Από το σχολείο, όλοι γνωρίζουμε τον κανόνα για την αύξηση σε δύναμη: οποιοσδήποτε αριθμός με εκθέτη Ν ισούται με το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού δεδομένου αριθμούστον εαυτό του Ν-ο αριθμό φορές. Με άλλα λόγια, το 7 στη δύναμη του 3 είναι το 7 πολλαπλασιασμένο με τον εαυτό του τρεις φορές, δηλαδή 343. Ένας άλλος κανόνας - η αύξηση οποιασδήποτε τιμής στη δύναμη του 0 δίνει ένα και η αύξηση αρνητική τιμήαντιπροσωπεύει το αποτέλεσμα της κανονικής εκθέσεως αν είναι άρτιο και το ίδιο αποτέλεσμα με αρνητικό πρόσημο αν είναι περιττό.

Οι κανόνες δίνουν επίσης μια απάντηση για το πώς να αυξήσετε έναν αριθμό σε αρνητική δύναμη. Για να γίνει αυτό, πρέπει να αυξήσετε την απαιτούμενη τιμή από τη μονάδα του δείκτη με τον συνήθη τρόπο και, στη συνέχεια, να διαιρέσετε τη μονάδα με το αποτέλεσμα.

Από αυτούς τους κανόνες, γίνεται σαφές ότι η εφαρμογή πραγματικές εργασίεςμε μεγάλες ποσότητες θα απαιτήσει την παρουσία τεχνικά μέσα. Χειροκίνητα θα είναι δυνατό να πολλαπλασιαστεί από μόνο του ένα μέγιστο εύρος αριθμών έως είκοσι ή τριάντα και, στη συνέχεια, όχι περισσότερο από τρεις ή τέσσερις φορές. Αυτό για να μην αναφέρουμε το γεγονός ότι στη συνέχεια διαιρέστε επίσης τη μονάδα με το αποτέλεσμα. Επομένως, για όσους δεν έχουν ειδικό μηχανική αριθμομηχανή, θα εξηγήσουμε πώς να αυξήσετε έναν αριθμό σε έναν αρνητικό εκθέτη στο Excel.

Επίλυση προβλημάτων στο Excel

Για να λύσετε προβλήματα με την εκθετικότητα, το Excel σάς επιτρέπει να χρησιμοποιήσετε μία από τις δύο επιλογές.

Το πρώτο είναι η χρήση του τύπου με το τυπικό σύμβολο καπάκι. Εισαγάγετε τα ακόλουθα δεδομένα στα κελιά του φύλλου εργασίας:

Με τον ίδιο τρόπο, μπορείτε να αυξήσετε την επιθυμητή τιμή σε οποιαδήποτε ισχύ - αρνητική, κλασματική. Ας κάνουμε το εξής και ας απαντήσουμε στην ερώτηση πώς να αυξήσουμε έναν αριθμό σε αρνητική δύναμη. Παράδειγμα:

Είναι δυνατή η απευθείας διόρθωση στον τύπο =B2^-C2.

Η δεύτερη επιλογή είναι να χρησιμοποιήσετε την έτοιμη συνάρτηση "Degree", η οποία παίρνει δύο υποχρεωτικά ορίσματα - έναν αριθμό και έναν δείκτη. Για να ξεκινήσετε να το χρησιμοποιείτε, αρκεί να βάλετε ένα σύμβολο ίσου (=) σε οποιοδήποτε ελεύθερο κελί, που δείχνει την αρχή του τύπου, και να εισαγάγετε τις παραπάνω λέξεις. Απομένει να επιλέξετε δύο κελιά που θα συμμετέχουν στη λειτουργία (ή να καθορίσετε συγκεκριμένους αριθμούςχειροκίνητα) και πατήστε το πλήκτρο Enter. Ας δούμε μερικά απλά παραδείγματα.

			Τύπος	Αποτέλεσμα
			POWER(B2;C2)
			POWER(B3;C3)	0,002915

Όπως μπορείτε να δείτε, δεν υπάρχει τίποτα περίπλοκο στο πώς να αυξήσετε έναν αριθμό σε αρνητική δύναμη και στη συνηθισμένη. χρησιμοποιώντας το Excel. Εξάλλου, για να λύσετε αυτό το πρόβλημα, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τόσο το γνωστό σύμβολο "καπάκι" και την εύκολη στην απομνημόνευση ενσωματωμένη λειτουργία του προγράμματος. Αυτό είναι ένα σίγουρο συν!

Ας προχωρήσουμε σε περισσότερα σύνθετα παραδείγματα. Ας θυμηθούμε τον κανόνα για το πώς να αυξήσετε έναν αριθμό σε αρνητική ισχύ κλασματικού χαρακτήρα και θα δούμε ότι αυτή η εργασία επιλύεται πολύ απλά στο Excel.

Κλασματικοί δείκτες

Εν ολίγοις, ο αλγόριθμος για τον υπολογισμό ενός αριθμού με κλασματικός δείκτηςΕπόμενο.

1. Μετατρέψτε έναν κλασματικό εκθέτη σε σωστό ή ακατάλληλο κλάσμα.
2. Ανεβάστε τον αριθμό μας στον αριθμητή του κλάσματος που μετατράπηκε.
3. Από τον αριθμό που λήφθηκε στην προηγούμενη παράγραφο, υπολογίστε τη ρίζα, με την προϋπόθεση ότι ο ριζικός δείκτης θα είναι ο παρονομαστής του κλάσματος που λήφθηκε στο πρώτο στάδιο.

Συμφωνώ ότι ακόμη και όταν λειτουργεί με μικρούς αριθμούς και κατάλληλα κλάσματατέτοιοι υπολογισμοί μπορεί να διαρκέσουν πολύ. Καλό αυτό επεξεργαστή υπολογιστικών φύλλωνΤο Excel δεν ενδιαφέρεται ποιος αριθμός και σε ποιο βαθμό θα αυξήσει. Δοκιμάστε να λύσετε το ακόλουθο παράδειγμα σε ένα φύλλο εργασίας του Excel:

Χρησιμοποιώντας τους παραπάνω κανόνες, μπορείτε να ελέγξετε και να βεβαιωθείτε ότι ο υπολογισμός είναι σωστός.

Στο τέλος του άρθρου μας, θα δώσουμε με τη μορφή πίνακα με τύπους και αποτελέσματα αρκετά παραδείγματα για το πώς να αυξήσετε έναν αριθμό σε αρνητική ισχύ, καθώς και πολλά παραδείγματα με τη λειτουργία κλασματικοί αριθμοίκαι πτυχία.

Παράδειγμα πίνακα

Ελέγξτε στο φύλλο εργασίας βιβλία excelτα ακόλουθα παραδείγματα. Για να λειτουργήσουν όλα σωστά, πρέπει να χρησιμοποιήσετε μια μικτή αναφορά κατά την αντιγραφή του τύπου. Διορθώστε τον αριθμό της στήλης που περιέχει τον αριθμό που ανυψώνεται και τον αριθμό της σειράς που περιέχει τον δείκτη. Ο τύπος σας πρέπει να είναι περίπου επόμενη προβολή: "=$B4^C$3".

Αριθμός / Πτυχίο

Σημειώστε ότι οι θετικοί αριθμοί (ακόμη και οι μη ακέραιοι) υπολογίζονται χωρίς προβλήματα για τυχόν εκθέτες. Δεν υπάρχουν προβλήματα με την αύξηση οποιουδήποτε αριθμού σε ακέραιους αριθμούς. Αλλά η αύξηση ενός αρνητικού αριθμού σε κλασματική ισχύ θα αποδειχθεί λάθος για εσάς, καθώς είναι αδύνατο να ακολουθήσετε τον κανόνα που υποδεικνύεται στην αρχή του άρθρου μας σχετικά με την αύξηση αρνητικών αριθμών, επειδή η ομοιότητα είναι χαρακτηριστικό ενός αποκλειστικά ΑΚΕΡΑΙΟΥ αριθμού.

Πρώτο επίπεδο

Ο βαθμός και οι ιδιότητές του. Περιεκτικός οδηγός (2019)

Γιατί χρειάζονται πτυχία; Πού τα χρειάζεστε; Γιατί χρειάζεται να αφιερώσετε χρόνο στη μελέτη τους;

Για να μάθετε τα πάντα για τα πτυχία, σε τι χρησιμεύουν, πώς να χρησιμοποιήσετε τις γνώσεις σας Καθημερινή ζωήδιαβάστε αυτό το άρθρο.

Και, φυσικά, η γνώση των πτυχίων θα σας φέρει πιο κοντά επιτυχής παράδοση OGE ή USE και να μπεις στο πανεπιστήμιο των ονείρων σου.

Πάμε... (Πάμε!)

Σημαντική σημείωση! Εάν αντί για τύπους βλέπετε ασυναρτησίες, διαγράψτε την προσωρινή μνήμη. Για να το κάνετε αυτό, πατήστε CTRL+F5 (στα Windows) ή Cmd+R (σε Mac).

ΠΡΩΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

Η εκτίμηση είναι η ίδια μαθηματική πράξηόπως πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμός ή διαίρεση.

Τώρα θα τα εξηγήσω όλα ανθρώπινη γλώσσαμε πολύ απλά παραδείγματα. Πρόσεχε. Τα παραδείγματα είναι στοιχειώδη, αλλά εξηγούν σημαντικά πράγματα.

Ας ξεκινήσουμε με την προσθήκη.

Δεν υπάρχει τίποτα να εξηγήσω εδώ. Τα ξέρεις ήδη όλα: είμαστε οκτώ. Κάθε ένα έχει δύο μπουκάλια κόλα. Πόσο κόλα; Αυτό είναι σωστό - 16 μπουκάλια.

Τώρα πολλαπλασιασμός.

Το ίδιο παράδειγμα με την κόλα μπορεί να γραφτεί με διαφορετικό τρόπο: . Οι μαθηματικοί είναι πονηροί και τεμπέληδες άνθρωποι. Πρώτα παρατηρούν κάποια μοτίβα και μετά βρίσκουν έναν τρόπο να τα «μετρήσουν» πιο γρήγορα. Στην περίπτωσή μας, παρατήρησαν ότι καθένα από τα οκτώ άτομα είχε τον ίδιο αριθμό μπουκαλιών κόλα και κατέληξαν σε μια τεχνική που ονομάζεται πολλαπλασιασμός. Συμφωνώ, θεωρείται ευκολότερο και πιο γρήγορο από.

Έτσι, για να μετράτε πιο γρήγορα, πιο εύκολα και χωρίς λάθη, απλά πρέπει να θυμάστε προπαιδεία. Φυσικά, μπορείς να τα κάνεις όλα πιο αργά, πιο δύσκολα και με λάθη! Αλλά…

Εδώ είναι ο πίνακας πολλαπλασιασμού. Επαναλαμβάνω.

Και ένα άλλο, πιο όμορφο:

Και ποια άλλα δύσκολα κόλπα μέτρησης βρήκαν οι τεμπέληδες μαθηματικοί; Σωστά - ανεβάζοντας έναν αριθμό σε δύναμη.

Ανεβάζοντας έναν αριθμό σε δύναμη

Εάν χρειάζεται να πολλαπλασιάσετε έναν αριθμό από τον εαυτό του πέντε φορές, τότε οι μαθηματικοί λένε ότι πρέπει να αυξήσετε αυτόν τον αριθμό στην πέμπτη δύναμη. Για παράδειγμα, . Οι μαθηματικοί θυμούνται ότι δύο προς την πέμπτη δύναμη είναι. Και λύνουν τέτοια προβλήματα στο μυαλό τους - πιο γρήγορα, πιο εύκολα και χωρίς λάθη.

Για να το κάνετε αυτό, χρειάζεστε μόνο θυμηθείτε τι επισημαίνεται με χρώμα στον πίνακα των δυνάμεων των αριθμών. Πιστέψτε με, θα κάνει τη ζωή σας πολύ πιο εύκολη.

Παρεμπιπτόντως, γιατί λέγεται το δεύτερο πτυχίο τετράγωνοαριθμούς και το τρίτο κύβος? Τι σημαίνει? Πολύ καλή ερώτηση. Τώρα θα έχετε και τετράγωνα και κύβους.

Παράδειγμα πραγματικής ζωής #1

Ας ξεκινήσουμε με ένα τετράγωνο ή τη δεύτερη δύναμη ενός αριθμού.

Φανταστείτε μια τετράγωνη πισίνα που μετράει μέτρα ανά μέτρα. Η πισίνα είναι στην αυλή σας. Έχει ζέστη και θέλω πολύ να κολυμπήσω. Αλλά ... πισίνα χωρίς πάτο! Είναι απαραίτητο να καλύψετε το κάτω μέρος της πισίνας με πλακάκια. Πόσα πλακάκια χρειάζεστε; Για να το προσδιορίσετε, πρέπει να γνωρίζετε την περιοχή του πυθμένα της πισίνας.

Μπορείτε απλά να μετρήσετε πατώντας το δάχτυλό σας ότι το κάτω μέρος της πισίνας αποτελείται από κύβους μέτρο προς μέτρο. Αν τα πλακάκια σας είναι μέτρο με μέτρο, θα χρειαστείτε κομμάτια. Είναι εύκολο... Μα πού είδες τέτοιο πλακάκι; Το πλακάκι θα είναι μάλλον εκατοστά εκ. Και μετά θα σε βασανίζουν «μετρώντας με το δάχτυλό σου». Τότε πρέπει να πολλαπλασιάσετε. Έτσι, στη μία πλευρά του πάτου της πισίνας θα τοποθετήσουμε πλακάκια (κομμάτια) και στην άλλη πλακάκια επίσης. Πολλαπλασιάζοντας με, λαμβάνετε πλακίδια ().

Παρατηρήσατε ότι πολλαπλασιάσαμε τον ίδιο αριθμό από μόνος του για να προσδιορίσουμε το εμβαδόν του πυθμένα της πισίνας; Τι σημαίνει? Εφόσον πολλαπλασιάζεται ο ίδιος αριθμός, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την τεχνική της εκθέσεως. (Φυσικά, όταν έχετε μόνο δύο αριθμούς, πρέπει ακόμα να τους πολλαπλασιάσετε ή να τους αυξήσετε σε μια ισχύ. Αλλά αν έχετε πολλούς από αυτούς, τότε η αύξηση σε μια ισχύ είναι πολύ πιο εύκολη και επίσης υπάρχουν λιγότερα λάθη στους υπολογισμούς Για την εξέταση, αυτό είναι πολύ σημαντικό).
Έτσι, τριάντα έως το δεύτερο βαθμό θα είναι (). Ή μπορείτε να πείτε ότι θα είναι τριάντα στο τετράγωνο. Με άλλα λόγια, η δεύτερη δύναμη ενός αριθμού μπορεί πάντα να αναπαρασταθεί ως τετράγωνο. Και αντίστροφα, αν δείτε τετράγωνο, είναι ΠΑΝΤΑ η δεύτερη δύναμη κάποιου αριθμού. Ένα τετράγωνο είναι μια εικόνα της δεύτερης δύναμης ενός αριθμού.

Παράδειγμα πραγματικής ζωής #2

Εδώ είναι μια εργασία για εσάς, μετρήστε πόσα τετράγωνα υπάρχουν στη σκακιέρα χρησιμοποιώντας το τετράγωνο του αριθμού ... Στη μία πλευρά των κελιών και στην άλλη επίσης. Για να μετρήσετε τον αριθμό τους, πρέπει να πολλαπλασιάσετε το οκτώ επί οκτώ ή ... αν παρατηρήσετε ότι μια σκακιέρα είναι ένα τετράγωνο με μια πλευρά, τότε μπορείτε να τετραγωνίσετε το οκτώ. Αποκτήστε κύτταρα. () Ετσι?

Παράδειγμα πραγματικής ζωής #3

Τώρα ο κύβος ή η τρίτη δύναμη ενός αριθμού. Η ίδια πισίνα. Αλλά τώρα πρέπει να μάθετε πόσο νερό θα πρέπει να χυθεί σε αυτή την πισίνα. Πρέπει να υπολογίσετε τον όγκο. (Οι όγκοι και τα υγρά, παρεμπιπτόντως, μετρώνται σε κυβικά μέτρα. Απροσδόκητα, σωστά;) Σχεδιάστε μια πισίνα: ένας πάτος σε μέγεθος ένα μέτρο και ένα μέτρο βάθος και προσπαθήστε να υπολογίσετε πόσοι κύβοι μέτρο ανά μέτρο συνολικά θα μπουν στην πισίνα σας.

Απλώς κουνήστε το δάχτυλό σας και μετρήστε! Ένα, δύο, τρία, τέσσερα… είκοσι δύο, είκοσι τρία… Πόσο βγήκε; Δεν χάθηκες; Είναι δύσκολο να μετρήσεις με το δάχτυλό σου; Ετσι ώστε! Πάρτε ένα παράδειγμα από μαθηματικούς. Είναι τεμπέληδες, οπότε παρατήρησαν ότι για να υπολογίσετε τον όγκο της πισίνας, πρέπει να πολλαπλασιάσετε το μήκος, το πλάτος και το ύψος της το ένα με το άλλο. Στην περίπτωσή μας, ο όγκος της πισίνας θα είναι ίσος με κύβους ... Πιο εύκολο, σωστά;

Τώρα φανταστείτε πόσο τεμπέληδες και πονηροί είναι οι μαθηματικοί αν το κάνουν πολύ εύκολο. Μείωσε τα πάντα σε μία ενέργεια. Παρατήρησαν ότι το μήκος, το πλάτος και το ύψος είναι ίσα και ότι ο ίδιος αριθμός πολλαπλασιάζεται από μόνος του... Και τι σημαίνει αυτό; Αυτό σημαίνει ότι μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το πτυχίο. Έτσι, αυτό που κάποτε μετρούσατε με ένα δάχτυλο, το κάνουν με μία ενέργεια: τρία σε έναν κύβο είναι ίσα. Είναι γραμμένο έτσι:

Παραμένει μόνο απομνημονεύστε τον πίνακα των βαθμών. Εκτός, φυσικά, αν είστε τόσο τεμπέληδες και πονηροί όσο οι μαθηματικοί. Αν σας αρέσει να εργάζεστε σκληρά και να κάνετε λάθη, μπορείτε να συνεχίσετε να μετράτε με το δάχτυλό σας.

Λοιπόν, για να σας πείσω επιτέλους ότι τα πτυχία εφευρέθηκαν από αργόσχολους και πονηρούς ανθρώπους για να τους λύσουν προβλήματα ζωής, και για να μην σας δημιουργήσω προβλήματα, ορίστε μερικά ακόμη παραδείγματα από τη ζωή.

Παράδειγμα πραγματικής ζωής #4

Έχετε ένα εκατομμύριο ρούβλια. Στην αρχή κάθε έτους, κερδίζετε άλλο ένα εκατομμύριο για κάθε εκατομμύριο. Δηλαδή, κάθε ένα από τα εκατομμύρια σας στην αρχή κάθε έτους διπλασιάζεται. Πόσα χρήματα θα έχετε σε χρόνια; Αν τώρα κάθεσαι και «μετράς με το δάχτυλό σου», τότε είσαι πολύ εργατικός άνθρωπος και .. ηλίθιος. Το πιο πιθανό όμως είναι να δώσεις απάντηση σε λίγα δευτερόλεπτα, γιατί είσαι έξυπνος! Έτσι, τον πρώτο χρόνο - δύο φορές δύο ... τον δεύτερο χρόνο - τι έγινε, από δύο ακόμη, τον τρίτο χρόνο ... Σταματήστε! Παρατηρήσατε ότι ο αριθμός πολλαπλασιάζεται μόνος του μία φορά. Άρα δύο προς την πέμπτη δύναμη είναι ένα εκατομμύριο! Τώρα φανταστείτε ότι έχετε διαγωνισμό και αυτός που υπολογίζει πιο γρήγορα θα πάρει αυτά τα εκατομμύρια ... Αξίζει να θυμάστε τους βαθμούς των αριθμών, τι πιστεύετε;

Παράδειγμα πραγματικής ζωής #5

Έχεις ένα εκατομμύριο. Στην αρχή κάθε έτους, κερδίζετε δύο περισσότερα για κάθε εκατομμύριο. Είναι υπέροχο σωστά; Κάθε εκατομμύριο τριπλασιάζεται. Πόσα χρήματα θα έχετε σε ένα χρόνο; Ας μετρήσουμε. Το πρώτο έτος - πολλαπλασιάστε με, μετά το αποτέλεσμα με ένα άλλο ... Είναι ήδη βαρετό, γιατί έχετε ήδη καταλάβει τα πάντα: το τρία πολλαπλασιάζεται από μόνο του φορές. Άρα η τέταρτη δύναμη είναι ένα εκατομμύριο. Απλώς πρέπει να θυμάστε ότι το τρία προς την τέταρτη δύναμη είναι ή.

Τώρα ξέρετε ότι ανεβάζοντας έναν αριθμό σε δύναμη, θα κάνετε τη ζωή σας πολύ πιο εύκολη. Ας ρίξουμε μια περαιτέρω ματιά στο τι μπορείτε να κάνετε με τα πτυχία και τι πρέπει να γνωρίζετε για αυτά.

Όροι και έννοιες ... για να μην μπερδευτούμε

Λοιπόν, πρώτα, ας ορίσουμε τις έννοιες. Τι νομίζετε, τι είναι εκθέτης? Είναι πολύ απλό - αυτός είναι ο αριθμός που βρίσκεται "στην κορυφή" της ισχύος του αριθμού. Δεν είναι επιστημονικό, αλλά ξεκάθαρο και εύκολο στην απομνημόνευση...

Λοιπόν, την ίδια στιγμή, τι μια τέτοια βάση πτυχίου? Ακόμα πιο απλός είναι ο αριθμός που βρίσκεται στο κάτω μέρος, στη βάση.

Εδώ είναι μια φωτογραφία για να είστε σίγουροι.

Λοιπόν και μέσα γενική εικόναγια να γενικεύσουμε και να θυμάστε καλύτερα ... Ένας βαθμός με βάση "" και εκθέτη "" διαβάζεται ως "στο βαθμό" και γράφεται ως εξής:

Δύναμη ενός αριθμού με φυσικό εκθέτη

Μάλλον μαντέψατε ήδη: επειδή ο εκθέτης είναι ένας φυσικός αριθμός. Ναι, αλλά τι είναι φυσικός αριθμός? Στοιχειώδης! Οι φυσικοί αριθμοί είναι αυτοί που χρησιμοποιούνται στη μέτρηση κατά την καταχώριση στοιχείων: ένα, δύο, τρία ... Όταν μετράμε στοιχεία, δεν λέμε: «μείον πέντε», «μείον έξι», «μείον επτά». Δεν λέμε ούτε «ένα τρίτο» ή «μηδέν πόντος πέντε δέκατα». Δεν είναι ακέραιοι αριθμοί. Ποιοι πιστεύετε ότι είναι αυτοί οι αριθμοί;

Αριθμοί όπως "μείον πέντε", "μείον έξι", "μείον επτά" αναφέρονται ολόκληροι αριθμοί.Γενικά, οι ακέραιοι αριθμοί περιλαμβάνουν όλους τους φυσικούς αριθμούς, τους αριθμούς αντίθετους από τους φυσικούς αριθμούς (δηλαδή που λαμβάνονται με το πρόσημο μείον) και έναν αριθμό. Το μηδέν είναι εύκολο να κατανοηθεί - αυτό είναι όταν δεν υπάρχει τίποτα. Και τι σημαίνουν αρνητικοί («μείον») αριθμοί; Αλλά εφευρέθηκαν κυρίως για να δηλώσουν χρέη: εάν έχετε υπόλοιπο στο τηλέφωνό σας σε ρούβλια, αυτό σημαίνει ότι οφείλετε ρούβλια στον χειριστή.

Όλα τα κλάσματα είναι ρητοί αριθμοί. Πώς προέκυψαν, πιστεύεις; Πολύ απλό. Πριν από αρκετές χιλιάδες χρόνια, οι πρόγονοί μας ανακάλυψαν ότι δεν είχαν αρκετούς φυσικούς αριθμούς για να μετρήσουν το μήκος, το βάρος, το εμβαδόν κ.λπ. Και κατέληξαν στο ρητοί αριθμοί… Ενδιαφέρον, έτσι δεν είναι;

Υπάρχουν και παράλογοι αριθμοί. Ποιοι είναι αυτοί οι αριθμοί; Εν ολίγοις, ένα άπειρο δεκαδικό κλάσμα. Για παράδειγμα, αν η περιφέρεια ενός κύκλου διαιρεθεί με τη διάμετρό του, τότε παράλογος αριθμός.

Περίληψη:

Ας ορίσουμε την έννοια του βαθμού, ο εκθέτης του οποίου είναι ένας φυσικός αριθμός (δηλαδή ακέραιος και θετικός).

1. Οποιοσδήποτε αριθμός στην πρώτη δύναμη είναι ίσος με τον εαυτό του:
2. Το τετράγωνο ενός αριθμού σημαίνει πολλαπλασιασμός του από τον εαυτό του:
3. Ο κύβος ενός αριθμού σημαίνει ότι τον πολλαπλασιάζεις με τον εαυτό του τρεις φορές:

Ορισμός.Σηκώστε έναν αριθμό στο φυσικός βαθμόςσημαίνει να πολλαπλασιάσουμε έναν αριθμό με τον εαυτό του φορές:
.

Ιδιότητες πτυχίου

Από πού προήλθαν αυτά τα ακίνητα; Θα σας δείξω τώρα.

Ας δούμε τι είναι Και ?

A-priory:

Πόσοι πολλαπλασιαστές υπάρχουν συνολικά;

Είναι πολύ απλό: προσθέσαμε παράγοντες στους παράγοντες και το αποτέλεσμα είναι παράγοντες.

Αλλά εξ ορισμού, αυτός είναι ο βαθμός ενός αριθμού με εκθέτη, δηλαδή: , που έπρεπε να αποδειχθεί.

Παράδειγμα: Απλοποιήστε την έκφραση.

Λύση:

Παράδειγμα:Απλοποιήστε την έκφραση.

Λύση:Είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι στον κανόνα μας Αναγκαίωςπρέπει να είναι ίδιους λόγους!
Επομένως, συνδυάζουμε τις μοίρες με τη βάση, αλλά παραμένουμε ξεχωριστός παράγοντας:

μόνο για προϊόντα δυνάμεων!

Σε καμία περίπτωση δεν πρέπει να το γράψετε αυτό.

2. δηλαδή -η δύναμη ενός αριθμού

Όπως και με την προηγούμενη ιδιότητα, ας στραφούμε στον ορισμό του πτυχίου:

Αποδεικνύεται ότι η έκφραση πολλαπλασιάζεται από μόνη της μία φορά, δηλαδή, σύμφωνα με τον ορισμό, αυτή είναι η ισχύς του αριθμού:

Στην πραγματικότητα, αυτό μπορεί να ονομαστεί "bracketing του δείκτη". Αλλά δεν μπορείτε ποτέ να το κάνετε αυτό συνολικά:

Ας θυμηθούμε τους τύπους για συντομευμένο πολλαπλασιασμό: πόσες φορές θέλαμε να γράψουμε;

Αλλά αυτό δεν είναι αλήθεια, πραγματικά.

Πτυχίο με αρνητική βάση

Μέχρι αυτό το σημείο, έχουμε συζητήσει μόνο ποιος πρέπει να είναι ο εκθέτης.

Ποια πρέπει όμως να είναι η βάση;

Σε μοίρες από φυσικός δείκτηςη βάση μπορεί να είναι οποιοσδηποτε ΑΡΙΘΜΟΣ. Πράγματι, μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε οποιονδήποτε αριθμό μεταξύ τους, είτε είναι θετικοί, αρνητικοί ή ζυγοί.

Ας σκεφτούμε ποια ζώδια ("" ή "") θα έχουν βαθμούς θετικών και αρνητικών αριθμών;

Για παράδειγμα, ο αριθμός θα είναι θετικός ή αρνητικός; ΕΝΑ? ? Με το πρώτο, όλα είναι ξεκάθαρα: ανεξάρτητα από το πόσους θετικούς αριθμούς πολλαπλασιάζουμε μεταξύ τους, το αποτέλεσμα θα είναι θετικό.

Αλλά τα αρνητικά είναι λίγο πιο ενδιαφέροντα. Εξάλλου, θυμόμαστε έναν απλό κανόνα από την 6η δημοτικού: «το μείον επί το μείον δίνει ένα συν». Δηλαδή ή. Αλλά αν πολλαπλασιάσουμε με, προκύπτει.

Προσδιορίστε μόνοι σας τι πρόσημο θα έχουν οι παρακάτω εκφράσεις:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Κατάφερες?

Εδώ είναι οι απαντήσεις: Στα τέσσερα πρώτα παραδείγματα, ελπίζω ότι όλα είναι ξεκάθαρα; Απλώς κοιτάμε τη βάση και τον εκθέτη και εφαρμόζουμε τον κατάλληλο κανόνα.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Στο παράδειγμα 5), όλα δεν είναι επίσης τόσο τρομακτικά όσο φαίνονται: δεν έχει σημασία ποια είναι η βάση - ο βαθμός είναι άρτιος, πράγμα που σημαίνει ότι το αποτέλεσμα θα είναι πάντα θετικό.

Λοιπόν, εκτός από την περίπτωση που η βάση είναι μηδέν. Η βάση δεν είναι η ίδια, έτσι; Προφανώς όχι, αφού (γιατί).

Το Παράδειγμα 6) δεν είναι πλέον τόσο απλό!

6 παραδείγματα πρακτικής

Ανάλυση της λύσης 6 παραδείγματα

Αν δεν προσέξουμε τον όγδοο βαθμό, τι βλέπουμε εδώ; Ας ρίξουμε μια ματιά στο πρόγραμμα της 7ης τάξης. Λοιπόν, θυμάσαι; Αυτός είναι ο συντομευμένος τύπος πολλαπλασιασμού, δηλαδή η διαφορά των τετραγώνων! Παίρνουμε:

Εξετάζουμε προσεκτικά τον παρονομαστή. Μοιάζει πολύ με έναν από τους αριθμητικούς παράγοντες, αλλά τι φταίει; Λανθασμένη σειρά όρων. Εάν ανταλλάσσονταν, θα μπορούσε να ισχύει ο κανόνας.

Αλλά πώς να το κάνουμε αυτό; Αποδεικνύεται ότι είναι πολύ εύκολο: ο άρτιος βαθμός του παρονομαστή μας βοηθά εδώ.

Οι όροι έχουν αλλάξει τόπους ως δια μαγείας. Αυτό το «φαινόμενο» ισχύει για οποιαδήποτε έκφραση σε άρτιο βαθμό: μπορούμε ελεύθερα να αλλάξουμε τα σημάδια σε αγκύλες.

Αλλά είναι σημαντικό να θυμάστε: όλα τα σημάδια αλλάζουν ταυτόχρονα!

Ας επιστρέψουμε στο παράδειγμα:

Και πάλι ο τύπος:

ολόκληροςονομάζουμε τους φυσικούς αριθμούς, τα αντίθετά τους (δηλαδή λαμβάνονται με το πρόσημο «») και τον αριθμό.

θετικός ακέραιος, και δεν διαφέρει από το φυσικό, τότε όλα μοιάζουν ακριβώς όπως στην προηγούμενη ενότητα.

Ας δούμε τώρα νέες περιπτώσεις. Ας ξεκινήσουμε με έναν δείκτη ίσο με.

Οποιοσδήποτε αριθμός στη μηδενική ισχύ είναι ίσος με ένα:

Όπως πάντα, αναρωτιόμαστε: γιατί συμβαίνει αυτό;

Σκεφτείτε λίγη δύναμη με βάση. Πάρτε, για παράδειγμα, και πολλαπλασιάστε με:

Έτσι, πολλαπλασιάσαμε τον αριθμό επί, και πήραμε τον ίδιο όπως ήταν -. Με ποιον αριθμό πρέπει να πολλαπλασιαστεί για να μην αλλάξει τίποτα; Αυτό είναι σωστό, επάνω. Που σημαίνει.

Μπορούμε να κάνουμε το ίδιο με έναν αυθαίρετο αριθμό:

Ας επαναλάβουμε τον κανόνα:

Οποιοσδήποτε αριθμός στη μηδενική ισχύ είναι ίσος με ένα.

Υπάρχουν όμως εξαιρέσεις σε πολλούς κανόνες. Και εδώ είναι επίσης εκεί - αυτός είναι ένας αριθμός (ως βάση).

Από τη μια πλευρά, πρέπει να είναι ίσο με οποιοδήποτε βαθμό - όσο κι αν πολλαπλασιάσετε το μηδέν με τον εαυτό του, εξακολουθείτε να παίρνετε μηδέν, αυτό είναι ξεκάθαρο. Αλλά από την άλλη πλευρά, όπως κάθε αριθμός στον μηδενικό βαθμό, πρέπει να είναι ίσος. Ποια είναι λοιπόν η αλήθεια αυτού; Οι μαθηματικοί αποφάσισαν να μην εμπλακούν και αρνήθηκαν να ανεβάσουν το μηδέν στη μηδενική ισχύ. Δηλαδή, τώρα μπορούμε όχι μόνο να διαιρέσουμε με το μηδέν, αλλά και να το ανεβάσουμε στη μηδενική ισχύ.

Ας πάμε παρακάτω. Εκτός από τους φυσικούς αριθμούς και τους αριθμούς, οι ακέραιοι περιλαμβάνουν αρνητικούς αριθμούς. Για να καταλάβουμε τι είναι αρνητικός εκθέτης, ας κάνουμε όπως στο τελευταία φορά: πολλαπλασιάστε κάποιον κανονικό αριθμό με τον ίδιο σε αρνητικό βαθμό:

Από εδώ είναι ήδη εύκολο να εκφράσουμε το επιθυμητό:

Τώρα επεκτείνουμε τον κανόνα που προκύπτει σε αυθαίρετο βαθμό:

Ας διαμορφώσουμε λοιπόν τον κανόνα:

Ένας αριθμός σε μια αρνητική δύναμη είναι το αντίστροφο του ίδιου αριθμού σε μια θετική δύναμη. Αλλά συγχρόνως Η βάση δεν μπορεί να είναι μηδενική:(γιατί είναι αδύνατο να διαιρεθεί).

Ας συνοψίσουμε:

I. Η έκφραση δεν ορίζεται σε περίπτωση. Αν τότε.

II. Οποιοσδήποτε αριθμός στη μηδενική ισχύ ισούται με ένα: .

III. Ένας αριθμός που δεν είναι ίσος με το μηδέν σε μια αρνητική δύναμη είναι το αντίστροφο του ίδιου αριθμού σε μια θετική δύναμη: .

Εργασίες για ανεξάρτητη λύση:

Λοιπόν, ως συνήθως, παραδείγματα για μια ανεξάρτητη λύση:

Ανάλυση εργασιών για ανεξάρτητη λύση:

Ξέρω, ξέρω, τα νούμερα είναι τρομακτικά, αλλά στις εξετάσεις πρέπει να είσαι έτοιμος για όλα! Λύστε αυτά τα παραδείγματα ή αναλύστε τη λύση τους αν δεν μπορούσατε να τη λύσετε και θα μάθετε πώς να τα αντιμετωπίζετε εύκολα στις εξετάσεις!

Ας συνεχίσουμε να επεκτείνουμε το εύρος των αριθμών "κατάλληλων" ως εκθέτης.

Τώρα σκεφτείτε ρητοί αριθμοί.Ποιοι αριθμοί ονομάζονται ρητικοί;

Απάντηση: όλα όσα μπορούν να αναπαρασταθούν ως κλάσμα, όπου και είναι ακέραιοι, επιπλέον.

Για να καταλάβουμε τι είναι "κλασματικός βαθμός"Ας εξετάσουμε ένα κλάσμα:

Ας υψώσουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης σε δύναμη:

Τώρα θυμηθείτε τον κανόνα "πτυχίο σε πτυχίο":

Ποιος αριθμός πρέπει να αυξηθεί σε μια δύναμη για να ληφθεί;

Αυτή η διατύπωση είναι ο ορισμός της ρίζας του ου βαθμού.

Να σας υπενθυμίσω: η ρίζα της ης δύναμης ενός αριθμού () είναι ένας αριθμός που, όταν αυξάνεται σε δύναμη, είναι ίσος.

Δηλαδή, η ρίζα του ου βαθμού είναι η αντίστροφη πράξη της εκθέσεως: .

Τελικά φαίνεται πως. Προφανώς αυτό ειδική περίπτωσημπορεί να επεκταθεί: .

Τώρα προσθέστε τον αριθμητή: τι είναι; Η απάντηση είναι εύκολο να ληφθεί με τον κανόνα power-to-power:

Μπορεί όμως η βάση να είναι οποιοσδήποτε αριθμός; Εξάλλου, η ρίζα δεν μπορεί να εξαχθεί από όλους τους αριθμούς.

Κανένας!

Θυμηθείτε τον κανόνα: οποιοσδήποτε αριθμός αυξάνεται σε ακόμη και πτυχίοείναι θετικός αριθμός. Δηλαδή, είναι αδύνατο να εξαχθούν ρίζες ζυγού βαθμού από αρνητικούς αριθμούς!

Και αυτό σημαίνει ότι τέτοιοι αριθμοί δεν μπορούν να αυξηθούν σε κλασματική ισχύ με άρτιο παρονομαστή, δηλαδή η έκφραση δεν έχει νόημα.

Τι γίνεται με την έκφραση;

Εδώ όμως προκύπτει ένα πρόβλημα.

Ο αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί ως άλλα, μειωμένα κλάσματα, για παράδειγμα, ή.

Και αποδεικνύεται ότι υπάρχει, αλλά δεν υπάρχει, και πρόκειται μόνο για δύο διαφορετικές εγγραφές του ίδιου αριθμού.

Ή ένα άλλο παράδειγμα: μία φορά, τότε μπορείτε να το γράψετε. Μόλις όμως γράψουμε τον δείκτη με διαφορετικό τρόπο, ξαναμπαίνουμε σε μπελάδες: (δηλαδή, πήραμε ένα τελείως διαφορετικό αποτέλεσμα!).

Για να αποφύγετε τέτοια παράδοξα, σκεφτείτε μόνο θετικός εκθέτης βάσης με κλασματικό εκθέτη.

Οπότε αν:

• - φυσικός αριθμός;
• είναι ακέραιος αριθμός?

Παραδείγματα:

Οι δυνάμεις με λογικό εκθέτη είναι πολύ χρήσιμες για τον μετασχηματισμό εκφράσεων με ρίζες, για παράδειγμα:

5 παραδείγματα πρακτικής

Ανάλυση 5 παραδειγμάτων για εκπαίδευση

Λοιπόν, τώρα - το πιο δύσκολο. Τώρα θα αναλύσουμε βαθμός γ παράλογος δείκτης .

Όλοι οι κανόνες και οι ιδιότητες των μοιρών εδώ είναι ακριβώς οι ίδιοι όπως για τους βαθμούς με λογικό εκθέτη, με εξαίρεση

Πράγματι, εξ ορισμού, οι παράλογοι αριθμοί είναι αριθμοί που δεν μπορούν να αναπαρασταθούν ως κλάσμα, όπου και είναι ακέραιοι (δηλαδή, οι παράλογοι αριθμοί είναι όλοι πραγματικοί αριθμοί εκτός από τους ρητούς).

Όταν μελετάμε πτυχία με φυσικό, ακέραιο και ορθολογικό δείκτη, κάθε φορά φτιάχναμε μια συγκεκριμένη «εικόνα», «αναλογία» ή περιγραφή με πιο οικείους όρους.

Για παράδειγμα, ένας φυσικός εκθέτης είναι ένας αριθμός πολλαπλασιασμένος από τον εαυτό του πολλές φορές.

...μηδενική ισχύς- αυτός είναι, όπως ήταν, ένας αριθμός πολλαπλασιασμένος από μόνος του μία φορά, δηλαδή, δεν έχει αρχίσει ακόμη να πολλαπλασιάζεται, πράγμα που σημαίνει ότι ο ίδιος ο αριθμός δεν έχει ακόμη εμφανιστεί - επομένως το αποτέλεσμα είναι μόνο ένας ορισμένος "κενός αριθμός" , δηλαδή τον αριθμό?

...αρνητικός ακέραιος εκθέτης- είναι σαν να έχει λάβει χώρα μια συγκεκριμένη «αντίστροφη διαδικασία», δηλαδή ο αριθμός δεν πολλαπλασιάστηκε από μόνος του, αλλά διαιρέθηκε.

Παρεμπιπτόντως, η επιστήμη χρησιμοποιεί συχνά έναν βαθμό με σύνθετο εκθέτη, δηλαδή, ένας εκθέτης δεν είναι καν πραγματικός αριθμός.

Αλλά στο σχολείο, δεν σκεφτόμαστε τέτοιες δυσκολίες· θα έχετε την ευκαιρία να κατανοήσετε αυτές τις νέες έννοιες στο ινστιτούτο.

ΠΟΥ ΕΙΜΑΣΤΕ ΣΙΓΟΥΡΟΙ ΘΑ ΠΑΤΕ! (αν μάθεις να λύνεις τέτοια παραδείγματα :))

Για παράδειγμα:

Αποφασίστε μόνοι σας:

Ανάλυση λύσεων:

1. Ας ξεκινήσουμε με τον ήδη συνηθισμένο κανόνα για την αύξηση του πτυχίου σε ένα βαθμό:

Δείτε τώρα το σκορ. Σας θυμίζει κάτι; Υπενθυμίζουμε τον τύπο για τον συντομευμένο πολλαπλασιασμό της διαφοράς των τετραγώνων:

Σε αυτήν την περίπτωση,

Τελικά φαίνεται πως:

Απάντηση: .

2. Δίνουμε κλάσματα σε εκθέτες του k το ίδιο είδος: Είτε και τα δύο δεκαδικά είτε και τα δύο κανονικά. Παίρνουμε, για παράδειγμα:

Απάντηση: 16

3. Τίποτα το ιδιαίτερο, εφαρμόζουμε τις συνήθεις ιδιότητες των πτυχίων:

ΠΡΟΧΩΡΗΜΕΝΟ ΕΠΙΠΕΔΟ

Ορισμός πτυχίου

Ο βαθμός είναι έκφραση της μορφής: , όπου:

• — βάση πτυχίου?
• - εκθέτης.

Βαθμός με φυσικό εκθέτη (n = 1, 2, 3,...)

Η αύξηση ενός αριθμού στη φυσική ισχύ n σημαίνει πολλαπλασιασμός του αριθμού από τον εαυτό του επί φορές:

Ισχύς με ακέραιο εκθέτη (0, ±1, ±2,...)

Αν ο εκθέτης είναι θετικός ακέραιοςαριθμός:

ανέγερση σε μηδενική ισχύ:

Η έκφραση είναι αόριστη, γιατί, αφενός, σε οποιοδήποτε βαθμό είναι αυτό, και αφετέρου, οποιοσδήποτε αριθμός στον ου βαθμό είναι αυτό.

Αν ο εκθέτης είναι ακέραιος αρνητικόςαριθμός:

(γιατί είναι αδύνατο να διαιρεθεί).

Για άλλη μια φορά για τα μηδενικά: η έκφραση δεν ορίζεται στην περίπτωση. Αν τότε.

Παραδείγματα:

Πτυχίο με ορθολογικό εκθέτη

• - φυσικός αριθμός;
• είναι ακέραιος αριθμός?

Παραδείγματα:

Ιδιότητες πτυχίου

Για να διευκολύνουμε την επίλυση προβλημάτων, ας προσπαθήσουμε να καταλάβουμε: από πού προήλθαν αυτές οι ιδιότητες; Ας τους αποδείξουμε.

Ας δούμε: τι είναι και;

A-priory:

Έτσι, στη δεξιά πλευρά αυτής της έκφρασης, προκύπτει το ακόλουθο προϊόν:

Αλλά εξ ορισμού, αυτή είναι μια δύναμη ενός αριθμού με έναν εκθέτη, δηλαδή:

Q.E.D.

Παράδειγμα : Απλοποιήστε την έκφραση.

Λύση : .

Παράδειγμα : Απλοποιήστε την έκφραση.

Λύση : Είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι στον κανόνα μας Αναγκαίωςπρέπει να έχουν την ίδια βάση. Επομένως, συνδυάζουμε τις μοίρες με τη βάση, αλλά παραμένουμε ξεχωριστός παράγοντας:

Αλλο σημαντική σημείωση: αυτός ο κανόνας είναι - μόνο για προϊόντα δυνάμεων!

Σε καμία περίπτωση δεν πρέπει να το γράψω.

Όπως και με την προηγούμενη ιδιότητα, ας στραφούμε στον ορισμό του πτυχίου:

Ας το αναδιατάξουμε ως εξής:

Αποδεικνύεται ότι η έκφραση πολλαπλασιάζεται από μόνη της μία φορά, δηλαδή, σύμφωνα με τον ορισμό, αυτή είναι η -η δύναμη του αριθμού:

Στην πραγματικότητα, αυτό μπορεί να ονομαστεί "bracketing του δείκτη". Αλλά ποτέ δεν μπορείτε να το κάνετε αυτό συνολικά:!

Ας θυμηθούμε τους τύπους για συντομευμένο πολλαπλασιασμό: πόσες φορές θέλαμε να γράψουμε; Αλλά αυτό δεν είναι αλήθεια, πραγματικά.

Ισχύς με αρνητική βάση.

Μέχρι αυτό το σημείο, έχουμε συζητήσει μόνο τι θα έπρεπε να είναι δείκτηςβαθμός. Ποια πρέπει όμως να είναι η βάση; Σε μοίρες από φυσικός δείκτης η βάση μπορεί να είναι οποιοσδηποτε ΑΡΙΘΜΟΣ .

Πράγματι, μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε οποιονδήποτε αριθμό μεταξύ τους, είτε είναι θετικοί, αρνητικοί ή ζυγοί. Ας σκεφτούμε ποια ζώδια ("" ή "") θα έχουν βαθμούς θετικών και αρνητικών αριθμών;

Για παράδειγμα, ο αριθμός θα είναι θετικός ή αρνητικός; ΕΝΑ? ?

Με το πρώτο, όλα είναι ξεκάθαρα: ανεξάρτητα από το πόσους θετικούς αριθμούς πολλαπλασιάζουμε μεταξύ τους, το αποτέλεσμα θα είναι θετικό.

Αλλά τα αρνητικά είναι λίγο πιο ενδιαφέροντα. Εξάλλου, θυμόμαστε έναν απλό κανόνα από την 6η δημοτικού: «το μείον επί το μείον δίνει ένα συν». Δηλαδή ή. Αλλά αν πολλαπλασιάσουμε με (), παίρνουμε -.

Και ούτω καθεξής ad infinitum: με κάθε επόμενο πολλαπλασιασμό, το πρόσημο θα αλλάζει. Είναι δυνατό να διατυπωθεί τέτοια απλούς κανόνες:

1. ακόμη καιβαθμός, - αριθμός θετικός.
2. Ο αρνητικός αριθμός αυξήθηκε σε Περιττόςβαθμός, - αριθμός αρνητικός.
3. Ένας θετικός αριθμός σε οποιαδήποτε δύναμη είναι ένας θετικός αριθμός.
4. Το μηδέν σε οποιαδήποτε ισχύ ισούται με μηδέν.

Προσδιορίστε μόνοι σας τι πρόσημο θα έχουν οι παρακάτω εκφράσεις:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Κατάφερες? Εδώ είναι οι απαντήσεις:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Στα πρώτα τέσσερα παραδείγματα, ελπίζω ότι όλα είναι ξεκάθαρα; Απλώς κοιτάμε τη βάση και τον εκθέτη και εφαρμόζουμε τον κατάλληλο κανόνα.

Στο παράδειγμα 5), όλα δεν είναι επίσης τόσο τρομακτικά όσο φαίνονται: δεν έχει σημασία ποια είναι η βάση - ο βαθμός είναι άρτιος, πράγμα που σημαίνει ότι το αποτέλεσμα θα είναι πάντα θετικό. Λοιπόν, εκτός από την περίπτωση που η βάση είναι μηδέν. Η βάση δεν είναι η ίδια, έτσι; Προφανώς όχι, αφού (γιατί).

Το Παράδειγμα 6) δεν είναι πλέον τόσο απλό. Εδώ πρέπει να μάθετε ποιο είναι λιγότερο: ή; Αν το θυμάστε αυτό, γίνεται σαφές ότι, πράγμα που σημαίνει ότι η βάση είναι μικρότερη από το μηδέν. Δηλαδή, εφαρμόζουμε τον κανόνα 2: το αποτέλεσμα θα είναι αρνητικό.

Και πάλι χρησιμοποιούμε τον ορισμό του πτυχίου:

Όλα είναι ως συνήθως - γράφουμε τον ορισμό των βαθμών και τους χωρίζουμε ο ένας στον άλλο, τους χωρίζουμε σε ζεύγη και παίρνουμε:

Πριν την αποσυναρμολόγηση τελευταίος κανόναςΑς ρίξουμε μια ματιά σε μερικά παραδείγματα.

Υπολογίστε τις τιμές των παραστάσεων:

Λύσεις :

Αν δεν προσέξουμε τον όγδοο βαθμό, τι βλέπουμε εδώ; Ας ρίξουμε μια ματιά στο πρόγραμμα της 7ης τάξης. Λοιπόν, θυμάσαι; Αυτός είναι ο συντομευμένος τύπος πολλαπλασιασμού, δηλαδή η διαφορά των τετραγώνων!

Παίρνουμε:

Εξετάζουμε προσεκτικά τον παρονομαστή. Μοιάζει πολύ με έναν από τους αριθμητικούς παράγοντες, αλλά τι φταίει; Λανθασμένη σειρά όρων. Αν αντιστραφούν, θα μπορούσε να εφαρμοστεί ο κανόνας 3. Πώς γίνεται όμως αυτό; Αποδεικνύεται ότι είναι πολύ εύκολο: ο άρτιος βαθμός του παρονομαστή μας βοηθά εδώ.

Αν το πολλαπλασιάσετε επί, δεν αλλάζει τίποτα, σωστά; Τώρα όμως μοιάζει με αυτό:

Οι όροι έχουν αλλάξει τόπους ως δια μαγείας. Αυτό το «φαινόμενο» ισχύει για οποιαδήποτε έκφραση σε άρτιο βαθμό: μπορούμε ελεύθερα να αλλάξουμε τα σημάδια σε αγκύλες. Αλλά είναι σημαντικό να θυμάστε: όλα τα ζώδια αλλάζουν ταυτόχρονα!Δεν μπορεί να αντικατασταθεί αλλάζοντας μόνο ένα απαράδεκτο μείον για εμάς!

Ας επιστρέψουμε στο παράδειγμα:

Και πάλι ο τύπος:

Λοιπόν τώρα ο τελευταίος κανόνας:

Πώς θα το αποδείξουμε; Φυσικά, ως συνήθως: ας επεκτείνουμε την έννοια του πτυχίου και ας απλοποιήσουμε:

Λοιπόν, τώρα ας ανοίξουμε τις αγκύλες. Πόσα γράμματα θα είναι; φορές με πολλαπλασιαστές - πώς μοιάζει; Αυτό δεν είναι παρά ο ορισμός μιας πράξης πολλαπλασιασμός: συνολικά αποδείχθηκαν πολλαπλασιαστές. Δηλαδή, είναι εξ ορισμού δύναμη ενός αριθμού με εκθέτη:

Παράδειγμα:

Πτυχίο με παράλογο εκθέτη

Εκτός από πληροφορίες σχετικά με τους βαθμούς για το μέσο επίπεδο, θα αναλύσουμε το πτυχίο με έναν παράλογο δείκτη. Όλοι οι κανόνες και οι ιδιότητες των βαθμών εδώ είναι ακριβώς οι ίδιοι όπως για έναν βαθμό με λογικό εκθέτη, με εξαίρεση - εξ ορισμού, οι παράλογοι αριθμοί είναι αριθμοί που δεν μπορούν να αναπαρασταθούν ως κλάσμα, όπου και είναι ακέραιοι αριθμοί (δηλ. , οι παράλογοι αριθμοί είναι όλοι οι πραγματικοί αριθμοί εκτός από τους ορθολογικούς).

Όταν μελετάμε πτυχία με φυσικό, ακέραιο και ορθολογικό δείκτη, κάθε φορά φτιάχναμε μια συγκεκριμένη «εικόνα», «αναλογία» ή περιγραφή με πιο οικείους όρους. Για παράδειγμα, ένας φυσικός εκθέτης είναι ένας αριθμός πολλαπλασιασμένος από τον εαυτό του πολλές φορές. ένας αριθμός στον μηδέν βαθμό είναι, σαν να λέγαμε, ένας αριθμός πολλαπλασιασμένος από τον εαυτό του μία φορά, δηλαδή, δεν έχει αρχίσει ακόμη να πολλαπλασιάζεται, πράγμα που σημαίνει ότι ο ίδιος ο αριθμός δεν έχει καν εμφανιστεί ακόμα - επομένως, το αποτέλεσμα είναι μόνο ένα ορισμένη «προετοιμασία ενός αριθμού», δηλαδή ένας αριθμός· ένας βαθμός με ακέραιο αρνητικό δείκτη - είναι σαν να έχει συμβεί μια συγκεκριμένη "αντίστροφη διαδικασία", δηλαδή ο αριθμός δεν πολλαπλασιάστηκε από μόνος του, αλλά διαιρέθηκε.

Είναι εξαιρετικά δύσκολο να φανταστεί κανείς έναν βαθμό με έναν παράλογο εκθέτη (όπως είναι δύσκολο να φανταστεί κανείς έναν 4-διάστατο χώρο). Μάλλον, είναι ένα καθαρά μαθηματικό αντικείμενο που δημιούργησαν οι μαθηματικοί για να επεκτείνουν την έννοια του βαθμού σε ολόκληρο τον χώρο των αριθμών.

Παρεμπιπτόντως, η επιστήμη χρησιμοποιεί συχνά έναν βαθμό με σύνθετο εκθέτη, δηλαδή, ένας εκθέτης δεν είναι καν πραγματικός αριθμός. Αλλά στο σχολείο, δεν σκεφτόμαστε τέτοιες δυσκολίες· θα έχετε την ευκαιρία να κατανοήσετε αυτές τις νέες έννοιες στο ινστιτούτο.

Τι κάνουμε λοιπόν αν δούμε έναν παράλογο εκθέτη; Προσπαθούμε να το ξεφορτωθούμε! :)

Για παράδειγμα:

Αποφασίστε μόνοι σας:

1)

2)

3)

Απαντήσεις:

1. Θυμηθείτε τη διαφορά των τετραγώνων. Απάντηση: .
2. Φέρνουμε τα κλάσματα στην ίδια μορφή: είτε και τα δύο δεκαδικά είτε και τα δύο συνηθισμένα. Παίρνουμε, για παράδειγμα: .
3. Τίποτα το ιδιαίτερο, εφαρμόζουμε τις συνήθεις ιδιότητες των πτυχίων:

ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΕΝΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΟΣ ΤΥΠΟΣ

Βαθμόςονομάζεται έκφραση της μορφής: , όπου:

Βαθμός με ακέραιο εκθέτη

βαθμός, ο εκθέτης του οποίου είναι ένας φυσικός αριθμός (δηλαδή ακέραιος και θετικός).

Πτυχίο με ορθολογικό εκθέτη

βαθμό, ο δείκτης του οποίου είναι αρνητικοί και κλασματικοί αριθμοί.

Πτυχίο με παράλογο εκθέτη

εκθέτης του οποίου ο εκθέτης είναι ένα άπειρο δεκαδικό κλάσμα ή ρίζα.

Ιδιότητες πτυχίου

Χαρακτηριστικά πτυχίων.

• Ο αρνητικός αριθμός αυξήθηκε σε ακόμη καιβαθμός, - αριθμός θετικός.
• Ο αρνητικός αριθμός αυξήθηκε σε Περιττόςβαθμός, - αριθμός αρνητικός.
• Ένας θετικός αριθμός σε οποιαδήποτε δύναμη είναι ένας θετικός αριθμός.
• Το μηδέν ισούται με οποιαδήποτε δύναμη.
• Οποιοσδήποτε αριθμός στη μηδενική ισχύ είναι ίσος.

ΤΩΡΑ ΕΧΕΙΣ ΛΟΓΙΑ...

Πώς σας φαίνεται το άρθρο; Ενημερώστε με στα σχόλια παρακάτω αν σας άρεσε ή όχι.

Πείτε μας για την εμπειρία σας με τις ιδιότητες ισχύος.

Ίσως έχετε ερωτήσεις. Ή προτάσεις.

Γράψτε στα σχόλια.

Και καλή επιτυχία στις εξετάσεις σας!

Ένας αριθμός ανυψωμένος σε δύναμηκαλέστε έναν αριθμό που πολλαπλασιάζεται από τον εαυτό του πολλές φορές.

Δύναμη ενός αριθμού με αρνητική τιμή (α - ν) μπορεί να οριστεί με τον ίδιο τρόπο που προσδιορίζεται ο βαθμός του ίδιου αριθμού με θετικό εκθέτη (ένα) . Ωστόσο, απαιτεί επίσης πρόσθετος ορισμός. Ο τύπος ορίζεται ως:

ένα = (1 / a n)

Οι ιδιότητες των αρνητικών τιμών των δυνάμεων των αριθμών είναι παρόμοιες με τις δυνάμεις με θετικό εκθέτη. Αναπαριστώμενη εξίσωση ένα m / a n = ένα m-n μπορεί να είναι δίκαιο καθώς

« Πουθενά, όπως στα μαθηματικά, η σαφήνεια και η ακρίβεια του συμπεράσματος δεν επιτρέπει σε ένα άτομο να ξεφύγει από την απάντηση μιλώντας γύρω από την ερώτηση.».

A. D. Alexandrov

στο n περισσότερο Μ , καθώς Μ περισσότερο n . Ας δούμε ένα παράδειγμα: 7 2 -7 5 =7 2-5 =7 -3 .

Πρώτα πρέπει να προσδιορίσετε τον αριθμό που λειτουργεί ως ορισμός του πτυχίου. b=a(-n) . Σε αυτό το παράδειγμα -n είναι δείκτης του πτυχίου σι - επιθυμητή αριθμητική τιμή, ένα - η βάση του βαθμού με τη μορφή ενός φυσικού αριθμητική αξία. Στη συνέχεια, ορίστε τη μονάδα, π.χ. απόλυτη τιμήένας αρνητικός αριθμός που λειτουργεί ως εκθέτης. Υπολογίστε το βαθμό ενός δεδομένου αριθμού σχετικού απόλυτος αριθμός, ως δείκτης. Η τιμή του βαθμού βρίσκεται διαιρώντας το ένα με τον αριθμό που προκύπτει.

Ρύζι. 1

Θεωρήστε τη δύναμη ενός αριθμού με αρνητικό κλασματικό εκθέτη. Φανταστείτε ότι ο αριθμός α είναι οποιοσδήποτε θετικός αριθμός, οι αριθμοί n Και Μ - ακέραιοι αριθμοί. Εξ ορισμού ένα , η οποία ανυψώνεται στην εξουσία - ισούται με ένα διαιρούμενο με τον ίδιο αριθμό με θετικό βαθμό (Εικ. 1). Όταν η ισχύς ενός αριθμού είναι κλάσμα, τότε σε τέτοιες περιπτώσεις χρησιμοποιούνται μόνο αριθμοί με θετικούς εκθέτες.

Αξίζει να θυμηθούμεότι το μηδέν δεν μπορεί ποτέ να είναι εκθέτης ενός αριθμού (ο κανόνας της διαίρεσης με το μηδέν).

Η διάδοση μιας τέτοιας έννοιας ως αριθμός ξεκίνησε τέτοιους χειρισμούς όπως οι υπολογισμοί μέτρησης, καθώς και η ανάπτυξη των μαθηματικών ως επιστήμης. Η εισαγωγή αρνητικών τιμών οφειλόταν στην ανάπτυξη της άλγεβρας, η οποία έδωσε γενικές λύσεις αριθμητικά προβλήματα, ανεξάρτητα από τη συγκεκριμένη σημασία και τα αρχικά αριθμητικά δεδομένα τους. Στην Ινδία στους VI-XI αιώνες αρνητικές τιμέςΟι αριθμοί χρησιμοποιούνταν συστηματικά κατά την επίλυση προβλημάτων και ερμηνεύονταν με τον ίδιο τρόπο όπως σήμερα. ΣΕ ευρωπαϊκή επιστήμηΟι αρνητικοί αριθμοί άρχισαν να χρησιμοποιούνται ευρέως χάρη στον R. Descartes, ο οποίος έδωσε μια γεωμετρική ερμηνεία αρνητικούς αριθμούς, ως τις κατευθύνσεις των τμημάτων γραμμής. Ήταν ο Ντεκάρτ που πρότεινε να εμφανιστεί ο αριθμός που αυξήθηκε σε μια ισχύ ως τύπος δύο ορόφων a n .

Καταλάβαμε γενικά ποιος είναι ο βαθμός ενός αριθμού. Τώρα πρέπει να καταλάβουμε πώς να το υπολογίσουμε σωστά, δηλ. ανεβάσουν τους αριθμούς σε δυνάμεις. Σε αυτό το υλικό, θα αναλύσουμε τους βασικούς κανόνες για τον υπολογισμό του βαθμού στην περίπτωση ενός ακέραιου, φυσικού, κλασματικού, ορθολογικού και παράλογου εκθέτη. Όλοι οι ορισμοί θα επεξηγηθούν με παραδείγματα.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Η έννοια της εκθέσεως

Ας ξεκινήσουμε με τη διατύπωση βασικών ορισμών.

Ορισμός 1

Εκθεσιμότηταείναι ο υπολογισμός της τιμής της ισχύος κάποιου αριθμού.

Δηλαδή, οι λέξεις «υπολογισμός της αξίας του βαθμού» και «εκθετική» σημαίνουν το ίδιο πράγμα. Έτσι, εάν η εργασία είναι "Αύξηση του αριθμού 0 , 5 στην πέμπτη δύναμη", αυτό θα πρέπει να γίνει κατανοητό ως "υπολογίστε την τιμή της ισχύος (0 , 5) 5 .

Τώρα δίνουμε τους βασικούς κανόνες που πρέπει να ακολουθούνται σε τέτοιους υπολογισμούς.

Θυμηθείτε τι είναι η δύναμη ενός αριθμού με φυσικό εκθέτη. Για μια ισχύ με βάση a και εκθέτη n, αυτό θα είναι το γινόμενο του nου αριθμού παραγόντων, καθένας από τους οποίους είναι ίσος με a. Αυτό μπορεί να γραφτεί ως εξής:

Για να υπολογίσετε την τιμή του βαθμού, πρέπει να εκτελέσετε τη λειτουργία του πολλαπλασιασμού, δηλαδή να πολλαπλασιάσετε τις βάσεις του βαθμού καθορισμένο αριθμόμια φορά. Η ίδια η έννοια ενός πτυχίου με φυσικό δείκτη βασίζεται στην ικανότητα γρήγορου πολλαπλασιασμού. Ας δώσουμε παραδείγματα.

Παράδειγμα 1

Κατάσταση: Ανύψωση - 2 στην ισχύ του 4 .

Λύση

Χρησιμοποιώντας τον παραπάνω ορισμό, γράφουμε: (− 2) 4 = (− 2) (− 2) (− 2) (− 2) . Στη συνέχεια, πρέπει απλώς να ακολουθήσουμε αυτά τα βήματα και να πάρουμε 16 .

Ας πάρουμε ένα πιο περίπλοκο παράδειγμα.

Παράδειγμα 2

Υπολογίστε την τιμή 3 2 7 2

Λύση

Αυτή η καταχώρηση μπορεί να ξαναγραφτεί ως 3 2 7 · 3 2 7 . Νωρίτερα εξετάσαμε πώς να πολλαπλασιάσουμε σωστά τους μικτούς αριθμούς που αναφέρονται στη συνθήκη.

Εκτελέστε αυτά τα βήματα και λάβετε την απάντηση: 3 2 7 3 2 7 = 23 7 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Εάν η εργασία υποδεικνύει την ανάγκη αύξησης των παράλογων αριθμών σε μια φυσική ισχύ, θα πρέπει πρώτα να στρογγυλοποιήσουμε τις βάσεις τους σε ένα ψηφίο που θα μας επιτρέψει να λάβουμε μια απάντηση της επιθυμητής ακρίβειας. Ας πάρουμε ένα παράδειγμα.

Παράδειγμα 3

Εκτελέστε τον τετραγωνισμό του αριθμού π .

Λύση

Ας το στρογγυλοποιήσουμε πρώτα στα εκατοστά. Τότε π 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596. Αν π ≈ 3 . 14159 τότε έχουμε περισσότερα ακριβές αποτέλεσμα: π 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.

Σημειώστε ότι η ανάγκη υπολογισμού των δυνάμεων των παράλογων αριθμών στην πράξη προκύπτει σχετικά σπάνια. Μπορούμε στη συνέχεια να γράψουμε την απάντηση ως την ίδια την ισχύ (ln 6) 3 ή να μετατρέψουμε αν είναι δυνατόν: 5 7 = 125 5 .

Ξεχωριστά, θα πρέπει να αναφέρεται ποια είναι η πρώτη δύναμη ενός αριθμού. Εδώ μπορείτε απλώς να θυμάστε ότι οποιοσδήποτε αριθμός αυξηθεί στην πρώτη δύναμη θα παραμείνει ο ίδιος:

Αυτό είναι ξεκάθαρο από το αρχείο. .

Δεν εξαρτάται από τη βάση του πτυχίου.

Παράδειγμα 4

Άρα, (− 9) 1 = − 9 , και το 7 3 ανυψωμένο στην πρώτη δύναμη παραμένει ίσο με 7 3 .

Για ευκολία, θα αναλύσουμε τρεις περιπτώσεις χωριστά: αν ο εκθέτης είναι θετικός ακέραιος, αν είναι μηδέν και αν είναι αρνητικός ακέραιος.

Στην πρώτη περίπτωση, αυτό είναι το ίδιο με την αύξηση σε μια φυσική δύναμη: τελικά, οι θετικοί ακέραιοι ανήκουν στο σύνολο των φυσικών αριθμών. Έχουμε ήδη περιγράψει τον τρόπο εργασίας με τέτοιους τίτλους σπουδών παραπάνω.

Τώρα ας δούμε πώς να αυξήσετε σωστά τη μηδενική ισχύ. Με μια βάση που δεν είναι μηδενική, αυτός ο υπολογισμός παράγει πάντα μια έξοδο 1 . Έχουμε εξηγήσει προηγουμένως ότι η 0η δύναμη του a μπορεί να οριστεί για οποιοδήποτε πραγματικός αριθμός, δεν ισούται με 0 , και a 0 = 1 .

Παράδειγμα 5

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - δεν ορίζεται.

Μας μένει μόνο η περίπτωση ενός βαθμού με αρνητικό ακέραιο εκθέτη. Έχουμε ήδη συζητήσει ότι τέτοιοι βαθμοί μπορούν να γραφτούν ως κλάσμα 1 a z, όπου a είναι οποιοσδήποτε αριθμός και z είναι ένας ακέραιος αριθμός αρνητικός δείκτης. Βλέπουμε ότι ο παρονομαστής αυτού του κλάσματος δεν είναι παρά ένας συνηθισμένος βαθμός με θετικό ακέραιο και έχουμε ήδη μάθει πώς να τον υπολογίζουμε. Ας δώσουμε παραδείγματα εργασιών.

Παράδειγμα 6

Ανεβάστε το 3 στην ισχύ -2.

Λύση

Χρησιμοποιώντας τον παραπάνω ορισμό, γράφουμε: 2 - 3 = 1 2 3

Υπολογίζουμε τον παρονομαστή αυτού του κλάσματος και παίρνουμε 8: 2 3 \u003d 2 2 2 \u003d 8.

Τότε η απάντηση είναι: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

Παράδειγμα 7

Ανεβάστε το 1, 43 στην ισχύ -2.

Λύση

Αναδιατύπωση: 1 , 43 - 2 = 1 (1 , 43) 2

Υπολογίζουμε το τετράγωνο στον παρονομαστή: 1,43 1,43. Οι δεκαδικοί μπορούν να πολλαπλασιαστούν με αυτόν τον τρόπο:

Ως αποτέλεσμα, πήραμε (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2 , 0449 . Απομένει να γράψουμε αυτό το αποτέλεσμα με τη μορφή ενός συνηθισμένου κλάσματος, για το οποίο είναι απαραίτητο να το πολλαπλασιάσουμε με 10 χιλιάδες (δείτε το υλικό για τη μετατροπή των κλασμάτων).

Απάντηση: (1, 43) - 2 = 10000 20449

Μια ξεχωριστή περίπτωση είναι η αύξηση ενός αριθμού στην μείον πρώτη δύναμη. Η τιμή ενός τέτοιου βαθμού είναι ίση με τον αριθμό αντίθετο από την αρχική τιμή της βάσης: a - 1 \u003d 1 a 1 \u003d 1 a.

Παράδειγμα 8

Παράδειγμα: 3 − 1 = 1 / 3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

Πώς να αυξήσετε έναν αριθμό σε κλασματική δύναμη

Για να εκτελέσουμε αυτή τη λειτουργία, πρέπει να θυμόμαστε βασικός ορισμόςμοίρες με κλασματικό εκθέτη: a m n = a m n για κάθε θετικό a , ακέραιο m και φυσικό n .

Ορισμός 2

Έτσι, ο υπολογισμός ενός κλασματικού βαθμού πρέπει να εκτελεστεί σε δύο βήματα: αύξηση σε ακέραιο αριθμό και εύρεση της ρίζας του nου βαθμού.

Έχουμε την ισότητα a m n = a m n , η οποία, δεδομένων των ιδιοτήτων των ριζών, χρησιμοποιείται συνήθως για την επίλυση προβλημάτων με τη μορφή a m n = a n m . Αυτό σημαίνει ότι αν αυξήσουμε τον αριθμό a σε μια κλασματική ισχύ m / n, τότε πρώτα εξάγουμε τη ρίζα του nου βαθμού από το a, μετά ανεβάζουμε το αποτέλεσμα σε δύναμη με ακέραιο εκθέτη m.

Ας το διευκρινίσουμε με ένα παράδειγμα.

Παράδειγμα 9

Υπολογίστε 8 - 2 3 .

Λύση

Μέθοδος 1. Σύμφωνα με τον βασικό ορισμό, μπορούμε να το αναπαραστήσουμε ως: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3

Τώρα ας υπολογίσουμε τον βαθμό κάτω από τη ρίζα και ας εξαγάγουμε την τρίτη ρίζα από το αποτέλεσμα: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

Μέθοδος 2. Ας μετατρέψουμε τη βασική ισότητα: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3 \u003d 8 3 - 2

Μετά από αυτό, εξάγουμε τη ρίζα 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 και τετραγωνίζουμε το αποτέλεσμα: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

Βλέπουμε ότι οι λύσεις είναι πανομοιότυπες. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε όποιον τρόπο θέλετε.

Υπάρχουν περιπτώσεις που ο βαθμός έχει έναν δείκτη εκφρασμένο μικτός αριθμόςή δεκαδικός. Για ευκολία υπολογισμού, είναι καλύτερο να το αντικαταστήσετε με συνηθισμένο κλάσμακαι μετρήστε όπως παραπάνω.

Παράδειγμα 10

Ανεβάστε το 44,89 στη δύναμη του 2,5.

Λύση

Μετατρέψτε την τιμή του δείκτη σε κοινό κλάσμα - 44 , 89 2 , 5 = 49 , 89 5 2 .

Και τώρα εκτελούμε όλες τις ενέργειες που υποδεικνύονται παραπάνω με τη σειρά: 44 , 89 5 2 = 44 , 89 5 = 44 , 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 501 = 67 10 501 = 5 13 501, 25107

Απάντηση: 13501, 25107.

Εάν υπάρχουν μεγάλοι αριθμοί στον αριθμητή και στον παρονομαστή του κλασματικού εκθέτη, τότε ο υπολογισμός τέτοιων δυνάμεων με ορθολογικούς δείκτες- αρκετά δύσκολη δουλειά. Συνήθως απαιτεί τεχνολογία υπολογιστών.

Ξεχωριστά, μένουμε στον βαθμό με μηδενική βάση και κλασματικό εκθέτη. Σε μια έκφραση της μορφής 0 m n μπορεί να δοθεί η ακόλουθη έννοια: εάν m n > 0, τότε 0 m n = 0 m n = 0 ; αν m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную θετικό βαθμόοδηγεί στο μηδέν: 0 7 12 \u003d 0, 0 3 2 5 \u003d 0, 0 0, 024 \u003d 0, και σε αρνητικό ακέραιο - δεν έχει σημασία: 0 - 4 3.

Πώς να αυξήσετε έναν αριθμό σε μια παράλογη δύναμη

Η ανάγκη υπολογισμού της τιμής του βαθμού, στον δείκτη του οποίου υπάρχει ένας παράλογος αριθμός, δεν προκύπτει τόσο συχνά. Στην πράξη, η εργασία συνήθως περιορίζεται στον υπολογισμό μιας κατά προσέγγιση τιμής (μέχρι ένα ορισμένο αριθμό δεκαδικών ψηφίων). Αυτό συνήθως υπολογίζεται σε υπολογιστή λόγω της πολυπλοκότητας τέτοιων υπολογισμών, επομένως δεν θα σταθούμε λεπτομερώς σε αυτό, θα αναφέρουμε μόνο τις κύριες διατάξεις.

Εάν πρέπει να υπολογίσουμε την τιμή του βαθμού a με έναν παράλογο εκθέτη a , τότε παίρνουμε τη δεκαδική προσέγγιση του εκθέτη και μετράμε από αυτήν. Το αποτέλεσμα θα είναι μια κατά προσέγγιση απάντηση. Όσο πιο ακριβής είναι η δεκαδική προσέγγιση, τόσο πιο ακριβής είναι η απάντηση. Ας δείξουμε με ένα παράδειγμα:

Παράδειγμα 11

Υπολογίστε μια κατά προσέγγιση τιμή 21 , 174367 ....

Λύση

Περιοριζόμαστε στη δεκαδική προσέγγιση a n = 1 , 17 . Ας κάνουμε τους υπολογισμούς χρησιμοποιώντας αυτόν τον αριθμό: 2 1 , 17 ≈ 2 , 250116 . Αν πάρουμε, για παράδειγμα, την προσέγγιση a n = 1 , 1743 , τότε η απάντηση θα είναι λίγο πιο ακριβής: 2 1 , 174367 . . . ≈ 2 1. 1743 ≈ 2. 256833.

Εάν παρατηρήσετε κάποιο λάθος στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

Τον πέμπτο αιώνα π.Χ., ο αρχαίος Έλληνας φιλόσοφος Ζήνων από την Ελαία διατύπωσε τις περίφημες απορίας του, η πιο γνωστή από τις οποίες είναι η απορία «Αχιλλέας και η χελώνα». Να πώς ακούγεται:

Ας πούμε ότι ο Αχιλλέας τρέχει δέκα φορές πιο γρήγορα από τη χελώνα και είναι χίλια βήματα πίσω από αυτήν. Κατά τη διάρκεια του χρόνου που ο Αχιλλέας τρέχει αυτή την απόσταση, η χελώνα σέρνεται εκατό βήματα προς την ίδια κατεύθυνση. Όταν ο Αχιλλέας έχει τρέξει εκατό βήματα, η χελώνα θα σέρνεται άλλα δέκα βήματα, και ούτω καθεξής. Η διαδικασία θα συνεχιστεί επ' αόριστον, ο Αχιλλέας δεν θα προλάβει ποτέ τη χελώνα.

Αυτό το σκεπτικό έγινε ένα λογικό σοκ για όλες τις επόμενες γενιές. Ο Αριστοτέλης, ο Διογένης, ο Καντ, ο Χέγκελ, ο Γκίλμπερτ... Όλοι αυτοί, με τον ένα ή τον άλλο τρόπο, θεωρούσαν τις απορίας του Ζήνωνα. Το σοκ ήταν τόσο δυνατό που " ... οι συζητήσεις συνεχίζονται αυτή τη στιγμή, για να καταλήξουμε σε κοινή άποψη για την ουσία των παραδόξων επιστημονική κοινότηταδεν τα κατάφερε ακόμα... μαθηματική ανάλυση, θεωρία συνόλων, νέες φυσικές και φιλοσοφικές προσεγγίσεις. κανένα από αυτά δεν έγινε μια παγκοσμίως αποδεκτή λύση στο πρόβλημα ..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Όλοι καταλαβαίνουν ότι τους κοροϊδεύουν, αλλά κανείς δεν καταλαβαίνει ποια είναι η απάτη.

Από τη σκοπιά των μαθηματικών, ο Ζήνων στην απορία του έδειξε ξεκάθαρα τη μετάβαση από την τιμή στο. Αυτή η μετάβαση συνεπάγεται εφαρμογή αντί για σταθερές. Από όσο καταλαβαίνω, μαθηματική συσκευήΗ χρήση μεταβλητών μονάδων μέτρησης είτε δεν έχει ακόμη αναπτυχθεί, είτε δεν έχει εφαρμοστεί στην απορία του Ζήνωνα. Η εφαρμογή της συνήθους λογικής μας οδηγεί σε παγίδα. Εμείς, με την αδράνεια της σκέψης, εφαρμόζουμε σταθερές μονάδες χρόνου στο αντίστροφο. Από φυσική άποψη, μοιάζει με τον χρόνο να επιβραδύνεται τελείατη στιγμή που ο Αχιλλέας προλαβαίνει τη χελώνα. Αν ο χρόνος σταματήσει, ο Αχιλλέας δεν μπορεί πλέον να προσπεράσει τη χελώνα.

Αν γυρίσουμε τη λογική που έχουμε συνηθίσει, όλα μπαίνουν στη θέση τους. Ο Αχιλλέας τρέχει με σταθερή ταχύτητα. Κάθε επόμενο τμήμα της διαδρομής του είναι δέκα φορές μικρότερο από το προηγούμενο. Αντίστοιχα, ο χρόνος που δαπανάται για την αντιμετώπισή του είναι δέκα φορές μικρότερος από τον προηγούμενο. Εάν εφαρμόσουμε την έννοια του «άπειρου» σε αυτή την κατάσταση, τότε θα ήταν σωστό να πούμε «Ο Αχιλλέας θα προσπεράσει απείρως γρήγορα τη χελώνα».

Πώς να αποφύγετε αυτή τη λογική παγίδα; μένω μέσα σταθερές μονάδεςμετρήσεις του χρόνου και να μην μεταπηδούν σε αντίστροφες τιμές. Στη γλώσσα του Ζήνωνα, μοιάζει με αυτό:

Στον χρόνο που χρειάζεται ο Αχιλλέας για να τρέξει χίλια βήματα, η χελώνα σέρνεται εκατό βήματα προς την ίδια κατεύθυνση. Στο επόμενο χρονικό διάστημα, ίσο με το πρώτο, ο Αχιλλέας θα τρέξει άλλα χίλια βήματα και η χελώνα θα σέρνεται εκατό βήματα. Τώρα ο Αχιλλέας είναι οκτακόσια βήματα μπροστά από τη χελώνα.

Αυτή η προσέγγιση περιγράφει επαρκώς την πραγματικότητα χωρίς λογικά παράδοξα. Αλλά δεν είναι ολοκληρωμένη λύσηΠροβλήματα. Η δήλωση του Αϊνστάιν για το ανυπέρβλητο της ταχύτητας του φωτός μοιάζει πολύ με την απορία του Ζήνωνα «Ο Αχιλλέας και η χελώνα». Πρέπει ακόμη να μελετήσουμε, να ξανασκεφτούμε και να λύσουμε αυτό το πρόβλημα. Και η λύση πρέπει να αναζητηθεί όχι σε απείρως μεγάλους αριθμούς, αλλά σε μονάδες μέτρησης.

Μια άλλη ενδιαφέρουσα απορία του Ζήνωνα λέει για ένα ιπτάμενο βέλος:

Ένα ιπτάμενο βέλος είναι ακίνητο, αφού σε κάθε στιγμή του χρόνου είναι σε ηρεμία, και αφού είναι σε ηρεμία σε κάθε στιγμή του χρόνου, είναι πάντα σε ηρεμία.

Σε αυτή την απορία λογικό παράδοξοξεπερνιέται πολύ απλά - αρκεί να διευκρινίσουμε ότι σε κάθε στιγμή το ιπτάμενο βέλος ακουμπάει σε διαφορετικά σημεία του χώρου, που στην πραγματικότητα είναι κίνηση. Εδώ πρέπει να σημειωθεί ένα άλλο σημείο. Από μια φωτογραφία ενός αυτοκινήτου στο δρόμο, είναι αδύνατο να προσδιοριστεί ούτε το γεγονός της κίνησής του ούτε η απόσταση από αυτό. Για να προσδιοριστεί το γεγονός της κίνησης του αυτοκινήτου, χρειάζονται δύο φωτογραφίες που έχουν ληφθεί από το ίδιο σημείο σε διαφορετικά χρονικά σημεία, αλλά δεν μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τον προσδιορισμό της απόστασης. Για να προσδιορίσετε την απόσταση από το αυτοκίνητο, χρειάζεστε δύο φωτογραφίες από διαφορετικά σημείαχώρο σε μια χρονική στιγμή, αλλά είναι αδύνατο να προσδιοριστεί το γεγονός της κίνησης από αυτά (φυσικά, χρειάζονται ακόμα πρόσθετα δεδομένα για υπολογισμούς, η τριγωνομετρία θα σας βοηθήσει). Σε τι θέλω να εστιάσω Ιδιαίτερη προσοχή, είναι ότι δύο σημεία στο χρόνο και δύο σημεία στο χώρο είναι διαφορετικά πράγματα που δεν πρέπει να συγχέονται, γιατί παρέχουν διαφορετικές ευκαιρίες για εξερεύνηση.

Τετάρτη 4 Ιουλίου 2018

Πολύ καλά, οι διαφορές μεταξύ συνόλου και πολλαπλών συνόλων περιγράφονται στη Wikipedia. Εμείς κοιτάμε.

Όπως μπορείτε να δείτε, «το σύνολο δεν μπορεί να έχει δύο πανομοιότυπα στοιχεία», αλλά αν υπάρχουν πανομοιότυπα στοιχεία στο σύνολο, ένα τέτοιο σύνολο ονομάζεται «πολυσύνολο». Τα λογικά όντα δεν θα καταλάβουν ποτέ τέτοια λογική του παραλογισμού. Αυτό είναι το επίπεδο των παπαγάλων που μιλάνε και των εκπαιδευμένων πιθήκων, στα οποία το μυαλό απουσιάζει από τη λέξη «εντελώς». Οι μαθηματικοί ενεργούν ως απλοί εκπαιδευτές, κηρύττοντας μας τις παράλογες ιδέες τους.

Μια φορά κι έναν καιρό, οι μηχανικοί που κατασκεύασαν τη γέφυρα βρίσκονταν σε μια βάρκα κάτω από τη γέφυρα κατά τη διάρκεια των δοκιμών της γέφυρας. Αν η γέφυρα κατέρρεε, ο μέτριος μηχανικός πέθαινε κάτω από τα ερείπια του δημιουργήματός του. Αν η γέφυρα μπορούσε να αντέξει το φορτίο, ο ταλαντούχος μηχανικός κατασκεύασε άλλες γέφυρες.

Ανεξάρτητα από το πόσο μαθηματικοί κρύβονται πίσω από τη φράση «Να με νου, είμαι στο σπίτι», ή μάλλον «σπουδές μαθηματικών αφηρημένες έννοιες", υπάρχει ένας ομφάλιος λώρος που είναι άρρηκτα συνδεδεμένος με την πραγματικότητα. Αυτός ο ομφάλιος λώρος είναι χρήματα. μαθηματική θεωρίασετ στους ίδιους τους μαθηματικούς.

Σπουδάσαμε πολύ καλά μαθηματικά και τώρα καθόμαστε στο ταμείο και πληρώνουμε μισθούς. Εδώ μας έρχεται ένας μαθηματικός για τα λεφτά του. Του μετράμε όλο το ποσό και το απλώνουμε στο τραπέζι μας σε διαφορετικούς σωρούς, στους οποίους βάζουμε λογαριασμούς της ίδιας ονομαστικής αξίας. Στη συνέχεια παίρνουμε έναν λογαριασμό από κάθε σωρό και δίνουμε στον μαθηματικό το «μαθηματικό σύνολο μισθών» του. Εξηγούμε τα μαθηματικά ότι θα λάβει τους υπόλοιπους λογαριασμούς μόνο όταν αποδείξει ότι το σύνολο χωρίς πανομοιότυπα στοιχεία δεν είναι ίσο με το σύνολο με τα ίδια στοιχεία. Εδώ αρχίζει η διασκέδαση.

Καταρχάς θα λειτουργήσει η λογική των βουλευτών: «μπορείς να την εφαρμόσεις σε άλλους, σε μένα όχι!». Επιπλέον, θα ξεκινήσουν οι διαβεβαιώσεις ότι υπάρχουν διαφορετικοί αριθμοί τραπεζογραμματίων σε τραπεζογραμμάτια της ίδιας ονομαστικής αξίας, πράγμα που σημαίνει ότι δεν μπορούν να θεωρηθούν πανομοιότυπα στοιχεία. Λοιπόν, μετράμε τον μισθό σε κέρματα - δεν υπάρχουν αριθμοί στα νομίσματα. Εδώ ο μαθηματικός θα αρχίσει να θυμάται σπασμωδικά τη φυσική: σε διαφορετικά νομίσματα υπάρχει διαφορετικό ποσόλάσπη, κρυσταλλική δομήκαι η διάταξη των ατόμων σε κάθε νόμισμα είναι μοναδική...

Και τώρα έχω τα περισσότερα ενδιαφέρον Ρωτήστε: πού είναι το όριο πέρα ​​από το οποίο τα στοιχεία ενός πολυσυνόλου μετατρέπονται σε στοιχεία ενός συνόλου και το αντίστροφο; Δεν υπάρχει τέτοια γραμμή - όλα αποφασίζονται από σαμάνους, η επιστήμη εδώ δεν είναι καν κοντά.

Κοιτάξτε εδώ. Επιλέγουμε γήπεδα ποδοσφαίρου με την ίδια περιοχήχωράφια. Η περιοχή των πεδίων είναι η ίδια, που σημαίνει ότι έχουμε ένα πολυσύνολο. Αλλά αν αναλογιστούμε τα ονόματα των ίδιων γηπέδων, παίρνουμε πολλά, γιατί τα ονόματα είναι διαφορετικά. Όπως μπορείτε να δείτε, το ίδιο σύνολο στοιχείων είναι ταυτόχρονα σύνολο και πολυσύνολο. Πόσο σωστά; Και εδώ ο μαθηματικός-σαμάνος-σούλερ βγάζει έναν άσο ατού από το μανίκι του και αρχίζει να μας λέει είτε για σετ είτε για πολυσετ. Σε κάθε περίπτωση, θα μας πείσει ότι έχει δίκιο.

Για να κατανοήσουμε πώς λειτουργούν οι σύγχρονοι σαμάνοι με τη θεωρία συνόλων, συνδέοντάς την με την πραγματικότητα, αρκεί να απαντήσουμε σε μια ερώτηση: πώς διαφέρουν τα στοιχεία ενός συνόλου από τα στοιχεία ενός άλλου συνόλου; Θα σας δείξω, χωρίς κανένα «νοητό ως μη ενιαίο σύνολο» ή «μη νοητό ως ενιαίο σύνολο».

Κυριακή 18 Μαρτίου 2018

Το άθροισμα των ψηφίων ενός αριθμού είναι ένας χορός σαμάνων με ντέφι, που δεν έχει καμία σχέση με τα μαθηματικά. Ναι, στα μαθήματα των μαθηματικών διδασκόμαστε να βρίσκουμε το άθροισμα των ψηφίων ενός αριθμού και να το χρησιμοποιούμε, αλλά είναι σαμάνοι για αυτό, για να διδάξουν στους απογόνους τους τις δεξιότητες και τη σοφία τους, διαφορετικά οι σαμάνοι απλά θα πεθάνουν.

Χρειάζεστε αποδείξεις; Ανοίξτε τη Wikipedia και προσπαθήστε να βρείτε τη σελίδα "Άθροισμα ψηφίων ενός αριθμού". Αυτή δεν υπάρχει. Δεν υπάρχει τύπος στα μαθηματικά με τον οποίο μπορείτε να βρείτε το άθροισμα των ψηφίων οποιουδήποτε αριθμού. Άλλωστε οι αριθμοί είναι γραφικά σύμβολα, με τη βοήθεια του οποίου γράφουμε αριθμούς και στη γλώσσα των μαθηματικών η εργασία ακούγεται ως εξής: «Βρείτε το άθροισμα των γραφικών συμβόλων που αντιπροσωπεύουν οποιονδήποτε αριθμό». Οι μαθηματικοί δεν μπορούν να λύσουν αυτό το πρόβλημα, αλλά οι σαμάνοι μπορούν να το κάνουν στοιχειωδώς.

Ας μάθουμε τι και πώς κάνουμε για να βρούμε το άθροισμα των ψηφίων ενός δεδομένου αριθμού. Και έτσι, ας πούμε ότι έχουμε τον αριθμό 12345. Τι πρέπει να κάνουμε για να βρούμε το άθροισμα των ψηφίων αυτού του αριθμού; Ας εξετάσουμε όλα τα βήματα με τη σειρά.

1. Σημειώστε τον αριθμό σε ένα κομμάτι χαρτί. Τι καναμε? Μετατρέψαμε τον αριθμό σε γραφικό σύμβολο αριθμού. Δεν πρόκειται για μαθηματική πράξη.

2. Κόψαμε μια λαμβανόμενη εικόνα σε πολλές εικόνες που περιέχουν ξεχωριστούς αριθμούς. Η κοπή μιας εικόνας δεν είναι μαθηματική πράξη.

3. Μετατρέψτε μεμονωμένους γραφικούς χαρακτήρες σε αριθμούς. Δεν πρόκειται για μαθηματική πράξη.

4. Προσθέστε τους αριθμούς που προκύπτουν. Τώρα είναι μαθηματικά.

Το άθροισμα των ψηφίων του αριθμού 12345 είναι 15. Αυτά είναι τα «μαθήματα κοπής και ραπτικής» από σαμάνους που χρησιμοποιούν οι μαθηματικοί. Αλλά δεν είναι μόνο αυτό.

Από τη σκοπιά των μαθηματικών, δεν έχει σημασία σε ποιο σύστημα αριθμών γράφουμε τον αριθμό. Έτσι, μέσα διαφορετικά συστήματαυπολογίζοντας, το άθροισμα των ψηφίων του ίδιου αριθμού θα είναι διαφορετικό. Στα μαθηματικά, το σύστημα αριθμών υποδεικνύεται ως δείκτης στα δεξιά του αριθμού. ΜΕ ένας μεγάλος αριθμός 12345 Δεν θέλω να ξεγελάω το κεφάλι μου, σκεφτείτε τον αριθμό 26 από το άρθρο σχετικά. Ας γράψουμε αυτόν τον αριθμό σε δυαδικά, οκταδικά, δεκαδικά και δεκαεξαδικά συστήματα αριθμών. Δεν θα εξετάσουμε κάθε βήμα στο μικροσκόπιο, το έχουμε ήδη κάνει. Ας δούμε το αποτέλεσμα.

Όπως μπορείτε να δείτε, σε διαφορετικά συστήματα αριθμών, το άθροισμα των ψηφίων του ίδιου αριθμού είναι διαφορετικό. Αυτό το αποτέλεσμα δεν έχει καμία σχέση με τα μαθηματικά. Είναι σαν να βρίσκεις το εμβαδόν ενός ορθογωνίου σε μέτρα και εκατοστά θα σου έδινε τελείως διαφορετικά αποτελέσματα.

Το μηδέν σε όλα τα αριθμητικά συστήματα φαίνεται το ίδιο και δεν έχει άθροισμα ψηφίων. Αυτό είναι ένα άλλο επιχείρημα υπέρ του γεγονότος ότι . Μια ερώτηση για τους μαθηματικούς: πώς δηλώνεται στα μαθηματικά αυτό που δεν είναι αριθμός; Τι, για τους μαθηματικούς, δεν υπάρχει τίποτα άλλο εκτός από αριθμούς; Για τους σαμάνους, μπορώ να το επιτρέψω αυτό, αλλά για τους επιστήμονες, όχι. Η πραγματικότητα δεν αφορά μόνο αριθμούς.

Το αποτέλεσμα που προκύπτει θα πρέπει να θεωρείται ως απόδειξη ότι τα αριθμητικά συστήματα είναι μονάδες μέτρησης αριθμών. Εξάλλου, δεν μπορούμε να συγκρίνουμε αριθμούς με διαφορετικές μονάδες μέτρησης. Αν οι ίδιες ενέργειες με διαφορετικές μονάδες μέτρησης της ίδιας ποσότητας οδηγούν σε διαφορετικά αποτελέσματα μετά τη σύγκριση τους, τότε αυτό δεν έχει καμία σχέση με τα μαθηματικά.

Τι είναι τα πραγματικά μαθηματικά; Αυτό συμβαίνει όταν το αποτέλεσμα μιας μαθηματικής ενέργειας δεν εξαρτάται από την τιμή του αριθμού, τη μονάδα μέτρησης που χρησιμοποιείται και από το ποιος εκτελεί αυτήν την ενέργεια.

Σημάδι στην πόρτα Ανοίγει την πόρτα και λέει:

Ω! Αυτή δεν είναι η γυναικεία τουαλέτα;
- Νέα γυναίκα! Αυτό είναι ένα εργαστήριο για τη μελέτη της αόριστης αγιότητας των ψυχών κατά την ανάληψη στον ουρανό! Nimbus στην κορυφή και βέλος επάνω. Τι άλλη τουαλέτα;

Θηλυκό... Ένα φωτοστέφανο από πάνω και ένα βέλος κάτω είναι αρσενικό.

Εάν έχετε ένα τέτοιο έργο τέχνης σχεδιασμού να αναβοσβήνει μπροστά στα μάτια σας πολλές φορές την ημέρα,

Τότε δεν είναι περίεργο που βρίσκετε ξαφνικά ένα περίεργο εικονίδιο στο αυτοκίνητό σας:

Προσωπικά, κάνω μια προσπάθεια με τον εαυτό μου να δω μείον τέσσερις μοίρες σε ένα άτομο που σκάει (μία εικόνα) (σύνθεση πολλών εικόνων: σύμβολο μείον, αριθμός τέσσερα, χαρακτηρισμός μοιρών). Και δεν νομίζω ότι αυτό το κορίτσι είναι ανόητο, όχι που ξέρει φυσική. Απλώς έχει ένα τόξο στερεότυπο της αντίληψης των γραφικών εικόνων. Και αυτό μας διδάσκουν συνέχεια οι μαθηματικοί. Εδώ είναι ένα παράδειγμα.

Το 1Α δεν είναι "μείον τέσσερις μοίρες" ή "ένα α". Αυτό είναι το "pooping man" ή ο αριθμός "είκοσι έξι" στο δεκαεξαδικό σύστημα αριθμών. Όσοι εργάζονται συνεχώς σε αυτό το σύστημα αριθμών αντιλαμβάνονται αυτόματα τον αριθμό και το γράμμα ως ένα γραφικό σύμβολο.