Σχέσεις δύναμης φράκταλ. Δυναμικά ή αλγεβρικά φράκταλ

Όπως έγινε σαφές στο τις τελευταίες δεκαετίες(σε σχέση με την ανάπτυξη της θεωρίας της αυτοοργάνωσης), η αυτο-ομοιότητα εμφανίζεται περισσότερο διαφορετικά θέματακαι φαινόμενα. Για παράδειγμα, η αυτοομοιότητα μπορεί να παρατηρηθεί στα κλαδιά των δέντρων και των θάμνων, κατά τη διαίρεση ενός γονιμοποιημένου ζυγώτη, νιφάδες χιονιού, κρυστάλλους πάγου, κατά την ανάπτυξη οικονομικά συστήματα, στη δομή των ορεινών συστημάτων, σύννεφα.

Όλα τα αντικείμενα που αναφέρονται και άλλα παρόμοια με αυτά έχουν δομή φράκταλ. Δηλαδή, έχουν τις ιδιότητες της αυτο-ομοιότητας, ή της αναλλοίωτης κλίμακας. Αυτό σημαίνει ότι ορισμένα θραύσματα της δομής τους επαναλαμβάνονται αυστηρά σε συγκεκριμένα χωρικά διαστήματα. Είναι προφανές ότι αυτά τα αντικείμενα μπορεί να είναι οποιασδήποτε φύσης και η εμφάνιση και το σχήμα τους παραμένουν αμετάβλητα ανεξάρτητα από την κλίμακα. Τόσο στη φύση όσο και στην κοινωνία, η επανάληψη του εαυτού εμφανίζεται σε αρκετά μεγάλη κλίμακα. Έτσι, το σύννεφο επαναλαμβάνει την κουρελιασμένη δομή του από 10 4 m (10 km) έως 10 -4 m (0,1 mm). Η διακλάδωση επαναλαμβάνεται σε δέντρα από 10 -2 έως 10 2 m Τα καταρρέοντα υλικά που δημιουργούν ρωγμές επαναλαμβάνουν επίσης την αυτοομοιότητά τους σε διάφορες κλίμακες. Μια νιφάδα χιονιού που πέφτει στο χέρι σου λιώνει. Κατά τη διάρκεια της περιόδου τήξης, μετάβασης από τη μια φάση στην άλλη, μια σταγόνα χιονιού είναι επίσης φράκταλ.

Ένα φράκταλ είναι ένα αντικείμενο άπειρης πολυπλοκότητας, που σας επιτρέπει να βλέπετε όχι λιγότερες λεπτομέρειες από κοντά παρά από μακριά. Ένα κλασικό παράδειγμα αυτού είναι η Γη. Από το διάστημα μοιάζει με μπάλα. Καθώς το πλησιάζουμε, θα ανακαλύψουμε ωκεανούς, ηπείρους, ακτές και οροσειρές. Αργότερα, θα εμφανιστούν λεπτότερες λεπτομέρειες: ένα κομμάτι γης στην επιφάνεια του βουνού, τόσο περίπλοκο και ανώμαλο όσο το ίδιο το βουνό. Τότε θα εμφανιστούν μικροσκοπικά σωματίδια χώματος, καθένα από τα οποία είναι από μόνο του ένα φράκταλ αντικείμενο

Ένα φράκταλ είναι μια μη γραμμική δομή που διατηρεί την ομοιότητα του εαυτού του όταν κλιμακώνεται άπειρα προς τα πάνω ή προς τα κάτω. Μόνο σε μικρά μήκη μετατρέπεται η μη γραμμικότητα σε γραμμικότητα. Αυτό εκδηλώνεται ιδιαίτερα καθαρά στη μαθηματική διαδικασία της διαφοροποίησης.

Έτσι, μπορούμε να πούμε ότι τα φράκταλ ως μοντέλα χρησιμοποιούνται στην περίπτωση που ένα πραγματικό αντικείμενο δεν μπορεί να αναπαρασταθεί με τη μορφή κλασικών μοντέλων. Αυτό σημαίνει ότι έχουμε να κάνουμε με μη γραμμικές σχέσεις και τη μη ντετερμινιστική φύση των δεδομένων. Μη γραμμικότητα με την ιδεολογική έννοια σημαίνει πολυμεταβλητές αναπτυξιακές διαδρομές, παρουσία επιλογής από εναλλακτικούς δρόμους και συγκεκριμένο ρυθμό εξέλιξης, καθώς και μη αναστρέψιμο των εξελικτικών διαδικασιών. Με μαθηματική έννοια, η μη γραμμικότητα είναι ορισμένου τύπου μαθηματικές εξισώσεις(μη γραμμικό διαφορικές εξισώσεις), που περιέχει τις απαιτούμενες ποσότητες σε ισχύ μεγαλύτερες του ενός ή συντελεστές ανάλογα με τις ιδιότητες του μέσου. Δηλαδή, όταν εφαρμόζουμε κλασικά μοντέλα (για παράδειγμα, τάση, παλινδρόμηση κ.λπ.), λέμε ότι το μέλλον του αντικειμένου καθορίζεται μοναδικά. Και μπορούμε να το προβλέψουμε γνωρίζοντας το παρελθόν του αντικειμένου (αρχικά δεδομένα για μοντελοποίηση). Και τα φράκταλ χρησιμοποιούνται στην περίπτωση που ένα αντικείμενο έχει πολλές επιλογές ανάπτυξης και η κατάσταση του συστήματος καθορίζεται από τη θέση στην οποία βρίσκεται αυτή τη στιγμή. Δηλαδή, προσπαθούμε να προσομοιώσουμε τη χαοτική ανάπτυξη.

Όταν μιλούν για τον ντετερμινισμό ενός συγκεκριμένου συστήματος, εννοούν ότι η συμπεριφορά του χαρακτηρίζεται από μια σαφή σχέση αιτίου-αποτελέσματος. Δηλαδή, γνωρίζοντας τις αρχικές συνθήκες και τον νόμο κίνησης του συστήματος, μπορείτε να προβλέψετε με ακρίβεια το μέλλον του. Είναι αυτή η ιδέα της κίνησης στο Σύμπαν που είναι χαρακτηριστική της κλασικής, Νευτώνειας δυναμικής. Το χάος, αντίθετα, συνεπάγεται αταξία, τυχαία διαδικασίαόταν η εξέλιξη των γεγονότων δεν μπορεί ούτε να προβλεφθεί ούτε να αναπαραχθεί.

Το χάος δημιουργείται από τη δική του δυναμική ενός μη γραμμικού συστήματος - την ικανότητά του να διαχωρίζει εκθετικά γρήγορα αυθαίρετα στενές τροχιές. Ως αποτέλεσμα, το σχήμα των τροχιών εξαρτάται σε μεγάλο βαθμό από τις αρχικές συνθήκες. Κατά τη μελέτη συστημάτων που, με την πρώτη ματιά, αναπτύσσονται χαοτικά, χρησιμοποιείται συχνά η θεωρία των φράκταλ, επειδή Είναι αυτή η προσέγγιση που μας επιτρέπει να δούμε ένα συγκεκριμένο μοτίβο στην εμφάνιση «τυχαίων» αποκλίσεων στην ανάπτυξη του συστήματος.

Η μελέτη των φυσικών δομών φράκταλ μας δίνει την ευκαιρία να κατανοήσουμε καλύτερα τις διαδικασίες αυτοοργάνωσης και ανάπτυξης μη γραμμικά συστήματα. Έχουμε ήδη ανακαλύψει ότι τα φυσικά φράκταλ διαφόρων γραμμών περιέλιξης βρίσκονται παντού γύρω μας. Αυτή είναι η ακτή, δέντρα, σύννεφα, κεραυνός, μεταλλική κατασκευή, ανθρώπινο νευρικό ή αγγειακό σύστημα. Αυτές οι περίπλοκες γραμμές και οι τραχιές επιφάνειες εμφανίστηκαν επιστημονική έρευνα, γιατί η φύση μας έδειξε ένα τελείως διαφορετικό επίπεδο πολυπλοκότητας από ότι στα ιδανικά γεωμετρικά συστήματα. Οι υπό μελέτη δομές αποδείχθηκαν όμοιες με χωροχρονικούς όρους. Αυτοαναπαράγονταν ατελείωτα και επαναλαμβάνονταν σε διάφορες κλίμακες διάρκειας και χρόνου. Οποιαδήποτε μη γραμμική διαδικασία οδηγεί τελικά σε διχάλα. Σε αυτή την περίπτωση, το σύστημα, στο σημείο διακλάδωσης, επιλέγει τη μία ή την άλλη διαδρομή. Η τροχιά της ανάπτυξης του συστήματος θα μοιάζει με ένα φράκταλ, δηλαδή μια διακεκομμένη γραμμή, το σχήμα της οποίας μπορεί να περιγραφεί ως μια διακλαδισμένη, περίπλοκη διαδρομή που έχει τη δική της λογική και μοτίβο.

Η διακλάδωση ενός συστήματος μπορεί να συγκριθεί με τη διακλάδωση ενός δέντρου, όπου κάθε κλάδος αντιστοιχεί στο ένα τρίτο ολόκληρου του συστήματος. Η διακλάδωση επιτρέπει γραμμική δομήγεμίστε ογκομετρικό χώρο ή, πιο συγκεκριμένα: η δομή φράκταλ συντονίζει διαφορετικούς χώρους. Ένα φράκταλ μπορεί να αναπτυχθεί, γεμίζοντας τον περιβάλλοντα χώρο, όπως ένας κρύσταλλος μεγαλώνει σε ένα υπερκορεσμένο διάλυμα. Σε αυτή την περίπτωση, η φύση της διακλάδωσης δεν θα συνδέεται με την τύχη, αλλά με ένα συγκεκριμένο μοτίβο.

Η δομή φράκταλ επαναλαμβάνεται ομοίως σε άλλα επίπεδα, σε υψηλότερο επίπεδο οργάνωσης της ανθρώπινης ζωής, για παράδειγμα, στο επίπεδο αυτοοργάνωσης μιας ομάδας ή μιας ομάδας. Η αυτοοργάνωση των δικτύων και των μορφών μετακινείται από το μικροεπίπεδο στο μακροεπίπεδο. Συνολικά, αντιπροσωπεύουν μια ολοκληρωμένη ενότητα, όπου το σύνολο μπορεί να κριθεί από το μέρος. Σε αυτήν την εργασία μαθήματος, οι ιδιότητες φράκταλ θεωρούνται ως παράδειγμα. κοινωνικές διαδικασίες, που υποδηλώνει την καθολικότητα της θεωρίας των φράκταλ και την πίστη της σε διαφορετικούς τομείς της επιστήμης.

Συμπεραίνεται ότι ένα φράκταλ είναι ένας τρόπος οργανωμένης αλληλεπίδρασης χώρων διαφορετικών διαστάσεων και φύσης. Στα παραπάνω θα πρέπει να προστεθεί ότι όχι μόνο χωρική, αλλά και χρονική. Μετά ακόμη ανθρώπινος εγκέφαλοςΚαι νευρωνικά δίκτυαθα αντιπροσωπεύει μια δομή φράκταλ.

Η φύση αγαπά τα φράκταλ σχήματα. Ένα φράκταλ αντικείμενο έχει μια δομή που απλώνεται, αποφορτίζεται. Όταν παρατηρούμε τέτοια αντικείμενα με αυξανόμενη μεγέθυνση, μπορεί κανείς να δει ότι παρουσιάζουν ένα επαναλαμβανόμενο μοτίβο διαφορετικά επίπεδασχέδιο. Έχουμε ήδη πει ότι ένα φράκταλ αντικείμενο μπορεί να φαίνεται ακριβώς το ίδιο ανεξάρτητα από το αν το παρατηρούμε σε κλίμακα μέτρου, χιλιοστού ή μικρού (1:1.000.000 κλάσματα μιας κλίμακας μέτρου). Η ιδιότητα της συμμετρίας των φράκταλ αντικειμένων εκδηλώνεται με αμετάβλητο σε σχέση με την κλίμακα. Τα φράκταλ είναι συμμετρικά ως προς το κέντρο του τεντώματος ή της κλιμάκωσης, όπως τα στρογγυλά σώματα είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα περιστροφής.

Μια αγαπημένη εικόνα της μη γραμμικής δυναμικής είναι οι δομές φράκταλ, στις οποίες, με μια αλλαγή στην κλίμακα, η περιγραφή χτίζεται σύμφωνα με τον ίδιο κανόνα. ΣΕ πραγματική ζωήη εφαρμογή αυτής της αρχής είναι δυνατή με μικρές παραλλαγές. Για παράδειγμα, στη φυσική, όταν μετακινούμαστε από επίπεδο σε επίπεδο (από ατομικές σε πυρηνικές διεργασίες, από πυρηνικά σε στοιχειώδη σωματίδια), τα πρότυπα, τα μοντέλα και οι μέθοδοι περιγραφής αλλάζουν. Παρατηρούμε το ίδιο πράγμα στη βιολογία (το επίπεδο πληθυσμού ενός οργανισμού, ιστού, κυττάρου, κ.λπ.) Το μέλλον των συνεργειών εξαρτάται από τον βαθμό στον οποίο η μη γραμμική επιστήμη μπορεί να βοηθήσει στην περιγραφή αυτής της δομικής ετερογένειας και των διάφορων «διαεπιπέδων» φαινομένων. Αυτή τη στιγμή η πλειοψηφία επιστημονικούς κλάδουςδεν διαθέτει αξιόπιστα εννοιολογικά μοντέλα φράκταλ.

Σήμερα, οι εξελίξεις στο πλαίσιο της θεωρίας των φράκταλ πραγματοποιούνται σε οποιαδήποτε ειδική επιστήμη - φυσική, κοινωνιολογία, ψυχολογία, γλωσσολογία κ.λπ. Τότε η κοινωνία, οι κοινωνικοί θεσμοί, η γλώσσα, ακόμη και η σκέψη είναι φράκταλ.

Στις συζητήσεις που έχουν ξεδιπλωθεί τα τελευταία χρόνια μεταξύ επιστημόνων και φιλοσόφων γύρω από την έννοια των φράκταλ, το πιο αμφιλεγόμενο ερώτημα είναι το εξής: είναι δυνατόν να μιλήσουμε για την καθολικότητα των φράκταλ, ότι κάθε φυσικό αντικείμενο περιέχει ένα φράκταλ ή διέρχεται από ένα φράκταλ στάδιο; Δύο ομάδες επιστημόνων εμφανίστηκαν για να απαντήσουν στην ερώτηση αυτη η ερωτησημε τον ακριβώς αντίθετο τρόπο. Η πρώτη ομάδα («ριζοσπάστες», καινοτόμοι) υποστηρίζει τη θέση για την καθολικότητα των φράκταλ. Η δεύτερη ομάδα («συντηρητικοί») αρνείται αυτή τη θέση, αλλά εξακολουθεί να ισχυρίζεται ότι δεν έχει κάθε αντικείμενο της Φύσης ένα φράκταλ, αλλά σε κάθε περιοχή της Φύσης μπορεί να βρεθεί ένα φράκταλ.

Η σύγχρονη επιστήμη έχει προσαρμόσει με μεγάλη επιτυχία τη θεωρία των φράκταλ για διαφορετικά γνωστικά πεδία. Έτσι, στα οικονομικά, η θεωρία των φράκταλ χρησιμοποιείται στην τεχνική ανάλυση των χρηματοπιστωτικών αγορών, που υπάρχουν σε ανεπτυγμένες χώρες του κόσμου εδώ και εκατοντάδες χρόνια. Για πρώτη φορά, είναι δυνατό να προβλεφθεί η μελλοντική συμπεριφορά των τιμών των μετοχών εάν είναι γνωστή η κατεύθυνσή της για κάποια πρόσφατη περίοδο, σημείωσε ο C. Dow. Στη δεκαετία του ενενήντα χρόνια XIXΣτη δημοσίευση μιας σειράς άρθρων, ο Dow σημείωσε ότι οι τιμές των μετοχών υπόκεινται σε κυκλικές διακυμάνσεις: μετά από μια μακρά άνοδο, υπάρχει μια μεγάλη πτώση, και στη συνέχεια πάλι άνοδος και πτώση.

Στα μέσα του 20ου αιώνα, όταν όλα επιστημονικό κόσμοάρχισε να ενδιαφέρεται για τη νεοεμφανιζόμενη θεωρία των φράκταλ, ένας άλλος διάσημος Αμερικανός χρηματοδότης R. Elliot πρότεινε τη θεωρία του για τη συμπεριφορά των τιμών των μετοχών, η οποία βασίστηκε στη χρήση της θεωρίας των φράκταλ. Ο Έλιοτ προχώρησε από το γεγονός ότι η γεωμετρία των φράκταλ εμφανίζεται όχι μόνο στη ζωντανή φύση, αλλά και στις κοινωνικές διαδικασίες. Συμπεριέλαβε επίσης τη διαπραγμάτευση μετοχών στο χρηματιστήριο ως κοινωνική διαδικασία.

Η βάση της θεωρίας είναι το λεγόμενο κυματικό διάγραμμα. Αυτή η θεωρία καθιστά δυνατή την πρόβλεψη της περαιτέρω συμπεριφοράς μιας τάσης τιμών, με βάση τη γνώση του υποβάθρου της συμπεριφοράς της και ακολουθώντας τους κανόνες για την ανάπτυξη μαζικής ψυχολογικής συμπεριφοράς.

Η θεωρία των φράκταλ έχει βρει εφαρμογή και στη βιολογία. Πολλές, αν όχι όλες, βιολογικές δομές και συστήματα φυτών, ζώων και ανθρώπων έχουν μια φράκταλ φύση, κάποια όψη: νευρικό σύστημα, πνευμονικό σύστημα, κυκλοφορικό και λεμφικό σύστημα κ.λπ. Έχουν προκύψει στοιχεία ότι η ανάπτυξη ενός κακοήθους όγκου ακολουθεί επίσης μια αρχή φράκταλ. Λαμβάνοντας υπόψη την αρχή της αυτοσυνάφειας και της συνάφειας ενός φράκταλ, μπορούν να εξηγηθούν μια σειρά από δυσεπίλυτα προβλήματα εξέλιξης οργανικός κόσμος. Τα φράκταλ αντικείμενα χαρακτηρίζονται επίσης από ένα τέτοιο χαρακτηριστικό όπως η εκδήλωση συμπληρωματικότητας. Συμπληρωματικότητα στη βιοχημεία - αμοιβαία αλληλογραφία σε χημική δομήδύο μακρομόρια, εξασφαλίζοντας την αλληλεπίδρασή τους - σύζευξη δύο κλώνων DNA, σύνδεση ενός ενζύμου με ένα υπόστρωμα, ενός αντιγόνου με ένα αντίσωμα. Οι συμπληρωματικές δομές ταιριάζουν μεταξύ τους σαν ένα κλειδί σε μια κλειδαριά (Εγκυκλοπαίδεια Κυρίλλου και Μεθοδίου). Οι πολυνουκλεοτιδικές αλυσίδες του DNA έχουν αυτή την ιδιότητα.

Μερικές από τις πιο ισχυρές εφαρμογές των φράκταλ βρίσκονται στα γραφικά υπολογιστών. Πρώτον, πρόκειται για φράκταλ συμπίεση εικόνων, και δεύτερον, για την κατασκευή τοπίων, δέντρων, φυτών και τη δημιουργία φράκταλ υφών. Ταυτόχρονα, για τη συμπίεση και την καταγραφή πληροφοριών, είναι απαραίτητη μια αυτο-όμοια αύξηση του φράκταλ και για την ανάγνωσή του, κατά συνέπεια, απαιτείται μια αυτο-όμοια αύξηση.

Τα πλεονεκτήματα των αλγορίθμων συμπίεσης fractal εικόνας είναι πολύ μικρό μέγεθοςσυσκευασμένο αρχείο και σύντομος χρόνος ανάκτησης εικόνων. Οι γεμάτες φράκταλ εικόνες μπορούν να κλιμακωθούν χωρίς να προκληθούν εικονοστοιχεία. Αλλά η διαδικασία συμπίεσης διαρκεί πολύ και μερικές φορές διαρκεί για ώρες. Ο αλγόριθμος συσκευασίας με απώλειες φράκταλ σάς επιτρέπει να ορίσετε το επίπεδο συμπίεσης, παρόμοιο με τη μορφή jpeg. Ο αλγόριθμος βασίζεται στην αναζήτηση μεγάλα μέρηεικόνες σαν μερικά μικρά κομμάτια. Και μόνο πληροφορίες σχετικά με την ομοιότητα ενός τμήματος με ένα άλλο καταγράφονται στο αρχείο εξόδου. Κατά τη συμπίεση, χρησιμοποιείται συνήθως ένα τετράγωνο πλέγμα (τα κομμάτια είναι τετράγωνα), γεγονός που οδηγεί σε μια ελαφρά γωνιότητα όταν η επαναφορά της εικόνας δεν έχει αυτό το μειονέκτημα.

Αναμεταξύ κυριολεκτικά δουλεύειβρείτε εκείνα που έχουν κειμενικό, δομικό ή σημασιολογικό φράκταλ χαρακτήρα. Τα κειμενικά φράκταλ δυνητικά επαναλαμβάνουν στοιχεία κειμένου επ' αόριστον. Τα κειμενικά φράκταλ περιλαμβάνουν ένα μη διακλαδούμενο άπειρο δέντρο, πανομοιότυπο με τον εαυτό τους από οποιαδήποτε επανάληψη ("Ο ιερέας είχε ένα σκύλο...", "Η παραβολή του φιλοσόφου που ονειρεύεται ότι είναι μια πεταλούδα που ονειρεύεται ότι είναι μια φιλόσοφος που ονειρεύεται ...», «Η δήλωση είναι ψευδής , ότι η δήλωση είναι αληθινή, ότι η δήλωση είναι ψευδής...»); ατελείωτα κείμενα χωρίς διακλαδώσεις με παραλλαγές («Η Peggy είχε μια αστεία χήνα…») και κείμενα με προεκτάσεις («The House That Jack Built»).

Στα δομικά φράκταλ, η διάταξη του κειμένου είναι δυνητικά φράκταλ. Κείμενα με τέτοια δομή ρέουν μαζί ακολουθώντας αρχές: στεφάνι από σονέτα (15 ποιήματα), στεφάνι από σονέτα (211 ποιήματα), στεφάνι από σονέτα (2455 ποιήματα); “ιστορίες μέσα σε μια ιστορία” (“The Book of One Thousand and One Nights”, J. Pototsky “Manuscript Found in Saragossa”); προλόγους που κρύβουν την πατρότητα (U. Eco “The Name of the Rose”).

Ανακάλυψα αυτό το φράκταλ όταν κοίταζα την παρεμβολή των κυμάτων στην επιφάνεια ενός ποταμού. Το κύμα κινείται προς την ακτή, αντανακλάται και επιτίθεται στον εαυτό του. Υπάρχει τάξη στα μοτίβα που δημιουργούν τα κύματα; Ας προσπαθήσουμε να τον βρούμε. Ας εξετάσουμε όχι ολόκληρο το κύμα, αλλά μόνο το διάνυσμα της κίνησής του. Ας κάνουμε τις «ακτές» ομαλές για να απλοποιήσουμε το πείραμα.

Το πείραμα μπορεί να πραγματοποιηθεί σε ένα κανονικό κομμάτι χαρτί από ένα σχολικό τετράδιο.

Ή χρησιμοποιώντας JavaScript υλοποίηση του αλγορίθμου.

Πάρτε ένα ορθογώνιο με πλευρές q και p. Ας στείλουμε μια ακτίνα (διάνυσμα) από γωνία σε γωνία. Η δέσμη μετακινείται στη μία πλευρά του ορθογωνίου, ανακλάται και συνεχίζει να κινείται στην επόμενη πλευρά. Αυτό συνεχίζεται έως ότου η δοκός χτυπήσει μια από τις υπόλοιπες γωνίες. Εάν το μέγεθος της πλευράς q και p είναι σχετικά πρώτοι αριθμοί, τότε προκύπτει ένα μοτίβο (όπως θα δούμε αργότερα - ένα φράκταλ).

Στην εικόνα μπορούμε να δούμε καθαρά πώς λειτουργεί αυτός ο αλγόριθμος.

Κινούμενα σχέδια Gif:

Το πιο εκπληκτικό είναι ότι με διαφορετικές πλευρέςορθογώνιο - παίρνουμε διαφορετικά σχέδια.

Γιατί ονομάζω αυτά τα μοτίβα φράκταλ; Όπως γνωρίζετε, ένα "fractal" είναι ένα γεωμετρικό σχήμα που έχει ιδιότητες αυτο-ομοιότητας. Μέρος της εικόνας επαναλαμβάνει ολόκληρη την εικόνα. Εάν αυξήσετε σημαντικά τις διαστάσεις των πλευρών Q και P, είναι σαφές ότι αυτά τα σχέδια έχουν ιδιότητες αυτο-ομοιότητας.

Ας προσπαθήσουμε να το αυξήσουμε. Θα το αυξήσουμε με πονηρό τρόπο. Ας πάρουμε για παράδειγμα το μοτίβο 17x29. Τα ακόλουθα μοτίβα θα είναι: 29x(17+29=46), 46x(29+46=75)…
Μία πλευρά: F(n);
Δεύτερη πλευρά: F(n+1)=F(n)+F(n-1);
17, 29, 46, 75, 121, 196, 317, 513, 830, 1343
Όπως οι αριθμοί Fibonacci, μόνο με διαφορετικά πρώτα και δεύτερα μέλη της ακολουθίας: F(0)=17, F(1)=29.

Εάν η μεγαλύτερη πλευρά είναι ομοιόμορφη, το αποτέλεσμα είναι το ακόλουθο σχέδιο:

Εάν η κοντύτερη πλευρά είναι άρτια:

Εάν και οι δύο πλευρές είναι περίεργες, παίρνουμε ένα συμμετρικό σχέδιο:

Ανάλογα με το πώς ξεκινά η δέσμη:

ή

Θα προσπαθήσω να εξηγήσω τι συμβαίνει σε αυτά τα ορθογώνια.

Ας διαχωρίσουμε το τετράγωνο από το ορθογώνιο και ας δούμε τι συμβαίνει στα σύνορα.

Η δέσμη εξέρχεται στο ίδιο σημείο από το οποίο εισήλθε.

Ταυτόχρονα, ο αριθμός των τετραγώνων από τα οποία διέρχεται η ακτίνα είναι πάντα ζυγός.

Επομένως, εάν κόψετε ένα τετράγωνο από ένα ορθογώνιο, ένα τμήμα του φράκταλ θα παραμείνει αμετάβλητο.

Εάν διαχωρίσετε τα τετράγωνα από το φράκταλ όσο το δυνατόν περισσότερες φορές, μπορείτε να φτάσετε στην «αρχή» του φράκταλ.

Μοιάζει με σπείρα Fibonacci;

Τα φράκταλ μπορούν επίσης να ληφθούν από τους αριθμούς Fibonacci.

Στα μαθηματικά, οι αριθμοί Fibonacci (σειρά Fibonacci, ακολουθία Fibonacci) είναι οι αριθμοί:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597…
Εξ ορισμού, τα δύο πρώτα ψηφία στην ακολουθία Fibonacci είναι 0 και 1, και κάθε επόμενος αριθμός είναι ίσος με το άθροισμα των δύο προηγούμενων.
F(n)=F(n-1)+F(n-2)
F(0)=0, F(1)=1

Πηγαίνω:

Όπως μπορούμε να δούμε, όσο πιο κοντά ο λόγος διαστάσεων πλησιάζει τη χρυσή τομή, τόσο μεγαλύτερη είναι η λεπτομέρεια του φράκταλ.

Σε αυτήν την περίπτωση, το φράκταλ επαναλαμβάνει μέρος του φράκταλ, αυξημένο κατά .

Αντί για αριθμούς Fibonacci, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε παράλογα μεγέθη πλευρών:

Παίρνουμε το ίδιο φράκταλ.

Τα ίδια φράκταλ μπορούν να ληφθούν σε ένα τετράγωνο εάν πυροβολήσετε τη δέσμη σε διαφορετική γωνία:

Τι μπορείτε να πείτε εν κατακλείδι;
Το χάος είναι επίσης τάξη. Με τους δικούς του νόμους. Αυτή η σειρά δεν έχει μελετηθεί, αλλά είναι αρκετά επιδεκτική μελέτης. Και όλη η επιθυμία της επιστήμης είναι να ανακαλύψει αυτά τα πρότυπα. Και τελικά συνδέστε τα κομμάτια του παζλ για να δείτε τη μεγάλη εικόνα.
Ας δούμε την επιφάνεια του ποταμού. Αν του ρίξεις μια πέτρα, θα έρθουν κύματα. Κύκλοι που είναι αρκετά επιδεκτικοί στη μελέτη. Ταχύτητα, περίοδος, μήκος κύματος - όλα αυτά μπορούν να υπολογιστούν. Αλλά μέχρι να φτάσει το κύμα στην ακτή, δεν αντανακλάται και αρχίζει να επικαλύπτεται. Παίρνουμε χάος (παρεμβολές), το οποίο είναι ήδη δύσκολο να μελετηθεί.
Κι αν κινηθούμε από την αντίθετη κατεύθυνση; Απλοποιήστε τη συμπεριφορά του κύματος όσο το δυνατόν περισσότερο. Απλοποιήστε, βρείτε ένα μοτίβο και μετά προσπαθήστε να το περιγράψετε πλήρη εικόνατι συμβαίνει.
Τι μπορεί να απλοποιηθεί; Προφανώς, κάντε την ανακλαστική επιφάνεια ίσια, χωρίς στροφές. Στη συνέχεια, αντί για το ίδιο το κύμα, χρησιμοποιήστε μόνο το διάνυσμα κυματικής κίνησης. Κατ 'αρχήν, αυτό είναι αρκετό για τη δημιουργία ενός απλού αλγόριθμου και την προσομοίωση της διαδικασίας σε έναν υπολογιστή. Και είναι αρκετά ακόμη να φτιάξεις ένα «μοντέλο» συμπεριφοράς κυμάτων σε ένα συνηθισμένο καρό κομμάτι χαρτί.
Τι έχουμε ως αποτέλεσμα; Ως αποτέλεσμα, βλέπουμε ότι στις κυματικές διεργασίες (οι ίδιοι κυματισμοί στην επιφάνεια ενός ποταμού) δεν έχουμε χάος, αλλά επικάλυψη φράκταλ (αυτοπαρόμοιες δομές) το ένα πάνω στο άλλο.

Ας εξετάσουμε έναν άλλο τύπο κυμάτων. Ως γνωστόν, ηλεκτρομαγνητικό κύμααποτελείται από τρία διανύσματα - το διάνυσμα κύματος και το ηλεκτρικό και μαγνητικό πεδίο. Όπως μπορούμε να δούμε, αν «πιάνεις» ένα τέτοιο κύμα κλειστό χώρο– όπου τέμνονται αυτά τα διανύσματα, έχουμε αρκετά σαφείς κλειστές δομές. Ίσως τα στοιχειώδη σωματίδια να είναι τα ίδια φράκταλ;

Όλα τα φράκταλ σε ορθογώνια από 1 έως 80 (6723x6723 px):

Κλειστές περιοχές σε φράκταλ (6723x6723 px):

Απλά ένα όμορφο φράκταλ (4078x2518 px):

Οι ιδιότητες φράκταλ δεν είναι ιδιοτροπία ή αποκύημα της αδρανούς φαντασίας των μαθηματικών. Μελετώντας τα μαθαίνουμε να ξεχωρίζουμε και να προβλέπουμε σημαντικά χαρακτηριστικάαντικείμενα και φαινόμενα που μας περιβάλλουν, τα οποία προηγουμένως, αν δεν αγνοούσαμε εντελώς, τότε αξιολογούνταν μόνο κατά προσέγγιση, ποιοτικά, με το μάτι. Για παράδειγμα, συγκρίνοντας τις φράκταλ διαστάσεις σύνθετων σημάτων, εγκεφαλογραφημάτων ή καρδιακών φυσημάτων, οι γιατροί μπορούν να διαγνώσουν ορισμένα σοβαρές ασθένειεςεπί πρώιμο στάδιοόταν ο ασθενής μπορεί ακόμα να βοηθηθεί. Επίσης, ο αναλυτής, συγκρίνοντας την προηγούμενη συμπεριφορά των τιμών, στην αρχή της εμφάνισης του μοντέλου, μπορεί να προβλέψει την περαιτέρω εξέλιξή του, αποτρέποντας έτσι χοντρά λάθηστην πρόβλεψη.

Ανωμαλία φράκταλ

Η πρώτη ιδιότητα των φράκταλ είναι η ανωμαλία τους. Εάν ένα φράκταλ περιγράφεται από μια συνάρτηση, τότε η ιδιότητα της ανωμαλίας με μαθηματικούς όρους θα σημαίνει ότι μια τέτοια συνάρτηση δεν είναι διαφορίσιμη, δηλαδή δεν είναι ομαλή σε κανένα σημείο. Στην πραγματικότητα, αυτό έχει την πιο άμεση σχέση με την αγορά. Οι διακυμάνσεις των τιμών είναι μερικές φορές τόσο ασταθείς και ασταθείς που προκαλούν σύγχυση σε πολλούς εμπόρους. Καθήκον μας είναι να τακτοποιήσουμε όλο αυτό το χάος και να το φέρουμε σε τάξη.

Ξέρεις ότι:καταλαμβάνοντας την 1η έως τη 10η θέση στον διαγωνισμό επίδειξης λογαριασμού "Μια εικονική πραγματικότητα"από το Alpari, μπορείτε να κερδίσετε από $70 έως $500. Το ποσό του βραβείου είναι διαθέσιμο για ανάληψη χωρίς περιορισμούς. Οι νικητές που θα λάβουν θέσεις από την 11η έως την 30η θέση θα λάβουν από 1000 έως 10000 επιπλέον πόντοι .

Αυτο-ομοιότητα φράκταλ

Η δεύτερη ιδιότητα δηλώνει ότι ένα φράκταλ είναι ένα αντικείμενο που έχει την ιδιότητα της αυτο-ομοιότητας. Αυτό είναι ένα αναδρομικό μοντέλο, κάθε μέρος του οποίου επαναλαμβάνει στην ανάπτυξή του την ανάπτυξη ολόκληρου του μοντέλου στο σύνολό του και αναπαράγεται σε διάφορες κλίμακες χωρίς ορατές αλλαγές. Ωστόσο, συμβαίνουν αλλαγές, οι οποίες μπορούν να επηρεάσουν σημαντικά την αντίληψή μας για το αντικείμενο.

Η αυτοομοιότητα σημαίνει ότι το αντικείμενο δεν έχει χαρακτηριστική κλίμακα: αν είχε τέτοια κλίμακα, θα ξεχώριζες αμέσως ένα μεγεθυσμένο αντίγραφο του θραύσματος από την αρχική φωτογραφία. Τα ίδια αντικείμενα έχουν άπειρες κλίμακες για να ταιριάζουν σε όλα τα γούστα. Η ουσία της αυτο-ομοιότητας μπορεί να επεξηγηθεί με το ακόλουθο παράδειγμα. Φανταστείτε ότι μπροστά σας είναι μια φωτογραφία μιας «πραγματικής» γεωμετρικής γραμμής, «μήκους χωρίς πλάτος», όπως ο Ευκλείδης όρισε μια γραμμή, και διασκεδάζετε με έναν φίλο, προσπαθώντας να μαντέψετε αν σας δείχνει την αρχική φωτογραφία ( πρωτότυπο) ή μια φωτογραφία μεγεθυσμένη κατά τον απαιτούμενο αριθμό φορών οποιουδήποτε τμήματος μιας ευθείας γραμμής. Ανεξάρτητα από το πόσο σκληρά προσπαθείτε, δεν θα μπορέσετε ποτέ να διακρίνετε το πρωτότυπο από ένα μεγεθυσμένο αντίγραφο του θραύσματος, η ευθεία γραμμή είναι δομημένη ίδια σε όλα της τα μέρη, είναι παρόμοια με τον εαυτό της, αλλά αυτή η αξιοσημείωτη ιδιότητά της είναι κάπως. κρύβεται από την απλή δομή της ίδιας της ευθείας γραμμής, την «ευθύτητα» της (Εικ. 7).

Εάν, με τον ίδιο τρόπο, δεν μπορείτε να διακρίνετε μια φωτογραφία ενός αντικειμένου από μια σωστά μεγεθυμένη φωτογραφία οποιουδήποτε θραύσματος του, τότε έχετε μπροστά σας ένα ίδιο-όμοιο αντικείμενο. Όλα τα φράκταλ που έχουν τουλάχιστον κάποια συμμετρία είναι ίδια. Αυτό σημαίνει ότι ορισμένα θραύσματα της δομής τους επαναλαμβάνονται αυστηρά σε συγκεκριμένα χωρικά διαστήματα. Είναι προφανές ότι αυτά τα αντικείμενα μπορεί να είναι οποιασδήποτε φύσης και η εμφάνιση και το σχήμα τους παραμένουν αμετάβλητα ανεξάρτητα από την κλίμακα. Ένα παράδειγμα ενός ίδιου παρόμοιου φράκταλ:

Στα χρηματοοικονομικά, αυτή η έννοια δεν είναι μια αβάσιμη αφαίρεση, αλλά μια θεωρητική επαναδιατύπωση μιας πρακτικής παροιμίας της αγοράς - δηλαδή, ότι οι κινήσεις μιας μετοχής ή ενός νομίσματος είναι επιφανειακά παρόμοιες, ανεξαρτήτως χρονικής κλίμακας και τιμής. Ο παρατηρητής δεν μπορεί να πει εμφάνισηγράφετε αν τα δεδομένα σχετίζονται με εβδομαδιαίες, ημερήσιες ή ωριαίες αλλαγές.

Φυσικά, δεν έχουν όλα τα φράκταλ μια τόσο κανονική, ατελείωτα επαναλαμβανόμενη δομή όσο εκείνα τα υπέροχα εκθέματα του μελλοντικού μουσείου φράκταλ τέχνης, που γεννήθηκαν από τη φαντασία μαθηματικών και καλλιτεχνών. Πολλά φράκταλ που βρίσκονται στη φύση (επιφάνειες ρήγματος) βράχουςκαι μέταλλα, σύννεφα, τιμές νομισμάτων, τυρβώδεις ροές, αφρός, πηκτώματα, περιγράμματα σωματιδίων αιθάλης κ.λπ.), στερούνται γεωμετρικής ομοιότητας, αλλά αναπαράγουν πεισματικά σε κάθε θραύσμα τις στατιστικές ιδιότητες του συνόλου. Τα φράκταλ με μη γραμμική μορφή ανάπτυξης ονομάστηκαν πολυκλασματικά από τον Mandelbrot. Ένα multifractal είναι ένα οιονεί φράκταλ αντικείμενο με μεταβλητή φράκταλ διάσταση. Φυσικά, τα πραγματικά αντικείμενα και διεργασίες περιγράφονται πολύ καλύτερα από τα multifractals.

Αυτή η στατιστική αυτο-ομοιότητα, ή αυτο-ομοιότητα κατά μέσο όρο, διακρίνει τα φράκταλ από μια ποικιλία φυσικών αντικειμένων.

Ας εξετάσουμε ένα παράδειγμα αυτο-ομοιότητας στην αγορά συναλλάγματος:

Σε αυτά τα σχήματα βλέπουμε ότι είναι παρόμοια, ενώ έχουν διαφορετική χρονική κλίμακα, στο Σχ. και κλίμακα 15 λεπτών, στο Σχ. β εβδομαδιαία κλίμακα τιμών. Όπως μπορείτε να δείτε, αυτά τα αποσπάσματα δεν έχουν την ιδιότητα να επαναλαμβάνονται τέλεια μεταξύ τους, αλλά μπορούμε να τα θεωρήσουμε παρόμοια.

Ακόμη και τα πιο απλά φράκταλ - γεωμετρικά αυτοπαρόμοια φράκταλ - έχουν ασυνήθιστες ιδιότητες. Για παράδειγμα, μια νιφάδα χιονιού von Koch έχει περίμετρο άπειρο μήκος, αν και περιορίζει την πεπερασμένη περιοχή (Εικ. 9). Επιπλέον, είναι τόσο τραχύ που είναι αδύνατο να σχεδιάσουμε μια εφαπτομένη σε αυτό σε οποιοδήποτε σημείο του περιγράμματος (ένας μαθηματικός θα έλεγε ότι μια νιφάδα χιονιού φον Κοχ δεν είναι πουθενά διαφοροποιήσιμη, δηλαδή δεν είναι λεία σε κανένα σημείο).

Ο Mandelbrot διαπίστωσε ότι τα αποτελέσματα της κλασματικής μέτρησης παρέμειναν σταθερά για διαφορετικούς βαθμούς αυξανόμενης ανωμαλίας του αντικειμένου. Υπάρχει δηλαδή κανονικότητα (κανονικότητα, ευταξία) για κάθε παρατυπία. Όταν αντιμετωπίζουμε κάτι σαν να συμβαίνει τυχαία, αυτό δείχνει ότι δεν κατανοούμε τη φύση αυτής της τυχαιότητας. Σε όρους αγοράς, αυτό σημαίνει ότι ο σχηματισμός των ίδιων τυπικών σχηματισμών πρέπει να συμβεί σε διαφορετικά χρονικά πλαίσια. Ένα διάγραμμα ενός λεπτού θα περιγράφει τον σχηματισμό φράκταλ με τον ίδιο τρόπο όπως ένα μηνιαίο γράφημα. Αυτή η «αυτοομοιότητα», που βρίσκεται στα γραφήματα των αγορών εμπορευμάτων και των χρηματοπιστωτικών αγορών, δείχνει όλα τα σημάδια ότι οι ενέργειες της αγοράς είναι πιο κοντά στο παράδειγμα της συμπεριφοράς της «φύσης» παρά στη συμπεριφορά της οικονομικής, θεμελιώδους ανάλυσης.

Σε αυτά τα σχήματα μπορείτε να βρείτε την επιβεβαίωση των παραπάνω. Στα αριστερά είναι ένα γράφημα με μια κλίμακα λεπτών, στα δεξιά είναι μια εβδομαδιαία κλίμακα. Εδώ είναι τα ζεύγη νομισμάτων Δολάριο/Γεν (Εικ. 9 (α)) και Ευρώ/Δολάριο (Εικ. 9 (β)) με διαφορετικές κλίμακες τιμών. Παρόλο που το ζεύγος νομισμάτων JPY/USD έχει διαφορετική μεταβλητότητα σε σύγκριση με το EUR/USD, μπορούμε να παρατηρήσουμε την ίδια δομή κίνησης τιμών.

Φράκταλ διάσταση

Η τρίτη ιδιότητα των φράκταλ είναι ότι τα φράκταλ αντικείμενα έχουν διάσταση διαφορετική από την Ευκλείδεια (με άλλα λόγια, τοπολογική διάσταση). Η διάσταση φράκταλ είναι ένας δείκτης της πολυπλοκότητας της καμπύλης. Αναλύοντας την εναλλαγή περιοχών με διαφορετικές διαστάσεις φράκταλ και πώς το σύστημα επηρεάζεται από εξωτερικούς και εσωτερικούς παράγοντες, μπορείτε να μάθετε να προβλέπετε τη συμπεριφορά του συστήματος. Και το πιο σημαντικό, διάγνωση και πρόβλεψη ασταθών καταστάσεων.

Στο οπλοστάσιο των σύγχρονων μαθηματικών, ο Mandelbrot βρήκε ένα βολικό ποσοτικό μέτροατέλειες αντικειμένων - στρεβλότητα του περιγράμματος, τσαλακώματα της επιφάνειας, ρωγμές και πορώδες του όγκου. Προτάθηκε από δύο μαθηματικούς - τον Felix Hausdorff (1868-1942) και τον Abram Samoilovich Besikovich (1891-1970). Στις μέρες μας φέρει επάξια τα ένδοξα ονόματα των δημιουργών του (διάσταση Hausdorff – Besicovich) – Hausdorff – Besicovich διάσταση. Τι είναι η διάσταση και γιατί τη χρειαζόμαστε σε σχέση με την ανάλυση των χρηματοπιστωτικών αγορών; Πριν από αυτό, γνωρίζαμε μόνο έναν τύπο διάστασης - τοπολογική (Εικ. 11). Η ίδια η λέξη διάσταση δείχνει πόσες διαστάσεις έχει ένα αντικείμενο. Για ένα τμήμα ή μια ευθεία, ισούται με 1, δηλ. έχουμε μόνο μία διάσταση, δηλαδή το μήκος ενός τμήματος ή ευθείας γραμμής. Για ένα επίπεδο, η διάσταση θα είναι 2, αφού έχουμε δισδιάστατη διάσταση, μήκος και πλάτος. Για χώρο ή ογκομετρικά αντικείμενα, η διάσταση είναι 3: μήκος, πλάτος και ύψος.

Ας δούμε ένα παράδειγμα με παιχνίδια στον υπολογιστή. Εάν το παιχνίδι είναι φτιαγμένο σε τρισδιάστατα γραφικά, τότε είναι χωρικό και τρισδιάστατο, αν στα γραφικά 2D, τα γραφικά απεικονίζονται σε επίπεδο (Εικ. 10).

Το πιο ασυνήθιστο (θα ήταν πιο σωστό να το πούμε ασυνήθιστο) σχετικά με τη διάσταση Hausdorff-Besicovitch ήταν ότι μπορούσε να λάβει όχι μόνο ακέραιους αριθμούς, ως τοπολογική διάσταση, αλλά και κλασματικές τιμές. Ίση με ένα για μια ευθεία γραμμή (άπειρο, ημι-άπειρο ή πεπερασμένο τμήμα), η διάσταση Hausdorff-Besicovitch αυξάνεται καθώς αυξάνεται η στρεβλότητα, ενώ η τοπολογική διάσταση αγνοεί πεισματικά όλες τις αλλαγές που συμβαίνουν με τη γραμμή.

Η διάσταση χαρακτηρίζει την περιπλοκή ενός συνόλου (για παράδειγμα, μιας γραμμής). Εάν πρόκειται για καμπύλη με τοπολογική διάσταση ίση με 1 (ευθεία γραμμή), τότε η καμπύλη μπορεί να περιπλέκεται από άπειρο αριθμό καμπυλών και διακλαδώσεων σε τέτοιο βαθμό ώστε η φράκταλ διάστασή της να πλησιάζει το δύο, δηλ. θα γεμίσει σχεδόν ολόκληρο το επίπεδο (Εικ. 12)

Αυξάνοντας την τιμή της, η διάσταση Hausdorff–Besicovitch δεν την αλλάζει απότομα, όπως θα έκανε η τοπολογική διάσταση «στη θέση της», μετακινούμενη από το 1 ευθεία στο 2. Η διάσταση Hausdorff–Besicovitch—και αυτό μπορεί να φαίνεται ασυνήθιστο και εκπληκτικό με την πρώτη ματιά — παίρνει κλασματικές τιμές: ίσο με έναγια μια ευθεία γραμμή, γίνεται ίσο με 1,15 για μια γραμμή ελαφρώς τυλιγμένη, 1,2 για μια γραμμή με μεγαλύτερη περιέλιξη, 1,5 για μια γραμμή με πολύ τύλιγμα κ.λπ.

Ακριβώς για να τονίσει ιδιαίτερα την ικανότητα της διάστασης Hausdorff-Besicovitch να λαμβάνει κλασματικές, μη ακέραιες τιμές, ο Mandelbrot δημιούργησε τον νεολογισμό του, αποκαλώντας τον fractal διάσταση. Έτσι, η διάσταση φράκταλ (όχι μόνο Hausdorff-Besicovitch, αλλά οποιαδήποτε άλλη) είναι μια διάσταση που μπορεί να λάβει όχι απαραίτητα ακέραιες τιμές, αλλά και κλασματικές.

Για γραμμικά γεωμετρικά φράκταλ, η διάσταση χαρακτηρίζει την αυτο-ομοιότητά τους. Ας δούμε το Σχ. 17 (Α), η ευθεία αποτελείται από N=4 τμήματα, καθένα από τα οποία έχει μήκος r = 1/3. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε την αναλογία:

D = logN/log(1/r)

Η κατάσταση είναι εντελώς διαφορετική όταν μιλάμε για multifractals (μη γραμμικά). Εδώ, η διάσταση χάνει το νόημά της ως ορισμός της ομοιότητας ενός αντικειμένου και ορίζεται μέσα από διάφορες γενικεύσεις, πολύ λιγότερο φυσικές από τη μοναδική διάσταση των αυτο-ομοειδών αντικειμένων.

Στην αγορά συναλλάγματος, η διάσταση μπορεί να χαρακτηρίσει τη μεταβλητότητα των τιμών. Κάθε ζεύγος νομισμάτων έχει τη δική του συμπεριφορά στην κλίμακα τιμών. Για το ζεύγος Λίρα/Δολάριο (Εικόνα 13(α)) είναι πιο ήρεμο από ό,τι για το Ευρώ/Δολάριο (Εικόνα 13(β)). Το πιο ενδιαφέρον είναι ότι αυτά τα νομίσματα κινούνται με την ίδια δομή στα επίπεδα τιμών, ωστόσο, οι διαστάσεις τους είναι διαφορετικές, γεγονός που μπορεί να επηρεάσει τις ενδοημερήσιες συναλλαγές και τις αλλαγές στα μοτίβα που ξεφεύγουν από το ανεκπαίδευτο μάτι.

Στο Σχ. 14 δείχνει τη διάσταση σε σχέση με μαθηματικό μοντέλο, ώστε να κατανοήσετε βαθύτερα την έννοια αυτού του όρου. Σημειώστε ότι και οι τρεις εικόνες δείχνουν έναν κύκλο. Στο Σχ. και η διάσταση είναι 1,2, στο Σχ. b η διάσταση είναι 1,5 και στο Σχ. στο 1.9. Μπορεί να φανεί ότι με την αύξηση της διάστασης, η αντίληψη ενός αντικειμένου γίνεται πιο περίπλοκη και το πλάτος των δονήσεων αυξάνεται.

Στις χρηματοπιστωτικές αγορές, η διάσταση αντανακλάται όχι μόνο στην ποιότητα της αστάθειας των τιμών, αλλά και στην ποιότητα της λεπτομέρειας του κύκλου (κύματα). Χάρη σε αυτό, θα μπορούμε να διακρίνουμε αν ένα κύμα ανήκει σε μια συγκεκριμένη χρονική κλίμακα. Στο Σχ. Το Σχήμα 15 δείχνει το ζεύγος Ευρώ/Δολάριο σε ημερήσια κλίμακα τιμών. Σημειώστε ότι ο σχηματισμένος κύκλος και η αρχή ενός νέου, μεγαλύτερου κύκλου είναι ευδιάκριτα. Μεταβαίνοντας σε ωριαία κλίμακα και μεγεθύνοντας έναν από τους κύκλους, μπορούμε να παρατηρήσουμε μικρότερους κύκλους και μέρος του μεγάλου που βρίσκεται στο D1 (Εικ. 16). Λεπτομέρεια κύκλων, δηλ. Η διάστασή τους μας επιτρέπει να προσδιορίσουμε από τις αρχικές συνθήκες πώς μπορεί να εξελιχθεί η κατάσταση στο μέλλον. Μπορούμε να πούμε ότι: η διάσταση φράκταλ αντικατοπτρίζει την ιδιότητα της αμετάβλητης κλίμακας του συνόλου που εξετάζουμε.

Η έννοια της αμετάβλητης εισήχθη από τον Mandelbrot από τη λέξη "sealant" - κλιμακούμενο, δηλ. όταν ένα αντικείμενο έχει την ιδιότητα της αμετάβλητης, έχει διάφορες κλίμακεςαπεικόνιση.

Στο Σχ. 16, ο κύκλος Α επισημαίνει έναν μίνι κύκλο (λεπτομέρεια κύμα), ο κύκλος Β - ένα κύμα μεγαλύτερου κύκλου. Ακριβώς λόγω της διάστασης δεν μπορούμε πάντα να προσδιορίσουμε ΟΛΟΥΣ τους κύκλους στην ίδια κλίμακα τιμών.

Θα μιλήσουμε για τα προβλήματα καθορισμού και των ιδιοτήτων ανάπτυξης των μη περιοδικών κύκλων στην ενότητα «Κύκλοι στην αγορά συναλλάγματος» τώρα το κύριο πράγμα για εμάς ήταν να καταλάβουμε πώς και πού εκδηλώνεται η διάσταση στις χρηματοπιστωτικές αγορές.

Ο Τζόνι μεγαλώνει 2 ίντσες το χρόνο. Αυτό το σύστημα εξηγεί πώς το ύψος του Johnny αλλάζει με την πάροδο του χρόνου. Έστω x(n) το ύψος του Johnny φέτος. Αφήστε την ανάπτυξή του του χρόνουθα γραφτεί ως x(n+1). Τότε μπορούμε να γράψουμε το δυναμικό σύστημα σε μορφή εξίσωσης:

x(n+1) = x(n) + 2.

Βλέπετε; Δεν είναι απλά μαθηματικά αυτά; Αν εισαγάγουμε το ύψος του Johnny σήμερα ως x(n) = 38 ίντσες, τότε στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης παίρνουμε το ύψος του Johnny το επόμενο έτος ως x(n+1) = 40 ίντσες:

x(n+1) = x(n) + 2 = 38 + 2 = 40.

Η κίνηση από τα δεξιά προς τα αριστερά στην εξίσωση ονομάζεται επανάληψη (επανάληψη). Μπορούμε να επαναλάβουμε την εξίσωση και πάλι εισάγοντας το νέο ύψος του Johnny των 40 ιντσών στη σωστή πλευρά της εξίσωσης (δηλαδή x(n) = 40) και παίρνουμε x(n+1) = 42. Αν επαναλάβουμε (επαναλάβουμε) την εξίσωση 3 φορές, θα πάρουμε το ύψος του Johnny μετά από 3 χρόνια, δηλαδή 44 ίντσες, ξεκινώντας με ύψος 38 ίντσες.

Αυτό είναι ένα ντετερμινιστικό δυναμικό σύστημα. Αν θέλαμε να το κάνουμε μη ντετερμινιστικό (στοχαστικό), θα μπορούσαμε να φτιάξουμε ένα μοντέλο όπως αυτό: ο Johnny μεγαλώνει 2 ίντσες το χρόνο, περισσότερο ή λιγότερο, και να γράψουμε την εξίσωση ως εξής:

x(n+1) = x(n) + 2 + e

όπου το e είναι ένα μικρό σφάλμα (μικρό σε σχέση με το 2), αντιπροσωπεύει κάποια κατανομή πιθανοτήτων.

Ας επιστρέψουμε στην αρχική ντετερμινιστική εξίσωση. Η αρχική εξίσωση, x(n+1) = x(n) + 2, είναι γραμμική. Γραμμικό σημαίνει ότι προσθέτετε μεταβλητές ή σταθερές ή πολλαπλασιάζετε μεταβλητές με σταθερές. Για παράδειγμα, η εξίσωση

z(n+l) = z(n) + 5 y(n) -2 x(n)

είναι γραμμικό. Αλλά αν πολλαπλασιάσετε τις μεταβλητές ή τις αυξήσετε σε ισχύ μεγαλύτερη από μία, η εξίσωση (σύστημα) θα γίνει μη γραμμική. Για παράδειγμα, η εξίσωση

x(n+1) = x(n) 2

είναι μη γραμμικό γιατί το x(n) είναι τετράγωνο. Η εξίσωση

είναι μη γραμμική επειδή οι δύο μεταβλητές, x και y, πολλαπλασιάζονται.

Όταν εφαρμόζουμε κλασικά μοντέλα (για παράδειγμα, τάση, παλινδρόμηση κ.λπ.), λέμε ότι το μέλλον του αντικειμένου καθορίζεται μοναδικά, δηλ. εξαρτάται πλήρως από τις αρχικές συνθήκες και μπορεί να προβλεφθεί με σαφήνεια. Μπορείτε να εκτελέσετε ένα από αυτά τα μοντέλα μόνοι σας στο Excel. Ένα παράδειγμα κλασικού μοντέλου μπορεί να αναπαρασταθεί ως μια συνεχώς φθίνουσα ή αυξανόμενη τάση. Και μπορούμε να προβλέψουμε τη συμπεριφορά του γνωρίζοντας το παρελθόν του αντικειμένου (αρχικά δεδομένα για μοντελοποίηση). Και τα φράκταλ χρησιμοποιούνται στην περίπτωση που ένα αντικείμενο έχει πολλές επιλογές ανάπτυξης και η κατάσταση του συστήματος καθορίζεται από τη θέση στην οποία βρίσκεται αυτήν τη στιγμή. Δηλαδή, προσπαθούμε να προσομοιώσουμε τη χαοτική ανάπτυξη. Η διατραπεζική αγορά συναλλάγματος είναι ακριβώς ένα τέτοιο σύστημα.

Ας δούμε τώρα πώς από μια ευθεία γραμμή μπορείτε να πάρετε αυτό που ονομάζουμε φράκταλ, με τις εγγενείς ιδιότητές του.

Στο Σχ. Το 17 (Α) δείχνει την καμπύλη Koch. Ας πάρουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα, το μήκος του = 1, δηλ. εξακολουθεί να είναι μια τοπολογική διάσταση. Τώρα θα το χωρίσουμε σε τρία μέρη (το καθένα το 1/3 του μήκους), και θα αφαιρέσουμε το μεσαίο τρίτο. Αλλά θα αντικαταστήσουμε το μεσαίο τρίτο με δύο τμήματα (κάθε 1/3 του μήκους), τα οποία μπορούν να θεωρηθούν ως δύο πλευρές ισόπλευρο τρίγωνο. Αυτός ο σχεδιασμός σταδίου δύο (β) απεικονίζεται στο Σχ. 17 (Α). Σε αυτό το σημείο έχουμε 4 μικρότερα μέρη, το καθένα το 1/3 του μήκους, άρα όλο το μήκος είναι 4(1/3) = 4/3. Στη συνέχεια επαναλαμβάνουμε αυτή τη διαδικασία για καθένα από τα 4 μικρότερα κοινόχρηστα στοιχεία γραμμής. Αυτό είναι το τρίτο στάδιο (γ). Αυτό θα μας δώσει 16 ακόμη μικρότερα μερίδια γραμμής, κάθε 1/9 του μήκους. Έτσι ολόκληρο το μήκος είναι τώρα 16/9 ή (4/3) 2 . Ως αποτέλεσμα, πήραμε μια κλασματική διάσταση. Αλλά αυτό δεν είναι το μόνο πράγμα που διακρίνει την προκύπτουσα δομή από μια ευθεία. Έχει γίνει αυτο-όμοιο και είναι αδύνατο να σχεδιάσουμε μια εφαπτομένη σε οποιοδήποτε σημείο του (Εικ. 17 (Β)).

Περιεχόμενο

Συχνά, λαμπρές ανακαλύψεις που γίνονται στην επιστήμη μπορούν να αλλάξουν ριζικά τη ζωή μας. Για παράδειγμα, η εφεύρεση ενός εμβολίου μπορεί να σώσει πολλούς ανθρώπους, αλλά η δημιουργία νέων όπλων οδηγεί σε φόνο. Κυριολεκτικά χθες (στην κλίμακα της ιστορίας) ο άνθρωπος «δάμασε» τον ηλεκτρισμό και σήμερα δεν μπορεί πλέον να φανταστεί τη ζωή του χωρίς αυτόν. Ωστόσο, υπάρχουν και ανακαλύψεις που, όπως λένε, παραμένουν στη σκιά, παρά το γεγονός ότι έχουν επίσης τον ένα ή τον άλλο αντίκτυπο στη ζωή μας. Μία από αυτές τις ανακαλύψεις ήταν το φράκταλ. Οι περισσότεροι άνθρωποι δεν έχουν καν ακούσει ποτέ για αυτήν την έννοια και δεν θα μπορέσουν να εξηγήσουν τη σημασία της. Σε αυτό το άρθρο θα προσπαθήσουμε να κατανοήσουμε το ερώτημα του τι είναι ένα φράκταλ και να εξετάσουμε την έννοια αυτού του όρου από την οπτική γωνία της επιστήμης και της φύσης.

Τάξη στο χάος

Για να καταλάβουμε τι είναι φράκταλ, θα πρέπει να ξεκινήσουμε τον απολογισμό από τη θέση των μαθηματικών, αλλά πριν εμβαθύνουμε σε αυτό, θα το φιλοσοφήσουμε λίγο. Κάθε άτομο έχει μια φυσική περιέργεια, χάρη στην οποία μαθαίνει για τον κόσμο γύρω του. Συχνά, στην αναζήτησή του για γνώση, προσπαθεί να χρησιμοποιήσει τη λογική στις κρίσεις του. Έτσι, αναλύοντας τις διαδικασίες που συμβαίνουν γύρω του, προσπαθεί να υπολογίσει σχέσεις και να αντλήσει ορισμένα πρότυπα. Τα μεγαλύτερα μυαλά στον πλανήτη είναι απασχολημένα με την επίλυση αυτών των προβλημάτων. Σε γενικές γραμμές, οι επιστήμονές μας αναζητούν μοτίβα όπου δεν υπάρχουν και δεν πρέπει να υπάρχουν. Κι όμως, ακόμα και στο χάος υπάρχει σύνδεση μεταξύ ορισμένων γεγονότων. Αυτή η σύνδεση είναι αυτό που είναι το φράκταλ. Για παράδειγμα, σκεφτείτε ένα σπασμένο κλαδί που βρίσκεται στο δρόμο. Αν το κοιτάξουμε προσεκτικά, θα δούμε ότι με όλα τα κλαδιά και τα κλαδιά του μοιάζει με δέντρο. Αυτή η ομοιότητα ενός ξεχωριστού μέρους με ένα ενιαίο σύνολο υποδηλώνει τη λεγόμενη αρχή της αναδρομικής αυτο-ομοιότητας. Τα φράκταλ μπορούν να βρεθούν παντού στη φύση, επειδή πολλά ανόργανα και οργανικές μορφέςσχηματίζονται ομοίως. Αυτά είναι σύννεφα, θαλάσσια κοχύλια, κοχύλια σαλιγκαριών, κορώνες δέντρων και ακόμη κυκλοφορικό σύστημα. Αυτή η λίσταμπορούμε να συνεχίσουμε επ' άπειρον. Όλα αυτά τα τυχαία σχήματα περιγράφονται εύκολα από έναν αλγόριθμο φράκταλ. Τώρα έχουμε φτάσει να εξετάσουμε τι είναι ένα φράκταλ από την οπτική των ακριβών επιστημών.

Μερικά ξερά στοιχεία

Η ίδια η λέξη "fractal" μεταφράζεται από τα λατινικά ως "μερική", "διαιρεμένη", "κατακερματισμένη" και ως προς το περιεχόμενο αυτού του όρου, δεν υπάρχει καμία διατύπωση ως τέτοια. Συνήθως ερμηνεύεται ως ένα αυτο-όμοιο σύνολο, ένα μέρος του συνόλου, που επαναλαμβάνει τη δομή του σε μικροεπίπεδο. Αυτός ο όρος επινοήθηκε τη δεκαετία του εβδομήντα του εικοστού αιώνα από τον Benoit Mandelbrot, ο οποίος αναγνωρίζεται ως ο πατέρας Σήμερα, η έννοια του φράκταλ γραφική εικόναμια συγκεκριμένη δομή που, όταν κλιμακωθεί, θα είναι παρόμοια με την ίδια. Ωστόσο, η μαθηματική βάση για τη δημιουργία αυτής της θεωρίας τέθηκε ακόμη και πριν από τη γέννηση του ίδιου του Mandelbrot, αλλά δεν μπορούσε να αναπτυχθεί μέχρι να εμφανιστούν οι ηλεκτρονικοί υπολογιστές.

Ιστορικό υπόβαθρο ή Πώς ξεκίνησαν όλα

Στο γύρισμα του 19ου και του 20ου αιώνα, η μελέτη της φύσης των φράκταλ ήταν σποραδική. Αυτό εξηγείται από το γεγονός ότι οι μαθηματικοί προτιμούσαν να μελετούν αντικείμενα που μπορούν να μελετηθούν με βάση γενικές θεωρίεςκαι μεθόδους. Το 1872, ο Γερμανός μαθηματικός K. Weierstrass κατασκεύασε ένα παράδειγμα συνεχούς συνάρτησης που δεν διαφοροποιείται πουθενά. Ωστόσο, αυτή η κατασκευή αποδείχθηκε εντελώς αφηρημένη και δύσκολο να γίνει αντιληπτή. Ακολούθησε ο Σουηδός Helge von Koch, ο οποίος το 1904 κατασκεύασε μια συνεχή καμπύλη που δεν είχε πουθενά εφαπτομένη. Είναι αρκετά εύκολο να σχεδιαστεί και αποδεικνύεται ότι έχει ιδιότητες φράκταλ. Μία από τις παραλλαγές αυτής της καμπύλης πήρε το όνομά της από τον συγγραφέα της - "Koch snowflake". Περαιτέρω, η ιδέα της αυτο-ομοιότητας των μορφών αναπτύχθηκε από τον μελλοντικό μέντορα του B. Mandelbrot, τον Γάλλο Paul Levy. Το 1938 δημοσίευσε το άρθρο «Επίπεδες και χωρικές καμπύλες και επιφάνειες που αποτελούνται από μέρη παρόμοια με το σύνολο». Σε αυτό περιέγραψε το νέο είδος- Καμπύλη C του Levi. Όλα τα παραπάνω σχήματα ταξινομούνται συμβατικά ως γεωμετρικά φράκταλ.

Δυναμικά ή αλγεβρικά φράκταλ

Το σύνολο Mandelbrot ανήκει σε αυτή την κατηγορία. Οι πρώτοι ερευνητές προς αυτή την κατεύθυνση ήταν οι Γάλλοι μαθηματικοί Pierre Fatou και Gaston Julia. Το 1918, η Τζούλια δημοσίευσε μια εργασία βασισμένη στη μελέτη των επαναλήψεων ορθολογικών μιγαδικών συναρτήσεων. Εδώ περιέγραψε μια οικογένεια φράκταλ που σχετίζονται στενά με το σύνολο του Mandelbrot. Παρά το γεγονός ότι αυτό το έργο δόξασε τον συγγραφέα μεταξύ των μαθηματικών, γρήγορα ξεχάστηκε. Και μόνο μισό αιώνα αργότερα, χάρη στους υπολογιστές, το έργο της Τζούλια έλαβε μια δεύτερη ζωή. Οι υπολογιστές κατέστησαν δυνατό να κάνουν ορατή σε κάθε άτομο την ομορφιά και τον πλούτο του κόσμου των φράκταλ που οι μαθηματικοί μπορούσαν να «δουν» εμφανίζοντάς τα μέσω συναρτήσεων. Ο Mandelbrot ήταν ο πρώτος που χρησιμοποίησε έναν υπολογιστή για να πραγματοποιήσει υπολογισμούς (ένας τέτοιος τόμος δεν μπορεί να γίνει με το χέρι) που κατέστησαν δυνατή την κατασκευή μιας εικόνας αυτών των σχημάτων.

Ένα άτομο με χωρική φαντασία

Ο Μάντελμπροτ ξεκίνησε τη δική του επιστημονική σταδιοδρομία V ερευνητικό Κέντρο IBM. Ενώ μελετούσαν τις δυνατότητες μετάδοσης δεδομένων σε μεγάλες αποστάσεις, οι επιστήμονες αντιμετώπισαν το γεγονός μεγάλες απώλειεςπου προέκυψε λόγω παρεμβολών θορύβου. Ο Benoit έψαχνε τρόπους για να λύσει αυτό το πρόβλημα. Εξετάζοντας τα αποτελέσματα των μετρήσεων, παρατήρησε ένα περίεργο μοτίβο, δηλαδή: τα γραφήματα θορύβου έμοιαζαν ίδια σε διαφορετικές χρονικές κλίμακες.

Παρόμοια εικόνα παρατηρήθηκε τόσο για διάστημα μιας ημέρας όσο και για επτά ημέρες ή για μία ώρα. Ο ίδιος ο Benoit Mandelbrot επαναλάμβανε συχνά ότι δεν δουλεύει με φόρμουλες, αλλά παίζει με εικόνες. Αυτός ο επιστήμονας ήταν διαφορετικός ευφάνταστη σκέψη, μετέφρασε οποιοδήποτε αλγεβρικό πρόβλημα στη γεωμετρική περιοχή, όπου η σωστή απάντηση είναι προφανής. Δεν είναι λοιπόν περίεργο που διακρίνεται για τον πλούτο του και έγινε ο πατέρας της γεωμετρίας φράκταλ. Εξάλλου, η επίγνωση αυτής της φιγούρας μπορεί να έρθει μόνο όταν μελετήσετε τα σχέδια και σκεφτείτε τη σημασία αυτών των περίεργων στροβιλισμών που σχηματίζουν το σχέδιο. Τα φράκταλ μοτίβα δεν έχουν πανομοιότυπα στοιχεία, αλλά είναι παρόμοια σε οποιαδήποτε κλίμακα.

Τζούλια - Μάντελμπροτ

Ένα από τα πρώτα σχέδια αυτής της φιγούρας ήταν μια γραφική ερμηνεία του συνόλου, η οποία γεννήθηκε από το έργο του Gaston Julia και αναπτύχθηκε περαιτέρω από τον Mandelbrot. Ο Gaston προσπάθησε να φανταστεί πώς μοιάζει ένα σύνολο, χτισμένο με βάση έναν απλό τύπο που επαναλαμβάνεται μέσω ενός βρόχου ανατροφοδότηση. Ας προσπαθήσουμε να εξηγήσουμε τι έχει ειπωθεί στην ανθρώπινη γλώσσα, ας πούμε, στα δάχτυλα. Για ένα συγκεκριμένο αριθμητική αξίαχρησιμοποιώντας τον τύπο βρίσκουμε τη νέα τιμή. Το αντικαθιστούμε στον τύπο και βρίσκουμε το εξής. Το αποτέλεσμα είναι μεγάλο Για να αναπαραστήσετε ένα τέτοιο σύνολο, πρέπει να εκτελέσετε αυτή τη λειτουργία μεγάλο ποσόφορές: εκατοντάδες, χιλιάδες, εκατομμύρια. Αυτό έκανε ο Μπενουά. Επεξεργάστηκε την ακολουθία και μετέφερε τα αποτελέσματα σε γραφική μορφή. Στη συνέχεια, χρωμάτισε το σχήμα που προέκυψε (κάθε χρώμα αντιστοιχεί σε έναν ορισμένο αριθμό επαναλήψεων). Αυτή η γραφική εικόνα ονομάστηκε "Mandelbrot fractal".

L. Carpenter: τέχνη που δημιουργήθηκε από τη φύση

Η θεωρία φράκταλ βρέθηκε γρήγορα πρακτική χρήση. Δεδομένου ότι σχετίζεται πολύ στενά με την οπτικοποίηση όμοιων εικόνων, οι καλλιτέχνες ήταν οι πρώτοι που υιοθέτησαν τις αρχές και τους αλγόριθμους για την κατασκευή αυτών των ασυνήθιστων μορφών. Ο πρώτος από αυτούς ήταν ο μελλοντικός ιδρυτής της Pixar, Lauren Carpenter. Ενώ εργαζόταν σε μια παρουσίαση πρωτοτύπων αεροσκαφών, του ήρθε η ιδέα να χρησιμοποιήσει μια εικόνα βουνών ως φόντο. Σήμερα, σχεδόν κάθε χρήστης υπολογιστή μπορεί να αντιμετωπίσει μια τέτοια εργασία, αλλά στη δεκαετία του εβδομήντα του περασμένου αιώνα, οι υπολογιστές δεν ήταν σε θέση να εκτελέσουν τέτοιες διαδικασίες, επειδή δεν υπήρχαν τότε επεξεργαστές γραφικών ή εφαρμογές για τρισδιάστατα γραφικά. Και τότε η Λόρεν συνάντησε το βιβλίο του Μάντελμπροτ «Fractals: Form, Randomness and Dimension». Σε αυτό, ο Benoit έδωσε πολλά παραδείγματα, δείχνοντας ότι τα φράκταλ υπάρχουν στη φύση (fyva), περιέγραψε τα ποικίλα σχήματά τους και απέδειξε ότι περιγράφονται εύκολα. μαθηματικές εκφράσεις. Ο μαθηματικός ανέφερε αυτή την αναλογία ως επιχείρημα για τη χρησιμότητα της θεωρίας που ανέπτυξε ως απάντηση σε ένα μπαράζ κριτικής από τους συναδέλφους του. Υποστήριξαν ότι ένα φράκταλ είναι δίκαιο Ωραία εικόνα, χωρίς αξία, όντας υποπροϊόν της δουλειάς ηλεκτρονικών μηχανών. Ο Carpenter αποφάσισε να δοκιμάσει αυτή τη μέθοδο στην πράξη. Αφού μελέτησε προσεκτικά το βιβλίο, ο μελλοντικός εμψυχωτής άρχισε να ψάχνει έναν τρόπο να εφαρμόσει τη γεωμετρία φράκταλ στα γραφικά υπολογιστών. Του πήρε μόνο τρεις μέρες για να αποδώσει στον υπολογιστή του μια εντελώς ρεαλιστική εικόνα του ορεινού τοπίου. Και σήμερα αυτή η αρχή χρησιμοποιείται ευρέως. Όπως αποδεικνύεται, η δημιουργία φράκταλ δεν απαιτεί πολύ χρόνο και προσπάθεια.

Λύση ξυλουργού

Η αρχή που χρησιμοποίησε η Lauren ήταν απλή. Συνίσταται στη διαίρεση των μεγαλύτερων σε μικρά στοιχεία και αυτών σε παρόμοια μικρότερα κ.ο.κ. Ο Carpenter, χρησιμοποιώντας μεγάλα τρίγωνα, τα χώρισε σε 4 μικρά και ούτω καθεξής, μέχρι να αποκτήσει ένα ρεαλιστικό ορεινό τοπίο. Έτσι, έγινε ο πρώτος καλλιτέχνης που χρησιμοποίησε έναν αλγόριθμο φράκταλ στα γραφικά υπολογιστών για να κατασκευάσει την απαιτούμενη εικόνα. Σήμερα αυτή η αρχή χρησιμοποιείται για τη μίμηση διαφόρων ρεαλιστικών φυσικών μορφών.

Η πρώτη τρισδιάστατη απεικόνιση με χρήση αλγόριθμου φράκταλ

Λίγα χρόνια αργότερα, ο Lauren εφάρμοσε τις εξελίξεις του σε ένα έργο μεγάλης κλίμακας - το βίντεο κινουμένων σχεδίων Vol Libre, που προβλήθηκε στο Siggraph το 1980. Αυτό το βίντεο συγκλόνισε πολλούς και ο δημιουργός του προσκλήθηκε να εργαστεί στη Lucasfilm. Εδώ ο εμψυχωτής μπόρεσε να αξιοποιήσει πλήρως τις δυνατότητές του δημιούργησε τρισδιάστατα τοπία (έναν ολόκληρο πλανήτη) για την ταινία μεγάλου μήκους "Star Trek". Οποιοδήποτε σύγχρονο πρόγραμμα («Fractals») ή εφαρμογή για τη δημιουργία τρισδιάστατων γραφικών (Terragen, Vue, Bryce) χρησιμοποιεί τον ίδιο αλγόριθμο για τη μοντελοποίηση υφών και επιφανειών.

Τομ Μπεντάρντ

Πρώην φυσικός λέιζερ και τώρα ψηφιακός καλλιτέχνης και καλλιτέχνης, ο Beddard δημιούργησε μια σειρά από πολύ ενδιαφέροντα γεωμετρικά σχήματα, τα οποία ονόμασε φράκταλ Fabergé. Εξωτερικά, μοιάζουν με διακοσμητικά αυγά από έναν Ρώσο κοσμηματοπώλη, έχουν το ίδιο λαμπρό, περίπλοκο σχέδιο. Ο Beddard χρησιμοποίησε μια μέθοδο προτύπου για να δημιουργήσει τις ψηφιακές του αποδόσεις των μοντέλων. Τα προϊόντα που προκύπτουν εκπλήσσουν με την ομορφιά τους. Αν και πολλοί αρνούνται να συγκρίνουν ένα χειροποίητο προϊόν με πρόγραμμα υπολογιστή, ωστόσο, πρέπει να παραδεχτούμε ότι οι φόρμες που προκύπτουν είναι εξαιρετικά όμορφες. Το αποκορύφωμα είναι ότι ο καθένας μπορεί να δημιουργήσει ένα τέτοιο φράκταλ χρησιμοποιώντας τη βιβλιοθήκη λογισμικού WebGL. Σας επιτρέπει να εξερευνήσετε διάφορες δομές φράκταλ σε πραγματικό χρόνο.

Φράκταλ στη φύση

Λίγοι άνθρωποι δίνουν προσοχή, αλλά αυτές οι εκπληκτικές φιγούρες είναι παρούσες παντού. Η φύση δημιουργείται από όμοιες φιγούρες, απλά δεν το παρατηρούμε. Αρκεί να κοιτάξουμε μέσα από ένα μεγεθυντικό φακό το δέρμα μας ή ένα φύλλο δέντρου και θα δούμε φράκταλ. Ή πάρτε, για παράδειγμα, έναν ανανά ή ακόμα και την ουρά ενός παγωνιού - αποτελούνται από παρόμοιες φιγούρες. Και η ποικιλία μπρόκολου Romanescu είναι γενικά εντυπωσιακή στην εμφάνισή της, γιατί μπορεί πραγματικά να ονομαστεί ένα θαύμα της φύσης.

Μουσική παύση

Αποδεικνύεται ότι τα φράκταλ δεν είναι μόνο γεωμετρικά σχήματα, μπορεί να είναι και ήχοι. Έτσι, ο μουσικός Jonathan Colton γράφει μουσική χρησιμοποιώντας αλγόριθμους φράκταλ. Ισχυρίζεται ότι αντιστοιχεί στη φυσική αρμονία. Ο συνθέτης δημοσιεύει όλα τα έργα του με άδεια CreativeCommons Αναφορά Αναφοράς-Μη εμπορική, η οποία παρέχει δωρεάν διανομή, αντιγραφή, μεταφορά έργων από άλλα πρόσωπα.

Φράκταλ δείκτης

Αυτή η τεχνική έχει βρει μια πολύ απροσδόκητη εφαρμογή. Στη βάση του, δημιουργήθηκε ένα εργαλείο για την ανάλυση της χρηματιστηριακής αγοράς και, ως αποτέλεσμα, άρχισε να χρησιμοποιείται στην αγορά Forex. Σήμερα, ο δείκτης φράκταλ βρίσκεται σε όλες τις πλατφόρμες συναλλαγών και χρησιμοποιείται σε μια τεχνική συναλλαγών που ονομάζεται breakout τιμής. Αυτή η τεχνική αναπτύχθηκε από τον Bill Williams. Καθώς ο συγγραφέας σχολιάζει την εφεύρεσή του, αυτόν τον αλγόριθμοείναι ένας συνδυασμός πολλών «κεριών», στα οποία το κεντρικό αντικατοπτρίζει το μέγιστο ή, αντίθετα, το ελάχιστο ακραίο σημείο.

Τελικά

Έτσι, εξετάσαμε τι είναι ένα φράκταλ. Αποδεικνύεται ότι στο χάος που μας περιβάλλει, υπάρχουν στην πραγματικότητα ιδανικές μορφές. Η φύση είναι ο καλύτερος αρχιτέκτονας, ο ιδανικός οικοδόμος και μηχανικός. Είναι διατεταγμένο πολύ λογικά, και αν δεν μπορούμε να βρούμε ένα μοτίβο, αυτό δεν σημαίνει ότι δεν υπάρχει. Ίσως πρέπει να δούμε σε διαφορετική κλίμακα. Μπορούμε να πούμε με σιγουριά ότι τα φράκταλ κρατούν ακόμα πολλά μυστικά που δεν έχουμε ανακαλύψει ακόμη.

Για να παρουσιάσουμε όλη την ποικιλία των φράκταλ, είναι βολικό να καταφύγουμε στη γενικά αποδεκτή ταξινόμησή τους.

2.1 Γεωμετρικά φράκταλ

Τα φράκταλ αυτής της κατηγορίας είναι τα πιο οπτικά. Στη δισδιάστατη περίπτωση, λαμβάνονται χρησιμοποιώντας κάποια διακεκομμένη γραμμή (ή επιφάνεια στην τρισδιάστατη περίπτωση), που ονομάζεται γεννήτρια. Σε ένα βήμα του αλγορίθμου, καθένα από τα τμήματα που συνθέτουν την πολύγραμμη αντικαθίσταται με μια πολυγραμμή γεννήτριας, στην κατάλληλη κλίμακα. Ως αποτέλεσμα της ατελείωτης επανάληψης αυτής της διαδικασίας, προκύπτει ένα γεωμετρικό φράκταλ.

Σχήμα 1. Κατασκευή της τριαδικής καμπύλης Koch.

Ας εξετάσουμε ένα από αυτά τα φράκταλ αντικείμενα - την τριαδική καμπύλη Koch. Η κατασκευή της καμπύλης ξεκινά με ένα τμήμα μοναδιαίου μήκους (Εικ. 1) - αυτή είναι η 0η γενιά της καμπύλης Koch. Στη συνέχεια, κάθε σύνδεσμος (ένα τμήμα στη μηδενική γενιά) αντικαθίσταται από διαμορφωτικό στοιχείο, που ορίζεται στο Σχ. 1 από n=1. Ως αποτέλεσμα αυτής της αντικατάστασης, προκύπτει η επόμενη γενιά της καμπύλης Koch. Στην 1η γενιά, αυτή είναι μια καμπύλη τεσσάρων ευθύγραμμων συνδέσμων, κάθε μήκος 1/3 . Για να αποκτήσετε την 3η γενιά, εκτελούνται οι ίδιες ενέργειες - κάθε σύνδεσμος αντικαθίσταται με ένα μειωμένο στοιχείο διαμόρφωσης. Έτσι, για να ληφθεί κάθε επόμενη γενιά, όλοι οι σύνδεσμοι της προηγούμενης γενιάς πρέπει να αντικατασταθούν με ένα μειωμένο στοιχείο διαμόρφωσης. Καμπύλη n-η γενιά για κάθε πεπερασμένο nπου ονομάζεται προφρακτικός. Το σχήμα 1 δείχνει πέντε γενιές της καμπύλης. Στο nΚαθώς η καμπύλη Koch πλησιάζει το άπειρο, γίνεται φράκταλ αντικείμενο.

Εικόνα 2. Κατασκευή του «δράκου» Harter-Haithway.

Για να αποκτήσετε ένα άλλο αντικείμενο φράκταλ, πρέπει να αλλάξετε τους κανόνες κατασκευής. Έστω το στοιχείο διαμόρφωσης δύο ίσα τμήματα συνδεδεμένα σε ορθή γωνία. Στη μηδενική γενιά, αντικαθιστούμε το τμήμα μονάδας με αυτό το στοιχείο παραγωγής έτσι ώστε η γωνία να βρίσκεται στην κορυφή. Μπορούμε να πούμε ότι με μια τέτοια αντικατάσταση υπάρχει μετατόπιση του μέσου του συνδέσμου. Κατά την κατασκευή των επόμενων γενεών, ακολουθείται ο κανόνας: ο πρώτος σύνδεσμος στα αριστερά αντικαθίσταται με ένα στοιχείο διαμόρφωσης έτσι ώστε το μέσο του συνδέσμου να μετατοπίζεται προς τα αριστερά της κατεύθυνσης κίνησης και κατά την αντικατάσταση των επόμενων συνδέσμων, οι κατευθύνσεις η μετατόπιση των μεσαίων των τμημάτων πρέπει να εναλλάσσεται. Το σχήμα 2 δείχνει τις πρώτες γενιές και την 11η γενιά της καμπύλης που κατασκευάστηκε σύμφωνα με την αρχή που περιγράφηκε παραπάνω. Οριακή καμπύλη φράκταλ (στο nτείνει στο άπειρο) λέγεται Ο δράκος του Χάρτερ-Χέιθγουεϊ .

Στα γραφικά υπολογιστών, η χρήση γεωμετρικών φράκταλ είναι απαραίτητη κατά τη λήψη εικόνων δέντρων, θάμνων και ακτών. Τα δισδιάστατα γεωμετρικά φράκταλ χρησιμοποιούνται για τη δημιουργία τρισδιάστατων υφών (μοτίβα στην επιφάνεια ενός αντικειμένου).

2.2 Αλγεβρικά φράκταλ

Αυτή είναι η μεγαλύτερη ομάδα φράκταλ. Λαμβάνονται χρησιμοποιώντας μη γραμμικές διεργασίες στο n-διαστατικούς χώρους. Οι δισδιάστατες διεργασίες είναι οι πιο μελετημένες. Ερμηνεύοντας μια μη γραμμική επαναληπτική διαδικασία ως ένα διακριτό δυναμικό σύστημα, μπορεί κανείς να χρησιμοποιήσει την ορολογία της θεωρίας αυτών των συστημάτων: πορτρέτο φάσης, σταθερή διαδικασία, ελκυστήςκαι τα λοιπά.

Είναι γνωστό ότι τα μη γραμμικά δυναμικά συστήματα έχουν αρκετές σταθερές καταστάσεις. Η κατάσταση στην οποία βρίσκεται το δυναμικό σύστημα μετά από έναν ορισμένο αριθμό επαναλήψεων εξαρτάται από αυτήν αρχική κατάσταση. Επομένως, κάθε σταθερή κατάσταση (ή, όπως λένε, ελκυστής) έχει μια συγκεκριμένη περιοχή αρχικών καταστάσεων, από τις οποίες το σύστημα θα πέσει αναγκαστικά στις τελικές καταστάσεις που εξετάζουμε. Έτσι, ο χώρος φάσης του συστήματος χωρίζεται σε περιοχές έλξηςελκυστές. Εάν ο χώρος φάσης είναι δισδιάστατος, τότε χρωματίζοντας τις περιοχές έλξης με διαφορετικά χρώματα, μπορεί κανείς να αποκτήσει πορτρέτο έγχρωμης φάσηςαυτό το σύστημα (επαναληπτική διαδικασία). Αλλάζοντας τον αλγόριθμο επιλογής χρώματος, μπορείτε να αποκτήσετε πολύπλοκα μοτίβα φράκταλ με παράξενα πολύχρωμα μοτίβα. Μια έκπληξη για τους μαθηματικούς ήταν η ικανότητα δημιουργίας πολύ περίπλοκων μη τετριμμένων δομών χρησιμοποιώντας πρωτόγονους αλγόριθμους.

Εικ 3. Σετ Mandelbrot.

Ως παράδειγμα, λάβετε υπόψη το σύνολο Mandelbrot (βλ. Εικ. 3 και Εικ. 4). Ο αλγόριθμος για την κατασκευή του είναι αρκετά απλός και βασίζεται σε μια απλή επαναληπτική έκφραση:

Ζ = Ζ[Εγώ] * Ζ[i] + ντο,

Οπου Ζεγώ και ντο- σύνθετες μεταβλητές. Εκτελούνται επαναλήψεις για κάθε σημείο εκκίνησης ντοορθογώνια ή τετράγωνη περιοχή - ένα υποσύνολο του μιγαδικού επιπέδου. Η επαναληπτική διαδικασία συνεχίζεται μέχρι ΖΤο [i] δεν θα υπερβεί τον κύκλο της ακτίνας 2, το κέντρο του οποίου βρίσκεται στο σημείο (0,0), (αυτό σημαίνει ότι ο ελκυστής του δυναμικού συστήματος βρίσκεται στο άπειρο) ή μετά από έναν αρκετά μεγάλο αριθμό επαναλήψεων (για παράδειγμα, 200-500) ΖΤο [i] θα συγκλίνει σε κάποιο σημείο του κύκλου. Ανάλογα με τον αριθμό των επαναλήψεων κατά τις οποίες ΖΤο [i] παρέμεινε μέσα στον κύκλο, μπορείτε να ορίσετε το χρώμα του σημείου ντο(Αν ΖΤο [i] παραμένει μέσα στον κύκλο για έναν αρκετά μεγάλο αριθμό επαναλήψεων, η διαδικασία επανάληψης σταματά και αυτό το ράστερ σημείο βάφεται μαύρο).

Εικ. 4. Ένα τμήμα του ορίου του συνόλου Mandelbrot, μεγεθυσμένο κατά 200 φορές.

Ο παραπάνω αλγόριθμος δίνει μια προσέγγιση στο λεγόμενο σύνολο Mandelbrot. Το σύνολο Mandelbrot περιέχει σημεία που, κατά τη διάρκεια άπειροςο αριθμός των επαναλήψεων δεν πάει στο άπειρο (τα σημεία είναι μαύρα). Σημεία που ανήκουν στο όριο του συνόλου (εδώ είναι το πολύπλοκες δομές) πάει στο άπειρο για τελικός αριθμόςεπαναλήψεις και τα σημεία που βρίσκονται έξω από το σύνολο πηγαίνουν στο άπειρο μετά από πολλές επαναλήψεις (λευκό φόντο).

2.3 Στοχαστικά φράκταλ

Μια άλλη πολύ γνωστή κατηγορία φράκταλ είναι τα στοχαστικά φράκταλ, τα οποία προκύπτουν εάν κάποιες από τις παραμέτρους τους αλλάξουν τυχαία σε μια επαναληπτική διαδικασία. Σε αυτή την περίπτωση, τα αντικείμενα που προκύπτουν είναι πολύ παρόμοια με τα φυσικά - ασύμμετρα δέντρα, τραχιά ακτογραμμέςκαι τα λοιπά. Τα δισδιάστατα στοχαστικά φράκταλ χρησιμοποιούνται στη μοντελοποίηση εδάφους και επιφάνειας θάλασσας.

Υπάρχουν και άλλες ταξινομήσεις φράκταλ, για παράδειγμα, η διαίρεση των φράκταλ σε ντετερμινιστικά (αλγεβρικά και γεωμετρικά) και μη ντετερμινιστικά (στοχαστικά).