Основна тригонометрична идентичност. Презентация за урока по алгебра (9 клас) на тема: Презентация за урока: „Основни тригонометрични идентичности

Тригонометрични функции- Заявката "грях" се пренасочва тук; вижте и други значения. Заявката "sec" се пренасочва тук; вижте и други значения. "Sine" пренасочва тук; вижте и други значения ... Wikipedia

тен

Ориз. 1 Графики на тригонометрични функции: синус, косинус, тангенс, секанс, косеканс, котангенс Тригонометричните функции са вид елементарни функции. Обикновено те включват синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x), котангенс (ctg x), ... ... Wikipedia

косинус- Ориз. 1 Графики на тригонометрични функции: синус, косинус, тангенс, секанс, косеканс, котангенс Тригонометричните функции са вид елементарни функции. Обикновено те включват синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x), котангенс (ctg x), ... ... Wikipedia

Котангенс- Ориз. 1 Графики на тригонометрични функции: синус, косинус, тангенс, секанс, косеканс, котангенс Тригонометричните функции са вид елементарни функции. Обикновено те включват синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x), котангенс (ctg x), ... ... Wikipedia

Секант- Ориз. 1 Графики на тригонометрични функции: синус, косинус, тангенс, секанс, косеканс, котангенс Тригонометричните функции са вид елементарни функции. Обикновено те включват синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x), котангенс (ctg x), ... ... Wikipedia

История на тригонометрията- Геодезически измервания (XVII век) ... Уикипедия

Формула за тангенс на половин ъгъл- В тригонометрията формулата за тангенса на половин ъгъл свързва тангенса на половин ъгъл с тригонометричните функции на пълен ъгъл: Различните вариации на тази формула са както следва... Wikipedia

Тригонометрия- (от гръцки τρίγονο (триъгълник) и гръцки μετρειν (мярка), тоест измерване на триъгълници) клон на математиката, който изучава тригонометричните функции и техните приложения в геометрията. Този термин се появява за първи път през 1595 г. като ... ... Wikipedia

Решаване на триъгълници- (лат. solutio triangulorum) исторически термин, означаващ решението на основния тригонометричен проблем: използвайки известни данни за триъгълник (страни, ъгли и т.н.), намерете останалите му характеристики. Триъгълникът може да бъде разположен в ... ... Wikipedia

Книги

• Комплект маси. Алгебра и началото на анализа. 10 клас. 17 таблици + методика, . Таблиците са отпечатани върху дебел полиграфски картон с размери 680 х 980 мм. Комплектът включва брошура с методически препоръки за учители. Учебен албум от 17 листа... Купете за 3944 рубли
• Таблици с интеграли и други математически формули, Dwight G.B.. Десетото издание на известния справочник съдържа много подробни таблици с неопределени и определени интеграли, както и голям брой други математически формули: разширения на сериите, ...

Това е последният и най-важен урок, необходим за решаване на задачи B11. Вече знаем как да преобразуваме ъгли от радиани в градуси (вижте урока " Радиан и градусова мярка на ъгъл”), а също така знаем как да определим знака на тригонометричната функция, като се фокусираме върху координатните четвъртини (вижте урока „ Признаци на тригонометрични функции »).

Въпросът остава малък: да се изчисли стойността на самата функция - самото число, което е написано в отговора. Тук на помощ идва основната тригонометрична идентичност.

Основна тригонометрична идентичност. За всеки ъгъл α твърдението е вярно:

sin 2 α + cos 2 α = 1.

Тази формула свързва синуса и косинуса на един ъгъл. Сега, знаейки синуса, можем лесно да намерим косинуса - и обратно. Достатъчно е да вземем корен квадратен:

Обърнете внимание на знака "±" пред корените. Факт е, че от основната тригонометрична идентичност не е ясно какви са били първоначалните синус и косинус: положителен или отрицателен. В крайна сметка квадратурата е четна функция, която "изгаря" всички минуси (ако има такива).

Ето защо във всички задачи B11, които се намират в USE по математика, задължително има допълнителни условия, които помагат да се отървете от несигурността със знаци. Обикновено това е индикация за координатната четвърт, по която може да се определи знакът.

Внимателният читател със сигурност ще попита: „Ами допирателната и котангенса?“ Невъзможно е директно да се изчислят тези функции от горните формули. Въпреки това, има важни следствия от основната тригонометрична идентичност, които вече съдържат допирателни и котангенси. а именно:

Важно следствие: за всеки ъгъл α основната тригонометрична идентичност може да бъде пренаписана, както следва:

Тези уравнения лесно се извеждат от основното тъждество - достатъчно е двете страни да се разделят на cos 2 α (за да се получи допирателна) или на sin 2 α (за котангенс).

Нека разгледаме всичко това с конкретни примери. По-долу са действителни проблеми с B11, взети от изпитанията на Mathematics USE от 2012 г.

Знаем косинуса, но не знаем синуса. Основната тригонометрична идентичност (в нейната "чиста" форма) свързва точно тези функции, така че ще работим с нея. Ние имаме:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ sin 2 α + 99/100 = 1 ⇒ sin 2 α = 1/100 ⇒ sin α = ±1/10 = ±0,1.

За да решим проблема, остава да намерим знака на синуса. Тъй като ъгълът α ∈ (π /2; π ), то в градусова мярка се записва, както следва: α ∈ (90°; 180°).

Следователно ъгълът α лежи във II координатна четвърт - всички синуси там са положителни. Следователно sin α = 0,1.

И така, ние знаем синуса, но трябва да намерим косинуса. И двете функции са в основната тригонометрична идентичност. Ние заместваме:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 3/4 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 1/4 ⇒ cos α = ±1/2 = ±0,5.

Остава да се справим със знака пред дроба. Какво да избера: плюс или минус? По условие ъгълът α принадлежи на интервала (π 3π /2). Нека преобразуваме ъглите от радианска мярка в градусова мярка - получаваме: α ∈ (180°; 270°).

Очевидно това е III координатна четвърт, където всички косинуси са отрицателни. Следователно cosα = −0,5.

Задача. Намерете tg α, ако знаете следното:

Тангенсът и косинусът са свързани с уравнение, следващо от основната тригонометрична идентичност:

Получаваме: tg α = ±3. Знакът на допирателната се определя от ъгъла α. Известно е, че α ∈ (3π /2; 2π ). Нека преобразуваме ъглите от радианската мярка в градусната мярка - получаваме α ∈ (270°; 360°).

Очевидно това е IV координатна четвърт, където всички допирателни са отрицателни. Следователно, tgα = −3.

Задача. Намерете cos α, ако знаете следното:

Отново, синусът е известен, а косинусът е неизвестен. Записваме основната тригонометрична идентичност:

sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 0,64 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 0,36 ⇒ cos α = ±0,6.

Знакът се определя от ъгъла. Имаме: α ∈ (3π /2; 2π ). Нека преобразуваме ъглите от градуси в радиани: α ∈ (270°; 360°) е IV координатна четвърт, косинусите там са положителни. Следователно, cos α = 0,6.

Задача. Намерете sin α, ако знаете следното:

Нека запишем формулата, която следва от основната тригонометрична идентичност и директно свързва синуса и котангенса:

От тук получаваме, че sin 2 α = 1/25, т.е. sin α = ±1/5 = ±0,2. Известно е, че ъгълът α ∈ (0; π /2). В градуси това се записва по следния начин: α ∈ (0°; 90°) - I координатна четвърт.

И така, ъгълът е в I координатната четвърт - всички тригонометрични функции са положителни там, следователно sin α \u003d 0,2.

В тази статия ще разгледаме изчерпателно . Основните тригонометрични идентичности са равенства, които установяват връзка между синуса, косинуса, тангенса и котангенса на един ъгъл и ви позволяват да намерите всяка от тези тригонометрични функции чрез известен друг.

Веднага изброяваме основните тригонометрични идентичности, които ще анализираме в тази статия. Записваме ги в таблица, а по-долу даваме извеждането на тези формули и даваме необходимите обяснения.

Навигация в страницата.

Връзка между синус и косинус на един ъгъл

Понякога те не говорят за основните тригонометрични идентичности, изброени в таблицата по-горе, а за една единствена основна тригонометрична идентичностмил . Обяснението за този факт е съвсем просто: равенствата се получават от основното тригонометрично тъждество след разделяне на двете му части съответно на и на равенствата и следват от определенията за синус, косинус, тангенс и котангенс. Ще обсъдим това по-подробно в следващите параграфи.

Тоест, особен интерес представлява равенството, което получи името на основната тригонометрична идентичност.

Преди да докажем основната тригонометрична идентичност, даваме нейната формулировка: сумата от квадратите на синуса и косинуса на един ъгъл е идентично равна на единица. Сега нека го докажем.

Основната тригонометрична идентичност много често се използва в трансформация на тригонометрични изрази. Позволява сборът от квадратите на синуса и косинуса на един ъгъл да бъде заменен с един. Не по-рядко основната тригонометрична идентичност се използва в обратен ред: единицата се заменя със сумата от квадратите на синуса и косинуса на произволен ъгъл.

Тангенс и котангенс през синус и косинус

Идентичности, свързващи тангенса и котангенса със синуса и косинуса на един ъгъл на формата и непосредствено следват от определенията за синус, косинус, тангенс и котангенс. Всъщност, по дефиниция, синусът е ордината на y, косинусът е абсцисата на x, тангенсът е отношението на ординатата към абсцисата, т.е. , а котангенсът е отношението на абсцисата към ординатата, т.е. .

Поради тази очевидност на идентичностите и често дефинициите на тангенс и котангенс се дават не чрез съотношението на абсцисата и ординатата, а чрез съотношението на синуса и косинуса. Така че тангенсът на ъгъл е съотношението на синуса към косинуса на този ъгъл, а котангенсът е отношението на косинуса към синуса.

В заключение на този раздел трябва да се отбележи, че идентичностите и важи за всички такива ъгли, за които тригонометричните функции в тях имат смисъл. Така че формулата е валидна за всяко друго освен (в противен случай знаменателят ще бъде нула и не сме дефинирали деление на нула), а формулата - за всички , различни от , където z е всяко .

Връзка между тангенс и котангенс

Още по-очевидна тригонометрична идентичност от двете предишни е идентичността, свързваща тангенса и котангенса на един ъгъл на формата . Ясно е, че се извършва за всякакви ъгли, различни от , в противен случай нито допирателната, нито котангенсът не се дефинират.

Доказателство за формулата много просто. По дефиниция и откъде . Доказателството би могло да бъде извършено по малко по-различен начин. Тъй като и , тогава .

И така, тангенсът и котангенсът на един ъгъл, при който те имат смисъл, са.

За да използвате визуализацията на презентации, създайте акаунт (акаунт) в Google и влезте: https://accounts.google.com

Надписи на слайдове:

Нека английският да е скъп за някого, Химията е важна за някого, Без математика, всички ние Но нито тук, нито там Ние имаме уравнения като стихотворения И синусите поддържат духа Имаме косинуси, като песни, И формулите на тригонометрията Галете ухото !

Тема на урока: „Основни тригонометрични идентичности. Разрешаване на проблем". Знайте: Умеете да: Целта на урока:

ЗНАМ! АЗ МОГА! АЗ РЕШАВАМ! аз

Какво е единична окръжност? x y α R

Какви посоки на въртене на единичния радиус са известни? x y α R

В какви единици се измерва ъгълът на завъртане на единичен радиус? x y α R

Какъв е ъгълът от един радиан? Приблизително колко градуса съдържа ъгъл от 1 радиан? x y α R

Формулирайте правилата за преобразуване от градусова мярка на ъгъл в радианска мярка и обратно.

Формулирайте правилата за преобразуване от градусова мярка на ъгъл в радианска мярка и обратно. 30 0 π 45 0 π 2 2 π

Какви тригонометрични функции познавате?

Какви тригонометрични функции познавате? Какво определя стойността на тригонометричните функции?

Коя четвърт ъгъл е α, ако: α =15° α =190° α =100°

Ъгълът на коя четвърт е ъгълът α, ако: α = -20° α = -110° α = 289°

Групова работа Правила за групова работа: Групата обсъжда и решава заедно дали да изложи идеи или да ги опровергае. Всеки член на групата трябва да работи по най-добрия начин. Докато работите, се отнасяйте с уважение към другарите си: приемайте или отхвърляйте идея, направете го учтиво. Не забравяйте, че всеки има право да прави грешки. Не забравяйте, че успехът на групата зависи от степента, в която всеки показва своята стойност.

Групова работа

0° 30° 45° 60° 90° sin cos tg ctg 0 1 1 0 0 1 - - 1 0 Таблица със стойности на тригонометричните функции

1 A 2 B 3 C 4 D 5 E 6 H 7 до K 8 L 9 през и M 10 до и N 1 - cos 2 α 1-sin 2 α sin 2 α Критерии за оценка: 10 задачи - оценка "5". 8-9 задачи - оценка "4". 5-7 задачи - оценка "3". 1-4 задачи - оценка "2". Установете съответствие между лявата и дясната част на идентичността.

1 M 2 L 3 N 4 E 5 B 6 C 7 до A 8 K 9 до и H 10 до и D 1 - cos 2 α 1-sin 2 α sin 2 α Критерии за оценка: 10 задачи - оценка "5". 8-9 задачи - оценка "4". 5-7 задачи - оценка "3". 1-4 задачи - оценка "2". Установете съответствие между лявата и дясната част на идентичността.

Основна тригонометрична идентичност "тригонометрична единица"

Основна тригонометрична идентичност "тригонометрична единица" Косинус квадрат Много щастлив. Brother Sinus Square идва при него! Когато се срещнат, Кръгът ще бъде изненадан: Ще излезе цяло семейство, Тоест едно!

1. 3 sin 2 α + 3 cos 2 α 2. (1 – cos α)(1 + cos α) при α =90° 3. 1- sin 2 40 0 ​​4. 5. tg α∙ ctg α 6. ( ctg 2 α + 1)(1 - sin 2 α) 7. tg α∙ ctg α -1 8. cos 2 α + ctg 2 α + sin 2 α и с t P до y 1 cos 2 40 ° 3 ctg 2 α 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Вземете името на математика, в чиято книга за първи път се появява терминът тригонометрия. 1 2 3 4 5 6 7 8 P i t i s k u s 2-2 cos(-60 0)

Питискус

Ал-Батуни Ал-Хорезми

Бхаскара Насиреддин Туси

Леонард Ойлер

Като се има предвид стойността на тригонометричната функция, намерете стойността на друга функция Дадена четвърт: Намерете: Решение: I sinα= 0,6 II cosα= sinα III tgα= ctgα IV cosα= tgα

Като се има предвид стойността на тригонометричната функция, намерете стойността на друга функция Дадена четвърт: Намерете: Решение: I sinα= 0,6

Като се има предвид стойността на тригонометричната функция, намерете стойността на друга функция Дадена четвърт: Намерете: Решение: II cosα= sinα = =

Като се има предвид стойността на тригонометричната функция, намерете стойността на друга функция Дадена четвърт: Намерете: Решение: III tgα= ctgα ctgα = = =

Като се има предвид стойността на тригонометричната функция, намерете стойността на друга функция Дадена четвърт: Намерете: Решение: IV cosα = tgα tgα = = = = = =

Приложение на тригонометрията в човешкия живот.

Съобщение за домашна работа: „Тригонометрията в човешкия живот” No 304 стр.111

y=sinx Благодаря за урока!

1 sin 240° 8 cos 290° 2 tg 98° 9 tg(-120°) 3 sin 70° 10 sin 4 ctg 200° 11 cos 5 cos 113° 12 cos 6 sin (- 140°) 13 sin 7 cos 300 °) 14 tg Определете знака на израза - - - - - - + + + + + + + +

По темата: методически разработки, презентации и бележки

Презентацията представя решения на ключови проблеми на училищния курс по математика за намиране на всички видове разстояния и ъгли в пространството според алгоритъма, който ви позволява да го използвате както при изучаване ...

Презентация за урока: "Ъгълът между равнините. Решаване на задачата по различни методи"

Тази презентация може да се използва за яснота в уроците за повторение, за подготовка за Единния държавен изпит при решаване на задачи от тип C-2 ....