Урок по темата Тригонометрични функции на ъгловия аргумент. Тригонометрични функции на ъглов аргумент

Каквото и реално число t да се вземе, може да му бъде присвоено уникално определено число sin t. Вярно е, че правилото за съответствие е доста сложно; както видяхме по-горе, то се състои в следното.

За да намерите стойността на sin t по числото t, трябва:

1) позиционирайте числовата окръжност в координатната равнина така, че центърът на окръжността да съвпада с началото на координатите, а началната точка A на окръжността да удари точката (1; 0);

2) намерете точка от окръжността, съответстваща на числото t;

3) намерете ординатата на тази точка.

Тази ордината е sin t.

Всъщност говорим за функцията u = sin t, където t е всяко реално число.

Всички тези функции се извикват тригонометрични функции на числения аргумент t.

Има редица връзки, свързващи стойностите на различни тригонометрични функции, вече сме получили някои от тези връзки:

sin 2 t + cos 2 t = 1

От последните две формули е лесно да се получи релация, свързваща tg t и ctg t:

Всички тези формули се използват в случаите, когато, знаейки стойността на която и да е тригонометрична функция, е необходимо да се изчислят стойностите на останалите тригонометрични функции.

Термините "синус", "косинус", "тангенс" и "котангенс" всъщност бяха познати, но те все още се използват в малко по-различна интерпретация: в геометрията и физиката те разглеждат синус, косинус, тангенс и котангенс g l a(но не

числа, както беше в предишните параграфи).

От геометрията е известно, че синусът (косинусът) на остър ъгъл е съотношението на катета на правоъгълен триъгълник към неговата хипотенуза, а тангенсът (котангенс) на ъгъл е отношението на катета на правоъгълен триъгълник. В предишните параграфи беше разработен различен подход към понятията синус, косинус, тангенс и котангенс. Всъщност тези подходи са взаимосвързани.

Да вземем ъгъл с градусова мярка b o и да го подредим в модела "числова окръжност в правоъгълна координатна система", както е показано на фиг. четиринадесет

ъглова горна част, съвместима с центъра

кръгове (с началото на координатната система),

и едната страна на ъгъла е съвместима с

положителен лъч на оста X. точка

пресичане на другата страна на ъгъла с

кръгът ще бъде обозначен с буквата M. Ordina-

Фигура 14 b o , а абсцисата на тази точка е косинусът на ъгъла b o .

За да се намери синус или косинус на ъгъла b o, изобщо не е необходимо да се правят тези много сложни конструкции всеки път.

Достатъчно е да се отбележи, че дъгата AM е същата част от дължината на числовата окръжност, както ъгълът b o е от ъгъла от 360°. Ако дължината на дъгата AM е обозначена с буквата t, тогава получаваме:

По този начин,

Например,

Смята се, че 30 ° е градусова мярка на ъгъл и е радианска мярка за същия ъгъл: 30 ° = rad. В общи линии:

По-специално, аз се радвам откъде, на свой ред, ние получаваме.

И така, какво е 1 радиан? Има различни мерки за дължина на сегментите: сантиметри, метри, ярдове и др. Има и различни мерки за показване на големината на ъглите. Разглеждаме централните ъгли на единичната окръжност. Ъгъл от 1° е централен ъгъл, базиран на дъга, която е част от окръжност. Ъгъл от 1 радиан е централен ъгъл, базиран на дъга с дължина 1, т.е. върху дъга, чиято дължина е равна на радиуса на окръжността. От формулата получаваме, че 1 rad \u003d 57,3 °.

Като се има предвид функцията u = sin t (или всяка друга тригонометрична функция), можем да разглеждаме независимата променлива t като числов аргумент, както беше в предишните параграфи, но можем също да разглеждаме тази променлива като мярка за ъгъла, т.е. ъглов аргумент. Следователно, говорейки за тригонометрична функция, в известен смисъл е безразлично тя да се разглежда като функция на числов или ъглов аргумент.

Урок и презентация на тема: "Тригонометричната функция на ъгловия аргумент, степенната мярка на ъгъла и радианите"

Допълнителни материали
Уважаеми потребители, не забравяйте да оставите вашите коментари, отзиви, предложения. Всички материали се проверяват от антивирусна програма.

Ръководства и симулатори в онлайн магазин "Интеграл" за 10 клас от 1С
Решаваме задачи по геометрия. Интерактивни строителни задачи
Решаваме задачи по геометрия. Интерактивни задачи за изграждане в пространството

Какво ще учим:
1. Нека си спомним геометрията.
2. Дефиниция на ъгловия аргумент.
3. Градусна мярка на ъгъл.
4. Радианска мярка за ъгъл.
5. Какво е радиан?
6. Примери и задачи за самостоятелно решение.

Повторение на геометрията

Момчета, в нашите функции:

y= sin(t), y= cos(t), y= tg(t), y= ctg(t)

Променливата t може да приема не само числови стойности, тоест да бъде числов аргумент, но може да се разглежда и като мярка за ъгъл - ъглов аргумент.

Нека си спомним геометрията!
Как дефинирахме синус, косинус, тангенс, котангенс там?

Синусът на ъгъла е отношението на противоположния катет към хипотенузата

Косинус на ъгъл - отношението на съседния крак към хипотенузата

Тангенсът на ъгъл е отношението на противоположния катет към съседния.

Котангенсът на ъгъла е отношението на съседния крак към противоположния.

Дефиниране на тригонометричната функция на ъгловия аргумент

Нека дефинираме тригонометричните функции като функции на ъглов аргумент върху числов кръг:
С помощта на числов кръг и координатна система винаги можем лесно да намерим синус, косинус, тангенс и котангенс на ъгъл:

Поставяме върха на нашия ъгъл α в центъра на окръжността, т.е. до центъра на координатната ос и позиционирайте една от страните така, че да съвпада с положителната посока на оста x (OA)
Тогава втората страна пресича числовата окръжност в точка M.

Ординатточки M: синус на ъгъл α
Абсцисаточки M: косинус на ъгъл α

Имайте предвид, че дължината на дъгата AM е същата част от единичната окръжност като нашия ъгъл α от 360 градуса: където t е дължината на дъгата AM.

Градусна мярка на ъгъл

1) Момчета, получихме формула за определяне на градусната мярка на ъгъл през дължината на дъга на числов кръг, нека да я разгледаме по-отблизо:

След това записваме тригонометричните функции във формата:

Например:

Радианска мярка за ъгли

Когато изчислявате степента или радианната мярка на ъгъла, не забравяйте! :
Например:

Между другото! Обозначение рад. можеш да пуснеш!

Какво е радиан?

Скъпи приятели, попаднахме на нова концепция - радиан. И така, какво е то?

Има различни мерки за дължина, време, тегло, например: метър, километър, секунда, час, грам, килограм и други. Така че радианът е една от мерките на ъгъла. Струва си да се вземат предвид централните ъгли, тоест разположени в центъра на числовия кръг.
Ъгъл от 1 градус е централен ъгъл, базиран на дъга, равна на 1/360 от обиколката.

Ъгъл от 1 радиан е централен ъгъл, базиран на дъга, равна на 1 в единична окръжност, и в произволен кръг върху дъга, равна на радиуса на окръжността.

Примери:

Примери за преобразуване от градусова мярка на ъгъл в радиан и обратно

Задачи за самостоятелно решаване

1. Намерете радианната мярка на ъглите:
а) 55° б) 450° в) 15° г) 302°

2. Намерете:
a) sin(150°) b) cos(45°) c) tg(120°)

3. Намерете градусната мярка на ъглите:

Видео урокът "Тригонометрични функции на ъгловия аргумент" е нагледен материал за провеждане на урок по математика по съответната тема. Видеоклипът е съставен по такъв начин, че изучаваният материал е представен възможно най-удобно за разбиране от учениците, лесно се запомня, добре разкрива връзката между наличната информация за тригонометричните функции от раздела за изучаване на триъгълници и тяхното дефиниране с помощта на единичен кръг. Може да стане самостоятелна част от урока, тъй като изцяло покрива тази тема, допълнена от важни коментари по време на оценяването.

Анимационните ефекти се използват за визуално демонстриране на връзката между различните дефиниции на тригонометричните функции. Открояването на текста в цвят, ясни разбираеми конструкции, допълване с коментари помага за бързо овладяване, запомняне на материала и по-бързо постигане на целите на урока. Връзката между дефинициите на тригонометричните функции е ясно демонстрирана с помощта на анимационни ефекти и подчертаване на цветовете, което допринася за разбирането и запаметяването на материала. Наръчникът е насочен към подобряване на ефективността на обучението.

Урокът започва с въвеждане на темата. След това се припомнят определенията за синус, косинус, тангенс и котангенс на остър ъгъл на правоъгълен триъгълник. Определението, подчертано в полето, припомня, че синусът и косинусът се образуват като съотношението на катета към хипотенузата, а тангенсът и котангенсът се образуват от съотношението на катета. На учениците се припомня също така наскоро проучения материал, че когато се разглежда точка, принадлежаща на единична окръжност, абсцисата на точката е косинусът, а ординатата е синусът на числото, съответстващо на тази точка. Връзката на тези понятия е демонстрирана с помощта на конструкцията. На екрана се показва единичен кръг, поставен така, че центърът му да съвпада с началото. От началото на координатите се конструира лъч, образуващ ъгъл α с положителната полуос на абсцисата. Този лъч пресича единичната окръжност в точка O. Перпендикулярите се спускат от точката към абсцисата и оста y, което демонстрира, че координатите на тази точка определят косинуса и синуса на ъгъла α. Отбелязва се, че дължината на дъгата AO от точката на пресичане на единичната окръжност с положителната посока на оста на абсцисата до точката O е същата част от цялата дъга като ъгъла α от 360°. Това ви позволява да направите пропорцията α/360=t/2π, която се показва точно там и се маркира в червено за запомняне. Стойността t=πα/180° се извлича от тази пропорция. Като се има предвид това, се определя връзката между определенията на синус и косинус sinα°= sint= sinπα/180, cosα°=разход=cosπα/180. Дадено е например намирането на sin60 °. Замествайки градусната мярка на ъгъла във формулата, получаваме sin π 60°/180°. Намаляването на дроба с 60 получаваме sin π/3, което е равно на √3/2. Отбелязва се, че ако 60° е градусната мярка на ъгъл, тогава π/3 се нарича радианна мярка на ъгъла. Има два възможни записа на съотношението на градусната мярка на ъгъла към радиана: 60°=π/3 и 60°=π/3 rad.

Концепцията за ъгъл от един градус се дефинира като централен ъгъл, базиран на дъга, чиято дължина 1/360 представлява част от окръжността. Следното определение разкрива концепцията за ъгъл от един радиан - централен ъгъл, базиран на дъга с дължина един или равен на радиуса на окръжност. Определенията са маркирани като важни и подчертани за запомняне.

За преобразуване на една градусова мярка на ъгъл в радиан и обратно, се използва формулата α ° \u003d πα / 180 rad. Тази формула е подчертана в рамка на екрана. От тази формула следва, че 1°=π/180 rad. В този случай един радиан съответства на ъгъл от 180°/π≈57,3°. Отбелязва се, че при намиране на стойностите на тригонометричните функции на независимата променлива t тя може да се счита както за числен аргумент, така и за ъглов.

По-нататък са показани примери за използване на придобитите знания в хода на решаване на математически задачи. В пример 1 се изисква преобразуване на стойности от градуси в радиани 135° и 905°. От дясната страна на екрана има формула, която показва връзката между градус и радиан. След като заместим стойността във формулата, получаваме (π/180) 135. След като намалим тази фракция с 45, получаваме стойността 135°=3π/4. За преобразуване на ъгъл от 905° в радиани се използва същата формула. След заместване на стойността в него се оказва (π / 180) 905 \u003d 181π / 36 rad.

Във втория пример е решена обратната задача - намира се градусната мярка на ъглите, изразена в радиани π/12, -21π/20, 2.4π. От дясната страна на екрана се извиква проучената формула за връзката между степента и радианната мярка на ъгъла 1 rad \u003d 180 ° / π. Всеки пример се решава чрез заместване на радианната мярка във формулата. Замествайки π/12, получаваме (180°/π)·(π/12)=15°. По същия начин се намират стойностите на останалите ъгли -21π/20=-189° и 2,4π=432°.

Видео урокът "Тригонометрични функции на ъгловия аргумент" се препоръчва да се използва в традиционните уроци по математика за повишаване на ефективността на обучението. Материалът ще помогне да се осигури визуализация на обучението по време на дистанционно обучение по тази тема. Подробно, разбираемо обяснение на темата, решаването на проблеми по нея може да помогне на ученика да овладее материала самостоятелно.

ТЪЛКУВАНЕ НА ТЕКСТА:

"Тригонометрични функции на ъглов аргумент".

От геометрията вече знаем, че синусът (косинусът) на остър ъгъл на правоъгълен триъгълник е отношението на катета към хипотенузата, а тангенсът (котангенсът) е съотношението на катета. И в алгебрата ние наричаме абсцисата на точка от единичната окръжност косинус, а ординатата на тази точка - синус. Ще се погрижим всичко това да е тясно свързано.

Нека поставим ъгъл с градусова мярка α° (алфа градуси), както е показано на фигура 1: върхът на ъгъла е съвместим с центъра на единичната окръжност (с началото на координатната система) и едната страна на ъгълът е съвместим с положителния лъч на оста x. Втората страна на ъгъла пресича окръжността в точка O. Ордината на точка O е синусът на ъгъла алфа, а абсцисата на тази точка е косинусът на алфа.

Имайте предвид, че дъгата AO е същата част от дължината на единичната окръжност, както ъгълът alpha е от ъгъл от триста и шестдесет градуса. Нека да обозначим дължината на AO дъгата през t(te), тогава ще съставим пропорцията =

(алфа се отнася до доверие от шестдесет като te към две pi) От тук намираме te: t = = (te е равно на pi alpha, разделено на сто и осемдесет).

По този начин, за да намерите синуса или косинуса на ъгъла алфа градуси, можете да използвате формулата:

sin α ° \u003d sint \u003d sin (синусът на алфа градуса е равен на синуса на te и е равен на синуса на частния pi алфа до сто и осемдесет),

cosα° = цена = cos (косинусът на алфа градуса е равен на косинус от te и е равен на косинус на частния pi алфа до сто и осемдесет).

Например, sin 60 ° = sin = sin = (синусът от шестдесет градуса е равен на синуса на пи по три, според таблицата с основните стойности на синусите, той е равен на корена от три по две).

Смята се, че 60 ° е градусова мярка на ъгъл, а (pi по три) е радианска мярка на същия ъгъл, тоест 60 ° = радвам се(шестдесет градуса са равни на пи по три радиана). За краткост сме договорили нотация радвам сепропуснете, тоест е позволено следното обозначение: 60°= (показване на съкращенията радиан мярка = rad.)

Ъгъл от един градус е централен ъгъл, който се поддържа от дъга, която е (една триста и шестдесета) част от дъгата. Ъгъл от един радиан е централен ъгъл, който лежи върху дъга с дължина един, тоест върху дъга, чиято дължина е равна на радиуса на окръжност (считаме централните ъгли на единична окръжност, за да покажем ъгъл в пи радиани върху окръжност).

Нека си спомним важната формула за преобразуване на градусова мярка в радиан:

α° = радвам се. (алфа е равно на пи алфа, разделено на сто и осемдесет радиана) По-специално, 1° = радвам се(един градус е равен на пи, делено на сто и осемдесет радиана).

От това можем да открием, че един радиан е равен на отношението от сто и осемдесет градуса към пи и е приблизително равен на петдесет и седем точки три десети от градуса: 1 радвам се= ≈ 57,3°.

От горното: когато говорим за всяка тригонометрична функция, например за функцията s \u003d sint (es е равно на sinus te), независимата променлива t (te) може да се счита както за числов аргумент, така и за ъглов аргумент.

Помислете за примери.

ПРИМЕР 1. Преобразуване от градуси в радиани: а) 135°; б) 905°.

Решение. Нека използваме формулата за преобразуване на градуси в радиани:

а) 135° = 1° ∙ 135 = радвам се ∙ 135 = радвам се

(сто тридесет и пет градуса е равно на пи по сто и осемдесет радиана по сто тридесет и пет, а след намаляване е три пи по четири радиана)

b) По същия начин, използвайки формулата за преобразуване на градусната мярка в радиан, получаваме

905° = радвам се ∙ 905 = радвам се.

(деветстотин и пет градуса се равняват на сто осемдесет и едно пи по тридесет и шест радиана).

ПРИМЕР 2. Изразете в градуси: а) ; б) -; в) 2,4π

(пи по дванадесет; минус двадесет и едно пи по двадесет; две точки четири десети от пи).

Решение. а) Изразете в градуси pi по дванадесет, използвайте формулата за преобразуване на радианната мярка на ъгъла в градусната мярка в 1 радвам се=, получаваме

радвам се = 1 радвам се∙ = ∙ = 15°

По същия начин б) - = 1 радвам се∙ (-) \u003d ∙ (-) = - 189 ° (минус двадесет и едно пи на двадесет е равно на минус сто осемдесет и девет градуса),

в) 2,4π = 1 радвам се∙ 2.4π = ∙ 2.4π = 432° (две точки четири от пи са равни на четиристотин тридесет и два градуса).

Тригонометрични функции на числов аргументанализирахме. Взехме точка А от окръжността и потърсихме синуси и косинуси от получения ъгъл β.

Означихме точката като A, но в алгебрата тя често се означава с t и всички формули/функции са дадени с нея. Ние също няма да се отклоним от каноните. Тези. t - това ще бъде определено число и следователно числова функция(напр. sint)

Логично е, че тъй като имаме окръжност с радиус от единица, тогава

Тригонометрични функции на ъглов аргументние също го анализирахме успешно - според каноните ще пишем за такива функции: sin α °, което означава с α ° всеки ъгъл с броя градуси, от които се нуждаем.

Лъчът на този ъгъл ще ни даде втората точка на окръжността (OA - точка A) и съответните точки C и B за цифровата аргументна функция, ако имаме нужда от нея: sin t = sin α°

Прави на синуси, косинуси, тангенси и котангенси

Никога не забравяй това оста y е синусоидата, оста x е линията на косинусите! Точките, получени от окръжността, са отбелязани върху тези оси.

НО линиите на допирателните и котангентите са успоредни на тях и минават през точките (1; 0) и (0; 1)съответно.