Λέμμα Τσεμπίσεφ. Αν η τυχαία μεταβλητή Χ, για το οποίο υπάρχει μαθηματική προσδοκία Μ[Χ], μπορεί να πάρει μόνο μη αρνητικές τιμές, τότε για κάθε θετικό αριθμό a έχουμε την ανισότητα

Η ανισότητα του Chebyshev.Αν ένα Χείναι μια τυχαία μεταβλητή με μαθηματική προσδοκία Μ[Χ] και διασπορά ρε[Χ], τότε για κάθε θετικό e έχουμε την ανισότητα

. (2)

Το θεώρημα του Chebyshev.(νόμος μεγάλα νούμερα). Αφήνω Χ 1 , Χ 2 , …, x n,… - μια ακολουθία ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών με την ίδια μαθηματική προσδοκία Μκαι διακυμάνσεις που περιορίζονται από την ίδια σταθερά Με

. (3)

Η απόδειξη του θεωρήματος βασίζεται στην ανισότητα

, (4)

μετά από την ανισότητα Chebyshev. Από το θεώρημα Chebyshev, ως συμπέρασμα, μπορεί κανείς να λάβει

Θεώρημα Bernoulli.Αφήστε το να παραχθεί nανεξάρτητα πειράματα, σε καθένα από τα οποία με μια πιθανότητα Rμπορεί να συμβεί κάποιο γεγονός ΑΛΛΑ, άστο να πάει v nείναι μια τυχαία μεταβλητή ίση με τον αριθμό των εμφανίσεων του συμβάντος ΑΛΛΑΣε αυτα nπειράματα. Τότε για οποιοδήποτε e > 0 έχουμε την οριακή ισότητα

. (5)

Σημειώστε ότι η ανισότητα (4) όπως εφαρμόζεται στις συνθήκες του θεωρήματος Bernoulli δίνει:

. (6)

Το θεώρημα του Chebyshev μπορεί να διατυπωθεί με μια κάπως γενικότερη μορφή:

Γενικευμένο θεώρημα Chebyshev.Αφήνω x 1, x 2, …, x n,… - ακολουθία ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών με μαθηματικές προσδοκίες Μ[Χ 1 ] = m 1, M[x2] = m 2,…και οι διασπορές περιορίζονται από την ίδια σταθερά Με. Τότε για κάθε θετικό αριθμό e έχουμε την οριακή ισότητα

. (7)

Έστω x ο αριθμός των εμφανίσεων 6 πόντων σε 3600 ρίψεις της μήτρας. Τότε Μ[ Χ] = 3600 = 600. Ας χρησιμοποιήσουμε τώρα την ανισότητα (1) για a = 900: .

Χρησιμοποιούμε την ανισότητα (6) για n = 10000, p = , q = . Επειτα

Παράδειγμα.

Η πιθανότητα εμφάνισης του συμβάντος Α σε καθένα από τα 1000 ανεξάρτητα πειράματα είναι 0,8. Βρείτε την πιθανότητα ο αριθμός των εμφανίσεων του γεγονότος Α σε αυτά τα 1000 πειράματα να αποκλίνει από τον δικό του μαθηματική προσδοκίαεπί απόλυτη τιμήλιγότερο από 50.

Έστω x ο αριθμός των εμφανίσεων του συμβάντος Α στα καθορισμένα 1000 πειράματα. Τότε Μ[ Χ] = 1000 × 0,8 = 800 και D[ Χ] = 1000 × 0,8 × 0,2 = 160. Τώρα η ανίσωση (2) δίνει:

Παράδειγμα.

Η διακύμανση καθεμιάς από τις 1000 ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές x k (k = 1, 2,..., 1000) είναι 4. Υπολογίστε την πιθανότητα η απόκλιση του αριθμητικού μέσου όρου αυτών των μεταβλητών από τον αριθμητικό μέσο όρο των μαθηματικών προσδοκιών τους σε απόλυτη τιμή δεν θα υπερβαίνει το 0,1.

Σύμφωνα με την ανίσωση (4), για c = 4 και e = 0,1, έχουμε

Σχέδιο:

1. Η έννοια του κεντρικού οριακού θεωρήματος (θεώρημα Lyapunov)

2. Νόμος των μεγάλων αριθμών, της πιθανότητας και της συχνότητας (θεωρήματα των Chebyshev και Bernoulli)

1. Η έννοια του κεντρικού οριακού θεωρήματος.

Η κανονική κατανομή πιθανοτήτων έχει στη θεωρία πιθανοτήτων μεγάλης σημασίας. Ο κανονικός νόμος υπακούει στην πιθανότητα όταν πυροβολεί στόχο, σε μετρήσεις κ.λπ. Συγκεκριμένα, αποδεικνύεται ότι ο νόμος κατανομής για το άθροισμα ενός αρκετά μεγάλου αριθμού ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών με νόμους αυθαίρετης κατανομής είναι κοντά στην κανονική κατανομή. Το γεγονός αυτό ονομάζεται θεώρημα κεντρικού ορίου ή θεώρημα του Λιαπούνοφ.

Είναι γνωστό ότι οι κανονικά κατανεμημένες τυχαίες μεταβλητές χρησιμοποιούνται ευρέως στην πράξη. Τι εξηγεί αυτό; Αυτή η ερώτηση έχει απαντηθεί

Κεντρικό οριακό θεώρημα.Εάν η τυχαία μεταβλητή X αντιπροσωπεύει, είναι το άθροισμα του πολύ ένας μεγάλος αριθμόςαμοιβαία ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές, η επίδραση καθεμιάς από τις οποίες στο συνολικό άθροισμα είναι αμελητέα, τότε το Χ έχει κατανομή κοντά στην κανονική κατανομή.

Παράδειγμα.Ας μετρηθεί κάποια φυσική ποσότητα. Οποιαδήποτε μέτρηση δίνει μόνο μια κατά προσέγγιση τιμή της μετρούμενης ποσότητας, καθώς πολλοί ανεξάρτητοι τυχαίοι παράγοντες (θερμοκρασία, διακυμάνσεις οργάνων, υγρασία κ.λπ.) επηρεάζουν το αποτέλεσμα της μέτρησης. Καθένας από αυτούς τους παράγοντες δημιουργεί ένα αμελητέο «μερικό σφάλμα». Ωστόσο, δεδομένου ότι ο αριθμός αυτών των παραγόντων είναι πολύ μεγάλος, η σωρευτική επίδρασή τους δημιουργεί ένα ήδη εμφανές «ολικό σφάλμα».

Θεωρώντας το συνολικό σφάλμα ως το άθροισμα ενός πολύ μεγάλου αριθμού αμοιβαία ανεξάρτητων μερικών σφαλμάτων, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι το συνολικό σφάλμα έχει κατανομή κοντά στην κανονική κατανομή. Η εμπειρία επιβεβαιώνει την εγκυρότητα αυτού του συμπεράσματος.

Εξετάστε τις συνθήκες υπό τις οποίες ικανοποιείται το «κεντρικό οριακό θεώρημα».

x1,Χ2, ..., Χnείναι μια ακολουθία ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών,

Μ(Χ1),Μ(Χ2), ...,Μ(Χn) είναι οι τελικές μαθηματικές προσδοκίες αυτών των μεγεθών, αντίστοιχα ίσες με Μ(Xk)= ακ

ρε (Χ1),ρε(Χ2), ...,ρε(Χn) - οι τελικές διακυμάνσεις τους, αντίστοιχα ίσες με ρε(Χ κ)= bk2

Εισάγουμε τον συμβολισμό: S= X1+X2 + ...+Xn;

A k= X1+X2 + ...+Xn=; Β2=Δ (Χ1)+ρε(Χ2)+ ...+ρε(Χn) =

Γράφουμε τη συνάρτηση κατανομής του κανονικοποιημένου αθροίσματος:

Λένε στην ακολουθία x1,Χ2, ..., Χnτο θεώρημα κεντρικού ορίου είναι εφαρμόσιμο εάν, για οποιοδήποτε Χη συνάρτηση κατανομής του κανονικοποιημένου αθροίσματος όπως τείνει το n ® ¥ κανονική λειτουργίαδιανομές:

Δεξιά "style="border-collapse:collapse;border:none;margin-left:6.75pt;margin-right: 6.75pt">

Σκεφτείτε ένα διακριτό τυχαία μεταβλητή Χ, δίνεται από τον πίνακα κατανομής:

Ας θέσουμε στον εαυτό μας το καθήκον να εκτιμήσουμε την πιθανότητα η απόκλιση μιας τυχαίας μεταβλητής από τη μαθηματική της προσδοκία να μην υπερβαίνει σε απόλυτη τιμή έναν θετικό αριθμό ε

Αν ένα ε αρκετά μικρό, θα εκτιμήσουμε έτσι την πιθανότητα ότι Χθα πάρει τιμές αρκετά κοντά στις μαθηματικές προσδοκίες του. αποδείχθηκε μια ανισότητα που μας επιτρέπει να δώσουμε την εκτίμηση του ενδιαφέροντος σε εμάς.

Λέμμα Τσεμπίσεφ.Δίνεται μια τυχαία μεταβλητή X που παίρνει μόνο μη αρνητικές τιμές με την προσδοκία M(X). Για οποιονδήποτε αριθμό α>0, η έκφραση λαμβάνει χώρα:

Η ανισότητα του Chebyshev.Η πιθανότητα ότι η απόκλιση μιας τυχαίας μεταβλητής Χ από τη μαθηματική της προσδοκία σε απόλυτη τιμή είναι μικρότερη από έναν θετικό αριθμό ε , όχι λιγότερο από 1 – D(X) / ε 2:

Ρ(|Χ-Μ(Χ)|< ε ) ³ 1 - D (X) / ε 2.

Σχόλιο.Η ανισότητα του Chebyshev έχει περιορισμένη πρακτική αξία, αφού συχνά δίνει μια πρόχειρη και μερικές φορές ασήμαντη (χωρίς ενδιαφέρον) εκτίμηση.

Η θεωρητική σημασία της ανισότητας Chebyshev είναι πολύ μεγάλη. Παρακάτω θα χρησιμοποιήσουμε αυτή την ανισότητα για να εξαγάγουμε το θεώρημα Chebyshev.

2.2. Το θεώρημα του Chebyshev

Εάν οι X1, X2, ..., Xn.. είναι ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές κατά ζεύγη και οι διακυμάνσεις τους είναι ομοιόμορφα περιορισμένες (δεν υπερβαίνουν έναν σταθερό αριθμό C), τότε, όσο μικρή κι αν είναι θετικός αριθμός ε , η πιθανότητα ανισότητας

÷ (X1+X2 + ...+Xn) / n - (M(X1)+M(X2)+ ...+M(Xn))/n |< ε

θα είναι αυθαίρετα κοντά στη μονάδα εάν ο αριθμός των τυχαίων μεταβλητών είναι αρκετά μεγάλος.

P (÷ (X1+X2 + ...+Xn) / n - (M(X1)+M(X2)+ ...+M(Xn))/n |< ε )=1.

Το θεώρημα του Chebyshev αναφέρει:

1. Θεωρούμε έναν αρκετά μεγάλο αριθμό ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών με περιορισμένες διακυμάνσεις,

Κατά τη διατύπωση του θεωρήματος του Chebyshev, υποθέσαμε ότι οι τυχαίες μεταβλητές έχουν διαφορετικές μαθηματικές προσδοκίες. Στην πράξη, συμβαίνει συχνά οι τυχαίες μεταβλητές να έχουν την ίδια μαθηματική προσδοκία. Προφανώς, αν πάλι υποθέσουμε ότι οι διασπορές αυτών των ποσοτήτων είναι περιορισμένες, τότε το θεώρημα του Chebyshev θα είναι εφαρμόσιμο σε αυτές.

Ας υποδηλώσουμε τη μαθηματική προσδοκία καθεμιάς από τις τυχαίες μεταβλητές μέσω ένα;

Στην υπό εξέταση περίπτωση, ο αριθμητικός μέσος όρος των μαθηματικών προσδοκιών, όπως είναι εύκολο να διαπιστωθεί, είναι επίσης ίσος με ένα.

Μπορεί κανείς να διατυπώσει το θεώρημα του Chebyshev για τη συγκεκριμένη περίπτωση που εξετάζουμε.

"Αν οι X1, X2, ..., Xn.. είναι ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές κατά ζεύγη που έχουν την ίδια μαθηματική προσδοκία a, και εάν οι διασπορές αυτών των μεταβλητών είναι ομοιόμορφα περιορισμένες, τότε, όσο μικρός κι αν είναι ο αριθμός ε > Α, η πιθανότητα της ανισότητας

÷ (X1+X2 + ...+Xn) / n - ένα | < ε

θα είναι αυθαίρετα κοντά στη μονάδα εάν ο αριθμός των τυχαίων μεταβλητών είναι αρκετά μεγάλος" .

Με άλλα λόγια, υπό τις προϋποθέσεις του θεωρήματος

P (÷ (X1+X2 + ...+Xn) / n - a |< ε ) = 1.

2.3. Η ουσία του θεωρήματος του Chebyshev

Αν και μεμονωμένες ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές μπορεί να λαμβάνουν τιμές που απέχουν πολύ από τις μαθηματικές προσδοκίες τους, ο αριθμητικός μέσος όρος ενός αρκετά μεγάλου αριθμού τυχαίων μεταβλητών παίρνει τιμές κοντά σε μια συγκεκριμένη τιμή με μεγάλη πιθανότητα. σταθερός αριθμός, δηλαδή στον αριθμό

(Μ(Xj) + M (X2)+... + Μ (Xn))/nή στον αριθμό και στοσυγκεκριμένη περίπτωση.

Με άλλα λόγια, μεμονωμένες τυχαίες μεταβλητές μπορεί να έχουν σημαντική διαφορά και ο αριθμητικός μέσος όρος τους είναι διάσπαρτος σε μικρό βαθμό.

Έτσι, δεν μπορεί κανείς να προβλέψει με σιγουριά ποια πιθανή τιμή θα πάρει κάθε μία από τις τυχαίες μεταβλητές, αλλά μπορεί κανείς να προβλέψει ποια τιμή θα πάρει ο αριθμητικός μέσος όρος τους.

Έτσι, ο αριθμητικός μέσος όρος ενός αρκετά μεγάλου αριθμού ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών (οι διακυμάνσεις των οποίων είναι ομοιόμορφα περιορισμένες) χάνει τον χαρακτήρα μιας τυχαίας μεταβλητής.

Αυτό εξηγείται από το γεγονός ότι οι αποκλίσεις καθεμιάς από τις ποσότητες από τις μαθηματικές προσδοκίες τους μπορεί να είναι θετικές και αρνητικές και στον αριθμητικό μέσο αλληλοεξουδετερώνονται.

Το θεώρημα του Chebyshev ισχύει όχι μόνο για διακριτές, αλλά και για συνεχείς τυχαίες μεταβλητές. είναι ένα παράδειγμα που επιβεβαιώνει την εγκυρότητα του δόγματος της σύνδεσης μεταξύ τύχης και αναγκαιότητας.

2.4. Σημασία του θεωρήματος του Chebyshev για την πράξη

Ας δώσουμε παραδείγματα εφαρμογής του θεωρήματος Chebyshev στη λύση πρακτικών προβλημάτων.

Συνήθως, για να μετρηθεί ένα συγκεκριμένο φυσικό μέγεθος, γίνονται αρκετές μετρήσεις και ο αριθμητικός μέσος όρος τους λαμβάνεται ως το επιθυμητό μέγεθος. Κάτω από ποιες συνθήκες μπορεί να θεωρηθεί σωστή αυτή η μέθοδος μέτρησης; Η απάντηση σε αυτό το ερώτημα δίνεται από το θεώρημα του Chebyshev (η ιδιαίτερη περίπτωση του).

Πράγματι, θεωρήστε τα αποτελέσματα κάθε μέτρησης ως τυχαίες μεταβλητές

X1, X2, ..., Xn

Σε αυτές τις ποσότητες, το θεώρημα Chebyshev μπορεί να εφαρμοστεί εάν:

1) Είναι κατά ζεύγη ανεξάρτητα.

2) έχουν την ίδια μαθηματική προσδοκία,

3) οι διασπορές τους είναι ομοιόμορφα περιορισμένες.

Η πρώτη απαίτηση ικανοποιείται εάν το αποτέλεσμα κάθε μέτρησης δεν εξαρτάται από τα αποτελέσματα των άλλων.

Η δεύτερη απαίτηση πληρούται εάν οι μετρήσεις γίνονται χωρίς συστηματικά (ένα σημάδι) σφάλματα. Σε αυτήν την περίπτωση, οι μαθηματικές προσδοκίες όλων των τυχαίων μεταβλητών είναι ίδιες και ίσες με το πραγματικό μέγεθος ένα.

Η τρίτη απαίτηση πληρούται εάν η συσκευή παρέχει συγκεκριμένη ακρίβεια μέτρησης. Αν και τα αποτελέσματα των επιμέρους μετρήσεων είναι διαφορετικά, η διασπορά τους είναι περιορισμένη.

Εάν πληρούνται όλες αυτές οι απαιτήσεις, έχουμε το δικαίωμα να εφαρμόσουμε το θεώρημα Chebyshev στα αποτελέσματα της μέτρησης: για ένα αρκετά μεγάλο Ππιθανότητα ανισότητας

| (X1 + Xa+...+Xn)/n - a |< ε αυθαίρετα κοντά στην ενότητα.

Με άλλα λόγια, με έναν αρκετά μεγάλο αριθμό μετρήσεων, είναι σχεδόν βέβαιο ότι ο αριθμητικός μέσος όρος τους διαφέρει ελάχιστα αυθαίρετα από την πραγματική τιμή της μετρούμενης ποσότητας.

Το θεώρημα του Chebyshev υποδεικνύει τις συνθήκες υπό τις οποίες μπορεί να εφαρμοστεί η περιγραφόμενη μέθοδος μέτρησης. Ωστόσο, είναι λάθος να πιστεύουμε ότι, αυξάνοντας τον αριθμό των μετρήσεων, μπορεί κανείς να επιτύχει αυθαίρετα υψηλή ακρίβεια. Το γεγονός είναι ότι η ίδια η συσκευή δίνει μετρήσεις μόνο με ακρίβεια ± α, επομένως, καθένα από τα αποτελέσματα μέτρησης, και επομένως ο αριθμητικός μέσος όρος τους, θα ληφθούν μόνο με ακρίβεια που δεν υπερβαίνει την ακρίβεια της συσκευής.

Το ευρέως χρησιμοποιούμενο στη στατιστική βασίζεται στο θεώρημα Chebyshev μέθοδος δειγματοληψίας, η ουσία του οποίου είναι ότι για ένα σχετικά μικρό τυχαίο δείγμακρίνετε το σύνολο πληθυσμός) των υπό μελέτη αντικειμένων.

Για παράδειγμα, η ποιότητα ενός δέματος βαμβακιού κρίνεται από μια μικρή δέσμη που αποτελείται από ίνες που επιλέγονται τυχαία από διαφορετικά μέρη της μπάλας. Αν και ο αριθμός των ινών σε μια δέσμη είναι πολύ μικρότερος από ό,τι σε μια δέσμη, η ίδια η δέσμη περιέχει έναν αρκετά μεγάλο αριθμό ινών, που αριθμούν σε εκατοντάδες.

Ως άλλο παράδειγμα, μπορεί κανείς να επισημάνει τον προσδιορισμό της ποιότητας των κόκκων από ένα μικρό δείγμα. Και σε αυτή την περίπτωση, ο αριθμός των τυχαία επιλεγμένων κόκκων είναι μικρός σε σύγκριση με ολόκληρη τη μάζα του κόκκου, αλλά από μόνος του είναι αρκετά μεγάλος.

Ήδη από τα παραδείγματα που αναφέρονται, μπορεί κανείς να συμπεράνει ότι για την πράξη το θεώρημα του Chebyshev είναι ανεκτίμητης σημασίας.

2.5. ΘεώρημαΜπερνούλι

Παράγεται Πανεξάρτητα τεστ(όχι γεγονότα, αλλά δοκιμές). Σε καθένα από αυτά, η πιθανότητα εμφάνισης ενός γεγονότος ΕΝΑείναι ίσο με R.

Γεννιέται το ερώτημα,ποια θα είναι η σχετική συχνότητα εμφάνισης του συμβάντος; Σε αυτό το ερώτημα απαντά το θεώρημα που απέδειξε ο Μπερνούλι, το οποίο ονομάστηκε «νόμος των μεγάλων αριθμών» και έθεσε τα θεμέλια για τη θεωρία των πιθανοτήτων ως επιστήμη.

Θεώρημα Bernoulli.Αν σε κάθε ένα από Ππιθανότητα ανεξάρτητης δοκιμής Rεμφάνιση ενός γεγονότος ΑΛΛΑείναι σταθερή, τότε η πιθανότητα ότι η απόκλιση της σχετικής συχνότητας από την πιθανότητα Rθα είναι αυθαίρετα μικρό σε απόλυτη τιμή εάν ο αριθμός των δοκιμών είναι αρκετά μεγάλος.

Με άλλα λόγια, αν ε >0 είναι ένας αυθαίρετα μικρός αριθμός, τότε υπό τις συνθήκες του θεωρήματος έχουμε την ισότητα

Ρ(|Μ / n - p|< ε)= 1

Σχόλιο.Θα ήταν λάθος, με βάση το θεώρημα του Bernoulli, να συμπεράνουμε ότι με την αύξηση του αριθμού των δοκιμών, η σχετική συχνότητα τείνει σταθερά στην πιθανότητα R;Με άλλα λόγια, το θεώρημα του Bernoulli δεν συνεπάγεται την ισότητα (t/n) = p,

ΣΤΟΤο θεώρημα ασχολείται μόνο με την πιθανότητα ότι, με έναν αρκετά μεγάλο αριθμό δοκιμών, η σχετική συχνότητα θα διαφέρει ελάχιστα αυθαίρετα από τη σταθερή πιθανότητα εμφάνισης ενός συμβάντος σε κάθε δοκιμή.

Εργασία 7-1.

1. Υπολογίστε την πιθανότητα ότι μετά από 3600 ρίψεις της μήτρας, ο αριθμός των εμφανίσεων των 6 θα είναι τουλάχιστον 900.

Λύση.Έστω x ο αριθμός των εμφανίσεων 6 πόντων σε 3600 ρίψεις νομισμάτων. Η πιθανότητα να πάρεις 6 βαθμούς σε μία εκτίναξη είναι p=1/6, τότε M(x)=3600 1/6=600. Χρησιμοποιούμε την ανισότητα του Chebyshev (λήμμα) για δεδομένο α = 900

= Π(Χ³ 900) £ 600 / 900 = 2 / 3

Απάντηση 2 / 3.

2. Πραγματοποιήθηκαν 1000 ανεξάρτητες δοκιμές, p=0,8. Βρείτε την πιθανότητα ο αριθμός των εμφανίσεων του γεγονότος Α σε αυτά τα τεστ αποκλίνει από το συντελεστή μαθηματικών προσδοκιών μικρότερο από 50.

Λύση. x είναι ο αριθμός των εμφανίσεων του συμβάντος Α σε n - 1000 δοκιμές.

M (X) \u003d 1000 0,8 \u003d 800. D(x)=100 0,8 0,2=160

Χρησιμοποιούμε την ανισότητα Chebyshev για δεδομένο ε = 50

Ρ(|χ-Μ(χ)|< ε) ³ 1 - D (x) / ε 2

R(|x-800|< 50) ³ / 50 2 = 1-160 / 2500 = 0,936.

Απάντηση. 0,936

3. Χρησιμοποιώντας την ανισότητα Chebyshev, υπολογίστε την πιθανότητα ότι |Χ - Μ(Χ)|< 0,1, если D (X) = 0,001. Ответ Р³0,9.

4. Δίνεται: P(|X- M(X)\< ε) ³ 0,9; ρε (Χ)= 0,004. Χρησιμοποιώντας την ανισότητα Chebyshev, βρείτε ε . Απάντηση. 0,2.

Ελέγξτε τις ερωτήσεις και τις εργασίες

1. Σκοπός του κεντρικού οριακού θεωρήματος

2. Προϋποθέσεις εφαρμογής του θεωρήματος του Lyapunov.

3. Η διαφορά μεταξύ του λήμματος και του θεωρήματος του Chebyshev.

4. Προϋποθέσεις για την εφαρμογή του θεωρήματος Chebyshev.

5. Προϋποθέσεις για την εφαρμογή του θεωρήματος του Bernoulli (ο νόμος των μεγάλων αριθμών)

Απαιτήσεις για γνώσεις και δεξιότητες

Ο μαθητής πρέπει να γνωρίζει τη γενική σημασιολογική διατύπωση του κεντρικού οριακού θεωρήματος. Να είναι σε θέση να διατυπώνει μερικά θεωρήματα για ανεξάρτητες πανομοιότυπα κατανεμημένες τυχαίες μεταβλητές. Κατανοήστε την ανισότητα Chebyshev και τον νόμο των μεγάλων αριθμών στη μορφή Chebyshev. Έχετε μια ιδέα για τη συχνότητα ενός γεγονότος, τη σχέση μεταξύ των εννοιών «πιθανότητα» και «συχνότητα». Κατανοήστε τον νόμο των μεγάλων αριθμών με τη μορφή Bernoulli.

(1857-1918), εξαιρετικός Ρώσος μαθηματικός

Στην αρχή του μαθήματος, ήδη μιλήσαμε για το γεγονός ότι μαθηματικούς νόμουςΟι θεωρίες πιθανοτήτων λαμβάνονται με την αφαίρεση των πραγματικών στατιστικών κανονικοτήτων που είναι εγγενείς σε μαζικά τυχαία φαινόμενα. Η παρουσία αυτών των μοτίβων συνδέεται ακριβώς με τη μαζική φύση των φαινομένων, δηλαδή με μεγάλο αριθμό ομοιογενών πειραμάτων που εκτελούνται ή με μεγάλο αριθμό τυχαίων επιδράσεων που δημιουργούν στο σύνολό τους μια τυχαία μεταβλητή που υπόκειται σε έναν καλά καθορισμένο νόμο. Η ιδιότητα σταθερότητας των μαζικών τυχαίων φαινομένων είναι γνωστή στην ανθρωπότητα από την αρχαιότητα. Σε όποια περιοχή κι αν εκδηλώνεται, η ουσία του συνοψίζεται στα εξής: τα ειδικά χαρακτηριστικά κάθε μεμονωμένου τυχαίου φαινομένου δεν έχουν σχεδόν καμία επίδραση στο μέσο αποτέλεσμα των μαζών και σε τέτοια φαινόμενα. τυχαίες αποκλίσεις από το μέσο όρο, αναπόφευκτες σε κάθε ξεχωριστό φαινόμενο, στη μάζα ακυρώνονται αμοιβαία, ισοπεδώνονται, ευθυγραμμίζονται. Αυτή η σταθερότητα των μέσων όρων είναι το φυσικό περιεχόμενο του «νόμου των μεγάλων αριθμών», που κατανοείται με την ευρεία έννοια της λέξης: με έναν πολύ μεγάλο αριθμό τυχαίων φαινομένων, το μέσο αποτέλεσμά τους πρακτικά παύει να είναι τυχαίο και μπορεί να προβλεφθεί. με υψηλό βαθμό βεβαιότητας.

Με τη στενή έννοια της λέξης, ο «νόμος των μεγάλων αριθμών» στη θεωρία πιθανοτήτων νοείται ως ένας αριθμός μαθηματικών θεωρημάτων, σε καθένα από τα οποία, για ορισμένες συνθήκες, το γεγονός της προσέγγισης των μέσων χαρακτηριστικών ενός μεγάλου αριθμού πειραμάτων σε ορισμένες συγκεκριμένες σταθερές καθιερώνεται.

Στο 2.3 έχουμε ήδη διατυπώσει το απλούστερο από αυτά τα θεωρήματα, το θεώρημα του J. Bernoulli. Ισχυρίζεται ότι με έναν μεγάλο αριθμό πειραμάτων, η συχνότητα ενός γεγονότος προσεγγίζει (ακριβέστερα, συγκλίνει σε πιθανότητα) στην πιθανότητα αυτού του γεγονότος. Με άλλους, περισσότερο γενικές μορφέςΟ νόμος των μεγάλων αριθμών θα εισαχθεί σε αυτό το κεφάλαιο. Όλα αυτά καθορίζουν το γεγονός και τις προϋποθέσεις για τη σύγκλιση της πιθανότητας ορισμένων τυχαίων μεταβλητών σε σταθερές, μη τυχαίες μεταβλητές.

Ο νόμος των μεγάλων αριθμών παίζει σημαντικό ρόλο πρακτικές εφαρμογέςθεωρία πιθανοτήτων. Η ιδιότητα των τυχαίων μεταβλητών υπό ορισμένες συνθήκες να συμπεριφέρονται πρακτικά ως μη τυχαίες μας επιτρέπει να λειτουργούμε με σιγουριά με αυτές τις ποσότητες, να προβλέψουμε τα αποτελέσματα μαζικών τυχαίων φαινομένων με σχεδόν πλήρη βεβαιότητα.

Οι δυνατότητες τέτοιων προβλέψεων στον τομέα των μαζικών τυχαίων φαινομένων διευρύνονται περαιτέρω με την παρουσία μιας άλλης ομάδας οριακών θεωρημάτων, τα οποία δεν αφορούν πλέον τις οριακές τιμές τυχαίων μεταβλητών, αλλά τους νόμους οριακής κατανομής. Είναι περίπουσε μια ομάδα θεωρημάτων γνωστών ως «θεώρημα κεντρικού ορίου». Έχουμε ήδη πει ότι όταν αθροίζεται ένας αρκετά μεγάλος αριθμός τυχαίων μεταβλητών, ο νόμος κατανομής του αθροίσματος προσεγγίζει τον κανονικό επ' αόριστον, εφόσον πληρούνται ορισμένες προϋποθέσεις. Αυτές οι συνθήκες, οι οποίες μπορούν να διατυπωθούν μαθηματικά με διάφορους τρόπους - με μια περισσότερο ή λιγότερο γενική μορφή - συνοψίζονται ουσιαστικά στην απαίτηση ότι η επιρροή στο άθροισμα των μεμονωμένων όρων είναι ομοιόμορφα μικρή, δηλαδή ότι το άθροισμα δεν πρέπει να περιλαμβάνει όρους που σαφώς υπερισχύουν του συνόλου των υπολοίπων με την επιρροή τους στη διασπορά του ποσού. Διάφορες μορφές του κεντρικού οριακού θεωρήματος διαφέρουν μεταξύ τους στις συνθήκες για τις οποίες καθιερώνεται αυτή η οριακή ιδιότητα του αθροίσματος των τυχαίων μεταβλητών.

Διάφορες μορφές του νόμου των μεγάλων αριθμών μαζί με διάφορες μορφέςτο κεντρικό οριακό θεώρημα σχηματίζει ένα σύνολο από τα λεγόμενα οριακά θεωρήματα της θεωρίας πιθανοτήτων. Οριακά θεωρήματακαθιστούν δυνατή όχι μόνο την πραγματοποίηση επιστημονικών προβλέψεων στον τομέα των τυχαίων φαινομένων, αλλά και την αξιολόγηση της ακρίβειας αυτών των προβλέψεων.

Σε αυτό το κεφάλαιο, θα εξετάσουμε μόνο μερικά από τα περισσότερα απλά σχήματαοριακά θεωρήματα. Αρχικά, θα εξεταστούν τα θεωρήματα που σχετίζονται με την ομάδα "νόμος των μεγάλων αριθμών", στη συνέχεια - θεωρήματα που σχετίζονται με την ομάδα "θεώρημα κεντρικού ορίου".

1. /PB-MS-theory/Lectures-1(4с.).doc 2. /PB-MS-theory/Lectures-2(4с.).έγγρ 3. /PB-MS-theory/Lectures-3(4с.).doc 4. /PB-MS-theory/Lectures-4(4s.).doc 5. /PB-MS-theory/Contents.doc

Διάλεξη 1 Διάλεξη 19. Στατιστικός έλεγχος στατιστικών υποθέσεων. Γενικές αρχές για τον έλεγχο υποθέσεων. Οι έννοιες της στατιστικής υπόθεσης (απλή και σύνθετη), μηδενικές και ανταγωνιστικές υποθέσεις, Ο νόμος των μεγάλων αριθμών. Η ανισότητα του Chebyshev. Θεωρήματα Chebyshev και Bernoulli Διάλεξη Βασικά αριθμητικά χαρακτηριστικά διακριτών και συνεχών τυχαίων μεταβλητών: μαθηματική προσδοκία, διακύμανση και τυπική απόκλιση. Οι ιδιότητες και τα παραδείγματα τους Διάλεξη Το θέμα της θεωρίας πιθανοτήτων. Τυχαία γεγονότα. Άλγεβρα των γεγονότων. Σχετική συχνότητα και πιθανότητα ενός τυχαίου συμβάντος. Πλήρης ομάδα εκδηλώσεων. Κλασικός ορισμός της πιθανότητας. Βασικές ιδιότητες πιθανοτήτων. Βασικοί τύποι συνδυαστικής

Διάλεξη 13

Ο νόμος των μεγάλων αριθμών. Η ανισότητα του Chebyshev. Θεωρήματα Chebyshev και Bernoulli.
Η μελέτη των στατιστικών προτύπων κατέστησε δυνατό να διαπιστωθεί ότι, υπό ορισμένες προϋποθέσεις, η συνολική συμπεριφορά ένας μεγάλος αριθμόςχάνει σχεδόν τυχαίες μεταβλητές τυχαίος χαρακτήραςκαι γίνεται κανονικό (με άλλα λόγια, οι τυχαίες αποκλίσεις από κάποια μέση συμπεριφορά αλληλοεξουδετερώνονται). Ειδικότερα, εάν η επιρροή στο άθροισμα των μεμονωμένων όρων είναι ομοιόμορφα μικρή, ο νόμος κατανομής του αθροίσματος προσεγγίζει το φυσιολογικό. Η μαθηματική διατύπωση αυτής της δήλωσης δίνεται σε μια ομάδα θεωρημάτων που ονομάζεται νόμος των μεγάλων αριθμών.

Η ανισότητα του Chebyshev.
Η ανισότητα του Chebyshev, η οποία χρησιμοποιείται για την απόδειξη περαιτέρω θεωρημάτων, ισχύει τόσο για συνεχείς όσο και για διακριτές τυχαίες μεταβλητές. Ας το αποδείξουμε για διακριτές τυχαίες μεταβλητές.
Θεώρημα 13.1 (ανισότητα Chebyshev). Π( | Χ – Μ(Χ)| ΡΕ( Χ) / ε². (13.1)

Απόδειξη. Αφήνω Χδίνεται από τον αριθμό διανομής

Χ	Χ 1	Χ 2	…	Χ Π
R	R 1	R 2	…	R Π

Από τα γεγονότα | Χ – Μ(Χ)| Χ – Μ(Χ)| ≥ ε είναι αντίθετα, λοιπόν R (|Χ – Μ(Χ)| p(| Χ – Μ(Χ)| ≥ ε) = 1, επομένως, R (|Χ – Μ(Χ)| p(| Χ – Μ(Χ)| ≥ ε). Ας βρούμε R (|Χ – Μ(Χ)| ≥ ε).

ρε(Χ) = (Χ 1 – Μ(Χ))² Π 1 + (Χ 2 – Μ(Χ))² Π 2 + … + (Χ n – Μ(Χ))² Π n . Εξαιρούμε από αυτό το άθροισμα τους όρους για τους οποίους | Χ – Μ(Χ)| κ όροι. Επειτα

ρε(Χ) ≥ (Χ κ + 1 – Μ(Χ))² Π κ + 1 + (Χ κ + 2 – Μ(Χ))² Π κ +2 + … + (Χ n – Μ(Χ))² Π n ≥ ε² ( Π κ + 1 + Π κ + 2 + … + Π n).

Σημειώστε ότι Π κ + 1 + Π κ + 2 + … + Π nυπάρχει πιθανότητα να | Χ – Μ(Χ)| ≥ ε, αφού αυτό είναι το άθροισμα των πιθανοτήτων όλων των πιθανών τιμών Χγια την οποία ισχύει αυτή η ανισότητα. Συνεπώς, ρε(Χ) ≥ ε² R(|Χ – Μ(Χ)| ≥ ε), ή R (|Χ – Μ(Χ)| ≥ ε) ≤ ρε(Χ) / ε². Τότε η πιθανότητα αντίθετο γεγονός Π( | Χ – Μ(Χ)| ΡΕ( Χ) / ε², που επρόκειτο να αποδειχτεί.
Θεωρήματα Chebyshev και Bernoulli.

Θεώρημα 13.2 (θεώρημα Chebyshev). Αν ένα Χ 1 , Χ 2 ,…, Χ Πείναι κατά ζεύγη ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές των οποίων οι διακυμάνσεις είναι ομοιόμορφα οριοθετημένες ( ρε(Χ Εγώ) ≤ ντο), τότε για έναν αυθαίρετα μικρό αριθμό ε την πιθανότητα της ανισότητας

θα είναι αυθαίρετα κοντά στο 1 εάν ο αριθμός των τυχαίων μεταβλητών είναι αρκετά μεγάλος.

Σχόλιο.Αν πληρούνται δηλαδή αυτές οι προϋποθέσεις

Απόδειξη. Σκεφτείτε μια νέα τυχαία μεταβλητή
και βρείτε τη μαθηματική προσδοκία του. Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες της μαθηματικής προσδοκίας, παίρνουμε ότι . Εφαρμόζεται σε Η ανισότητα του Chebyshev: Εφόσον οι θεωρούμενες τυχαίες μεταβλητές είναι ανεξάρτητες, λαμβάνοντας υπόψη την συνθήκη του θεωρήματος, έχουμε: Χρησιμοποιώντας αυτό το αποτέλεσμα, αναπαριστάνουμε την προηγούμενη ανισότητα με τη μορφή:

Ας περάσουμε στο όριο στο
: Εφόσον η πιθανότητα δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερη από 1, μπορεί να υποστηριχθεί ότι

Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.
Συνέπεια.

Αν ένα Χ 1 , Χ 2 , …, Χ Π- ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές κατά ζεύγη με ομοιόμορφα περιορισμένες διακυμάνσεις, με την ίδια μαθηματική προσδοκία ίση με ένα, τότε για κάθε αυθαίρετα μικρό ε > 0 η πιθανότητα της ανισότητας
θα είναι αυθαίρετα κοντά στο 1 εάν ο αριθμός των τυχαίων μεταβλητών είναι αρκετά μεγάλος. Με άλλα λόγια,
.

Συμπέρασμα:ο αριθμητικός μέσος όρος ενός αρκετά μεγάλου αριθμού τυχαίων μεταβλητών παίρνει τιμές κοντά στο άθροισμα των μαθηματικών προσδοκιών τους, δηλαδή χάνει τον χαρακτήρα μιας τυχαίας μεταβλητής. Για παράδειγμα, εάν πραγματοποιηθεί μια σειρά μετρήσεων οποιουδήποτε φυσικού μεγέθους και: α) το αποτέλεσμα κάθε μέτρησης δεν εξαρτάται από τα αποτελέσματα των άλλων, δηλαδή όλα τα αποτελέσματα είναι ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές ανά ζεύγη. β) οι μετρήσεις γίνονται χωρίς συστηματικά σφάλματα (οι μαθηματικές προσδοκίες τους είναι ίσες μεταξύ τους και ίσες με την πραγματική τιμή έναμετρούμενη τιμή)· γ) εξασφαλίζεται μια ορισμένη ακρίβεια μέτρησης, επομένως, οι διασπορές των θεωρούμενων τυχαίων μεταβλητών είναι ομοιόμορφα περιορισμένες. τότε για έναν αρκετά μεγάλο αριθμό μετρήσεων, ο αριθμητικός μέσος όρος τους θα είναι αυθαίρετα κοντά στην πραγματική τιμή της μετρούμενης ποσότητας.
Θεώρημα Bernoulli.
Θεώρημα 13.3 (θεώρημα Bernoulli). Αν σε κάθε ένα από Ππιθανότητα ανεξάρτητων εμπειριών Rεμφάνιση ενός γεγονότος ΑΛΛΑείναι σταθερή, τότε με έναν αρκετά μεγάλο αριθμό δοκιμών, η πιθανότητα ότι ο συντελεστής απόκλισης της σχετικής συχνότητας των εμφανίσεων ΑΛΛΑσε Πεμπειρίες από Rθα είναι αυθαίρετα μικρό, αυθαίρετα κοντά στο 1:

(13.2)

Απόδειξη. Εισάγουμε τυχαίες μεταβλητές Χ 1 , Χ 2 , …, Χ Π, όπου Χ Εγώ – αριθμός εμφανίσεων ΑΛΛΑσε Εγώ-m εμπειρία. Εν Χ Εγώ μπορεί να πάρει μόνο δύο τιμές: 1 (με πιθανότητα R) και 0 (με πιθανότητα q = 1 – Π). Επιπλέον, οι θεωρούμενες τυχαίες μεταβλητές είναι ανεξάρτητες κατά ζεύγη και οι διακυμάνσεις τους οριοθετούνται ομοιόμορφα (καθώς ρε(Χ Εγώ) = pq, Π + q = 1, από όπου pq ≤ ¼). Επομένως, το θεώρημα του Chebyshev μπορεί να εφαρμοστεί σε αυτά Μ Εγώ = Π:

.

Αλλά
, επειδή Χ Εγώ παίρνει τιμή 1 όταν ΑΛΛΑσε αυτή η εμπειρία, και μια τιμή 0 εάν ΑΛΛΑΔεν συνέβη. Με αυτόν τον τρόπο,

Q.E.D.
Σχόλιο.Από το θεώρημα του Bernoulli δεν ακολουθεί, τι
Πρόκειται μόνο για πιθανότητεςότι η διαφορά μεταξύ του συντελεστή σχετικής συχνότητας και πιθανότητας μπορεί να γίνει αυθαίρετα μικρή. Η διαφορά είναι η εξής: υπό τη συνήθη σύγκλιση που εξετάζεται σε μαθηματική ανάλυση, για όλα Π, ξεκινώντας από κάποια τιμή, την ανισότητα
εκτελείται πάντα? στην περίπτωσή μας, μπορεί να υπάρχουν τέτοιες τιμές Πγια την οποία αυτή η ανισότητα είναι ψευδής. Αυτό το είδος σύγκλισης ονομάζεται σύγκλιση στις πιθανότητες.

Διάλεξη 14

Κεντρικό οριακό θεώρημα του Lyapunov. Οριακό θεώρημα Moivre-Laplace.
Ο νόμος των μεγάλων αριθμών δεν διερευνά τη μορφή του νόμου οριακής κατανομής για το άθροισμα των τυχαίων μεταβλητών. Αυτή η ερώτηση εξετάζεται σε μια ομάδα θεωρημάτων που ονομάζεται το κεντρικό οριακό θεώρημα.Υποστηρίζουν ότι ο νόμος κατανομής του αθροίσματος των τυχαίων μεταβλητών, καθεμία από τις οποίες μπορεί να έχει διαφορετικές κατανομές, προσεγγίζει την κανονική με έναν αρκετά μεγάλο αριθμό όρων. Αυτό εξηγεί τη σημασία του κανονικού νόμου για πρακτικές εφαρμογές.
Χαρακτηριστικές λειτουργίες.

Η μέθοδος των χαρακτηριστικών συναρτήσεων χρησιμοποιείται για την απόδειξη του κεντρικού οριακού θεωρήματος.
Ορισμός 14.1.χαρακτηριστική λειτουργία τυχαία μεταβλητή Χονομάζεται συνάρτηση

σολ(t) = Μ (μι itX ) (14.1)

Με αυτόν τον τρόπο, σολ (t) είναι η μαθηματική προσδοκία κάποιας σύνθετης τυχαίας μεταβλητής U = μι itXσχετίζεται με την αξία Χ. Ειδικότερα, εάν Χείναι μια διακριτή τυχαία μεταβλητή που δίνεται από μια σειρά διανομής, λοιπόν

. (14.2)

Για μια συνεχή τυχαία μεταβλητή με πυκνότητα κατανομής φά(Χ)

(14.3)

Παράδειγμα 1. Έστω Χ- ο αριθμός των πτώσεων 6 πόντοι σε μία βολή ζάρια. Στη συνέχεια με τον τύπο (14.2) σολ(t) =

Παράδειγμα 2 Βρείτε το χαρακτηριστικόσυνάρτηση για μια κανονικοποιημένη συνεχή τυχαία μεταβλητή κατανεμημένη κανονικός νόμος
. Σύμφωνα με τον τύπο (14.3) (χρησιμοποιήσαμε τον τύπο
και τι Εγώ² = -1).

Ιδιότητες χαρακτηριστικών συναρτήσεων.
1. Λειτουργία φά(Χ) μπορεί να βρεθεί από γνωστή λειτουργία σολ(t) σύμφωνα με τον τύπο

(14.4)

(μετασχηματισμός (14.3) ονομάζεται Μετασχηματισμός Fourier, και ο μετασχηματισμός (14.4) είναι αντίστροφος μετασχηματισμόςΦουριέ).

2. Εάν τυχαίες μεταβλητές Χκαι Υπου σχετίζονται με την αναλογία Υ = τσεκούρι, τότε οι χαρακτηριστικές τους συναρτήσεις σχετίζονται με τη σχέση

σολ y (t) = σολ Χ (στο). (14.5)

3. Η χαρακτηριστική συνάρτηση του αθροίσματος των ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών είναι ίση με το γινόμενο των χαρακτηριστικών συναρτήσεων των όρων: για

(14.6)
Θεώρημα 14.1 (θεώρημα κεντρικού ορίου για πανομοιότυπα κατανεμημένους όρους). Αν ένα Χ 1 , Χ 2 ,…, Χ Π,… - ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές με τον ίδιο νόμο κατανομής, μαθηματική προσδοκία tκαι διασπορά σ 2 , τότε με απεριόριστη αύξηση Πνόμος κατανομής ποσών
πλησιάζει το κανονικό επ' αόριστον.

Απόδειξη.

Ας αποδείξουμε το θεώρημα για συνεχείς τυχαίες μεταβλητές Χ 1 , Χ 2 ,…, Χ Π(απόδειξη για διακριτές ποσότητεςομοίως). Σύμφωνα με την προϋπόθεση του θεωρήματος, οι χαρακτηριστικές συναρτήσεις των όρων είναι ίδιες:
Στη συνέχεια, από την ιδιότητα 3, η χαρακτηριστική συνάρτηση του αθροίσματος Υ nθα είναι
Αναπτύξτε τη λειτουργία σολ Χ (t) στη σειρά Maclaurin:

, όπου
στο
.

Αν υποθέσουμε ότι t= 0 (δηλαδή, μετακινήστε την αρχή στο σημείο t), έπειτα
.

(επειδή t= 0). Αντικαθιστώντας τα αποτελέσματα που λαμβάνονται με τον τύπο Maclaurin, διαπιστώνουμε ότι

.

Σκεφτείτε μια νέα τυχαία μεταβλητή
, διαφορετικός από Υ n το γεγονός ότι η διασπορά του για οποιαδήποτε Πισούται με 0. Αφού Υ nκαι Ζ nσυνδεδεμένος γραμμική εξάρτηση, αρκεί να το αποδείξουμε Ζ n κατανέμεται σύμφωνα με τον κανονικό νόμο ή, το ίδιο, ότι η χαρακτηριστική του λειτουργία προσεγγίζει τη χαρακτηριστική συνάρτηση του κανονικού νόμου (βλ. παράδειγμα 2). Με την ιδιότητα των χαρακτηριστικών συναρτήσεων

Παίρνουμε τον λογάριθμο της παράστασης που προκύπτει:

όπου

Ας αποσυντεθεί
σε μια σειρά στο Π→ ∞, περιοριζόμαστε σε δύο όρους επέκτασης, μετά ln(1 - κ) ≈ - κ. Από εδώ

Όπου το τελευταίο όριο είναι 0, επειδή στο . Συνεπώς,
, αυτό είναι
- χαρακτηριστική λειτουργία κανονική κατανομή. Άρα, με απεριόριστη αύξηση του αριθμού των όρων, η χαρακτηριστική συνάρτηση της ποσότητας Ζ nπροσεγγίζει τη χαρακτηριστική λειτουργία του κανονικού νόμου επ' αόριστον. ως εκ τούτου, ο νόμος διανομής Ζ n (και Υ n) προσεγγίζει την κανονική τιμή επ' αόριστον. Το θεώρημα έχει αποδειχθεί.

Ο A.M. Lyapunov απέδειξε το κεντρικό οριακό θεώρημα για συνθήκες περισσότερες από γενική εικόνα:
Θεώρημα 14.2 (θεώρημα Lyapunov). Αν η τυχαία μεταβλητή Χείναι το άθροισμα ενός πολύ μεγάλου αριθμού αμοιβαία ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών για τις οποίες ικανοποιείται η ακόλουθη συνθήκη:

, (14.7)

όπου σι κ είναι η τρίτη απόλυτη κεντρική στιγμή της ποσότητας Χ προς την, ένα ρε κείναι η διακύμανσή του, λοιπόν Χέχει κατανομή κοντά στο κανονικό (η συνθήκη Lyapunov σημαίνει ότι η επίδραση κάθε όρου στο άθροισμα είναι αμελητέα).
Στην πράξη, είναι δυνατό να χρησιμοποιηθεί το θεώρημα του κεντρικού ορίου με έναν αρκετά μικρό αριθμό όρων, αφού οι πιθανολογικοί υπολογισμοί απαιτούν σχετικά χαμηλή ακρίβεια. Η εμπειρία δείχνει ότι για ένα άθροισμα έστω και δέκα ή λιγότεροι όρων, ο νόμος της κατανομής τους μπορεί να αντικατασταθεί από έναν κανονικό.

Μια ειδική περίπτωση του κεντρικού οριακού θεωρήματος για διακριτές τυχαίες μεταβλητές είναι το θεώρημα de Moivre-Laplace.

Θεώρημα 14.3 (θεώρημα Moivre-Laplace). Εάν παράγεται Πανεξάρτητα πειράματα, σε καθένα από τα οποία ένα γεγονός ΑΛΛΑεμφανίζεται με πιθανότητα R, τότε η σχέση ισχύει:

(14.8)

όπου Υ – αριθμός περιστατικών του συμβάντος ΑΛΛΑσε Ππειράματα, q = 1 – Π.

Απόδειξη.

Θα το υποθέσουμε
, όπου Χ Εγώ– αριθμός περιστατικών του συμβάντος ΑΛΛΑσε Εγώ-m εμπειρία. Στη συνέχεια η τυχαία μεταβλητή
(βλ. Θεώρημα 14.1) μπορεί να θεωρηθεί ότι κατανέμεται σύμφωνα με τον κανονικό νόμο και κανονικοποιείται, επομένως, η πιθανότητα να πέσει στο διάστημα (α, β) μπορεί να βρεθεί από τον τύπο

Επειδή η Υέχει διωνυμική κατανομή, . Επειτα
. Αντικαθιστώντας αυτήν την έκφραση στον προηγούμενο τύπο, λαμβάνουμε την ισότητα (14.8).

Συνέπεια.

Υπό τις συνθήκες του θεωρήματος Moivre-Laplace, η πιθανότητα
ότι η εκδήλωση ΑΛΛΑθα εμφανιστεί σε Ππειράματα ακριβώς κφορές, με μεγάλο αριθμό πειραμάτων μπορεί να βρεθεί από τον τύπο:

(14.9)

όπου
, ένα
(οι τιμές αυτής της συνάρτησης δίνονται σε ειδικούς πίνακες).

Παράδειγμα 3. Βρείτε την πιθανότητα ότι μετά από 100 ρίψεις ενός νομίσματος, ο αριθμός των θυρεών θα κυμαίνεται από 40 έως 60.

Εφαρμόζουμε τον τύπο (14.8), λαμβάνοντας υπόψη ότι Π= 0,5. Επειτα και τα λοιπά= 100 0,5 = 50, Τότε αν
Συνεπώς,

Παράδειγμα 4. Υπό τις συνθήκες του προηγούμενου παραδείγματος, βρείτε την πιθανότητα να πέσουν 45 οικόσημα.

Ας βρούμε
, έπειτα

Διάλεξη 15

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ μαθηματικές στατιστικές. Γενικός πληθυσμός και δείγμα. Σειρά παραλλαγής, στατιστική σειρά. Ομαδοποιημένη επιλογή. Ομαδοποιημένες στατιστικές σειρές. Πολύγωνο συχνότητας. Συνάρτηση κατανομής δείγματος και ιστόγραμμα.
Η μαθηματική στατιστική ασχολείται με τον καθορισμό κανονικοτήτων στις οποίες υπόκεινται μαζικά τυχαία φαινόμενα, με βάση την επεξεργασία στατιστικών δεδομένων που λαμβάνονται ως αποτέλεσμα παρατηρήσεων. Τα δύο κύρια καθήκοντα της μαθηματικής στατιστικής είναι:

Προσδιορίστε πώς συλλέγονται και ομαδοποιούνται αυτά τα στατιστικά στοιχεία.

Ανάπτυξη μεθόδων για την ανάλυση των δεδομένων που λαμβάνονται, ανάλογα με τους στόχους της μελέτης, οι οποίες περιλαμβάνουν:

α) εκτίμηση της άγνωστης πιθανότητας ενός γεγονότος· Εκτίμηση της άγνωστης συνάρτησης κατανομής. εκτίμηση των παραμέτρων κατανομής, η μορφή των οποίων είναι γνωστή. αξιολόγηση της εξάρτησης από άλλες τυχαίες μεταβλητές κ.λπ.

β) επαλήθευση στατιστικές υποθέσειςγια τη μορφή της άγνωστης κατανομής ή για τις τιμές των παραμέτρων της γνωστής κατανομής.

Για την επίλυση αυτών των προβλημάτων, είναι απαραίτητο να διαλέξετε μεγάλο πληθυσμόομοιογενή αντικείμενα, περιορισμένος αριθμός αντικειμένων, με βάση τα αποτελέσματα της μελέτης των οποίων είναι δυνατό να γίνει μια πρόβλεψη σχετικά με το μελετημένο χαρακτηριστικό αυτών των αντικειμένων.

Ας ορίσουμε τις βασικές έννοιες της μαθηματικής στατιστικής.

Πληθυσμός - όλο το σύνολο των διαθέσιμων αντικειμένων.

Δείγμα- ένα σύνολο αντικειμένων που επιλέγονται τυχαία από τον γενικό πληθυσμό.

Μέγεθος του γενικού πληθυσμούΝ και μέγεθος δείγματοςn - τον αριθμό των αντικειμένων στο υπό εξέταση σύνολο.

Τύποι δειγμάτων:

Αλλεπάλληλος- κάθε επιλεγμένο αντικείμενο επιστρέφεται στον γενικό πληθυσμό πριν από την επιλογή του επόμενου.

Μη επαναλαμβανόμενο- το επιλεγμένο αντικείμενο δεν επιστρέφεται στον γενικό πληθυσμό.
Σχόλιο.Για να μπορέσει η μελέτη του δείγματος να εξαγάγει συμπεράσματα σχετικά με τη συμπεριφορά του χαρακτηριστικού του γενικού πληθυσμού που μας ενδιαφέρει, είναι απαραίτητο το δείγμα να αντιπροσωπεύει σωστά τις αναλογίες του γενικού πληθυσμού, δηλαδή εκπρόσωπος(εκπρόσωπος). Λαμβάνοντας υπόψη τον νόμο των μεγάλων αριθμών, μπορεί να υποστηριχθεί ότι αυτή η συνθήκη ικανοποιείται εάν κάθε αντικείμενο επιλεγεί τυχαία και για οποιοδήποτε αντικείμενο η πιθανότητα να συμπεριληφθεί στο δείγμα είναι η ίδια.
Πρωτογενής επεξεργασία των αποτελεσμάτων.

Αφήστε την τυχαία μεταβλητή που μας ενδιαφέρει Χπαίρνει την τιμή στο δείγμα Χ 1 Π 1 φορά, Χ 2 – Π 2 φορές, …, Χ προς την - Π προς τηνφορές, και
όπου Πείναι το μέγεθος του δείγματος. Στη συνέχεια, οι παρατηρούμενες τιμές της τυχαίας μεταβλητής Χ 1 , Χ 2 ,…, Χ προς την που ονομάζεται επιλογές, ένα Π 1 , Π 2 ,…, Π προς την – συχνότητες. Αν διαιρέσουμε κάθε συχνότητα με το μέγεθος του δείγματος, παίρνουμε σχετικές συχνότητες
Καλείται μια ακολουθία επιλογών γραμμένη με αύξουσα σειρά μεταβλητήδίπλα δίπλα, και τη λίστα των επιλογών και τις αντίστοιχες συχνότητες ή τις σχετικές συχνότητες - στατιστικές σειρές:

Χ Εγώ	Χ 1	Χ 2	…	Χ κ
n Εγώ	n 1	n 2	…	n κ
w Εγώ	w 1	w 2	…	w κ

Κατά τη διεξαγωγή 20 σειρών από 10 ζάρια, ο αριθμός των έξι πόντων που απορρίφθηκαν ήταν 1,1,4,0,1,2,1,2,2,0,5,3,3,1,0,2,2 ,3 ,4,1.Σύνθεση σειρά παραλλαγής: 0,1,2,3,4,5. Στατιστική Σειράγια απόλυτες και σχετικές συχνότητες έχει τη μορφή:

Χ Εγώ	0	1	2	3	4	5
n Εγώ	3	6	5	3	2	1
w Εγώ	0,15	0,3	0,25	0,15	0,1	0,05

Εάν διερευνάται κάποιο συνεχές χαρακτηριστικό, τότε η μεταβλητή σειρά μπορεί να αποτελείται από έναν πολύ μεγάλο αριθμό αριθμών. Σε αυτή την περίπτωση είναι πιο βολικό στη χρήση ομαδοποιημένο δείγμα. Για να το αποκτήσετε, το διάστημα, το οποίο περιέχει όλες τις παρατηρούμενες τιμές του χαρακτηριστικού, χωρίζεται σε πολλά ίσα μερικά διαστήματα μήκους η, και στη συνέχεια βρείτε για κάθε μερικό διάστημα n Εγώείναι το άθροισμα των συχνοτήτων της παραλλαγής που έπεσε Εγώ-ο μεσοδιάστημα. Ο πίνακας που συντάσσεται από αυτά τα αποτελέσματα ονομάζεται ομαδοποιημένα στατιστικές σειρές :

Πολύγωνο συχνότητας. Συνάρτηση κατανομής δείγματος και ιστόγραμμα.
Για οπτική παρουσίασησχετικά με τη συμπεριφορά της υπό μελέτη τυχαίας μεταβλητής στο δείγμα, μπορείτε να δημιουργήσετε διάφορα γραφήματα. Ενας από αυτούς - πολύγωνο συχνότητας: πολυγραμμή της οποίας τα τμήματα συνδέουν σημεία με συντεταγμένες ( Χ 1 , n 1), (Χ 2 , n 2),…, (Χ κ , n κ), όπου Χ Εγώ απεικονίζονται στον άξονα x και n Εγώ - στον άξονα y. Αν στον άξονα y σχεδιάσουμε μη απόλυτο ( n Εγώ), και σχετικός ( w Εγώ) συχνότητα, τότε παίρνουμε Πολύγωνο σχετικής συχνότητας(εικ.1) . Ρύζι. ένας.

Κατ' αναλογία με τη συνάρτηση κατανομής μιας τυχαίας μεταβλητής, μπορείτε να ορίσετε μια συγκεκριμένη συνάρτηση, τη σχετική συχνότητα του συμβάντος Χ Χ.

Ορισμός 15.1.Δείγμα (εμπειρική) συνάρτηση διανομήςκαλέστε τη συνάρτηση φά* (Χ), το οποίο καθορίζει για κάθε τιμή Χσχετική συχνότητα του συμβάντος Χ Χ. Με αυτόν τον τρόπο,

, (15.1)

όπου Π Χ– αριθμός επιλογών, μικρότερος Χ, Πείναι το μέγεθος του δείγματος.
Σχόλιο.Σε αντίθεση με την εμπειρική συνάρτηση κατανομής που βρέθηκε εμπειρικά, η συνάρτηση κατανομής φά(Χ) του γενικού πληθυσμού ονομάζεται συνάρτηση θεωρητικής κατανομής. φά(Χ) καθορίζει την πιθανότητα ενός γεγονότος Χ Χ, ένα φά* (Χ) είναι η σχετική συχνότητά του. Για αρκετά μεγάλο Π, όπως προκύπτει από το θεώρημα Bernoulli, φά* (Χ) τείνει κατά πιθανότητα να φά(Χ).

Από τον ορισμό της εμπειρικής συνάρτησης κατανομής, μπορεί να φανεί ότι οι ιδιότητές της συμπίπτουν με τις ιδιότητες φά(Χ), και συγκεκριμένα:

1. 
   0 ≤φά* (Χ) ≤ 1.
2. 
   φά* (Χ) είναι μια μη φθίνουσα συνάρτηση.
3. 
   Αν ένα ΧΤο 1 είναι η μικρότερη επιλογή, λοιπόν φά* (Χ) = 0 για Χ≤ Χένας ; αν Χ προς την είναι η μεγαλύτερη επιλογή, λοιπόν φά* (Χ) = 1 για Χ> Χ προς την .

Για ένα συνεχές χαρακτηριστικό, μια γραφική απεικόνιση είναι ραβδόγραμμα, δηλαδή ένα βαθμιδωτό σχήμα που αποτελείται από ορθογώνια των οποίων οι βάσεις είναι μερικά διαστήματα μήκους η, και τα ύψη – τμήματα μήκους n Εγώ / η(ιστόγραμμα συχνότητας) ή w Εγώ / η (ιστόγραμμα σχετικών συχνοτήτων). Στην πρώτη περίπτωση, η περιοχή του ιστογράμματος είναι ίση με το μέγεθος του δείγματος, στη δεύτερη περίπτωση είναι ίση με ένα (Εικ. 2). Εικ.2.

Διάλεξη 16

Αριθμητικά χαρακτηριστικά στατιστική κατανομή: μέσος όρος δείγματος, εκτιμήσεις διασποράς, εκτιμήσεις τρόπου λειτουργίας και διάμεσου, εκτιμήσεις αρχικών και κεντρικών ροπών. Στατιστική περιγραφή και υπολογισμός εκτιμήσεων για τις παραμέτρους ενός δισδιάστατου τυχαίου διανύσματος.
Ένα από τα καθήκοντα της μαθηματικής στατιστικής είναι η εκτίμηση των τιμών των αριθμητικών χαρακτηριστικών της υπό μελέτη τυχαίας μεταβλητής με βάση το υπάρχον δείγμα.

Ορισμός 16.1.δείγμα μέσου όρουονομάζεται μέσος όρος αριθμητικές τιμέςτυχαία μεταβλητή που λαμβάνεται στο δείγμα:

, (16.1)

όπου Χ Εγώ- επιλογές, n Εγώ- συχνότητες.

Σχόλιο.Ο μέσος όρος του δείγματος χρησιμοποιείται για την εκτίμηση της μαθηματικής προσδοκίας της τυχαίας μεταβλητής υπό μελέτη. Το ερώτημα πόσο ακριβής είναι μια τέτοια εκτίμηση θα συζητηθεί αργότερα.

Ορισμός 16.2.Διακύμανση δείγματοςπου ονομάζεται

, (16.2)

ένα τυπική απόκλιση δείγματος–

(16.3)

Ακριβώς όπως στη θεωρία των τυχαίων μεταβλητών, μπορεί κανείς να αποδείξει ότι ο ακόλουθος τύπος ισχύει για τον υπολογισμό της διακύμανσης του δείγματος:

. (16.4)

Παράδειγμα 1. Βρείτε αριθμητικά χαρακτηριστικάδείγμα από στατιστικές σειρές

Χ Εγώ	2	5	7	8
n Εγώ	3	8	7	2

Άλλα χαρακτηριστικά της σειράς παραλλαγών είναι:

- μόδαΜ 0 - μια επιλογή που έχει υψηλότερη συχνότητα(στο προηγούμενο παράδειγμα Μ 0 = 5).

- διάμεσοςt μι - μια παραλλαγή που χωρίζει τη σειρά παραλλαγής σε δύο μέρη ίσα σε αριθμό με την παραλλαγή. Εάν η επιλογή του αριθμού είναι περιττή ( n = 2κ+ 1), τότε Μ μι = Χ κ + 1 , και για ακόμη n = 2κ
. Ειδικότερα, στο παράδειγμα 1

Οι εκτιμήσεις αρχικών και κεντρικών ροπών (οι λεγόμενες εμπειρικές ροπές) ορίζονται παρόμοια με τις αντίστοιχες θεωρητικές ροπές:

- αρχική εμπειρική στιγμή παραγγελίαςκ που ονομάζεται

. (16.5)

Συγκεκριμένα,
, δηλαδή η αρχική εμπειρική ροπή της πρώτης τάξης είναι ίση με τη μέση τιμή του δείγματος.

- κεντρική εμπειρική στιγμή τάξηςκ που ονομάζεται

. (16.6)

Συγκεκριμένα,
, δηλαδή, η κεντρική εμπειρική ροπή δεύτερης τάξης είναι ίση με τη διακύμανση του δείγματος.
Στατιστική περιγραφή και υπολογισμός χαρακτηριστικών

δισδιάστατο τυχαίο διάνυσμα.
Στο στατιστική μελέτηδισδιάστατες τυχαίες μεταβλητές το κύριο καθήκον είναι συνήθως ο προσδιορισμός της σχέσης μεταξύ των στοιχείων.

Ένα δισδιάστατο δείγμα είναι ένα σύνολο τυχαίων διανυσματικών τιμών: ( Χ 1 , στο 1), (Χ 2 , στο 2), …, (Χ Π , y Π). Για αυτό, μπορείτε να προσδιορίσετε τους μέσους όρους δείγματος των στοιχείων:

και τις αντίστοιχες δειγματοληπτικές διακυμάνσεις και τυπικές αποκλίσεις. Επιπλέον, μπορεί κανείς να υπολογίσει υπό όρους μέσους όρους: - αριθμητικός μέσος όρος των παρατηρούμενων τιμών Υαντίστοιχος X = x, και - μέση τιμή των παρατηρούμενων τιμών Χαντίστοιχος Υ = y.

Εάν υπάρχει σχέση μεταξύ των συνιστωσών μιας δισδιάστατης τυχαίας μεταβλητής, μπορεί να έχει διαφορετικό είδος: λειτουργική εξάρτηση εάν κάθε δυνατή τιμή Χταιριάζει με μία τιμή Υ, και στατιστική, στην οποία μια αλλαγή σε μια ποσότητα οδηγεί σε αλλαγή στην κατανομή μιας άλλης. Εάν ταυτόχρονα, ως αποτέλεσμα μιας αλλαγής σε μια ποσότητα, αλλάξει η μέση τιμή της άλλης, τότε στατιστική εξάρτησημεταξύ τους ονομάζεται συσχέτιση.

Διάλεξη 17

Βασικές ιδιότητες στατιστικά χαρακτηριστικάπαράμετροι διανομής: αμερόληπτη, συνέπεια, αποτελεσματικότητα. Η αμερόληπτη και η συνέπεια του δείγματος σημαίνουν ως εκτίμηση της μαθηματικής προσδοκίας. Δείγμα μεροληψίας διασποράς. Ένα παράδειγμα αμερόληπτης εκτίμησης διασποράς. Ασυμπτωτικά αμερόληπτες εκτιμήσεις. Μέθοδοι για την κατασκευή εκτιμήσεων: η μέθοδος μέγιστης πιθανότητας, η μέθοδος των ροπών, η ποσοτητική μέθοδος, η μέθοδος ελάχιστα τετράγωνα, μια Μπεϋζιανή προσέγγιση για τη λήψη εκτιμήσεων.
Έχοντας λάβει στατιστικές εκτιμήσεις των παραμέτρων κατανομής (μέσος όρος δείγματος, διακύμανση δείγματος κ.λπ.), πρέπει να βεβαιωθείτε ότι χρησιμεύουν επαρκώς ως προσέγγιση των αντίστοιχων χαρακτηριστικών του γενικού πληθυσμού. Καθορίζουμε τις απαιτήσεις που πρέπει να πληρούνται σε αυτή την περίπτωση.

Έστω Θ* - στατιστική αξιολόγησηάγνωστη παράμετρος Θ της θεωρητικής κατανομής. Εξάγουμε από τον γενικό πληθυσμό αρκετά δείγματα ίδιου μεγέθους Πκαι να υπολογίσετε για καθένα από αυτά μια εκτίμηση της παραμέτρου Θ:
Τότε η εκτίμηση Θ* μπορεί να θεωρηθεί ως μια τυχαία μεταβλητή που παίρνει πιθανές τιμές Εάν η μαθηματική προσδοκία Θ* δεν είναι ίση με την εκτιμώμενη παράμετρο, θα λάβουμε συστηματικά λάθηένα σημάδι (περισσότερο από το αν Μ(Θ*) >Θ, και με μειονέκτημα αν Μ(Θ*) Μ (Θ*) = Θ.
Ορισμός 17.2.Η στατιστική εκτίμηση Θ* ονομάζεται αμερόληπτος, εάν η μαθηματική προσδοκία του είναι ίση με την εκτιμώμενη παράμετρο Θ για οποιοδήποτε μέγεθος δείγματος:

Μ(Θ*) = Θ. (17.1)

Εκτοπισμένοςονομάζεται εκτίμηση, η μαθηματική προσδοκία της οποίας δεν είναι ίση με την εκτιμώμενη παράμετρο.

Ωστόσο, η αμερόληπτη δεν είναι επαρκής κατάστασημια καλή προσέγγιση στην πραγματική τιμή της εκτιμώμενης παραμέτρου. Εάν, σε αυτήν την περίπτωση, οι πιθανές τιμές του Θ* μπορεί να αποκλίνουν σημαντικά από τη μέση τιμή, δηλαδή η διακύμανση του Θ* είναι μεγάλη, τότε η τιμή που βρέθηκε από τα δεδομένα ενός δείγματος μπορεί να διαφέρει σημαντικά από την εκτιμώμενη παράμετρο . Ως εκ τούτου, απαιτείται η επιβολή περιορισμών στη διακύμανση.
Ορισμός 17.2.Η στατιστική αξιολόγηση ονομάζεται αποτελεσματικόςεάν πρόκειται για ένα δεδομένο μέγεθος δείγματος Πέχει τη μικρότερη δυνατή απόκλιση.
Όταν εξετάζονται δείγματα μεγάλου όγκου, οι στατιστικές εκτιμήσεις υπόκεινται επίσης στην απαίτηση συνέπειας.
Ορισμός 17.3.Πλούσιοςονομάζεται στατιστική εκτίμηση, η οποία ΠΤο →∞ τείνει κατά πιθανότητα στην εκτιμώμενη παράμετρο (αν αυτή η εκτίμηση είναι αμερόληπτη, τότε θα είναι συνεπής εάν, για Π→∞ η διακύμανσή του τείνει στο 0).
Ας το φροντίσουμε είναι μια αμερόληπτη εκτίμηση της προσδοκίας Μ(Χ).

Θα το θεωρήσουμε ως τυχαία μεταβλητή και Χ 1 , Χ 2 ,…, Χ Π, δηλαδή οι τιμές της υπό μελέτη τυχαίας μεταβλητής που αποτελούν το δείγμα, – ως ανεξάρτητες, πανομοιότυπα κατανεμημένες τυχαίες μεταβλητές Χ 1 , Χ 2 ,…, Χ Π, έχοντας μαθηματική προσδοκία ένα. Από τις ιδιότητες της μαθηματικής προσδοκίας προκύπτει ότι

Όμως, αφού καθεμία από τις ποσότητες Χ 1 , Χ 2 ,…, Χ Π έχει την ίδια κατανομή με τον γενικό πληθυσμό, ένα = Μ(Χ), αυτό είναι Μ(
) = Μ(Χ), που έπρεπε να αποδειχθεί. Ο μέσος όρος του δείγματος δεν είναι μόνο μια αμερόληπτη, αλλά και μια συνεπής εκτίμηση της μαθηματικής προσδοκίας. Αν υποθέσουμε ότι Χ 1 , Χ 2 ,…, Χ Πέχουν περιορισμένες διακυμάνσεις, τότε από το θεώρημα Chebyshev προκύπτει ότι ο αριθμητικός τους μέσος όρος, δηλαδή με αύξηση Πτείνει κατά πιθανότητα στη μαθηματική προσδοκία ένακαθεμία από τις αξίες τους, δηλαδή να Μ(Χ). Επομένως, ο μέσος όρος του δείγματος είναι μια συνεπής εκτίμηση της μαθηματικής προσδοκίας.

Σε αντίθεση με τη μέση τιμή του δείγματος, διακύμανση δείγματοςείναι μια μεροληπτική εκτίμηση της διακύμανσης του πληθυσμού. Μπορεί να αποδειχθεί ότι

, (17.2)

όπου ρε σολ – πραγματική αξίαδιακύμανση πληθυσμού. Μπορούμε να προσφέρουμε μια άλλη εκτίμηση της διακύμανσης - διορθωμένη διακύμανσημικρό ² , υπολογίζεται με τον τύπο

. (17.3)

Μια τέτοια εκτίμηση θα είναι αμερόληπτη. Αντιστοιχεί σε διορθωμένη μέση τυπική απόκλιση

. (17.4)

Ορισμός 17.4.Ονομάζεται εκτίμηση κάποιου χαρακτηριστικού ασυμπτωτικά αμερόληπτη, εάν για το δείγμα Χ 1 , Χ 2 , …, Χ Π

, (17.5)

όπου Χείναι η πραγματική τιμή της ποσότητας που ερευνήθηκε.
Μέθοδοι για την κατασκευή εκτιμήσεων.
1. Μέθοδος μέγιστης πιθανότητας.
Αφήνω Χείναι μια διακριτή τυχαία μεταβλητή, η οποία ως αποτέλεσμα Ποι δοκιμές πήραν τις τιμές Χ 1 , Χ 2 , …, Χ Π. Ας υποθέσουμε ότι γνωρίζουμε τον νόμο κατανομής αυτής της ποσότητας, που καθορίζεται από την παράμετρο Θ, αλλά η αριθμητική τιμή αυτής της παραμέτρου είναι άγνωστη. Ας βρούμε την σημειακή του εκτίμηση.

Αφήνω R(Χ Εγώ, Θ) είναι η πιθανότητα ότι, ως αποτέλεσμα της δοκιμής, η τιμή Χθα πάρει το νόημα Χ Εγώ. Ας καλέσουμε συνάρτηση πιθανότηταςδιακριτή τυχαία μεταβλητή Χσυνάρτηση του ορίσματος Θ, που προσδιορίζεται από τον τύπο:

μεγάλο (Χ 1 , Χ 2 , …, Χ Π ; Θ) = Π(Χ 1 ,Θ) Π(Χ 2,Θ)… Π(Χ n ,Θ).

Στη συνέχεια, ως σημειακή εκτίμηση της παραμέτρου Θ, η τιμή της Θ* = Θ( Χ 1 , Χ 2 , …, Χ Π) στην οποία η συνάρτηση πιθανότητας φτάνει στο μέγιστο. Η εκτίμηση Θ* ονομάζεται εκτίμηση μέγιστης πιθανότητας.

Δεδομένου ότι οι λειτουργίες μεγάλοκαι ln μεγάλοφτάσετε ένα μέγιστο στην ίδια τιμή του Θ, είναι πιο βολικό να αναζητήσετε το μέγιστο ln μεγάλο – λογαριθμική συνάρτησηαξιοπιστία. Για αυτό χρειάζεστε:


Πλεονεκτήματα της μεθόδου μέγιστης πιθανότητας: οι εκτιμήσεις που λαμβάνονται είναι συνεπείς (αν και μπορεί να είναι μεροληπτικές), κατανέμονται ασυμπτωτικά κανονικά για μεγάλες αξίες Πκαι έχουν τη μικρότερη διακύμανση σε σύγκριση με άλλα ασυμπτωτικά κανονικούς βαθμούς; Εάν για την εκτιμώμενη παράμετρο Θ υπάρχει μια αποτελεσματική εκτίμηση Θ*, τότε η εξίσωση πιθανότητας έχει μια μοναδική λύση Θ*. η μέθοδος κάνει την πληρέστερη χρήση των δειγματοληπτικών δεδομένων και επομένως είναι ιδιαίτερα χρήσιμη στην περίπτωση μικρών δειγμάτων.

Το μειονέκτημα της μεθόδου μέγιστης πιθανότητας: η πολυπλοκότητα των υπολογισμών.
Για μια συνεχή τυχαία μεταβλητή με γνωστή πυκνότητα κατανομής φά(Χ) και μια άγνωστη παράμετρο Θ, η συνάρτηση πιθανότητας έχει τη μορφή:

μεγάλο (Χ 1 , Χ 2 , …, Χ Π ; Θ) = φά(Χ 1 ,Θ) φά(Χ 2,Θ)… φά(Χ n ,Θ).

Η εκτίμηση της μέγιστης πιθανότητας μιας άγνωστης παραμέτρου πραγματοποιείται με τον ίδιο τρόπο όπως για μια διακριτή τυχαία μεταβλητή.
2. Μέθοδος στιγμών.
Η μέθοδος των ροπών βασίζεται στο γεγονός ότι οι αρχικές και οι κεντρικές εμπειρικές ροπές είναι συνεπείς εκτιμήσεις των αρχικών και κεντρικών θεωρητικών ροπών, αντίστοιχα, οπότε μπορούμε να εξισώσουμε θεωρητικά σημείααντίστοιχες εμπειρικές στιγμές της ίδιας τάξης.

Αν δίνεται ο τύπος της πυκνότητας κατανομής φά(Χ, Θ) προσδιορίζεται από μία άγνωστη παράμετρο Θ, τότε για να εκτιμηθεί αυτή η παράμετρος αρκεί να έχουμε μία εξίσωση. Για παράδειγμα, μπορεί κανείς να εξισώσει αρχικές στιγμέςπρώτη σειρά:

,

λαμβάνοντας έτσι μια εξίσωση για τον προσδιορισμό του Θ. Η λύση του Θ* θα είναι μια σημειακή εκτίμηση της παραμέτρου, η οποία είναι συνάρτηση του μέσου όρου του δείγματος και επομένως του δείγματος:

Θ = ψ ( Χ 1 , Χ 2 , …, Χ Π).

Αν ένα γνωστά είδηπυκνότητα κατανομής φά(Χ, Θ 1 , Θ 2) προσδιορίζεται από δύο άγνωστες παραμέτρους Θ 1 και Θ 2 , τότε απαιτούνται δύο εξισώσεις, π.χ.

v 1 = Μ 1, μ 2 = t 2 .

Από εδώ
- σύστημα δύο εξισώσεων με δύο αγνώστους Θ 1 και Θ 2 . Οι λύσεις του θα είναι σημειακές εκτιμήσεις Θ 1 * και Θ 2 * - συναρτήσεις της επιλογής δειγματοληψίας:

Θ 1 = ψ 1 ( Χ 1 , Χ 2 , …, Χ Π),

Θ 2 = ψ 2 ( Χ 1 , Χ 2 , …, Χ Π).
3. Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων.

Εάν απαιτείται αξιολόγηση της εξάρτησης των ποσοτήτων στοκαι Χκαι η μορφή της συνάρτησης που τα συνδέει είναι γνωστή, αλλά οι τιμές των συντελεστών που περιλαμβάνονται σε αυτήν είναι άγνωστες, οι τιμές τους μπορούν να εκτιμηθούν από το διαθέσιμο δείγμα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. Για αυτή τη λειτουργία στο = φ ( Χ) επιλέγεται έτσι ώστε το άθροισμα των τετραγωνικών αποκλίσεων των παρατηρούμενων τιμών στο 1 , στο 2 ,…, στο Παπό φ( Χ Εγώ) ήταν ελάχιστο:

Με αυτόν τον τρόπο, απαιτείται να βρεθεί ακίνητο σημείοσυναρτήσεις φ( Χ; ένα, σι, ντο… ), δηλαδή, λύστε το σύστημα:

(η λύση βέβαια είναι δυνατή μόνο στην περίπτωση που είναι γνωστή η συγκεκριμένη μορφή της συνάρτησης φ).

Εξετάστε, ως παράδειγμα, την επιλογή των παραμέτρων γραμμική συνάρτησημε τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων.

Προκειμένου να αξιολογηθούν οι παράμετροι ένακαι σισε λειτουργία y = τσεκούρι + σι, εύρημα
Επειτα
. Από εδώ
. Διαιρώντας και τις δύο προκύπτουσες εξισώσεις με Πκαι θυμόμαστε τους ορισμούς των εμπειρικών στιγμών, μπορεί κανείς να αποκτήσει εκφράσεις για ένακαι σιόπως και:

. Ως εκ τούτου, η σχέση μεταξύ Χκαι στομπορεί να οριστεί με τη μορφή:

4. Μπεϋζιανή προσέγγιση για τη λήψη εκτιμήσεων.
ας ( Υ, Χ) είναι ένα τυχαίο διάνυσμα για το οποίο η πυκνότητα είναι γνωστή R(στο|Χ) κατανομή υπό όρους Υγια κάθε αξία X = x. Αν ως αποτέλεσμα του πειράματος μόνο οι τιμές Υ, και τις αντίστοιχες τιμές Χείναι άγνωστα, τότε για να εκτιμηθούν μερικά δεδομένη λειτουργία φ( Χ) ως κατά προσέγγιση τιμή του, προτείνεται να αναζητηθεί η υπό όρους μαθηματική προσδοκία Μ (φ‌‌( Χ)‌‌‌‌‌‌|Υ) υπολογίζεται με τον τύπο:

, όπου , R(Χ Χ, q(y) είναι η άνευ όρων πυκνότητα κατανομής Υ. Το πρόβλημα μπορεί να λυθεί μόνο όταν είναι γνωστό R(Χ). Μερικές φορές, ωστόσο, είναι δυνατό να κατασκευαστεί μια συνεπής εκτίμηση για q(y), το οποίο εξαρτάται μόνο από τις τιμές που λαμβάνονται στο δείγμα Υ.

Διάλεξη 18

Εκτίμηση διαστήματος άγνωστων παραμέτρων. Ακρίβεια εκτίμησης, επίπεδο αυτοπεποίθησης(αξιοπιστία), διάστημα εμπιστοσύνης. Κατασκευή διαστημάτων εμπιστοσύνης για την εκτίμηση της μαθηματικής προσδοκίας κανονικής κατανομής με γνωστή και άγνωστη διακύμανση. Διαστήματα εμπιστοσύνης για την εκτίμηση της τυπικής απόκλισης μιας κανονικής κατανομής.
Κατά τη δειγματοληψία μικρής ποσότητας βαθμολογική εκτίμησημπορεί να διαφέρει σημαντικά από την εκτιμώμενη παράμετρο, η οποία οδηγεί σε γκάφες. Επομένως, σε αυτή την περίπτωση είναι καλύτερο να το χρησιμοποιήσετε εκτιμήσεις διαστήματος , δηλαδή να υποδεικνύετε το διάστημα στο οποίο η πραγματική τιμή της εκτιμώμενης παραμέτρου πέφτει με δεδομένη πιθανότητα. Φυσικά, όσο μικρότερο είναι το μήκος αυτού του διαστήματος, τόσο πιο ακριβής είναι η εκτίμηση της παραμέτρου. Επομένως, εάν η εκτίμηση Θ* κάποιας παραμέτρου Θ ικανοποιεί την ανισότητα | Θ* - Θ | 0 χαρακτηρίζει ακρίβεια εκτίμησης(όσο μικρότερο δ, τόσο πιο ακριβής είναι η εκτίμηση). Αλλά Στατιστικές μέθοδοιεπιτρέψτε μας να πούμε μόνο ότι αυτή η ανισότητα ικανοποιείται με κάποια πιθανότητα.

Ορισμός 18.1.Αξιοπιστία (πιθανότητα εμπιστοσύνης) εκτίμηση Θ* της παραμέτρου Θ είναι η πιθανότητα γ ότι η ανίσωση | Θ* - Θ |
Π (Θ* - δ
Έτσι, γ είναι η πιθανότητα ότι το Θ εμπίπτει στο διάστημα (Θ* - δ, Θ* + δ).

Ορισμός 18.2.Εμπιστοςείναι το διάστημα στο οποίο εμπίπτει η άγνωστη παράμετρος με δεδομένη αξιοπιστία γ.
Κατασκευή διαστημάτων εμπιστοσύνης.
1. Διάστημα εμπιστοσύνης για την εκτίμηση της μαθηματικής προσδοκίας μιας κανονικής κατανομής με γνωστή διακύμανση.

Έστω η τυχαία μεταβλητή υπό μελέτη Χκατανέμεται σύμφωνα με τον κανονικό νόμο με γνωστό μέσο τετράγωνο σ, και απαιτείται να εκτιμηθεί η μαθηματική του προσδοκία με την τιμή του μέσου όρου του δείγματος ένα. Θα θεωρήσουμε τη μέση τιμή του δείγματος ως τυχαία μεταβλητή και τις τιμές παραλλαγών του δείγματος Χ 1 , Χ 2 ,…, Χ Πως ισοκατανεμημένες ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές Χ 1 , Χ 2 ,…, Χ Π, καθένα από τα οποία έχει μια μαθηματική προσδοκία ένακαι τυπική απόκλιση σ. Εν Μ() = ένα,
(χρησιμοποιούμε τις ιδιότητες της μαθηματικής προσδοκίας και της διακύμανσης του αθροίσματος των ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών). Ας υπολογίσουμε την πιθανότητα εκπλήρωσης της ανισότητας
. Εφαρμόζουμε τον τύπο για την πιθανότητα μια κανονικά κατανεμημένη τυχαία μεταβλητή να πέσει σε ένα δεδομένο διάστημα:

R (
) = 2Φ
. Στη συνέχεια, λαμβάνοντας υπόψη το γεγονός ότι R() = 2Φ
=

2Φ( t), όπου
. Από εδώ
, και η προηγούμενη ισότητα μπορεί να ξαναγραφτεί ως εξής:

. (18.1)

Άρα, η αξία της μαθηματικής προσδοκίας έναμε πιθανότητα (αξιοπιστία) γ πέφτει στο διάστημα
, όπου η τιμή tκαθορίζεται από τους πίνακες για τη συνάρτηση Laplace έτσι ώστε η ισότητα 2Φ( t) = γ.
Παράδειγμα. Βρείτε το διάστημα εμπιστοσύνης για τη μαθηματική προσδοκία μιας κανονικά κατανεμημένης τυχαίας μεταβλητής εάν το μέγεθος του δείγματος Π = 49,
σ = 1,4 και το επίπεδο εμπιστοσύνης γ = 0,9.

Ας ορίσουμε t, στο οποίο F( t) = 0,9:2 = 0,45: t= 1.645. Επειτα

, ή 2,471 a a με αξιοπιστία 0,9.
2. Διάστημα εμπιστοσύνης για την εκτίμηση της μαθηματικής προσδοκίας μιας κανονικής κατανομής με άγνωστη διακύμανση.

Αν είναι γνωστό ότι η υπό μελέτη τυχαία μεταβλητή Χκατανέμεται σύμφωνα με τον κανονικό νόμο με άγνωστη τυπική απόκλιση, στη συνέχεια για την αναζήτηση διάστημα εμπιστοσύνηςγια τη μαθηματική του προσδοκία, κατασκευάζουμε μια νέα τυχαία μεταβλητή

, (18.2)

όπου - μέσος όρος δείγματος, μικρόείναι η διορθωμένη διακύμανση, Πείναι το μέγεθος του δείγματος. Αυτή η τυχαία μεταβλητή, οι πιθανές τιμές της οποίας θα σημειωθούν t, έχει κατανομή Φοιτητών (βλ. Διάλεξη 12) με κ = n– 1 βαθμός ελευθερίας.

Από την πυκνότητα κατανομής του Μαθητή
, όπου
, δεν εξαρτάται ρητά από ένακαι σ, μπορείτε να ορίσετε την πιθανότητα να πέσει σε ένα συγκεκριμένο διάστημα (- t γ , t γ ), λαμβάνοντας υπόψη την ομαλότητα της πυκνότητας κατανομής, ως εξής:
. Από εδώ παίρνουμε:

(18.3)

Έτσι, ένα διάστημα εμπιστοσύνης για ένα, όπου t γ μπορείτε να βρείτε στον αντίστοιχο πίνακα Πκαι ζ.

Παράδειγμα. Αφήστε το μέγεθος του δείγματος Π = 25, = 3, μικρό= 1,5. Βρείτε το διάστημα εμπιστοσύνης για ένασε γ = 0,99. Από τον πίνακα διαπιστώνουμε ότι t γ (Π= 25, γ = 0,99) = 2,797. Επειτα
, ή 2,161a με πιθανότητα 0,99.
3. Διαστήματα εμπιστοσύνης για την εκτίμηση της τυπικής απόκλισης της κανονικής κατανομής.

Για την τυπική απόκλιση μιας κανονικά κατανεμημένης τυχαίας μεταβλητής, θα αναζητήσουμε ένα διάστημα εμπιστοσύνης της φόρμας ( μικρό – δ, μικρό +δ ), όπου μικρόείναι η διορθωμένη τυπική απόκλιση του δείγματος και για το δ ικανοποιείται η ακόλουθη συνθήκη: Π (|σ – μικρό|
Γράφουμε αυτήν την ανισότητα με τη μορφή:
ή, που δηλώνει
,

Θεωρήστε μια τυχαία μεταβλητή χ που ορίζεται από τον τύπο

,

που κατανέμεται σύμφωνα με το νόμο χι-τετράγωνο με Π-1 βαθμός ελευθερίας (βλ. διάλεξη 12). Η πυκνότητα της κατανομής του

δεν εξαρτάται από την εκτιμώμενη παράμετρο σ, αλλά εξαρτάται μόνο από το μέγεθος του δείγματος Π. Ας μετατρέψουμε την ανισότητα (18.4) ώστε να πάρει τη μορφή χ 1 Υποθέτουμε ότι q

,

ή, αφού πολλαπλασιαστεί με
,
. Συνεπώς,
. Επειτα
Υπάρχουν πίνακες για την κατανομή του χ-τετράγωνου από τους οποίους μπορεί κανείς να βρει qσύμφωνα με το δεδομένο Πκαι γ χωρίς να λυθεί αυτή η εξίσωση. Έτσι, έχοντας υπολογίσει από το δείγμα την τιμή μικρό και προσδιορίζοντας από τον πίνακα την τιμή q, μπορεί κανείς να βρει το διάστημα εμπιστοσύνης (18.4) στο οποίο η τιμή σ πέφτει με δεδομένη πιθανότητα γ.
Σχόλιο.Αν ένα q> 1, τότε, λαμβάνοντας υπόψη τη συνθήκη σ > 0, το διάστημα εμπιστοσύνης για το σ θα έχει όρια

. (18.5)

Αφήνω Π = 20, μικρό= 1,3. Ας βρούμε το διάστημα εμπιστοσύνης για σ για μια δεδομένη αξιοπιστία γ = 0,95. Από τον αντίστοιχο πίνακα βρίσκουμε q (n= 20, γ = 0,95) = 0,37. Επομένως, τα όρια του διαστήματος εμπιστοσύνης: 1,3(1-0,37) = 0,819 και 1,3(1+0,37) = 1,781. Άρα 0,819

Πραγματοποιούμε αυτήν την απόδειξη σε δύο στάδια. Ας υποθέσουμε πρώτα ότι υπάρχει, και να σημειώσουμε ότι σε αυτή την περίπτωση D(Sn) από το θεώρημα της διασποράς αθροίσματος. Σύμφωνα με την ανισότητα Chebyshev, για οποιοδήποτε t > 0

Για t > n, η αριστερή πλευρά είναι μικρότερη από και η τελευταία τιμή τείνει στο μηδέν. Αυτό ολοκληρώνει το πρώτο μέρος της απόδειξης.

Τώρα απορρίπτουμε την περιοριστική συνθήκη για την ύπαρξη της D(). Αυτή η περίπτωση μειώνεται στην προηγούμενη με περικοπή.

Ορίζουμε δύο νέα σύνολα τυχαίων μεταβλητών ανάλογα με τα εξής:

U k =, V k =0, εάν (2.2)

U k =0, V k = αν

Εδώ k=1,… , n και είναι σταθερό. Επειτα

για όλα τα κ.

Έστω (f(j)) η κατανομή πιθανότητας των τυχαίων μεταβλητών (η ίδια για όλες τις j). Υποθέσαμε ότι υπάρχει = M(), άρα το άθροισμα

πεπερασμένος. Μετά υπάρχει

όπου η άθροιση εκτελείται σε όλα εκείνα τα j για τα οποία. Σημειώστε ότι αν και εξαρτάται από το n, είναι το ίδιο για

U 1 , U 2, ..., U n . Επιπλέον, για και, επομένως, για αυθαίρετο > 0 και όλα αρκετά μεγάλα n

Τα U k είναι αμοιβαία ανεξάρτητα και με το άθροισμά τους U 1 +U 2 +…+U n μπορείτε να κάνετε ακριβώς το ίδιο με το X k στην περίπτωση της πεπερασμένης διακύμανσης, εφαρμόζοντας την ανισότητα Chebyshev, παίρνουμε παρόμοια με το (2.1)

Λόγω του (2.6), αυτό σημαίνει ότι

Εφόσον η σειρά (2.4) συγκλίνει, το τελευταίο άθροισμα τείνει στο μηδέν καθώς το n αυξάνεται. Έτσι, για αρκετά μεγάλο n

και ως εκ τούτου

P(V 1 +…+V n 0). (2.12)

Αλλά, και από τις (2.9) και (2.12) λαμβάνουμε

Αφού είναι αυθαίρετα δεξί μέροςμπορεί να γίνει αυθαίρετα μικρό, γεγονός που συμπληρώνει την απόδειξη.

Η θεωρία των «ακίνδυνων» παιχνιδιών

Σε περαιτέρω ανάλυση της ουσίας του νόμου των μεγάλων αριθμών, θα χρησιμοποιήσουμε την παραδοσιακή ορολογία των παικτών, αν και οι εκτιμήσεις μας επιτρέπουν εξίσουκαι πιο σοβαρές εφαρμογές, και οι δύο βασικές μας υποθέσεις είναι πιο πραγματικές στη στατιστική και τη φυσική παρά στην ΤΥΧΕΡΑ ΠΑΙΧΝΙΔΙΑ. Πρώτον, ας υποθέσουμε ότι ο παίκτης έχει απεριόριστο κεφάλαιο, οπότε καμία απώλεια δεν μπορεί να προκαλέσει το τέλος του παιχνιδιού. (Η εγκατάλειψη αυτής της υπόθεσης οδηγεί στο πρόβλημα της καταστροφής του παίκτη, το οποίο πάντα ιντριγκάρει τους μαθητές πιθανοτήτων.) Δεύτερον, υποθέστε ότι ο παίκτης δεν έχει το δικαίωμα να διακόψει το παιχνίδι με ευχαρίστηση: ο αριθμός n των δοκιμών πρέπει να καθοριστεί εκ των προτέρων και δεν πρέπει να εξαρτάται από τα παιχνίδια κίνησης. Διαφορετικά, ο παίκτης, ευχαριστημένος με απεριόριστο κεφάλαιο, θα περίμενε μια σειρά από επιτυχίες και θα σταματούσε το παιχνίδι την κατάλληλη στιγμή. Ένας τέτοιος παίκτης δεν ενδιαφέρεται για την πιθανή διακύμανση σε μια δεδομένη στιγμή, αλλά για τις μέγιστες διακυμάνσεις σε μια μεγάλη σειρά παιχνιδιών, τα οποία περιγράφονται περισσότερο από τον νόμο του επαναλαμβανόμενου λογάριθμου παρά από τον νόμο των μεγάλων αριθμών.

Εισάγουμε μια τυχαία μεταβλητή k ως (θετική ή αρνητική) αποπληρωμή για κ-η επανάληψηΠαιχνίδια. Τότε το άθροισμα S n = 1 +…+ k είναι η συνολική απόδοση για n επαναλήψεις του παιχνιδιού. Εάν πριν από κάθε επανάληψη ο παίκτης πληρώνει μια (όχι απαραίτητα θετική) αμοιβή για το δικαίωμα συμμετοχής στο παιχνίδι, τότε n είναι η συνολική αμοιβή που πληρώνει και S n είναι τα συνολικά καθαρά κέρδη. Ο νόμος των μεγάλων αριθμών ισχύει αν υπάρχει p=M(k). Σε γενικές γραμμές, για μεγάλα n είναι αρκετά εύλογο ότι η διαφορά S n -- θα φαίνεται μικρή σε σύγκριση με το n. Επομένως, εάν είναι μικρότερη από p, τότε για μεγάλα n ο παίκτης θα έχει πιθανώς μια τάξη μεγέθους απόδοση. Για τους ίδιους λόγους, μια συνεισφορά σχεδόν σίγουρα οδηγεί σε απώλεια. Με λίγα λόγια, η τύχη είναι καλή για τον παίκτη και η πιθανότητα είναι κακή.

Σημειώστε ότι δεν έχουμε πει τίποτα ακόμα για την υπόθεση. Σε αυτήν την περίπτωση, το μόνο πιθανό συμπέρασμα είναι ότι, για αρκετά μεγάλο, το συνολικό κέρδος ή απώλεια του S n -- n θα είναι πολύ πιθανό να είναι μικρό σε σύγκριση με το n. Αλλά δεν είναι γνωστό εάν το S n -- n είναι θετικό ή αρνητικό , δηλαδή αν το παιχνίδι θα είναι κερδοφόρο ή καταστροφικό. Αυτό δεν έχει ληφθεί υπόψη κλασική θεωρία, που ονόμασε την τιμή ακίνδυνη, και το παιχνίδι με το «ακίνδυνο». Πρέπει να καταλάβετε ότι ένα «ακίνδυνο» παιχνίδι μπορεί στην πραγματικότητα να είναι και σαφώς επικερδές και καταστροφικό.

Είναι σαφές ότι σε κανονική περίπτωση» υπάρχει όχι μόνο το M(k), αλλά και το D(k). Σε αυτή την περίπτωση, ο νόμος των μεγάλων αριθμών συμπληρώνεται από το θεώρημα κεντρικού ορίου, και το τελευταίο λέει, αρκετά εύλογα, ότι σε ένα «ακίνδυνο» παιχνίδι, η καθαρή ανταμοιβή ως αποτέλεσμα ενός μεγάλου παιχνιδιού S n -- n θα είναι της τάξης του n 1/2 και ότι για αρκετά μεγάλο n αυτή η αποπληρωμή θα είναι θετική ή αρνητική με περίπου ίσες πιθανότητες. Έτσι, εάν ισχύει το κεντρικό οριακό θεώρημα, τότε ο όρος «αβλαβές» παιχνίδι αποδεικνύεται δικαιολογημένος, αν και ακόμη και σε αυτήν την περίπτωση έχουμε να κάνουμε με ένα οριακό θεώρημα, το οποίο τονίζεται με τις λέξεις «ως αποτέλεσμα ενός μακροχρόνιου παιχνιδιού ." Η προσεκτική ανάλυση δείχνει ότι η σύγκλιση στο (1.3) επιδεινώνεται όσο αυξάνεται η διακύμανση. Εάν είναι μεγάλο, τότε η κανονική προσέγγιση θα είναι αποτελεσματική μόνο για εξαιρετικά μεγάλα n.

Για βεβαιότητα, ας φανταστούμε ένα μηχάνημα στο οποίο, χαμηλώνοντας ένα ρούβλι, ένας παίκτης μπορεί να κερδίσει (10 - 1) ρούβλια με πιθανότητα 10, και σε άλλες περιπτώσεις χάνει το χαμηλωμένο ρούβλι. Εδώ έχουμε δοκιμές Μπερνούλι και το παιχνίδι είναι «ακίνδυνο». Έχοντας κάνει ένα εκατομμύριο δοκιμές, ο παίκτης θα πληρώσει ένα εκατομμύριο ρούβλια για αυτό. Σε αυτό το διάστημα μπορεί να κερδίσει 0, 1,2,... φορές. Σύμφωνα με την προσέγγιση Poisson για διωνυμική κατανομή, μέχρι μερικά δεκαδικά ψηφία, η πιθανότητα να κερδίσετε ακριβώς k φορές είναι ίση με e -1 /k!. Έτσι, με πιθανότητα 0,368 . . . ο παίκτης θα χάσει ένα εκατομμύριο και με την ίδια πιθανότητα θα ανακτήσει μόνο τα έξοδά του. έχει πιθανότητα 0,184... να αποκτήσει ακριβώς ένα εκατομμύριο και ούτω καθεξής. Εδώ, 10 6 δοκιμές ισοδυναμούν με μία μόνο δοκιμή σε ένα παιχνίδι πληρωμής Poisson.

Προφανώς, είναι άσκοπο να εφαρμόζεται ο νόμος των μεγάλων αριθμών σε τέτοιες καταστάσεις. Αυτό το σχέδιο περιλαμβάνει ασφάλιση πυρκαγιάς, τροχαίων ατυχημάτων κ.λπ. Ένα μεγάλο ποσό κινδυνεύει, αλλά η αντίστοιχη πιθανότητα είναι πολύ μικρή. Ωστόσο, συνήθως υπάρχει μόνο μία δοκιμή ανά έτος, έτσι ώστε ο αριθμός n των δοκιμών να μην γίνεται ποτέ μεγάλος. Για τους ασφαλισμένους, το παιχνίδι δεν είναι απαραίτητα «ακίνδυνο», αν και μπορεί να είναι οικονομικά αρκετά επικερδές. Ο νόμος των μεγάλων αριθμών δεν έχει καμία σχέση με αυτόν. Όσον αφορά την ασφαλιστική εταιρεία, ασχολείται με μεγάλο αριθμό παιχνιδιών, αλλά λόγω της μεγάλης διακύμανσης εξακολουθούν να εμφανίζονται τυχαίες διακυμάνσεις. Τα ασφάλιστρα θα πρέπει να καθοριστούν για την αποφυγή μεγάλων ζημιών σε επιμέρους έτη, και ως εκ τούτου η εταιρεία ενδιαφέρεται μάλλον ένα έργογια την καταστροφή από τον νόμο των μεγάλων αριθμών.

Όταν η διακύμανση είναι άπειρη, ο όρος "ακίνδυνο" παιχνίδι γίνεται άνευ νοήματος. Δεν υπάρχει κανένας λόγος να πιστεύουμε ότι το συνολικό καθαρό κέρδος S n -- n κυμαίνεται γύρω από το μηδέν. Πραγματικά. Υπάρχουν παραδείγματα «ακίνδυνων» παιχνιδιών στα οποία η πιθανότητα ο παίκτης να υποστεί καθαρή απώλεια ως αποτέλεσμα τείνει στο ένα. Ο νόμος των μεγάλων αριθμών δηλώνει μόνο ότι αυτή η απώλεια θα είναι μικρότερης τάξης μεγέθους από το n. Ωστόσο, τίποτα περισσότερο δεν μπορεί να ειπωθεί. Εάν ένα n σχηματίζει μια αυθαίρετη ακολουθία και ένα n / n0, τότε μπορείτε να οργανώσετε ένα "ακίνδυνο" παιχνίδι στο οποίο η πιθανότητα η συνολική καθαρή απώλεια ως αποτέλεσμα n επαναλήψεων του παιχνιδιού να υπερβαίνει το ένα n τείνει στο ένα.