Mọi giá trị đều là tội lỗi. Giá trị hàm lượng giác

Chú ý!
Có thêm
tài liệu trong Mục Đặc biệt 555.
Dành cho những người rất "không..."
Và đối với những người “rất nhiều…”)

Trước hết, hãy để tôi nhắc bạn về một kết luận đơn giản nhưng rất hữu ích từ bài học “Sine và cosine là gì? Tiếp tuyến và cotang là gì?”

Đây là đầu ra:

Sin, cosin, tiếp tuyến và cotang được liên kết chặt chẽ với các góc của chúng. Chúng ta biết một điều, có nghĩa là chúng ta biết một điều khác.

Nói cách khác, mỗi góc có sin và cosin không đổi riêng. Và hầu như mọi người đều có tiếp tuyến và côtang riêng. Tại sao hầu hết? Thêm về điều này dưới đây.

Những kiến ​​thức này giúp ích rất nhiều cho việc học tập của bạn! Có rất nhiều nhiệm vụ mà bạn cần phải chuyển từ hình sin sang góc và ngược lại. Đối với điều này có bảng sin. Tương tự, đối với các nhiệm vụ có cosine - bảng cosin. Và, như bạn có thể đoán, có bảng tiếp tuyến Và bảng cotang.)

Bàn là khác nhau. Những cái dài, nơi bạn có thể thấy những gì, chẳng hạn, sin37°6' bằng. Chúng tôi mở bảng Bradis, tìm góc 37 độ sáu phút và thấy giá trị 0,6032. Rõ ràng là hoàn toàn không cần phải nhớ con số này (và hàng nghìn giá trị bảng khác).

Trên thực tế, ở thời đại chúng ta, những bảng dài cosin, sin, tiếp tuyến, cotang không thực sự cần thiết. Một máy tính tốt sẽ thay thế chúng hoàn toàn. Nhưng sẽ không hại gì khi biết về sự tồn tại của những bảng như vậy. Đối với sự uyên bác nói chung.)

Và tại sao lại có bài học này?! - bạn hỏi.

Nhưng tại sao. Trong số vô số góc có đặc biệt, mà bạn nên biết về Tất cả. Tất cả hình học và lượng giác của trường đều được xây dựng trên các góc này. Đây là một loại "bảng cửu chương" lượng giác. Ví dụ: nếu bạn không biết sin50° bằng bao nhiêu thì sẽ không có ai phán xét bạn.) Nhưng nếu bạn không biết sin30° bằng bao nhiêu, hãy chuẩn bị để nhận được hai con số rất xứng đáng...

Như là đặc biệt Các góc quay cũng khá tốt. Sách giáo khoa ở trường thường cung cấp tính năng ghi nhớ bảng sin và bảng cosine cho mười bảy góc. Và dĩ nhiên, bảng tiếp tuyến và bảng côtang cho mười bảy góc giống nhau... I.e. Nó được đề xuất để ghi nhớ 68 giá trị. Nhân tiện, chúng rất giống nhau, thỉnh thoảng lặp lại và thay đổi dấu hiệu. Đối với một người không có trí nhớ hình ảnh hoàn hảo thì đây quả là một nhiệm vụ...)

Chúng ta sẽ đi một con đường khác. Hãy thay thế việc học thuộc lòng bằng tính logic và sự khéo léo. Khi đó chúng ta sẽ phải ghi nhớ 3 (ba!) Giá trị của bảng sin và bảng cosin. Và 3 (ba!) Giá trị cho bảng tiếp tuyến và bảng côtang. Đó là tất cả. Đối với tôi, sáu giá trị dễ nhớ hơn 68...)

Khác giá trị bắt buộc chúng ta sẽ thoát khỏi sáu điều này với sự trợ giúp của bảng ghi nhớ pháp lý mạnh mẽ - vòng tròn lượng giác. Nếu bạn chưa nghiên cứu chủ đề này thì hãy theo link, đừng lười biếng. Vòng tròn này không chỉ cần thiết cho bài học này. Anh ấy là không thể thay thế cho tất cả lượng giác cùng một lúc. Không sử dụng một công cụ như vậy chỉ đơn giản là một tội lỗi! Bạn không muốn? Đó là việc của bạn. ghi nhớ bảng sin. Bảng cosin. Bảng tiếp tuyến. Bảng cotang. Tất cả 68 giá trị cho nhiều góc độ khác nhau.)

Vì vậy, hãy bắt đầu. Đầu tiên, hãy chia tất cả các góc đặc biệt này thành ba nhóm.

Nhóm góc đầu tiên

Hãy xem xét nhóm đầu tiên mười bảy góc đặc biệt. Đây là 5 góc: 0°, 90°, 180°, 270°, 360°.

Đây là bảng các sin, cosin, tiếp tuyến, cotang đối với các góc này:

Góc x (tính bằng độ)	0	90	180	270	360
Góc x (tính bằng radian)	0
tội lỗi x	0	1	0	-1	0
vì x	1	0	-1	0	1
tg x	0	danh từ	0	danh từ	0
ctg x	danh từ	0	danh từ	0	danh từ

Ai muốn nhớ thì nhớ. Nhưng tôi sẽ nói ngay rằng tất cả những số 1 và số 0 này rất khó hiểu trong đầu. Mạnh hơn bạn muốn rất nhiều.) Do đó, chúng tôi bật logic và vòng tròn lượng giác.

Chúng ta vẽ một vòng tròn và đánh dấu các góc tương tự trên đó: 0°, 90°, 180°, 270°, 360°. Tôi đã đánh dấu các góc này bằng dấu chấm màu đỏ:

Có thể thấy ngay điều gì đặc biệt ở những góc độ này. Đúng! Đây là những góc rơi chính xác trên trục tọa độ! Thực ra đó là lý do tại sao mọi người bối rối... Nhưng chúng ta sẽ không bối rối. Hãy cùng tìm hiểu cách tìm hàm lượng giác của các góc này mà không cần ghi nhớ nhiều.

Nhân tiện, vị trí góc là 0 độ hoàn toàn trùng khớp với vị trí góc 360 độ. Điều này có nghĩa là các sin, cosin và tiếp tuyến của các góc này hoàn toàn giống nhau. Tôi đánh dấu một góc 360 độ để hoàn thành vòng tròn.

Giả sử, trong môi trường căng thẳng khó khăn của Kỳ thi Thống nhất, bạn không hiểu sao lại nghi ngờ... Tại sao? bằng sin 0 độ? Nó có vẻ như bằng 0... Nếu là một thì sao?! Ghi nhớ cơ học là một điều như vậy. Trong điều kiện khắc nghiệt, những nghi ngờ bắt đầu gặm nhấm...)

Bình tĩnh, bình tĩnh thôi!) Tôi sẽ kể cho bạn nghe kỹ thuật thực hành, sẽ đưa ra câu trả lời đúng 100% và loại bỏ hoàn toàn mọi nghi ngờ.

Ví dụ: chúng ta hãy tìm cách xác định rõ ràng và đáng tin cậy, chẳng hạn như sin 0 độ. Đồng thời, cosin 0. Kỳ lạ thay, chính ở những giá trị này mà mọi người thường bị nhầm lẫn.

Để làm điều này, hãy vẽ trên một vòng tròn Bất kỳ góc X. Trong quý đầu tiên, nhiệt độ gần bằng 0 độ. Chúng ta hãy đánh dấu sin và cosin của góc này trên trục X, mọi thứ đều ổn. Như thế này:

Và bây giờ - chú ý! Hãy giảm góc X, đưa mặt chuyển động lại gần trục Ồ. Di con trỏ lên ảnh (hoặc nhấn vào ảnh trên máy tính bảng của bạn) và bạn sẽ thấy mọi thứ.

Bây giờ hãy bật logic cơ bản! Chúng ta hãy nhìn và suy nghĩ: Sinx hoạt động như thế nào khi góc x giảm? Khi góc tiến tới 0? Nó đang co lại! Và cosx tăng lên! Vẫn còn phải tìm hiểu điều gì sẽ xảy ra với sin khi góc sụp đổ hoàn toàn? Khi nào cạnh chuyển động của góc (điểm A) nằm trên trục OX và góc đó bằng 0? Rõ ràng, sin của góc sẽ bằng 0. Và cosin sẽ tăng lên... đến... Độ dài cạnh chuyển động của góc (bán kính của đường tròn lượng giác) là bao nhiêu? Một!

Đây là câu trả lời. Sin 0 độ bằng 0. Cosin 0 độ bằng 1. Hoàn toàn được bọc sắt và không còn nghi ngờ gì nữa!) Đơn giản là vì ngược lại no không thể.

Theo cách tương tự, bạn có thể tìm ra (hoặc làm rõ) sin của 270 độ chẳng hạn. Hoặc cosin 180. Vẽ một vòng tròn, Bất kỳ một góc trong một phần tư bên cạnh trục tọa độ mà chúng ta quan tâm, hãy di chuyển nhẩm cạnh của góc và nắm bắt sin và cos sẽ trở thành gì khi cạnh của góc rơi vào trục. Đó là tất cả.

Như bạn có thể thấy, không cần phải ghi nhớ bất cứ điều gì về nhóm góc này. Không cần thiết ở đây bảng sin...đúng và bảng cosin- cũng vậy.) Nhân tiện, sau vài lần sử dụng vòng tròn lượng giác, tất cả các giá trị này sẽ tự được ghi nhớ. Và nếu họ quên, tôi sẽ vẽ một vòng tròn trong 5 giây và làm rõ nó. Dễ dàng hơn nhiều so với việc gọi điện cho một người bạn từ nhà vệ sinh và mạo hiểm với chứng chỉ của bạn, phải không?)

Đối với tiếp tuyến và cotang, mọi thứ đều giống nhau. Chúng tôi vẽ một đường tiếp tuyến (cotang) trên vòng tròn - và mọi thứ sẽ hiển thị ngay lập tức. Nơi chúng bằng 0 và nơi chúng không tồn tại. Cái gì, bạn không biết về đường tiếp tuyến và đường côtang à? Điều này thật đáng buồn, nhưng có thể khắc phục được.) Chúng tôi đã đến thăm Phần 555 Tiếp tuyến và côtang trên đường tròn lượng giác - và không có vấn đề gì cả!

Nếu bạn hiểu cách xác định rõ ràng sin, cos, tiếp tuyến và côtang cho năm góc này thì xin chúc mừng! Để đề phòng, tôi thông báo với bạn rằng bây giờ bạn có thể xác định hàm mọi góc rơi trên trục. Và đây là 450°, 540°, 1800°, và vô số những góc khác...) Tôi đã đếm (chính xác!) Góc trên đường tròn - và không có vấn đề gì với các chức năng.

Nhưng chính việc đo góc mới xảy ra vấn đề và sai sót... Cách tránh chúng đã được viết trong bài học: Cách vẽ (đếm) bất kỳ góc nào trên đường tròn lượng giác theo độ. Sơ cấp, nhưng rất hữu ích trong cuộc chiến chống lại lỗi.)

Đây là bài học: Cách vẽ (đo) bất kỳ góc nào trên đường tròn lượng giác theo radian - sẽ ngầu hơn. Về mặt khả năng. Giả sử, xác định góc nào trong bốn bán trục mà góc rơi vào

bạn có thể làm điều đó trong một vài giây. Tôi không đùa! Chỉ trong vài giây thôi. Tất nhiên, không chỉ 345 pi...) Và 121, 16 và -1345. Bất kỳ hệ số nguyên nào cũng phù hợp cho câu trả lời ngay lập tức.

Và nếu góc

Chỉ nghĩ rằng! Câu trả lời đúng sẽ có được sau 10 giây. giá trị phân số radian với mẫu số là 2.

Thực ra đó mới là điều tốt vòng tròn lượng giác. Bởi vì khả năng làm việc với một số các góc nó tự động mở rộng đến tập vô hạn góc

Vì vậy, chúng tôi đã sắp xếp được năm góc trong số mười bảy góc.

Nhóm góc thứ hai

Nhóm tiếp theo các góc là các góc 30°, 45° và 60°. Tại sao chính xác là những thứ này mà không phải là 20, 50 và 80? Vâng, bằng cách nào đó nó lại diễn ra theo cách này... Về mặt lịch sử.) Tiếp theo chúng ta sẽ hiểu tại sao những góc độ này lại tốt.

Bảng sin cosin tiếp tuyến cotang của các góc này trông như sau:

Góc x (tính bằng độ)	0	30	45	60	90
Góc x (tính bằng radian)	0
tội lỗi x	0				1
vì x	1				0
tg x	0		1		danh từ
ctg x	danh từ		1		0

Tôi để lại các giá trị 0° và 90° từ bảng trước để hoàn thành bức tranh.) Để bạn có thể thấy rằng các góc này nằm trong một phần tư và tăng lên. Từ 0 đến 90. Điều này sẽ hữu ích cho chúng ta sau này.

Phải ghi nhớ các giá trị trong bảng cho các góc 30°, 45° và 60°. Hãy ghi nhớ nó nếu bạn muốn. Nhưng ở đây cũng có cơ hội giúp cuộc sống của bạn dễ dàng hơn.) Hãy chú ý đến giá trị bảng sin những góc độ này. Và so sánh với giá trị bảng cosin...

Đúng! Họ như nhau! Chỉ nằm ở thứ tự ngược lại. Góc tăng (0, 30, 45, 60, 90) - và giá trị sin tăng từ 0 đến 1. Bạn có thể kiểm tra bằng máy tính. Và các giá trị cosin là đang giảm từ 1 đến không. Hơn nữa, bản thân các giá trị như nhau.Đối với các góc 20, 50, 80, điều này sẽ không hoạt động ...

Đây là một kết luận hữu ích. Đủ để học ba giá trị cho các góc 30, 45, 60 độ. Và hãy nhớ rằng đối với sin thì chúng tăng và đối với cosin thì chúng giảm. Về phía sin.) Đi được nửa đường (45°), chúng gặp nhau, tức là sin 45 độ bằng cosin 45 độ. Và rồi chúng lại khác nhau... Có thể học được ba nghĩa, phải không?

Với tiếp tuyến - cotang, hình ảnh hoàn toàn giống nhau. Một đối một. Chỉ có ý nghĩa là khác nhau. Những giá trị này (ba giá trị nữa!) cũng cần được học.

Vâng, gần như tất cả việc ghi nhớ đã kết thúc. Bạn (hy vọng) đã hiểu cách xác định giá trị của 5 góc nằm trên trục và đã học được giá trị của các góc 30, 45, 60 độ. Tổng số 8.

Việc còn lại là phải giải quyết nhóm 9 góc cuối cùng.

Đây là các góc:
120°; 135°; 150°; 210°; 225°; 240°; 300°; 315°; 330°. Đối với các góc này, bạn cần biết bảng sin, bảng cosin, v.v.

Ác mộng phải không?)

Và nếu bạn thêm các góc ở đây, chẳng hạn như: 405°, 600°, hoặc 3000° và rất nhiều góc đẹp như nhau?)

Hoặc các góc tính bằng radian? Ví dụ về các góc:

và nhiều người khác bạn nên biết Tất cả.

Điều buồn cười nhất là biết được điều này Tất cả - về nguyên tắc là không thể. Nếu bạn sử dụng bộ nhớ cơ học.

Và nó rất dễ dàng, trên thực tế là sơ cấp - nếu bạn sử dụng vòng tròn lượng giác. Khi bạn đã quen với cách làm việc với vòng tròn lượng giác, tất cả những góc đáng sợ đó theo độ có thể được giảm bớt một cách dễ dàng và tao nhã thành những góc cổ điển:

Nhân tiện, tôi có thêm một số trang web thú vị dành cho bạn.)

Bạn có thể thực hành giải các ví dụ và tìm hiểu trình độ của mình. Kiểm tra với xác minh ngay lập tức. Hãy cùng tìm hiểu - với sự quan tâm!)

Bạn có thể làm quen với các hàm và đạo hàm.

Các khái niệm sin(), cos(), tang(), cotangent() gắn bó chặt chẽ với khái niệm góc. Để hiểu rõ về những khái niệm phức tạp này, thoạt nhìn, những khái niệm phức tạp (gây ra trạng thái kinh hoàng ở nhiều học sinh) và để đảm bảo rằng “ma quỷ không khủng khiếp như nó được vẽ”, chúng ta hãy bắt đầu từ rất bắt đầu và hiểu khái niệm về một góc.

Khái niệm góc: radian, độ

Chúng ta hãy nhìn vào bức tranh. Vectơ đã “quay” so với điểm một lượng nhất định. Vì vậy số đo của góc quay này so với vị trí ban đầu sẽ là góc.

Bạn cần biết thêm điều gì về khái niệm góc? Vâng, tất nhiên, đơn vị góc!

Góc, trong cả hình học và lượng giác, có thể được đo bằng độ và radian.

Một góc (một độ) được gọi là góc ở tâm trong một đường tròn, dựa trên một cung tròn bằng một phần của đường tròn. Do đó, toàn bộ đường tròn bao gồm các “mảnh” cung tròn hoặc góc được mô tả bởi đường tròn bằng nhau.

Tức là hình trên thể hiện một góc bằng, tức là góc này nằm trên một cung tròn có kích thước bằng chu vi.

Góc tính bằng radian là góc ở tâm của đường tròn chắn bởi một cung tròn có chiều dài bằng bán kính của đường tròn. Vâng, bạn đã tìm ra nó? Nếu không, hãy tìm ra nó từ bản vẽ.

Vì vậy, hình vẽ cho thấy một góc bằng radian, nghĩa là góc này nằm trên một cung tròn có chiều dài bằng bán kính của đường tròn (chiều dài bằng chiều dài hoặc bán kính bằng chiều dài cung). Do đó, độ dài cung được tính theo công thức:

Góc ở tâm tính bằng radian ở đâu.

Chà, biết điều này, bạn có thể trả lời có bao nhiêu radian trong góc được mô tả bởi hình tròn không? Có, để làm được điều này bạn cần nhớ công thức tính chu vi. Cô ấy đây rồi:

Chà, bây giờ chúng ta hãy so sánh hai công thức này và thấy rằng góc được mô tả bởi đường tròn bằng nhau. Nghĩa là, bằng cách tương quan giá trị theo độ và radian, chúng ta sẽ có được điều đó. Tương ứng, . Như bạn có thể thấy, không giống như "độ", từ "radian" bị lược bỏ vì đơn vị đo thường rõ ràng trong ngữ cảnh.

Có bao nhiêu radian? Đúng rồi!

Hiểu rồi? Sau đó hãy tiếp tục và sửa nó:

Gặp khó khăn? Sau đó nhìn câu trả lời:

Tam giác vuông: sin, cos, tiếp tuyến, cotang của góc

Vì vậy, chúng tôi đã tìm ra khái niệm về một góc. Nhưng sin, cosin, tiếp tuyến và cotang của một góc là gì? Hãy tìm ra nó. Để làm được điều này, một hình tam giác vuông sẽ giúp chúng ta.

Các bên được gọi là gì? tam giác vuông? Đúng vậy, cạnh huyền và chân: cạnh huyền là cạnh đối diện với góc vuông (trong ví dụ của chúng ta đây là cạnh); chân là hai cạnh còn lại và (những cạnh kề với góc phải), và nếu chúng ta coi hai chân theo góc thì chân đó là chân liền kề, còn chân kia là chân đối diện. Vì vậy, bây giờ chúng ta hãy trả lời câu hỏi: sin, cosin, tiếp tuyến và côtang của một góc là gì?

Sin của góc- đây là tỷ lệ của chân đối diện (xa) với cạnh huyền.

Trong tam giác của chúng tôi.

Cosin của góc- đây là tỷ lệ của chân liền kề (gần) với cạnh huyền.

Trong tam giác của chúng tôi.

Tiếp tuyến của góc- đây là tỷ lệ của cạnh đối diện (xa) với cạnh kề (gần).

Trong tam giác của chúng tôi.

Cotang của góc- đây là tỷ lệ của chân liền kề (gần) với chân đối diện (xa).

Trong tam giác của chúng tôi.

Những định nghĩa này là cần thiết nhớ! Để dễ nhớ hơn nên chia chân nào thành chân nào, bạn cần hiểu rõ rằng trong đường tiếp tuyến Và cotang chỉ có hai chân ngồi và cạnh huyền chỉ xuất hiện ở xoang Và cô sin. Và sau đó bạn có thể nghĩ ra một chuỗi liên kết. Ví dụ: cái này:

Cosine→chạm→chạm→liền kề;

Cotang→chạm→chạm→liền kề.

Trước hết, bạn cần nhớ rằng sin, cos, tiếp tuyến và cotang vì tỷ số các cạnh của một tam giác không phụ thuộc vào độ dài của các cạnh này (cùng một góc). Đừng tin? Sau đó hãy chắc chắn bằng cách nhìn vào hình ảnh:

Ví dụ, hãy xem xét cosin của một góc. Theo định nghĩa, từ một tam giác: , nhưng chúng ta có thể tính cosin của một góc từ một tam giác: . Bạn thấy đấy, độ dài của các cạnh là khác nhau, nhưng giá trị cosin của một góc là như nhau. Do đó, các giá trị của sin, cos, tiếp tuyến và cotang chỉ phụ thuộc vào độ lớn của góc.

Nếu bạn hiểu các định nghĩa, hãy tiếp tục và củng cố chúng!

Đối với hình tam giác như trong hình bên dưới, chúng ta tìm thấy.

Vâng, bạn đã nhận được nó? Sau đó hãy tự mình thử: tính toán tương tự cho góc.

Đường tròn đơn vị (lượng giác)

Hiểu các khái niệm về độ và radian, chúng ta đã xét một đường tròn có bán kính bằng. Vòng tròn như vậy được gọi là đơn. Nó sẽ rất hữu ích khi nghiên cứu lượng giác. Vì vậy, chúng ta hãy xem xét nó chi tiết hơn một chút.

Như bạn có thể thấy, vòng tròn này được xây dựng theo Hệ thống Descartes tọa độ Bán kính vòng tròn bằng một, trong khi tâm của đường tròn nằm ở gốc tọa độ thì vị trí ban đầu của vectơ bán kính được cố định dọc theo hướng dương của trục (trong ví dụ của chúng ta, đây là bán kính).

Mỗi điểm trên đường tròn ứng với hai số: tọa độ trục và tọa độ trục. Những số tọa độ này là gì? Và nói chung, chúng có liên quan gì đến chủ đề hiện tại? Để làm được điều này, chúng ta cần nhớ về tam giác vuông đang xét. Trong hình trên, bạn có thể thấy toàn bộ hai hình tam giác vuông. Hãy xem xét một hình tam giác. Nó có hình chữ nhật vì nó vuông góc với trục.

Tam giác bằng bao nhiêu? Đúng rồi. Ngoài ra chúng ta biết đó chính là bán kính của hình tròn đơn vị, nghĩa là . Hãy thay thế giá trị này vào công thức tính cosin của chúng ta. Đây là những gì xảy ra:

Tam giác bằng bao nhiêu? Tất nhiên, ! Thay giá trị bán kính vào công thức này và nhận được:

Vì vậy, bạn có thể cho biết một điểm thuộc đường tròn có tọa độ như thế nào không? Vâng, không thể nào? Điều gì sẽ xảy ra nếu bạn nhận ra điều đó và chỉ là những con số? Nó tương ứng với tọa độ nào? Vâng, tất nhiên, tọa độ! Và nó tương ứng với tọa độ nào? Đúng vậy, tọa độ! Vì vậy, thời kỳ.

Vậy thì bằng và bằng bao nhiêu? Đúng vậy, chúng ta hãy sử dụng các định nghĩa tương ứng của tiếp tuyến và côtang và hiểu được điều đó, a.

Nếu góc lớn hơn thì sao? Ví dụ như trong hình này:

Điều gì đã thay đổi trong trong ví dụ này? Hãy tìm ra nó. Để làm điều này, hãy quay lại với một hình tam giác vuông. Xét một tam giác vuông: góc (giác kề với một góc). Các giá trị của sin, cos, tiếp tuyến và cotang của một góc là gì? Đúng vậy, chúng tôi tuân thủ các định nghĩa thích hợp hàm lượng giác:

Vâng, như bạn có thể thấy, giá trị sin của góc vẫn tương ứng với tọa độ; giá trị cosin của góc - tọa độ; và các giá trị tiếp tuyến, cotang theo các tỉ số tương ứng. Vì vậy, những mối quan hệ này áp dụng cho bất kỳ phép quay nào của vectơ bán kính.

Người ta đã đề cập rằng vị trí ban đầu của vectơ bán kính nằm dọc theo hướng dương của trục. Cho đến nay chúng ta đã xoay vectơ này ngược chiều kim đồng hồ, nhưng điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta xoay nó theo chiều kim đồng hồ? Không có gì bất thường, bạn cũng sẽ nhận được một góc có giá trị nhất định, nhưng chỉ có điều nó sẽ âm. Như vậy, khi quay vectơ bán kính ngược chiều kim đồng hồ, ta được góc tích cực và khi quay theo chiều kim đồng hồ - tiêu cực.

Vì vậy, chúng ta biết rằng toàn bộ một vòng quay của vectơ bán kính quanh một đường tròn là hoặc. Có thể xoay vectơ bán kính tới hoặc tới không? Tất nhiên là bạn có thể! Do đó, trong trường hợp đầu tiên, vectơ bán kính sẽ quay hết một vòng và dừng ở vị trí hoặc.

Trong trường hợp thứ hai, tức là vectơ bán kính sẽ quay đủ ba vòng và dừng ở vị trí hoặc.

Do đó, từ các ví dụ trên, chúng ta có thể kết luận rằng các góc khác nhau bởi hoặc (trong đó là số nguyên bất kỳ) tương ứng với cùng một vị trí của vectơ bán kính.

Hình dưới đây cho thấy một góc. Hình ảnh tương tự tương ứng với góc, v.v. Danh sách này có thể được tiếp tục vô thời hạn. Tất cả các góc này có thể được viết bằng công thức tổng quát hoặc (bất kỳ số nguyên nào)

Bây giờ, đã biết định nghĩa các hàm lượng giác cơ bản và cách sử dụng vòng tròn đơn vị, hãy thử trả lời các giá trị là gì:

Đây là một vòng tròn đơn vị để giúp bạn:

Gặp khó khăn? Sau đó chúng ta hãy tìm ra nó. Vì vậy, chúng tôi biết rằng:

Từ đây ta xác định được tọa độ các điểm tương ứng với số đo góc nhất định. Chà, hãy bắt đầu theo thứ tự: góc tại tương ứng với một điểm có tọa độ, do đó:

Không tồn tại;

Hơn nữa, tuân theo logic tương tự, chúng ta phát hiện ra rằng các góc tương ứng với các điểm có tọa độ tương ứng. Biết được điều này, người ta dễ dàng xác định được giá trị của các hàm lượng giác tại các điểm tương ứng. Hãy tự mình thử trước, sau đó kiểm tra câu trả lời.

Câu trả lời:

Không tồn tại

Không tồn tại

Không tồn tại

Không tồn tại

Vì vậy, chúng ta có thể lập bảng sau:

Không cần phải nhớ tất cả các giá trị này. Chỉ cần nhớ sự tương ứng giữa tọa độ các điểm trên đường tròn đơn vị và giá trị của hàm lượng giác là đủ:

Nhưng các giá trị của hàm lượng giác của các góc trong và được cho trong bảng dưới đây, phải được ghi nhớ:

Đừng sợ, bây giờ chúng tôi sẽ cho bạn xem một ví dụ đủ ghi nhớ đơn giản giá trị tương ứng:

Để sử dụng phương pháp này, điều quan trọng là phải nhớ các giá trị sin của cả ba số đo góc (), cũng như giá trị của tang của góc. Biết các giá trị này, việc khôi phục toàn bộ bảng khá đơn giản - các giá trị cosin được truyền theo các mũi tên, nghĩa là:

Biết được điều này, bạn có thể khôi phục các giá trị cho. Tử số " " sẽ khớp và mẫu số " " sẽ khớp. Các giá trị cotang được chuyển theo các mũi tên chỉ trong hình. Nếu bạn hiểu điều này và nhớ sơ đồ có các mũi tên thì chỉ cần nhớ tất cả các giá trị trong bảng là đủ.

Tọa độ của một điểm trên đường tròn

Có thể tìm thấy một điểm (tọa độ của nó) trên một đường tròn, biết tọa độ tâm đường tròn, bán kính và góc quay?

Tất nhiên là bạn có thể! Hãy lấy nó ra công thức chungđể tìm tọa độ của một điểm.

Ví dụ: đây là một vòng tròn trước mặt chúng ta:

Chúng ta được cho rằng điểm là tâm của đường tròn. Bán kính của hình tròn bằng nhau. Cần tìm tọa độ của một điểm thu được bằng cách xoay điểm theo độ.

Như có thể thấy từ hình, tọa độ của điểm tương ứng với độ dài của đoạn. Độ dài của đoạn tương ứng với tọa độ tâm của đường tròn, nghĩa là nó bằng nhau. Độ dài của một đoạn có thể được biểu diễn bằng định nghĩa cosin:

Sau đó chúng ta có tọa độ điểm đó.

Sử dụng logic tương tự, chúng ta tìm giá trị tọa độ y cho điểm. Như vậy,

Vì vậy, trong nhìn chung tọa độ các điểm được xác định theo công thức:

Tọa độ tâm của đường tròn,

Bán kính vòng tròn,

Góc quay của bán kính vectơ.

Như bạn có thể thấy, đối với đường tròn đơn vị mà chúng ta đang xem xét, các công thức này được giảm đáng kể, vì tọa độ của tâm bằng 0 và bán kính bằng 1:

Nào, chúng ta hãy thử các công thức này bằng cách luyện tập tìm điểm trên đường tròn nhé?

1. Tìm tọa độ của một điểm trên đường tròn đơn vị thu được bằng cách xoay điểm đó.

2. Tìm tọa độ của một điểm trên đường tròn đơn vị thu được bằng cách xoay điểm đó.

3. Tìm tọa độ của một điểm trên đường tròn đơn vị thu được bằng cách xoay điểm đó.

4. Điểm là tâm của đường tròn. Bán kính của hình tròn bằng nhau. Cần tìm tọa độ của điểm thu được bằng cách quay vectơ bán kính ban đầu theo.

5. Điểm là tâm của đường tròn. Bán kính của hình tròn bằng nhau. Cần tìm tọa độ của điểm thu được bằng cách quay vectơ bán kính ban đầu theo.

Bạn gặp khó khăn khi tìm tọa độ của một điểm trên đường tròn?

Hãy giải năm ví dụ này (hoặc giải tốt chúng) và bạn sẽ học cách tìm ra chúng!

1.

Bạn có thể nhận thấy điều đó. Nhưng chúng ta biết điều gì tương ứng với một cuộc cách mạng toàn diện về điểm xuất phát. Như vậy, điểm mong muốn sẽ ở vị trí tương tự như khi bật. Biết được điều này, chúng ta tìm được tọa độ cần thiết của điểm:

2. Đường tròn đơn vị có tâm tại một điểm, nghĩa là chúng ta có thể sử dụng các công thức đơn giản hóa:

Bạn có thể nhận thấy điều đó. Chúng ta biết điều gì tương ứng với hai hết tốc độđiểm khởi đầu. Như vậy, điểm mong muốn sẽ ở đúng vị trí như khi quay sang. Biết được điều này, chúng ta tìm được tọa độ cần tìm của điểm:

Sin và cosin là giá trị bảng. Chúng tôi nhớ lại ý nghĩa của chúng và nhận được:

Như vậy, điểm mong muốn có tọa độ.

3. Đường tròn đơn vị có tâm tại một điểm, nghĩa là chúng ta có thể sử dụng các công thức đơn giản hóa:

Bạn có thể nhận thấy điều đó. Hãy mô tả ví dụ được đề cập trong hình:

Bán kính tạo thành các góc bằng và với trục. Biết rằng các giá trị trong bảng của cosin và sin bằng nhau và đã xác định được cosin ở đây lấy giá trị âm và sin lấy giá trị dương, ta có:

Thêm chi tiết ví dụ tương tựđược hiểu khi nghiên cứu các công thức rút gọn hàm số lượng giác trong đề tài.

Như vậy, điểm mong muốn có tọa độ.

4.

Góc quay của bán kính vectơ (theo điều kiện)

Để xác định các dấu tương ứng của sin và cosin, chúng ta dựng đường tròn và góc đơn vị:

Như bạn có thể thấy, giá trị nghĩa là dương và giá trị nghĩa là âm. Biết các giá trị dạng bảng của các hàm lượng giác tương ứng, ta thu được:

Hãy thay thế các giá trị thu được vào công thức của chúng tôi và tìm tọa độ:

Như vậy, điểm mong muốn có tọa độ.

5. Để giải quyết vấn đề này, chúng ta sử dụng các công thức ở dạng tổng quát, trong đó

Tọa độ của tâm đường tròn (trong ví dụ của chúng tôi,

Bán kính vòng tròn (theo điều kiện)

Góc quay của bán kính vectơ (theo điều kiện).

Hãy thay thế tất cả các giá trị vào công thức và nhận được:

và - giá trị bảng. Hãy ghi nhớ và thay thế chúng vào công thức:

Như vậy, điểm mong muốn có tọa độ.

CÔNG THỨC TÓM TẮT VÀ CƠ BẢN

Sin của một góc là tỷ lệ của cạnh đối diện (xa) với cạnh huyền.

Cosin của một góc là tỷ lệ của cạnh kề (gần) với cạnh huyền.

Tiếp tuyến của một góc là tỉ số giữa cạnh đối diện (xa) với cạnh kề (gần).

Cotang của một góc là tỉ số giữa cạnh kề (gần) và cạnh đối diện (xa).

BẢNG GIÁ TRỊ CỦA Hàm Lượng Giác

Bảng giá trị các hàm lượng giác được biên soạn cho các góc 0, 30, 45, 60, 90, 180, 270 và 360 độ và các giá trị góc tương ứng tính bằng vradians. Trong số các hàm lượng giác, bảng hiển thị sin, cos, tiếp tuyến, cotang, cát tuyến và cosec. Để thuận tiện cho giải pháp trường học ví dụ các giá trị của các hàm lượng giác trong bảng được viết dưới dạng phân số, bảo toàn dấu để trích căn bậc hai của các số, điều này thường giúp rút gọn các biểu thức toán học phức tạp. Đối với tiếp tuyến và cotang, không thể xác định được giá trị của một số góc. Đối với các giá trị tiếp tuyến và cotang của các góc như vậy, có một dấu gạch ngang trong bảng giá trị của các hàm lượng giác. Người ta thường chấp nhận rằng tiếp tuyến và cotang của các góc như vậy bằng vô cùng. Trên một trang riêng có các công thức rút gọn hàm lượng giác.

Bảng giá trị hàm sin lượng giác thể hiện giá trị các góc sau: sin 0, sin 30, sin 45, sin 60, sin 90, sin 180, sin 270, sin 360 in thước đo độ, tương ứng với sin 0 pi, sin pi/6, sin pi/4, sin pi/3, sin pi/2, sin pi, sin 3 pi/2, sin 2 pi theo thước đo góc radian. Bàn học xoang.

Đối với hàm cosin lượng giác, bảng hiển thị giá trị các góc sau: cos 0, cos 30, cos 45, cos 60, cos 90, cos 180, cos 270, cos 360 tính bằng độ, tương ứng với cos 0 pi , cos pi nhân 6, cos pi nhân 4, cos pi nhân 3, cos pi nhân 2, cos pi, cos 3 pi nhân 2, cos 2 pi theo số đo góc radian. Bảng trường học của cosin.

Bảng lượng giác của hàm tiếp tuyến lượng giác đưa ra các giá trị cho các góc sau: tg 0, tg 30, tg 45, tg 60, tg 180, tg 360 theo thước đo độ, tương ứng với tg 0 pi, tg pi/6, tg pi/4, tg pi/3, tg pi, tg 2 pi trong số đo góc radian. Các giá trị sau các hàm tiếp tuyến lượng giác không được xác định tan 90, tan 270, tan pi/2, tan 3 pi/2 và được coi là bằng vô cùng.

Đối với hàm lượng giác cotang trong bảng lượng giác cho giá trị của các góc sau: ctg 30, ctg 45, ctg 60, ctg 90, ctg 270 theo thước đo độ, tương ứng với ctg pi/6, ctg pi/4 , ctg pi/3, tg pi/ 2, tan 3 pi/2 trong số đo góc radian. Các giá trị sau của hàm cotang lượng giác không được xác định ctg 0, ctg 180, ctg 360, ctg 0 pi, ctg pi, ctg 2 pi và được coi là bằng vô cùng.

Các giá trị của hàm lượng giác secant và cosec được cho cho các góc tính bằng độ và radian giống nhau như sin, cos, tang, cotang.

Bảng giá trị hàm lượng giác của các góc không chuẩn thể hiện các giá trị sin, cos, tiếp tuyến và cotang của các góc theo độ 15, 18, 22,5, 36, 54, 67,5 72 độ và tính bằng radian pi/12 , pi/10, pi/ 8, pi/5, 3pi/8, 2pi/5 radian. Các giá trị của hàm lượng giác được biểu diễn dưới dạng phân số và căn bậc hai để dễ dàng rút gọn phân số trong các ví dụ ở trường.

Thêm ba con quái vật lượng giác nữa. Đầu tiên là tiếp tuyến của 1,5 một độ rưỡi hoặc pi chia cho 120. Thứ hai là cosin của pi chia cho 240, pi/240. Dài nhất là cosin của pi chia cho 17, pi/17.

Vòng tròn lượng giác của các giá trị của hàm sin và cos biểu thị trực quan các dấu của sin và cosin tùy thuộc vào độ lớn của góc. Đặc biệt đối với những cô gái tóc vàng, các giá trị cosine được gạch chân bằng dấu gạch ngang màu xanh lá cây để giảm nhầm lẫn. Việc chuyển đổi độ sang radian cũng được thể hiện rất rõ ràng khi radian được thể hiện dưới dạng pi.

Bảng lượng giác này trình bày các giá trị của sin, cosin, tiếp tuyến và cotang cho các góc từ 0 không đến 90 chín mươi độ ở các khoảng một độ. Đối với 45 độ đầu tiên, tên của các hàm lượng giác nên được xem ở đầu bảng. Cột đầu tiên chứa độ, các giá trị của sin, cosin, tiếp tuyến và cotang được ghi vào bốn cột tiếp theo.

Đối với các góc từ bốn mươi lăm độ đến chín mươi độ, tên các hàm lượng giác được viết ở cuối bảng. Cột cuối cùng chứa độ; các giá trị của cosin, sin, cotang và tang được ghi ở bốn cột trước. Các bạn nên cẩn thận vì tên các hàm lượng giác ở cuối bảng lượng giác khác với tên ở đầu bảng. Sin và cosin được hoán đổi cho nhau, giống như tiếp tuyến và cotang. Điều này là do tính đối xứng của các giá trị của hàm lượng giác.

Dấu hiệu của hàm lượng giác được thể hiện trong hình trên. Sin có giá trị dương từ 0 đến 180 độ hoặc 0 đến pi. Giá trị âm sin có 180 đến 360 độ hoặc pi đến 2 pi. Giá trị cosine là dương từ 0 đến 90 và 270 đến 360 độ, hoặc 0 đến 1/2 pi và 3/2 đến 2 pi. Tiếp tuyến và cotang có giá trị dương từ 0 đến 90 độ và từ 180 đến 270 độ, tương ứng với các giá trị từ 0 đến 1/2 pi và pi đến 3/2 pi. Giá trị âm của tiếp tuyến và cotang là từ 90 đến 180 độ và từ 270 đến 360 độ, hoặc từ 1/2 pi đến pi và từ 3/2 pi đến 2 pi. Khi xác định dấu của hàm lượng giác cho các góc lớn hơn 360 độ hoặc 2 pi, bạn nên sử dụng tính chất tuần hoàn của các hàm số này.

Các hàm lượng giác sin, tiếp tuyến và cotang là các hàm lẻ. Giá trị của các hàm này cho các góc âm sẽ âm. Cosine là một hàm lượng giác chẵn - giá trị cosine của góc âm sẽ tích cực. Phải tuân theo quy tắc dấu khi nhân và chia các hàm lượng giác.

1. Bảng giá trị hàm sin lượng giác thể hiện giá trị các góc sau

   Tài liệu

   Có công thức rút gọn ở trang riêng lượng giácchức năng. TRONG bàngiá trịVìlượng giácchức năngxoangđược chogiá trịVìnhững điều sau đâygóc: tội 0, tội 30, tội 45 ...

2. Công cụ toán học được đề xuất là một công cụ tương tự hoàn toàn của phép tính phức cho các số siêu phức n chiều với bất kỳ số bậc tự do n nào và được dùng để mô hình hóa toán học của các phi tuyến

   Tài liệu

   ... chức năng bằng chức năng Hình ảnh. Từ định lý này nên, Cái gì Vì tìm tọa độ U, V là đủ tính toán chức năng... hình học; đa giác chức năng(tương tự đa chiều của hai chiều lượng giácchức năng), tính chất của chúng những cái bàn và ứng dụng; ...

3. Vào thế kỷ thứ năm trước Công nguyên, nhà triết học Hy Lạp cổ đại Zeno xứ Elea đã xây dựng nên những câu aporia nổi tiếng của mình, trong đó nổi tiếng nhất là câu aporia “Achilles và Rùa”. Đây là âm thanh của nó:

   Giả sử Achilles chạy nhanh hơn rùa mười lần và chậm hơn nó một nghìn bước. Trong thời gian Achilles chạy được quãng đường này, con rùa sẽ bò cả trăm bước về cùng một hướng. Khi Achilles chạy được một trăm bước, con rùa bò thêm mười bước nữa, v.v. Quá trình này sẽ tiếp tục đến vô tận, Achilles sẽ không bao giờ đuổi kịp con rùa.

   Lý do này đã trở thành một cú sốc hợp lý cho tất cả các thế hệ tiếp theo. Aristotle, Diogenes, Kant, Hegel, Hilbert... Họ đều coi lời ngụy biện của Zeno theo cách này hay cách khác. Cú sốc mạnh đến mức " ...các cuộc thảo luận vẫn tiếp tục cho đến ngày nay, để đạt được quan điểm chung về bản chất của nghịch lý cộng đồng khoa học cho đến nay điều đó vẫn chưa thể thực hiện được... chúng tôi đã tham gia vào việc nghiên cứu vấn đề này phân tích toán học, lý thuyết tập hợp, các phương pháp tiếp cận vật lý và triết học mới; không ai trong số họ trở thành giải pháp được chấp nhận rộng rãi cho vấn đề..."[Wikipedia, "Zeno's Aporia". Mọi người đều hiểu rằng họ đang bị lừa, nhưng không ai hiểu hành vi lừa dối đó bao gồm những gì.

   Từ quan điểm toán học, Zeno trong aporia của mình đã chứng minh rõ ràng sự chuyển đổi từ số lượng sang . Quá trình chuyển đổi này ngụ ý ứng dụng thay vì vĩnh viễn. Theo như tôi hiểu, bộ máy toán học sử dụng các đơn vị đo lường thay đổi vẫn chưa được phát triển hoặc chưa được áp dụng cho aporia của Zeno. Áp dụng logic thông thường sẽ dẫn chúng ta vào bẫy. Chúng ta, do quán tính của tư duy, áp dụng các đơn vị thời gian không đổi cho giá trị nghịch đảo. Từ quan điểm vật lý, điều này trông giống như thời gian đang chậm lại Dấu chấm vào thời điểm Achilles chạm tới con rùa. Nếu thời gian dừng lại, Achilles không thể chạy nhanh hơn rùa được nữa.

   Nếu chúng ta xoay chuyển logic thông thường của mình, mọi thứ sẽ đâu vào đấy. Achilles chạy với tốc độ không đổi. Mỗi đoạn tiếp theo trên con đường của anh ta ngắn hơn đoạn trước mười lần. Theo đó, thời gian dành cho việc khắc phục nó ít hơn mười lần so với trước đây. Nếu chúng ta áp dụng khái niệm “vô cực” trong tình huống này thì sẽ đúng khi nói “Achilles sẽ đuổi kịp con rùa vô cùng nhanh chóng”.

   Làm thế nào để tránh cái bẫy logic này? Ở lại đơn vị không đổi các phép đo thời gian và không đi đến các đại lượng nghịch đảo. Trong ngôn ngữ của Zeno nó trông như thế này:

   Trong thời gian Achilles chạy được một nghìn bước, con rùa sẽ bò được một trăm bước về cùng một hướng. Trong khoảng thời gian tiếp theo bằng khoảng thời gian đầu tiên, Achilles sẽ chạy thêm một nghìn bước nữa và con rùa sẽ bò được một trăm bước. Bây giờ Achilles đã đi trước con rùa tám trăm bước.

   Cách tiếp cận này mô tả đầy đủ thực tế mà không có bất kỳ nghịch lý logic nào. Nhưng nó không phải như vậy Giải pháp hoàn chỉnh Các vấn đề. Tuyên bố của Einstein về tính không thể cưỡng lại được của tốc độ ánh sáng rất giống với câu nói “Achilles and the Tortoise” của Zeno. Chúng ta vẫn phải nghiên cứu, suy nghĩ lại và giải quyết vấn đề này. Và giải pháp phải được tìm kiếm không phải bằng những con số vô cùng lớn mà bằng những đơn vị đo lường.

   Một câu kinh thú vị khác của Zeno kể về một mũi tên bay:

   Một mũi tên bay là bất động, vì nó đứng yên tại mọi thời điểm, và vì nó đứng yên trong mọi thời điểm nên nó luôn ở trạng thái nghỉ.

   Trong aporia này nghịch lý logic nó có thể được khắc phục rất đơn giản - chỉ cần làm rõ rằng tại mỗi thời điểm, một mũi tên bay đang đứng yên tại các điểm khác nhau trong không gian, thực chất là chuyển động. Một điểm khác cần được lưu ý ở đây. Từ một bức ảnh chụp một chiếc ô tô trên đường, không thể xác định được thực tế chuyển động của nó cũng như khoảng cách đến nó. Để xác định xem một chiếc ô tô có đang chuyển động hay không, bạn cần hai bức ảnh được chụp từ cùng một điểm ở những thời điểm khác nhau, nhưng bạn không thể xác định được khoảng cách từ chúng. Để xác định khoảng cách tới ô tô, bạn cần hai bức ảnh chụp từ điểm khác nhau không gian tại một thời điểm, nhưng không thể xác định thực tế chuyển động từ chúng (đương nhiên, vẫn cần dữ liệu bổ sung để tính toán, lượng giác sẽ giúp bạn). Điều tôi muốn chỉ ra Đặc biệt chú ý, đó là hai điểm trong thời gian và hai điểm trong không gian là những thứ khác nhau không nên nhầm lẫn vì chúng mang lại những cơ hội nghiên cứu khác nhau.

   Thứ tư, ngày 4 tháng 7 năm 2018

   Sự khác biệt giữa bộ và nhiều bộ được mô tả rất rõ trên Wikipedia. Hãy xem nào.

   Như bạn có thể thấy, “không thể có hai phần tử giống hệt nhau trong một tập hợp”, nhưng nếu có các phần tử giống hệt nhau trong một tập hợp thì tập hợp đó được gọi là “multiset”. Những sinh vật có lý trí sẽ không bao giờ hiểu được logic phi lý như vậy. Đây là trình độ của những con vẹt biết nói và những con khỉ được huấn luyện, không có trí thông minh từ từ “hoàn toàn”. Các nhà toán học hành động như những người huấn luyện bình thường, thuyết giảng cho chúng ta những ý tưởng ngớ ngẩn của họ.

   Ngày xửa ngày xưa, những người kỹ sư xây dựng cây cầu đang ở trên một chiếc thuyền dưới cầu để thử nghiệm cây cầu. Nếu cây cầu sập, người kỹ sư tầm thường sẽ chết dưới đống đổ nát do mình tạo ra. Nếu cây cầu có thể chịu được tải trọng thì người kỹ sư tài năng đã xây dựng những cây cầu khác.

   Cho dù các nhà toán học có ẩn nấp đằng sau cụm từ “chết tiệt, tôi đang ở trong nhà” hay đúng hơn là “nghiên cứu toán học”. khái niệm trừu tượng", có một sợi dây gắn bó chặt chẽ giữa họ với thực tế. Dây rốn này chính là tiền bạc. Hãy áp dụng. lý thuyết toán họcđặt ra cho chính các nhà toán học.

   Chúng tôi học toán rất giỏi và bây giờ chúng tôi đang ngồi ở quầy thu ngân, phát lương. Vì vậy, một nhà toán học đến với chúng tôi vì tiền của anh ta. Chúng tôi đếm toàn bộ số tiền cho anh ta và đặt nó trên bàn của chúng tôi thành các chồng khác nhau, trong đó chúng tôi đặt các tờ tiền có cùng mệnh giá. Sau đó, chúng tôi lấy một tờ tiền từ mỗi chồng tiền và đưa cho nhà toán học “bảng lương toán học” của anh ta. Hãy để chúng tôi giải thích cho nhà toán học rằng anh ta sẽ chỉ nhận được số tiền còn lại khi anh ta chứng minh được rằng một tập hợp không có các phần tử giống nhau thì không bằng một tập hợp có các phần tử giống hệt nhau. Đây là nơi vui vẻ bắt đầu.

   Trước hết, logic của các cấp phó sẽ phát huy tác dụng: “Điều này có thể áp dụng cho người khác, nhưng với tôi thì không!” Sau đó, họ sẽ bắt đầu trấn an chúng ta rằng các tờ tiền cùng mệnh giá có số tờ tiền khác nhau, nghĩa là chúng không thể được coi là những thành phần giống nhau. Được rồi, hãy đếm tiền lương bằng tiền xu - không có con số nào trên đồng tiền cả. Ở đây nhà toán học sẽ bắt đầu nhớ lại vật lý một cách điên cuồng: trên các đồng tiền khác nhau có số lượng khác nhau bùn, cấu trúc tinh thể và cách sắp xếp các nguyên tử trong mỗi đồng xu là duy nhất...

   Và bây giờ tôi có nhiều nhất quan tâm Hỏi: đâu là ranh giới mà các phần tử của một tập hợp biến thành các phần tử của một tập hợp và ngược lại? Đường lối như vậy không tồn tại - mọi thứ đều do các pháp sư quyết định, khoa học thậm chí còn chưa thể nằm ở đây.

   Nhìn đây. Chúng tôi chọn sân vận động bóng đá từ cùng khu vực lĩnh vực. Diện tích của các trường giống nhau - có nghĩa là chúng ta có nhiều trường. Nhưng nếu nhìn vào tên của những sân vận động này, chúng ta sẽ thấy rất nhiều vì tên khác nhau. Như bạn có thể thấy, cùng một tập hợp các phần tử vừa là tập hợp vừa là tập hợp nhiều tập hợp. Cái nào đúng? Và ở đây, nhà toán học-pháp sư-người sắc bén rút ra một con át chủ bài từ tay áo của mình và bắt đầu cho chúng ta biết về một bộ hoặc một bộ nhiều. Trong mọi trường hợp, anh ấy sẽ thuyết phục chúng tôi rằng anh ấy đúng.

   Để hiểu cách các pháp sư hiện đại vận hành lý thuyết tập hợp, gắn nó với thực tế, chỉ cần trả lời một câu hỏi: các phần tử của một tập hợp này khác với các phần tử của tập hợp khác như thế nào? Tôi sẽ chỉ cho bạn thấy, không có "có thể tưởng tượng được như không phải một tổng thể" hay "không thể tưởng tượng được như một tổng thể duy nhất".

   Chủ nhật, ngày 18 tháng 3 năm 2018

   Tổng các chữ số của một số là một điệu nhảy của các pháp sư với một chiếc tambourine, không liên quan gì đến toán học. Đúng, trong các bài học toán, chúng ta được dạy cách tìm tổng các chữ số của một số và sử dụng nó, nhưng đó là lý do tại sao họ là pháp sư, để dạy cho con cháu những kỹ năng và trí tuệ của họ, nếu không thì pháp sư sẽ chết.

   Bạn có cần bằng chứng không? Mở Wikipedia và thử tìm trang "Tổng các chữ số của một số". Cô ấy không tồn tại. Không có công thức toán học nào có thể được sử dụng để tìm tổng các chữ số của bất kỳ số nào. Suy cho cùng, những con số là ký hiệu đồ họa, với sự trợ giúp của nó, chúng tôi viết các số và bằng ngôn ngữ toán học, nhiệm vụ sẽ như thế này: “Tìm tổng các ký hiệu đồ họa đại diện cho bất kỳ số nào”. Các nhà toán học không thể giải được bài toán này nhưng các pháp sư lại có thể làm được một cách dễ dàng.

   Chúng ta hãy tìm hiểu xem chúng ta làm gì và làm như thế nào để tìm tổng các chữ số của một số cho trước. Và vì vậy, chúng ta có số 12345. Để tìm tổng các chữ số của số này cần phải làm gì? Hãy xem xét tất cả các bước theo thứ tự.

   1. Viết số đó lên một tờ giấy. Chúng ta đã làm gì? Chúng tôi đã chuyển đổi số thành ký hiệu số đồ họa. Đây không phải là một hoạt động toán học.

   2. Chúng tôi cắt một hình ảnh thu được thành nhiều hình ảnh chứa các số riêng lẻ. Cắt một bức tranh không phải là một phép toán.

   3. Chuyển đổi các ký hiệu đồ họa riêng lẻ thành số. Đây không phải là một hoạt động toán học.

   4. Cộng các số có kết quả. Bây giờ đó là toán học.

   Tổng các chữ số của số 12345 là 15. Đây là những “khóa học cắt may” do các pháp sư dạy mà các nhà toán học sử dụng. Nhưng đó không phải là tất cả.

   Từ quan điểm toán học, việc chúng ta viết số theo hệ thống số nào không quan trọng. Vì vậy, trong hệ thống khác nhau Trong giải tích, tổng các chữ số của cùng một số sẽ khác nhau. Trong toán học, hệ thống số được biểu thị dưới dạng chỉ số dưới bên phải của số. VỚI một số lượng lớn 12345 Tôi không muốn đánh lừa mình, chúng ta hãy nhìn vào con số 26 trong bài viết về . Hãy viết số này trong hệ thống số nhị phân, bát phân, thập phân và thập lục phân. Chúng tôi sẽ không xem xét từng bước dưới kính hiển vi; chúng tôi đã làm điều đó rồi. Hãy nhìn vào kết quả.

   Như bạn có thể thấy, trong các hệ thống số khác nhau, tổng các chữ số của cùng một số là khác nhau. Kết quả này không liên quan gì đến toán học. Tương tự như khi bạn xác định diện tích hình chữ nhật theo mét và cm, bạn sẽ nhận được kết quả hoàn toàn khác.

   Số 0 trông giống nhau trong mọi hệ thống số và không có tổng các chữ số. Đây là một lập luận khác ủng hộ thực tế đó. Câu hỏi dành cho các nhà toán học: làm thế nào mà một thứ không phải là một con số được chỉ định trong toán học? Cái gì, đối với các nhà toán học thì không có gì tồn tại ngoại trừ những con số? Tôi có thể cho phép điều này xảy ra với các pháp sư, nhưng với các nhà khoa học thì không. Thực tế không chỉ có những con số.

   Kết quả thu được phải được coi là bằng chứng cho thấy hệ thống số là đơn vị đo lường của số. Suy cho cùng, chúng ta không thể so sánh các con số với các đơn vị đo lường khác nhau. Nếu cùng một hành động với các đơn vị đo khác nhau của cùng một đại lượng dẫn đến kết quả khác nhau sau khi so sánh chúng, thì điều này không liên quan gì đến toán học.

   Toán học thực sự là gì? Đây là khi kết quả của một phép toán không phụ thuộc vào kích thước của số, đơn vị đo được sử dụng và người thực hiện hành động này.
   

   Ký tên vào cửa Anh mở cửa và nói:

   Ồ! Đây không phải là nhà vệ sinh nữ sao?
   - Người phụ nữ trẻ tuổi! Đây là phòng thí nghiệm để nghiên cứu về sự thánh thiện bất khả xâm phạm của các linh hồn trong quá trình họ thăng thiên! Halo trên đầu và mũi tên lên. WC gì nữa?

   Nữ... Quầng sáng trên và mũi tên xuống là nam.

   Nếu một tác phẩm nghệ thuật thiết kế như vậy hiện lên trước mắt bạn nhiều lần trong ngày,

   Vậy thì không có gì đáng ngạc nhiên khi bạn bất ngờ tìm thấy một biểu tượng lạ trên ô tô của mình:

   Cá nhân tôi cố gắng nhìn ra âm bốn độ ở một người đang đi ị (một bức ảnh) (sự kết hợp của một số bức ảnh: dấu trừ, số bốn, ký hiệu độ). Và tôi không nghĩ cô gái này ngu ngốc, không có kiến ​​thức về vật lý. Cô ấy chỉ có khuôn mẫu mạnh mẽ về cảm nhận hình ảnh đồ họa. Và các nhà toán học luôn dạy chúng ta điều này. Đây là một ví dụ.

   1A không phải là “âm bốn độ” hay “một a”. Đây là "người đàn ông đi ị" hoặc số "hai mươi sáu" theo ký hiệu thập lục phân. Những người thường xuyên làm việc trong hệ thống số này sẽ tự động nhận biết một con số và một chữ cái dưới dạng một ký hiệu đồ họa.

   Lượng giác, như một môn khoa học, có nguồn gốc từ phương Đông cổ đại. Các tỷ lệ lượng giác đầu tiên được các nhà thiên văn học rút ra để tạo ra lịch và hướng chính xác của các ngôi sao. Những tính toán này liên quan đến lượng giác hình cầu, trong khi ở khóa học nghiên cứu tỉ số các cạnh và các góc của một tam giác phẳng.

   Lượng giác là một nhánh của toán học liên quan đến các tính chất của hàm lượng giác và mối quan hệ giữa các cạnh và các góc của hình tam giác.

   Trong thời kỳ hoàng kim của văn hóa và khoa học vào thiên niên kỷ thứ 1 sau Công nguyên, kiến ​​thức được lan truyền từ Đông cổđến Hi Lạp. Nhưng những khám phá chính về lượng giác là công lao của những người đàn ông ở Caliphate Ả Rập. Đặc biệt, nhà khoa học người Turkmen al-Marazwi đã giới thiệu các hàm như tiếp tuyến và cotang, đồng thời biên soạn các bảng giá trị đầu tiên cho sin, tiếp tuyến và cotang. Các khái niệm về sin và cos được các nhà khoa học Ấn Độ đưa ra. Lượng giác nhận được rất nhiều sự chú ý trong các tác phẩm của những nhân vật vĩ đại thời cổ đại như Euclid, Archimedes và Eratosthenes.

   Các đại lượng lượng giác cơ bản

   Các hàm lượng giác cơ bản đối số số– đó là sin, cos, tiếp tuyến và cotang. Mỗi người trong số họ có đồ thị riêng: sin, cosin, tiếp tuyến và cotang.

   Công thức tính giá trị của các đại lượng này dựa trên định lý Pythagore. Học sinh được biết đến nhiều hơn trong công thức: “Quần Pythagore bằng nhau ở mọi hướng”, vì bằng chứng được đưa ra bằng ví dụ về tam giác vuông cân.

   Sin, cosin và các phụ thuộc khác thiết lập mối quan hệ giữa góc nhọn và các cạnh của bất kỳ tam giác vuông nào. Chúng ta hãy đưa ra các công thức tính các đại lượng này cho góc A và vạch ra mối quan hệ giữa các hàm lượng giác:

   

   Có thể thấy, tg và ctg là hàm nghịch đảo. Nếu chúng ta tưởng tượng chân a như tội lỗi sản phẩm A và cạnh huyền c, cạnh b có dạng cos A*c, ta thu được các công thức tính tiếp tuyến và cotang như sau:

   

   vòng tròn lượng giác

   Về mặt đồ họa, mối quan hệ giữa các đại lượng được đề cập có thể được biểu diễn như sau:

   

   Chu vi, trong trong trường hợp này, đại diện cho tất cả các giá trị có thể có của góc α - từ 0° đến 360°. Như có thể thấy trên hình, mỗi hàm nhận một giá trị âm hoặc giá trị dương tùy theo độ lớn của góc. Ví dụ, sin α sẽ có dấu “+” nếu α thuộc phần tư thứ 1 và thứ 2 của đường tròn, nghĩa là nó nằm trong khoảng từ 0° đến 180°. Đối với α từ 180° đến 360° (phần tư III và IV), sin α chỉ có thể là giá trị âm.

   Chúng ta hãy thử xây dựng bảng lượng giác cho các góc cụ thể và tìm hiểu ý nghĩa của các đại lượng.

   

   Các giá trị của α bằng 30°, 45°, 60°, 90°, 180°, v.v. được gọi là trường hợp đặc biệt. Các giá trị của hàm lượng giác đối với chúng được tính toán và trình bày dưới dạng bảng đặc biệt.

   

   Những góc này không được chọn ngẫu nhiên. Ký hiệu π trong các bảng là dành cho radian. Rad là góc tại đó chiều dài cung tròn tương ứng với bán kính của nó. Giá trị nàyđược đưa ra nhằm thiết lập một sự phụ thuộc phổ quát; khi tính bằng radian, chiều dài thực tế của bán kính tính bằng cm không quan trọng.

   

   Các góc trong bảng cho hàm lượng giác tương ứng với giá trị radian:

   

   Vì vậy, không khó để đoán rằng 2π là một đường tròn hoàn chỉnh hay 360°.

   Tính chất của hàm lượng giác: sin và cosin

   Để xét và so sánh các tính chất cơ bản của sin và cosin, tiếp tuyến và cotang cần phải vẽ hàm số của chúng. Điều này có thể được thực hiện dưới dạng một đường cong nằm trong hệ tọa độ hai chiều.

   Coi như bảng so sánh Tính chất của sin và cosin:

   

   Sóng hình sin	Cô sin
   y = sinx	y = cos x
   ODZ [-1; 1]	ODZ [-1; 1]
   sin x = 0, với x = πk, trong đó k ϵ Z	cos x = 0, với x = π/2 + πk, trong đó k ϵ Z
   sin x = 1, với x = π/2 + 2πk, trong đó k ϵ Z	cos x = 1, tại x = 2πk, trong đó k ϵ Z
   sin x = - 1, tại x = 3π/2 + 2πk, trong đó k ϵ Z	cos x = - 1, với x = π + 2πk, trong đó k ϵ Z
   sin (-x) = - sin x, tức là hàm số lẻ	cos (-x) = cos x, tức là hàm số chẵn
   	hàm số tuần hoàn, chu kỳ nhỏ nhất là 2π
   sin x > 0, với x thuộc phần tư 1 và 2 hoặc từ 0° đến 180° (2πk, π + 2πk)	cos x > 0, với x thuộc phần tư I và IV hoặc từ 270° đến 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk)
   sin x ‹ 0, với x thuộc phần tư thứ ba và thứ tư hoặc từ 180° đến 360° (π + 2πk, 2π + 2πk)	cos x ‹ 0, với x thuộc phần tư thứ 2 và thứ 3 hoặc từ 90° đến 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk)
   tăng trong khoảng [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk]	tăng trong khoảng [-π + 2πk, 2πk]
   giảm theo các khoảng [π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk]	giảm dần theo khoảng thời gian
   đạo hàm (sin x)' = cos x	đạo hàm (cos x)’ = - sin x

   Việc xác định một hàm số chẵn hay không rất đơn giản. Chỉ cần tưởng tượng một vòng tròn lượng giác với các dấu của đại lượng lượng giác và “gấp” đồ thị so với trục OX là đủ. Nếu các dấu trùng nhau thì hàm số chẵn, ngược lại hàm số lẻ.

   

   Giới thiệu radian và phép liệt kê Các tính chất cơ bản hình sin và cosin cho phép chúng ta đưa ra mô hình sau:

   

   Rất dễ dàng để xác minh rằng công thức là chính xác. Ví dụ: với x = π/2, sin là 1, cũng như cosin của x = 0. Việc kiểm tra có thể được thực hiện bằng cách tham khảo bảng hoặc bằng cách vẽ đường cong hàm số cho các giá trị đã cho.

   Tính chất của tangentsoid và cotangentsoid

   Đồ thị của hàm tiếp tuyến và hàm côtang khác biệt đáng kể so với hàm sin và cosin. Các giá trị tg và ctg là nghịch đảo của nhau.

   

   

   1. Y = tan x.
   2. Tiếp tuyến hướng tới các giá trị của y tại x = π/2 + πk, nhưng không bao giờ đạt đến chúng.
   3. Ít nhất thời kỳ tích cực tiếp tuyến bằng π.
   4. Tg (- x) = - tg x, tức là hàm số lẻ.
   5. Tg x = 0, với x = πk.
   6. Chức năng ngày càng tăng.
   7. Tg x › 0, với x ϵ (πk, π/2 + πk).
   8. Tg x ‹ 0, với x ϵ (— π/2 + πk, πk).
   9. Đạo hàm (tg x)’ = 1/cos 2 ⁡x.

   Hãy xem xét hình ảnh đồ họa cotangentoid dưới đây trong văn bản.

   

   Tính chất chính của cotangentoid:

   1. Y = cotg x.
   2. Không giống như các hàm sin và cosin, trong tiếp tuyến Y có thể nhận các giá trị của tập hợp tất cả các số thực.
   3. Cotangentoid hướng tới các giá trị của y tại x = πk, nhưng không bao giờ đạt tới chúng.
   4. Chu kỳ dương nhỏ nhất của cotangentoid là π.
   5. Ctg (- x) = - ctg x, tức là hàm số lẻ.
   6. Ctg x = 0, với x = π/2 + πk.
   7. Chức năng đang giảm dần.
   8. Ctg x › 0, cho x ϵ (πk, π/2 + πk).
   9. Ctg x ‹ 0, với x ϵ (π/2 + πk, πk).
   10. Đạo hàm (ctg x)’ = - 1/sin 2 ⁡x Đúng