Phương sai kỳ vọng toán học. Để đạt được kết quả khả quan, điều quan trọng không kém

Nhiệm vụ 1. Xác suất nảy mầm của hạt lúa mì là 0,9. Xác suất để trong bốn hạt được gieo, có ít nhất ba hạt nảy mầm?

Quyết định. Hãy để sự kiện NHƯNG- trong số 4 hạt sẽ có ít nhất 3 hạt nảy mầm; Sự kiện TẠI- trong số 4 hạt, 3 hạt sẽ nảy mầm; Sự kiện Với 4 hạt sẽ nảy mầm từ 4 hạt. Theo định lý cộng xác suất

Xác suất
và
được xác định bằng công thức Bernoulli được sử dụng trong trường hợp tiếp theo. Hãy để loạt phim chạy P kiểm tra độc lập, đối với mỗi xác suất của sự kiện xảy ra là không đổi và bằng R và xác suất của sự kiện này không xảy ra bằng
. Sau đó, xác suất để sự kiện NHƯNG trong P các bài kiểm tra sẽ xuất hiện chính xác lần, được tính bằng công thức Bernoulli

,

ở đâu
- số lượng kết hợp của P các yếu tố của . sau đó

Xác suất mong muốn

Nhiệm vụ 2. Xác suất nảy mầm của hạt lúa mì là 0,9. Tìm xác suất để trong 400 hạt gieo có 350 hạt nảy mầm.

Quyết định. Tính xác suất cần thiết
theo công thức Bernoulli là khó do tính toán rườm rà. Do đó, chúng tôi áp dụng một công thức gần đúng thể hiện định lý Laplace địa phương:

,

ở đâu
và
.

Từ phát biểu vấn đề. sau đó

.

Từ bảng 1 của các ứng dụng, chúng tôi tìm thấy. Xác suất mong muốn bằng

Nhiệm vụ 3. Trong hạt lúa mì có 0,02% cỏ dại. Xác suất để một lựa chọn ngẫu nhiên 10.000 hạt giống sẽ xuất hiện 6 hạt cỏ dại là bao nhiêu?

Quyết định. Ứng dụng của định lý Laplace cục bộ do xác suất thấp
dẫn đến độ lệch đáng kể của xác suất so với giá trị chính xác
. Do đó, đối với các giá trị nhỏ R tính toán
áp dụng công thức tiệm cận Poisson

, ở đâu .

Công thức này được sử dụng khi
, và càng ít R và hơn thế nữa P, kết quả càng chính xác.

Theo nhiệm vụ
;
. sau đó

Nhiệm vụ 4. Tỷ lệ nảy mầm của hạt lúa mì là 90%. Tìm xác suất để từ 500 hạt gieo có từ 400 đến 440 hạt nảy mầm.

Quyết định. Nếu xác suất của một sự kiện xảy ra NHƯNG trong mỗi cái của P kiểm tra không đổi và bằng R, sau đó xác suất
sự kiện đó NHƯNG trong các bài kiểm tra như vậy sẽ có ít nhất một lần và không còn nữa thời gian được xác định bởi định lý tích phân Laplace theo công thức sau:

, ở đâu

,
.

Hàm số
được gọi là hàm Laplace. Các phụ lục (Bảng 2) cung cấp các giá trị của hàm này cho
. Tại
hàm số
. Tại giá trị âm X do sự kỳ quặc của hàm Laplace
. Sử dụng hàm Laplace, chúng ta có:

Theo nhiệm vụ. Sử dụng các công thức trên, chúng tôi thấy
và :

Nhiệm vụ 5. Quy luật phân phối của một biến ngẫu nhiên rời rạc được đưa ra X:

2. Tìm: 1) kỳ vọng toán học; 2) sự phân tán; 3) độ lệch chuẩn.

Quyết định. 1) Nếu luật phân phối là rời rạc biến ngẫu nhiênđược đưa ra bởi bảng

2. Khi giá trị của biến ngẫu nhiên x được cho ở dòng đầu tiên và xác suất của những giá trị này được cho ở dòng thứ hai, thì kỳ vọng toán học được tính bằng công thức

2) Sự phân tán
biến ngẫu nhiên rời rạc Xđược gọi là kỳ vọng toán học về độ lệch bình phương của một biến ngẫu nhiên so với kỳ vọng toán học, I E.

Giá trị này đặc trưng cho giá trị kỳ vọng trung bình của độ lệch bình phương X từ
. Từ công thức cuối cùng, chúng tôi có

sự phân tán
có thể được tìm thấy theo cách khác, dựa trên thuộc tính sau của nó: phương sai
bằng chênh lệch giữa kỳ vọng toán học bình phương của biến ngẫu nhiên X và bình phương của kỳ vọng toán học của nó
, I E

Tính toán
chúng tôi soạn ra quy luật phân phối số lượng sau đây
:

3) Để mô tả sự phân tán của các giá trị có thể có của một biến ngẫu nhiên xung quanh giá trị trung bình của nó, độ lệch chuẩn được đưa vào
biến ngẫu nhiên X, bằng căn bậc hai của phương sai
, I E

.

Từ công thức này, chúng ta có:

Nhiệm vụ 6. Biến ngẫu nhiên liên tục Xđược cho bởi hàm phân phối tích phân

Tìm: 1) hàm phân phối vi phân
; 2) kỳ vọng toán học
; 3) phân tán
.

Quyết định. 1) Hàm phân phối vi sai
biến ngẫu nhiên liên tục Xđược gọi là đạo hàm của hàm phân phối tích phân
, I E

.

Hàm vi phân mong muốn có dạng sau:

2) Nếu một biến ngẫu nhiên liên tục Xđược đưa ra bởi chức năng
, thì kỳ vọng toán học của nó được xác định bằng công thức

Kể từ khi chức năng
tại
và tại
bằng 0, thì từ công thức cuối cùng, chúng ta có

.

3) Sự phân tán
xác định bằng công thức

Nhiệm vụ 7. Chiều dài bộ phận là một biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với kỳ vọng toán học là 40 mm và độ lệch chuẩn là 3 mm. Tìm: 1) xác suất để chiều dài của một bộ phận tùy ý lớn hơn 34 mm và nhỏ hơn 43 mm; 2) xác suất để chiều dài của bộ phận lệch khỏi kỳ vọng toán học của nó không quá 1,5 mm.

Quyết định. 1) Để X- chiều dài của bộ phận. Nếu biến ngẫu nhiên Xđược cho hàm vi phân
, thì xác suất mà X sẽ lấy các giá trị thuộc phân khúc
, được xác định bởi công thức

.

Xác suất thực hiện các bất đẳng thức nghiêm ngặt
được xác định bởi cùng một công thức. Nếu biến ngẫu nhiên X phân phối bởi luật bình thường, sau đó

, (1)

ở đâu
là hàm Laplace,
.

Trong nhiệm vụ. sau đó

2) Theo điều kiện của vấn đề, nơi
. Thay thế vào (1), chúng tôi có

. (2)

Từ công thức (2) ta có.

Khái niệm kỳ vọng toán học có thể được xem xét trên ví dụ về ném một con xúc xắc. Với mỗi lần ném, điểm rơi được ghi lại. Các giá trị tự nhiên trong phạm vi 1 - 6 được sử dụng để thể hiện chúng.

Sau một số lần ném nhất định, với sự trợ giúp của các phép tính đơn giản, bạn có thể tìm thấy giá trị trung bình giá trị số học giảm điểm.

Cũng như giảm bất kỳ giá trị phạm vi nào, giá trị này sẽ là ngẫu nhiên.

Và nếu bạn tăng số lần ném lên mấy lần? Tại số lượng lớn ném, trung bình cộng của các điểm sẽ tiếp cận con số cụ thể, trong lý thuyết xác suất được gọi là kỳ vọng toán học.

Vì vậy, kỳ vọng toán học được hiểu là giá trị trung bình của một biến ngẫu nhiên. Chỉ số này cũng có thể được trình bày dưới dạng tổng trọng số của các giá trị có thể xảy ra.

Khái niệm này có một số từ đồng nghĩa:

• nghĩa là;
• giá trị trung bình;
• chỉ báo xu hướng trung tâm;
• Khoảnh khắc đầu tiên.

Nói cách khác, nó chỉ là một con số mà xung quanh đó các giá trị của một biến ngẫu nhiên được phân phối.

TẠI các lĩnh vực khác nhau hoạt động của con người các cách tiếp cận để hiểu kỳ vọng toán học sẽ hơi khác.

Nó có thể được xem như:

• lợi ích trung bình nhận được từ việc thông qua một quyết định, trong trường hợp khi một quyết định đó được xem xét theo quan điểm của lý thuyết về số lượng lớn;
• số tiền lãi hoặc lỗ có thể có (lý thuyết bài bạc), được tính trung bình cho mỗi tỷ lệ. Trong tiếng lóng, chúng nghe như "lợi thế của người chơi" (tích cực cho người chơi) hoặc "lợi thế sòng bạc" (tiêu cực cho người chơi);
• phần trăm lợi nhuận nhận được từ tiền thắng cược.

Kỳ vọng toán học không bắt buộc đối với tất cả các biến ngẫu nhiên. Nó vắng mặt đối với những người có sự khác biệt trong tổng hoặc tích phân tương ứng.

Thuộc tính kỳ vọng

Giống như bất kỳ tham số thống kê nào, kỳ vọng toán học có các đặc tính sau:

Các công thức cơ bản cho kỳ vọng toán học

Việc tính toán kỳ vọng toán học có thể được thực hiện cho cả các biến ngẫu nhiên được đặc trưng bởi cả tính liên tục (công thức A) và tính rời rạc (công thức B):

1. M (X) = ∑i = 1nxi⋅pi, trong đó xi là giá trị của biến ngẫu nhiên, pi là xác suất:
2. M (X) = ∫ + ∞ − ∞f (x) ⋅xdx, trong đó f (x) là mật độ xác suất cho trước.

Ví dụ về tính toán kỳ vọng toán học

Ví dụ A.

Có thể tìm ra chiều cao trung bình của các chú chuột cống trong câu chuyện cổ tích về nàng Bạch Tuyết. Người ta biết rằng mỗi người trong số 7 gnomes đều có chiều cao nhất định: 1,25; 0,98; 1,05; 0,71; 0,56; 0,95 và 0,81 m.

Thuật toán tính toán khá đơn giản:

• tìm tổng tất cả các giá trị của chỉ tiêu tăng trưởng (biến ngẫu nhiên):
  1,25+0,98+1,05+0,71+0,56+0,95+ 0,81 = 6,31;
• Số tiền kết quả được chia cho số lượng gnomes:
  6,31:7=0,90.

Như vậy, chiều cao trung bình của những chú mèo con trong truyện cổ tích là 90 cm, nói cách khác, đây là kỳ vọng toán học về sự lớn lên của chú mèo con.

Công thức làm việc - M (x) \ u003d 4 0,2 + 6 0,3 + 10 0,5 \ u003d 6

Thực hiện kỳ ​​vọng toán học trong thực tế

Việc tính toán chỉ số thống kê về kỳ vọng toán học được sử dụng trong các lĩnh vực khác nhau hoạt động thực tế. Chủ yếu chúng tôi đang nói chuyện về khu thương mại. Thật vậy, việc Huygens đưa ra chỉ số này có liên quan đến việc xác định các cơ hội có thể thuận lợi hoặc ngược lại, không thuận lợi đối với một số sự kiện.

Tham số này được sử dụng rộng rãi để đánh giá rủi ro, đặc biệt là khi đầu tư tài chính.
Vì vậy, trong kinh doanh, việc tính toán kỳ vọng toán học đóng vai trò như một phương pháp đánh giá rủi ro khi tính giá.

Ngoài ra, chỉ tiêu này có thể được sử dụng khi tính toán hiệu quả của một số biện pháp nhất định, ví dụ, về bảo hộ lao động. Nhờ nó, bạn có thể tính toán xác suất của một sự kiện xảy ra.

Một lĩnh vực ứng dụng khác của tham số này là quản lý. Nó cũng có thể được tính toán trong quá trình kiểm tra chất lượng sản phẩm. Ví dụ, sử dụng chiếu. kỳ vọng có thể được tính toán số có thể sản xuất các bộ phận bị lỗi.

Kỳ vọng toán học hóa ra cũng là điều không thể thiếu khi tiến hành xử lý thống kê nhận được trong nghiên cứu khoa học các kết quả. Nó cũng cho phép bạn tính xác suất của một kết quả mong muốn hoặc không mong muốn của một thử nghiệm hoặc nghiên cứu, tùy thuộc vào mức độ đạt được mục tiêu. Xét cho cùng, thành tích của nó có thể được kết hợp với lợi nhuận và lợi nhuận, và không phải là thành tựu của nó - như một khoản lỗ hoặc mất mát.

Sử dụng kỳ vọng toán học trong Forex

Ứng dụng thực tế của tham số thống kê này có thể thực hiện được khi thực hiện các giao dịch trên thị trường ngoại hối. Nó có thể được sử dụng để phân tích sự thành công của các giao dịch thương mại. Hơn nữa, giá trị kỳ vọng tăng lên cho thấy mức độ thành công của họ tăng lên.

Cũng cần nhớ rằng kỳ vọng toán học không nên được coi là tham số thống kê duy nhất được sử dụng để phân tích hoạt động của một nhà giao dịch. Việc sử dụng một số tham số thống kê cùng với giá trị trung bình làm tăng độ chính xác của phân tích đôi khi.

Thông số này đã được chứng minh tốt trong việc theo dõi các quan sát của các tài khoản giao dịch. Nhờ anh ta, một đánh giá nhanh chóng về công việc được thực hiện trên tài khoản tiền gửi được thực hiện. Trong trường hợp hoạt động của nhà giao dịch thành công và anh ta tránh được thua lỗ, thì không nên chỉ sử dụng phép tính kỳ vọng toán học. Trong những trường hợp này, rủi ro không được tính đến, điều này làm giảm hiệu quả của việc phân tích.

Các nghiên cứu đã thực hiện về chiến thuật của các nhà giao dịch chỉ ra rằng:

• hiệu quả nhất là các chiến thuật dựa trên đầu vào ngẫu nhiên;
• kém hiệu quả nhất là các chiến thuật dựa trên đầu vào có cấu trúc.

Để đạt được kết quả tích cực, điều quan trọng không kém là:

• chiến thuật quản lý tiền bạc;
• các chiến lược rút lui.

Sử dụng một chỉ báo như kỳ vọng toán học, chúng ta có thể giả định lãi hoặc lỗ khi đầu tư 1 đô la. Được biết, chỉ số này, được tính cho tất cả các trò chơi được thực hiện trong sòng bạc, là có lợi cho tổ chức. Đây là những gì cho phép bạn kiếm tiền. Trong trường hợp một loạt trò chơi kéo dài, xác suất mất tiền của khách hàng sẽ tăng lên đáng kể.

Các trò chơi của những người chơi chuyên nghiệp được giới hạn trong những khoảng thời gian nhỏ, giúp tăng cơ hội chiến thắng và giảm nguy cơ thua cuộc. Mô hình tương tự cũng được quan sát thấy trong việc thực hiện các hoạt động đầu tư.

Một nhà đầu tư có thể kiếm được một số tiền đáng kể với một kỳ vọng tích cực và một số lượng lớn giao dịch trong một khoảng thời gian ngắn.

Kỳ vọng có thể được coi là sự khác biệt giữa tỷ lệ phần trăm lợi nhuận (PW) nhân với lợi nhuận trung bình (AW) và xác suất thua lỗ (PL) nhân với mức lỗ trung bình (AL).

Ví dụ, hãy xem xét những điều sau: vị thế - 12,5 nghìn đô la, danh mục đầu tư - 100 nghìn đô la, rủi ro trên mỗi khoản tiền gửi - 1%. Khả năng sinh lời của các giao dịch là 40% các trường hợp với lợi nhuận trung bình là 20%. Trong trường hợp bị lỗ, mức lỗ trung bình là 5%. Tính toán kỳ vọng toán học cho một giao dịch cho giá trị là 625 đô la.

Các biến ngẫu nhiên, ngoài luật phân phối, cũng có thể được mô tả đặc điểm số .

kỳ vọng toán học M (x) của một biến ngẫu nhiên được gọi là giá trị trung bình của nó.

Kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên rời rạc được tính bằng công thức

ở đâu – giá trị của một biến ngẫu nhiên, p tôi- xác suất của chúng.

Xem xét các tính chất của kỳ vọng toán học:

1. Kỳ vọng toán học của một hằng số bằng chính hằng số đó

2. Nếu một biến ngẫu nhiên được nhân với một số k nào đó, thì kỳ vọng toán học sẽ được nhân với cùng một số

M (kx) = kM (x)

3. Kỳ vọng toán học của tổng các biến ngẫu nhiên bằng tổng kỳ vọng toán học của chúng

M (x 1 + x 2 + ... + x n) \ u003d M (x 1) + M (x 2) + ... + M (x n)

4. M (x 1 - x 2) \ u003d M (x 1) - M (x 2)

5. Đối với các biến ngẫu nhiên độc lập x 1, x 2,… x n, kỳ vọng toán học của sản phẩm bằng tích của kỳ vọng toán học của chúng

M (x 1, x 2, ... x n) \ u003d M (x 1) M (x 2) ... M (x n)

6. M (x - M (x)) \ u003d M (x) - M (M (x)) \ u003d M (x) - M (x) \ u003d 0

Hãy tính kỳ vọng toán học cho biến ngẫu nhiên từ Ví dụ 11.

M (x) == .

Ví dụ 12. Cho các biến ngẫu nhiên x 1, x 2 lần lượt được cho bởi luật phân phối:

x 1 Bảng 2

x 2 Bảng 3

Tính M (x 1) và M (x 2)

M (x 1) \ u003d (- 0,1) 0,1 + (- 0,01) 0,2 + 0 0,4 + 0,01 0,2 + 0,1 0,1 \ u003d 0

M (x 2) \ u003d (- 20) 0,3 + (- 10) 0,1 + 0 0,2 + 10 0,1 + 20 0,3 \ u003d 0

Kỳ vọng toán học của cả hai biến ngẫu nhiên là như nhau - chúng bằng không. Tuy nhiên, sự phân bố của chúng là khác nhau. Nếu các giá trị của x 1 khác một chút so với kỳ vọng toán học của chúng, thì các giá trị của x 2 khác rất nhiều so với kỳ vọng toán học của chúng và xác suất của những sai lệch đó là không nhỏ. Những ví dụ này cho thấy rằng không thể xác định được từ giá trị trung bình những độ lệch nào diễn ra cả lên và xuống. Vì vậy, cùng trung bình Lượng mưa hàng năm ở hai địa phương không thể nói là thuận lợi như nhau cho công việc nông nghiệp. Tương tự, về mặt trung bình tiền công nó không thể đánh giá trọng lượng riêng người lao động được trả lương cao và thấp. Do đó, nó được giới thiệu đặc tính số – sự phân tán D (x) , đặc trưng cho mức độ sai lệch của một biến ngẫu nhiên so với giá trị trung bình của nó:

D (x) = M (x - M (x)) 2. (2)

Độ phân tán là kỳ vọng toán học về độ lệch bình phương của một biến ngẫu nhiên so với kỳ vọng toán học. Đối với biến ngẫu nhiên rời rạc, phương sai được tính theo công thức:

D (x) = = (3)

Nó tuân theo định nghĩa của phương sai rằng D (x) 0.

Thuộc tính phân tán:

1. Độ phân tán của hằng số bằng không

2. Nếu một biến ngẫu nhiên được nhân với một số k, thì phương sai được nhân với bình phương của số này

D (kx) = k 2 D (x)

3. D (x) \ u003d M (x 2) - M 2 (x)

4. Đối với các biến ngẫu nhiên độc lập theo từng cặp x 1, x 2,… x n, phương sai của tổng bằng tổng của các phương sai.

D (x 1 + x 2 + ... + x n) = D (x 1) + D (x 2) + ... + D (x n)

Hãy tính phương sai cho biến ngẫu nhiên từ Ví dụ 11.

Kỳ vọng toán học M (x) = 1. Do đó, theo công thức (3) ta có:

D (x) = (0 - 1) 2 1/4 + (1 - 1) 2 1/2 + (2 - 1) 2 1/4 = 1 1/4 +1 1/4 = 1/2

Lưu ý rằng việc tính toán phương sai sẽ dễ dàng hơn nếu chúng ta sử dụng thuộc tính 3:

D (x) \ u003d M (x 2) - M 2 (x).

Hãy tính phương sai cho các biến ngẫu nhiên x 1, x 2 từ Ví dụ 12 bằng công thức này. Kỳ vọng toán học của cả hai biến ngẫu nhiên đều bằng không.

D (x 1) \ u003d 0,01 0,1 + 0,0001 0,2 + 0,0001 0,2 + 0,01 0,1 \ u003d 0,001 + 0,00002 + 0,00002 + 0,001 \ u003d 0,00204

D (x 2) \ u003d (-20) 2 0,3 + (-10) 2 0,1 + 10 2 0,1 + 20 2 0,3 \ u003d 240 +20 \ u003d 260

Giá trị phân tán càng gần bằng 0, mức chênh lệch của biến ngẫu nhiên so với giá trị trung bình càng nhỏ.

Giá trị được gọi là độ lệch chuẩn. Thời trang ngẫu nhiên x loại rời rạc Md là giá trị của biến ngẫu nhiên, tương ứng với xác suất cao nhất.

Thời trang ngẫu nhiên x loại liên tục Md, được gọi là số thực, được xác định là điểm cực đại của mật độ phân phối xác suất f (x).

Trung vị của một biến ngẫu nhiên x loại liên tục Mn là một số thực thỏa mãn phương trình

Lý thuyết xác suất - Phần đặc biệt Toán học, chỉ được học bởi sinh viên của các cơ sở giáo dục đại học. Bạn yêu thích các phép tính và công thức? Bạn không sợ triển vọng làm quen với phân phối chuẩn, entropy của tập hợp, kỳ vọng toán học và phương sai của một biến ngẫu nhiên rời rạc? Thì môn học này sẽ được nhiều bạn quan tâm. Chúng ta hãy xem xét một số điều quan trọng nhất các khái niệm cơ bản ngành khoa học này.

Hãy nhớ những điều cơ bản

Ngay cả khi bạn nhớ nhất khái niệm đơn giản lý thuyết về xác suất, đừng bỏ bê những đoạn đầu tiên của bài báo. Thực tế là nếu không hiểu rõ những điều cơ bản, bạn sẽ không thể làm việc với các công thức được thảo luận dưới đây.

Vì vậy, có một số sự kiện ngẫu nhiên, một số thử nghiệm. Kết quả của các hành động được thực hiện, chúng ta có thể nhận được một số kết quả - một số trong số đó phổ biến hơn, những kết quả khác ít phổ biến hơn. Xác suất của một sự kiện là tỷ lệ giữa số lượng kết quả thực tế nhận được của một loại với Tổng số có thể được. Chỉ biết định nghĩa cổ điển của khái niệm này, bạn có thể bắt đầu nghiên cứu kỳ vọng toán học và phương sai của các biến ngẫu nhiên liên tục.

Trung bình

Trở lại trường học, trong các bài học toán học, bạn bắt đầu làm việc với trung bình cộng. Khái niệm này được sử dụng rộng rãi trong lý thuyết xác suất, và do đó nó không thể bị bỏ qua. Điều chính đối với chúng tôi khoảnh khắc này là chúng ta sẽ gặp nó trong các công thức cho kỳ vọng toán học và phương sai của một biến ngẫu nhiên.

Chúng ta có một dãy số và muốn tìm giá trị trung bình cộng. Tất cả những gì được yêu cầu của chúng ta là tính tổng mọi thứ có sẵn và chia cho số phần tử trong dãy. Cho chúng ta các số từ 1 đến 9. Tổng các phần tử sẽ là 45, và chúng ta sẽ chia giá trị này cho 9. Đáp số: - 5.

Sự phân tán

đang nói ngôn ngữ khoa học, phương sai là hình vuông ở giữađộ lệch của các giá trị đặc trưng thu được so với giá trị trung bình cộng. Một được ký hiệu bằng chữ cái Latinh viết hoa D. Cần gì để tính toán nó? Đối với mỗi phần tử của dãy, chúng tôi tính toán sự khác biệt giữa số có sẵn và trung bình cộng và bình phương nó. Sẽ có chính xác nhiều giá trị nhất có thể mang lại kết quả cho sự kiện mà chúng ta đang xem xét. Tiếp theo, chúng tôi tóm tắt mọi thứ nhận được và chia cho số phần tử trong dãy. Nếu chúng ta có năm kết quả có thể xảy ra, thì hãy chia cho năm.

Phương sai cũng có những tính chất mà bạn cần nhớ để áp dụng khi giải toán. Ví dụ, nếu biến ngẫu nhiên được tăng lên X lần, thì phương sai sẽ tăng lên X nhân với bình phương (tức là X * X). Nó không bao giờ nhỏ hơn 0 và không phụ thuộc vào sự dịch chuyển của các giá trị bằng giá trị như nhau lên hoặc xuống. Ngoài ra, đối với các thử nghiệm độc lập, phương sai của tổng bằng tổng phương sai.

Bây giờ chúng ta chắc chắn cần xem xét các ví dụ về phương sai của một biến ngẫu nhiên rời rạc và kỳ vọng toán học.

Giả sử chúng tôi chạy 21 thử nghiệm và nhận được 7 kết quả khác nhau. Chúng tôi quan sát từng người trong số họ lần lượt là 1,2,2,3,4,4 và 5 lần. Phương sai sẽ là gì?

Đầu tiên, chúng ta tính trung bình cộng: tất nhiên, tổng các phần tử là 21. Chúng ta chia nó cho 7, được 3. Bây giờ chúng ta trừ 3 cho mỗi số trong dãy ban đầu, bình phương mỗi giá trị và cộng các kết quả lại với nhau. . Hóa ra là 12. Bây giờ chúng ta vẫn phải chia số cho số phần tử, và dường như chỉ có vậy. Nhưng có một nhược điểm! Hãy thảo luận về nó.

Sự phụ thuộc vào số lượng thử nghiệm

Hóa ra là khi tính phương sai, mẫu số có thể là một trong hai số: N hoặc N-1. Ở đây N là số thí nghiệm được thực hiện hoặc số phần tử trong dãy (về cơ bản là các thí nghiệm giống nhau). Nó phụ thuộc vào cái gì?

Nếu số phép thử đo bằng hàng trăm thì ta phải đặt N ở mẫu số, nếu tính theo đơn vị thì N-1. Các nhà khoa học quyết định vẽ đường viền khá tượng trưng: ngày nay nó chạy dọc theo con số 30. Nếu chúng tôi tiến hành ít hơn 30 thí nghiệm, thì chúng tôi sẽ chia số tiền cho N-1, và nếu nhiều hơn, thì cho N.

Nhiệm vụ

Hãy quay lại ví dụ của chúng ta về việc giải quyết vấn đề phương sai và kỳ vọng. Chúng ta có một số trung gian là 12, số này phải chia cho N hoặc N-1. Vì chúng tôi đã tiến hành 21 thí nghiệm, nhỏ hơn 30 nên chúng tôi sẽ chọn phương án thứ hai. Vì vậy, câu trả lời là: phương sai là 12/2 = 2.

Gia trị được ki vọng

Hãy chuyển sang khái niệm thứ hai, mà chúng ta phải xem xét trong bài viết này. Kỳ vọng toán học là kết quả của việc cộng tất cả các kết quả có thể nhân với các xác suất tương ứng. Điều quan trọng là phải hiểu rằng giá trị thu được, cũng như kết quả của việc tính toán phương sai, chỉ nhận được một lần đối với toàn bộ nhiệm vụ, cho dù nó có xem xét bao nhiêu kết quả.

Công thức kỳ vọng toán học khá đơn giản: chúng tôi lấy kết quả, nhân nó với xác suất của nó, cộng các kết quả tương tự cho kết quả thứ hai, thứ ba, v.v. Mọi thứ liên quan đến khái niệm này đều dễ dàng tính toán. Ví dụ, tổng các kỳ vọng toán học bằng kỳ vọng toán học của tổng. Điều này cũng đúng với tác phẩm. Như là hoạt động đơn giản khác xa mọi đại lượng trong lý thuyết xác suất cho phép chúng ta đáp ứng với nó. Hãy thực hiện một nhiệm vụ và tính giá trị của hai khái niệm chúng ta đã nghiên cứu cùng một lúc. Ngoài ra, chúng tôi đã bị phân tâm bởi lý thuyết - đã đến lúc thực hành.

Thêm một ví dụ nữa

Chúng tôi đã chạy 50 thử nghiệm và nhận được 10 loại kết quả - các số từ 0 đến 9 - xuất hiện ở các tỷ lệ phần trăm. Lần lượt là: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Nhớ lại rằng để có các xác suất, bạn cần chia các giá trị phần trăm cho 100. Như vậy, chúng ta nhận được 0,02; 0,1, v.v. Hãy để chúng tôi trình bày một ví dụ về việc giải bài toán về phương sai của một biến ngẫu nhiên và kỳ vọng toán học.

Chúng tôi tính toán trung bình cộng bằng cách sử dụng công thức mà chúng tôi nhớ với trường tiểu học: 50/10 = 5.

Bây giờ chúng ta hãy chuyển các xác suất thành số kết quả "theo từng phần" để thuận tiện hơn trong việc đếm. Chúng ta nhận được 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 và 9. Lấy mỗi giá trị thu được trừ trung bình cộng, sau đó chúng ta bình phương từng kết quả thu được. Hãy xem cách thực hiện điều này với phần tử đầu tiên như một ví dụ: 1 - 5 = (-4). Hơn nữa: (-4) * (-4) = 16. Đối với các giá trị khác, hãy tự thực hiện các thao tác này. Nếu bạn đã làm đúng mọi thứ, thì sau khi thêm mọi thứ, bạn sẽ nhận được 90.

Hãy tiếp tục tính phương sai và giá trị trung bình bằng cách chia 90 cho N. Tại sao chúng ta chọn N mà không phải N-1? Đúng vậy, vì số thí nghiệm thực hiện vượt quá 30. Vậy: 90/10 = 9. Ta có độ phân tán. Nếu bạn nhận được một số khác, đừng thất vọng. Rất có thể, bạn đã mắc một lỗi nhỏ trong các phép tính. Kiểm tra kỹ những gì bạn đã viết, và chắc chắn mọi thứ sẽ vào đúng vị trí.

Cuối cùng, hãy nhớ lại công thức kỳ vọng toán học. Chúng tôi sẽ không đưa ra tất cả các phép tính, chúng tôi sẽ chỉ viết câu trả lời mà bạn có thể kiểm tra sau khi hoàn thành tất cả các thủ tục cần thiết. Giá trị kỳ vọng sẽ là 5,48. Chúng tôi chỉ nhắc lại cách thực hiện các hoạt động, sử dụng ví dụ về các phần tử đầu tiên: 0 * 0.02 + 1 * 0.1 ... và v.v. Như bạn có thể thấy, chúng tôi chỉ cần nhân giá trị của kết quả với xác suất của nó.

Độ lệch

Một khái niệm khác liên quan chặt chẽ đến độ phân tán và kỳ vọng toán học là độ lệch chuẩn. Nó được đánh dấu một trong hai với các chữ cái Latinh sd, hoặc chữ thường Hy Lạp "sigma". Khái niệm này cho biết các giá trị có độ lệch trung bình như thế nào so với đối tượng địa lý trung tâm. Để tìm giá trị của nó, bạn cần tính Căn bậc hai khỏi phân tán.

Nếu bạn làm một đồ thị phân phối bình thường và muốn xem trực tiếp trên đó độ lệch chuẩn, điều này có thể được thực hiện trong một số bước. Lấy một nửa hình ảnh ở bên trái hoặc bên phải của chế độ (giá trị trung tâm), vẽ vuông góc với trục hoành sao cho diện tích của các hình thu được bằng nhau. Giá trị của đoạn giữa giữa phân phối và hình chiếu kết quả trên trục hoành sẽ là độ lệch chuẩn.

Phần mềm

Như có thể thấy từ các mô tả của các công thức và các ví dụ được trình bày, tính toán phương sai và kỳ vọng toán học không phải là thủ tục dễ dàng nhất theo quan điểm số học. Để không lãng phí thời gian, bạn nên sử dụng chương trình được sử dụng trong cơ sở giáo dục- nó được gọi là "R". Nó có các chức năng cho phép bạn tính toán các giá trị cho nhiều khái niệm từ thống kê và lý thuyết xác suất.

Ví dụ, bạn xác định một vectơ giá trị. Điều này được thực hiện như sau:<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

Cuối cùng

Không có sự phân tán và kỳ vọng toán học, rất khó để tính toán bất cứ điều gì trong tương lai. Trong quá trình giảng dạy chính ở các trường đại học, họ được coi là đã ở trong những tháng đầu tiên của việc nghiên cứu môn học. Chính vì thiếu hiểu biết về những khái niệm đơn giản này và không có khả năng tính toán chúng mà nhiều sinh viên ngay lập tức bị tụt lại phía sau chương trình và sau đó bị điểm kém trong buổi học, khiến họ bị tước học bổng.

Thực hành ít nhất một tuần với nửa giờ mỗi ngày, giải quyết các nhiệm vụ tương tự như những nhiệm vụ được trình bày trong bài viết này. Sau đó, trong bất kỳ bài kiểm tra lý thuyết xác suất nào, bạn sẽ đối phó với các ví dụ mà không có các mẹo và bảng gian lận không liên quan.

Kỳ vọng toán học là, định nghĩa

Mat đợi là một trong những khái niệm quan trọng nhất trong thống kê toán học và lý thuyết xác suất, đặc trưng cho sự phân bố của các giá trị hoặc xác suất biến ngẫu nhiên. Thường được biểu thị bằng giá trị trung bình có trọng số của tất cả các tham số có thể có của một biến ngẫu nhiên. Nó được sử dụng rộng rãi trong phân tích kỹ thuật, nghiên cứu dãy số, nghiên cứu các quá trình liên tục và lâu dài. Điều quan trọng trong việc đánh giá rủi ro, dự đoán các chỉ số giá khi giao dịch trên thị trường tài chính và được sử dụng trong việc phát triển các chiến lược và phương pháp chiến thuật trò chơi trong lý thuyết cờ bạc.

Người kiểm tra đang đợi- Cái này giá trị trung bình của một biến ngẫu nhiên, phân phối xác suất biến ngẫu nhiên được xem xét trong lý thuyết xác suất.

Mat đợi là thước đo giá trị trung bình của một biến ngẫu nhiên trong lý thuyết xác suất. Kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên x biểu thị M (x).

Kỳ vọng toán học (Trung bình dân số) là

Mat đợi là

Mat đợi là trong lý thuyết xác suất, trung bình có trọng số của tất cả các giá trị có thể có mà biến ngẫu nhiên này có thể nhận.

Mat đợi là tổng các tích của tất cả các giá trị có thể có của một biến ngẫu nhiên bằng xác suất của các giá trị này.

Kỳ vọng toán học (Trung bình dân số) là

Mat đợi là lợi ích trung bình từ một quyết định cụ thể, với điều kiện một quyết định đó có thể được xem xét trong khuôn khổ lý thuyết về số lượng lớn và khoảng cách xa.

Mat đợi là trong lý thuyết về cờ bạc, số tiền thắng cược mà một nhà đầu cơ có thể kiếm được hoặc thua trung bình cho mỗi lần đặt cược. Trong ngôn ngữ của cờ bạc nhà đầu cơđiều này đôi khi được gọi là "lợi thế người đầu cơ”(Nếu nó là tích cực đối với nhà đầu cơ) hoặc“ cạnh nhà ”(nếu nó là tiêu cực đối với nhà đầu cơ).

Kỳ vọng toán học (Trung bình dân số) là

Wir verwenden Cookies für die beste Trang web Präsentation unserer. Wenn Sie diese Trang web weiterhin nutzen, kích thích Sie dem zu. ĐƯỢC RỒI