Kỳ vọng toán học là phân phối xác suất của một biến ngẫu nhiên

Kỳ vọng toán học, định nghĩa, kỳ vọng toán học của các biến ngẫu nhiên rời rạc và liên tục, kỳ vọng có điều kiện, chọn lọc, phép tính, thuộc tính, nhiệm vụ, ước tính kỳ vọng, phương sai, hàm phân phối, công thức, ví dụ tính toán

Mở rộng nội dung

Thu gọn nội dung

Kỳ vọng toán học là, định nghĩa

Một trong những khái niệm quan trọng nhất trong thống kê toán học và lý thuyết xác suất, đặc trưng cho sự phân bố các giá trị hoặc xác suất của một biến ngẫu nhiên. Thường được thể hiện dưới dạng bình quân gia quyền tất cả các tham số có thể có của biến ngẫu nhiên. Được sử dụng rộng rãi trong phân tích kỹ thuật, nghiên cứu dãy số, việc nghiên cứu các quá trình liên tục và lâu dài. Điều quan trọng trong việc đánh giá rủi ro, dự đoán các chỉ số giá khi giao dịch trên thị trường tài chính, nó được sử dụng trong việc phát triển các chiến lược và phương pháp chiến thuật trò chơi trên lý thuyết bài bạc.

Kỳ vọng toán học là giá trị trung bình của một biến ngẫu nhiên, phân phối xác suất của một biến ngẫu nhiên được xem xét trong lý thuyết xác suất.

Kỳ vọng toán học là thước đo giá trị trung bình của một biến ngẫu nhiên trong lý thuyết xác suất. Kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên x biểu thị M (x).

Kỳ vọng toán học là

Kỳ vọng toán học là trong lý thuyết xác suất, trung bình có trọng số của tất cả các giá trị có thể có mà biến ngẫu nhiên này có thể nhận.

Kỳ vọng toán học là tổng các tích của tất cả các giá trị có thể có của một biến ngẫu nhiên bằng xác suất của các giá trị này.

Kỳ vọng toán học là lợi ích trung bình từ một quyết định cụ thể, với điều kiện là một quyết định như vậy có thể được xem xét trong khuôn khổ lý thuyết những con số lớn và khoảng cách xa.

Kỳ vọng toán học là trong lý thuyết cờ bạc, số tiền thắng cược mà người chơi có thể kiếm được hoặc mất trung bình cho mỗi lần đặt cược. Theo cách nói của người chơi cờ bạc, điều này đôi khi được gọi là "cạnh của người chơi" (nếu nó là tích cực đối với người chơi) hoặc "cạnh của nhà cái" (nếu nó là tiêu cực đối với người chơi).

Kỳ vọng toán học là Tỷ lệ phần trăm lợi nhuận trên mỗi trận thắng nhân với lợi nhuận trung bình trừ xác suất thua lỗ nhân với số lỗ trung bình.

Kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên trong lý thuyết toán học

Một trong những đặc điểm số quan trọng của biến ngẫu nhiên là kỳ vọng toán học. Hãy để chúng tôi giới thiệu khái niệm về một hệ thống các biến ngẫu nhiên. Xét một tập hợp các biến ngẫu nhiên là kết quả của cùng một thí nghiệm ngẫu nhiên. Nếu là một trong những giá trị có thể có của hệ thống, thì sự kiện tương ứng với một xác suất nhất định thỏa mãn tiên đề Kolmogorov. Một hàm được xác định cho mọi giá trị có thể có của các biến ngẫu nhiên được gọi là luật phân phối chung. Chức năng này cho phép bạn tính toán xác suất của bất kỳ sự kiện nào từ. Đặc biệt, quy luật chung về phân phối của các biến ngẫu nhiên và, nhận các giá trị từ tập hợp và, được đưa ra bởi các xác suất.

Thuật ngữ "kỳ vọng" được giới thiệu bởi Pierre Simon Marquis de Laplace (1795) và bắt nguồn từ khái niệm "giá trị hoàn trả kỳ vọng", xuất hiện lần đầu vào thế kỷ 17 trong lý thuyết về cờ bạc trong các tác phẩm của Blaise Pascal và Christian Huygens. . Tuy nhiên, sự hiểu biết và đánh giá lý thuyết hoàn chỉnh đầu tiên về khái niệm này đã được đưa ra bởi Pafnuty Lvovich Chebyshev (giữa thế kỷ 19).

Quy luật phân phối của các biến số ngẫu nhiên (hàm phân phối và chuỗi phân phối hoặc mật độ xác suất) hoàn toàn mô tả hành vi của một biến ngẫu nhiên. Nhưng trong một số bài toán, chỉ cần biết một số đặc điểm số của đại lượng đang nghiên cứu (ví dụ, giá trị trung bình và độ lệch có thể có của nó) là đủ để trả lời câu hỏi đặt ra. Các đặc điểm số chính của biến ngẫu nhiên là kỳ vọng toán học, phương sai, chế độ và trung vị.

Kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên rời rạc là tổng tích các giá trị có thể có của nó và xác suất tương ứng của chúng. Đôi khi kỳ vọng toán học được gọi là trung bình có trọng số, vì nó gần bằng giá trị trung bình số học của các giá trị quan sát của một biến ngẫu nhiên trong một số lượng lớn các thí nghiệm. Từ định nghĩa của kỳ vọng toán học, giá trị của nó không nhỏ hơn giá trị nhỏ nhất có thể có của một biến ngẫu nhiên và không lớn hơn giá trị lớn nhất. Kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên là một biến không ngẫu nhiên (hằng số).

Kỳ vọng toán học có một ý nghĩa vật lý đơn giản: nếu một đơn vị khối lượng được đặt trên một đường thẳng, thì đặt một số khối lượng tại một số điểm (cho phân phối rời rạc), hoặc "bôi bẩn" nó với một mật độ nhất định (đối với một phân bố tuyệt đối liên tục), thì điểm tương ứng với kỳ vọng toán học sẽ là tọa độ của "trọng tâm" của đường thẳng.

Giá trị trung bình của một biến ngẫu nhiên là một số nhất định, như là "đại diện" của nó và thay thế nó trong các phép tính gần đúng thô. Khi chúng tôi nói: “thời gian hoạt động của đèn trung bình là 100 giờ” hoặc “điểm tác động trung bình được dịch chuyển so với mục tiêu về bên phải 2 m”, chúng tôi chỉ ra một đặc tính số nhất định của một biến ngẫu nhiên mô tả nó vị trí trên trục số, tức là mô tả vị trí.

Từ các đặc điểm của vị trí trong lý thuyết xác suất vai trò thiết yếuđóng vai trò kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên, mà đôi khi được gọi đơn giản là giá trị trung bình của một biến ngẫu nhiên.

Xem xét một biến ngẫu nhiên X, có các giá trị có thể x1, x2,…, xn với xác suất p1, p2,…, pn. Chúng ta cần mô tả đặc điểm của một số vị trí của các giá trị của biến ngẫu nhiên trên trục x, có tính đến thực tế là các giá trị này có các xác suất khác nhau. Với mục đích này, điều tự nhiên là sử dụng cái gọi là "trung bình có trọng số" của các giá trị xi, và mỗi giá trị xi trong quá trình lấy trung bình phải được tính đến với “trọng số” tỷ lệ với xác suất của giá trị này. Do đó, chúng ta sẽ tính giá trị trung bình của biến ngẫu nhiên X, mà chúng tôi sẽ biểu thị M | X |:

Mức trung bình có trọng số này được gọi là kỳ vọng toán học của biến ngẫu nhiên. Vì vậy, chúng tôi đã giới thiệu một trong những khái niệm quan trọng nhất của lý thuyết xác suất - khái niệm kỳ vọng toán học. Kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên là tổng các tích của tất cả các giá trị có thể có của một biến ngẫu nhiên và xác suất của các giá trị này.

X do sự phụ thuộc đặc biệt vào giá trị trung bình cộng của các giá trị quan sát của một biến ngẫu nhiên với một số lượng lớn các thí nghiệm. Sự phụ thuộc này cùng loại với sự phụ thuộc giữa tần số và xác suất, cụ thể là: với một số lượng lớn các thí nghiệm, trung bình cộng của các giá trị quan sát của một biến ngẫu nhiên tiếp cận (hội tụ trong xác suất) kỳ vọng toán học của nó. Từ sự hiện diện của mối quan hệ giữa tần suất và xác suất, người ta có thể suy ra sự tồn tại của mối quan hệ tương tự giữa giá trị trung bình số học và kỳ vọng toán học. Thật vậy, hãy xem xét một biến ngẫu nhiên X, được đặc trưng bởi một loạt các bản phân phối:

Hãy để nó được sản xuất N các thử nghiệm độc lập, trong mỗi thử nghiệm đó giá trị X chấp nhận giá trị nhất định. Giả sử giá trị x1đã xuất hiện m1 thời gian, giá trị x2đã xuất hiện m2 thời gian, ý nghĩa chung xi xuất hiện mi lần. Hãy để chúng tôi tính giá trị trung bình cộng của các giá trị quan sát được của X, trái ngược với kỳ vọng toán học M | X | chúng tôi sẽ biểu thị M * | X |:

Với sự gia tăng số lượng thử nghiệm N tần số số Pi sẽ tiếp cận (hội tụ trong xác suất) các xác suất tương ứng. Do đó, trung bình cộng của các giá trị quan sát của biến ngẫu nhiên M | X | với sự gia tăng số lượng thí nghiệm, nó sẽ tiếp cận (hội tụ về xác suất) với kỳ vọng toán học của nó. Mối liên hệ giữa giá trị trung bình cộng và kỳ vọng toán học được xây dựng ở trên tạo thành nội dung của một trong các dạng của luật số lớn.

Chúng ta đã biết rằng tất cả các dạng của quy luật số lớn đều nói lên một thực tế là các giá trị trung bình nhất định là ổn định trong một số lượng lớn các thí nghiệm. Nơi đây chúng tôi đang nói chuyện về tính ổn định của trung bình cộng từ một loạt các quan sát có cùng giá trị. Với một số lượng nhỏ các thí nghiệm, giá trị trung bình cộng của các kết quả của chúng là ngẫu nhiên; với sự gia tăng đủ số lượng thử nghiệm, nó trở nên "gần như không phải ngẫu nhiên" và, ổn định, tiếp cận giá trị hiện có- kỳ vọng toán học.

Tính chất ổn định của giá trị trung bình đối với một số lượng lớn các thí nghiệm rất dễ kiểm chứng bằng thực nghiệm. Ví dụ, cân bất kỳ cơ thể nào trong phòng thí nghiệm trên những chiếc cân chính xác, do kết quả của việc cân chúng ta nhận được một giá trị mới mỗi lần; để giảm sai số khi quan sát, chúng tôi cân khối lượng nhiều lần và sử dụng giá trị trung bình cộng của các giá trị thu được. Dễ dàng nhận thấy rằng với việc tăng thêm số lượng thí nghiệm (cân), trung bình cộng phản ứng với sự gia tăng này ngày càng ít đi, và với một số lượng đủ lớn các thí nghiệm, thực tế nó không còn thay đổi.

Cần lưu ý rằng đặc điểm quan trọng nhất về vị trí của một biến ngẫu nhiên - kỳ vọng toán học - không tồn tại đối với tất cả các biến ngẫu nhiên. Có thể làm ví dụ về các biến ngẫu nhiên như vậy mà kỳ vọng toán học không tồn tại, vì tổng hoặc tích phân tương ứng khác nhau. Tuy nhiên, đối với thực tế, những trường hợp như vậy không được quan tâm nhiều. Thông thường, các biến ngẫu nhiên mà chúng ta đang xử lý có một phạm vi giới hạn các giá trị có thể có và tất nhiên, có một kỳ vọng.

Ngoài đặc điểm quan trọng nhất về vị trí của biến ngẫu nhiên - kỳ vọng toán học, các đặc điểm về vị trí khác đôi khi được sử dụng trong thực tế, đặc biệt là phương thức và trung vị của biến ngẫu nhiên.

Chế độ của một biến ngẫu nhiên là giá trị có thể xảy ra nhất của nó. Thuật ngữ "giá trị có khả năng xảy ra cao nhất", nói một cách chính xác, chỉ áp dụng cho các đại lượng không liên tục; đối với một đại lượng liên tục, chế độ là giá trị tại đó mật độ xác suất là lớn nhất. Các số liệu cho thấy chế độ của các biến ngẫu nhiên không liên tục và liên tục, tương ứng.

Nếu đa giác phân phối (đường cong phân phối) có nhiều hơn một cực đại, thì phân phối được cho là "đa phương thức".

Đôi khi có những phân phối ở giữa không phải là tối đa mà là tối thiểu. Các phân phối như vậy được gọi là "đối cực".

TẠI trường hợp chung chế độ và kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên không trùng nhau. Trong một trường hợp cụ thể, khi phân phối là đối xứng và phương thức (nghĩa là có một phương thức) và có một kỳ vọng toán học, thì nó trùng với phương thức và tâm đối xứng của phân phối.

Một đặc tính khác của vị trí thường được sử dụng - cái gọi là trung vị của một biến ngẫu nhiên. Đặc tính này thường chỉ được sử dụng cho các biến ngẫu nhiên liên tục, mặc dù nó cũng có thể được định nghĩa chính thức cho một biến không liên tục. Về mặt hình học, trung vị là abscissa của điểm mà tại đó khu vực bị giới hạn bởi đường cong phân phối được chia đôi.

Trong trường hợp phân phối phương thức đối xứng, trung vị trùng với giá trị trung bình và phương thức.

Kỳ vọng toán học là giá trị trung bình của một biến ngẫu nhiên - một đặc tính số của phân phối xác suất của một biến ngẫu nhiên. nhiều nhất Một cách tổng quát kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên X (w)được định nghĩa là tích phân Lebesgue đối với phép đo xác suất R trong không gian xác suất ban đầu:

Kỳ vọng toán học cũng có thể được tính dưới dạng tích phân Lebesgue của X theo phân phối xác suất px số lượng X:

Theo cách hiểu tự nhiên, người ta có thể định nghĩa khái niệm biến ngẫu nhiên với kỳ vọng toán học vô hạn. Một ví dụ điển hình là thời gian quay lại trong một số lần đi bộ ngẫu nhiên.

Với sự trợ giúp của kỳ vọng toán học, nhiều đặc điểm số và hàm của phân phối được xác định (như kỳ vọng toán học của các hàm tương ứng của một biến ngẫu nhiên), ví dụ, hàm sinh, hàm đặc trưng, ​​mômen của bất kỳ thứ tự nào, cụ thể là phương sai , hiệp phương sai.

Kỳ vọng toán học là một đặc điểm của vị trí của các giá trị của một biến ngẫu nhiên (giá trị trung bình của phân phối của nó). Trong khả năng này, kỳ vọng toán học đóng vai trò là một tham số phân phối "điển hình" nào đó và vai trò của nó tương tự như vai trò của mômen tĩnh - tọa độ trọng tâm của phân bố khối lượng - trong cơ học. Từ các đặc điểm khác của vị trí, với sự trợ giúp của phân phối được mô tả bằng các thuật ngữ chung - phương tiện, phương thức, kỳ vọng toán học khác ở chỗ giá trị lớn, mà nó và đặc tính tán xạ tương ứng - độ phân tán - có trong các định lý giới hạn của lý thuyết xác suất. Với tính hoàn chỉnh lớn nhất, ý nghĩa của kỳ vọng toán học được bộc lộ bởi quy luật số lớn (bất đẳng thức Chebyshev) và định luật số lớn được củng cố.

Kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên rời rạc

Giả sử có một số biến ngẫu nhiên có thể nhận một trong một số giá trị số (ví dụ: số điểm trong một cuộn súc sắc có thể là 1, 2, 3, 4, 5 hoặc 6). Thông thường trong thực tế, đối với một giá trị như vậy, câu hỏi đặt ra: nó nhận giá trị nào "trung bình" với một số lượng lớn các phép thử? Lợi nhuận (hoặc lỗ) trung bình của chúng ta từ mỗi giao dịch rủi ro là bao nhiêu?

Giả sử có một số loại xổ số. Chúng tôi muốn hiểu liệu việc tham gia vào nó có sinh lợi hay không (hoặc thậm chí tham gia nhiều lần, thường xuyên). Giả sử rằng mỗi vé thứ tư trúng thưởng, giải thưởng sẽ là 300 rúp và giá của bất kỳ vé nào sẽ là 100 rúp. Với số lượng người tham gia vô hạn, đây là những gì sẽ xảy ra. Trong ba phần tư trường hợp, chúng tôi sẽ thua, cứ ba lần thua sẽ có giá 300 rúp. Trong mọi trường hợp thứ tư, chúng tôi sẽ giành được 200 rúp. (giải thưởng trừ đi chi phí), nghĩa là đối với bốn lần tham gia, chúng tôi mất trung bình 100 rúp, cho một - trung bình là 25 rúp. Tổng cộng, tỷ lệ đổ nát trung bình của chúng tôi sẽ là 25 rúp cho mỗi vé.

Chúng tôi ném xúc xắc. Nếu nó không gian lận (không dịch chuyển trọng tâm, v.v.), thì trung bình chúng ta sẽ có bao nhiêu điểm tại một thời điểm? Vì mỗi tùy chọn có khả năng xảy ra như nhau, chúng tôi lấy trung bình cộng ngu ngốc và nhận được 3,5. Vì đây là AVERAGE, không cần phải phẫn nộ khi không có cú ném cụ thể nào sẽ cho 3,5 điểm - à, khối lập phương này không có mặt với số như vậy!

Bây giờ chúng ta hãy tóm tắt các ví dụ của chúng tôi:

Chúng ta hãy nhìn vào hình ảnh ngay trên. Bên trái là bảng phân phối của một biến ngẫu nhiên. Giá trị của X có thể nhận một trong n giá trị có thể (cho ở hàng trên cùng). Không thể có giá trị nào khác. Dưới mỗi giá trị có thể, xác suất của nó được ký dưới đây. Ở bên phải là một công thức, trong đó M (X) được gọi là kỳ vọng toán học. Ý nghĩa của giá trị này là với một số lượng lớn các thử nghiệm (với mẫu lớn) giá trị trung bình sẽ hướng đến kỳ vọng rất toán học này.

Hãy quay lại với cùng một khối lập phương đang chơi. Kỳ vọng toán học của số điểm trong một lần ném là 3,5 (hãy tự tính toán bằng công thức nếu bạn không tin). Giả sử bạn đã ném nó một vài lần. 4 và 6. rớt ra. Trung bình, nó ra 5, tức là khác xa 3,5. Họ ném nó một lần nữa, 3 chiếc rơi ra, tức là trung bình (4 + 6 + 3) / 3 = 4,3333 ... Bằng cách nào đó khác xa với kỳ vọng toán học. Bây giờ hãy làm một thí nghiệm điên rồ - cuộn khối lập phương 1000 lần! Và nếu mức trung bình không chính xác là 3,5, thì nó sẽ gần với mức đó.

Hãy tính toán kỳ vọng toán học cho xổ số được mô tả ở trên. Bảng sẽ trông như thế này:

Sau đó, kỳ vọng toán học sẽ là, như chúng ta đã thiết lập ở trên:

Một điều nữa là nó cũng “trên ngón tay”, không có công thức, nếu có thêm lựa chọn sẽ rất khó. Giả sử có 75% số vé thua, 20% số vé trúng thưởng và 5% số vé trúng thưởng.

Bây giờ một số tính chất của kỳ vọng toán học.

Thật dễ dàng để chứng minh điều đó:

Một hệ số nhân không đổi có thể được lấy ra khỏi dấu kỳ vọng, đó là:

Đây là một trường hợp đặc biệt của thuộc tính tuyến tính của kỳ vọng toán học.

Một hệ quả khác của tính tuyến tính của kỳ vọng toán học:

nghĩa là, kỳ vọng toán học của tổng các biến ngẫu nhiên bằng tổng kỳ vọng toán học của các biến ngẫu nhiên.

Gọi X, Y là các biến ngẫu nhiên độc lập, sau đó:

Điều này cũng dễ dàng chứng minh) XY bản thân nó là một biến ngẫu nhiên, trong khi nếu các giá trị ban đầu có thể lấy N và m các giá trị tương ứng, sau đó XY có thể nhận giá trị nm. Xác suất của mỗi giá trị được tính dựa trên thực tế là các xác suất sự kiện độc lập nhân. Kết quả là, chúng tôi nhận được điều này:

Kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên liên tục

Các biến ngẫu nhiên liên tục có một đặc tính như mật độ phân phối (mật độ xác suất). Trên thực tế, nó mô tả tình huống mà một số giá trị từ tập hợp số thực một biến ngẫu nhiên diễn ra thường xuyên hơn, một số - ít thường xuyên hơn. Ví dụ, hãy xem xét biểu đồ này:

Nơi đây X- thực sự là một biến ngẫu nhiên, f (x)- mật độ phân bố. Đánh giá bằng biểu đồ này, trong quá trình thử nghiệm, giá trị X thường sẽ là một số gần bằng không. cơ hội vượt quá 3 hoặc ít hơn -3 chứ không phải là lý thuyết thuần túy.

Ví dụ, có một phân phối đồng đều:

Điều này khá phù hợp với cách hiểu trực quan. Giả sử nếu chúng ta nhận được nhiều số thực ngẫu nhiên có phân phối đồng đều, mỗi đoạn |0; 1| , thì trung bình cộng phải là khoảng 0,5.

Các thuộc tính của kỳ vọng toán học - tuyến tính, v.v., áp dụng cho các biến ngẫu nhiên rời rạc, cũng có thể áp dụng ở đây.

Mối quan hệ của kỳ vọng toán học với các chỉ số thống kê khác

Trong phân tích thống kê, cùng với kỳ vọng toán học, có một hệ thống các chỉ tiêu phụ thuộc lẫn nhau phản ánh tính đồng nhất của các hiện tượng và tính ổn định của các quá trình. Thông thường, các chỉ báo biến thiên không có ý nghĩa độc lập và được sử dụng để phân tích dữ liệu sâu hơn. Ngoại lệ là hệ số biến thiên, đặc trưng cho tính đồng nhất của dữ liệu, có giá trị đặc điểm thống kê.

Mức độ thay đổi hoặc ổn định của các quá trình trong khoa học thống kê có thể được đo lường bằng cách sử dụng một số chỉ số.

Phần lớn chỉ số quan trọngđặc trưng cho sự thay đổi của một biến ngẫu nhiên là Sự phân tán, liên quan chặt chẽ và trực tiếp nhất đến kỳ vọng toán học. Tham số này được sử dụng tích cực trong các loại phân tích thống kê khác (kiểm tra giả thuyết, phân tích mối quan hệ nguyên nhân và kết quả, v.v.). Giống như độ lệch tuyến tính trung bình, phương sai cũng phản ánh mức độ lan truyền của dữ liệu xung quanh Kích thước trung bình.

Sẽ rất hữu ích khi chuyển ngôn ngữ của các dấu hiệu sang ngôn ngữ của lời nói. Nó chỉ ra rằng sự phân tán là hình vuông ở giữa các sai lệch. Tức là, giá trị trung bình được tính trước, sau đó chênh lệch giữa mỗi giá trị gốc và giá trị trung bình được lấy, bình phương, cộng lại và sau đó chia cho số giá trị trong tập hợp này. Sự khác biệt giữa giá trị riêng biệt và giá trị trung bình phản ánh thước đo độ lệch. Nó được bình phương để tất cả các sai lệch trở thành duy nhất số dương và để tránh sự phá hủy lẫn nhau của tích cực và sai lệch tiêu cực khi tổng hợp chúng lại. Sau đó, với độ lệch bình phương, chúng ta chỉ cần tính trung bình cộng. Trung bình - bình phương - độ lệch. Độ lệch được bình phương và được coi là giá trị trung bình. manh mối từ ma thuật"phân tán" chỉ là ba từ.

Tuy nhiên, trong thể tinh khiết, chẳng hạn như giá trị trung bình số học hoặc chỉ số, phương sai không được sử dụng. Nó đúng hơn là một chỉ báo phụ trợ và trung gian được sử dụng cho các loại phân tích thống kê khác. Cô ấy thậm chí không có một đơn vị đo lường bình thường. Đánh giá theo công thức, đây là bình phương của đơn vị dữ liệu ban đầu.

Hãy đo lường một biến ngẫu nhiên N lần, ví dụ, chúng tôi đo tốc độ gió mười lần và muốn tìm giá trị trung bình. Giá trị trung bình có liên quan như thế nào đến hàm phân phối?

Hoặc chúng ta sẽ tung xúc xắc nhiều lần. Số điểm sẽ xuất hiện trên súc sắc trên mỗi cuộn là biến ngẫu nhiên và có thể nhận bất kỳ giá trị tự nhiên nào từ 1 đến 6. Trung bình cộng của điểm ghi được cho tất cả các lần tung xúc xắc cũng là một biến ngẫu nhiên, nhưng đối với N nó khao khát con số cụ thể- kỳ vọng toán học Mx. Trong trường hợp này, Mx = 3,5.

Giá trị này đến như thế nào? Cho vào N thử nghiệm n1 khi 1 điểm bị giảm, n2 lần - 2 điểm, v.v. Sau đó, số lượng kết quả trong đó một điểm giảm:

Tương tự đối với các kết quả khi 2, 3, 4, 5 và 6 điểm rơi ra.

Bây giờ chúng ta giả sử rằng chúng ta đã biết luật phân phối của biến ngẫu nhiên x, tức là chúng ta biết rằng biến ngẫu nhiên x có thể nhận các giá trị x1, x2, ..., xk với các xác suất p1, p2, ... , pk.

Kỳ vọng toán học Mx của một biến ngẫu nhiên x là:

Kỳ vọng toán học không phải lúc nào cũng là một ước lượng hợp lý của một số biến ngẫu nhiên. Vì vậy, để ước tính giá trị trung bình tiền công hợp lý hơn khi sử dụng khái niệm trung vị, nghĩa là, một giá trị sao cho số người nhận ít hơn mức lương trung bình và nhiều hơn, là như nhau.

Xác suất p1 để biến ngẫu nhiên x nhỏ hơn x1 / 2 và xác suất p2 để biến ngẫu nhiên x lớn hơn x1 / 2 là như nhau và bằng 1/2. Giá trị trung bình không được xác định duy nhất cho tất cả các phân phối.

Chuẩn hoặc độ lệch chuẩn trong thống kê, mức độ sai lệch của dữ liệu quan sát hoặc tập hợp từ giá trị AVERAGE được gọi. Được biểu thị bằng các chữ cái s hoặc s. Độ lệch chuẩn nhỏ chỉ ra rằng dữ liệu được nhóm xung quanh giá trị trung bình và độ lệch chuẩn lớn chỉ ra rằng dữ liệu ban đầu khác xa nó. Độ lệch chuẩn bằng căn bậc hai lượng gọi là độ phân tán. Nó là giá trị trung bình của tổng các chênh lệch bình phương của dữ liệu ban đầu lệch khỏi giá trị trung bình. Độ lệch chuẩn của một biến ngẫu nhiên là căn bậc hai của phương sai:

Thí dụ. Trong điều kiện thử nghiệm khi bắn vào một mục tiêu, hãy tính phương sai và độ lệch chuẩn của một biến ngẫu nhiên:

Biến thể- Sự biến động, biến đổi của giá trị thuộc tính tính bằng đơn vị của quần thể. Các giá trị số riêng biệt của một đối tượng địa lý xảy ra trong tổng thể được nghiên cứu được gọi là các biến thể của giá trị. Tính không hiệu quả của giá trị trung bình cho đặc điểm hoàn chỉnh tổng hợp khiến chúng tôi bổ sung các giá trị trung bình với các chỉ số cho phép chúng tôi đánh giá mức độ điển hình của các giá trị trung bình này bằng cách đo lường sự biến động (biến thiên) của đặc điểm đang nghiên cứu. Hệ số biến thiên được tính theo công thức:

Biến thể nhịp(R) là hiệu số giữa giá trị lớn nhất và giá trị tối thiểu tính trạng trong quần thể nghiên cứu. Chỉ số này mang lại nhiều nhất ý tưởng chung về sự biến động của đặc điểm đang nghiên cứu, vì nó chỉ cho thấy sự khác biệt giữa các giá trị giới hạn của các tùy chọn. Sự phụ thuộc Giá trị cực đoan dấu hiệu cho biết phạm vi biến thể không ổn định, nhân vật ngẫu nhiên.

Độ lệch tuyến tính trung bình là trung bình cộng của độ lệch tuyệt đối (môđun) của tất cả các giá trị của tổng thể được phân tích so với giá trị trung bình của chúng:

Kỳ vọng toán học trong lý thuyết cờ bạc

Kỳ vọng toán học là số tiền trung bình mà một con bạc có thể thắng hoặc thua trong một lần đặt cược nhất định. Đây là một khái niệm rất quan trọng đối với một người chơi, bởi vì nó là cơ bản để đánh giá hầu hết các tình huống trong trò chơi. Kỳ vọng toán học cũng là công cụ tốt nhất để phân tích bố cục thẻ cơ bản và các tình huống trong trò chơi.

Giả sử bạn đang chơi đồng xu với một người bạn, đặt cược 1 đô la như nhau mỗi lần, bất kể điều gì xảy ra. Vỹ - bạn thắng, đầu - bạn thua. Khả năng nó xuất hiện các đầu là 1-1 và bạn đang đặt cược từ 1 đô la đến 1 đô la. Do đó, kỳ vọng toán học của bạn là 0, bởi vì nói về mặt toán học, bạn không thể biết mình sẽ dẫn đầu hay thua sau hai vòng hoặc sau 200.

Mức tăng hàng giờ của bạn là 0. Thanh toán hàng giờ là số tiền bạn mong đợi để giành được trong một giờ. Bạn có thể lật đồng xu 500 lần trong vòng một giờ, nhưng bạn sẽ không thể thắng hoặc thua vì tỷ lệ cược của bạn không tích cực cũng không tiêu cực. Nếu bạn nhìn, từ góc độ của một người chơi nghiêm túc, một hệ thống cá cược như vậy không phải là xấu. Nhưng nó chỉ là một sự lãng phí thời gian.

Nhưng giả sử ai đó muốn đặt cược 2 đô la với 1 đô la của bạn trong cùng một trò chơi. Sau đó, bạn ngay lập tức có một kỳ vọng tích cực là 50 xu từ mỗi lần đặt cược. Tại sao lại là 50 xu? Trung bình, bạn thắng một lần đặt cược và thua lần thứ hai. Đặt cược đồng đô la đầu tiên và thua 1 đô la, đặt cược đồng thứ hai và thắng 2 đô la. Bạn đã đặt cược 1 đô la hai lần và dẫn trước 1 đô la. Vì vậy, mỗi lần đặt cược một đô la của bạn đã mang lại cho bạn 50 xu.

Nếu đồng xu giảm 500 lần trong một giờ, thì số tiền kiếm được hàng giờ của bạn sẽ là 250 đô la, bởi vì. trung bình, bạn thua $ 1 250 lần và thắng $ 2 250 lần. 500 đô la trừ 250 đô la bằng 250 đô la, là tổng số tiền thắng. Lưu ý rằng giá trị kỳ vọng, là số tiền bạn thắng trung bình trong một lần đặt cược, là 50 xu. Bạn đã giành được 250 đô la khi đặt cược một đô la 500 lần, tương đương với 50 xu tiền đặt cược của bạn.

Kỳ vọng toán học không liên quan gì đến kết quả ngắn hạn. Đối thủ của bạn, người đã quyết định đặt cược 2 đô la với bạn, có thể đánh bại bạn trong mười lần tung đầu tiên liên tiếp, nhưng bạn, với lợi thế đặt cược 2 ăn 1, tất cả những thứ khác đều ngang nhau, hãy kiếm 50 xu cho mỗi lần đặt cược 1 đô la dưới bất kỳ trường hợp. Bạn thắng hay thua một ván hay vài ván không quan trọng mà chỉ cần bạn có đủ tiền mặt để dễ dàng bù đắp chi phí. Nếu bạn tiếp tục đặt cược theo cùng một cách, thì trong một thời gian dài, tiền thắng cược của bạn sẽ trở thành tổng các giá trị mong đợi trong các lần quay riêng lẻ.

Mỗi khi bạn đặt cược tốt nhất (đặt cược có thể sinh lời trong thời gian dài) khi tỷ lệ cược có lợi cho bạn, bạn nhất định giành được thứ gì đó trên đó, cho dù bạn có thua hay không trong một ván bài nhất định. Ngược lại, nếu bạn đặt cược tệ hơn (đặt cược không có lãi trong thời gian dài) khi tỷ lệ cược không có lợi cho bạn, bạn sẽ mất thứ gì đó, cho dù bạn thắng hay thua.

Bạn đặt cược với kết quả tốt nhất nếu kỳ vọng của bạn là tích cực và sẽ là tích cực nếu tỷ lệ cược có lợi cho bạn. Khi đặt cược với kết quả xấu nhất, bạn có một kỳ vọng tiêu cực, điều này xảy ra khi tỷ lệ cược chống lại bạn. Những người chơi nghiêm túc chỉ đặt cược với kết quả tốt nhất, với kết quả tồi tệ nhất - họ cược gấp. Tỷ lệ cược có lợi cho bạn nghĩa là gì? Cuối cùng bạn có thể thắng nhiều hơn tỷ lệ cược thực tế mang lại. Tỷ lệ đánh đầu thực sự là 1 ăn 1, nhưng bạn nhận được 2 ăn 1 do tỷ lệ cá cược. Trong trường hợp này, tỷ lệ cược là có lợi cho bạn. Bạn chắc chắn có được kết quả tốt nhất với kỳ vọng tích cực là 50 xu cho mỗi lần đặt cược.

Đây là nhiều hơn nữa ví dụ phức tạp kỳ vọng toán học. Người bạn viết ra các số từ một đến năm và đặt cược $ 5 với $ 1 của bạn mà bạn sẽ không chọn số. Bạn có đồng ý đặt cược như vậy không? Kỳ vọng ở đây là gì?

Trung bình, bạn sẽ sai bốn lần. Dựa trên điều này, tỷ lệ cược chống lại bạn đoán số sẽ là 4 ăn 1. Tỷ lệ cược là bạn sẽ mất một đô la trong một lần thử. Tuy nhiên, bạn thắng 5 ăn 1, khả năng thua 4 ăn 1. Do đó, tỷ lệ cược đang có lợi cho bạn, bạn có thể đặt cược và hy vọng vào một kết quả tốt nhất. Nếu bạn đặt cược này năm lần, trung bình bạn sẽ thua bốn lần $ 1 và thắng $ 5 một lần. Dựa trên điều này, cho tất cả năm lần thử, bạn sẽ kiếm được 1 đô la với kỳ vọng toán học dương là 20 xu cho mỗi lần đặt cược.

Một người chơi sẽ thắng nhiều hơn số tiền đặt cược của anh ta, như trong ví dụ trên, sẽ nắm bắt được tỷ lệ cược. Ngược lại, anh ta làm hỏng cơ hội khi anh ta mong đợi thắng ít hơn số tiền anh ta đặt cược. Người đặt cược có thể có kỳ vọng tích cực hoặc tiêu cực tùy thuộc vào việc anh ta đang bắt hay phá hỏng tỷ lệ cược.

Nếu bạn đặt 50 đô la để giành được 10 đô la với cơ hội chiến thắng 4 ăn 1, bạn sẽ nhận được kỳ vọng âm là 2 đô la, bởi vì trung bình, bạn sẽ thắng bốn lần 10 đô la và thua một lần 50 đô la, điều này cho thấy mức lỗ mỗi lần đặt cược sẽ là 10 đô la. Nhưng nếu bạn đặt cược 30 đô la để giành được 10 đô la, với cùng tỷ lệ thắng 4 ăn 1, thì trong trường hợp này, bạn có kỳ vọng dương là 2 đô la, bởi vì bạn lại thắng bốn lần $ 10 và thua $ 30 một lần, với lợi nhuận là $ 10. Những ví dụ này cho thấy rằng đặt cược đầu tiên là xấu và thứ hai là tốt.

Kỳ vọng toán học là trung tâm của bất kỳ tình huống trò chơi nào. Khi một nhà cái khuyến khích người hâm mộ bóng đá đặt cược 11 đô la để giành được 10 đô la, họ có kỳ vọng tích cực là 50 xu cho mỗi 10 đô la. Nếu sòng bạc trả tiền chẵn từ đường vượt qua Craps, thì kỳ vọng tích cực của nhà cái là khoảng 1,40 đô la cho mỗi 100 đô la; trò chơi này được cấu trúc để mọi người đặt cược vào dòng này trung bình thua 50,7% và thắng 49,3% thời gian. Không nghi ngờ gì nữa, chính kỳ vọng tích cực tưởng chừng như tối thiểu này lại mang lại lợi nhuận khổng lồ cho các chủ sòng bạc trên khắp thế giới. Như chủ sở hữu sòng bạc Vegas World Bob Stupak đã lưu ý: “Một phần nghìn phần trăm xác suất âm trong một khoảng cách đủ dài sẽ hủy hoại người giàu nhất trên thế giới".

Kỳ vọng toán học khi chơi poker

Trò chơi Poker là tiết lộ nhất và ví dụ tốt trong điều kiện sử dụng lý thuyết và các tính chất của kỳ vọng toán học.

Giá trị kỳ vọng trong Poker là lợi ích trung bình từ một quyết định cụ thể, miễn là quyết định đó có thể được xem xét trong khuôn khổ lý thuyết về số lượng lớn và khoảng cách xa. Poker thành công là luôn chấp nhận các nước đi với một kỳ vọng toán học tích cực.

Ý nghĩa toán học của kỳ vọng toán học khi chơi poker là chúng ta thường gặp phải các biến ngẫu nhiên khi đưa ra quyết định (chúng ta không biết quân bài nào trên tay đối thủ, quân bài nào sẽ đến trong các vòng cược tiếp theo). Chúng ta phải xem xét từng giải pháp theo quan điểm của lý thuyết về số lớn, điều này nói rằng với một mẫu đủ lớn, giá trị trung bình của một biến ngẫu nhiên sẽ có xu hướng giống với kỳ vọng toán học của nó.

Trong số các công thức cụ thể để tính kỳ vọng toán học, công thức sau đây được áp dụng nhiều nhất trong poker:

Khi chơi poker, kỳ vọng toán học có thể được tính cho cả cược và cuộc gọi. Trong trường hợp đầu tiên, tỷ lệ cược gấp đôi nên được tính đến, trong trường hợp thứ hai, tỷ lệ cược của riêng tiền cược. Khi đánh giá kỳ vọng toán học của một bước đi cụ thể, cần nhớ rằng một lần gấp luôn có kỳ vọng toán học bằng không. Vì vậy, loại bỏ thẻ sẽ luôn là một quyết định có lợi hơn bất kỳ động thái tiêu cực nào.

Kỳ vọng cho bạn biết những gì bạn có thể mong đợi (lãi hoặc lỗ) cho mỗi đô la bạn rủi ro. Sòng bạc kiếm tiền bởi vì kỳ vọng toán học của tất cả các trò chơi được thực hành trong đó đều có lợi cho sòng bạc. Với một loạt trò chơi đủ dài, khách hàng có thể dự kiến ​​sẽ mất tiền của mình, vì "xác suất" nghiêng về sòng bạc. Tuy nhiên, những người chơi sòng bạc chuyên nghiệp giới hạn các trò chơi của họ trong thời gian ngắn, do đó làm tăng tỷ lệ cược có lợi cho họ. Đầu tư cũng vậy. Nếu kỳ vọng của bạn là tích cực, bạn có thể kiếm được thêm tiền thực hiện nhiều giao dịch trong một khoảng thời gian ngắn. Kỳ vọng là tỷ lệ phần trăm lợi nhuận trên mỗi trận thắng nhân với lợi nhuận trung bình trừ đi xác suất thua lỗ nhân với số tiền thua lỗ trung bình của bạn.

Poker cũng có thể được coi là kỳ vọng toán học. Bạn có thể cho rằng một động thái nào đó có lợi, nhưng trong một số trường hợp, đó có thể không phải là động thái tốt nhất, bởi vì một động thái khác có lợi hơn. Giả sử bạn đánh một nhà đầy đủ trong năm lá bài xì phé. Đặt cược đối thủ của bạn. Bạn biết rằng nếu bạn lên ante, anh ấy sẽ gọi. Vì vậy, nâng cao có vẻ như là chiến thuật tốt nhất. Nhưng nếu bạn raise, hai người chơi còn lại chắc chắn sẽ fold. Nhưng nếu bạn gọi đặt cược, bạn sẽ hoàn toàn chắc chắn rằng hai người chơi còn lại sau bạn cũng sẽ làm như vậy. Khi bạn nâng cược, bạn nhận được một đơn vị và chỉ cần gọi bạn sẽ nhận được hai. Vì vậy, việc gọi điện mang lại cho bạn giá trị kỳ vọng tích cực cao hơn và là chiến thuật tốt nhất.

Kỳ vọng toán học cũng có thể đưa ra ý tưởng về chiến thuật chơi poker nào ít lợi nhuận hơn và chiến thuật nào có lợi nhuận cao hơn. Ví dụ: nếu bạn chơi một ván bài cụ thể và bạn nghĩ rằng khoản lỗ trung bình của mình là 75 xu bao gồm cả tiền cược, thì bạn nên chơi ván bài đó vì điều này tốt hơn là gấp khi ante là 1 đô la.

Nữa lý do quan trọngđể hiểu bản chất của kỳ vọng toán học là nó mang lại cho bạn cảm giác bình tĩnh cho dù bạn có thắng cược hay không: nếu bạn đặt cược tốt hoặc gấp lại đúng lúc, bạn sẽ biết rằng bạn đã kiếm được hoặc tiết kiệm được một số tiền nhất định. một người chơi yếu hơn đã không thể cứu. Sẽ khó hơn gấp nhiều lần nếu bạn thất vọng vì đối thủ của bạn có thế cầm hòa tốt hơn. Điều đó nói lên rằng, số tiền bạn tiết kiệm được bằng cách không chơi, thay vì cá cược, sẽ được cộng vào tiền thắng qua đêm hoặc hàng tháng của bạn.

Chỉ cần nhớ rằng nếu bạn đổi bài, đối thủ của bạn sẽ gọi bạn, và như bạn sẽ thấy trong bài viết Định lý cơ bản của Poker, đây chỉ là một trong những lợi thế của bạn. Bạn nên vui mừng khi điều này xảy ra. Bạn thậm chí có thể học cách tận hưởng việc thua một ván bài, bởi vì bạn biết rằng những người chơi khác trong đội của bạn sẽ thua nhiều hơn.

Như đã thảo luận trong ví dụ về trò chơi tiền xu ở phần đầu, tỷ lệ hoàn vốn hàng giờ có liên quan đến giá trị kỳ vọng và Khái niệm nàyđặc biệt quan trọng đối với những người chơi chuyên nghiệp. Khi bạn định chơi poker, bạn phải tính toán trước số tiền bạn có thể thắng trong một giờ chơi. Trong hầu hết các trường hợp, bạn sẽ cần dựa vào trực giác và kinh nghiệm của mình, nhưng bạn cũng có thể sử dụng một số phép tính toán học. Ví dụ, nếu bạn đang chơi trò rút bóng thấp và bạn thấy ba người chơi đặt cược 10 đô la và sau đó rút hai lá, đó là một chiến thuật rất tệ, bạn có thể tự tính toán rằng mỗi lần họ đặt cược 10 đô la thì họ sẽ mất khoảng 2 đô la. Mỗi người trong số họ làm điều này tám lần một giờ, có nghĩa là cả ba người mất khoảng 48 đô la mỗi giờ. Bạn là một trong bốn người chơi còn lại, số tiền này xấp xỉ bằng nhau, vì vậy bốn người chơi này (và bạn trong số họ) phải chia nhau 48 đô la và mỗi người sẽ kiếm được 12 đô la mỗi giờ. Tỷ lệ hàng giờ của bạn trong trường hợp này chỉ đơn giản là phần của bạn về số tiền bị mất bởi ba người chơi xấu mỗi giờ.

Trong một khoảng thời gian dài, tổng số tiền thắng của người chơi là tổng các kỳ vọng toán học của anh ta trong các phân phối riêng biệt. Bạn càng chơi với kỳ vọng tích cực, bạn càng thắng, và ngược lại, bạn chơi với kỳ vọng tiêu cực càng nhiều, bạn càng thua. Do đó, bạn nên ưu tiên một trò chơi có thể tối đa hóa kỳ vọng tích cực của bạn hoặc phủ định kỳ vọng tiêu cực của bạn để bạn có thể tối đa hóa lợi nhuận hàng giờ của mình.

Kỳ vọng toán học tích cực trong chiến lược trò chơi

Nếu bạn biết cách đếm bài, bạn có thể có lợi thế hơn sòng bạc nếu họ không để ý và đuổi bạn ra ngoài. Sòng bạc yêu thích những con bạc say xỉn và không thể đứng đếm bài. Lợi thế sẽ cho phép bạn thắng nhiều lần hơn là thua theo thời gian. ban Quản lí tốt vốn bằng cách sử dụng tính toán kỳ vọng có thể giúp bạn tận dụng lợi thế của mình và giảm thua lỗ. Nếu không có lợi thế, tốt hơn hết bạn nên đưa tiền cho tổ chức từ thiện. Trong trò chơi trên sàn chứng khoán, lợi thế được đưa ra bởi hệ thống của trò chơi, tạo ra lợi nhuận nhiều hơn thua lỗ, chênh lệch giá và hoa hồng. Không quản lý số tiền sẽ tiết kiệm được một hệ thống chơi game tồi.

Kỳ vọng tích cực được xác định bởi một giá trị lớn hơn 0. Con số này càng lớn, kỳ vọng thống kê càng mạnh. Nếu giá trị nhỏ hơn 0, thì kỳ vọng toán học cũng sẽ là số âm. Môđun của một giá trị âm càng lớn thì tình hình tồi tệ hơn. Nếu kết quả là 0, thì kỳ vọng là hòa vốn. Bạn chỉ có thể chiến thắng khi bạn có một kỳ vọng toán học tích cực, một hệ thống trò chơi hợp lý. Chơi theo trực giác dẫn đến thảm họa.

Kỳ vọng toán học và giao dịch chứng khoán

Kỳ vọng toán học được yêu cầu khá rộng rãi và phổ biến. thống kê khi thực hiện giao dịch hối đoái trên thị trường tài chính. Trước hết, thông số này được sử dụng để phân tích mức độ thành công của giao dịch. Không khó để đoán rằng càng giá trị cho trước, càng có nhiều lý do để coi thương mại được nghiên cứu là thành công. Tất nhiên, phân tích công việc của một nhà giao dịch không thể được thực hiện chỉ với sự trợ giúp của tham số này. Tuy nhiên, giá trị được tính toán, kết hợp với các phương pháp đánh giá chất lượng công việc khác, có thể làm tăng đáng kể độ chính xác của phân tích.

Kỳ vọng toán học thường được tính toán trong các dịch vụ giám sát tài khoản giao dịch, cho phép bạn nhanh chóng đánh giá công việc được thực hiện trên khoản tiền gửi. Ngoại lệ, chúng tôi có thể trích dẫn các chiến lược sử dụng "trả trước quá hạn" của các giao dịch thua lỗ. Một nhà giao dịch có thể gặp may mắn trong một thời gian nào đó, và do đó, trong công việc của mình, có thể không có lỗ nào cả. Trong trường hợp này, sẽ không thể điều hướng chỉ theo kỳ vọng, bởi vì những rủi ro được sử dụng trong công việc sẽ không được tính đến.

Trong giao dịch trên thị trường, kỳ vọng toán học thường được sử dụng nhất khi dự đoán lợi nhuận của chiến lược giao dịch hoặc khi dự đoán thu nhập của nhà giao dịch dựa trên số liệu thống kê về các giao dịch trước đó của anh ta.

Về mặt quản lý tiền, điều rất quan trọng cần hiểu là khi thực hiện các giao dịch với kỳ vọng tiêu cực, không có kế hoạch quản lý tiền chắc chắn có thể mang lại lợi nhuận cao. Nếu bạn tiếp tục chơi trao đổi trong những điều kiện này, thì bất kể bạn quản lý tiền của mình như thế nào, bạn sẽ mất toàn bộ tài khoản của mình, bất kể nó lớn như thế nào lúc đầu.

Tiên đề này không chỉ đúng với các trò chơi hoặc giao dịch kỳ vọng tiêu cực mà còn đúng với các trò chơi có tỷ lệ cược chẵn. Do đó, trường hợp duy nhất mà bạn có cơ hội thu lợi về lâu dài là khi thực hiện các giao dịch với một kỳ vọng toán học tích cực.

Sự khác biệt giữa kỳ vọng tiêu cực và kỳ vọng tích cực là sự khác biệt giữa sự sống và cái chết. Không quan trọng kỳ vọng tích cực hay tiêu cực như thế nào; điều quan trọng là nó tích cực hay tiêu cực. Vì vậy, trước khi xem xét việc quản lý tiền bạc, bạn phải tìm một trò chơi với một kỳ vọng tích cực.

Nếu bạn không có trò chơi đó, thì không có quản lý tiền tệ nào trên thế giới sẽ cứu bạn. Mặt khác, nếu bạn có một kỳ vọng tích cực, thì thông qua việc quản lý tiền hợp lý, bạn có thể biến nó thành một hàm tăng trưởng theo cấp số nhân. Không quan trọng là kỳ vọng tích cực nhỏ đến mức nào! Nói cách khác, hệ thống giao dịch dựa trên một hợp đồng có lợi nhuận như thế nào không quan trọng. Nếu bạn có một hệ thống giành được 10 đô la cho mỗi hợp đồng trong một giao dịch (sau phí và trượt giá), bạn có thể sử dụng các kỹ thuật quản lý tiền để làm cho nó có lợi hơn so với một hệ thống cho thấy lợi nhuận trung bình là 1.000 đô la cho mỗi giao dịch (sau khi trừ hoa hồng và trượt).

Điều quan trọng không phải là hệ thống đã mang lại lợi nhuận như thế nào, mà có thể nói chắc chắn rằng hệ thống sẽ cho thấy ít nhất một khoản lợi nhuận tối thiểu trong tương lai. Do đó, chuẩn bị quan trọng nhất mà nhà giao dịch có thể thực hiện là đảm bảo rằng hệ thống cho thấy giá trị kỳ vọng tích cực trong tương lai.

Để có giá trị kỳ vọng dương trong tương lai, điều rất quan trọng là không giới hạn bậc tự do của hệ thống của bạn. Điều này đạt được không chỉ bằng cách loại bỏ hoặc giảm số lượng các tham số được tối ưu hóa, mà còn bằng cách giảm càng nhiều càng tốt hơn quy tắc hệ thống. Mọi tham số bạn thêm, mọi quy tắc bạn thực hiện, mọi thay đổi nhỏ bạn thực hiện đối với hệ thống đều làm giảm số bậc tự do. Lý tưởng nhất là bạn muốn xây dựng một nền tảng khá nguyên thủy và hệ thống đơn giản, sẽ liên tục mang lại một khoản lợi nhuận nhỏ ở hầu hết mọi thị trường. Một lần nữa, điều quan trọng là bạn phải hiểu rằng hệ thống sinh lợi đến đâu không quan trọng, miễn là nó có lãi. Số tiền bạn kiếm được trong giao dịch sẽ được kiếm thông qua quản lý hiệu quả tiền bạc.

Hệ thống giao dịch chỉ đơn giản là một công cụ cung cấp cho bạn một kỳ vọng toán học tích cực để có thể sử dụng việc quản lý tiền. Các hệ thống hoạt động (hiển thị ít nhất lợi nhuận tối thiểu) chỉ ở một hoặc một vài thị trường, hoặc có các quy tắc hoặc thông số khác nhau cho các thị trường khác nhau, rất có thể sẽ không hoạt động trong thời gian thực trong thời gian dài. Vấn đề với hầu hết các nhà giao dịch theo định hướng kỹ thuật là họ dành quá nhiều thời gian và công sức để tối ưu hóa các quy tắc và thông số khác nhau của hệ thống giao dịch. Điều này cho kết quả hoàn toàn trái ngược. Thay vì lãng phí năng lượng và giờ máy tínhđể tăng lợi nhuận của hệ thống giao dịch, hãy hướng năng lượng của bạn để tăng mức độ tin cậy của việc thu được lợi nhuận tối thiểu.

Biết rằng quản lý tiền chỉ là trò chơi số, đòi hỏi sử dụng các kỳ vọng tích cực, nhà giao dịch có thể ngừng tìm kiếm "chén thánh" của giao dịch chứng khoán. Thay vào đó, anh ta có thể bắt đầu thử nghiệm phương pháp giao dịch của mình, tìm hiểu xem phương pháp này hợp lý như thế nào, liệu nó có mang lại kỳ vọng tích cực hay không. Phương pháp đúng quản lý tiền, được áp dụng cho bất kỳ phương pháp giao dịch nào, thậm chí rất tầm thường, sẽ thực hiện phần còn lại của công việc.

Đối với bất kỳ nhà giao dịch nào để thành công trong công việc của mình, anh ta cần phải giải quyết ba điều nhất nhiệm vụ quan trọng:. Để đảm bảo rằng số lượng giao dịch thành công vượt quá những sai lầm và tính toán sai lầm không thể tránh khỏi; Thiết lập hệ thống giao dịch của bạn để cơ hội kiếm tiền thường xuyên nhất có thể; Đạt được kết quả tích cực ổn định về hoạt động của bạn.

Và ở đây, đối với chúng tôi, những nhà giao dịch đang làm việc, kỳ vọng toán học có thể giúp ích rất nhiều. Thuật ngữ này trong lý thuyết xác suất là một trong những chìa khóa. Nó có thể được sử dụng để đưa ra ước tính trung bình về một số giá trị ngẫu nhiên. Kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên giống như trọng tâm, nếu bạn tưởng tượng mọi thứ xác suất có thể xảy rađiểm có khối lượng khác nhau.

Liên quan đến chiến lược giao dịch, để đánh giá hiệu quả của nó, kỳ vọng toán học về lãi (hoặc lỗ) thường được sử dụng nhất. Tham số này được định nghĩa là tổng tích của các mức lãi và lỗ đã cho và xác suất xuất hiện của chúng. Ví dụ, chiến lược giao dịch đã phát triển giả định rằng 37% của tất cả các hoạt động sẽ mang lại lợi nhuận, và phần còn lại - 63% - sẽ không có lãi. Đồng thời, thu nhập trung bình từ một giao dịch thành công sẽ là $ 7, và lỗ trung bình sẽ là $ 1,4. Hãy tính toán kỳ vọng giao dịch bằng cách sử dụng hệ thống sau:

Cái gì số đã cho? Nó nói rằng, tuân theo các quy tắc của hệ thống này, trung bình, chúng tôi sẽ nhận được 1,708 đô la từ mỗi giao dịch đã đóng. Vì ước tính hiệu quả kết quả Trên không, thì một hệ thống như vậy có thể được sử dụng để công việc thực sự. Nếu kết quả của phép tính, kỳ vọng toán học trở thành số âm, thì điều này đã chỉ ra một khoản lỗ trung bình và giao dịch như vậy sẽ dẫn đến hủy hoại.

Số lợi nhuận trên mỗi giao dịch cũng có thể được biểu thị bằng giá trị tương đối như %. Ví dụ:

- phần trăm thu nhập trên 1 giao dịch - 5%;

- tỷ lệ hoạt động giao dịch thành công - 62%;

- tỷ lệ lỗ trên 1 giao dịch - 3%;

- tỷ lệ giao dịch không thành công - 38%;

Tức là, giao dịch trung bình sẽ mang lại 1,96%.

Có thể phát triển một hệ thống, mặc dù chiếm ưu thế của các giao dịch thua lỗ, nhưng sẽ cho kết quả tích cực, vì MO của nó> 0.

Tuy nhiên, chỉ chờ đợi thôi là chưa đủ. Rất khó để kiếm tiền nếu hệ thống đưa ra rất ít tín hiệu giao dịch. Trong trường hợp này, khả năng sinh lời của nó sẽ tương đương với lãi suất ngân hàng. Hãy để mỗi hoạt động chỉ mang lại trung bình 0,5 đô la, nhưng điều gì sẽ xảy ra nếu hệ thống giả định 1000 giao dịch mỗi năm? Đây sẽ là một số tiền rất nghiêm trọng trong thời gian tương đối ngắn. Nó theo logic từ cái này mà cái khác dấu hiệu Một hệ thống giao dịch tốt có thể được coi là thời gian nắm giữ ngắn hạn.

Nguồn và liên kết

dic.academic.ru - từ điển trực tuyến học thuật

math.ru - trang web giáo dục về toán học

nsu.ru là một trang web giáo dục của Novosibirsk đại học tiểu bang

webmath.ru cổng thông tin giáo dục dành cho sinh viên, người đăng ký và học sinh.

trang web toán học giáo dục exponenta.ru

en.tradimo.com - miễn phí trường học trực tuyến thương mại

crypto.hut2.ru - đa ngành nguồn thông tin

poker-wiki.ru - bách khoa toàn thư về poker miễn phí

sernam.ru Thư viện Khoa họcấn phẩm khoa học tự nhiên chọn lọc

reshim.su - trang web SOLVE bài tập kiểm soát nhiệm vụ

unx.ru - Forex trên UNFX: giáo dục, tín hiệu giao dịch, quản lý ủy thác

slovopedia.com - Lớn từ điển bách khoa Slovopedia

pokermansion.3dn.ru - Hướng dẫn của bạn đến thế giới poker

statanaliz.info - blog thông tin « Phân tích thống kê dữ liệu"

forex-trader.rf - cổng Forex-Trader

megafx.ru - phân tích ngoại hối cập nhật

fx-by.com - mọi thứ dành cho nhà giao dịch

Để các ước tính thống kê đưa ra giá trị gần đúng của các tham số ước tính, chúng phải không chệch, hiệu quả và nhất quán.

không thiên vịđược gọi là ước lượng thống kê của tham số , kỳ vọng toán học bằng với tham số ước tính cho bất kỳ cỡ mẫu nào.

Đã dờiđược gọi là đánh giá thống kê
tham số , có kỳ vọng toán học không bằng tham số ước tính.

Có hiệu quảđược gọi là đánh giá thống kê
tham số , cho một kích thước mẫu nhất định có phương sai nhỏ nhất.

Giàu cóđược gọi là đánh giá thống kê
tham số , mà tại
có xu hướng về xác suất đối với tham số ước tính.

tức là cho bất kỳ

.

Đối với các mẫu có kích thước khác nhau, thu được các giá trị khác nhau của giá trị trung bình cộng và phương sai thống kê. Do đó, trung bình cộng và phương sai thống kê là các biến ngẫu nhiên có kỳ vọng toán học và phương sai.

Hãy tính kỳ vọng toán học của trung bình cộng và phương sai. Biểu thị bởi kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên

Ở đây, các biến sau được coi là biến ngẫu nhiên: - S.V., các giá trị này bằng giá trị đầu tiên thu được đối với các mẫu thể tích khác nhau từ dân số chung
–S.V., các giá trị trong số đó bằng giá trị thứ hai thu được cho các mẫu khác nhauâm lượng từ dân số chung, ...,
- S.V., có giá trị bằng nhau -giá trị thứ thu được cho các mẫu thể tích khác nhau từ dân số chung. Tất cả các biến ngẫu nhiên này được phân phối theo cùng một quy luật và có cùng kỳ vọng toán học.

Từ công thức (1), giá trị trung bình số học là một ước lượng không chệch của kỳ vọng toán học, vì kỳ vọng toán học của giá trị trung bình bằng kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên. Ước tính này cũng nhất quán. Hiệu quả của ước tính này phụ thuộc vào kiểu phân phối của biến ngẫu nhiên
. Ví dụ:
được phân phối chuẩn, ước tính giá trị kỳ vọng bằng cách sử dụng giá trị trung bình số học sẽ hiệu quả.

Chúng ta hãy tìm ngay bây giờ đánh giá thống kê sự phân tán.

Biểu thức cho phương sai thống kê có thể được biến đổi như sau

(2)

Bây giờ chúng ta hãy tìm kỳ vọng toán học của phương sai thống kê

. (3)

Cho rằng
(4)

chúng tôi nhận được từ (3) -

Từ công thức (6) có thể thấy rằng kỳ vọng toán học của phương sai thống kê khác với một hệ số so với phương sai, tức là là một ước tính chệch của phương sai tổng thể. Điều này là bởi vì thay vì giá trị đích thực
, chưa biết, giá trị trung bình thống kê được sử dụng để ước tính phương sai .

Do đó, chúng tôi giới thiệu phương sai thống kê đã hiệu chỉnh

(7)

Khi đó, kỳ vọng toán học của phương sai thống kê đã hiệu chỉnh là

những thứ kia. phương sai thống kê đã hiệu chỉnh là một ước tính không chệch của phương sai tổng thể. Kết quả ước tính cũng nhất quán.

MỤC ĐÍCH CỦA KIẾN TRÚC: giới thiệu khái niệm ước lượng một tham số phân phối chưa biết và đưa ra phân loại các công cụ ước lượng đó; nhận được các ước tính điểm và khoảng của kỳ vọng toán học và phương sai.

Trong thực tế, trong hầu hết các trường hợp, quy luật phân phối của một biến ngẫu nhiên là không xác định, và theo kết quả quan sát
cần phải đánh giá các đặc điểm số (ví dụ, kỳ vọng toán học, phương sai hoặc các mômen khác) hoặc một tham số chưa biết , xác định luật phân phối (mật độ phân phối)
biến ngẫu nhiên đang nghiên cứu. Vì vậy, đối với phân phối hàm mũ hoặc Poisson, chỉ cần đánh giá một tham số là đủ và đối với phân phối chuẩn, hai tham số đã được đánh giá - kỳ vọng toán học và phương sai.

Các loại đánh giá

Giá trị ngẫu nhiên
có mật độ xác suất
, ở đâu là một tham số phân phối không xác định. Kết quả của thử nghiệm, các giá trị của biến ngẫu nhiên này thu được:
. Để thực hiện một đánh giá về bản chất có nghĩa là các giá trị mẫu của một biến ngẫu nhiên phải được liên kết với một giá trị nhất định của tham số , tức là tạo một số chức năng của kết quả quan sát
, giá trị được lấy làm ước tính tham số . Mục lục cho biết số lượng thí nghiệm đã thực hiện.

Bất kỳ hàm nào phụ thuộc vào kết quả quan sát được gọi là số liệu thống kê. Vì kết quả của các quan sát là biến ngẫu nhiên, nên số liệu thống kê cũng sẽ là một biến ngẫu nhiên. Do đó, ước tính
tham số không xác định nên được coi là một biến ngẫu nhiên và giá trị của nó được tính toán từ thực nghiệm khối lượng nhất định, - là một trong những giá trị có thể có của biến ngẫu nhiên này.

Các ước lượng của các tham số phân phối (đặc tính số của một biến ngẫu nhiên) được chia thành điểm và khoảng. Ước tính điểm tham số được xác định bởi một số , và độ chính xác của nó được đặc trưng bởi phương sai của ước tính. ước tính khoảng thời gianđược gọi là ước tính, được xác định bởi hai số, và - vào cuối khoảng thời gian bao gồm thông số ước tính với một mức độ tin cậy nhất định.

Phân loại các ước tính điểm

Để ước tính điểm của một thông số không xác định
là tốt nhất về độ chính xác, nó cần phải nhất quán, không thiên vị và hiệu quả.

Giàu cóđược gọi là điểm số
tham số , nếu nó hội tụ về xác suất thành tham số ước tính, tức là

. (8.8)

Dựa trên bất đẳng thức Chebyshev, có thể chỉ ra rằng đủ điều kiện quan hệ (8.8) là đẳng thức

.

Tính nhất quán là một đặc điểm tiệm cận của ước tính đối với
.

không thiên vịđược gọi là điểm số
(ước tính không có sai số hệ thống), kỳ vọng toán học của nó bằng với tham số ước tính, tức là

. (8.9)

Nếu đẳng thức (8.9) không được thỏa mãn, thì ước lượng được gọi là chệch. Sự khác biệt
được gọi là độ chệch hoặc độ chệch của ước tính. Nếu đẳng thức (8.9) chỉ được thỏa mãn đối với
, thì ước tính tương ứng được gọi là không chệch tiệm cận.

Cần lưu ý rằng nếu tính nhất quán là điều kiện gần như bắt buộc đối với tất cả các ước tính được sử dụng trong thực tế (các ước tính không nhất quán rất hiếm khi được sử dụng), thì tính chất không thiên vị chỉ là mong muốn. Nhiều công cụ ước tính thường được sử dụng không có tính chất không thiên vị.

Trong trường hợp chung, độ chính xác của việc ước tính một tham số nhất định thu được trên cơ sở dữ liệu thực nghiệm
, được đặc trưng bởi lỗi bình phương trung bình

,

có thể được chuyển sang dạng

,

sự phân tán ở đâu,
là bình phương của độ chệch ước tính.

Nếu ước tính là không thiên vị, thì

Cuối cùng các ước tính có thể khác nhau theo bình phương sai số . Đương nhiên, sai số này càng nhỏ, các giá trị đánh giá được nhóm xung quanh tham số ước tính càng chặt chẽ. Do đó, luôn mong muốn rằng sai số ước lượng càng nhỏ càng tốt, tức là điều kiện

. (8.10)

Ước tính thỏa mãn điều kiện (8.10) được gọi là ước lượng với sai số bình phương tối thiểu.

Có hiệu quảđược gọi là điểm số
, trong đó sai số bình phương trung bình không lớn hơn sai số bình phương trung bình của bất kỳ ước tính nào khác, tức là

ở đâu - bất kỳ ước tính tham số nào khác .

Được biết rằng phương sai của bất kỳ ước tính không chệch nào của một tham số thỏa mãn bất đẳng thức Cramer-Rao

,

ở đâu
- mật độ phân phối xác suất có điều kiện của các giá trị thu được của một biến ngẫu nhiên với giá trị thực của tham số .

Vì vậy, công cụ ước tính không thiên vị
, mà bất đẳng thức Cramer-Rao trở thành một đẳng thức, sẽ có hiệu lực, tức là, một ước lượng như vậy có một phương sai tối thiểu.

Ước tính điểm của kỳ vọng toán học và phương sai

Nếu chúng ta xem xét một biến ngẫu nhiên
, có kỳ vọng toán học và phân tán , cả hai tham số này đều được giả định là không xác định. Do đó, trên một biến ngẫu nhiên
sản xuất các thí nghiệm độc lập cho kết quả:
. Cần phải tìm các ước tính nhất quán và không thiên vị về các thông số chưa biết và .

Như ước tính và thông thường, phương sai trung bình thống kê (mẫu) và phương sai thống kê (mẫu) được chọn tương ứng:

; (8.11)

. (8.12)

Ước lượng kỳ vọng (8.11) nhất quán theo quy luật số lớn (định lý Chebyshev):

.

Kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên

.

Do đó, ước tính là không thiên vị.

Sự phân tán của ước tính kỳ vọng toán học:

Nếu biến ngẫu nhiên
phân phối theo quy luật thông thường thì ước lượng cũng có hiệu quả.

Kỳ vọng toán học của ước tính phương sai

Trong cùng thời gian

.

Tại vì
, một
, sau đó chúng tôi nhận được

. (8.13)

Theo cách này,
là một ước tính chệch, mặc dù nó nhất quán và hiệu quả.

Theo công thức (8.13), để có được một ước tính không chệch
phương sai mẫu (8.12) phải được sửa đổi như sau:

được coi là "tốt hơn" so với ước tính (8.12), mặc dù đối với các ước tính này gần như bằng nhau.

Phương pháp thu được ước tính của các tham số phân phối

Thông thường trong thực tế, dựa trên phân tích cơ chế vật lý tạo ra một biến ngẫu nhiên
, chúng ta có thể kết luận về quy luật phân phối của biến ngẫu nhiên này. Tuy nhiên, các tham số của phân bố này là chưa biết và chúng phải được ước tính từ kết quả của thí nghiệm, thường được trình bày dưới dạng một mẫu hữu hạn.
. Để giải quyết một vấn đề như vậy, hai phương pháp thường được sử dụng nhất: phương pháp thời điểm và phương pháp khả năng xảy ra tối đa.

Phương pháp khoảnh khắc. Phương pháp này bao gồm việc cân bằng các mômen lý thuyết với các mômen thực nghiệm tương ứng có cùng bậc.

Những khoảnh khắc ban đầu theo kinh nghiệm thứ tự thứ được xác định bởi các công thức:

,

và các thời điểm lý thuyết ban đầu tương ứng thứ tự - công thức:

đối với các biến ngẫu nhiên rời rạc,

đối với các biến ngẫu nhiên liên tục,

ở đâu là tham số phân phối ước tính.

Để có được ước tính về các tham số của một phân phối có chứa hai tham số chưa biết và , hệ thống gồm hai phương trình

ở đâu và - lý thuyết và thực nghiệm điểm trung tâmđơn hàng thứ hai.

Nghiệm của hệ phương trình là các ước và thông số phân phối không xác định và .

Cân bằng các khoảnh khắc ban đầu thực nghiệm theo lý thuyết của bậc đầu tiên, chúng ta thu được điều đó bằng cách ước tính kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên
, có phân phối tùy ý, sẽ là giá trị trung bình mẫu, tức là
. Sau đó, cân bằng các mômen trung tâm lý thuyết và thực nghiệm của bậc hai, chúng ta thu được ước tính phương sai của biến ngẫu nhiên
, có phân phối tùy ý, được xác định bằng công thức

.

Theo cách tương tự, người ta có thể tìm ước tính các mômen lý thuyết của bất kỳ thứ tự nào.

Phương pháp mô men đơn giản và không yêu cầu tính toán phức tạp, nhưng các ước tính thu được bằng phương pháp này thường không hiệu quả.

Phương pháp khả năng tối đa. Phương pháp ước lượng điểm có khả năng xảy ra tối đa của các tham số phân phối chưa biết được rút gọn để tìm hàm tối đa của một hoặc nhiều tham số ước lượng.

Để cho
là một biến ngẫu nhiên liên tục, kết quả là các bài kiểm tra lấy các giá trị
. Để có được ước tính của một thông số không xác định cần tìm giá trị , tại đó xác suất thực của mẫu thu được sẽ là lớn nhất. Tại vì
là các đại lượng độc lập lẫn nhau có cùng mật độ xác suất
, sau đó chức năng khả năng gọi hàm đối số :

Ước tính khả năng xảy ra tối đa của thông số giá trị này được gọi là , tại đó hàm khả năng đạt cực đại, tức là, là một nghiệm của phương trình

,

điều này rõ ràng phụ thuộc vào kết quả thử nghiệm
.

Kể từ khi các chức năng
và
đạt mức tối đa ở cùng các giá trị
, sau đó, để đơn giản hóa các phép tính, họ sử dụng hàm khả năng logarit và tìm nghiệm nguyên của phương trình tương ứng

,

được gọi là phương trình khả năng.

Nếu bạn cần đánh giá một số thông số
phân bổ
, thì hàm khả năng sẽ phụ thuộc vào các tham số này. Để tìm ước tính
các tham số phân phối, nó là cần thiết để giải quyết hệ thống phương trình khả năng xảy ra

.

Phương pháp khả năng xảy ra tối đa đưa ra các ước tính nhất quán và hiệu quả về mặt tiệm cận. Tuy nhiên, các ước lượng thu được bằng phương pháp khả năng tối đa đôi khi bị chệch, và ngoài ra, để tìm các ước lượng, người ta thường phải giải các hệ phương trình khá phức tạp.

Ước tính tham số khoảng thời gian

Độ chính xác của các ước lượng điểm được đặc trưng bởi sự phân tán của chúng. Đồng thời, không có thông tin về mức độ gần của các ước tính thu được với giá trị thực của các tham số. Trong một số nhiệm vụ, nó không chỉ được yêu cầu tìm tham số giá trị số phù hợp mà còn đánh giá độ chính xác và độ tin cậy của nó. Cần phải tìm ra những lỗi mà việc thay thế thông số có thể dẫn đến. ước tính điểm của nó và với mức độ tin cậy nào, chúng ta có thể mong đợi rằng những sai sót này sẽ không vượt quá giới hạn đã biết.

Những vấn đề như vậy đặc biệt thích hợp cho một số ít thí nghiệm. khi ước tính điểm thay thế phần lớn ngẫu nhiên và gần đúng trên có thể dẫn đến những sai sót đáng kể.

Một cách đầy đủ và đáng tin cậy hơn để ước tính các tham số của phân bố là xác định không phải một giá trị điểm đơn lẻ, mà là một khoảng, với một xác suất nhất định, bao hàm giá trị thực của tham số ước tính.

Hãy để kết quả thử nghiệm, một ước tính không thiên vị thu được
tham số . Nó là cần thiết để đánh giá các lỗi có thể xảy ra. Một số xác suất đủ lớn được chọn
(ví dụ), sao cho một sự kiện với xác suất này có thể được coi là một sự kiện thực tế nhất định, và một giá trị như vậy được tìm thấy , mà

. (8.15)

Trong trường hợp này, phạm vi các giá trị thực tế có thể xảy ra của lỗi xảy ra khi thay thế trên , sẽ là
, và rộng lớn giá trị tuyệt đối lỗi sẽ chỉ xảy ra với một xác suất nhỏ .

Biểu thức (8.15) có nghĩa là với xác suất
giá trị tham số không xác định rơi vào khoảng thời gian

. (8.16)

Xác suất
gọi là mức độ tự tin, và khoảng thời gian bao gồm xác suất giá trị thực của tham số được gọi là khoảng tin cậy. Lưu ý rằng sẽ không chính xác khi nói rằng giá trị tham số nằm trong khoảng tin cậy với xác suất . Từ ngữ được sử dụng (bao hàm) có nghĩa là mặc dù tham số ước tính chưa biết, nhưng nó có giá trị không đổi và do đó không có sự lan truyền, vì nó không phải là một biến ngẫu nhiên.

Các thuộc tính cơ bản của ước lượng điểm

Để đánh giá có giá trị thực tiễn, nó phải có các đặc tính sau.

1. Ước tính tham số được gọi là không chệch nếu kỳ vọng toán học của nó bằng với tham số ước tính, tức là

Nếu đẳng thức (22.1) không được thỏa mãn, thì ước tính có thể đánh giá cao hơn giá trị (M>) hoặc đánh giá thấp hơn giá trị đó (M<) . Естественно в качестве приближенного неизвестного параметра брать несмещенные оценки для того, чтобы не делать систематической ошибки в сторону завышения или занижения.

2. Ước lượng của một tham số được gọi là nhất quán nếu nó tuân theo quy luật số lớn, tức là hội tụ về xác suất thành tham số ước tính với sự gia tăng không giới hạn về số lượng thử nghiệm (quan sát) và do đó, đẳng thức sau được thỏa mãn:

trong đó> 0 là một số nhỏ tùy ý.

Đối với (22.2) để giữ nguyên, đủ để phương sai của ước tính có xu hướng bằng không, tức là

và hơn thế nữa, người ước tính không thiên vị. Dễ dàng chuyển từ công thức (22.3) sang (22.2) nếu chúng ta sử dụng bất đẳng thức Chebyshev.

Vì vậy, tính nhất quán của ước tính có nghĩa là với số lượng thử nghiệm đủ lớn và có độ chắc chắn cao tùy ý, độ lệch của ước tính so với giá trị thực của tham số sẽ nhỏ hơn bất kỳ sự sai lệch nào trước đó. đặt giá trị. Điều này chứng minh cho việc tăng kích thước mẫu.

Vì là một biến ngẫu nhiên, giá trị của biến này thay đổi theo từng mẫu, khi đó thước đo độ phân tán của nó xung quanh kỳ vọng toán học sẽ được đặc trưng bởi phương sai D. Gọi và là hai ước lượng không chệch của tham số, tức là M = và M =, lần lượt là D và D và nếu D< D , то в качестве оценки принимают.

3. Một ước lượng không chệch có phương sai nhỏ nhất trong số tất cả các ước lượng tham số không chệch có thể được tính toán từ các mẫu có cùng kích thước được gọi là ước lượng hiệu quả.

Trong thực tế, khi ước lượng các tham số, không phải lúc nào cũng có thể thỏa mãn đồng thời các yêu cầu 1, 2, 3. Tuy nhiên, việc lựa chọn một ước lượng luôn phải được đặt trước bởi sự kiểm tra quan trọng của nó từ mọi quan điểm. Khi lấy mẫu phương pháp thực tế việc xử lý dữ liệu thực nghiệm, cần được hướng dẫn bởi các thuộc tính công thức của ước lượng.

Ước tính kỳ vọng toán học và phương sai cho mẫu

Các đặc điểm quan trọng nhất của biến ngẫu nhiên là kỳ vọng toán học và phương sai. Xem xét câu hỏi về đặc điểm mẫu nào ước lượng tốt nhất kỳ vọng toán học và phương sai về độ không thiên vị, hiệu quả và tính nhất quán.

Định lý 23.1. Giá trị trung bình số học được tính toán từ n quan sát độc lập trên một biến ngẫu nhiên có kỳ vọng toán học M =, là một ước lượng không chệch của tham số này.

Bằng chứng.

Cho - n quan sát độc lập trên một biến ngẫu nhiên. Theo điều kiện M =, và kể từ là các biến ngẫu nhiên và có cùng luật phân phối thì. Theo định nghĩa, trung bình cộng

Hãy xem xét kỳ vọng toán học của giá trị trung bình số học. Sử dụng tính chất của kỳ vọng toán học, chúng ta có:

những thứ kia. . Theo (22.1) là một ước tính không thiên vị. ?

Định lý 23.2 . Giá trị trung bình số học được tính toán trên n quan sát độc lập trên một biến ngẫu nhiên có M = u là một ước lượng nhất quán của tham số này.

Bằng chứng.

Cho - n quan sát độc lập trên một biến ngẫu nhiên. Khi đó, theo Định lý 23.1, ta có M =.

Đối với trung bình cộng, chúng tôi viết bất đẳng thức Chebyshev:

Sử dụng các thuộc tính phân tán 4.5 và (23.1), chúng ta có:

tại vì theo định lý.

Do đó,

Vì vậy, phương sai của trung bình cộng nhỏ hơn phương sai của biến ngẫu nhiên n lần. sau đó

có nghĩa là đó là một ước tính nhất quán.

Bình luận : 1 . Chúng tôi chấp nhận mà không cần bằng chứng về một kết quả rất quan trọng đối với việc thực hành. Nếu N (a,), thì ước tính không chệch của kỳ vọng toán học một có phương sai tối thiểu bằng, do đó, là ước lượng hiệu quả của tham số a. ?

Hãy chuyển sang ước tính cho phương sai và kiểm tra xem nó có nhất quán và không chệch hướng hay không.

Định lý 23.3 . Nếu một mẫu thử ngẫu nhiên bao gồm n quan sát độc lập trên một biến ngẫu nhiên với

M = và D =, thì phương sai mẫu

không phải là một ước lượng không chệch của D - phương sai tổng quát.

Bằng chứng.

Cho - n quan sát độc lập trên một biến ngẫu nhiên. Có điều kiện và cho tất cả mọi người. Chúng tôi biến đổi công thức (23.3) của phương sai mẫu:

Hãy đơn giản hóa biểu thức

Có tính đến (23.1), khi đó

Hãy để một biến ngẫu nhiên với kỳ vọng và phương sai toán học chưa biết phải chịu các thí nghiệm độc lập mang lại kết quả - . Hãy để chúng tôi tính toán các ước tính nhất quán và không chệch cho các tham số và.

Để ước tính cho kỳ vọng toán học, chúng tôi lấy trung bình cộng của các giá trị thực nghiệm

. (2.9.1)

Theo quy luật số lớn, ước tính này là giàu có , với độ lớn trong xác suất. Cùng một ước tính là không thiên vị , vì

. (2.9.2)

Phương sai của ước tính này là

. (2.9.3)

Có thể chỉ ra rằng đối với phân phối chuẩn, ước tính này là Có hiệu quả . Đối với các luật khác, điều này có thể không đúng.

Bây giờ chúng ta hãy ước tính phương sai. Đầu tiên chúng ta hãy chọn một công thức để ước tính phân tán thống kê

. (2.9.4)

Hãy để chúng tôi kiểm tra tính nhất quán của ước tính phương sai. Hãy mở dấu ngoặc trong công thức (2.9.4)

.

Vì, số hạng đầu tiên hội tụ theo xác suất thành đại lượng , trong lần thứ hai - đến. Do đó, ước tính của chúng tôi hội tụ theo xác suất và phương sai

,

do đó cô ấy là giàu có .

Hãy kiểm tra không thiên vị ước tính cho số lượng. Để làm điều này, chúng tôi thay thế biểu thức (2.9.1) thành công thức (2.9.4) và tính đến các biến ngẫu nhiên sống độc lập

,

. (2.9.5)

Chúng ta hãy chuyển trong công thức (2.9.5) cho các biến động của các biến ngẫu nhiên

Mở rộng dấu ngoặc, chúng tôi nhận được

,

. (2.9.6)

Hãy để chúng tôi tính toán kỳ vọng toán học của giá trị (2.9.6), có tính đến

. (2.9.7)

Quan hệ (2.9.7) cho thấy giá trị được tính theo công thức (2.9.4) không phải là một công cụ ước tính không thiên vị để phân tán. Kỳ vọng toán học của nó không bằng, nhưng có phần ít hơn. Đánh giá này dẫn đến lỗi hệ thống theo hướng giảm dần. Để loại bỏ sai lệch như vậy, cần phải đưa ra một hiệu chỉnh bằng cách nhân không với giá trị. Khi đó, một phương sai thống kê đã hiệu chỉnh như vậy có thể dùng như một ước tính không chệch cho phương sai

. (2.9.8)

Ước tính này cũng phù hợp với ước tính, bởi vì đối với.

Trong thực tế, thay vì ước lượng (2.9.8), đôi khi sử dụng ước lượng tương đương liên quan đến thời điểm thống kê ban đầu thứ hai sẽ thuận tiện hơn.

. (2.9.9)

Các ước lượng (2.9.8), (2.9.9) không hiệu quả. Có thể chỉ ra rằng trong trường hợp có phân phối chuẩn, chúng sẽ tiệm cận hiệu quả (khi nào sẽ có xu hướng đến giá trị nhỏ nhất có thể).

Do đó, chúng ta có thể xây dựng các quy tắc sau để xử lý một số lượng hạn chế tài liệu thống kê. Nếu trong các thí nghiệm độc lập, biến ngẫu nhiên nhận các giá trị với kỳ vọng và phương sai toán học chưa biết, khi đó để xác định các tham số này, người ta nên sử dụng các ước tính gần đúng

(2.9.10)

Kết thúc công việc -

Chủ đề này thuộc về:

Ghi chú bài giảng toán học lý thuyết xác suất thống kê toán học

Phòng ban toán học cao hơn và tin học .. bài giảng .. môn toán ..

Nếu bạn cần tài liệu bổ sung về chủ đề này, hoặc bạn không tìm thấy những gì bạn đang tìm kiếm, chúng tôi khuyên bạn nên sử dụng tìm kiếm trong cơ sở dữ liệu của chúng tôi về các tác phẩm:

Chúng tôi sẽ làm gì với tài liệu nhận được:

Nếu tài liệu này hữu ích cho bạn, bạn có thể lưu nó vào trang của mình trên mạng xã hội:

tiếng riu ríu

Tất cả các chủ đề trong phần này:

Lý thuyết xác suất
Lý thuyết xác suất là một nhánh của toán học nghiên cứu các mô hình của các hiện tượng khối lượng ngẫu nhiên. Ngẫu nhiên là một hiện tượng

Định nghĩa thống kê về xác suất
Sự kiện là một hiện tượng ngẫu nhiên do kinh nghiệm đúc kết có thể xuất hiện hoặc không (hiện tượng hai giá trị). Chỉ định các sự kiện bằng chữ cái Latinh viết hoa

Không gian của các sự kiện sơ cấp
Hãy để một tập hợp các sự kiện được liên kết với một số trải nghiệm và: 1) là kết quả của trải nghiệm, một và chỉ một

Hành động trên các sự kiện
Tổng của hai sự kiện và

Hoán vị
Số các hoán vị khác nhau của các phần tử được ký hiệu là

Phòng ở
Vị trí của các phần tử bằng

Kết hợp
Sự kết hợp của các yếu tố

Công thức để thêm xác suất cho các sự kiện không tương thích
Định lý. Xác suất của tổng của hai sự kiện không tương thích bằng tổng xác suất của các sự kiện này. (một

Công thức cộng xác suất cho các sự kiện tùy ý
Định lý. Xác suất của tổng hai sự kiện bằng tổng xác suất của các sự kiện này mà không bằng xác suất của tích của chúng.

Công thức nhân xác suất
Cho hai sự kiện được đưa ra. Xem xét một sự kiện

Công thức xác suất tổng
Giả sử là một nhóm hoàn chỉnh các sự kiện không tương thích, chúng được gọi là giả thuyết. Xem xét một số sự kiện

Công thức xác suất của các giả thuyết (Bayes)
Hãy xem xét lại - nhóm đầy đủ các giả thuyết không tương thích và sự kiện

Công thức Poisson tiệm cận
Trong trường hợp số lượng thử nghiệm lớn và xác suất xảy ra sự kiện

Các biến rời rạc ngẫu nhiên
Giá trị ngẫu nhiên là đại lượng mà khi thử nghiệm được lặp lại, có thể nhận các giá trị số không bằng nhau. Biến ngẫu nhiên được gọi là rời rạc,

Các biến liên tục ngẫu nhiên
Nếu, theo kết quả của thử nghiệm, một biến ngẫu nhiên có thể nhận bất kỳ giá trị nào từ một đoạn nhất định hoặc toàn bộ trục thực, thì nó được gọi là liên tục. pháp luật

Hàm mật độ xác suất của một biến ngẫu nhiên liên tục
Để cho. Hãy xem xét một điểm và cho điểm đó tăng dần

Đặc điểm số của biến ngẫu nhiên
Các biến ngẫu nhiên rời rạc hoặc liên tục được coi là hoàn toàn xác định nếu biết luật phân phối của chúng. Thật vậy, khi biết quy luật phân phối, người ta luôn có thể tính toán xác suất đánh trúng

Lượng tử của các biến ngẫu nhiên
Lượng tử thứ tự của một biến liên tục ngẫu nhiên

Kỳ vọng toán học của các biến ngẫu nhiên
Kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên đặc trưng cho giá trị trung bình của nó. Tất cả các giá trị của biến ngẫu nhiên được nhóm xung quanh giá trị này. Trước hết hãy xem xét một biến rời rạc ngẫu nhiên

Độ lệch chuẩn và phương sai của các biến ngẫu nhiên
Trước hết hãy xem xét một biến rời rạc ngẫu nhiên. Các đặc trưng số của chế độ, trung vị, lượng tử và kỳ vọng toán học

Khoảnh khắc của các biến ngẫu nhiên
Ngoài kỳ vọng toán học và phân tán, lý thuyết xác suất sử dụng các đặc trưng số của bậc cao hơn, được gọi là mômen của các biến ngẫu nhiên.

Các định lý về đặc tính số của biến ngẫu nhiên
Định lý 1. Kỳ vọng toán học của một biến không ngẫu nhiên bằng chính giá trị này. Bằng chứng: Hãy

Luật phân phối nhị thức

Luật phân phối Poisson
Để một biến rời rạc ngẫu nhiên nhận các giá trị

Luật phân phối đồng đều
Luật phân phối đều của một biến ngẫu nhiên liên tục là luật của hàm mật độ xác suất,

Luật phân phối chuẩn
Quy luật phân phối chuẩn của một biến ngẫu nhiên liên tục là quy luật của hàm mật độ

Luật phân phối hàm mũ
Phân phối theo cấp số nhân hoặc hàm mũ của một biến ngẫu nhiên được sử dụng trong các ứng dụng của lý thuyết xác suất như lý thuyết xếp hàng, lý thuyết độ tin cậy

Hệ thống các biến ngẫu nhiên
Trong thực tế, trong các ứng dụng của lý thuyết xác suất, người ta thường gặp các vấn đề trong đó kết quả của một thí nghiệm không được mô tả bởi một biến ngẫu nhiên mà bởi một số biến ngẫu nhiên cùng một lúc.

Hệ thống hai biến ngẫu nhiên rời rạc
Hãy để hai ngẫu nhiên số lượng rời rạc tạo thành một hệ thống. Giá trị ngẫu nhiên

Hệ hai biến ngẫu nhiên liên tục
Bây giờ hãy để hệ thống được hình thành bởi hai biến liên tục ngẫu nhiên. Luật phân phối của hệ thống này được gọi là

Quy luật phân phối có điều kiện
Để và phụ thuộc các biến liên tục ngẫu nhiên

Đặc điểm số của hệ thống hai biến ngẫu nhiên
Thời điểm ban đầu của bậc của hệ thống các biến ngẫu nhiên

Hệ thống một số biến ngẫu nhiên
Kết quả thu được đối với hệ thống gồm hai biến ngẫu nhiên có thể được tổng quát hóa cho trường hợp hệ thống bao gồm một số biến ngẫu nhiên tùy ý. Để hệ thống được hình thành bởi bộ

Phân phối chuẩn của hệ thống gồm hai biến ngẫu nhiên
Hãy xem xét một hệ thống gồm hai ngẫu nhiên số lượng liên tục. Luật phân phối của hệ thống này là luật bình thường nói rôm rả

Các định lý giới hạn của lý thuyết xác suất
Mục tiêu chính của ngành lý thuyết xác suất là nghiên cứu các dạng của hiện tượng khối lượng ngẫu nhiên. Thực tiễn cho thấy rằng việc quan sát một khối lượng các hiện tượng ngẫu nhiên đồng nhất cho thấy

Bất bình đẳng Chebyshev
Xem xét một biến ngẫu nhiên với kỳ vọng toán học

Định lý Chebyshev
Nếu các biến ngẫu nhiên độc lập theo từng cặp và có giới hạn phương sai trong tổng thể

Định lý Bernoulli
Với sự gia tăng không giới hạn về số lượng thử nghiệm, tần suất xuất hiện của một sự kiện hội tụ trong xác suất thành xác suất của một sự kiện

Định lý giới hạn trung tâm
Khi thêm các biến ngẫu nhiên với bất kỳ luật phân phối nào, nhưng với các phương sai giới hạn trong tổng thể, luật phân phối

Nhiệm vụ chính của thống kê toán học
Các định luật của lý thuyết xác suất được thảo luận ở trên là một biểu thức toán học của các mẫu thực thực sự tồn tại trong các hiện tượng khối lượng ngẫu nhiên khác nhau. học tập

Một thống kê đơn giản. Hàm phân phối thống kê
Xét một số biến ngẫu nhiên có luật phân phối chưa biết. Yêu cầu dựa trên kinh nghiệm

Dòng thống kê. biểu đồ cột
Với số lượng lớn các quan sát (theo thứ tự hàng trăm) dân số trở nên bất tiện và cồng kềnh cho việc ghi chép tài liệu thống kê. Để rõ ràng và nhỏ gọn, tài liệu thống kê

Đặc điểm số của phân phối thống kê
Trong lý thuyết xác suất, các đặc trưng số khác nhau của các biến ngẫu nhiên đã được xem xét: kỳ vọng toán học, phương sai, thời điểm ban đầu và trung tâm của các đơn hàng khác nhau. Số tương tự

Lựa chọn phân bố lý thuyết theo phương pháp mômen
Trong bất kỳ phân phối thống kê nào, chắc chắn có các yếu tố ngẫu nhiên đi kèm với số lượng quan sát hạn chế. Với một số lượng lớn các quan sát, các yếu tố ngẫu nhiên này được làm mịn,

Kiểm định tính hợp lý của giả thuyết về dạng của luật phân phối
Hãy để phân phối thống kê đã cho được xấp xỉ bằng một số đường cong lý thuyết hoặc

Tiêu chí về sự đồng ý
Hãy xem xét một trong những bài kiểm tra độ phù hợp được sử dụng phổ biến nhất, cái gọi là bài kiểm tra Pearson. Giả định

Ước tính điểm cho các thông số phân phối không xác định
Trong p.p. 2.1. - 2.7 chúng tôi đã xem xét chi tiết các cách giải quyết nhiệm vụ chính thứ nhất và thứ hai thống kê toán học. Đây là các công việc xác định quy luật phân phối của các biến ngẫu nhiên theo số liệu thực nghiệm

Khoảng tin cậy. Xác suất tin cậy
Trong thực tế, với một số lượng nhỏ các thí nghiệm trên một biến ngẫu nhiên, sự thay thế gần đúng của một tham số chưa biết