Το θεώρημα του Vieta σε παράλογες εξισώσεις. Ο τύπος για τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης

Ι. Θεώρημα Vietaγια την ανηγμένη τετραγωνική εξίσωση.

Το άθροισμα των ριζών της ανηγμένης τετραγωνικής εξίσωσης x 2 +px+q=0ισούται με τον δεύτερο συντελεστή, που λαμβάνεται με το αντίθετο πρόσημο, και το γινόμενο των ριζών είναι ίσο με τον ελεύθερο όρο:

x 1 + x 2 \u003d-p; x 1 ∙ x 2 \u003d q.

Να βρείτε τις ρίζες της δεδομένης τετραγωνικής εξίσωσης χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Βιέτα.

Παράδειγμα 1) x 2 -x-30=0.Αυτή είναι η ανηγμένη τετραγωνική εξίσωση ( x 2 +px+q=0), ο δεύτερος συντελεστής p=-1, και ο ελεύθερος όρος q=-30.Πρώτα, βεβαιωθείτε ότι η δεδομένη εξίσωση έχει ρίζες και ότι οι ρίζες (αν υπάρχουν) θα εκφράζονται ως ακέραιοι. Για αυτό, αρκεί η διάκριση να είναι το πλήρες τετράγωνο ενός ακέραιου αριθμού.

Βρίσκοντας το διακριτικό ρε=b 2 - 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121= 11 2 .

Τώρα, σύμφωνα με το θεώρημα Vieta, το άθροισμα των ριζών πρέπει να είναι ίσο με τον δεύτερο συντελεστή, που λαμβάνεται με το αντίθετο πρόσημο, δηλ. ( -Π), και το γινόμενο ισούται με τον ελεύθερο όρο, δηλ. ( q). Επειτα:

x 1 + x 2 =1; x 1 ∙ x 2 \u003d -30.Πρέπει να επιλέξουμε τέτοιους δύο αριθμούς ώστε το γινόμενο τους να είναι ίσο με -30 , και το άθροισμα είναι μονάδα. Αυτοί είναι οι αριθμοί -5 και 6 . Απάντηση: -5; 6.

Παράδειγμα 2) x 2 +6x+8=0.Έχουμε τη μειωμένη τετραγωνική εξίσωση με τον δεύτερο συντελεστή p=6και ελεύθερο μέλος q=8. Βεβαιωθείτε ότι υπάρχουν ακέραιες ρίζες. Ας βρούμε το διακριτικό Δ1 Δ1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . Η διάκριση D 1 είναι το τέλειο τετράγωνο του αριθμού 1 , άρα οι ρίζες αυτής της εξίσωσης είναι ακέραιοι. Επιλέγουμε τις ρίζες σύμφωνα με το θεώρημα Vieta: το άθροισμα των ριζών είναι ίσο με –p=-6, και το γινόμενο των ριζών είναι q=8. Αυτοί είναι οι αριθμοί -4 και -2 .

Στην πραγματικότητα: -4-2=-6=-p; -4∙(-2)=8=q. Απάντηση: -4; -2.

Παράδειγμα 3) x 2 +2x-4=0. Σε αυτή τη μειωμένη τετραγωνική εξίσωση, ο δεύτερος συντελεστής p=2, και ο ελεύθερος όρος q=-4. Ας βρούμε το διακριτικό Δ1, αφού ο δεύτερος συντελεστής είναι ζυγός αριθμός. Δ1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. Η διάκριση δεν είναι τέλειο τετράγωνο ενός αριθμού, έτσι κάνουμε συμπέρασμα: οι ρίζες αυτής της εξίσωσης δεν είναι ακέραιοι και δεν μπορούν να βρεθούν χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Vieta.Έτσι, λύνουμε αυτήν την εξίσωση, ως συνήθως, σύμφωνα με τους τύπους (στο αυτή η υπόθεσηΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ τυποι). Παίρνουμε:

Παράδειγμα 4).Να γράψετε μια τετραγωνική εξίσωση χρησιμοποιώντας τις ρίζες της αν x 1 \u003d -7, x 2 \u003d 4.

Λύση.Η επιθυμητή εξίσωση θα γραφτεί με τη μορφή: x 2 +px+q=0, επιπλέον, με βάση το θεώρημα Vieta –p=x1 +x2=-7+4=-3 →p=3; q=x 1 ∙x 2=-7∙4=-28 . Τότε η εξίσωση θα πάρει τη μορφή: x2 +3x-28=0.

Παράδειγμα 5).Να γράψετε μια τετραγωνική εξίσωση χρησιμοποιώντας τις ρίζες της αν:

II. Το θεώρημα του Βιέταγια την πλήρη τετραγωνική εξίσωση ax2+bx+c=0.

Το άθροισμα των ριζών είναι μείον σιδιαιρείται με ένα, το γινόμενο των ριζών είναι Μεδιαιρείται με ένα:

x 1 + x 2 \u003d -b / a; x 1 ∙ x 2 \u003d c / a.

Πριν προχωρήσουμε στο θεώρημα του Vieta, εισάγουμε έναν ορισμό. Τετραγωνική εξίσωση της μορφής Χ² + px + qΤο = 0 λέγεται μειωμένο. Σε αυτή την εξίσωση, ο κύριος συντελεστής είναι ίσος με ένα. Για παράδειγμα, η εξίσωση Χ² - 3 Χ- 4 = 0 μειώνεται. Οποιαδήποτε τετραγωνική εξίσωση της μορφής τσεκούρι² + β Χ + ντοΤο = 0 μπορεί να γίνει μειωμένο, για αυτό διαιρούμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης με ένα≠ 0. Για παράδειγμα, η εξίσωση 4 Χ² + 4 Χ- 3 \u003d 0 διαιρούμενο με 4 μειώνεται στη μορφή: Χ² + Χ- 3/4 = 0. Εξάγουμε τον τύπο για τις ρίζες της ανηγμένης τετραγωνικής εξίσωσης, για αυτό χρησιμοποιούμε τον τύπο για τις ρίζες μιας γενικής τετραγωνικής εξίσωσης: τσεκούρι² + bx + ντο = 0

Μειωμένη εξίσωση Χ² + px + q= 0 συμπίπτει με μια γενική εξίσωση στην οποία ένα = 1, σι = Π, ντο = q.Επομένως, για τη δεδομένη τετραγωνική εξίσωση, ο τύπος παίρνει τη μορφή:

η τελευταία έκφραση ονομάζεται τύπος των ριζών της ανηγμένης τετραγωνικής εξίσωσης, είναι ιδιαίτερα βολικό να χρησιμοποιηθεί αυτός ο τύπος όταν R- Ζυγός αριθμός. Για παράδειγμα, ας λύσουμε την εξίσωση Χ² - 14 Χ — 15 = 0

Σε απάντηση, γράφουμε ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζες.

Για ανηγμένη τετραγωνική εξίσωση με θετική, ισχύει το ακόλουθο θεώρημα.

Το θεώρημα του Βιέτα

Αν ένα Χ 1 και Χ 2 - ρίζες της εξίσωσης Χ² + px + q= 0, τότε οι τύποι είναι έγκυροι:

Χ 1 + Χ 2 = — R

x 1 * x 2 \u003d q,δηλαδή το άθροισμα των ριζών της δεδομένης τετραγωνικής εξίσωσης είναι ίσο με τον δεύτερο συντελεστή, που λαμβάνεται με το αντίθετο πρόσημο, και το γινόμενο των ριζών είναι ίσο με τον ελεύθερο όρο.

Με βάση τον τύπο των ριζών της παραπάνω τετραγωνικής εξίσωσης, έχουμε:

Προσθέτοντας αυτές τις ισότητες, παίρνουμε: Χ 1 + Χ 2 = —R.

Πολλαπλασιάζοντας αυτές τις ισότητες, χρησιμοποιώντας τον τύπο διαφοράς τετραγώνων, παίρνουμε:

Σημειώστε ότι το θεώρημα Vieta ισχύει επίσης όταν η διάκριση είναι μηδέν, αν υποθέσουμε ότι στην περίπτωση αυτή η τετραγωνική εξίσωση έχει δύο ίδιες ρίζες: Χ 1 = Χ 2 = — R/2.

Μη επίλυση εξισώσεων Χ² - 13 Χ+ 30 = 0 βρείτε το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών του Χ 1 και Χ 2. αυτή η εξίσωση ρε\u003d 169 - 120 \u003d 49\u003e 0, ώστε να μπορείτε να εφαρμόσετε το θεώρημα Vieta: Χ 1 + Χ 2 = 13, x 1 * x 2 = 30. Εξετάστε μερικά ακόμη παραδείγματα. Μία από τις ρίζες της εξίσωσης Χ² — px- 12 = 0 είναι Χ 1 = 4. Βρείτε συντελεστή Rκαι δεύτερη ρίζα Χ 2 αυτής της εξίσωσης. Σύμφωνα με το θεώρημα του Vieta x 1 * x 2 =— 12, Χ 1 + Χ 2 = — R.Επειδή Χ 1 = 4 και μετά 4 Χ 2 = - 12, απ' όπου Χ 2 = — 3, R = — (Χ 1 + Χ 2) \u003d - (4 - 3) \u003d - 1. Σε απάντηση, γράφουμε τη δεύτερη ρίζα Χ 2 = - 3, συντελεστής p = - 1.

Μη επίλυση εξισώσεων Χ² + 2 Χ- 4 = 0 βρείτε το άθροισμα των τετραγώνων των ριζών του. Αφήνω Χ 1 και Χ 2 είναι οι ρίζες της εξίσωσης. Σύμφωνα με το θεώρημα του Vieta Χ 1 + Χ 2 = — 2, x 1 * x 2 = - 4. Επειδή Χ 1²+ Χ 2² = ( Χ 1 + Χ 2)² - 2 Χ 1 Χ 2, λοιπόν Χ 1²+ Χ 2 ² \u003d (- 2) ² -2 (- 4) \u003d 12.

Να βρείτε το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών της εξίσωσης 3 Χ² + 4 Χ- 5 \u003d 0. Αυτή η εξίσωση έχει δύο διαφορετικές ρίζες, από τη διάκριση ρε= 16 + 4*3*5 > 0. Για να λύσουμε την εξίσωση, χρησιμοποιούμε το θεώρημα Vieta. Αυτό το θεώρημα έχει αποδειχθεί για την ανηγμένη τετραγωνική εξίσωση. Ας διαιρέσουμε λοιπόν αυτή την εξίσωση με το 3.

Επομένως, το άθροισμα των ριζών είναι -4/3 και το γινόμενο τους είναι -5/3.

Γενικά οι ρίζες της εξίσωσης τσεκούρι² + β Χ + ντο= 0 σχετίζονται με τις ακόλουθες ισότητες: Χ 1 + Χ 2 = — b/a, x 1 * x 2 = c/a,Για να λάβουμε αυτούς τους τύπους, αρκεί να διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές αυτής της τετραγωνικής εξίσωσης με ένα ≠ 0 και εφαρμόστε το θεώρημα του Vieta στην ανηγμένη τετραγωνική εξίσωση που προκύπτει. Εξετάστε ένα παράδειγμα, πρέπει να συνθέσετε μια δεδομένη τετραγωνική εξίσωση, οι ρίζες της οποίας Χ 1 = 3, Χ 2 = 4. Επειδή Χ 1 = 3, Χ 2 = 4 είναι οι ρίζες της δευτεροβάθμιας εξίσωσης Χ² + px + q= 0, τότε από το θεώρημα Vieta R = — (Χ 1 + Χ 2) = — 7, q = Χ 1 Χ 2 = 12. Σε απάντηση, γράφουμε Χ² - 7 Χ+ 12 = 0. Το παρακάτω θεώρημα χρησιμοποιείται για την επίλυση ορισμένων προβλημάτων.

Αντίστροφο θεώρημα στο θεώρημα του Βιέτα

Αν αριθμοί R, q, Χ 1 , Χ 2 είναι τέτοια που Χ 1 + Χ 2 = — p, x 1 * x 2 \u003d q, έπειτα x 1και x2είναι οι ρίζες της εξίσωσης Χ² + px + q= 0. Αντικατάσταση στην αριστερή πλευρά Χ² + px + qαντί Rέκφραση - ( Χ 1 + Χ 2), αλλά αντίθετα q- δουλειά x 1 * x 2 .Παίρνουμε: Χ² + px + q = Χ² — ( Χ 1 + Χ 2) x + x 1 x 2 \u003d x² - x 1 x - x 2 x + x 1 x 2 \u003d (x - x 1) (x - x 2).Έτσι, αν οι αριθμοί R, q, Χ 1 και Χ 2 σχετίζονται με αυτές τις σχέσεις, τότε για όλους Χισότητα Χ² + px + q = (x - x 1) (x - x 2),από το οποίο προκύπτει ότι Χ 1 και Χ 2 - ρίζες της εξίσωσης Χ² + px + q= 0. Χρησιμοποιώντας το θεώρημα αντίστροφα προς το θεώρημα του Vieta, μερικές φορές είναι δυνατό να βρούμε τις ρίζες μιας τετραγωνικής εξίσωσης με επιλογή. Εξετάστε ένα παράδειγμα, Χ² - 5 Χ+ 6 = 0. Εδώ R = — 5, q= 6. Επιλέξτε δύο αριθμούς Χ 1 και Χ 2 έτσι ώστε Χ 1 + Χ 2 = 5, x 1 * x 2 = 6. Σημειώνοντας ότι 6 = 2 * 3, και 2 + 3 = 5, από το θεώρημα που αντιστρέφεται με το θεώρημα του Vieta, προκύπτει ότι Χ 1 = 2, Χ 2 = 3 - ρίζες της εξίσωσης Χ² - 5 Χ + 6 = 0.

Μία από τις μεθόδους επίλυσης μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης είναι η εφαρμογή Φόρμουλες VIETA, που πήρε το όνομά του από τον FRANCOIS VIETE.

Ήταν διάσημος δικηγόρος και υπηρέτησε τον 16ο αιώνα με τον Γάλλο βασιλιά. Στον ελεύθερο χρόνο του σπούδασε αστρονομία και μαθηματικά. Καθιέρωσε μια σύνδεση μεταξύ των ριζών και των συντελεστών μιας τετραγωνικής εξίσωσης.

Πλεονεκτήματα του τύπου:

1 . Εφαρμόζοντας τον τύπο, μπορείτε να βρείτε γρήγορα τη λύση. Επειδή δεν χρειάζεται να εισαγάγετε τον δεύτερο συντελεστή στο τετράγωνο, στη συνέχεια να αφαιρέσετε 4ac από αυτόν, να βρείτε το διαχωριστικό, να αντικαταστήσετε την τιμή του στον τύπο για την εύρεση των ριζών.

2 . Χωρίς λύση, μπορείτε να προσδιορίσετε τα σημάδια των ριζών, να σηκώσετε τις τιμές των ριζών.

3 . Έχοντας λύσει το σύστημα των δύο εγγραφών, δεν είναι δύσκολο να βρούμε τις ίδιες τις ρίζες. Στην παραπάνω τετραγωνική εξίσωση, το άθροισμα των ριζών είναι ίσο με την τιμή του δεύτερου συντελεστή με πρόσημο μείον. Το γινόμενο των ριζών στην παραπάνω τετραγωνική εξίσωση ισούται με την τιμή του τρίτου συντελεστή.

4 . Σύμφωνα με τις ρίζες που δίνονται, να γράψετε μια εξίσωση δευτεροβάθμιας, δηλαδή να λύσετε το αντίστροφο πρόβλημα. Για παράδειγμα, αυτή η μέθοδος χρησιμοποιείται για την επίλυση προβλημάτων στη θεωρητική μηχανική.

5 . Είναι βολικό να εφαρμόζεται ο τύπος όταν ο κύριος συντελεστής είναι ίσος με ένα.

Ελαττώματα:

1 . Η φόρμουλα δεν είναι καθολική.

Θεώρημα Vieta Βαθμός 8

Τύπος
Αν x 1 και x 2 είναι οι ρίζες της δεδομένης τετραγωνικής εξίσωσης x 2 + px + q \u003d 0, τότε:

Παραδείγματα
x 1 \u003d -1; x 2 \u003d 3 - οι ρίζες της εξίσωσης x 2 - 2x - 3 \u003d 0.

P = -2, q = -3.

X 1 + x 2 \u003d -1 + 3 \u003d 2 \u003d -p,

X 1 x 2 = -1 3 = -3 = q.

Αντίστροφο θεώρημα

Τύπος
Αν οι αριθμοί x 1 , x 2 , p, q συνδέονται με τις συνθήκες:

Τότε τα x 1 και x 2 είναι οι ρίζες της εξίσωσης x 2 + px + q = 0.

Παράδειγμα
Ας φτιάξουμε μια τετραγωνική εξίσωση από τις ρίζες της:

X 1 \u003d 2 -? 3 και x 2 \u003d 2 +? 3 .

P \u003d x 1 + x 2 \u003d 4; p = -4; q \u003d x 1 x 2 \u003d (2 -? 3) (2 +? 3) \u003d 4 - 3 \u003d 1.

Η επιθυμητή εξίσωση έχει τη μορφή: x 2 - 4x + 1 = 0.

Η διάκριση, καθώς και οι δευτεροβάθμιες εξισώσεις, αρχίζουν να μελετώνται στο μάθημα της άλγεβρας στην τάξη 8. Μπορείτε να λύσετε μια τετραγωνική εξίσωση μέσω του διαχωριστή και χρησιμοποιώντας το θεώρημα Vieta. Η μεθοδολογία για τη μελέτη των τετραγωνικών εξισώσεων, καθώς και ο τύπος διάκρισης, είναι μάλλον ανεπιτυχώς ενσταλάσσεται στους μαθητές, όπως και στην πραγματική εκπαίδευση. Επομένως, τα σχολικά χρόνια περνούν, η εκπαίδευση στις τάξεις 9-11 αντικαθιστά την "τριτοβάθμια εκπαίδευση" και όλοι αναζητούν ξανά - «Πώς να λύσω μια τετραγωνική εξίσωση;», «Πώς να βρείτε τις ρίζες μιας εξίσωσης;», «Πώς να βρείτε το διαχωριστικό;» και...

Διακριτική Φόρμουλα

Η διάκριση D της δευτεροβάθμιας εξίσωσης a*x^2+bx+c=0 είναι D=b^2–4*a*c.
Οι ρίζες (λύσεις) της δευτεροβάθμιας εξίσωσης εξαρτώνται από το πρόσημο της διάκρισης (D):
D>0 - η εξίσωση έχει 2 διαφορετικές πραγματικές ρίζες.
D=0 - η εξίσωση έχει 1 ρίζα (2 ρίζες που συμπίπτουν):
ρε<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
Ο τύπος για τον υπολογισμό του διακριτικού είναι αρκετά απλός, έτσι πολλοί ιστότοποι προσφέρουν μια ηλεκτρονική αριθμομηχανή διάκρισης. Δεν έχουμε καταλάβει ακόμα αυτού του είδους τα σενάρια, οπότε ποιος ξέρει πώς να το εφαρμόσει, παρακαλώ γράψτε στο mail Αυτή η διεύθυνση ηλεκτρονικού ταχυδρομείου προστατεύεται από κακόβουλη χρήση. Πρέπει να έχετε ενεργοποιημένη τη JavaScript για προβολή. .

Γενικός τύπος για την εύρεση των ριζών μιας τετραγωνικής εξίσωσης:

Οι ρίζες της εξίσωσης βρίσκονται από τον τύπο
Εάν ο συντελεστής της μεταβλητής στο τετράγωνο είναι ζευγαρωμένος, τότε καλό είναι να υπολογιστεί όχι ο διαχωριστής, αλλά το τέταρτο μέρος του
Σε τέτοιες περιπτώσεις, οι ρίζες της εξίσωσης βρίσκονται από τον τύπο

Ο δεύτερος τρόπος για να βρείτε ρίζες είναι το Θεώρημα του Βιέτα.

Το θεώρημα διατυπώνεται όχι μόνο για τετραγωνικές εξισώσεις, αλλά και για πολυώνυμα. Μπορείτε να το διαβάσετε στη Wikipedia ή σε άλλες ηλεκτρονικές πηγές. Ωστόσο, για να απλοποιήσουμε, θεωρήστε εκείνο το τμήμα του που αφορά τις ανηγμένες δευτεροβάθμιες εξισώσεις, δηλαδή τις εξισώσεις της μορφής (a=1)
Η ουσία των τύπων Vieta είναι ότι το άθροισμα των ριζών της εξίσωσης είναι ίσο με τον συντελεστή της μεταβλητής, που λαμβάνεται με το αντίθετο πρόσημο. Το γινόμενο των ριζών της εξίσωσης είναι ίσο με τον ελεύθερο όρο. Οι τύποι του θεωρήματος του Βιέτα έχουν σημειογραφία.
Η παραγωγή του τύπου Vieta είναι αρκετά απλή. Ας γράψουμε την τετραγωνική εξίσωση ως προς τους πρώτους παράγοντες
Όπως μπορείτε να δείτε, κάθε έξυπνο είναι ταυτόχρονα απλό. Είναι αποτελεσματικό να χρησιμοποιείτε τον τύπο Vieta όταν η διαφορά στο μέτρο των ριζών ή η διαφορά στο μέτρο των ριζών είναι 1, 2. Για παράδειγμα, οι ακόλουθες εξισώσεις, σύμφωνα με το θεώρημα Vieta, έχουν ρίζες




Η ανάλυση έως και 4 εξισώσεων θα πρέπει να μοιάζει με αυτό. Το γινόμενο των ριζών της εξίσωσης είναι 6, επομένως οι ρίζες μπορεί να είναι οι τιμές (1, 6) και (2, 3) ή ζεύγη με το αντίθετο πρόσημο. Το άθροισμα των ριζών είναι 7 (ο συντελεστής της μεταβλητής με το αντίθετο πρόσημο). Από εδώ συμπεραίνουμε ότι οι λύσεις της δευτεροβάθμιας εξίσωσης είναι ίσες με x=2; x=3.
Είναι ευκολότερο να επιλέξετε τις ρίζες της εξίσωσης μεταξύ των διαιρετών του ελεύθερου όρου, διορθώνοντας το πρόσημό τους προκειμένου να εκπληρωθούν οι τύποι Vieta. Στην αρχή, αυτό φαίνεται δύσκολο να γίνει, αλλά με εξάσκηση σε έναν αριθμό δευτεροβάθμιων εξισώσεων, αυτή η τεχνική θα είναι πιο αποτελεσματική από τον υπολογισμό της διάκρισης και την εύρεση των ριζών της τετραγωνικής εξίσωσης με τον κλασικό τρόπο.
Όπως μπορείτε να δείτε, η σχολική θεωρία της μελέτης της διάκρισης και των τρόπων εύρεσης λύσεων στην εξίσωση στερείται πρακτικής σημασίας - «Γιατί χρειάζονται οι μαθητές μια τετραγωνική εξίσωση;», «Ποια είναι η φυσική έννοια του διακρίνοντα;».

Ας προσπαθήσουμε να το καταλάβουμε τι περιγράφει η διάκριση;

Στο μάθημα της άλγεβρας μελετούν συναρτήσεις, σχήματα μελέτης συναρτήσεων και σχεδίαση συναρτήσεων. Από όλες τις συναρτήσεις, μια σημαντική θέση καταλαμβάνει μια παραβολή, η εξίσωση της οποίας μπορεί να γραφτεί με τη μορφή
Άρα η φυσική έννοια της τετραγωνικής εξίσωσης είναι τα μηδενικά της παραβολής, δηλαδή τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης με τον άξονα της τετμημένης Ox
Σας ζητώ να θυμάστε τις ιδιότητες των παραβολών που περιγράφονται παρακάτω. Θα έρθει η ώρα να κάνετε εξετάσεις, τεστ ή εισαγωγικές εξετάσεις και θα είστε ευγνώμονες για το υλικό αναφοράς. Το πρόσημο της μεταβλητής στο τετράγωνο αντιστοιχεί στο αν οι κλάδοι της παραβολής στο γράφημα θα ανέβουν (a>0),

ή μια παραβολή με κλαδιά προς τα κάτω (α<0) .

Η κορυφή της παραβολής βρίσκεται στη μέση μεταξύ των ριζών

Η φυσική έννοια της διάκρισης:

Εάν η διάκριση είναι μεγαλύτερη από το μηδέν (D>0), η παραβολή έχει δύο σημεία τομής με τον άξονα Ox.
Αν η διάκριση είναι ίση με μηδέν (D=0), τότε η παραβολή στην κορυφή αγγίζει τον άξονα x.
Και η τελευταία περίπτωση, όταν η διάκριση είναι μικρότερη από το μηδέν (Δ<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).

Ημιτελείς τετραγωνικές εξισώσεις

Οποιαδήποτε πλήρης τετραγωνική εξίσωση ax2 + bx + c = 0μπορεί να έλθει στο μυαλό x 2 + (b/a)x + (c/a) = 0, αν πρώτα διαιρέσουμε κάθε όρο με τον συντελεστή a πριν x2. Και αν εισάγουμε νέα σημειογραφία (β/α) = σελκαι (γ/α) = q, τότε θα έχουμε την εξίσωση x 2 + px + q = 0, που στα μαθηματικά ονομάζεται μειωμένη τετραγωνική εξίσωση.

Οι ρίζες της ανηγμένης τετραγωνικής εξίσωσης και οι συντελεστές Πκαι qδιασυνδεδεμένες. Είναι επιβεβαιωμένο Το θεώρημα του Βιέτα, που πήρε το όνομά του από τον Γάλλο μαθηματικό Φρανσουά Βιέτα, ο οποίος έζησε στα τέλη του 16ου αιώνα.

Θεώρημα. Το άθροισμα των ριζών της ανηγμένης τετραγωνικής εξίσωσης x 2 + px + q = 0ίσο με τον δεύτερο συντελεστή Π, που λαμβάνονται με το αντίθετο πρόσημο, και το προϊόν των ριζών - στον ελεύθερο όρο q.

Γράφουμε αυτούς τους λόγους με την ακόλουθη μορφή:

Αφήνω x 1και x2διάφορες ρίζες της ανηγμένης εξίσωσης x 2 + px + q = 0. Σύμφωνα με το θεώρημα του Vieta x1 + x2 = -pκαι x 1 x 2 = q.

Για να το αποδείξουμε αυτό, ας αντικαταστήσουμε καθεμία από τις ρίζες x 1 και x 2 στην εξίσωση. Παίρνουμε δύο αληθινές ισότητες:

x 1 2 + px 1 + q = 0

x 2 2 + px 2 + q = 0

Αφαιρέστε τη δεύτερη από την πρώτη ισότητα. Παίρνουμε:

x 1 2 – x 2 2 + p(x 1 – x 2) = 0

Επεκτείνουμε τους δύο πρώτους όρους σύμφωνα με τον τύπο διαφοράς τετραγώνων:

(x 1 - x 2)(x 1 - x 2) + p(x 1 - x 2) = 0

Κατά συνθήκη, οι ρίζες x 1 και x 2 είναι διαφορετικές. Επομένως, μπορούμε να μειώσουμε την ισότητα κατά (x 1 - x 2) ≠ 0 και να εκφράσουμε p.

(x 1 + x 2) + p = 0;

(x 1 + x 2) = -p.

Η πρώτη ισότητα αποδεικνύεται.

Για να αποδείξουμε τη δεύτερη ισότητα, αντικαθιστούμε στην πρώτη εξίσωση

x 1 2 + px 1 + q \u003d 0 αντί του συντελεστή p, ο ίσος αριθμός του είναι (x 1 + x 2):

x 1 2 - (x 1 + x 2) x 1 + q \u003d 0

Μετασχηματίζοντας την αριστερή πλευρά της εξίσωσης, παίρνουμε:

x 1 2 - x 2 2 - x 1 x 2 + q \u003d 0;

x 1 x 2 = q, που έπρεπε να αποδειχτεί.

Το θεώρημα του Vieta είναι καλό γιατί, Ακόμη και χωρίς να γνωρίζουμε τις ρίζες της δευτεροβάθμιας εξίσωσης, μπορούμε να υπολογίσουμε το άθροισμα και το γινόμενο τους .

Το θεώρημα του Vieta βοηθά στον προσδιορισμό των ακέραιων ριζών της δεδομένης τετραγωνικής εξίσωσης. Αλλά για πολλούς μαθητές, αυτό προκαλεί δυσκολίες λόγω του γεγονότος ότι δεν γνωρίζουν έναν σαφή αλγόριθμο δράσης, ειδικά αν οι ρίζες της εξίσωσης έχουν διαφορετικά πρόσημα.

Έτσι, η δεδομένη τετραγωνική εξίσωση έχει τη μορφή x 2 + px + q \u003d 0, όπου x 1 και x 2 είναι οι ρίζες της. Σύμφωνα με το θεώρημα Vieta x 1 + x 2 = -p και x 1 x 2 = q.

Μπορούμε να βγάλουμε το εξής συμπέρασμα.

Αν στην εξίσωση του τελευταίου όρου προηγείται το αρνητικό πρόσημο, τότε οι ρίζες x 1 και x 2 έχουν διαφορετικά πρόσημα. Επιπλέον, το πρόσημο της μικρότερης ρίζας είναι το ίδιο με το πρόσημο του δεύτερου συντελεστή στην εξίσωση.

Με βάση το γεγονός ότι κατά την πρόσθεση αριθμών με διαφορετικά πρόσημα, οι ενότητες τους αφαιρούνται και το πρόσημο του μεγαλύτερου αριθμού τοποθετείται μπροστά από το αποτέλεσμα, θα πρέπει να προχωρήσετε ως εξής:

1. Να προσδιορίσετε τέτοιους παράγοντες του αριθμού q έτσι ώστε η διαφορά τους να είναι ίση με τον αριθμό p.
2. βάλτε το πρόσημο του δεύτερου συντελεστή της εξίσωσης μπροστά από τον μικρότερο από τους ληφθέντες αριθμούς. η δεύτερη ρίζα θα έχει το αντίθετο πρόσημο.

Ας δούμε μερικά παραδείγματα.

Παράδειγμα 1.

Λύστε την εξίσωση x 2 - 2x - 15 = 0.

Λύση.

Ας προσπαθήσουμε να λύσουμε αυτήν την εξίσωση χρησιμοποιώντας τους κανόνες που προτείνονται παραπάνω. Τότε μπορούμε να πούμε με βεβαιότητα ότι αυτή η εξίσωση θα έχει δύο διαφορετικές ρίζες, γιατί D \u003d b 2 - 4ac \u003d 4 - 4 (-15) \u003d 64\u003e 0.

Τώρα, από όλους τους συντελεστές του αριθμού 15 (1 και 15, 3 και 5), επιλέγουμε αυτούς που η διαφορά τους είναι ίση με 2. Αυτοί θα είναι οι αριθμοί 3 και 5. Βάζουμε πρόσημο μείον μπροστά από τον μικρότερο αριθμό , δηλ. το πρόσημο του δεύτερου συντελεστή της εξίσωσης. Έτσι, παίρνουμε τις ρίζες της εξίσωσης x 1 \u003d -3 και x 2 \u003d 5.

Απάντηση. x 1 = -3 και x 2 = 5.

Παράδειγμα 2.

Λύστε την εξίσωση x 2 + 5x - 6 = 0.

Λύση.

Ας ελέγξουμε αν αυτή η εξίσωση έχει ρίζες. Για να γίνει αυτό, βρίσκουμε τη διάκριση:

D \u003d b 2 - 4ac \u003d 25 + 24 \u003d 49\u003e 0. Η εξίσωση έχει δύο διαφορετικές ρίζες.

Οι πιθανοί συντελεστές του αριθμού 6 είναι 2 και 3, 6 και 1. Η διαφορά είναι 5 για ένα ζευγάρι των 6 και 1. Σε αυτό το παράδειγμα, ο συντελεστής του δεύτερου όρου έχει πρόσημο συν, οπότε ο μικρότερος αριθμός θα έχει το ίδιο σημάδι. Αλλά πριν από τον δεύτερο αριθμό θα υπάρχει ένα σύμβολο μείον.

Απάντηση: x 1 = -6 και x 2 = 1.

Το θεώρημα του Vieta μπορεί επίσης να γραφτεί για μια πλήρη τετραγωνική εξίσωση. Αν λοιπόν η τετραγωνική εξίσωση ax2 + bx + c = 0έχει ρίζες x 1 και x 2 , τότε ικανοποιούν τις ισότητες

x 1 + x 2 = -(b/a)και x 1 x 2 = (c/a). Ωστόσο, η εφαρμογή αυτού του θεωρήματος στην πλήρη τετραγωνική εξίσωση είναι μάλλον προβληματική, αφού αν υπάρχουν ρίζες, τουλάχιστον μία από αυτές είναι κλασματικός αριθμός. Και η εργασία με την επιλογή των κλασμάτων είναι αρκετά δύσκολη. Αλλά και πάλι υπάρχει διέξοδος.

Θεωρήστε την πλήρη τετραγωνική εξίσωση ax 2 + bx + c = 0. Πολλαπλασιάστε την αριστερή και τη δεξιά πλευρά της με τον συντελεστή a. Η εξίσωση θα πάρει τη μορφή (ax) 2 + b(ax) + ac = 0. Τώρα ας εισαγάγουμε μια νέα μεταβλητή, για παράδειγμα t = ax.

Στην περίπτωση αυτή, η προκύπτουσα εξίσωση μετατρέπεται σε ανηγμένη τετραγωνική εξίσωση της μορφής t 2 + bt + ac = 0, οι ρίζες της οποίας t 1 και t 2 (εάν υπάρχουν) μπορούν να προσδιοριστούν από το θεώρημα Vieta.

Σε αυτή την περίπτωση, οι ρίζες της αρχικής τετραγωνικής εξίσωσης θα είναι

x 1 = (t 1 / a) και x 2 = (t 2 / a).

Παράδειγμα 3.

Λύστε την εξίσωση 15x 2 - 11x + 2 = 0.

Λύση.

Κάνουμε μια βοηθητική εξίσωση. Ας πολλαπλασιάσουμε κάθε όρο της εξίσωσης επί 15:

15 2 x 2 - 11 15x + 15 2 = 0.

Κάνουμε την αλλαγή t = 15x. Εχουμε:

t 2 - 11t + 30 = 0.

Σύμφωνα με το θεώρημα Vieta, οι ρίζες αυτής της εξίσωσης θα είναι t 1 = 5 και t 2 = 6.

Επιστρέφουμε στην αντικατάσταση t = 15x:

5 = 15x ή 6 = 15x. Έτσι x 1 = 5/15 και x 2 = 6/15. Μειώνουμε και παίρνουμε την τελική απάντηση: x 1 = 1/3 και x 2 = 2/5.

Απάντηση. x 1 = 1/3 και x 2 = 2/5.

Για να κατακτήσουν τη λύση των τετραγωνικών εξισώσεων χρησιμοποιώντας το θεώρημα Vieta, οι μαθητές πρέπει να εξασκηθούν όσο το δυνατόν περισσότερο. Αυτό ακριβώς είναι το μυστικό της επιτυχίας.

site, με πλήρη ή μερική αντιγραφή του υλικού, απαιτείται σύνδεσμος στην πηγή.