Πολλαπλασιασμός αγκύλης. Στα γινόμενα τριών ή περισσότερων αριθμών

Προστασία της ιδιωτικής ζωής σας είναι σημαντική για εμάς. Για το λόγο αυτό, έχουμε αναπτύξει μια Πολιτική Απορρήτου που περιγράφει τον τρόπο με τον οποίο χρησιμοποιούμε και αποθηκεύουμε τις πληροφορίες σας. Διαβάστε την πολιτική απορρήτου μας και ενημερώστε μας εάν έχετε ερωτήσεις.

Συλλογή και χρήση προσωπικών πληροφοριών

Οι προσωπικές πληροφορίες αναφέρονται σε δεδομένα που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την αναγνώριση ή επικοινωνία με ένα συγκεκριμένο άτομο.

Ενδέχεται να σας ζητηθεί να δώσετε τα προσωπικά σας στοιχεία ανά πάσα στιγμή όταν επικοινωνήσετε μαζί μας.

Τα παρακάτω είναι μερικά παραδείγματα των τύπων προσωπικών πληροφοριών που ενδέχεται να συλλέγουμε και πώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτές τις πληροφορίες.

Ποιες προσωπικές πληροφορίες συλλέγουμε:

Όταν υποβάλλετε μια αίτηση στον ιστότοπο, ενδέχεται να συλλέξουμε διάφορες πληροφορίες, όπως το όνομά σας, τον αριθμό τηλεφώνου, τη διεύθυνσή σας ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗκαι τα λοιπά.

Πώς χρησιμοποιούμε τα προσωπικά σας στοιχεία:

Συλλέγεται από εμάς προσωπικές πληροφορίεςμας επιτρέπει να επικοινωνήσουμε μαζί σας και να σας ενημερώσουμε για μοναδικές προσφορές, προσφορές και άλλες εκδηλώσεις και επερχόμενες εκδηλώσεις.
Από καιρό σε καιρό, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τα προσωπικά σας στοιχεία για να σας στείλουμε σημαντικές ειδοποιήσεις και μηνύματα.
Ενδέχεται επίσης να χρησιμοποιήσουμε προσωπικές πληροφορίες για εσωτερικούς σκοπούς, όπως διεξαγωγή ελέγχων, ανάλυση δεδομένων και διάφορες έρευνες, προκειμένου να βελτιώσουμε τις υπηρεσίες που παρέχουμε και να σας παρέχουμε συστάσεις σχετικά με τις υπηρεσίες μας.
Εάν συμμετάσχετε σε κλήρωση, διαγωνισμό ή παρόμοιο κίνητρο, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τις πληροφορίες που παρέχετε για τη διαχείριση τέτοιων προγραμμάτων.

Αποκάλυψη σε τρίτους

Δεν αποκαλύπτουμε πληροφορίες που λαμβάνουμε από εσάς σε τρίτους.

Εξαιρέσεις:

Εάν είναι απαραίτητο - σύμφωνα με το νόμο, δικαστική εντολή, σε νομικές διαδικασίες και/ή βάσει δημόσιων αιτημάτων ή αιτημάτων από κυβερνητικές υπηρεσίεςστο έδαφος της Ρωσικής Ομοσπονδίας - αποκαλύψτε τα προσωπικά σας στοιχεία. Ενδέχεται επίσης να αποκαλύψουμε πληροφορίες σχετικά με εσάς εάν κρίνουμε ότι μια τέτοια αποκάλυψη είναι απαραίτητη ή κατάλληλη για λόγους ασφάλειας, επιβολής του νόμου ή άλλους λόγους δημοσίου συμφέροντος.
Σε περίπτωση αναδιοργάνωσης, συγχώνευσης ή πώλησης, ενδέχεται να μεταφέρουμε τα προσωπικά στοιχεία που συλλέγουμε στον αντίστοιχο τρίτο διάδοχο.

Προστασία προσωπικών πληροφοριών

Λαμβάνουμε προφυλάξεις - συμπεριλαμβανομένων διοικητικών, τεχνικών και φυσικών - για την προστασία των προσωπικών σας δεδομένων από απώλεια, κλοπή και κακή χρήση, καθώς και από μη εξουσιοδοτημένη πρόσβαση, αποκάλυψη, τροποποίηση και καταστροφή.

Διατήρηση του απορρήτου σας σε εταιρικό επίπεδο

Για να διασφαλίσουμε ότι τα προσωπικά σας στοιχεία είναι ασφαλή, κοινοποιούμε πρακτικές απορρήτου και ασφάλειας στους υπαλλήλους μας και εφαρμόζουμε αυστηρά τις πρακτικές απορρήτου.

Η κύρια λειτουργία των παρενθέσεων είναι να αλλάζουν τη σειρά των ενεργειών κατά τον υπολογισμό τιμών. Για παράδειγμα, σε με αριθμητικούς όρουςΘα υπολογιστεί πρώτα ο πολλαπλασιασμός \(5 3+7\) και μετά η πρόσθεση: \(5 3+7 =15+7=22\). Αλλά στην έκφραση \(5·(3+7)\), θα υπολογιστεί πρώτα η πρόσθεση σε αγκύλες και μόνο μετά ο πολλαπλασιασμός: \(5·(3+7)=5·10=50\).

Παράδειγμα. Αναπτύξτε την αγκύλη: \(-(4m+3)\).
Λύση : \(-(4m+3)=-4m-3\).

Παράδειγμα. Αναπτύξτε την αγκύλη και δώστε παρόμοιους όρους \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Λύση : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Παράδειγμα. Αναπτύξτε τις αγκύλες \(5(3-x)\).
Λύση : Έχουμε τα \(3\) και \(-x\) στην αγκύλη και πέντε μπροστά από την αγκύλη. Αυτό σημαίνει ότι κάθε μέλος της αγκύλης πολλαπλασιάζεται με \ (5 \) - σας το υπενθυμίζω το πρόσημο πολλαπλασιασμού μεταξύ ενός αριθμού και μιας αγκύλης στα μαθηματικά δεν γράφεται για να μειώσει το μέγεθος των εγγραφών.

Παράδειγμα. Αναπτύξτε τις αγκύλες \(-2(-3x+5)\).
Λύση : Όπως και στο προηγούμενο παράδειγμα, οι αγκύλες \(-3x\) και \(5\) πολλαπλασιάζονται με \(-2\).

Παράδειγμα. Απλοποιήστε την παράσταση: \(5(x+y)-2(x-y)\).
Λύση : \(5(x+y)-2(x-y)=5x+5y-2x+2y=3x+7y\).

Μένει να εξετάσουμε την τελευταία κατάσταση.

Κατά τον πολλαπλασιασμό μιας παρένθεσης με παρένθεση, κάθε όρος της πρώτης παρένθεσης πολλαπλασιάζεται με κάθε όρο της δεύτερης:

\((c+d)(a-b)=c (a-b)+d (a-b)=ca-cb+da-db\)

Παράδειγμα. Αναπτύξτε τις αγκύλες \((2-x)(3x-1)\).
Λύση : Έχουμε ένα προϊόν αγκύλων και μπορεί να ανοίξει αμέσως χρησιμοποιώντας τον παραπάνω τύπο. Αλλά για να μην μπερδευτούμε, ας τα κάνουμε όλα βήμα-βήμα.
Βήμα 1. Αφαιρέστε την πρώτη αγκύλη - κάθε μέλος της πολλαπλασιάζεται με τη δεύτερη αγκύλη:

Βήμα 2. Αναπτύξτε τα προϊόντα του βραχίονα κατά τον παράγοντα όπως περιγράφεται παραπάνω:
- Πρώτα ο πρώτος...

Μετά το δεύτερο.

Βήμα 3. Τώρα πολλαπλασιάζουμε και φέρνουμε παρόμοιους όρους:

Δεν είναι απαραίτητο να ζωγραφίσετε όλες τις μεταμορφώσεις λεπτομερώς, μπορείτε να πολλαπλασιάζετε αμέσως. Αλλά αν μόλις μαθαίνετε να ανοίγετε αγκύλες - γράψτε λεπτομερώς, θα υπάρχουν λιγότερες πιθανότητες να κάνετε λάθος.

Σημείωση για ολόκληρη την ενότητα.Στην πραγματικότητα, δεν χρειάζεται να θυμάστε και τους τέσσερις κανόνες, χρειάζεται μόνο να θυμάστε έναν, αυτόν: \(c(a-b)=ca-cb\) . Γιατί; Διότι αν αντικαταστήσουμε ένα αντί για c, παίρνουμε τον κανόνα \((a-b)=a-b\) . Και αν αντικαταστήσουμε μείον ένα, παίρνουμε τον κανόνα \(-(a-b)=-a+b\) . Λοιπόν, αν αντικαταστήσετε μια άλλη αγκύλη αντί για c, μπορείτε να πάρετε τον τελευταίο κανόνα.

παρένθεση μέσα σε παρένθεση

Μερικές φορές στην πράξη υπάρχουν προβλήματα με τα στηρίγματα που είναι φωλιασμένα μέσα σε άλλα στηρίγματα. Ακολουθεί ένα παράδειγμα μιας τέτοιας εργασίας: να απλοποιήσετε την έκφραση \(7x+2(5-(3x+y))\).

Για να επιτύχετε σε αυτές τις εργασίες, πρέπει:
- κατανοήστε προσεκτικά την ένθεση των παρενθέσεων - ποια είναι σε ποια;
- ανοίξτε τις αγκύλες διαδοχικά, ξεκινώντας, για παράδειγμα, από την πιο εσωτερική.

Είναι σημαντικό όταν ανοίγετε ένα από τα στηρίγματα μην αγγίζετε την υπόλοιπη έκφραση, απλά το ξαναγράφω ως έχει.
Ας πάρουμε την παραπάνω εργασία ως παράδειγμα.

Παράδειγμα. Ανοίξτε τις αγκύλες και δώστε παρόμοιους όρους \(7x+2(5-(3x+y))\).
Λύση:

Παράδειγμα. Αναπτύξτε τις αγκύλες και δώστε παρόμοιους όρους \(-(x+3(2x-1+(x-5)))\).
Λύση :

\(-(x+3(2x-1\)\(+(x-5)\) \())\)		Αυτή είναι μια τριπλή φωλιά παρενθέσεων. Ξεκινάμε με το πιο εσωτερικό (τονισμένο με πράσινο χρώμα). Υπάρχει ένα συν μπροστά από την παρένθεση, οπότε απλά αφαιρείται.
\(-(x+3(2x-1\)\(+x-5\) \())\)		Τώρα πρέπει να ανοίξετε το δεύτερο στήριγμα, ενδιάμεσο. Αλλά πριν από αυτό, θα απλοποιήσουμε την έκφραση με ένα φάντασμα παρόμοιους όρουςσε εκείνη τη δεύτερη παρένθεση.
\(=-(x\)\(+3(3x-6)\) \()=\)		Τώρα ανοίγουμε τη δεύτερη αγκύλη (τονισμένη με μπλε χρώμα). Υπάρχει ένας πολλαπλασιαστής μπροστά από την παρένθεση - έτσι κάθε όρος στην παρένθεση πολλαπλασιάζεται με αυτόν.
\(=-(x\)\(+9x-18\) \()=\)
		Και ανοίξτε την τελευταία παρένθεση. Πριν από την αγκύλη μείον - έτσι όλα τα σημάδια αντιστρέφονται.

Η επέκταση βραχίονα είναι βασική ικανότηταστα μαθηματικά. Χωρίς αυτή τη δεξιότητα, είναι αδύνατο να έχετε βαθμό πάνω από το τρία στους βαθμούς 8 και 9. Ως εκ τούτου, προτείνω μια καλή κατανόηση αυτού του θέματος.

Σε αυτό το άρθρο, θα ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά στους βασικούς κανόνες αυτού του είδους σημαντικό θέμαμάθημα των μαθηματικών, όπως το άνοιγμα των παρενθέσεων. Πρέπει να γνωρίζετε τους κανόνες για το άνοιγμα αγκύλων για να λύσετε σωστά τις εξισώσεις στις οποίες χρησιμοποιούνται.

Πώς να ανοίξετε σωστά τις παρενθέσεις κατά την προσθήκη

Αναπτύξτε τις αγκύλες που προηγούνται από το σύμβολο "+".

Αυτή είναι η απλούστερη περίπτωση, γιατί αν υπάρχει πρόσθετη πινακίδα μπροστά από τις αγκύλες, όταν ανοίγουν οι αγκύλες, οι πινακίδες στο εσωτερικό τους δεν αλλάζουν. Παράδειγμα:

(9 + 3) + (1 - 6 + 9) = 9 + 3 + 1 - 6 + 9 = 16.

Πώς να ανοίξετε αγκύλες πριν από το σύμβολο "-".

ΣΤΟ αυτή η υπόθεσηπρέπει να ξαναγράψετε όλους τους όρους χωρίς αγκύλες, αλλά ταυτόχρονα να αλλάξετε όλα τα σημάδια μέσα τους σε αντίθετα. Τα πρόσημα αλλάζουν μόνο για τους όρους από εκείνες τις αγκύλες που προηγήθηκαν το σύμβολο «-». Παράδειγμα:

(9 + 3) - (1 - 6 + 9) = 9 + 3 - 1 + 6 - 9 = 8.

Πώς να ανοίξετε αγκύλες κατά τον πολλαπλασιασμό

Πριν από τις παρενθέσεις υπάρχει πολλαπλασιαστής

Σε αυτήν την περίπτωση, πρέπει να πολλαπλασιάσετε κάθε όρο με έναν παράγοντα και να ανοίξετε τις αγκύλες χωρίς να αλλάξετε πρόσημα. Εάν ο πολλαπλασιαστής έχει το πρόσημο "-", τότε κατά τον πολλαπλασιασμό, τα πρόσημα των όρων αντιστρέφονται. Παράδειγμα:

3 * (1 - 6 + 9) = 3 * 1 - 3 * 6 + 3 * 9 = 3 - 18 + 27 = 12.

Πώς να ανοίξετε δύο αγκύλες με σύμβολο πολλαπλασιασμού μεταξύ τους

Σε αυτήν την περίπτωση, πρέπει να πολλαπλασιάσετε κάθε όρο από τις πρώτες αγκύλες με κάθε όρο από τις δεύτερες αγκύλες και στη συνέχεια να προσθέσετε τα αποτελέσματα. Παράδειγμα:

(9 + 3) * (1 - 6 + 9) = 9 * 1 + 9 * (- 6) + 9 * 9 + 3 * 1 + 3 * (- 6) + 3 * 9 = 9 - 54 + 81 + 3 - 18 + 27 = 48.

Πώς να ανοίξετε αγκύλες σε ένα τετράγωνο

Εάν το άθροισμα ή η διαφορά δύο όρων είναι τετράγωνο, οι αγκύλες πρέπει να επεκταθούν σύμφωνα με τον ακόλουθο τύπο:

(x + y)^2 = x^2 + 2*x*y + y^2.

Σε περίπτωση μείον εντός των παρενθέσεων, ο τύπος δεν αλλάζει. Παράδειγμα:

(9 + 3) ^ 2 = 9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2 = 144.

Πώς να ανοίξετε παρενθέσεις σε διαφορετικό βαθμό

Εάν το άθροισμα ή η διαφορά των όρων αυξηθεί, για παράδειγμα, στην 3η ή 4η ισχύ, τότε απλά πρέπει να σπάσετε το βαθμό του βραχίονα σε "τετράγωνα". Πτυχία ίδιοι πολλαπλασιαστέςπροστίθενται και κατά τη διαίρεση αφαιρείται ο βαθμός του διαιρέτη από τον βαθμό του μερίσματος. Παράδειγμα:

(9 + 3) ^ 3 = ((9 + 3) ^ 2) * (9 + 3) = (9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2) * 12 = 1728.

Πώς να ανοίξετε 3 αγκύλες

Υπάρχουν εξισώσεις στις οποίες πολλαπλασιάζονται 3 παρενθέσεις ταυτόχρονα. Σε αυτήν την περίπτωση, πρέπει πρώτα να πολλαπλασιάσετε τους όρους των δύο πρώτων παρενθέσεων μεταξύ τους και, στη συνέχεια, να πολλαπλασιάσετε το άθροισμα αυτού του πολλαπλασιασμού με τους όρους της τρίτης αγκύλης. Παράδειγμα:

(1 + 2) * (3 + 4) * (5 - 6) = (3 + 4 + 6 + 8) * (5 - 6) = - 21.

Αυτοί οι κανόνες ανοίγματος αγκύλης ισχύουν εξίσου τόσο για γραμμικές όσο και για τριγωνομετρικές εξισώσεις.

Συλλογή και χρήση προσωπικών πληροφοριών

Ενδέχεται να σας ζητηθεί να δώσετε τα προσωπικά σας στοιχεία ανά πάσα στιγμή όταν επικοινωνήσετε μαζί μας.

Ποιες προσωπικές πληροφορίες συλλέγουμε:

Όταν υποβάλλετε μια αίτηση στον ιστότοπο, ενδέχεται να συλλέξουμε διάφορες πληροφορίες, όπως το όνομά σας, τον αριθμό τηλεφώνου, τη διεύθυνση email σας κ.λπ.

Πώς χρησιμοποιούμε τα προσωπικά σας στοιχεία:

Τα προσωπικά στοιχεία που συλλέγουμε μας επιτρέπουν να επικοινωνήσουμε μαζί σας και να σας ενημερώσουμε για μοναδικές προσφορές, προσφορές και άλλες εκδηλώσεις και επερχόμενες εκδηλώσεις.
Από καιρό σε καιρό, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τα προσωπικά σας στοιχεία για να σας στείλουμε σημαντικές ειδοποιήσεις και μηνύματα.
Ενδέχεται επίσης να χρησιμοποιήσουμε προσωπικές πληροφορίες για εσωτερικούς σκοπούς, όπως διεξαγωγή ελέγχων, ανάλυση δεδομένων και διάφορες έρευνες, προκειμένου να βελτιώσουμε τις υπηρεσίες που παρέχουμε και να σας παρέχουμε συστάσεις σχετικά με τις υπηρεσίες μας.
Εάν συμμετάσχετε σε κλήρωση, διαγωνισμό ή παρόμοιο κίνητρο, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τις πληροφορίες που παρέχετε για τη διαχείριση τέτοιων προγραμμάτων.

Αποκάλυψη σε τρίτους

Δεν αποκαλύπτουμε πληροφορίες που λαμβάνουμε από εσάς σε τρίτους.

Εξαιρέσεις:

Σε περίπτωση που είναι απαραίτητο - σύμφωνα με το νόμο, τη δικαστική τάξη, σε δικαστικές διαδικασίες και / ή με βάση δημόσια αιτήματα ή αιτήματα από κρατικούς φορείς στην επικράτεια της Ρωσικής Ομοσπονδίας - αποκαλύψτε τα προσωπικά σας στοιχεία. Ενδέχεται επίσης να αποκαλύψουμε πληροφορίες σχετικά με εσάς εάν κρίνουμε ότι μια τέτοια αποκάλυψη είναι απαραίτητη ή κατάλληλη για λόγους ασφάλειας, επιβολής του νόμου ή άλλους λόγους δημοσίου συμφέροντος.
Σε περίπτωση αναδιοργάνωσης, συγχώνευσης ή πώλησης, ενδέχεται να μεταφέρουμε τα προσωπικά στοιχεία που συλλέγουμε στον αντίστοιχο τρίτο διάδοχο.

Προστασία προσωπικών πληροφοριών

Διατήρηση του απορρήτου σας σε εταιρικό επίπεδο

Θεωρήστε τώρα τον τετραγωνισμό του διωνύμου και, εφαρμόζοντας την αριθμητική άποψη, θα μιλήσουμε για το τετράγωνο του αθροίσματος, δηλ. (a + b)² και το τετράγωνο της διαφοράς δύο αριθμών, δηλ. (a - b)² .

Εφόσον (a + b)² = (a + b) ∙ (a + b),

τότε βρίσκουμε: (a + b) ∙ (a + b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b², δηλ.

(a + b)² = a² + 2ab + b²

Είναι χρήσιμο να θυμάστε αυτό το αποτέλεσμα τόσο με τη μορφή της παραπάνω ισότητας όσο και με λέξεις: το τετράγωνο του αθροίσματος δύο αριθμών είναι ίσο με το τετράγωνο του πρώτου αριθμού συν το γινόμενο του δύο με τον πρώτο αριθμό και τον δεύτερο αριθμό, συν το τετράγωνο του δεύτερου αριθμού.

Γνωρίζοντας αυτό το αποτέλεσμα, μπορούμε να γράψουμε αμέσως, για παράδειγμα:

(x + y)² = x² + 2xy + y²
(3ab + 1)² = 9a² b² + 6ab + 1

(x n + 4x)² = x 2n + 8x n+1 + 16x 2

Ας ρίξουμε μια ματιά στο δεύτερο από αυτά τα παραδείγματα. Πρέπει να τετραγωνίσουμε το άθροισμα δύο αριθμών: ο πρώτος αριθμός είναι 3ab, ο δεύτερος είναι 1. Θα πρέπει να αποδειχθεί: 1) το τετράγωνο του πρώτου αριθμού, δηλαδή (3ab)², που ισούται με 9a²b². 2) το γινόμενο του δύο με τον πρώτο αριθμό και τον δεύτερο, δηλ. 2 ∙ 3ab ∙ 1 = 6ab. 3) το τετράγωνο του 2ου αριθμού, δηλαδή 1² \u003d 1 - και οι τρεις αυτοί όροι πρέπει να προστεθούν μαζί.

Με τον ίδιο τρόπο, παίρνουμε έναν τύπο για τον τετραγωνισμό της διαφοράς δύο αριθμών, δηλαδή για (a - b)²:

(a - b)² = (a - b) (a - b) = a² - ab - ab + b² = a² - 2ab + b².

(a - b)² = a² - 2ab + b²,

Δηλαδή, το τετράγωνο της διαφοράς δύο αριθμών είναι ίσο με το τετράγωνο του πρώτου αριθμού, μείον το γινόμενο του δύο από τον πρώτο αριθμό και τον δεύτερο, συν το τετράγωνο του δεύτερου αριθμού.

Γνωρίζοντας αυτό το αποτέλεσμα, μπορούμε να εκτελέσουμε αμέσως τον τετραγωνισμό των διωνύμων που αντιπροσωπεύουν, από αριθμητική άποψη, τη διαφορά δύο αριθμών.

(m - n)² = m² - 2mn + n²
(5ab 3 - 3a 2 b) 2 = 25a 2 b 6 - 30a 3 b 4 + 9a 4 b 2

(a n-1 - a) 2 \u003d a 2n-2 - 2a n + a 2, κ.λπ.

Ας εξηγήσουμε το 2ο παράδειγμα. Εδώ έχουμε μέσα σε αγκύλες τη διαφορά δύο αριθμών: του πρώτου αριθμού 5ab 3 και του δεύτερου αριθμού 3a 2 b. Το αποτέλεσμα θα πρέπει να είναι: 1) το τετράγωνο του πρώτου αριθμού, δηλαδή (5ab 3) 2 = 25a 2 b 6, 2) το γινόμενο του δύο με τον 1ο και τον 2ο αριθμό, δηλ. 2 ∙ 5ab 3 ∙ 3a 2 b = 30a 3 b 4 και 3) το τετράγωνο του δεύτερου αριθμού, δηλαδή (3a 2 b) 2 = 9a 4 b 2; ο πρώτος και ο τρίτος όρος πρέπει να ληφθούν με ένα συν, και ο 2ος με ένα μείον, παίρνουμε 25a 2 b 6 - 30a 3 b 4 + 9a 4 b 2. Για να διευκρινίσουμε το 4ο παράδειγμα, σημειώνουμε μόνο ότι 1) (a n-1)2 = a 2n-2 ... ο εκθέτης πρέπει να πολλαπλασιαστεί με 2 και 2) το γινόμενο του δύο με τον 1ο αριθμό και με το 2ο = 2 ∙ a n-1 ∙ a = 2a n .

Αν πάρουμε την άποψη της άλγεβρας, τότε και οι δύο ισότητες: 1) (a + b)² = a² + 2ab + b² και 2) (a - b)² = a² - 2ab + b² εκφράζουν το ίδιο πράγμα, δηλαδή: το τετράγωνο του διωνύμου ισούται με το τετράγωνο του πρώτου όρου, συν το γινόμενο του αριθμού (+2) επί τον πρώτο όρο και το δεύτερο, συν το τετράγωνο του δεύτερου μέλους. Αυτό είναι ξεκάθαρο, γιατί οι ισότητες μας μπορούν να ξαναγραφτούν ως εξής:

1) (a + b)² = (+a)² + (+2) ∙ (+a) (+b) + (+b)²
2) (a - b)² = (+a)² + (+2) ∙ (+a) (-b) + (-b)²

Σε ορισμένες περιπτώσεις, είναι βολικό να ερμηνεύσουμε τις λαμβανόμενες ισότητες με αυτόν τον τρόπο:

(–4a – 3b)² = (–4a)² + (+2) (–4a) (–3b) + (–3b)²

Εδώ το διώνυμο είναι τετράγωνο, ο πρώτος όρος του οποίου = -4a και ο δεύτερος = -3b. Τότε παίρνουμε (-4a)² = 16a², (+2) (-4a) (-3b) = +24ab, (-3b)² = 9b² και τέλος:

(-4a - 3b)² = 6a² + 24ab + 9b²

Θα ήταν επίσης δυνατό να ληφθεί και να απομνημονευτεί ο τύπος για τον τετραγωνισμό ενός τριωνύμου, ενός τετραωνύμου και γενικά οποιουδήποτε πολυωνύμου. Ωστόσο, δεν θα το κάνουμε αυτό, γιατί σπάνια πρέπει να χρησιμοποιήσουμε αυτούς τους τύπους, και αν χρειαστεί να τετραγωνίσουμε οποιοδήποτε πολυώνυμο (εκτός από ένα διώνυμο), τότε θα αναγάγουμε την ύλη σε πολλαπλασιασμό. Για παράδειγμα:

31. Εφαρμόστε τις 3 ισότητες που προέκυψαν, και συγκεκριμένα:

(a + b) (a - b) = a² - b²
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a - b)² = a² - 2ab + b²

στην αριθμητική.

Έστω 41 ∙ 39. Τότε μπορούμε να το αναπαραστήσουμε με τη μορφή (40 + 1) (40 - 1) και να μειώσουμε την ύλη στην πρώτη ισότητα - παίρνουμε 40² - 1 ή 1600 - 1 = 1599. Χάρη σε αυτό, είναι εύκολο να εκτελέσετε πολλαπλασιασμούς όπως 21 ∙ 19. 22 ∙ 18; 31 ∙ 29; 32 ∙ 28; 71 ∙ 69 κ.λπ.

Έστω 41 ∙ 41. είναι το ίδιο με 41² ή (40 + 1)² = 1600 + 80 + 1 = 1681. Επίσης 35 ∙ 35 = 35² = (30 + 5)² = 900 + 300 + 25 = 1225. Εάν χρειάζεστε 37, ∙ 3 τότε αυτό είναι ίσο με (40 - 3)² = 1600 - 240 + 9 = 1369. Παρόμοιοι πολλαπλασιασμοί (ή τετραγωνισμός διψήφιους αριθμούς) είναι εύκολο να εκτελεστεί, με κάποια ικανότητα, στο μυαλό.