Definirali smo susjedstvo ove točke kao eksterijer kružnica sa središtem na ishodištu: U (∞, ε ) = {z ∈ | |z | > ε). Točka z = ∞ je izolirana singularna točka analitičke funkcije w = f (z ) ako u nekom susjedstvu ove točke nema drugih singularnih točaka ove funkcije. Da bismo odredili vrstu ove singularne točke, vršimo promjenu varijable , dok je točka z = ∞ ide do točke z 1 = 0, funkcija w = f (z ) poprima oblik . Tip singularne točke z = ∞ funkcije w = f (z ) nazvat ćemo tip singularne točke z 1 = 0 značajki w = φ (z jedan). Ako proširenje funkcije w = f (z ) po stupnjevima z u blizini točke z = ∞, tj. za dovoljno velike modulo vrijednosti z , ima oblik , zatim, zamjenjujući z na , dobivamo . Dakle, pri takvoj promjeni varijable zamjenjuju se glavni i regularni dijelovi Laurentovog niza, a tip singularne točke z = ∞ određen je brojem članova u ispravnom dijelu proširenja funkcije u Laurentov niz po potencijama z u blizini točke z = 0. Stoga
1. Točka z = ∞ je singularna točka koja se može ukloniti ako u ovoj ekspanziji nema regularnog dijela (s mogućim izuzetkom pojma A 0);
2. Točka z = ∞ - pol n -ti red, ako ispravan dio završava pojmom A n · z n ;
3. Točka z = ∞ je bitna singularna točka ako regularni dio sadrži beskonačno mnogo članova.

Pritom ostaju valjani predznaci tipova singularnih točaka po vrijednosti: ako z= ∞ je uklonjiva singularna točka, tada ova granica postoji i konačna je ako z= ∞ - pol, onda je ova granica beskonačna ako z= ∞ je suštinski singularna točka, tada ta granica ne postoji (ni konačna ni beskonačna).

Primjeri: 1. f (z ) = -5 + 3z 2 - z 6. Funkcija je već polinom u potencijama z , najviši stupanj je šesti, dakle z
Isti rezultat može se dobiti na drugačiji način. Zamijenimo z onda . Za funkciju φ (z 1) točka z 1 = 0 je pol šestog reda, dakle za f (z ) točka z = ∞ je pol šestog reda.
2. . Za ovu funkciju dobiti proširenje moći z teško, pa nalazimo: ; granica postoji i konačna je, dakle točka z
3. . Desni dio proširenja ovlasti z sadrži beskonačno mnogo pojmova, dakle z = ∞ je bitna singularna točka. Inače se ta činjenica može utvrditi na temelju činjenice da ona ne postoji.

Ostatak funkcije u beskonačno udaljenoj singularnoj točki.

Za krajnju singularnu točku a , gdje γ - kontura koja ne sadrži ništa osim a , singularne točke, prijeđene tako da područje omeđeno njime i koje sadrži singularnu točku ostaje lijevo (u smjeru suprotnom od kazaljke na satu).

Definirajmo ga na sličan način: , gdje je Γ − kontura koja graniči takvo susjedstvo U (∞, r ) bodova z = ∞, koji ne sadrži druge singularne točke, te se može prijeći tako da ovo susjedstvo ostaje lijevo (tj. u smjeru kazaljke na satu). Dakle, sve ostale (krajnje) singularne točke funkcije moraju biti unutar konture Γ − . Promijenimo smjer zaobilaženja konture Γ − : . Prema glavnom teoremu o ostatku , gdje je zbrajanje preko svih konačnih singularnih točaka. Stoga, konačno

,

oni. ostatak u beskonačno udaljenoj singularnoj točki jednak je zbroju ostataka nad svim konačnim singularnim točkama, uzetih s suprotnim predznakom.

Kao posljedica toga, postoji teorem o ukupnom ostatku: ako funkcija w = f (z ) je analitičan posvuda u ravnini S , osim za konačan broj singularnih točaka z 1 , z 2 , z 3 , …,zk , tada je zbroj ostataka u svim konačnim singularnim točkama i ostatka u beskonačnosti nula.

Imajte na umu da ako z = ∞ je singularna točka koja se može ukloniti, tada se ostatak na njoj može razlikovati od nule. Dakle, za funkciju , očito, ; z = 0 je jedina krajnja singularna točka ove funkcije, dakle , unatoč činjenici da , t.j. z = ∞ je uklonjiva singularna točka.

Definicija. Beskonačna točka u kompleksnoj ravnini naziva se izolirana singularna točka jednovrijedna analitička funkcija f(z), ako vani krug nekog polumjera R,

oni. za , ne postoji konačna singularna točka funkcije f(z).

Da bismo proučili funkciju na beskonačno udaljenoj točki, izvršimo promjenu
Funkcija

imat će singularnost u točki ζ = 0, a ova točka će biti izolirana, budući da

unutar kruga
nema drugih singularnih točaka po pretpostavci. Biti analitičan u ovome

krug (s izuzetkom ζ = 0), funkcija
može se proširiti u Laurentov niz ovlasti ζ . Klasifikacija opisana u prethodnom odlomku u potpunosti je sačuvana.

Međutim, ako se vratimo na izvornu varijablu z, zatim niz u pozitivnim i negativnim snagama z'zamijeniti' mjesta. Oni. klasifikacija točaka u beskonačnosti bi izgledala ovako:

Primjeri. 1.
. Točka z = i − stup 3. reda.

2.
. Točka z = ∞ je bitna singularna točka.

§osamnaest. Ostatak analitičke funkcije u izoliranoj singularnoj točki.

Pusti točku z 0 je izolirana singularna točka jednovrijedne analitičke funkcije

f(z) . Prema prethodnom, u susjedstvu ove točke f(z) može se jedinstveno predstaviti Laurentovim nizom:
gdje

Definicija.odbitak analitička funkcija f(z) u izoliranoj singularnoj točki z 0

naziva se kompleksnim brojem jednakim vrijednosti integrala
, uzet u pozitivnom smjeru duž bilo koje zatvorene konture koja leži u području analitičnosti funkcije i koja unutar sebe sadrži jedinu singularnu točku z 0 .

Ostatak je označen simbolom Res [f(z),z 0 ].

Lako je vidjeti da je ostatak u regularnoj ili uklonjivoj singularnoj točki jednak nuli.

Na polu ili bitnoj singularnoj točki, ostatak je jednak koeficijentu s-1 Laurentov red:

.

Primjer. Pronađite ostatak funkcije
.

(Neka to bude lako vidjeti

koeficijent s-1 će se dobiti množenjem pojmova sa n= 0:res[ f(z),i ] =
}

Često je moguće izračunati ostatke funkcija na jednostavniji način. Neka funkcija f(z) ima uklj. z 0 je pol prvog reda. U ovom slučaju, proširenje funkcije u Laurentov red ima oblik (§16):. Ovu jednakost množimo sa (z − z 0) i prelazimo na granicu na
. Kao rezultat, dobivamo: Res[ f(z),z 0 ] =
Da, u

u zadnjem primjeru imamo Res[ f(z),i ] =
.

Da biste izračunali ostatke na polovima višeg reda, pomnožite funkciju

na
(m− red pola) i diferencirajte rezultirajući niz ( m − 1 put.

U ovom slučaju imamo: Res[ f(z),z 0 ]

Primjer. Pronađite ostatak funkcije
u točki z= −1.

{Rez[ f(z), −1] }

Ako neki niz konvergira konačnom broju a , tada pišemo
.
Ranije smo uveli u razmatranje beskonačno velike sekvence. Prihvatili smo da su konvergentni i svoje granice označili simbolima i . Ovi simboli predstavljaju točke u beskonačnosti. Oni ne pripadaju skupu realnih brojeva. Ali koncept granice omogućuje uvođenje takvih točaka i pruža alat za proučavanje njihovih svojstava uz pomoć realnih brojeva.

Definicija
točka beskonačnosti, ili beskonačnost bez predznaka, je granica prema kojoj teži beskonačno veliki niz.
točka na beskonačnost plus beskonačnost, je granica prema kojoj teži beskonačno veliki niz s pozitivnim članovima.
točka u beskonačnosti minus beskonačnost, je granica prema kojoj teži beskonačno veliki niz s negativnim članovima.

Za svaki realni broj a vrijede sljedeće nejednakosti:
;
.

Koristeći realne brojeve, uveli smo koncept susjedstvo točke u beskonačnosti.
Okolina točke je skup .
Konačno, susjedstvo točke je skup .
Ovdje je M proizvoljan, proizvoljno velik realan broj.

Dakle, proširili smo skup realnih brojeva uvodeći u njega nove elemente. U tom smislu dolazi do sljedeće definicije:

Produženi brojevni pravac ili prošireni skup realnih brojeva naziva se skup realnih brojeva, dopunjenih elementima i:
.

Najprije zapisujemo svojstva koja točke i imaju. Zatim razmatramo pitanje rigorozne matematičke definicije operacija za ove točke i dokaz tih svojstava.

Svojstva točaka u beskonačnosti

Zbroj i razlika.
; ;
; ;

Posao i privatni.
; ; ;
;
;
; ; .

Veza s realnim brojevima.
Neka je a proizvoljan realan broj. Zatim
; ;
; ; ; .
Neka a > 0 . Zatim
; ; .
Neka a < 0 . Zatim
; .

Nedefinirane operacije.
; ; ; ;
; ; ;
; ;
.

Dokazi za svojstva beskonačnih točaka

Definicija matematičkih operacija

Već smo dali definicije za točke u beskonačnosti. Sada moramo definirati matematičke operacije za njih. Budući da smo te točke definirali u terminima nizova, operacije na tim točkama također se moraju definirati u terminima nizova.

Tako, zbroj dva boda
c = a + b
pripada proširenom skupu realnih brojeva,
,
nazvat ćemo limit
,
gdje su i proizvoljni nizovi koji imaju ograničenja
i .

Operacije oduzimanja, množenja i dijeljenja definirane su na sličan način. Samo, u slučaju dijeljenja, elementi u nazivniku razlomka ne smiju biti jednaki nuli.
Zatim razlika od dvije točke:
je granica: .
Točkasti proizvod:
je granica: .
Privatna:
je granica: .
Ovdje i su proizvoljni nizovi čije su granice a i b , respektivno. U potonjem slučaju,.

Imovinski dokazi

Da bismo dokazali svojstva beskonačnih točaka, trebamo koristiti svojstva beskonačno velikih nizova.

Razmotrite nekretninu:
.
Da bismo to dokazali, moramo to pokazati
,

Drugim riječima, trebamo dokazati da zbroj dva niza koji konvergiraju u plus beskonačnost konvergira u plus beskonačnost.

1 vrijede sljedeće nejednakosti:
;
.
Tada za i imamo:
.
Neka . Zatim
u ,
gdje .
Ovo znači to .

Ostala svojstva dokazuju se na sličan način. Kao primjer donosimo još jedan dokaz.

Dokažimo da:
.
Da bismo to učinili, moramo to pokazati
,
gdje i su proizvoljni nizovi, s granicama i .

Odnosno, moramo dokazati da je proizvod dvaju beskonačno velikih nizova beskonačno velik niz.

Dokažimo to. Budući da i , Tada postoje neke funkcije i , Tako da je za bilo koji pozitivan broj M 1 vrijede sljedeće nejednakosti:
;
.
Tada za i imamo:
.
Neka . Zatim
u ,
gdje .
Ovo znači to .

Nedefinirane operacije

Neke od matematičkih operacija s točkama u beskonačnosti nisu definirane. Da bismo pokazali njihovu neodređenost, trebamo navesti nekoliko posebnih slučajeva kada rezultat operacije ovisi o izboru sekvenci uključenih u njih.

Razmotrite ovu operaciju:
.
Lako je pokazati da ako i , Tada granica zbroja sekvenci ovisi o izboru nizova i .

Doista, uzmimo . Granice ovih nizova su jednake. Ograničenje količine

jednaka je beskonačnosti.

Sada uzmimo. Granice ovih nizova su također jednake. Ali granica njihova zbroja

jednaka nuli.

To jest, pod uvjetom da i , Vrijednost ograničenja zbroja može poprimiti različite vrijednosti. Stoga operacija nije definirana.

Na sličan način može se prikazati nesigurnost preostalih operacija prikazanih gore.

točka beskonačnosti.

Neka je funkcija analitička u nekom susjedstvu beskonačno udaljene točke (osim same točke). Kažu da jestuklonjiva singularna točka, pol ili bitna singularna točkafunkcionira ovisno okonačan, beskonačan ili nepostojeći .

Neka i tada biti analitičan u nekom susjedstvu točke.Potonja će biti singularna točka istog tipa kao za for. Laurentova ekspanzija u susjedstvu može se dobiti jednostavnom promjenom Laurentove ekspanzije u susjedstvu. Ali s takvom zamjenom, ispravan dio zamjenjuje se glavnim, i obrnuto. Dakle, pošteno

Teorem 1. U slučaju uklonjive singularnosti u točki u beskonačnosti, Laurentova ekspanzija funkcije u susjedstvu ove točke uopće ne sadrži pozitivne potencije, u slučaju polasadrži konačan broj njih, a u slučajubitno obilježje – beskonačno.

Ako ima u točki uklonjiv značajka, obično se kaže da toanalitički u beskonačnosti, i prihvatiti. U ovom slučaju, funkcija je očito ograničena iu nekom susjedstvu točke.

Neka je funkcija analitička u punom prostoru. Iz analitičnosti funkcije u točki u beskonačnosti slijedi da je ona ograničena u susjedstvu ove točke; neka na. S druge strane, analitičnost u zatvorenom krugu implicira njezinu ograničenost u tom krugu; pusti unutra. Ali tada je funkcija ograničena u cijeloj ravnini: za sve što imamo. Dakle, Liouvilleov teoremmože se dati sljedeći oblik.

Teorem 2. Ako je funkcija analitička u punoj ravnini, tada je konstantna.

Hajde da sada predstavimo konceptostatak u beskonačnosti. Neka je funkcija analitička u nekom susjedstvu točke (osim, možda, same ove točke); pod, ispoddedukcija funkcije u beskonačnosti razumjeti

gdje je dovoljno velika kružnica prijeđena u smjeru kazaljke na satu (tako da kružnica točke ostane na lijevoj strani).

Iz ove definicije izravno slijedi da je ostatak funkcije u beskonačnosti jednak koeficijentu od at u njenom Laurentovom proširenju u susjedstvu točke, uzete s suprotnim predznakom:

Teorem 3. Ako funkcija ima konačan broj singularnih točaka u punoj ravnini, tada je zbroj svih njezinih ostataka, uključujući beskonačni ostatak, jednak nuli.

Dokaz. Doista, neka a 1 ,…a n su krajnje singularne točke funkcije i kružnica koja ih sve sadrži. Prema svojstvu integrala, teoremu o ostatku i definiciji ostatka u beskonačno udaljenoj točki, imamo:

Ch.t.d.

Primjena teorije ostataka na izračun integrala.

Neka je potrebno izračunati integral realne funkcije nad nekim (konačnim ili beskonačnim) segmentom ( a, b) x-os. Komplement (a, b ) neka krivulja koja se graniči zajedno s ( a , b ) domeni, te analitički nastaviti.

Teorem o ostatku primjenjujemo na konstruirani analitički nastavak:

(1)

Ako se integral preko može izračunati ili izraziti u terminima željenog integrala, tada je računski problem riješen.

U slučaju beskonačnih segmenata ( a , b ) obično razmatraju obitelji beskonačno širećih integracijskih kontura, koje su konstruirane na način da se kao rezultat prelaska na granicu dobije integral preko ( a , b ). U tom slučaju se integral preko na relaciji (1) ne može izračunati, već se može naći samo njegova granica, koja se često pokaže jednaka nuli.

Sljedeće je vrlo korisno.

Lemma (Jordan). Ako na nekom nizu lukova kružnica, (, a fiksno) funkcija jednoliko teži nuli u odnosu na

. (2)

Dokaz. Označiti

Prema uvjetima leme, as također teži nuli, i Neka a>0; na lukovima AB i CD imamo.

Dakle, integral nad lukovima AB, CD teži nuli na.

Budući da je nejednakost vrijedi za , Tada na luku BITI

Stoga, i time također teži nuli na. Ako na luku CE Ako se polarni kut broji u smjeru kazaljke na satu, tada će se dobiti ista procjena za. U slučaju kada je dokaz pojednostavljen, budući da bit će suvišno procjenjivati ​​integral nad lukovima AB i CD. Lema je dokazana.

Napomena 1. Niz lukova kružnica u lemi može se zamijeniti arc obitelj

onda, ako funkcija at teži nuli jednoliko u odnosu na tada za

. (3)

Dokaz ostaje valjan.

Napomena 2. Promijenimo varijablu: iz=str , tada se lukovi kružnica leme zamjenjuju lukovima, a to dobivamo za bilo koju funkciju F(str ) koji jednakomjerno teži nuli u odnosu na i za bilo koju pozitivu t

. (4)

Zamjena p u (4) sa (-p ) to dobivamo pod istim uvjetima za

, (5)

gdje je luk kružnice (vidi sl.).

Razmotrimo primjere izračunavanja integrala.

Primjer 1. .

Odaberimo pomoćnu funkciju. Jer funkcija na zadovoljava nejednakost, tada jednoliko teži nuli kao, a prema Jordanovoj lemi, kao

Jer imamo po teoremu ostatka

U granici na , dobivamo:

Odvajajući realne dijelove i koristeći parnost funkcije, nalazimo

Primjer 2. Za izračunavanje integrala

Uzmimo pomoćnu funkciju. Integracijska kontura zaobilazi singularnu točku z =0. Po Cauchyjevom teoremu

Iz Jordanove leme može se vidjeti da Za procjenu, razmotrite Laurentovu ekspanziju u susjedstvu točke z=0

gdje je regularna u točki z =0 funkcija. Odavde je jasno da

Dakle, Cauchyjev teorem se može prepisati kao

Zamjena u prvom integralu x na – x , dobivamo da je jednako, pa imamo

U limitu na i konačno:

. (7)

Primjer 3. Izračunajte integral

Uvodimo pomoćnu funkciju i biramo integracijsku konturu kao u prethodnom primjeru. Unutar ove konture logaritam dopušta odabir grane s jednom vrijednošću. Označimo granu koja je određena nejednakošću. Funkcija ima u točki z=i pol drugog reda s ostatkom

Prema teoremu o redukciji.

At, počevši od neke dovoljno velike R , stoga, .

Slično, za početak od neke dovoljno male r, dakle

U prvom integralu nakon zamjene z=-x dobivamo:

i, dakle, u granici na imamo:

Usporedba stvarnog i imaginarnog dijela daje:

, .

Primjer 4. Za integral

odaberite pomoćnu funkciju i konturu prikazanu na slici. Unutar kontura je nedvosmislena, ako to pretpostavimo.

Na gornjoj i donjoj obali reza, koje su uključene u ovu konturu, uzima vrijednosti, odnosno, integrale međusobnog poništavanja, što omogućuje izračunavanje željenog integrala. Unutar konture nalaze se dva pola prvog reda funkcije s ostacima jednakim:

gdje. Primjenom teorema o ostatku dobivamo:

Prema gore navedenom imamo:

Kao iu prethodnom primjeru, dokazat ćemo da ćemo, a zatim u granici, na imati:

Odavde, uspoređujući imaginarne dijelove, dobivamo:

Primjer 5. Izračunajte glavnu vrijednost posebnog integrala

Odaberimo pomoćnu funkciju i sklop prikazan na slici. Unutar konture, funkcija je redovita. Na donjoj obali presjeka uz pozitivnu poluos. Dakle, prema Cauchyjevom teoremu:

(8).

Očito je da sa i sa. Uz, imamo odnosno i gdje varira od 0 do, odnosno od do. Stoga,

Prolazeći u (8) do granice na , tako dobivamo

odakle je željeni integral jednak

Primjer 6. Izračunajte integral

Razmotrimo funkciju. Napravimo rez*) .

Neka. Kada obilazite zatvorenu stazu u smjeru suprotnom od kazaljke na satu (vidi sliku, isprekidanu liniju) i dobijete prirast,

dakle, arg f (z )=( 1 +2  2 )/3 se također povećava. Tako se u eksterijeru reza funkcija dijeli na 3 pravilne grane, koje se međusobno razlikuju po izboru početnog elementa funkcije, t.j. vrijednost u nekom trenutku.

Razmotrit ćemo tu granu funkcije koja na gornjoj obali reza (-1,1) poprima pozitivne vrijednosti i uzeti konturu,

___________________

*) Zapravo su napravljena dva reza: i, međutim, na osi x desno od točke x =1 funkcija je kontinuirana: iznad reza, ispod reza.

prikazano na slici. Na banki I imamo, t.j. , na obali II (nakon obilaska točke z =1 u smjeru kazaljke na satu) (tj.), tj. , dok integrali nad kružnicama i očito teže nuli**) na. Stoga, po Cauchyjevom teoremu za višestruko povezane domene

Za izračun koristimo proširenje grane 1/ u blizini beskonačne točke. Izvadimo korijen ispod predznaka, a zatim dobijemo gdje su i grane ovih funkcija, pozitivne na segmentu (1,) realne osi.

na segmentu realne osi. Proširivanje potonjeg prema binomskoj formuli:

nalazimo ostatak odabrane grane 1/ u beskonačno udaljenoj točki: (koeficijent na 1/ z sa suprotnim predznakom). Ali integral je jednak ovom ostatku pomnoženom s, t.j. konačno imamo gdje

Primjer 7. Razmotrimo integral.

__________________

**) Razmotrimo, na primjer, integral preko. Imamo, t.j.

Pretpostavimo onda, dakle,

Unutar kruga, integrand ima jedan pol II narudžba minus

Prema teoremu o ostatku, imamo

Primjer 8. Slično izračunavamo integral

Nakon zamjene imamo:

Jedan od polova integranda leži unutar jedinične kružnice, a drugi - izvan nje, jer su po svojstvu korijena kvadratne jednadžbe i na temelju uvjeta ti korijeni stvarni i različiti. Dakle, prema teoremu o ostatku

(9)

gdje je pol unutar kruga. Jer desna strana (9) je realna, tada daje traženi integral

Definicija
Susjedstvo realne točke x 0 Svaki otvoreni interval koji sadrži ovu točku naziva se:
.
Ovdje ε 1 i ε 2 su proizvoljni pozitivni brojevi.

Epsilon - susjedstvo točke x 0 naziva se skup točaka, udaljenost od koje do točke x 0 manje od ε:
.

Probušeno susjedstvo točke x 0 naziva se susjedstvo ove točke, iz koje je sama točka x isključena 0 :
.

Krajnje točke susjedstva

Na samom početku data je definicija susjedstva točke. Označen je kao . Ali možete eksplicitno odrediti da susjedstvo ovisi o dva broja koristeći odgovarajuće argumente:
(1) .
To jest, susjedstvo je skup točaka koje pripadaju otvorenom intervalu.

Izjednačavanje ε 1 do ε 2 , dobivamo epsilon - susjedstvo:
(2) .
Epsilon - susjedstvo - je skup točaka koje pripadaju otvorenom intervalu s jednako udaljenim krajevima.
Naravno, slovo epsilon možemo zamijeniti bilo kojim drugim i možemo smatrati δ - susjedstvo, σ - susjedstvo, i tako dalje.

U teoriji granica može se koristiti definicija susjedstva koja se temelji i na skupu (1) i na skupu (2). Korištenje bilo kojeg od ovih susjedstava daje ekvivalentne rezultate (vidi ). Ali definicija (2) je jednostavnija, stoga se često koristi epsilon - susjedstvo točke određene iz (2).

Koncepti lijevog, desnorukog i probušenog susjedstva krajnjih točaka također se široko koriste. Predstavljamo njihove definicije.

Lijevo susjedstvo realne točke x 0 je poluotvoreni interval koji se nalazi na realnoj osi lijevo od x 0 , uključujući samu točku:
;
.

Desno susjedstvo realne točke x 0 je poluotvoreni interval koji se nalazi desno od x 0 , uključujući samu točku:
;
.

Probušene krajnje točke susjedstva

Probušene četvrti točke x 0 su ista susjedstva, iz kojih je sama točka isključena. Identificirani su krugom iznad slova. Predstavljamo njihove definicije.

Probušeno susjedstvo točke x 0 :
.

Probušeni epsilon - susjedstvo točke x 0 :
;
.

Probušena lijeva četvrt:
;
.

Probušena desna četvrt:
;
.

Susjedstva točaka u beskonačnosti

Uz krajnje točke uvode se i susjedstva beskonačnih točaka. Svi su probušeni jer ne postoji pravi broj u beskonačnosti (beskonačno je definirano kao granica beskonačno velikog niza).

.
;
;
.

Bilo je moguće odrediti susjedstva beskonačno udaljenih točaka i tako:
.
Ali umjesto M, koristimo , tako da je susjedstvo s manjim ε podskup susjedstva s većim ε , baš kao i za susjedstva krajnjih točaka.

kvartovsko vlasništvo

Zatim koristimo očito svojstvo susjedstva točke (konačne ili beskonačne). Leži u činjenici da su susjedstva točaka s manjim vrijednostima ε podskupovi četvrti s većim vrijednostima ε. Predstavljamo rigoroznije formulacije.

Neka postoji konačna ili beskonačno udaljena točka. Pusti to .
Zatim
;
;
;
;
;
;
;
.

Točne su i suprotne tvrdnje.

Ekvivalencija definicija granice funkcije prema Cauchyju

Sada ćemo pokazati da se u definiciji granice funkcije prema Cauchyju može koristiti i proizvoljno susjedstvo i susjedstvo s jednako udaljenim krajevima.

Teorema
Cauchyjeve definicije granice funkcije koje koriste proizvoljna susjedstva i susjedstva s jednako udaljenim krajevima su ekvivalentne.

Dokaz

Formulirajmo prva definicija granice funkcije.
Broj a je granica funkcije u točki (konačno ili u beskonačnosti) ako za bilo koje pozitivne brojeve postoje brojevi koji ovise o i , Takvi da za sve , pripada odgovarajućem susjedstvu točke a :
.

Formulirajmo druga definicija granice funkcije.
Broj a je granica funkcije u točki , ako za bilo koji pozitivan broj postoji broj ovisno o , tako da za sve :
.

Dokaz 1 ⇒ 2

Dokažimo da ako je broj a granica funkcije prema 1. definiciji, onda je također i granica prema 2. definiciji.

Neka vrijedi prva definicija. To znači da postoje takve funkcije i , Tako da za sve pozitivne brojeve vrijedi sljedeće:
gdje .

Budući da su brojevi i proizvoljni, izjednačavamo ih:
.
Zatim postoje funkcije i , tako da za bilo koje vrijedi sljedeće:
gdje .

Primijeti da .
Dopustiti biti najmanji pozitivan broj i . Zatim, kao što je gore navedeno,
.
Ako tada .

To jest, pronašli smo takvu funkciju, tako da za bilo koju vrijednost vrijedi sljedeće:
gdje .
To znači da je broj a granica funkcije i prema drugoj definiciji.

Dokaz 2 ⇒ 1

Dokažimo da ako je broj a granica funkcije prema 2. definiciji, onda je također i granica prema 1. definiciji.

Neka vrijedi druga definicija. Uzmi dva pozitivna broja i . I neka bude najmanji od njih. Zatim, prema drugoj definiciji, postoji takva funkcija , tako da za bilo koji pozitivan broj i za sve , slijedi da
.

Ali prema . Stoga, iz onoga što slijedi,
.

Zatim za bilo koje pozitivne brojeve i , našli smo dva broja , tako da za sve :
.

To znači da je broj a također granica prema prvoj definiciji.

Teorem je dokazan.

Reference:
L.D. Kudryavtsev. Tečaj matematičke analize. Svezak 1. Moskva, 2003.