Razmotrite primjere podjele decimalni razlomci u ovom svjetlu.

Primjer.

Podijelite decimalu 1,2 s decimalom 0,48.

Riješenje.

Odgovor:

1,2:0,48=2,5 .

Primjer.

Podijelite periodičku decimalu 0.(504) s decimalom 0.56.

Riješenje.

Prevedimo periodični decimalni razlomak u obični:. Također prevodimo konačni decimalni ulomak 0,56 u običan, imamo 0,56 \u003d 56/100. Sada možemo prijeći s dijeljenja izvornih decimala na dijeljenje običnih razlomaka i završiti izračune: .

Prevedimo primljeno obični razlomak u decimalni razlomak dijeljenjem brojnika s nazivnikom stupcem:

Odgovor:

0,(504):0,56=0,(900) .

Princip dijeljenja beskonačnih neperiodičnih decimalnih razlomaka razlikuje se od principa dijeljenja konačnih i periodičnih decimalnih razlomaka, jer se decimalni razlomci koji se ne ponavljaju ne mogu pretvoriti u obične razlomke. Dijeljenje beskonačnih neperiodičnih decimalnih razlomaka svodi se na dijeljenje konačnih decimalnih razlomaka, za koje se provodi zaokruživanje brojeva do određene razine. Štoviše, ako je jedan od brojeva s kojima se provodi dijeljenje konačni ili periodični decimalni razlomak, tada se također zaokružuje na istu znamenku kao i neperiodični decimalni razlomak.

Primjer.

Podijelite beskonačnu decimalu koja se ne ponavlja 0,779... s konačnom decimalom 1,5602.

Riješenje.

Prvo morate zaokružiti decimalne razlomke kako biste prešli s dijeljenja beskonačnog decimalnog razlomka koji se ne ponavlja na dijeljenje konačnih decimalnih razlomaka. Možemo zaokružiti na stotinke: 0,779…≈0,78 i 1,5602≈1,56. Dakle, 0,779…:1,5602≈0,78:1,56= 78/100:156/100=78/100 100/156= 78/156=1/2=0,5 .

Odgovor:

0,779…:1,5602≈0,5 .

Dijeljenje prirodnog broja decimalnim razlomkom i obrnuto

Bit pristupa dijeljenju prirodnog broja decimalnim razlomkom i dijeljenju decimalnog razlomka s prirodni broj ne razlikuje se od suštine dijeljenja decimalnih razlomaka. Odnosno, konačni i periodični razlomci zamijenjeni su običnim razlomcima, i to beskonačnim neperiodični razlomci su zaokruženi.

Za ilustraciju razmotrimo primjer dijeljenja decimalnog razlomka prirodnim brojem.

Primjer.

Decimalni razlomak 25,5 podijelimo s prirodnim brojem 45.

Riješenje.

Zamjenom decimalnog razlomka 25,5 običnim razlomkom 255/10=51/2 dijeljenje se svodi na dijeljenje običnog razlomka prirodnim brojem: . Dobiveni razlomak decimalni zapis ima oblik 0.5(6) .

Odgovor:

25,5:45=0,5(6) .

Dijeljenje decimalnog razlomka prirodnim brojem stupcem

Dijeljenje konačnih decimalnih razlomaka prirodnim brojevima prikladno je izvesti stupcem po analogiji s dijeljenjem stupcem prirodnih brojeva. Ovdje je pravilo podjele.

Do podijeli decimalu prirodnim brojem stupcem, potrebno:

• dodajte nekoliko znamenki desno u djeljivi decimalni razlomak 0, (prilikom dijeljenja, ako je potrebno, možete dodati bilo koji broj nula, ali te nule možda neće biti potrebne);
• izvoditi dijeljenje stupcem decimalnog razlomka s prirodnim brojem prema svim pravilima za dijeljenje stupcem prirodnih brojeva, ali kada je završeno dijeljenje cijelog dijela decimalnog razlomka, tada u privatnom treba staviti zarez i nastaviti dijeljenje.

Recimo odmah da se kao rezultat dijeljenja konačnog decimalnog ulomka s prirodnim brojem može dobiti ili konačni decimalni ulomak ili beskonačni periodični decimalni ulomak. Doista, nakon dijeljenja svih decimalnih mjesta koja nisu 0 dividenda, možemo dobiti ili ostatak od 0, i dobit ćemo konačni decimalni razlomak, ili će se ostaci početi periodički ponavljati, i dobit ćemo periodični decimalni razlomak.

Pozabavimo se svim zamršenostima dijeljenja decimalnih ulomaka u prirodne brojeve stupcem pri rješavanju primjera.

Primjer.

Podijelite decimalu 65,14 s 4.

Riješenje.

Izvršimo dijeljenje decimalnog razlomka prirodnim brojem stupcem. Dodajmo par nula desno u zapisu razlomka 65,14, dok dobivamo decimalni razlomak jednak njemu 65,1400 (vidi jednaki i nejednaki decimalni razlomci). Sada možete početi dijeliti cijeli broj decimalnog razlomka 65.1400 prirodnim brojem 4 u stupcu:

Time je dovršeno dijeljenje cjelobrojnog dijela decimalnog razlomka. Ovdje privatno trebate staviti decimalnu točku i nastaviti dijeljenje:

Došli smo do ostatka 0, u ovoj fazi završava dijeljenje stupcem. Kao rezultat, imamo 65,14:4=16,285.

Odgovor:

65,14:4=16,285 .

Primjer.

Podijelite 164,5 sa 27.

Riješenje.

Podijelimo decimalni razlomak prirodnim brojem stupcem. Nakon dijeljenja cijelog dijela dobivamo sljedeću sliku:

Sada stavljamo zarez u privatno i nastavljamo dijeljenje stupcem:

Sada se jasno vidi da su se počeli ponavljati ostaci od 25, 7 i 16, dok se u kvocijentu ponavljaju brojevi 9, 2 i 5. Dakle, dijeljenjem decimalnog broja 164,5 s 27 dobivamo periodički decimalni broj 6,0(925) .

Odgovor:

164,5:27=6,0(925) .

Dijeljenje decimalnih razlomaka stupcem

Dijeljenje decimalnog razlomka decimalnim razlomkom može se svesti na dijeljenje decimalnog razlomka prirodnim brojem stupcem. Za to treba djelitelj i djelitelj pomnožiti s takvim brojem 10, ili 100, ili 1000 itd., tako da djelitelj postane prirodan broj, a zatim podijeliti s prirodnim brojem stupcem. To možemo učiniti zahvaljujući svojstvima dijeljenja i množenja, budući da je a:b=(a 10):(b 10) , a:b=(a 100):(b 100) i tako dalje.

Drugim riječima, podijeliti krajnju decimalu krajnjom decimalom, treba:

• u djelitelju i djelitelju pomaknite zarez udesno za onoliko znakova koliko ima iza decimalne točke u djelitelju, ako u isto vrijeme nema dovoljno znakova u djelitelju za pomicanje zareza, tada trebate dodati potreban iznos nule na desnoj strani;
• nakon toga izvršiti dijeljenje stupcem decimalnog razlomka prirodnim brojem.

Razmotrite, kada rješavate primjer, primjenu ovog pravila za dijeljenje decimalnim razlomkom.

Primjer.

Podijelite stupac 7.287 s 2.1.

Riješenje.

Pomaknimo zarez u tim decimalnim razlomcima za jednu znamenku udesno, to će nam omogućiti prijeći s dijeljenja decimalnog razlomka 7,287 s decimalnim razlomkom 2,1 na dijeljenje decimalnog razlomka 72,87 s prirodnim brojem 21. Podijelimo po stupcu:

Odgovor:

7,287:2,1=3,47 .

Primjer.

Podijelite decimalu 16,3 s decimalom 0,021.

Riješenje.

Pomaknite zarez u djelitelju i djelitelju udesno za 3 znamenke. Očito je da u djelitelju nema dovoljno znamenki za zarez, pa dodajmo potreban broj nula s desne strane. Sada podijelimo stupac razlomka 16300.0 s prirodnim brojem 21:

Od tog trenutka počinju se ponavljati ostaci 4, 19, 1, 10, 16 i 13, što znači da će se ponavljati i brojevi 1, 9, 0, 4, 7 i 6 u količniku. Kao rezultat, dobivamo periodični decimalni razlomak 776,(190476) .

Odgovor:

16,3:0,021=776,(190476) .

Imajte na umu da glasovno pravilo omogućuje dijeljenje prirodnog broja konačnim decimalnim razlomkom stupcem.

Primjer.

Prirodni broj 3 podijeli decimalnim razlomkom 5.4.

Riješenje.

Nakon pomicanja zareza za 1 znamenku udesno, dolazimo do dijeljenja broja 30,0 sa 54. Podijelimo po stupcu:
.

Ovo se pravilo može primijeniti i kod dijeljenja beskonačnih decimalnih razlomaka s 10, 100, .... Na primjer, 3,(56):1000=0,003(56) i 593,374…:100=5,93374… .

Dijeljenje decimala s 0,1, 0,01, 0,001 itd.

Budući da je 0,1 \u003d 1/10, 0,01 \u003d 1/100 itd., iz pravila dijeljenja običnim razlomkom slijedi da dijeljenje decimalnog razlomka s 0,1, 0,01, 0,001 itd. to je kao da danu decimalu množite s 10, 100, 1000 itd. odnosno.

Drugim riječima, da biste podijelili decimalni razlomak s 0,1, 0,01, ... potrebno je pomaknuti zarez udesno za 1, 2, 3, ... znamenke, a ako u decimalnom razlomku nema dovoljno znamenki za pomaknite zarez, tada trebate dodati traženi broj desnim nulama.

Na primjer, 5,739:0,1=57,39 i 0,21:0,00001=21 000 .

Isto pravilo može se primijeniti pri dijeljenju beskonačnih decimala s 0,1, 0,01, 0,001 itd. Pritom s podjelom treba biti vrlo oprezan periodični razlomci, kako ne bi pogriješili s periodom razlomka, koji se dobiva kao rezultat dijeljenja. Na primjer, 7.5(716):0.01=757,(167) , budući da nakon pomicanja zareza u zapisu decimalnog razlomka 7.5716716716 ... dvije znamenke udesno, imamo zapis 757.167167 ... . S beskonačnim neperiodičnim decimalama sve je jednostavnije: 394,38283…:0,001=394382,83… .

Dijeljenje razlomka ili mješovitog broja decimalom i obrnuto

Dijeljenje običnog razlomka ili mješovitog broja konačnom ili ponavljajućom decimalom, ili dijeljenje konačne ili ponavljajuće decimale običnim razlomkom ili mješoviti broj svodi se na dijeljenje običnih razlomaka. Da bi se to postiglo, decimalni razlomci se zamjenjuju odgovarajućim običnim razlomcima, a mješoviti broj predstavlja se kao nepravi razlomak.

Pri dijeljenju beskonačnog neperiodičnog decimalnog razlomka s običnim razlomkom ili mješovitim brojem i obrnuto, treba prijeći na dijeljenje decimalnih razlomaka, zamjenjujući obični razlomak ili mješoviti broj odgovarajućim decimalnim razlomkom.

Bibliografija.

• Matematika: studije. za 5 ćelija. opće obrazovanje institucije / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. izd., izbrisano. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 str.: ilustr. ISBN 5-346-00699-0.
• Matematika. 6. razred: udžbenik. za opće obrazovanje ustanove / [N. Ya.Vilenkin i drugi]. - 22. izdanje, Rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Algebra: udžbenik za 8 ćelija. opće obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; izd. S. A. Teljakovski. - 16. izd. - M. : Obrazovanje, 2008. - 271 str. : ilustr. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (priručnik za pristupnike tehničkim školama): Proc. dodatak.- M.; viši škola, 1984.-351 str., ilustr.

37. Decimalno dijeljenje

Zadatak. Površina pravokutnika je 2,88 dm 2 , a širina 0,8 dm. Kolika je duljina pravokutnika?

Rješenje Budući da je 2,88 dm 2 = 288 cm 2 i 0,8 dm = 8 cm, duljina pravokutnika je 288: 8, odnosno 36 cm = 3,6 dm. Našli smo broj 3,6 takav da je 3,6 0,8 = 2,88. To je kvocijent 2,88 podijeljeno s 0,8.

Odgovor 3.6 može se dobiti bez pretvaranja decimetara u centimetre. Da biste to učinili, pomnožite djelitelj 0,8 i dividendu 2,88 s 10 (to jest, pomaknite zarez za jednu znamenku udesno u njima) i podijelite 28,8 s 8. Opet dobivamo:.

Podijeliti broj decimalom, potrebno:
1) u djelitelju i djelitelju pomaknite zarez udesno za onoliko znamenki koliko ih ima iza decimalne točke u djelitelju;
2) nakon toga izvršiti dijeljenje prirodnim brojem.

Primjer 1 Podijelite 12,096 s 2,24. Pomaknimo zarez za 2 znamenke udesno u djelitelju i djelitelju. Dobivamo brojeve 1209.6 i 224.

Od , zatim i .

Primjer 2 Podijelite 4,5 s 0,125. Ovdje je potrebno pomaknuti zarez 3 znamenke udesno u djelitelju i djelitelju. Kako iza decimalne točke u dividendi postoji samo jedna znamenka, desno ćemo joj dodati dvije nule. Nakon pomicanja zareza dobivamo brojeve 4500 i 125.

Od , zatim i .

Primjeri 1 i 2 pokazuju da pri dijeljenju broja s nepravi razlomak taj se broj smanjuje ili ne mijenja, a kada se podijeli s točnim decimalnim razlomkom, povećava se:, a.

Podijelite 2,467 s 0,01. Pomaknuvši zarez u djelitelju i djelitelju za 2 znamenke udesno, dobivamo da je kvocijent 246,7:1, odnosno 246,7. Dakle, i 2,467: 0,01 = 246,7. Odavde dobivamo pravilo:

Podijeliti decimalu s 0,1; 0,01; 0,001, potrebno je zarez u njoj pomaknuti udesno za onoliko znamenki koliko ima nula ispred jedinice u djelitelju (odnosno pomnožiti je s 10, 100, 1000).

Ako nema dovoljno brojeva, prvo morate dodati nekoliko nula na kraj razlomka.

Na primjer, .

1443. Nađi kvocijent i provjeri množenjem:

a) 0,8: 0,5; b) 3,51 : 2,7; c) 14,335 : 0,61.

1444. Nađi kvocijent i provjeri dijeljenjem:

a) 0,096 : 0,12; 6) 0,126:0,9; c) 42,105: 3,5.

1445. Izvršite dijeljenje:

1446. Zapiši izraze:

a) kvocijent dijeljenja zbroja a i 2,6 s razlikom b i 8,5;
b) zbroj kvocijenata x i 3,7 i količnika 3,1 i y.

1447. Pročitaj izraz:

a) m: 12,8 - n: 4,9; b) (x + 0,7): (y + 3,4); c) (a: b) (8: c).

1448. Čovjekov korak iznosi 0,8 m. Koliko koraka treba napraviti da bi prešao put od 100 m?

1449. Aljoša je vlakom prešao 162,5 km za 2,6 sati.Koliko je bio brz vlak?

1450. Odredi masu 1 cm 3 leda ako je masa 3,5 cm 3 leda 3,08 g.

1451. Uže je presječeno na dva dijela. Duljina jednog dijela je 3,25 m, a duljina drugog dijela je 1,3 puta manja od prvog. Kolika je bila duljina užeta?

1452. U prvom paketu je bilo 6,72 kg brašna, što je 2,4 puta više od drugog paketa. Koliko je kilograma brašna bilo u obje vreće?

1453. Borya je potrošio 3,5 puta manje vremena na pripremu lekcija nego na šetnju. Koliko je Borji trebalo da hoda i priprema nastavu ako je šetnja trajala 2,8 sati?

Dijeljenje decimalom je isto što i dijeljenje prirodnim brojem.

Pravilo dijeljenja broja decimalnim razlomkom

Za dijeljenje broja decimalnim razlomkom potrebno je i u djelitelju i u djelitelju pomaknuti zarez onoliko znamenki udesno koliko ima djelitelja iza decimalne točke. Nakon toga podijelite s prirodnim brojem.

Primjeri.

Izvršite dijeljenje s decimalom:

Za dijeljenje decimalnim razlomkom potrebno je i kod djelitelja i kod djelitelja pomaknuti zarez onoliko znamenki udesno koliko ih ima iza decimalne točke u djelitelju, odnosno za jedan znak. Dobivamo: 35,1: 1,8 \u003d 351: 18. Sada vršimo podjelu kutom. Kao rezultat, dobivamo: 35,1: 1,8 = 19,5.

2) 14,76: 3,6

Da biste izvršili dijeljenje decimalnih razlomaka, kako u djelitelju tako iu djelitelju, pomaknite zarez udesno za jedan znak: 14,76: 3,6 \u003d 147,6: 36. Sada izvodimo na prirodnom broju. Rezultat: 14,76 : 3,6 = 4,1.

Da bismo izvršili dijeljenje decimalnim razlomkom prirodnog broja, potrebno je iu djelitelju iu djelitelju pomaknuti onoliko znakova udesno koliko ima djelitelja iza decimalne točke. Budući da u ovom slučaju zarez nije napisan u djelitelju, nedostajući broj znakova popunjavamo nulama: 70: 1,75 \u003d 7000: 175. Dobivene prirodne brojeve dijelimo kutom: 70: 1,75 \u003d 7000: 175 \u003d 40.

4) 0,1218: 0,058

Da bismo jedan decimalni razlomak podijelili na drugi, pomaknemo zarez udesno i u djelitelju i u djelitelju za onoliko znamenki koliko ima djelitelja iza decimalne točke, odnosno za tri znamenke. Dakle, 0,1218 : 0,058 \u003d 121,8 : 58. Dijeljenje decimalnim razlomkom zamijenjeno je dijeljenjem prirodnim brojem. Dijelimo kutak. Imamo: 0,1218 : 0,058 = 121,8 : 58 = 2,1.

5) 0,0456: 3,8

U ovom vodiču ćemo pogledati svaku od ovih operacija jednu po jednu.

Sadržaj lekcije

Zbrajanje decimala

Kao što znamo, decimala ima cijeli i razlomački dio. Prilikom zbrajanja decimala, cijeli i razlomački dio se zbrajaju odvojeno.

Na primjer, zbrojimo decimale 3.2 i 5.3. Pogodnije je zbrajati decimalne razlomke u stupcu.

Najprije ova dva razlomka upišemo u stupac, pri čemu cijeli dijelovi moraju biti ispod cijelih, a razlomci ispod razlomaka. U školi se taj zahtjev zove "zarez ispod zareza".

Zapišimo razlomke u stupac tako da zarez bude ispod zareza:

Počinjemo zbrajati razlomke: 2 + 3 \u003d 5. Zapisujemo pet u razlomke našeg odgovora:

Sada zbrajamo cijele dijelove: 3 + 5 = 8. Osam upisujemo u cijeli dio našeg odgovora:

Sada zarezom odvajamo cijeli dio od razlomka. Da bismo to učinili, ponovno slijedimo pravilo "zarez ispod zareza":

Dobio odgovor 8.5. Dakle, izraz 3,2 + 5,3 je jednak 8,5

Zapravo, nije sve tako jednostavno kao što se čini na prvi pogled. I ovdje postoje zamke, o kojima ćemo sada govoriti.

Mjesta u decimalama

Decimale, kao i obični brojevi, imaju svoje znamenke. To su desetina, stotinka, tisućinka. U ovom slučaju znamenke počinju nakon decimalne točke.

Prva znamenka iza decimalne točke odgovara desetinkama, druga znamenka nakon decimalne točke za stotinke, treća znamenka nakon decimalne točke za tisućinke.

Znamenke u decimalnim razlomcima pohranjuju nešto korisna informacija. Konkretno, oni izvješćuju koliko je desetinki, stotinki i tisućinki u decimali.

Na primjer, razmotrite decimalni broj 0,345

Pozicija na kojoj se nalazi trojka zove se deseto mjesto

Položaj na kojem se nalazi četvorka zove se stotinsko mjesto

Pozicija na kojoj se nalazi petica zove se tisućinke

Pogledajmo ovu figuru. Vidimo da je u kategoriji desetinki trojka. Ovo sugerira da postoje tri desetinke u decimalnom razlomku 0,345.

Ako zbrojimo razlomke, tada ćemo dobiti izvorni decimalni razlomak 0,345

Vidi se da smo prvo dobili odgovor, ali smo ga pretvorili u decimalni razlomak i dobili 0,345.

Pri zbrajanju decimalnih razlomaka slijede se isti principi i pravila kao i kod zbrajanja običnih brojeva. Zbrajanje decimalnih razlomaka događa se znamenkama: desetinke se dodaju desetinkama, stotinke stotinkama, tisućinke tisućinkama.

Stoga je pri zbrajanju decimalnih razlomaka potrebno slijediti pravilo "zarez ispod zareza". Zarez ispod zareza daje isti redoslijed u kojem se desetinke dodaju desetinkama, stotinke stotinkama, tisućinke tisućinkama.

Primjer 1 Odredi vrijednost izraza 1,5 + 3,4

Prije svega zbrajamo razlomke 5 + 4 = 9. Devetku upisujemo u razlomke našeg odgovora:

Sada zbrajamo cijele dijelove 1 + 3 = 4. Četvorku upisujemo u cijeli dio našeg odgovora:

Sada zarezom odvajamo cijeli dio od razlomka. Da bismo to učinili, ponovno poštujemo pravilo "zarez ispod zareza":

Dobio odgovor 4.9. Dakle, vrijednost izraza 1,5 + 3,4 je 4,9

Primjer 2 Odredi vrijednost izraza: 3,51 + 1,22

Ovaj izraz pišemo u stupac, poštujući pravilo "zarez ispod zareza"

Prije svega, dodajte razlomački dio, odnosno stotinke 1+2=3. Trojku pišemo u stoti dio našeg odgovora:

Sada dodajte desetine od 5+2=7. Sedam zapisujemo u deseti dio našeg odgovora:

Sada zbrojite cijele dijelove 3+1=4. Četvorku upisujemo u cijeli dio našeg odgovora:

Cijeli dio od razlomka odvajamo zarezom, poštujući pravilo "zarez ispod zareza":

Dobio odgovor 4.73. Dakle, vrijednost izraza 3,51 + 1,22 je 4,73

3,51 + 1,22 = 4,73

Kao i kod običnih brojeva, kod zbrajanja decimalnih razlomaka, . U tom slučaju jedna znamenka se upisuje u odgovor, a ostale se prenose na sljedeću znamenku.

Primjer 3 Odredi vrijednost izraza 2,65 + 3,27

Ovaj izraz zapisujemo u stupac:

Dodajte stotinke od 5+7=12. Broj 12 neće stati u stoti dio našeg odgovora. Stoga u stoti dio upisujemo broj 2, a jedinicu prenosimo na sljedeći bit:

Sada zbrajamo desetine od 6+2=8 plus jedinicu koju smo dobili prethodnom operacijom, dobivamo 9. Broj 9 upisujemo u desetinu našeg odgovora:

Sada zbrojite cijele dijelove 2+3=5. Upisujemo broj 5 u cijeli broj našeg odgovora:

Dobio odgovor 5.92. Dakle, vrijednost izraza 2,65 + 3,27 je 5,92

2,65 + 3,27 = 5,92

Primjer 4 Odredi vrijednost izraza 9,5 + 2,8

Napiši ovaj izraz u stupac

Zbrajamo razlomke 5 + 8 = 13. Broj 13 neće stati u razlomak našeg odgovora, pa prvo zapisujemo broj 3, a jedinicu prenosimo na sljedeću znamenku, odnosno prenosimo je na cijeli broj dio:

Sada zbrajamo cijele dijelove 9+2=11 plus jedinicu koju smo dobili prethodnom operacijom, dobivamo 12. Upisujemo broj 12 u cijeli dio našeg odgovora:

Odvojite cijeli broj od razlomka zarezom:

Dobio odgovor 12.3. Dakle, vrijednost izraza 9,5 + 2,8 je 12,3

9,5 + 2,8 = 12,3

Kod zbrajanja decimalnih razlomaka, broj znamenki iza decimalne točke u oba razlomka mora biti isti. Ako nema dovoljno znamenki, tada se ta mjesta u razlomku popunjavaju nulama.

Primjer 5. Odredi vrijednost izraza: 12,725 + 1,7

Prije nego što zapišemo ovaj izraz u stupac, učinimo jednakim broj znamenki iza decimalne točke u oba razlomka. Decimalni razlomak 12,725 ima tri znamenke iza decimalne točke, dok razlomak 1,7 ima samo jednu. Dakle, u razlomku 1,7 na kraju morate dodati dvije nule. Tada dobivamo razlomak 1.700. Sada možete napisati ovaj izraz u stupac i početi računati:

Dodajte tisućinke 5+0=5. Broj 5 upisujemo u tisućiti dio našeg odgovora:

Dodajte stotinke 2+0=2. Upisujemo broj 2 u stoti dio našeg odgovora:

Dodajte desetine od 7+7=14. Broj 14 neće stati ni u desetinu našeg odgovora. Stoga prvo zapisujemo broj 4, a jedinicu prenosimo na sljedeći bit:

Sada zbrajamo cijele dijelove 12+1=13 plus jedinicu koju smo dobili prethodnom operacijom, dobivamo 14. Upisujemo broj 14 u cijeli dio našeg odgovora:

Odvojite cijeli broj od razlomka zarezom:

Dobio odgovor 14,425. Dakle, vrijednost izraza 12,725+1,700 je 14,425

12,725+ 1,700 = 14,425

Oduzimanje decimala

Kod oduzimanja decimalnih razlomaka morate slijediti ista pravila kao i kod zbrajanja: “zarez ispod zareza” i “jednak broj znamenki iza decimalne točke”.

Primjer 1 Odredi vrijednost izraza 2,5 − 2,2

Ovaj izraz pišemo u stupac, poštujući pravilo "zarez ispod zareza":

Računamo razlomački dio 5−2=3. Upisujemo broj 3 u deseti dio našeg odgovora:

Izračunajte cjelobrojni dio 2−2=0. Upisujemo nulu u cijeli broj našeg odgovora:

Odvojite cijeli broj od razlomka zarezom:

Dobili smo odgovor 0,3. Dakle, vrijednost izraza 2,5 − 2,2 jednaka je 0,3

2,5 − 2,2 = 0,3

Primjer 2 Odredite vrijednost izraza 7.353 - 3.1

U ovom izrazu drugačiji iznos znamenki iza decimalne točke. U razlomku 7.353 tri su znamenke iza decimalne točke, a u razlomku 3.1 samo jedna. To znači da se u razlomku 3.1 moraju dodati dvije nule na kraju kako bi broj znamenki u oba razlomka bio isti. Onda dobijemo 3.100.

Sada možete napisati ovaj izraz u stupac i izračunati ga:

Dobio sam odgovor 4,253. Dakle, vrijednost izraza 7,353 − 3,1 je 4,253

7,353 — 3,1 = 4,253

Kao i kod običnih brojeva, ponekad ćete morati posuditi jedan od susjednog bita ako oduzimanje postane nemoguće.

Primjer 3 Odredi vrijednost izraza 3,46 − 2,39

Oduzmite stotinke od 6−9. Od broja 6 nemojte oduzimati broj 9. Dakle, trebate uzeti jedinicu od susjedne znamenke. Posudivši jedan od susjedne znamenke, broj 6 pretvara se u broj 16. Sada možemo izračunati stotinke od 16−9=7. Upisujemo sedam u stoti dio našeg odgovora:

Sada oduzmite desetine. Budući da smo uzeli jednu jedinicu u kategoriji desetina, brojka koja se tu nalazila smanjila se za jednu jedinicu. Drugim riječima, deseto mjesto sada nije broj 4, već broj 3. Izračunajmo desetinke od 3−3=0. U desetom dijelu našeg odgovora pišemo nulu:

Sada oduzmite cijele dijelove 3−2=1. Jedinicu upisujemo u cijeli broj odgovora:

Odvojite cijeli broj od razlomka zarezom:

Dobio odgovor 1.07. Dakle, vrijednost izraza 3,46−2,39 jednaka je 1,07

3,46−2,39=1,07

Primjer 4. Odredite vrijednost izraza 3−1.2

Ovaj primjer oduzima decimalu od cijelog broja. Zapišimo ovaj izraz u stupac tako da cijeli dio decimalni razlomak 1,23 bio je pod brojem 3

Neka sada broj znamenki iza decimalne točke bude isti. Da biste to učinili, nakon broja 3 stavite zarez i dodajte jednu nulu:

Sada oduzmite desetine: 0−2. Nemojte od nule oduzimati broj 2. Dakle, morate uzeti jedinicu od susjedne znamenke. Posuđivanjem jedan od susjedne znamenke, 0 se pretvara u broj 10. Sada možete izračunati desetine od 10−2=8. Osmicu upisujemo u deseti dio našeg odgovora:

Sada oduzmite cijele dijelove. Ranije se broj 3 nalazio u cijelom broju, ali smo od njega posudili jednu jedinicu. Zbog toga se pretvorio u broj 2. Stoga oduzimamo 1 od 2. 2−1=1. Jedinicu upisujemo u cijeli broj odgovora:

Odvojite cijeli broj od razlomka zarezom:

Dobio odgovor 1.8. Dakle, vrijednost izraza 3−1,2 je 1,8

Decimalno množenje

Množenje decimala je jednostavno, pa čak i zabavno. Da biste množili decimale, morate ih množiti kao obične brojeve, zanemarujući zareze.

Nakon dobivenog odgovora potrebno je zarezom odvojiti cijeli broj od razlomka. Da biste to učinili, morate izbrojati broj znamenki iza decimalne točke u oba razlomka, zatim izbrojati isti broj znamenki s desne strane odgovora i staviti zarez.

Primjer 1 Odredi vrijednost izraza 2,5 × 1,5

Te decimalne razlomke množimo kao obične brojeve, zanemarujući zareze. Kako biste zanemarili zareze, možete privremeno zamisliti da ih uopće nema:

Dobili smo 375. Kod ovog broja potrebno je zarezom odvojiti cijeli dio od razlomka. Da biste to učinili, morate prebrojati broj znamenki nakon decimalne točke u razlomcima od 2,5 i 1,5. U prvom razlomku je jedna znamenka iza decimalne točke, u drugom razlomku također jedna. Ukupno dva broja.

Vraćamo se na broj 375 i počinjemo se kretati s desna na lijevo. Trebamo izbrojati dvije znamenke s desne strane i staviti zarez:

Dobio odgovor 3,75. Dakle, vrijednost izraza 2,5 × 1,5 je 3,75

2,5 x 1,5 = 3,75

Primjer 2 Odredi vrijednost izraza 12,85 × 2,7

Pomnožimo ove decimale, zanemarujući zareze:

Dobili smo 34695. U ovom broju potrebno je zarezom odvojiti cijeli dio od razlomka. Da biste to učinili, morate izračunati broj znamenki nakon decimalne točke u razlomcima od 12,85 i 2,7. U razlomku 12.85 dvije su znamenke iza decimalne točke, u razlomku 2.7 jedna je znamenka - ukupno tri znamenke.

Vraćamo se na broj 34695 i počinjemo se kretati s desna na lijevo. Trebamo izbrojati tri znamenke s desne strane i staviti zarez:

Dobio odgovor 34,695. Dakle, vrijednost izraza 12,85 × 2,7 je 34,695

12,85 x 2,7 = 34,695

Množenje decimale regularnim brojem

Ponekad postoje situacije kada trebate pomnožiti decimalni razlomak s običnim brojem.

Da biste pomnožili decimalu i običan broj, morate ih pomnožiti, bez obzira na zarez u decimali. Nakon dobivenog odgovora potrebno je zarezom odvojiti cijeli broj od razlomka. Da biste to učinili, morate izbrojati broj znamenki iza decimalne točke u decimalnom razlomku, a zatim u odgovoru izbrojati isti broj znamenki s desne strane i staviti zarez.

Na primjer, pomnožite 2,54 s 2

Množimo decimalni razlomak 2,54 s uobičajenim brojem 2, zanemarujući zarez:

Dobili smo broj 508. U ovom broju potrebno je zarezom odvojiti cijeli dio od razlomka. Da biste to učinili, trebate izbrojati broj znamenki iza decimalne točke u razlomku 2,54. Razlomak 2,54 ima dvije znamenke iza decimalne točke.

Vraćamo se na broj 508 i počinjemo se kretati s desna na lijevo. Trebamo izbrojati dvije znamenke s desne strane i staviti zarez:

Dobio odgovor 5.08. Dakle, vrijednost izraza 2,54 × 2 je 5,08

2,54 x 2 = 5,08

Množenje decimala s 10, 100, 1000

Množenje decimala s 10, 100 ili 1000 radi se na isti način kao i množenje decimala običnim brojevima. Potrebno je izvršiti množenje, zanemarujući zarez u decimalnom razlomku, zatim u odgovoru odvojiti cijeli broj od razlomka, računajući onoliko znamenki s desne strane koliko je iza decimalne točke bilo znamenki u decimali. frakcija.

Na primjer, pomnožite 2,88 s 10

Pomnožimo decimalni razlomak 2,88 s 10, zanemarujući zarez u decimalnom razlomku:

Dobili smo 2880. U ovom broju potrebno je zarezom odvojiti cijeli dio od razlomka. Da biste to učinili, trebate izbrojati broj znamenki iza decimalne točke u razlomku 2,88. Vidimo da u razlomku 2,88 postoje dvije znamenke iza decimalne točke.

Vraćamo se na broj 2880 i počinjemo se kretati s desna na lijevo. Trebamo izbrojati dvije znamenke s desne strane i staviti zarez:

Dobio odgovor 28.80. Zadnju nulu odbacujemo - dobivamo 28,8. Dakle, vrijednost izraza 2,88 × 10 je 28,8

2,88 x 10 = 28,8

Postoji drugi način množenja decimalnih razlomaka s 10, 100, 1000. Ova metoda je mnogo jednostavnija i praktičnija. Sastoji se u tome da se zarez u decimalnom razlomku pomiče udesno za onoliko znamenki koliko ima nula u množitelju.

Na primjer, riješimo prethodni primjer 2,88×10 na ovaj način. Bez davanja bilo kakvih izračuna, odmah gledamo faktor 10. Zanima nas koliko je nula u njemu. Vidimo da ima jednu nulu. Sada u razlomku 2,88 pomaknemo decimalnu točku udesno za jednu znamenku, dobivamo 28,8.

2,88 x 10 = 28,8

Pokušajmo 2,88 pomnožiti sa 100. Odmah gledamo faktor 100. Zanima nas koliko je u njemu nula. Vidimo da ima dvije nule. Sada u razlomku 2,88 pomaknemo decimalnu točku udesno za dvije znamenke, dobivamo 288

2,88 x 100 = 288

Pokušajmo 2,88 pomnožiti s 1000. Odmah gledamo faktor 1000. Zanima nas koliko u njemu ima nula. Vidimo da ima tri nule. Sada u razlomku 2,88 pomičemo decimalnu točku udesno za tri znamenke. Treće znamenke nema, pa dodajemo još jednu nulu. Kao rezultat, dobivamo 2880.

2,88 x 1000 = 2880

Množenje decimala s 0,1 0,01 i 0,001

Množenje decimala s 0,1, 0,01 i 0,001 funkcionira na isti način kao i množenje decimale s decimalom. Razlomke je potrebno množiti kao obične brojeve, a u odgovoru staviti zarez, računajući onoliko znamenki s desne strane koliko ima znamenki iza decimalne točke u oba razlomka.

Na primjer, pomnožite 3,25 s 0,1

Ove razlomke množimo kao obične brojeve, zanemarujući zareze:

Dobili smo 325. U ovom broju potrebno je zarezom odvojiti cijeli dio od razlomka. Da biste to učinili, morate izračunati broj znamenki nakon decimalne točke u razlomcima od 3,25 i 0,1. U razlomku 3,25 dvije su znamenke iza decimalne točke, u razlomku 0,1 jedna je znamenka. Ukupno tri broja.

Vraćamo se na broj 325 i počinjemo se kretati s desna na lijevo. Trebamo izbrojati tri znamenke s desne strane i staviti zarez. Nakon prebrojavanja tri znamenke, nalazimo da je brojeva gotovo. U ovom slučaju morate dodati jednu nulu i staviti zarez:

Dobili smo odgovor 0,325. Dakle, vrijednost izraza 3,25 × 0,1 je 0,325

3,25 x 0,1 = 0,325

Postoji drugi način množenja decimala s 0,1, 0,01 i 0,001. Ova metoda je mnogo lakša i praktičnija. Sastoji se u tome da se zarez u decimalnom razlomku pomiče ulijevo za onoliko znamenki koliko ima nula u množitelju.

Na primjer, riješimo prethodni primjer 3,25 × 0,1 na ovaj način. Ne dajući nikakve izračune, odmah gledamo faktor 0,1. Zanima nas koliko ima nula u njemu. Vidimo da ima jednu nulu. Sada u razlomku 3,25 pomičemo decimalnu točku ulijevo za jednu znamenku. Pomaknuvši zarez za jednu znamenku ulijevo, vidimo da ispred tri nema više znamenki. U tom slučaju dodajte jednu nulu i stavite zarez. Kao rezultat, dobivamo 0,325

3,25 x 0,1 = 0,325

Pokušajmo pomnožiti 3,25 s 0,01. Odmah pogledajte množitelj od 0,01. Zanima nas koliko ima nula u njemu. Vidimo da ima dvije nule. Sada u razlomku 3,25 pomaknemo zarez ulijevo za dvije znamenke, dobivamo 0,0325

3,25 x 0,01 = 0,0325

Pokušajmo pomnožiti 3,25 s 0,001. Odmah pogledajte množitelj od 0,001. Zanima nas koliko ima nula u njemu. Vidimo da ima tri nule. Sada u razlomku 3,25 pomaknemo decimalnu točku ulijevo za tri znamenke, dobivamo 0,00325

3,25 × 0,001 = 0,00325

Ne brkajte množenje decimala s 0,1, 0,001 i 0,001 s množenjem s 10, 100, 1000. Uobičajena pogreška većina ljudi.

Pri množenju s 10, 100, 1000 zarez se pomiče udesno za onoliko znamenki koliko ima nula u množitelju.

A kod množenja s 0,1, 0,01 i 0,001 zarez se pomiče ulijevo za onoliko znamenki koliko je nula u množitelju.

Ako je u početku teško zapamtiti, možete koristiti prvu metodu, u kojoj se množenje izvodi kao s običnim brojevima. U odgovoru ćete morati odvojiti cijeli broj od razlomka tako što ćete prebrojati onoliko znamenki s desne strane koliko ima znamenki iza decimalne točke u oba razlomka.

Dijeljenje manjeg broja većim. Napredna razina.

U jednoj od prethodnih lekcija rekli smo da prilikom dijeljenja manje Za više se dobije razlomak u čijem je brojniku djelitelj, a u nazivniku djelitelj.

Na primjer, da biste jednu jabuku podijelili na dvoje, potrebno je u brojnik napisati 1 (jedna jabuka), a u nazivnik 2 (dva prijatelja). Rezultat je razlomak. Tako će svaki prijatelj dobiti jabuku. Drugim riječima, pola jabuke. Razlomak je odgovor na problem kako podijeliti jednu jabuku na dvije

Ispostavilo se da ovaj problem možete dodatno riješiti ako podijelite 1 s 2. Uostalom, razlomka u bilo kojem razlomku znači dijeljenje, što znači da je to dijeljenje dopušteno iu razlomku. Ali kako? Navikli smo da je dividenda uvijek veća od djelitelja. A ovdje je, naprotiv, dividenda manja od djelitelja.

Sve će postati jasno ako se sjetimo da razlomak znači drobljenje, dijeljenje, dijeljenje. To znači da se jedinica može podijeliti na koliko god dijelova želite, a ne samo na dva dijela.

Kada se manji broj podijeli s većim, dobiva se decimalni razlomak u kojem će cijeli broj biti 0 (nula). Razlomak može biti bilo što.

Dakle, podijelimo 1 sa 2. Riješimo ovaj primjer s kutom:

Ne može se samo tako podijeliti na dvoje. Ako postavite pitanje "koliko je dvojki u jednom" , tada će odgovor biti 0. Stoga privatno pišemo 0 i stavljamo zarez:

Sada, kao i obično, množimo kvocijent s djeliteljem da izvučemo ostatak:

Došao je trenutak kada se jedinica može podijeliti na dva dijela. Da biste to učinili, dodajte još jednu nulu desno od primljene:

Dobili smo 10. Podijelimo 10 sa 2, dobijemo 5. Peticu upišemo u razlomak našeg odgovora:

Sada vadimo posljednji ostatak kako bismo dovršili izračun. Pomnožimo 5 sa 2, dobivamo 10

Dobili smo odgovor 0,5. Dakle, razlomak je 0,5

Polovica jabuke može se napisati i decimalnim razlomkom 0,5. Ako zbrojimo ove dvije polovice (0,5 i 0,5), opet dobivamo originalnu jednu cijelu jabuku:

Ovo se također može razumjeti ako zamislimo kako je 1 cm podijeljen na dva dijela. Ako 1 centimetar podijelite na 2 dijela, dobit ćete 0,5 cm

Primjer 2 Odredite vrijednost izraza 4:5

Koliko je petica u četiri? Nikako. Pišemo privatno 0 i stavljamo zarez:

Pomnožimo 0 sa 5, dobijemo 0. Ispod četiri upišemo nulu. Odmah oduzmite ovu nulu od dividende:

Sada počnimo dijeliti (dijeliti) četvorku na 5 dijelova. Da bismo to učinili, desno od 4, dodamo nulu i podijelimo 40 s 5, dobivamo 8. Osam pišemo privatno.

Dovršavamo primjer množenjem 8 sa 5 i dobivamo 40:

Dobili smo odgovor 0,8. Dakle, vrijednost izraza 4:5 je 0,8

Primjer 3 Pronađite vrijednost izraza 5: 125

Koliko brojeva 125 ima pet? Nikako. Privatno pišemo 0 i stavljamo zarez:

Pomnožimo 0 sa 5, dobijemo 0. Ispod petice upišemo 0. Od pet odmah oduzmite 0

Sada počnimo dijeliti (dijeliti) pet na 125 dijelova. Da bismo to učinili, desno od ovih pet, pišemo nulu:

Podijelite 50 sa 125. Koliko brojeva 125 ima u 50? Nikako. Dakle, u količniku opet pišemo 0

Pomnožimo 0 sa 125, dobijemo 0. Zapišemo ovu nulu ispod 50. Odmah oduzmite 0 od 50

Sada dijelimo broj 50 na 125 dijelova. Da bismo to učinili, desno od 50, pišemo još jednu nulu:

Podijeli 500 sa 125. Koliko ima brojeva 125 u broju 500. U broju 500 četiri su broja 125. Četvorku pišemo zasebno:

Dovršavamo primjer množenjem 4 sa 125 i dobivamo 500

Dobili smo odgovor 0,04. Dakle, vrijednost izraza 5:125 je 0,04

Dijeljenje brojeva bez ostatka

Dakle, stavimo zarez u kvocijent iza jedinice, čime označavamo da je dijeljenje cijelih dijelova završeno i prelazimo na razlomački dio:

Dodajte nulu ostatku 4

Sada dijelimo 40 sa 5, dobivamo 8. Osam pišemo zasebno:

40−40=0. Primljeno 0 u ostatku. Dakle, podjela je u potpunosti završena. Dijeljenje 9 sa 5 rezultira decimalom od 1,8:

9: 5 = 1,8

Primjer 2. Podijeli 84 sa 5 bez ostatka

Prvo dijelimo 84 sa 5 kao i obično s ostatkom:

Dobio na privatno 16 i jos 4 na saldu. Sada ovaj ostatak dijelimo s 5. Stavljamo zarez u privatno, a ostatku 4 dodajemo 0

Sada podijelimo 40 sa 5, dobijemo 8. Osam upišemo u kvocijent iza decimalne točke:

i dovršite primjer provjerom postoji li još ostatak:

Dijeljenje decimale regularnim brojem

Decimalni razlomak, kao što znamo, sastoji se od cijelog i razlomka. Kada dijelite decimalni razlomak običnim brojem, prije svega trebate:

• podijeli cijeli broj decimalnog ulomka ovim brojem;
• nakon što je cijeli dio podijeljen, morate odmah staviti zarez u privatni dio i nastaviti s izračunom, kao kod običnog dijeljenja.

Na primjer, podijelimo 4,8 s 2

Zapišimo ovaj primjer kao kut:

Sada podijelimo cijeli dio s 2. Četiri podijeljeno s dva je dva. Dvojku pišemo privatno i odmah stavljamo zarez:

Sada pomnožimo količnik s djeliteljem i vidimo postoji li ostatak od dijeljenja:

4−4=0. Ostatak je nula. Još ne pišemo nulu jer rješenje nije dovršeno. Zatim nastavljamo računati, kao kod običnog dijeljenja. Skinite 8 i podijelite ga s 2

8: 2 = 4. Četvorku upišemo u kvocijent i odmah pomnožimo s djeliteljem:

Dobio odgovor 2.4. Vrijednost izraza 4,8: ​​2 jednako je 2,4

Primjer 2 Nađi vrijednost izraza 8.43:3

Podijelimo 8 sa 3, dobijemo 2. Iza dva odmah stavite zarez:

Sada množimo kvocijent djeliteljem 2 × 3 = 6. Ispod osmice upisujemo šesticu i nalazimo ostatak:

Podijelimo 24 sa 3, dobijemo 8. Osam napišemo privatno. Odmah ga množimo s djeliteljem da bismo dobili ostatak dijeljenja:

24−24=0. Ostatak je nula. Nula još nije zabilježena. Uzmite zadnje tri dividende i podijelite s 3, dobit ćemo 1. Odmah pomnožite 1 s 3 da dovršite ovaj primjer:

Dobio odgovor 2.81. Dakle, vrijednost izraza 8,43:3 jednaka je 2,81

Dijeljenje decimale decimalom

Da biste decimalni razlomak podijelili na decimalni razlomak, u djelitelju i djelitelju pomaknite zarez udesno za isti broj znamenki koliko ih ima iza decimalne točke u djelitelju, a zatim podijelite običnim brojem.

Na primjer, podijelite 5,95 s 1,7

Zapišimo ovaj izraz kao kut

Sada, u djelitelju i djelitelju, pomaknemo zarez udesno za isti broj znamenki koliko ih ima iza decimalne točke u djelitelju. Djelitelj ima jednu znamenku iza decimalne točke. Dakle, moramo pomaknuti zarez udesno za jednu znamenku u djelitelju iu djelitelju. Prijenos:

Nakon pomicanja decimalne točke udesno za jednu znamenku, decimalni razlomak 5,95 pretvorio se u razlomak 59,5. A decimalni razlomak 1,7, nakon pomicanja decimalne točke udesno za jednu znamenku, pretvorio se u uobičajeni broj 17. I već znamo kako podijeliti decimalni razlomak s uobičajenim brojem. Daljnji izračun nije težak:

Zarez je pomaknut udesno radi lakšeg dijeljenja. To je dopušteno zbog činjenice da se pri množenju ili dijeljenju dividende i djelitelja istim brojem kvocijent ne mijenja. Što to znači?

Ovo je jedan od zanimljive karakteristike podjela. To se zove privatno vlasništvo. Razmotrimo izraz 9: 3 = 3. Ako se u ovom izrazu dividenda i djelitelj pomnože ili podijele istim brojem, tada se kvocijent 3 neće promijeniti.

Pomnožimo dividendu i djelitelj s 2 i vidimo što će se dogoditi:

(9 × 2) : (3 × 2) = 18 : 6 = 3

Kao što se vidi iz primjera, kvocijent se nije promijenio.

Ista stvar se događa kada nosimo zarez u djelitelju iu djelitelju. U prethodnom primjeru, gdje smo podijelili 5,91 s 1,7, pomaknuli smo zarez jednu znamenku udesno u djelitelju i djelitelju. Nakon pomicanja zareza, razlomak 5,91 pretvoren je u razlomak 59,1, a razlomak 1,7 u uobičajeni broj 17.

Zapravo, unutar ovog procesa dogodilo se množenje s 10. Evo kako je to izgledalo:

5,91 × 10 = 59,1

Dakle, broj znamenki iza decimalne točke u djelitelju ovisi o tome čime će se djelitelj i djelitelj pomnožiti. Drugim riječima, broj znamenki iza decimalne točke u djelitelju će odrediti koliko će znamenki u djelitelju iu djelitelju biti pomaknut zarez udesno.

Decimalno dijeljenje s 10, 100, 1000

Dijeljenje decimale s 10, 100 ili 1000 izvodi se na isti način kao . Na primjer, podijelimo 2,1 s 10. Riješimo ovaj primjer kutom:

Ali postoji i drugi način. Lakši je. Suština ove metode je da se zarez u djelitelju pomakne ulijevo za onoliko znamenki koliko ima nula u djelitelju.

Riješimo prethodni primjer na ovaj način. 2.1: 10. Gledamo razdjelnik. Zanima nas koliko ima nula u njemu. Vidimo da postoji jedna nula. Dakle, u djeljivom 2.1 trebate pomaknuti zarez ulijevo za jednu znamenku. Pomaknemo zarez ulijevo za jednu znamenku i vidimo da više nema nijedne znamenke. U ovom slučaju dodajemo još jednu nulu prije broja. Kao rezultat, dobivamo 0,21

Pokušajmo podijeliti 2,1 sa 100. U broju 100 postoje dvije nule. Dakle, u djeljivom 2.1 trebate pomaknuti zarez ulijevo za dvije znamenke:

2,1: 100 = 0,021

Pokušajmo podijeliti 2,1 s 1000. U broju 1000 postoje tri nule. Dakle, u djeljivom 2.1 trebate pomaknuti zarez ulijevo za tri znamenke:

2,1: 1000 = 0,0021

Decimalno dijeljenje s 0,1, 0,01 i 0,001

Dijeljenje decimale s 0,1, 0,01 i 0,001 vrši se na isti način kao . U djelitelju i u djelitelju treba pomaknuti zarez udesno za onoliko znamenki koliko ima iza decimalne točke u djelitelju.

Na primjer, podijelimo 6,3 s 0,1. Najprije pomaknemo zareze u djelitelju iu djelitelju udesno za onoliko znamenki koliko ih ima iza decimalne točke u djelitelju. Djelitelj ima jednu znamenku iza decimalne točke. Dakle, pomaknemo zareze u djelitelju i u djelitelju udesno za jednu znamenku.

Nakon pomicanja decimalne točke udesno za jednu znamenku, decimalni razlomak 6,3 pretvara se u uobičajeni broj 63, a decimalni razlomak 0,1, nakon pomicanja decimalne točke udesno za jednu znamenku, pretvara se u jedinicu. A dijeljenje 63 s 1 vrlo je jednostavno:

Dakle, vrijednost izraza 6,3:0,1 jednaka je 63

Ali postoji i drugi način. Lakši je. Suština ove metode je da se zarez u djelitelju prebacuje udesno za onoliko znamenki koliko ima nula u djelitelju.

Riješimo prethodni primjer na ovaj način. 6,3:0,1. Pogledajmo razdjelnik. Zanima nas koliko ima nula u njemu. Vidimo da postoji jedna nula. Dakle, u djeljivom 6.3 trebate pomaknuti zarez udesno za jednu znamenku. Pomaknemo zarez udesno za jednu znamenku i dobijemo 63

Pokušajmo podijeliti 6,3 s 0,01. Djelitelj 0,01 ima dvije nule. Dakle, u djeljivom 6.3 trebate pomaknuti zarez udesno za dvije znamenke. Ali u dividendi postoji samo jedna znamenka iza decimalne točke. U tom slučaju na kraju se mora dodati još jedna nula. Kao rezultat, dobivamo 630

Pokušajmo podijeliti 6,3 s 0,001. Djelitelj 0,001 ima tri nule. Dakle, u djeljivom 6.3 trebate pomaknuti zarez udesno za tri znamenke:

6,3: 0,001 = 6300

Zadaci za samostalno rješavanje

Je li vam se svidjela lekcija?
Pridružite nam se nova grupa Vkontakte i počnite primati obavijesti o novim lekcijama

U prošloj lekciji smo naučili kako zbrajati i oduzimati decimalne razlomke (vidi lekciju " Zbrajanje i oduzimanje decimalnih razlomaka"). Istodobno su procijenili koliko su izračuni pojednostavljeni u usporedbi s uobičajenim "dvokatnim" frakcijama.

Nažalost, kod množenja i dijeljenja decimalnih razlomaka, ovaj učinak se ne pojavljuje. U nekim slučajevima decimalni zapis čak komplicira te operacije.

Prvo, uvedimo novu definiciju. Susretat ćemo ga dosta često, i to ne samo u ovoj lekciji.

Značajan dio broja je sve između prve i zadnje znamenke koja nije nula, uključujući najave. Riječ je o samo o brojevima, decimalna točka se ne uzima u obzir.

Znamenke uključene u značajni dio broja nazivaju se značajnim znamenkama. Mogu se ponavljati i čak biti jednaki nuli.

Na primjer, razmotrite nekoliko decimalnih razlomaka i napišite njihove odgovarajuće značajne dijelove:

1. 91,25 → 9125 (značajne brojke: 9; 1; 2; 5);
2. 0,008241 → 8241 (značajne brojke: 8; 2; 4; 1);
3. 15.0075 → 150075 (značajne brojke: 1; 5; 0; 0; 7; 5);
4. 0,0304 → 304 (značajne brojke: 3; 0; 4);
5. 3000 → 3 (postoji samo jedna značajna brojka: 3).

Imajte na umu: nule unutar značajnog dijela broja ne idu nikamo. Već smo se susreli s nečim sličnim kada smo učili pretvarati decimalne razlomke u obične (vidi lekciju “Decimalni razlomci”).

Ova točka je toliko važna, a pogreške se ovdje prave tako često da ću objaviti test na ovu temu u bliskoj budućnosti. Obavezno vježbajte! A mi, naoružani konceptom značajnog dijela, nastavit ćemo, zapravo, s temom lekcije.

Decimalno množenje

Operacija množenja sastoji se od tri uzastopna koraka:

1. Za svaki razlomak napiši značajni dio. Dobit ćete dva obična cijela broja - bez ikakvih nazivnika i decimalnih točaka;
2. Pomnožite ove brojeve na bilo koji prikladan način. Izravno, ako su brojevi mali, ili u stupcu. Dobivamo značajan dio željenog razlomka;
3. Saznajte gdje je i za koliko znamenki decimalna točka pomaknuta u izvornim razlomcima da bi se dobio odgovarajući značajni dio. Izvršite obrnute pomake na značajnom dijelu dobivenom u prethodnom koraku.

Još jednom vas podsjećam da se nule na stranama značajnog dijela nikada ne uzimaju u obzir. Ignoriranje ovog pravila dovodi do pogrešaka.

1. 0,28 12,5;
2. 6,3 1,08;
3. 132,5 0,0034;
4. 0,0108 1600,5;
5. 5,25 10.000.

Radimo s prvim izrazom: 0,28 12,5.

1. Ispišimo značajne dijelove za brojeve iz ovog izraza: 28 i 125;
2. Njihov umnožak: 28 125 = 3500;
3. U prvom množitelju, decimalna točka je pomaknuta za 2 znamenke udesno (0,28 → 28), au drugom - za još jednu znamenku. Ukupno je potreban pomak ulijevo za tri znamenke: 3500 → 3,500 = 3,5.

Sada se pozabavimo izrazom 6.3 1.08.

1. Ispišimo značajne dijelove: 63 i 108;
2. Njihov umnožak: 63 108 = 6804;
3. Opet dva pomaka udesno: za 2 odnosno 1 znamenku. Ukupno - opet 3 znamenke udesno, tako da će obrnuti pomak biti 3 znamenke ulijevo: 6804 → 6,804. Ovaj put nema nula na kraju.

Došli smo do trećeg izraza: 132,5 0,0034.

1. Značajni dijelovi: 1325. i 34.;
2. Njihov proizvod: 1325 34 = 45 050;
3. U prvom razlomku, decimalna točka ide udesno za 1 znamenku, au drugom - za čak 4. Ukupno: 5 udesno. Izvodimo pomak za 5 ulijevo: 45050 → .45050 = 0.4505. Nula je uklonjena na kraju i dodana naprijed kako ne bi ostala “gola” decimalna točka.

Sljedeći izraz: 0,0108 1600,5.

1. Značajne dijelove zapisujemo: 108 i 16 005;
2. Množimo ih: 108 16 005 = 1 728 540;
3. Brojimo brojeve nakon decimalne točke: u prvom broju su 4, u drugom - 1. Ukupno - opet 5. Imamo: 1 728 540 → 17,28540 = 17,2854. Na kraju je uklonjena “extra” nula.

Konačno, posljednji izraz: 5,25 10,000.

1. Značajni dijelovi: 525 i 1;
2. Množimo ih: 525 1 = 525;
3. Prvi razlomak je pomaknut za 2 znamenke udesno, a drugi razlomak je pomaknut za 4 znamenke ulijevo (10 000 → 1,0000 = 1). Ukupno 4 − 2 = 2 znamenke lijevo. Izvodimo obrnuti pomak za 2 znamenke udesno: 525, → 52 500 (morali smo dodati nule).

obrati pozornost na posljednji primjer: budući da se decimalna točka pomiče u različitim smjerovima, ukupni pomak je kroz razliku. Ovo je vrlo važna točka! Evo još jednog primjera:

Razmotrimo brojeve 1,5 i 12 500. Imamo: 1,5 → 15 (pomak za 1 udesno); 12 500 → 125 (pomak 2 ulijevo). “Koračimo” 1 znamenku udesno, a zatim 2 znamenke ulijevo. Kao rezultat, pomaknuli smo se 2 − 1 = 1 znamenku ulijevo.

Decimalno dijeljenje

Podjela je možda najviše komplicirana operacija. Naravno, ovdje možete djelovati analogno množenju: podijelite značajne dijelove, a zatim "pomaknite" decimalnu točku. Ali u ovom slučaju postoje mnoge suptilnosti koje negiraju potencijalne uštede.

Dakle, pogledajmo generički algoritam koji je malo duži, ali puno pouzdaniji:

1. Pretvorite sve decimale u obične razlomke. Uz malo vježbe, ovaj korak će vam oduzeti nekoliko sekundi;
2. Dobivene razlomke podijelite na klasičan način. Drugim riječima, pomnožite prvi razlomak s "obrnutim" drugim (pogledajte lekciju " Množenje i dijeljenje brojčanih razlomaka");
3. Ako je moguće, vratite rezultat kao decimalni broj. Ovaj korak je također brz, jer često nazivnik već ima snagu desetice.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza:

1. 3,51: 3,9;
2. 1,47: 2,1;
3. 6,4: 25,6:
4. 0,0425: 2,5;
5. 0,25: 0,002.

Razmotrimo prvi izraz. Prvo, pretvorimo obi razlomke u decimale:

Isto radimo s drugim izrazom. Brojnik prvog razlomka ponovno se rastavlja na faktore:

Postoji važna točka u trećem i četvrtom primjeru: nakon što se riješimo decimalnog zapisa, pojavljuju se poništivi razlomci. Međutim, nećemo izvršiti ovo smanjenje.

Zadnji primjer je zanimljiv jer je brojnik drugog razlomka prost broj. Ovdje se jednostavno nema što faktorizirati, pa ga smatramo "prazno kroz":

Ponekad dijeljenje rezultira cijelim brojem (govorim o zadnjem primjeru). U tom slučaju treći korak se uopće ne izvodi.

Osim toga, pri dijeljenju se često pojavljuju "ružni" razlomci koji se ne mogu pretvoriti u decimale. Tu se dijeljenje razlikuje od množenja, gdje se rezultati uvijek izražavaju u decimalnom obliku. Naravno, u ovom slučaju, zadnji korak se opet ne izvodi.

Obratite pozornost i na 3. i 4. primjer. U njima namjerno ne reduciramo obične razlomke dobivene iz decimala. Inače će biti teže inverzni problem- ponovno predstavljanje konačnog odgovora u decimalnom obliku.

Zapamtite: osnovno svojstvo razlomka (kao i bilo koje drugo pravilo u matematici) samo po sebi ne znači da se mora primjenjivati ​​svugdje i uvijek, u svakoj prilici.