Тази статия е отговорът на два въпроса: „Какво е“ и „Как да намеря координати на проекцията на точка върху равнина"? Първо се дава необходимата информация за проекцията и нейните видове. След това се дава дефиницията на проекцията на точка върху равнина и се дава графична илюстрация. След това е получен метод за намиране на координатите на проекцията на точка върху равнина. В заключение се анализират решения на примери, в които се изчисляват координатите на проекцията на дадена точка върху дадена равнина.

Навигация в страницата.

Проекция, видове проекция - необходима информация.

При изучаване на пространствени фигури е удобно да използвате техните изображения в чертежа. Рисуването на пространствена фигура е т.нар проекциятази фигура към самолета. Процесът на конструиране на изображение на пространствена фигура върху равнина протича по определени правила. Така процесът на конструиране на изображение на пространствена фигура върху равнина, заедно с набор от правила, по които се осъществява този процес, се нарича проекцияфигури на тази равнина. Равнината, в която е построено изображението, се нарича проекционна равнина.

В зависимост от правилата, по които се извършва прожекцията, има централнаи успоредна проекция. Няма да навлизаме в подробности, тъй като това е извън обхвата на тази статия.

В геометрията се използва основно специален случай на успоредна проекция - перпендикулярна проекция, който също се нарича ортогонална. В името на този вид проекция прилагателното "перпендикулярно" често се пропуска. Тоест, когато в геометрията говорят за проекцията на фигура върху равнина, те обикновено имат предвид, че тази проекция е получена с помощта на перпендикулярна проекция (освен ако не е посочено друго, разбира се).

Трябва да се отбележи, че проекцията на фигура върху равнина е набор от проекции на всички точки от тази фигура върху равнината на проекцията. С други думи, за да се получи проекцията на определена фигура, е необходимо да можете да намерите проекциите на точките на тази фигура върху равнина. Следващият параграф на статията просто показва как да намерите проекцията на точка върху равнина.

Проекция на точка върху равнина - определение и илюстрация.

Още веднъж подчертаваме, че ще говорим за перпендикулярната проекция на точка върху равнина.

Нека направим конструкции, които ще ни помогнат да дефинираме проекцията на точка върху равнина.

Нека в триизмерно пространство ни е дадена точка M 1 и равнина. Нека начертаем права линия a през точката M 1, перпендикулярна на равнината. Ако точката M 1 не лежи в равнината, тогава означаваме пресечната точка на правата a и равнината като H 1. По този начин, по конструкция, точката H 1 е основата на перпендикуляра, изпуснат от точка M 1 към равнината.

Определение.

Проекция на точка M 1 върху равнинае самата точка M 1, ако , или точката H 1, ако .

Следното определение е еквивалентно на това определение за проекцията на точка върху равнина.

Определение.

Проекция на точка върху равнина- това е или самата точка, ако лежи в дадена равнина, или основата на перпендикуляра, паднал от тази точка към дадена равнина.

На чертежа по-долу точката H 1 е проекцията на точка M 1 върху равнината; точка M 2 лежи в равнината, следователно M 2 е проекцията на самата точка M 2 върху равнината.

Намиране на координатите на проекцията на точка върху равнина - решаване на примери.

Нека Oxyz бъде въведен в триизмерно пространство, точка и самолет. Нека си поставим задачата: да определим координатите на проекцията на точка M 1 върху равнината.

Решението на задачата следва логически от дефиницията на проекцията на точка върху равнина.

Означете проекцията на точка M 1 върху равнината като H 1 . По дефиниция, проекцията на точка върху равнина, H 1 е пресечната точка на дадена равнина и права линия a, минаваща през точката M 1 перпендикулярно на равнината. По този начин желаните координати на проекцията на точка M 1 върху равнината са координатите на пресечната точка на правата a и равнината.

следователно, за намиране на проекционните координати на точка в самолета ви трябва:

Нека разгледаме примери.

Пример.

Намерете проекционните координати на точка към самолета .

Решение.

В условието на задачата ни е дадено общо уравнение на равнината на формата , така че не е необходимо да се компилира.

Нека напишем каноничните уравнения на правата а, която минава през точката M 1 перпендикулярно на дадената равнина. За да направим това, получаваме координатите на насочващия вектор на правата линия a. Тъй като правата a е перпендикулярна на дадената равнина, векторът на посоката на правата a е нормален вектор на равнината . т.е. - насочващ вектор на права линия a . Сега можем да напишем каноничните уравнения на права линия в пространството, която минава през точката и има вектор на посоката :
.

За да получите необходимите координати на проекцията на точка върху равнина, остава да се определят координатите на точката на пресичане на линията и самолет . За да направите това, от каноничните уравнения на правата линия преминаваме към уравненията на две пресичащи се равнини, съставяме система от уравнения и намерете неговото решение. Ние използваме:

Така че проекцията на точката към самолета има координати.

Отговор:

Пример.

В правоъгълна координатна система Oxyz в триизмерно пространство, точки и . Определете координатите на проекцията на точка M 1 върху равнината ABC.

Решение.

Нека първо напишем уравнението на равнина, минаваща през три дадени точки:

Но нека разгледаме алтернативен подход.

Нека получим параметричните уравнения на правата a , която минава през точката и перпендикулярна на равнината ABC. Нормалният вектор на равнината има координати , следователно, векторът е векторът на посоката на правата a . Сега можем да напишем параметричните уравнения на права линия в пространството, тъй като знаем координатите на точка от права линия ( ) и координатите на неговия вектор на посока ( ):

Остава да се определят координатите на пресечната точка на линията и самолети. За да направите това, ние заместваме в уравнението на равнината:
.

Сега чрез параметрични уравнения изчислете стойностите на променливите x , y и z при :
.

Така проекцията на точка M 1 върху равнината ABC има координати.

Отговор:

В заключение, нека обсъдим намирането на координатите на проекцията на някаква точка върху координатните равнини и равнините, успоредни на координатните равнини.

точкови проекции към координатните равнини Oxy , Oxz и Oyz са точките с координати и съответно. И проекциите на точката в самолета и , които са успоредни на координатните равнини Oxy , Oxz и Oyz съответно, са точки с координати и .

Нека покажем как са получени тези резултати.

Например, нека намерим проекцията на точка в самолета (други случаи са подобни на този).

Тази равнина е успоредна на координатната равнина Oyz и е нейният нормален вектор. Векторът е векторът на посоката на линията, перпендикулярна на равнината на Oyz. Тогава параметричните уравнения на правата линия, минаваща през точката M 1, перпендикулярна на дадената равнина, имат вида .

Намерете координатите на пресечната точка на правата и равнината. За да направите това, първо заместваме в уравнението на равенството: , и проекцията на точката

Бугров Я.С., Николски С.М. Висша математика. Том първи: Елементи на линейната алгебра и аналитична геометрия.

Илин В.А., Позняк Е.Г. Аналитична геометрия.

Точката като математическо понятие няма измерения. Очевидно, ако обектът на проекция е обект с нулево измерение, тогава е безсмислено да се говори за неговата проекция.

Фиг.9 Фиг.10

В геометрията под точка е препоръчително да се вземе физически обект, който има линейни размери. Обикновено топка с безкрайно малък радиус може да се приеме като точка. С тази интерпретация на понятието точка можем да говорим за нейните проекции.

При конструиране на ортогонални проекции на точка трябва да се ръководи от първото инвариантно свойство на ортогоналната проекция: ортогоналната проекция на точка е точка.

Позицията на точка в пространството се определя от три координати: X, Y, Z,показващ разстоянията, на които точката се отстранява от проекционните равнини. За да определите тези разстояния, достатъчно е да определите точките на среща на тези линии с проекционните равнини и да измерите съответните стойности, които ще показват съответно стойностите на абсцисата. х, ординати Йи апликации Зточки (фиг. 10).

Проекцията на точка е основата на перпендикуляра, спуснат от точката към съответната проекционна равнина. Хоризонтална проекцияточки анаричаме правоъгълната проекция на точка върху хоризонталната равнина на проекциите, фронтална проекция a /- съответно на фронталната равнина на проекциите и профил а // –върху равнината на профилната проекция.

Директен Аа, Аа /и аа //се наричат ​​проекционни линии. В същото време директно ах,прожекционна точка НОвърху хоризонталната равнина на проекциите, наречена хоризонтално издадена линия, Аa /и аа //- съответно: фронталнои профилно изпъкнали прави линии.

Две проециращи се прави, минаващи през точка НОдефинира равнината, която се нарича проектиране.

При преобразуване на пространственото оформление, челната проекция на точката A - a /остава на мястото си като принадлежащ на равнина, която не променя позицията си при разглежданата трансформация. Хоризонтална проекция - азаедно с хоризонталната проекционна равнина ще се завърти по посока на движението по часовниковата стрелка и ще бъде разположена в един перпендикуляр на оста хс предна проекция. Проекция на профил - а //ще се завърти заедно с профилната равнина и до края на трансформацията ще заеме позицията, посочена на фигура 10. В същото време - а //ще бъде перпендикулярна на оста Зизвлечен от точката а /и ще бъде отстранен от оста Зсъщото разстояние като хоризонталната проекция адалеч от оста х. Следователно връзката между хоризонталната и профилната проекции на точка може да се установи с помощта на два ортогонални сегмента аа уи a y a //и конюгираща дъга на окръжност, центрирана в точката на пресичане на осите ( О- произход). Маркираната връзка се използва за намиране на липсващата проекция (за две дадени). Позицията на профилната (хоризонтална) проекция според дадените хоризонтални (профилни) и челни проекции може да се намери с помощта на права линия, начертана под ъгъл 45 0 от началото към оста Й(тази сисектриса се нарича права линия) ке константата на Монж). Първият от тези методи е за предпочитане, тъй като е по-точен.

Следователно:

1. Премахната точка в пространството:

от хоризонталната равнина Х Z,

от фронталната равнина Vпо стойността на дадена координата Y,

от профилна равнина Упо стойността на координатата. х.

2. Две проекции на всяка точка принадлежат на един и същ перпендикуляр (една съединителна линия):

хоризонтални и фронтални - перпендикулярни на оста х,

хоризонтално и профилно - перпендикулярно на оста Y,

фронтална и профилна - перпендикулярна на оста Z.

3. Положението на точка в пространството се определя изцяло от положението на двете й ортогонални проекции. Следователно - от всякакви две дадени ортогонални проекции на точка винаги е възможно да се построи липсващата й трета проекция.

Ако една точка има три определени координати, тогава такава точка се нарича точка в общото положение.Ако една точка има една или две координати, равни на нула, тогава такава точка се нарича частна позиционна точка.

Ориз. 11 Фиг. 12

Фигура 11 показва пространствен чертеж на точки с определена позиция, Фигура 12 показва сложен чертеж (диаграми) на тези точки. точка НОпринадлежи на равнината на фронталната проекция, точката AT– хоризонтална равнина на проекции, точка С– профилна равнина на проекции и точка д– абсцисната ос ( х).

Спомагателна линия за много чертежи

В чертежа, показан на фиг. 4.7, а,начертават се проекционни оси, а изображенията са свързани помежду си с комуникационни линии. Хоризонталните и профилните проекции са свързани с комуникационни линии с помощта на дъги, центрирани в точка Опресечки на оси. На практика обаче се използва и друга реализация на интегрирания чертеж.

На чертежи без оси изображенията също се поставят в проекция. Въпреки това, третата проекция може да бъде поставена по-близо или по-далеч. Например профилна проекция може да се постави вдясно (фиг. 4.7, б, II) или наляво (фиг. 4.7, б, аз). Това е важно за спестяване на място и лекота на оразмеряване.

Ориз. 4.7.

Ако в чертеж, направен по безосова система, е необходимо да се начертаят комуникационни линии между изглед отгоре и изглед отляво, тогава се използва спомагателна права линия на сложния чертеж. За да направите това, приблизително на нивото на изгледа отгоре и малко вдясно от него, се начертава права линия под ъгъл от 45 ° спрямо рамката на чертежа (фиг. 4.8, а). Нарича се спомагателна линия на сложния чертеж. Процедурата за конструиране на чертеж с помощта на тази права линия е показана на фиг. 4.8, б, в

Ако вече са изградени три изгледа (фиг. 4.8, d), тогава позицията на спомагателната линия не може да бъде избрана произволно. Първо трябва да намерите точката, през която ще премине. За да направите това, достатъчно е да продължите до взаимното пресичане на оста на симетрия на хоризонталната и профилната проекции и през получената точка кначертайте сегмент от права линия под ъгъл от 45 ° (фиг. 4.8, д). Ако няма оси на симетрия, продължете до пресечната точка в точката к 1 хоризонтални и профилни проекции на всяко лице, проектирано като права линия (фиг. 4.8, д).

Ориз. 4.8.

Необходимостта от начертаване на комуникационни линии и следователно на спомагателна права линия възниква при конструиране на липсващи проекции и при изпълнение на чертежи, върху които е необходимо да се определят проекциите на точки, за да се изяснят проекциите на отделни елементи на детайла.

Примери за използване на спомагателния ред са дадени в следващия параграф.

Проекции на точка, лежаща върху повърхността на обект

За да се изградят правилно проекции на отделни елементи на детайл при изработване на чертежи, е необходимо да можете да намерите проекции на отделни точки върху всички чертожни изображения. Например, трудно е да се начертае хоризонтална проекция на частта, показана на фиг. 4.9 без използване на проекциите на отделни точки ( А Б В Г Ди т.н.). Възможността за намиране на всички проекции на точки, ръбове, лица е необходима и за пресъздаване във въображението на формата на обект според плоските му изображения в чертежа, както и за проверка на правилността на завършения чертеж.

Ориз. 4.9.

Нека разгледаме начините за намиране на втората и третата проекции на точка, дадена върху повърхността на обект.

Ако една проекция на точка е дадена в чертежа на обект, тогава първо е необходимо да се намерят проекциите на повърхността, върху която се намира тази точка. След това изберете един от двата описани по-долу метода за решаване на проблема.

Първи начин

Този метод се използва, когато поне една от проекциите показва дадената повърхност като линия.

На фиг. 4.10, ае показан цилиндър, върху чиято челна проекция е поставена проекцията а"точки НО,лежаща на видимата част от повърхността му (даните издатини са маркирани с двойни цветни кръгове). За да намерите хоризонталната проекция на точка НО,те се аргументират по следния начин: точката лежи върху повърхността на цилиндъра, чиято хоризонтална проекция е окръжност. Това означава, че проекцията на точка, лежаща на тази повърхност, също ще лежи върху окръжността. Начертайте комуникационна линия и маркирайте желаната точка в нейното пресичане с кръга а.трета проекция а"

Ориз. 4.10.

Ако точката AT,лежаща върху горната основа на цилиндъра, дадена от неговата хоризонтална проекция б,след това комуникационните линии се изтеглят до пресечната точка с прави сегменти, изобразяващи челната и профилната проекция на горната основа на цилиндъра.

На фиг. 4.10, b показва детайла - ударение. Да се ​​построят проекции на точка НО,дадено от неговата хоризонтална проекция а,намерете две други проекции на горната страна (върху която лежи точката НО) и, начертавайки линиите на свързване до пресечната точка с линиите, изобразяващи това лице, определете желаните проекции - точки а"и а".точка ATлежи на лявата вертикална страна, което означава, че неговите проекции също ще лежат върху проекциите на това лице. Така че от дадена точка б"начертайте комуникационни линии (както е показано със стрелки), докато се срещнат с линейни сегменти, изобразяващи това лице. фронтална проекция с"точки С,лежащи върху наклонено (в пространството) лице, се намират на линията, изобразяваща това лице, и профилът с"- в пресечната точка на свързващата линия, тъй като профилната проекция на това лице не е линия, а фигура. Изграждане на точкови проекции дпоказано със стрелки.

Втори начин

Този метод се използва, когато първият метод не може да се използва. Тогава трябва да направите това:

• начертайте през дадена проекция на точката проекцията на спомагателната линия, разположена върху дадената повърхност;
• намерете втората проекция на тази права;
• към намерената проекция на правата, прехвърлете дадената проекция на точката (това ще определи втората проекция на точката);
• намерете третата проекция (ако е необходимо) в пресечната точка на комуникационните линии.

На фиг. 4.10 е дадена фронтална проекция а"точки НО,лежаща върху видимата част на повърхността на конуса. За да намерите хоризонталната проекция през точка а"извършва фронтална проекция на спомагателна права линия, минаваща през точката НОи горната част на конуса. Вземете точка Vе проекцията на срещата на начертаната линия с основата на конуса. Имайки челни проекции на точки, лежащи на права линия, могат да се намерят техните хоризонтални проекции. Хоризонтална проекция свърхът на конуса е известен. точка блежи върху обиколката на основата. През тези точки се изчертава отсечка и точка се прехвърля към нея (както е показано със стрелката). а",получаване на точка а.Трета проекция а"точки НОнамиращ се на кръстовището.

Същият проблем може да бъде решен по различен начин (фиг. 4.10, г).

Като помощна права, минаваща през точка НО,те вземат не права линия, както в първия случай, а кръг. Този кръг се образува, ако в точката НОпресечете конуса с равнина, успоредна на основата, както е показано на визуалното представяне. Фронталната проекция на тази окръжност ще бъде изобразена като сегмент от права линия, тъй като равнината на окръжността е перпендикулярна на равнината на челната проекция. Хоризонталната проекция на кръг има диаметър, равен на дължината на този сегмент. Описвайки кръг с посочения диаметър, нарисувайте от точка а"линия на свързване до пресечната точка със спомагателния кръг, тъй като хоризонталната проекция аточки НОлежи на спомагателната линия, т.е. върху конструирания кръг. трета проекция като"точки НОнамерен на пресечната точка на комуникационните линии.

По същия начин можете да намерите проекциите на точка, лежаща върху повърхност, например пирамида. Разликата ще бъде, че когато се пресече от хоризонтална равнина, не се образува кръг, а фигура, подобна на основата.

цели:

• Изучаване на правилата за изграждане на проекции на точки върху повърхността на обект и четене на чертежи.
• Развийте пространствено мислене, способността да анализирате геометричната форма на обект.
• Да се ​​култивира трудолюбие, способност за сътрудничество при работа в групи, интерес към предмета.

ПО ВРЕМЕ НА УРОКИТЕ

АЗ СЦЕНА. МОТИВАЦИЯ НА УЧЕБНАТА ДЕЙНОСТ.

II ЕТАП. ФОРМИРАНЕ НА ЗНАНИЯ, УМЕНИЯ И УМЕНИЯ.

ЗДРАВОСПАСЯВАЩА ПАУЗА. ОТРАЖЕНИЕ (НАСТРОЕНИЕ)

ЕТАП III. ИНДИВИДУАЛНА РАБОТА.

АЗ СЦЕНА. МОТИВАЦИЯ НА УЧЕБНАТА ДЕЙНОСТ

1) учител:Проверете работното си място, всичко ли е на мястото си? Всички готови ли са да тръгват?

ДИШАЙТЕ ДЪЛБОКО, ЗДЪРЖАЙТЕ ДИШАНЕТО НА ИЗХУХА, ИЗДИШАЙТЕ.

Определете настроението си в началото на урока според схемата (такава схема е на масата за всички)

ЖЕЛАЯ ВИ КЪСМЕТ.

2)Учител: Практическа работа по темата „Проекции на върхове, ръбове, лица” показа, че има момчета, които правят грешки при проектиране. Те се объркват коя от двете съвпадащи точки на чертежа е видимият връх и коя е невидимият; когато ръбът е успореден на равнината и когато е перпендикулярен. Същото нещо с ръбовете.

За да избегнете повтаряне на грешки, изпълнете необходимите задачи с помощта на картата за консултации и коригирайте грешките в практическата работа (на ръка). И докато работите, помнете:

„ВСЕКИ МОЖЕ ДА ГРЕШИ, ОСТАНЕ НА ГРЕШКАТА СИ – САМО ЛУДИТЕ”.

А тези, които са усвоили добре темата, ще работят в групи с творчески задачи (вж. Приложение 1 ).

II ЕТАП. ФОРМИРАНЕ НА ЗНАНИЯ, УМЕНИЯ И УМЕНИЯ

1)учител:В производството има много части, които са прикрепени една към друга по определен начин.
Например:
Капакът на работния плот е прикрепен към вертикалните стълбове. Обърнете внимание на масата, на която сте, как и с какво са закрепени един към друг капака и стелажите?

Отговор:Болт.

учител:Какво е необходимо за болт?

Отговор:дупка.

учител:Наистина ли. И за да направите дупка, трябва да знаете местоположението му върху продукта. При изработване на маса дърводелецът не може всеки път да се свърже с клиента. И така, каква е необходимостта от осигуряване на дърводелец?

Отговор:Рисуване.

учител:Рисуване!? Какво наричаме рисунка?

Отговор:Чертежът е изображение на обект чрез правоъгълни проекции в проекционна връзка. Според чертежа можете да представите геометричната форма и дизайна на продукта.

учител:Завършихме правоъгълни проекции, а след това? Ще можем ли да определим местоположението на дупките от една проекция? Какво още трябва да знаем? Какво да научим?

Отговор:Изграждане на точки. Намерете проекции на тези точки във всички изгледи.

учител:Много добре! Това е целта на нашия урок и темата: Построяване на проекции на точки върху повърхността на обект.Запишете темата на урока в тетрадката си.
Ние с вас знаем, че всяка точка или сегмент от изображението на обект е проекция на връх, ръб, лице, т.е. всеки изглед е изображение не от едната страна (гл. изглед, изглед отгоре, изглед отляво), а целия обект.
За да намерите правилно проекциите на отделни точки, лежащи върху лицата, първо трябва да намерите проекциите на това лице и след това да използвате линиите на свързване, за да намерите проекциите на точките.

(Разглеждаме чертежа на дъската, работим в тетрадка, където у дома се правят 3 проекции на една и съща част).

- Отворих тетрадка с завършен чертеж (Обяснение за изграждането на точки върху повърхността на обект с водещи въпроси на дъската и учениците го фиксират в тетрадка.)

учител:Помислете за точка AT. На коя равнина е лицето с тази точка, успоредна?

Отговор:Лицето е успоредно на фронталната равнина.

учител:Задаваме проекцията на точка б' във фронтална проекция. Изтеглете надолу от точката б' вертикална комуникационна линия към хоризонталната проекция. Къде ще бъде хоризонталната проекция на точката? AT?

Отговор:В пресечната точка с хоризонталната проекция на лицето, което беше проектирано в ръба. И е в долната част на проекцията (изглед).

учител:Точкова профилна проекция b'' къде ще се намира? Как ще го намерим?

Отговор:На пресечната точка на хоризонталната комуникационна линия от б' с вертикален ръб вдясно. Този ръб е проекцията на лицето с точка AT.

ТЕЗИ, КОЕТО ИСКАТ ДА ИЗГРАЖДАТ СЛЕДВАЩАТА ПРОЕКЦИЯ НА ТОЧКАТА, СЕ ВИКАТ НА ДЪСКАТА.

учител:Точкови проекции НОсе намират и чрез комуникационни линии. Коя равнина е успоредна на ръба с точка НО?

Отговор:Лицето е успоредно на профилната равнина. Поставяме точка върху проекцията на профила а'' .

учител:На каква проекция лицето е проектирано в ръба?

Отговор:Отпред и хоризонтално. Нека начертаем хоризонтална линия на свързване до пресечната точка с вертикален ръб вляво на фронталната проекция, получаваме точка а' .

учител:Как да намерите проекцията на точка НОна хоризонтална проекция? В крайна сметка, комуникационни линии от проекцията на точки а' и а'' не пресичат проекцията на лицето (ръба) на хоризонталната проекция отляво. Какво може да ни помогне?

Отговор:Можете да използвате постоянна права линия (тя определя позицията на изгледа вляво) от а'' начертайте вертикална комуникационна линия, докато се пресече с постоянна права линия. От пресечната точка се начертава хоризонтална комуникационна линия, докато се пресече с вертикален ръб отляво. (Това е лицето с точка А) и обозначава проекцията с точка а .

2) учител:Всеки има карта със задача на масата, с прикрепена паус. Помислете за чертежа, сега опитайте сами, без да преначертавате проекциите, да намерите дадените проекции на точки на чертежа.

– Намерете в учебника стр. 76 фиг. 93. Тествайте се. Който се представи правилно - оценка "5" "; една грешка - "4"; две - "3".

(Оценките се поставят от самите ученици в листа за самоконтрол).

- Събирайте карти за тестване.

3)Групова работа:Ограничено време: 4мин. + 2 мин. чекове. (Съединяват се две бюра с ученици, като в групата се избира ръководител).

За всяка група задачите са разпределени на 3 нива. Учениците избират задачи по нива (по желание). Решаване на задачи за изграждане на точки. Обсъдете конструкцията под наблюдението на лидера. След това верният отговор се показва на дъската с помощта на кодоскоп. Всеки проверява дали точките са проектирани правилно. С помощта на ръководителя на групата се дават оценки по задачи и в листове за самоконтрол (вж. Приложение 2 и Приложение 3 ).

ЗДРАВОСПАСЯВАЩА ПАУЗА. ОТРАЖЕНИЕ

"Поза на фараона"- седнете на ръба на стол, изправете гърба си, огънете ръцете си в лактите, кръстосайте краката си и се изправете на пръсти. Вдишайте, стегнете всички мускули на тялото, докато задържате дъха, издишайте. Правете 2-3 пъти. Затворете очите си плътно, към звездите, отворете. Маркирайте настроението си.

ЕТАП III. ПРАКТИЧЕСКА ЧАСТ. (Индивидуални задачи)

Има карти със задачи, от които да избирате с различни нива. Учениците избират своя собствена опция. Намерете проекции на точки върху повърхността на обект. Работите се предават и оценяват за следващия урок. (См. Приложение 4 , Приложение 5 , Приложение 6 ).

ЕТАП IV. ФИНАЛ

1) Домашна работа. (Инструкция).Изпълнява се по нива:

B - разбиране, на "3". Упражнение 1 фиг. 94а стр. 77 - според заданието в учебника: попълнете липсващите проекции на точки върху тези проекции.

B - приложение, на "4". Упражнение 1 Фиг. 94 a, b. попълнете липсващите проекции и маркирайте върховете на визуалното изображение в 94a и 94b.

А - анализ, на "5". (Повишена трудност.)напр. 4 фиг.97 - построете липсващи проекции на точки и ги обозначете с букви. Няма визуален образ.

2)Рефлективен анализ.

1. Определете настроението в края на урока, маркирайте го на листа за самоконтрол с произволен знак.
2. Какво ново научихте на урока днес?
3. Каква форма на работа е най-ефективна за вас: групова, индивидуална и бихте ли искали да се повтори в следващия урок?
4. Събирайте контролни списъци.

3)"Грешен учител"

учител:Научихте как да изграждате проекции на върхове, ръбове, лица и точки върху повърхността на обект, като следвате всички правила за изграждане. Но тук ти беше даден чертеж, където има грешки. Сега се опитайте като учител. Намерете сами грешките, ако откриете всички 8–6 грешки, тогава резултатът е съответно „5“; 5–4 грешки - "4", 3 грешки - "3".

Отговори:

Помислете за профилната равнина на проекциите. Проекциите върху две перпендикулярни равнини обикновено определят позицията на фигурата и позволяват да се открият нейните реални размери и форма. Но има моменти, когато две прогнози не са достатъчни. След това приложете конструкцията на третата проекция.

Третата проекционна равнина се осъществява така, че да е перпендикулярна на двете проекционни равнини едновременно (фиг. 15). Третата равнина се нарича профил.

В такива конструкции се нарича общата линия на хоризонталната и фронталната равнина ос х , общата линия на хоризонталната и профилната равнина - ос в , и общата права линия на челната и профилната равнина - ос z . точка О, който принадлежи и на трите равнини, се нарича начална точка.

Фигура 15а показва точката НОи три от неговите проекции. Проекция върху профилната равнина ( а) са наречени профилна проекцияи обозначават а.

Да се ​​получи диаграма на точка А, която се състои от три проекции а, а а, е необходимо да се отреже триедърът, образуван от всички равнини по оста y (фиг. 15b) и да се комбинират всички тези равнини с равнината на фронталната проекция. Хоризонталната равнина трябва да се завърти около оста х, а профилната равнина е близо до оста zв посоката, посочена със стрелката на фигура 15.

Фигура 16 показва позицията на проекциите а, аи аточки НО, получен в резултат на комбиниране на трите равнини с равнината на чертежа.

В резултат на изрязването, оста y се появява на диаграмата на две различни места. В хоризонтална равнина (фиг. 16) той заема вертикално положение (перпендикулярно на оста х), а на профилната равнина - хоризонтална (перпендикулярна на оста z).

Фигура 16 показва три проекции а, аи аточки А имат строго дефинирана позиция на диаграмата и са обект на недвусмислени условия:

аи атрябва винаги да се намира на една вертикална права линия, перпендикулярна на оста х;

аи атрябва винаги да се намира на една и съща хоризонтална линия, перпендикулярна на оста z;

3) при начертаване през хоризонтална проекция и хоризонтална линия, но през профилна проекция а- вертикална права линия, конструираните линии непременно ще се пресичат на ъглополовящата на ъгъла между осите на проекциите, тъй като фигурата Оав а 0 а n е квадрат.

При конструиране на три проекции на точка е необходимо да се провери изпълнението на трите условия за всяка точка.

Координати на точки

Позицията на точка в пространството може да се определи с помощта на три числа, наречени нейни координати. Всяка координата съответства на разстоянието на точка от някаква проекционна равнина.

Точково разстояние НОкъм профилната равнина е координатата х, при което х = a˝A(фиг. 15), разстоянието до фронталната равнина - по координатата y, а y = аа, а разстоянието до хоризонталната равнина е координатата z, при което z = аА.

На фигура 15 точка А заема ширината на правоъгълна кутия и измерванията на тази кутия съответстват на координатите на тази точка, т.е. всяка от координатите е представена на фигура 15 четири пъти, т.е.

x = a˝A = Oa x = a y a = a z á;

y = а́А = Оа y = a x a = a z a˝;

z = aA = Oa z = a x a′ = a y a˝.

На диаграмата (фиг. 16) координатите x и z се срещат три пъти:

x = a z a ́ = Oa x \u003d a y a,

z = a x á = Oa z = a y a˝.

Всички сегменти, които съответстват на координатата х(или z) са успоредни един на друг. Координирайте впредставено два пъти от вертикалната ос:

y \u003d Oa y = a x a

и два пъти - разположени хоризонтално:

y \u003d Oa y \u003d a z a˝.

Тази разлика се появи поради факта, че оста y присъства на диаграмата в две различни позиции.

Трябва да се отбележи, че позицията на всяка проекция се определя на диаграмата само от две координати, а именно:

1) хоризонтална - координати хи в,

2) челни - координати хи z,

3) профил - координати ви z.

Използване на координати x, yи z, можете да изградите проекции на точка на диаграмата.

Ако точка А е дадена с координати, записът им се дефинира, както следва: A ( Х; y; z).

При конструиране на точкови проекции НОтрябва да се проверят следните условия:

1) хоризонтални и фронтални проекции аи а х х;

2) челни и профилни проекции аи атрябва да бъде разположен на същия перпендикуляр на оста z, тъй като имат обща координата z;

3) хоризонтална проекция и също се отстранява от оста х, като профилната проекция адалеч от оста z, тъй като проекциите a′ и a˝ имат обща координата в.

Ако точката лежи в някоя от проекционните равнини, тогава една от нейните координати е равна на нула.

Когато една точка лежи върху оста на проекцията, нейните две координати са нула.

Ако една точка лежи в началото, и трите й координати са нула.

Проекция на права линия

Две точки са необходими за дефиниране на линия. Точката се определя от две проекции върху хоризонталната и фронталната равнина, т.е. правата линия се определя с помощта на проекциите на двете й точки върху хоризонталната и фронталната равнина.

Фигура 17 показва прогнози ( аи а, би б) две точки НОи Б. С тяхна помощ позицията на някаква права линия АБ. При свързване на едноименни проекции на тези точки (т.е. аи б, аи б) можете да получите прогнози аби абдиректен AB.

Фигура 18 показва проекциите на двете точки, а Фигура 19 показва проекциите на права линия, минаваща през тях.

Ако проекциите на права линия се определят от проекциите на двете й точки, тогава те се обозначават с две съседни латински букви, съответстващи на обозначенията на проекциите на точките, взети върху правата линия: с щрихи за обозначаване на челната проекция на права линия или без щрихи - за хоризонтална проекция.

Ако разглеждаме не отделни точки на права линия, а нейните проекции като цяло, тогава тези проекции са обозначени с числа.

Ако някаква точка Слежи на права линия АБ, неговите проекции с и с́ са върху проекциите на една и съща права аби аб. Фигура 19 илюстрира тази ситуация.

Прави следи

следа направо- това е точката на нейното пресичане с някаква равнина или повърхност (фиг. 20).

Хоризонтална писта праванякаква точка се нарича Хкъдето линията пресича хоризонталната равнина и челен- точка V, в която тази права линия среща фронталната равнина (фиг. 20).

Фигура 21а показва хоризонталната следа на права линия и нейната фронтална следа на фигура 21b.

Понякога се разглежда и профилната следа на права линия, У- точката на пресичане на права линия с профилна равнина.

Хоризонталната следа е в хоризонталната равнина, тоест нейната хоризонтална проекция зсъвпада с тази следа, а челната злежи върху оста x. Фронталната следа лежи във фронталната равнина, така че нейната фронтална проекция ν́ съвпада с нея, а хоризонталната v лежи върху оста x.

Така, Х = з, и V= v. Следователно, за да се обозначат следи от права линия, могат да се използват букви зи v.

Различни позиции на линията

Правата линия се нарича пряка обща позиция, ако не е нито успоредна, нито перпендикулярна на която и да е от проекционните равнини. Проекциите на права в общо положение също не са нито успоредни, нито перпендикулярни на осите на проекцията.

Прави линии, които са успоредни на една от проекционните равнини (перпендикулярни на една от осите).Фигура 22 показва права линия, която е успоредна на хоризонталната равнина (перпендикулярна на оста z), е хоризонтална права линия; фигура 23 показва права линия, която е успоредна на челната равнина (перпендикулярна на оста в), е предната права линия; фигура 24 показва права линия, която е успоредна на профилната равнина (перпендикулярна на оста х), е профилна права линия. Въпреки факта, че всяка от тези линии образува прав ъгъл с една от осите, те не я пресичат, а само се пресичат с нея.

Поради факта, че хоризонталната линия (фиг. 22) е успоредна на хоризонталната равнина, нейните челни и профилни проекции ще бъдат успоредни на осите, които определят хоризонталната равнина, т.е. хи в. Следователно прогнози аб|| хи a˝b˝|| в z. Хоризонталната проекция ab може да заема произволно положение на графика.

На фронталната линия (фиг. 23) проекция аб|| х и a˝b˝ || z, тоест те са перпендикулярни на оста в, и следователно в този случай фронталната проекция аблинията може да заеме всяка позиция.

На профилната линия (фиг. 24) аб|| y, ab|| z, и двете са перпендикулярни на оста x. Проекция a˝b˝може да се постави на диаграмата по всякакъв начин.

Когато разглеждате равнината, която проектира хоризонталната линия върху фронталната равнина (фиг. 22), можете да видите, че тя проектира тази линия и върху профилната равнина, т.е. това е равнина, която проектира линията върху две проекционни равнини наведнъж - предната и профилната част. Поради тази причина се нарича двойно издадена равнина. По същия начин, за фронталната линия (фиг. 23), двойно издадената равнина я проектира върху равнините на хоризонталната и профилната проекции, а за профила (фиг. 23) - върху равнините на хоризонталната и фронталната проекции .

Две проекции не могат да определят права линия. Две проекции 1 и единпрофилна права линия (фиг. 25) без уточняване на проекциите на две точки от тази права линия върху тях няма да определи положението на тази права линия в пространството.

В равнина, която е перпендикулярна на две дадени равнини на симетрия, може да има безкраен брой линии, за които данните на диаграмата 1 и единса техните проекции.

Ако една точка е на права, тогава нейните проекции във всички случаи лежат върху едноименните проекции на тази права. Обратната ситуация не винаги е вярна за профилната линия. На неговите проекции можете произволно да посочите проекциите на определена точка и да не сте сигурни, че тази точка лежи на дадена права.

И в трите специални случая (фиг. 22, 23 и 24) позицията на правата линия спрямо равнината на проекциите е нейният произволен сегмент АБ, взето върху всяка от правите, се проектира върху една от проекционните равнини без изкривяване, тоест върху равнината, на която е успоредна. Линеен сегмент АБхоризонтална права линия (фиг. 22) дава проекция в натурален размер върху хоризонтална равнина ( аб = АБ); линеен сегмент АБфронтална права линия (фиг. 23) - в пълен размер върху равнината на челната равнина V ( аб = АБ) и сегмента АБпрофилна права линия (фиг. 24) - в пълен размер върху профилната равнина У (a˝b˝\u003d AB), тоест е възможно да се измери действителният размер на сегмента на чертежа.

С други думи, с помощта на диаграми могат да се определят естествените размери на ъглите, които разглежданата линия образува с проекционните равнини.

Ъгълът, който прави права линия с хоризонтална равнина Х, обичайно е да се обозначава буквата α, с челната равнина - буквата β, с профилната равнина - буквата γ.

Нито една от разглежданите прави линии няма следа в равнина, успоредна на нея, т.е. хоризонталната права няма хоризонтална следа (фиг. 22), челната права няма челна следа (фиг. 23), а профилът правата линия няма профилна следа (фиг. 24 ).