Kako se vektor označava i crta. Vektori Vektori Istorijska referenca Koncept vektora Jednakost vektora Odlaganje vektora iz date tačke Zbir dva vektora Zakoni sabiranja Oduzimanje

Ako je = (̅

– osnova , ̅

= (1, 2, 3) , tada postoji skup brojeva (

…) takav da

̅ + + ̅̅, gdje je (

…) su koordinate vektora u bazi.

̅ s̅ = s̅ ̅

= ̅s ̅= − ̅s̅

= − s̅ ̅= − ̅ ̅s.

20. Formulirajte svojstvo linearnosti mješovitog proizvoda.

Mješoviti proizvod zadovoljava svojstvo asocijativnosti u odnosu na

množenje vektora brojem: (λ ̅ )s̅

= λ(̅ s̅ ).

Mješoviti proizvod zadovoljava distributivno svojstvo: (̅̅̅ +̅̅̅ )s̅

= ̅̅̅

̅s + ̅̅̅

With.

− 1

− 1

− 1

| 2 −1

2 − 1

2 −1 | = 0

3 − 1

3 − 1

3 − 1

(0 ;0 ;

su koordinate tačke 0 L u pravougaonom koordinatnom sistemu, nazivaju se

parametarske jednačine prave u prostoru.

Jednačina

− 0

− 0

− 0

pozvao kanonske jednačine ravno

prostor.

27. Zapišite jednačinu prave koja prolazi kroz dvije date tačke u prostoru.

Jednačine

− 1

− 1

− 1

naziva se jednadžbama prave linije koja prolazi kroz dvije tačke

paralelogram OA'CB', dakle = ′ + ′ . Vektor′ i vektor koji nije nula

su kolinearni, pa se stoga prvi od njih može dobiti množenjem drugog sa

realni broj α: ′ = . Slično′ = , β R. Kao rezultat, dobijamo, šta

̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅

= ′ + ′ , tj. vektor̅ je linearna kombinacija vektora i. Prema teoremi

̅ su linearno zavisne.

2.1 (o linearnoj zavisnosti vektora), vektori ̅ ,

2. Dokazati teoremu o proširenju vektora u terminima baze.

Teorema o proširenju vektora u terminima baze. Ako je = (̅

– osnova , ̅

= (1, 2, 3), onda

postoji skup brojeva (

…) takav da je ̅= ̅̅̅

̅ + + ̅ ̅, gdje je (

…) – koordinate

Razmotrimo dva vektora ̅

i, date njihovim koordinatama u desnoj ortonormalnoj bazi

̅ = {

). Tada postoje proširenja ovih vektora ̅ =̅ +̅

, ̅, ̅:

= ̅ +̅ +

Na osnovu ovih

reprezentacije

algebarski

množenje vektora,

dobijamo

= ̅× ̅+ ̅× ̅+ ̅× +

̅× ̅+ ̅× ̅+ ̅× +

̅ ̅

× ̅+ × ̅+

× = (

)̅+ (

)̅+ (

Neka su vektori a, b, c dati svojim koordinatama u desnoj ortonormalnoj bazi: ̅ = ( ;

), = ( ; ; ), ̅s = ( ; ; ). Da biste pronašli njihov mješoviti proizvod,

koristićemo formule za izračunavanje skalarnih i vektorskih proizvoda:

̅̅= ̅(× ̅)= ̅ (|

Ako je ravan π data u pravougaonom koordinatnom sistemu svojom opštom jednačinom

Ax + By + Cz + D = 0, tada je njegov vektor normale vektor sa koordinatama (A; B; C).

Neka (0, 0, 0) i (1, 1, 1) budu koordinate tačaka0

i 1 . Zatim jednakost

A 1 +B1 +C1 +D = 0, budući da tačka M1 pripada ravni i mogu se pronaći koordinate

̅̅̅̅̅̅̅̅

̅̅̅̅̅̅̅̅

̅̅̅̅̅̅̅̅

Vektori 1 0 :

1 0 = (0 − 1 ; 0 − 1 ; 0 − 1 ) . Zapisivanje skalarnog proizvoda ̅ 1 0

koordinatni oblik i transformacijom (5.8), dobijamo

| (0 −1 ) + (0 −1 ) + (0 −1 )|

| 0 +0 +0 − (1 +1 +1 )|

2 + 2+ 2

2 + 2+ 2

̅̅̅̅̅̅̅̅

(1 ,) =

| 0 1 × |

rad. Neka su linije 1

i 2

kanonske jednačine. Pošto su oni

̅̅̅̅̅̅̅̅

(1, 2) između redova:

̅ ̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅

(1 ,2 ) =

| 1 2

1 2|

Vektor je usmjeren segment prave linije u Euklidskom prostoru, u kojem se jedan kraj (tačka A) naziva početak vektora, a drugi kraj (tačka B) kraj vektora (slika 1) . Vektori su označeni:

Ako su početak i kraj vektora isti, tada se vektor naziva nulti vektor i označeno 0 .

Primjer. Neka početak vektora u dvodimenzionalnom prostoru ima koordinate A(12,6) , a kraj vektora su koordinate B(12.6). Tada je vektor nulti vektor.

Dužina rezanja AB pozvao modul (dugo, norma) vektor i označava se sa | a|. vektor dužine, jednako jedan, zove se jedinični vektor. Osim modula, vektor karakterizira smjer: vektor ima smjer od A to B. Vektor se zove vektor, suprotno vektor .

Dva vektora se nazivaju kolinearno ako leže na istoj pravoj ili na paralelnim pravima. Na sl. Od tada su 3 crvena vektora kolinearna leže na istoj pravoj liniji, a plavi vektori su kolinearni, jer leže na paralelnim pravima. Dva kolinearni vektori pozvao podjednako usmereno ako njihovi krajevi leže na istoj strani linije koja spaja njihove početke. Dva kolinearna vektora se nazivaju suprotnim pravcima ako im krajevi leže zajedno različite strane od prave linije koja ih povezuje. Ako dva kolinearna vektora leže na istoj liniji, onda se oni nazivaju jednako usmjereni ako jedna od zraka koju formira jedan vektor u potpunosti sadrži zraku koju formira drugi vektor. Inače, vektori se nazivaju suprotno usmjereni. Na slici 3, plavi vektori su u istom smjeru, a crveni u suprotnom smjeru.

Dva vektora se nazivaju jednaka ako imaju jednake module i jednako su usmjereni. Na Sl.2, vektori su jednaki jer njihovi moduli su jednaki i imaju isti smjer.

Vektori se nazivaju komplanarno ako leže u istoj ravni ili u paralelnim ravnima.

AT n U dimenzionalnom vektorskom prostoru, razmotrite skup svih vektora čija se početna tačka poklapa sa ishodištem. Tada se vektor može napisati u sljedećem obliku:

gdje x 1 , x 2 , ..., x n koordinate krajnje tačke vektora x.

Vektor zapisan u obliku (1) se zove vektor reda, a vektor napisan kao

pozvao vektor kolone.

Broj n pozvao dimenzija (u redu) vektor. Ako a tada se vektor zove nulti vektor(jer je početna tačka vektora ). Dva vektora x i y su jednaki ako i samo ako su im odgovarajući elementi jednaki.

Vektor je jedan od osnovnih geometrijskih pojmova. Vektor je karakteriziran brojem (dužinom) i smjerom. Vizualno se može zamisliti kao usmjereni segment, iako je, govoreći o vektoru, ispravnije misliti na čitavu klasu usmjerenih segmenata, koji su svi međusobno paralelni, imaju iste dužine i istog pravca (slika 1). Primjeri fizičkih veličina koje su vektorske po prirodi su brzina (progresivno kretanje tijela), ubrzanje, sila itd.

Koncept vektora pojavio se u djelima njemačkog matematičara 19. stoljeća. G. Grassmann i irski matematičar W. Hamilton; tada su to spremno prihvatili mnogi matematičari i fizičari. U modernoj matematici i njenim primjenama ovaj koncept igra suštinsku ulogu. Vektori se koriste u klasičnoj Galileo-Newton mehanici (u njenom moderna prezentacija), u teoriji relativnosti, kvantnoj fizici, u matematička ekonomija i mnoge druge grane prirodnih nauka, a da ne spominjemo upotrebu vektora u raznim oblastima matematike.

Svaki od usmjerenih segmenata koji čine vektor (slika 1) može se nazvati predstavnikom ovog vektora. Vektor čiji je predstavnik usmjereni segment koji ide od tačke do tačke označava se sa . Na sl. 1 imamo , tj. i isti je vektor (predstavljen sa oba usmjerena segmenta istaknuta na slici 1). Ponekad se vektor označava malim slovom sa strelicom: , .

Vektor predstavljen usmjerenim "segmentom" čiji se početak i kraj podudaraju naziva se nula; označava se sa , tj. . Dva paralelna vektora koji imaju istu dužinu, ali suprotne smjerove nazivaju se suprotnim. Ako je vektor označen sa , tada je vektor nasuprot njemu označen sa .

Nazovimo glavne operacije vezane za vektore.

I. Odlaganje vektora iz tačke. Neka je neki vektor i biti tačka. Među usmjerenim segmentima koji su predstavnici vektora , postoji usmjereni segment koji počinje u tački . Kraj ovog usmjerenog segmenta naziva se tačka, što je rezultat odlaganja vektora iz tačke (slika 2). Ova operacija ima sljedeće svojstvo:

I1. Za bilo koju tačku i bilo koji vektor, postoji, i samo jedna, tačka za koju .

Sabiranje vektora. Neka su i dva vektora. Uzmimo proizvoljnu tačku i odvojimo vektor iz tačke , tj. naći tačku takvu da (slika 3). Zatim odvajamo vektor iz tačke, tj. nalazimo tačku takvu da . Vektor se naziva zbroj vektora i označava se sa . Može se dokazati da zbir ne zavisi od izbora tačke, tj. ako zamijenimo drugom tačkom , tada ćemo dobiti vektor jednak (slika 3). Iz definicije zbira vektora slijedi da je za bilo koje tri tačke jednakost

I2:

(pravilo tri tačke). Ako su vektori različiti od nule i nisu paralelni, onda je zgodno pronaći njihov zbir pomoću pravila paralelograma (slika 4).

II. Glavna svojstva zbira vektora izražavaju sljedeće 4 jednakosti (važe za sve vektore , , ):

II2. .

Imajte na umu da se zbir nekoliko vektora nalazi sukcesivnim pronalaženjem zbira dva od njih. Na primjer: .

Istovremeno, kojim god redoslijedom dodamo dati vektori, rezultat (kao što slijedi iz svojstava navedenih u stavkama II1 i II2) će uvijek biti isti. Na primjer:

Nadalje, geometrijski, zbir nekoliko vektora može se dobiti na sljedeći način: potrebno je usmjerene segmente koji su predstavnici ovih vektora redom staviti jedan za drugim (tj. tako da se početak drugog usmjerenog segmenta poklopi sa krajem prvi, početak trećeg - s krajem drugog i sl.); zatim vektor imaće za svog predstavnika „zatvarajući“ usmeren segment, koji ide od početka prvog do kraja poslednjeg (slika 5). (Imajte na umu da ako takvo uzastopno odlaganje rezultira „zatvorenom izlomljenom linijom vektora“, onda .)

III. Množenje vektora brojem. Neka je vektor različit od nule i biti broj koji nije nula. Vektor se označava sa sledeća dva uslova: a) dužina vektora je ; b) vektor je paralelan sa vektorom , a njegov smjer se poklapa sa smjerom vektora at i suprotno od njega u (slika 6). Ako je barem jedna od jednakosti istinita, tada se proizvod smatra jednakim . Dakle, proizvod je definiran za bilo koji vektor i bilo koji broj.

Sljedeće 4 jednakosti (važe za sve vektore i sve brojeve) izražavaju osnovna svojstva operacije množenja vektora brojem:

III2. .

III3. .

Iz ovih svojstava slijedi niz dalje činjenice povezane sa razmatranim operacijama na vektorima. Navedimo neke od njih, koje se često koriste u rješavanju problema.

a) Ako je takva tačka segmenta da , tada za bilo koju tačku jednakost , posebno, ako je sredina segmenta , onda .

b) Ako je - tačka preseka medijana trougla, onda ; štaviše, za bilo koju tačku jednakost (važe i inverzne teoreme).

c) Neka je tačka prave i vektor koji nije nula paralelan ovoj pravoj liniji. Tačka pripada pravoj ako i samo ako (gdje je broj).

d) Neka biti točka ravni i , biti ne-nula i neparalelni vektori paralelni ovoj ravni. Tačka pripada ravni ako i samo ako je vektor izražen u terminima i , tj. .

Konačno, napominjemo i svojstvo dimenzije, koje izražava činjenicu da je prostor trodimenzionalan.

IV. Postoje tri vektora , , , u prostoru takva da se nijedan od njih ne može izraziti u terminima druga dva; bilo koji četvrti vektor je izražen u terminima ova tri vektora: . je definiran jednakošću: skalarni proizvod vektora je označen (i tada ugao između njih nije definiran).

Svojstva vektorskih operacija koja su gore navedena su na mnogo načina slična svojstvima sabiranja i množenja brojeva. Istovremeno, vektor je geometrijski objekat, a takvi geometrijski koncepti kao što su dužina i ugao se koriste u definiciji vektorskih operacija; ovo objašnjava korisnost vektora za geometriju (i njene primjene u fizici i drugim oblastima znanja). Međutim, u cilju rješavanja geometrijski problemi uz pomoć vektora potrebno je prije svega naučiti kako "prevesti" stanje geometrijskog problema u vektorski "jezik". Nakon takvog "prevođenja", provode se algebarski proračuni s vektorima, a zatim se rezultirajuće vektorsko rješenje ponovo "prevodi" u geometrijski "jezik". Ovo je vektorsko rješenje geometrijskih problema.

Prilikom izlaganja predmeta geometrije u školi, vektor se daje kao definisan pojam (vidi definiciju), pa stoga aksiomatika usvojena u školskom udžbeniku (vidi Aksiomatika i aksiomatska metoda) geometrije ne govori ništa o svojstvima vektora, tj. sva ova svojstva moraju se dokazati kao teoreme.

Postoji, međutim, i drugi način predstavljanja geometrije, u kojem se vektor i tačka smatraju početnim (nedefinisanim) konceptima, a svojstva I1, I2, II1-II4, III1-III4, IV, V1-V4 navedena iznad uzimaju se kao aksiomi. Ovaj način konstruisanja geometrije predložio je 1917. godine nemački matematičar G. Weyl. Ovdje su linije i ravni definirani koncepti. Prednost takve konstrukcije je njena kratkoća i organska veza sa modernim razumijevanjem geometrije, kako u samoj matematici tako iu drugim oblastima znanja. Konkretno, aksiomi II1-II4, III1-III4 uvode takozvani vektorski prostor koji se koristi u modernoj matematici, fizici, matematičkoj ekonomiji itd.

Konačno sam došao u ruke jedne opsežne i dugo očekivane teme analitička geometrija. Prvo malo o ovaj odeljak višu matematiku…. Sigurno ste se sada sjetili školskog kursa geometrije sa brojnim teoremama, njihovim dokazima, crtežima itd. Šta sakriti, nevoljena i često opskurna tema za značajan dio učenika. Začudo, analitička geometrija može izgledati zanimljivija i pristupačnija. Šta znači pridjev "analitički"? Odmah mi padaju na pamet dvije pečatirane matematičke fraze: „grafička metoda rješenja“ i „ analitička metoda rješenja“. Grafička metoda , naravno, povezan je sa konstrukcijom grafova, crteža. Analitički isto metoda uključuje rješavanje problema pretežno kroz algebarske operacije. U tom smislu, algoritam za rješavanje gotovo svih problema analitičke geometrije je jednostavan i transparentan, često je prilično precizan za primjenu. potrebne formule- i odgovor je spreman! Ne, naravno, uopće neće bez crteža, osim toga, za bolje razumijevanje materijala, pokušaću da im dam bez potrebe.

Otvoreni tok nastave iz geometrije ne pretenduje na teorijsku potpunost, fokusiran je na rješavanje praktičnih problema. U svoja predavanja ću uključiti samo ono u čemu je, sa moje tačke gledišta, važno u praktičnom smislu. Ako vam je potrebna potpunija referenca za bilo koji pododjeljak, preporučujem sljedeću prilično pristupačnu literaturu:

1) Stvar koja je, bez šale, poznata već nekoliko generacija: Školski udžbenik iz geometrije, autori - L.S. Atanasyan i kompanija. Ova vješalica za školsku svlačionicu već je izdržala 20 (!) reizdanja, što, naravno, nije granica.

2) Geometrija u 2 toma. Autori L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.. Ovo je književnost za srednja škola, trebaće vam prvi tom. Zadaci koji se rijetko pojavljuju mogu ispasti iz mog vidnog polja, i tutorial pružiće neprocenjivu pomoć.

Obje knjige su besplatne za preuzimanje na internetu. Takođe, možete koristiti moju arhivu sa gotova rješenja, koji se nalazi na stranici Preuzmite primjere iz više matematike.

Od alata Ponovo nudim svoj razvoj - softverski paket na analitičkoj geometriji, što će uvelike pojednostaviti život i uštedjeti mnogo vremena.

Pretpostavlja se da je čitalac upoznat sa osnovnim geometrijskih pojmova i figure: tačka, prava, ravan, trougao, paralelogram, paralelepiped, kocka itd. Preporučljivo je zapamtiti neke teoreme, barem Pitagorinu teoremu, zdravo ponavljači)

A sada ćemo uzastopno razmotriti: koncept vektora, akcije s vektorima, vektorske koordinate. Dalje preporučujem čitanje najvažniji članak Tačkasti proizvod vektora, kao i Vektorski i mješoviti proizvod vektora. Lokalni zadatak neće biti suvišan - Podjela segmenta u tom pogledu. Na osnovu gore navedenih informacija, možete jednačina prave linije u ravni With najjednostavniji primjeri rješenja, što će omogućiti naučiti kako rješavati probleme iz geometrije. Sljedeći članci su također korisni: Jednačina ravni u prostoru, Jednačine prave u prostoru, Osnovni problemi na liniji i ravni , ostali dijelovi analitičke geometrije. Naravno, standardni zadaci će se razmatrati usput.

Koncept vektora. slobodni vektor

Prvo, ponovimo školsku definiciju vektora. Vector pozvao usmjereno segment za koji su naznačeni njegov početak i kraj:

AT ovaj slučaj početak segmenta je tačka, kraj segmenta je tačka. Sam vektor je označen sa . Smjer bitno, ako preuredite strelicu na drugi kraj segmenta, dobićete vektor, a ovo je već potpuno drugačiji vektor. Pogodno je identificirati koncept vektora s kretanjem fizičko tijelo: slažete se, ući na vrata instituta ili izaći iz instituta su potpuno različite stvari.

Zgodno je posmatrati pojedinačne tačke ravni, prostor kao tzv nulti vektor. Takav vektor ima isti kraj i početak.

!!! Bilješka: Ovdje i ispod možete pretpostaviti da vektori leže u istoj ravni ili možete pretpostaviti da se nalaze u prostoru - suština predstavljenog materijala vrijedi i za ravan i za prostor.

Oznake: Mnogi su odmah skrenuli pažnju na štap bez strelice u oznaci i rekli da su i na vrhu stavili strelicu! Tako je, možete pisati strelicom: , ali dopušteno i zapis koji ću koristiti kasnije. Zašto? Očigledno se takva navika razvila iz praktičnih razmatranja, moji strijelci u školi i na fakultetu su se pokazali previše raznoliki i čupavi. AT edukativna literatura ponekad se uopće ne zamaraju klinastim pismom, već ističu slova podebljano: , što implicira da je to vektor.

To je bio stil, a sada o načinima pisanja vektora:

1) Vektori se mogu pisati sa dva velika latinična slova:
i tako dalje. Dok je prvo slovo obavezno označava početnu tačku vektora, a drugo slovo označava krajnju tačku vektora.

2) Vektori se takođe pišu malim latiničnim slovima:
Konkretno, naš vektor se zbog kratkoće može ponovo označiti malim latinično pismo.

Dužina ili modul vektor različit od nule naziva se dužina segmenta. Dužina nul-vektora je nula. Logično.

Dužina vektora je označena modulo znakom: ,

Kako pronaći dužinu vektora, naučit ćemo (ili ponoviti, za koga kako) nešto kasnije.

To su bili elementarne informacije o vektoru, poznatom svim školarcima. U analitičkoj geometriji tzv slobodni vektor.

Ako je sasvim jednostavno - vektor se može izvući iz bilo koje tačke:

Navikli smo da takve vektore nazivamo jednakima (definicija jednakih vektora će biti data u nastavku), ali isključivo sa matematička poenta vizija je ISTI VEKTOR ili slobodni vektor. Zašto besplatno? Jer u toku rješavanja problema možete „prikačiti“ jedan ili drugi vektor za BILO KOJU tačku ravni ili prostora koja vam je potrebna. Ovo je vrlo cool nekretnina! Zamislite vektor proizvoljne dužine i smjera - može se "klonirati" beskonačan broj puta i u bilo kojoj tački u prostoru, zapravo, postoji SVUDA. Postoji takva studentska poslovica: Svaki predavač u f ** u u vektoru. Uostalom, ne samo duhovita rima, sve je matematički ispravno - tu se može prikačiti i vektor. Ali nemojte žuriti da se radujete, sami studenti češće pate =)

dakle, slobodni vektor- ovo je mnogo identični usmjereni segmenti. Školska definicija vektora, data na početku pasusa: „usmjereni segment se naziva vektor ...“, podrazumijeva specifično usmjereni segment preuzet iz dati set, koji je vezan za određena tačka ravni ili prostori.

Treba napomenuti da je sa stanovišta fizike, koncept slobodnog vektora u opšti slučaj je netačan, a bitna je tačka primjene vektora. Zaista, dovoljan je direktan udarac iste sile u nos ili u čelo da se razvije moj glupi primjer povlači različite posljedice. Kako god, nije besplatno vektori se takođe nalaze u toku vyshmata (ne idite tamo :)).

Akcije sa vektorima. Kolinearnost vektora

AT školski kurs geometrija razmatra niz radnji i pravila s vektorima: sabiranje po pravilu trougla, sabiranje po pravilu paralelograma, pravilo razlike vektora, množenje vektora brojem, skalarni proizvod vektora itd. Kao seme, ponavljamo dva pravila koja su posebno relevantna za rešavanje problema analitičke geometrije.

Pravilo sabiranja vektora prema pravilu trokuta

Razmotrimo dva proizvoljna vektora različita od nule i :

Potrebno je pronaći zbir ovih vektora. Zbog činjenice da se svi vektori smatraju slobodnim, odgađamo vektor iz kraj vektor :

Zbir vektora je vektor . Za bolje razumijevanje pravila, preporučljivo je uložiti u njega fizičko značenje: neka neko tijelo napravi putanju duž vektora, a zatim duž vektora. Tada je zbir vektora vektor rezultujuće putanje koja počinje u tački polaska i završava se u tački dolaska. Slično pravilo je formulirano za zbir bilo kojeg broja vektora. Kako kažu, tijelo može ići svojim putem snažno cik-cak, ili možda na autopilotu - duž rezultirajućeg vektora zbira.

Usput, ako se vektor odgodi od start vektor , tada dobijamo ekvivalent pravilo paralelograma dodavanje vektora.

Prvo, o kolinearnosti vektora. Dva vektora se nazivaju kolinearno ako leže na istoj pravoj ili na paralelnim pravima. Grubo govoreći, jeste paralelni vektori. Ali u odnosu na njih uvijek se koristi pridjev "kolinearno".

Zamislite dva kolinearna vektora. Ako su strelice ovih vektora usmjerene u istom smjeru, onda se takvi vektori nazivaju kosmjeran. Ako strelice gledaju u različitim smjerovima, vektori će biti suprotno usmerena.

Oznake: kolinearnost vektora ispisuje se uobičajenom ikonom paralelizma: , dok je detaljizacija moguća: (vektori su kousmjereni) ili (vektori su usmjereni suprotno).

rad vektora različitog od nule brojem je vektor čija je dužina jednaka , a vektori i su usmjereni na i suprotno usmjereni na .

Pravilo množenja vektora brojem lakše je razumjeti sa slikom:

Razumijemo detaljnije:

1) Smjer. Ako je množitelj negativan, onda je vektor mijenja smjer na suprotno.

2) Dužina. Ako je faktor sadržan unutar ili , tada je dužina vektora smanjuje se. Dakle, dužina vektora je dvostruko manja od dužine vektora. Ako je modulo množitelj veći od jedan, tada je dužina vektora povećava na vrijeme.

3) Imajte na umu da svi vektori su kolinearni, dok se jedan vektor izražava kroz drugi, na primjer, . I obrnuto: ako se jedan vektor može izraziti u terminima drugog, onda su takvi vektori nužno kolinearni. Na ovaj način: ako pomnožimo vektor brojem, dobićemo kolinearno(u odnosu na original) vektor.

4) Vektori su kosmjerni. Vektori i su također kosmjerni. Svaki vektor prve grupe je suprotan bilo kom vektoru druge grupe.

Koji su vektori jednaki?

Dva vektora su jednaka ako su kosmjerna i imaju istu dužinu. Imajte na umu da ko-smjer implicira da su vektori kolinearni. Definicija će biti netačna (suvišna) ako kažete: "Dva vektora su jednaka ako su kolinearni, kousmjereni i imaju istu dužinu."

Sa stanovišta koncepta slobodnog vektora, jednaki vektori su isti vektor, o čemu je već bilo reči u prethodnom pasusu.

Vektorske koordinate na ravni i u prostoru

Prva stvar je razmatranje vektora na ravni. Hajde da prikažemo kartezijanca pravougaoni sistem koordinate i od ishodišta koje izdvajamo single vektori i :

Vektori i ortogonalno. Ortogonalno = okomito. Preporučujem da se polako navikavamo na pojmove: umjesto paralelizma i okomitosti koristimo riječi respektivno kolinearnost i ortogonalnost.

Oznaka: ortogonalnost vektora piše se uobičajenim znakom okomice, na primjer: .

Razmatrani vektori se nazivaju koordinatni vektori ili orts. Ovi vektori se formiraju osnovu na površini. Šta je osnova, mislim, mnogima je intuitivno jasno, više detaljne informacije možete pronaći u članku Linearna (ne)zavisnost vektora. Vektorska osnova.Jednostavno, osnova i ishodište koordinata definišu čitav sistem - to je neka vrsta temelja na kojem vrije pun i bogat geometrijski život.

Ponekad se naziva izgrađena osnova ortonormalno osnova ravni: "orto" - jer su koordinatni vektori ortogonalni, pridjev "normalizovan" označava jedinicu, tj. dužine baznih vektora jednake su jedan.

Oznaka: osnova se obično piše u zagradama, unutar kojih u strogom redu bazni vektori su navedeni, na primjer: . Koordinatni vektori zabranjeno je zamijeniti mjesta.

Bilo koji ravan vektor jedini način izraženo kao:
, gdje - brojevi, koji se zovu vektorske koordinate u ovoj osnovi. Ali sam izraz pozvao vektorska dekompozicijaosnovu .

Poslužena večera:

Počnimo s prvim slovom abecede: . Crtež jasno pokazuje da se pri dekomponovanju vektora u smislu baze koriste upravo razmatrani:
1) pravilo množenja vektora brojem: i ;
2) sabiranje vektora prema pravilu trougla: .

Sada mentalno odvojite vektor iz bilo koje druge tačke na ravni. Sasvim je očigledno da će ga njegova korupcija "nemilosrdno pratiti". Evo je, sloboda vektora - vektor "nosi sve sa sobom". Ovo svojstvo, naravno, vrijedi za bilo koji vektor. Smiješno je da sami osnovni (slobodni) vektori ne moraju biti odvojeni od ishodišta, jedan se može nacrtati npr. dolje lijevo, a drugi gore desno i ništa se od ovoga neće promijeniti! Istina, ne morate to da radite, jer će i učitelj pokazati originalnost i nacrtati vam "prolaz" na neočekivanom mjestu.

Vektori, ilustruju tačno pravilo za množenje vektora brojem, vektor je ko-usmeren sa baznim vektorom, vektor je usmeren suprotno od baznog vektora. Za ove vektore, jedna od koordinata je jednaka nuli, može se precizno napisati na sljedeći način:


A osnovni vektori su, inače, ovakvi: (u stvari, oni se izražavaju kroz sebe).

I na kraju: , . Usput, šta je vektorsko oduzimanje i zašto ti nisam rekao za pravilo oduzimanja? Negdje u linearnoj algebri, ne sjećam se gdje, primijetio sam da je oduzimanje poseban slučaj dodatak. Dakle, proširenja vektora "de" i "e" mirno su zapisana kao zbir: . Preuredite pojmove na mjesta i pratite crtež kako jasno dobro staro zbrajanje vektora prema pravilu trougla funkcionira u ovim situacijama.

Razmatrana dekompozicija forme ponekad se naziva vektorska dekompozicija u sistemu ort(tj. u sistemu jediničnih vektora). Ali ovo nije jedini način za pisanje vektora, uobičajena je sljedeća opcija:

Ili sa znakom jednakosti:

Sami bazni vektori su zapisani na sljedeći način: i

To jest, koordinate vektora su naznačene u zagradama. U praktičnim zadacima koriste se sve tri opcije snimanja.

Dvoumio sam se da li da govorim, ali ipak ću reći: vektorske koordinate se ne mogu preurediti. Strogo na prvom mjestu zapišite koordinatu koja odgovara jedinični vektor , strogo na drugom mestu zapišite koordinate koje odgovaraju jediničnom vektoru. Zaista, i dva su različita vektora.

Shvatili smo koordinate u avionu. Sada razmotrite vektore u trodimenzionalnom prostoru, ovdje je sve gotovo isto! Samo još jedna koordinata će biti dodana. Teško je izvoditi trodimenzionalne crteže, pa ću se ograničiti na jedan vektor, koji ću zbog jednostavnosti odložiti od početka:

Bilo koji vektor trodimenzionalni prostor mogu jedini način proširiti u ortonormalnoj bazi:
, gdje su koordinate vektora (broja) u datoj bazi.

Primjer sa slike: . Pogledajmo kako funkcionišu pravila vektorske akcije. Prvo, množenje vektora brojem: (crvena strelica), (zelena strelica) i (magenta strelica). Drugo, pred vama je primjer dodavanja nekoliko u ovo slučaj tri, vektori: . Vektor zbira počinje na početnoj tački polaska (početak vektora) i završava na konačnoj tački dolaska (kraj vektora).

Svi vektori trodimenzionalnog prostora su, naravno, također slobodni, pokušajte mentalno odgoditi vektor iz bilo koje druge tačke i shvatit ćete da njegovo širenje "ostaje s njim".

Slično ravno kućište, pored pisanja verzije sa zagradama se široko koriste: bilo .

Ako jedan (ili dva) koordinatni vektor nedostaje u ekspanziji, tada se stavljaju nule. primjeri:
vektor (pažljivo ) – zapišite ;
vektor (pažljivo ) – zapišite ;
vektor (pažljivo ) – zapišite .

Osnovni vektori se pišu na sljedeći način:

Evo, možda, svega minimuma teorijsko znanje neophodna za rješavanje problema analitičke geometrije. Možda ima previše pojmova i definicija, pa preporučujem lutke da ih ponovo pročitaju i shvate ove informacije opet. I svakom čitaocu će biti korisno da se s vremena na vrijeme osvrne osnovna lekcija radi boljeg razumijevanja gradiva. Kolinearnost, ortogonalnost, ortonormalna osnova, vektorska dekompozicija - ovi i drugi koncepti će se često koristiti u nastavku. Napominjem da materijali sa sajta nisu dovoljni za polaganje teoretskog testa, kolokvijuma iz geometrije, pošto sve teoreme pažljivo šifrujem (i bez dokaza) - na štetu naučni stil prezentaciju, ali plus za vaše razumijevanje teme. Za detaljnije teorijske informacije, molim vas da se poklonite profesoru Atanasyanu.

Sada pređimo na praktični dio:

Najjednostavniji problemi analitičke geometrije.
Akcije sa vektorima u koordinatama

Zadatke koji će se razmatrati, vrlo je poželjno naučiti kako ih rješavati potpuno automatski, a formule zapamtiti, nemojte ga ni namjerno pamtiti, oni će ga sami zapamtiti =) Ovo je jako važno, jer na najjednostavnijem elementarnih primjera drugi problemi analitičke geometrije su zasnovani i bilo bi neugodno trošiti dodatno vrijeme jedući pijune. Ne morate da zakopčavate gornje dugmad na košulji, mnoge stvari su vam poznate iz škole.

Prezentacija materijala će se odvijati paralelno - i za avion i za svemir. Iz razloga što sve formule ... vidjet ćete sami.

Kako pronaći vektor date dvije tačke?

Ako su date dvije tačke ravni i, tada vektor ima sljedeće koordinate:

Ako su date dvije tačke u prostoru i, tada vektor ima sljedeće koordinate:

To je, iz koordinata kraja vektora morate oduzeti odgovarajuće koordinate vektorski početak.

vježba: Za iste tačke zapišite formule za pronalaženje koordinata vektora. Formule na kraju lekcije.

Primjer 1

S obzirom na dvije točke u ravnini i . Pronađite vektorske koordinate

Rješenje: prema odgovarajućoj formuli:

Alternativno, može se koristiti sljedeća notacija:

Esteti će odlučiti ovako:

Lično sam navikao na prvu verziju ploče.

odgovor:

Prema uslovu, nije bilo potrebno napraviti crtež (što je tipično za probleme analitičke geometrije), ali da bih lutkama objasnio neke tačke, neću biti previše lijen:

Mora se razumjeti razlika između koordinata tačke i vektorskih koordinata:

Koordinate tačaka su uobičajene koordinate u pravougaonom koordinatnom sistemu. Odvojite bodove za koordinatna ravan Mislim da to može svako od 5-6 razreda. Svaka tačka ima striktno mjesto u ravni i ne može se nigdje pomjeriti.

Koordinate istog vektora je njegova ekspanzija u odnosu na osnovu , u ovom slučaju . Svaki vektor je slobodan, pa ga, ako je potrebno, možemo lako odgoditi iz neke druge tačke u ravni. Zanimljivo je da za vektore uopšte ne možete da gradite ose, pravougaoni koordinatni sistem, potrebna vam je samo osnova, u ovom slučaju, ortonormalna osnova ravni.

Čini se da su zapisi koordinata tačaka i vektorskih koordinata slični: , i osećaj za koordinate apsolutno drugačije, i trebali biste biti svjesni ove razlike. Ova razlika, naravno, važi i za prostor.

Dame i gospodo, punimo ruke:

Primjer 2

a) Zadane bodove i . Pronađite vektore i .
b) Daju se bodovi i . Pronađite vektore i .
c) Zadane bodove i . Pronađite vektore i .
d) Daju se bodovi. Find Vectors .

Mozda dosta. Ovo su primjeri za nezavisna odluka, potrudite se da ih ne zanemarite, isplatiće vam se ;-). Crteži nisu potrebni. Rješenja i odgovori na kraju lekcije.

Šta je važno u rješavanju problema analitičke geometrije? Važno je da budete IZUZETNO OPREZNI kako biste izbegli majstorsku grešku „dva plus dva je nula“. Unapred se izvinjavam ako sam pogresio =)

Kako pronaći dužinu segmenta?

Dužina, kao što je već napomenuto, označena je znakom modula.

Ako su date dvije tačke ravni i, tada se dužina segmenta može izračunati po formuli

Ako su date dvije tačke u prostoru i, tada se dužina segmenta može izračunati po formuli

Bilješka: Formule će ostati ispravne ako se zamijene odgovarajuće koordinate: i , ali prva opcija je standardnija

Primjer 3

Rješenje: prema odgovarajućoj formuli:

odgovor:

Radi jasnoće, napraviću crtež

Segment linije - to nije vektor, i ne možete ga nigdje pomjeriti, naravno. Osim toga, ako dovršite crtež u mjerilu: 1 jedinica. \u003d 1 cm (dvije tetradne ćelije), tada se odgovor može provjeriti običnim ravnalom direktnim mjerenjem dužine segmenta.

Da, rješenje je kratko, ali ima još par važne tačkeželio bih pojasniti:

Prvo, u odgovoru postavljamo dimenziju: “jedinice”. Uslov ne kaže ŠTA je, milimetri, centimetri, metri ili kilometri. Stoga će opća formulacija biti matematički kompetentno rješenje: "jedinice" - skraćeno kao "jedinice".

Drugo, ponovimo školsko gradivo, koje je korisno ne samo za razmatrani problem:

obratite pažnju na bitan tehnika – vađenje množitelja ispod korijena. Kao rezultat proračuna, dobili smo rezultat i dobar matematički stil uključuje vađenje množitelja ispod korijena (ako je moguće). Proces detaljnije izgleda ovako: . Naravno, ostavljanje odgovora u formi neće biti greška – ali je definitivno mana i težak argument za prigovaranje od strane nastavnika.

Evo i drugih uobičajenih slučajeva:

Često pod korijenom ispada dovoljno veliki broj, na primjer . Kako biti u takvim slučajevima? Na kalkulatoru provjeravamo da li je broj djeljiv sa 4:. Da, potpuno podijeliti, ovako: . Ili se broj može ponovo podijeliti sa 4? . Na ovaj način: . Posljednja cifra broja je neparna, tako da dijeljenje sa 4 po treći put očigledno nije moguće. Pokušavam podijeliti sa devet: . Kao rezultat:
Spreman.

zaključak: ako ispod korijena dobijemo potpuno neizdvojiv broj, tada pokušavamo izvaditi faktor ispod korijena - na kalkulatoru provjeravamo da li je broj djeljiv sa: 4, 9, 16, 25, 36, 49, itd.

Prilikom rješavanja raznih problema često se pronalaze korijeni, uvijek pokušajte da izvučete faktore ispod korijena kako biste izbjegli niži rezultat i nepotrebne muke oko finaliziranja rješenja prema napomeni nastavnika.

Ponovimo istovremeno kvadriranje korijena i drugih potencija:

Pravila za radnje sa stepenom in opšti pogled može se naći u školskom udžbeniku algebre, ali mislim da je sve ili skoro sve već jasno iz navedenih primjera.

Zadatak za samostalno rješenje sa segmentom u prostoru:

Primjer 4

Dati bodovi i . Pronađite dužinu segmenta.

Rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Kako pronaći dužinu vektora?

Ako je dat ravan vektor, tada se njegova dužina izračunava po formuli.

Ako je dat vektor prostora, onda se njegova dužina izračunava po formuli .

Niste pronašli odgovor na svoje pitanje? Pogledaj ovdje

Ujak Vanja radnja drame. „Ujka Ivane. Odnos prema profesoru drugih

Mali Tsakhes, nadimak Zinnober

Maikov, Apolon Nikolajevič - kratka biografija