Κλάσματα

Προσοχή!
Υπάρχουν επιπλέον
υλικό στο Ειδικό Τμήμα 555.
Για όσους έντονα "όχι πολύ..."
Και για όσους "πολύ...")

Τα κλάσματα στο γυμνάσιο δεν είναι πολύ ενοχλητικά. Προς το παρόν. Μέχρι να τρέξετε σε βαθμούς με ορθολογικούς δείκτεςναι λογαριθμοι. Και εκεί…. Πατάς, πατάς την αριθμομηχανή και δείχνει όλο τον πλήρη πίνακα αποτελεσμάτων ορισμένων αριθμών. Πρέπει να σκέφτεσαι με το κεφάλι σου, όπως στην τρίτη δημοτικού.

Ας ασχοληθούμε επιτέλους με τα κλάσματα! Ε, πόσο μπορείς να μπερδευτείς σε αυτά!; Επιπλέον, όλα είναι απλά και λογικά. Ετσι, τι είναι τα κλάσματα;

Τύποι κλασμάτων. Μεταμορφώσεις.

Τα κλάσματα συμβαίνουν τρία είδη.

1. Κοινά κλάσματα , για παράδειγμα:

Μερικές φορές, αντί για οριζόντια γραμμή, βάζουν κάθετο: 1/2, 3/4, 19/5, καλά, και ούτω καθεξής. Εδώ θα χρησιμοποιούμε συχνά αυτήν την ορθογραφία. Ο κορυφαίος αριθμός καλείται αριθμητής, πιο χαμηλα - παρονομαστής.Εάν μπερδεύετε συνεχώς αυτά τα ονόματα (συμβαίνει ...), πείτε στον εαυτό σας τη φράση με την έκφραση: " Ζζζζθυμάμαι! Ζζζζπαρονομαστής - έξω zzzz u!" Κοίτα, όλα θα θυμούνται.)

Μια παύλα, που είναι οριζόντια, που είναι λοξή, σημαίνει διαίρεσηεπάνω αριθμός (αριθμητής) έως κάτω αριθμός (παρονομαστής). Και τέλος! Αντί για παύλα, είναι πολύ πιθανό να βάλετε ένα σημάδι διαίρεσης - δύο τελείες.

Όταν η διαίρεση είναι πλήρως δυνατή, πρέπει να γίνει. Έτσι, αντί για το κλάσμα "32/8" είναι πολύ πιο ευχάριστο να γράψετε τον αριθμό "4". Εκείνοι. Το 32 απλώς διαιρείται με το 8.

32/8 = 32: 8 = 4

Δεν μιλάω για το κλάσμα «4/1». Το οποίο είναι επίσης μόνο "4". Και αν δεν διαιρεθεί τελείως, το αφήνουμε ως κλάσμα. Μερικές φορές πρέπει να κάνετε το αντίστροφο. Να σχηματίσετε ένα κλάσμα από έναν ακέραιο αριθμό. Αλλά περισσότερα για αυτό αργότερα.

2. Δεκαδικά , για παράδειγμα:

Σε αυτή τη μορφή θα χρειαστεί να γράψετε τις απαντήσεις στις εργασίες "Β".

3. μικτούς αριθμούς , για παράδειγμα:

Οι μικτοί αριθμοί πρακτικά δεν χρησιμοποιούνται στο γυμνάσιο. Για να δουλέψουμε μαζί τους, πρέπει να μετατραπούν σε συνηθισμένα κλάσματα. Αλλά σίγουρα πρέπει να ξέρετε πώς να το κάνετε! Και τότε ένας τέτοιος αριθμός θα συναντήσει στο παζλ και θα κρέμεται ... Από την αρχή. Αλλά θυμόμαστε αυτή τη διαδικασία! Λίγο πιο κάτω.

Το πιο ευέλικτο κοινά κλάσματα. Ας ξεκινήσουμε με αυτούς. Παρεμπιπτόντως, αν υπάρχουν όλα τα είδη λογαρίθμων, ημιτόνων και άλλων γραμμάτων στο κλάσμα, αυτό δεν αλλάζει τίποτα. Με την έννοια ότι τα πάντα Οι ενέργειες με κλασματικές εκφράσεις δεν διαφέρουν από τις ενέργειες με συνηθισμένα κλάσματακαι!

Βασική ιδιότητα ενός κλάσματος.

Λοιπόν πάμε! Καταρχήν θα σας εκπλήξω. Όλη η ποικιλία των μετασχηματισμών κλασμάτων παρέχεται από μία μόνο ιδιότητα! Έτσι λέγεται βασική ιδιότητα ενός κλάσματος. Θυμάμαι: Αν ο αριθμητής και ο παρονομαστής ενός κλάσματος πολλαπλασιαστούν (διαιρεθούν) με τον ίδιο αριθμό, το κλάσμα δεν θα αλλάξει.Εκείνοι:

Είναι σαφές ότι μπορείτε να γράψετε περαιτέρω, μέχρι να είστε μπλε στο πρόσωπο. Μην αφήνετε τα ημιτόνια και τους λογάριθμους να σας μπερδεύουν, θα ασχοληθούμε περαιτέρω. Το κύριο πράγμα που πρέπει να καταλάβουμε είναι ότι όλες αυτές οι διάφορες εκφράσεις είναι το ίδιο κλάσμα . 2/3.

Και το χρειαζόμαστε, όλες αυτές οι μεταμορφώσεις; Και πως! Τώρα θα το δείτε μόνοι σας. Αρχικά, ας χρησιμοποιήσουμε τη βασική ιδιότητα ενός κλάσματος για συντομογραφίες κλασμάτων. Φαίνεται ότι το πράγμα είναι στοιχειώδες. Διαιρούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον ίδιο αριθμό και τέλος! Είναι αδύνατο να κάνεις λάθος! Όμως... ο άνθρωπος είναι δημιουργικό ον. Μπορείτε να κάνετε λάθη παντού! Ειδικά αν πρέπει να μειώσετε όχι ένα κλάσμα όπως το 5/10, αλλά μια κλασματική έκφραση με όλα τα είδη γραμμάτων.

Πώς να μειώσετε τα κλάσματα σωστά και γρήγορα χωρίς να κάνετε περιττή εργασία μπορείτε να βρείτε στην ειδική ενότητα 555.

Ένας κανονικός μαθητής δεν μπαίνει στον κόπο να διαιρέσει τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον ίδιο αριθμό (ή έκφραση)! Απλώς διαγράφει τα πάντα το ίδιο από πάνω και κάτω! Εδώ κρύβεται τυπικό λάθος, blooper αν θες.

Για παράδειγμα, πρέπει να απλοποιήσετε την έκφραση:

Δεν υπάρχει τίποτα να σκεφτούμε, διαγράφουμε το γράμμα «α» από πάνω και το δίδυμο από κάτω! Παίρνουμε:

Ολα είναι σωστά. Αλλά πραγματικά μοιραστήκατε ΟΛΟΚΛΗΡΟ αριθμητής και ΟΛΟΚΛΗΡΟ παρονομαστής «α». Αν συνηθίζεις απλώς να διαγράφεις, τότε, βιαστικά, μπορείς να διαγράψεις το «α» στην έκφραση

και πάρε ξανά

Κάτι που θα ήταν κατηγορηματικά λάθος. Γιατί εδώ ΟΛΟΚΛΗΡΟαριθμητής στο "a" ήδη δεν μοιράζονται! Αυτό το κλάσμα δεν μπορεί να μειωθεί. Παρεμπιπτόντως, μια τέτοια συντομογραφία είναι, χμ... μια σοβαρή πρόκληση για τον δάσκαλο. Αυτό δεν συγχωρείται! Θυμάμαι? Κατά τη μείωση, είναι απαραίτητο να διαιρεθεί ΟΛΟΚΛΗΡΟ αριθμητής και ΟΛΟΚΛΗΡΟ παρονομαστής!

Η μείωση των κλασμάτων κάνει τη ζωή πολύ πιο εύκολη. Θα πάρετε ένα κλάσμα κάπου, για παράδειγμα 375/1000. Και πώς να συνεργαστείτε μαζί της τώρα; Χωρίς αριθμομηχανή; Πολλαπλασιάζω, ας πούμε, προσθέτω, τετράγωνο!; Και αν δεν είστε πολύ τεμπέλης, αλλά μειώστε προσεκτικά κατά πέντε, και μάλιστα κατά πέντε, ακόμη και ... ενώ μειώνεται, εν ολίγοις. Παίρνουμε 3/8! Πολύ πιο ωραίο, σωστά;

Η βασική ιδιότητα ενός κλάσματος σάς επιτρέπει να μετατρέπετε τα συνηθισμένα κλάσματα σε δεκαδικούς και το αντίστροφο χωρίς αριθμομηχανή! Αυτό είναι σημαντικό για τις εξετάσεις, σωστά;

Πώς να μετατρέψετε κλάσματα από μια μορφή σε άλλη.

Είναι εύκολο με δεκαδικά. Όπως ακούγεται, έτσι γράφεται! Ας πούμε 0,25. Είναι σημείο μηδέν, εικοσιπέντε εκατοστά. Γράφουμε λοιπόν: 25/100. Μειώνουμε (διαιρούμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με το 25), παίρνουμε το συνηθισμένο κλάσμα: 1/4. Τα παντα. Συμβαίνει, και τίποτα δεν μειώνεται. Όπως 0,3. Αυτό είναι τρία δέκατα, δηλ. 3/10.

Τι γίνεται αν οι ακέραιοι αριθμοί είναι μη μηδενικοί; Είναι εντάξει. Καταγράψτε ολόκληρο το κλάσμα χωρίς κόμματαστον αριθμητή, και στον παρονομαστή - αυτό που ακούγεται. Για παράδειγμα: 3.17. Αυτό είναι τρία ολόκληρα, δεκαεπτά εκατοστά. Στον αριθμητή γράφουμε 317 και στον παρονομαστή 100. Παίρνουμε 317/100. Τίποτα δεν μειώνεται, αυτό σημαίνει τα πάντα. Αυτή είναι η απάντηση. Elementary Watson! Από όλα τα παραπάνω, ένα χρήσιμο συμπέρασμα: οποιοδήποτε δεκαδικό κλάσμα μπορεί να μετατραπεί σε κοινό κλάσμα .

Αλλά αντίστροφος μετασχηματισμός, συνηθισμένο έως δεκαδικό, κάποιοι χωρίς αριθμομηχανή δεν μπορούν να το κάνουν. Αλλά πρέπει! Πώς θα γράψετε την απάντηση στην εξέταση!; Διαβάζουμε προσεκτικά και κυριαρχούμε αυτή τη διαδικασία.

Τι είναι ένα δεκαδικό κλάσμα; Έχει στον παρονομαστή πάντααξίζει 10 ή 100 ή 1000 ή 10000 κ.ο.κ. Αν το συνηθισμένο σας κλάσμα έχει τέτοιο παρονομαστή, δεν υπάρχει πρόβλημα. Για παράδειγμα, 4/10 = 0,4. Ή 7/100 = 0,07. Ή 12/10 = 1,2. Και αν στην απάντηση στην εργασία της ενότητας "Β" αποδείχθηκε 1/2; Τι θα γράψουμε ως απάντηση; Απαιτούνται δεκαδικοί...

Θυμόμαστε βασική ιδιότητα ενός κλάσματος ! Τα μαθηματικά σας επιτρέπουν ευνοϊκά να πολλαπλασιάσετε τον αριθμητή και τον παρονομαστή με τον ίδιο αριθμό. Για κανέναν, παρεμπιπτόντως! Εκτός από το μηδέν, φυσικά. Ας χρησιμοποιήσουμε αυτή τη δυνατότητα προς όφελός μας! Με τι μπορεί να πολλαπλασιαστεί ο παρονομαστής, δηλ. 2 ώστε να γίνει 10, ή 100, ή 1000 (το μικρότερο είναι καλύτερο φυσικά...); 5, προφανώς. Μη διστάσετε να πολλαπλασιάσετε τον παρονομαστή (αυτό είναι μαςαπαραίτητο) επί 5. Αλλά, τότε ο αριθμητής πρέπει επίσης να πολλαπλασιαστεί με 5. Αυτό είναι ήδη μαθηματικάαιτήματα! Παίρνουμε 1/2 \u003d 1x5 / 2x5 \u003d 5/10 \u003d 0,5. Αυτό είναι όλο.

Ωστόσο, συναντώνται κάθε είδους παρονομαστές. Για παράδειγμα, το κλάσμα 3/16 θα πέσει. Δοκιμάστε το, υπολογίστε με τι να πολλαπλασιάσετε το 16 για να πάρετε 100 ή 1000... Δεν λειτουργεί; Στη συνέχεια, μπορείτε απλά να διαιρέσετε το 3 με το 16. Ελλείψει αριθμομηχανής, θα πρέπει να διαιρέσετε με μια γωνία, σε ένα κομμάτι χαρτί, όπως στο χαμηλότερους βαθμούςδιδακτός. Παίρνουμε 0,1875.

Και υπάρχουν μερικοί πολύ κακοί παρονομαστές. Για παράδειγμα, το κλάσμα 1/3 δεν μπορεί να μετατραπεί σε καλό δεκαδικό. Τόσο σε μια αριθμομηχανή όσο και σε ένα κομμάτι χαρτί, παίρνουμε 0,3333333 ... Αυτό σημαίνει ότι το 1/3 σε ένα ακριβές δεκαδικό κλάσμα δεν μεταφράζεται. Ακριβώς όπως 1/7, 5/6 και ούτω καθεξής. Πολλά από αυτά είναι αμετάφραστα. Εξ ου και ένα άλλο χρήσιμο συμπέρασμα. Δεν μετατρέπεται κάθε κοινό κλάσμα σε δεκαδικό. !

Με την ευκαιρία, αυτό ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣγια αυτοέλεγχο. Στην ενότητα "Β" ως απάντηση, πρέπει να γράψετε ένα δεκαδικό κλάσμα. Και έχεις, για παράδειγμα, 4/3. Αυτό το κλάσμα δεν μετατρέπεται σε δεκαδικό. Αυτό σημαίνει ότι κάπου στην πορεία έκανες λάθος! Επιστρέψτε, ελέγξτε τη λύση.

Έτσι, με τα συνηθισμένα και δεκαδικά κλάσματα ταξινομημένα. Μένει να ασχοληθούμε με μικτά νούμερα. Για να δουλέψετε μαζί τους, πρέπει όλα να μετατραπούν σε συνηθισμένα κλάσματα. Πως να το κάνεις? Μπορείς να πιάσεις έναν μαθητή της έκτης δημοτικού και να τον ρωτήσεις. Αλλά δεν θα είναι πάντα διαθέσιμος ένας μαθητής της έκτης δημοτικού... Θα πρέπει να το κάνουμε μόνοι μας. Αυτό δεν είναι δύσκολο. Πολλαπλασιάστε τον παρονομαστή του κλασματικού μέρους με το ακέραιο μέρος και προσθέστε τον αριθμητή του κλασματικού μέρους. Αυτός θα είναι ο αριθμητής συνηθισμένο κλάσμα. Τι γίνεται με τον παρονομαστή; Ο παρονομαστής θα παραμείνει ο ίδιος. Ακούγεται περίπλοκο, αλλά στην πραγματικότητα είναι αρκετά απλό. Ας δούμε ένα παράδειγμα.

Αφήστε το πρόβλημα που είδατε με τρόμο τον αριθμό:

Ήρεμα, χωρίς πανικό, καταλαβαίνουμε. Όλο το μέρος είναι 1. Ένα. Το κλασματικό μέρος είναι 3/7. Επομένως, ο παρονομαστής του κλασματικού μέρους είναι 7. Αυτός ο παρονομαστής θα είναι ο παρονομαστής του συνηθισμένου κλάσματος. Μετράμε τον αριθμητή. 7 φορές 1 ( ολόκληρο μέρος) και προσθέστε 3 (τον αριθμητή του κλασματικού μέρους). Παίρνουμε 10. Αυτός θα είναι ο αριθμητής ενός συνηθισμένου κλάσματος. Αυτό είναι όλο. Φαίνεται ακόμη πιο απλό στη μαθηματική σημειογραφία:

Σαφώς? Τότε εξασφαλίστε την επιτυχία σας! Μετατροπή σε κοινά κλάσματα. Θα πρέπει να πάρετε 10/7, 7/2, 23/10 και 21/4.

Η αντίστροφη πράξη - μετατροπή ενός ακατάλληλου κλάσματος σε μικτό αριθμό - απαιτείται σπάνια στο γυμνάσιο. Λοιπόν, αν... Και αν - όχι στο γυμνάσιο - μπορείτε να κοιτάξετε την ειδική ενότητα 555. Στο ίδιο μέρος, παρεμπιπτόντως, θα μάθετε για ακατάλληλα κλάσματα.

Λοιπόν, σχεδόν τα πάντα. Θυμήθηκες τα είδη των κλασμάτων και κατάλαβες πως να τα μετατρέψετε από τον ένα τύπο στον άλλο. Το ερώτημα παραμένει: Γιατί Κάνε το? Πού και πότε να εφαρμόσετε αυτή τη βαθιά γνώση;

απαντώ. Κάθε παράδειγμα από μόνο του προτείνει τις απαραίτητες ενέργειες. Εάν στο παράδειγμα τα συνηθισμένα κλάσματα, τα δεκαδικά και ακόμη και μικτοί αριθμοί αναμειγνύονται σε μια δέσμη, μεταφράζουμε τα πάντα σε συνηθισμένα κλάσματα. Μπορεί πάντα να γίνει. Λοιπόν, αν γράφεται κάτι σαν 0,8 + 0,3, τότε το πιστεύουμε, χωρίς καμία μετάφραση. Γιατί χρειαζόμαστε επιπλέον δουλειά; Επιλέγουμε τη λύση που είναι βολική μας !

Εάν η εργασία είναι γεμάτη δεκαδικά κλάσματα, αλλά χμ... κάποιου είδους κακά, πηγαίνετε στα συνηθισμένα, δοκιμάστε το! Κοίτα, όλα θα πάνε καλά. Για παράδειγμα, πρέπει να τετραγωνίσετε τον αριθμό 0,125. Όχι τόσο εύκολο αν δεν έχεις χάσει τη συνήθεια της αριθμομηχανής! Όχι μόνο χρειάζεται να πολλαπλασιάσετε τους αριθμούς σε μια στήλη, αλλά και να σκεφτείτε πού να εισαγάγετε κόμμα! Σίγουρα δεν λειτουργεί στο μυαλό μου! Και αν πάτε σε ένα συνηθισμένο κλάσμα;

0,125 = 125/1000. Μειώνουμε κατά 5 (αυτό είναι για αρχή). Παίρνουμε 25/200. Για άλλη μια φορά στις 5. Παίρνουμε 5/40. Α, συρρικνώνεται! Επιστροφή στο 5! Παίρνουμε 1/8. Τετράγωνε εύκολα (στο μυαλό σου!) και πάρε 1/64. Τα παντα!

Ας συνοψίσουμε αυτό το μάθημα.

1. Υπάρχουν τρία είδη κλασμάτων. Αριθμοί απλοί, δεκαδικοί και μικτές.

2. Δεκαδικοί και μικτοί αριθμοί πάνταμπορεί να μετατραπεί σε κοινά κλάσματα. Αντίστροφη μετάφραση δεν είναι πάνταδιαθέσιμος.

3. Η επιλογή του τύπου των κλασμάτων για εργασία με την εργασία εξαρτάται από αυτήν ακριβώς την εργασία. Εάν υπάρχουν διαφορετικοί τύποι κλασμάτων σε μία εργασία, το πιο αξιόπιστο είναι να μεταβείτε σε συνηθισμένα κλάσματα.

Τώρα μπορείτε να εξασκηθείτε. Πρώτα, μετατρέψτε αυτά τα δεκαδικά κλάσματα σε συνηθισμένα:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Θα πρέπει να λάβετε απαντήσεις όπως αυτή (στο χάος!):

Σε αυτό θα τελειώσουμε. Σε αυτό το μάθημα, αναλύσαμε τα βασικά σημεία στα κλάσματα. Συμβαίνει, ωστόσο, να μην υπάρχει κάτι ιδιαίτερο για ανανέωση...) Εάν κάποιος το έχει ξεχάσει τελείως ή δεν το έχει κατακτήσει ακόμα... Αυτά μπορούν να μεταβούν σε μια ειδική Ενότητα 555. Όλα τα βασικά είναι αναλυτικά εκεί. Πολλοί ξαφνικά καταλαβαίνω τα πάντααρχίζουν. Και λύνουν κλάσματα εν πτήσει).

Αν σας αρέσει αυτό το site...

Παρεμπιπτόντως, έχω μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες τοποθεσίες για εσάς.)

Μπορείτε να εξασκηθείτε στην επίλυση παραδειγμάτων και να μάθετε το επίπεδό σας. Δοκιμή με άμεση επαλήθευση. Μάθηση - με ενδιαφέρον!)

μπορείτε να εξοικειωθείτε με συναρτήσεις και παραγώγους.

Ενέργειες με κλάσματα. Σε αυτό το άρθρο, θα αναλύσουμε παραδείγματα, όλα είναι λεπτομερή με επεξηγήσεις. Θα εξετάσουμε συνηθισμένα κλάσματα. Στο μέλλον, θα αναλύσουμε τα δεκαδικά. Προτείνω να παρακολουθήσετε ολόκληρο και να μελετήσετε διαδοχικά.

1. Άθροισμα κλασμάτων, διαφορά κλασμάτων.

Κανόνας: όταν προσθέτουμε κλάσματα με ίσους παρονομαστές, το αποτέλεσμα είναι ένα κλάσμα - ο παρονομαστής του οποίου παραμένει ο ίδιος και ο αριθμητής του θα είναι ισούται με το άθροισμααριθμητές κλασμάτων.

Κανόνας: κατά τον υπολογισμό της διαφοράς των κλασμάτων με ίδιοι παρονομαστέςπαίρνουμε ένα κλάσμα - ο παρονομαστής παραμένει ο ίδιος και ο αριθμητής του δεύτερου αφαιρείται από τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος.

Τυπική σημειογραφία του αθροίσματος και της διαφοράς των κλασμάτων με ίσους παρονομαστές:

Παραδείγματα (1):

Είναι σαφές ότι όταν δίνονται συνηθισμένα κλάσματα, τότε όλα είναι απλά, αλλά αν αναμειγνύονται; Τίποτα περίπλοκο...

Επιλογή 1- μπορείτε να τα μετατρέψετε σε συνηθισμένα και μετά να τα υπολογίσετε.

Επιλογή 2- μπορείτε να "δουλέψετε" χωριστά με τα ακέραια και τα κλασματικά μέρη.

Παραδείγματα (2):

Ακόμη:

Και αν δίνεται η διαφορά δύο μικτών κλασμάτων και ο αριθμητής του πρώτου κλάσματος είναι μικρότερος από τον αριθμητή του δεύτερου; Μπορεί επίσης να γίνει με δύο τρόπους.

Παραδείγματα (3):

* Μετατράπηκε σε συνηθισμένα κλάσματα, υπολόγισε τη διαφορά, μετέφρασε το προκύπτον ακατάλληλο κλάσμασε μικτό.

* Διαιρέθηκε σε ακέραια και κλασματικά μέρη, πήρε τρία, μετά παρουσιάστηκε το 3 ως το άθροισμα του 2 και του 1, με τη μονάδα να παρουσιάζεται ως 11/11, στη συνέχεια βρέθηκε η διαφορά μεταξύ 11/11 και 7/11 και υπολόγισε το αποτέλεσμα. Το νόημα των παραπάνω μετασχηματισμών είναι να πάρουμε (επιλέξουμε) τη μονάδα και να την παρουσιάσουμε ως κλάσμα με τον παρονομαστή που χρειαζόμαστε, τότε από αυτό το κλάσμα μπορούμε ήδη να αφαιρέσουμε ένα άλλο.

Ενα άλλο παράδειγμα:

Συμπέρασμα: υπάρχει μια καθολική προσέγγιση - για να υπολογίσετε το άθροισμα (διαφορά) μικτών κλασμάτων με ίσους παρονομαστές, μπορούν πάντα να μετατραπούν σε ακατάλληλα και στη συνέχεια να εκτελέσετε την απαραίτητη ενέργεια. Μετά από αυτό, εάν ως αποτέλεσμα πάρουμε ένα ακατάλληλο κλάσμα, το μεταφράζουμε σε μικτό.

Παραπάνω, εξετάσαμε παραδείγματα με κλάσματα που έχουν ίσους παρονομαστές. Τι γίνεται αν οι παρονομαστές διαφέρουν; Στην περίπτωση αυτή, τα κλάσματα μειώνονται στον ίδιο παρονομαστή και εκτελείται η καθορισμένη ενέργεια. Για την αλλαγή (μετατροπή) ενός κλάσματος, χρησιμοποιείται η κύρια ιδιότητα του κλάσματος.

Εξετάστε απλά παραδείγματα:

Σε αυτά τα παραδείγματα, βλέπουμε αμέσως πώς ένα από τα κλάσματα μπορεί να μετατραπεί για να πάρει ίσους παρονομαστές.

Εάν ορίσουμε τρόπους μείωσης των κλασμάτων σε έναν παρονομαστή, τότε αυτός θα ονομάζεται ΜΕΘΟΔΟΣ ΠΡΩΤΗ.

Δηλαδή, αμέσως όταν "αξιολογείτε" το κλάσμα, πρέπει να καταλάβετε εάν μια τέτοια προσέγγιση θα λειτουργήσει - ελέγχουμε αν ο μεγαλύτερος παρονομαστής διαιρείται με τον μικρότερο. Και αν διαιρεθεί, τότε εκτελούμε τον μετασχηματισμό - πολλαπλασιάζουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή έτσι ώστε οι παρονομαστές και των δύο κλασμάτων να γίνουν ίσοι.

Δείτε τώρα αυτά τα παραδείγματα:

Αυτή η προσέγγιση δεν ισχύει για αυτούς. Υπάρχουν άλλοι τρόποι μείωσης των κλασμάτων σε κοινό παρονομαστήΑς τους ρίξουμε μια ματιά.

Μέθοδος ΔΕΥΤΕΡΗ.

Πολλαπλασιάστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος με τον παρονομαστή του δεύτερου και τον αριθμητή και τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος με τον παρονομαστή του πρώτου:

*Μάλιστα, φέρνουμε τα κλάσματα στη μορφή όταν οι παρονομαστές γίνονται ίσοι. Στη συνέχεια, χρησιμοποιούμε τον κανόνα της προσθήκης δειλά με ίσους παρονομαστές.

Παράδειγμα:

*Αυτή η μέθοδος μπορεί να ονομαστεί καθολική και λειτουργεί πάντα. Το μόνο αρνητικό είναι ότι μετά τους υπολογισμούς, μπορεί να προκύψει ένα κλάσμα που θα πρέπει να μειωθεί περαιτέρω.

Εξετάστε ένα παράδειγμα:

Φαίνεται ότι ο αριθμητής και ο παρονομαστής διαιρούνται με το 5:

Μέθοδος ΤΡΙΤΗ.

Βρείτε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (LCM) των παρονομαστών. Αυτός θα είναι ο κοινός παρονομαστής. Ποιος είναι αυτός ο αριθμός; Αυτός είναι ο μικρότερος φυσικός αριθμός που διαιρείται με κάθε έναν από τους αριθμούς.

Κοιτάξτε, εδώ είναι δύο αριθμοί: 3 και 4, υπάρχουν πολλοί αριθμοί που διαιρούνται με αυτούς - αυτοί είναι 12, 24, 36, ... Ο μικρότερος από αυτούς είναι το 12. Ή το 6 και το 15, το 30, το 60, το 90 είναι διαιρείται με αυτά .... Τουλάχιστον 30. Ερώτηση - πώς να προσδιορίσετε αυτό το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο;

Υπάρχει ένας σαφής αλγόριθμος, αλλά συχνά αυτό μπορεί να γίνει αμέσως χωρίς υπολογισμούς. Για παράδειγμα, σύμφωνα με τα παραπάνω παραδείγματα (3 και 4, 6 και 15), δεν χρειάζεται αλγόριθμος, πήραμε μεγάλους αριθμούς (4 και 15), τους διπλασιάσαμε και είδαμε ότι διαιρούνται με τον δεύτερο αριθμό, αλλά ζεύγη αριθμών μπορεί να είναι άλλα, όπως 51 και 119.

Αλγόριθμος. Για να προσδιορίσετε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο πολλών αριθμών, πρέπει:

- επεκτείνετε κάθε έναν από τους αριθμούς σε ΑΠΛΟΙ πολλαπλασιαστές

- γράψτε την αποσύνθεση των ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΩΝ από αυτά

- πολλαπλασιάστε το με τους συντελεστές που λείπουν άλλων αριθμών

Εξετάστε παραδείγματα:

50 και 60 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5

σε αποσύνθεση περισσότερολείπει ένα πέντε

=> LCM(50,60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300

48 και 72 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3

στην επέκταση μεγαλύτερου αριθμού λείπουν δύο και τρία

=> LCM(48,72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144

* Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο του δύο πρώτοι αριθμοίίσο με το γινόμενο τους

Ερώτηση! Και γιατί είναι χρήσιμο να βρείτε το λιγότερο κοινό πολλαπλάσιο, επειδή μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη δεύτερη μέθοδο και απλά να μειώσετε το κλάσμα που προκύπτει; Ναι, μπορείτε, αλλά δεν είναι πάντα βολικό. Δείτε ποιος θα είναι ο παρονομαστής για τους αριθμούς 48 και 72 αν απλώς τους πολλαπλασιάσετε 48∙72 = 3456. Συμφωνήστε ότι είναι πιο ευχάριστο να δουλεύετε με μικρότερους αριθμούς.

Εξετάστε παραδείγματα:

*51 = 3∙17 119 = 7∙17

στην επέκταση ενός μεγαλύτερου αριθμού λείπει ένα τριπλό

=> LCM(51.119) = 3∙7∙17

Και τώρα εφαρμόζουμε την πρώτη μέθοδο:

* Κοιτάξτε τη διαφορά στους υπολογισμούς, στην πρώτη περίπτωση υπάρχει ένα ελάχιστο από αυτά και στη δεύτερη πρέπει να εργαστείτε ξεχωριστά σε ένα κομμάτι χαρτί και ακόμη και το κλάσμα που πήρατε πρέπει να μειωθεί. Η εύρεση του LCM απλοποιεί σημαντικά την εργασία.

Περισσότερα παραδείγματα:

* Στο δεύτερο παράδειγμα είναι ξεκάθαρο ότι μικρότερος αριθμός, το οποίο διαιρείται με το 40 και το 60 είναι ίσο με 120.

ΣΥΝΟΛΟ! ΓΕΝΙΚΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ!

- φέρνουμε κλάσματα στα συνηθισμένα, αν υπάρχει ακέραιο μέρος.

- φέρνουμε τα κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή (πρώτα κοιτάμε να δούμε αν ο ένας παρονομαστής διαιρείται με τον άλλον, αν διαιρείται, μετά πολλαπλασιάζουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή αυτού του άλλου κλάσματος, αν δεν διαιρείται ενεργούμε μέσω του άλλου μεθόδους που αναφέρονται παραπάνω).

- έχοντας λάβει κλάσματα με ίσους παρονομαστές, εκτελούμε ενέργειες (πρόσθεση, αφαίρεση).

- αν χρειαστεί, μειώνουμε το αποτέλεσμα.

- εάν είναι απαραίτητο, επιλέξτε ολόκληρο το τμήμα.

2. Γινόμενο κλασμάτων.

Ο κανόνας είναι απλός. Κατά τον πολλαπλασιασμό των κλασμάτων, οι αριθμητές και οι παρονομαστές τους πολλαπλασιάζονται:

Παραδείγματα:

Μια εργασία. Στη βάση μεταφέρθηκαν 13 τόνοι λαχανικών. Οι πατάτες αποτελούν τα ¾ όλων των εισαγόμενων λαχανικών. Πόσα κιλά πατάτες έφεραν στη βάση;

Ας τελειώσουμε με τη δουλειά.

*Σας υποσχέθηκα νωρίτερα να δώσω μια επίσημη εξήγηση της κύριας ιδιότητας του κλάσματος μέσω του γινόμενου, παρακαλώ:

3. Διαίρεση κλασμάτων.

Η διαίρεση των κλασμάτων ανάγεται στον πολλαπλασιασμό τους. Είναι σημαντικό να θυμάστε εδώ ότι το κλάσμα που είναι διαιρέτης (αυτό που διαιρείται με) ανατρέπεται και η ενέργεια αλλάζει σε πολλαπλασιασμό:

Αυτή η ενέργεια μπορεί να γραφτεί ως το λεγόμενο κλάσμα τεσσάρων ιστοριών, επειδή η ίδια η διαίρεση ":" μπορεί επίσης να γραφτεί ως κλάσμα:

Παραδείγματα:

Αυτό είναι όλο! Καλή σου τύχη!

Με εκτίμηση, Alexander Krutitskikh.

Ενέργειες με κλάσματα.

Προσοχή!
Υπάρχουν επιπλέον
υλικό στο Ειδικό Τμήμα 555.
Για όσους έντονα "όχι πολύ..."
Και για όσους "πολύ...")

Λοιπόν, τι είναι τα κλάσματα, τα είδη των κλασμάτων, οι μετασχηματισμοί - θυμηθήκαμε. Ας αντιμετωπίσουμε το κύριο ερώτημα.

Τι μπορείτε να κάνετε με τα κλάσματα;Ναι, όλα είναι ίδια με τους συνηθισμένους αριθμούς. Προσθήκη, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός, διαίρεση.

Όλες αυτές οι ενέργειες με δεκαδικόςΟι πράξεις με κλάσματα δεν διαφέρουν από τις πράξεις με ακέραιους αριθμούς. Στην πραγματικότητα, για αυτό είναι καλοί, δεκαδικοί. Το μόνο πράγμα είναι ότι πρέπει να βάλετε σωστά το κόμμα.

μικτούς αριθμούς, όπως είπα, είναι ελάχιστα χρήσιμα για τις περισσότερες ενέργειες. Πρέπει ακόμα να μετατραπούν σε συνηθισμένα κλάσματα.

Και εδώ είναι οι ενέργειες με συνηθισμένα κλάσματαθα είναι πιο έξυπνος. Και πολύ πιο σημαντικό! Να σας θυμίσω: όλες οι ενέργειες με κλασματικές εκφράσεις με γράμματα, ημίτονο, άγνωστα και ούτω καθεξής και ούτω καθεξής δεν διαφέρουν από τις ενέργειες με συνηθισμένα κλάσματα! Οι πράξεις με συνηθισμένα κλάσματα είναι η βάση για όλη την άλγεβρα. Για αυτόν τον λόγο θα αναλύσουμε όλη αυτή την αριθμητική με μεγάλη λεπτομέρεια εδώ.

Πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων.

Ο καθένας μπορεί να προσθέσει (αφαιρέσει) κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές (ελπίζω πραγματικά!). Λοιπόν, επιτρέψτε μου να σας υπενθυμίσω ότι είμαι εντελώς ξεχασιάρης: κατά την πρόσθεση (αφαίρεση), ο παρονομαστής δεν αλλάζει. Οι αριθμητές προστίθενται (αφαιρούνται) για να δώσουν τον αριθμητή του αποτελέσματος. Τύπος:

Με λίγα λόγια, μέσα γενική εικόνα:

Τι γίνεται αν οι παρονομαστές είναι διαφορετικοί; Έπειτα, χρησιμοποιώντας την κύρια ιδιότητα του κλάσματος (εδώ μας ήρθε ξανά!), κάνουμε τους παρονομαστές ίδιους! Για παράδειγμα:

Εδώ έπρεπε να κάνουμε το κλάσμα 4/10 από το κλάσμα 2/5. Αποκλειστικά για να γίνουν οι παρονομαστές ίδιοι. Σημειώνω, για παν ενδεχόμενο, ότι 2/5 και 4/10 είναι το ίδιο κλάσμα! Μόνο τα 2/5 είναι άβολα για εμάς και τα 4/10 δεν είναι τίποτα.

Παρεμπιπτόντως, αυτή είναι η ουσία της επίλυσης οποιωνδήποτε εργασιών στα μαθηματικά. Όταν είμαστε έξω άβολοςεκφράσεις κάνουν το ίδιο, αλλά πιο βολικό στην επίλυση.

Ενα άλλο παράδειγμα:

Η κατάσταση είναι παρόμοια. Εδώ κάνουμε 48 στα 16. Με απλό πολλαπλασιασμόστις 3. Όλα αυτά είναι ξεκάθαρα. Εδώ όμως συναντάμε κάτι σαν:

Πώς να είσαι;! Είναι δύσκολο να βγάλεις εννιά στα επτά! Αλλά είμαστε έξυπνοι, ξέρουμε τους κανόνες! Ας μεταμορφωθούμε κάθεκλάσμα έτσι ώστε οι παρονομαστές να είναι ίδιοι. Αυτό ονομάζεται "αναγωγή σε κοινό παρονομαστή":

Πως! Πώς ήξερα για το 63; Πολύ απλό! Το 63 είναι ένας αριθμός που διαιρείται ομοιόμορφα με το 7 και το 9 ταυτόχρονα. Ένας τέτοιος αριθμός μπορεί πάντα να ληφθεί πολλαπλασιάζοντας τους παρονομαστές. Αν πολλαπλασιάσουμε έναν αριθμό επί 7, για παράδειγμα, τότε το αποτέλεσμα σίγουρα θα διαιρεθεί με το 7!

Εάν χρειάζεται να προσθέσετε (αφαιρέσετε) πολλά κλάσματα, δεν χρειάζεται να το κάνετε σε ζευγάρια, βήμα προς βήμα. Απλά πρέπει να βρείτε τον παρονομαστή που είναι κοινός για όλα τα κλάσματα και να φέρετε κάθε κλάσμα στον ίδιο παρονομαστή. Για παράδειγμα:

Και ποιος θα είναι ο κοινός παρονομαστής; Μπορείτε, φυσικά, να πολλαπλασιάσετε το 2, το 4, το 8 και το 16. Παίρνουμε 1024. Εφιάλτης. Είναι ευκολότερο να υπολογίσουμε ότι ο αριθμός 16 διαιρείται απόλυτα με το 2, το 4 και το 8. Επομένως, είναι εύκολο να ληφθεί το 16 από αυτούς τους αριθμούς. Αυτός ο αριθμός θα είναι ο κοινός παρονομαστής. Ας μετατρέψουμε το 1/2 σε 8/16, το 3/4 σε 16/12 και ούτω καθεξής.

Παρεμπιπτόντως, αν πάρουμε κοινό παρονομαστή το 1024, όλα θα πάνε καλά, στο τέλος όλα θα μειωθούν. Μόνο που δεν θα φτάσουν όλοι σε αυτό το τέλος, λόγω των υπολογισμών ...

Λύστε μόνοι σας το παράδειγμα. Όχι λογάριθμος... Θα έπρεπε να είναι 16/29.

Έτσι, με την πρόσθεση (αφαίρεση) των κλασμάτων είναι σαφές, ελπίζω; Φυσικά, είναι πιο εύκολο να δουλέψετε σε συντομευμένη έκδοση, με επιπλέον πολλαπλασιαστές. Αλλά αυτή η ευχαρίστηση είναι διαθέσιμη σε όσους εργάστηκαν τίμια στις κατώτερες τάξεις ... Και δεν ξέχασαν τίποτα.

Και τώρα θα κάνουμε τις ίδιες ενέργειες, αλλά όχι με κλάσματα, αλλά με κλασματικές εκφράσεις. Νέες τσουγκράνες θα βρεθούν εδώ, ναι...

Πρέπει λοιπόν να προσθέσουμε δύο κλασματικές εκφράσεις:

Πρέπει να κάνουμε τους παρονομαστές ίδιους. Και μόνο με τη βοήθεια πολλαπλασιασμός! Άρα λέει η κύρια ιδιότητα του κλάσματος. Επομένως, δεν μπορώ να προσθέσω ένα στο x στο πρώτο κλάσμα στον παρονομαστή. (Αλλά θα ήταν ωραίο!). Αλλά αν πολλαπλασιάσετε τους παρονομαστές, βλέπετε, όλα θα μεγαλώσουν μαζί! Γράφουμε λοιπόν τη γραμμή του κλάσματος, αφήνουμε ένα κενό διάστημα από πάνω, το προσθέτουμε και γράφουμε το γινόμενο των παρονομαστών παρακάτω, για να μην ξεχάσουμε:

Και, φυσικά, δεν πολλαπλασιάζουμε τίποτα στη δεξιά πλευρά, δεν ανοίγουμε αγκύλες! Και τώρα, κοιτάζοντας τον κοινό παρονομαστή της δεξιάς πλευράς, σκεφτόμαστε: για να πάρουμε τον παρονομαστή x (x + 1) στο πρώτο κλάσμα, πρέπει να πολλαπλασιάσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή αυτού του κλάσματος με (x + 1) . Και στο δεύτερο κλάσμα - x. Παίρνετε αυτό:

Σημείωση! Οι παρενθέσεις είναι εδώ! Αυτή είναι η γκανιότα που πολλοί πατούν. Όχι βέβαια παρενθέσεις, αλλά η απουσία τους. Οι παρενθέσεις εμφανίζονται γιατί πολλαπλασιάζουμε ΟΛΟΚΛΗΡΟαριθμητής και ΟΛΟΚΛΗΡΟπαρονομαστής! Και όχι τα μεμονωμένα κομμάτια τους...

Στον αριθμητή της δεξιάς πλευράς γράφουμε το άθροισμα των αριθμητών, όλα είναι όπως μέσα κλάσματα, μετά ανοίξτε τις αγκύλες στον αριθμητή της δεξιάς πλευράς, π.χ. πολλαπλασιάστε τα πάντα και δώστε like. Δεν χρειάζεται να ανοίξετε τις αγκύλες στους παρονομαστές, δεν χρειάζεται να πολλαπλασιάσετε κάτι! Γενικά, σε παρονομαστές (οποιοσδήποτε) πάντα πιο ευχάριστη δουλειά! Παίρνουμε:

Εδώ πήραμε την απάντηση. Η διαδικασία φαίνεται μακρά και δύσκολη, αλλά εξαρτάται από την πρακτική. Λύστε παραδείγματα, συνηθίστε το, όλα θα γίνουν απλά. Όσοι έχουν κατακτήσει τα κλάσματα στον καθορισμένο χρόνο, κάνουν όλες αυτές τις πράξεις με το ένα χέρι, στο μηχάνημα!

Και μια ακόμη σημείωση. Πολλοί ασχολούνται περίφημα με τα κλάσματα, αλλά βασίζονται σε παραδείγματα ολόκληροςαριθμοί. Τύπος: 2 + 1/2 + 3/4= ? Πού να στερεώσω ένα δίδυμο; Δεν χρειάζεται να κουμπώσετε πουθενά, πρέπει να κάνετε ένα κλάσμα από ένα δίδυμο. Δεν είναι εύκολο, είναι πολύ απλό! 2=2/1. Σαν αυτό. Οποιοσδήποτε ακέραιος αριθμός μπορεί να γραφτεί ως κλάσμα. Ο αριθμητής είναι ο ίδιος ο αριθμός, ο παρονομαστής είναι ένας. Το 7 είναι 7/1, το 3 είναι 3/1 και ούτω καθεξής. Το ίδιο συμβαίνει και με τα γράμματα. (a + b) \u003d (a + b) / 1, x \u003d x / 1, κ.λπ. Και μετά δουλεύουμε με αυτά τα κλάσματα σύμφωνα με όλους τους κανόνες.

Λοιπόν, στην πρόσθεση - αφαίρεση των κλασμάτων, οι γνώσεις φρεσκάρονταν. Μετασχηματισμοί κλασμάτων από τον ένα τύπο στον άλλο - επαναλαμβανόμενες. Μπορείτε επίσης να ελέγξετε. Να τακτοποιηθούμε λίγο;)

Υπολογίζω:

Απαντήσεις (σε αταξία):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

Πολλαπλασιασμός / διαίρεση κλασμάτων - στο επόμενο μάθημα. Υπάρχουν επίσης εργασίες για όλες τις ενέργειες με κλάσματα.

Αν σας αρέσει αυτό το site...

Παρεμπιπτόντως, έχω μερικές ακόμη ενδιαφέρουσες τοποθεσίες για εσάς.)

Μπορείτε να εξασκηθείτε στην επίλυση παραδειγμάτων και να μάθετε το επίπεδό σας. Δοκιμή με άμεση επαλήθευση. Μάθηση - με ενδιαφέρον!)

μπορείτε να εξοικειωθείτε με συναρτήσεις και παραγώγους.

Εντολή

Αναγωγή σε κοινό παρονομαστή.

Έστω τα κλάσματα a/b και c/d.

Ο αριθμητής και ο παρονομαστής του πρώτου κλάσματος πολλαπλασιάζονται με LCM / b

Ο αριθμητής και ο παρονομαστής του δεύτερου κλάσματος πολλαπλασιάζονται με LCM/d

Ένα παράδειγμα φαίνεται στο σχήμα.

Για να συγκρίνουν τα κλάσματα, πρέπει να έχουν έναν κοινό παρονομαστή και μετά να συγκρίνουν τους αριθμητές. Για παράδειγμα, 3/4< 4/5, см. .

Πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων.

Για να βρείτε το άθροισμα δύο συνηθισμένων κλασμάτων, πρέπει να μειωθούν σε έναν κοινό παρονομαστή και στη συνέχεια να προσθέσετε τους αριθμητές, ο παρονομαστής παραμένει αμετάβλητος. Ένα παράδειγμα προσθήκης κλασμάτων 1/2 και 1/3 φαίνεται στο σχήμα.

Η διαφορά των κλασμάτων βρίσκεται με παρόμοιο τρόπο, αφού βρεθεί ο κοινός παρονομαστής αφαιρούνται οι αριθμητές των κλασμάτων, δείτε το σχήμα.

Κατά τον πολλαπλασιασμό των συνηθισμένων κλασμάτων, οι αριθμητές και οι παρονομαστές πολλαπλασιάζονται μαζί.

Για να διαιρέσετε δύο κλάσματα, χρειάζεστε ένα κλάσμα του δεύτερου κλάσματος, δηλ. αλλάξτε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του και στη συνέχεια πολλαπλασιάστε τα κλάσματα που προκύπτουν.

Σχετικά βίντεο

Πηγές:

• κλάσματα βαθμού 5 με παράδειγμα
• Βασικές εργασίες για κλάσματα

Μονάδα μέτρησηςαντιπροσωπεύει την απόλυτη τιμή της έκφρασης. Οι παρενθέσεις χρησιμοποιούνται για τον ορισμό μιας ενότητας. Οι τιμές που περιέχονται σε αυτά λαμβάνονται modulo. Η λύση της ενότητας είναι να ανοίξετε παρενθέσεις σύμφωνα με ορισμένους κανόνες και να βρείτε το σύνολο των τιμών της έκφρασης. Στις περισσότερες περιπτώσεις, η ενότητα επεκτείνεται με τέτοιο τρόπο ώστε η έκφραση της υπομονάδας να λαμβάνει μια σειρά θετικών και αρνητικές τιμέςσυμπεριλαμβανομένου μηδενική τιμή. Με βάση αυτές τις ιδιότητες της ενότητας, συντάσσονται και λύνονται περαιτέρω εξισώσεις και ανισότητες της αρχικής έκφρασης.

Εντολή

Γράψτε την αρχική εξίσωση με . Για αυτό, ανοίξτε τη μονάδα. Εξετάστε κάθε έκφραση υπομονάδας. Προσδιορίστε σε ποια τιμή των άγνωστων ποσοτήτων που περιλαμβάνονται σε αυτό, η έκφραση σε αρθρωτές αγκύλες εξαφανίζεται.

Για να το κάνετε αυτό, εξισώστε την έκφραση της υπομονάδας με μηδέν και βρείτε την εξίσωση που προκύπτει. Καταγράψτε τις τιμές που βρέθηκαν. Με τον ίδιο τρόπο, προσδιορίστε τις τιμές της άγνωστης μεταβλητής για κάθε ενότητα δεδομένη εξίσωση.

Σχεδιάστε μια αριθμητική γραμμή και σχεδιάστε τις τιμές που προκύπτουν σε αυτήν. Οι τιμές της μεταβλητής στη μηδενική ενότητα θα χρησιμεύσουν ως περιορισμοί στην επίλυση της αρθρωτής εξίσωσης.

Στην αρχική εξίσωση, πρέπει να ανοίξετε τα αρθρωτά, αλλάζοντας το σύμβολο έτσι ώστε οι τιμές της μεταβλητής να αντιστοιχούν σε αυτές που εμφανίζονται στην αριθμητική γραμμή. Λύστε την εξίσωση που προκύπτει. Ελέγξτε την τιμή που βρέθηκε της μεταβλητής έναντι του περιορισμού που έχει τεθεί από τη μονάδα. Εάν η λύση ικανοποιεί την προϋπόθεση, είναι αλήθεια. Οι ρίζες που δεν πληρούν τους περιορισμούς πρέπει να απορρίπτονται.

Ομοίως, επεκτείνετε τις μονάδες της αρχικής έκφρασης, λαμβάνοντας υπόψη το πρόσημο, και υπολογίστε τις ρίζες της εξίσωσης που προκύπτει. Γράψτε όλες τις ρίζες που προέκυψαν που ικανοποιούν τις ανισότητες περιορισμών.

Οι κλασματικοί αριθμοί σας επιτρέπουν να εκφραστείτε διαφορετική μορφήτην ακριβή αξία της ποσότητας. Με τα κλάσματα, μπορείτε να εκτελέσετε τις ίδιες μαθηματικές πράξεις όπως και με τους ακέραιους: αφαίρεση, πρόσθεση, πολλαπλασιασμό και διαίρεση. Για να μάθετε πώς να αποφασίζετε κλάσματα, είναι απαραίτητο να θυμάστε μερικά από τα χαρακτηριστικά τους. Εξαρτώνται από τον τύπο κλάσματα, η παρουσία ενός ακέραιου μέρους, ενός κοινού παρονομαστή. Ορισμένες αριθμητικές πράξεις μετά την εκτέλεση απαιτούν μείωση του κλασματικού μέρους του αποτελέσματος.

Θα χρειαστείτε

• - αριθμομηχανή

Εντολή

Κοιτάξτε προσεκτικά τους αριθμούς. Εάν υπάρχουν δεκαδικοί και ανώμαλοι μεταξύ των κλασμάτων, μερικές φορές είναι πιο βολικό να εκτελέσετε πρώτα ενέργειες με δεκαδικούς και μετά να τις μετατρέψετε σε λάθος μορφή. Μπορείς να μεταφράσεις κλάσματασε αυτή τη μορφή αρχικά, γράφοντας την τιμή μετά την υποδιαστολή στον αριθμητή και βάζοντας 10 στον παρονομαστή. Εάν χρειάζεται, μειώστε το κλάσμα διαιρώντας τους αριθμούς πάνω και κάτω με έναν διαιρέτη. Τα κλάσματα στα οποία ξεχωρίζει ολόκληρο το μέρος, οδηγούν σε λάθος μορφή πολλαπλασιάζοντάς την με τον παρονομαστή και προσθέτοντας τον αριθμητή στο αποτέλεσμα. Δεδομένες αξίεςθα γίνει ο νέος αριθμητής κλάσματα. Για να εξαγάγετε ολόκληρο το μέρος από το αρχικά λανθασμένο κλάσματα, διαιρέστε τον αριθμητή με τον παρονομαστή. Γράψτε ολόκληρο το αποτέλεσμα από κλάσματα. Και το υπόλοιπο της διαίρεσης γίνεται ο νέος αριθμητής, ο παρονομαστής κλάσματαενώ δεν αλλάζει. Για κλάσματα με ολόκληρο μέροςείναι δυνατή η εκτέλεση ενεργειών χωριστά, πρώτα για τον ακέραιο και μετά για τα κλασματικά μέρη. Για παράδειγμα, το άθροισμα 1 2/3 και 2 ¾ μπορεί να υπολογιστεί:
- Μετατροπή κλασμάτων σε λάθος μορφή:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Άθροιση χωριστά ακέραιων και κλασματικών μερών όρων:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 + (8/12 + 9/12) = 3 + 17/12 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

Για με τιμές κάτω από τη γραμμή, βρείτε τον κοινό παρονομαστή. Για παράδειγμα, για 5/9 και 7/12, ο κοινός παρονομαστής θα είναι 36. Για αυτό, ο αριθμητής και ο παρονομαστής του πρώτου κλάσματαπρέπει να πολλαπλασιάσετε με 4 (θα βγει 28/36) και το δεύτερο - κατά 3 (θα βγει 15/36). Τώρα μπορείτε να κάνετε τους υπολογισμούς.

Εάν πρόκειται να υπολογίσετε το άθροισμα ή τη διαφορά των κλασμάτων, πρώτα σημειώστε τον κοινό παρονομαστή που βρέθηκε κάτω από τη γραμμή. Εκτελέστε τις απαραίτητες ενέργειες μεταξύ των αριθμητών και γράψτε το αποτέλεσμα πάνω από τη νέα γραμμή κλάσματα. Έτσι, ο νέος αριθμητής θα είναι η διαφορά ή το άθροισμα των αριθμητών των αρχικών κλασμάτων.

Για να υπολογίσετε το γινόμενο των κλασμάτων, πολλαπλασιάστε τους αριθμητές των κλασμάτων και γράψτε το αποτέλεσμα στη θέση του αριθμητή του τελικού κλάσματα. Κάντε το ίδιο για τους παρονομαστές. Κατά τη διαίρεση ενός κλάσματαγράψτε το ένα κλάσμα στο άλλο και στη συνέχεια πολλαπλασιάστε τον αριθμητή του με τον παρονομαστή του δεύτερου. Ταυτόχρονα, ο παρονομαστής του πρώτου κλάσματαπολλαπλασιάζεται ανάλογα με τον αριθμητή του δεύτερου. Ταυτόχρονα, ένα είδος ανατροπής του δεύτερου κλάσματα(διαιρών). Το τελικό κλάσμα θα είναι από τα αποτελέσματα του πολλαπλασιασμού των αριθμητών και των παρονομαστών και των δύο κλασμάτων. Εύκολο στην εκμάθηση κλάσματα, γραμμένο στη συνθήκη με τη μορφή "τετραώροφου" κλάσματα. Αν χωρίζει δύο κλάσματα, ξαναγράψτε τα με έναν οριοθέτη ":" και συνεχίστε με την κανονική διαίρεση.

Για να πάρετε το τελικό αποτέλεσμα, μειώστε το κλάσμα που προκύπτει διαιρώντας τον αριθμητή και τον παρονομαστή με έναν ακέραιο αριθμό, τον μεγαλύτερο δυνατό σε αυτή η υπόθεση. Σε αυτήν την περίπτωση, πρέπει να υπάρχουν ακέραιοι αριθμοί πάνω και κάτω από τη γραμμή.

Σημείωση

Μην κάνετε αριθμητική με κλάσματα που έχουν διαφορετικούς παρονομαστές. Επιλέξτε έναν αριθμό τέτοιο ώστε όταν ο αριθμητής και ο παρονομαστής κάθε κλάσματος πολλαπλασιάζονται με αυτόν, ως αποτέλεσμα, οι παρονομαστές και των δύο κλασμάτων να είναι ίσοι.

Χρήσιμες συμβουλές

Κατά την εγγραφή κλασματικοί αριθμοίτο μέρισμα γράφεται πάνω από τη γραμμή. Αυτή η ποσότητα αναφέρεται ως αριθμητής ενός κλάσματος. Κάτω από τη γραμμή γράφεται ο διαιρέτης ή ο παρονομαστής του κλάσματος. Για παράδειγμα, ενάμισι κιλό ρύζι σε μορφή κλάσματος θα γραφτούν ως εξής: 1 ½ κιλό ρύζι. Αν ο παρονομαστής ενός κλάσματος είναι 10, λέγεται δεκαδικό κλάσμα. Σε αυτή την περίπτωση, ο αριθμητής (μέρισμα) γράφεται στα δεξιά όλου του τμήματος που χωρίζεται με κόμμα: 1,5 κιλό ρύζι. Για τη διευκόλυνση των υπολογισμών, ένα τέτοιο κλάσμα μπορεί πάντα να γραφτεί λάθος τρόπο: 1 2/10 κιλό πατάτες. Για απλοποίηση, μπορείτε να μειώσετε τις τιμές αριθμητή και παρονομαστή διαιρώντας τις με έναν μόνο ακέραιο αριθμό. ΣΤΟ αυτό το παράδειγμαείναι δυνατή η διαίρεση με το 2. Το αποτέλεσμα θα είναι 1 1/5 κιλό πατάτες. Βεβαιωθείτε ότι οι αριθμοί με τους οποίους θα κάνετε αριθμητική είναι στην ίδια μορφή.

Εντολή

Κάντε κλικ μία φορά στο στοιχείο μενού "Εισαγωγή" και, στη συνέχεια, επιλέξτε το στοιχείο "Σύμβολο". Αυτό είναι ένα από τα πιο απλούς τρόπουςένθετα κλάσματασε κείμενο. Συνίσταται στα εξής. Το σύνολο των έτοιμων χαρακτήρων έχει κλάσματα. Ο αριθμός τους είναι συνήθως μικρός, αλλά αν πρέπει να γράψετε ½ στο κείμενο και όχι 1/2, τότε για εσάς παρόμοια επιλογήθα είναι το καλύτερο. Επιπλέον, ο αριθμός των κλασματικών χαρακτήρων μπορεί να εξαρτάται από τη γραμματοσειρά. Για παράδειγμα, για τη γραμματοσειρά Times New Roman, υπάρχουν ελαφρώς λιγότερα κλάσματα από ό,τι για το ίδιο Arial. Αλλάξτε τις γραμματοσειρές για να βρείτε το καλύτερο καλύτερη επιλογήαν αφορά απλές εκφράσεις.

Κάντε κλικ στο στοιχείο μενού «Εισαγωγή» και επιλέξτε το υποστοιχείο «Αντικείμενο». Θα δείτε ένα παράθυρο με μια λίστα πιθανών αντικειμένων για εισαγωγή. Επιλέξτε μεταξύ τους Microsoft Equation 3.0. Αυτή η εφαρμογή θα σας βοηθήσει να πληκτρολογήσετε κλάσματα. Και όχι μόνο κλάσματα, αλλά και πολύπλοκο μαθηματικές εκφράσειςπου περιέχει διάφορα τριγωνομετρικές συναρτήσειςκαι άλλα στοιχεία. Κάντε διπλό κλικ σε αυτό το αντικείμενο με το αριστερό κουμπί του ποντικιού. Θα δείτε ένα παράθυρο που περιέχει πολλούς χαρακτήρες.

Για να εκτυπώσετε ένα κλάσμα, επιλέξτε το σύμβολο που αντιπροσωπεύει ένα κλάσμα με κενό αριθμητή και παρονομαστή. Κάντε κλικ σε αυτό μία φορά με το αριστερό κουμπί του ποντικιού. Θα εμφανιστεί ένα πρόσθετο μενού, που θα καθορίζει το σχήμα του κλάσματα. Μπορεί να υπάρχουν πολλές επιλογές. Επιλέξτε το πιο κατάλληλο για εσάς και κάντε κλικ σε αυτό μία φορά με το αριστερό κουμπί του ποντικιού.

ΣΤΟ αυτός ο τομέαςθεωρούνται πράξεις με συνηθισμένα κλάσματα. Σε περίπτωση που είναι απαραίτητο να μαθηματική πράξημε μικτούς αριθμούς, αρκεί να μεταφραστεί μικτό κλάσμασε έκτακτη, πραγματοποιήστε τις απαραίτητες ενέργειες και, εάν χρειάζεται, παρουσιάστε ξανά το τελικό αποτέλεσμα ως μικτό αριθμό. Αυτή η λειτουργία θα περιγραφεί παρακάτω.

Αναγωγή κλασμάτων

μαθηματική πράξη. Αναγωγή κλασμάτων

Για να μειώσετε το κλάσμα \frac(m)(n) πρέπει να βρείτε το μεγαλύτερο κοινός διαιρέτηςο αριθμητής και ο παρονομαστής του: GCD(m,n), μετά διαιρέστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του κλάσματος με αυτόν τον αριθμό. Αν gcd(m,n)=1, τότε το κλάσμα δεν μπορεί να μειωθεί. Παράδειγμα: \frac(20)(80)=\frac(20:20)(80:20)=\frac(1)(4)

Συνήθως αμέσως βρείτε τον μεγαλύτερο κοινό διαιρέτη αντιπροσωπεύεται από δύσκολη εργασίακαι στην πράξη, το κλάσμα μειώνεται σε διάφορα στάδια, επισημαίνοντας βήμα προς βήμα τους προφανείς κοινούς παράγοντες από τον αριθμητή και τον παρονομαστή. \frac(140)(315)=\frac(28\cdot5)(63\cdot5)=\frac(4\cdot7\cdot5)(9\cdot7\cdot5)=\frac(4)(9)

Φέρνοντας τα κλάσματα σε κοινό παρονομαστή

μαθηματική πράξη. Φέρνοντας τα κλάσματα σε κοινό παρονομαστή

Για να αναγάγετε δύο κλάσματα \frac(a)(b) και \frac(c)(d) σε κοινό παρονομαστή, χρειάζεστε:

• Να βρείτε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των παρονομαστών: M=LCM(b,d);
• πολλαπλασιάστε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του πρώτου κλάσματος με το M/b (μετά από το οποίο ο παρονομαστής του κλάσματος γίνεται ίσο με τον αριθμόΜ);
• πολλαπλασιάζουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή του δεύτερου κλάσματος επί Μ/δ (μετά από τον οποίο ο παρονομαστής του κλάσματος γίνεται ίσος με τον αριθμό Μ).

Έτσι, μετατρέπουμε τα αρχικά κλάσματα σε κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστές (που θα είναι ίσοι με τον αριθμό Μ).

Για παράδειγμα, τα κλάσματα \frac(5)(6) και \frac(4)(9) έχουν LCM(6,9) = 18. Τότε: \frac(5)(6)=\frac(5\cdot3) (6 \cdot3)=\frac(15)(18);\quad\frac(4)(9)=\frac(4\cdot2)(9\cdot2)=\frac(8)(18) . Έτσι, τα κλάσματα που προκύπτουν έχουν έναν κοινό παρονομαστή.

Στην πράξη, η εύρεση του ελάχιστου κοινού πολλαπλάσιου (LCM) παρονομαστών δεν είναι πάντα εύκολη υπόθεση. Επομένως, ένας αριθμός επιλέγεται ως κοινός παρονομαστής, ίσο με το γινόμενοπαρονομαστές των αρχικών κλασμάτων. Για παράδειγμα, τα κλάσματα \frac(5)(6) και \frac(4)(9) ανάγεται σε έναν κοινό παρονομαστή N=6\cdot9:

\frac(5)(6)=\frac(5\cdot9)(6\cdot9)=\frac(45)(54);\quad\frac(4)(9)=\frac(4\cdot6)( 9\cdot6)=\frac(24)(54)

Σύγκριση κλασμάτων

μαθηματική πράξη. Σύγκριση κλασμάτων

Για να συγκρίνετε δύο κοινά κλάσματα:

• συγκρίνετε τους αριθμητές των κλασμάτων που προκύπτουν. ένα κλάσμα με μεγαλύτερο αριθμητή θα είναι μεγαλύτερο.

Για παράδειγμα, \frac(9)(14)

Κατά τη σύγκριση των κλασμάτων, υπάρχουν αρκετές ειδικές περιπτώσεις:

1. Από δύο κλάσματα με τους ίδιους παρονομαστέςτόσο μεγαλύτερο είναι το κλάσμα του οποίου ο αριθμητής είναι μεγαλύτερος. Για παράδειγμα \frac(3)(15)
2. Από δύο κλάσματα με τους ίδιους αριθμητέςτόσο μεγαλύτερο είναι το κλάσμα του οποίου ο παρονομαστής είναι μικρότερος. Για παράδειγμα, \frac(4)(11)>\frac(4)(13)
3. Αυτό το κλάσμα, το οποίο ταυτόχρονα μεγαλύτερος αριθμητής και μικρότερος παρονομαστής, περισσότερο. Για παράδειγμα, \frac(11)(3)>\frac(10)(8)

Προσοχή!Ο κανόνας 1 ισχύει για τυχόν κλάσματα εάν ο κοινός τους παρονομαστής είναι θετικός αριθμός. Οι κανόνες 2 και 3 ισχύουν για θετικά κλάσματα(του οποίου ο αριθμητής και ο παρονομαστής είναι μεγαλύτεροι από το μηδέν).

Πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων

μαθηματική πράξη. Πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων

Για να προσθέσετε δύο κλάσματα, χρειάζεστε:

• να τα φέρουν σε έναν κοινό παρονομαστή.
• προσθέστε τους αριθμητές τους και αφήστε τον παρονομαστή αμετάβλητο.

Παράδειγμα: \frac(7)(9)+\frac(4)(7)=\frac(7\cdot7)(9\cdot7)+\frac(4\cdot9)(7\cdot9)=\frac(49 )(63)+\frac(36)(63)=\frac(49+36)(63)=\frac(85)(63)

Για να αφαιρέσετε ένα άλλο κλάσμα από ένα, χρειάζεστε:

• φέρνουν τα κλάσματα σε έναν κοινό παρονομαστή.
• αφαιρέστε τον αριθμητή του δεύτερου κλάσματος από τον αριθμητή του πρώτου κλάσματος και αφήστε τον παρονομαστή αμετάβλητο.

Παράδειγμα: \frac(4)(15)-\frac(3)(5)=\frac(4)(15)-\frac(3\cdot3)(5\cdot3)=\frac(4)(15) -\frac(9)(15)=\frac(4-9)(15)=\frac(-5)(15)=-\frac(5)(3\cdot5)=-\frac(1)( 3)

Εάν τα αρχικά κλάσματα έχουν αρχικά κοινό παρονομαστή, τότε το σημείο 1 (αναγωγή σε κοινό παρονομαστή) παραλείπεται.

Μετατροπή μικτού αριθμού σε ακατάλληλο κλάσμα και αντίστροφα

μαθηματική πράξη. Μετατροπή μικτού αριθμού σε ακατάλληλο κλάσμα και αντίστροφα

Για να μετατρέψουμε ένα μικτό κλάσμα σε ακατάλληλο, αρκεί να αθροίσουμε ολόκληρο το μέρος του μικτού κλάσματος με το κλασματικό μέρος. Το αποτέλεσμα ενός τέτοιου αθροίσματος θα είναι ένα ακατάλληλο κλάσμα, ο αριθμητής του οποίου είναι ίσος με το άθροισμα του γινομένου του ακέραιου μέρους και του παρονομαστή του κλάσματος με τον αριθμητή του μικτού κλάσματος και ο παρονομαστής παραμένει ο ίδιος. Για παράδειγμα, 2\frac(6)(11)=2+\frac(6)(11)=\frac(2\cdot11)(11)+\frac(6)(11)=\frac(2\cdot11+ 6)(11)=\frac(28)(11)

Για να μετατρέψετε ένα ακατάλληλο κλάσμα σε μικτό αριθμό:

• διαιρέστε τον αριθμητή ενός κλάσματος με τον παρονομαστή του.
• Γράψτε το υπόλοιπο της διαίρεσης στον αριθμητή και αφήστε τον παρονομαστή ίδιο.
• γράψτε το αποτέλεσμα της διαίρεσης ως ακέραιο μέρος.

Για παράδειγμα, το κλάσμα \frac(23)(4) . Κατά τη διαίρεση 23:4=5,75, δηλαδή το ακέραιο μέρος είναι 5, το υπόλοιπο της διαίρεσης είναι 23-5*4=3. Τότε θα γραφτεί ο μεικτός αριθμός: 5\frac(3)(4) . \frac(23)(4)=\frac(5\cdot4+3)(4)=5\frac(3)(4)

Μετατροπή δεκαδικού σε κοινό κλάσμα

μαθηματική πράξη. Μετατροπή δεκαδικού σε κοινό κλάσμα

Για να μετατρέψετε ένα δεκαδικό σε κοινό κλάσμα:

1. Πάρτε την ν-η δύναμη του δέκα ως παρονομαστή (εδώ n είναι ο αριθμός των δεκαδικών ψηφίων).
2. ως αριθμητής, πάρτε τον αριθμό μετά την υποδιαστολή (αν το ακέραιο μέρος του αρχικού αριθμού δεν είναι ίσο με μηδέν, τότε πάρτε και όλα τα πρώτα μηδενικά).
3. το μη μηδενικό ακέραιο μέρος γράφεται στον αριθμητή στην αρχή. το μηδενικό ακέραιο μέρος παραλείπεται.

Παράδειγμα 1: 0,0089=\frac(89)(10000) (4 δεκαδικά ψηφία, άρα ο παρονομαστής 10 4 =10000, αφού το ακέραιο μέρος είναι 0, ο αριθμητής είναι ο αριθμός μετά την υποδιαστολή χωρίς αρχικά μηδενικά)

Παράδειγμα 2: 31.0109=\frac(310109)(10000) (στον αριθμητή γράφουμε τον αριθμό μετά την υποδιαστολή με όλα τα μηδενικά: "0109", και μετά προσθέτουμε το ακέραιο μέρος του αρχικού αριθμού "31" πριν από αυτό)

Εάν το ακέραιο μέρος ενός δεκαδικού κλάσματος είναι διαφορετικό από το μηδέν, τότε μπορεί να μετατραπεί σε μικτό κλάσμα. Για να γίνει αυτό, μεταφράζουμε τον αριθμό σε ένα συνηθισμένο κλάσμα σαν το ακέραιο μέρος να είναι ίσο με μηδέν (σημεία 1 και 2) και απλώς ξαναγράφουμε το ακέραιο μέρος πριν από το κλάσμα - αυτό θα είναι το ακέραιο μέρος του μικτού αριθμού. Παράδειγμα:

3.014=3\frac(14)(100)

Για να μετατρέψετε ένα συνηθισμένο κλάσμα σε δεκαδικό, αρκεί απλώς να διαιρέσετε τον αριθμητή με τον παρονομαστή. Μερικές φορές γίνεται ατελείωτο δεκαδικός. Σε αυτή την περίπτωση, είναι απαραίτητο να στρογγυλοποιηθεί στο επιθυμητό δεκαδικό ψηφίο. Παραδείγματα:

\frac(401)(5)=80,2;\quad \frac(2)(3)\περίπου 0,6667

Πολλαπλασιασμός και διαίρεση κλασμάτων

μαθηματική πράξη. Πολλαπλασιασμός και διαίρεση κλασμάτων

Για να πολλαπλασιάσετε δύο κοινά κλάσματα, πρέπει να πολλαπλασιάσετε τους αριθμητές και τους παρονομαστές των κλασμάτων.

\frac(5)(9)\cdot\frac(7)(2)=\frac(5\cdot7)(9\cdot2)=\frac(35)(18)

Για να διαιρέσετε ένα κοινό κλάσμα με ένα άλλο, πρέπει να πολλαπλασιάσετε το πρώτο κλάσμα με το αντίστροφο του δεύτερου ( αμοιβαίοςείναι ένα κλάσμα στο οποίο ο αριθμητής και ο παρονομαστής αντιστρέφονται.

\frac(5)(9):\frac(7)(2)=\frac(5)(9)\cdot\frac(2)(7)=\frac(5\cdot2)(9\cdot7)= \frac(10)(63)

Αν ένα από τα κλάσματα είναι φυσικός αριθμός, τότε οι παραπάνω κανόνες για τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση παραμένουν σε ισχύ. Απλά να έχετε κατά νου ότι ένας ακέραιος είναι το ίδιο κλάσμα, ο παρονομαστής του οποίου ίσο με ένα. Για παράδειγμα: 3:\frac(3)(7)=\frac(3)(1):\frac(3)(7)=\frac(3)(1)\cdot\frac(7)(3) = \frac(3\cdot7)(1\cdot3)=\frac(7)(1)=7