Τετράγωνο ABCD Ένα σχήμα ονομάζεται ένα σχήμα που αποτελείται από τέσσερα σημεία A, B, C, D, τρία το καθένα, που δεν βρίσκονται σε μια ευθεία γραμμή, και τέσσερα τμήματα AB, BC, CD και AD που συνδέουν αυτά τα σημεία.

Τα σχήματα δείχνουν τετράπλευρα.

Τα σημεία Α, Β, Γ και Δ λέγονται κορυφές του τετράπλευρουκαι τα τμήματα AB, BC, CD και AD - κόμματα. Οι κορυφές Α και Γ, Β και Δ ονομάζονται αντίθετες κορυφές. Οι πλευρές AB και CD, BC και AD ονομάζονται αντίθετες πλευρές.

Υπάρχουν τετράπλευρα κυρτός(στο σχήμα - αριστερά) και μη κυρτό(στο σχήμα - δεξιά).

Κάθε διαγώνιος κυρτό τετράπλευροτο χωρίζει σε δύο τρίγωνα(η διαγώνιος AC χωρίζει το ABCD σε δύο τρίγωνο ABCκαι ACD? διαγώνιος BD - σε BCD και BAD). Στο μη κυρτό τετράπλευρομόνο μία από τις διαγώνιες το χωρίζει σε δύο τρίγωνα(η διαγώνιος AC χωρίζει το ABCD σε δύο τρίγωνα ABC και ACD, ενώ η διαγώνιος BD όχι).

Σκεφτείτε κύριοι τύποι τετράπλευρων, οι ιδιότητές τους, τύποι εμβαδών:

Παραλληλόγραμμο

Παραλληλόγραμμο ονομάζεται τετράπλευρο αντίθετες πλευρέςείναι κατά ζεύγη παράλληλες.

Ιδιότητες:

Χαρακτηριστικά παραλληλογράμμου:

1. Αν σε ένα τετράπλευρο δύο πλευρές είναι ίσες και παράλληλες, τότε αυτό το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο.
2. Αν σε ένα τετράγωνο οι απέναντι πλευρές είναι ίσες ανά ζεύγη, τότε αυτό το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο.
3. Αν σε ένα τετράπλευρο οι διαγώνιοι τέμνονται και το σημείο τομής διαιρείται στο μισό, τότε αυτό το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο.

Περιοχή παραλληλόγραμμου:

Τραπέζιο

Τραπέζιο Τετράπλευρο λέγεται το τετράπλευρο στο οποίο δύο πλευρές είναι παράλληλες και οι άλλες δύο πλευρές δεν είναι παράλληλες.

λόγουςπου ονομάζεται παράλληλες πλευρές, και τις άλλες δύο πλευρές πλευρές.

ΜΕΣΑΙΑ ΣΕΙΡΑ Τραπέδιο ονομάζεται το τμήμα που συνδέει τα μέσα των πλευρών του.

ΘΕΩΡΗΜΑ.

ΜΕΣΑΙΑ ΣΕΙΡΑτο τραπέζι είναι παράλληλο με τις βάσεις και ίσο με το μισό άθροισμά τους.

Περιοχή τραπεζίου:

Ρόμβος

Ρόμβος Παραλληλόγραμμο ονομάζεται αν όλες οι πλευρές είναι ίσες.

Ιδιότητες:

Περιοχή ρόμβου:

Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο

Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο Ονομάζεται παραλληλόγραμμο στο οποίο όλες οι γωνίες είναι ίσες.

Ιδιότητες:

Ορθογώνιο σημάδι:

Αν οι διαγώνιοι ενός παραλληλογράμμου είναι ίσες, τότε το παραλληλόγραμμο είναι ορθογώνιο.

Περιοχή ορθογωνίου:

τετράγωνο

τετράγωνο Ονομάζεται ένα ορθογώνιο στο οποίο όλες οι πλευρές είναι ίσες.

Ιδιότητες:

Ένα τετράγωνο έχει όλες τις ιδιότητες ενός παραλληλογράμμου και ενός ρόμβου (ένα ορθογώνιο είναι παραλληλόγραμμο, επομένως ένα τετράγωνο είναι ένα παραλληλόγραμμο με όλες τις πλευρές ίσες, δηλαδή ένας ρόμβος).

Τετράγωνη περιοχή:

Πίσω μπροστά

Προσοχή! Η προεπισκόπηση της διαφάνειας είναι μόνο για ενημερωτικούς σκοπούς και ενδέχεται να μην αντιπροσωπεύει την πλήρη έκταση της παρουσίασης. Αν ενδιαφέρεσαι αυτή η δουλειάπαρακαλώ κατεβάστε την πλήρη έκδοση.

Σκοπός του μαθήματος:εξετάστε τα χαρακτηριστικά ενός παραλληλογράμμου και εμπεδώστε τη γνώση που αποκτήθηκε στη διαδικασία επίλυσης προβλημάτων.

Καθήκοντα:

• εκπαιδευτικός:σχηματισμός δεξιοτήτων για την εφαρμογή των σημείων ενός παραλληλογράμμου για την επίλυση προβλημάτων.
• ανάπτυξη:ανάπτυξη λογική σκέψη, προσοχή, δεξιότητες ανεξάρτητη εργασία, δεξιότητες αυτοεκτίμησης?
• εκπαιδευτικός:ενθάρρυνση του ενδιαφέροντος για το αντικείμενο, την ικανότητα εργασίας σε ομάδα, μια κουλτούρα επικοινωνίας.

Είδος μαθήματος: εκμάθηση νέου υλικού, πρωταρχική ενίσχυση.

Εξοπλισμός: διαδραστικός πίνακας, προβολέας, κάρτες εργασιών, παρουσίαση.

Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων

1. Οργανωτική στιγμή.

W: Καλησπέρα παιδιά! Σήμερα στο μάθημα θα μιλήσουμε ξανά για ένα παραλληλόγραμμο. Πρέπει να ολοκληρώσουμε πολλές εργασίες, να αποδείξουμε θεωρήματα και να μάθουμε πώς να τα εφαρμόζουμε στην επίλυση προβλημάτων. Το σύνθημα του μαθήματός μας θα είναι τα λόγια του Le Carbusier: «Τα πάντα γύρω είναι γεωμετρία».

2. Πραγματοποίηση των γνώσεων των μαθητών.

Θεωρητική έρευνα

Δώστε σε μερικούς μαθητές ατομικές εργασίες σε κάρτες για το θέμα ιδιότητες παραλληλογράμμου(οι εργασίες επιλέγονται από το καθένα μόνο του σε μια διαφάνεια παρουσίασης μέσω υπερ-σύνδεσης, τοποθετώντας το ποντίκι πάνω από μια φιγούρα, αλλά όχι έναν αριθμό), ακούστε τον κάθε ερωτώμενο ξεχωριστά.

Με τα υπόλοιπα - για να αποδείξετε πρόσθετες ιδιότητες ενός παραλληλογράμμου. (Πρώτα συζητήστε τα αποδεικτικά στοιχεία προφορικά και μετά ελέγξτε τα με τον διαδραστικό πίνακα.)

1°. Η διχοτόμος γωνίας ενός παραλληλογράμμου αποκόπτει ένα ισοσκελές τρίγωνο από αυτό.

2°. Οι διχοτόμοι των παρακείμενων γωνιών ενός παραλληλογράμμου είναι κάθετες και οι διχοτόμοι Οι απέναντι γωνίες είναι παράλληλες ή βρίσκονται στην ίδια ευθεία.

Μετά την προετοιμασία, ακούστε τις αποδείξεις πρόσθετων ιδιοτήτων του παραλληλογράμμου.

Το ABCD είναι ένα παραλληλόγραμμο,

Η ΑΕ είναι η διχοτόμος της γωνίας BAD.

Απόδειξη: Το ABE είναι ισοσκελές.

Απόδειξη:

Εφόσον το ABCD είναι παραλληλόγραμμο, τότε BC || AD, στη συνέχεια γωνία EAD = γωνία BEA ως εγκάρσια με παράλληλες ευθείες BC και AD και τέμνονται AE. AE είναι η διχοτόμος της γωνίας BAD, άρα γωνία BAE = γωνία EAD, άρα γωνία BAE = γωνία BEA.

Στο ΑΒΕ γωνία ΒΑΕ = γωνία ΒΕΑ, άρα το ΑΒΕ είναι ισοσκελές με βάση ΑΕ.

Ενδεικτικές ερωτήσεις:

Ορίστε ένα ισοσκελές τρίγωνο.

Ποιες γωνίες στο BAE μπορεί να είναι ίσες; Γιατί;

Το ABCD είναι ένα παραλληλόγραμμο,

Το BE είναι η διχοτόμος της γωνίας CBA,

Η ΑΕ είναι η διχοτόμος της γωνίας BAD.

Ενδεικτικές ερωτήσεις:

Πότε οι ευθείες AE και CK θα είναι παράλληλες;

Είναι οι γωνίες ΒΕΑ και<3? Почему?

Σε ποια περίπτωση θα ταιριάζουν ΑΕ και ΚΚ;

Προετοιμασία για εκμάθηση νέου υλικού

Μετωπική εργασία με την τάξη (προφορικά).

• Τι σημαίνουν οι λέξεις "ιδιότητες" και "χαρακτηριστικά"; Δώσε παραδείγματα.
• Τι είναι το αντίστροφο θεώρημα;
• Ισχύει πάντα το αντίθετο της δοσμένης δήλωσης; Δώσε παραδείγματα.

3. Επεξήγηση νέου υλικού.

DW: Κάθε αντικείμενο έχει τις δικές του ιδιότητες και χαρακτηριστικά. Πείτε μου πώς διαφέρουν οι ιδιότητες από τις λειτουργίες.

Ας προσπαθήσουμε να κατανοήσουμε αυτό το ζήτημα με ένα απλό παράδειγμα. Δοσμένο αντικείμενο - φθινόπωρο. Ονομάστε τις ιδιότητές του: Τα χαρακτηριστικά του:

• Ποιες δηλώσεις είναι η ιδιότητα και η ιδιότητα ενός αντικειμένου σε σχέση μεταξύ τους; (απάντηση: αντίστροφα)
• Ποιες ιδιότητες στο μάθημα της γεωμετρίας έχουμε ήδη μελετήσει; Διατυπώστε τα. (ονομάστε μερικά)

Μπορεί το αντίστροφο να ισχύει για οποιοδήποτε ακίνητο; (διάφορες απαντήσεις).

Ας το ελέγξουμε στις ακόλουθες ιδιότητες:

Συμπέρασμα: Είναι δυνατόν να κατασκευαστεί μια αληθινή αντίστροφη δήλωση για οποιαδήποτε ιδιοκτησία; (όχι, όχι για κανέναν)

Τώρα, ας επιστρέψουμε στο τετράπλευρό μας, ας ανακαλέσουμε τις ιδιότητές του και ας διατυπώσουμε τις αντίστροφες προτάσεις τους, δηλ.: .. (η απάντηση είναι τα σημάδια ενός παραλληλογράμμου). Λοιπόν, το θέμα του σημερινού μαθήματος: "Σήματα παραλληλογράμμου".

Ονομάστε λοιπόν τις ιδιότητες ενός παραλληλογράμμου.

Να διατυπώσετε το αντίστροφο των ιδιοτήτων του ισχυρισμού. (οι μαθητές διατυπώνουν σημάδια, ο δάσκαλος τα διορθώνει και τα διατυπώνει ξανά)

Ας αποδείξουμε αυτά τα σημάδια. Το πρώτο σημάδι είναι λεπτομερώς, το δεύτερο είναι σύντομο, το τρίτο είναι μόνος σου στο σπίτι.

4. Εμπέδωση της μελετημένης ύλης.

Εργασία σε βιβλία εργασίας: λύστε το πρόβλημα Νο. 11 σε έναν διαδραστικό πίνακα για να καλέσετε έναν λιγότερο προετοιμασμένο μαθητή στον πίνακα.

Λύση του προβλήματος Νο 379 (γράψτε τη λύση στον διαδραστικό πίνακα). Από τις κορυφές Β και Δ του παραλληλογράμμου ABCD, στο οποίο τα AB BC και A είναι αιχμηρά, οι κάθετες BK και DM σύρονται στην ευθεία AC. Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο BMDK είναι παραλληλόγραμμο.

Μέσο επίπεδο

Παραλληλόγραμμο, ορθογώνιο, ρόμβος, τετράγωνο (2019)

1. Παραλληλόγραμμο

Σύνθετη λέξη «παραλληλόγραμμο»; Και πίσω του κρύβεται μια πολύ απλή φιγούρα.

Λοιπόν, πήραμε δύο παράλληλες γραμμές:

Διασταυρώθηκε από δύο ακόμη:

Και μέσα - ένα παραλληλόγραμμο!

Ποιες είναι οι ιδιότητες ενός παραλληλογράμμου;

Ιδιότητες παραλληλογράμμου.

Δηλαδή τι μπορεί να χρησιμοποιηθεί αν δοθεί παραλληλόγραμμο στο πρόβλημα;

Το ερώτημα αυτό απαντάται με το ακόλουθο θεώρημα:

Ας τα ζωγραφίσουμε όλα λεπτομερώς.

Τι κάνει πρώτο σημείο του θεωρήματος? Και το γεγονός ότι αν ΕΧΕΙΣ παραλληλόγραμμο, τότε οπωσδήποτε

Η δεύτερη παράγραφος σημαίνει ότι αν υπάρχει παραλληλόγραμμο, τότε, πάλι, οπωσδήποτε:

Λοιπόν, και τέλος, το τρίτο σημείο σημαίνει ότι αν έχετε παραλληλόγραμμο, τότε να είστε βέβαιοι:

Δείτε τι μεγάλη ποικιλία επιλογών; Τι να χρησιμοποιήσετε στην εργασία; Προσπαθήστε να εστιάσετε στο ζήτημα της εργασίας ή απλώς δοκιμάστε τα πάντα με τη σειρά - κάποιο είδος «κλειδιού» θα κάνει.

Και τώρα ας αναρωτηθούμε μια άλλη ερώτηση: πώς να αναγνωρίσουμε ένα παραλληλόγραμμο "στο πρόσωπο"; Τι πρέπει να συμβεί σε ένα τετράπλευρο για να έχουμε το δικαίωμα να του δώσουμε τον «τίτλο» του παραλληλογράμμου;

Αυτή η ερώτηση απαντάται με πολλά σημάδια ενός παραλληλογράμμου.

Χαρακτηριστικά παραλληλογράμμου.

Προσοχή! Να αρχίσει.

Παραλληλόγραμμο.

Προσοχή: αν έχετε βρει τουλάχιστον ένα σημάδι στο πρόβλημά σας, τότε έχετε ακριβώς ένα παραλληλόγραμμο και μπορείτε να χρησιμοποιήσετε όλες τις ιδιότητες ενός παραλληλογράμμου.

2. Ορθογώνιο

Δεν νομίζω ότι θα είναι καθόλου είδηση ​​για εσάς.

Το πρώτο ερώτημα είναι: είναι ένα παραλληλόγραμμο παραλληλόγραμμο;

Φυσικά είναι! Τελικά, έχει - θυμάστε, το ζώδιό μας 3;

Και από εδώ, φυσικά, προκύπτει ότι για ένα ορθογώνιο, όπως για κάθε παραλληλόγραμμο, και, και οι διαγώνιοι διαιρούνται με το σημείο τομής στο μισό.

Αλλά υπάρχει ένα ορθογώνιο και μια χαρακτηριστική ιδιότητα.

Ιδιότητα ορθογωνίου

Γιατί είναι αυτό το ακίνητο διακριτικό; Γιατί κανένα άλλο παραλληλόγραμμο δεν έχει ίσες διαγώνιους. Ας το διατυπώσουμε πιο ξεκάθαρα.

Προσοχή: για να γίνει ορθογώνιο, ένα τετράπλευρο πρέπει πρώτα να γίνει παραλληλόγραμμο και μετά να παρουσιάσει την ισότητα των διαγωνίων.

3. Διαμάντι

Και πάλι το ερώτημα είναι: ο ρόμβος είναι παραλληλόγραμμο ή όχι;

Με πλήρες δεξί - παραλληλόγραμμο, γιατί έχει και (θυμηθείτε το ζώδιο μας 2).

Και πάλι, αφού ένας ρόμβος είναι παραλληλόγραμμο, τότε πρέπει να έχει όλες τις ιδιότητες ενός παραλληλογράμμου. Αυτό σημαίνει ότι ένας ρόμβος έχει αντίθετες γωνίες ίσες, οι απέναντι πλευρές είναι παράλληλες και οι διαγώνιοι διχοτομούνται από το σημείο τομής.

Ιδιότητες Ρόμβου

Κοίτα την εικόνα:

Όπως και στην περίπτωση ενός ορθογωνίου, αυτές οι ιδιότητες είναι διακριτικές, δηλαδή, για καθεμία από αυτές τις ιδιότητες, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι δεν έχουμε απλώς ένα παραλληλόγραμμο, αλλά έναν ρόμβο.

Σημάδια ενός ρόμβου

Και προσέξτε ξανά: δεν πρέπει να υπάρχει απλώς ένα τετράγωνο με κάθετες διαγώνιες, αλλά ένα παραλληλόγραμμο. Συγουρεύομαι:

Όχι, φυσικά όχι, αν και οι διαγώνιες του και είναι κάθετες, και η διαγώνιος είναι η διχοτόμος των γωνιών u. Αλλά ... οι διαγώνιοι δεν διαιρούνται, το σημείο τομής στο μισό, επομένως - ΟΧΙ παραλληλόγραμμο, και επομένως ΟΧΙ ρόμβος.

Δηλαδή ένα τετράγωνο είναι παραλληλόγραμμο και ρόμβος ταυτόχρονα. Ας δούμε τι βγαίνει από αυτό.

Είναι σαφές γιατί; - ρόμβος - η διχοτόμος της γωνίας Α, η οποία είναι ίση με. Έτσι χωρίζεται (και επίσης) σε δύο γωνίες κατά μήκος.

Λοιπόν, είναι αρκετά σαφές: οι διαγώνιοι του ορθογωνίου είναι ίσες. Οι διαγώνιες ρόμβου είναι κάθετες και γενικά - οι διαγώνιοι παραλληλόγραμμων διαιρούνται με το σημείο τομής στο μισό.

ΜΕΣΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

Ιδιότητες τετράπλευρων. Παραλληλόγραμμο

Ιδιότητες παραλληλογράμμου

Προσοχή! Οι λέξεις " ιδιότητες παραλληλογράμμου» σημαίνει ότι αν έχετε μια εργασία υπάρχειπαραλληλόγραμμο, τότε μπορούν να χρησιμοποιηθούν όλα τα παρακάτω.

Θεώρημα για τις ιδιότητες παραλληλογράμμου.

Σε οποιοδήποτε παραλληλόγραμμο:

Ας δούμε γιατί ισχύει αυτό, με άλλα λόγια ΘΑ ΑΠΟΔΕΙΞΟΥΜΕθεώρημα.

Γιατί λοιπόν το 1) ισχύει;

Εφόσον είναι παραλληλόγραμμο, τότε:

• σαν να βρίσκεται σταυρωτά
• ως ξαπλωμένος απέναντι.

Ως εκ τούτου, (με βάση II: και - γενικά.)

Λοιπόν, μια φορά, τότε - αυτό είναι! - αποδείχθηκαν.

Αλλά παρεμπιπτόντως! Αποδείξαμε επίσης 2)!

Γιατί; Αλλά τελικά (κοιτάξτε την εικόνα), δηλαδή, επειδή.

Μόνο 3 έμειναν).

Για να γίνει αυτό, πρέπει ακόμα να σχεδιάσετε μια δεύτερη διαγώνιο.

Και τώρα βλέπουμε ότι - σύμφωνα με το σύμβολο II (η γωνία και η πλευρά "ανάμεσα τους").

Ιδιότητες αποδεδειγμένες! Ας περάσουμε στα σημάδια.

Χαρακτηριστικά παραλληλογράμμου

Θυμηθείτε ότι το πρόσημο ενός παραλληλογράμμου απαντά στην ερώτηση "πώς να μάθετε;" Ότι το σχήμα είναι παραλληλόγραμμο.

Στα εικονίδια είναι κάπως έτσι:

Γιατί; Θα ήταν ωραίο να καταλάβουμε γιατί - φτάνει. Αλλά κοίτα:

Λοιπόν, καταλάβαμε γιατί το σύμβολο 1 είναι αληθινό.

Λοιπόν, αυτό είναι ακόμα πιο εύκολο! Ας σχεδιάσουμε ξανά μια διαγώνιο.

Που σημαίνει:

Καιείναι επίσης εύκολο. Αλλά… διαφορετικά!

Που σημαίνει, . Ουάου! Αλλά επίσης - εσωτερική μονόπλευρη σε μια διατομή!

Επομένως το γεγονός ότι σημαίνει ότι.

Και αν κοιτάξετε από την άλλη πλευρά, τότε είναι εσωτερικά μονόπλευρα σε ένα τμήμα! Και ως εκ τούτου.

Βλέπετε πόσο υπέροχο είναι;!

Και πάλι απλά:

Ακριβώς το ίδιο, και.

Δώσε προσοχή:αν βρήκες τουλάχιστονένα σημάδι παραλληλογράμμου στο πρόβλημά σας, τότε έχετε ακριβώςπαραλληλόγραμμο και μπορείτε να χρησιμοποιήσετε Ολοιιδιότητες ενός παραλληλογράμμου.

Για πλήρη σαφήνεια, δείτε το διάγραμμα:

Ιδιότητες τετράπλευρων. Ορθογώνιο παραλληλόγραμμο.

Ιδιότητες ορθογωνίου:

Το σημείο 1) είναι αρκετά προφανές - τελικά, το σημείο 3 () απλώς εκπληρώνεται

Και σημείο 2) - πολύ σημαντικό. Ας το αποδείξουμε λοιπόν

Έτσι, σε δύο πόδια (και - γενικά).

Λοιπόν, αφού τα τρίγωνα είναι ίσα, τότε και οι υποτείνυσές τους είναι ίσες.

Το απέδειξε!

Και φανταστείτε, η ισότητα των διαγωνίων είναι μια διακριτική ιδιότητα ενός ορθογωνίου μεταξύ όλων των παραλληλογραμμών. Δηλαδή ισχύει η παρακάτω δήλωση

Ας δούμε γιατί;

Άρα, (εννοεί τις γωνίες του παραλληλογράμμου). Αλλά για άλλη μια φορά, θυμηθείτε ότι - ένα παραλληλόγραμμο, και ως εκ τούτου.

Που σημαίνει, . Και, φυσικά, από αυτό προκύπτει ότι το καθένα από αυτά Άλλωστε στο ποσό που πρέπει να δώσουν!

Εδώ αποδείξαμε ότι αν παραλληλόγραμμοξαφνικά (!) θα είναι ίσες διαγώνιοι, τότε αυτό ακριβώς ένα ορθογώνιο.

Αλλά! Δώσε προσοχή!Αυτό είναι περίπου παραλληλόγραμμα! Καθόλουένα τετράπλευρο με ίσες διαγώνιες είναι ένα ορθογώνιο, και μόνοπαραλληλόγραμμο!

Ιδιότητες τετράπλευρων. Ρόμβος

Και πάλι το ερώτημα είναι: ο ρόμβος είναι παραλληλόγραμμο ή όχι;

Με πλήρες δεξί - παραλληλόγραμμο, γιατί έχει και (Θυμηθείτε το ζώδιο μας 2).

Και πάλι, αφού ένας ρόμβος είναι παραλληλόγραμμο, πρέπει να έχει όλες τις ιδιότητες ενός παραλληλογράμμου. Αυτό σημαίνει ότι ένας ρόμβος έχει αντίθετες γωνίες ίσες, οι απέναντι πλευρές είναι παράλληλες και οι διαγώνιοι διχοτομούνται από το σημείο τομής.

Υπάρχουν όμως και ειδικές ιδιότητες. Διατυπώνουμε.

Ιδιότητες Ρόμβου

Γιατί; Λοιπόν, αφού ένας ρόμβος είναι παραλληλόγραμμο, τότε οι διαγώνιοί του χωρίζονται στο μισό.

Γιατί; Ναι, γι' αυτό!

Με άλλα λόγια, οι διαγώνιοι και αποδείχθηκαν οι διχοτόμοι των γωνιών του ρόμβου.

Όπως και στην περίπτωση ενός ορθογωνίου, αυτές οι ιδιότητες είναι διακριτικός, καθένα από αυτά είναι επίσης ένα σημάδι ενός ρόμβου.

Σημάδια ρόμβου.

Γιατί αυτό? Και κοίτα

Ως εκ τούτου, και και τα δυοαυτά τα τρίγωνα είναι ισοσκελές.

Για να είναι ρόμβος, ένα τετράπλευρο πρέπει πρώτα να «γίνει» παραλληλόγραμμο και μετά να δείξει ήδη το χαρακτηριστικό 1 ή το χαρακτηριστικό 2.

Ιδιότητες τετράπλευρων. τετράγωνο

Δηλαδή ένα τετράγωνο είναι παραλληλόγραμμο και ρόμβος ταυτόχρονα. Ας δούμε τι βγαίνει από αυτό.

Είναι σαφές γιατί; Τετράγωνο - ρόμβος - η διχοτόμος της γωνίας, που ισούται με. Έτσι χωρίζεται (και επίσης) σε δύο γωνίες κατά μήκος.

Λοιπόν, είναι αρκετά σαφές: οι διαγώνιοι του ορθογωνίου είναι ίσες. Οι διαγώνιες ρόμβου είναι κάθετες και γενικά - οι διαγώνιοι παραλληλόγραμμων διαιρούνται με το σημείο τομής στο μισό.

Γιατί; Λοιπόν, απλώς εφαρμόστε το Πυθαγόρειο Θεώρημα σε.

ΣΥΝΟΨΗ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΟΣ ΤΥΠΟΣ

Ιδιότητες παραλληλογράμμου:

1. Οι απέναντι πλευρές είναι ίσες: , .
2. Οι αντίθετες γωνίες είναι: , .
3. Οι γωνίες στη μία πλευρά αθροίζονται σε: , .
4. Οι διαγώνιοι διαιρούνται με το σημείο τομής στο μισό: .

Ιδιότητες ορθογωνίου:

1. Οι διαγώνιοι ενός ορθογωνίου είναι: .
2. Το ορθογώνιο είναι παραλληλόγραμμο (όλες οι ιδιότητες ενός παραλληλογράμμου πληρούνται για ένα ορθογώνιο).

Ιδιότητες ρόμβου:

1. Οι διαγώνιοι του ρόμβου είναι κάθετες: .
2. Οι διαγώνιοι ενός ρόμβου είναι οι διχοτόμοι των γωνιών του: ; ; ; .
3. Ένας ρόμβος είναι ένα παραλληλόγραμμο (όλες οι ιδιότητες ενός παραλληλογράμμου πληρούνται για έναν ρόμβο).

Τετράγωνες ιδιότητες:

Ένα τετράγωνο είναι ρόμβος και παραλληλόγραμμο ταυτόχρονα, επομένως, για ένα τετράγωνο, πληρούνται όλες οι ιδιότητες ενός ορθογωνίου και ενός ρόμβου. Καθώς.

Είναι ένα τετράπλευρο του οποίου οι απέναντι πλευρές είναι κατά ζεύγη παράλληλες.

Ακίνητο 1 . Οποιαδήποτε διαγώνιος ενός παραλληλογράμμου το χωρίζει σε δύο ίσα τρίγωνα.

Απόδειξη . Σύμφωνα με το σύμβολο II (εγκάρσιες γωνίες και κοινή πλευρά).

Θεώρημα αποδεδειγμένο.

Ακίνητο 2 . Σε ένα παραλληλόγραμμο, οι απέναντι πλευρές είναι ίσες και οι απέναντι γωνίες είναι ίσες.

Απόδειξη .
Επίσης,

Θεώρημα αποδεδειγμένο.

Ιδιότητα 3. Σε ένα διαγώνιο παραλληλόγραμμο, το σημείο τομής διαιρείται στο μισό.

Απόδειξη .

Θεώρημα αποδεδειγμένο.

Ιδιοκτησία 4 . Η διχοτόμος γωνίας ενός παραλληλογράμμου, που διασχίζει την απέναντι πλευρά, το χωρίζει σε ισοσκελές τρίγωνο και τραπέζιο. (Χ. λέξη - κορυφή - δύο ισοσκελή; -κα).

Απόδειξη .

Θεώρημα αποδεδειγμένο.

Ακίνητο 5 . Σε ένα παραλληλόγραμμο, ένα τμήμα με άκρα σε αντίθετες πλευρές, που διέρχεται από το σημείο τομής των διαγωνίων, διχοτομείται από αυτό το σημείο.

Απόδειξη .

Θεώρημα αποδεδειγμένο.

Ακίνητο 6 . Η γωνία μεταξύ των υψών που πέφτουν από την κορυφή της αμβλείας γωνίας του παραλληλογράμμου είναι ίση με την οξεία γωνία του παραλληλογράμμου.

Απόδειξη .

Θεώρημα αποδεδειγμένο.

Ακίνητο 7 . Το άθροισμα των γωνιών ενός παραλληλογράμμου δίπλα στη μία πλευρά είναι 180°.

Απόδειξη .

Θεώρημα αποδεδειγμένο.

Κατασκευή της διχοτόμου γωνίας. Ιδιότητες της διχοτόμου γωνίας τριγώνου.

1) Κατασκευάστε μια αυθαίρετη ακτίνα ΔΕ.

2) Σε μια δεδομένη ακτίνα, κατασκευάστε έναν αυθαίρετο κύκλο με κέντρο στην κορυφή και τον ίδιο
με κέντρο στην αρχή της κατασκευασμένης ακτίνας.

3) F και G - σημεία τομής του κύκλου με τις πλευρές της δεδομένης γωνίας, H - σημείο τομής του κύκλου με την κατασκευασμένη ακτίνα

Κατασκευάστε έναν κύκλο με κέντρο στο σημείο Η και ακτίνα ίση με FG.

5) I - το σημείο τομής των κύκλων της κατασκευασμένης δοκού.

6) Σχεδιάστε μια γραμμή μέσα από την κορυφή και το I.

IDH - απαιτούμενη γωνία.
)

Ακίνητο 1 . Η διχοτόμος γωνίας ενός τριγώνου διαιρεί την απέναντι πλευρά σε αναλογία με τις διπλανές πλευρές.

Απόδειξη . Έστω x, y τμήματα της πλευράς c. Συνεχίζουμε την ακτίνα π.Χ. Στην ακτίνα BC, σχεδιάζουμε ένα τμήμα CK από το C ίσο με AC.

Προκειμένου να καθοριστεί εάν ένα δεδομένο σχήμα είναι παραλληλόγραμμο, υπάρχουν πολλά σημάδια. Εξετάστε τα τρία κύρια χαρακτηριστικά ενός παραλληλογράμμου.

1 χαρακτηριστικό παραλληλόγραμμο

Αν δύο πλευρές ενός τετράπλευρου είναι ίσες και παράλληλες, τότε το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο.

Απόδειξη:

Θεωρήστε το τετράπλευρο ABCD. Έστω οι πλευρές AB και CD να είναι παράλληλες σε αυτό. Και ας AB=CD. Ας σχεδιάσουμε ένα διαγώνιο BD σε αυτό. Θα διαιρέσει το δεδομένο τετράπλευρο σε δύο ίσα τρίγωνα: ABD και CBD.

Αυτά τα τρίγωνα είναι ίσα σε δύο πλευρές και τη γωνία μεταξύ τους (το BD είναι κοινή πλευρά, AB = CD κατά συνθήκη, γωνία 1 = γωνία 2 ως εγκάρσια κεκλιμένες γωνίες στην τέμνουσα BD των παράλληλων ευθειών AB και CD.) και επομένως γωνία 3 = γωνία4 .

Και αυτές οι γωνίες θα είναι εγκάρσιες στην τομή των ευθειών BC και AD από την τομή BD. Από αυτό προκύπτει ότι η π.Χ. και η Μ.Χ. είναι παράλληλα μεταξύ τους. Έχουμε ότι στο τετράπλευρο ABCD οι απέναντι πλευρές είναι παράλληλες κατά ζεύγη, και επομένως το τετράπλευρο ABCD είναι παραλληλόγραμμο.

2 παραλληλόγραμμο χαρακτηριστικό

Αν οι απέναντι πλευρές ενός τετράπλευρου είναι ίσες σε ζεύγη, τότε το τετράπλευρο είναι παραλληλόγραμμο.

Απόδειξη:

Θεωρήστε το τετράπλευρο ABCD. Ας σχεδιάσουμε ένα διαγώνιο BD σε αυτό. Θα διαιρέσει το δεδομένο τετράπλευρο σε δύο ίσα τρίγωνα: ABD και CBD.

Αυτά τα δύο τρίγωνα θα είναι ίσα μεταξύ τους σε τρεις πλευρές (BD είναι η κοινή πλευρά, AB = CD και BC = AD κατά συνθήκη). Από αυτό μπορούμε να συμπεράνουμε ότι γωνία1 = γωνία2. Από αυτό προκύπτει ότι το ΑΒ είναι παράλληλο με το CD. Και δεδομένου ότι το AB \u003d CD και το AB είναι παράλληλο με το CD, τότε με το πρώτο πρόσημο ενός παραλληλογράμμου, το τετράπλευρο ABCD θα είναι παραλληλόγραμμο.

3 πρόσημο παραλληλογράμμου

Αν σε ένα τετράπλευρο οι διαγώνιοι τέμνονται και το σημείο τομής διχοτομείται, τότε αυτό το τετράπλευρο θα είναι παραλληλόγραμμο.

Θεωρήστε το τετράπλευρο ABCD. Ας σχεδιάσουμε μέσα του δύο διαγώνιους AC και BD, οι οποίες θα τέμνονται στο σημείο Ο και θα διχοτομούν αυτό το σημείο.

Τα τρίγωνα AOB και COD θα είναι ίσα μεταξύ τους, σύμφωνα με το πρώτο πρόσημο της ισότητας των τριγώνων. (AO = OC, BO = OD κατά σύμβαση, γωνία AOB = γωνία COD ως κατακόρυφες γωνίες.) Επομένως, AB = CD και γωνία1 = γωνία 2. Από την ισότητα των γωνιών 1 και 2, έχουμε ότι το AB είναι παράλληλο προς το CD. Τότε έχουμε ότι στο τετράπλευρο ΑΒΓΔ οι πλευρές ΑΒ είναι ίσες με ΓΔ και παράλληλες, και με το πρώτο κριτήριο ενός παραλληλογράμμου, το τετράπλευρο ΑΒΓΔ θα είναι παραλληλόγραμμο.