Da biste pronašli površinu romba. Kako pronaći područje romba

Unatoč tome što je matematika kraljica znanosti, a aritmetika kraljica matematike, učenicima je geometrija najteža za naučiti. Planimetrija je grana geometrije koja proučava ravninske figure. Jedna od tih figura je romb. Većina problema u rješavanju četverokuta svodi se na pronalaženje njihovih površina. Sistematiziramo poznate formule i razne metode za izračunavanje površine romba.

Romb je paralelogram čije su sve četiri strane jednake. Podsjetimo se da paralelogram ima četiri kuta i četiri u paru paralelne jednake stranice. Kao i svaki četverokut, romb ima niz svojstava koja se svode na sljedeće: kada križaju dijagonale, one tvore kut jednak 90 stupnjeva (AC ⊥ BD), sjecište ih dijeli na dva jednaka segmenta. Dijagonale romba su ujedno i simetrale njegovih kutova (∠DCA = ∠BCA, ∠ABD = ∠CBD itd.). Slijedi da oni dijele romb na četiri jednaka pravokutna trokuta. Zbroj duljina dijagonala podignutih na drugu potenciju jednak je duljini stranice na drugu potenciju pomnoženoj s 4, tj. BD 2 + AC 2 = 4AB 2 . Postoje mnoge metode koje se koriste u planimetriji za izračunavanje površine romba, čija primjena ovisi o izvornim podacima. Ako znate duljinu stranice i bilo kojeg kuta, možete upotrijebiti sljedeću formulu: površina romba jednaka je kvadratu stranice pomnoženom sa sinusom kuta. Iz tečaja trigonometrije poznato je sin (π - α) = sin α, što znači da se sinus bilo kojeg kuta, i oštrog i tupog, može koristiti u izračunima. Poseban slučaj je romb, u kojem su svi kutovi pravi. Ovo je kvadrat. Poznato je da je sinus pravog kuta jednak jedan, pa je površina kvadrata jednaka duljini njegove strane podignute na drugu potenciju.

Ako su duljine stranica nepoznate, koristimo duljine dijagonala. U ovom slučaju, površina romba je polovica proizvoda velike i manje dijagonale.

Uz poznatu duljinu dijagonala i vrijednost bilo kojeg kuta, površina romba određuje se na dva načina. Prvo: površina je polovica kvadrata veće dijagonale, pomnožena s tangensom polovice stupnjeve mjere šiljatog kuta, tj. S = 1/2*D 2 *tg(α/2), gdje je D velika dijagonala, α šiljasti kut. Ako znate veličinu manje dijagonale, upotrijebite formulu 1/2*d 2 *tg(β/2), gdje je d manja dijagonala, a β tupi kut. Podsjetimo se da je mjera oštrog kuta manja od 90 stupnjeva (mjera pravog kuta), a tupi kut veći od 90 0 .

Površina romba može se pronaći pomoću duljine stranice (podsjetimo se, sve stranice romba su jednake) i visine. Visina je okomica spuštena na suprotnu stranu kuta ili na njegov nastavak. Da bi se baza visine nalazila unutar romba, treba je spustiti iz tupog kuta.

Ponekad je u problemu potrebno pronaći površinu romba, na temelju podataka koji se odnose na upisani krug. U ovom slučaju morate znati njegov radijus. Postoje dvije formule koje se mogu koristiti za izračun. Dakle, da bismo odgovorili na postavljeno pitanje, možemo udvostručiti umnožak stranice romba i polumjera upisane kružnice. Drugim riječima, trebate pomnožiti promjer upisane kružnice sa stranicom romba. Ako je vrijednost kuta predstavljena u uvjetu problema, tada je površina kroz kvocijent između kvadrata polumjera, pomnoženog s četiri, i sinusa kuta.

Kao što vidite, postoji mnogo načina da se pronađe područje romba. Naravno, da biste zapamtili svaki od njih, trebat će vam strpljenje, pozornost i, naravno, vrijeme. Ali kasnije možete jednostavno odabrati metodu koja odgovara vašem zadatku i uvjeriti se da je geometrija jednostavna.

je paralelogram sa svim stranicama jednakim.

Romb s pravim kutovima naziva se kvadrat i smatra se posebnim slučajem romba. Područje romba možete pronaći na različite načine, koristeći sve njegove elemente - strane, dijagonale, visinu. Klasična formula za područje romba je izračun vrijednosti kroz visinu.

Primjer izračuna površine romba pomoću ove formule vrlo je jednostavan. Samo trebate unijeti podatke i izračunati površinu.

Površina romba u smislu dijagonala

Dijagonale romba sijeku se pod pravim kutom i u sjecištu se raspolavljaju.

Formula za površinu romba u smislu dijagonala je proizvod njegovih dijagonala podijeljen s 2.

Razmotrite primjer izračuna površine romba kroz dijagonale. Neka je dan romb s dijagonalama
d1 =5 cm i d2 =4. Pronađimo područje.

Formula za područje romba kroz strane također podrazumijeva upotrebu drugih elemenata. Ako je krug upisan u romb, tada se površina figure može izračunati iz stranica i polumjera:

Primjer izračuna površine romba kroz stranice također je prilično jednostavan. Potrebno je samo izračunati polumjer upisane kružnice. Može se izvesti iz Pitagorinog teorema i formule.

Površine romba preko stranice i kuta

Formula za područje romba kroz stranu i kut koristi se vrlo često.

Razmotrite primjer izračuna površine romba kroz stranu i kut.

Zadatak: Zadan je romb čije su dijagonale d1 =4 cm,d2 =6 cm Oštri kut je α = 30°. Pronađite površinu figure s obzirom na stranu i kut.
Prvo, pronađimo stranu romba. Za to koristimo Pitagorin teorem. Znamo da se u točki presjecišta dijagonale raspolavljaju i tvore pravi kut. Posljedično:
Zamijenite vrijednosti:
Sada znamo stranu i kut. Pronađimo područje:

Romb je posebna figura u geometriji. Zbog svojih posebnih svojstava, ne postoji jedna, već nekoliko formula za izračunavanje površine romba. Koja su to svojstva i koje su najčešće formule za pronalaženje područja ove figure? Hajdemo shvatiti.

Koji se geometrijski lik naziva romb

Prije nego što saznate koja je površina romba, vrijedi znati kakva je to figura.

Još od vremena euklidske geometrije, romb se naziva simetrični četverokut, čije su sve četiri stranice jednake duljine i paralelne u parovima.

Podrijetlo pojma

Naziv ove figure došao je u većinu modernih jezika iz grčkog, posredstvom latinskog. "Pratka" riječi "romb" bila je grčka imenica ῥόμβος (tamburina). Iako su stanovnici dvadesetog stoljeća, naviknuti na okrugle tambure, teško ih je zamisliti u drugačijem obliku, ali među Helenima ti su se glazbeni instrumenti tradicionalno izrađivali ne u okruglom, već u obliku dijamanta.

U većini suvremenih jezika koristi se ovaj matematički izraz, kao u latinskom: rombus. Međutim, na engleskom se dijamanti ponekad nazivaju dijamant (dijamant ili dijamant). Ova figura dobila je takav nadimak zbog svog posebnog oblika, koji podsjeća na dragi kamen. U pravilu se sličan izraz ne koristi za sve rombove, već samo za one u kojima je kut sjecišta njegovih dviju strana šezdeset ili četrdeset pet stupnjeva.

Po prvi put se ova brojka spominje u spisima grčkog matematičara koji je živio u prvom stoljeću nove ere - Heron iz Aleksandrije.

Koja su svojstva ovog geometrijskog lika

Da biste pronašli područje romba, prvo morate znati koje značajke ima određena geometrijska figura.

Pod kojim uvjetima je paralelogram romb?

Kao što znate, svaki romb je paralelogram, ali nije svaki paralelogram romb. Kako bismo točno ustvrdili da je prikazana figura doista romb, a ne jednostavan paralelogram, mora odgovarati jednoj od tri glavne značajke koje razlikuju romb. Ili sva tri odjednom.

1. Dijagonale paralelograma sijeku se pod kutom od devedeset stupnjeva.
2. Dijagonale dijele uglove na dva dijela, djelujući kao njihove simetrale.
3. Ne samo paralelne, već i susjedne stranice imaju istu duljinu. Ovo je, usput, jedna od glavnih razlika između romba i paralelograma, budući da druga figura ima samo paralelne strane koje su iste duljine, ali ne i susjedne.

Pod kojim uvjetima je romb kvadrat?

Prema svojim svojstvima, u nekim slučajevima, romb može istovremeno postati kvadrat. Da biste vizualno potvrdili ovu izjavu, dovoljno je samo rotirati kvadrat u bilo kojem smjeru za četrdeset pet stupnjeva. Dobivena figura bit će romb, čiji je svaki kut jednak devedeset stupnjeva.

Također, kako biste potvrdili da je kvadrat romb, možete usporediti znakove ovih figura: u oba slučaja sve su strane jednake, a dijagonale su simetrale i sijeku se pod kutom od devedeset stupnjeva.

Kako pronaći površinu romba koristeći njegove dijagonale

U suvremenom svijetu na Internetu možete pronaći gotovo sve materijale za izvođenje potrebnih izračuna. Dakle, postoji mnogo resursa opremljenih programima za automatsko izračunavanje površine određene figure. Štoviše, ako (kao u slučaju romba) postoji nekoliko formula za to, tada je moguće odabrati koja će biti najprikladnija za korištenje. Međutim, prije svega, morate sami moći izračunati površinu romba bez pomoći računala i kretati se formulama. Za romb ih ima mnogo, ali najpoznatija su četiri.

Jedan od najlakših i najčešćih načina da saznate područje ove figure je ako imate informacije o duljini njezinih dijagonala. Ako problem sadrži ove podatke, u ovom slučaju možete primijeniti sljedeću formulu za pronalaženje površine: S = KM x LN / 2 (KM i LN su dijagonale KLMN romba).

Valjanost ove formule možete provjeriti u praksi. Recimo da KLMN romb ima duljinu jedne od svojih dijagonala KM - 10 cm, a drugi LN - 8 cm Zatim zamijenimo ove podatke u gornjoj formuli i dobivamo sljedeći rezultat: S \u003d 10 x 8 / 2 \u003d 40 cm 2.

Formula za izračunavanje površine paralelograma

Postoji još jedna formula. Kao što je gore spomenuto u definiciji romba, to nije samo četverokut, već i paralelogram, i ima sve značajke ove figure. U ovom slučaju, da biste pronašli njegovu površinu, prilično je preporučljivo koristiti formulu koja se koristi za paralelogram: S \u003d KL x Z. U ovom slučaju, KL je duljina stranice paralelograma (romba), a Z je duljina visine povučene na ovu stranu.

U nekim zadacima nije zadana duljina stranice, ali je poznat opseg romba. Budući da je formula za pronalaženje navedena gore, može se koristiti i za određivanje duljine stranice. Dakle, opseg figure je 10 cm Duljina stranice može se pronaći preokretanjem formule perimetra i dijeljenjem 10 sa 4. Rezultat će biti 2,5 cm - to je željena duljina stranice romba.

Sada vrijedi pokušati zamijeniti ovaj broj u formulu, znajući da je duljina visine povučene na stranu također 2,5 cm. Sada pokušajmo staviti ove vrijednosti u gornju formulu za područje \u200b\ u200b paralelogram. Ispada da je površina romba S = 2,5 x 2,5 = 6,25 cm 2.

Drugi načini za izračunavanje površine romba

Oni koji su već savladali sinuse i kosinuse mogu koristiti formule koje ih sadrže kako bi pronašli područje romba. Klasičan primjer je sljedeća formula: S = KM 2 x Sin KLM. U ovom slučaju, površina figure jednaka je proizvodu dviju strana romba, pomnoženom sa sinusom kuta između njih. A budući da su u rombu sve strane iste, lakše je jednu stranu odmah pretvoriti u kvadrat, kao što je prikazano u formuli.

Ovu shemu provjeravamo u praksi, a ne samo prema rombu, već i prema kvadratu, u kojem su, kao što znate, svi kutovi pravi, što znači da su jednaki devedeset stupnjeva. Pretpostavimo da je jedna od strana 15 cm. Također je poznato da je sinus kuta od 90 ° jednak jedan. Zatim, prema formuli, S \u003d 15 x 15 x Sin 90 ° \u003d 255x1 \u003d 255 cm 2.

Osim gore navedenog, u nekim se slučajevima koristi druga formula, koristeći sinus za određivanje površine romba: S \u003d 4 x R 2 / Sin KLM. U ovoj verziji koristi se polumjer kruga upisanog u romb. Podigne se na potenciju kvadrata i pomnoži s četiri. I cijeli rezultat je podijeljen sa sinusom kuta uz upisanu figuru.

Kao primjer, radi jednostavnosti izračuna, uzmimo opet kvadrat (sinus njegovog kuta uvijek će biti jednak jedan). Polumjer kruga upisanog u njega je 4,4 cm. Tada će se površina romba izračunati na sljedeći način: S \u003d 4 x 4,4 2 / Sin 90 ° \u003d 77,44 cm 2

Gornje formule za pronalaženje polumjera romba daleko su od jedine takve vrste, ali ih je najlakše razumjeti i izvesti izračune.

Geometrijsko područje- numerička karakteristika geometrijske figure koja pokazuje veličinu ove figure (dio površine omeđen zatvorenom konturom ove figure). Veličina površine izražena je brojem kvadratnih jedinica sadržanih u njoj.

Formule površine trokuta

1. Formula površine trokuta za stranicu i visinu
   Površina trokuta jednak polovici umnoška duljine stranice trokuta i duljine visine povučene na tu stranicu
   
2. Formula za površinu trokuta s tri strane i polumjerom opisane kružnice
   
3. Formula za površinu trokuta s tri strane i polumjerom upisane kružnice
   Površina trokuta jednak je umnošku polumjera trokuta i polumjera upisane kružnice.
   
gdje je S površina trokuta,
- duljine stranica trokuta,
- visina trokuta,
- kut između stranica i,
- radijus upisane kružnice,
R - polumjer opisane kružnice,

Formule kvadratne površine

1. Formula za površinu kvadrata s obzirom na duljinu stranice
   kvadratna površina jednak je kvadratu duljine njegove stranice.
2. Formula za površinu kvadrata s obzirom na duljinu dijagonale
   kvadratna površina jednaka polovici kvadrata duljine njegove dijagonale.
   

   S=	1	2
   	2

gdje je S površina kvadrata,
je duljina stranice kvadrata,
je duljina dijagonale kvadrata.

Formula površine pravokutnika

Područje pravokutnika jednak je umnošku duljina njegovih dviju susjednih stranica

gdje je S površina pravokutnika,
su duljine stranica pravokutnika.

Formule za površinu paralelograma

1. Formula za površinu paralelograma za duljinu i visinu stranice
   Površina paralelograma
2. Formula za površinu paralelograma s dvije strane i kutom između njih
   Površina paralelograma jednak je umnošku duljina njegovih stranica pomnoženih sa sinusom kuta između njih.
   

   a b sinα

gdje je S površina paralelograma,
su duljine stranica paralelograma,
je visina paralelograma,
je kut između stranica paralelograma.

Formule za površinu romba

1. Formula površine romba zadane duljine i visine stranice
   Područje romba jednaka je umnošku duljine njegove stranice i duljine visine spuštene na tu stranu.
2. Formula za površinu romba s obzirom na duljinu stranice i kut
   Područje romba jednak je umnošku kvadrata duljine njegove stranice i sinusa kuta između stranica romba.
3. Formula za površinu romba iz duljina njegovih dijagonala
   Područje romba jednak je polovici umnoška duljina njegovih dijagonala.
gdje je S površina romba,
- duljina stranice romba,
- duljina visine romba,
- kut između stranica romba,
1, 2 - duljine dijagonala.

Formule površine trapeza

1. Heronova formula za trapez

   Gdje je S površina trapeza,
   - duljina osnovica trapeza,
   - duljina stranica trapeza,
   

Romb (od starogrčkog ῥόμβος i od latinskog rombus "tamburin") je paralelogram koji karakterizira prisutnost stranica iste duljine. U slučaju kada su kutovi 90 stupnjeva (ili pravi kut), takva se geometrijska figura naziva kvadratom. Romb je geometrijska figura, vrsta četverokuta. Može biti i kvadrat i paralelogram.

Podrijetlo pojma

Razgovarajmo malo o povijesti ove figure, koja će vam pomoći da malo otkrijete tajanstvene tajne drevnog svijeta. Nama poznata riječ, koja se često nalazi u školskoj literaturi, “romb”, potječe od starogrčke riječi “tamburin”. U staroj Grčkoj ti su se glazbeni instrumenti izrađivali u obliku romba ili kvadrata (za razliku od modernih instrumenata). Sigurno ste primijetili da kartaško odijelo - tambura - ima rombični oblik. Formiranje ovog odijela datira iz vremena kada se okrugli dijamanti nisu koristili u svakodnevnom životu. Stoga je romb najstarija povijesna figura koju je čovječanstvo izmislilo davno prije pojave kotača.

Po prvi put takvu riječ kao "romb" koristile su tako poznate ličnosti kao što su Heron i aleksandrijski papa.

Svojstva romba

1. Budući da su stranice romba jedna nasuprot drugoj i po parovima paralelne, romb je nedvojbeno paralelogram (AB || CD, AD || BC).
2. Rombske dijagonale sijeku se pod pravim kutom (AC ⊥ BD), pa su stoga okomite. Stoga sjecište raspolavlja dijagonale.
3. Simetrale rombskih kutova su dijagonale romba (∠DCA = ∠BCA, ∠ABD = ∠CBD itd.).
4. Iz istovjetnosti paralelograma slijedi da je zbroj svih kvadrata dijagonala romba broj kvadrata stranice koji se pomnoži s 4.

Znakovi romba

Romb je u tim slučajevima paralelogram ako ispunjava sljedeće uvjete:

1. Sve stranice paralelograma su jednake.
2. Dijagonale romba sijeku se pod pravim kutom, odnosno međusobno su okomite (AC⊥BD). Time je dokazano pravilo triju stranica (stranice su jednake i zaklapaju se pod kutom od 90 stupnjeva).
3. Dijagonale paralelograma podjednako dijele kutove jer su stranice jednake.

Područje romba

1. Površina romba jednaka je broju koji je polovina proizvoda svih njegovih dijagonala.
2. Budući da je romb vrsta paralelograma, površina romba (S) je broj umnoška stranice paralelograma i njegove visine (h).
3. Osim toga, površina romba može se izračunati pomoću formule koja je umnožak kvadrata stranice romba i sinusa kuta. Sinus kuta je alfa - kut između stranica izvornog romba.
4. Formula koja je umnožak dvostrukog kuta alfa i polumjera upisane kružnice (r) smatra se sasvim prihvatljivom za ispravno rješenje.