διασπορά ατμού. Υπολογισμός διακύμανσης στο Microsoft Excel

Διασπορά στις στατιστικέςπου βρίσκεται ως ατομικές αξίεςχαρακτηριστικό στο τετράγωνο από . Ανάλογα με τα αρχικά δεδομένα, προσδιορίζεται από τους απλούς και σταθμισμένους τύπους διακύμανσης:

1. (για μη ομαδοποιημένα δεδομένα) υπολογίζεται με τον τύπο:

2. Σταθμισμένη διακύμανση (για σειρά παραλλαγών):

όπου n είναι η συχνότητα (συντελεστής επαναληψιμότητας X)

Ένα παράδειγμα εύρεσης της διακύμανσης

Αυτή η σελίδα περιγράφει τυπικό παράδειγμαβρίσκοντας τη διακύμανση, μπορείτε επίσης να δείτε άλλες εργασίες για να την βρείτε

Παράδειγμα 1. Έχουμε τα ακόλουθα δεδομένα για μια ομάδα 20 μαθητών τμήμα αλληλογραφίας. Είναι απαραίτητο να δημιουργηθεί μια σειρά διαστημάτων της κατανομής χαρακτηριστικών, να υπολογιστεί η μέση τιμή του χαρακτηριστικού και να μελετηθεί η διακύμανσή του

Ας χτίσουμε ομαδοποίηση διαστημάτων. Ας προσδιορίσουμε το εύρος του διαστήματος με τον τύπο:

όπου X max είναι η μέγιστη τιμή της δυνατότητας ομαδοποίησης.
Το X min είναι η ελάχιστη τιμή του χαρακτηριστικού ομαδοποίησης.
n είναι ο αριθμός των διαστημάτων:

Δεχόμαστε n=5. Το βήμα είναι: h \u003d (192 - 159) / 5 \u003d 6,6

Ας κάνουμε μια ομαδοποίηση διαστημάτων

Για περαιτέρω υπολογισμούς, θα φτιάξουμε έναν βοηθητικό πίνακα:

Το X'i είναι το μέσο του διαστήματος. (για παράδειγμα, το μέσο του διαστήματος 159 - 165,6 = 162,3)

Η μέση αύξηση των μαθητών καθορίζεται από τον τύπο του αριθμητικού σταθμισμένου μέσου όρου:

Καθορίζουμε τη διασπορά με τον τύπο:

Ο τύπος διακύμανσης μπορεί να μετατραπεί ως εξής:

Από αυτόν τον τύπο προκύπτει ότι η διακύμανση είναι τη διαφορά μεταξύ του μέσου όρου των τετραγώνων των επιλογών και του τετραγώνου και του μέσου όρου.

Διασπορά σε σειρά παραλλαγής Με σε ίσα διαστήματαμε τη μέθοδο των ροπών μπορεί να υπολογιστεί με τον εξής τρόποόταν χρησιμοποιείται η δεύτερη ιδιότητα της διακύμανσης (διαιρώντας όλες τις επιλογές με την τιμή του διαστήματος). Ορισμός διακύμανσης, που υπολογίζεται με τη μέθοδο των ροπών, σύμφωνα με τον ακόλουθο τύπο είναι λιγότερο χρονοβόρα:

όπου i είναι η τιμή του διαστήματος.
Α - υπό όρους μηδέν, το οποίο είναι βολικό να χρησιμοποιείτε το μέσο του διαστήματος με την υψηλότερη συχνότητα.
m1 είναι το τετράγωνο της στιγμής της πρώτης τάξης.
m2 - στιγμή της δεύτερης παραγγελίας

(εάν στον στατιστικό πληθυσμό το χαρακτηριστικό αλλάζει με τέτοιο τρόπο ώστε να υπάρχουν μόνο δύο αμοιβαία αποκλειστικές επιλογές, τότε αυτή η μεταβλητότητα ονομάζεται εναλλακτική) μπορεί να υπολογιστεί με τον τύπο:

Αντικατάσταση σε αυτή τη φόρμουλαδιασπορά q \u003d 1- p, παίρνουμε:

Τύποι διασποράς

Συνολική διακύμανσημετρά τη διακύμανση ενός χαρακτηριστικού σε ολόκληρο τον πληθυσμό ως σύνολο υπό την επίδραση όλων των παραγόντων που προκαλούν αυτή τη διακύμανση. Είναι ίσο με το μέσο τετράγωνο των αποκλίσεων ατομικές αξίεςχαρακτηριστικό x της συνολικής μέσης τιμής του x και μπορεί να οριστεί ως απλή διακύμανση ή σταθμισμένη διακύμανση.

χαρακτηρίζει την τυχαία παραλλαγή, δηλ. μέρος της διακύμανσης, το οποίο οφείλεται στην επιρροή μη λογιστικών παραγόντων και δεν εξαρτάται από τον παράγοντα πρόσημο που βρίσκεται κάτω από την ομαδοποίηση. Αυτή η απόκλιση είναι ίση με το μέσο τετράγωνο των αποκλίσεων των επιμέρους τιμών του χαρακτηριστικού εντός της ομάδας Χ από τον αριθμητικό μέσο όρο της ομάδας και μπορεί να υπολογιστεί ως απλή διακύμανση ή ως σταθμισμένη διακύμανση.

Με αυτόν τον τρόπο, μέτρα διακύμανσης εντός της ομάδαςπαραλλαγή ενός χαρακτηριστικού μέσα σε μια ομάδα και καθορίζεται από τον τύπο:

όπου xi - μέσος όρος ομάδας.
ni είναι ο αριθμός των μονάδων στην ομάδα.

Για παράδειγμα, διακυμάνσεις εντός της ομάδας, που πρέπει να καθοριστεί στο έργο της μελέτης της επίδρασης των προσόντων των εργαζομένων στο επίπεδο παραγωγικότητας της εργασίας στο εργαστήριο, εμφανίζουν διακυμάνσεις στην παραγωγή σε κάθε ομάδα που προκαλούνται από όλους τους πιθανούς παράγοντες (τεχνική κατάσταση του εξοπλισμού, διαθεσιμότητα εργαλείων και υλικών, ηλικία εργαζομένων, ένταση εργασίας κ.λπ.), εκτός από διαφορές στην κατηγορία προσόντων (εντός της ομάδας, όλοι οι εργαζόμενοι έχουν τα ίδια προσόντα).

Μέσος όρος από μέσα ομαδικές διακυμάνσειςαντανακλά το τυχαίο, δηλαδή, εκείνο το μέρος της παραλλαγής που συνέβη υπό την επίδραση όλων των άλλων παραγόντων, με εξαίρεση τον παράγοντα ομαδοποίησης. Υπολογίζεται με τον τύπο:

Χαρακτηρίζει τη συστηματική παραλλαγή του χαρακτηριστικού που προκύπτει, το οποίο οφείλεται στην επιρροή του παράγοντα-χαρακτηριστικού που βρίσκεται κάτω από την ομαδοποίηση. Είναι ίσο με το μέσο τετράγωνο των αποκλίσεων των μέσων της ομάδας από το συνολικό μέσο όρο. Η διασπορά μεταξύ ομάδων υπολογίζεται από τον τύπο:

Κανόνας προσθήκης διακύμανσης στα στατιστικά

Σύμφωνα με κανόνας προσθήκης διασποράςη συνολική διακύμανση ισούται με το άθροισμα του μέσου όρου των ενδοομαδικών και διαομαδικών διακυμάνσεων:

Το νόημα αυτού του κανόναείναι ότι η συνολική διακύμανση που εμφανίζεται υπό την επίδραση όλων των παραγόντων είναι ίση με το άθροισμα των διακυμάνσεων που προκύπτουν υπό την επίδραση όλων των άλλων παραγόντων και της διακύμανσης που προκύπτει λόγω του παράγοντα ομαδοποίησης.

Χρησιμοποιώντας τον τύπο για την προσθήκη διακυμάνσεων, μπορούμε να προσδιορίσουμε με δύο γνωστές αποκλίσειςτο τρίτο άγνωστο, καθώς και να κρίνουμε τη δύναμη της επιρροής του χαρακτηριστικού ομαδοποίησης.

Ιδιότητες διασποράς

1. Αν όλες οι τιμές του χαρακτηριστικού μειωθούν (αυξηθούν) κατά το ίδιο σταθερή τιμή, τότε η διακύμανση δεν θα αλλάξει.
2. Εάν όλες οι τιμές του χαρακτηριστικού μειωθούν (αυξηθούν) κατά τον ίδιο αριθμό φορές n, τότε η διακύμανση θα μειωθεί (αυξηθεί) αντίστοιχα κατά n^2 φορές.

Συχνά στις στατιστικές, κατά την ανάλυση ενός φαινομένου ή μιας διαδικασίας, είναι απαραίτητο να λαμβάνονται υπόψη όχι μόνο πληροφορίες σχετικά με τα μέσα επίπεδα των δεικτών που μελετήθηκαν, αλλά και διασπορά ή διακύμανση των τιμών των μεμονωμένων μονάδων , το οποίο είναι σημαντικό χαρακτηριστικόπληθυσμός που μελετήθηκε.

Τιμές μετοχών, όγκοι προσφοράς και ζήτησης, επιτόκια σε διαφορετικές περιόδουςχρόνο και σε διαφορετικά μέρη.

Οι κύριοι δείκτες που χαρακτηρίζουν την παραλλαγή , είναι το εύρος, η διακύμανση, η τυπική απόκλιση και ο συντελεστής διακύμανσης.

Παραλλαγή ανοιγμάτων είναι η διαφορά μεταξύ του μέγιστου και ελάχιστες τιμέςσημάδι: R = Xmax – Xmin. Το μειονέκτημα αυτού του δείκτη είναι ότι αξιολογεί μόνο τα όρια της παραλλαγής του χαρακτηριστικού και δεν αντικατοπτρίζει τη διακύμανσή του εντός αυτών των ορίων.

Διασπορά χωρίς αυτό το μειονέκτημα. Υπολογίζεται ως μεσαίο τετράγωνοαποκλίσεις των χαρακτηριστικών τιμών από τη μέση τιμή τους:

Απλοποιημένος τρόπος υπολογισμού της διακύμανσης πραγματοποιείται χρησιμοποιώντας τους ακόλουθους τύπους (απλούς και σταθμισμένους):

Παραδείγματα εφαρμογής αυτών των τύπων παρουσιάζονται στις εργασίες 1 και 2.

Ένας ευρέως χρησιμοποιούμενος δείκτης στην πράξη είναι τυπική απόκλιση :

Μέση τιμή τυπική απόκλισηοριζεται ως Τετραγωνική ρίζααπό τη διακύμανση και έχει την ίδια διάσταση με το υπό μελέτη χαρακτηριστικό.

Οι εξεταζόμενοι δείκτες επιτρέπουν την απόκτηση απόλυτη τιμήπαραλλαγές, δηλ. αξιολογήστε το σε μονάδες μέτρησης του υπό μελέτη γνωρίσματος. Σε αντίθεση με αυτούς, ο συντελεστής διακύμανσης μετρά τη διακύμανση σε σχετικούς όρους - σε σχέση με το μέσο επίπεδο, το οποίο σε πολλές περιπτώσεις είναι προτιμότερο.

Τύπος για τον υπολογισμό του συντελεστή διακύμανσης.

Παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων με θέμα "Δείκτες διακύμανσης στα στατιστικά στοιχεία"

Εργασία 1 . Κατά τη μελέτη της επίδρασης της διαφήμισης στο μέγεθος της μέσης μηνιαίας κατάθεσης στις τράπεζες της περιφέρειας, εξετάστηκαν 2 τράπεζες. Προκύπτουν τα ακόλουθα αποτελέσματα:

Καθορίζω:
1) για κάθε τράπεζα: α) το μέσο μέγεθοςμηνιαία κατάθεση? β) διασπορά της συνεισφοράς.
2) η μέση μηνιαία κατάθεση για δύο τράπεζες μαζί.
3) Διασπορά της κατάθεσης για 2 τράπεζες, ανάλογα με τη διαφήμιση.
4) Διασπορά της κατάθεσης για 2 τράπεζες, ανάλογα με όλους τους παράγοντες εκτός από τη διαφήμιση.
5) Συνολική διακύμανση χρησιμοποιώντας τον κανόνα πρόσθεσης.
6) Συντελεστής προσδιορισμού.
7) Σχέση συσχέτισης.

Λύση

1) Ας κάνουμε έναν πίνακα υπολογισμού για μια τράπεζα με διαφήμιση . Για να προσδιορίσουμε τη μέση μηνιαία κατάθεση, βρίσκουμε τα μεσαία σημεία των διαστημάτων. Σε αυτήν την περίπτωση, η τιμή του ανοιχτού διαστήματος (το πρώτο) εξισώνεται υπό όρους με την τιμή του διαστήματος που βρίσκεται δίπλα του (το δεύτερο).

Βρίσκουμε το μέσο μέγεθος της συνεισφοράς χρησιμοποιώντας τον σταθμισμένο μέσο αριθμητικό τύπο:

29.000/50 = 580 ρούβλια

Η διασπορά της συνεισφοράς βρίσκεται με τον τύπο:

23 400/50 = 468

Θα κάνουμε παρόμοιες ενέργειες για μια τράπεζα χωρίς διαφημίσεις :

2) Βρείτε τη μέση κατάθεση για δύο τράπεζες μαζί. Xav \u003d (580 × 50 + 542,8 × 50) / 100 \u003d 561,4 ρούβλια.

3) Τη διακύμανση της κατάθεσης, για δύο τράπεζες, ανάλογα με τη διαφήμιση, θα τη βρούμε με τον τύπο: σ 2 =pq (τύπος διακύμανσης εναλλακτικού χαρακτηριστικού). Εδώ p=0,5 είναι η αναλογία των παραγόντων που εξαρτώνται από τη διαφήμιση. q=1-0,5, μετά σ 2 =0,5*0,5=0,25.

4) Εφόσον το μερίδιο των άλλων παραγόντων είναι 0,5, τότε η διακύμανση της κατάθεσης για δύο τράπεζες, η οποία εξαρτάται από όλους τους παράγοντες εκτός από τη διαφήμιση, είναι επίσης 0,25.

5) Προσδιορίστε τη συνολική διακύμανση χρησιμοποιώντας τον κανόνα πρόσθεσης.

= (468*50+636,16*50)/100=552,08

= [(580-561,4)250+(542,8-561,4)250] / 100= 34 596/ 100=345,96

σ 2 \u003d σ 2 γεγονός + σ 2 υπόλοιπο \u003d 552,08 + 345,96 \u003d 898,04

6) Συντελεστής προσδιορισμού η 2 = σ 2 γεγονός / σ 2 = 345,96/898,04 = 0,39 = 39% - το μέγεθος της συνεισφοράς εξαρτάται από τη διαφήμιση κατά 39%.

7) Εμπειρικός λόγος συσχέτισης η = √η 2 = √0,39 = 0,62 - η σχέση είναι αρκετά στενή.

Εργασία 2 . Υπάρχει μια ομαδοποίηση επιχειρήσεων ανάλογα με την αξία των εμπορεύσιμων προϊόντων:

Προσδιορίστε: 1) τη διασπορά της αξίας των εμπορεύσιμων προϊόντων. 2) τυπική απόκλιση. 3) συντελεστής διακύμανσης.

Λύση

1) Κατά συνθήκη, παρουσιάζεται μια σειρά διανομής διαστήματος. Πρέπει να εκφράζεται διακριτά, δηλαδή να βρείτε το μέσο του διαστήματος (x "). Σε ομάδες κλειστών διαστημάτων, βρίσκουμε το μέσο με έναν απλό αριθμητικό μέσο όρο. Σε ομάδες με ανώτερο όριο, ως διαφορά μεταξύ αυτού του ανώτατου ορίου και το μισό μέγεθος του διαστήματος που ακολουθεί (200-(400 -200):2=100).

Σε ομάδες με χαμηλότερο όριο - το άθροισμα αυτού του κατώτερου ορίου και το μισό μέγεθος του προηγούμενου διαστήματος (800+(800-600):2=900).

Ο υπολογισμός της μέσης αξίας των εμπορεύσιμων προϊόντων γίνεται σύμφωνα με τον τύπο:

Хср = k × ((Σ ((x "-a): k) × f): Σf) + a. Εδώ a \u003d 500 είναι το μέγεθος της επιλογής με υψηλότερη συχνότητα, k=600-400=200 - μέγεθος διαστήματος στην υψηλότερη συχνότητα. Ας βάλουμε το αποτέλεσμα σε έναν πίνακα:

Ετσι, μέση αξίαεμπορεύσιμα προϊόντα για την υπό μελέτη περίοδο συνολικά είναι Xav = (-5:37) × 200 + 500 = 472,97 χιλιάδες ρούβλια.

2) Βρίσκουμε τη διασπορά χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο:

σ 2 \u003d (33/37) * 2002-(472,97-500) 2 \u003d 35,675,67-730,62 \u003d 34,945,05

3) τυπική απόκλιση: σ = ±√σ 2 = ±√34 945,05 ≈ ±186,94 χιλιάδες ρούβλια.

4) συντελεστής διακύμανσης: V \u003d (σ / Xav) * 100 \u003d (186,94 / 472,97) * 100 \u003d 39,52%

Θεωρία πιθανοτήτων - ειδικό τμήμαμαθηματικά, τα οποία μελετούν μόνο φοιτητές ανώτατων εκπαιδευτικών ιδρυμάτων. Σας αρέσουν οι υπολογισμοί και οι τύποι; Δεν φοβάστε τις προοπτικές γνωριμίας με την κανονική κατανομή, την εντροπία του συνόλου, τη μαθηματική προσδοκία και τη διακριτή διακύμανση τυχαία μεταβλητή? Τότε αυτό το θέμα θα σας ενδιαφέρει πολύ. Ας ρίξουμε μια ματιά σε μερικά από τα πιο σημαντικά ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣαυτόν τον κλάδο της επιστήμης.

Ας θυμηθούμε τα βασικά

Ακόμα κι αν θυμάσαι τα περισσότερα απλές έννοιεςθεωρία πιθανοτήτων, μην παραμελείτε τις πρώτες παραγράφους του άρθρου. Το γεγονός είναι ότι χωρίς σαφή κατανόηση των βασικών, δεν θα μπορείτε να εργαστείτε με τους τύπους που συζητούνται παρακάτω.

Άρα υπάρχουν μερικά τυχαίο συμβάν, κάποιο πείραμα. Ως αποτέλεσμα των ενεργειών που εκτελούνται, μπορούμε να έχουμε πολλά αποτελέσματα - μερικά από αυτά είναι πιο κοινά, άλλα λιγότερο κοινά. Η πιθανότητα ενός γεγονότος είναι ο λόγος του αριθμού των πραγματικά ληφθέντων αποτελεσμάτων ενός τύπου προς συνολικός αριθμόςδυνατόν. Μόνο γνωρίζοντας κλασικός ορισμόςαυτής της έννοιας, μπορείτε να αρχίσετε να μελετάτε μαθηματική προσδοκίακαι διασπορές συνεχών τυχαίων μεταβλητών.

Μέση τιμή

Πίσω στο σχολείο, στα μαθήματα μαθηματικών, άρχισες να δουλεύεις με τον αριθμητικό μέσο όρο. Αυτή η έννοια χρησιμοποιείται ευρέως στη θεωρία πιθανοτήτων και επομένως δεν μπορεί να αγνοηθεί. Το κυριότερο για εμάς αυτή τη στιγμήείναι ότι θα το συναντήσουμε στους τύπους για τη μαθηματική προσδοκία και διακύμανση μιας τυχαίας μεταβλητής.

Έχουμε μια ακολουθία αριθμών και θέλουμε να βρούμε τον αριθμητικό μέσο όρο. Το μόνο που απαιτείται από εμάς είναι να αθροίσουμε όλα τα διαθέσιμα και να διαιρέσουμε με τον αριθμό των στοιχείων της ακολουθίας. Έστω ότι έχουμε αριθμούς από το 1 έως το 9. Το άθροισμα των στοιχείων θα είναι 45, και θα διαιρέσουμε αυτήν την τιμή με το 9. Απάντηση: - 5.

Διασπορά

ομιλία επιστημονική γλώσσα, η διακύμανση είναι το μέσο τετράγωνο των αποκλίσεων των λαμβανόμενων τιμών χαρακτηριστικών από τον αριθμητικό μέσο όρο. Το ένα συμβολίζεται με κεφαλαίο λατινικό γράμμα D. Τι χρειάζεται για τον υπολογισμό του; Για κάθε στοιχείο της ακολουθίας, υπολογίζουμε τη διαφορά μεταξύ του διαθέσιμου αριθμού και του αριθμητικού μέσου όρου και τον τετραγωνίζουμε. Θα υπάρξουν ακριβώς τόσες αξίες όσες μπορεί να υπάρξουν αποτελέσματα για το γεγονός που εξετάζουμε. Στη συνέχεια, συνοψίζουμε όλα όσα λάβαμε και διαιρούμε με τον αριθμό των στοιχείων της ακολουθίας. Αν έχουμε πέντε πιθανά αποτελέσματα, τότε διαιρέστε με πέντε.

Η διακύμανση έχει επίσης ιδιότητες που πρέπει να θυμάστε για να την εφαρμόσετε κατά την επίλυση προβλημάτων. Για παράδειγμα, εάν η τυχαία μεταβλητή αυξηθεί κατά Χ φορές, η διακύμανση αυξάνεται κατά Χ φορές το τετράγωνο (δηλαδή X*X). Δεν είναι ποτέ λιγότερο από το μηδέν και δεν εξαρτάται από τη μετατόπιση των τιμών κατά ίσης αξίαςπάνω ή κάτω. Επιπλέον, για ανεξάρτητα τεστη διακύμανση του αθροίσματος είναι ίση με το άθροισμα των διακυμάνσεων.

Τώρα πρέπει οπωσδήποτε να εξετάσουμε παραδείγματα της διακύμανσης μιας διακριτής τυχαίας μεταβλητής και της μαθηματικής προσδοκίας.

Ας υποθέσουμε ότι κάνουμε 21 πειράματα και έχουμε 7 διαφορετικά αποτελέσματα. Παρατηρήσαμε το καθένα από αυτά, αντίστοιχα, 1,2,2,3,4,4 και 5 φορές. Ποια θα είναι η διακύμανση;

Αρχικά, υπολογίζουμε τον αριθμητικό μέσο όρο: το άθροισμα των στοιχείων, φυσικά, είναι 21. Το διαιρούμε με το 7, παίρνοντας 3. Τώρα αφαιρούμε 3 από κάθε αριθμό της αρχικής ακολουθίας, τετραγωνίζουμε κάθε τιμή και προσθέτουμε τα αποτελέσματα μαζί . Αποδεικνύεται 12. Τώρα μένει να διαιρέσουμε τον αριθμό με τον αριθμό των στοιχείων και, όπως φαίνεται, αυτό είναι όλο. Υπάρχει όμως ένα πιάσιμο! Ας το συζητήσουμε.

Εξάρτηση από τον αριθμό των πειραμάτων

Αποδεικνύεται ότι κατά τον υπολογισμό της διακύμανσης, ο παρονομαστής μπορεί να είναι ένας από δύο αριθμούς: είτε N είτε N-1. Εδώ N είναι ο αριθμός των πειραμάτων που πραγματοποιήθηκαν ή ο αριθμός των στοιχείων στην ακολουθία (που είναι ουσιαστικά το ίδιο πράγμα). Από τι εξαρτάται;

Αν ο αριθμός των τεστ μετριέται σε εκατοντάδες, τότε πρέπει να βάλουμε στον παρονομαστή το Ν. Αν σε μονάδες, τότε το Ν-1. Οι επιστήμονες αποφάσισαν να σχεδιάσουν τα σύνορα αρκετά συμβολικά: σήμερα τρέχει κατά μήκος του αριθμού 30. Εάν πραγματοποιούσαμε λιγότερα από 30 πειράματα, τότε θα διαιρέσουμε το ποσό με Ν-1 και αν περισσότερο, τότε με Ν.

Μια εργασία

Ας επιστρέψουμε στο παράδειγμά μας για την επίλυση του προβλήματος διακύμανσης και προσδοκιών. Πήραμε έναν ενδιάμεσο αριθμό 12, ο οποίος έπρεπε να διαιρεθεί με Ν ή Ν-1. Δεδομένου ότι πραγματοποιήσαμε 21 πειράματα, τα οποία είναι λιγότερα από 30, θα επιλέξουμε τη δεύτερη επιλογή. Άρα η απάντηση είναι: η διακύμανση είναι 12 / 2 = 2.

Αναμενόμενη αξία

Ας περάσουμε στη δεύτερη έννοια, την οποία πρέπει να εξετάσουμε σε αυτό το άρθρο. Η μαθηματική προσδοκία είναι το αποτέλεσμα της πρόσθεσης όλων των πιθανών αποτελεσμάτων πολλαπλασιαζόμενη με τις αντίστοιχες πιθανότητες. Είναι σημαντικό να γίνει κατανοητό ότι η λαμβανόμενη τιμή, καθώς και το αποτέλεσμα του υπολογισμού της διακύμανσης, λαμβάνεται μόνο μία φορά για ολόκληρο έργο, ανεξάρτητα από το πόσα αποτελέσματα θεωρεί.

Ο τύπος των μαθηματικών προσδοκιών είναι αρκετά απλός: παίρνουμε το αποτέλεσμα, το πολλαπλασιάζουμε με την πιθανότητα του, προσθέτουμε το ίδιο για το δεύτερο, το τρίτο αποτέλεσμα κ.λπ. Όλα όσα σχετίζονται με αυτήν την έννοια είναι εύκολο να υπολογιστούν. Για παράδειγμα, το άθροισμα των μαθηματικών προσδοκιών είναι ίσο με τη μαθηματική προσδοκία του αθροίσματος. Το ίδιο ισχύει και για το έργο. Τέτοιος απλές λειτουργίεςμακριά από κάθε ποσότητα στη θεωρία των πιθανοτήτων μας επιτρέπει να εκπληρώσουμε με αυτήν. Ας αναλάβουμε μια εργασία και ας υπολογίσουμε την αξία δύο εννοιών που μελετήσαμε ταυτόχρονα. Επιπλέον, μας αποσπούσε η θεωρία - ήρθε η ώρα να εξασκηθούμε.

Ένα ακόμη παράδειγμα

Πραγματοποιήσαμε 50 δοκιμές και πήραμε 10 είδη αποτελεσμάτων - αριθμούς από το 0 έως το 9 - που εμφανίστηκαν σε διαφορετικά ποσοστό. Αυτά είναι, αντίστοιχα: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Θυμηθείτε ότι για να λάβετε τις πιθανότητες, πρέπει να διαιρέσετε τις ποσοστιαίες τιμές με το 100. Έτσι, παίρνουμε 0,02. 0,1 κ.λπ. Ας παρουσιάσουμε ένα παράδειγμα επίλυσης του προβλήματος της διακύμανσης μιας τυχαίας μεταβλητής και της μαθηματικής προσδοκίας.

Υπολογίζουμε τον αριθμητικό μέσο όρο χρησιμοποιώντας τον τύπο που θυμόμαστε δημοτικό σχολείο: 50/10 = 5.

Τώρα ας μεταφράσουμε τις πιθανότητες στον αριθμό των αποτελεσμάτων "σε κομμάτια" για να είναι πιο βολικό να μετράμε. Παίρνουμε 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 και 9. Αφαιρούμε τον αριθμητικό μέσο όρο από κάθε τιμή που λαμβάνεται, μετά την οποία τετραγωνίζουμε καθένα από τα αποτελέσματα που προκύπτουν. Δείτε πώς να το κάνετε αυτό με το πρώτο στοιχείο ως παράδειγμα: 1 - 5 = (-4). Επιπλέον: (-4) * (-4) = 16. Για άλλες τιμές, κάντε αυτές τις πράξεις μόνοι σας. Εάν τα κάνατε όλα σωστά, τότε αφού τα προσθέσετε όλα, θα έχετε 90.

Ας συνεχίσουμε τον υπολογισμό της διακύμανσης και του μέσου όρου διαιρώντας το 90 με το Ν. Γιατί επιλέγουμε N και όχι N-1; Σωστά, γιατί ο αριθμός των πειραμάτων που πραγματοποιήθηκαν ξεπερνά τα 30. Άρα: 90/10 = 9. Πήραμε τη διασπορά. Εάν λάβετε διαφορετικό αριθμό, μην απελπίζεστε. Πιθανότατα, κάνατε ένα κοινό λάθος στους υπολογισμούς. Ελέγξτε ξανά αυτό που γράψατε και σίγουρα όλα θα μπουν στη θέση τους.

Τέλος, ας θυμηθούμε τον τύπο των μαθηματικών προσδοκιών. Δεν θα δώσουμε όλους τους υπολογισμούς, θα γράψουμε μόνο την απάντηση με την οποία μπορείτε να ελέγξετε αφού ολοκληρώσετε όλες τις απαιτούμενες διαδικασίες. Η αναμενόμενη τιμή θα είναι 5,48. Θυμόμαστε μόνο πώς να πραγματοποιήσουμε λειτουργίες, χρησιμοποιώντας το παράδειγμα των πρώτων στοιχείων: 0 * 0,02 + 1 * 0,1 ... και ούτω καθεξής. Όπως μπορείτε να δείτε, απλώς πολλαπλασιάζουμε την τιμή του αποτελέσματος με την πιθανότητα του.

Απόκλιση

Μια άλλη έννοια που σχετίζεται στενά με τη διασπορά και τη μαθηματική προσδοκία είναι η τυπική απόκλιση. Σημειώνεται είτε με λατινικά γράμματα sd, ή ελληνικό πεζό «σίγμα». Αυτή η έννοιαδείχνει πώς οι τιμές αποκλίνουν κατά μέσο όρο από το κεντρικό χαρακτηριστικό. Για να βρείτε την τιμή του, πρέπει να υπολογίσετε την τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης.

Αν κάνετε ένα γράφημα κανονική κατανομήκαι θέλετε να δείτε απευθείας σε αυτό τυπική απόκλιση, αυτό μπορεί να γίνει σε πολλά βήματα. Πάρτε τη μισή εικόνα στα αριστερά ή στα δεξιά της λειτουργίας (κεντρική τιμή), σχεδιάστε μια κάθετη στον οριζόντιο άξονα έτσι ώστε οι περιοχές των σχημάτων που προκύπτουν να είναι ίσες. Η τιμή του τμήματος μεταξύ του μέσου της κατανομής και της προκύπτουσας προβολής στον οριζόντιο άξονα θα είναι η τυπική απόκλιση.

Λογισμικό

Όπως φαίνεται από τις περιγραφές των τύπων και τα παραδείγματα που παρουσιάζονται, ο υπολογισμός της διακύμανσης και των μαθηματικών προσδοκιών δεν είναι η ευκολότερη διαδικασία από αριθμητική άποψη. Για να μην χάνετε χρόνο, είναι λογικό να χρησιμοποιήσετε το πρόγραμμα που χρησιμοποιείται σε υψηλότερο Εκπαιδευτικά ιδρύματα- λέγεται "R". Διαθέτει λειτουργίες που σας επιτρέπουν να υπολογίζετε τιμές για πολλές έννοιες από στατιστικές και θεωρία πιθανοτήτων.

Για παράδειγμα, ορίζετε ένα διάνυσμα τιμών. Αυτό γίνεται ως εξής: διάνυσμα<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

Τελικά

Η διασπορά και η μαθηματική προσδοκία είναι χωρίς τις οποίες είναι δύσκολο να υπολογιστεί οτιδήποτε στο μέλλον. Στο κύριο μάθημα των διαλέξεων στα πανεπιστήμια, εξετάζονται ήδη από τους πρώτους μήνες της μελέτης του αντικειμένου. Ακριβώς λόγω της έλλειψης κατανόησης αυτών των απλών εννοιών και της αδυναμίας υπολογισμού τους, πολλοί μαθητές αρχίζουν αμέσως να υστερούν στο πρόγραμμα και αργότερα λαμβάνουν κακούς βαθμούς στο τέλος της συνεδρίας, γεγονός που τους στερεί υποτροφίες.

Εξασκηθείτε τουλάχιστον μία εβδομάδα για μισή ώρα την ημέρα, λύνοντας εργασίες παρόμοιες με αυτές που παρουσιάζονται σε αυτό το άρθρο. Στη συνέχεια, σε οποιοδήποτε τεστ θεωρίας πιθανοτήτων, θα αντιμετωπίσετε παραδείγματα χωρίς ξένες συμβουλές και φύλλα εξαπάτησης.

Η διασπορά στα στατιστικά ορίζεται ως η τυπική απόκλιση των επιμέρους τιμών ενός χαρακτηριστικού σε τετράγωνο από τον αριθμητικό μέσο όρο. Ένας συνηθισμένος τρόπος για τον υπολογισμό των τετραγωνικών αποκλίσεων των επιλογών από τον μέσο όρο και στη συνέχεια τον μέσο όρο τους.

Στην οικονομική και στατιστική ανάλυση, είναι σύνηθες να αξιολογείται η παραλλαγή ενός χαρακτηριστικού τις περισσότερες φορές χρησιμοποιώντας την τυπική απόκλιση, η οποία είναι η τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης.

(3)

Χαρακτηρίζει την απόλυτη διακύμανση των τιμών της μεταβλητής ιδιότητας και εκφράζεται στις ίδιες μονάδες με τις παραλλαγές. Στις στατιστικές, συχνά καθίσταται απαραίτητο να συγκρίνουμε την ποικιλία των διαφόρων χαρακτηριστικών. Για τέτοιες συγκρίσεις, χρησιμοποιείται ένας σχετικός δείκτης διακύμανσης, ο συντελεστής διακύμανσης.

Ιδιότητες διασποράς:

1) αν αφαιρέσετε οποιονδήποτε αριθμό από όλες τις επιλογές, τότε η διακύμανση δεν θα αλλάξει.

2) εάν όλες οι τιμές της παραλλαγής διαιρεθούν με κάποιον αριθμό b, τότε η διακύμανση θα μειωθεί κατά b^2 φορές, δηλ.

3) αν υπολογίσετε το μέσο τετράγωνο των αποκλίσεων από οποιονδήποτε αριθμό με άνισο αριθμητικό μέσο, ​​τότε θα είναι μεγαλύτερο από τη διακύμανση. Σε αυτή την περίπτωση, με μια καλά καθορισμένη τιμή ανά τετράγωνο της διαφοράς μεταξύ της μέσης τιμής του pos.

Η διακύμανση μπορεί να οριστεί ως η διαφορά μεταξύ του μέσου τετραγώνου και του μέσου τετραγώνου.

17. Ομαδικές και διαομαδικές παραλλαγές. Κανόνας προσθήκης διακύμανσης

Εάν ο στατιστικός πληθυσμός χωριστεί σε ομάδες ή μέρη σύμφωνα με το υπό μελέτη χαρακτηριστικό, τότε για έναν τέτοιο πληθυσμό μπορούν να υπολογιστούν οι ακόλουθοι τύποι διασποράς: ομάδα (ιδιωτική), μέσος όρος ομάδας (ιδιωτική) και διαομαδική.

Συνολική διακύμανση- αντικατοπτρίζει τη διακύμανση ενός χαρακτηριστικού λόγω όλων των συνθηκών και αιτιών που λειτουργούν σε έναν δεδομένο στατιστικό πληθυσμό.

Ομαδική διακύμανση- ισούται με το μέσο τετράγωνο των αποκλίσεων των μεμονωμένων τιμών του χαρακτηριστικού εντός της ομάδας από τον αριθμητικό μέσο όρο αυτής της ομάδας, που ονομάζεται ομαδικός μέσος όρος. Στην περίπτωση αυτή, ο μέσος όρος της ομάδας δεν συμπίπτει με τον συνολικό μέσο όρο για ολόκληρο τον πληθυσμό.

Η ομαδική διακύμανση αντανακλά την παραλλαγή ενός χαρακτηριστικού μόνο λόγω των συνθηκών και των αιτιών που λειτουργούν εντός της ομάδας.

Μέσες διακυμάνσεις ομάδας- ορίζεται ως ο σταθμισμένος αριθμητικός μέσος όρος των διασπορών ομάδων, με τα βάρη να είναι οι όγκοι των ομάδων.

Διαομαδική διακύμανση- ισούται με το μέσο τετράγωνο των αποκλίσεων των μέσων της ομάδας από το συνολικό μέσο όρο.

Η διασπορά μεταξύ ομάδων χαρακτηρίζει την παραλλαγή του προκύπτοντος χαρακτηριστικού λόγω του χαρακτηριστικού ομαδοποίησης.

Υπάρχει μια ορισμένη σχέση μεταξύ των εξεταζόμενων τύπων διασπορών: η συνολική διασπορά είναι ίση με το άθροισμα της μέσης διασποράς ομάδας και διασποράς μεταξύ ομάδων.

Αυτή η σχέση ονομάζεται κανόνας προσθήκης διασποράς.

18. Δυναμικές σειρές και τα συστατικά της στοιχεία. Τύποι δυναμικών σειρών.

Σειρά στα στατιστικά στοιχεία- πρόκειται για ψηφιακά δεδομένα που δείχνουν την αλλαγή ενός φαινομένου στο χρόνο ή στο χώρο και καθιστούν δυνατή τη στατιστική σύγκριση των φαινομένων τόσο στη διαδικασία της ανάπτυξής τους στο χρόνο όσο και σε διάφορες μορφές και τύπους διαδικασιών. Χάρη σε αυτό, είναι δυνατό να ανιχνευθεί η αμοιβαία εξάρτηση των φαινομένων.

Η διαδικασία ανάπτυξης της κίνησης των κοινωνικών φαινομένων στο χρόνο στη στατιστική ονομάζεται συνήθως δυναμική. Για την εμφάνιση της δυναμικής, δημιουργούνται σειρές δυναμικών (χρονολογικές, χρονικές), οι οποίες είναι σειρές χρονικά μεταβαλλόμενων τιμών ενός στατιστικού δείκτη (για παράδειγμα, ο αριθμός των καταδίκων άνω των 10 ετών), ταξινομημένες με χρονολογική σειρά. Τα συστατικά τους στοιχεία είναι οι αριθμητικές τιμές ενός δεδομένου δείκτη και οι περίοδοι ή τα χρονικά σημεία στα οποία αναφέρονται.

Το πιο σημαντικό χαρακτηριστικό των χρονοσειρών- το μέγεθός τους (όγκος, αξία) αυτού ή εκείνου του φαινομένου, που επιτεύχθηκε σε μια συγκεκριμένη περίοδο ή σε μια συγκεκριμένη στιγμή. Αντίστοιχα, το μέγεθος των όρων της σειράς δυναμικών είναι το επίπεδό της. Διακρίνωαρχικό, μεσαίο και τελικό επίπεδο της δυναμικής σειράς. Πρώτο επίπεδοδείχνει την αξία του πρώτου, τελικού - την τιμή του τελευταίου μέλους της σειράς. Μέσο επίπεδοαντιπροσωπεύει το μέσο εύρος χρονολογικής μεταβλητότητας και υπολογίζεται ανάλογα με το αν η χρονική σειρά είναι διαλειμματική ή στιγμιαία.

Ένα άλλο σημαντικό χαρακτηριστικό της δυναμικής σειράς- ο χρόνος που μεσολάβησε από την αρχική έως την τελική παρατήρηση ή τον αριθμό τέτοιων παρατηρήσεων.

Υπάρχουν διάφοροι τύποι χρονοσειρών, μπορούν να ταξινομηθούν σύμφωνα με τα ακόλουθα κριτήρια.

1) Ανάλογα με τον τρόπο έκφρασης των επιπέδων, οι σειρές δυναμικών χωρίζονται σε σειρές απόλυτων και παράγωγων δεικτών (σχετικές και μέσες τιμές).

2) Ανάλογα με το πώς τα επίπεδα της σειράς εκφράζουν την κατάσταση του φαινομένου σε ορισμένα χρονικά σημεία (στην αρχή του μήνα, τρίμηνο, έτος κ.λπ.) ή την τιμή του για ορισμένα χρονικά διαστήματα (για παράδειγμα, ανά ημέρα, μήνας, έτος, κ.λπ.) n.), διακρίνετε μεταξύ σειρών ροπών και διαστημάτων δυναμικής, αντίστοιχα. Οι σειρές στιγμών στο αναλυτικό έργο των υπηρεσιών επιβολής του νόμου χρησιμοποιούνται σχετικά σπάνια.

Στη θεωρία της στατιστικής, η δυναμική διακρίνεται επίσης σύμφωνα με μια σειρά άλλων χαρακτηριστικών ταξινόμησης: ανάλογα με την απόσταση μεταξύ των επιπέδων - με ισαπέχοντα επίπεδα και άνισα επίπεδα στο χρόνο. ανάλογα με την παρουσία της κύριας τάσης της υπό μελέτη διαδικασίας - στάσιμη και μη. Κατά την ανάλυση δυναμικών σειρών, τα ακόλουθα επίπεδα της σειράς παρουσιάζονται ως στοιχεία:

Y t \u003d TP + E (t)

όπου το TR είναι ένα ντετερμινιστικό στοιχείο που καθορίζει τη γενική τάση της αλλαγής με την πάροδο του χρόνου ή μια τάση.

Το E (t) είναι ένα τυχαίο στοιχείο που προκαλεί διακυμάνσεις της στάθμης.

Ας υπολογίσουμε μέσαΚυρίαΠΡΟΕΧΩδιακύμανση και τυπική απόκλιση του δείγματος. Υπολογίζουμε επίσης τη διακύμανση μιας τυχαίας μεταβλητής εάν η κατανομή της είναι γνωστή.

Πρώτα σκεφτείτε διασπορά, έπειτα τυπική απόκλιση.

Διακύμανση δείγματος

Διακύμανση δείγματος (διακύμανση δείγματος,δείγμαδιαφορά) χαρακτηρίζει την εξάπλωση των τιμών στον πίνακα σε σχέση με το .

Και οι 3 τύποι είναι μαθηματικά ισοδύναμοι.

Από τον πρώτο τύπο φαίνεται ότι διακύμανση δείγματοςείναι το άθροισμα των τετραγωνικών αποκλίσεων κάθε τιμής στον πίνακα από το μέσο όροδιαιρούμενο με το μέγεθος του δείγματος μείον 1.

διασπορά δείγματαχρησιμοποιείται η συνάρτηση DISP(), eng. το όνομα του VAR, δηλ. Διαφορά. Από το MS EXCEL 2010, συνιστάται η χρήση του αναλογικού του DISP.V() , eng. το όνομα VARS, δηλ. Δείγμα Διακύμανσης. Επιπλέον, ξεκινώντας από την έκδοση του MS EXCEL 2010, υπάρχει μια λειτουργία DISP.G (), eng. Το όνομα VARP, δηλ. Μεταβλητή πληθυσμού που υπολογίζει διασποράΓια πληθυσμός. Η όλη διαφορά έγκειται στον παρονομαστή: αντί για n-1 όπως το DISP.V() , το DISP.G() έχει μόλις n στον παρονομαστή. Πριν από το MS EXCEL 2010, η συνάρτηση VARP() χρησιμοποιήθηκε για τον υπολογισμό της διακύμανσης του πληθυσμού.

Διακύμανση δείγματος
=SQUARE(Sample)/(COUNT(Sample)-1)
=(SUMSQ(Δείγμα)-COUNT(Δείγμα)*AVERAGE(Δείγμα)^2)/ (COUNT(Δείγμα)-1)- η συνήθης φόρμουλα
=SUM((Δείγμα -AVERAGE(Δείγμα))^2)/ (COUNT(Δείγμα)-1) –

Διακύμανση δείγματοςείναι ίσο με 0 μόνο εάν όλες οι τιμές είναι ίσες μεταξύ τους και, κατά συνέπεια, είναι ίσες μέση τιμή. Συνήθως, όσο μεγαλύτερη είναι η τιμή διασπορά, τόσο μεγαλύτερη είναι η εξάπλωση των τιμών στον πίνακα.

Διακύμανση δείγματοςείναι μια βαθμολογική εκτίμηση διασποράκατανομή της τυχαίας μεταβλητής από την οποία η δείγμα. Περί οικοδόμησης διαστήματα εμπιστοσύνηςκατά την αξιολόγηση διασποράμπορεί να διαβαστεί στο άρθρο.

Διακύμανση τυχαίας μεταβλητής

Να υπολογίσω διασποράτυχαία μεταβλητή, πρέπει να τη γνωρίζετε.

Για διασποράΗ τυχαία μεταβλητή X χρησιμοποιεί συχνά τον συμβολισμό Var(X). Διασποράισούται με το τετράγωνο της απόκλισης από τη μέση E(X): Var(X)=E[(X-E(X)) 2 ]

διασποράυπολογίζεται με τον τύπο:

όπου x i είναι η τιμή που μπορεί να πάρει η τυχαία μεταβλητή και μ είναι η μέση τιμή (), p(x) είναι η πιθανότητα η τυχαία μεταβλητή να πάρει την τιμή x.

Εάν η τυχαία μεταβλητή έχει , τότε διασποράυπολογίζεται με τον τύπο:

Διάσταση διασποράαντιστοιχεί στο τετράγωνο της μονάδας μέτρησης των αρχικών τιμών. Για παράδειγμα, εάν οι τιμές στο δείγμα είναι μετρήσεις του βάρους του εξαρτήματος (σε kg), τότε η διάσταση της διακύμανσης θα είναι kg 2. Αυτό μπορεί να είναι δύσκολο να ερμηνευτεί, επομένως, να χαρακτηριστεί η εξάπλωση των αξιών, μια τιμή ίση με την τετραγωνική ρίζα του διασπορά – τυπική απόκλιση.

Μερικές ιδιότητες διασπορά:

Var(X+a)=Var(X), όπου το X είναι μια τυχαία μεταβλητή και η a είναι μια σταθερά.

Var(aΧ)=a 2 Var(X)

Var(X)=E[(X-E(X)) 2 ]=E=E(X 2)-E(2*X*E(X))+(E(X)) 2=E(X 2)- 2*E(X)*E(X)+(E(X)) 2 =E(X 2)-(E(X)) 2

Αυτή η ιδιότητα διασποράς χρησιμοποιείται σε άρθρο για τη γραμμική παλινδρόμηση.

Var(X+Y)=Var(X) + Var(Y) + 2*Cov(X;Y), όπου X και Y είναι τυχαίες μεταβλητές, Cov(X;Y) είναι η συνδιακύμανση αυτών των τυχαίων μεταβλητών.

Αν οι τυχαίες μεταβλητές είναι ανεξάρτητες, τότε τους συνδιακύμανσηείναι 0, και επομένως Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y). Αυτή η ιδιότητα της διακύμανσης χρησιμοποιείται στην έξοδο.

Ας δείξουμε ότι για ανεξάρτητα μεγέθη Var(X-Y)=Var(X+Y). Πράγματι, Var(X-Y)= Var(X-Y)= Var(X+(-Y))= Var(X)+Var(-Y)= Var(X)+Var(-Y)= Var(X)+(- 1) 2 Var(Y)= Var(X)+Var(Y)= Var(X+Y). Αυτή η ιδιότητα της διακύμανσης χρησιμοποιείται για την γραφική παράσταση .

Δείγμα τυπικής απόκλισης

Δείγμα τυπικής απόκλισηςείναι ένα μέτρο του πόσο ευρέως διασκορπισμένες είναι οι τιμές στο δείγμα σε σχέση με τις τιμές τους.

Εξ ορισμού, τυπική απόκλισηισούται με την τετραγωνική ρίζα του διασπορά:

Τυπική απόκλισηδεν λαμβάνει υπόψη το μέγεθος των τιμών σε δειγματοληψία, αλλά μόνο ο βαθμός διασποράς των αξιών γύρω τους Μέσης. Ας πάρουμε ένα παράδειγμα για να το διευκρινίσουμε αυτό.

Ας υπολογίσουμε την τυπική απόκλιση για 2 δείγματα: (1; 5; 9) και (1001; 1005; 1009). Και στις δύο περιπτώσεις, s=4. Είναι προφανές ότι ο λόγος της τυπικής απόκλισης προς τις τιμές του πίνακα είναι σημαντικά διαφορετικός για τα δείγματα. Για τέτοιες περιπτώσεις, χρησιμοποιήστε Ο συντελεστής διακύμανσης(Συντελεστής Διακύμανσης, CV) - αναλογία τυπική απόκλισηστο μέσο όρο αριθμητική, εκφρασμένο ως ποσοστό.

Σε MS EXCEL 2007 και παλαιότερες εκδόσεις για υπολογισμό Δείγμα τυπικής απόκλισηςχρησιμοποιείται η συνάρτηση =STDEV(), eng. το όνομα STDEV, δηλ. τυπική απόκλιση. Από το MS EXCEL 2010, συνιστάται η χρήση του αναλόγου του = STDEV.B () , eng. όνομα STDEV.S, δηλ. Δείγμα Τυπικής απόκλισης.

Επιπλέον, ξεκινώντας από την έκδοση του MS EXCEL 2010, υπάρχει μια συνάρτηση STDEV.G () , eng. όνομα STDEV.P, δηλ. Πληθυσμός Τυπική απόκλιση που υπολογίζει τυπική απόκλισηΓια πληθυσμός. Η όλη διαφορά καταλήγει στον παρονομαστή: αντί για n-1 όπως το STDEV.V() , το STDEV.G() έχει μόλις n στον παρονομαστή.

Τυπική απόκλισημπορεί επίσης να υπολογιστεί απευθείας από τους παρακάτω τύπους (δείτε παράδειγμα αρχείου)
=SQRT(SQUADROTIV(Δείγμα)/(COUNT(Δείγμα)-1))
=SQRT((SUMSQ(Δείγμα)-COUNT(Δείγμα)*AVERAGE(Δείγμα)^2)/(COUNT(Δείγμα)-1))

Άλλα μέτρα διασποράς

Η συνάρτηση SQUADRIVE() υπολογίζει με umm τετραγωνικών αποκλίσεων των τιμών από τους Μέσης. Αυτή η συνάρτηση θα επιστρέψει το ίδιο αποτέλεσμα με τον τύπο =VAR.G( Δείγμα)*ΕΛΕΓΧΟΣ( Δείγμα) , όπου Δείγμα- μια αναφορά σε μια περιοχή που περιέχει μια σειρά από τιμές δείγματος (). Οι υπολογισμοί στη συνάρτηση QUADROTIV() γίνονται σύμφωνα με τον τύπο:

Η συνάρτηση SROOT() είναι επίσης ένα μέτρο της διασποράς ενός συνόλου δεδομένων. Η συνάρτηση SIROTL() υπολογίζει τον μέσο όρο των απόλυτων τιμών των αποκλίσεων των τιμών από Μέσης. Αυτή η συνάρτηση θα επιστρέψει το ίδιο αποτέλεσμα με τον τύπο =SUMPRODUCT(ABS(Sample-AVERAGE(Sample)))/COUNT(Sample), όπου Δείγμα- μια αναφορά σε μια περιοχή που περιέχει μια σειρά από τιμές δείγματος.

Οι υπολογισμοί στη συνάρτηση SROOTKL () γίνονται σύμφωνα με τον τύπο: