Ý nghĩa của lượng giác cầu trong Bách khoa toàn thư Liên Xô vĩ đại, bse. Thiên văn học - Hình cầu và lượng giác cầu trong thời cổ đại và ở phương đông thời trung cổ Các công thức của lượng giác cầu
Lượng giác hình cầu ngành toán học nghiên cứu các mối quan hệ giữa các góc và các cạnh của tam giác cầu (xem Hình học mặt cầu). Để cho được NHƯNG, B, C - các góc và a, b, c - các cạnh đối diện của một tam giác cầu ABC(cm. cơm.
). Các góc và các cạnh của một tam giác hình cầu được nối với nhau bằng các công thức cơ bản sau đây của S. t: cos một= cos b cos với+ tội lỗi b tội với cos NHƯNG, (2) cos A = - cos B cos C+ tội lỗi B tội Với cos một, (2 1) tội một cos B = cosb tội c- tội b cos với cos NHƯNG, (3) tội NHƯNG cos b= cos B tội C+ tội lỗi B cos Với cos một; (3 1) trong những công thức này a, b, cđo bằng các góc ở tâm tương ứng thì độ dài các cạnh này tương ứng bằng nhau aR, bR, cR,ở đâu R- bán kính mặt cầu. Thay đổi chỉ định của các góc (và các cạnh) theo quy tắc hoán vị vòng: NHƯNG→TẠI→Với→NHƯNG(một→b→với→một),
có thể viết các công thức khác của S. t., tương tự như các công thức đã chỉ ra. Các công thức của tam giác cầu giúp ta có thể xác định ba yếu tố còn lại từ ba yếu tố bất kỳ của tam giác cầu (để giải tam giác). Đối với tam giác cầu vuông góc ( NHƯNG= 90 °, một - cạnh huyền, b, c - chân) công thức của S. t. được đơn giản hóa, ví dụ: tội b= tội lỗi một tội TẠI, (1") cos a = cos b cos c, (2") tội một cos B = cos b tội c.
(3") Để có được công thức nối các phần tử của một tam giác cầu vuông, bạn có thể sử dụng quy tắc ghi nhớ sau (quy tắc Napier): nếu bạn thay các phần chân của một tam giác hình cầu góc vuông bằng phần phụ của chúng và sắp xếp các phần tử của tam giác (không bao gồm góc bên phải NHƯNG)
trong một vòng tròn theo thứ tự mà chúng nằm trong một tam giác (nghĩa là, như sau: Bạn, 90 ° - b, 90 ° - c), thì cosin của mỗi phần tử bằng tích của các sin của các phần tử không liền kề, ví dụ, cos một= sin (90 ° - với) sin (90 ° - b) hoặc, sau khi biến đổi, cos a = cos b cos với(công thức 2 "). Khi giải quyết vấn đề, các công thức Delambre sau đây rất tiện lợi, kết nối tất cả sáu phần tử của một tam giác hình cầu: Khi giải nhiều bài toán về thiên văn cầu, tùy theo độ chính xác yêu cầu, thường dùng công thức gần đúng là đủ: đối với tam giác cầu nhỏ (nghĩa là những tam giác có cạnh nhỏ so với bán kính của mặt cầu) thì có thể sử dụng công thức của lượng giác mặt phẳng; cho các hình tam giác hình cầu hẹp (ví dụ: những hình có một cạnh một, nhỏ so với những người khác) sử dụng các công thức sau:
(3’’) hoặc các công thức chính xác hơn: S. t xuất hiện sớm hơn nhiều so với lượng giác phẳng. Các tính chất của tam giác cầu vuông góc, được biểu thị bằng công thức (1 ") - (3"), và các trường hợp nghiệm khác nhau của chúng đã được biết đến ngay cả với các nhà khoa học Hy Lạp Menelaus (thế kỷ 1) và Ptolemy (thế kỷ 2). Các nhà khoa học Hy Lạp đã giảm giải pháp của tam giác cầu xiên thành lời giải của hình chữ nhật. Nhà khoa học người Azerbaijan Nasiraddin Tuei (thế kỷ 13) đã xem xét một cách có hệ thống tất cả các trường hợp giải tam giác cầu xiên, lần đầu tiên chỉ ra lời giải trong hai trường hợp khó nhất. Các công thức cơ bản cho tam giác cầu xiên được tìm ra bởi nhà khoa học Ả Rập Abul-Vefa (thế kỷ 10) [công thức (1)], nhà toán học người Đức I. Regiomontan (giữa thế kỷ 15) [các công thức như (2)], và người Pháp nhà toán học F. Viet (nửa cuối thế kỷ 16) [công thức loại (2 1)] và L. Euler (Nga, thế kỷ 18) [công thức loại (3) và (3 1)]. Euler (1753 và 1779) đã đưa ra toàn bộ hệ thống công thức cho S. T. Một số công thức cho S. T. thuận tiện cho việc thực hành được thiết lập bởi nhà toán học Scotland J. Napier (cuối thế kỷ 16 - đầu thế kỷ 17, nhà toán học người Anh G. thế kỷ 17), nhà thiên văn học người Nga. A. I. Leksel (nửa sau thế kỷ 18), nhà thiên văn học người Pháp J. Delambre (cuối thế kỷ 18 - đầu thế kỷ 19), và những người khác. Bách khoa toàn thư Liên Xô vĩ đại. - M.: Bách khoa toàn thư Liên Xô.
1969-1978
.
Xem "Lượng giác hình cầu" là gì trong các từ điển khác:
Lượng giác mặt cầu là một phần của lượng giác nghiên cứu mối quan hệ giữa các góc và độ dài các cạnh của tam giác cầu. Nó được sử dụng để giải quyết các vấn đề trắc địa và thiên văn khác nhau. Nội dung 1 Lịch sử ... Wikipedia
Một nhánh của toán học nghiên cứu các mối quan hệ giữa các cạnh và góc của các tam giác cầu (tức là các tam giác trên bề mặt của một hình cầu) được hình thành khi ba đường tròn lớn cắt nhau. Lượng giác cầu có liên quan chặt chẽ đến ... ... Từ điển Bách khoa toàn thư lớn
Khám phá các tính chất của hình tam giác, được vẽ trên hình cầu. các bề mặt hình thành trên quả bóng bởi các cung tròn. Từ điển các từ nước ngoài có trong tiếng Nga. Pavlenkov F., 1907 ... Từ điển các từ nước ngoài của tiếng Nga
Một nhánh của toán học nghiên cứu các mối quan hệ giữa các cạnh và góc của các tam giác cầu (nghĩa là các tam giác trên bề mặt của một hình cầu) được hình thành khi ba đường tròn lớn cắt nhau. Lượng giác cầu có liên quan chặt chẽ đến ... ... từ điển bách khoa
Toán học môn học nghiên cứu các mối quan hệ giữa các góc và các cạnh của tam giác cầu (xem hình học mặt cầu). Gọi A, B, C là các góc và a, b, c là các cạnh đối diện của hình cầu tam giác ABC. Các góc và mặt bên là hình cầu. Tam giác... Bách khoa toàn thư toán học
Lĩnh vực toán học, trong đó nghiên cứu sự phụ thuộc giữa các cạnh và góc của hình cầu. hình tam giác (tức là các hình tam giác trên bề mặt của hình cầu) được tạo thành tại giao điểm của ba hình tròn lớn. S. t. Có liên quan chặt chẽ với hình cầu. thiên văn học ... Khoa học Tự nhiên. từ điển bách khoa
Tam giác cầu Kurtosis của một tam giác cầu, hoặc giá trị dư thừa của hình cầu trong sf ... Wikipedia
Định lý Legendre về lượng giác cầu có thể đơn giản hóa nghiệm của một tam giác cầu nếu biết rằng các cạnh của nó đủ nhỏ so với bán kính của hình cầu mà nó nằm trên đó. Theo ... Wikipedia
Hình cầu tam giác vuông có cạnh huyền c, chân a và b và góc vuông C. Định lý Pitago hình cầu là một định lý thiết lập mối quan hệ giữa các cạnh của hình chữ nhật ... Wikipedia
Đường tròn lớn luôn chia khối cầu thành hai nửa bằng nhau. Tâm của đường tròn lớn trùng với tâm của mặt cầu ... Wikipedia
Sách
- Lượng giác hình cầu, Stepanov N.N. , Giáo trình lượng giác cầu của N. N. Stepanova là sách giáo khoa dành cho sinh viên: nhà thiên văn học, nhà trắc địa, nhà địa hình, nhà khảo sát mỏ; Đồng thời, nó có thể phục vụ mục đích ... Thể loại: Toán học Nhà xuất bản: YoYo Media, Nhà sản xuất: YoYo Media,
- Lượng giác hình cầu, Stepanov N.N. , Giáo trình lượng giác cầu của N. N. Stepanova là sách giáo khoa dành cho sinh viên: nhà thiên văn học, nhà trắc địa, nhà địa hình, nhà khảo sát mỏ; đồng thời nó có thể phục vụ các mục ...
4)Công thức cosin bên.
Hệ thống tọa độ
Hệ tọa độ - một tập hợp các định nghĩa thực hiện phương pháp tọa độ, nghĩa là một cách để xác định vị trí của một điểm hoặc phần thân bằng cách sử dụng các con số hoặc các ký hiệu khác. Tập hợp các số xác định vị trí của một điểm cụ thể được gọi là tọa độ của điểm này. Trong toán học, tọa độ là một tập hợp các số được liên kết với các điểm của một đa tạp trong một số bản đồ của một tập bản đồ nào đó. Trong hình học sơ cấp, tọa độ là đại lượng xác định vị trí của một điểm trên mặt phẳng và trong không gian. Trên mặt phẳng, vị trí của một điểm thường được xác định bởi khoảng cách từ hai đường thẳng (trục tọa độ) cắt nhau tại một điểm (gốc tọa độ) một góc vuông; một trong các tọa độ được gọi là tọa độ và tọa độ kia được gọi là tọa độ. Trong không gian, theo hệ thống Descartes, vị trí của một điểm được xác định bởi khoảng cách từ ba mặt phẳng tọa độ cắt nhau tại một điểm vuông góc với nhau, hoặc bởi tọa độ cầu, trong đó gốc tọa độ là tâm của hình cầu. Trong địa lý, các tọa độ là vĩ độ, kinh độ và độ cao trên một mức chung đã biết (ví dụ: đại dương). Xem tọa độ địa lý. Trong thiên văn học, tọa độ là đại lượng xác định vị trí của một ngôi sao, chẳng hạn như thăng thiên và nghiêng phải. Tọa độ thiên thể là số xác định vị trí của các điểm sáng và các điểm phụ trên thiên cầu. Trong thiên văn học, nhiều hệ tọa độ thiên thể khác nhau được sử dụng. Mỗi một trong số này về cơ bản là một hệ thống tọa độ cực trên một hình cầu với một cực được chọn thích hợp. Hệ tọa độ thiên thể được thiết lập bởi một vòng tròn lớn của thiên cầu (hoặc cực của nó, cách 90 ° so với bất kỳ điểm nào của vòng tròn này), trên đó chỉ ra điểm bắt đầu của một trong các tọa độ. Tùy thuộc vào sự lựa chọn của vòng tròn này, các hệ tọa độ thiên thể được gọi là nằm ngang, xích đạo, hoàng đạo và thiên hà. Khi giải quyết một vấn đề toán học hoặc vật lý cụ thể bằng phương pháp tọa độ, bạn có thể sử dụng các hệ tọa độ khác nhau, chọn hệ tọa độ mà vấn đề được giải quyết dễ dàng hoặc thuận tiện hơn trong trường hợp cụ thể này.
11) Bán kính cong của mặt cắt song song, kinh tuyến và pháp tuyến.
Thông qua một điểm tùy ý trên bề mặt ellipsoid của trái đất, người ta có thể vẽ vô số mặt phẳng thẳng đứng tạo thành các mặt cắt bình thường với bề mặt của ellipsoid. Hai trong số chúng: kinh tuyến và mặt cắt của phương thẳng đứng đầu tiên vuông góc với nó - được gọi là mặt cắt pháp tuyến chính. Độ cong của bề mặt ellipsoid của trái đất tại các điểm khác nhau của nó là khác nhau. Hơn nữa, ở điểm giống nhau, tất cả các mặt cắt bình thường đều có độ cong khác nhau. Bán kính cong của mặt cắt pháp tuyến chính tại một điểm đã cho là cực trị, tức là lớn nhất và nhỏ nhất trong số tất cả các bán kính cong khác của mặt cắt pháp tuyến. Giá trị của bán kính cong của kinh tuyến M và phương thẳng đứng đầu tiên N ở vĩ độ nhất định φ được xác định theo công thức: M = a (1-e²) / (1 - e² * sin² φ) 3 / 2; N = a / (1 - e² * sin² φ) ½
Bán kính cong r của một hình song song bất kỳ của ellipsoid liên quan đến bán kính cong của mặt cắt của phương thẳng đứng thứ nhất theo quan hệ r = N cos φ. Các giá trị của bán kính cong của các mặt cắt chính của ellipsoid M và N đặc trưng cho hình dạng của nó gần một điểm nhất định. Đối với một điểm bất kỳ trên bề mặt của ellipsoid, tỷ số của bán kính
M / N = 1 - e² / 1 - e² * sin² φ
12) Chiều dài của các cung đường song song và kinh tuyến.
L \ u003d 2pR \ u003d 2. 3,14 6371 "40000 km.
Bằng cách xác định chiều dài của vòng tròn lớn, bạn có thể tìm chiều dài của cung kinh tuyến (xích đạo) theo 1 ° hoặc theo 1 ¢: 1 ° của cung kinh tuyến (xích đạo) = L / 360 ° = 111 km, 1 ¢ trong số cung kinh tuyến (xích đạo) 111/60 ¢ = 1,853 km. Chiều dài của mỗi vĩ tuyến nhỏ hơn chiều dài của đường xích đạo và phụ thuộc vào vĩ độ của nơi đó.
Nó bằng L par \ u003d L eq cosj par. Vị trí của một điểm trên bề mặt ellipsoid của trái đất có thể được xác định bằng tọa độ trắc địa - vĩ độ trắc địa và kinh độ trắc địa. Để xác định vị trí của một điểm trên bề mặt của geoid, các tọa độ thiên văn được sử dụng, thu được bằng cách xử lý toán học các kết quả của các phép đo thiên văn. Tuy nhiên, trong một số trường hợp không cần thiết phải tính đến sự khác nhau về toạ độ trắc địa và thiên văn, người ta sử dụng khái niệm toạ độ địa lý để xác định vị trí của một điểm trong điều hướng máy bay. Vĩ độ địa lý j là góc giữa xích đạo mặt phẳng và pháp tuyến của bề mặt ellipsoid tại một điểm cho trước. Vĩ độ được đo từ mặt phẳng của đường xích đạo đến các cực từ 0 đến 90 ° bắc hoặc nam. Vĩ độ Bắc được coi là dương, Nam - âm.
13) Phép biến hình tọa độ.
Phép biến đổi hệ tọa độ là sự chuyển từ hệ tọa độ này sang hệ tọa độ khác. Với sự thay thế như vậy, cần thiết lập các công thức cho phép sử dụng tọa độ đã biết của một điểm trong một hệ tọa độ này để xác định tọa độ của nó trong một hệ tọa độ khác.
Mục tiêu chính của phép biến đổi tọa độ là xác định một hệ tọa độ trong đó phương trình của một đường thẳng cho trước trở nên đơn giản nhất. Bằng cách sắp xếp tốt các trục tọa độ, có thể đảm bảo rằng phương trình của đường cong có dạng đơn giản nhất. Điều này rất quan trọng để nghiên cứu các thuộc tính của một đường cong.
14) Đường trắc địa. Bài toán trắc địa trực tiếp và nghịch đảo.
Đường trắc địa, đường cong, các đường chuẩn chính của tất cả các điểm trùng với đường chuẩn của bề mặt mà nó nằm trên đó. Khoảng cách ngắn nhất giữa hai điểm trên bề mặt là một đường thẳng G. Bài toán trắc địa gắn liền với việc xác định vị trí tương đối của các điểm trên bề mặt trái đất và được chia thành các bài toán trực tiếp và nghịch đảo. Trực tiếp G. z. được gọi là phép tính tọa độ trắc địa - vĩ độ và kinh độ của một điểm nhất định nằm trên elipsoid của trái đất, theo tọa độ của một điểm khác và dọc theo chiều dài và góc phương vị của đường trắc địa nối các điểm này. Đảo ngược G. h. bao gồm việc xác định tọa độ trắc địa của hai điểm trên ellipsoid của trái đất, chiều dài và phương vị của đường trắc địa giữa các điểm này
15) Sự hội tụ của các kinh tuyến. kinh tuyến tại một số điểm của ellipsoid của trái đất - góc g s giữa tiếp tuyến của kinh tuyến của điểm này và tiếp tuyến của ellipsoid, được vẽ tại cùng một điểm song song với mặt phẳng của một số kinh tuyến ban đầu. C. m. G s là một hàm của sự khác biệt giữa các kinh độ l của các kinh tuyến được chỉ định, vĩ độ B của điểm và các tham số của ellipsoid. Một cách gần đúng, S. m. Được biểu thị bằng công thức g s \ u003d lsin. S. m. Trên mặt phẳng của phép chiếu trắc địa, hoặc phép chiếu bản đồ (hoặc Gaussian S. m.) Là góc g, tạo thành một tiếp tuyến với hình ảnh của bất kỳ kinh tuyến nào có trục tọa độ đầu tiên (abscissa) của phép chiếu này, thường là hình ảnh của kinh tuyến giữa (trục) của lãnh thổ được hiển thị.
16) Nguyên tắc chung của việc mô tả bề mặt bằng cách mở ra.
Sự phát triển của bề mặt này lên bề mặt khác bằng cách uốn cong là một sự biến đổi của bề mặt đầu tiên, trong đó các yếu tố hình học bên trong của nó được bảo toàn, tức là các góc. SQUARE, độ cong Gauss của bề mặt, và do đó tính chất của các đường ngắn nhất vẫn là ngắn nhất Bán kính của độ cong Ch. phần bình thường được gọi là Ch. bán kính cong tại một điểm đã cho trên bề mặt..R = 1 / R1 * R2- Độ cong Gauss của bề mặt
Các yếu tố của lượng giác cầu
Lượng giác cầu đề cập đến việc nghiên cứu mối quan hệ giữa các cạnh và góc của các tam giác cầu (ví dụ, trên bề mặt Trái đất và trên thiên cầu). Trên bề mặt của một quả bóng, khoảng cách ngắn nhất giữa hai điểm được đo dọc theo chu vi của một đường tròn lớn, nghĩa là, một đường tròn có mặt phẳng đi qua tâm của quả bóng. Các đỉnh của một tam giác cầu là giao điểm của ba tia ló ra khỏi tâm bóng và mặt cầu. Các cạnh a, b, c của một tam giác cầu là những góc giữa các tia nhỏ hơn 180 (nếu một trong các góc này bằng 180 thì tam giác cầu suy biến thành hình bán nguyệt của một đường tròn lớn). Mỗi cạnh của tam giác tương ứng với một cung của hình tròn lớn trên bề mặt của quả bóng (xem hình vẽ).
Theo định nghĩa, các góc A, B, C của tam giác cầu, các cạnh đối diện a, b, c, nhỏ hơn 180, là góc giữa các cung tròn tương ứng với các cạnh của tam giác hoặc các góc giữa các các mặt phẳng được xác định bởi các tia này. Hình học trên bề mặt của quả bóng không phải là Euclid; trong mỗi tam giác cầu, tổng các cạnh từ 0 đến 360, tổng các góc từ 180 đến 540. Trong mỗi tam giác cầu, có một góc lớn hơn đối diện với cạnh lớn hơn. Tổng của hai cạnh bất kỳ lớn hơn cạnh thứ ba, tổng của hai góc bất kỳ nhỏ hơn 180 cộng với góc thứ 3. Một tam giác hình cầu được xác định duy nhất (theo phép biến đổi đối xứng): 1) ba cạnh, 2) ba góc, 3) hai cạnh và bao giữa chúng một góc, 4) một cạnh và hai góc kề với nó.
4)Công thức cosin bên.
Công thức tính cosin bên liên hệ với ba cạnh và một trong các góc của một tam giác cầu. Thuận tiện cho việc tìm một góc chưa biết hoặc cạnh đối diện với góc này, và đọc như sau: "trong một tam giác cầu, cosin của một cạnh bằng tích của cosin của hai cạnh còn lại cộng với tích các sin của hai cạnh này và cosin của góc giữa chúng ”
Đối với một số khách hàng của chúng tôi, mua đồ trang sức làm theo yêu cầu là một khoản đầu tư sinh lời vào vốn gia đình, cho con cháu một tương lai ổn định. Đối với những khách hàng khác, đặc biệt là những quý cô xinh đẹp, trang sức độc quyền là một cách khác để nhấn mạnh phong cách, vẻ đẹp và địa vị xã hội đáng ghen tị của họ. Đối với nam giới - một lựa chọn để thể hiện tình yêu và sự quan tâm đến người được chọn.
G.P. Matvievskaya Hình cầu và lượng giác cầu trong thời cổ đại và ở phương Đông thời trung cổ / Sự phát triển của các phương pháp nghiên cứu thiên văn. Số 8, Moscow-Leningrad, 1979G.P. Matvievskaya
Hình cầu và lượng giác cầu trong thời cổ đại và ở phương Đông thời trung cổ
1. Trong thời cổ đại và thời Trung cổ, nhu cầu của thiên văn học được coi là động lực quan trọng nhất cho sự phát triển của nhiều ngành, toán học và trên hết là lượng giác cầu, một bộ máy toán học để giải quyết các vấn đề thiên văn cụ thể. Với sự phát triển của thiên văn học, mức độ phức tạp của các vấn đề và sự gia tăng yêu cầu về độ chính xác của các phép tính, bộ máy này dần được cải tiến và theo đó, nội dung của lượng giác cầu được làm phong phú hơn. Nó đã được giải thích cả trong các luận thuyết thiên văn - như một phần giới thiệu của thiên văn học - và trong các công trình toán học đặc biệt.
Có tầm quan trọng đặc biệt đối với lịch sử lượng giác cầu là các tác phẩm của người Hy Lạp cổ đại về hình cầu - một ngành khoa học bao gồm các yếu tố thiên văn học, hình học trên mặt cầu và lượng giác. Đến ngày 4 c. BC e. nó đã được phát triển đầy đủ và được coi như một bộ môn thiên văn bổ trợ. Các tác phẩm sớm nhất được biết đến về quả cầu được viết vào khoảng thế kỷ thứ 4 trước Công nguyên. BC e. - Tôi kỷ. N. e. những nhà khoa học xuất sắc thời cổ đại như Autolik, Euclid, Theodosius, Hypsicles, Menelaus.
Những tác phẩm này cho phép bạn làm quen trực quan với giai đoạn đầu trong quá trình phát triển lượng giác cầu.
Tất cả các kết quả mà người Hy Lạp thu được trong lĩnh vực thiên văn học và lượng giác, như đã biết, đã được khái quát hóa vào thế kỷ thứ 2 trước Công nguyên. trong công việc của Ptolemy có tựa đề Một bộ sưu tập toán học trong 13 cuốn sách. Sau đó, có thể là vào thế kỷ thứ 3, nó được gọi là cuốn sách “vĩ đại”, từ thời Trung cổ, cái tên “Almagest”, được mọi người chấp nhận, xuất phát từ đó: đây là cách từ “al-majisti” được phát âm trong Tiếng Latinh - một dạng Ả Rập hóa từ “megiste” (lớn nhất).
Trái ngược với cuốn sách "vĩ đại" của Ptolemy, các tác phẩm của những người tiền nhiệm của ông, cần thiết cho các tính toán thiên văn và được kết hợp vào cuối thời kỳ Hy Lạp hóa (không muộn hơn thế kỷ thứ 4) trong một bộ sưu tập, được gọi là "Thiên văn học nhỏ". Chúng phải được nghiên cứu sau các Nguyên tố của Euclid, để có thể hiểu được Almagest. Do đó, trong văn học Ả Rập, chúng xuất hiện dưới cái tên "sách trung đại" (kutub al-mutawasita).
Bộ sưu tập này bao gồm các tác phẩm của Euclid "Dữ liệu", "Quang học", "Hiện tượng" và giả Euclid "Katoptrik", các tác phẩm của Archimedes ("Trên quả bóng và hình trụ", "Phép đo đường tròn", "Bổ đề" ), Aristarchus ("Về số lượng và khoảng cách Mặt trời và Mặt trăng"), Hypsicles ("Trên sự đi lên của các chòm sao dọc theo hoàng đạo"), Autolika ("Trên quả cầu chuyển động", "Trên sự mọc và lặn của các ngôi sao cố định" ), Theodosius ("Quả cầu", "Ngày và đêm", "Trên những ngôi nhà") và Menelaus ("Quả cầu"). Công việc của Menelaus đã được thêm vào Thiên văn học nhỏ, có thể vào một thời điểm sau đó.
Bản dịch tiếng Ả Rập của các cuốn sách “trung gian”, bao gồm cả các tác phẩm về lĩnh vực này, xuất hiện trong số các bản dịch đầu tiên của các tác phẩm kinh điển của khoa học Hy Lạp. Sau đó chúng đã được bình luận nhiều lần. Trong số các dịch giả và nhà bình luận, người ta có thể kể tên các nhà khoa học kiệt xuất như Kosta ibn Luka (thế kỷ IX), al-Makhani (thế kỷ IX), Sabit ibn Korra (thế kỷ X), Ibn Iraq (thế kỷ X-XI), Nasir ad -Din at -Tusi (thế kỷ XIII) và những người khác.
Đối với “Thiên văn học nhỏ” của Hy Lạp, các học giả phương Đông sau đó đã thêm các tác phẩm “Về phép đo các hình” của Banu Musa, “Dữ liệu” và “Sách về tứ giác hoàn chỉnh” của Sabit ibn Korra, “Luận về tứ giác hoàn chỉnh” của Nasir ad-Din at-Tusi.
Sự cần thiết phải làm quen sâu sắc với các cuốn sách "trung dung" đã được các nhà toán học và thiên văn học phương Đông công nhận và đã được nhấn mạnh ngay cả trong thế kỷ 17. trong từ điển bách khoa thư mục được biết đến rộng rãi của Hajji Khalifa "Xóa bỏ bức màn khỏi đầu sách và khoa học". Văn bản của các luận thuyết này, cũng như các bình luận về chúng, đã được lưu giữ trong nhiều bản thảo tiếng Ả Rập. Chúng bao gồm, ví dụ, một bộ sưu tập viết tay chưa được ai nghiên cứu, được lưu trữ trong Thư viện Công cộng của Tiểu bang. M. E. Saltykov-Shchedrin ở Leningrad (bộ sưu tập của Khanykov, số 144).
Trở lại năm 1902, nhà sử học nổi tiếng về toán học A. Bjornbo lấy làm tiếc rằng quá ít chú ý đến lĩnh vực khoa học cổ đại đó, có thể được định nghĩa là "giới thiệu về thiên văn học" và được phản ánh trong "trung bình " sách. Đặc biệt, ông nhấn mạnh sự cần thiết phải có một ấn bản phê bình chính thức về văn bản của các tác phẩm và liên quan đến vấn đề này, đặt ra câu hỏi về việc nghiên cứu các phiên bản tiếng Ả Rập của chúng. Công lao to lớn trong việc nghiên cứu “thiên văn học nhỏ” thuộc về bản thân A. Bjornbo, cũng như F. Gulch, I.L. Geiberg, P. Thuộc da, A. Chvalina, J. Mozhene, và những người khác.Tuy nhiên, cho đến nay mọi thứ vẫn được thực hiện theo hướng này. Điều này đặc biệt áp dụng cho các sách "trung gian" trong cách giải thích tiếng Ả Rập.
Các nhà khoa học thời Trung cổ Đông phương thường bổ sung đáng kể vào các công trình của Hy Lạp, đưa ra các chứng minh định lý của riêng họ, và đôi khi đưa ra những ý tưởng mới vào lý thuyết cổ đại. Từ quan điểm này, các phiên bản tiếng Ả Rập của các tác phẩm dành cho quả cầu đáng được chú ý. Đặc biệt quan trọng là việc nghiên cứu các bình luận về công trình của Menelaus, được biên soạn bởi Abu Nasr ibn Iraq và Nasir ad-Din at-Tusi, những người đã đóng một vai trò quan trọng trong lịch sử lượng giác cầu.
2. Các tác phẩm cổ xưa nhất về hình cầu đã đến với chúng ta - và nói chung, từ các tác phẩm toán học của người Hy Lạp - là các luận thuyết của Autolik từ Pitana (khoảng năm 310 trước Công nguyên) “Về hình cầu quay” và “Về mặt trời mọc và Hoàng hôn ”. Cả hai người đều giải quyết các câu hỏi về hình học trên một hình cầu như được áp dụng cho thiên văn học.
Autolik nghiên cứu một hình cầu quay quanh một trục và các phần tròn trên đó: các vòng tròn lớn đi qua cả hai cực, các vòng tròn nhỏ thu được bằng cách cắt hình cầu bằng các mặt phẳng vuông góc với trục và các vòng tròn lớn đi xiên qua nó. Chuyển động của các điểm của các đường tròn này được coi là liên quan đến một mặt phẳng cố định nào đó đi qua tâm. Có thể dễ dàng nhìn thấy ở đây một mô hình thiên cầu với các đường kinh tuyến, đường song song, đường xích đạo, đường hoàng đạo và đường chân trời. Tuy nhiên, phần trình bày được thực hiện bằng ngôn ngữ hình học thuần túy và các thuật ngữ thiên văn học không được sử dụng.
Trong bài luận 12 câu “Trên một khối cầu chuyển động”, Autolik đưa ra khái niệm chuyển động đều (“một điểm chuyển động thẳng đều nếu nó đi những đường bằng nhau trong thời gian bằng nhau”) và áp dụng khái niệm này cho một khối cầu quay. Trước hết, ông chỉ ra rằng các điểm trên bề mặt của nó không nằm trên trục, trong quá trình quay đều, mô tả các đường tròn song song có cùng cực với mặt cầu và với các mặt phẳng vuông góc với trục (Mệnh đề 1). Hơn nữa, người ta chứng minh rằng trong thời gian bằng nhau, tất cả các điểm trên bề mặt đều mô tả các cung giống nhau (Mệnh đề 2) và ngược lại, tức là nếu hai cung tròn song song đi qua trong thời gian bằng nhau thì chúng tương tự nhau (Mệnh đề 3).
Giới thiệu khái niệm về đường chân trời - một vòng tròn lớn ngăn cách phần hình cầu này có thể nhìn thấy được đối với người quan sát nằm ở tâm hình cầu với phần không nhìn thấy - Autolik xem xét chuyển động của các điểm trên bề mặt trong mối quan hệ với nó. Các vị trí khác nhau có thể có của đường chân trời được khảo sát, khi nó vuông góc với trục, đi qua các cực và nghiêng với trục. Trong trường hợp đầu tiên (diễn ra ở cực trên cạn), không có điểm nào trên bề mặt của hình cầu, với chuyển động quay đều, sẽ đi lên hoặc đi lên; tất cả các điểm của phần hữu hình luôn luôn nhìn thấy, và tất cả các điểm của phần không nhìn thấy vẫn vô hình (Đề xuất 4).
Trong trường hợp thứ hai, diễn ra tại đường xích đạo của trái đất, tất cả các điểm trên bề mặt của quả cầu đều tăng và lặn, ở trên và dưới đường chân trời cùng một lúc (mệnh đề 5).
Cuối cùng, trong trường hợp cuối cùng - tổng quát - đường chân trời tiếp xúc với hai đường tròn song song bằng nhau, trong đó đường tròn nằm ở cực nhìn thấy luôn nhìn thấy được và đường chân trời kia luôn không nhìn thấy (Mệnh đề 6). Các điểm bề mặt giữa các vòng tròn này nhô lên và thiết lập, đồng thời luôn đi qua các điểm giống nhau trên đường chân trời, chuyển động theo các đường tròn vuông góc với trục và nghiêng với đường chân trời ở cùng một góc (Mệnh đề 7). Mỗi vòng tròn lớn cố định trên bề mặt của hình cầu, tiếp xúc với các đường tròn song song giống như đường chân trời, sẽ trùng với đường chân trời khi hình cầu quay (Mệnh đề 8). Ngoài ra, người ta đã xác định được rằng nếu đường chân trời nghiêng với trục, thì trong số hai điểm đi lên đồng thời, điểm gần nhất với cực nhìn thấy sẽ đặt muộn hơn; nếu hai điểm đặt cùng một lúc, thì điểm gần với cực nhìn thấy tăng sớm hơn.
Cho thấy thêm rằng trong trường hợp khi đường chân trời nghiêng với trục, đường tròn lớn đi qua các cực của quả cầu (tức là kinh tuyến) sẽ hai lần vuông góc với đường chân trời trong suốt quá trình quay của nó (Đề xuất 10), Autolik xây dựng và chứng minh định lý (Mệnh đề 11), về cơ bản đề cập đến mặt phẳng hoàng đạo. Chúng ta đang nói về cách thức tăng và thiết lập của các điểm nằm trên vòng tròn lớn này phụ thuộc vào vị trí của nó so với đường chân trời. Người ta đã chứng minh rằng nếu cả hai đều nghiêng với trục và đường hoàng đạo tiếp xúc với hai đường tròn trên mặt cầu song song với nhau và vuông góc với trục, lớn hơn đường tròn mà đường chân trời tiếp xúc, thì các điểm của đường hoàng đạo sẽ luôn có rủi ro của chúng và thiết lập trên đoạn đường chân trời nằm giữa các đường tròn song song tiếp tuyến với hoàng đạo.
Câu cuối nêu: Nếu một đường tròn cố định trên mặt cầu luôn phân giác một đường tròn khác quay với mặt cầu mà cả hai đều không vuông góc với trục và không đi qua các cực thì chúng là đường tròn lớn.
Chuyên luận của Autolik "Về mặt trời mọc và hoàng hôn", bao gồm hai cuốn sách, dựa trên bài luận đã được đánh giá. Nó mô tả sự chuyển động của các ngôi sao cố định (cuốn 1), đặc biệt chú ý đến mười hai chòm sao nằm trên; sinh thái (Quyển II). Nó chỉ ra khi các ngôi sao mọc và lặn, có các vị trí khác nhau trên thiên cầu, và chúng có thể nhìn thấy hoặc không nhìn thấy trong những trường hợp nào.
Các tác phẩm của Autolik về khối cầu, vốn có trong sách giáo khoa tiểu học, không hề mất đi sự liên quan của chúng cả trong thời cổ đại hay thời Trung cổ. Nội dung của chuyên luận "Trên một khối cầu chuyển động" được trình bày trong cuốn sách thứ 6 của "Bộ sưu tập toán học" của Pappus ở Alexandria (thế kỷ thứ 3 sau Công nguyên). Ý nghĩa về vai trò của Autolik đối với sự phát triển của khoa học được viết vào thế kỷ thứ 6. Simplicius và John Philopon. Văn bản tiếng Hy Lạp của cả hai tác phẩm của ông đã được lưu giữ đầy đủ cho đến ngày nay.
Các tác phẩm của Autolik đã được dịch sang tiếng Ả Rập vào thế kỷ thứ 9 và đầu thế kỷ thứ 10. trong số những tác phẩm đầu tiên của Hy Lạp đã khơi dậy sự quan tâm của các học giả phương Đông. Bản dịch luận thuyết "Trên khối cầu chuyển động" từ nguyên bản tiếng Hy Lạp được thực hiện bởi dịch giả nổi tiếng Ishaq ibn Hunayn (mất 910/911). Nhà thiên văn học, triết gia và bác sĩ đương thời của ông Kusta ibn Luka al-Baalbaki (mất năm 912) đã dịch chuyên luận Về Mặt trời mọc và Mặt trời lặn. Những bản dịch này sau đó đã được sửa đổi bởi nhà toán học và thiên văn học nổi tiếng Thabit ibn Korra (mất năm 901). Sau đó, vào thế kỷ XIII. các công trình của Autolik đã được nhận xét bởi nhà khoa học lỗi lạc, người đứng đầu đài thiên văn ở Maraga, Nasir ad-Din at-Tusi (1201 - 1274).
Ở châu Âu, các phiên bản Ả Rập của các tác phẩm của Autolik được biết đến vào thế kỷ 12. Vào thời điểm này, bản dịch tiếng Latinh của luận thuyết "Trên khối cầu chuyển động" đã được thực hiện bởi dịch giả lớn nhất thời trung cổ Gerardo ở Cremona (1114-1187).
Văn bản tiếng Hy Lạp của các tác phẩm của Autolik, được lưu giữ trong một số bản viết tay của thế kỷ 10-15, đã thu hút sự chú ý của các nhà khoa học vào thế kỷ 16, khi một nghiên cứu kỹ lưỡng về di sản khoa học cổ đại bắt đầu ở châu Âu dưới ảnh hưởng của các tư tưởng nhân văn. Lần đầu tiên tiếng Latinh; bản dịch của cả hai luận thuyết từ nguyên bản tiếng Hy Lạp đã được xuất bản trong bách khoa toàn thư của nhà giáo dục người Ý George Balla (G. Valla, khoảng 1447-1500) vào năm 1501, và sau đó trong tuyển tập các tác phẩm cổ đại về lĩnh vực này, được xuất bản trong 1558 in Messina của Francesco Mavrolico (F. Maurolico, 1494-1575).
Công việc tích cực về việc xuất bản các tác phẩm toán học và thiên văn học của các tác giả cổ đại được thực hiện trong thời kỳ này ở Pháp, nơi nó được khởi xướng bởi một trong những nhân vật nổi bật của thời kỳ Phục hưng Pháp, một nhà truyền bá đam mê khoa học cổ đại P. Ramus (P. Ramus , Pierre de la Ramée, 1515-1572); Ông đã dành riêng cho ấn bản Hy Lạp đầu tiên của các tác phẩm Autolik, được thực hiện bởi Conrad Dasipodius (Dasypodius, Conrad Rauchfuss, 1532-1600); nó được xuất bản vào năm 1572 tại Strasbourg, cùng với một bản dịch tiếng Latinh. Một sinh viên khác của Ramus P. Forcadel (Pierre Forcadel, c. 1520-1574) đã xuất bản năm 1572 một bản dịch tiếng Pháp của cả hai luận thuyết của Autolik.
Năm 1587-1588. một ấn bản Latinh khác xuất hiện, do I. Auria (I. Auria) thực hiện trên một số bản thảo tiếng Hy Lạp từ thư viện Vatican, và vào năm 1644 M. Mersenne (M. Megsenn, 1588-1648) đã xuất bản bản dịch Latinh rút gọn các tác phẩm của Autolik khác. Các tác phẩm của Hy Lạp về toán học và thiên văn học.
Một ấn bản phê bình hoàn chỉnh của văn bản tiếng Hy Lạp trong các luận thuyết của Autolik, cùng với bản dịch tiếng Latinh, đã được F. Gulch thực hiện vào năm 1855. Đây là cơ sở cho bản dịch tiếng Đức của A. Chvalina, xuất bản năm 1931.
Cuối cùng, một ấn bản mới của văn bản tiếng Hy Lạp, dựa trên nghiên cứu kỹ lưỡng về tất cả các bản thảo còn sót lại, đã được thực hiện bởi J. Maugenet vào năm 1950; văn bản được đặt trước bởi một nghiên cứu kỹ lưỡng về lịch sử các ấn bản châu Âu của các tác phẩm của Autolik. Năm 1971, một bản dịch tiếng Anh của văn bản này được xuất bản ở Beirut, tuy nhiên, bản dịch này đã gây ra sự chỉ trích nghiêm trọng bởi O. Neugebauer.
Các bài viết của Autolik đã thu hút sự chú ý của nhiều nhà sử học về thiên văn học và toán học. Cả lý thuyết của Autolik và văn bản của các tác phẩm của ông đều được nghiên cứu. Ví dụ, cho thấy rằng hai cuốn sách tạo nên "On Sunrise và Sunset", rất có thể, là hai phiên bản của cùng một tác phẩm.
Các phiên bản tiếng Ả Rập của các chuyên luận Autolik, nằm trong số "sách trung bình", vẫn ít được nghiên cứu nhất, mặc dù chúng tồn tại trong rất nhiều bản thảo được lưu trữ trong các thư viện khác nhau ở châu Âu và châu Á.
3. Trong nửa sau của 4 c. BC e., một bài luận khác về quả cầu đã xuất hiện, có nội dung gần với các tác phẩm của Autolik và được viết bởi Euclid trẻ tuổi cùng thời với ông, tác giả nổi tiếng của Những khởi đầu. Trong chuyên luận này, mang tên "Hiện tượng", Euclid phần lớn lặp lại người tiền nhiệm của mình, nhưng mối liên hệ giữa hình cầu và thiên văn học thực tế được thể hiện rõ ràng hơn ở ông.
"Hiện tượng" của Euclid gồm 18 câu. Công thức đầu tiên đưa ra tuyên bố về hệ thống địa tâm của thế giới rằng Trái đất được coi là trung tâm của vũ trụ. Vì vị trí của người quan sát trên bề mặt trái đất nên được coi là tùy ý, nên từ tuyên bố này, trong mối quan hệ với toàn bộ vũ trụ, Trái đất được coi là điểm mà tại đó người quan sát đang ở.
Sau khi lặp lại ở câu thứ hai và thứ ba định lý thứ bảy của Autolik từ luận thuyết “Trên mặt cầu chuyển động”, Euclid tiến hành nghiên cứu sự mọc và lặn của các cung hoàng đạo - 12 chòm sao nằm trên hoàng đạo, nghĩa là, mỗi cung trong số mười hai cung, hoàng đạo, bằng 30 ° và tương ứng theo điều kiện với các chòm sao này. Ông chứng minh (mệnh đề 4) rằng nếu hoàng đạo không giao nhau với vòng tròn lớn nhất luôn nhìn thấy được trên thiên cầu, tức là nếu vĩ độ của nơi quan sát nhỏ hơn 66 °, thì các chòm sao đi lên trước cũng đặt trước. ; nếu nó giao với nó, nghĩa là, nếu vĩ độ của địa điểm quan sát lớn hơn 66 °, thì các chòm sao nằm ở phía bắc sẽ mọc sớm hơn và đặt muộn hơn các chòm sao nằm ở phía nam (mệnh đề 5). Do đó, các đặc điểm về sự mọc và lặn của chòm sao phụ thuộc vào vĩ độ của địa điểm quan sát, tức là vào độ lớn của góc giữa trục thế giới và đường chân trời.
Sau khi chứng minh thêm rằng sự mọc và lặn của các ngôi sao nằm ở hai đầu đối diện của đường kính của hoàng đạo là đối diện với nhau (mệnh đề 6), Euclid giải thích định lý thứ mười một từ luận thuyết của Autolik "Trên một hình cầu chuyển động": các ngôi sao nằm trên hoàng đạo , trong quá trình mọc và lặn của chúng, cắt ngang một phần của đường chân trời được bao bọc giữa các vùng nhiệt đới, và giao điểm này xảy ra tại các điểm không đổi (Đề xuất 7).
Sau đó, ông chứng minh rằng các cung bằng nhau của các cung hoàng đạo mọc lên và đặt trên các cung không bằng nhau của đường chân trời, càng lớn, chúng càng gần điểm phân vị; đồng thời, các cung cách xa xích đạo bằng nhau đi lên và đặt trên các cung bằng nhau của đường chân trời (Định đề 8).
Các định lý sau đây liên quan đến thời gian mặt trời mọc và lặn của các cung hoàng đạo khác nhau. Đầu tiên, người ta cho rằng thời gian cần thiết cho sự đi lên của một nửa đường hoàng đạo sẽ khác nhau tùy thuộc vào vị trí của điểm bắt đầu tham chiếu (Mệnh đề 9). Điều này tương ứng với tuyên bố về độ dài khác nhau của ngày và đêm ở các mùa khác nhau trong năm, khi Mặt trời nằm trong các cung hoàng đạo khác nhau. Sau đó, thời gian cần thiết để tăng và thiết lập các dấu hiệu bằng nhau và đối diện của hoàng đạo được xem xét.
Lời giải cho các câu hỏi mà Euclid đưa ra là cực kỳ quan trọng đối với các nhà thiên văn cổ đại, vì nó liên quan đến các phương pháp xác định giờ trong ngày và đêm, thiết lập lịch, v.v.
4. Do đó, trong các công trình được xem xét của Autolik và Euclid, nền tảng của hình cầu Hy Lạp cổ đại, cả về lý thuyết và thực tiễn, đã được phác thảo. Tuy nhiên, cả hai tác giả đều tuân theo một số mô hình trước đó, vì họ đã đưa ra một số mệnh đề về hình cầu mà không cần bằng chứng, có lẽ coi chúng là đã biết. Có thể tác giả của một công trình nghiên cứu về quả cầu như vậy, thường được công nhận vào thời điểm đó, là nhà toán học và thiên văn học vĩ đại Eudoxus ở Cnidus (khoảng 408-355 trước Công nguyên).
Tác phẩm bị thất lạc này hiện được đánh giá bởi Theodosius 'Sphere, được viết sau này, nhưng chắc chắn vẫn lặp lại nội dung của nó trong phần chính.
5. Có nhiều ý kiến khác nhau liên quan đến cuộc đời và tiểu sử của Theodosius, dựa trên các báo cáo thường mâu thuẫn của các sử gia cổ đại, những người đã kết hợp nhầm một số nhân vật mang tên này với một người. Hiện tại đã có thông tin rằng tác giả của The Sphere đến từ Bithynia chứ không phải từ Tripoli, như người ta đã tin và chỉ ra trước đây trong tiêu đề của nhiều ấn bản các tác phẩm của ông. Ông có lẽ sống vào nửa sau của thế kỷ thứ 2 trước Công nguyên. BC e., mặc dù ông thường được gọi là người cùng thời với Cicero (khoảng năm 50 trước Công nguyên).
Ngoài các Quả cầu, hai tác phẩm khác của Theodosius, cũng được xếp vào số "sách giữa", đã được lưu giữ trong nguyên bản tiếng Hy Lạp. Chuyên luận lớn nhất "Về nơi ở" bao gồm 12 câu và được dành để mô tả bầu trời đầy sao từ quan điểm của những người quan sát ở các vĩ độ địa lý khác nhau. Chuyên luận thứ hai, có tựa đề "Ngày và đêm" và bao gồm hai cuốn sách, xem xét cung đường hoàng đạo mà mặt trời đi qua trong một ngày, và xem xét các điều kiện cần thiết, chẳng hạn, để ngày và đêm thực sự bằng nhau. ở điểm phân.
Những tác phẩm này đã được nhiều học giả Ả Rập nghiên cứu và bình luận, và thu hút sự chú ý ở châu Âu vào thế kỷ 16, khi các bản viết tay bằng tiếng Hy Lạp của họ được phát hiện. Đầu tiên trong số chúng được xuất bản trong bản dịch tiếng Latinh vào năm 1558 bởi F. Mavroliko, cùng với một số công trình khác về hình cầu, và sau đó vào năm 1572 bởi K. Dasipodius đã xuất bản các công thức định lý bằng tiếng Hy Lạp và tiếng Latinh từ luận thuyết này trong cuốn sách. đã đề cập ở trên. Cùng năm, 1572, một bản dịch tiếng Pháp của tác phẩm Theodosius được xuất bản trong phiên bản của Dasipodius, do P. Forcadel thực hiện. Các ấn bản tiếng Latinh tiếp theo được thực hiện vào năm 1587 (I. Auria) và năm 1644 (M, Mersenne). Toàn văn tiếng Hy Lạp của chuyên luận "Về những nơi ở" cùng với bản dịch tiếng Latinh chỉ được xuất bản vào năm 1927 bởi R. Fecht. Phiên bản tương tự cũng tái bản lần đầu tiên nguyên văn của tác phẩm "On Days and Nights" và bản dịch tiếng Latinh của nó. Trước đây, nó được biết đến nhờ cách diễn đạt các câu bằng tiếng Hy Lạp và tiếng Latinh được xuất bản năm 1572 bởi K. Dasipodius và bản dịch hoàn chỉnh bằng tiếng Latinh trong ấn phẩm của I. Auria.
Tác phẩm nổi tiếng nhất của Theodosius là "Quả cầu" của ông, chiếm một vị trí quan trọng trong lịch sử thiên văn học, lượng giác cầu và hình học phi Euclide.
Theodosius nghiên cứu chi tiết các thuộc tính của các đường trên bề mặt của một hình cầu thu được bằng cách cắt nó bằng các mặt phẳng khác nhau. Cần nhấn mạnh rằng tam giác cầu chưa xuất hiện ở anh ta. Tác phẩm được mô phỏng theo "Sự khởi đầu" của Euclid và bao gồm ba cuốn sách. Cuốn sách đầu tiên, bao gồm 23 câu, bắt đầu với sáu định nghĩa. Hình cầu được định nghĩa là "một hình đặc được giới hạn bởi một bề mặt, sao cho tất cả các đường thẳng rơi trên nó từ một điểm nằm bên trong hình đó đều bằng nhau", tức là, tương tự như cách định nghĩa hình tròn trong "Nguyên tắc" (quyển I, định nghĩa thứ 15); Thật thú vị khi lưu ý rằng chính Euclid trong cuốn sách XI của "Sự khởi đầu" đã định nghĩa hình cầu theo một cách khác - như một vật thể được hình thành bởi sự quay của hình bán nguyệt quanh một đường kính cố định (sách XI, định nghĩa thứ 14). Hơn nữa, định nghĩa về tâm của hình cầu, trục và các cực của nó được đưa ra. Cực của một đường tròn được vẽ trên một hình cầu được xác định là. một điểm trên bề mặt của hình cầu sao cho tất cả các đường kẻ qua nó theo chu vi của hình tròn đều bằng nhau. Cuối cùng, định nghĩa thứ sáu liên quan đến các đường tròn trên mặt cầu cách đều tâm của nó: theo Theodosius, đây là những đường tròn sao cho các đường vuông góc vẽ từ tâm quả cầu đến mặt phẳng của chúng bằng nhau.
Các câu của cuốn 1 khá sơ đẳng: chứng minh; Cụ thể, rằng bất kỳ phần nào của một mặt cầu bởi một mặt phẳng là một đường tròn, một đường thẳng vẽ từ tâm của hình cầu đến tâm của một phần tròn vuông góc với mặt phẳng của phần này, thì mặt cầu và mặt phẳng đó có một điểm liên hệ, v.v.
Quyển 2 của Theodosius 'Spheres bắt đầu với định nghĩa của hai đường tròn trên một hình cầu chạm vào nhau và có 23 câu về tính chất của các đường tròn nghiêng vào nhau.
Quyển thứ ba gồm 14 câu, phức tạp hơn các câu trước, đề cập đến hệ thức các đường tròn song song và cắt nhau trên một mặt cầu. Ở đây vai trò phục vụ của quả cầu trong mối quan hệ với thiên văn học được làm rõ, mặc dù tất cả các định lý đều được xây dựng và chứng minh thuần túy về mặt hình học.
"Quả cầu" của Theodosius đã được nghiên cứu cẩn thận cả trong thời cổ đại và thời Trung cổ. Nó đã được nhận xét bởi Pappus của Alexandria (thế kỷ thứ 3) trong cuốn sách thứ 6 của Bộ sưu tập Toán học của ông. Vào thế kỷ VI. John Philopon, khi xem xét các bài viết về quả cầu của Euclid, Autolik và Theodosius, lưu ý rằng tác phẩm sau đưa ra cách trình bày trừu tượng chung nhất về chủ đề, hoàn toàn trừu tượng khỏi các đối tượng thiên văn thực. Autolik, theo ý kiến của mình, xem xét một trường hợp cụ thể hơn, vì "ngay cả khi tác giả không nghĩ đến bất kỳ vật thể cụ thể nào, thì nhờ sự kết hợp của một hình cầu và chuyển động, anh ta tiếp cận thực tế." Vấn đề đặc biệt nhất được xử lý trong "Hiện tượng" của Euclid, vì các đối tượng được nghiên cứu bởi thiên văn học - bầu trời, mặt trời, các ngôi sao, hành tinh - là khá thực.
Theodosius lần đầu tiên dịch "Sphere" sang tiếng Ả Rập vào thế kỷ thứ 9. Kusta ibn Luka al-Baalbaki; Bản dịch của ông, đến câu thứ 5 của Quyển II, được hoàn thành bởi Thabit ibn Korra al-Harrani.
Có rất nhiều bình luận về điều này, cũng như về các tác phẩm khác của Theodosius, được biên soạn bởi các học giả phương Đông của thế kỷ 13-15. , trong số đó có các nhà toán học và thiên văn học nổi tiếng như Nasir ad-Din at-Tusi (1201 - 1274), Yahya ibn Muhammad ibn Abi Shukr Mukhi ad-Din al-Maghribi (d. c. 1285), Muhammad ibn Ma "ruf ibn Ahmad Taqi ad- Din (1525 / 1526-1585) và những người khác.
Chế biến Theodosius 'Sphere, thuộc sở hữu của một đại diện của trường khoa học Maraga nổi tiếng của thế kỷ 13. Muhi ad-Din al-Maghribi, được B. Kappa de Vaux nghiên cứu và dịch một phần sang tiếng Pháp. Chuyên luận này thu hút sự chú ý đến thuật ngữ thiên văn, được sử dụng trong việc trình bày và chứng minh các định lý của Theodosius. Vì vậy, ở đây, thậm chí rõ ràng hơn so với nguyên bản tiếng Hy Lạp, sự kết nối của quả cầu với thiên văn học đã xuất hiện, điều này giải thích sự liên quan của nó với khoa học phương Đông.
Ở châu Âu, Theodosius 'Sphere được biết đến vào thế kỷ 12, khi hai bản dịch tiếng Latinh của tác phẩm này từ bản tiếng Ả Rập xuất hiện. Chúng được thực hiện bởi các dịch giả lỗi lạc từng làm việc ở Tây Ban Nha, Gerardo ở Cremona và Plato ở Tivoli. Bản dịch sau này được xuất bản năm 1518 tại Venice, sau đó được tái bản vào năm 1529 trong ấn bản của I. Voegelin (I. Voegelin, mất năm 1549), và năm 1558 - cuốn sách được đề cập của F. Mavroliko.
Văn bản tiếng Hy Lạp của "Spheres" được xuất bản lần đầu tiên vào năm 1558 bởi J. Pena cùng với bản dịch tiếng Latinh. Ấn bản này có thể làm rõ sự khác biệt giữa phiên bản tiếng Ả Rập của công trình của Theodosius và bản gốc và thiết lập những bổ sung và thay đổi trong việc chứng minh các định lý đã được các nhà khoa học phương Đông thực hiện. Tuy nhiên, bản thảo tiếng Hy Lạp mà Pena sử dụng còn nhiều thiếu sót. Do đó, vào năm 1707 tại Oxford, I. Hunt đã tiến hành một ấn bản mới và cải tiến, sửa một số bản thảo khác. Sau đó, văn bản tiếng Hy Lạp của tác phẩm (cũng có bản dịch tiếng Latinh) được tái bản hai lần nữa: năm 1862 bởi E. Nice và năm 1927 bởi I. Geiberg.
Bắt đầu từ nửa sau của thế kỷ 16, các phiên bản rút gọn và điều chỉnh của Quả cầu bắt đầu xuất hiện bằng tiếng Latinh, trong đó các định lý được giải thích bằng cách sử dụng các khái niệm toán học mới và sử dụng lượng giác cầu. Năm 1586, một ấn bản của X. Clavius (Ch. Clavius) được xuất bản ở Rome, và vào thế kỷ 17. Tiếp theo là một số ấn bản khác, bao gồm các ấn bản của M. Mersenne (1644) và I. Barrow (1675).
Năm 1826, The Sphere được xuất bản trong bản dịch tiếng Đức của E. Nice. Ấn bản thứ hai tại Đức của tác phẩm được A. Chvalina thực hiện vào năm 1931 (cùng với các chuyên luận của Autolik). Bản dịch tiếng Pháp đầu tiên của "Spheres", do D. Henrion thực hiện, được xuất bản năm 1615, bản tiếp theo do J.B. Dugamel (J. V. Du Hamel), - năm 1660; cuối cùng, vào năm 1927, một bản dịch hiện đại của P. Ver Eecke đã xuất hiện.
Các công trình của nhiều nhà sử học toán học (A. Knock, I. Geiberg, F. Gulch, P. Tannery, A. Bjornbo, v.v.) được dành cho việc nghiên cứu văn bản và nội dung của Theodosius 'Sphere trong III- Thế kỷ VII. và được lưu giữ trong các bản viết tay Hy Lạp của thời gian sau đó, mối quan hệ giữa "Quả cầu" của Theodosius và "Hiện tượng" của Euclid và các tác phẩm khác của các tác giả cổ đại đã được xem xét. Kết quả của những nghiên cứu này có thể làm sáng tỏ một số câu hỏi liên quan đến lịch sử toán học và thiên văn học, cũng như tiểu sử của Euclid, Autolik, Theodosius và một số nhà bình luận về các tác phẩm của họ.
6. Nội dung của tác phẩm Hy Lạp về quả cầu gần với tác phẩm nhỏ của Hypsicles từ Alexandria (sống giữa năm 200 và 100 trước Công nguyên), có tựa đề “Trên đỉnh của các chòm sao dọc theo hoàng đạo” (“Anaphoric”). Hypsicles được biết đến nhiều nhất với tư cách là tác giả của một chuyên luận về khối đa diện đều, được đưa vào Các yếu tố của Euclid như Quyển XIV; một tác phẩm khác của ông, về các số đa giác, không tồn tại, được trích dẫn trong Số học của Diophantus.
Trong chuyên luận "Về sự đi lên của các chòm sao trên hoàng đạo", bao gồm sáu câu, vấn đề được giải quyết là xác định thời gian cần thiết để mọc hoặc lặn của mỗi cung hoàng đạo, chiếm 1/12 của hoàng đạo, hoặc "độ", tức là 1/30 phần của đường hoàng đạo. Bà đóng một vai trò quan trọng trong lý luận chiêm tinh và do đó rất được yêu thích trong thời cổ đại và thời Trung cổ. Bài toán có thể được giải bằng phương pháp lượng giác cầu, nhưng Hypsicles, người chưa có phương tiện đó, đã giải nó một cách gần đúng, bằng cách sử dụng các định lý về số đa giác mà anh ta đã biết. Trong tác phẩm này, lần đầu tiên có sự phân chia chu vi hình tròn thành 360 phần, điều này không xảy ra với những người tiền nhiệm của ông và đặc biệt là với Autolik.
Luận về Hypsicles là một trong những "cuốn sách trung đại" và được dịch sang tiếng Ả Rập vào thế kỷ thứ 9. Có rất nhiều bản thảo của bản dịch này, nhưng nó vẫn chưa được khám phá trong một thời gian dài và nó không được xác định chính xác liệu Kusta ibn Luka, al-Kindi hay Ishaq ibn Hunayn đã thực hiện nó. Ông đã dịch bản tiếng Ả Rập của tác phẩm sang tiếng Latinh vào thế kỷ 12. Gerardo của Cremona.
Một ấn bản quan trọng của nguyên bản tiếng Hy Lạp và bản dịch tiếng Latinh của Gerardo ở Cremona đã được K. Manitius thực hiện vào năm 1888. Ấn bản thứ hai, xuất bản năm 1966, bao gồm văn bản tiếng Hy Lạp, scholia và bản dịch của W. De Falco, văn bản tiếng Ả Rập và bản dịch tiếng Đức của M. Krause, và một bài giới thiệu của O. Neugebauer.
7. Trong số tất cả các tác phẩm cổ đại về quả cầu, vai trò lớn nhất trong lịch sử khoa học là do "Quả cầu" của Menelaus, người làm việc ở Alexandria vào thế kỷ 1 trước Công nguyên, đóng vai trò quan trọng nhất. N. e. và tóm tắt tất cả các kết quả đã thu được trong lĩnh vực này trước anh ta. Trong tác phẩm của ông, không chỉ hình học trên mặt cầu được nêu ra, mà tam giác cầu lần đầu tiên được giới thiệu, các định lý làm cơ sở của lượng giác cầu liên tiếp được chứng minh, và cơ sở lý thuyết cho các phép tính lượng giác được tạo ra.
Thông tin về cuộc đời của Menelaus vô cùng khan hiếm. Được biết, vào năm 98, ông đã thực hiện các quan sát thiên văn tại Rome. The Sphere, tác phẩm chính của ông, không được lưu giữ trong nguyên bản tiếng Hy Lạp và chỉ được biết đến từ các bản dịch tiếng Ả Rập thời trung cổ.
Sphere bao gồm ba cuốn sách và được mô phỏng theo các Phần tử của Euclid. Trước hết, các định nghĩa về các khái niệm cơ bản được đưa ra, bao gồm cả khái niệm tam giác cầu, điều này không có trong các tác phẩm của Hy Lạp trước đó. Một phần đáng kể của công việc được dành cho việc nghiên cứu các tính chất của hình này.
Khi chứng minh các mệnh đề về tính chất của các đường và hình trên một hình cầu, ông dựa vào các định nghĩa và định lý từ Theodosius 'Sphere. Trong cuốn sách thứ hai, các định lý này, cũng như các mệnh đề được xây dựng dưới dạng thiên văn trong Hiện tượng Euclid và Tương tự của Hypsicles, được hệ thống hóa và cung cấp các chứng minh chặt chẽ mới.
Một vai trò đặc biệt quan trọng trong lịch sử lượng giác đã được đóng bởi câu đầu tiên của cuốn III, được gọi là “định lý Menelaus” (cũng như “định lý về tứ giác hoàn chỉnh”, “quy tắc của sáu đại lượng”, “định lý về phép ngang ”). Theo lời của A. Braunmühl, nó là "nền tảng của toàn bộ lượng giác hình cầu của người Hy Lạp."
Định lý Menđen cho trường hợp phẳng được xây dựng như sau: Cho các đường thẳng AB, AC, BE và CD cắt nhau tạo thành hình ACGB (Hình 1), cho trước; thì các quan hệ sau giữ:
CE / AE = CG / DG * DB / AB, CA / AE = CD / DG * GB / BE
Đối với trường hợp hình cầu, trong định lý, như thường lệ trong lượng giác Hy Lạp, các hợp âm của các cung gấp đôi xuất hiện. Nếu hình ACGB (Hình 2) được cho trước, được tạo thành bởi các cung của các đường tròn lớn trên bề mặt của một hình cầu, thì các quan hệ là hợp lệ:
chord (2CE) / chord (2AE) = chord (2CG) / chord (2DG) * chord (2DB) / chord (2AB)
chord (2AC) / chord (2AE) = chord (2CD) / chord (2DG) * chord (2GB) / chord (2BE)
Menelaus cũng chứng minh một số định lý khác có tầm quan trọng cơ bản đối với sự phát triển của lượng giác cầu. Chúng bao gồm cái gọi là "quy tắc tứ trọng" (câu thứ 2 của cuốn III); Nếu cho hai tam giác ABC và DEG (Hình 3), tương ứng có các góc A và D, C và G bằng nhau (hoặc cộng tới 180 °), thì
chord (2AB) / chord (2BC) = chord (2DE) / chord (2EG)
Câu thứ ba của cuốn sách III về "Những quả cầu" của Menelaus, mà sau này được gọi là "quy tắc của tiếp tuyến", đọc; điều gì sẽ xảy ra nếu hai tam giác vuông góc ABC và DEG (Hình 4) được cho chord (2AB) / chord (2AC) = chord (2ED) / chord (2GD) * chord (2BH) / chord (2ET) 1. Geiberg I.L. Khoa học tự nhiên và toán học trong thời cổ đại cổ điển. Bản dịch từ anh ấy. S.P. Kondratiev, biên tập. với lời nói đầu A.P. Yushkevich, M-L., ONTI, 1936. 2. Sarton G. Sự đánh giá cao của khoa học cổ đại và trung cổ trong thời kỳ Phục hưng, Philadelphia, 1953. 3 Steinschneider M. Die "mittleren" Bücher der Araber und ihre Bearbeiter, "Zeitschr. Für Math. U. Phys.", Bd 10, 1.865, 456-498. 4. Suter H. Die Mathematiker und Astronomen der Araber und ihre Werke, "Abhandl. Zur Gesch. D. Math. Wiss.", N. 10, Leipzig, 1900. 5. Björnbo A. Studienüber Menelaus Sphärik. Beiträge zur Geschichte der Sphärik und Trigonometrie der Griechen, "Abhandl. Zur Gesch. D. Toán học. Wiss.", H. 14, Leipzig, 1902. 6. Mogenet J. Autolycos de Pitane. Histoire du texte, suivie de l "édition phê bình des traités de la Sphère en mouvement et des levers et couchers, Louvain, 1950. 7. Theodosii Shpaericorum elementorum Libri III. Ex traditione Mauro-lyci ... Menelai Sphaericorum lib. III. Ex traditione eiusdem. Maurolyci, Sphaericorum libri II. Autolyci. De sphaera quae movetur liber. Theodosii. Không có thói quen. Euclidis Phaenomena brevissime biểu tình. Demonstratio et praxis trium tabellarum scilicet xoang recti, foecundae, et Beneficae ad bridgeraiia triangula pertinentum. Compendium mathematicae mira brevitate ex clarissimis tác giả. Maurolyci de sphaera sermo. Messanae, 1558. 8. Mersenne M. Universaenticriae mixtaeque mathematicae tóm tắt, Parisiis, 1644. 9. Auto1yci. De Sphaera quae movetur liber. D.e ortibus et allowibus libri duo, liễu kiêm scholiis antiquis o libris manuscriptis edidit, latinapretatione et commentariis Instxit F. Hultsch, Leipzig, 1885. 10. Euclidis. Opera omnia. Ed. J. L. Heiberg và H. Menge, t. VIII. Phaenomena et scripta musica, Leipzig, 1916. 11. Cơ sở thuộc da P. Recherches sur l "histoire sur l" astronomie ancienne, Paris, 1893. 12. Carra de Vaux B. Thông báo sur deux manuscrits arabes. I. Remaniement des sphériques de Théodose par labia ibn Muhammad ihn Abi Schukr Almaghribi Aiandalusî, "Journal asiatique", sér., T. 17, 1894, 287-295. 13. Kính ba chiều Theodosius. Sphaerica. Hrsg, von J. L. Heiberg, "Abhandl. D. G.es. d. Wissenschaosystem zu Göttihgen", phil. hist, Klasse, N. F., Bd 19, No 3, Berlin, 1927. 14. Hypsikles Die Aufgangszeiten der Gestirne, hrsg. und übers, von V. De Falco và M. Krause. Einführung von O. Neugebauer, "Abhandl. D. Akademie d. Wiss. Zu Göttingen", phil-hist. Kl., F. 3, No 62, Göttingen, 1966. 15. Krause M. Die Sphärik von Menelaos von Alexandrien in der Verbesserung von Abu Nasr Mansur b. Ali b. Iraq mit Untersuchungen zur Geschichte des Textes bei den islamischen Mathematikern, Berlin, 1936. Ghi chú Một bản sao của ấn bản hiếm này hiện có trong Thư viện. TRONG VA. Lê-nin. Một bản sao có sẵn trong Thư viện của Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô. GIẢI PHÓNG THỂ THAO lượng giác, ngành toán học nghiên cứu các mối quan hệ giữa các góc và các cạnh của tam giác cầu (xem hình học cầu). Gọi A, B, C là các góc và a, b, c là các cạnh đối diện của hình cầu tam giác ABC (xem hình vẽ). Các góc và các cạnh của một tam giác hình cầu được nối với nhau bằng các công thức cơ bản sau đây của S. t: cos a cos b cos c + sin b sin c cos A, (2) cos A - cos B cos C + sin B sin C cos a, (21) sin a cos B cos b sin c - sin b cos c cos A, (3) sin A cos b cos B sin C + sin B cos C cos a; (31) Trong các công thức này, các cạnh a, b, c được đo bằng các góc tương ứng ở tâm, độ dài các cạnh này lần lượt là aR, bR, cR, trong đó R là bán kính của mặt cầu. Bằng cách thay đổi ký hiệu của các góc (và các cạnh) theo quy tắc hoán vị vòng tròn: A - B - C - A (a - b - c - a), bạn có thể viết các công thức S. t khác tương tự như công thức đã chỉ ra. Các công thức của tam giác cầu giúp ta có thể xác định ba yếu tố còn lại từ ba yếu tố bất kỳ của tam giác cầu (để giải tam giác). Đối với tam giác cầu có góc vuông (A 90 |, a - cạnh huyền, b, c - chân), công thức S. t được đơn giản hóa, ví dụ: sin b sin a sin V, (1 ") cos a cos b cos c, (2 ") sin a cos B cos b sin c. (3 ") Để có được công thức nối các phần tử của một tam giác cầu vuông, bạn có thể sử dụng quy tắc ghi nhớ sau (quy tắc Napier): nếu bạn thay các phần chân của một tam giác hình cầu góc vuông bằng phần phụ của chúng và sắp xếp các phần tử của tam giác (không bao gồm góc vuông A) xung quanh đường tròn theo thứ tự nằm trong tam giác (nghĩa là: B, a, C, 90 | - b, 90 | - c) thì cosin của mỗi phần tử bằng sản phẩm của các sin của các phần tử không liền kề, ví dụ, cos a sin (90 | - c) sin (90 | - b) hoặc, sau khi biến đổi, cos a cos b cos c (công thức 2 "). Khi giải quyết vấn đề, các công thức Delambre sau đây rất tiện lợi, kết nối tất cả sáu phần tử của một tam giác hình cầu: Khi giải nhiều bài toán về thiên văn cầu, tùy theo độ chính xác yêu cầu, thường dùng công thức gần đúng là đủ: đối với tam giác cầu nhỏ (nghĩa là những tam giác có cạnh nhỏ so với bán kính của mặt cầu) thì có thể sử dụng công thức của lượng giác mặt phẳng; đối với hình tam giác hình cầu hẹp (nghĩa là những hình tam giác có một cạnh, ví dụ a, nhỏ so với những hình khác), áp dụng các công thức sau: hoặc các công thức chính xác hơn: S. t xuất hiện sớm hơn nhiều so với lượng giác phẳng. Các tính chất của tam giác cầu vuông góc, được biểu thị bằng công thức (1 ") - (3"), và các trường hợp nghiệm khác nhau của chúng đã được biết đến ngay cả với các nhà khoa học Hy Lạp Menelaus (thế kỷ 1) và Ptolemy (thế kỷ 2). Các nhà khoa học Hy Lạp đã giảm giải pháp của tam giác cầu xiên thành lời giải của hình chữ nhật. Nhà khoa học người Azerbaijan Nasiraddin Tuei (thế kỷ 13) đã xem xét một cách có hệ thống tất cả các trường hợp giải tam giác cầu xiên, lần đầu tiên chỉ ra lời giải trong hai trường hợp khó nhất. Các công thức cơ bản cho tam giác cầu xiên được tìm ra bởi nhà khoa học Ả Rập Abul-Vefa (thế kỷ 10) [công thức (1)], nhà toán học người Đức I. Regiomontan (giữa thế kỷ 15) [các công thức như (2)], và người Pháp nhà toán học F. Viet (nửa cuối thế kỷ 16) [công thức loại (21)] và L. Euler (Nga, thế kỷ 18) [công thức loại (3) và (31)]. Euler (1753 và 1779) đã đưa ra toàn bộ hệ thống công thức cho S. T. Một số công thức cho S. T. thuận tiện cho việc thực hành được thiết lập bởi nhà toán học Scotland J. Napier (cuối thế kỷ 16 - đầu thế kỷ 17, nhà toán học người Anh G. thế kỷ 17), nhà thiên văn học người Nga. A. I. Leksel (nửa sau thế kỷ 18), nhà thiên văn học người Pháp J. Delambre (cuối thế kỷ 18 - đầu thế kỷ 19), và những người khác. Lít xem tại Art. hình học hình cầu. Đại bách khoa toàn thư Liên Xô, TSB.
2012
Lượng giác hình cầu trong Từ điển Bách khoa toàn thư: Định nghĩa "Lượng giác cầu" của TSB: Trong các công thức này, các cạnh a, b, c được đo bằng các góc ở tâm tương ứng, độ dài các cạnh này lần lượt là aR, bR, cR, trong đó R là bán kính của mặt cầu. Thay đổi chỉ định của các góc (và các cạnh) theo quy tắc hoán vị vòng: Để có được các công thức liên hệ các yếu tố của một tam giác cầu vuông, bạn có thể sử dụng quy tắc ghi nhớ sau (quy tắc Napier): nếu bạn thay các chân của một tam giác cầu vuông bằng các phần phụ của chúng và sắp xếp các yếu tố của tam giác (không bao gồm góc vuông A) xung quanh đường tròn theo thứ tự trong tam giác (nghĩa là: B, a, C, 90 ° - b, 90 ° - c), thì cosin của mỗi phần tử bằng sản phẩm của các sin của các phần tử không liền kề, ví dụ, sin 1⁄2a sin 1⁄2 (B − C) = cos 1⁄2A sin 1⁄2 (b − c) cos 1⁄2a cos 1⁄2 (B + C) = sin 1⁄2A cos 1⁄2 (b + c) cos 1⁄2a sin 1⁄2 (B + C) = cos 1⁄2A cos 1⁄2 (b − c) S. t xuất hiện sớm hơn nhiều so với lượng giác phẳng. Các tính chất của tam giác cầu vuông góc, được biểu thị bằng công thức (1) - (3), và các trường hợp khác nhau của nghiệm của chúng đã được các nhà khoa học Hy Lạp Menelaus (thế kỷ 1) và Ptolemy (thế kỷ 2) biết đến. Các nhà khoa học Hy Lạp đã giảm giải pháp của tam giác cầu xiên thành lời giải của hình chữ nhật. Nhà khoa học người Azerbaijan Nasiraddin Tuei (thế kỷ 13) đã xem xét một cách có hệ thống tất cả các trường hợp giải tam giác cầu xiên, lần đầu tiên chỉ ra lời giải trong hai trường hợp khó nhất. Các công thức cơ bản cho tam giác cầu xiên được tìm ra bởi nhà khoa học Ả Rập Abul-Vefa (thế kỷ 10) [công thức (1)], nhà toán học người Đức I. Regiomontan (giữa thế kỷ 15) [các công thức như (2)], và người Pháp nhà toán học F. Viet (nửa cuối thế kỷ 16) [công thức loại (21)] và L. Euler (Nga, thế kỷ 18) [công thức loại (3) và (31)]. Euler (1753 và 1779) đã đưa ra toàn bộ hệ thống công thức cho S. T. Một số công thức cho S. T. thuận tiện cho việc thực hành được thiết lập bởi nhà toán học Scotland J. Napier (cuối thế kỷ 16 - đầu thế kỷ 17, nhà toán học người Anh G. thế kỷ 17), nhà thiên văn học người Nga. A. I. Leksel (nửa sau thế kỷ 18), nhà thiên văn học người Pháp J. Delambre (cuối thế kỷ 18 - đầu thế kỷ 19), và những người khác. 
VĂN CHƯƠNG
Xem thêm các cách giải nghĩa, từ đồng nghĩa, nghĩa của từ và từ điển hình học là gì trong tiếng Nga trong từ điển, bách khoa toàn thư và sách tham khảo:
một nhánh của toán học nghiên cứu các mối quan hệ giữa các cạnh và góc của các tam giác cầu (nghĩa là các tam giác nằm trên một mặt cầu) được hình thành khi ...
(từ tiếng Hy Lạp trigonon - tam giác và ... số liệu) một nhánh của toán học nghiên cứu các hàm lượng giác và các ứng dụng của chúng cho ...
(từ tiếng Hy Lạp. trigonon - tam giác - metrics), một nhánh của toán học nghiên cứu các hàm lượng giác và các ứng dụng của chúng trong hình học. …
(từ tiếng Hy Lạp trigonon - tam giác và ... mét), một nhánh của toán học nghiên cứu các hàm lượng giác và các ứng dụng của chúng trong hình học. Chia …
và, làm ơn. Hiện nay. Ngành toán học nghiên cứu mối quan hệ giữa các cạnh và góc của một tam giác. Lượng giác - liên quan đến lượng giác. || cf. ĐẠI SỐ HỌC, ...
, -nếu. Ngành toán học nghiên cứu mối quan hệ giữa các cạnh và góc của một tam giác. II điều chỉnh. lượng giác, -th, ...
TRIGONOMETRY (từ tiếng Hy Lạp. Trigonon - tam giác và ... thước đo), một phần của toán học, trong đó lượng giác được nghiên cứu. các chức năng và ứng dụng của chúng để ...
BÀI TOÁN HÌNH HỌC, một nhánh của toán học trong đó nghiên cứu các mối quan hệ giữa các cạnh và góc của các vật thể hình cầu. hình tam giác (tức là hình tam giác trên bề mặt của hình cầu) được tạo thành bởi ...
HÌNH HỌC SPHERICAL, một nhánh của toán học trong đó geom được nghiên cứu. các hình trên mặt cầu. Phát triển S.g. đồ cổ của thời cổ đại gắn liền với nhiệm vụ ...
SPHERICAL ASTRONOMY, một nhánh của thiên văn học phát triển toán học. các phương pháp giải quyết các vấn đề liên quan đến việc nghiên cứu vị trí biểu kiến và chuyển động của không gian. cơ thể (sao, mặt trời, ...
HIỆN TƯỢNG KHẮC PHỤC, biến dạng hình ảnh trong quang học. hệ thống do thực tế là các tia sáng từ một nguồn điểm nằm trên quang. trục ...
lượng giác, lượng giác, lượng giác, lượng giác, lượng giác, lượng giác, lượng giác, lượng giác, lượng giác, lượng giác, lượng giác, lượng giác, lượng giác, lượng giác, lượng giác, lượng giác, lượng giác ...
(gr. tam giác lượng giác + ... metrics) một nhánh của toán học nghiên cứu các hàm lượng giác và ứng dụng của chúng để giải các bài toán, ch. arr. hình học; …
[gr. tam giác lượng giác + ... metrics] nhánh toán học nghiên cứu các hàm số lượng giác và ứng dụng của chúng để giải các bài toán, ch. arr. hình học; t…
lượng giác ...
trigonomy ʻetria, ...
ngành toán học nghiên cứu các mối quan hệ giữa các cạnh và góc ...
người Hy Lạp toán học về tam giác; khoa học tính toán điều đó bằng cách xây dựng các tam giác. - khảo sát thực nghiệm và đo tam giác, khảo sát địa hình theo ...
(từ tiếng Hy Lạp trigonon - tam giác và ... số liệu), một nhánh của toán học nghiên cứu các hàm lượng giác và các ứng dụng của chúng cho ...
lượng giác, pl. Hiện nay. (từ tiếng Hy Lạp trigonos - tam giác và metreo - đo lường) (mat.). Bộ môn hình học về mối quan hệ giữa các mặt ...
lượng giác Một nhánh của toán học nghiên cứu các hàm lượng giác và ứng dụng của chúng để giải ...
ổn. Một nhánh của toán học nghiên cứu các hàm lượng giác và ứng dụng của chúng để giải ...
ổn. Một nhánh của toán học nghiên cứu các hàm lượng giác và ứng dụng của chúng để giải ...
hình học, một ngành toán học nghiên cứu các hình ảnh hình học nằm trên một mặt cầu, cũng giống như phép đo phẳng nghiên cứu các hình ảnh hình học nằm trên một mặt phẳng. Mỗi…
Các kiểu dáng cây cảnh Trong tự nhiên, dáng vẻ của cây cối được hình thành tùy thuộc vào nơi sinh trưởng và chịu tác động của các yếu tố tự nhiên. Thân cây...
SPHERICAL - xem viên đạn ...
- một bề mặt hình cầu nằm phía trên mái hiên trong phòng. Lớp đệm tạo ra sự chuyển tiếp từ mặt phẳng của tường sang bề mặt ...
, một chi cá. cá cơm. cá trích. 8 loài, phân bố ở các vùng nước biển ven bờ thuộc khu vực nhiệt đới và ôn đới của cả hai bán cầu. …
Chumakov (Fyodor Ivanovich) - giáo sư toán ứng dụng trường Đại học Tổng hợp Matxcova (1782 - 1837). Là con trai của một thuyền trưởng, anh được nhận vào số ...
Savich (Aleksey Nikolaevich, 1810 - 1883) - nhà thiên văn học nổi tiếng người Nga, thành viên Viện Hàn lâm Khoa học (từ năm 1862); năm 1829 ông tốt nghiệp ...
Green (Semyon Ilyich) - Đô đốc (1810 - 1892). Ông được nuôi dưỡng trong quân đoàn hải quân. Ông đã hoàn thành chương trình giáo dục thiên văn của mình tại Yuryev, dưới sự hướng dẫn của ...
rectilinear, một phần của mặt phẳng giới hạn bởi ba đoạn thẳng (các cạnh của chữ T.), có một đầu chung theo cặp (các đỉnh của chữ T.). T., người đã ...
tam giác, một hình hình học được tạo thành bởi các cung của ba vòng tròn lớn nối ba điểm bất kỳ trên hình cầu theo cặp. Về các thuộc tính của S. t. Và ...
(toán học), một mặt kín, tất cả các điểm cách đều một điểm (tâm S.). Đoạn thẳng nối tâm S. với ...
(German Super-Schmidt-Spiegel), một hệ thống kính thiên văn thấu kính gương trong đó quang sai cầu của gương cầu lõm được hiệu chỉnh bằng sự kết hợp phức tạp của tấm hiệu chỉnh Schmidt (xem ...
Lượng giác hình cầu là một nhánh của toán học nghiên cứu các mối quan hệ giữa các cạnh và góc của các tam giác cầu (có nghĩa là các tam giác trên bề mặt của một hình cầu) được hình thành khi ba đường tròn lớn cắt nhau. Lượng giác hình cầu có liên quan chặt chẽ đến thiên văn học hình cầu.
Lượng giác mặt cầu là một chuyên ngành toán học nghiên cứu các mối quan hệ giữa các góc và các cạnh của các tam giác cầu (xem Hình học mặt cầu). Gọi A, B, C là các góc và a, b, c là các cạnh đối diện của hình cầu tam giác ABC (xem hình vẽ). Các góc và các cạnh của một tam giác hình cầu được nối với nhau bằng các công thức cơ bản sau đây của S. t:
tội lỗi a
tội lỗi A =
sinb
tội lỗi B =
tội lỗi c
tội lỗi C,
(1)
cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A,(2)
cos A = - cos B cos C + sin B sin C cos a,(21)
sin a cos B = cos b sin c - sin b cos c cos A,(3)
sin A cos b = cos B sin C + sin B cos C cos a;(31)
A → B → C → A (a → b → c → a), người ta có thể viết các công thức S. t khác tương tự như đã chỉ ra. Các công thức của tam giác cầu giúp ta có thể xác định ba yếu tố còn lại từ ba yếu tố bất kỳ của tam giác cầu (để giải tam giác).
Đối với tam giác cầu có góc vuông (A \ u003d 90 °, a là cạnh huyền, b, c là chân), công thức S. t được đơn giản hóa, ví dụ:
sin b \ u003d sin a sin B,(một')
cos a = cos b cos c,(2 ')
sin a cos B = cos b sin c.(3 ')
cos a \ u003d sin (90 ° - c) sin (90 ° - b)
hoặc, sau khi biến đổi,
cos a = cos b cos c (công thức 2 ′).
Khi giải quyết vấn đề, các công thức Delambre sau đây rất tiện lợi, kết nối tất cả sáu phần tử của một tam giác hình cầu:
sin 1⁄2a cos 1⁄2 (B − C) = sin 1⁄2A sin 1⁄2 (b + c)
Khi giải nhiều bài toán về thiên văn cầu, tùy theo độ chính xác yêu cầu, thường dùng công thức gần đúng là đủ: đối với tam giác cầu nhỏ (nghĩa là những tam giác có cạnh nhỏ so với bán kính của mặt cầu) thì có thể sử dụng công thức của lượng giác mặt phẳng; đối với hình tam giác hình cầu hẹp (nghĩa là những hình tam giác có một cạnh, ví dụ a, nhỏ so với những hình khác), áp dụng các công thức sau: (một'")
a cos B ≈ c − b
+
aІ
2
sinІ B
tg c.
(3 ′ ″)
Lít xem tại Art. hình học hình cầu.
Cơm. đến Nghệ thuật. Lượng giác mặt cầu.
Tư liệu thông tin "góc bạn đọc trẻ"
Tiến sĩ xa để tiêu diệt
Mua axit sunfuric ở đâu?