Nếu bạn đã quen thuộc với vòng tròn lượng giác và bạn chỉ muốn làm mới các phần tử riêng lẻ trong bộ nhớ của mình hoặc bạn hoàn toàn thiếu kiên nhẫn, thì đây là:

Ở đây chúng tôi sẽ phân tích mọi thứ chi tiết từng bước.

Đường tròn lượng giác không phải là xa xỉ phẩm mà là nhu cầu cần thiết

Lượng giác nhiều người được kết hợp với một bụi rậm không thể vượt qua. Đột nhiên, rất nhiều giá trị của các hàm lượng giác chồng chất lên nhau, rất nhiều công thức ... Nhưng có vẻ như, lúc đầu nó không thành công, và ... cứ lặp đi lặp lại ... hoàn toàn là hiểu lầm ...

Điều rất quan trọng là không được vẫy tay với giá trị của các hàm lượng giác, - họ nói, bạn luôn có thể nhìn vào sự thúc đẩy với một bảng giá trị.

Nếu bạn thường xuyên nhìn vào bảng giá trị của các công thức lượng giác thì hãy bỏ thói quen này đi nhé!

Sẽ cứu chúng ta! Bạn sẽ làm việc với nó nhiều lần, và sau đó nó sẽ tự hiện lên trong đầu bạn. Tại sao nó tốt hơn một cái bàn? Có, trong bảng, bạn sẽ tìm thấy một số giá trị giới hạn, nhưng trên vòng tròn - MỌI THỨ!

Ví dụ, nói, nhìn vào bảng tiêu chuẩn các giá trị của công thức lượng giác , là sin của, giả sử, 300 độ, hoặc -45.

Không thể nào? .. tất nhiên bạn có thể kết nối công thức giảm... Và nhìn vào đường tròn lượng giác, bạn có thể dễ dàng trả lời những câu hỏi như vậy. Và bạn sẽ sớm biết làm thế nào!

Và khi giải các phương trình và bất phương trình lượng giác mà không có đường tròn lượng giác - chẳng đâu vào đâu cả.

Giới thiệu về đường tròn lượng giác

Hãy đi theo thứ tự.

Đầu tiên, hãy viết ra một dãy số sau:

Và bây giờ là:

Và cuối cùng là cái này:

Tất nhiên, rõ ràng là, trên thực tế, ở vị trí đầu tiên là, ở vị trí thứ hai là, và cuối cùng là -. Tức là chúng ta sẽ quan tâm đến chuỗi hơn.

Nhưng nó đẹp làm sao! Trong trường hợp đó, chúng tôi sẽ khôi phục "chiếc thang tuyệt vời" này.

Và tại sao chúng ta cần nó?

Chuỗi này là các giá trị chính của sin và cosine trong quý đầu tiên.

Hãy vẽ một đường tròn có bán kính đơn vị trong một hệ tọa độ hình chữ nhật (nghĩa là, chúng ta lấy bất kỳ bán kính nào dọc theo chiều dài và khai báo chiều dài của nó là đơn vị).

Từ chùm "0-Start", chúng tôi đặt các góc theo hướng mũi tên (xem Hình).

Ta nhận được các điểm tương ứng trên hình tròn. Vì vậy, nếu chúng ta chiếu các điểm lên mỗi trục, thì chúng ta sẽ nhận được chính xác các giá trị từ chuỗi trên.

Sao bạn hỏi vậy?

Đừng tách rời mọi thứ. Coi như nguyên tắc, điều này sẽ cho phép bạn đối phó với các tình huống tương tự khác.

Tam giác AOB là tam giác vuông với. Và chúng ta biết rằng góc đối diện tại nằm một góc nhỏ gấp đôi cạnh huyền (cạnh huyền của chúng ta = bán kính của đường tròn, tức là, 1).

Do đó, AB = (và do đó OM =). Và theo định lý Pitago

Tôi hy vọng một cái gì đó là rõ ràng bây giờ.

Vì vậy, điểm B sẽ tương ứng với giá trị và điểm M sẽ tương ứng với giá trị

Tương tự với các giá trị còn lại của quý đầu tiên.

Như bạn hiểu, trục quen thuộc với chúng ta (ox) sẽ là trục cosine và trục (oy) - trục xoang . một lát sau.

Ở bên trái của số 0 trên trục cosine (bên dưới số 0 trên trục sin), tất nhiên, sẽ có các giá trị âm.

Vì vậy, nó đây, MẠNH MẼ TẤT CẢ, mà không có ở đâu trong lượng giác.

Nhưng làm thế nào để sử dụng đường tròn lượng giác, chúng ta sẽ nói trong.

Vòng tròn đơn vị là gì. Đường tròn đơn vị là đường tròn có bán kính bằng 1 và tâm tại gốc tọa độ. Nhắc lại rằng phương trình đường tròn có dạng x 2 + y 2 = 1. Một vòng tròn như vậy có thể được sử dụng để tìm một số mối quan hệ lượng giác "đặc biệt", cũng như trong việc xây dựng các hình ảnh đồ họa. Với sự trợ giúp của nó và dòng kèm theo nó, người ta cũng có thể ước tính các giá trị số của các hàm lượng giác.

Học thuộc 6 tỉ số lượng giác. nhớ lấy

• sinθ = đối diện / cạnh huyền
• cosθ = cạnh / cạnh huyền
• tgθ = chân đối diện / chân liền kề
• cosecθ = 1 / sin
• giâyθ = 1 / cos
• ctgθ = 1 / tg.

Radian là gì. Một radian là một trong những thước đo để xác định độ lớn của một góc. Một radian là giá trị của góc giữa hai bán kính được vẽ sao cho độ dài của cung giữa chúng bằng giá trị của bán kính. Lưu ý rằng kích thước và vị trí của vòng tròn không đóng bất kỳ vai trò nào. Bạn cũng nên biết số radian cho một hình tròn đầy đủ (360 độ) là bao nhiêu. Nhớ lại rằng chu vi của hình tròn là 2πr, bằng 2π lần độ dài của bán kính. Vì theo định nghĩa, 1 radian là góc giữa hai đầu của cung tròn có độ dài bằng bán kính, nên có một góc bằng 2π radian trong một đường tròn.

Biết cách chuyển đổi đơn vị rađian sang độ. Một vòng tròn đầy đủ chứa 2π radian, hoặc 360 độ. Như vậy:

• 2π radian = 360 độ
• 1 radian = (360 / 2π) độ
• 1 radian = (180 / π) độ
• 360 độ = 2π radian
• 1 độ = (2π / 360) radian
• 1 độ = (π / 180) radian

Tìm hiểu các góc "đặc biệt". Các góc này tính bằng radian là π / 6, π / 3, π / 4, π / 2, π và tích của các đại lượng này (ví dụ, 5π / 6)

Học và ghi nhớ ý nghĩa của các hàm số lượng giác đối với các góc đặc biệt.Để xác định độ lớn của chúng, bạn phải nhìn vào vòng tròn đơn vị. Hãy nghĩ về một đoạn có độ dài đã biết nằm trong một vòng tròn đơn vị. Điểm trên đường tròn tương ứng với số radian trong góc tạo thành. Ví dụ, góc π / 2 tương ứng với một điểm trên đường tròn, bán kính mà tại đó tạo với góc π / 2 với bán kính ngang dương. Để tìm giá trị của một hàm lượng giác của một góc bất kỳ, người ta xác định tọa độ của điểm tương ứng với góc này. Cạnh huyền luôn bằng một, vì nó là bán kính của đường tròn, và vì bất kỳ số nào chia cho 1 cũng bằng chính nó và chân đối diện bằng độ dài dọc theo trục Oy, nên giá trị của sin của một góc bất kỳ là tọa độ y của các điểm tương ứng trên đường tròn. Giá trị cosine có thể được tìm thấy theo cách tương tự. Côsin bằng độ dài của chân kề chia cho độ dài cạnh huyền; vì giá trị sau bằng một và độ dài của chân lân cận bằng tọa độ x của điểm trên đường tròn, nên sau đó côsin bằng giá trị của tọa độ này. Tìm tiếp tuyến phức tạp hơn một chút. Tiếp tuyến của một góc của tam giác vuông bằng chân đối diện chia cho chân kề. Trong trường hợp này, không giống như những trường hợp trước, thương không phải là một hằng số, vì vậy các phép tính có phần phức tạp hơn. Nhớ lại rằng độ dài của chân đối diện bằng tọa độ y và độ dài của chân đối diện bằng tọa độ x của một điểm trên đường tròn đơn vị; Thay các giá trị này vào, ta được tiếp tuyến bằng y / x. Bằng cách chia 1 cho các giá trị tìm được ở trên, người ta có thể dễ dàng tìm được các hàm lượng giác nghịch đảo tương ứng. Do đó, có thể tính tất cả các hàm lượng giác chính:

• sinθ = y
• cosθ = x
• tgθ = y / x
• cosec = 1 / y
• giây = 1 / x
• ctg = x / y

Tìm và ghi nhớ giá trị của sáu hàm số lượng giác đối với góc nằm trên trục tọa độ, nghĩa là, các góc là bội số của π / 2, chẳng hạn như 0, π / 2, π, 3π / 2, 2π, v.v. e. Đối với các điểm đường tròn nằm trên các trục tọa độ, điều này không có vấn đề gì. Nếu điểm nằm trên trục x, sin bằng 0 và cosin là 1 hoặc -1, tùy thuộc vào hướng. Nếu điểm nằm trên trục Oy, sin sẽ bằng 1 hoặc -1, và cosin bằng 0.

Tìm và ghi nhớ giá trị của 6 hàm số lượng giác đối với góc đặc biệt π / 6. Áp dụng góc π / 6 cho đường tròn đơn vị. Bạn biết cách tìm độ dài tất cả các cạnh của các tam giác vuông đặc biệt (với các góc 30-60-90 và 45-45-90) với độ dài của một trong các cạnh và vì π / 6 = 30 độ, tam giác này là một trong những trường hợp đặc biệt. Đối với anh ta, như bạn nhớ, chân ngắn bằng 1/2 cạnh huyền, tức là tọa độ y là 1/2, và chân dài dài hơn chân ngắn √3 lần, nghĩa là bằng (√3) / 2 nên tọa độ x sẽ là (√3) / 2. Như vậy, ta nhận được một điểm trên đường tròn đơn vị có tọa độ như sau: ((√3) / 2,1 / 2). Sử dụng các phương trình trên, chúng tôi tìm thấy:

• sinπ / 6 = 1/2
• cosπ / 6 = (√3) / 2
• tanπ / 6 = 1 / (√3)
• cosecπ / 6 = 2
• giâyπ / 6 = 2 / (√3)
• ctgπ / 6 = √3

Tìm và ghi nhớ giá trị của 6 hàm số lượng giác đối với góc đặc biệt π / 3. Góc π / 3 được biểu diễn trên một đường tròn bởi một điểm có tọa độ x bằng tọa độ y của góc π / 6 và tọa độ y bằng tọa độ x của góc đó. Như vậy, điểm có tọa độ (1/2, √3 / 2). Kết quả là, chúng tôi nhận được:

• sinπ / 3 = (√3) / 2
• cosπ / 3 = 1/2
• tgπ / 3 = √3
• cosecπ / 3 = 2 / (√3)
• giâyπ / 3 = 2
• ctgπ / 3 = 1 / (√3)

Tìm và ghi nhớ giá trị của 6 hàm số lượng giác đối với góc đặc biệt π / 4. Độ dài cạnh huyền của một tam giác vuông với các góc 45-45-90 liên quan đến độ dài các chân của nó là √2 đến 1, và các giá trị của tọa độ của một điểm trên đường tròn đơn vị cũng sẽ liên quan đến nhau. Kết quả là, chúng tôi có:

• sinπ / 4 = 1 / (√2)
• cosπ / 4 = 1 / (√2)
• tgπ / 4 = 1
• cosecπ / 4 = √2
• giâyπ / 4 = √2
• ctgπ / 4 = 1

Xác định xem giá trị của hàm là dương hay âm. Tất cả các góc thuộc cùng một họ cho cùng các giá trị tuyệt đối của các hàm lượng giác, nhưng các giá trị này có thể khác nhau về dấu (một là dương, kia âm).

• Nếu góc nằm trong góc phần tư thứ nhất thì mọi hàm lượng giác đều dương.
• Đối với một góc trong góc phần tư thứ hai, tất cả các hàm ngoại trừ sin và cosec đều âm.
• Trong góc phần tư thứ ba, giá trị của tất cả các hàm, ngoại trừ tg và ctg, đều nhỏ hơn 0.
• Trong góc phần tư thứ tư, tất cả các hàm, ngoại trừ cos và sec, đều có giá trị âm.

Vào thế kỷ thứ năm trước Công nguyên, nhà triết học Hy Lạp cổ đại Zeno xứ Elea đã tạo ra các aporias nổi tiếng của mình, trong đó nổi tiếng nhất là aporia "Achilles và con rùa". Đây là âm thanh của nó:

Giả sử Achilles chạy nhanh hơn rùa mười lần và chậm hơn nó một nghìn bước. Trong thời gian Achilles chạy quãng đường này, con rùa bò hàng trăm bước theo cùng một hướng. Khi Achilles đã chạy được một trăm bước, con rùa sẽ bò thêm 10 bước nữa, và cứ tiếp tục như vậy. Quá trình sẽ tiếp tục vô thời hạn, Achilles sẽ không bao giờ đuổi kịp con rùa.

Suy luận này đã trở thành một cú sốc hợp lý cho tất cả các thế hệ sau đó. Aristotle, Diogenes, Kant, Hegel, Gilbert ... Tất cả họ, bằng cách này hay cách khác, đều được coi là aporias của Zeno. Cú sốc quá mạnh đến nỗi " ... các cuộc thảo luận vẫn tiếp tục ở thời điểm hiện tại, cộng đồng khoa học vẫn chưa đi đến được quan điểm chung về bản chất của nghịch lý ... phân tích toán học, lý thuyết tập hợp, các phương pháp tiếp cận vật lý và triết học mới đã tham gia vào nghiên cứu vấn đề này ; không ai trong số họ trở thành một giải pháp được chấp nhận rộng rãi cho vấn đề ..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Mọi người đều hiểu rằng họ đang bị lừa, nhưng không ai hiểu lừa dối là gì.

Từ quan điểm của toán học, Zeno trong aporia của mình đã chứng minh rõ ràng sự chuyển đổi từ giá trị sang. Sự chuyển đổi này ngụ ý áp dụng thay vì các hằng số. Theo như tôi hiểu, công cụ toán học để áp dụng các đơn vị đo lường thay đổi hoặc chưa được phát triển, hoặc nó chưa được áp dụng cho aporia của Zeno. Việc áp dụng logic thông thường của chúng ta sẽ dẫn chúng ta vào một cái bẫy. Chúng ta, theo quán tính của suy nghĩ, áp dụng các đơn vị thời gian không đổi cho nghịch đảo. Từ quan điểm vật lý, có vẻ như thời gian đang chậm lại đến mức hoàn toàn dừng lại vào thời điểm Achilles đuổi kịp con rùa. Nếu thời gian ngừng trôi, Achilles không thể vượt qua rùa được nữa.

Nếu chúng ta xoay chuyển logic mà chúng ta quen thuộc, mọi thứ sẽ rơi vào đúng vị trí. Achilles chạy với tốc độ không đổi. Mỗi đoạn tiếp theo của đường dẫn của nó ngắn hơn đoạn trước đó mười lần. Theo đó, thời gian dành cho việc vượt qua nó ít hơn mười lần so với lần trước. Nếu chúng ta áp dụng khái niệm "vô hạn" trong tình huống này, thì sẽ đúng khi nói "Achilles sẽ nhanh chóng vượt qua con rùa một cách vô hạn."

Làm thế nào để tránh cái bẫy hợp lý này? Giữ nguyên trong các đơn vị thời gian không đổi và không chuyển sang các giá trị tương hỗ. Trong ngôn ngữ của Zeno, nó trông như thế này:

Trong thời gian Achilles phải chạy một nghìn bước, con rùa đã bò cả trăm bước theo cùng một hướng. Trong khoảng thời gian tiếp theo, bằng khoảng thời gian đầu tiên, Achilles sẽ chạy thêm một nghìn bước nữa và rùa sẽ bò một trăm bước. Bây giờ Achilles đã đi trước rùa tám trăm bước.

Cách tiếp cận này mô tả thực tế một cách đầy đủ mà không có bất kỳ nghịch lý logic nào. Nhưng đây không phải là một giải pháp hoàn chỉnh cho vấn đề. Tuyên bố của Einstein về tính không thể vượt qua của tốc độ ánh sáng rất giống với aporia "Achilles và con rùa" của Zeno. Chúng tôi vẫn chưa nghiên cứu, suy nghĩ lại và giải quyết vấn đề này. Và giải pháp phải được tìm kiếm không phải ở số lượng lớn vô hạn, mà là đơn vị đo lường.

Một aporia thú vị khác của Zeno kể về một mũi tên bay:

Một mũi tên đang bay là bất động, vì tại mỗi thời điểm nó dừng lại, và vì nó dừng tại mọi thời điểm, nên nó luôn dừng lại.

Trong aporia này, nghịch lý logic được khắc phục rất đơn giản - đủ để làm rõ rằng tại mỗi thời điểm mũi tên đang bay dừng lại ở các điểm khác nhau trong không gian, mà trên thực tế, là chuyển động. Có một điểm khác cần được lưu ý ở đây. Từ một bức ảnh chụp một chiếc ô tô trên đường, không thể xác định được thực tế chuyển động của nó hay khoảng cách đến nó. Để xác định thực tế chuyển động của ô tô, cần có hai bức ảnh được chụp từ cùng một điểm tại các thời điểm khác nhau, nhưng chúng không thể được sử dụng để xác định khoảng cách. Để xác định khoảng cách tới ô tô, bạn cần hai bức ảnh được chụp từ các điểm khác nhau trong không gian cùng một lúc, nhưng bạn không thể xác định thực tế của chuyển động từ chúng (tất nhiên, bạn vẫn cần thêm dữ liệu để tính toán, lượng giác sẽ giúp bạn) . Điều tôi muốn đặc biệt chỉ ra là hai điểm trong thời gian và hai điểm trong không gian là hai thứ khác nhau không nên nhầm lẫn vì chúng mang lại những cơ hội khám phá khác nhau.

Thứ tư, ngày 4 tháng bảy năm 2018

Rất rõ sự khác biệt giữa tập hợp và tập hợp đa hợp được mô tả trong Wikipedia. Chúng ta nhìn.

Như bạn có thể thấy, "tập hợp không thể có hai phần tử giống nhau", nhưng nếu có các phần tử giống hệt nhau trong tập hợp, một tập hợp như vậy được gọi là "tập hợp nhiều". Những sinh vật hợp lý sẽ không bao giờ hiểu được logic của sự phi lý như vậy. Đây là cấp độ của những con vẹt biết nói và những con khỉ được huấn luyện, trong đó tâm trí hoàn toàn không có từ "." Các nhà toán học đóng vai trò như những người huấn luyện bình thường, rao giảng những ý tưởng vô lý của họ cho chúng ta.

Ngày xửa ngày xưa, các kỹ sư xây dựng cây cầu đã đi thuyền dưới gầm cầu trong quá trình thử nghiệm cây cầu. Nếu cây cầu bị sập, người kỹ sư tầm thường đã chết dưới đống đổ nát do mình tạo ra. Nếu cây cầu có thể chịu được tải trọng, người kỹ sư tài năng đã xây dựng những cây cầu khác.

Dù các nhà toán học có giấu giếm đằng sau câu nói "nhớ tôi đi, tôi đang ở trong nhà", hay đúng hơn là "toán học nghiên cứu các khái niệm trừu tượng", thì vẫn có một dây rốn gắn bó họ với thực tế. Dây rốn này là tiền. Chúng ta hãy áp dụng lý thuyết tập hợp toán học cho chính các nhà toán học.

Chúng tôi học toán rất tốt và bây giờ chúng tôi đang ngồi ở bàn tính tiền, trả lương. Ở đây, một nhà toán học đến với chúng tôi vì tiền của anh ta. Chúng tôi đếm toàn bộ số tiền cho anh ta và đặt nó trên bàn của chúng tôi thành các chồng khác nhau, trong đó chúng tôi đặt các tờ tiền có cùng mệnh giá. Sau đó, chúng tôi lấy một hóa đơn từ mỗi cọc và đưa cho nhà toán học "bộ lương toán học" của anh ta. Chúng tôi giải thích toán học rằng anh ta sẽ nhận được phần còn lại của các hóa đơn chỉ khi anh ta chứng minh rằng tập hợp không có các phần tử giống nhau không bằng tập hợp có các phần tử giống hệt nhau. Đây là nơi vui vẻ bắt đầu.

Trước hết, logic của các đại biểu sẽ hoạt động: "bạn có thể áp dụng nó cho người khác, nhưng không áp dụng cho tôi!" Hơn nữa, sẽ bắt đầu đảm bảo rằng có các số tiền khác nhau trên các tờ tiền có cùng mệnh giá, có nghĩa là chúng không thể được coi là các phần tử giống hệt nhau. Chà, chúng tôi tính lương bằng đồng xu - không có số trên đồng xu. Ở đây nhà toán học sẽ điên cuồng nhớ lại vật lý: các đồng xu khác nhau có lượng chất bẩn khác nhau, cấu trúc tinh thể và sự sắp xếp của các nguyên tử cho mỗi đồng xu là duy nhất ...

Và bây giờ tôi có một câu hỏi thú vị nhất: đâu là ranh giới ngoài ranh giới mà các phần tử của một tập hợp nhiều biến thành các phần tử của một tập hợp và ngược lại? Một dòng như vậy không tồn tại - mọi thứ được quyết định bởi các pháp sư, khoa học ở đây thậm chí còn không gần gũi.

Nhìn đây. Chúng tôi lựa chọn những sân bóng có cùng diện tích sân. Diện tích của các trường là như nhau, có nghĩa là chúng ta có một tập hợp nhiều. Nhưng nếu chúng ta xem xét tên của các sân vận động giống nhau, chúng ta nhận được rất nhiều, bởi vì các tên khác nhau. Như bạn có thể thấy, cùng một tập hợp các phần tử vừa là một tập hợp vừa là một tập hợp đồng thời là một tập hợp nhiều phần tử. Như thế nào mới đúng? Và ở đây, nhà toán học-shaman-shuller lấy ra một con át chủ bài từ tay áo của mình và bắt đầu cho chúng ta biết về một tập hợp hoặc một tập hợp. Trong mọi trường hợp, anh ấy sẽ thuyết phục chúng tôi rằng anh ấy đúng.

Để hiểu cách các pháp sư hiện đại vận hành với lý thuyết tập hợp, gắn nó với thực tế, chỉ cần trả lời một câu hỏi: các phần tử của một tập hợp này khác với các phần tử của một tập hợp khác như thế nào? Tôi sẽ cho bạn thấy, không có bất kỳ "có thể hình dung được như không phải là một tổng thể duy nhất" hoặc "không thể hình dung được như một tổng thể duy nhất."

Chủ nhật, ngày 18 tháng ba năm 2018

Tổng các chữ số của một số là một điệu nhảy của các pháp sư với tambourine, không liên quan gì đến toán học. Đúng vậy, trong các bài học toán học, chúng ta được dạy để tìm tổng các chữ số của một số và sử dụng nó, nhưng họ là những pháp sư để dạy cho con cháu của họ các kỹ năng và trí tuệ của họ, nếu không, các pháp sư sẽ chết.

Bạn có cần bằng chứng không? Mở Wikipedia và cố gắng tìm trang "Tổng các chữ số của một số". Cô ấy không tồn tại. Không có công thức nào trong toán học mà bạn có thể tìm thấy tổng các chữ số của bất kỳ số nào. Rốt cuộc, các con số là các ký hiệu đồ họa mà chúng ta viết các số và trong ngôn ngữ toán học, nhiệm vụ có vẻ như thế này: "Tìm tổng các ký hiệu đồ họa đại diện cho một số bất kỳ." Các nhà toán học không thể giải quyết vấn đề này, nhưng các pháp sư có thể làm được điều đó về mặt yếu tố.

Hãy tìm hiểu xem chúng ta làm gì và làm như thế nào để tìm tổng các chữ số của một số đã cho. Và do đó, giả sử chúng ta có số 12345. Để tìm tổng các chữ số của số này cần phải làm gì? Hãy xem xét tất cả các bước theo thứ tự.

1. Viết ra một số trên một tờ giấy. Chúng ta đã làm gì? Chúng tôi đã chuyển đổi số thành một biểu tượng đồ họa số. Đây không phải là một phép toán.

2. Chúng tôi cắt một hình ảnh đã nhận thành nhiều hình ảnh có chứa các số riêng biệt. Cắt một bức tranh không phải là một phép toán.

3. Chuyển đổi các ký tự đồ họa riêng lẻ thành số. Đây không phải là một phép toán.

4. Cộng các số kết quả. Bây giờ đó là toán học.

Tổng các chữ số của số 12345 là 15. Đây là "các khóa học cắt và may" từ các pháp sư được sử dụng bởi các nhà toán học. Nhưng đó không phải là tất cả.

Theo quan điểm của toán học, không quan trọng chúng ta viết số nào trong hệ thống số nào. Vì vậy, trong các hệ thống số khác nhau, tổng các chữ số của cùng một số sẽ khác nhau. Trong toán học, hệ thống số được biểu thị dưới dạng chỉ số con ở bên phải số. Với một số lớn 12345, tôi không muốn đánh lừa đầu của mình, hãy xem xét con số 26 từ bài viết về. Hãy viết số này trong hệ thống số nhị phân, bát phân, thập phân và thập lục phân. Chúng tôi sẽ không xem xét từng bước dưới kính hiển vi, chúng tôi đã làm điều đó rồi. Hãy nhìn vào kết quả.

Như bạn thấy, trong các hệ thống số khác nhau, tổng các chữ số của cùng một số là khác nhau. Kết quả này không liên quan gì đến toán học. Nó giống như thể bạn sẽ nhận được các kết quả hoàn toàn khác khi xác định diện tích hình chữ nhật theo đơn vị mét và cm.

Số 0 trong tất cả các hệ thống số trông giống nhau và không có tổng các chữ số. Đây là một lập luận khác ủng hộ thực tế rằng. Một câu hỏi dành cho các nhà toán học: nó được biểu thị như thế nào trong toán học mà nó không phải là một số? Đối với các nhà toán học, không có gì ngoài các con số tồn tại? Đối với các pháp sư, tôi có thể cho phép điều này, nhưng đối với các nhà khoa học thì không. Thực tế không chỉ có những con số.

Kết quả thu được cần được coi là bằng chứng rằng các hệ thống số là đơn vị đo các số. Rốt cuộc, chúng ta không thể so sánh các con số với các đơn vị đo lường khác nhau. Nếu các hành động giống nhau với các đơn vị đo lường khác nhau của cùng một đại lượng dẫn đến kết quả khác nhau sau khi so sánh chúng, thì điều này không liên quan gì đến toán học.

Toán học thực sự là gì? Đây là khi kết quả của một hành động toán học không phụ thuộc vào giá trị của số, đơn vị đo lường được sử dụng và người thực hiện hành động này.

Ký vào cửa Mở cửa và nói:

Ầm ầm! Đây không phải là phòng vệ sinh của phụ nữ sao?
- Người phụ nữ trẻ! Đây là một phòng thí nghiệm để nghiên cứu sự thánh thiện vô hạn của các linh hồn khi lên trời! Nimbus trên đầu và mũi tên lên. Nhà vệ sinh khác gì?

Nữ ... Một vầng hào quang trên đỉnh và một mũi tên hướng xuống là nam.

Nếu bạn có một tác phẩm nghệ thuật thiết kế nhấp nháy trước mắt bạn vài lần trong ngày,

Sau đó, không có gì ngạc nhiên khi bạn đột nhiên tìm thấy một biểu tượng lạ trên ô tô của mình:

Cá nhân tôi đã cố gắng tự mình nhìn thấy âm bốn độ ở một người đang ngồi (một hình ảnh) (bố cục của một số hình ảnh: dấu trừ, số bốn, ký hiệu độ). Và tôi không coi cô gái này là một kẻ ngốc không biết vật lý. Cô ấy chỉ có một khuôn mẫu vòng cung trong nhận thức về hình ảnh đồ họa. Và các nhà toán học luôn dạy chúng ta điều này. Đây là một ví dụ.

1A không phải là "âm bốn độ" hoặc "một a". Đây là "pooping man" hay số "hai mươi sáu" trong hệ thống số thập lục phân. Những người liên tục làm việc trong hệ thống số này sẽ tự động coi số và chữ cái như một biểu tượng đồ họa.

Bảng giá trị của các hàm số lượng giác

Ghi chú. Bảng giá trị của các hàm lượng giác này sử dụng dấu √ để biểu thị căn bậc hai. Để biểu thị một phân số - ký hiệu "/".

Xem thêm vật liệu hữu ích:

Vì xác định giá trị của một hàm lượng giác, tìm nó ở giao điểm của đường biểu thị hàm số lượng giác. Ví dụ: một sin 30 độ - chúng tôi đang tìm kiếm một cột có tiêu đề sin (sine) và chúng tôi tìm thấy giao điểm của cột này của bảng với dòng "30 độ", tại giao điểm của chúng, chúng tôi đọc kết quả - một thứ hai. Tương tự, chúng tôi nhận thấy cosin 60độ, sin 60độ (một lần nữa, tại giao điểm của cột sin (sin) và hàng 60 độ, chúng ta tìm thấy giá trị sin 60 = √3 / 2), v.v. Theo cách tương tự, các giá trị của sin, cosin và tiếp tuyến của các góc "phổ biến" khác cũng được tìm thấy.

Sin của pi, cosin của pi, tiếp tuyến của pi và các góc khác tính bằng radian

Bảng cosin, sin và tiếp tuyến dưới đây cũng thích hợp để tìm giá trị của các hàm lượng giác có đối số là tính bằng radian. Để thực hiện việc này, hãy sử dụng cột giá trị góc thứ hai. Nhờ đó, bạn có thể chuyển đổi giá trị của các góc phổ biến từ độ sang radian. Ví dụ, hãy tìm góc 60 độ trong dòng đầu tiên và đọc giá trị của nó bằng radian bên dưới nó. 60 độ bằng π / 3 radian.

Số pi biểu thị duy nhất sự phụ thuộc của chu vi hình tròn vào số đo độ của một góc. Vậy pi radian bằng 180 độ.

Bất kỳ số nào được biểu thị dưới dạng pi (radian) đều có thể dễ dàng chuyển đổi thành độ bằng cách thay số pi (π) bằng 180.

Các ví dụ:
1. sin pi.
sin π = sin 180 = 0
do đó, sin của pi giống sin 180 độ và bằng không.

2. cosine pi.
cos π = cos 180 = -1
do đó, cosin của pi giống với cosin của 180 độ và bằng trừ một.

3. Tiếp tuyến pi
tg π = tg 180 = 0
nên tiếp tuyến của pi trùng với tiếp tuyến 180 độ và bằng không.

Bảng giá trị sin, côsin, tiếp tuyến cho góc 0 - 360 độ (giá trị thường xuyên)

góc α (độ)	góc α tính bằng radian (qua số pi)	tội (xoang)	cos (cô sin)	tg (đường tiếp tuyến)	ctg (cotangent)	giây (đương căt)	nguyên nhân (cosecant)
0	0	0	1	0	-	1	-
15	π / 12			2 - √3	2 + √3
30	π / 6	1/2	√3/2	1/√3	√3	2/√3	2
45	π / 4	√2/2	√2/2	1	1	√2	√2
60	π / 3	√3/2	1/2	√3	1/√3	2	2/√3
75	5π / 12			2 + √3	2 - √3
90	π / 2	1	0	-	0	-	1
105	7π / 12		-	- 2 - √3	√3 - 2
120	2π / 3	√3/2	-1/2	-√3	-√3/3
135	3π / 4	√2/2	-√2/2	-1	-1	-√2	√2
150	5π / 6	1/2	-√3/2	-√3/3	-√3
180	π	0	-1	0	-	-1	-
210	7π / 6	-1/2	-√3/2	√3/3	√3
240	4π / 3	-√3/2	-1/2	√3	√3/3
270	3π / 2	-1	0	-	0	-	-1
360	2π	0	1	0	-	1	-

Nếu trong bảng giá trị của hàm lượng giác, thay vì giá trị của hàm, dấu gạch ngang được biểu thị (tiếp tuyến (tg) 90 độ, cotang (ctg) 180 độ), thì đối với một giá trị nhất định của số đo độ góc, hàm không có giá trị xác định. Nếu không có dấu gạch ngang, ô trống, do đó chúng tôi chưa nhập giá trị mong muốn. Chúng tôi quan tâm đến những yêu cầu mà người dùng đến với chúng tôi và bổ sung các giá trị mới cho bảng, mặc dù thực tế là dữ liệu hiện tại về các giá trị của cosin, sin và tiếp tuyến của các giá trị góc phổ biến nhất là đủ để giải quyết hầu hết các vấn đề.

Bảng giá trị của các hàm số lượng giác sin, cos, tg đối với các góc phổ biến nhất
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 độ
(giá trị số "theo bảng Bradis")

giá trị góc α (độ)	giá trị của góc α tính bằng radian	sin (sin)	cos (côsin)	tg (tiếp tuyến)	ctg (cotangent)
0	0
15		0,2588	0,9659	0,2679
30		0,5000		0,5774
45		0,7071
		0,7660
60		0,8660	0,5000	1,7321
	7π / 18

Trong bài viết này, chúng tôi sẽ phân tích rất chi tiết định nghĩa của một vòng tròn số, tìm ra tính chất chính của nó và sắp xếp các số 1,2,3, v.v. Giới thiệu về cách đánh dấu các số khác trên vòng tròn (ví dụ: \ (\ frac (π) (2), \ frac (π) (3), \ frac (7π) (4), 10π, - \ frac (29π) (6) \)) hiểu.

Vòng tròn số gọi một vòng tròn bán kính đơn vị, các điểm của chúng tương ứng với được sắp xếp theo các quy tắc sau:

1) Gốc tọa độ tại điểm cực bên phải của đường tròn;

2) Ngược chiều kim đồng hồ - chiều dương; theo chiều kim đồng hồ - âm tính;

3) Nếu chúng ta vẽ khoảng cách \ (t \) trên đường tròn theo chiều dương, thì chúng ta sẽ đến điểm có giá trị \ (t \);

4) Nếu chúng ta vẽ khoảng cách \ (t \) trên đường tròn theo hướng âm, thì chúng ta sẽ đến điểm có giá trị \ (- t \).

Tại sao một hình tròn được gọi là một số?
Bởi vì nó có những con số trên đó. Trong điều này, đường tròn tương tự như trục số - trên đường tròn, cũng như trên trục, đối với mỗi số có một điểm nhất định.

Tại sao biết một vòng tròn số là gì?
Với sự trợ giúp của một vòng tròn số, giá trị của sin, cosin, tiếp tuyến và cotang được xác định. Vì vậy, để biết lượng giác và vượt qua kỳ thi với 60 điểm trở lên, nhất thiết phải hiểu vòng tròn số là gì và cách đặt dấu chấm trên đó.

Các từ "... của đơn vị bán kính ..." có nghĩa là gì trong định nghĩa?
Điều này có nghĩa là bán kính của vòng tròn này là \ (1 \). Và nếu chúng ta dựng một đường tròn như vậy có tâm tại điểm gốc, thì nó sẽ giao với các trục tại các điểm \ (1 \) và \ (- 1 \).

Không nhất thiết phải vẽ nó nhỏ, bạn có thể thay đổi “kích thước” của các vạch chia dọc theo các trục, khi đó bức tranh sẽ lớn hơn (xem bên dưới).

Tại sao bán kính lại chính xác là một? Sẽ thuận tiện hơn, vì trong trường hợp này, khi tính chu vi bằng công thức \ (l = 2πR \), chúng ta nhận được:

Chiều dài của vòng tròn số là \ (2π \) hoặc xấp xỉ \ (6,28 \).

Và "... các điểm tương ứng với các số thực" nghĩa là gì?
Như đã đề cập ở trên, trên vòng tròn số đối với bất kỳ số thực nào, chắc chắn sẽ có “vị trí” của nó - một điểm tương ứng với số này.

Tại sao phải xác định gốc tọa độ và phương trên đường tròn số?
Mục đích chính của vòng tròn số là xác định duy nhất điểm của nó cho mỗi số. Nhưng làm thế nào bạn có thể xác định nơi để kết thúc nếu bạn không biết phải đếm từ đâu và chuyển đi đâu?

Ở đây, điều quan trọng là không được nhầm lẫn gốc tọa độ trên đường tọa độ và trên đường tròn số - đây là hai hệ quy chiếu khác nhau! Ngoài ra, đừng nhầm lẫn \ (1 \) trên trục \ (x \) và \ (0 \) trên hình tròn - đây là các điểm trên các đối tượng khác nhau.

Những điểm nào tương ứng với các số \ (1 \), \ (2 \), v.v.?

Hãy nhớ rằng, chúng ta đã giả định rằng bán kính của một vòng tròn số là \ (1 \)? Đây sẽ là phân đoạn duy nhất của chúng ta (tương tự với trục số), chúng ta sẽ đặt trên vòng tròn.

Để đánh dấu một điểm trên vòng tròn số tương ứng với số 1, bạn cần đi từ 0 một khoảng bằng bán kính theo chiều dương.

Để đánh dấu một điểm trên vòng tròn tương ứng với số \ (2 \), bạn cần di chuyển một khoảng cách bằng hai bán kính từ điểm gốc, sao cho \ (3 \) là một khoảng cách bằng ba bán kính, v.v.

Nhìn vào bức tranh này, bạn có thể có 2 câu hỏi:
1. Điều gì sẽ xảy ra khi vòng tròn "kết thúc" (tức là chúng ta tạo thành một vòng tròn đầy đủ)?
Trả lời: chúng ta hãy đi đến vòng thứ hai! Và khi phần thứ hai kết thúc, chúng ta sẽ đến phần thứ ba và cứ tiếp tục như vậy. Do đó, một số vô hạn số có thể được áp dụng cho một đường tròn.

2. Các số âm sẽ ở đâu?
Trả lời: ngay đó! Chúng cũng có thể được sắp xếp, đếm số bán kính cần thiết từ 0, nhưng bây giờ theo chiều âm.

Thật không may, rất khó để chỉ định các số nguyên trên vòng tròn số. Điều này là do độ dài của vòng tròn số sẽ không phải là số nguyên: \ (2π \). Và tại những nơi thuận tiện nhất (tại các điểm giao nhau với các trục) cũng sẽ không có số nguyên mà là phân số