Ποιο είναι το απόλυτο σφάλμα της μετρούμενης τιμής. Απόλυτα και σχετικά λάθη

Τα σφάλματα μέτρησης ταξινομούνται σύμφωνα με τους παρακάτω τύπους:

απόλυτη και σχετική.

ΘΕΤΙΚΟ και ΑΡΝΗΤΙΚΟ.

σταθερό και αναλογικό.

Πρόχειρο, τυχαίο και συστηματικό.

Απόλυτο λάθοςαποτέλεσμα μονής μέτρησης (Α y) ορίζεται ως η διαφορά μεταξύ των ακόλουθων τιμών:

ΕΝΑ y = yΕγώ- y ist. » y i-` y.

Σχετικό λάθος αποτέλεσμα μονής μέτρησης (Β y) υπολογίζεται ως ο λόγος των ακόλουθων ποσοτήτων:

Από αυτόν τον τύπο προκύπτει ότι το μέγεθος του σχετικού σφάλματος εξαρτάται όχι μόνο από το μέγεθος του απόλυτου σφάλματος, αλλά και από την τιμή της μετρούμενης ποσότητας. Όταν η μετρούμενη τιμή παραμένει αμετάβλητη ( y) το σχετικό σφάλμα μέτρησης μπορεί να μειωθεί μόνο με τη μείωση του απόλυτου σφάλματος (Α y). Όταν το απόλυτο σφάλμα μέτρησης είναι σταθερό, για να μειώσετε το σχετικό σφάλμα μέτρησης, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη μέθοδο αύξησης της τιμής της μετρούμενης ποσότητας.

Παράδειγμα.Ας υποθέσουμε ότι μια ζυγαριά συναλλαγών σε ένα κατάστημα έχει σταθερό σφάλμα μέτρησης απόλυτης μάζας: A m = 10 g. Εάν ζυγίζετε 100 g γλυκών (m 1) σε τέτοια ζυγαριά, τότε το σχετικό σφάλμα στη μέτρηση της μάζας των γλυκών θα είναι :

Όταν ζυγίζετε 500 g γλυκών (m 2) στην ίδια ζυγαριά, το σχετικό σφάλμα θα είναι πέντε φορές μικρότερο:

Έτσι, εάν ζυγίσετε 100 g γλυκών πέντε φορές, τότε λόγω σφάλματος μέτρησης μάζας, δεν θα λάβετε συνολικά 50 g του προϊόντος από τα 500 g. Με ένα μόνο ζύγισμα μεγαλύτερης μάζας (500 g), θα χάσετε μόνο 10 g γλυκών, δηλ. πέντε φορές λιγότερο.

Λαμβάνοντας υπόψη τα παραπάνω, μπορεί να σημειωθεί ότι, πρώτα απ 'όλα, είναι απαραίτητο να προσπαθήσουμε να μειώσουμε τα σχετικά σφάλματα μέτρησης. Τα απόλυτα και σχετικά σφάλματα μπορούν να υπολογιστούν μόνο μετά τον προσδιορισμό του μέσου όρου αριθμητική τιμήαποτέλεσμα μέτρησης.

Το πρόσημο του σφάλματος (θετικό ή αρνητικό) καθορίζεται από τη διαφορά μεταξύ του μοναδικού και του πραγματικού αποτελέσματος μέτρησης:

y i-` y > 0 (το σφάλμα είναι θετικό);

y i-` y < 0 (το σφάλμα είναι αρνητικό).

Εάν το απόλυτο σφάλμα μέτρησης δεν εξαρτάται από την τιμή της μετρούμενης ποσότητας, τότε ένα τέτοιο σφάλμα ονομάζεται συνεχής. Διαφορετικά, το σφάλμα θα είναι αναλογικά. Η φύση του σφάλματος μέτρησης (σταθερό ή αναλογικό) προσδιορίζεται μετά από ειδικές μελέτες.

Μεγάλο λάθοςμέτρηση (αστοχία) είναι ένα αποτέλεσμα μέτρησης που διαφέρει σημαντικά από άλλα, το οποίο συνήθως συμβαίνει όταν παραβιάζεται μια διαδικασία μέτρησης. Η παρουσία μεγάλων σφαλμάτων μέτρησης στο δείγμα διαπιστώνεται μόνο με μεθόδους μαθηματικές στατιστικές(για n>2). Εξοικειωθείτε με τις μεθόδους για τον εντοπισμό χονδροειδών σφαλμάτων.

Η διαίρεση των σφαλμάτων σε τυχαία και συστηματικά είναι μάλλον υπό όρους.

Προς την τυχαία σφάλματαπεριλαμβάνουν σφάλματα που δεν έχουν σταθερή τιμήκαι υπογράψτε. Τέτοια σφάλματα προκαλούνται από ακόλουθους παράγοντες: άγνωστο στον ερευνητή. Γνωστή αλλά ανεξέλεγκτη. αλλάζει συνεχώς.

Τα τυχαία σφάλματα μπορούν να εκτιμηθούν μόνο μετά τη λήψη μετρήσεων.

Μια ποσοτική εκτίμηση του μέτρου του μεγέθους ενός τυχαίου σφάλματος μέτρησης μπορεί να παρακάτω παραμέτρους: και τα λοιπά.

Τα τυχαία σφάλματα μέτρησης δεν μπορούν να αποκλειστούν, μπορούν μόνο να μειωθούν. Ένας από τους κύριους τρόπους μείωσης του μεγέθους ενός τυχαίου σφάλματος μέτρησης είναι η αύξηση του αριθμού των μεμονωμένων μετρήσεων (αύξηση της τιμής του n). Αυτό εξηγείται από το γεγονός ότι το μέγεθος των τυχαίων σφαλμάτων είναι αντιστρόφως ανάλογο με την τιμή του n, για παράδειγμα:

Συστηματικά λάθηείναι σφάλματα με σταθερό μέγεθος και πρόσημο ή μεταβαλλόμενα σύμφωνα με έναν γνωστό νόμο. Αυτά τα σφάλματα προκαλούνται από σταθερούς παράγοντες. Τα συστηματικά σφάλματα μπορούν να ποσοτικοποιηθούν, να μειωθούν, ακόμη και να εξαλειφθούν.

Τα συστηματικά σφάλματα ταξινομούνται σε σφάλματα τύπου I, II και III.

Σε συστηματική λάθη τύπου Ιαναφέρετε λάθη γνωστή προέλευση, η οποία μπορεί να εκτιμηθεί πριν από τη μέτρηση με υπολογισμό. Αυτά τα σφάλματα μπορούν να εξαλειφθούν με την εισαγωγή τους στο αποτέλεσμα της μέτρησης με τη μορφή διορθώσεων. Ένα παράδειγμα αυτού του τύπου σφάλματος είναι το σφάλμα στον τιτλικό προσδιορισμό της συγκέντρωσης όγκου ενός διαλύματος εάν ο τιτλοδοτητής παρασκευάστηκε σε μια θερμοκρασία και η συγκέντρωση μετρήθηκε σε άλλη. Γνωρίζοντας την εξάρτηση της πυκνότητας του τιτλοδοτητή από τη θερμοκρασία, είναι δυνατό να υπολογιστεί η μεταβολή της συγκέντρωσης όγκου του τιτλοδοτητή που σχετίζεται με μια αλλαγή στη θερμοκρασία του πριν από τη μέτρηση και να ληφθεί υπόψη αυτή η διαφορά ως διόρθωση ως αποτέλεσμα η μέτρηση.

Συστηματικός λάθη τύπου II- πρόκειται για σφάλματα γνωστής προέλευσης, τα οποία μπορούν να αξιολογηθούν μόνο κατά τη διάρκεια του πειράματος ή ως αποτέλεσμα ειδικών μελετών. Αυτός ο τύπος σφάλματος περιλαμβάνει σφάλματα οργάνου (οργανικού), αντιδραστικού, αναφοράς και άλλα σφάλματα. Εξοικειωθείτε μόνοι σας με τα χαρακτηριστικά τέτοιων σφαλμάτων.

Οποιαδήποτε συσκευή, όταν χρησιμοποιείται στη διαδικασία μέτρησης, εισάγει τα σφάλματα οργάνων της στο αποτέλεσμα της μέτρησης. Ταυτόχρονα, ορισμένα από αυτά τα σφάλματα είναι τυχαία και το άλλο μέρος είναι συστηματικό. Τα τυχαία σφάλματα οργάνων δεν αξιολογούνται χωριστά, αξιολογούνται μαζί με όλα τα άλλα τυχαία σφάλματα μέτρησης.

Κάθε περίπτωση οποιουδήποτε οργάνου έχει το δικό του προσωπικό συστηματικό σφάλμα. Για να αξιολογηθεί αυτό το σφάλμα, είναι απαραίτητο να διεξαχθούν ειδικές μελέτες.

Ο πιο αξιόπιστος τρόπος για την αξιολόγηση του συστηματικού σφάλματος οργάνων τύπου II είναι ο έλεγχος της λειτουργίας των οργάνων σε σχέση με τα πρότυπα. Για τα εργαλεία μέτρησης (σιφώνια, προχοΐδες, κύλινδροι κ.λπ.), πραγματοποιείται ειδική διαδικασία - βαθμονόμηση.

Στην πράξη, τις περισσότερες φορές απαιτείται όχι η εκτίμηση, αλλά η μείωση ή η εξάλειψη του συστηματικού σφάλματος τύπου II. Οι πιο συνηθισμένες μέθοδοι για τη μείωση των συστηματικών σφαλμάτων είναι μέθοδοι σχετικοποίησης και τυχαιοποίησης.Ελέγξτε αυτές τις μεθόδους μόνοι σας στο .

Προς την λάθη τύπου III περιλαμβάνουν σφάλματα άγνωστης προέλευσης. Αυτά τα σφάλματα μπορούν να εντοπιστούν μόνο αφού εξαλειφθούν όλα τα συστηματικά σφάλματα τύπου I και II.

Προς την άλλα λάθηθα αποδώσουμε όλους τους άλλους τύπους σφαλμάτων που δεν εξετάστηκαν παραπάνω (επιτρεπτά, δυνατά οριακά λάθηκαι τα λοιπά.). Η έννοια των πιθανών οριακών σφαλμάτων χρησιμοποιείται σε περιπτώσεις χρήσης οργάνων μέτρησης και προϋποθέτει το μέγιστο δυνατό σφάλμα μέτρησης οργάνων (η πραγματική τιμή του σφάλματος μπορεί να είναι μικρότερη από την τιμή του πιθανού οριακού σφάλματος).

Όταν χρησιμοποιείτε όργανα μέτρησης, είναι δυνατός ο υπολογισμός του πιθανού απόλυτου ορίου (P` yκ.λπ.) ή συγγενικό (Ε` yκ.λπ.) σφάλματα μέτρησης. Έτσι, για παράδειγμα, το πιθανό περιοριστικό απόλυτο σφάλμα μέτρησης βρίσκεται ως το άθροισμα των πιθανών περιοριστικών τυχαίων (x ` y, τυχαία κ.λπ.) και μη εξαιρούμενα συστηματικά (δ` y, κ.λπ.) σφάλματα:

Π` y, π.χ. = x ` y, τυχαίο, πρ. + δ` y, και τα λοιπά.

Για μικρά δείγματα (n £ 20), το άγνωστο πληθυσμός, υπακούοντας κανονικός νόμοςκατανομή, τα τυχαία πιθανά οριακά σφάλματα μέτρησης μπορούν να εκτιμηθούν ως εξής:

x` y, τυχαίο, πρ. = Δ` y=S` y½t P, n ½,
όπου t P,n είναι η ποσότητα της κατανομής του Student (test) για την πιθανότητα P και το μέγεθος δείγματος n. Το απόλυτο πιθανό περιοριστικό σφάλμα μέτρησης σε αυτήν την περίπτωση θα είναι ίσο με:

Π` y,π.χ.= S ` y½t P, n ½+ d` y, και τα λοιπά.

Εάν τα αποτελέσματα της μέτρησης δεν υπακούουν στον νόμο της κανονικής κατανομής, τότε το σφάλμα εκτιμάται χρησιμοποιώντας άλλους τύπους.

Προσδιορισμός της τιμής του d ` y,και τα λοιπά. εξαρτάται από το αν το όργανο μέτρησης έχει κατηγορία ακρίβειας. Εάν το όργανο μέτρησης δεν έχει κλάση ακρίβειας, τότε για την τιμή d ` y,και τα λοιπά. μπορεί να γίνει αποδεκτή την ελάχιστη τιμή της διαίρεσης της κλίμακαςμέτρηση . Για ένα όργανο μέτρησης με γνωστή κατηγορία ακρίβειας για την τιμή d ` y, π.χ., μπορεί κανείς να αποδεχθεί το απόλυτο επιτρεπτό συστηματικό σφάλμα του οργάνου μέτρησης (δ y, Προσθήκη.):

δ` y,και τα λοιπά." .

d τιμή y, Προσθήκη. υπολογίζεται με βάση τους τύπους που δίνονται στον Πίνακα 5.

Για πολλά όργανα μέτρησης, η τάξη ακρίβειας υποδεικνύεται με τη μορφή αριθμών a × 10 n, όπου το a είναι ίσο με 1. 1,5; 2; 2.5; τέσσερα? 5; 6 και το η είναι 1; 0; -ένας; -2, κ.λπ., τα οποία δείχνουν την τιμή του πιθανού μέγιστου επιτρεπόμενου συστηματικού σφάλματος (Ε y, προσθ.) και ειδικές πινακίδες που υποδεικνύουν τον τύπο της (σχετικός, μειωμένος, σταθερός, αναλογικός).

Πίνακας 5

Παραδείγματα χαρακτηρισμού τάξεων ακρίβειας οργάνων μέτρησης

Απόλυτο σφάλμα μέτρησηςονομάζεται η τιμή που καθορίζεται από τη διαφορά μεταξύ του αποτελέσματος της μέτρησης Χκαι την πραγματική τιμή της μετρούμενης ποσότητας Χ 0:

Δ Χ = |Χ - Χ 0 |.

Η τιμή δ, ίση με τον λόγο του απόλυτου σφάλματος μέτρησης προς το αποτέλεσμα της μέτρησης, ονομάζεται σχετικό σφάλμα:

Παράδειγμα 2.1.Η κατά προσέγγιση τιμή του αριθμού π είναι 3,14. Τότε το σφάλμα του είναι 0,00159. Το απόλυτο σφάλμα μπορεί να θεωρηθεί ίσο με 0,0016 και το σχετικό σφάλμα ίσο με 0,0016/3,14 = 0,00051 = 0,051%.

Σημαντικοί αριθμοί.Εάν το απόλυτο σφάλμα της τιμής a δεν υπερβαίνει τη μία μονάδα του τελευταίου ψηφίου του αριθμού α, τότε λένε ότι ο αριθμός έχει όλα τα πρόσημα σωστά. Πρέπει να γράφονται κατά προσέγγιση αριθμοί, διατηρώντας μόνο αληθινά σημάδια. Εάν, για παράδειγμα, το απόλυτο σφάλμα του αριθμού 52400 είναι ίσο με 100, τότε αυτός ο αριθμός πρέπει να γραφεί, για παράδειγμα, ως 524·10 2 ή 0,524·10 5 . Μπορείτε να υπολογίσετε το σφάλμα ενός κατά προσέγγιση αριθμού υποδεικνύοντας πόσα αληθινά σημαντικά ψηφία περιέχει. Κατά την καταμέτρηση σημαντικών ψηφίων, τα μηδενικά στην αριστερή πλευρά του αριθμού δεν μετρώνται.

Για παράδειγμα, ο αριθμός 0,0283 έχει τρία έγκυρα σημαντικά ψηφία και το 2,5400 έχει πέντε έγκυρα σημαντικά ψηφία.

Κανόνες στρογγυλοποίησης αριθμών. Εάν ο κατά προσέγγιση αριθμός περιέχει επιπλέον (ή λανθασμένους) χαρακτήρες, τότε θα πρέπει να στρογγυλοποιηθεί. Κατά τη στρογγυλοποίηση, εμφανίζεται ένα πρόσθετο σφάλμα, το οποίο δεν υπερβαίνει τη μισή μονάδα του τελευταίου σημαντικού ψηφίου ( ρε) στρογγυλεμένος αριθμός. Κατά τη στρογγυλοποίηση, διατηρούνται μόνο οι σωστές πινακίδες. Οι επιπλέον χαρακτήρες απορρίπτονται και εάν το πρώτο απορριφθέν ψηφίο είναι μεγαλύτερο ή ίσο με ρε/2, τότε το τελευταίο αποθηκευμένο ψηφίο αυξάνεται κατά ένα.

Τα επιπλέον ψηφία στους ακέραιους αντικαθίστανται από μηδενικά και στα δεκαδικά κλάσματα απορρίπτονται (καθώς και τα επιπλέον μηδενικά). Για παράδειγμα, εάν το σφάλμα μέτρησης είναι 0,001 mm, τότε το αποτέλεσμα 1,07005 στρογγυλοποιείται στο 1,070. Εάν το πρώτο από τα μηδενικά τροποποιημένα και απορριφθέντα ψηφία είναι μικρότερο από 5, τα υπόλοιπα ψηφία δεν αλλάζουν. Για παράδειγμα, ο αριθμός 148935 με ακρίβεια μέτρησης 50 έχει στρογγυλοποίηση 148900. Εάν το πρώτο ψηφίο που πρέπει να αντικατασταθεί με μηδενικά ή να απορριφθεί είναι το 5 και ακολουθείται από κανένα ψηφίο ή μηδενικό, τότε η στρογγυλοποίηση εκτελείται στο πλησιέστερο ζυγό αριθμός. Για παράδειγμα, ο αριθμός 123,50 στρογγυλοποιείται στο 124. Εάν το πρώτο ψηφίο που πρέπει να αντικατασταθεί με μηδενικά ή να απορριφθεί είναι μεγαλύτερο από 5 ή ίσο με 5, αλλά ακολουθείται από ένα σημαντικό ψηφίο, τότε το τελευταίο ψηφίο που απομένει αυξάνεται κατά ένα. Για παράδειγμα, ο αριθμός 6783.6 στρογγυλοποιείται στο 6784.

Παράδειγμα 2.2. Κατά τη στρογγυλοποίηση του αριθμού 1284 στο 1300, το απόλυτο σφάλμα είναι 1300 - 1284 = 16, και κατά τη στρογγυλοποίηση στο 1280, το απόλυτο σφάλμα είναι 1280 - 1284 = 4.

Παράδειγμα 2.3. Κατά τη στρογγυλοποίηση του αριθμού 197 στο 200, το απόλυτο σφάλμα είναι 200 - 197 = 3. Το σχετικό σφάλμα είναι 3/197 ≈ 0,01523 ή περίπου 3/200 ≈ 1,5%.

Παράδειγμα 2.4. Ο πωλητής ζυγίζει το καρπούζι σε μια ζυγαριά. Στο σύνολο των βαρών το μικρότερο είναι 50 γρ. Ζύγισμα έδωσε 3600 γρ. Αυτός ο αριθμός είναι κατά προσέγγιση. Το ακριβές βάρος του καρπουζιού είναι άγνωστο. Όμως το απόλυτο σφάλμα δεν ξεπερνά τα 50 g. Το σχετικό σφάλμα δεν ξεπερνά το 50/3600 = 1,4%.

Σφάλματα στην επίλυση του προβλήματος Η/Υ

Τρεις τύποι σφαλμάτων θεωρούνται συνήθως ως οι κύριες πηγές σφαλμάτων. Αυτά είναι τα λεγόμενα σφάλματα περικοπής, σφάλματα στρογγυλοποίησης και σφάλματα διάδοσης. Για παράδειγμα, κατά τη χρήση επαναληπτικές μεθόδουςαναζήτηση για ρίζες μη γραμμικές εξισώσειςτα αποτελέσματα είναι κατά προσέγγιση σε αντίθεση με τις άμεσες μεθόδους, που δίνουν ακριβή λύση.

Σφάλματα περικοπής

Αυτός ο τύπος σφάλματος σχετίζεται με το σφάλμα που είναι εγγενές στο ίδιο το πρόβλημα. Μπορεί να οφείλεται σε ανακρίβεια στον ορισμό των αρχικών δεδομένων. Για παράδειγμα, εάν προσδιορίζονται οποιεσδήποτε διαστάσεις στην κατάσταση του προβλήματος, τότε στην πράξη για πραγματικά αντικείμενα αυτές οι διαστάσεις είναι πάντα γνωστές με κάποια ακρίβεια. Το ίδιο ισχύει και για κάθε άλλο φυσικές παραμέτρους. Αυτό περιλαμβάνει επίσης ανακρίβειες τύποι υπολογισμούκαι τους αριθμητικούς συντελεστές τους.

Σφάλματα διάδοσης

Αυτός ο τύπος σφάλματος σχετίζεται με τη χρήση μιας ή άλλης μεθόδου επίλυσης του προβλήματος. Κατά τη διάρκεια των υπολογισμών, συμβαίνει αναπόφευκτα μια συσσώρευση ή, με άλλα λόγια, διάδοση σφαλμάτων. Εκτός από το γεγονός ότι τα ίδια τα αρχικά δεδομένα δεν είναι ακριβή, προκύπτει ένα νέο σφάλμα όταν πολλαπλασιάζονται, προστίθενται κ.λπ. Η συσσώρευση του σφάλματος εξαρτάται από τη φύση και τον αριθμό των αριθμητικών πράξεων που χρησιμοποιούνται στον υπολογισμό.

Σφάλματα στρογγυλοποίησης

Αυτός ο τύπος σφάλματος οφείλεται στο γεγονός ότι η πραγματική τιμή ενός αριθμού δεν αποθηκεύεται πάντα με ακρίβεια από τον υπολογιστή. Όταν ένας πραγματικός αριθμός αποθηκεύεται στη μνήμη του υπολογιστή, γράφεται ως μάντισσα και εκθέτης με τον ίδιο τρόπο που εμφανίζεται ένας αριθμός σε μια αριθμομηχανή.

Στη φυσική και σε άλλες επιστήμες, είναι πολύ συχνά απαραίτητο να μετρηθούν διάφορα μεγέθη (για παράδειγμα, μήκος, μάζα, χρόνος, θερμοκρασία, ηλεκτρική αντίστασηκαι τα λοιπά.).

Μέτρηση- η διαδικασία εύρεσης της τιμής μιας φυσικής ποσότητας με τη χρήση ειδικών τεχνικά μέσα- συσκευές μέτρησης.

Συσκευή μέτρησης ονομάζεται μια συσκευή με την οποία μια μετρούμενη ποσότητα συγκρίνεται με μια φυσική ποσότητα του ίδιου είδους, που λαμβάνεται ως μονάδα μέτρησης.

Υπάρχουν άμεσες και έμμεσες μέθοδοι μέτρησης.

Μέθοδοι άμεσης μέτρησης - μέθοδοι στις οποίες οι τιμές των ποσοτήτων που προσδιορίζονται βρίσκονται με άμεση σύγκριση του μετρούμενου αντικειμένου με τη μονάδα μέτρησης (πρότυπη). Για παράδειγμα, το μήκος ενός σώματος που μετράται από έναν χάρακα συγκρίνεται με μια μονάδα μήκους - ένα μέτρο, η μάζα ενός σώματος που μετράται με ζυγαριά συγκρίνεται με μια μονάδα μάζας - ένα κιλό κ.λπ. Έτσι, ως αποτέλεσμα άμεση μέτρησηη καθορισμένη τιμή λαμβάνεται αμέσως, αμέσως.

Έμμεσες μέθοδοι μέτρησης- μέθοδοι στις οποίες οι τιμές των ποσοτήτων που προσδιορίζονται υπολογίζονται από τα αποτελέσματα άμεσων μετρήσεων άλλων μεγεθών με τις οποίες σχετίζονται με μια γνωστή λειτουργική εξάρτηση. Για παράδειγμα, ο προσδιορισμός της περιφέρειας ενός κύκλου με βάση τα αποτελέσματα της μέτρησης της διαμέτρου ή ο προσδιορισμός του όγκου ενός σώματος με βάση τα αποτελέσματα της μέτρησης των γραμμικών του διαστάσεων.

Λόγω της ατέλειας των οργάνων μέτρησης, οι αισθήσεις μας, επηρεάζουν εξωτερικές επιρροέςστον εξοπλισμό μέτρησης και στο αντικείμενο μέτρησης, καθώς και σε άλλους παράγοντες, όλες οι μετρήσεις μπορούν να γίνουν μόνο με σε κάποιο βαθμόακρίβεια; Επομένως, τα αποτελέσματα της μέτρησης δεν δίνουν την πραγματική τιμή της μετρούμενης ποσότητας, αλλά μόνο μια κατά προσέγγιση. Εάν, για παράδειγμα, το σωματικό βάρος προσδιορίζεται με ακρίβεια 0,1 mg, τότε αυτό σημαίνει ότι το βάρος που βρέθηκε διαφέρει από το πραγματικό σωματικό βάρος κατά λιγότερο από 0,1 mg.

Ακρίβεια μετρήσεων - ένα χαρακτηριστικό της ποιότητας των μετρήσεων, που αντικατοπτρίζει την εγγύτητα των αποτελεσμάτων της μέτρησης στην πραγματική τιμή της μετρούμενης ποσότητας.

Όσο μικρότερα είναι τα σφάλματα μέτρησης, τόσο μεγαλύτερη είναι η ακρίβεια της μέτρησης. Η ακρίβεια της μέτρησης εξαρτάται από τα όργανα που χρησιμοποιούνται στις μετρήσεις και από κοινές μεθόδουςΜετρήσεις. Είναι απολύτως άχρηστο να προσπαθείτε να υπερβείτε αυτό το όριο ακρίβειας όταν κάνετε μετρήσεις υπό δεδομένες συνθήκες. Είναι δυνατό να ελαχιστοποιηθεί ο αντίκτυπος των αιτιών που μειώνουν την ακρίβεια των μετρήσεων, αλλά είναι αδύνατο να απαλλαγούμε εντελώς από αυτά, δηλαδή, γίνονται πάντα περισσότερο ή λιγότερο σημαντικά σφάλματα (λάθη) κατά τη διάρκεια των μετρήσεων. Για αύξηση της ακρίβειας τελικό αποτέλεσμαόποιος φυσική διάστασηείναι απαραίτητο να γίνει όχι μία, αλλά πολλές φορές κάτω από τις ίδιες πειραματικές συνθήκες.

Ως αποτέλεσμα της i-ης μέτρησης (i είναι ο αριθμός μέτρησης) της τιμής "X", προκύπτει ένας κατά προσέγγιση αριθμός X i, ο οποίος διαφέρει από πραγματική αξία Hist by κάποια τιμή ∆Χ i = |Х i – Χ|, που είναι λάθος ή, με άλλα λόγια, σφάλμα. Το αληθινό σφάλμα δεν είναι γνωστό σε εμάς, αφού δεν γνωρίζουμε την πραγματική τιμή της μετρούμενης τιμής. Η πραγματική τιμή της μετρούμενης φυσικής ποσότητας βρίσκεται στο διάστημα

Χ i – ∆Χ< Х i – ∆Х < Х i + ∆Х

όπου X i είναι η τιμή της τιμής X που λαμβάνεται κατά τη μέτρηση (δηλαδή η μετρούμενη τιμή). Το ΔX είναι το απόλυτο σφάλμα στον προσδιορισμό της τιμής του X.

Απόλυτο λάθος (σφάλμα) της μέτρησης ΔX είναι η απόλυτη τιμή της διαφοράς μεταξύ της πραγματικής τιμής της μετρούμενης ποσότητας Xist και του αποτελέσματος της μέτρησης X i: ∆X = |X ist - X i |.

Σχετικό λάθος (σφάλμα) η μέτρηση δ (χαρακτηρίζοντας την ακρίβεια μέτρησης) είναι αριθμητικά ίση με τον λόγο του απόλυτου σφάλματος μέτρησης ΔX προς την πραγματική τιμή της μετρούμενης τιμής X sist (συχνά εκφράζεται ως ποσοστό): δ \u003d (ΔX / X sist) 100% .

Τα σφάλματα ή τα σφάλματα μέτρησης μπορούν να χωριστούν σε τρεις κατηγορίες: συστηματικά, τυχαία και ακαθάριστα (αστοχίες).

Συστηματικόςονομάζουν ένα τέτοιο σφάλμα που παραμένει σταθερό ή φυσικά (σύμφωνα με κάποια λειτουργική εξάρτηση) αλλάζει με επαναλαμβανόμενες μετρήσεις της ίδιας ποσότητας. Τέτοια σφάλματα προκύπτουν από χαρακτηριστικά σχεδίουόργανα μέτρησης, ελλείψεις της αποδεκτής μεθόδου μέτρησης, τυχόν παραλείψεις του πειραματιστή, επίδραση εξωτερικών συνθηκών ή ελάττωμα στο ίδιο το αντικείμενο μέτρησης.

Σε οποιαδήποτε συσκευή μέτρησης, είναι εγγενές ένα ή άλλο συστηματικό σφάλμα, το οποίο δεν μπορεί να εξαλειφθεί, αλλά η σειρά του οποίου μπορεί να ληφθεί υπόψη. Τα συστηματικά σφάλματα είτε αυξάνουν είτε μειώνουν τα αποτελέσματα των μετρήσεων, δηλαδή τα σφάλματα αυτά χαρακτηρίζονται από σταθερό πρόσημο. Για παράδειγμα, εάν κατά τη διάρκεια της ζύγισης ένα από τα βάρη έχει μάζα 0,01 g μεγαλύτερη από αυτή που υποδεικνύεται σε αυτό, τότε η ευρεθείσα τιμή του σωματικού βάρους θα υπερεκτιμηθεί κατά αυτό το ποσό, όσες μετρήσεις κι αν γίνουν. Μερικές φορές τα συστηματικά σφάλματα μπορούν να ληφθούν υπόψη ή να εξαλειφθούν, μερικές φορές αυτό δεν μπορεί να γίνει. Για παράδειγμα, τα μοιραία σφάλματα περιλαμβάνουν σφάλματα οργάνων, τα οποία μπορούμε μόνο να πούμε ότι δεν υπερβαίνουν μια συγκεκριμένη τιμή.

Τυχαία λάθη ονομάζονται σφάλματα που αλλάζουν το μέγεθός τους και υπογράφουν με απρόβλεπτο τρόπο από εμπειρία σε εμπειρία. Η εμφάνιση τυχαίων σφαλμάτων οφείλεται στη δράση πολλών διαφορετικών και ανεξέλεγκτων αιτιών.

Για παράδειγμα, όταν ζυγίζετε με ζυγαριά, αυτοί οι λόγοι μπορεί να είναι δονήσεις αέρα, καθιζάνοντα σωματίδια σκόνης, διαφορετική τριβή στην αριστερή και δεξιά ανάρτηση των κυπέλλων κ.λπ. Τα τυχαία σφάλματα εκδηλώνονται στο γεγονός ότι, έχοντας μετρήσει την ίδια τιμή Χ τις ίδιες πειραματικές συνθήκες, έχουμε διαφορετικές τιμές: X1, X2, X3,…, X i ,…, X n , όπου X i είναι το αποτέλεσμα της i-ης μέτρησης. Δεν είναι δυνατό να διαπιστωθεί κάποια κανονικότητα μεταξύ των αποτελεσμάτων, επομένως λαμβάνεται υπόψη το αποτέλεσμα της i -ης μέτρησης του X τυχαία μεταβλητή. Τα τυχαία σφάλματα μπορούν ορισμένη επιρροήσε μία μόνο μέτρηση, αλλά με πολλαπλές μετρήσεις υπακούουν στατιστικούς νόμουςκαι η επιρροή τους στα αποτελέσματα των μετρήσεων μπορεί να ληφθεί υπόψη ή να μειωθεί σημαντικά.

Αστοχίες και γκάφες- υπερβολικά μεγάλα λάθη, παραμορφώνοντας σαφώς το αποτέλεσμα της μέτρησης. Αυτή η κατηγορία σφαλμάτων προκαλείται συχνότερα από λανθασμένες ενέργειες του πειραματιστή (για παράδειγμα, λόγω απροσεξίας, αντί για την ανάγνωση της συσκευής "212", γράφεται ένας εντελώς διαφορετικός αριθμός - "221"). Οι μετρήσεις που περιέχουν αστοχίες και μεγάλα σφάλματα θα πρέπει να απορρίπτονται.

Οι μετρήσεις μπορούν να γίνουν ως προς την ακρίβειά τους με τεχνικές και εργαστηριακές μεθόδους.

Όταν χρησιμοποιείτε τεχνικές μεθόδους, η μέτρηση πραγματοποιείται μία φορά. Σε αυτή την περίπτωση, είναι ικανοποιημένοι με μια τέτοια ακρίβεια στην οποία το σφάλμα δεν υπερβαίνει κάποιο προκαθορισμένο καθορισμένη τιμήπροσδιορίζεται από το σφάλμα του εφαρμοζόμενου εξοπλισμού μέτρησης.

Στο εργαστηριακές μεθόδουςμετρήσεις, απαιτείται η ένδειξη της τιμής της μετρούμενης ποσότητας με μεγαλύτερη ακρίβεια από ό,τι επιτρέπει η μεμονωμένη μέτρησή της τεχνική μέθοδο. Σε αυτή την περίπτωση, πραγματοποιούνται πολλές μετρήσεις και υπολογίζεται ο αριθμητικός μέσος όρος των τιμών που λαμβάνονται, ο οποίος λαμβάνεται ως η πιο αξιόπιστη (αληθινή) τιμή της μετρούμενης τιμής. Στη συνέχεια, αξιολογείται η ακρίβεια του αποτελέσματος της μέτρησης (υπολογίζοντας τα τυχαία σφάλματα).

Από τη δυνατότητα διεξαγωγής μετρήσεων με δύο μεθόδους προκύπτει η ύπαρξη δύο μεθόδων εκτίμησης της ακρίβειας των μετρήσεων: τεχνικής και εργαστηριακής.

Ενα από τα πολλά σημαντικά ζητήματαστην αριθμητική ανάλυση είναι το ερώτημα του πώς ένα σφάλμα που εμφανίζεται σε ένα συγκεκριμένο σημείο κατά τη διάρκεια των υπολογισμών διαδίδεται περαιτέρω, δηλαδή εάν η επιρροή του γίνεται μεγαλύτερη ή μικρότερη καθώς εκτελούνται οι επόμενες πράξεις. Μια ακραία περίπτωση είναι η αφαίρεση δύο σχεδόν ίσοι αριθμοί: ακόμα και με πολύ μικρά σφάλματα και των δύο αυτών αριθμών, το σχετικό σφάλμα της διαφοράς μπορεί να είναι πολύ μεγάλο. Ένα τέτοιο σχετικό σφάλμα θα διαδοθεί περαιτέρω σε όλες τις επόμενες αριθμητικές πράξεις.

Μία από τις πηγές υπολογιστικών σφαλμάτων (σφάλματα) είναι η κατά προσέγγιση αναπαράσταση πραγματικούς αριθμούςσε υπολογιστή, λόγω του πεπερασμένου του πλέγματος bit. Αν και τα αρχικά δεδομένα παρουσιάζονται σε έναν υπολογιστή με υψηλή ακρίβεια, η συσσώρευση σφαλμάτων στρογγυλοποίησης στη διαδικασία μέτρησης μπορεί να οδηγήσει σε σημαντικό προκύπτον σφάλμα και ορισμένοι αλγόριθμοι μπορεί να αποδειχθούν εντελώς ακατάλληλοι για πραγματικούς υπολογισμούς σε υπολογιστή. Μπορείτε να μάθετε περισσότερα σχετικά με την αναπαράσταση πραγματικών αριθμών σε έναν υπολογιστή.

Διάδοση σφαλμάτων

Ως πρώτο βήμα για την αντιμετώπιση ενός τέτοιου προβλήματος όπως η διάδοση σφαλμάτων, είναι απαραίτητο να βρεθούν εκφράσεις για τα απόλυτα και σχετικά σφάλματα του αποτελέσματος καθεμιάς από τις τέσσερις αριθμητικές πράξεις ως συνάρτηση των ποσοτήτων που εμπλέκονται στη λειτουργία και των σφαλμάτων τους.

Απόλυτο λάθος

Πρόσθεση

Υπάρχουν δύο προσεγγίσεις και σε δύο ποσότητες και , καθώς και τα αντίστοιχα απόλυτα σφάλματα και . Στη συνέχεια, ως αποτέλεσμα της προσθήκης, έχουμε

Το σφάλμα αθροίσματος, το οποίο συμβολίζουμε με , θα είναι ίσο με

Αφαίρεση

Με τον ίδιο τρόπο παίρνουμε

Πολλαπλασιασμός

Όταν πολλαπλασιαζόμαστε έχουμε

Δεδομένου ότι τα σφάλματα είναι συνήθως πολύ μικρότερα από τις ίδιες τις τιμές, παραμελούμε το γινόμενο των σφαλμάτων:

Το σφάλμα προϊόντος θα είναι

Διαίρεση

Μεταμορφώνουμε αυτή την έκφραση σε μορφή

Ο παράγοντας σε παρένθεση μπορεί να επεκταθεί σε μια σειρά

Πολλαπλασιάζοντας και παραβλέποντας όλους τους όρους που περιέχουν προϊόντα σφαλμάτων ή βαθμούς σφαλμάτων υψηλότερους από τον πρώτο, έχουμε

Συνεπώς,

Πρέπει να γίνει ξεκάθαρα κατανοητό ότι το σημάδι του σφάλματος είναι γνωστό μόνο σε πολύ σπάνιες περιπτώσεις. Δεν είναι γεγονός, για παράδειγμα, ότι το σφάλμα αυξάνεται με την πρόσθεση και μειώνεται με την αφαίρεση επειδή υπάρχει ένα συν στον τύπο για την πρόσθεση και ένα μείον για την αφαίρεση. Αν, για παράδειγμα, τα σφάλματα δύο αριθμών έχουν αντίθετα σημάδια, τότε η κατάσταση θα είναι ακριβώς το αντίθετο, δηλαδή, το σφάλμα θα μειωθεί κατά την πρόσθεση και θα αυξηθεί κατά την αφαίρεση αυτών των αριθμών.

Σχετικό λάθος

Αφού εξάγουμε τους τύπους για τη διάδοση των απόλυτων σφαλμάτων σε τέσσερις αριθμητικές πράξεις, είναι αρκετά εύκολο να εξαχθούν οι αντίστοιχοι τύποι για τα σχετικά σφάλματα. Για πρόσθεση και αφαίρεση, οι τύποι τροποποιήθηκαν ώστε να περιλαμβάνουν ρητά το σχετικό σφάλμα κάθε αρχικού αριθμού.

Πρόσθεση

Αφαίρεση

Πολλαπλασιασμός

Διαίρεση

Ξεκινάμε την αριθμητική πράξη με δύο κατά προσέγγιση τιμές και με τα αντίστοιχα λάθη και . Αυτά τα σφάλματα μπορεί να είναι οποιασδήποτε προέλευσης. Οι τιμές και μπορεί να είναι πειραματικά αποτελέσματα που περιέχουν σφάλματα. μπορεί να είναι τα αποτελέσματα ενός προυπολογισμού σύμφωνα με κάποια άπειρη διαδικασία και μπορεί επομένως να περιέχουν σφάλματα περιορισμού. μπορεί να είναι αποτελέσματα προηγούμενων αριθμητικών πράξεων και μπορεί να περιέχουν σφάλματα στρογγυλοποίησης. Φυσικά, μπορούν επίσης να περιέχουν και τους τρεις τύπους σφαλμάτων σε διάφορους συνδυασμούς.

Οι παραπάνω τύποι δίνουν μια έκφραση για το σφάλμα του αποτελέσματος καθεμιάς από τις τέσσερις αριθμητικές πράξεις ως συνάρτηση του ; σφάλμα στρογγυλοποίησης σε αυτό αριθμητική πράξηεν δεν λαμβάνεται υπόψη. Εάν στο μέλλον θα χρειαστεί να υπολογιστεί πώς διαδίδεται το σφάλμα αυτού του αποτελέσματος σε επόμενες αριθμητικές πράξεις, τότε είναι απαραίτητο να υπολογιστεί το σφάλμα του αποτελέσματος που υπολογίζεται με έναν από τους τέσσερις τύπους προσθέστε ξεχωριστά το σφάλμα στρογγυλοποίησης.

Γραφήματα υπολογιστικών διαδικασιών

Ας εξετάσουμε τώρα έναν βολικό τρόπο για τον υπολογισμό της διάδοσης του σφάλματος σε κάποιους αριθμητικούς υπολογισμούς. Για το σκοπό αυτό, θα απεικονίσουμε την ακολουθία πράξεων σε έναν υπολογισμό χρησιμοποιώντας μετρώκαι θα γράψουμε συντελεστές κοντά στα βέλη του γραφήματος, που θα μας επιτρέψουν να προσδιορίσουμε σχετικά εύκολα το συνολικό σφάλμα του τελικού αποτελέσματος. Αυτή η μέθοδος είναι επίσης βολική καθώς καθιστά εύκολο τον προσδιορισμό της συμβολής οποιουδήποτε σφάλματος που έχει προκύψει κατά τη διάρκεια των υπολογισμών στο συνολικό σφάλμα.

Εικ.1. Γράφημα διαδικασίας υπολογισμού

Στο εικ.1απεικονίζεται ένα γράφημα της υπολογιστικής διαδικασίας. Το γράφημα πρέπει να διαβάζεται από κάτω προς τα πάνω, ακολουθώντας τα βέλη. Πρώτον, εκτελούνται λειτουργίες που βρίσκονται σε κάποιο οριζόντιο επίπεδο και μετά, λειτουργίες που βρίσκονται σε περισσότερο υψηλό επίπεδοκ.λπ. Από το Σχ. 1, για παράδειγμα, είναι σαφές ότι Χκαι yπρώτα προστίθεται και μετά πολλαπλασιάζεται επί z. Το γράφημα που φαίνεται στο εικ.1, είναι μόνο μια εικόνα της ίδιας της υπολογιστικής διαδικασίας. Για να υπολογίσετε το συνολικό σφάλμα του αποτελέσματος, είναι απαραίτητο να συμπληρώσετε αυτό το γράφημα με συντελεστές που είναι γραμμένοι κοντά στα βέλη σύμφωνα με τους ακόλουθους κανόνες.

Πρόσθεση

Αφήστε δύο βέλη που εισέρχονται στον κύκλο πρόσθεσης να εξέλθουν από δύο κύκλους με τιμές και . Αυτές οι τιμές μπορεί να είναι τόσο αρχικές όσο και αποτελέσματα. προηγούμενους υπολογισμούς. Τότε το βέλος που οδηγεί από στο σύμβολο + στον κύκλο παίρνει τον συντελεστή, ενώ το βέλος που οδηγεί από στο σύμβολο + στον κύκλο παίρνει τον συντελεστή.

Αφαίρεση

Εάν εκτελεστεί η λειτουργία, τότε τα αντίστοιχα βέλη λαμβάνουν συντελεστές και .

Πολλαπλασιασμός

Και τα δύο βέλη που περιλαμβάνονται στον κύκλο πολλαπλασιασμού λαμβάνουν συντελεστή +1.

Διαίρεση

Εάν εκτελεστεί διαίρεση, τότε το βέλος από προς την κυκλική κάθετο παίρνει συντελεστή +1 και το βέλος από προς την κυκλική κάθετο παίρνει συντελεστή −1.

Η σημασία όλων αυτών των συντελεστών είναι η εξής: το σχετικό σφάλμα του αποτελέσματος οποιασδήποτε πράξης (κύκλου) περιλαμβάνεται στο αποτέλεσμα της επόμενης πράξης, πολλαπλασιαζόμενο με τους συντελεστές του βέλους που συνδέει αυτές τις δύο πράξεις.

Παραδείγματα

Εικ.2. Γράφημα της υπολογιστικής διαδικασίας για πρόσθεση , και

Ας εφαρμόσουμε τώρα την τεχνική του γραφήματος σε παραδείγματα και ας δείξουμε τι σημαίνει διάδοση σφαλμάτων στους πρακτικούς υπολογισμούς.

Παράδειγμα 1

Εξετάστε το πρόβλημα της προσθήκης τεσσάρων θετικούς αριθμούς:

, .

Το γράφημα αυτής της διαδικασίας φαίνεται στο εικ.2. Ας υποθέσουμε ότι όλες οι αρχικές τιμές δίνονται ακριβώς και δεν έχουν σφάλματα, και έστω και είναι τα σχετικά σφάλματα στρογγυλοποίησης μετά από κάθε επόμενη λειτουργία προσθήκης. Η διαδοχική εφαρμογή του κανόνα για τον υπολογισμό του συνολικού σφάλματος του τελικού αποτελέσματος οδηγεί στον τύπο

Μειώνοντας το άθροισμα στον πρώτο όρο και πολλαπλασιάζοντας ολόκληρη την παράσταση με , λαμβάνουμε

Δεδομένου ότι το σφάλμα στρογγυλοποίησης είναι (in αυτή η υπόθεσηθεωρείται ότι πραγματικός αριθμόςσε έναν υπολογιστή αναπαρίσταται στη μορφή δεκαδικό κλάσμαΜε tσημαντικά στοιχεία), έχουμε τελικά

Η μέτρηση μιας ποσότητας είναι μια πράξη, ως αποτέλεσμα της οποίας διαπιστώνουμε πόσες φορές η μετρούμενη τιμή είναι μεγαλύτερη (ή μικρότερη) από την αντίστοιχη τιμή, που λαμβάνεται ως πρότυπο (μονάδα μέτρησης). Όλες οι μετρήσεις μπορούν να χωριστούν σε δύο τύπους: άμεσες και έμμεσες.

DIRECT αυτές είναι μετρήσεις στις οποίες το άμεσα ενδιαφέρον φυσική ποσότητα(μάζα, μήκος, χρονικά διαστήματα, μεταβολή θερμοκρασίας κ.λπ.).

ΕΜΜΕΣΕΣ - αυτές είναι μετρήσεις στις οποίες η ποσότητα που μας ενδιαφέρει καθορίζεται (υπολογίζεται) από τα αποτελέσματα άμεσων μετρήσεων άλλων ποσοτήτων που σχετίζονται με αυτήν από μια συγκεκριμένη λειτουργική εξάρτηση. Για παράδειγμα, ο προσδιορισμός της ταχύτητας ομοιόμορφη κίνησημε μετρήσεις της απόστασης που διανύθηκε σε μια χρονική περίοδο, μέτρηση της πυκνότητας σώματος με μετρήσεις μάζας και όγκου σώματος κ.λπ.

Ένα κοινό χαρακτηριστικό των μετρήσεων είναι η αδυναμία λήψης της πραγματικής τιμής της μετρούμενης ποσότητας, το αποτέλεσμα της μέτρησης περιέχει πάντα κάποιου είδους σφάλμα (σφάλμα). Αυτό εξηγείται τόσο από τη θεμελιωδώς περιορισμένη ακρίβεια μέτρησης όσο και από τη φύση των ίδιων των μετρούμενων αντικειμένων. Επομένως, για να δείξουμε πόσο κοντά είναι το αποτέλεσμα που λήφθηκε στην πραγματική τιμή, το σφάλμα μέτρησης υποδεικνύεται μαζί με το αποτέλεσμα που λήφθηκε.

Για παράδειγμα, μετρήσαμε την εστιακή απόσταση ενός φακού f και το γράψαμε

f = (256 ± 2) mm (1)

Αυτό σημαίνει ότι η εστιακή απόσταση είναι μεταξύ 254 και 258 mm. Αλλά στην πραγματικότητα αυτή η ισότητα (1) έχει πιθανολογική σημασία. Δεν μπορούμε να πούμε με απόλυτη βεβαιότητα ότι η τιμή βρίσκεται εντός των καθορισμένων ορίων, υπάρχει μόνο μια ορισμένη πιθανότητα για αυτό, επομένως η ισότητα (1) πρέπει να συμπληρωθεί με μια ένδειξη της πιθανότητας με την οποία έχει νόημα αυτός ο λόγος (παρακάτω θα διατυπώσουμε αυτό δήλωση ακριβέστερα).

Η αξιολόγηση των σφαλμάτων είναι απαραίτητη, γιατί χωρίς να γνωρίζουμε τι είναι, είναι αδύνατο να εξαχθούν ασφαλή συμπεράσματα από το πείραμα.

Υπολογίστε συνήθως το απόλυτο και το σχετικό σφάλμα. Το απόλυτο σφάλμα Δx είναι η διαφορά μεταξύ της πραγματικής τιμής της μετρούμενης ποσότητας μ και του αποτελέσματος μέτρησης x, δηλ. Δx = μ - x

Ο λόγος του απόλυτου σφάλματος προς την πραγματική τιμή της μετρούμενης τιμής ε = (μ - x)/μ ονομάζεται σχετικό σφάλμα.

Το απόλυτο σφάλμα χαρακτηρίζει το σφάλμα της μεθόδου που έχει επιλεγεί για τη μέτρηση.

Το σχετικό σφάλμα χαρακτηρίζει την ποιότητα των μετρήσεων. Η ακρίβεια μέτρησης είναι το αντίστροφο του σχετικού σφάλματος, δηλ. 1/ε.

§ 2. Ταξινόμηση σφαλμάτων

Όλα τα σφάλματα μέτρησης χωρίζονται σε τρεις κατηγορίες: αστοχίες (μεικτά σφάλματα), συστηματικά και τυχαία σφάλματα.

Η ΑΠΩΛΕΙΑ προκαλείται από μια απότομη παραβίαση των συνθηκών μέτρησης σε μεμονωμένες παρατηρήσεις. Αυτό είναι ένα σφάλμα που σχετίζεται με κρούση ή θραύση της συσκευής, χονδρό λάθος υπολογισμό του πειραματιστή, απρόβλεπτη παρεμβολή κ.λπ. ένα χονδροειδές σφάλμα εμφανίζεται συνήθως σε όχι περισσότερες από μία ή δύο διαστάσεις και διαφέρει σημαντικά σε μέγεθος από άλλα σφάλματα. Η παρουσία ενός ατυχήματος μπορεί να παραμορφώσει πολύ το αποτέλεσμα που περιέχει το χάσιμο. Ο ευκολότερος τρόπος είναι να διαπιστωθεί η αιτία της ολίσθησης και να εξαλειφθεί κατά τη διαδικασία μέτρησης. Εάν μια ολίσθηση δεν εξαιρέθηκε κατά τη διαδικασία μέτρησης, τότε αυτό θα πρέπει να γίνει κατά την επεξεργασία των αποτελεσμάτων της μέτρησης, χρησιμοποιώντας ειδικά κριτήρια που επιτρέπουν σε κάποιον να διακρίνει αντικειμενικά σε κάθε σειρά παρατηρήσεων γκάφαεάν υπάρχει.

Ένα συστηματικό σφάλμα είναι ένα στοιχείο του σφάλματος μέτρησης που παραμένει σταθερό και αλλάζει τακτικά κατά τη διάρκεια επαναλαμβανόμενων μετρήσεων της ίδιας τιμής. Συστηματικά σφάλματα προκύπτουν εάν δεν ληφθούν υπόψη, για παράδειγμα, θερμική διαστολήκατά τη μέτρηση του όγκου ενός υγρού ή αερίου που παράγεται σε μια αργά μεταβαλλόμενη θερμοκρασία· εάν κατά τη μέτρηση της μάζας δεν λαμβάνεται υπόψη η επίδραση της δύναμης άνωσης του αέρα στο ζυγισμένο σώμα και στα βάρη, κ.λπ.

Παρατηρούνται συστηματικά σφάλματα εάν η κλίμακα του χάρακα εφαρμόζεται ανακριβώς (άνισα). το τριχοειδές του θερμομέτρου σε διαφορετικά μέρη έχει διαφορετική διατομή. με απουσία ηλεκτρικό ρεύμαμέσω του αμπερόμετρου, το βέλος της συσκευής δεν είναι στο μηδέν κ.λπ.

Όπως φαίνεται από τα παραδείγματα, συστηματικό λάθοςπροκαλείται από ορισμένους λόγους, η τιμή του παραμένει σταθερή (μηδενική μετατόπιση της κλίμακας του οργάνου, ανομοιόμορφες κλίμακες) ή αλλάζει σύμφωνα με έναν ορισμένο (μερικές φορές αρκετά περίπλοκο) νόμο (μη ομοιομορφία της κλίμακας, ανομοιόμορφη διατομή του τριχοειδές θερμόμετρο κ.λπ.).

Μπορούμε να πούμε ότι το συστηματικό σφάλμα είναι μια πιο απαλή έκφραση που αντικαθιστά τις λέξεις "λάθος πειραματιστή".

Αυτά τα σφάλματα παρουσιάζονται επειδή:

ανακριβή όργανα μέτρησης.
η πραγματική εγκατάσταση είναι κάπως διαφορετική από την ιδανική.
η θεωρία του φαινομένου δεν είναι απόλυτα σωστή, δηλ. καμία επίδραση δεν ελήφθη υπόψη.

Ξέρουμε τι πρέπει να κάνουμε στην πρώτη περίπτωση, χρειάζεται βαθμονόμηση ή διαβάθμιση. Σε άλλες δύο περιπτώσεις έτοιμη συνταγήδεν υπάρχει. Όσο καλύτερα γνωρίζετε τη φυσική, όσο περισσότερη εμπειρία έχετε, τόσο πιο πιθανό είναι να ανιχνεύσετε τέτοια αποτελέσματα και επομένως να τα εξαλείψετε. Γενικοί κανόνες, δεν υπάρχουν συνταγές για τον εντοπισμό και την εξάλειψη συστηματικών σφαλμάτων, αλλά μπορεί να γίνει κάποια ταξινόμηση. Διακρίνουμε τέσσερα είδη συστηματικών σφαλμάτων.

Τα συστηματικά σφάλματα, η φύση των οποίων είναι γνωστή σε εσάς και η αξία τους μπορούν, επομένως, να εξαιρεθούν με την εισαγωγή τροπολογιών. Παράδειγμα.Ζυγίζοντας σε άνιση ζυγαριά. Έστω η διαφορά μήκους βραχίονα 0,001 mm. Με μήκος rocker 70 mmκαι ζύγιζε σωματικό βάρος 200 σολτο συστηματικό σφάλμα θα είναι 2,86 mg. Το συστηματικό σφάλμα αυτής της μέτρησης μπορεί να εξαλειφθεί με την εφαρμογή ειδικές μεθόδουςζύγιση (μέθοδος Gauss, μέθοδος Mendeleev κ.λπ.).
Συστηματικά σφάλματα, τα οποία είναι γνωστό ότι είναι λιγότερο από βέβαιο ορισμένη αξία. Σε αυτήν την περίπτωση, κατά την εγγραφή μιας απάντησης, μπορούν να υποδειχθούν μέγιστη αξία. Παράδειγμα.Το διαβατήριο που επισυνάπτεται στο μικρόμετρο λέει: «Το επιτρεπόμενο σφάλμα είναι ± 0,004 mm. Θερμοκρασία +20 ± 4 ° C. Αυτό σημαίνει ότι μετρώντας τις διαστάσεις ενός σώματος με αυτό το μικρόμετρο στις θερμοκρασίες που αναγράφονται στο διαβατήριο, θα έχουμε απόλυτο λάθος, που δεν υπερβαίνει το ± 0,004 mmγια τυχόν αποτελέσματα μέτρησης.
Συχνά, το μέγιστο απόλυτο σφάλμα που δίνεται από ένα δεδομένο όργανο υποδεικνύεται από την κατηγορία ακρίβειας του οργάνου, η οποία απεικονίζεται στην κλίμακα του οργάνου με τον αντίστοιχο αριθμό, που συνήθως λαμβάνεται σε κύκλο.

Ο αριθμός που υποδεικνύει την κατηγορία ακρίβειας υποδεικνύει το μέγιστο απόλυτο σφάλμα του οργάνου, εκφρασμένο ως ποσοστό του η μεγαλύτερη αξίαμετρηθείσα τιμή σε ανώτατο όριοΖυγός.

Αφήστε ένα βολτόμετρο να χρησιμοποιηθεί στις μετρήσεις, με κλίμακα από 0 έως 250 ΣΤΟ, η κατηγορία ακρίβειάς του είναι 1. Αυτό σημαίνει ότι το μέγιστο απόλυτο σφάλμα που μπορεί να γίνει κατά τη μέτρηση με αυτό το βολτόμετρο δεν θα είναι μεγαλύτερο από το 1% της υψηλότερης τιμής τάσης που μπορεί να μετρηθεί σε αυτήν την κλίμακα οργάνου, με άλλα λόγια:

δ = ±0,01 250 ΣΤΟ= ±2,5 ΣΤΟ.

Η κατηγορία ακρίβειας των ηλεκτρικών οργάνων μέτρησης καθορίζει το μέγιστο σφάλμα, η τιμή του οποίου δεν αλλάζει όταν μετακινείται από την αρχή στο τέλος της κλίμακας. Σε αυτήν την περίπτωση, το σχετικό σφάλμα αλλάζει δραματικά, επειδή τα όργανα παρέχουν καλή ακρίβεια όταν το βέλος αποκλίνει σχεδόν σε ολόκληρη την κλίμακα και δεν το δίνει κατά τη μέτρηση στην αρχή της κλίμακας. Εξ ου και η σύσταση: επιλέξτε το όργανο (ή την κλίμακα του οργάνου πολλαπλής εμβέλειας) έτσι ώστε το βέλος του οργάνου κατά τις μετρήσεις να υπερβαίνει το μέσο της κλίμακας.

Εάν δεν προσδιορίζεται η κατηγορία ακρίβειας της συσκευής και δεν υπάρχουν δεδομένα διαβατηρίου, τότε ως μέγιστο σφάλμα της συσκευής λαμβάνεται το ήμισυ της τιμής του τμήματος μικρότερης κλίμακας της συσκευής.

Λίγα λόγια για την ακρίβεια των κυβερνώντων. Οι μεταλλικοί χάρακες είναι πολύ ακριβείς: οι διαιρέσεις χιλιοστών εφαρμόζονται με σφάλμα όχι μεγαλύτερο από ±0,05 mm, και τα εκατοστά δεν είναι χειρότερα από ό,τι με ακρίβεια 0,1 mm. Το σφάλμα των μετρήσεων που γίνονται με την ακρίβεια τέτοιων χάρακα είναι πρακτικά ίσο με το σφάλμα ανάγνωσης με το μάτι (≤0,5 mm). Είναι καλύτερα να μην χρησιμοποιείτε ξύλινους και πλαστικούς χάρακες, τα λάθη τους μπορεί να αποδειχθούν απροσδόκητα μεγάλα.

Ένα λειτουργικό μικρόμετρο παρέχει ακρίβεια 0,01 mm, και το σφάλμα μέτρησης με παχύμετρο καθορίζεται από την ακρίβεια με την οποία μπορεί να γίνει μέτρηση, δηλ. ακρίβεια βερνιέρου (συνήθως 0,1 mmή 0,05 mm).
Συστηματικά σφάλματα λόγω των ιδιοτήτων του μετρούμενου αντικειμένου. Αυτά τα σφάλματα μπορούν συχνά να περιοριστούν σε τυχαία. Παράδειγμα.. Προσδιορίζεται η ηλεκτρική αγωγιμότητα κάποιου υλικού. Εάν για μια τέτοια μέτρηση ληφθεί ένα κομμάτι σύρματος που έχει κάποιου είδους ελάττωμα (πάχυνση, ρωγμή, ανομοιογένεια), τότε θα γίνει λάθος στον προσδιορισμό της ηλεκτρικής αγωγιμότητας. Η επανάληψη των μετρήσεων δίνει την ίδια τιμή, δηλ. υπάρχει κάποιο συστηματικό λάθος. Ας μετρήσουμε την αντίσταση πολλών τμημάτων ενός τέτοιου σύρματος και ας βρούμε τη μέση τιμή της ηλεκτρικής αγωγιμότητας αυτού του υλικού, η οποία μπορεί να είναι μεγαλύτερη ή μικρότερη από την ηλεκτρική αγωγιμότητα μεμονωμένων μετρήσεων, επομένως, τα σφάλματα που έγιναν σε αυτές τις μετρήσεις μπορούν να αποδοθούν στα λεγόμενα τυχαία σφάλματα.
Συστηματικά λάθη, η ύπαρξη των οποίων δεν είναι γνωστή. Παράδειγμα.. Προσδιορίστε την πυκνότητα οποιουδήποτε μετάλλου. Αρχικά, βρείτε τον όγκο και τη μάζα του δείγματος. Μέσα στο δείγμα υπάρχει ένα κενό για το οποίο δεν γνωρίζουμε τίποτα. Θα γίνει σφάλμα στον προσδιορισμό της πυκνότητας, το οποίο θα επαναληφθεί για οποιοδήποτε αριθμό μετρήσεων. Το παράδειγμα που δίνεται είναι απλό, η πηγή του σφάλματος και το μέγεθός του μπορούν να προσδιοριστούν χωρίς μεγάλη δυσκολία. Σφάλματα αυτού του τύπου μπορούν να εντοπιστούν με τη βοήθεια πρόσθετων μελετών, πραγματοποιώντας μετρήσεις με εντελώς διαφορετική μέθοδο και υπό διαφορετικές συνθήκες.

RANDOM είναι το στοιχείο του σφάλματος μέτρησης που αλλάζει τυχαία με επαναλαμβανόμενες μετρήσεις της ίδιας τιμής.

Όταν οι επαναλαμβανόμενες μετρήσεις της ίδιας σταθερής, αμετάβλητης ποσότητας πραγματοποιούνται με την ίδια προσοχή και υπό τις ίδιες συνθήκες, παίρνουμε αποτελέσματα μετρήσεων μερικές από αυτές διαφέρουν μεταξύ τους και μερικές από αυτές συμπίπτουν. Τέτοιες αποκλίσεις στα αποτελέσματα των μετρήσεων υποδεικνύουν την παρουσία στοιχείων τυχαίου σφάλματος σε αυτά.

Το τυχαίο σφάλμα προκύπτει από την ταυτόχρονη δράση πολλών πηγών, καθεμία από τις οποίες έχει από μόνη της μια ανεπαίσθητη επίδραση στο αποτέλεσμα της μέτρησης, αλλά η συνολική επίδραση όλων των πηγών μπορεί να είναι αρκετά ισχυρή.

Ένα τυχαίο σφάλμα μπορεί να λάβει διαφορετικές απόλυτες τιμές, οι οποίες δεν μπορούν να προβλεφθούν για μια δεδομένη πράξη μέτρησης. Αυτό το σφάλμα μπορεί να είναι εξίσου θετικό και αρνητικό. Τα τυχαία σφάλματα υπάρχουν πάντα σε ένα πείραμα. Ελλείψει συστηματικών σφαλμάτων, προκαλούν επαναλαμβανόμενες μετρήσεις να διασκορπίζονται γύρω από την πραγματική τιμή ( εικ.14).

Εάν, επιπλέον, υπάρχει συστηματικό σφάλμα, τότε τα αποτελέσματα της μέτρησης θα διασκορπίζονται σε σχέση με όχι την αληθή, αλλά την προκατειλημμένη τιμή ( εικ.15).

Ρύζι. 14 Εικ. δεκαπέντε

Ας υποθέσουμε ότι με τη βοήθεια ενός χρονόμετρου μετράμε την περίοδο ταλάντωσης του εκκρεμούς, και η μέτρηση επαναλαμβάνεται πολλές φορές. Σφάλματα εκκίνησης και διακοπής του χρονόμετρου, σφάλμα στην τιμή της αναφοράς, μια μικρή ανομοιόμορφη κίνηση του εκκρεμούς όλα αυτά προκαλούν διασπορά στα αποτελέσματα επαναλαμβανόμενων μετρήσεων και επομένως μπορούν να ταξινομηθούν ως τυχαία σφάλματα.

Εάν δεν υπάρχουν άλλα σφάλματα, τότε ορισμένα αποτελέσματα θα είναι κάπως υπερεκτιμημένα, ενώ άλλα θα είναι ελαφρώς υποτιμημένα. Αν όμως, εκτός από αυτό, το ρολόι είναι επίσης πίσω, τότε όλα τα αποτελέσματα θα υποτιμηθούν. Αυτό είναι ήδη ένα συστηματικό σφάλμα.

Ορισμένοι παράγοντες μπορούν να προκαλέσουν τόσο συστηματικά όσο και τυχαία σφάλματα ταυτόχρονα. Έτσι, ενεργοποιώντας και απενεργοποιώντας το χρονόμετρο, μπορούμε να δημιουργήσουμε μια μικρή ακανόνιστη κατανομή στις στιγμές εκκίνησης και διακοπής του ρολογιού σε σχέση με την κίνηση του εκκρεμούς και έτσι να εισάγουμε ένα τυχαίο σφάλμα. Αλλά αν, επιπλέον, κάθε φορά που βιαζόμαστε να ανάβουμε το χρονόμετρο και αργούμε κάπως να το σβήσουμε, τότε αυτό θα οδηγήσει σε συστηματικό σφάλμα.

Τα τυχαία σφάλματα προκαλούνται από ένα σφάλμα παράλλαξης κατά την ανάγνωση των διαιρέσεων της κλίμακας του οργάνου, το τίναγμα της θεμελίωσης του κτιρίου, την επίδραση της ελαφριάς κίνησης του αέρα κ.λπ.

Αν και είναι αδύνατο να αποκλειστούν τα τυχαία σφάλματα μεμονωμένων μετρήσεων, η μαθηματική θεωρία των τυχαίων φαινομένων μας επιτρέπει να μειώσουμε την επίδραση αυτών των σφαλμάτων στο τελικό αποτέλεσμα της μέτρησης. Παρακάτω θα φανεί ότι για αυτό είναι απαραίτητο να κάνουμε όχι μία, αλλά πολλές μετρήσεις και όσο μικρότερη είναι η τιμή σφάλματος που θέλουμε να λάβουμε, περισσότερες μετρήσειςπρέπει να πραγματοποιηθούν.

Θα πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι εάν το τυχαίο σφάλμα που προκύπτει από τα δεδομένα μέτρησης αποδειχθεί σημαντικά μικρότερο από το σφάλμα που καθορίζεται από την ακρίβεια του οργάνου, τότε, προφανώς, δεν υπάρχει λόγος να προσπαθήσουμε να μειώσουμε περαιτέρω το μέγεθος του τυχαίο σφάλμα ούτως ή άλλως, τα αποτελέσματα της μέτρησης δεν θα γίνουν πιο ακριβή από αυτό.

Αντίθετα, εάν το τυχαίο σφάλμα είναι μεγαλύτερο από το όργανο (συστηματικό) σφάλμα, τότε η μέτρηση θα πρέπει να πραγματοποιηθεί πολλές φορές προκειμένου να μειωθεί η τιμή σφάλματος για μια δεδομένη σειρά μετρήσεων και να γίνει αυτό το σφάλμα μικρότερο ή μία τάξη του μέγεθος με το σφάλμα οργάνου.