá trị rms của tín hiệu được biểu thị dưới dạng dòng điện hoặc điện áp.

5. Độ tán sắc bằng công suất chuẩn hóa trung bình của tín hiệu xoay chiều.

6. Nếu giá trị trung bình của quá trình bằng 0 (nghĩa là ), thì , và phương sai bằng với giá trị rms hoặc (cách diễn đạt khác) phương sai biểu thị tổng công suất trong tải chuẩn hóa.

7. Độ lệch chuẩn là giá trị chuẩn của tín hiệu biến đổi.

8. Nếu , thì là giá trị RMS của tín hiệu.

1.5.4. Mật độ phổ công suất và tự tương quan của một quá trình ngẫu nhiên

quá trình ngẫu nhiên X(t) có thể được quy cho tín hiệu tuần hoàn có mật độ phổ công suất như được chỉ ra trong phương trình (1.20). Chức năng này đặc biệt hữu ích trong các hệ thống thông tin liên lạc vì nó mô tả sự phân bố công suất tín hiệu trên một dải tần số. Mật độ phổ công suất cho phép bạn ước tính công suất của tín hiệu sẽ được truyền qua mạng với các đặc tính tần số đã biết. Các tính chất cơ bản hàm mật độ phổ công suất có thể được xây dựng như sau.

1. Luôn lấy giá trị thực

2. vì X(t) lấy giá trị thực

3. tự tương quan và mật độ phổ công suất là các phép biến đổi Fourier của nhau

4. mối quan hệ giữa công suất chuẩn hóa trung bình và mật độ phổ công suất

Trên hình. 1,6 đã cho Trình bày trực quan hàm tự tương quan và hàm mật độ phổ công suất. Thuật ngữ "tương quan" nghĩa là gì? Khi chúng ta quan tâm đến mối tương quan của hai hiện tượng, chúng ta hỏi xem chúng có quan hệ mật thiết với nhau như thế nào về hành vi hoặc vẻ bề ngoài và chúng trùng khớp đến mức nào. Trong toán học, hàm tự tương quan của tín hiệu (trong miền thời gian) mô tả sự tương ứng của tín hiệu với chính nó, bị dịch chuyển trong một khoảng thời gian. Một bản sao chính xác được coi là đã được tạo và bản địa hóa ở âm vô cực. Sau đó ta tuần tự di chuyển bản sao theo chiều dương của trục thời gian và hỏi xem chúng (bản gốc và bản sao) tương ứng với nhau như thế nào. Sau đó, chúng tôi di chuyển bản sao thêm một bước theo hướng tích cực và hỏi hiện tại chúng khớp với nhau bao nhiêu, v.v. Mối tương quan giữa hai tín hiệu được mô tả như là một hàm của thời gian, ký hiệu là ; trong trường hợp này, thời gian có thể được coi là một tham số quét.

Trên hình. 1.6 a-d tình huống được mô tả ở trên được mô tả tại một số thời điểm. Cơm. 1.6 một minh họa một tín hiệu duy nhất của một quá trình ngẫu nhiên đứng yên rộng rãi X(t). Tín hiệu là một chuỗi nhị phân ngẫu nhiên với các xung dương và âm (lưỡng cực) có biên độ đơn vị. Các xung tích cực và tiêu cực xuất hiện với xác suất bằng nhau. Thời lượng của mỗi xung (chữ số nhị phân) là t giây, và giá trị trung bình, hoặc giá trị của thành phần không đổi của chuỗi ngẫu nhiên, bằng không. Trên hình. 1.6 b trình tự tương tự được hiển thị, thay đổi theo thời gian tính bằng giây. Dựa theo chỉ định được chấp nhận, dãy này được ký hiệu là . Giả sử quá trình X(t) là ergodic đối với hàm tự tương quan, vì vậy chúng ta có thể sử dụng tính trung bình theo thời gian thay vì tính trung bình toàn bộ để tìm. Giá trị thu được bằng cách nhân hai chuỗi X(t) và với việc tìm ra giá trị trung bình tiếp theo khi sử dụng phương trình (1.36), phương trình này chỉ có giá trị đối với các quá trình ergodic trong giới hạn. Tuy nhiên, tích phân trên một số nguyên chu kỳ có thể cho chúng ta một số ước tính của . Lưu ý những gì có thể thu được bằng cách dịch chuyển X(t) theo cả hướng tích cực và tiêu cực. Một trường hợp tương tự được minh họa trong Hình. 1.6 Trong, trên đó chuỗi mẫu ban đầu được sử dụng (Hình 1.6, một) và bản sao dịch chuyển của nó (Hình 1.6, b). Các khu vực bóng mờ dưới đường cong sản phẩm đóng góp tích cực cho sản phẩm, trong khi các khu vực màu xám đóng góp tiêu cực. Tích hợp theo thời gian truyền cho một điểm trên đường cong. Trình tự có thể được dịch chuyển xa hơn và mỗi lần dịch chuyển như vậy sẽ cho một điểm trên hàm tự tương quan tổng thể, như trong Hình. 1.6 g. Nói cách khác, mỗi chuỗi xung lưỡng cực ngẫu nhiên tương ứng với một điểm tự tương quan trên đường cong tổng quát được minh họa trong Hình 1. 1.6 g. Cực đại của hàm tại một điểm (phù hợp nhất là khi , bằng 0, vì với mọi ) và hàm giảm xuống dưới dạng . Trên hình. 1.6 g các điểm tương ứng với và được hiển thị.

Biểu thức phân tích cho hàm tự tương quan, được thể hiện trong hình. 1.6 g, có dạng như sau.

(1.37)

Lưu ý rằng chức năng tự tương quan cung cấp cho chúng tôi thông tin về tần số; nó cho chúng ta biết điều gì đó về băng thông của tín hiệu. Đồng thời, tự tương quan là một chức năng tạm thời; trong công thức (1.37) không có số hạng nào phụ thuộc tần số. Vì vậy, làm thế nào nó cung cấp cho chúng tôi thông tin băng thông?

Hình.1.6. Tự tương quan và mật độ phổ công suất

Hình.1.6. Tự tương quan và mật độ phổ công suất (kết thúc)

Giả sử rằng tín hiệu đang di chuyển rất chậm (tín hiệu có băng thông thấp). Nếu chúng ta dịch chuyển bản sao của tín hiệu dọc theo trục, đặt câu hỏi ở mỗi giai đoạn của quá trình dịch chuyển là bản sao và bản gốc tương ứng với nhau ở mức độ nào, thì sự tương ứng sẽ khá mạnh trong một thời gian dài. Nói cách khác, hàm tự tương quan tam giác (Hình 1.6, g và công thức 1.37) sẽ giảm dần khi tăng . Bây giờ chúng ta hãy giả sử rằng tín hiệu thay đổi đủ nhanh (nghĩa là chúng ta có dải tần lớn). Trong trường hợp này, thậm chí sự thay đổi nhỏ sẽ làm cho mối tương quan bằng 0 và hàm tự tương quan có dạng rất hẹp. Do đó, so sánh các hàm tự tương quan theo hình dạng cho chúng ta một số thông tin về băng thông của tín hiệu. Cơ năng có giảm dần không? Trong trường hợp này, chúng tôi có một tín hiệu với dải hẹp. Hình dạng của hàm có giống đỉnh hẹp không? Sau đó, tín hiệu có một dải rộng.

Hàm tự tương quan cho phép bạn biểu thị rõ ràng mật độ phổ công suất của tín hiệu ngẫu nhiên. Do mật độ phổ công suất và hàm tự tương quan là các phép biến đổi Fourier của nhau, nên mật độ phổ công suất, , của một chuỗi xung lưỡng cực ngẫu nhiên có thể được tìm thấy dưới dạng biến đổi Fourier của hàm , có biểu thức giải tích được cho trong phương trình (1.37) . Để làm điều này, bạn có thể sử dụng bảng. A.1. thông báo rằng

(1.38)

Hình thức chung chức năng được hiển thị trong hình. 1.6 đ.

Lưu ý rằng khu vực dưới đường cong mật độ phổ công suất biểu thị công suất tín hiệu trung bình. Một phép đo thuận tiện của băng thông là chiều rộng của thùy quang phổ chính (xem Phần 1.7.2). Trên hình. 1.6 đ nó chỉ ra rằng băng thông của tín hiệu có liên quan đến nghịch đảo của thời lượng ký hiệu hoặc độ rộng xung. Cơm. 1.6 f-k chính thức lặp lại Hình. 1.6 Địa ngục, ngoại trừ trong các hình dưới đây, thời lượng xung ngắn hơn. Lưu ý rằng đối với các xung ngắn hơn, chức năng này hẹp hơn (Hình 1.6, và) so với những cái dài hơn (Hình 1.6, g). Trên hình. 1.6 và; nói cách khác, trong trường hợp thời lượng xung ngắn hơn, sự dịch chuyển của , là đủ để tạo ra kết quả khớp null hoặc làm mất hoàn toàn mối tương quan giữa các chuỗi được dịch chuyển. Vì trong hình. 1.6 e thời lượng xung tít hơn (tốc độ truyền xung cao hơn) so với trong Hình. 1.6 một, tỷ lệ chiếm dụng băng tần trong Hình. 1.6 đến chiếm nhiều băng tần hơn cho tần số xung thấp hơn được hiển thị trong hình. 1.6 đ.

1.5.5. Tiếng ồn trong hệ thống thông tin liên lạc

Thuật ngữ "nhiễu" dùng để chỉ các tín hiệu điện không mong muốn luôn hiện diện trong hệ thống điện. Sự hiện diện của tiếng ồn chồng lên tín hiệu "che khuất", hoặc mặt nạ, tín hiệu; điều này hạn chế khả năng của người nhận trong việc đưa ra quyết định chính xác về ý nghĩa của các ký hiệu và do đó hạn chế tốc độ thông tin. Bản chất của tiếng ồn rất đa dạng và bao gồm cả nguồn tự nhiên và nhân tạo. Tiếng ồn do con người tạo ra là tiếng ồn đánh lửa, tiếng ồn xung chuyển mạch và tiếng ồn từ các nguồn bức xạ điện từ có liên quan khác. Tiếng ồn tự nhiên đến từ bầu khí quyển, mặt trời và các nguồn thiên hà khác.

Thiết kế kỹ thuật tốt có thể loại bỏ hầu hết nhiễu hoặc các hiệu ứng không mong muốn của nó thông qua lọc, sàng lọc, lựa chọn điều chế và vị trí máy thu tối ưu. Ví dụ, các phép đo thiên văn vô tuyến nhạy cảm thường được thực hiện ở các vùng sa mạc xa xôi, cách xa các nguồn nhiễu tự nhiên. Tuy nhiên, có một tiếng ồn tự nhiên, được gọi là tiếng ồn nhiệt, không thể loại bỏ được. Nhiễu nhiệt được gây ra bởi chuyển động nhiệt của các điện tử trong tất cả các thành phần tiêu tán - điện trở, dây dẫn, v.v. Các electron tương tự chịu trách nhiệm về độ dẫn điện cũng chịu trách nhiệm về nhiễu nhiệt.

Nhiễu nhiệt có thể được mô tả như một quá trình ngẫu nhiên Gauss với giá trị trung bình bằng không. quá trình Gaussian n(t) là một hàm ngẫu nhiên, giá trị của nó và tại một thời điểm tùy ý tđược đặc trưng thống kê bởi hàm mật độ xác suất Gaussian:

, (1.40)

phương sai ở đâu N. Hàm mật độ quá trình Gaussian được chuẩn hóa với giá trị trung bình bằng 0 thu được theo giả định rằng . Hàm mật độ xác suất được chuẩn hóa theo sơ đồ được hiển thị trong hình. 1.7.

Đây là một tín hiệu ngẫu nhiên, một- một tín hiệu trong kênh liên lạc, và N là một biến ngẫu nhiên biểu thị nhiễu Gaussian. Sau đó, hàm mật độ xác suất được biểu thị dưới dạng

, (1.41)

trong đó, như trên, là phương sai N.

Hình.1.7. Chuẩn hóa () Hàm mật độ xác suất Gaussian

Phân bố Gaussian thường được sử dụng làm mô hình cho nhiễu trong một hệ thống, vì có một định lý biên trung tâm, phát biểu rằng đối với rất điều kiện chung phân phối xác suất tổng j các biến ngẫu nhiên độc lập về mặt thống kê tuân theo phân phối Gaussian và dạng của các hàm phân phối riêng lẻ không quan trọng. Do đó, ngay cả khi các cơ chế tiếng ồn riêng lẻ sẽ có phân phối không phải Gaussian, thì tập hợp nhiều cơ chế như vậy sẽ có xu hướng phân phối Gaussian.

1.5.5.1. tiếng ồn trắng

Đặc tính phổ chính của nhiễu nhiệt là mật độ phổ công suất của nó giống nhau đối với tất cả các tần số quan tâm trong hầu hết các hệ thống thông tin liên lạc; nói cách khác, một nguồn nhiễu nhiệt phát ra ở tất cả các tần số với công suất bằng nhau trên một đơn vị băng thông - từ DC đến tần số theo thứ tự Hz. Do đó, một mô hình nhiễu nhiệt đơn giản giả định rằng mật độ phổ công suất của nó là đồng nhất cho tất cả các tần số, như trong Hình. 1.8 một, và được viết dưới dạng sau.

(1.42)

Ở đây, hệ số 2 được đưa vào để chỉ ra rằng đó là mật độ phổ công suất hai phía. Khi công suất nhiễu có mật độ phổ đồng đều như vậy, chúng tôi gọi đây là nhiễu trắng. Tính từ "trắng" được sử dụng theo nghĩa tương tự như đối với ánh sáng trắng, chứa các phần bằng nhau của tất cả các tần số trong phổ điện từ nhìn thấy được.

Hình.1.8. Tiếng ồn trắng: a) mật độ phổ công suất;

b) hàm tự tương quan

Hàm tự tương quan nhiễu trắng được cho bởi biến đổi Fourier nghịch đảo của mật độ phổ công suất nhiễu (xem Bảng A.1) và được viết như sau.

(1.43)

Do đó, tự tương quan của nhiễu trắng là một hàm delta, được tính trọng số bởi một hệ số và nằm tại điểm , như trong Hình. 1.8 b. Lưu ý rằng bằng 0 cho , nghĩa là, hai mẫu khác nhau tiếng ồn trắng không tương quan, cho dù chúng ở gần nhau đến đâu.

Công suất tiếng ồn trắng trung bình là vô hạn vì băng thông tiếng ồn trắng là vô hạn. Điều này có thể được nhìn thấy bằng cách thu được biểu thức sau từ các phương trình (1.19) và (1.42).

(1.44)

Mặc dù tiếng ồn trắng là một khái niệm trừu tượng rất hữu ích, nhưng thực tế không có quá trình tiếng ồn nào có thể là màu trắng; tuy nhiên, tiếng ồn xuất hiện trong nhiều hệ thống thực có thể được coi là màu trắng. Chúng ta chỉ có thể quan sát tiếng ồn như vậy sau khi nó đã đi qua hệ thống thực, có băng thông hữu hạn. Do đó, miễn là băng thông của tiếng ồn lớn hơn đáng kể so với băng thông được sử dụng bởi hệ thống, tiếng ồn có thể được coi là có băng thông vô hạn.

Hàm delta trong phương trình (1.43) có nghĩa là tín hiệu nhiễu n(t) hoàn toàn không tương quan với phiên bản thiên vị của chính nó cho bất kỳ . Phương trình (1.43) cho thấy hai mẫu bất kỳ của quá trình nhiễu trắng không tương quan với nhau. Vì nhiễu nhiệt là một quá trình Gaussian và các mẫu của nó không tương quan, nên các mẫu nhiễu cũng độc lập. Do đó, ảnh hưởng của kênh nhiễu Gaussian trắng bổ sung đối với quá trình phát hiện là nhiễu ảnh hưởng độc lập đến từng ký hiệu được truyền. Kênh như vậy được gọi là kênh không bộ nhớ. Thuật ngữ "phụ gia" có nghĩa là nhiễu chỉ đơn giản là được thêm vào hoặc thêm vào tín hiệu - không tồn tại cơ chế nhân nào.

Do nhiễu nhiệt có mặt trong tất cả các hệ thống thông tin liên lạc và là nguồn nhiễu đáng kể cho hầu hết các hệ thống nên các đặc tính nhiễu nhiệt (phụ gia, trắng và Gaussian) thường được sử dụng để mô hình hóa nhiễu trong các hệ thống thông tin liên lạc. Do nhiễu Gaussian trung bình bằng 0 được đặc trưng đầy đủ bởi phương sai của nó, nên mô hình này đặc biệt dễ sử dụng trong phát hiện tín hiệu và thiết kế máy thu tối ưu. Trong cuốn sách này, chúng tôi sẽ giả định (trừ khi có quy định khác) rằng hệ thống bị hỏng do nhiễu Gaussian trắng phụ gia trung bình bằng 0, mặc dù đôi khi sự đơn giản hóa này sẽ quá mạnh.

1.6. Truyền tín hiệu qua hệ thống đường dây

Bây giờ chúng ta đã phát triển một tập hợp các mô hình tín hiệu và tiếng ồn, hãy xem xét các đặc điểm của hệ thống và ảnh hưởng của chúng đối với tín hiệu và tiếng ồn. Vì một hệ thống có thể được đặc trưng tốt như nhau trong cả miền tần số và thời gian, nên các phương pháp đã được phát triển trong cả hai trường hợp để phân tích phản ứng của hệ thống tuyến tính đối với tín hiệu đầu vào tùy ý. Tín hiệu được áp dụng cho đầu vào của hệ thống (Hình 1.9) có thể được mô tả dưới dạng tín hiệu thời gian, hoặc thông qua biến đổi Fourier của nó, . Cách sử dụng phân tích thời gianđưa ra đầu ra thời gian và trong quá trình này, chức năng, đáp ứng xung hoặc đáp ứng xung của mạng sẽ được xác định. Khi xem xét đầu vào trong miền tần số, chúng ta phải xác định đáp ứng tần số của hệ thống hoặc hàm truyền, sẽ xác định đầu ra tần số. Giả thiết rằng hệ thống là tuyến tính và bất biến theo thời gian. Người ta cũng giả định rằng hệ thống không có năng lượng tiềm ẩn tại thời điểm tín hiệu đầu vào được đưa ra.

Hình.1.9. Hệ thống tuyến tính và các tham số chính của nó

1.6.1. đáp ứng xung

Hệ thống hoặc mạng tuyến tính, bất biến theo thời gian được hiển thị trong Hình. 1.9 được mô tả (trong miền thời gian) bởi đáp ứng xung , là đáp ứng của hệ thống khi một xung đơn được áp dụng cho đầu vào của nó.

Hãy xem xét thuật ngữ "phản ứng xung", cực kỳ thích hợp cho sự kiện này. Việc mô tả các đặc tính của một hệ thống thông qua đáp ứng xung của nó có một diễn giải vật lý trực tiếp. Ở đầu vào của hệ thống, chúng tôi áp dụng một xung đơn (tín hiệu không thực có biên độ vô hạn, độ rộng bằng không và diện tích đơn vị), như trong Hình. 1.10, một. Việc cung cấp một xung như vậy cho hệ thống có thể được coi là một "tác động tức thì". Hệ thống sẽ phản ứng như thế nào (“đáp ứng”) với tác dụng của lực (xung lực) như vậy? Tín hiệu đầu ra là đáp ứng xung của hệ thống. (Một dạng có thể có của phản ứng này được thể hiện trong Hình 1.10, b.)

Đáp ứng của mạng đối với một tín hiệu tùy ý là một tích chập với , được viết như sau.

(1.46)

Hình.1.10. Một minh họa về khái niệm "đáp ứng xung": a) tín hiệu đầu vào là đơn hàm xung; b) tín hiệu đầu ra là đáp ứng xung của hệ thống

Ở đây, dấu "*" biểu thị phép toán tích chập (xem điều A.5). Hệ thống được giả định là nhân quả, có nghĩa là không có tín hiệu ở đầu ra cho đến khi tín hiệu được đưa vào đầu vào. Do đó, giới hạn dưới của tích phân có thể được lấy bằng 0 và đầu ra có thể được biểu thị theo một cách hơi khác.

(1.47,a)

hoặc ở dạng

(1.47b)

Các biểu thức trong phương trình (1.46) và (1.47) được gọi là tích phân chập. Convolution là một bộ máy toán học cơ bản đóng vai trò vai trò quan trọng trong việc hiểu tất cả các hệ thống thông tin liên lạc. Nếu bạn đọc chưa quen với thao tác này, bạn nên tham khảo Phần A.5 để biết đạo hàm của các phương trình (1.46) và (1.47).

1.6.2. Chức năng truyền tần số

Đầu ra tần số thu được bằng cách áp dụng biến đổi Fourier cho cả hai vế của phương trình (1.46). Vì tích chập trong miền thời gian trở thành phép nhân trong miền tần số (và ngược lại), từ phương trình (1.46), chúng ta nhận được như sau.

(Tất nhiên, nó được giả định là cho mọi .) Ở đây , biến đổi Fourier của đáp ứng xung, được gọi là hàm truyền tần số, đáp ứng tần số hoặc đáp ứng tần số của mạng. Nói chung, chức năng này phức tạp và có thể được viết là

, (1.50)

mô đun đáp ứng ở đâu. Giai đoạn đáp ứng được định nghĩa như sau.

(1.51)

(và biểu thị phần thực và phần ảo của đối số.)

Chức năng truyền tần số của mạng tuyến tính, bất biến theo thời gian có thể được đo dễ dàng bằng điều kiện phòng thí nghiệm- trong mạng có bộ tạo sóng hài ở đầu vào và máy hiện sóng ở đầu ra. Nếu tín hiệu đầu vào được thể hiện dưới dạng

,

sau đó đầu ra có thể được viết như sau.

Tần số đầu vào được thay đổi theo giá trị mà chúng tôi quan tâm; do đó, các phép đo ở đầu vào và đầu ra cho phép xác định loài.

1.6.2.1. Quá trình ngẫu nhiên và hệ thống tuyến tính

Nếu một quá trình ngẫu nhiên tạo thành đầu vào của một hệ thống tuyến tính, bất biến theo thời gian, thì ở đầu ra của hệ thống này, chúng ta cũng thu được một quá trình ngẫu nhiên. Nói cách khác, mỗi hàm mẫu của quá trình đầu vào cho một hàm mẫu của quá trình đầu ra. Mật độ phổ công suất đầu vào và mật độ phổ công suất đầu ra có liên quan với nhau theo mối quan hệ sau.

(1.53)

Phương trình (1.53) cung cấp một cách đơn giản để tìm mật độ phổ công suất ở đầu ra của một hệ thống tuyến tính, bất biến theo thời gian khi một quá trình ngẫu nhiên được áp dụng làm đầu vào.

Trong Chương 3 và 4, chúng ta sẽ xem xét việc phát hiện tín hiệu trong nhiễu Gaussian. Thuộc tính chính của các quy trình Gaussian sẽ được áp dụng cho một hệ thống tuyến tính. Nó sẽ chỉ ra rằng nếu một quá trình Gaussian được đưa vào bộ lọc tuyến tính bất biến theo thời gian, thì quá trình ngẫu nhiên , là đầu ra, cũng là Gaussian.

1.6.3. Truyền không bị biến dạng

Điều gì là cần thiết để một mạng hoạt động như một kênh truyền dẫn lý tưởng? Tín hiệu ở đầu ra của một kênh liên lạc lý tưởng có thể bị trễ so với tín hiệu ở đầu vào; Ngoài ra, các tín hiệu này có thể có các biên độ khác nhau (thay đổi tỷ lệ đơn giản), nhưng đối với mọi thứ khác - tín hiệu không được bị biến dạng, tức là. nó phải có cùng hình dạng với tín hiệu đầu vào. Do đó, để truyền dẫn không bị biến dạng lý tưởng, chúng ta có thể mô tả tín hiệu đầu ra là

, (1.54)

ở đâu và là các hằng số. Áp dụng biến đổi Fourier cho cả hai phần (xem phần A.3.1), chúng ta có điều sau đây.

(1.55)

Thay biểu thức (1.55) vào phương trình (1.49) ta thấy hàm truyền cần thiết của hệ thống để truyền không méo có dạng như sau.

(1.56)

Do đó, để có được đường truyền lý tưởng mà không bị biến dạng, đáp ứng tổng thể của hệ thống phải có mô đun không đổi và sự dịch pha phải tuyến tính theo tần số. Việc hệ thống tăng hoặc giảm tất cả các thành phần tần số như nhau là chưa đủ. Tất cả các sóng hài của tín hiệu phải đến đầu ra với cùng độ trễ để chúng có thể được tính tổng. Vì độ trễ được liên kết với sự dịch pha và tần số theo chu kỳ theo mối quan hệ

, (1.57,a)

Rõ ràng là, để độ trễ của tất cả các thành phần là như nhau, thì độ lệch pha phải tỷ lệ thuận với tần số. Để đo méo tín hiệu do trễ gây ra, người ta thường sử dụng một đặc tính gọi là trễ nhóm; Nó được định nghĩa như sau.

(1.57b)

Do đó, để truyền không bị biến dạng, chúng ta có hai yêu cầu tương đương: pha phải tuyến tính về tần số hoặc độ trễ nhóm phải bằng một hằng số. Trong thực tế, tín hiệu sẽ bị méo khi đi qua một số phần của hệ thống. Để loại bỏ sự biến dạng này, các mạch điều chỉnh pha hoặc biên độ (cân bằng) có thể được đưa vào hệ thống. Nói chung, biến dạng là một đặc tính I/O chung của một hệ thống xác định hiệu suất của nó.

1.6.3.1. bộ lọc lý tưởng

Việc xây dựng một mạng lý tưởng được mô tả bởi phương trình (1.56) là không thực tế. Vấn đề là phương trình (1.56) giả sử băng thông vô hạn, với băng thông hệ thống được xác định bởi dải tần số dương trong đó mô đun có giá trị cho trước. (Nói chung, có một số phép đo băng thông; những phép đo phổ biến nhất được liệt kê trong Phần 1.7.) Để tính gần đúng cho một mạng lý tưởng có băng thông vô hạn, chúng tôi chọn một mạng bị cắt bớt để truyền qua mà không làm biến dạng tất cả các sóng hài có tần số nằm giữa và ở đâu. tần số cắt thấp hơn, và là tần số cao hơn, như thể hiện trong hình. 1.11. Tất cả các mạng như vậy được gọi là bộ lọc lý tưởng. Người ta cho rằng bên ngoài phạm vi, được gọi là dải thông (passband), biên độ đáp ứng của một bộ lọc lý tưởng bằng không. Băng thông hiệu quả được xác định bởi băng thông bộ lọc và là Hz.

Nếu và , bộ lọc được gọi là truyền (Hình 1.11, một). Nếu và có giá trị hữu hạn, nó được gọi là bộ lọc thông thấp (Hình 1.11, b). Nếu nó có giá trị khác 0 và , nó được gọi là bộ lọc thông cao (Hình 1.11, Trong).

Hình.1.11. Hàm truyền của bộ lọc lý tưởng: a) bộ lọc truyền lý tưởng; b) bộ lọc thông thấp lý tưởng; c) bộ lọc thông thấp lý tưởng

Sử dụng phương trình (1.59) và giả sử một bộ lọc thông thấp lý tưởng với băng thông Hz như trong hình. 1.11 b, hàm truyền có thể được viết như sau.

(1.58)

Đáp ứng xung của bộ lọc thông thấp lý tưởng, được thể hiện trong Hình. 1.12 được thể hiện bằng công thức sau.

Hình.1.12. Đáp ứng xung của bộ lọc thông thấp lý tưởng

trong đó hàm được xác định trong phương trình (1.39). Đáp ứng xung thể hiện trong hình. 1.12 là phi nhân quả; điều này có nghĩa là tại thời điểm tín hiệu được đưa vào đầu vào (), có một phản hồi khác không ở đầu ra của bộ lọc. Vì vậy, rõ ràng là bộ lọc lý tưởng được mô tả bởi phương trình (1.58) không thực sự xảy ra.

Ví dụ 1.2. Truyền nhiễu trắng qua bộ lọc lý tưởng

Tiếng ồn trắng với mật độ phổ công suất thể hiện trong Hình 1.8, một, được áp dụng cho đầu vào của bộ lọc thông thấp lý tưởng được hiển thị trong Hình. 1.11 b. Xác định mật độ phổ công suất và hàm tự tương quan của tín hiệu ra.

Dung dịch

Hàm tự tương quan là kết quả của việc áp dụng biến đổi Fourier nghịch đảo cho mật độ phổ công suất. Hàm tự tương quan được xác định theo biểu thức sau (xem Bảng A.1).

So sánh kết quả thu được với công thức (1.62) ta thấy nó có dạng giống như đáp ứng xung của một bộ lọc thông thấp lý tưởng như hình 1. 1.12. Trong ví dụ này, một bộ lọc thông thấp lý tưởng chuyển đổi hàm tự tương quan của nhiễu trắng (được định nghĩa theo hàm delta) thành một hàm . Sau khi lọc, hệ thống sẽ không còn tiếng ồn trắng. Tín hiệu nhiễu đầu ra sẽ chỉ có tương quan bằng không với các bản sao được dịch chuyển của nó khi được dịch chuyển bởi , ở đâu là bất kỳ số nguyên khác không nào.

1.6.3.2. Bộ lọc đã triển khai

Bộ lọc thông thấp đơn giản nhất có thể được thực hiện bao gồm điện trở (R) và điện dung (C), như trong Hình. 1.13 một; bộ lọc này được gọi là bộ lọc RC và hàm truyền của nó có thể được biểu diễn như sau.

, (1.63)

ở đâu . Đặc tính biên độ và đặc tính pha được thể hiện trong hình. 1.13 b, Trong. Băng thông của bộ lọc thông thấp được xác định tại một nửa điểm công suất; điểm này biểu thị tần số tại đó công suất tín hiệu đầu ra bằng một nửa giá trị cực đại hoặc tần số tại đó biên độ điện áp đầu ra bằng giá trị cực đại.

Nói chung, điểm nửa công suất được biểu thị bằng decibel (dB) dưới dạng điểm -3 dB hoặc điểm thấp hơn 3 dB so với giá trị tối đa. Theo định nghĩa, giá trị tính bằng decibel được xác định bởi tỷ lệ lũy thừa và .

(1.64, a)

Ở đây và là hiệu điện thế, a và là điện trở. Trong các hệ thống thông tin liên lạc, công suất chuẩn hóa thường được sử dụng để phân tích; trong trường hợp này, các điện trở và được coi là bằng 1 ohm, sau đó

Hình.1.13. Bộ lọc RC và hàm truyền của nó: a) Bộ lọc RC; b) đặc tính biên độ của bộ lọc RC; c) đáp ứng pha của bộ lọc RC

(1.64, b)

Đáp ứng biên độ có thể được biểu thị bằng decibel như

, (1,64, năm)

ở đâu và là điện áp đầu vào và đầu ra, và điện trở đầu vào và đầu ra được coi là bằng nhau.

Từ phương trình (1.63), có thể dễ dàng kiểm tra xem nửa điểm công suất của bộ lọc thông thấp RC có tương ứng với rad/s hoặc Hz hay không. Do đó, băng thông tính bằng hertz là . Yếu tố hình thức bộ lọc là thước đo mức độ gần đúng của bộ lọc thực với bộ lọc lý tưởng. Nó thường được định nghĩa là tỷ lệ của băng thông bộ lọc -60 dB và -6 dB. Hệ số dạng đủ nhỏ (khoảng 2) có thể thu được trong bộ lọc truyền dẫn có đường cắt rất sắc nét. Để so sánh, hệ số hình thức của bộ lọc thông thấp RC đơn giản là khoảng 600.

Có một số xấp xỉ hữu ích về đặc tính của bộ lọc thông thấp lý tưởng. Một trong số chúng được cung cấp bởi bộ lọc Butterworth, xấp xỉ bộ lọc thông thấp lý tưởng với chức năng

, (1.65)

ở đâu là tần số cắt trên (-3 dB) và là thứ tự của bộ lọc. Thứ tự càng cao thì độ phức tạp và chi phí triển khai bộ lọc càng cao. Trên hình. 1.14 hiển thị đồ thị biên độ cho một số giá trị. Lưu ý rằng khi và phát triển, các đặc điểm biên độ tiếp cận các đặc điểm của một bộ lọc lý tưởng. Bộ lọc Butterworth phổ biến vì chúng là xấp xỉ tốt nhất của trường hợp lý tưởng về độ phẳng băng thông bộ lọc tối đa.