Formula za visinu trokutaste piramide. Piramida

Definicija

Piramida je poliedar sastavljen od poligona $A_1A_2...A_n$ i $n$ trokuta sa zajedničkim vrhom $P$ (koji ne leži u ravnini poligona) i suprotnim stranicama koje se podudaraju sa stranicama poligon.
Oznaka: $PA_1A_2...A_n$ .
Primjer: peterokutna piramida $PA_1A_2A_3A_4A_5$ .

Trokuti $PA_1A_2, \ PA_2A_3$ itd. nazvao bočna lica piramide, segmenti $PA_1, PA_2$ itd. - bočna rebra, poligon $A_1A_2A_3A_4A_5$ – osnova, točka $P$ – summit.

Visina Piramide su okomice spuštene s vrha piramide na ravninu baze.

Piramida s trokutom u osnovi naziva se tetraedar.

Piramida se zove ispraviti, ako mu je baza pravilan mnogokut i ako je ispunjen jedan od sljedećih uvjeta:

$(a)$ bočni bridovi piramide su jednaki;

$(b)$ visina piramide prolazi kroz središte opisane kružnice blizu baze;

$(c)$ bočna rebra su nagnuta prema ravnini baze pod istim kutom.

$(d)$ bočne plohe nagnute su prema ravnini baze pod istim kutom.

pravilni tetraedar je trokutasta piramida, čija su sva lica jednaki jednakostranični trokuti.

Teorema

Uvjeti $(a), (b), (c), (d)$ su ekvivalentni.

Dokaz

Nacrtaj visinu piramide $PH$ . Neka je $\alpha$ ravnina baze piramide.

1) Dokažimo da $(a)$ implicira $(b)$ . Neka $PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n$ .

Jer $PH\perp \alpha$ , tada je $PH$ okomit na bilo koji pravac koji leži u ovoj ravnini, pa su trokuti pravokutni. Dakle, ovi su trokuti jednaki u zajedničkom kraku $PH$ i hipotenuzi $PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n$ . Dakle $A_1H=A_2H=...=A_nH$ . To znači da su točke $A_1, A_2, ..., A_n$ na istoj udaljenosti od točke $H$, dakle, leže na istoj kružnici polumjera $A_1H$. Ova je kružnica, po definiciji, opisana oko poligona $A_1A_2...A_n$ .

2) Dokažimo da $(b)$ implicira $(c)$ .

$PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH$ pravokutan i jednak u dva kraka. Dakle, njihovi kutovi su također jednaki, dakle, $\kut PA_1H=\kut PA_2H=...=\kut PA_nH$.

3) Dokažimo da $(c)$ implicira $(a)$ .

Slično prvoj točki, trokuti $PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH$ pravokutnog i uz krak i šiljasti kut. To znači da su i njihove hipotenuze jednake, odnosno $PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n$ .

4) Dokažimo da $(b)$ implicira $(d)$ .

Jer kod pravilnog mnogokuta se središta opisane i upisane kružnice poklapaju (općenito govoreći, ta se točka naziva središtem pravilnog mnogokuta), tada je $H$ središte upisane kružnice. Povucimo okomice iz točke $H$ na stranice baze: $HK_1, HK_2$ itd. To su polumjeri upisane kružnice (po definiciji). Zatim, prema TTP, ($PH$ je okomica na ravninu, $HK_1, HK_2$, itd. su projekcije okomite na stranice) koso $PK_1, PK_2$, itd. okomito na stranice $A_1A_2, A_2A_3$, itd. odnosno. Dakle, po definiciji $\kut PK_1H, \kut PK_2H$ jednaki kutovima između bočnih stranica i baze. Jer trokuti $PK_1H, PK_2H, ...$ jednaki (kao pravokutni na dvije noge), tada su kutovi $\kut PK_1H, \kut PK_2H, ...$ su jednaki.

5) Dokažimo da $(d)$ implicira $(b)$ .

Slično četvrtoj točki, trokuti $PK_1H, PK_2H, ...$ su jednaki (kao pravokutnik uz krak i oštar kut), što znači da su segmenti $HK_1=HK_2=...=HK_n$ su jednaki. Dakle, po definiciji, $H$ je središte kruga upisanog u bazu. Ali budući da za pravilne mnogokute, središta upisane i opisane kružnice se podudaraju, tada je $H$ središte opisane kružnice. Chtd

Posljedica

Bočne plohe pravilne piramide jednaki su jednakokračni trokuti.

Definicija

Visina bočne strane pravilne piramide, izvučena iz njenog vrha, naziva se apothema.
Apoteme svih bočnih stranica pravilne piramide su međusobno jednake i ujedno su i središnje i simetrale.

Važne bilješke

1. Visina pravilne trokutaste piramide pada u sjecište visina (ili simetrala, odnosno središnjica) baze (baza je pravilan trokut).

2. Visina pravilne četverokutne piramide pada na sjecište dijagonala baze (baza je kvadrat).

3. Visina pravilne šesterokutne piramide pada u točku presjeka dijagonala baze (osnova je pravilan šesterokut).

4. Visina piramide je okomita na bilo koju ravnu crtu koja leži na bazi.

Definicija

Piramida se zove pravokutan ako je jedan njegov bočni brid okomit na ravninu baze.

Važne bilješke

1. Za pravokutnu piramidu, brid okomit na bazu je visina piramide. Odnosno, $SR$ je visina.

2. Jer $SR$ okomito na bilo koji pravac iz baze, dakle $\trokut SRM, \trokut SRP$ su pravokutni trokuti.

3. Trokuti $\trokut SRN, \trokut SRK$ također su pravokutni.
To jest, bilo koji trokut formiran od ovog brida i dijagonale koja izlazi iz vrha ovog brida, koji leži na bazi, bit će pravokutan.

\[(\Large(\text(Volumen i površina piramide)))\]

Teorema

Volumen piramide jednak je jednoj trećini umnoška površine baze i visine piramide: \

Posljedice

Neka je $a$ stranica baze, $h$ visina piramide.

1. Volumen pravilne trokutaste piramide je $V_(\tekst(pravokutni trokut pyr.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h$,

2. Zapremina pravilne četverokutne piramide je $V_(\text(right.four.pyre.))=\dfrac13a^2h$.

3. Volumen pravilne šesterokutne piramide je $V_(\text(right.hex.pyr.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h$.

4. Volumen pravilnog tetraedra je $V_(\tekst(desna tetra.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3$.

Teorema

Površina bočne površine pravilne piramide jednaka je polovici umnoška opsega baze i apoteme.

\[(\Large(\text(Krunja piramida)))\]

Definicija

Razmotrimo proizvoljnu piramidu $PA_1A_2A_3...A_n$ . Povucimo ravninu paralelnu s bazom piramide kroz određenu točku koja leži na bočnom rubu piramide. Ova ravnina će podijeliti piramidu na dva poliedra, od kojih je jedan piramida ($PB_1B_2...B_n$ ), a drugi je tzv. krnja piramida($A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n$ ).

Krnja piramida ima dvije baze - poligone $A_1A_2...A_n$ i $B_1B_2...B_n$ koji su međusobno slični.

Visina krnje piramide je okomica povučena iz neke točke gornje baze na ravninu donje baze.

Važne bilješke

1. Sve bočne plohe krnje piramide su trapezi.

2. Segment koji povezuje središta baza pravilne krnje piramide (odnosno piramide dobivene presjekom pravilne piramide) je visina.

Prilikom rješavanja zadatka C2 koordinatnom metodom mnogi se učenici suočavaju s istim problemom. Ne znaju izračunati koordinate točke uključena u formulu skalarnog produkta. Najveće poteškoće su piramide. A ako se bazne točke smatraju koliko-toliko normalnim, onda su vrhovi pravi pakao.

Danas ćemo se baviti pravilnom četverokutnom piramidom. Tu je i trokutasta piramida (aka - tetraedar). Ovo je složeniji dizajn, pa će mu biti posvećena zasebna lekcija.

Počnimo s definicijom:

Pravilna piramida je ona u kojoj:

Baza je pravilan poligon: trokut, kvadrat itd.;

Visina povučena bazi prolazi kroz njezino središte.

Konkretno, baza četverokutne piramide je kvadrat. Baš kao Keops, samo malo manji.

Ispod su izračuni za piramidu čiji su svi bridovi jednaki 1. Ako to nije slučaj u vašem problemu, izračuni se ne mijenjaju - samo će brojevi biti drugačiji.

Vrhovi četverokutne piramide

Dakle, neka je dana pravilna četverokutna piramida SABCD, gdje je S vrh, baza ABCD je kvadrat. Svi bridovi su jednaki 1. Potrebno je unijeti koordinatni sustav i pronaći koordinate svih točaka. Imamo:

Uvodimo koordinatni sustav s ishodištem u točki A:

Os OX usmjerena je paralelno s bridom AB ;
Os OY - paralelna s AD . Kako je ABCD kvadrat, AB ⊥ AD ;
Konačno, os OZ je usmjerena prema gore, okomito na ravninu ABCD.

Sada razmatramo koordinate. Dogradnja: SH - visina izvučena na bazu. Radi praktičnosti, izvadit ćemo bazu piramide u zasebnu sliku. Kako točke A , B , C i D leže u ravnini OXY njihova je koordinata z = 0. Imamo:

A = (0; 0; 0) - poklapa se s ishodištem;
B = (1; 0; 0) - korak po 1 duž OX osi od ishodišta;
C = (1; 1; 0) - korak za 1 duž OX osi i za 1 duž OY osi;
D = (0; 1; 0) - korak samo duž OY osi.
H \u003d (0,5; 0,5; 0) - središte kvadrata, sredina segmenta AC.

Ostaje pronaći koordinate točke S. Imajte na umu da su koordinate x i y točaka S i H iste jer leže na ravnoj liniji paralelnoj s osi OZ. Preostaje pronaći koordinatu z za točku S .

Razmotrimo trokute ASH i ABH:

AS = AB = 1 prema uvjetu;
Kut AHS = AHB = 90° jer je SH visina, a AH ⊥ HB kao dijagonale kvadrata;
Strana AH - zajednička.

Stoga pravokutni trokuti ASH i ABH jednak jedna kateta i jedna hipotenuza. Dakle, SH = BH = 0,5 BD. Ali BD je dijagonala kvadrata sa stranicom 1. Dakle, imamo:

Ukupne koordinate točke S:

Zaključno, zapisujemo koordinate svih vrhova pravilne pravokutne piramide:

Što učiniti kada su rebra različita

Ali što ako bočni bridovi piramide nisu jednaki bridovima baze? U ovom slučaju, razmotrite trokut AHS:

Trokut AHS- pravokutan, a hipotenuza AS također je bočni brid izvorne piramide SABCD . Noga AH se lako razmatra: AH = 0,5 AC. Pronađite preostali krak SH prema Pitagorinoj teoremi. Ovo će biti z koordinata za točku S.

Zadatak. Dana je pravilna četverokutna piramida SABCD , u čijoj osnovi leži kvadrat sa stranicom 1. Bočni brid BS = 3. Odredi koordinate točke S .

Već znamo x i y koordinate ove točke: x = y = 0,5. To proizlazi iz dvije činjenice:

Projekcija točke S na ravninu OXY je točka H;
Istovremeno, točka H je središte kvadrata ABCD čije su sve stranice jednake 1.

Ostaje pronaći koordinatu točke S. Promotrimo trokut AHS. Pravokutan je, s hipotenuzom AS = BS = 3, krak AH je pola dijagonale. Za daljnje izračune potrebna nam je njegova duljina:

Pitagorin poučak za trokut AHS : AH 2 + SH 2 = AS 2 . Imamo:

Dakle, koordinate točke S:

Koncept piramide

Definicija 1

Geometrijski lik kojeg tvore mnogokut i točka koja ne leži u ravnini koja sadrži taj mnogokut, povezana sa svim vrhovima mnogokuta, naziva se piramida (slika 1).

Mnogokut od kojeg je sastavljena piramida naziva se baza piramide, trokuti dobiveni spajanjem s točkom su bočne strane piramide, stranice trokuta su stranice piramide, a točka zajednička svim trokuta je vrh piramide.

Vrste piramida

Ovisno o broju uglova u podnožju piramide, može se nazvati trokutasta, četverokuta i tako dalje (slika 2).

Slika 2.

Druga vrsta piramide je pravilna piramida.

Uvedimo i dokažimo svojstvo pravilne piramide.

Teorem 1

Sve bočne strane pravilne piramide su jednakokračni trokuti koji su međusobno jednaki.

Dokaz.

Promotrimo pravilnu $n-$kutnu piramidu s vrhom $S$ visine $h=SO$. Opišimo kružnicu oko baze (slika 4).

Slika 4

Promotrimo trokut $SOA$. Po Pitagorinoj teoremi dobivamo

Očito je da će svaki bočni rub biti definiran na ovaj način. Stoga su svi bočni bridovi međusobno jednaki, odnosno sve su bočne plohe jednakokračni trokuti. Dokažimo da su međusobno jednaki. Budući da je baza pravilan mnogokut, osnovice svih bočnih stranica su međusobno jednake. Prema tome, sve su bočne strane jednake prema III znaku jednakosti trokuta.

Teorem je dokazan.

Sada uvodimo sljedeću definiciju vezanu uz pojam pravilne piramide.

Definicija 3

Apotem pravilne piramide je visina njezine bočne strane.

Očito, prema teoremu 1, svi apotemi su jednaki.

Teorem 2

Bočna površina pravilne piramide definirana je kao umnožak poluopsega baze i apoteme.

Dokaz.

Označimo stranicu baze piramide $n-$ugljena s $a$, a apotemu s $d$. Stoga je površina bočne strane jednaka

Budući da su prema teoremu 1 sve strane jednake, onda

Teorem je dokazan.

Drugi tip piramide je krnja piramida.

Definicija 4

Ako se kroz običnu piramidu povuče ravnina paralelna s njezinom bazom, tada se lik formiran između te ravnine i ravnine baze naziva krnja piramida (slika 5).

Slika 5. Krnja piramida

Bočne strane krnje piramide su trapezi.

Teorem 3

Površina bočne površine pravilne krnje piramide definirana je kao umnožak zbroja poluperimetara baza i apoteme.

Dokaz.

Označimo stranice baza $n-$ugljene piramide s $a\ odnosno\ b$, a apotemu s $d$. Stoga je površina bočne strane jednaka

Budući da su sve strane jednake, dakle

Teorem je dokazan.

Primjer zadatka

Primjer 1

Odredite površinu bočne površine krnje trokutaste piramide ako je dobivena od pravilne piramide s osnovnom stranom 4 i apotemom 5 odsijecanjem ravninom koja prolazi kroz središnju liniju bočnih stranica.

Riješenje.

Prema teoremu o središnjoj liniji dobivamo da je gornja baza krnje piramide jednaka $4\cdot \frac(1)(2)=2$, a apotem jednak $5\cdot \frac(1)( 2)=2,5 dolara.

Zatim, prema teoremu 3, dobivamo

Hipoteza: vjerujemo da je savršenstvo oblika piramide posljedica matematičkih zakona ugrađenih u njezin oblik.

Cilj: proučavajući piramidu kao geometrijsko tijelo, objasniti savršenstvo njezina oblika.

Zadaci:

1. Dajte matematičku definiciju piramide.

2. Proučiti piramidu kao geometrijsko tijelo.

3. Razumjeti koja su matematička znanja Egipćani položili u svoje piramide.

Privatna pitanja:

1. Što je piramida kao geometrijsko tijelo?

2. Kako se jedinstveni oblik piramide može matematički objasniti?

3. Što objašnjava geometrijska čuda piramide?

4. Čime se objašnjava savršenstvo oblika piramide?

Definicija piramide.

PIRAMIDA (od grčkog pyramis, rod n. pyramidos) - poliedar, čija je baza poligon, a preostala lica su trokuti sa zajedničkim vrhom (figura). Prema broju kutova baze, piramide su trokutaste, četverokutne itd.

PIRAMIDA - monumentalna građevina koja ima geometrijski oblik piramide (ponekad i stepenaste ili tornjaste). Divovske grobnice staroegipatskih faraona 3.-2. tisućljeća prije Krista nazivaju se piramidama. e., kao i drevni američki pijedestali hramova (u Meksiku, Gvatemali, Hondurasu, Peruu) povezani s kozmološkim kultovima.

Moguće je da grčka riječ "piramida" dolazi od egipatskog izraza per-em-us, odnosno od izraza koji je označavao visinu piramide. Istaknuti ruski egiptolog V. Struve smatrao je da grčki “puram…j” dolazi od staroegipatskog “p”-mr”.

Iz povijesti. Proučivši materijal u udžbeniku "Geometrija" autora Atanasyana. Butuzova i drugih naučili smo da: Poliedar sastavljen od n-kuta A1A2A3 ... An i n trokuta RA1A2, RA2A3, ..., RAnA1 nazivamo piramidom. Mnogokut A1A2A3 ... An je baza piramide, a trokuti RA1A2, RA2A3, ..., PAnA1 su bočne stranice piramide, P je vrh piramide, segmenti RA1, RA2, .. ., RAn su bočni bridovi.

Međutim, takva definicija piramide nije uvijek postojala. Na primjer, starogrčki matematičar, autor teorijskih rasprava o matematici koji su došli do nas, Euklid, definira piramidu kao čvrstu figuru omeđenu ravninama koje konvergiraju iz jedne ravnine u jednu točku.

Ali ova je definicija kritizirana već u antici. Stoga je Heron predložio sljedeću definiciju piramide: "Ovo je figura omeđena trokutima koji se skupljaju u jednoj točki i čija je baza poligon."

Naša grupa je, uspoređujući ove definicije, došla do zaključka da one nemaju jasnu formulaciju pojma „temelj“.

Proučavali smo ove definicije i pronašli definiciju Adriena Marie Legendrea, koji je 1794. u svom djelu “Elementi geometrije” definirao piramidu na sljedeći način: “Piramida je tjelesna figura koju čine trokuti koji se skupljaju u jednoj točki i završavaju na različitim stranama ravna baza.”

Čini nam se da posljednja definicija daje jasnu ideju o piramidi, budući da se odnosi na činjenicu da je baza ravna. Još jedna definicija piramide pojavila se u udžbeniku iz 19. stoljeća: "piramida je puni kut presječen ravninom."

Piramida kao geometrijsko tijelo.

Da. Piramida je poliedar čija je jedna strana (baza) poligon, a ostale strane (stranice) su trokuti koji imaju jedan zajednički vrh (vrh piramide).

Okomica povučena s vrha piramide na ravninu baze naziva se visokh piramide.

Osim proizvoljne piramide, postoje desna piramida, u čijoj osnovi je pravilan mnogokut i krnja piramida.

Na slici - piramida PABCD, ABCD - njena baza, PO - visina.

Puna površina Piramida se naziva zbrojem površina svih njezinih lica.

Pun = Sstrana + Sbaza, gdje Sside je zbroj površina bočnih stranica.

volumen piramide nalazi se prema formuli:

V=1/3Sosnova h, gdje je Sosn. - osnovna površina h- visina.

Os pravilne piramide je pravac koji sadrži njezinu visinu.
Apotem ST - visina bočne strane pravilne piramide.

Površina bočne strane pravilne piramide izražava se na sljedeći način: Sstrana. =1/2P h, gdje je P opseg baze, h- visina bočne strane (apotem pravilne piramide). Ako piramidu presječe ravnina A'B'C'D' paralelna s bazom, tada:

1) bočni rubovi i visina podijeljeni su ovom ravninom na proporcionalne dijelove;

2) u presjeku se dobije poligon A'B'C'D' sličan osnovici;

DIV_ADBLOCK914">

Pravilna trokutasta piramida naziva se tetraedar .

Krnja piramida dobiva se odsijecanjem gornjeg dijela piramide ravninom paralelnom s bazom (slika ABCDD'C'B'A').

Osnove krnje piramide su slični mnogokuti ABCD i A`B`C`D`, bočne strane su trapezi.

Visina krnja piramida – razmak između baza.

Skraćeni volumen piramida se nalazi po formuli:

V=1/3 h(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" align="left" width="91" height="96"> Površina bočne površine pravilne krnje piramide izražava se kako slijedi: Sstrana = ½(P+P') h, gdje su P i P’ perimetri baza, h- visina bočnog lica (apotem pravilnog skraćenog blagdanima

Sekcije piramide.

Odsječci piramide ravninama koje prolaze kroz njen vrh su trokuti.

Odsjek koji prolazi kroz dva nesusjedna bočna ruba piramide naziva se dijagonalni presjek.

Ako presjek prolazi kroz točku na bočnom rubu i strani baze, tada će ta strana biti njegov trag na ravnini baze piramide.

Presjek koji prolazi kroz točku koja leži na licu piramide, a zadani trag presjeka na ravnini baze, tada konstrukciju treba izvesti na sljedeći način:

pronaći sjecište ravnine zadane plohe i traga isječka piramide i označiti ga;

izgraditi ravnu liniju koja prolazi kroz zadanu točku i rezultirajuću točku sjecišta;

· Ponovite ove korake za sljedeća lica.

, što odgovara omjeru kateta pravokutnog trokuta 4:3. Ovaj omjer kateta odgovara dobro poznatom pravokutnom trokutu sa stranicama 3:4:5, koji se naziva "savršenim", "svetim" ili "egipatskim" trokutom. Prema povjesničarima, "egipatskom" trokutu dano je čarobno značenje. Plutarh je napisao da su Egipćani usporedili prirodu svemira sa "svetim" trokutom; simbolično su usporedili okomitu nogu s mužem, bazu sa ženom, a hipotenuzu s onim što je rođeno od oboje.

Za trokut 3:4:5 vrijedi jednakost: 32 + 42 = 52, što izražava Pitagorin teorem. Nije li ovaj teorem ono što su egipatski svećenici htjeli ovjekovječiti podižući piramidu na temelju trokuta 3:4:5? Teško je pronaći bolji primjer za ilustraciju Pitagorinog teorema, koji je bio poznat Egipćanima mnogo prije nego što ga je Pitagora otkrio.

Tako su domišljati tvorci egipatskih piramida nastojali impresionirati daleke potomke dubinom svog znanja, a to su postigli tako što su kao "glavnu geometrijsku ideju" za Keopsovu piramidu odabrali - "zlatni" pravokutni trokut, i za piramidu Khafre - "sveti" ili "egipatski" trokut.

Vrlo često znanstvenici u svojim istraživanjima koriste svojstva piramida s proporcijama zlatnog reza.

U matematičkom enciklopedijskom rječniku dana je sljedeća definicija zlatnog presjeka - to je harmonijska podjela, podjela u ekstremnom i prosječnom omjeru - podjela segmenta AB na dva dijela na takav način da je većina njegovog AC prosječna proporcionalna između cijelog segmenta AB i njegovog manjeg dijela CB.

Algebarsko nalaženje zlatnog presjeka segmenta AB = a svodi na rješavanje jednadžbe a: x = x: (a - x), odakle je x približno jednak 0,62a. Omjer x može se izraziti kao razlomci 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21…= 0,618, gdje su 2, 3, 5, 8, 13, 21 Fibonaccijevi brojevi.

Geometrijska konstrukcija zlatnog presjeka segmenta AB izvodi se na sljedeći način: u točki B vraća se okomica na AB, na nju se postavlja segment BE \u003d 1/2 AB, A i E su povezani, DE \ u003d BE se odgađa i, konačno, AC \u003d AD, tada je ispunjena jednakost AB: CB = 2: 3.

Zlatni rez često se koristi u umjetničkim djelima, arhitekturi, a nalazi se i u prirodi. Živopisni primjeri su skulptura Apolona Belvedere, Partenon. Prilikom izgradnje Partenona korišten je omjer visine građevine i njezine dužine i taj omjer iznosi 0,618. Predmeti oko nas također pružaju primjere zlatnog reza, na primjer, uvezi mnogih knjiga imaju omjer širine i duljine blizu 0,618. Promatrajući raspored listova na zajedničkoj stabljici biljaka, uočava se da se između svaka dva para listova treći nalazi na mjestu zlatnog reza (slajdovi). Svatko od nas "nosi" zlatni omjer sa sobom "u rukama" - to je omjer falangi prstiju.

Zahvaljujući otkriću nekoliko matematičkih papirusa, egiptolozi su naučili nešto o drevnim egipatskim sustavima računanja i mjera. Zadaće sadržane u njima rješavali su pisari. Jedan od najpoznatijih je Rhindov matematički papirus. Proučavajući te zagonetke, egiptolozi su naučili kako su stari Egipćani postupali s različitim veličinama koje su se javljale pri izračunavanju mjera težine, duljine i volumena, koje su često koristile razlomke, kao i kako su postupali s kutovima.

Stari Egipćani koristili su metodu izračunavanja kutova koja se temeljila na omjeru visine i osnovice pravokutnog trokuta. Izrazili su bilo koji kut jezikom gradijenta. Nagib nagiba izražen je kao omjer cijelog broja, nazvan "seked". U Mathematics in the Time of the Pharaohs, Richard Pillins objašnjava: “Seked pravilne piramide je nagib bilo kojeg od četiri trokutasta lica u odnosu na ravninu baze, mjeren n-tim brojem horizontalnih jedinica po vertikalnoj jedinici elevacije. . Dakle, ova mjerna jedinica je ekvivalentna našem modernom kotangensu kuta nagiba. Stoga je egipatska riječ "seked" povezana s našom modernom riječi "gradijent".

Numerički ključ za piramide leži u omjeru njihove visine i baze. U praktičnom smislu, ovo je najlakši način za izradu šablona potrebnih za stalnu provjeru pravilnog kuta nagiba tijekom cijele konstrukcije piramide.

Egiptolozi bi nas rado uvjerili da je svaki faraon žarko želio izraziti svoju individualnost, otuda i razlike u kutovima nagiba svake piramide. Ali mogao bi postojati još jedan razlog. Možda su svi htjeli utjeloviti različite simboličke asocijacije skrivene u različitim omjerima. Međutim, kut Khafreove piramide (temeljen na trokutu (3:4:5) pojavljuje se u tri problema predstavljena piramidama u Rhindovom matematičkom papirusu). Tako je ovaj stav bio dobro poznat starim Egipćanima.

Da budemo pošteni prema egiptolozima koji tvrde da stari Egipćani nisu poznavali trokut 3:4:5, recimo da duljina hipotenuze 5 nikada nije spomenuta. Ali matematički problemi koji se tiču piramida uvijek se rješavaju na temelju seked kuta - omjera visine i baze. Budući da duljina hipotenuze nikada nije spomenuta, zaključeno je da Egipćani nikada nisu izračunali duljinu treće stranice.

Omjeri visine i baze korišteni u piramidama u Gizi bez sumnje su bili poznati starim Egipćanima. Moguće je da su ti omjeri za svaku piramidu odabrani proizvoljno. Međutim, to je u suprotnosti s važnošću koja se pridaje numeričkoj simbolici u svim vrstama egipatske likovne umjetnosti. Vrlo je vjerojatno da su takvi odnosi bili od velike važnosti, jer su izražavali specifične vjerske ideje. Drugim riječima, cijeli kompleks Gize bio je predmet koherentnog dizajna, dizajniranog da odražava neku vrstu božanske teme. To bi objasnilo zašto su dizajneri odabrali različite kutove za tri piramide.

U Tajni Oriona, Bauval i Gilbert iznijeli su uvjerljive dokaze o povezanosti piramida u Gizi sa zviježđem Oriona, posebice sa zvijezdama Orionova pojasa. Ista konstelacija prisutna je u mitu o Izidi i Ozirisu, a tamo i je razlog da se svaka piramida smatra slikom jednog od tri glavna božanstva - Ozirisa, Izide i Horusa.

ČUDA "GEOMETRIJSKA".

Među grandioznim piramidama Egipta posebno mjesto zauzimaju Velika piramida faraona Keopsa (Khufu). Prije nego što pređemo na analizu oblika i veličine Keopsove piramide, trebamo se sjetiti koji su sustav mjera koristili Egipćani. Egipćani su imali tri jedinice duljine: "lakat" (466 mm), jednak sedam "dlanova" (66,5 mm), što je pak bilo jednako četiri "prsta" (16,6 mm).

Analizirajmo veličinu Keopsove piramide (Sl. 2), slijedeći obrazloženje izneseno u prekrasnoj knjizi ukrajinskog znanstvenika Nikolaja Vasjutinskog "Zlatna proporcija" (1990.).

Većina se istraživača slaže da duljina stranice baze piramide, na primjer, GF jednako je L\u003d 233,16 m. Ova vrijednost gotovo točno odgovara 500 "lakata". Potpuna usklađenost s 500 "lakata" bit će ako se duljina "lakta" smatra jednakom 0,4663 m.

Visina piramide ( H) istraživači procjenjuju različito od 146,6 do 148,2 m. I ovisno o prihvaćenoj visini piramide, mijenjaju se svi omjeri njezinih geometrijskih elemenata. Što je razlog razlikama u procjeni visine piramide? Činjenica je da je, strogo govoreći, Keopsova piramida skraćena. Njezina gornja platforma danas ima veličinu otprilike 10 ´ 10 m, a prije jednog stoljeća bila je 6 ´ 6 m. Očito je da je vrh piramide rastavljen i ne odgovara izvornom.

Procjenjujući visinu piramide, potrebno je uzeti u obzir takav fizički faktor kao što je "nacrt" strukture. Dugo vremena, pod utjecajem kolosalnog pritiska (koji je dosezao 500 tona po 1 m2 donje površine), visina piramide se smanjivala u odnosu na izvornu visinu.

Kolika je bila izvorna visina piramide? Ova se visina može ponovno stvoriti ako pronađete osnovnu "geometrijsku ideju" piramide.

Slika 2.

Godine 1837. engleski pukovnik G. Wise izmjerio je kut nagiba lica piramide: pokazalo se da je jednak a= 51°51". Ovu vrijednost još uvijek prepoznaje većina istraživača danas. Označena vrijednost kuta odgovara tangenti (tg a), jednako 1,27306. Ova vrijednost odgovara omjeru visine piramide AC do polovine svoje baze CB(Sl.2), tj. AC / CB = H / (L / 2) = 2H / L.

I ovdje je istraživače čekalo veliko iznenađenje!.png" width="25" height="24">= 1,272. Uspoređujući ovu vrijednost s tg vrijednošću a= 1,27306, vidimo da su ove vrijednosti vrlo blizu jedna drugoj. Ako uzmemo kut a\u003d 51 ° 50", odnosno smanjiti ga za samo jednu lučnu minutu, tada vrijednost a postat će jednak 1,272, odnosno poklopit će se s vrijednošću . Valja napomenuti da je 1840. G. Wise ponovio svoja mjerenja i pojasnio da vrijednost kuta a=51°50".

Ova su mjerenja dovela istraživače do sljedeće vrlo zanimljive hipoteze: trokut ASV Keopsove piramide temeljio se na relaciji AC / CB = = 1,272!

Razmotrimo sada pravokutni trokut ABC, u kojem je omjer nog AC / CB= (slika 2). Ako sada duljine stranica pravokutnika ABC označiti sa x, g, z, a također uzeti u obzir da omjer g/x= , tada je, u skladu s Pitagorinim poučkom, duljina z može se izračunati po formuli:

Ako prihvati x = 1, g= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png" width="143" height="27">

Slika 3"Zlatni" pravokutni trokut.

Pravokutni trokut u kojem se strane odnose kao t:zlatni" pravokutni trokut.

Zatim, ako kao osnovu uzmemo hipotezu da je glavna "geometrijska ideja" Keopsove piramide "zlatni" pravokutni trokut, onda je odavde lako izračunati "projektnu" visinu Keopsove piramide. Jednako je:

H \u003d (L / 2) ´ \u003d 148,28 m.

Izvedimo sada neke druge relacije za Keopsovu piramidu, koje slijede iz "zlatne" hipoteze. Konkretno, nalazimo omjer vanjske površine piramide i površine njezine baze. Da bismo to učinili, uzimamo duljinu noge CB po jedinici, odnosno: CB= 1. Ali tada je duljina stranice baze piramide GF= 2, i površina baze EFGH bit će jednako SEFGH = 4.

Izračunajmo sada površinu bočne strane Keopsove piramide SD. Jer visina AB trokut AEF jednako je t, tada će površina bočne strane biti jednaka SD = t. Tada će ukupna površina sva četiri bočna lica piramide biti jednaka 4 t, a omjer ukupne vanjske površine piramide i površine baze bit će jednak zlatnom rezu! to je to - glavna geometrijska tajna Keopsove piramide!

Skupina "geometrijskih čuda" Keopsove piramide uključuje stvarna i izmišljena svojstva odnosa između različitih dimenzija u piramidi.

U pravilu se dobivaju traženjem neke "konstante", posebice broja "pi" (Ludolfov broj), jednakog 3,14159...; baze prirodnih logaritama "e" (Napierov broj) jednake 2,71828...; broj "F", broj "zlatnog presjeka", jednak, na primjer, 0,618 ... itd.

Možete imenovati, na primjer: 1) Vlasništvo Herodota: (Visina) 2 \u003d 0,5 st. glavni x Apotem; 2) Vlasništvo V. Cijena: Visina: 0,5 st. osn \u003d Kvadratni korijen od "F"; 3) Svojstvo M. Eista: Opseg baze: 2 Visina = "Pi"; u drugačijoj interpretaciji - 2 žlice. glavni : Visina = "Pi"; 4) Svojstvo G. Rebera: Polumjer upisane kružnice: 0,5 st. glavni = "F"; 5) Vlasništvo K. Kleppisha: (Sv. gl.) 2: 2 (st. gl. x Apotem) \u003d (st. gl. W. Apotem) \u003d 2 (st. gl. x Apotem) : (( 2 st. glavni X Apotem) + (st. glavni) 2). itd. Možete doći do puno takvih svojstava, pogotovo ako spojite dvije susjedne piramide. Na primjer, kao "Svojstva A. Arefieva" može se spomenuti da je razlika između volumena Keopsove piramide i Khafreove piramide jednaka dvostrukom volumenu Menkaureove piramide...

Mnoge zanimljive odredbe, posebno o izgradnji piramida prema "zlatnom presjeku", navedene su u knjigama D. Hambidgea "Dinamička simetrija u arhitekturi" i M. Geeka "Estetika proporcija u prirodi i umjetnosti". Podsjetimo se da je "zlatni presjek" podjela segmenta u takvom omjeru, kada je dio A onoliko puta veći od dijela B, koliko je puta A manji od cijelog segmenta A + B. Omjer A / B je jednak broju "F" == 1,618.. .. Upotreba "zlatnog presjeka" naznačena je ne samo u pojedinačnim piramidama, već u cijelom kompleksu piramida u Gizi.

Najzanimljivije je, međutim, da jedna te ista Keopsova piramida jednostavno "ne može" sadržavati toliko čudesnih svojstava. Uzimajući određeno svojstvo jedno po jedno, možete ga "prilagođavati", ali odjednom se ne uklapaju - ne poklapaju se, proturječe jedno drugom. Dakle, ako se npr. kod provjere svih svojstava u početku uzme jedna te ista stranica baze piramide (233 m), tada će i visine piramida različitih svojstava biti različite. Drugim riječima, postoji određena "obitelj" piramida, izvana sličnih Cheopsovim, ali odgovaraju različitim svojstvima. Imajte na umu da nema ničeg posebno čudesnog u "geometrijskim" svojstvima - mnogo toga nastaje čisto automatski, iz svojstava samog lika. Pod "čudom" treba smatrati samo nešto što je za stare Egipćane očito nemoguće. To posebno uključuje "kozmička" čuda, u kojima se mjere Keopsove piramide ili kompleksa piramida u Gizi uspoređuju s nekim astronomskim mjerenjima i navode se "parni" brojevi: milijun puta, milijardu puta manje i tako dalje . Razmotrimo neke "kozmičke" odnose.

Jedna od izjava je ova: "ako stranicu baze piramide podijelimo s točnom dužinom godine, dobit ćemo točno 10 milijunti dio zemljine osi." Izračunajte: podijelite 233 sa 365, dobit ćemo 0,638. Polumjer Zemlje je 6378 km.

Još jedna izjava zapravo je suprotna prethodnoj. F. Noetling je istaknuo da ako koristite "egipatski lakat" koji je on izumio, tada će strana piramide odgovarati "najtočnijem trajanju solarne godine, izraženom do najbližeg milijarditog dijela dana" - 365.540.903.777. .

Izjava P. Smitha: "Visina piramide je točno jedna milijardita udaljenost od Zemlje do Sunca." Iako se obično uzima visina od 146,6 m, Smith ju je uzeo kao 148,2 m. Prema suvremenim radarskim mjerenjima, velika poluos Zemljine orbite je 149,597,870 + 1,6 km. To je prosječna udaljenost od Zemlje do Sunca, ali je u perihelu 5 000 000 kilometara manja nego u afelu.

Posljednja zanimljiva izjava:

"Kako objasniti da su mase Keopsove, Kefrenove i Menkaureove piramide povezane jedna s drugom, kao što su mase planeta Zemlje, Venere, Marsa?" Idemo izračunati. Mase triju piramida odnose se kao: Khafre - 0,835; Keops - 1.000; Mikerin - 0,0915. Omjeri masa triju planeta: Venera - 0,815; Zemljište - 1.000; Mars - 0,108.

Dakle, unatoč skepticizmu, zapazimo dobro poznati sklad konstrukcije izjava: 1) visina piramide, kao linija "koja ide u svemir" - odgovara udaljenosti od Zemlje do Sunca; 2) strana baze piramide koja je najbliža "podlozi", odnosno Zemlji, odgovorna je za zemljin radijus i zemljinu cirkulaciju; 3) volumeni piramide (čitaj - mase) odgovaraju omjeru masa planeta najbližih Zemlji. Slična "šifra" može se pronaći, na primjer, u jeziku pčela, koji je analizirao Karl von Frisch. No, za sada se suzdržavamo od komentara o tome.

OBLIK PIRAMIDA

Poznati tetraedarski oblik piramida nije se pojavio odmah. Skiti su pravili ukope u obliku zemljanih brežuljaka - gomila. Egipćani su gradili "brda" od kamena - piramide. Prvi put se to dogodilo nakon ujedinjenja Gornjeg i Donjeg Egipta, u 28. stoljeću prije nove ere, kada se utemeljitelj III dinastije, faraon Djoser (Zoser), suočio sa zadatkom jačanja jedinstva zemlje.

I ovdje je, prema povjesničarima, "novi koncept deifikacije" cara odigrao važnu ulogu u jačanju središnje vlasti. Iako su se kraljevski ukopi odlikovali većim sjajem, načelno se nisu razlikovali od grobnica dvorskih plemića, bile su iste građevine - mastabe. Iznad komore sa sarkofagom u kojem se nalazila mumija, izliveno je pravokutno brdo od sitnog kamenja, gdje je zatim postavljena mala zgrada od velikih kamenih blokova - "mastaba" (na arapskom - "klupa"). Na mjestu mastabe svog prethodnika, Sanakhta, faraon Djoser je podigao prvu piramidu. Bila je stepenasta i bila je vidljiv prijelaz iz jedne arhitektonske forme u drugu, od mastabe do piramide.

Na taj je način faraona "odgojio" mudrac i arhitekt Imhotep, kojeg su kasnije smatrali čarobnjakom, a Grci su ga poistovjećivali s bogom Asklepijem. Kao da je podignuto šest mastaba u nizu. Štoviše, prva piramida zauzimala je površinu od 1125 x 115 metara, s procijenjenom visinom od 66 metara (prema egipatskim mjerama - 1000 "palmi"). U početku je arhitekt planirao izgraditi mastabu, ali ne duguljastu, već četvrtastu. Kasnije je proširena, ali budući da je proširenje niže, formirane su takoreći dvije stepenice.

Ova situacija nije zadovoljila arhitekta, a na gornjoj platformi ogromne ravne mastabe Imhotep je postavio još tri, postupno se smanjujući prema vrhu. Grobnica je bila ispod piramide.

Poznato je još nekoliko stepenastih piramida, ali kasnije su graditelji prešli na izgradnju poznatijih tetraedarskih piramida. Zašto, međutim, ne trokutasti ili, recimo, osmerokutni? Neizravan odgovor daje činjenica da su gotovo sve piramide savršeno orijentirane na četiri kardinalne točke, te stoga imaju četiri strane. Osim toga, piramida je bila "kuća", školjka četverokutne grobne komore.

Ali što je uzrokovalo kut nagiba lica? U knjizi "Načelo proporcija" tome je posvećeno cijelo poglavlje: "Što bi moglo odrediti kutove piramida." Konkretno, naznačeno je da je "slika kojoj gravitiraju velike piramide Starog kraljevstva trokut s pravim kutom na vrhu.

U prostoru, to je poluoktaedar: piramida u kojoj su bridovi i stranice baze jednaki, lica su jednakostranični trokuti.Određena razmatranja o ovoj temi data su u knjigama Hambidgea, Geeka i drugih.

Koja je prednost kuta poluoktaedra? Prema opisima arheologa i povjesničara, neke su se piramide srušile pod vlastitom težinom. Potreban je bio "kut trajnosti", kut koji je energetski najpouzdaniji. Čisto empirijski, ovaj kut se može uzeti iz vršnog kuta u hrpi suhog pijeska koji se raspada. Ali da biste dobili točne podatke, morate koristiti model. Uzimajući četiri čvrsto pričvršćene kuglice, trebate staviti petu na njih i izmjeriti kutove nagiba. Međutim, ovdje možete pogriješiti, stoga vam pomaže teorijski izračun: trebali biste središta loptica spojiti linijama (mentalno). U podnožju dobivate kvadrat čija je stranica jednaka dvostrukom radijusu. Kvadrat će biti samo baza piramide, čija će duljina rubova također biti jednaka dvostrukom polumjeru.

Tako će gusto pakiranje kuglica tipa 1:4 dati pravilan poluoktaedar.

Međutim, zašto mnoge piramide, koje gravitiraju prema sličnom obliku, ipak ga ne zadržavaju? Vjerojatno piramide stare. Suprotno poznatoj izreci:

„Sve se na svijetu boji vremena, a vrijeme se boji piramida“, građevine piramida moraju stariti, u njima se mogu i trebaju odvijati ne samo procesi vanjskog trošenja, već i procesi unutarnjeg „skupljanja“ , od čega piramide mogu postati niže. Skupljanje je također moguće jer su, kako je utvrđeno radovima D. Davidovitsa, stari Egipćani koristili tehnologiju izrade blokova od komadića vapna, drugim riječima, od "betona". Upravo bi ti procesi mogli objasniti razlog uništenja piramide Medum, koja se nalazi 50 km južno od Kaira. Stara je 4600 godina, dimenzije baze su 146 x 146 m, visina 118 m. „Zašto je tako osakaćena?", pita se V. Zamarovsky. „Uobičajena pozivanja na destruktivne učinke vremena i „upotrebu kamena za druge građevine" ovdje ne odgovaraju.

Uostalom, većina njezinih blokova i obložnih ploča još uvijek je na mjestu, u ruševinama u njezinu podnožju. "Kao što ćemo vidjeti, niz odredbi navodi čak i na pomisao da je poznata Keopsova piramida također" smanjena ". U svakom slučaju , na svim drevnim slikama piramide su šiljate ...

Oblik piramida mogao bi se stvoriti i oponašanjem: neki prirodni uzorci, "čudesno savršenstvo", recimo neki kristali u obliku oktaedra.

Takvi kristali mogu biti dijamantni i zlatni kristali. Karakterističan je veliki broj znakova koji se "presjecaju" za pojmove kao što su faraon, sunce, zlato, dijamant. Posvuda - plemenito, briljantno (sjajno), sjajno, besprijekorno i tako dalje. Sličnosti nisu slučajne.

Kult sunca, kao što znate, bio je važan dio religije starog Egipta. “Bez obzira kako prevodimo ime najveće piramide”, kaže jedan od modernih udžbenika, “Sky Khufu” ili “Sky Khufu”, to je značilo da je kralj sunce. Ako je Khufu, u sjaju svoje moći, zamišljao sebe kao drugo sunce, onda je njegov sin Jedef-Ra postao prvi od egipatskih kraljeva koji je sebe počeo nazivati "sinom Ra", odnosno sinom Sunce. Sunce su gotovo svi narodi simbolizirali kao "solarni metal", zlato. "Veliki disk sjajnog zlata" - tako su Egipćani nazvali našu dnevnu svjetlost. Egipćani su jako dobro poznavali zlato, poznavali su njegove izvorne oblike, gdje se zlatni kristali mogu pojaviti u obliku oktaedra.

Kao "uzorak oblika" ovdje je zanimljiv i "sunčev kamen" - dijamant. Ime dijamanta došlo je upravo iz arapskog svijeta, "almas" - najtvrđi, najčvršći, neuništiv. Stari Egipćani su poznavali dijamant i njegova svojstva su prilično dobra. Prema nekim autorima, čak su za bušenje koristili brončane cijevi s dijamantnim glodalima.

Južnoafrička Republika sada je glavni dobavljač dijamanata, ali Zapadna Afrika također je bogata dijamantima. Teritorij Republike Mali ondje se čak naziva "Dijamantnom zemljom". U međuvremenu, na teritoriju Malija žive Dogoni, s kojima pobornici hipoteze o paleovizitu polažu mnoge nade (vidi dolje). Dijamanti nisu mogli biti razlog dodira starih Egipćana s ovim područjem. Međutim, na ovaj ili onaj način, moguće je da su upravo kopiranjem oktaedra dijamantnih i zlatnih kristala stari Egipćani obožavali faraone, "neuništive" poput dijamanta i "briljantne" poput zlata, sinove Sunca, usporedive samo s najdivnijim kreacijama prirode.

Zaključak:

Proučavajući piramidu kao geometrijsko tijelo, upoznajući njene elemente i svojstva, uvjerili smo se u utemeljenost mišljenja o ljepoti oblika piramide.

Kao rezultat našeg istraživanja došli smo do zaključka da su Egipćani, nakon što su prikupili najvrednije matematičko znanje, to utjelovili u piramidu. Stoga je piramida uistinu najsavršenija kreacija prirode i čovjeka.

BIBLIOGRAFIJA

"Geometrija: Proc. za 7 - 9 ćelija. opće obrazovanje institucije \, itd. - 9. izd. - M .: Obrazovanje, 1999

Povijest matematike u školi, M: "Prosvjeta", 1982

Geometrija 10-11 razred, M: "Prosvjeta", 2000

Peter Tompkins "Tajne Keopsove velike piramide", M: "Centropoligraph", 2005.

Internet resursi

http://veka-i-mig. *****/

http://tambov. *****/vjpusk/vjp025/rabot/33/index2.htm

http://www. *****/enc/54373.html