Όλοι οι τύποι αριθμητικής και γεωμετρικής προόδου 9. Αριθμητική πρόοδος (Βαθμός 9): τύποι, παραδείγματα

Σκοπός του παιχνιδιού :

Γενίκευση και συστηματοποίηση των γνώσεων των μαθητών πάνω στο θέμα αυτό.
Εξοικείωση των μαθητών με το ιστορικό υλικό.

Εξοπλισμός: αφίσα για το παιχνίδι "Progressio - προχωρώντας μπροστά."

Όλοι οι μαθητές χωρίζονται σε πέντε ομάδες + τις συμβουλές των σοφών

Ο εικοστός αιώνας τελείωσε.
Πού πάει το άτομο;
Το διάστημα και η θάλασσα εξερευνήθηκαν
Η δομή των αστεριών και ολόκληρης της Γης.
Αλλά οι μαθηματικοί καλούν
διάσημο σύνθημα:
"Progressio - προχωράμε μπροστά."

Σήμερα θα έχουμε ένα συμβούλιο στην τάξη - το συμβούλιο των σοφών. Οι σοφοί είναι μαθητές που κάθονται σε ομάδες σε μια τάξη. Και οι Σοφοί κάθονται σε αυτό το τραπέζι.

Τους αναγνωρίζετε;

Κάθονται στο τραπέζι: Αρχιμήδης, Γκάους, Μαγκνίτσκι.

Ποιος βρήκε τον τύπο για το άθροισμα των τετραγώνων;
Και ήρθε ο σωστός δρόμος για την πρόοδο;
Μαθηματικός και φυσικός. Είμαι ο Αρχιμήδης.
Υπάρχουν πολλοί θρύλοι για τη ζωή μου.

Ω! Είμαι ο Καρλ Γκάους! Βρέθηκε αμέσως το άθροισμα όλων φυσικούς αριθμούς 1 έως 100 ως μαθητής δημοτικού.

Μαγκνίτσκι. Αρχοντας! Έχω την τιμή να συστηθώ. Είμαι ο Leonty Filippovich Magnitsky, ο δημιουργός του πρώτου σχολικού βιβλίου «Αριθμητική».

Δάσκαλος. Πείτε μου, παιδιά, γιατί αυτοί οι επιστήμονες μαζεύονται ξαφνικά στο ίδιο τραπέζι; Ποια μαθηματική ερώτηση τους ενώνει; Εάν δεν το έχετε καταλάβει, τότε παρακολουθήστε προσεκτικά τη σκηνή.

αρχαίος ινδικός μύθος

Ένας Ινδουιστής βασιλιάς εμφανίζεται στην τάξη με έναν υπηρέτη.

Τσάρος. Εγώ, ο ινδουιστής βασιλιάς Sheram, έχω μάθει το παιχνίδι του σκακιού και θαυμάζω το πνεύμα και την ποικιλία των θέσεων του. Υπηρέτης, ας πούμε τον εφευρέτη Σετού. Θέλω να σε ανταμείψω επαρκώς, Σεθ, για το υπέροχο παιχνίδι που σκέφτηκες. Ονομάστε μια ανταμοιβή που θα σας ικανοποιήσει και θα τη λάβετε.

Ο Σεθ. Αρχοντας. Διατάξτε με να μου δώσω έναν κόκκο σιτάρι για το πρώτο κελί της σκακιέρας

Τσάρος. Ένας απλός κόκκος σιταριού;

Ο Σεθ. Ναι, κύριε Για το δεύτερο κελί, διατάξτε να δώσετε 2 κόκκους, για το τρίτο - 4, για το τέταρτο - 8, για το πέμπτο - 16, και ούτω καθεξής μέχρι το 64ο κελί.

Ο βασιλιάς Σεράμ γέλασε.

Δάσκαλος. Ω σοφοί της ένατης τάξης, ας συμβουλευτούμε. Να γελάσει ο βασιλιάς;

Ρεκόρ στον πίνακα: 1,2,4,8,16, ... .. S 64 -?

Οι μαθητές αποφασίζουν. b 1= 1, q=2, n=64, S 64 =2 64 - 1.

Δάσκαλος. Πόσο μεγάλος είναι αυτός ο αριθμός; Ποιος μπορεί να το εξηγήσει;

Αρχιμήδης. Ο Πιο Σοφός! Αν ο βασιλιάς μπορούσε να σπείρει σιτάρι σε ολόκληρη την επιφάνεια της Γης, μετρώντας τις θάλασσες, και τους ωκεανούς, και τα βουνά, και την έρημο, και την Αρκτική και την Ανταρκτική και να πάρει μια ικανοποιητική σοδειά, τότε, ίσως, σε πέντε χρόνια θα μπορούσε να πληρώσει μακριά από.

Γκάους. Τα μαθηματικά είναι ακριβής επιστήμη. (Γράφει στον πίνακα 18 446 744 073 709 551 615). 18 κουϊντσεμ 446 τετράδισεκα 744 τρισεκατομμύρια 73 δισεκατομμύρια 709 εκατομμύρια 551 χιλιάδες 615.

Μαγκνίτσκι. Lord Wise Men της 9ης τάξης! Οι σύγχρονοί μου θα έλεγαν ότι S 64 18.5 10 18 . Αλήθεια, σας ομολογώ ότι στο σχολικό μου βιβλίο «Αριθμητική», που εκδόθηκε πριν από 200 χρόνια, από το οποίο σπούδασαν παιδιά για μισό αιώνα, υπάρχουν πολλά προβλήματα με το θέμα «Προόδους», αλλά εγώ ο ίδιος έλυσα μερικά από αυτά με μεγάλη δυσκολία, αφού δεν έχω βρει ακόμη όλους τους τύπους που να αφορούν τις ποσότητες που περιλαμβάνονται σε αυτές.

Κάτω από το τρίξιμο ενός στυλό σε ένα φύλλο χαρτιού.
Συμπληρώστε αυτά τα φύλλα!
Είθε οι προσπάθειές μας να σας βοηθήσουν!

Τα κενά φύλλα διανέμονται για να δοκιμαστεί η γνώση της θεωρίας, δηλαδή η βασική περίληψη για το θέμα "Προόδους" αποκαθίσταται.

Οι μαθητές συμπληρώνουν τον πίνακα. Στον πίνακα εμφανίζεται ο παρακάτω πίνακας:

προόδους	Αριθμητική a n	Γεωμετρική b n
Ορισμός		b n+1 =b n q (q0,q1)
Τύπος n πρώτων όρων	a n \u003d a 1 + (n-1) d
Το άθροισμα των πρώτων ν όρων της προόδου	S n =	S n = Και η αναζήτηση τους εκτιμήθηκε από εμάς. Οι λέξεις πρέπει τώρα να συνδυαστούν, Σε ποια φράση μπορούν να συνδυαστούν; «Τα μαθηματικά είναι η βασίλισσα των επιστημών, η αριθμητική είναι η βασίλισσα των μαθηματικών» Ω σοφοί του χρόνου! Δεν μπορείτε να βρείτε φίλους. Το συμβούλιο ολοκληρώθηκε σήμερα Αλλά όλοι πρέπει να γνωρίζουν: Γνώση, επιμονή, σκληρή δουλειά Οδηγήστε στην πρόοδο στη ζωή!

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΚΑΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΠΡΟΟΔΟΥΣ.

Μάθημα στην 9η τάξη.

Καθηγήτρια μαθηματικών - Prikhodko Galina Vladimirovna

Στόχοι μαθήματος:

Εκπαιδευτικό: βελτίωση των δεξιοτήτων στη χρήση των τύπων αριθμητικών και γεωμετρικών προόδων για την επίλυση προβλημάτων εφαρμοσμένου περιεχομένου, εμφάνιση της χρήσης τύπων προόδου για προβλήματα φυσικής, βιολογίας, οικονομίας, δοκιμή της αφομοίωσης της γνώσης με διεξαγωγή ανεξάρτητη εργασίασε δοκιμαστική μορφή.

Εκπαιδευτικά: να καλλιεργήσουν το αίσθημα της ευθύνης, τον αλληλοσεβασμό, την ικανότητα να εργάζονται σε ομάδες.

Ανάπτυξη: ανάπτυξη ενδιαφέροντος για το θέμα, ανάγκη απόκτησης νέων γνώσεων.

Τύπος μαθήματος: στρογγυλό τραπέζι.

Κατά τη διάρκεια των μαθημάτων:

1.) Οργάνωση χρόνου. Οι μαθητές σχημάτισαν ομάδες: Τμήμα Θεωρίας, Τμήμα Ιστορίας, Βιολογίας, Φυσικής, Οικονομίας.

2.) Έρευνα. Τμήμα Θεωρίας.

Σχέδιο ανάκρισης: Ορισμός, ιδιότητες, τύπος του νθ μέλους, τύπος αθροίσματος.

Αριθμητική πρόοδος. Γεωμετρική πρόοδος.

1. 1.

2.
2.

3.
3.

4.
4.

5.
5.

3.) Τμήμα Ιστορίας.

Τα ονόματα των παρακάτω μαθηματικών συνδέονται με την έννοια των ακολουθιών. Τα μέλη της ακολουθίας 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,… ονομάζονται αριθμοί Fibonacci. Αυτό εξηγείται από το γεγονός ότι ο Ιταλός μαθηματικός και έμπορος Λεονάρντο της Πίζας (Φιμπονάτσι) ήταν ο πρώτος που δημιούργησε μια σύνδεση μεταξύ αυτής της ακολουθίας και του γνωστού προβλήματος της αναπαραγωγής κουνελιού. Σε αυτό το πρόβλημα, διερευνάται ο αριθμός των απογόνων ενός ζευγαριού κουνελιών, το οποίο κάθε μήνα φέρνει ένα ζευγάρι κουνελιών, και εκείνοι σε ένα μήνα αρχίζουν επίσης να παράγουν απογόνους.

Από τότε που ο Fibonacci ανακάλυψε την ακολουθία του, έχουν βρεθεί φυσικά φαινόμενα στα οποία αυτή η ακολουθία παίζει σημαντικό ρόλο. Ένα από αυτά είναι η φυλλοταξία (διάταξη φύλλων) - ο κανόνας σύμφωνα με τον οποίο, για παράδειγμα, οι σπόροι βρίσκονται σε μια ταξιανθία ηλίανθου. Οι σπόροι είναι διατεταγμένοι σε δύο σειρές σπειρών, η μία από τις οποίες πηγαίνει δεξιόστροφα, η άλλη αντίθετα. Και ο αριθμός των σπόρων σε κάθε περίπτωση είναι 34 και 55, ωστόσο υπάρχουν και γίγαντες με 89 και 144 σπόρους. Μια παρόμοια ιδιότητα μπορεί να βρεθεί στη δομή των κουκουναριών. Το ίδιο παρατηρείται και στους καρπούς του ανανά.

Ο εξέχων Γερμανός μαθηματικός Κ. Γκάους βρήκε το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου

1, 2, 3, …, 98,99,100 σε ηλικία 5 ετών.

Με γεωμετρική ακολουθία 1, 2,
συνδέεται με έναν παλιό μύθο. Ο Ινδός σοφός, που εφηύρε το παιχνίδι σκάκι, ζήτησε από τον Ράτζα την εφεύρεσή του, με την πρώτη ματιά, μια μέτρια ανταμοιβή: για το πρώτο κελί της σκακιέρας 1 κόκκο σιτάρι, για το δεύτερο - 2, για το τρίτο - 4 κ.λπ. - για κάθε επόμενο κελί δύο φορές περισσότερο από το προηγούμενο. Σύνολοκόκκους, που ζήτησε ο εφευρέτης, ισούται με

Ο πλούσιος rajah σοκαρίστηκε όταν έμαθε ότι δεν ήταν σε θέση να ικανοποιήσει την «ταπεινή επιθυμία» του σοφού. Η τιμή αυτής της έκφρασης είναι 18 446 744 073 709 551 615 δηλ. 18 κουϊντσεμ 446 τετράδισεκα 744 τρισεκατομμύρια 73 δισεκατομμύρια 709 εκατομμύρια 551 χιλιάδες 615.

Για να συνειδητοποιήσετε πόσο μεγάλος είναι αυτός ο αριθμός, φανταστείτε ότι το σιτάρι είναι αποθηκευμένο σε έναν αχυρώνα έκτασης 12 εκταρίων. Το ύψος του θα ήταν μεγαλύτερο από την απόσταση από τη Γη στον Ήλιο.

4.) Τμήμα Βιολογίας.

Στη βιολογία, επίσης, υπάρχουν φαινόμενα που μπορούν να χαρακτηριστούν χρησιμοποιώντας προόδους. Ειδικότερα, η αναπαραγωγή ζωντανών οργανισμών. Γνωρίζοντας τέτοια χαρακτηριστικά ενός οργανισμού όπως η συχνότητα αναπαραγωγής και ο αριθμός των απογόνων, είναι δυνατό να προβλεφθεί ο αριθμός ενός πληθυσμού σε μια ορισμένη χρονική περίοδο χρησιμοποιώντας προόδους. Μια τέτοια διαδικασία εξετάζεται στο επόμενο πρόβλημα.

ΜΙΑ ΕΡΓΑΣΙΑ.

Το βακτήριο, έχοντας εισέλθει στο σώμα, χωρίζεται στα δύο στο τέλος των 20 λεπτών, καθένα από τα οποία διαιρείται ξανά στα δύο στο τέλος των 20 λεπτών, και ούτω καθεξής. Πόσα βακτήρια θα υπάρχουν στο σώμα σε μια μέρα;

Λύση:

Ο αριθμός των βακτηρίων αυξάνεται κατά 2 φορές κάθε 20 λεπτά, οπότε έχουμε:

1,2,4,8, ... μια γεωμετρική πρόοδο στην οποία

σύμφωνα με τον τύπο
εύρημα

βακτήρια.

Απάντηση:
βακτήρια.

5.) Τμήμα Φυσικής.

Είναι γνωστό από την ιστορία της αστρονομίας ότι ο Ι. Τίτιος, Γερμανός αστρονόμος XVIII αιώνα, χρησιμοποιώντας μια σειρά αριθμών Fibonacci βρήκε ένα μοτίβο και μια σειρά στις αποστάσεις μεταξύ των πλανητών ηλιακό σύστημα. Ωστόσο, μια περίπτωση που φαινόταν να είναι αντίθετη με το νόμο: δεν υπήρχε πλανήτης μεταξύ του Άρη και του Δία. Η εστιασμένη παρατήρηση αυτής της περιοχής του ουρανού οδήγησε στην ανακάλυψη της ζώνης των αστεροειδών, αυτό συνέβη μετά το θάνατο του Τίτιου στο αρχές XIXαιώνας.

Οι προόδους εκφράζουν τους νόμους κάποιων φυσικά φαινόμενα. Για παράδειγμα, σύμφωνα με το νόμο γεωμετρική πρόοδοςεμφανίζεται ιοντισμός κρούσης. Στον ιοντισμό κρούσης, ένα θετικό ιόν, φθάνοντας στην επιφάνεια ενός αρνητικού ηλεκτροδίου, εξουδετερώνει ένα ηλεκτρόνιο. Αυτό το ηλεκτρόνιο, που διαθέτει μεγάλη ενέργεια, εκτοξεύει ένα ηλεκτρόνιο από το εξωτερικό περίβλημα του ατόμου που συναντά στο δρόμο του. Τα 2 ηλεκτρόνια που έχουν ήδη σχηματιστεί βγάζουν άουτ άλλα 2, τα 4 έλαβαν άλλα 4 και ούτω καθεξής. Σχηματίζεται μια χιονοστιβάδα ηλεκτρονίων που αυξάνεται εκθετικά.

Στη φυσική υπάρχει μια έννοια ομοιόμορφα επιταχυνόμενη κίνηση. Εάν ένα σώμα κινείται με ομοιόμορφη επιτάχυνση, τότε η απόσταση που διανύει σε κάθε επόμενη μονάδα χρόνου αυξάνεται κατά το ίδιο ποσό. Εκείνοι. τα τμήματα της διαδρομής που περνά το σώμα σε 1,2,3,4, ... μονάδες χρόνου σχηματίζουν αριθμητική πρόοδο.

ΜΙΑ ΕΡΓΑΣΙΑ.

Μια μπάλα που κυλάει σε ένα σωρό διανύει 0,6 μέτρα το πρώτο δευτερόλεπτο και 0,6 μέτρα περισσότερο σε κάθε επόμενο δευτερόλεπτο. Πόσο καιρό θα του πάρει για να περπατήσει 6 μέτρα;

Λύση:
Μ,
Μ,
Μ.

5 δεν ικανοποιεί την προϋπόθεση του προβλήματος

Η μπάλα ταξιδεύει 6 μέτρα σε 4 δευτερόλεπτα.

Απάντηση: 4 δευτερόλεπτα.

6.) Τμήμα Οικονομικών Επιστημών.

Η πρώτη τράπεζα ιδρύθηκε στη Βενετία το 1171. Από τραπεζικό σύστημααναπτύσσεται και βελτιώνεται.

Στην περίπτωση κατάθεσης μετρητών σε τράπεζα, ο καταθέτης λαμβάνει ένα ορισμένο ποσοστό για τη χρήση των κεφαλαίων του.

ΜΙΑ ΕΡΓΑΣΙΑ.

Η τράπεζα πληρώνει 2% ετησίως. Ποιο θα είναι το ποσό της εισφοράς των 800r στο τέλος κάθε έτους; Για πρώτη ή για δεύτερη χρονιά, η ανάπτυξη της κατάθεσης είναι μεγαλύτερη; Ποια θα είναι η εισφορά μετά από 3 χρόνια;

Λύση:

Αφήνω Το Α είναι η αρχική κατάθεση, η οποία αντιστοιχεί στο p % ετησίως, μετά το Α
- αύξηση καταθέσεων, σε ένα χρόνο που έχουμε

όπου
- έχει γίνει σταθερή αξία για οποιοδήποτε ποσό. Μετά από 2 χρόνια έχουμε:

εκείνοι. η αύξηση της συνεισφοράς αυξάνεται σύμφωνα με το νόμο της γεωμετρικής προόδου.

Εάν ο καταθέτης βάλει 800 ρούβλια στην τράπεζα, με 2% ετησίως, τότε η αύξηση σχηματίζεται

800 0,02 = 16 p

Για το πρώτο έτος, το ποσό κατάθεσης είναι 800 + 16 = 816 ρούβλια

Για το δεύτερο έτος 816 (1 + 0,02)² = 832,32 ρούβλια

Για κάθε έτος, η αρχική εισφορά αυξάνεται κατά 2%, άρα μετά από 3 χρόνια ισούται με

800 (1,02)³ \u003d 800 1,06 \u003d 848 (p)

Απάντηση: 848r.

ΜΙΑ ΕΡΓΑΣΙΑ.

Στους εργάτες δόθηκε το καθήκον να σκάψουν ένα πηγάδι. Για το πρώτο μέτρο που σκάβεται στα βάθη του πηγαδιού, πληρώνονται 50 ρούβλια και για κάθε επόμενο μέτρο πληρώνονται 20 ρούβλια περισσότερα από ό,τι για το προηγούμενο. Πόσα χρήματα (σε ρούβλια) θα πληρωθούν οι εργαζόμενοι για το σκάψιμο ενός φρέατος βάθους 12 μέτρων;

Λύση:

Από την συνθήκη του προβλήματος έχουμε μια αριθμητική πρόοδο

πρέπει να βρεις

Απάντηση: 1920

7) Λύση δοκιμαστικών εργασιών.

1 επιλογή.

1. Να βρείτε τη διαφορά μιας αριθμητικής προόδου αν

Α) 0,9; Β) -0,9; ΣΤΙΣ 9? Δ) -9.

2. Ποιο είναι το άθροισμα των τεσσάρων πρώτων όρων μιας γεωμετρικής προόδου, της οποίας ο πρώτος όρος

και ο παρονομαστής

Α) 70; Β) 85; Β) 80; Δ) 75.

3. Ποιο είναι το άθροισμα των έξι πρώτων όρων μιας αριθμητικής προόδου αν

Α) 85; Β) 95; Β) 105; Δ) 115.

4. Μεταξύ αυτών των ακολουθιών, υποδείξτε μια αριθμητική πρόοδο.

Α) 5;8;13;18; Γ) 0,1, 0,2, 0,3, 0,4.

Β) 45;40;33;27; Δ) 7;9;12;14.

5. Από την ακολουθία των αριθμών -9, -8, -6,4,5,6 επιλέχθηκαν δύο αριθμοί και βρέθηκε το γινόμενο τους. Οι οποίες μικρότερη τιμήμπορεί να δεχτεί αυτό το έργο;

Α) -40; Β) -54; Β) -72; Δ) -36.

6. Υποδείξτε μια γεωμετρική πρόοδο μεταξύ αυτών των ακολουθιών.

Α) 6;18;54;162; Β)1;2;3;5; C)3;8;13;18; Δ) 21;19;17;15.

7. Ποιος είναι ο τρίτος όρος μιας γεωμετρικής προόδου, ο πρώτος όρος της οποίας
και ο παρονομαστής

Α) 15; Β) 45; Β) 135; Δ) 75.

8. Να βρείτε τον παρονομαστή μιας γεωμετρικής προόδου αν

ΑΛΛΑ)
ΣΙ) ΣΤΟ)
ΣΟΛ)

9. Να βρείτε τον έβδομο όρο μιας αριθμητικής προόδου της οποίας ο πρώτος όρος είναι 8 και η διαφορά είναι 0,5.

Α) 11; Β) 10; Γ) 10,5; Δ) 9,5.

10. Να βρείτε τον πρώτο όρο μιας αριθμητικής προόδου αν ο δεύτερος όρος είναι 2,1 και η διαφορά είναι 0,7.

Α) 1,4; Β) 2,8; Γ) 0,3; Δ) 14.7.

Επιλογή 2.

1. Ποια ακολουθία είναι αριθμητική πρόοδος;

Α) 1;2;4;8; Β) 8;10;13;17; Γ) 2, 4, 6, 8; Δ) -8;8;-8;8.και ο παρονομαστής

Α2; Β) -6; ΣΕ 2? Δ)6.

Τμήμα Βιολογίας.

Μια εργασία. Ένα βακτήριο, μόλις μπει στο σώμα, χωρίζεται σε 2 στο τέλος των 20 λεπτών, καθένα από τα οποία διαιρείται πάλι με 2 στο τέλος των 20 λεπτών, κλπ. Πόσα βακτήρια θα υπάρχουν στο σώμα σε μια μέρα;

Τμήμα Φυσικής.

Μια εργασία. Μια μπάλα που κυλάει σε ένα σωρό διανύει 0,6 μέτρα το πρώτο δευτερόλεπτο και 0,6 μέτρα περισσότερο σε κάθε επόμενο δευτερόλεπτο. Πόσο καιρό θα του πάρει για να περπατήσει 6 μέτρα;

Τμήμα Οικονομικών Επιστημών.

Μια εργασία. Η τράπεζα πληρώνει 2% ετησίως. Ποιο θα είναι το ποσό της κατάθεσης των 800 εθνικών νομισμάτων στο τέλος κάθε έτους; Για πρώτη ή για δεύτερη χρονιά, η ανάπτυξη της κατάθεσης είναι μεγαλύτερη; Ποια θα είναι η εισφορά μετά από 3 χρόνια;

Τμήματα Ιστορίας και Θεωρίας.

Μια εργασία. Στους εργάτες δόθηκε το καθήκον να σκάψουν ένα πηγάδι. Για τον πρώτο μετρητή που σκάβεται στα βάθη του φρέατος, πληρώνονται 50 r και για κάθε επόμενο μετρητή πληρώνονται 20 r περισσότερο από τον προηγούμενο. Πόσα χρήματα (σε ρούβλια) θα πληρωθούν οι εργαζόμενοι για το σκάψιμο ενός πηγαδιού

12 μ

Βιβλιογραφία:

1. Ανοιχτά μαθήματα. Μαθηματικά. 5,6,7,9,11 κύτταρα Τεύχος 2. Συγγραφείς-μεταγλωττιστές: Lyashova N.M. και άλλοι. Volgograd: Teacher, 2007-84.

2. Θεματικές εβδομάδεςστο σχολείο. Μαθηματικά. Συντάχθηκε από: Goncharova L.V.

Volgograd: Δάσκαλος 2007-133σ.

3. Σουχάρεβα Λ.Σ. Διδακτικά παιχνίδιαστα μαθήματα των μαθηματικών.7-9κλ. Kharkov: Osnova.2006-144σ.

Η κατανόηση πολλών θεμάτων στα μαθηματικά και τη φυσική συνδέεται με τη γνώση των ιδιοτήτων των σειρών αριθμών. Οι μαθητές της τάξης του 9, όταν μελετούν το θέμα "Άλγεβρα", θεωρούν μια από τις σημαντικές ακολουθίες αριθμών - μια αριθμητική πρόοδο. Ας δώσουμε τους βασικούς τύπους μιας αριθμητικής προόδου (Βαθμός 9), καθώς και παραδείγματα χρήσης τους για την επίλυση προβλημάτων.

Αλγεβρική ή αριθμητική πρόοδος

Η σειρά αριθμών που θα συζητηθεί σε αυτό το άρθρο ονομάζεται δύο διαφορετικοί τρόποιπου παρουσιάζονται στον τίτλο αυτής της παραγράφου. Άρα, η αριθμητική πρόοδος στα μαθηματικά νοείται ως τέτοια σειρά αριθμών, στο οποίο οποιοιδήποτε δύο αριθμοί που στέκονται ο ένας δίπλα στον άλλο διαφέρουν κατά το ίδιο ποσό, το οποίο ονομάζεται διαφορά. Οι αριθμοί σε μια τέτοια σειρά συνήθως υποδηλώνονται με γράμματα με χαμηλότερο ακέραιο δείκτη, για παράδειγμα, a 1 , a 2 , a 3 και ούτω καθεξής, όπου ο δείκτης υποδεικνύει τον αριθμό του στοιχείου της σειράς.

Δεδομένου του παραπάνω ορισμού μιας αριθμητικής προόδου, μπορούμε να γράψουμε την ακόλουθη ισότητα: a 2 -a 1 =...=a n -a n-1 =d, εδώ d είναι η διαφορά της αλγεβρικής προόδου και n είναι οποιοσδήποτε ακέραιος αριθμός. Αν d>0, τότε μπορούμε να περιμένουμε ότι κάθε επόμενος όρος της σειράς θα είναι μεγαλύτερος από τον προηγούμενο, στην περίπτωση αυτή μιλάμε για αυξανόμενη πρόοδο. Αν δ<0, тогда предыдущий член будет больше последующего, то есть ряд будет убывать. Частный случай возникает, когда d = 0, то есть ряд представляет собой последовательность, в которой a 1 =a 2 =...=a n .

Τύποι αριθμητικής προόδου (βαθμός 9)

Η σειρά των αριθμών που εξετάζουμε, δεδομένου ότι είναι διατεταγμένη και υπακούει σε έναν συγκεκριμένο μαθηματικό νόμο, έχει δύο ιδιότητες που είναι σημαντικές για τη χρήση της:

Πρώτον, γνωρίζοντας μόνο δύο αριθμούς a 1 και d, μπορείτε να βρείτε οποιοδήποτε μέλος της ακολουθίας. Αυτό γίνεται χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο: a n = a 1 +(n-1)*d.
Δεύτερον, για να υπολογίσετε το άθροισμα των n όρων των πρώτων, δεν είναι απαραίτητο να τα προσθέσετε με τη σειρά, καθώς μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον ακόλουθο τύπο: S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

Ο πρώτος τύπος είναι εύκολα κατανοητός, αφού είναι άμεση συνέπεια του γεγονότος ότι κάθε μέλος της υπό εξέταση σειράς διαφέρει από το διπλανό του με την ίδια διαφορά.

Ο δεύτερος τύπος μιας αριθμητικής προόδου μπορεί να ληφθεί δίνοντας προσοχή στο γεγονός ότι το άθροισμα a 1 +a n είναι ισοδύναμο με τα αθροίσματα a 2 +a n-1 , a 3 +a n-2 και ούτω καθεξής. Πράγματι, εφόσον a 2 = d+a 1 , a n-2 = -2*d+a n , a 3 = 2*d+a 1 , και a n-1 = -d+a n , τότε αντικαθιστώντας αυτές τις παραστάσεις στο αντίστοιχα ποσά, παίρνουμε ότι θα είναι τα ίδια. Ο παράγοντας n/2 στον 2ο τύπο (για S n) εμφανίζεται λόγω του γεγονότος ότι τα αθροίσματα του τύπου a i+1 +a n-i αποδεικνύονται ακριβώς n/2, εδώ i είναι ένας ακέραιος αριθμός που κυμαίνεται από 0 έως n/ 2 -ένα.

Σύμφωνα με τα σωζόμενα ιστορικά στοιχεία, ο τύπος για το άθροισμα S n αποκτήθηκε για πρώτη φορά από τον Karl Gauss (τον διάσημο Γερμανό μαθηματικό) όταν του δόθηκε η αποστολή από έναν δάσκαλο σχολείου να προσθέσει τους πρώτους 100 αριθμούς.

Δείγμα προβλήματος #1: Βρείτε τη διαφορά

Οι εργασίες που θέτουν το ερώτημα ως εξής: η γνώση των τύπων για μια αριθμητική πρόοδο, πώς να βρείτε το q (d), είναι οι απλούστερες που μπορεί να είναι μόνο για αυτό το θέμα.

Ακολουθεί ένα παράδειγμα: δεδομένου μιας αριθμητικής ακολουθίας -5, -2, 1, 4, ..., είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί η διαφορά της, δηλαδή d.

Για να το κάνετε αυτό είναι τόσο εύκολο όσο το ξεφλούδισμα των αχλαδιών: πρέπει να πάρετε δύο στοιχεία και να αφαιρέσετε το μικρότερο από το μεγαλύτερο. Σε αυτή την περίπτωση, έχουμε: d = -2 - (-5) = 3.

Για να είστε σίγουροι για την απάντηση που λάβατε, συνιστάται να ελέγξετε τις διαφορές που απομένουν, καθώς η ακολουθία που παρουσιάζεται μπορεί να μην ικανοποιεί την συνθήκη αλγεβρικής προόδου. Έχουμε: 1-(-2)=3 και 4-1=3. Αυτά τα δεδομένα υποδεικνύουν ότι πήραμε το σωστό αποτέλεσμα (d=3) και αποδείξαμε ότι η σειρά των αριθμών στη δήλωση προβλήματος είναι πράγματι μια αλγεβρική πρόοδος.

Δείγμα προβλήματος #2: Βρείτε τη διαφορά γνωρίζοντας δύο όρους της προόδου

Εξετάστε ένα άλλο ενδιαφέρον πρόβλημα, το οποίο τίθεται από το ερώτημα πώς να βρείτε τη διαφορά. Ο τύπος αριθμητικής προόδου σε αυτήν την περίπτωση πρέπει να χρησιμοποιηθεί για τον ν ο όρο. Έτσι, η εργασία: δεδομένου του πρώτου και του πέμπτου αριθμού μιας σειράς που αντιστοιχεί σε όλες τις ιδιότητες μιας αλγεβρικής προόδου, για παράδειγμα, αυτοί είναι οι αριθμοί a 1 = 8 και a 5 = -10. Πώς να βρείτε τη διαφορά d;

Θα πρέπει να ξεκινήσετε να λύνετε αυτό το πρόβλημα γράφοντας τη γενική μορφή του τύπου για το ν-οστό στοιχείο: a n = a 1 + d * (-1 + n). Τώρα μπορείτε να πάτε με δύο τρόπους: είτε να αντικαταστήσετε αμέσως τους αριθμούς και να δουλέψετε ήδη με αυτούς, είτε να εκφράσετε το d και μετά να πάτε στο συγκεκριμένο 1 και 5. Ας χρησιμοποιήσουμε την τελευταία μέθοδο, παίρνουμε: a 5 \u003d a 1 + d * (-1 + 5) ή ένα 5 \u003d 4 * d + a 1, από το οποίο προκύπτει ότι d \u003d (a 5 -a 1 ) / 4. Τώρα μπορείτε να αντικαταστήσετε με ασφάλεια τα γνωστά δεδομένα από τη συνθήκη και να λάβετε την τελική απάντηση: d = (-10-8)/4 = -4,5.

Σημειώστε ότι σε αυτή την περίπτωση η διαφορά προόδου αποδείχθηκε αρνητική, δηλαδή υπάρχει μια φθίνουσα ακολουθία αριθμών. Είναι απαραίτητο να δώσουμε προσοχή σε αυτό το γεγονός κατά την επίλυση προβλημάτων, ώστε να μην συγχέουμε τα σημάδια "+" και "-". Όλοι οι παραπάνω τύποι είναι καθολικοί, επομένως πρέπει πάντα να ακολουθούνται ανεξάρτητα από το πρόσημο των αριθμών με τους οποίους εκτελούνται οι πράξεις.

Παράδειγμα επίλυσης του προβλήματος Νο. 3: βρείτε το a1, γνωρίζοντας τη διαφορά και το στοιχείο

Ας αλλάξουμε λίγο την κατάσταση του προβλήματος. Έστω δύο αριθμοί: η διαφορά d=6 και το 9ο στοιχείο της προόδου a 9 = 10. Πώς να βρείτε το a1; Οι τύποι της αριθμητικής προόδου παραμένουν αμετάβλητοι, θα τους χρησιμοποιήσουμε. Για τον αριθμό a 9 έχουμε την εξής παράσταση: a 1 +d*(9-1) = a 9 . Από όπου παίρνουμε εύκολα το πρώτο στοιχείο της σειράς: a 1 = a 9 -8 * d = 10 - 8 * 6 = -38.

Ένα παράδειγμα επίλυσης του προβλήματος #4: βρείτε το a1, γνωρίζοντας δύο στοιχεία

Αυτή η έκδοση του προβλήματος είναι μια περίπλοκη έκδοση της προηγούμενης. Η ουσία είναι η ίδια, είναι απαραίτητο να υπολογιστεί το 1, αλλά τώρα η διαφορά d δεν είναι γνωστή, και αντ' αυτού δίνεται ένα ακόμη στοιχείο της προόδου.

Ένα παράδειγμα αυτού του τύπου προβλήματος είναι το εξής: βρείτε τον πρώτο αριθμό σε μια ακολουθία που είναι γνωστό ότι είναι αριθμητική πρόοδος και της οποίας το 15ο και το 23ο στοιχείο είναι 7 και 12, αντίστοιχα.

Είναι απαραίτητο να λύσουμε αυτό το πρόβλημα γράφοντας μια έκφραση για το ν-ο μέλος για κάθε στοιχείο που είναι γνωστό από τη συνθήκη, έχουμε: a 15 = d*(15-1)+a 1 και a 23 = d*(23- 1)+a 1 . Όπως μπορείτε να δείτε, έχουμε λάβει δύο γραμμικές εξισώσεις που πρέπει να λυθούν ως προς το 1 και το d. Ας το κάνουμε αυτό: αφαιρέσουμε την πρώτη εξίσωση από τη δεύτερη εξίσωση και, στη συνέχεια, παίρνουμε την ακόλουθη έκφραση: a 23 -a 15 \u003d 22 * d - 14 * d \u003d 8 * d. Κατά την εξαγωγή της τελευταίας εξίσωσης, οι τιμές του 1 έχουν παραληφθεί επειδή ακυρώνονται όταν αφαιρεθούν. Αντικαθιστώντας τα γνωστά δεδομένα, βρίσκουμε τη διαφορά: d \u003d (a 23 -a 15) / 8 \u003d (12-7) / 8 \u003d 0,625.

Η τιμή του d πρέπει να αντικατασταθεί σε οποιονδήποτε τύπο για ένα γνωστό στοιχείο προκειμένου να ληφθεί το πρώτο μέλος της ακολουθίας: a 15 = 14*d+a 1, από όπου: a 1 = a 15 -14*d = 7- 14*0,625 = -1,75.

Ας ελέγξουμε το αποτέλεσμα, για αυτό βρίσκουμε το 1 έως τη δεύτερη έκφραση: a 23 \u003d d * 22 + a 1 ή a 1 \u003d a 23 -d * 22 \u003d 12 - 0,625 * 22 \u003d -1,75.

Παράδειγμα επίλυσης προβλήματος Νο. 5: βρείτε το άθροισμα n στοιχείων

Όπως μπορείτε να δείτε, μέχρι αυτό το σημείο, χρησιμοποιήθηκε μόνο ένας τύπος αριθμητικής προόδου (Βαθμός 9) για τη λύση. Τώρα δίνουμε ένα πρόβλημα για τις λύσεις του οποίου πρέπει να γνωρίζουμε τον δεύτερο τύπο, δηλαδή για το άθροισμα S n .

Με δεδομένη την ακόλουθη διατεταγμένη σειρά αριθμών -1.1, -2.1, -3.1,..., πρέπει να υπολογίσετε το άθροισμα των πρώτων 11 στοιχείων της.

Μπορεί να φανεί από αυτή τη σειρά ότι μειώνεται και 1 \u003d -1,1. Η διαφορά του είναι: d = -2,1 - (-1,1) = -1. Τώρα ας ορίσουμε τον 11ο όρο: a 11 \u003d 10 * d + a 1 \u003d -10 + (-1,1) \u003d -11,1. Αφού ολοκληρώσετε τους προπαρασκευαστικούς υπολογισμούς, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον παραπάνω τύπο για το άθροισμα, έχουμε: S 11 \u003d 11 * (-1,1 + (-11,1)) / 2 \u003d -67,1. Εφόσον όλοι οι όροι ήταν αρνητικοί αριθμοί, το άθροισμά τους έχει και το αντίστοιχο πρόσημο.

Παράδειγμα επίλυσης του προβλήματος Νο. 6: βρείτε το άθροισμα των στοιχείων από το n έως το m

Ίσως αυτού του είδους το πρόβλημα είναι το πιο δύσκολο για τους περισσότερους μαθητές. Ας δώσουμε ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα: δεδομένου μιας σειράς αριθμών 2, 4, 6, 8 ..., πρέπει να βρείτε το άθροισμα από τον 7ο έως τον 13ο όρο.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ τυποι αριθμητική πρόοδος(Βαθμός 9) χρησιμοποιούνται ακριβώς όπως σε όλες τις προηγούμενες εργασίες. Αυτή η εργασία συνιστάται να επιλυθεί σε στάδια:

Αρχικά, βρείτε το άθροισμα 13 όρων χρησιμοποιώντας τον τυπικό τύπο.
Στη συνέχεια, υπολογίστε αυτό το άθροισμα για τα πρώτα 6 στοιχεία.
Στη συνέχεια αφαιρέστε το 2ο από το 1ο άθροισμα.

Πάμε στη λύση. Όπως και στην προηγούμενη περίπτωση, θα πραγματοποιήσουμε προπαρασκευαστικούς υπολογισμούς: a 6 = 5*d+a 1 = 10+2 = 12, a 13 = 12*d+a 1 = 24+2 = 26.

Ας υπολογίσουμε δύο αθροίσματα: S 13 = 13*(2+26)/2 = 182, S 6 = 6*(2+12)/2 = 42. Παίρνουμε τη διαφορά και παίρνουμε την επιθυμητή απάντηση: S 7-13 = S 13 - S 6 = 182-42 = 140. Σημειώστε ότι κατά τη λήψη αυτής της τιμής, ήταν το άθροισμα 6 στοιχείων της προόδου που χρησιμοποιήθηκε ως αφαίρεση, αφού το 7ο μέλος περιλαμβάνεται στο άθροισμα S 7-13 .

Θέμα: Αριθμητικές και γεωμετρικές προόδους

Τάξη: 9

Σύστημα εκπαίδευσης: υλικό για την προετοιμασία της μελέτης ενός θέματος στην άλγεβρα και το προπαρασκευαστικό στάδιο για την επιτυχία της εξέτασης OGE

Στόχος: σχηματισμός των εννοιών της αριθμητικής και της γεωμετρικής προόδου

Καθήκοντα: διδάξτε να διακρίνετε τους τύπους προόδου, διδάξτε σωστά, χρησιμοποιήστε τύπους

Αριθμητική πρόοδοςονομάστε μια ακολουθία αριθμών (μέλη μιας προόδου)

στην οποία κάθε επόμενος όρος διαφέρει από τον προηγούμενο κατά έναν όρο χάλυβα, ο οποίος ονομάζεται επίσης διαφορά βήματος ή προόδου.

Έτσι, ορίζοντας το βήμα της προόδου και τον πρώτο όρο της, μπορείτε να βρείτε οποιοδήποτε από τα στοιχεία της χρησιμοποιώντας τον τύπο

1) Κάθε μέλος της αριθμητικής προόδου, ξεκινώντας από τον δεύτερο αριθμό, είναι ο αριθμητικός μέσος όρος του προηγούμενου και του επόμενου μέλους της προόδου

Το αντίστροφο είναι επίσης αλήθεια. Εάν ο αριθμητικός μέσος όρος των γειτονικών περιττών (άρτιων) μελών της προόδου είναι ίσος με το μέλος που βρίσκεται ανάμεσά τους, τότε αυτή η ακολουθία αριθμών είναι μια αριθμητική πρόοδος. Με αυτόν τον ισχυρισμό είναι πολύ εύκολο να ελέγξετε οποιαδήποτε ακολουθία.

Επίσης με την ιδιότητα της αριθμητικής προόδου, ο παραπάνω τύπος μπορεί να γενικευτεί στο εξής

Αυτό είναι εύκολο να επαληθευτεί αν γράψουμε τους όρους στα δεξιά του πρόσημου ίσου

Συχνά χρησιμοποιείται στην πράξη για την απλοποίηση των υπολογισμών σε προβλήματα.

2) Το άθροισμα των πρώτων n όρων μιας αριθμητικής προόδου υπολογίζεται από τον τύπο

Θυμηθείτε καλά τον τύπο για το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου, είναι απαραίτητος στους υπολογισμούς και είναι αρκετά συνηθισμένος σε απλές καταστάσεις ζωής.

3) Εάν πρέπει να βρείτε όχι ολόκληρο το άθροισμα, αλλά ένα μέρος της ακολουθίας που ξεκινά από το k-ο μέλος της, τότε ο παρακάτω τύπος αθροίσματος θα σας φανεί χρήσιμος

4) Πρακτικό ενδιαφέρον είναι η εύρεση του αθροίσματος n μελών μιας αριθμητικής προόδου ξεκινώντας από τον k-ο αριθμό. Για να το κάνετε αυτό, χρησιμοποιήστε τον τύπο

Να βρείτε τον τεσσαρακοστό όρο της αριθμητικής προόδου 4;7;...

Λύση:

Σύμφωνα με την προϋπόθεση, έχουμε

Καθορίστε το βήμα προόδου

Σύμφωνα με τον γνωστό τύπο, βρίσκουμε τον τεσσαρακοστό όρο της προόδου

Η αριθμητική πρόοδος δίνεται από το τρίτο και το έβδομο μέλος του. Να βρείτε τον πρώτο όρο της προόδου και το άθροισμα του δέκα.

Λύση:

Γράφουμε τα δεδομένα της προόδου σύμφωνα με τους τύπους

Μια αριθμητική πρόοδος δίνεται από τον παρονομαστή και ένα από τα μέλη του. Βρείτε τον πρώτο όρο της προόδου, το άθροισμα των 50 όρων του ξεκινώντας από το 50 και το άθροισμα των πρώτων 100 .

Λύση:

Ας γράψουμε τον τύπο για το εκατοστό στοιχείο της προόδου

και βρες το πρώτο

Με βάση το πρώτο, βρίσκουμε τον 50ό όρο της προόδου

Εύρεση του αθροίσματος του μέρους της προόδου

και το άθροισμα των 100 πρώτων

Το άθροισμα της προόδου είναι 250. Βρείτε τον αριθμό των μελών της αριθμητικής προόδου αν:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Λύση:

Γράφουμε τις εξισώσεις ως προς τον πρώτο όρο και το βήμα της προόδου και τις ορίζουμε

Αντικαθιστούμε τις λαμβανόμενες τιμές στον τύπο αθροίσματος για να προσδιορίσουμε τον αριθμό των μελών στο άθροισμα

Κάνοντας απλοποιήσεις

και να λύσουμε την δευτεροβάθμια εξίσωση

Από τις δύο τιμές που βρέθηκαν, μόνο ο αριθμός 8 είναι κατάλληλος για την κατάσταση του προβλήματος. Έτσι, το άθροισμα των πρώτων οκτώ όρων της προόδου είναι 111.

λύσει την εξίσωση

1+3+5+...+x=307.

Λύση:

Αυτή η εξίσωση είναι το άθροισμα μιας αριθμητικής προόδου. Γράφουμε τον πρώτο όρο του και βρίσκουμε τη διαφορά της προόδου

Αντικαθιστούμε τις τιμές που βρέθηκαν στον τύπο για το άθροισμα της προόδου για να βρούμε τον αριθμό των όρων

Όπως και στην προηγούμενη εργασία, κάνουμε απλοποιήσεις και λύνουμε την εξίσωση του δευτεροβάθμιου

Επιλέξτε την πιο λογική από τις δύο τιμές. Έχουμε ότι το άθροισμα 18 μελών της προόδου με δεδομένες τιμές a1=1, d=2 ισούται με Sn=307.

Παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων: Αριθμητική πρόοδος

Εργασία 1

Η μαθητική ομάδα συμφώνησε να τοποθετήσει κεραμικά πλακίδια στο πάτωμα στην αίθουσα της λέσχης νέων με εμβαδόν 288 m2. Αποκτώντας εμπειρία, οι μαθητές κάθε επόμενη μέρα, ξεκινώντας από τη δεύτερη, απλώνουν 2 m2 περισσότερα από την προηγούμενη και είχαν αρκετά πλακάκια για ακριβώς 11 μέρες δουλειάς. Σχεδιάζοντας την παραγωγικότητα να αυξηθεί με τον ίδιο τρόπο, ο επιστάτης αποφάσισε ότι θα χρειαζόταν άλλες 5 ημέρες για να ολοκληρωθεί η εργασία. Πόσα κουτιά πλακάκια χρειάζεται να παραγγείλει εάν 1 κουτί είναι αρκετό για 1,2 m2 δαπέδου και χρειάζονται 3 κουτιά για την αντικατάσταση πλακιδίων χαμηλής ποιότητας;

Λύση

Με την προϋπόθεση του προβλήματος, είναι σαφές ότι μιλάμε για μια αριθμητική πρόοδο στην οποία ας

a1=x, Sn=288, n=16

Στη συνέχεια χρησιμοποιούμε τον τύπο: Sn= (2а1+d(n-1))*n/0,86=200mm Hg. Τέχνη.

288=(2x+2*15)*16/2

Υπολογίστε πόσα m2 θα βάλουν οι μαθητές σε 11 ημέρες: S11=(2*3+2*10)*11,2=143m 2

Έμειναν 288-143=145m2 μετά από 11 μέρες εργασίας, δηλ. για 5 μέρες

145/1,2=121 (περίπου) κουτιά πρέπει να παραγγελθούν για 5 ημέρες.

Πρέπει να παραγγελθούν 121+3=124 κουτιά με ελαττώματα

Απάντηση: 124 κουτάκια

Εργασία 2

Μετά από κάθε κίνηση του εμβόλου της αντλίας αραίωσης, το 20% του αέρα σε αυτό αφαιρείται από το δοχείο. Ας προσδιορίσουμε την πίεση του αέρα μέσα στο δοχείο μετά από έξι κινήσεις του εμβόλου, εάν η αρχική πίεση ήταν 760 mm Hg. Τέχνη.

Λύση

Δεδομένου ότι το 20% του διαθέσιμου αέρα αφαιρείται από το δοχείο μετά από κάθε κίνηση του εμβόλου, το 80% του αέρα παραμένει. Για να μάθετε την πίεση του αέρα στο δοχείο μετά την επόμενη κίνηση του εμβόλου, πρέπει να αυξήσετε την πίεση της προηγούμενης κίνησης του εμβόλου κατά 0,8.

Έχουμε μια γεωμετρική πρόοδο της οποίας ο πρώτος όρος είναι 760 και της οποίας ο παρονομαστής είναι 0,8. Ο αριθμός που εκφράζει την πίεση του αέρα στο δοχείο (σε mm Hg) μετά από έξι κινήσεις του εμβόλου είναι το έβδομο μέλος αυτής της προόδου. Είναι ίσο με 760*0,86=200mm Hg. Τέχνη.

Απάντηση: 200 mmHg

Δεδομένος αριθμητική πρόοδος, όπου ο πέμπτος και ο δέκατος όρος είναι ίσοι με 38 και 23, αντίστοιχα. Βρείτε τον δέκατο πέμπτο όρο της προόδου και το άθροισμα των πρώτων δέκα όρων της.

Λύση:

Να βρείτε τον αριθμό του όρου της αριθμητικής προόδου 5,14,23,..., αν ο -ος όρος της είναι ίσος με 239.

Λύση:

Εύρημα ο αριθμός των όρων μιας αριθμητικής προόδου είναι 9,12,15,..., αν το άθροισμά της είναι 306.

Λύση:

Βρείτε το x για το οποίο οι αριθμοί x-1, 2x-1, x2-5 σχηματίζουν αριθμητική πρόοδο

Λύση:

Βρείτε τη διαφορά μεταξύ 1 και 2 μελών της προόδου:

d=(2x-1)-(x-1)=x

Βρείτε τη διαφορά μεταξύ 2 και 3 μελών της προόδου:

d=(x2-5)-(2x-1)=x2-2x-4

Επειδή η διαφορά είναι η ίδια, τότε οι όροι της προόδου μπορούν να εξισωθούν:

Όταν ελέγχεται και στις δύο περιπτώσεις, προκύπτει μια αριθμητική πρόοδος

Απάντηση: στα x=-1 και x=4

Η αριθμητική πρόοδος δίνεται από το τρίτο και το έβδομο μέλος του a3=5. a7=13. Να βρείτε τον πρώτο όρο της προόδου και το άθροισμα του δέκα.

Λύση:

Αφαιρούμε την πρώτη εξίσωση από τη δεύτερη εξίσωση, με αποτέλεσμα να βρίσκουμε το βήμα προόδου

a1+6d-(a1+2d)=4d=13-5=8, άρα d=2

Η τιμή που βρέθηκε αντικαθίσταται σε οποιαδήποτε από τις εξισώσεις για να βρεθεί ο πρώτος όρος της αριθμητικής προόδου

Υπολογίστε το άθροισμα των δέκα πρώτων όρων της προόδου

S10=(2*1+(10-1)*2)*10/2=100

Απάντηση: a1=1; S10=100

Σε μια αριθμητική πρόοδο της οποίας ο πρώτος όρος είναι -3,4 και η διαφορά είναι 3, βρείτε τον πέμπτο και τον ενδέκατο όρο.

Ξέρουμε λοιπόν ότι a1 = -3,4; d = 3. Να βρείτε: a5, a11-.

Λύση.Για να βρούμε το ν-ο μέλος της αριθμητικής προόδου, χρησιμοποιούμε τον τύπο: an = a1+ (n – 1)d. Εχουμε:

a5 \u003d a1 + (5 - 1) d \u003d -3,4 + 4 3 \u003d 8,6;

a11 \u003d a1 + (11 - 1) d \u003d -3,4 + 10 3 \u003d 26,6.

Όπως μπορείτε να δείτε, σε αυτή την περίπτωση, η λύση δεν είναι δύσκολη.

Ο δωδέκατος όρος της αριθμητικής προόδου είναι 74 και η διαφορά είναι -4. Βρείτε τον τριακοστό τέταρτο όρο αυτής της προόδου.

Μας λένε ότι a12 = 74; d = -4, και πρέπει να βρείτε το a34-.

Σε αυτό το πρόβλημα, δεν είναι δυνατή η άμεση εφαρμογή του τύπου an = a1 + (n – 1)d, επειδή ο πρώτος όρος a1 δεν είναι γνωστός. Αυτό το πρόβλημα μπορεί να λυθεί σε πολλά βήματα.

1. Χρησιμοποιώντας τον όρο a12 και τον τύπο του nου όρου, βρίσκουμε το a1:

a12 = a1 + (12 – 1)d, τώρα απλοποιήστε και αντικαταστήστε το d: a12 = a1 + 11 (-4). Από αυτή την εξίσωση βρίσκουμε a1: a1 = a12 - (-44);

Γνωρίζουμε τον δωδέκατο όρο από την συνθήκη του προβλήματος, οπότε υπολογίζουμε το a1 χωρίς κανένα πρόβλημα

a1 = 74 + 44 = 118. Ας προχωρήσουμε στο δεύτερο βήμα - υπολογίζοντας το a34.

2. Και πάλι, σύμφωνα με τον τύπο an = a1 + (n - 1)d, αφού το a1 είναι ήδη γνωστό, θα προσδιορίσουμε το a34-,

a34 = a1 + (34 - 1)d = 118 + 33 (-4) = 118 - 132 = -14.

Απάντηση: Ο τριαντατέταρτος όρος μιας αριθμητικής προόδου είναι -14.

Όπως μπορείτε να δείτε, η λύση του δεύτερου παραδείγματος είναι πιο περίπλοκη. Ο ίδιος τύπος χρησιμοποιείται δύο φορές για να ληφθεί η απάντηση. Αλλά όλα είναι τόσο περίπλοκα. Το διάλυμα μπορεί να συντομευτεί χρησιμοποιώντας πρόσθετους τύπους.

Όπως έχει ήδη σημειωθεί, εάν το a1 είναι γνωστό στο πρόβλημα, τότε είναι πολύ βολικό να εφαρμοστεί ο τύπος για τον προσδιορισμό του nου μέλους μιας αριθμητικής προόδου. Αλλά, εάν δεν προσδιορίζεται ο πρώτος όρος στη συνθήκη, τότε μπορεί να έρθει στη διάσωση ένας τύπος που συνδέει τον ν-ο όρο που χρειαζόμαστε και τον όρο ak που καθορίζεται στο πρόβλημα.

an = ak + (n – k)d.

Ας λύσουμε το δεύτερο παράδειγμα, αλλά χρησιμοποιώντας τον νέο τύπο.

Δίνεται: a12 = 74; d=-4. Βρείτε: a34-.

Χρησιμοποιούμε τον τύπο an = ak + (n – k)d. Στην περίπτωσή μας θα είναι:

a34 = a12 + (34 - 12) (-4) = 74 + 22 (-4) = 74 - 88 = -14.

Η απάντηση στο πρόβλημα λήφθηκε πολύ πιο γρήγορα, επειδή δεν ήταν απαραίτητο να εκτελέσετε πρόσθετες ενέργειες και να αναζητήσετε το πρώτο μέλος της προόδου.

Χρησιμοποιώντας τους παραπάνω τύπους, μπορείτε να λύσετε προβλήματα για τον υπολογισμό της διαφοράς μιας αριθμητικής προόδου. Έτσι, χρησιμοποιώντας τον τύπο an = a1 + (n - 1)d, μπορούμε να εκφράσουμε το d:

d = (an - a1) / (n - 1). Ωστόσο, τα προβλήματα με έναν δεδομένο πρώτο όρο δεν είναι τόσο συνηθισμένα και μπορούν να λυθούν χρησιμοποιώντας τον τύπο μας an = ak + (n – k)d, από τον οποίο μπορεί να φανεί ότι d = (an – ak) / (n – κ). Ας εξετάσουμε ένα τέτοιο έργο.

Να βρείτε τη διαφορά της αριθμητικής προόδου αν είναι γνωστό ότι a3 = 36; a8 = 106.

Χρησιμοποιώντας τον τύπο που λάβαμε, η λύση του προβλήματος μπορεί να γραφτεί σε μία γραμμή:

d = (a8 - a3) / (8 - 3) = (106 - 36) / 5 = 14.

Εάν αυτή η φόρμουλα δεν ήταν στο οπλοστάσιο, η λύση του προβλήματος θα έπαιρνε πολύ περισσότερο χρόνο, γιατί θα έπρεπε να λύσει ένα σύστημα δύο εξισώσεων.

γεωμετρικές προόδους

1. Τύπος του ου μέλους (γενικό μέλος της προόδου).
2. Ο τύπος για το άθροισμα των πρώτων μελών της προόδου:. Όταν συνηθίζεται να μιλάμε για συγκλίνουσα γεωμετρική πρόοδο. Σε αυτήν την περίπτωση, μπορείτε να υπολογίσετε το άθροισμα ολόκληρης της προόδου χρησιμοποιώντας τον τύπο .
3. Ο τύπος του "γεωμετρικού μέσου": εάν , , είναι τρεις διαδοχικοί όροι μιας γεωμετρικής προόδου, τότε δυνάμει του ορισμού έχουμε τη σχέση: ή ή .