Prema prirodi funkcionisanja ACS-a, dijele se u 4 klase: Automatski stabilizacioni sistemi se odlikuju činjenicom da tokom rada sistema uticaj podešavanja ostaje konstantan. Programski kontrolni sistemi, master utiče unapred uspostavljeni zakon kao funkcija vremena i koordinata sistema. Praćenje sistema, pokretačka akcija je vrijednost varijable ali matematički opis t se ne može podesiti na vrijeme. Prilagodljivi ili samopodešavajući sistemi takvi sistemi automatski ...

Podijelite rad na društvenim mrežama

Ako vam ovaj rad ne odgovara, na dnu stranice nalazi se lista sličnih radova. Takođe možete koristiti dugme za pretragu

Predavanje broj 2. Klasifikacija i zahtjevi za ATS. Linearni i nelinearni ACS. Opća metoda linearizacija

(Slajd 1)

2.1. ATS klasifikacija

(Slajd 2)

ATS se klasifikuju prema različitim kriterijumima. Po prirodi funkcioniranja ATS je podijeljen u 4 klase:

• Sistemi automatska stabilizacija(karakteriše ga činjenica da pogonska sila ostaje konstantna tokom rada sistema).Primjer: stabilizator brzine motora.
• Sistemi regulacija programa(glavni uticaj se menja prema unapred određenom zakonu, u funkciji vremena i koordinata sistema).Primjer: autopilot.
• Followers sistem (glavna akcija je promenljiva vrednost, ali se matematički opis u terminima vremena ne može uspostaviti, jer je izvor signala spoljni uticaj, čiji zakon pomjeranja nije unaprijed poznat).Primjer: radar za praćenje aviona.
• Adaptive ili samopodešavajući sistemi (takvi sistemi automatski biraju optimalni zakon upravljanja i mogu menjati karakteristike regulatora tokom rada).primjer: kompjuterska igra sa nelinearnom slikom.

(Slajd 3)

ACS se također dijeli prema prirodi signala u upravljačkom uređaju:

• Kontinuirano (ulazni i izlazni signal kontinuirane funkcije vrijeme).Primjer: komparatori, operaciona pojačala.
• Relej (ako sistem ima barem jedan element sa relejnom karakteristikom).Primjer: razni releji, analogni prekidači i multiplekseri.
• Puls (karakterizirano prisustvom najmanje jednog impulsnog elementa).Primjer: tiristori, digitalna kola.

Svi ACS se mogu podijeliti prema ovisnosti izlaznih karakteristika o ulazu u linearne i nelinearne.

2.2. Zahtjevi za SAR

(Slajd 4)

1. Kontrolisana varijabla mora se održavati na postavljenom nivou bez obzira na smetnju. Prolazni proces je predstavljen dinamičkom karakteristikom, koja se može koristiti za procjenu kvaliteta sistema.

2. Uslov stabilnosti mora biti zadovoljen, tj. sistem mora imati marginu stabilnosti.

3. Brzina - vrijeme procesa tranzicije, koje karakterizira brzinu odgovora sistema.

(Slajd 5)

4. Moraju se poštovati propisi o prekoračenju. Za određivanje količine prekoračenja koriste se dva glavna parametra:

• Faktor prekoračenja

gdje je y m maksimalno odstupanje izlazne vrijednosti tokom tranzijenta, y∞ vrijednost izlazne vrijednosti u stabilnom stanju. Dozvoljena vrijednost = 0  25%.

(Slajd 6)

• Mjera fluktuacije procesa broj fluktuacija tokom procesa tranzicije (ne više od 2)

5. Mora ispuniti zahtjev statičke tačnosti. Ako su procesi u sistemu nasumični, onda se uvode probabilističke karakteristike kako bi se osigurala tačnost.

2. 3 . Linearni i nelinearni ACS

Dinamički procesi u sistemima upravljanja opisuju se diferencijalnim jednadžbama.

(Slajd 7)

U linearnim sistemima procesi se opisuju pomoćulinearni diferencijaljednačine. AT nelinearni sistemi procesi su opisani jednadžbama koje sadrže bilo koji nelinearnost . Proračuni linearnog sistema su dobro razvijeni i lakši za rukovanje. praktična primjena. Proračuni nelinearnih sistema često su povezani sa velikim poteškoćama.

Da bi sistem upravljanja bio linearan, neophodno je (ali ne i dovoljno) da ima statičke karakteristike svih karika u obliku pravih linija. Zapravo, stvarne statičke karakteristike u većini slučajeva nisu jednostavne. Stoga, da bi se realni sistem izračunao kao linearni, potrebno je sve krivolinijske statičke karakteristike karika u radnim presjecima koje se koriste u ovom procesu upravljanja zamijeniti ravnim segmentima. To se zove linearizacija . Većina sistema kontinuiranog upravljanja je pogodna za takvu linearizaciju.

(Slajd 8)

Linearni sistemi se dele naobični linearni sistemi i dalje specijalni linearni sistemi.Prvi uključuju takve sisteme, čije su sve karike opisane običnim linearnim diferencijalnim jednadžbama sa konstantnim koeficijentima.

(Slajd 9)

Specijalni linijski sistemi uključuju:

a) sistemi sa vremenski promenljivim parametrima, koji su opisani linearnim diferencijalomjednadžbe sa varijabilnim koeficijentima;

b) sistemi sa distribuiranim parametrima, gdje se treba baviti parcijalnim diferencijalnim jednadžbama i sistemima s vremenskim kašnjenjem opisanim jednadžbama sa retardiranim argumentom;

(Slajd 10)

u) impulsni sistemi, gdje se treba baviti jednadžbama razlika.

(Slajd 11)

Rice. 2.1. Karakteristike nelinearnih elemenata

U nelinearnim sistemima, prilikom analize procesa upravljanja, potrebno je uzeti u obzir nelinearnost statičke karakteristike u najmanje jednoj od njenih karika ili neke nelinearne diferencijalne zavisnosti u jednačinama dinamike sistema. Ponekad se nelinearne veze posebno uvode u sistem da obezbede najviše performanse ili druge željene kvalitete.

Nelinearni sistemi prvenstveno uključuju relejne sisteme, budući dakarakteristika releja(Slika 2.1, a i b ) ne može se zamijeniti jednom ravnom linijom. Veza će biti nelinearna, u čijoj karakteristici postojimrtva zona(Sl. 2.1, c).

Fenomen zasićenja ili mehaničko ograničenje hodadovesti do karakteristike sa ograničenom linearnom zavisnošću na krajevima (Sl. 2.1, g ). Ovu karakteristiku također treba smatrati nelinearnom ako se takvi procesi razmatraju kada radna tačka prelazi linearni dio karakteristike.

Nelinearne zavisnosti takođe uključujuhisterezna kriva(Sl. 2.1, e ), karakteristikazazor u mehaničkom prenosu(sl. 2.1, f), suvo trenje (sl. 2.1, g), kvadratno trenje(Slika 2.1, i ) i dr. U posljednje dvije karakteristike x 1 označava brzinu kretanja, i x2 sila ili moment trenja.

Nelinearan je općenito bilo koji krivolinijski odnos između izlaznih i ulaznih vrijednosti veze (slika 2.1, to ). To su nelinearnosti najjednostavnijeg tipa. Osim toga, nelinearnosti mogu unijeti diferencijalne jednadžbe u obliku proizvoda varijable i njihovih derivata, kao iu obliku složenijih funkcionalnih zavisnosti.

Nisu sve nelinearne zavisnosti pogodne za jednostavnu linearizaciju. Tako, na primjer, linearizacija se ne može izvršiti za karakteristike prikazane na Sl. 2.1, ali ili na Sl. 2.1, e. Slično teški slučajeviće se razmatrati u sekciji. 9.

2.4. Opća metoda linearizacije

(Slajd 12)

U većini slučajeva moguće je linearizirati nelinearne ovisnosti metodom malih odstupanja ili varijacija. Da bismo to razmotrili, okrenimo se nekoj karici u sistemu automatska regulacija(Sl. 2.2). Ulazne i izlazne veličine su označene sa X 1 i X 2 , i vanjske perturbacije kroz F(t).

Pretpostavimo da je veza opisana nekim nelinearnim diferencijalna jednadžba vrsta

. (2.1)

Da biste sastavili takvu jednadžbu, morate koristiti odgovarajuću industriju tehničke nauke(na primjer, elektrotehnika, mehanika, hidraulika, itd.) proučavanje ovog tipa uređaja.

(Slajd 13)

Osnova za linearizaciju je pretpostavka da su odstupanja svih varijabli uključenih u jednadžbu dinamike veze dovoljno mala, jer se upravo na dovoljno malom presjeku krivolinijska karakteristika može zamijeniti pravolinijskim segmentom. Odstupanja varijabli se u ovom slučaju mjere od njihovih vrijednosti u stacionarnom procesu ili u određenom ravnotežnom stanju sistema. Neka se, na primjer, stabilan proces karakterizira konstantnom vrijednošću varijable X 1 , koje označavamo X 10 . U procesu regulacije (sl. 2.3) varijabla X 1 bit će važno

gdje označava odstupanje varijable x1 od utvrđene vrednosti X 10.

Slični odnosi se uvode i za druge varijable. Za slučaj koji se razmatra imamo:

kao i

Pretpostavlja se da su sva odstupanja dovoljno mala. Ova matematička pretpostavka nije u suprotnosti fizičko značenje zadataka, budući da sama ideja automatskog upravljanja zahtijeva da sva odstupanja kontrolirane varijable u procesu upravljanja budu dovoljno mala.

Stabilno stanje veze je određeno vrijednostima X 10 , X 20 i F 0 . Tada se jednačina (2.1) može napisati za stabilno stanje u obliku

. (2.2)

(Slajd 15)

Proširimo lijevu stranu jednačine (2.1) u Tejlorov red

(2.3)

gdje je  uslovi višeg reda. Indeks 0 za parcijalne izvode znači da nakon uzimanja izvoda, stalne vrijednosti svih varijabli moraju biti zamijenjene u njegov izraz

; ; ; .

Članovi višeg reda u formuli (2.3) uključuju više parcijalne izvode pomnožene kvadratima, kockama i više visoki stepeni odstupanja, kao i proizvodi odstupanja. One će biti male višeg reda u poređenju sa samim odstupanjima, koja su mala prvog reda.

(Slajd 16)

Jednačina (2.3) je jednačina dinamike veze, baš kao i (2.1), ali napisana u drugačijem obliku. Odbacimo male vrijednosti višeg reda u ovoj jednačini, nakon čega oduzmemo jednačine stabilnog stanja (2.2) od jednačine (2.3). Kao rezultat, dobijamo sljedeću približnu jednačinu dinamike veze u malim odstupanjima:

(2.4)

U ovu jednačinu sve varijable i njihovi derivati ​​ulaze linearno, odnosno do prvog stepena. Svi parcijalni derivati ​​su neki konstantni koeficijenti ako se istražuje sistem sa konstantnim parametrima. Ako sistem ima varijabilni parametri, tada će jednačina (2.4) imati promjenjive koeficijente. Razmotrimo samo slučaj konstantnih koeficijenata.

(Slajd 17)

Dobivanje jednačine (2.4) je cilj izvršene linearizacije. U teoriji automatskog upravljanja uobičajeno je da se jednačine svih karika zapisuju tako da se izlazna vrijednost nalazi na lijevoj strani jednačine, a svi ostali pojmovi se prenose na desna strana. U ovom slučaju, svi članovi jednačine se dijele sa koeficijentom na izlaznoj vrijednosti. Kao rezultat, jednačina (2.4) poprima oblik

, (2.5)

gdje je uvedena sljedeća notacija

(Slajd 18)

Osim toga, radi praktičnosti, uobičajeno je pisati sve diferencijalne jednadžbe u obliku operatora s notacijom

itd.

Tada se diferencijalna jednadžba (2.5) može zapisati u obliku

, (2.6)

Ovaj zapis će se zvati standardni oblik jednačine dinamike veze.

Koeficijenti T 1 i T 2 imaju dimenziju vremenske sekunde. Ovo proizilazi iz činjenice da svi članovi u jednačini (2.6) moraju imati istu dimenziju, a na primjer, dimenziju (ili p x 2 ) se razlikuje od dimenzije x 2 u sekundi na minus prvi stepen ( od -1 ). Dakle, koeficijenti T 1 i T 2 se zovu vremenske konstante.

Koeficijent k 1 ima dimenziju izlazne vrijednosti podijeljenu s dimenzijom ulaza. To se zoveprenosni odnosveza. Za veze čije izlazne i ulazne vrijednosti imaju istu dimenziju, koriste se i sljedeći pojmovi: pojačanje za vezu koja je pojačalo ili ima pojačalo u svom sastavu; prijenosni omjer za mjenjače, razdjelnike napona, skalere itd.

Koeficijent prijenosa karakterizira statička svojstva veze, kao u stabilnom stanju. Stoga određuje strminu statičke karakteristike pri malim odstupanjima. Ako prikažemo cjelokupnu realnu statičku karakteristiku veze, onda linearizacija daje ili. Koeficijent prijenosa k 1 će biti tangenta nagiba tangenta u toj tački C (vidi sliku 2.3), od kojih se računaju mala odstupanja x 1 i x 2 .

Iz slike se može vidjeti da linearizacija gornje jednačine vrijedi za upravljačke procese koji obuhvataju takav dio karakteristike AB , na kojoj se tangenta malo razlikuje od same krive.

(Slajd 19)

Osim toga, ovo vodi još jednom grafički način linearizacija. Ako je statička karakteristika poznata i tačka C , koji određuje stabilno stanje, oko kojeg se odvija proces regulacije, zatim se koeficijent prijenosa u jednačini veze određuje grafički sa crteža prema zavisnosti k 1 = tg  c uzimajući u obzir razmeru crteža i dimenzije x2 . U mnogim slučajevimametoda grafičke linearizacijeispostavilo se da je zgodnije i brže vodi do cilja.

(Slajd 20)

Dimenzija koeficijenta k2 jednaka dimenziji koeficijenta prijenosa k 1 pomnoženo vremenom. Stoga se jednačina (2.6) često piše u obliku

gde je vremenska konstanta.

Vremenske konstante T 1, T 2 i T 3 odrediti dinamička svojstva veze. Ovo pitanje će biti detaljno razmotreno u nastavku.

Koeficijent k 3 je koeficijent prijenosa za vanjske smetnje.

Stranica 1

Ostalo slični radovi to bi vas moglo zanimati.wshm>
13570.		Linearni i nelinearni načini laserskog grijanja	333.34KB
	Linearni režimi laserskog zagrevanja Za analizu linearnih režima laserskog zagrevanja razmatramo procese delovanja LR na poluprostor pomoću izvora toplote koji se eksponencijalno smanjuje sa dubinom. Stoga idealizacija svojstava izvora topline, koja je često dopuštena u proračunskim shemama radi smanjenja matematičkih poteškoća, može dovesti do primjetnih odstupanja proračunskih podataka od eksperimentalnih. Za neprozirne materijale, u većini slučajeva LI grijanja, izvorima topline se može smatrati koeficijent površinske apsorpcije α 104  105...
16776.		Zahtjevi poreske politike države u krizi	21.72KB
	Zahtjevi poreske politike države u krizi Za razvoj preduzetničku aktivnost u modernom ekonomskim uslovima neophodno je imati određene uslove, uključujući: - postojanje efikasnog poreskog sistema koji podstiče razvoj preduzetništva; - prisustvo određenog skupa prava i sloboda za odabir vrste ekonomska aktivnost planiranje izvora finansiranja pristup resursima organizacija i upravljanje kompanijom itd. Dakle, za progresivni razvoj...
7113.		Metoda harmonične linearizacije	536.48KB
	Metoda harmonične linearizacije Pošto je ova metoda približna, dobijeni rezultati će biti bliski istini samo ako su ispunjene određene pretpostavke: Nelinearni sistem treba da sadrži samo jednu nelinearnost; Linearni dio sistema bi trebao biti niskopropusni filter koji prigušuje više harmonike koji se javljaju u graničnom ciklusu; Metoda je primjenjiva samo na autonomne sisteme. se proučava slobodno kretanje sistem, tj. kretanje ne nule početni uslovi u nedostatku spoljnih uticaja....
12947.		METODA HARMONIČKE LINEARIZACIJE	338.05KB
	Prelazeći direktno na razmatranje metode harmonijske linearizacije, pretpostavićemo da je nelinearni sistem koji se proučava sveden na oblik prikazan u. Nelinearni element može imati bilo koju karakteristiku sve dok je integrabilan bez diskontinuiteta druge vrste. Transformacija ove varijable za primjer nelinearnim elementom sa mrtvom zonom prikazana je na sl.
2637.		Primjena lijekova. Opće karakteristike. Klasifikacija. Primarni zahtjevi. Tehnologija nanošenja ljepila na podlogu u proizvodnji aplikativnih lijekova	64.04KB
	Aplikacija lijekovi kukuruzni flasteri, lepljivi flasteri, biber flasteri, lepkovi za kožu, tečni flasteri, TTS folije, itd. opšte karakteristike i klasifikacija flastera Flasteri Emplstr je lokalni oblik doziranja koji ima sposobnost prianjanja na kožu, djeluje na kožu, potkožno tkivo i, u nekim slučajevima, općenito djeluje na tijelo. Gipsi su jedni od najstarijih dozni oblici poznat od davnina moderne drogečetvrta generacija...
7112.		NELINEARNI SISTEMI	940.02KB
	fizički zakoni kretanja svijeta oko nas su takva da su svi kontrolni objekti nelinearni. Druge nelinearnosti koje se nazivaju strukturne se uvode u sistem namjerno da bi se dobile potrebne karakteristike sistema. Ako su nelinearnosti slabo izražene, onda se ponašanje nelinearnog sistema malo razlikuje od ponašanja linearnog sistema. Napravite tačan model pravi sistem nemoguće.
21761.		Opći panteon bogova drevne Mezopotamije. Bogovi drevnog Sumera	24.7KB
	drevna religija naroda Mesopotamije, uprkos sopstvenom konzervativizmu, postepeno, u toku razvoj zajednice, doživjela je promjene koje su odražavale kako političke tako i društveno-ekonomske procese koji su se odvijali na teritoriji Mesopotamije.
11507.		formiranje finansijskog rezultata i opšta analiza finansijsko-ekonomskih aktivnosti organizacije	193.55KB
	Za dublje upoznavanje sa aktivnostima bilo kog preduzeća, potrebno je proučiti ga sa svih mogućih strana u formiranju naj objektivno mišljenje i pozitivne i negativni aspekti u radu na identifikaciji najugroženijih mjesta i načinima njihovog eliminisanja. Za obavljanje finansijske analize koriste se posebni alati, takozvani finansijski pokazatelji. Koristeći potrebne informacije objektivno i najtačnije procijeniti finansijsko stanje organizacije, promjene dobiti i gubitaka...
13462.		Statistička analiza rizične imovine. Nelinearni modeli	546.54KB
	Međutim, stvarni podaci za mnoge finansijske vremenske serije to pokazuju linearni modeli ne odražavaju uvijek na adekvatan način pravu sliku ponašanja cijena. Ako imamo u vidu ekspanziju hrasta u kojoj je kondicional matematička očekivanja sasvim je prirodno pretpostaviti da su uslovne distribucije Gausove...
4273.		Linearni matematički modeli	3.43KB
	Linearni matematički modeli. Gore je navedeno da bilo koji matematički model može se smatrati nekim operatorom A, koji je algoritam ili je određen skupom jednadžbi - algebarskim...

Razgovarajmo ponovo o izboru skale za predstavljanje ovih podataka grafički oblik(vidi sliku 30). Maksimalna oznaka od °C, koja odgovara temperaturnoj osi X, vrlo dobro odgovara na 40 ćelija, što odgovara vrlo pogodnoj podjeli od 10 ćelija za svakih 50°C. Koliko je još rizika potrebno? U ovom slučaju, predlažem da ih rasporedite kroz 2 ćelije, što će olakšati određivanje koordinate, jer će interval između takvih rizika odgovarati 10 ° C, što je vrlo zgodno.

Ali na Y osi postavio sam rizike kroz 5 ćelija za svakih 500 oma otpora, što je dovelo do nepotpuna upotreba papirna površina. Ali, prosudite sami, ako je os podijeljena na 6 ili 7 ćelija, bilo bi nezgodno pronaći koordinatu, a ako je 8 ćelija, tada maksimalni rizik koji odgovara 2000 Ohma ne bi stao na os.

Sada moramo razgovarati o obliku teorijske krive. Hajde da otvorimo smjernice na laboratorijskom radu na strani 28 i pronađi formulu 3, koja opisuje zavisnost otpora poluprovodnika od temperature,

gdje je jaz u pojasu, Boltzmannova konstanta, - neka konstanta sa dimenzijom otpora, i, konačno, temperatura , izražena u Kelvinima. Počnimo sa kreiranjem nove tabele. Prvo, pretvorimo temperaturu u Kelvine. Drugo, postavimo sebi zadatak ne samo da nacrtamo novi graf, već i da pomoću grafa pronađemo jaz između pojasa. Da bismo to uradili, uzimamo logaritam eksponencijalne zavisnosti i dobijamo

Označite , , i . Tada dobijamo linearnu zavisnost,

koje ćemo prikazati na grafikonu. Podaci koji odgovaraju vrijednostima i bit će upisani u tablicu 9.

Tabela 9. Preračunavanje podataka u tabeli 8.

broj tačke
T, K
1/T, 10–3 K–1	3,34	3,19	3,00	2,83	2,68	2,54	2,42	2,31	2,21	2,11
ln R, Ohm	7,62	7,51	7,25	7,06	6,99	6,74	6,61	6,56	6,36	6,34

Ako se, prema tabeli 9, izgradi graf zavisnosti na slici 31, tada će sve eksperimentalne tačke zauzimati vrlo malo prostora na listu sa velikim praznim prostorom. Zašto se to dogodilo? Zato što se oznake na X i Y osi postavljaju počevši od 0, iako vrijednosti, na primjer, počinju samo s vrijednošću . Da li je potrebno da početna oznaka bude jednaka 0? Odgovor na ovo pitanje zavisi od zadataka. U primjeru s Oberbeckovim klatnom (vidi sliku 28) bilo je vrlo važno pronaći presjek X-ose teorijske linije u tački sa koordinatom Y=0, što je odgovaralo vrijednosti . A u ovom zadatku potrebno je samo pronaći zaporni razmak, koji se odnosi na konstantu , koja odgovara nagibu prave linije na slici 31, tako da uopće nije potrebno postavljati oznake na osi, počevši od od 0.

Proučavajući podatke iz Tabele 9 i birajući prikladnu skalu, možemo sa sigurnošću reći da je potrebno promijeniti orijentaciju grafofolije, kao što je prikazano na slici 32. Sami proučite odabranu skalu i uvjerite se da je vrlo zgodna za rad s grafikonom. Na teorijskoj pravoj liniji (nacrtanoj okom na najbolji mogući način između eksperimentalnih tačaka) stavite dvije tačke A i B sa koordinatama i . Koeficijent nagiba se izražava u koordinatama ovih tačaka formulom

I konačno, izračunavamo jaz između pojasa

Koristeći metodu uparenih tačaka, izračunavamo isti koeficijent i njegovu grešku, za to razmatramo parove tačaka iz tabele 9:

1-4, 2-5, 3-6, 4-7, 5-8, 6-9 i 7-10.

Izračunajte za ove parove tačaka koeficijente nagiba pravih linija koje prolaze kroz njih

Zlo

,

Sada izračunajmo pojasni jaz i njegovu grešku.

Tako smo došli do odgovora

eV

Samostalan rad.

Predlažem da sami napravite svoje proračune, crtate i obrađujete grafikone u sljedećem virtuelnom laboratorijski rad ispod kodno ime"Odredite krutost opruge." Ali hajde da podignemo letvicu eksperimenta za više visoki nivo: ne morate samo dobiti broj, već uporediti dvije metode mjerenja krutosti opruge - statičku i dinamičku.

Pogledajmo ukratko ove metode.

statička metoda.

Ako je teret mase okačen na fiksnu vertikalnu oprugu, tada će se opruga rastegnuti prema Hookeovom zakonu, gdje je dužina istegnute opruge, a dužina nerastegnute opruge (početna dužina).

Napomena: Hookeov zakon govori o proporcionalnosti elastične sile opruge prema apsolutnom izduženju, tj. , gdje je koeficijent elastičnosti (ili krutosti) opruge.

U stanju ravnoteže, sila gravitacije tereta će biti uravnotežena silom elastičnosti i možemo napisati . Otvorimo zagrade i vidimo zavisnost dužine opruge o masi tereta

Ako izvršite promjenu varijabli, onda ćete dobiti jednačinu prave linije. Nema potrebe za linearizacijom!

Dakle, vaš zadatak je da obradite podatke iz tabele 10, koje je tu uneo mladi Eksperimentator (umorio se od bacanja cigle sa krova devetospratnice). Za eksperimente se opskrbio kompletom utega, pronašao desetak ili dvije različite opruge i, okačivši utege različite mase, izmjerio dužinu istegnute opruge pomoću milimetarskog ravnala.

Vježba 1.

1. Izaberite broj opruge iz tabele 10.

2. Napravite svoju tabelu sa dve kolone. U prvi stupac unesite silu gravitacije, gdje je masa tereta (u kg), m/s 2. U drugu kolonu prenesite dužine odabrane opruge (u metrima). Navedite ćelije za prosječne vrijednosti i .

Tabela 10

m, g	l, cm	l, cm	l, cm	l, cm	l, cm	l, cm	l, cm	l, cm	l, cm
	11,8	15,4	17,6	19,4	13,2	15,4	19,6	21,4	11,2
	12,3	16,5	18,3	21,5	14,3	16,5	21,3	22,4	11,7
	13,6	17,6	19,3	21,6	14,8	16,5	22,1	22,6	12,7
	14,1	18,2	21,5	22,1	15,6	17,3	21,5	23,7	13,1
	16,6	22,3	22,5	24,9	17,6	19,9	23,9	25,5	15,4
	21,6	25,6	27,4	29,5	21,4	23,8	27,7	29,9	18,3
	22,5	26,4	28,8	31,4	22,6	24,2	28,8	32,1	19,6
	23,3	27,9	29,4	31,7	23,8	25,6	29,5	31,7	22,1
	26,2	32,1	32,0	34,3	25,5	27,9	31,9	33,6	22,2
	27,8	31,4	33,7	35,3	27,6	29,1	33,2	35,3	23,1

Tabela 10 (nastavak)

m, g	l, cm	l, cm	l, cm	l, cm	l, cm	l, cm	l, cm	l, cm	l, cm
	15,1	17,1	19,3	11,4	15,3	19,0	10,8	15,2	19,1
	15,6	17,7	19,7	11,6	15,6	19,6	11,5	15,3	19,3
	16,7	18,5	21,2	12,0	16,1	20,4	12,3	16,3	20,2
	17,3	19,3	21,4	12,5	16,5	20,7	12,4	16,7	20,4
	19,4	21,1	23,5	14,9	18,9	22,4	14,2	18,0	21,8
	22,3	24,6	26,3	17,4	21,4	25,8	16,5	20,7	24,4
	23,5	25,6	27,0	18,2	22,3	26,1	17,2	21,6	25,7
	24,4	26,1	28,5	19,4	23,3	27,0	18,4	22,0	26,4
	26,4	28,5	31,1	20,3	24,5	28,6	19,3	23,5	27,3
	27,0	29,0	31,4	21,9	25,8	29,9	20,7	24,7	28,5

3. Uzmite list milimetarskog papira, označite na njemu koordinatne ose. Birajte prema podacima optimalno Skala i grafikon gravitacije u odnosu na dužinu opruge, iscrtavanje vrijednosti duž x-ose i vrijednosti duž y-ose.

4. Napravite 7 parova poena: 1-4, 2-5, 3-6, 4-7, 5-8, 6-9, 7-10. Koristeći metodu uparene tačke, izračunajte 7 faktora nagiba koristeći formulu

itd.

5. Odrediti srednju vrijednost koja odgovara prosječnoj vrijednosti koeficijenta elastičnosti opruge.

6. Pronađite standardna devijacija , interval povjerenja , (jer je dobijeno 7 vrijednosti). Rezultat predstaviti kao

Dodatni zadatak(opciono)

7. Izračunajte početnu dužinu opruge. Da biste to učinili, dobijete izraz za koeficijent iz jednadžbe ravnoteže i zamijenite prosječne vrijednosti u njega

8. Izračunajte interval pouzdanosti za koeficijent

9. S obzirom na to, izračunati početnu dužinu opruge i interval pouzdanosti za nju

,

Dinamička metoda

Ovjesite težinu mase na fiksnu vertikalnu oprugu krutosti i lagano je gurnite prema dolje. Počeće harmonijske vibracije, čiji je period (vidi , strana 76). Masu tereta izražavamo kroz period oscilacija

Primljene metode frekvencije široku upotrebu u analizi i sintezi linearnih sistema imaju niz prednosti u odnosu na druge istraživačke metode: prvo, jednostavnost sastavljanja i pretvaranja blok dijagrama i prijenosnih funkcija; drugo, pogodnost i veća jasnoća izračunavanja pomoću frekvencijskih karakteristika. Stoga je bilo prirodno željeti koristiti ove metode u proučavanju nelinearnih sistema. Pokazalo se da je to moguće na osnovu metode harmonijske linearizacije nelinearnih veza sistema automatskog upravljanja.

Osnove metode harmonične linearizacije iznesene su u radovima istaknutih ruskih naučnika N. M. Krilova i N. N. Bogoljubova 1930-ih godina. Kasnije su ideju o ovoj metodi primenjenoj na sisteme automatskog upravljanja razvili E. P. Popov i L. S. Goldfarb.

Ova metoda omogućava proučavanje stabilnosti nelinearnih sistema uz određivanje parametara (amplituda, frekvencija) mogućih autooscilacija, odabir korektivnih kola koja daju navedene karakteristike. U ovom slučaju se pretpostavlja harmonijska priroda oscilacija u nelinearnom sistemu, što određuje rješenje zadataka u prvoj aproksimaciji. Međutim, za sisteme čiji je linearni dio niskopropusni filtar, dozvoljena greška je mala i bit će utoliko manja što su svojstva filtriranja linearnog dijela sistema koji se proučavaju veća.

Osnovna ideja metode harmonične linearizacije je sljedeća. Sistem automatskog upravljanja je predstavljen u obliku dva dela - linearnog i nelinearnog (slika 10.12). Neka Funkcija prijenosa linearni dio je jednak

• --- a jednadžba linearnog dijela ima sljedeće Pr(r)
• (10.30)

Yar(p) = X(p) = -Mp(p)up(p).

i= /*(x),

gdje P(x) - zadata nelinearna funkcija.

nelinearne V

Linearno

Rice. 10.12. Predstavljanje automatizovanih sistema upravljanja u obliku nelinearnog i linearnog dela

U formuli (10.31), radi jednostavnosti, pretpostavlja se da izlazna koordinata nelinearne veze zavisi samo od veličine ulaznog signala i da ne zavisi od njegovih derivata ili integrala, iako je razmatrana metoda primenjiva i na složenije nelinearne zavisnosti, kao i na sisteme sa nekoliko nelinearnih veza.

Postavlja se problem nalaženja parametara autooscilacija nelinearnog sistema. Pretpostavlja se da su autooscilacije u nelinearnom sistemu sinusoidne, iako su, strogo govoreći, ove oscilacije nelinearne. Međutim, greška takve pretpostavke, kao što je već napomenuto, biće beznačajna, jer likerski deo sistema, koji je niskofrekventni filter, potiskuje oscilacije sa visoke frekvencije. Stoga ćemo tražiti autooscilacije sistema u obliku sinusoide

x=A sin co/.

Sa ulaznim sinusoidnim signalom, neke periodične oscilacije će se pojaviti na izlazu nelinearne veze. Mogu se predstaviti kao beskonačan niz harmonijskih komponenti

U = F(x) =

C 0 + Z), sin co/ + C, cos co/ + D2 sin 2co/ + Od 2 cos co/ + ..., (10.33)

gdje je S 0 , />, C "D 2, C 2,... su koeficijenti Fourierovog reda.

Nadalje, radi pojednostavljenja, pretpostavljamo da ne postoji konstantna komponenta na izlazu nelinearne veze. To znači da je nelinearna karakteristika simetrična u odnosu na ishodište koordinata i da ulazna akcija ne sadrži konstantnu komponentu. Uzimajući u obzir svojstva filtriranja linearnog dijela, možemo zanemariti sve više harmonijske komponente Fourierovog reda. Stoga se približno izlazni signal nelinearnog elementa može izraziti u terminima prvog harmonika serije (10.33):

U=D. sin co/ + C. cosco/. jedan §

Iz (10.32) nalazimo:

sin co/ = -; cos co/ = ALI

Zamjenom (10.35) u (10.34) dobijamo:

OD, Oh

Asya SI

Ako odredimo (2 (L) = -0 2 (L) =- onda će biti istiniti-

Živite sljedeće izraze:

OLA) =

• 0LA) =

| /HLzipf^ipfg/f;

• (10.37)

| / g (L8IPf)S08fS/f,

gdje je φ = CO/.

Jednačina (10.36) u obliku operatora ima oblik:

u(1p)=01(A)X(p) + R2Shr.x(p). (10.38)

Kao rezultat izvršenih transformacija, nelinearna jednačina (10.31) je zamijenjena približnom jednačinom za prvi harmonik (10.38), slično kao linearizirana jednačina. Razlika je u tome što koeficijenti rezultirajuće jednačine nisu konstante, ali zavisi od amplitude ALI i frekvencije iz traženih parametara autooscilacija.

Ova promjena jednačina naziva se harmonska linearizacija. Koeficijenti jednadžbe (10.38) O^A) i nazivaju se harmonijski dobici nelinearne veze.

Napravimo harmonijsku linearizaciju karakteristika nelinearnog elementa (slika 10.13).

Rice. 10.13.

Da bi se to uradilo, potrebno je pronaći izraze za harmonijska pojačanja nelinearne veze Q(A) i Q 2 (A)(10.37). Na sl. 10.14 oblik funkcije F^sincp) je grafički definiran za sinusoidni ulazni signal nelinearnog elementa x(t) = ylsintp, cp = co/. Dobijamo:

• (2, (ALI) = - [ F(A sinvp)sinv) )di = kA j0
• - G csin ldl = -(-COSV|/)|J*= -- (-udoban 2 + ugodan,), kA J do A| I A

budući da je y 2 = i - y 2 , tada je cosy 2 = -cosy, i Q ) (A) =-udoban,.

Mi definišemo 0 2 (L):

Tako jednačina (10.38) ima sljedeći pogled

Koristeći harmonijsku linearizaciju karakteristike nelinearnog elementa, moguće je odrediti frekvenciju i amplitudu mogućih autooscilacija sistema.

Nakon zamjene (10.38) u (10.30), nalazimo jednačinu slobodne vibracije u zatvorenom nelinearnom sistemu:

O p (p) X (p) + M p (p) \u003d 0. (10.39)

Na osnovu (10.39), karakteristična jednačina cijelog zatvorenog sistema imat će oblik:

• (10.40)

Sada je potrebno pronaći periodično rješenje x = /4$tco/ originalne jednačine (10.39). periodično kretanje u sistemu je moguće samo ako odgovarajuća karakteristična jednačina (10.40) ima par imaginarnih korijena. Za pronalaženje uslova pod kojima će karakteristična jednadžba imati imaginarne korijene, može se koristiti bilo koji kriterij stabilnosti linearnih sistema.

Razmotrite Mihajlovljev kriterijum stabilnosti. Izraz za krivulju Mihajlova je dat sa karakteristična jednačina sistem (10.40) prilikom zamjene X = jQ.

,#) + M/>P)0, (4)+ , (10.41)

gdje je P trenutna vrijednost frekvencije.

Izraz (10.41) se može prepisati kao

D(jQ) = i ] (P,a>,A)+ yT,(Π, ω,/1).

Treba napomenuti da su amplituda i frekvencija autooscilacija (ALI,ω) uneti kao parametre jednačine Mihajlovljeve krive. Da bi sistem dostigao granicu oscilatorne stabilnosti, Mihajlovljeva kriva mora proći kroz početak (slika 10.15).

Poznato je da frekvencija na kojoj Mihajlovljeva kriva prolazi kroz ishodište određuje frekvenciju neprigušene oscilacije u sistemu. U ovom slučaju Q = co.

Dakle, amplituda i frekvencija periodičnih oscilacija u nelinearnom sistemu l: = A sin co t može se odrediti rješavanjem sistema jednačina:

?/,(co,/!)-0; (10.43)

E, (co, ALI) = 0.

Ako su dobijene vrijednosti za ALI a ko realno i pozitivno, to znači da su u sistemu koji se proučavaju moguće autooscilacije sa pronađenim vrijednostima parametara. U suprotnom ne može doći do samooscilacija u sistemu.

Nakon što se odrede parametri mogućih autooscilacija, potrebno je provjeriti stabilnost ovog periodičnog rješenja, odnosno utvrditi da li prelazni proces konvergira na periodične fluktuacije ili ne (slika 10.16). Da bi to uradio, sistem se obaveštava o odstupanju od periodičnog ponovnog

Rice. 10.16.a- rješenje konvergira; b- rješenje se razlikuje

amplituda rješenja (ALI+ A ALI). To će dovesti do odstupanja Mihajlovljeve krive od početka u jednom ili drugom smjeru (slika 10.17). Pozicija 1 odgovara stabilnim periodičnim oscilacijama, a pozicija II deformisane Mihajlovljeve krive odgovara nestabilnim oscilacijama. Za stabilnost samooscilacija potrebno je da za AL > 0 kriva odstupi od položaja I, a za aa

K 8A)

gdje indeks zvjezdice znači da se parcijalni derivati ​​uzeti iz općih izraza (10.42) izračunavaju zamjenom parametara A, O. = iz provjerenog periodičnog rješenja. Ako nejednakost (10.44) nije zadovoljena, onda to odgovara nestabilnom periodičnom rješenju. Uslov (10.44) važi za proučavanje sistema do 4. reda uključujući. Za sisteme gotove high order potrebno je sagledati tok cele Mihajlovljeve krive.

U odsustvu autooscilirajućih režima, ponašanje sistema koji se proučava može biti veoma različito. Trenutno postoje približne metode za određivanje prolaznog procesa u nelinearnim sistemima za određene ulazne akcije.

Razmotrimo primjer. Da bismo to učinili, koristimo sistem o kojem se govori u Odjeljku 10.3. Na osnovu jednačina (10.21) i (10.23) sastavlja se blok dijagram sistema koji se proučava (slika 10.18) i određuje se prijenosna funkcija linearnog dijela:

R(CR + 1)

m R (r)

Oh r (r) "

			p(bp+)

Rice. 10.18. Primjer sistema koji se proučava

Da bismo okarakterizirali nelinearni element (slika 10.11 ???), nalazimo izraze za koeficijente harmonskog pojačanja nelinearne veze:

Karakteristična jednačina zatvorenog sistema (10.40), uzimajući u obzir (10.45) i (10.46), ima sljedeći oblik:

X(T(k + !) + &,

4SD X- ? -- ??

do A 2 co

Nakon zamjene X= uso u (10.47) i razdvajanjem realnog i imaginarnog dijela, dobijamo jednadžbe (10.43) za određivanje amplitude i frekvencije oscilacija u nelinearnom sistemu:

Rješenje dobijenih jednačina s obzirom na ALI i daje željene parametre autooscilacija.

test pitanja

• 1. Koje su pretpostavke kada se koristi metoda harmonijske linearizacije?
• 2. Izvršiti harmonijsku linearizaciju karakteristika nelinearnog elementa (slika 10.7, G) sa parametrima b = 1,5; With = 5.

Opća metoda linearizacije

U većini slučajeva moguće je linearizirati nelinearne ovisnosti metodom malih odstupanja ili varijacija. Da bismo razmotrili ᴇᴦο, okrenimo se nekoj vezi u sistemu automatskog upravljanja (slika 2.2). Ulazna i izlazna veličina su označene sa X1 i X2, a eksterna perturbacija je označena sa F(t).

Pretpostavimo da je veza opisana nekom nelinearnom diferencijalnom jednadžbom oblika

Da biste sastavili takvu jednačinu, morate koristiti odgovarajuću granu tehničkih nauka (na primjer, elektrotehniku, mehaniku, hidrauliku, itd.) koja proučava ovu određenu vrstu uređaja.

Osnova za linearizaciju je pretpostavka da su odstupanja svih varijabli uključenih u jednadžbu dinamike veze dovoljno mala, jer se upravo na dovoljno malom presjeku krivolinijska karakteristika može zamijeniti pravolinijskim segmentom. Odstupanja varijabli se u ovom slučaju mjere od njihovih vrijednosti u stacionarnom procesu ili u određenom ravnotežnom stanju sistema. Neka, na primjer, stacionarni proces karakterizira konstantna vrijednost varijable X1, koju označavamo kao X10. U procesu regulacije (slika 2.3), varijabla X1 će imati vrijednosti gdje označava odstupanje varijable X 1 od stabilne vrijednosti X10.

Slični odnosi se uvode i za druge varijable. Za slučaj koji razmatramo imamo ˸ i također .

Pretpostavlja se da su sva odstupanja dovoljno mala. Ova matematička pretpostavka nije u suprotnosti sa fizičkim značenjem problema, jer sama ideja automatskog upravljanja zahtijeva da sva odstupanja kontrolirane varijable tokom procesa upravljanja budu dovoljno mala.

Stabilno stanje veze određeno je vrijednostima X10, X20 i F0. Tada jednačinu (2.1) treba napisati za stabilno stanje u obliku

Proširimo lijevu stranu jednačine (2.1) u Tejlorov red

gdje su D članovi višeg reda. Indeks 0 za parcijalne izvode znači da nakon uzimanja izvoda, stalne vrijednosti svih varijabli moraju biti zamijenjene u njegov izraz.

Članovi višeg reda u formuli (2.3) uključuju više parcijalne izvode pomnožene kvadratima, kockama i višim stupnjevima odstupanja, kao i proizvode odstupanja. One će biti male višeg reda u poređenju sa samim odstupanjima, koja su mala prvog reda.

Jednačina (2.3) je jednačina dinamike veze, baš kao i (2.1), ali napisana u drugačijem obliku. Hajdemo unutra zadata jednačina malog višeg reda, nakon čega od jednačine (2.3) oduzimamo jednačine stabilnog stanja (2.2). Kao rezultat, dobijamo sljedeću približnu jednačinu dinamike veze u malim odstupanjima˸

U ovu jednačinu sve varijable i njihovi derivati ​​ulaze linearno, odnosno do prvog stepena. Sve parcijalne derivacije su neki konstantni koeficijenti u slučaju da se istražuje sistem sa konstantnim parametrima. Ako sistem ima promjenjive parametre, tada će jednačina (2.4) imati promjenjive koeficijente. Razmotrimo samo slučaj konstantnih koeficijenata.

Opća metoda linearizacije - pojam i vrste. Klasifikacija i karakteristike kategorije "Opšta metoda linearizacije" 2015, 2017-2018.

Linearizacija je najčešći način smanjenja složenosti MM i osnova je za primjenu linearne teorije.

Suština svake linearizacije je približno zamjena izvorne nelinearne zavisnosti (nelinearnosti) nekih linearna zavisnost u skladu sa određenim uslovom (kriterijumom) ekvivalencije. Među mogućim metodama, najčešće se koriste tangentna metoda(linearizacija u malom naselju dati poen). Ova metoda ne ovisi o vrsti signala koji se pretvara i može se jednako uspješno koristiti drugačije vrste nelinearnosti, koje mogu biti jednodimenzionalne i višedimenzionalne; neinercijski (statičan) i dinamičan.

Inercijalne nelinearnosti uspostaviti funkcionalni odnos između ulaznih vrijednosti u(t) i izađite y(t) u istom ovog trenutka vrijeme t i može se podesiti bilo koje jasno(formule, grafikoni, tabele), ili implicitno(algebarske jednadžbe). Na blok dijagrami dopisuju se bez inercije(bez memorije) nelinearne veze.

Dinamičke nelinearnosti su matematički opisani nelinearnim diferencijalnim jednadžbama i odgovaraju im na blok dijagramima nelinearne dinamičke veze. U ovom slučaju, izlazne vrijednosti y(t) u trenutnom vremenu t zavise ne samo od vrijednosti ulaza u isto vrijeme, već i od derivata, integrala ili bilo koje druge vrijednosti.

Matematička osnova tangentna metoda je proširenje nelinearne funkcije u Taylorov red u malom susjedstvu određene “tačke linearizacije”, nakon čega slijedi odbacivanje nelinearnih članova koji sadrže stepen odstupanja varijabli (inkremenata) iznad prve.

Razmotrimo suštinu metode u posebnim slučajevima sa kasnijim generalizacijama.

1) Neka y= F(u) - eksplicitno dato jednodimenzionalni inercijalna nelinearnost, glatka i kontinuirana u okolini neke tačke u=u*. Pretpostavljam u=u*+D u;y=y*+D y, gdje y*=F(u*), zapisujemo Taylorov red za ovu funkciju u obliku:

Odbacivanje termina višeg reda male veličine i ostavljanje samo termina koji sadrže D u do prvog stepena dobijamo približnu jednakost

. (2)

Ovaj izraz približno opisuje odnos mala povećava D y i D u as linearno zavisnost i rezultat je linearizacije u slučaju koji se razmatra. Evo To Ima geometrijskog smisla nagib nagib tangente na graf funkcije u tački sa koordinatom u=u*.

Kada multidimenzionalni nelinearnost y=F(u), kada y={y i}, F={F i) i u={u j) su vektori, na sličan način dobijamo da je D y=K D u. Evo K={K ij) je matrični koeficijent čiji elementi K ij definirane su kao vrijednosti parcijalnih izvoda funkcija F i po varijablama u j izračunato na "tački" u=u*.

2. Neka je data nelinearnost bez inercije implicitno korišćenjem algebarska jednačina F(y,u)=0 . Potrebno je linearizirati ovu nelinearnost u maloj okolini nekog poznatog određenog rješenja ( u*, y*) pod pretpostavkom da je sve nelinearne funkcije F i kao dio F su kontinuirane i diferencibilne u ovom susjedstvu. Proširujući ovu vektorsku funkciju u Taylorov niz i odbacujući članove drugog i višeg reda malenosti, dobijamo linearno jednačina prve aproksimacije:

, (3)

gdje je D y=y–y*; D u=u–u*; - matrice parcijalnih izvoda izračunatih u tački linearizacije.

3. Neka jednodimenzionalni dinamičan nelinearnost je data diferencijalnom jednadžbom "ulaz-izlaz" n-ti red:

F(y, y (1) , …, y (n) , u, u (1) , …u (m))=0. (4)

Ovu nelinearnost lineariziramo tangentnom metodom u malom susjedstvu poznatog privatni rješenja ove jednačine y*(t) odgovarajući dato ulaz u*(t). Vremenski derivati ​​odgovarajućih redova y*(t) i u*(t) takođe se pretpostavlja da su poznati.

Pretpostavljajući funkciju F kontinuirano diferenciran u odnosu na sve svoje argumente i slijedeći gore navedeno opšta metodologija(proširivanje u niz i uzimajući u obzir samo članove koji su linearni u odnosu na prirast argumenata), pišemo linearno jednadžba prve aproksimacije za nelinearnu jednačinu:

(5)

Ovdje simbol (*) znači da su parcijalne derivacije definirane za vrijednosti varijabli i njihovih izvoda koje odgovaraju određenom rješenju ( y*(t), u*(t)). AT opšti slučaj njihove vrijednosti (koeficijenti jednadžbe) ovisit će o vremenu i linearizirani model će biti nestacionarni. Ali ako konkretno rješenje odgovara statički način rada, tada će ovi koeficijenti biti trajno.

Radi praktičnosti i kratkoće notacije, uvodimo sljedeću notaciju:

= a i; = -b i; D y (i) =D i D y; D u (i) =D i D u; D=d/dt.

Onda linearizovano jednačina (5) je napisana u kratkom operatorskom obliku:

A(D)D y(t)=B(D)D u(t),

gdje A(D) je polinom stepena n u odnosu na operator diferencijacije D;

B(D) je sličan operator polinom m-th stepen.

4. Neka multidimenzionalni dinamičan data je nelinearnost nelinearne jednačine view states

(6)

Slično kao u prethodnim slučajevima, ovu nelinearnost lineariziramo tangentnom metodom u malom susjedstvu poznate privatni rješenja ( x*, y*) odgovarajući dato ulaz u*(t). U ovom slučaju, jednadžbe prve aproksimacije će imati sljedeći oblik:

(7)

gdje - matrice odgovarajućih veličina. Njihovi elementi u općem slučaju bit će funkcije vremena, ali ako određeno rješenje odgovara statički režima, oni će biti trajni.

Hajdemo Zaključne napomene o primjeni metode tangenata u linearizaciji MM cjelokupnog ACS-a, koji predstavlja skup opisa interakcijskih strukturnih blokova.

1) "referentni režim" (*), u odnosu na koji se vrši linearizacija, računa se za ceo sistem iz njegovog punog (nelinearnog) MM. Za proračun se mogu koristiti i grafičke i numeričke (kompjuterske) metode. U ovom slučaju, koeficijenti svih lineariziranih jednačina i funkcionalnih ovisnosti ovisit će o odabranim tačkama linearizacije;

2) sve nelinearne zavisnosti MM moraju biti kontinuirane i kontinuirano diferencibilne (glatke) u maloj okolini režima (*);

3) odstupanja varijabli od njihovih vrednosti u referentnom režimu treba da budu dovoljno mala; za SAR i Y, ovaj zahtjev je sasvim u skladu sa ciljem kontrole - regulacijom vrijednosti kontroliranih varijabli u skladu sa propisanim zakonima njihove promjene;

4) za linearne jednačine kao dio MM, linearizacija se sastoji u formalnoj zamjeni svih varijabli njihovim devijacijama (inkrementima);

5) da se dobije linearizovani MM celog sistema u standardni obrazac, na primjer, u obliku jednačina stanja, treba prvo linearizirati svaku od jednačina u sastavu MM. Ovo će biti mnogo jednostavnije i brže od pokušaja da se dobije nelinearni MM sistem u standardnom obliku sa njegovom naknadnom linearizacijom;

6) uz sve uslove za primenu tangentne metode, svojstva linearizovanog MM daju objektivnu predstavu o lokalnim svojstvima nelinearnog MM u malom naselju referentni mod. Ova činjenica ima rigorozno matematičko opravdanje u obliku Ljapunovljevih teorema (prva metoda) i predstavlja teorijsku osnovu za praktičnu primjenu teorije linearnog upravljanja.