Harmonijske oscilacije u električnom titrajnom krugu. Jednadžba koja opisuje procese u oscilatornom krugu

Slobodne vibracije u krugu.

Krugovi izmjenične struje razmatrani u prethodnim odjeljcima sugeriraju da par elemenata - kondenzator i induktor čine neku vrstu oscilatornog sustava. Sada ćemo pokazati da je to doista tako, u krugu koji se sastoji samo od ovih elemenata (sl. 669) moguće su čak i slobodne oscilacije, to jest bez vanjskog izvora EMF.

riža. 669
Stoga se strujni krug (ili dio drugog strujnog kruga) koji se sastoji od kondenzatora i prigušnice naziva oscilatorni krug.
Neka se kondenzator napuni do naboja qo, a zatim se na njega spoji induktor. Takav se postupak može lako izvesti pomoću kruga čija je shema prikazana na sl. 670: prvo je ključ zatvoren u položaju 1 , dok se kondenzator puni na napon jednak EMF izvora, nakon čega se ključ prenosi na položaje 2 , nakon čega počinje pražnjenje kondenzatora kroz zavojnicu.

riža. 670
Odrediti ovisnost naboja kondenzatora o vremenu q(t) primijeniti Ohmov zakon, prema kojem napon na kondenzatoru U C = q/C jednaka EMF-u samoindukcije koja se javlja u zavojnici

ovdje, "prime" znači izvod u odnosu na vrijeme.
Dakle, jednadžba se pokazuje valjanom

Ova jednadžba sadrži dvije nepoznate funkcije – ovisnost o vremenu punjenja q(t) i trenutni To), pa se ne može riješiti. Međutim, jakost struje je derivat naboja kondenzatora q / (t) = I(t), pa je derivacija jakosti struje druga derivacija naboja

Uzimajući u obzir ovu relaciju, jednadžbu (1) prepisujemo u obliku

Začudo, ova se jednadžba u potpunosti podudara s dobro proučenom jednadžbom harmonijskih oscilacija (druga derivacija nepoznate funkcije proporcionalna je samoj ovoj funkciji s negativnim koeficijentom proporcionalnosti x // = −ω o 2 x)! Stoga će rješenje ove jednadžbe biti harmonijska funkcija

s kružnom frekvencijom

Ova formula definira vlastita frekvencija titrajnog kruga. Sukladno tome, period oscilacije naboja kondenzatora (i jakosti struje u krugu) jednak je

Dobiveni izraz za period titranja naziva se Formula J. Thompsona.
Kao i obično, za definiranje proizvoljnih parametara A, φ u općem rješenju (4) potrebno je postaviti početne uvjete - naboj i jakost struje u početnom trenutku vremena. Konkretno, za razmatrani primjer kruga na Sl. 670, početni uvjeti imaju oblik: at t = 0, q = qo, ja=0, pa će ovisnost naboja kondenzatora o vremenu biti opisana funkcijom

a jakost struje se mijenja s vremenom prema zakonu

Gornje razmatranje titrajnog kruga je približno - bilo koji stvarni krug ima aktivni otpor (spojne žice i namotaji svitka).

riža. 671
Stoga u jednadžbi (1) treba uzeti u obzir pad napona na ovom aktivnom otporu, pa će ova jednadžba imati oblik

koji se uzimajući u obzir odnos naboja i jakosti struje pretvara u oblik

Ova jednadžba nam je također poznata - to je jednadžba prigušenih oscilacija

a koeficijent slabljenja je očekivano proporcionalan aktivnom otporu kruga β = R/L.
Procesi koji se odvijaju u oscilatornom krugu također se mogu opisati pomoću zakona održanja energije. Ako zanemarimo aktivni otpor kruga, tada zbroj energija električnog polja kondenzatora i magnetskog polja zavojnice ostaje konstantan, što se izražava jednadžbom

koja je također jednadžba harmonijskih oscilacija s frekvencijom određenom formulom (5). Ova se jednadžba po svom obliku također podudara s jednadžbama koje proizlaze iz zakona o održanju energije pri mehaničkim titrajima. Budući da su jednadžbe koje opisuju oscilacije električnog naboja kondenzatora slične jednadžbama koje opisuju mehaničke oscilacije, moguće je povući analogiju između procesa koji se odvijaju u oscilatornom krugu i procesa u bilo kojem mehaničkom sustavu. Na sl. 672 takva je analogija povučena za oscilacije matematičkog njihala. U ovom slučaju, analozi su "naboj kondenzatora". q(t)− kut otklona njihala φ(t)” i “trenutno I(t) = q / (t)− brzina njihala V(t)».


riža. 672
Koristeći ovu analogiju, kvalitativno opisujemo proces osciliranja naboja i električne struje u krugu. U početnom trenutku kondenzator je nabijen, jakost električne struje je nula, sva energija sadržana je u energiji električnog polja kondenzatora (što je slično najvećem otklonu njihala od ravnoteže položaj). Tada se kondenzator počinje prazniti, struja se povećava, dok se u zavojnici pojavljuje EMF samoindukcije, što sprječava povećanje struje; energija kondenzatora se smanjuje, pretvarajući se u energiju magnetskog polja zavojnice (analogija - njihalo se sve većom brzinom pomiče u svoju donju točku). Kada naboj na kondenzatoru postane jednak nuli, jakost struje doseže maksimalnu vrijednost, dok se sva energija pretvara u energiju magnetskog polja (njihalo je doseglo najnižu točku, brzina mu je najveća). Tada se magnetsko polje počinje smanjivati, dok EMF samoindukcije održava struju u istom smjeru, dok se kondenzator počinje puniti, a predznaci naboja na pločama kondenzatora suprotni su početnoj raspodjeli (analogno - njihalo pomiče u suprotno početno maksimalno odstupanje). Tada struja u krugu prestaje, dok naboj kondenzatora ponovno postaje maksimalan, ali suprotnog predznaka (njihalo je doseglo svoj maksimalni otklon), nakon čega će se proces ponoviti u suprotnom smjeru.

ELEKTROMAGNETSKE OSCILACIJE I VALOVI

§1 Titrajni krug.

Prirodne vibracije u oscilatornom krugu.

Thomsonova formula.

Prigušene i prisilne oscilacije u c.c.

1. Slobodne vibracije u c.c.

Oscilatorni krug (c.c.) je krug koji se sastoji od kondenzatora i induktora. Pod određenim uvjetima u k.č. mogu se pojaviti elektromagnetske fluktuacije u naboju, struji, naponu i energiji.

Razmotrite krug prikazan na slici 2. Ako stavite ključ u položaj 1, tada će se kondenzator napuniti i na njegovim pločama pojavit će se nabojQ i napetosti U C. Ako zatim ključ okrenete u položaj 2, tada će se kondenzator početi prazniti, struja će teći u krugu, dok će se energija električnog polja zatvorenog između ploča kondenzatora pretvoriti u energiju magnetskog polja koncentriranu u induktoru.L. Prisutnost induktora dovodi do činjenice da se struja u krugu ne povećava trenutno, već postupno zbog fenomena samoindukcije. Kako se kondenzator prazni, naboj na njegovim pločama će se smanjivati, struja u krugu će se povećavati. Maksimalnu vrijednost struje petlje će postići kada naboj na pločama bude jednak nuli. Od ove točke nadalje, struja petlje će se početi smanjivati, ali će je, zbog fenomena samoindukcije, održavati magnetsko polje induktora, tj. kada se kondenzator potpuno isprazni, energija magnetskog polja pohranjena u induktoru počet će se pretvarati u energiju električnog polja. Zbog struje u petlji, kondenzator će se početi ponovno puniti i na njegovim pločama će se početi nakupljati naboj suprotan izvornom. Kondenzator će se puniti sve dok se sva energija magnetskog polja induktora ne pretvori u energiju električnog polja kondenzatora. Zatim će se proces ponoviti u suprotnom smjeru, pa će se u krugu pojaviti elektromagnetske oscilacije.

Zapišimo 2. Kirchhoffov zakon za razmatrani k.k.,

Diferencijalna jednadžba k.k.

Dobili smo diferencijalnu jednadžbu za oscilacije naboja u c.c. Ova je jednadžba slična diferencijalnoj jednadžbi koja opisuje gibanje tijela pod djelovanjem kvazielastične sile. Stoga će se rješenje ove jednadžbe napisati na sličan način

Jednadžba fluktuacija naboja u c.c.

Jednadžba fluktuacija napona na pločama kondenzatora u c.c.

Jednadžba strujnih fluktuacija u k.k.

1. Prigušene oscilacije u QC

Razmotrimo C.C. koji sadrži kapacitet, induktivitet i otpor. Kirchhoffov 2. zakon u ovom slučaju bit će napisan u obliku

- faktor prigušenja,

Vlastita ciklička frekvencija.

- - diferencijalna jednadžba prigušenih oscilacija u c.c.

Jednadžba prigušenih oscilacija naboja u c.c.

Zakon promjene amplitude naboja tijekom prigušenih oscilacija u c.c.;

Period prigušenih oscilacija.

Dekrement prigušenja.

- logaritamski dekrement prigušenja.

Dobrota sklopa.

Ako je prigušenje slabo, onda T ≈T 0

Istražujemo promjenu napona na pločama kondenzatora.

Promjena struje je izvan faze za φ od napona.

pri - moguće su prigušene oscilacije,

at - kritična situacija

kravata. R > RDo- ne dolazi do fluktuacija (aperiodično pražnjenje kondenzatora).

• Elektromagnetske vibracije su periodične promjene tijekom vremena električnih i magnetskih veličina u električnom krugu.

• Besplatno nazivaju se takvima fluktuacije, koji nastaju u zatvorenom sustavu zbog odstupanja tog sustava od stanja stabilne ravnoteže.

Tijekom oscilacija odvija se kontinuirani proces transformacije energije sustava iz jednog oblika u drugi. U slučaju oscilacija elektromagnetskog polja, izmjena se može odvijati samo između električne i magnetske komponente ovog polja. Najjednostavniji sustav u kojem se ovaj proces može odvijati je oscilatorni krug.

• Idealni oscilatorni krug (LC krug) - električni krug koji se sastoji od svitka induktiviteta L i kondenzator C.

Za razliku od pravog titrajnog kruga koji ima električni otpor R, električni otpor idealnog kruga uvijek je nula. Stoga je idealni oscilatorni krug pojednostavljeni model realnog kruga.

Slika 1 prikazuje dijagram idealnog oscilatornog kruga.

Energija kruga

Ukupna energija titrajnog kruga

\(W=W_(e) + W_(m), \; \; \; W_(e) =\dfrac(C\cdot u^(2) )(2) = \dfrac(q^(2) ) (2C), \; \; \; W_(m) =\dfrac(L\cdot i^(2))(2),\)

Gdje Mi- energija električnog polja oscilatornog kruga u određenom trenutku, IZ je kapacitet kondenzatora, u- vrijednost napona na kondenzatoru u određenom trenutku, q- vrijednost naboja kondenzatora u određenom trenutku, Wm- energija magnetskog polja oscilatornog kruga u određenom trenutku, L- induktivitet zavojnice, ja- vrijednost struje u zavojnici u određenom trenutku.

Procesi u oscilatornom krugu

Razmotrite procese koji se događaju u oscilatornom krugu.

Da bismo krug uklonili iz ravnotežnog položaja, napunimo kondenzator tako da na njegovim pločama postoji naboj Qm(Sl. 2, položaj 1 ). Uzimajući u obzir jednadžbu \(U_(m)=\dfrac(Q_(m))(C)\) nalazimo vrijednost napona na kondenzatoru. U ovom trenutku u krugu nema struje, tj. ja = 0.

Nakon zatvaranja ključa, pod djelovanjem električnog polja kondenzatora, u krugu će se pojaviti električna struja, jakost struje ja koji će se s vremenom povećavati. Kondenzator će se u ovom trenutku početi prazniti, jer. elektroni koji stvaraju struju (podsjećam da se kao smjer struje uzima smjer kretanja pozitivnih naboja) napuštaju negativnu ploču kondenzatora i dolaze na pozitivnu (vidi sl. 2, položaj 2 ). Zajedno s naplatom q napetost će se smanjiti u\(\lijevo(u = \dfrac(q)(C) \desno).\) Kako se jakost struje povećava, kroz zavojnicu će se pojaviti emf samoindukcije, sprječavajući promjenu jakosti struje. Kao rezultat toga, jakost struje u oscilatornom krugu će se povećati od nule do određene maksimalne vrijednosti ne trenutno, već tijekom određenog vremenskog razdoblja, određenog induktivitetom zavojnice.

Naboj kondenzatora q opada iu nekom trenutku vremena postaje jednak nuli ( q = 0, u= 0), struja u svitku će doseći određenu vrijednost ja sam(pogledajte sl. 2, položaj 3 ).

Bez električnog polja kondenzatora (i otpora), elektroni koji stvaraju struju nastavljaju se kretati po inerciji. U ovom slučaju, elektroni koji dolaze na neutralnu ploču kondenzatora daju mu negativan naboj, elektroni koji napuštaju neutralnu ploču daju mu pozitivan naboj. Kondenzator se počinje puniti q(i napon u), ali suprotnog predznaka, tj. kondenzator se ponovno puni. Sada novo električno polje kondenzatora sprječava kretanje elektrona pa struja ja počinje smanjivati ​​(vidi sl. 2, položaj 4 ). Opet, to se ne događa odmah, jer sada EMF samoindukcije nastoji nadoknaditi smanjenje struje i "podržava" ga. I vrijednost struje ja sam(trudna 3 ) ispada maksimalna struja u konturi.

I opet, pod djelovanjem električnog polja kondenzatora, u krugu će se pojaviti električna struja, ali usmjerena u suprotnom smjeru, jačina struje ja koji će se s vremenom povećavati. I kondenzator će se u to vrijeme isprazniti (vidi sliku 2, položaj 6 ) na nulu (vidi sliku 2, položaj 7 ). I tako dalje.

Budući da je naboj na kondenzatoru q(i napon u) određuje njegovu energiju električnog polja Mi\(\lijevo(W_(e)=\dfrac(q^(2))(2C)=\dfrac(C \cdot u^(2))(2) \desno),\) i struja u svitku ja- energija magnetskog polja wm\(\lijevo(W_(m)=\dfrac(L \cdot i^(2))(2) \desno),\) tada će se zajedno s promjenama u naboju, naponu i struji promijeniti i energije.

Oznake u tablici:

\(W_(e\, \max ) =\dfrac(Q_(m)^(2) )(2C) =\dfrac(C\cdot U_(m)^(2) )(2), \; \; \; W_(e\, 2) =\dfrac(q_(2)^(2) )(2C) =\dfrac(C\cdot u_(2)^(2) )(2), \; \; \ ; W_(e\, 4) =\dfrac(q_(4)^(2) )(2C) =\dfrac(C\cdot u_(4)^(2) )(2), \; \; \; W_(e\, 6) =\dfrac(q_(6)^(2) )(2C) =\dfrac(C\cdot u_(6)^(2) )(2),\)

\(W_(m\; \max ) =\dfrac(L\cdot I_(m)^(2) )(2), \; \; \; W_(m2) =\dfrac(L\cdot i_(2) )^(2) )(2), \; \; \; W_(m4) =\dfrac(L\cdot i_(4)^(2) )(2), \; \; \; W_(m6) =\dfrac(L\cdot i_(6)^(2) )(2).\)

Ukupna energija idealnog oscilatornog kruga je očuvana tijekom vremena, budući da u njemu postoji gubitak energije (nema otpora). Zatim

\(W=W_(e\, \max ) = W_(m\, \max ) = W_(e2) + W_(m2) = W_(e4) + W_(m4) = ...\)

Dakle, idealno LC- krug će doživjeti periodične promjene u vrijednostima struje ja, naplatiti q i stres u, a ukupna energija kruga ostat će konstantna. U ovom slučaju kažemo da postoje slobodne elektromagnetske oscilacije.

• Slobodne elektromagnetske oscilacije u krugu - to su periodične promjene naboja na pločama kondenzatora, jakosti struje i napona u krugu, koje se javljaju bez potrošnje energije iz vanjskih izvora.

Dakle, pojava slobodnih elektromagnetskih oscilacija u krugu je posljedica ponovnog punjenja kondenzatora i pojave samoindukcijskog EMF-a u svitku, koji "osigurava" ovo ponovno punjenje. Imajte na umu da naboj na kondenzatoru q a struja u zavojnici ja dostižu svoje maksimalne vrijednosti Qm i ja sam u različitim vremenskim točkama.

Slobodne elektromagnetske oscilacije u krugu odvijaju se prema harmonijskom zakonu:

\(q=Q_(m) \cdot \cos \lijevo(\omega \cdot t+\varphi _(1) \desno), \; \; \; u=U_(m) \cdot \cos \lijevo(\ omega \cdot t+\varphi _(1) \desno), \; \; \; i=I_(m) \cdot \cos \lijevo(\omega \cdot t+\varphi _(2) \desno).\)

Najmanje vremensko razdoblje tijekom kojeg LC- krug se vraća u prvobitno stanje (na početnu vrijednost naboja ove obloge), naziva se periodom slobodnih (prirodnih) elektromagnetskih oscilacija u krugu.

Period slobodnih elektromagnetskih oscilacija u LC-kontura je određena Thomsonovom formulom:

\(T=2\pi \cdot \sqrt(L\cdot C), \;\;\; \omega =\dfrac(1)(\sqrt(L\cdot C)).\)

S gledišta mehaničke analogije, opružno njihalo bez trenja odgovara idealnom oscilatornom krugu, a stvarnom - s trenjem. Uslijed djelovanja sila trenja oscilacije opružnog njihala s vremenom priguše.

*Izvođenje Thomsonove formule

Budući da ukupna energija ideala LC-krug, jednak zbroju energija elektrostatskog polja kondenzatora i magnetskog polja zavojnice, sačuvan je, tada u svakom trenutku jednakost

\(W=\dfrac(Q_(m)^(2) )(2C) =\dfrac(L\cdot I_(m)^(2) )(2) =\dfrac(q^(2) )(2C ) +\dfrac(L\cdot i^(2) )(2) =(\rm const).\)

Dobivamo jednadžbu oscilacija u LC-krug, koristeći zakon održanja energije. Diferencirajući izraz za njegovu ukupnu energiju s obzirom na vrijeme, uzimajući u obzir činjenicu da

\(W"=0, \;\;\; q"=i, \;\;\; i"=q"",\)

dobivamo jednadžbu koja opisuje slobodne oscilacije u idealnom krugu:

\(\lijevo(\dfrac(q^(2) )(2C) +\dfrac(L\cdot i^(2) )(2) \desno)^((") ) =\dfrac(q)(C ) \cdot q"+L\cdot i\cdot i" = \dfrac(q)(C) \cdot q"+L\cdot q"\cdot q""=0,\)

\(\dfrac(q)(C) +L\cdot q""=0,\; \; \; \; q""+\dfrac(1)(L\cdot C) \cdot q=0.\ )

Prepisivanjem kao:

\(q""+\omega ^(2) \cdot q=0,\)

primijetite da je ovo jednadžba harmonijskih oscilacija s cikličkom frekvencijom

\(\omega =\dfrac(1)(\sqrt(L\cdot C) ).\)

Sukladno tome, razdoblje oscilacija koje se razmatraju

\(T=\dfrac(2\pi )(\omega ) =2\pi \cdot \sqrt(L\cdot C).\)

Književnost

1. Žilko, V.V. Fizika: udžbenik. dodatak za 11. razred općeg obrazovanja. škola s ruskog jezik obuka / V.V. Žilko, L.G. Marković. - Minsk: Nar. Asveta, 2009. - S. 39-43.

Napunite kondenzator iz baterije i spojite ga na zavojnicu. U strujnom krugu koji smo stvorili odmah će započeti elektromagnetske oscilacije (slika 46). Struja pražnjenja kondenzatora, prolazeći kroz zavojnicu, stvara oko njega magnetsku frakciju. To znači da se tijekom pražnjenja kondenzatora energija njegovog električnog polja pretvara u energiju magnetskog polja zavojnice, kao što se pri titranju njihala ili niti potencijalna energija pretvara u kinetičku.

Kako se kondenzator prazni, napon na njegovim pločama pada, a struja u krugu raste, a do trenutka kada se kondenzator potpuno isprazni, struja će biti maksimalna (strujna amplituda). Ali čak i nakon završetka pražnjenja kondenzatora, struja se neće zaustaviti - opadajuće magnetsko polje zavojnice podržat će kretanje naboja i oni će se ponovno početi nakupljati na pločama kondenzatora. U tom slučaju struja u krugu se smanjuje, a napon na kondenzatoru raste. Ovaj proces obrnutog prijelaza energije magnetskog polja zavojnice u energiju električnog polja kondenzatora pomalo podsjeća na ono što se događa kada se njihalo, preskočivši središnju točku, podigne.

U trenutku kada struja u krugu prestane i magnetsko polje zavojnice nestane, kondenzator će se napuniti do maksimalnog (amplitudnog) napona obrnutog polariteta. Potonje znači da će na ploči gdje su prije bili pozitivni naboji sada biti negativni i obrnuto. Stoga, kada ponovno počne pražnjenje kondenzatora (a to će se dogoditi odmah nakon što se potpuno napuni), tada će u krugu teći obrnuta struja.

Povremeno ponavljajuća izmjena energije između kondenzatora i zavojnice je elektromagnetska oscilacija u krugu. U procesu tih oscilacija u krugu teče izmjenična struja (odnosno ne mijenja se samo veličina, već i smjer struje), a na kondenzator djeluje izmjenični napon (odnosno ne samo veličina mijenja se napon, ali i polaritet naboja koji se nakupljaju na pločama). Jedan od smjerova strujnog napona uvjetno se naziva pozitivnim, a suprotni smjer je negativan.

Promatrajući promjene napona ili struje, možete nacrtati elektromagnetske oscilacije u krugu (slika 46), baš kao što smo nacrtali mehaničke oscilacije njihala (). Na grafikonu su vrijednosti pozitivne struje ili napona ucrtane iznad vodoravne osi, a negativne - ispod ove osi. Ta polovica perioda kada struja teče u pozitivnom smjeru često se naziva pozitivna poluperioda struje, a druga polovica je negativna poluperioda struje. Također možemo govoriti o pozitivnom i negativnom naponu poluciklusa.

Još jednom naglašavam da riječi “pozitivan” i “negativan” koristimo sasvim uvjetno, samo kako bismo razlikovali dva suprotna smjera struje.

Elektromagnetske oscilacije, koje smo upoznali, nazivamo slobodnim ili vlastitim oscilacijama. Oni se javljaju kad god prenesemo određenu količinu energije u krug, a zatim dopustimo kondenzatoru i zavojnici da slobodno razmjenjuju tu energiju. Frekvencija slobodnih oscilacija (to jest, frekvencija izmjeničnog napona i struje u krugu) ovisi o tome koliko brzo kondenzator i zavojnica mogu pohraniti i osloboditi energiju. To pak ovisi o induktivitetu Lk i kapacitetu Ck kruga, baš kao što frekvencija žice ovisi o njezinoj masi i elastičnosti. Što je veći induktivitet L zavojnice, to je dulje potrebno da se u njoj stvori magnetsko polje i to magnetsko polje može duže održavati struju u krugu. Što je veći kapacitet C kondenzatora, to će se duže prazniti i duže će trebati da se ovaj kondenzator ponovno napuni. Dakle, što je više Lk i C u krugu, to se sporije pojavljuju elektromagnetske oscilacije u njemu, niža je njihova frekvencija. Ovisnost frekvencije f o slobodnim oscilacijama od L do i C prema krugu izražava se jednostavnom formulom, koja je jedna od osnovnih formula radiotehnike:

Smisao ove formule je krajnje jednostavan: da bi se povećala frekvencija vlastitih oscilacija f 0, potrebno je smanjiti induktivitet L na ili kapacitet C kruga; za smanjenje f 0 potrebno je povećati induktivitet i kapacitet (sl. 47).

Iz formule za frekvenciju lako se mogu izvesti (to smo već učinili s formulom Ohmovog zakona) računske formule za određivanje jednog od parametara strujnog kruga L k ili C k pri zadanoj frekvenciji f0 i poznatom drugom parametru . Na listovima 73, 74 i 75 date su formule prikladne za praktične proračune.

>> Jednadžba koja opisuje procese u oscilatornom krugu. Period slobodnih električnih oscilacija

§ 30 JEDNADŽBA KOJA OPISUJE PROCESE U OSCILACIJSKOM KRUGU. PERIOD SLOBODNIH ELEKTRIČNIH OSCILACIJA

Prijeđimo sada na kvantitativnu teoriju procesa u oscilatornom krugu.

Jednadžba koja opisuje procese u oscilatornom krugu. Razmotrimo oscilatorni krug čiji se otpor R može zanemariti (slika 4.6).

Jednadžba koja opisuje slobodne električne oscilacije u krugu može se dobiti pomoću zakona održanja energije. Ukupna elektromagnetska energija W kruga u bilo kojem trenutku jednaka je zbroju njegovih energija magnetskog i električnog polja:

Ta se energija ne mijenja tijekom vremena ako je njezin otpor R kruga jednak nuli. Dakle, vremenska derivacija ukupne energije je nula. Stoga je zbroj vremenskih izvodnica energija magnetskog i električnog polja jednak nuli:

Fizičko značenje jednadžbe (4.5) je da je brzina promjene energije magnetskog polja jednaka u apsolutnoj vrijednosti brzini promjene energije električnog polja; znak "-" označava da se s povećanjem energije električnog polja energija magnetskog polja smanjuje (i obrnuto).

Računajući derivacije u jednadžbi (4.5), dobivamo 1

Ali vremenska derivacija naboja je jakost struje u određenom trenutku:

Stoga se jednadžba (4.6) može prepisati u sljedećem obliku:

1 Računamo izvodnice u odnosu na vrijeme. Stoga derivacija (í 2) "nije samo jednaka 2 i, kao što bi bila pri izračunavanju derivacije, već i. Potrebno je pomnožiti 2 i s derivacijom i" jakosti struje s obzirom na vrijeme, jer izračunava se derivacija složene funkcije. Isto vrijedi i za izvod (q 2)".

Derivacija struje po vremenu nije ništa drugo nego druga derivacija naboja po vremenu, kao što je derivacija brzine po vremenu (ubrzanje) druga derivacija koordinate po vremenu. Zamjenom u jednadžbu (4.8) i "= q" i dijeljenjem lijevog i desnog dijela ove jednadžbe s Li, dobivamo glavnu jednadžbu koja opisuje slobodne električne oscilacije u krugu:

Sada možete u potpunosti cijeniti važnost napora koji su uloženi u proučavanje oscilacija kuglice na opruzi i matematičkom njihalu. Uostalom, jednadžba (4.9) se ni u čemu, osim u zapisu, ne razlikuje od jednadžbe (3.11) koja opisuje titranje kuglice na opruzi. Zamjenom x s q, x" s q", k s 1/C i m s L u jednadžbi (3.11), točno dobivamo jednadžbu (4.9). Ali jednadžba (3.11) je već riješena gore. Dakle, znajući formulu koja opisuje oscilacije opružnog njihala, možemo odmah napisati formulu za opisivanje električnih oscilacija u krugu.

Sadržaj lekcije sažetak lekcije okvir za podršku lekcija prezentacija akcelerativne metode interaktivne tehnologije Praksa zadaci i vježbe samoprovjera radionice, treninzi, slučajevi, potrage domaća zadaća pitanja za raspravu retorička pitanja učenika Ilustracije audio, video isječci i multimedija fotografije, slikovne grafike, tablice, sheme humor, anegdote, vicevi, stripovi parabole, izreke, križaljke, citati Dodaci sažetakačlanci čipovi za radoznale varalice udžbenici osnovni i dodatni rječnik pojmova ostalo Poboljšanje udžbenika i nastaveispravljanje grešaka u udžbeniku ažuriranje fragmenta u udžbeniku elementi inovacije u lekciji zamjena zastarjelih znanja novima Samo za učitelje savršene lekcije kalendarski plan za godinu metodološke preporuke programa rasprave Integrirane lekcije