Βρείτε online την προβολή ενός διανύσματος σε ένα επίπεδο. Ηλεκτρονική αριθμομηχανή Υπολογισμός της προβολής ενός διανύσματος σε ένα διάνυσμα

Έστω μια ευθεία l και μια ευθεία m που την τέμνουν στο επίπεδο. Διάνυσμα προβολήςστην ευθεία l παράλληλη προς την ευθεία m (κατά μήκος της ευθείας m) ονομάζεται διάνυσμα (Εικ. 1.13, α). Αν η ευθεία m είναι κάθετη στην ευθεία l, τότε η προβολή ονομάζεται ορθογώνια.

Έστω μια ευθεία γραμμή l και ένα επίπεδο \rho που την τέμνει στο διάστημα. Διάνυσμα προβολής \vec(a)=\overrightarrow(AB)στην ευθεία l παράλληλη στο επίπεδο \rho (κατά μήκος του επιπέδου \rho ) ονομάζεται διάνυσμα \vec(a)_l=\overrightarrow(AB)_l, η αρχή του οποίου είναι η προβολή A_l , η αρχή του A , και το τέλος είναι η προβολή B_l του άκρου B του διανύσματος \overrightarrow(AB)(Εικ. 1.13,6). Αν το επίπεδο \rho είναι κάθετο στην ευθεία l , τότε η προβολή ονομάζεται ορθογώνια.

Προβολή ενός διανύσματος σε ένα επίπεδο

Ας δοθεί στο διάστημα ένα επίπεδο i και μια ευθεία \rho που το τέμνει. Διάνυσμα προβολής \vec(a)=\overrightarrow(AB)στο επίπεδο \rho παράλληλο στην ευθεία m (κατά μήκος της ευθείας m ) ονομάζεται διάνυσμα \vec(a)_(\rho)=\overrightarrow(AB)_(\rho), του οποίου η αρχή είναι η προβολή A_(\rho) της αρχής A , και το τέλος είναι η προβολή B_(\rho) του άκρου B του διανύσματος \overrightarrow(AB)(Εικ. 1.14). Αν η ευθεία m είναι κάθετη στο επίπεδο \rho , τότε η προβολή ονομάζεται ορθογώνια.

Διανυσματικές ιδιότητες προβολής

1. Προβολές ενός διανύσματος σε παράλληλες ευθείες (ή σε παράλληλα επίπεδα) είναι ίσα.

2. Οι προβολές ίσων διανυσμάτων είναι ίσες.

3. Η προβολή του αθροίσματος των διανυσμάτων ισούται με το άθροισμα των προβολών τους.

4. Η προβολή του γινομένου ενός διανύσματος με έναν αριθμό ισούται με το γινόμενο αυτού του αριθμού από την προβολή του διανύσματος, με άλλα λόγια, η αναλογία συγγραμμικά διανύσματαισούται με την αναλογία των προβολών τους (αν ορίζεται).

5. Η προβολή γραμμικού συνδυασμού διανυσμάτων ισούται με γραμμικό συνδυασμό προβολών.

Εξετάστε αυτές τις ιδιότητες για προβολές διανυσμάτων στην ευθεία l παράλληλη προς την ευθεία m. Για προβολές διανυσμάτων σε επίπεδο ή σε ευθεία παράλληλη προς το επίπεδο, οι αποδείξεις είναι παρόμοιες.

Ας αποδείξουμε την πρώτη ιδιότητα. Έστω \vec(a)_l η προβολή του διανύσματος \vec(a) στην ευθεία l κατά μήκος της ευθείας m , και \vec(a)_l είναι η προβολή του διανύσματος \vec(a) στην ευθεία l" κατά μήκος της ίδιας ευθείας m , και οι ευθείες l και l "παράλληλες (Εικ. 1.15). Το τετράπλευρο που σχηματίζεται από την τομή ενός ζεύγους παράλληλων ευθειών l και l "διακεκομμένες γραμμές παράλληλες στην ευθεία m είναι παραλληλόγραμμο. Επομένως, \vec(a)_(l")=\vec(a)_l, δηλ. οι προβολές του ίδιου διανύσματος \vec(a) σε παράλληλες ευθείες είναι ίσες.

Ας αποδείξουμε τη δεύτερη ιδιότητα. Αφήνω ίσα διανύσματα \overrightarrow(AB)και \overrightarrow(CD), όχι παράλληλη προς την ευθεία m (βλ. Εικ. 1.16). Ας κατασκευάσουμε διανύσματα ίσα με αυτά \mathop(\overrightarrow(A_lB")= \overrightarrow(AB))\limits_(.)και \mathop(\overrightarrow(C_lD")= \overrightarrow(CD))\limits_(.). Από την ισότητα \mathop(\overrightarrow(A_lB")= \overrightarrow(C_lD"))\limits_(.)προκύπτει ότι το τετράπλευρο A_lB "D" C_l είναι παραλληλόγραμμο και τα τρίγωνα A_lB "B_l και C_lD" D_l είναι ίσα σε πλευρές και δύο παρακείμενες γωνίες

\big(A_lB"=C_lD",\qquad \γωνία B"A_lB_l=\γωνία D"C_lD_l,\qquad \γωνία A_lB"B_l=\γωνία C_lD"D_l

ως γωνίες με αντίστοιχα παράλληλες πλευρές). Συνεπώς, \mathop(\overrightarrow(A_lB_l)= \overrightarrow(C_lD_l))\limits_(.), δηλ. ίσα διανύσματα που δεν είναι παράλληλα προς την ευθεία m έχουν ίσες προβολές. Αν τα διανύσματα είναι παράλληλα στην ευθεία m, τότε οι προβολές τους είναι επίσης ίσες, όπως και τα μηδενικά διανύσματα. Η δεύτερη ιδιότητα αποδεικνύεται.

Η απόδειξη της τρίτης ιδιότητας είναι προφανής για τα διανύσματα \overrightarrow(AB)και (Εικ. 1.17): διανυσματική προβολή \overrightarrow(AC)=\overrightarrow(AB)+\overrightarrow(BC)ισούται με το άθροισμα των προβολών και \overrightarrow(B_lC_l), διανύσματα \overrightarrow(AB)και \overrightarrow(BC), δηλ. \overrightarrow(A_lC_l)= \overrightarrow(A_lB_l)+ \overrightarrow(B_lC_l). Για αυθαίρετα διανύσματα\vec(a) και \vec(b) (για τα οποία το τέλος του διανύσματος \vec(a) δεν συμπίπτει με την αρχή του διανύσματος \vec(b) ), η απόδειξη μειώνεται στην εξεταζόμενη περίπτωση για διανύσματα ίσα σε αυτούς \overrightarrow(AB)=\vec(a)και \overrightarrow(BC)=\vec(b), αφού τα ίσα διανύσματα έχουν ίσες προβολές (από τη δεύτερη ιδιότητα).

Η απόδειξη της τέταρτης ιδιότητας προκύπτει από το θεώρημα του Θαλή (βλ. Ενότητα Β.2). Το σχήμα 1.18 δείχνει τα διανύσματα \overrightarrow(AB)και \overrightarrow(AC)=\lambda\overrightarrow(AB)(\λάμδα>0) , καθώς και οι προβολές τους \overrightarrow(A_lB_l)και \overrightarrow(A_lC_l). Σύμφωνα με το θεώρημα του Θαλή \frac(AC)(AB)=\frac(A_lC_l)(A_lB_l)=\λάμδα, Συνεπώς, \overrightarrow(A_lC_l)= \lambda\overrightarrow(A_lB_l), που έπρεπε να αποδειχτεί. Στην περίπτωση του \λάμδα<0 доказательство аналогичное.

Η πέμπτη ιδιότητα των προβολών προκύπτει από την τρίτη και την τέταρτη.

Θεώρημα 1.1 (σε προβολές ενός διανύσματος σε τεμνόμενες ευθείες).

1. Εάν δίνονται δύο τεμνόμενες ευθείες l_1 και l_2 στο επίπεδο, τότε οποιοδήποτε διάνυσμα \vec(a) στο επίπεδο μπορεί να αναπαρασταθεί μοναδικά ως το άθροισμα των προβολών του \vec(a)_1 και \vec(a)_2 σε αυτές οι γραμμές (οι προβολές σε κάθε ευθεία λαμβάνονται κατά μήκος μιας άλλης ευθείας), δηλ. .

2. Εάν τρεις ευθείες l_1, l_2 και l_3 δίνονται στο χώρο, που τέμνονται σε ένα σημείο και δεν βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο, τότε οποιοδήποτε διάνυσμα \vec(a) στο διάστημα μπορεί να αναπαρασταθεί μοναδικά ως το άθροισμα των προβολών του \vec(a)_1,\vec(a)_2,\vec(a)_3σε αυτές τις γραμμές (οι προβολές σε κάθε γραμμή λαμβάνονται κατά μήκος του επιπέδου που περιέχει τις άλλες δύο γραμμές), δηλ. .

Πράγματι, έστω οι ευθείες l_1 και l_2 τέμνονται στο σημείο O (Εικ. 1.19, α). Εφαρμόζουμε το διάνυσμα \vec(a) στο σημείο O , δηλ. εξετάστε το διάνυσμα \overrightarrow(OA)=\vec(a). Με τον κανόνα του παραλληλογράμμου της πρόσθεσης διανυσμάτων (βλ. Ενότητα 1.2), λαμβάνουμε την ισότητα \overrightarrow(OA)=\vec(a)_1+\vec(a)_2, που ισοδυναμεί με την ισότητα που αποδεικνύεται \vec(a)=\vec(a)_1+\vec(a)_2, αφού τα ίσα διανύσματα έχουν ίσες προβολές (βλ. ιδιότητα 2 των προβολών). Η μοναδικότητα της αναπαράστασης προκύπτει από τη μοναδικότητα της εύρεσης των προβολών του διανύσματος.

Εάν το διάνυσμα \vec(a) είναι συγγραμμικό με μία από τις γραμμές, για παράδειγμα l_1 , τότε οι αντίστοιχες προβολές μοιάζουν με: \vec(a)_1=\vec(a),~\vec(a)_2=\vec(o)και την ισότητα \vec(a)=\vec(a)_1+\vec(a)_2=\vec(a)+\vec(o)είναι προφανώς ικανοποιημένος.

Ο δεύτερος ισχυρισμός αποδεικνύεται ομοίως.

Παρατήρηση 1.3.

Οι δηλώσεις αντίθετες από αυτές που αναφέρονται στο Θεώρημα 1.1 είναι αληθείς.

Αν το διάνυσμα στο επίπεδο είναι ίσο με το άθροισμα δύο μη συγγραμμικών διανυσμάτων, δηλ. \vec(a)=\vec(a)_1+\vec(a)_2, τότε οι όροι \vec(a)_1 και \vec(a)_2 είναι οι προβολές του διανύσματος \vec(a) στις γραμμές που περιέχουν τα διανύσματα \vec(a)_1 και \vec(a)_2, αντίστοιχα.

Αν ένα διάνυσμα στο χώρο είναι ίσο με το άθροισμα τριών μη ομοεπίπεδων διανυσμάτων, δηλ. \vec(a)=\vec(a)_1+\vec(a)_2+\vec(a)_3, μετά τους όρους \vec(a)_,\vec(a)_2και \vec(a)_3 είναι οι προβολές του διανύσματος \vec(a) στις γραμμές που περιέχουν τα διανύσματα \vec(a)_,\vec(a)_2,\vec(a)_3αντίστοιχα.

Πράγματι, από ένα αυθαίρετο σημείο Ο παραμερίζουμε τα διανύσματα \overrightarrow(OA)=\vec(a),\,\overrightarrow(OA_1)=\vec(a)_1,\,\overrightarrow(OA_2)=\vec(a)_2,\,\overrightarrow(OA_3)= \vec(a)_3(Εικ.1.19.6). Μετά από την ισότητα \vec(a)=\vec(a)_1+\vec(a)_2+\vec(a)_3ακολουθεί ότι \overrightarrow(OA)=\overrightarrow(OA_1)+\overrightarrow(OA_2)+\overrightarrow(OA_3), δηλ. διάνυσμα - είναι η διαγώνιος ενός πλαισίου που βασίζεται σε διανύσματα (επομένως ακολουθεί τον κανόνα του πλαισίου για την προσθήκη τριών μη ομοεπίπεδων διανυσμάτων). Να γιατί \overrightarrow(OA_1),\,\overrightarrow(OA_2),\,\overrightarrow(OA_3)- διανυσματικές προβολές \overrightarrow(OA)στις γραμμές l_1,\,l_2,\,l_3 (η προβολή σε κάθε γραμμή λαμβάνεται κατά μήκος του επιπέδου που διέρχεται από τις άλλες δύο γραμμές). Αφού ίσα διανύσματα \vec(a) και \overrightarrow(OA)έχουν ίσες προβολές (ιδιότητα 2), συμπεραίνουμε ότι οι προβολές του διανύσματος \vec(a) στις ευθείες l_1,\,l_2,\,l_3 είναι ίσες, αντίστοιχα. Τέλος, οι προβολές στις ευθείες l_1,\,l_2,\,l_3 είναι ίσες με τις προβολές στις παράλληλες σε αυτές γραμμές, που περιέχουν τα διανύσματα \vec(a)_1,\,\vec(a)_2,\,\vec(a)_3αντίστοιχα.

Παράδειγμα 1.5. Αν μια ευθεία τέμνει τις πλευρές AB,~BC,~CA του τριγώνου ABC (ή τις προεκτάσεις τους) στα σημεία C_1,~B_1,~C_1 αντίστοιχα, τότε

\frac(\overrightarrow(AC_1))(\overrightarrow(BC_1))\cdot\frac(\overrightarrow(BA_1))(\overrightarrow(CA_1))\cdot\frac(\overrightarrow(CB_1))(\overrightarrow(AB_1 ))=1.

Λύση.Ας βρούμε τους λόγους των προβολών των διανυσμάτων στην ευθεία AB κατά μήκος της ευθείας A_1C_1 (Εικ. 1.20). Για να το κάνετε αυτό, σχεδιάστε μια ευθεία στο σημείο B BB_2 παράλληλη στην ευθεία A_1C_1. Ανά ιδιοκτησία 4 προβολές έχουμε:

\frac(\overrightarrow(AC_1))(\overrightarrow(BC_1))=\frac(\overrightarrow(AB_1))(\overrightarrow(B_2B_1));~~~~\frac(\overrightarrow(BA_1))(\overrightarrow(AB_1)) (CA_1))=\frac(\overrightarrow(B_2B_1))(\overrightarrow(CB_1)).

Πολλαπλασιάζοντας αυτές τις αναλογίες, παίρνουμε \frac(\overrightarrow(AC_1))(\overrightarrow(BC_1))\cdot\frac(\overrightarrow(BA_1))(\overrightarrow(CA_1))=\frac(\overrightarrow(AB_1))(\overrightarrow(CB_1) ), που ισοδυναμεί με την ισότητα που αποδεικνύεται.

Σημειώστε ότι ο παραπάνω ισχυρισμός είναι μέρος του θεωρήματος του Μενελάου.

Παράδειγμα 1.6. Αν τα σημεία A_1,~B_1,~C_1 ληφθούν αντίστοιχα στις πλευρές AB,~BC,~CA του τριγώνου ABC έτσι ώστε οι ευθείες AA_1,~BB_1,~CC_1 να τέμνονται σε ένα σημείο, τότε

\frac(\overrightarrow(AC_1))(\overrightarrow(BC_1))\cdot\frac(\overrightarrow(BA_1))(\overrightarrow(CA_1))\cdot\frac(\overrightarrow(CB_1))(\overrightarrow(AB_1 ))=-1.

Λύση.Έστω οι ευθείες να τέμνονται στο σημείο Q (Εικ. 1.21). Σχεδιάστε ευθείες C_1B_2 και C_1A_2 έως το σημείο C_1 παράλληλες προς BB_1 και AA_1, αντίστοιχα. Σύμφωνα με την ιδιότητα των προβολών (ιδιότητα 4):

\frac(\overrightarrow(AB_1))(\overrightarrow(B_2B_1))=-\frac(\overrightarrow(AB))(\overrightarrow(BC_1));~~~\frac(\overrightarrow(BA_1))(\overrightarrow (A_2A_1))=\frac(\overrightarrow(AB))(\overrightarrow(AC_1));~~~\frac(\overrightarrow(CA_1))(\overrightarrow(A_2A_1))=\frac(\overrightarrow(CQ) )(\overrightarrow(C_1Q))=\frac(\overrightarrow(CB_1))(\overrightarrow(B_2B_1))

Λαμβάνοντας υπόψη αυτές τις ισότητες και τις ιδιότητες των σχέσεων των συγγραμμικών διανυσμάτων (βλ. Ενότητα 1.2.1), μετασχηματίζουμε το αριστερό και το δεξί μέρος της τελευταίας ισότητας:

\begin(gathered)\frac(\overrightarrow(CQ))(\overrightarrow(C_1Q))=\frac(\overrightarrow(CA_1))(\overrightarrow(A_2A_1))=\frac(\overrightarrow(CA_1))(\ overrightarrow(BA_1))\cdot\frac(\overrightarrow(BA_1))(\overrightarrow(A_2A_1))=\frac(\overrightarrow(CA_1))(\overrightarrow(BA_1))\cdot\frac(\overrightarrow(AB) )(\overrightarrow(AC_1))\\\frac(\overrightarrow(C_1Q))(\overrightarrow(CQ))=\frac(\overrightarrow(B_2B_1))(\overrightarrow(CB_1))=\frac(\overrightarrow( AB_1))(\overrightarrow(CB_1))\cdot\frac(\overrightarrow(B_2B_1))(\overrightarrow(AB_1))=\frac(\overrightarrow(AB_1))(\overrightarrow(CB_1))\cdot\left( -\frac(\overrightarrow(BC_1))(\overrightarrow(AB))\right)\end(συγκεντρώθηκε)

Ας γράψουμε το γινόμενο των δεξιών μερών αυτών των ισοτήτων, λαμβάνοντας υπόψη ότι το γινόμενο των αριστερών μερών είναι ίσο με ένα:

\frac(\overrightarrow(CA_1))(\overrightarrow(BA_1))\cdot\frac(\overrightarrow(AB))(\overrightarrow(AC_1))\cdot\frac(\overrightarrow(AB_1))(\overrightarrow(CB_1 ))\cdot\left(-\frac(\overrightarrow(BC_1))(\overrightarrow(AB))\right)=-\frac(\overrightarrow(BC_1))(\overrightarrow(AC_1))\cdot\frac( \overrightarrow(CA_1))(\overrightarrow(BA_1))\cdot\frac(\overrightarrow(AB_1))(\overrightarrow(CB_1))\cdot\frac(\overrightarrow(AB))(\overrightarrow(AB))= -\frac(\overrightarrow(BC_1))(\overrightarrow(AC_1))\cdot\frac(\overrightarrow(CA_1))(\overrightarrow(BA_1))\cdot\frac(\overrightarrow(AB_1))(\overrightarrow( CB_1))=1

Ας βρούμε την αντίστροφη σχέση \frac(\overrightarrow(AC_1))(\overrightarrow(BC_1))\cdot\frac(\overrightarrow(BA_1))(\overrightarrow(CA_1))\cdot\frac(\overrightarrow(CB_1))(\overrightarrow(AB_1 ))=-1, που έπρεπε να αποδειχτεί.

Σημειώστε ότι ο παραπάνω ισχυρισμός είναι μέρος του θεωρήματος του Ceva.

Η Javascript είναι απενεργοποιημένη στον browser σας.
Τα στοιχεία ελέγχου ActiveX πρέπει να είναι ενεργοποιημένα για να κάνετε υπολογισμούς! Αλγεβρική διανυσματική προβολήσε οποιονδήποτε άξονα είναι ίσο με το γινόμενο του μήκους του διανύσματος και του συνημιτόνου της γωνίας μεταξύ του άξονα και του διανύσματος:

Δεξιά a b = |b|cos(a,b) ή

Όπου a b είναι το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων , |a| - μέτρο του διανύσματος a .

Εντολή. Για να βρείτε online την προβολή του διανύσματος Пp a b, πρέπει να καθορίσετε τις συντεταγμένες των διανυσμάτων a και b . Στην περίπτωση αυτή, το διάνυσμα μπορεί να δοθεί στο επίπεδο (δύο συντεταγμένες) και στο διάστημα (τρεις συντεταγμένες). Η λύση που προκύπτει αποθηκεύεται σε ένα αρχείο Word. Εάν τα διανύσματα δίνονται μέσω των συντεταγμένων των σημείων, τότε πρέπει να χρησιμοποιήσετε αυτήν την αριθμομηχανή.

Ταξινόμηση διανυσματικής προβολής

Τύποι προβολών εξ ορισμού διανυσματική προβολή

Τύποι προβολών κατά σύστημα συντεταγμένων

Διανυσματικές ιδιότητες προβολής

Η γεωμετρική προβολή ενός διανύσματος είναι διάνυσμα (έχει διεύθυνση).
Η αλγεβρική προβολή ενός διανύσματος είναι ένας αριθμός.

Διανυσματικά θεωρήματα προβολής

Θεώρημα 1. Η προβολή του αθροίσματος των διανυσμάτων σε οποιονδήποτε άξονα είναι ίση με την προβολή των όρων των διανυσμάτων στον ίδιο άξονα.

Θεώρημα 2. Η αλγεβρική προβολή ενός διανύσματος σε οποιονδήποτε άξονα είναι ίση με το γινόμενο του μήκους του διανύσματος και του συνημιτόνου της γωνίας μεταξύ του άξονα και του διανύσματος:

Δεξιά a b = |b|cos(a,b)

Τύποι διανυσματικών προβολών

προβολή στον άξονα OX.
προβολή στον άξονα OY.
προβολή σε ένα διάνυσμα.

Προβολή στον άξονα OX	Προβολή στον άξονα OY	Προβολή στο διάνυσμα
Αν η φορά του διανύσματος Α'Β' συμπίπτει με την κατεύθυνση του άξονα ΟΧ, τότε η προβολή του διανύσματος Α'Β' έχει θετικό πρόσημο.	Αν η φορά του διανύσματος Α'Β' συμπίπτει με την κατεύθυνση του άξονα ΟΥ, τότε η προβολή του διανύσματος Α'Β' έχει θετικό πρόσημο.	Αν η κατεύθυνση του διανύσματος Α'Β' συμπίπτει με τη φορά του διανύσματος ΝΜ, τότε η προβολή του διανύσματος Α'Β' έχει θετικό πρόσημο.
Αν η φορά του διανύσματος είναι αντίθετη από την κατεύθυνση του άξονα ΟΧ, τότε η προβολή του διανύσματος Α'Β' έχει αρνητικό πρόσημο.	Αν η φορά του διανύσματος Α'Β' είναι αντίθετη από την κατεύθυνση του άξονα ΟΥ, τότε η προβολή του διανύσματος Α'Β' έχει αρνητικό πρόσημο.	Αν η φορά του διανύσματος Α'Β' είναι αντίθετη από τη φορά του διανύσματος ΝΜ, τότε η προβολή του διανύσματος Α'Β' έχει αρνητικό πρόσημο.
Αν το διάνυσμα ΑΒ είναι παράλληλο με τον άξονα ΟΧ, τότε η προβολή του διανύσματος Α'Β' είναι ίση με το μέτρο του διανύσματος ΑΒ.	Αν το διάνυσμα ΑΒ είναι παράλληλο προς τον άξονα ΟΥ, τότε η προβολή του διανύσματος Α'Β' ισούται με το μέτρο του διανύσματος ΑΒ.	Αν το διάνυσμα ΑΒ είναι παράλληλο με το διάνυσμα ΝΜ, τότε η προβολή του διανύσματος Α'Β' είναι ίση με το μέτρο του διανύσματος ΑΒ.
Αν το διάνυσμα ΑΒ είναι κάθετο στον άξονα ΟΧ, τότε η προβολή του Α'Β' είναι ίση με μηδέν (μηδέν-διάνυσμα).	Αν το διάνυσμα ΑΒ είναι κάθετο στον άξονα ΟΥ, τότε η προβολή του Α'Β' ισούται με μηδέν (μηδενικό διάνυσμα).	Αν το διάνυσμα ΑΒ είναι κάθετο στο διάνυσμα ΝΜ, τότε η προβολή του Α'Β' ισούται με μηδέν (μηδενικό διάνυσμα).

1. Ερώτηση: Μπορεί η προβολή ενός διανύσματος να έχει αρνητικό πρόσημο. Απάντηση: Ναι, οι διανυσματικές προβολές μπορεί να είναι αρνητικές. Σε αυτήν την περίπτωση, το διάνυσμα έχει την αντίθετη κατεύθυνση (δείτε πώς κατευθύνονται ο άξονας OX και το διάνυσμα ΑΒ)
2. Ερώτηση: Μπορεί η προβολή ενός διανύσματος να συμπέσει με το μέτρο του διανύσματος. Απάντηση: Ναι, μπορεί. Στην περίπτωση αυτή, τα διανύσματα είναι παράλληλα (ή βρίσκονται στην ίδια ευθεία).
3. Ερώτηση: Μπορεί η προβολή ενός διανύσματος να είναι ίση με μηδέν (μηδέν-διάνυσμα). Απάντηση: Ναι, μπορεί. Στην περίπτωση αυτή, το διάνυσμα είναι κάθετο στον αντίστοιχο άξονα (διάνυσμα).

Παράδειγμα 1 . Το διάνυσμα (Εικ. 1) σχηματίζει γωνία 60 ο με τον άξονα ΟΧ (δίνεται από το διάνυσμα α). Αν η ΟΕ είναι μονάδα κλίμακας, τότε |b|=4, άρα .

Πράγματι, το μήκος του διανύσματος (γεωμετρική προβολή b) είναι ίσο με 2, και η κατεύθυνση συμπίπτει με την κατεύθυνση του άξονα OX.

Παράδειγμα 2 . Το διάνυσμα (Εικ. 2) σχηματίζει γωνία με τον άξονα OX (με το διάνυσμα a) (a,b) = 120 o . Μήκος |b| Το διάνυσμα b είναι ίσο με 4, άρα pr a b=4 cos120 o = -2.

Πράγματι, το μήκος του διανύσματος είναι ίσο με 2 και η κατεύθυνση είναι αντίθετη από την κατεύθυνση του άξονα.

και σε έναν άξονα ή σε κάποιο άλλο διάνυσμα, υπάρχουν έννοιες της γεωμετρικής προβολής και της αριθμητικής (ή αλγεβρικής) προβολής του. Το αποτέλεσμα μιας γεωμετρικής προβολής είναι ένα διάνυσμα και το αποτέλεσμα μιας αλγεβρικής προβολής είναι ένας μη αρνητικός πραγματικός αριθμός. Αλλά πριν προχωρήσουμε σε αυτές τις έννοιες, ας θυμηθούμε τις απαραίτητες πληροφορίες.

Προκαταρκτικές πληροφορίες

Η κύρια έννοια είναι άμεσα η έννοια ενός διανύσματος. Για να εισαγάγουμε τον ορισμό ενός γεωμετρικού διανύσματος, ας θυμηθούμε τι είναι ευθύγραμμο τμήμα. Εισάγουμε τον ακόλουθο ορισμό.

Ορισμός 1

Ένα τμήμα είναι ένα τμήμα μιας ευθείας που έχει δύο όρια με τη μορφή σημείων.

Το τμήμα μπορεί να έχει 2 κατευθύνσεις. Για να υποδείξουμε την κατεύθυνση, θα ονομάσουμε ένα από τα όρια του τμήματος την αρχή του και το άλλο όριο - το τέλος του. Η κατεύθυνση υποδεικνύεται από την αρχή μέχρι το τέλος του τμήματος.

Ορισμός 2

Ένα διάνυσμα ή ένα κατευθυνόμενο τμήμα είναι ένα τμήμα για το οποίο είναι γνωστό ποιο από τα όρια του τμήματος θεωρείται η αρχή και ποιο το τέλος του.

Σημείωση: Δύο γράμματα: $\overline(AB)$ – (όπου $A$ είναι η αρχή και $B$ το τέλος της).

Με ένα μικρό γράμμα: $\overline(a)$ (Εικόνα 1).

Ας εισαγάγουμε μερικές ακόμη έννοιες που σχετίζονται με την έννοια του διανύσματος.

Ορισμός 3

Δύο μη μηδενικά διανύσματα θα ονομάζονται συγγραμμικά εάν βρίσκονται στην ίδια ευθεία ή σε ευθείες παράλληλες μεταξύ τους (Εικ. 2).

Ορισμός 4

Δύο μη μηδενικά διανύσματα θα ονομάζονται συμκατευθυντικά εάν πληρούν δύο προϋποθέσεις:

Αυτά τα διανύσματα είναι συγγραμμικά.
Εάν κατευθύνονται προς μία κατεύθυνση (Εικ. 3).

Ονομασία: $\overline(a)\overline(b)$

Ορισμός 5

Δύο μη μηδενικά διανύσματα θα ονομάζονται αντίθετα κατευθυνόμενα εάν πληρούν δύο προϋποθέσεις:

Αυτά τα διανύσματα είναι συγγραμμικά.
Εάν κατευθύνονται σε διαφορετικές κατευθύνσεις (Εικ. 4).

Ονομασία: $\overline(a)↓\overline(d)$

Ορισμός 6

Το μήκος του διανύσματος $\overline(a)$ είναι το μήκος του τμήματος $a$.

Σημείωση: $|\overline(a)|$

Ας προχωρήσουμε στον ορισμό της ισότητας δύο διανυσμάτων

Ορισμός 7

Δύο διανύσματα θα ονομαστούν ίσα εάν πληρούν δύο προϋποθέσεις:

Είναι ευθυγραμμισμένα.
Τα μήκη τους είναι ίσα (Εικ. 5).

γεωμετρική προβολή

Όπως είπαμε νωρίτερα, το αποτέλεσμα μιας γεωμετρικής προβολής θα είναι ένα διάνυσμα.

Ορισμός 8

Με τη γεωμετρική προβολή του διανύσματος $\overline(AB)$ στον άξονα εννοούμε ένα τέτοιο διάνυσμα, το οποίο προκύπτει ως εξής: Το σημείο της αρχής του διανύσματος $A$ προβάλλεται στον δεδομένο άξονα. Παίρνουμε το σημείο $A"$ - την αρχή του επιθυμητού διανύσματος. Το τελικό σημείο του διανύσματος $B$ προβάλλεται σε αυτόν τον άξονα. Παίρνουμε το σημείο $B"$ - το τέλος του επιθυμητού διανύσματος. Το διάνυσμα $\overline(A"B")$ θα είναι το επιθυμητό διάνυσμα.

Σκεφτείτε το πρόβλημα:

Παράδειγμα 1

Δημιουργήστε μια γεωμετρική προβολή $\overline(AB)$ στον άξονα $l$ που φαίνεται στην Εικόνα 6.

Σχεδιάστε μια κάθετο στον άξονα $l$ από το σημείο $A$, λάβετε το σημείο $A"$ σε αυτό. Στη συνέχεια, σχεδιάστε την κάθετο στον άξονα $l$ από το σημείο $B$, λάβετε το σημείο $B" $ σε αυτό (Εικ. 7).

Η προβολή διαφόρων γραμμών και επιφανειών σε ένα επίπεδο σάς επιτρέπει να δημιουργήσετε μια οπτική αναπαράσταση αντικειμένων με τη μορφή σχεδίου. Θα εξετάσουμε μια ορθογώνια προβολή, στην οποία οι προεξέχουσες ακτίνες είναι κάθετες στο επίπεδο προβολής. ΠΡΟΒΟΛΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ ΣΕ ΕΠΙΠΕΔΟ θεωρήστε το διάνυσμα \u003d (Εικ. 3.22), που περικλείεται μεταξύ των καθέτων που έπεσαν από την αρχή και το τέλος του.

Ρύζι. 3.22. Διανυσματική προβολή ενός διανύσματος σε ένα επίπεδο.

Ρύζι. 3.23. Διανυσματική προβολή ενός διανύσματος σε έναν άξονα.

Στη διανυσματική άλγεβρα, είναι συχνά απαραίτητο να προβάλλουμε ένα διάνυσμα σε έναν ΑΞΟΝΑ, δηλαδή σε μια ευθεία γραμμή που έχει έναν συγκεκριμένο προσανατολισμό. Ένας τέτοιος σχεδιασμός είναι εύκολος εάν το διάνυσμα και ο άξονας L βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο (Εικ. 3.23). Ωστόσο, το έργο γίνεται πιο δύσκολο όταν δεν πληρούται αυτή η προϋπόθεση. Ας κατασκευάσουμε την προβολή του διανύσματος στον άξονα, όταν το διάνυσμα και ο άξονας δεν βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο (Εικ. 3.24).

Ρύζι. 3.24. Προβολή ενός διανύσματος σε έναν άξονα
γενικά.

Μέσα από τα άκρα του διανύσματος σχεδιάζουμε επίπεδα κάθετα στην ευθεία L. Στην τομή με αυτήν την ευθεία, αυτά τα επίπεδα ορίζουν δύο σημεία Α1 και Β1 - ένα διάνυσμα, το οποίο θα ονομάσουμε διανυσματική προβολή αυτού του διανύσματος. Το πρόβλημα της εύρεσης μιας διανυσματικής προβολής μπορεί να λυθεί πιο απλά εάν το διάνυσμα φέρει στο ίδιο επίπεδο με τον άξονα, κάτι που είναι δυνατό, αφού τα ελεύθερα διανύσματα θεωρούνται στη διανυσματική άλγεβρα.

Μαζί με τη διανυσματική προβολή, υπάρχει και μια ΒΑΘΜΙΑΚΗ ΠΡΟΒΟΛΗ, η οποία ισούται με το μέτρο της διανυσματικής προβολής εάν η διανυσματική προβολή συμπίπτει με τον προσανατολισμό του άξονα L και είναι ίση με την αντίθετη τιμή εάν η διανυσματική προβολή και ο άξονας L έχει αντίθετο προσανατολισμό. Η κλιμακωτή προβολή θα συμβολίζεται με:

Οι διανυσματικές και οι κλιμακωτές προβολές δεν διαχωρίζονται πάντα ορολογικά αυστηρά στην πράξη. Ο όρος "διανυσματική προβολή" χρησιμοποιείται συνήθως, που σημαίνει τη βαθμιδωτή προβολή ενός διανύσματος. Κατά τη λήψη απόφασης, είναι απαραίτητο να γίνει σαφής διάκριση μεταξύ αυτών των εννοιών. Ακολουθώντας την καθιερωμένη παράδοση, θα χρησιμοποιήσουμε τους όρους "διανυσματική προβολή", που υποδηλώνει μια βαθμιδωτή προβολή, και "διανυσματική προβολή" - σύμφωνα με την καθιερωμένη έννοια.

Ας αποδείξουμε ένα θεώρημα που μας επιτρέπει να υπολογίσουμε τη βαθμιδωτή προβολή ενός δεδομένου διανύσματος.

ΘΕΩΡΗΜΑ 5. Η προβολή ενός διανύσματος στον άξονα L είναι ίση με το γινόμενο του δομοστοιχείου του και το συνημίτονο της γωνίας μεταξύ του διανύσματος και του άξονα, δηλαδή

(3.5)

Ρύζι. 3.25. Εύρεση διανυσμάτων και βαθμωτών
Διανυσματικές προβολές στον άξονα L
(και ο άξονας L είναι εξίσου προσανατολισμένοι).

ΑΠΟΔΕΙΞΗ. Ας κάνουμε προκαταρκτικές κατασκευές που μας επιτρέπουν να βρούμε τη γωνία σολΜεταξύ του διανύσματος και του άξονα L. Για να γίνει αυτό, κατασκευάζουμε μια ευθεία γραμμή MN παράλληλη προς τον άξονα L και που διέρχεται από το σημείο O - την αρχή του διανύσματος (Εικ. 3.25). Η γωνία θα είναι η επιθυμητή γωνία. Ας σχεδιάσουμε μέσα από τα σημεία Α και Ο δύο επίπεδα κάθετα στον άξονα L. Παίρνουμε:

Αφού ο άξονας L και η ευθεία MN είναι παράλληλες.

Ξεχωρίζουμε δύο περιπτώσεις αμοιβαίας διάταξης του διανύσματος και του άξονα L.

1. Αφήστε τη διανυσματική προβολή και τον άξονα L να είναι εξίσου προσανατολισμένοι (Εικ. 3.25). Στη συνέχεια η αντίστοιχη βαθμωτή προβολή .

2. Έστω και L να είναι προσανατολισμένα σε διαφορετικές κατευθύνσεις (Εικ. 3.26).

Ρύζι. 3.26. Εύρεση των διανυσματικών και βαθμωτών προβολών ενός διανύσματος στον άξονα L (και ο άξονας L είναι προσανατολισμένος σε αντίθετες κατευθύνσεις).

Έτσι, ο ισχυρισμός του θεωρήματος ισχύει και στις δύο περιπτώσεις.

ΘΕΩΡΗΜΑ 6. Εάν η αρχή του διανύσματος μειωθεί σε ένα ορισμένο σημείο του άξονα L, και αυτός ο άξονας βρίσκεται στο επίπεδο s, το διάνυσμα σχηματίζει μια γωνία με την προβολή του διανύσματος στο επίπεδο s και μια γωνία με το διάνυσμα προβολή στον άξονα L, επιπλέον, οι ίδιες οι διανυσματικές προβολές σχηματίζουν μια γωνία μεταξύ τους, τότε