Formula za izračunavanje opsega kruga. Sastavljanje sustava jednadžbi

Kružnica je niz točaka jednako udaljenih od jedne točke, koja je pak središte ove kružnice. Kružnica također ima svoj polumjer, jednak udaljenosti tih točaka od središta.

Omjer duljine kruga i njegova promjera jednak je za sve krugove. Ovaj omjer je broj koji je matematička konstanta, a označava se grčkim slovom π .

Određivanje opsega kruga

Krug možete izračunati pomoću sljedeće formule:

L= π D=2 π r

r- radijus kruga

D- promjer kruga

L- opseg

π - 3.14

Zadatak:

Izračunajte opseg s polumjerom od 10 centimetara.

Riješenje:

Formula za izračunavanje dina kružnice izgleda kao:

L= π D=2 π r

gdje je L opseg, π je 3,14, r je polumjer kruga, D je promjer kruga.

Dakle, opseg kruga polumjera 10 centimetara je:

L = 2 × 3,14 × 10 = 62,8 centimetara

Krug je geometrijski lik, koji je skup svih točaka na ravnini, udaljenih od date točke, koja se naziva njezinim središtem, na udaljenosti koja nije jednaka nuli i naziva se radijus. Znanstvenici su već u antičko doba znali odrediti njegovu duljinu s različitim stupnjevima točnosti: povjesničari znanosti smatraju da je prva formula za izračunavanje opsega kruga sastavljena oko 1900. godine prije Krista u starom Babilonu.

S takvim geometrijskim figurama kao što su krugovi susrećemo se svakodnevno i posvuda. To je njegov oblik koji ima vanjsku površinu kotača, koji su opremljeni raznim vozilima. Ovaj detalj, unatoč vanjskoj jednostavnosti i nepretencioznosti, smatra se jednim od najvećih izuma čovječanstva, a zanimljivo je da starosjedioci Australije i američki Indijanci, sve do dolaska Europljana, uopće nisu imali pojma o čemu se radi.

Po svoj prilici, prvi kotači bili su komadi balvana koji su bili pričvršćeni na osovinu. Postupno se dizajn kotača poboljšavao, njihov dizajn je postajao sve složeniji, a za njihovu izradu bilo je potrebno koristiti mnogo različitih alata. Najprije su se pojavili kotači koji se sastoje od drvenog ruba i žbica, a zatim su ih, kako bi smanjili trošenje vanjske površine, počeli tapecirati metalnim trakama. Da bi se odredile duljine ovih elemenata, potrebno je koristiti formulu za izračunavanje opsega (iako su u praksi, najvjerojatnije, majstori to radili "na oko" ili jednostavno opasali kotač trakom i odrezali potrebni dio njegov dio).

Treba napomenuti da kotač koristi se nikako samo u vozilima. Na primjer, lončarsko kolo ima svoj oblik, kao i elementi zupčanika zupčanika koji se široko koriste u tehnologiji. Od davnina su se kotači koristili u gradnji vodenica (najstarije takve građevine poznate znanstvenicima izgrađene su u Mezopotamiji), kao i kotača za izradu niti od životinjske vune i biljnih vlakana.

krugovičesto se nalaze u građevinarstvu. Njihov oblik su prilično rašireni okrugli prozori, vrlo karakteristični za romanički arhitektonski stil. Izrada ovih struktura vrlo je težak zadatak i zahtijeva visoku vještinu, kao i dostupnost posebnog alata. Jedna od varijanti okruglih prozora su prozori ugrađeni u brodove i zrakoplove.

Tako inženjeri dizajna često moraju rješavati problem određivanja opsega kruga, razvijajući razne strojeve, mehanizme i sklopove, kao i arhitekti i dizajneri. Budući da broj π potreban za to je beskonačan, onda nije moguće odrediti ovaj parametar s apsolutnom točnošću, pa se stoga u izračunima uzima u obzir onaj njegov stupanj koji je u konkretnom slučaju nužan i dovoljan.

Dakle, opseg ( C) može se izračunati množenjem konstante π po promjeru ( D), ili množenjem π dvostrukim radijusom, budući da je promjer jednak dvama radijusima. Posljedično, formula opsega izgledat će ovako:

C = πD = 2πR

gdje C- opseg, π - konstantno, D- promjer kruga, R je polumjer kruga.

Budući da je krug granica kruga, opseg kruga se također može nazvati duljinom kruga ili opsegom kruga.

Problemi za obim

Zadatak 1. Odredi opseg kruga ako je njegov promjer 5 cm.

Budući da je opseg π pomnožen s promjerom, tada će opseg kruga promjera 5 cm biti jednak:

C≈ 3,14 5 = 15,7 (cm)

Zadatak 2. Odredi opseg kruga čiji je polumjer 3,5 m.

Najprije pronađite promjer kruga množenjem duljine polumjera s 2:

D= 3,5 2 = 7 (m)

Sada pronađite opseg kruga množenjem π po promjeru:

C≈ 3,14 7 = 21,98 (m)

Zadatak 3. Odredi polumjer kružnice čija je duljina 7,85 m.

Da biste pronašli polumjer kruga s obzirom na njegovu duljinu, podijelite opseg s 2. π

Površina kruga

Površina kruga jednaka je proizvodu broja π na kvadrat radijusa. Formula za pronalaženje površine kruga:

S = pr 2

gdje S je površina kruga, i r je polumjer kruga.

Budući da je promjer kruga dvostruko veći od polumjera, polumjer je jednak promjeru podijeljenom s 2:

Problemi za područje kruga

Zadatak 1. Odredite površinu kruga ako je njegov polumjer 2 cm.

Budući da je površina kruga π pomnožen s kvadratom radijusa, tada će površina kruga s radijusom od 2 cm biti jednaka:

S≈ 3,14 2 2 \u003d 3,14 4 \u003d 12,56 (cm 2)

Zadatak 2. Odredite površinu kruga ako je njegov promjer 7 cm.

Najprije pronađite polumjer kruga tako da njegov promjer podijelite s 2:

7:2=3,5(cm)

Sada izračunavamo površinu kruga pomoću formule:

S = pr 2 ≈ 3,14 3,5 2 \u003d 3,14 12,25 \u003d 38,465 (cm 2)

Ovaj problem se može riješiti na drugi način. Umjesto da prvo pronađete radijus, možete koristiti formulu za pronalaženje površine kruga u smislu promjera:

S = π	D 2	≈ 3,14	7 2	= 3,14	49	=	153,86	\u003d 38,465 (cm 2)
	4		4		4		4

Zadatak 3. Odredi polumjer kruga ako je njegova površina 12,56 m 2.

Da biste pronašli polumjer kruga s obzirom na njegovu površinu, podijelite površinu kruga π , a zatim izvadite kvadratni korijen rezultata:

r = √S : π

pa će radijus biti:

r≈ √12,56: 3,14 = √4 = 2 (m)

Broj π

Opseg predmeta koji nas okružuju može se izmjeriti centimetarskom vrpcom ili užetom (koncem), čija se duljina zatim može zasebno izmjeriti. Ali u nekim je slučajevima teško ili gotovo nemoguće izmjeriti opseg, na primjer, unutarnji opseg boce ili samo opseg nacrtan na papiru. U takvim slučajevima možete izračunati opseg kruga ako znate duljinu njegovog promjera ili polumjera.

Da bismo razumjeli kako se to može učiniti, uzmimo nekoliko okruglih predmeta, kojima možete izmjeriti i opseg i promjer. Izračunavamo omjer duljine i promjera, kao rezultat dobivamo sljedeći niz brojeva:

Iz ovoga možemo zaključiti da je omjer opsega kruga i njegovog promjera stalna vrijednost za svaki pojedinačni krug i za sve krugove u cjelini. Ovaj odnos je označen slovom π .

Koristeći ovo znanje, možete koristiti polumjer ili promjer kruga da biste pronašli njegovu duljinu. Na primjer, da biste izračunali opseg kruga polumjera 3 cm, trebate pomnožiti polumjer s 2 (da bismo dobili promjer), a dobiveni promjer pomnožiti s π . Na kraju, s brojem π saznali smo da je opseg kruga polumjera 3 cm 18,84 cm.

Krug je zakrivljena linija koja zatvara kružnicu. U geometriji su figure ravne, pa se definicija odnosi na dvodimenzionalnu sliku. Pretpostavlja se da su sve točke ove krivulje jednako udaljene od središta kružnice.

Krug ima nekoliko karakteristika na temelju kojih se izrađuju izračuni povezani s ovom geometrijskom figurom. To uključuje: promjer, polumjer, površinu i opseg. Ove karakteristike su međusobno povezane, odnosno za njihovo izračunavanje dovoljan je podatak o barem jednoj od komponenti. Na primjer, znajući samo radijus geometrijske figure pomoću formule, možete pronaći opseg, promjer i njegovu površinu.

• Polumjer kruga je segment unutar kruga povezan s njegovim središtem.
• Promjer je isječak unutar kruga koji povezuje njegove točke i prolazi kroz središte. Zapravo, promjer je dva radijusa. Upravo ovako izgleda formula za njegov izračun: D=2r.
• Postoji još jedna komponenta kruga - akord. Ovo je ravna linija koja povezuje dvije točke na krugu, ali ne prolazi uvijek kroz središte. Dakle, tetiva koja prolazi kroz njega također se naziva promjer.

Kako pronaći opseg kruga? Sada saznajmo.

Opseg: formula

Za označavanje ove karakteristike odabrano je latinično slovo p. Arhimed je također dokazao da je omjer opsega kruga i njegovog promjera isti broj za sve krugove: to je broj π, koji je približno jednak 3,14159. Formula za izračunavanje π izgleda ovako: π = p/d. Prema ovoj formuli vrijednost p jednaka je πd, odnosno opsegu: p= πd. Budući da je d (promjer) jednak dvama polumjerima, ista formula za opseg može se napisati kao p=2πr. Razmotrimo primjenu formule koristeći jednostavne probleme kao primjer:

Zadatak 1

U podnožju Car zvona promjer je 6,6 metara. Koliki je obujam baze zvona?

1. Dakle, formula za izračunavanje kruga je p= πd
2. Zamjenjujemo postojeću vrijednost u formuli: p \u003d 3,14 * 6,6 \u003d 20,724

Odgovor: Opseg baze zvona je 20,7 metara.

Zadatak 2

Umjetni satelit Zemlje rotira na udaljenosti od 320 km od planeta. Polumjer Zemlje je 6370 km. Kolika je duljina kružne orbite satelita?

1. 1. Izračunajte radijus kružne orbite Zemljinog satelita: 6370+320=6690 (km)
2. 2. Izračunajte duljinu kružne orbite satelita pomoću formule: P=2πr
3. 3.P=2*3.14*6690=42013.2

Odgovor: duljina kružne putanje Zemljina satelita je 42013,2 km.

Metode mjerenja opsega

Izračunavanje opsega kruga u praksi se ne koristi često. Razlog tome je približna vrijednost broja π. U svakodnevnom životu koristi se poseban uređaj za određivanje duljine kruga - krivomjer. Proizvoljna referentna točka je označena na krugu i uređaj se vodi od nje strogo duž linije sve dok ponovno ne dođe do ove točke.

Kako pronaći opseg kruga? Samo trebate imati na umu jednostavne formule za izračune.

Kružnica je zatvorena krivulja čije su sve točke na istoj udaljenosti od središta. Ova figura je ravna. Stoga je rješenje problema, čije je pitanje kako pronaći opseg kruga, prilično jednostavno. Sve dostupne metode, razmotrit ćemo u današnjem članku.

Opisi figura

Osim prilično jednostavne opisne definicije, postoje još tri matematičke karakteristike kruga, koje same po sebi sadrže odgovor na pitanje kako pronaći opseg kruga:

• Sastoji se od točaka A i B i svih ostalih iz kojih se AB vidi pod pravim kutom. Promjer ove figure jednak je duljini segmenta koji se razmatra.
• Uključuje samo točke X tako da je omjer AX/BX konstantan i nije jednak jedan. Ako ovaj uvjet nije ispunjen, onda to nije krug.
• Sastoji se od točaka, za svaku od kojih vrijedi sljedeća jednakost: zbroj kvadrata udaljenosti do druge dvije je dana vrijednost, koja je uvijek veća od polovice duljine segmenta između njih.

Terminologija

Nisu svi u školi imali dobrog profesora matematike. Stoga je odgovor na pitanje kako pronaći opseg kruga također kompliciran činjenicom da ne znaju svi osnovne geometrijske pojmove. Radijus - segment koji spaja središte figure s točkom na krivulji. Poseban slučaj u trigonometriji je jedinična kružnica. Tetiva je isječak koji povezuje dvije točke na krivulji. Na primjer, već razmatrani AB potpada pod ovu definiciju. Promjer je tetiva koja prolazi središtem. Broj π jednak je duljini jedinične polukružnice.

Osnovne formule

Geometrijske formule izravno slijede iz definicija koje vam omogućuju izračunavanje glavnih karakteristika kruga:

1. Duljina je jednaka umnošku broja π i promjera. Formula se obično piše na sljedeći način: C = π*D.
2. Radijus je pola promjera. Također se može izračunati izračunavanjem kvocijenta dijeljenja opsega s dvostrukim brojem π. Formula izgleda ovako: R = C/(2* π) = D/2.
3. Promjer je jednak opsegu podijeljenom s π ili dvostrukim polumjerom. Formula je prilično jednostavna i izgleda ovako: D = C/π = 2*R.
4. Površina kruga jednaka je umnošku broja π i kvadrata polumjera. Slično, promjer se može koristiti u ovoj formuli. U tom će slučaju površina biti jednaka kvocijentu dijeljenja umnoška broja π i kvadrata promjera s četiri. Formula se može napisati na sljedeći način: S = π*R 2 = π*D 2 /4.

Kako pronaći opseg kruga iz promjera

Radi jednostavnosti objašnjenja, slovima označavamo karakteristike figure potrebne za izračunavanje. Neka je C željena duljina, D njezin promjer, a pi približno 3,14. Ako imamo samo jednu poznatu veličinu, tada se problem može smatrati riješenim. Zašto je to potrebno u životu? Pretpostavimo da odlučimo okrugli bazen ograditi ogradom. Kako izračunati potreban broj stupaca? I ovdje u pomoć dolazi sposobnost izračunavanja opsega kruga. Formula je sljedeća: C = π D. U našem primjeru promjer se određuje na temelju polumjera bazena i potrebne udaljenosti do ograde. Na primjer, pretpostavimo da je naš kućni umjetni rezervoar širok 20 metara, a mi ćemo postaviti stupove na udaljenosti od deset metara od njega. Promjer dobivenog kruga je 20 + 10 * 2 = 40 m. Duljina je 3,14 * 40 = 125,6 metara. Trebat će nam 25 stupova ako je razmak između njih oko 5 m.

Duljina kroz polumjer

Kao i uvijek, počnimo s dodjeljivanjem krugova slova karakteristikama. Zapravo, oni su univerzalni, pa matematičari iz različitih zemalja ne moraju međusobno poznavati jezik. Pretpostavimo da je C opseg kruga, r njegov polumjer, a π je približno 3,14. Formula u ovom slučaju izgleda ovako: C = 2*π*r. Očito je riječ o apsolutno ispravnoj jednakosti. Kao što smo već shvatili, promjer kruga jednak je dvostrukom polumjeru, pa ova formula izgleda ovako. U životu, ova metoda također može često dobro doći. Na primjer, kolač pečemo u posebnom kliznom obliku. Kako se ne bi zaprljao, potreban nam je ukrasni omot. Ali kako izrezati krug željene veličine. Tu u pomoć stiže matematika. Oni koji znaju kako saznati opseg kruga odmah će reći da morate pomnožiti broj π s dvostrukim polumjerom oblika. Ako je njegov polumjer 25 cm, tada će duljina biti 157 centimetara.

Primjeri zadataka

Već smo razmotrili nekoliko praktičnih slučajeva stečenog znanja o tome kako saznati opseg kruga. Ali često se ne bavimo njima, već pravim matematičkim problemima koji se nalaze u udžbeniku. Uostalom, učitelj daje bodove za njih! Stoga, razmotrimo problem povećane složenosti. Pretpostavimo da je opseg 26 cm. Kako pronaći polumjer takve figure?

Primjer rješenja

Za početak, zapišimo što nam je dano: C \u003d 26 cm, π \u003d 3,14. Također zapamtite formulu: C = 2* π*R. Iz njega možete izvući radijus kruga. Dakle, R= C/2/π. Sada prijeđimo na izravni izračun. Najprije podijelite duljinu s dva. Dobivamo 13. Sada trebamo podijeliti s vrijednošću broja π: 13 / 3,14 \u003d 4,14 cm. Važno je ne zaboraviti pravilno zapisati odgovor, odnosno s mjernim jedinicama, inače cijela praktična gubi se značenje takvih problema. Osim toga, za takvu nepažnju možete dobiti ocjenu za jedan bod nižu. I koliko god to bilo neugodno, morate se pomiriti s takvim stanjem stvari.

Zvijer nije tako strašna kao što je naslikana

Tako smo shvatili tako težak zadatak na prvi pogled. Kako se pokazalo, samo trebate razumjeti značenje pojmova i zapamtiti nekoliko jednostavnih formula. Matematika nije tako strašna, samo se treba malo potruditi. Dakle, geometrija vas čeka!

Prvo shvatimo razliku između kruga i kruga. Da biste vidjeli ovu razliku, dovoljno je razmotriti koje su obje brojke. To je beskonačan broj točaka u ravnini, koje se nalaze na jednakoj udaljenosti od jedne središnje točke. Ali, ako se krug sastoji i od unutarnjeg prostora, onda ne pripada krugu. Ispada da je kružnica i kružnica koja je omeđuje (o-kružnost (g)okrug), i nebrojeno mnogo točaka koje se nalaze unutar kružnice.

Za svaku točku L koja leži na kružnici vrijedi jednakost OL=R. (Duljina segmenta OL jednaka je polumjeru kruga).

Isječak koji spaja dvije točke na kružnici je akord.

Tetiva koja prolazi izravno kroz središte kruga je promjer ovaj krug (D) . Promjer se može izračunati pomoću formule: D=2R

Opseg izračunava se po formuli: C=2\pi R

Površina kruga: S=\pi R^(2)

luk kruga zove se onaj njezin dio, koji se nalazi između dviju njegovih točaka. Ove dvije točke određuju dva kružna luka. Tetiva CD obuhvaća dva luka: CMD i CLD. Iste tetive pokrivaju iste lukove.

Središnji kut je kut između dva radijusa.

dužina luka može se pronaći pomoću formule:

1. Korištenje stupnjeva: CD = \frac(\pi R \alpha ^(\circ))(180^(\circ))
2. Korištenje radijanske mjere: CD = \alpha R

Promjer koji je okomit na tetivu raspolavlja tetivu i lukove koje ona obuhvaća.

Ako se tetive AB i CD kružnice sijeku u točki N, tada su umnošci odsječaka tetiva odvojenih točkom N međusobno jednaki.

AN\cdot NB = CN \cdot ND

Tangenta na kružnicu

Tangenta na kružnicu Uobičajeno je nazvati ravnu liniju koja ima jednu zajedničku točku s krugom.

Ako pravac ima dvije zajedničke točke, naziva se sječna.

Ako nacrtate radijus na točki dodira, on će biti okomit na tangentu kružnice.

Povucimo dvije tangente iz ove točke na našu kružnicu. Ispada da će segmenti tangenti biti jednaki jedan drugome, a središte kruga nalazit će se na simetrali kuta s vrhom u ovoj točki.

AC=CB

Sada povlačimo tangentu i sekantu na kružnicu iz naše točke. Dobivamo da će kvadrat duljine segmenta tangente biti jednak proizvodu cijelog segmenta sekante s njegovim vanjskim dijelom.

AC^(2) = CD \cdot BC

Možemo zaključiti: umnožak cjelobrojnog odsječka prve sekante s njezinim vanjskim dijelom jednak je umnošku cjelobrojnog odsječka druge sekante s njezinim vanjskim dijelom.

AC \cdot BC = EC \cdot DC

Kutovi u krugu

Stupnjeve mjere središnjeg kuta i luka na kojem se on oslanja jednake su.

\kut COD = \cup CD = \alpha ^(\circ)

Upisani kut je kut čiji je vrh na kružnici i čije stranice sadrže tetive.

Možete ga izračunati ako znate veličinu luka, budući da je jednaka polovici ovog luka.

\kut AOB = 2 \kut ADB

Na temelju promjera, upisanog kuta, pravca.

\kut CBD = \kut CED = \kut CAD = 90^ (\circ)

Upisani kutovi koji se naslanjaju na isti luk su identični.

Upisani kutovi koji se temelje na istoj tetivi su identični ili je njihov zbroj jednak 180^ (\circ) .

\kut ADB + \kut AKB = 180^ (\circ)

\kut ADB = \kut AEB = \kut AFB

Na istoj kružnici nalaze se vrhovi trokuta s jednakim kutovima i zadanom osnovicom.

Kut s vrhom unutar kružnice koji se nalazi između dviju tetiva identičan je polovici zbroja kutnih veličina kružnih lukova koji se nalaze unutar zadanog i okomitog kuta.

\kut DMC = \kut ADM + \kut DAM = \frac(1)(2) \lijevo (\čaša DmC + \šalica AlB \desno)

Kut s vrhom izvan kruga koji se nalazi između dviju sekanti identičan je polovici razlike u kutnim veličinama kružnih lukova koji su unutar kuta.

\kut M = \kut CBD - \kut ACB = \frac(1)(2) \lijevo (\čaša DmC - \šalica AlB \desno)

Upisani krug

Upisani krug je kružnica tangenta na stranice mnogokuta.

U točki gdje se sijeku simetrale kutova mnogokuta nalazi se njegovo središte.

Kružnica ne može biti upisana u svaki poligon.

Površina poligona s upisanom kružnicom nalazi se po formuli:

S=pr,

p je poluopseg poligona,

r je polumjer upisane kružnice.

Slijedi da je polumjer upisane kružnice:

r = \frac(S)(p)

Zbrojevi duljina nasuprotnih stranica bit će identični ako je kružnica upisana u konveksni četverokut. I obrnuto: konveksnom četverokutu je upisana kružnica ako su zbrojevi duljina nasuprotnih stranica u njemu jednaki.

AB+DC=AD+BC

U bilo koji od trokuta moguće je upisati krug. Samo jedan jedini. U točki gdje se sijeku simetrale unutarnjih kutova lika bit će središte ove upisane kružnice.

Polumjer upisane kružnice izračunava se po formuli:

r = \frac(S)(p),

gdje je p = \frac(a + b + c)(2)

Opisani krug

Ako kružnica prolazi kroz svaki vrh poligona, tada se takva kružnica naziva opisan oko poligona.

Središte opisane kružnice bit će u točki sjecišta simetrala okomitih stranica ove figure.

Polumjer se može pronaći tako da se izračuna kao polumjer kružnice koja je opisana oko trokuta određenog s bilo koja 3 vrha poligona.

Postoji sljedeći uvjet: krug se može opisati oko četverokuta samo ako je zbroj njegovih nasuprotnih kutova jednak 180^( \circ) .

\kut A + \kut C = \kut B + \kut D = 180^ (\krug)

U blizini svakog trokuta moguće je opisati kružnicu, i to jednu i samo jednu. Središte takve kružnice nalazit će se na mjestu gdje se sijeku okomite simetrale stranica trokuta.

Polumjer opisane kružnice može se izračunati po formulama:

R = \frac(a)(2 \sin A) = \frac(b)(2 \sin B) = \frac(c)(2 \sin C)

R = \frac(abc)(4S)

a, b, c su duljine stranica trokuta,

S je površina trokuta.

Ptolemejev teorem

Na kraju, razmotrimo Ptolemejev teorem.

Ptolemejev teorem tvrdi da je umnožak dijagonala identičan zbroju umnožaka suprotnih stranica upisanog četverokuta.

AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD